JP5407737B2 - モデル生成プログラム、モデル生成装置、およびモデル生成方法 - Google Patents

Description

本発明は、モデル化対象のモデルを生成するモデル生成プログラム、モデル生成装置、およびモデル生成方法に関する。

従来、様々な工学的応用で、モデル化対象の動作（出力や次の状態）を数式で表現するモデル（以下、「モデル式」と称す。）が利用されている。モデル式には入力変数、状態変数、物理定数、調整変数（ｆｉｔｔｉｎｇ ｐａｒａｍｅｔｅｒ）などが含まれる。

測定結果とモデル式の結果が一致するように、調整変数（や物理定数）を調節することで、モデル式の抽出が行われる。そして、抽出したモデル式を使って、モデル化対象の動作を簡単に予測することができるようになる。たとえば、測定していない入力条件での動作をモデルから予測できるようになる。

また、シミュレーションに与える条件には前提条件と入力条件がある。前提条件とは、計算結果をモデル式によりモデル化した場合、調整変数を変えないと表現できないような条件をいう。たとえば、モデル式中の入力変数で表現されていない条件が挙げられる。また、入力条件とは、計算結果をモデル式によりモデル化した場合、調整変数を変えなくても表現できる条件をいう。たとえば、入力の値や物理定数の値である。

たとえば、シミュレーションに必要な条件が、ａ，ｂ，ｃ，ｄの４つの変数で表されている場合、モデル式が変数ａ，ｂの関数であらわされる場合は、ａ，ｂが入力条件で、ｃ，ｄが前提条件となる。ｃかｄが変われば、違うモデル式が必要となる。

また、様々な入力条件でのシミュレーションを網羅的におこなうのは非常に時間がかかるため、いくつか入力条件を変えて、シミュレーションを行った結果から、モデル化を行う。これにより、シミュレーションしていない入力条件の結果を予測することができる（応答曲面法）。また、一部の計算結果や測定結果から、多項式などのモデル式を当てはめて、最小二乗法により全体を予測する手法が考案されている（たとえば、下記特許文献１，２を参照。）。

特開平６−１９５６５２号公報 特開２００２−３５３４４０号公報

しかしながら、上述した従来技術では、一部の計算で済むため高速に計算できる反面、物理的性質を反映したモデルを生成するのが非常に困難な場合があるため、多項式などのように、物理的性質を持たないモデル式で応答曲面を作成するのが一般的である。物理的性質を持たないモデル式を使う場合、様々な問題が発生する。

図６は、モデル式の具体例を示す説明図である。（Ａ）は望ましいモデル式である。（Ｂ）は測定値が少ない場合にモデル式に発生する大きな誤差を示している。測定値の個数が少ない場合、あり得ないモデル式が抽出されたり、測定誤差の影響を受け易いという問題があった。

（Ｃ）はモデル式の次数が低いことによりモデル式に発生する誤差を示している。モデル式として、次数の低い多項式を使うと、動作の違いに十分追随できず精度が悪化するという問題があった。

（Ｄ）はモデル式の次数が高すぎることによりモデル式に発生する誤差を示している。（Ｃ）では次数が低いため、精度向上のため次数を高くすると、モデル式が波打ちしたり、測定誤差や計算誤差をモデル式に取り込んでしまうという問題があった。このように、物理的性質をもったモデル式を生成することは、従来技術では非常に困難であった。

本発明は、上述した従来技術による問題点を解消するため、モデル化対象の物理的性質を高精度に反映することができるモデル生成プログラム、モデル生成装置、およびモデル生成方法を提供することを目的とする。

上述した課題を解決し、目的を達成するため、本発明にかかるモデル生成プログラム、モデル生成装置、およびモデル生成方法は、モデル化対象を表現したモデル式を構成する係数、入力変数、および出力変数のうち前記係数に関する統計量を記憶する記憶装置にアクセス可能であり、前記モデル化対象に関する入力値および出力値の組み合わせとなるデータ群を入力し、前記統計量および前記係数により定義された前記モデル式が発生する第１の確率と、前記入力変数および前記出力変数により定義された前記モデル式が発生する第２の確率と、を結合した結合確率に基づいて、当該結合確率を最大化するような前記係数の値を、入力されたデータ群を前記結合確率の前記入力変数および前記出力変数に与えることにより決定し、決定された係数の値を前記モデル式に関連付けて出力することを要件とする。

本モデル生成プログラム、モデル生成装置、およびモデル生成方法によれば、モデル化対象の物理的性質を高精度に反映することができるという効果を奏する。

実施の形態にかかるモデル生成装置のハードウェア構成を示すブロック図である。 モデル生成装置の機能的構成を示すブロック図である。 記憶部の記憶内容の一例を示す説明図である。 モデル生成装置による統計量抽出処理手順を示すフローチャート（その１）である。 モデル生成装置による統計量抽出処理手順を示すフローチャート（その２）である。 モデル生成装置によるモデル生成処理手順を示すフローチャート（その１）である。 モデル生成装置によるモデル生成処理手順を示すフローチャート（その２）である。 モデル式の具体例を示す説明図である。

以下に添付図面を参照して、この発明にかかるモデル生成プログラム、モデル生成装置、およびモデル生成方法の好適な実施の形態を詳細に説明する。

（モデル生成装置のハードウェア構成）
図１は、実施の形態にかかるモデル生成装置のハードウェア構成を示すブロック図である。図１において、モデル生成装置は、ＣＰＵ（Ｃｅｎｔｒａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ Ｕｎｉｔ）１０１と、ＲＯＭ（Ｒｅａｄ‐Ｏｎｌｙ Ｍｅｍｏｒｙ）１０２と、ＲＡＭ（Ｒａｎｄｏｍ Ａｃｃｅｓｓ Ｍｅｍｏｒｙ）１０３と、磁気ディスクドライブ１０４と、磁気ディスク１０５と、光ディスクドライブ１０６と、光ディスク１０７と、ディスプレイ１０８と、Ｉ／Ｆ（Ｉｎｔｅｒｆａｃｅ）１０９と、キーボード１１０と、マウス１１１と、スキャナ１１２と、プリンタ１１３と、を備えている。また、各構成部はバス１００によってそれぞれ接続されている。

ここで、ＣＰＵ１０１は、モデル生成装置の全体の制御を司る。ＲＯＭ１０２は、ブートプログラムなどのプログラムを記憶している。ＲＡＭ１０３は、ＣＰＵ１０１のワークエリアとして使用される。磁気ディスクドライブ１０４は、ＣＰＵ１０１の制御にしたがって磁気ディスク１０５に対するデータのリード／ライトを制御する。磁気ディスク１０５は、磁気ディスクドライブ１０４の制御で書き込まれたデータを記憶する。

光ディスクドライブ１０６は、ＣＰＵ１０１の制御にしたがって光ディスク１０７に対するデータのリード／ライトを制御する。光ディスク１０７は、光ディスクドライブ１０６の制御で書き込まれたデータを記憶したり、光ディスク１０７に記憶されたデータをコンピュータに読み取らせたりする。

ディスプレイ１０８は、カーソル、アイコンあるいはツールボックスをはじめ、文書、画像、機能情報などのデータを表示する。このディスプレイ１０８は、たとえば、ＣＲＴ、ＴＦＴ液晶ディスプレイ、プラズマディスプレイなどを採用することができる。

インターフェース（以下、「Ｉ／Ｆ」と略する。）１０９は、通信回線を通じてＬＡＮ（Ｌｏｃａｌ Ａｒｅａ Ｎｅｔｗｏｒｋ）、ＷＡＮ（Ｗｉｄｅ Ａｒｅａ Ｎｅｔｗｏｒｋ）、インターネットなどのネットワーク１１４に接続され、このネットワーク１１４を介して他の装置に接続される。そして、Ｉ／Ｆ１０９は、ネットワーク１１４と内部のインターフェースを司り、外部装置からのデータの入出力を制御する。Ｉ／Ｆ１０９には、たとえばモデムやＬＡＮアダプタなどを採用することができる。

キーボード１１０は、文字、数字、各種指示などの入力のためのキーを備え、データの入力をおこなう。また、タッチパネル式の入力パッドやテンキーなどであってもよい。マウス１１１は、カーソルの移動や範囲選択、あるいはウィンドウの移動やサイズの変更などをおこなう。ポインティングデバイスとして同様に機能を備えるものであれば、トラックボールやジョイスティックなどであってもよい。

スキャナ１１２は、画像を光学的に読み取り、モデル生成装置内に画像データを取り込む。なお、スキャナ１１２は、ＯＣＲ（Ｏｐｔｉｃａｌ Ｃｈａｒａｃｔｅｒ Ｒｅａｄｅｒ）機能を持たせてもよい。また、プリンタ１１３は、画像データや文書データを印刷する。プリンタ１１３には、たとえば、レーザプリンタやインクジェットプリンタを採用することができる。

（モデル生成装置の機能的構成）
つぎに、モデル生成装置の機能的構成について説明する。図２は、モデル生成装置２００の機能的構成を示すブロック図である。モデル生成装置２００は、記憶部２３０と、取得部２０１と、第１の係数値算出部２０２と、統計量算出部２０３と、格納部２０４と、検出部２０５と、決定部２２０（第１の確率算出部２０６、入力部２０７、第２の確率算出部２０８、設定部２０９、第２の係数値算出部２１０）と、出力部２１１と、を含む構成である。

記憶部２３０は、具体的には、たとえば、図１に示したＲＯＭ１０２、ＲＡＭ１０３、磁気ディスク１０５、光ディスク１０７などの記憶装置により、その機能を実現する。また、取得部２０１〜出力部２１１は、具体的には、たとえば、図１に示したＲＯＭ１０２、ＲＡＭ１０３、磁気ディスク１０５、光ディスク１０７などの記憶装置に記憶されたプログラムをＣＰＵ１０１に実行させることにより、または、Ｉ／Ｆ１０９により、その機能を実現する。

記憶部２３０は、モデル化対象を表現するモデル式を構成する係数の値（以下、「第１の係数値」）を記憶する。ここで、モデル式とは、数式で表現されたモデル化対象のモデルである。モデル式は、一般に、多項式で表現される。ここでは、一例として、２入力変数（ｘ１，ｘ２）からなる２次のモデル式ｆ（ｘ１，ｘ２）を挙げる。

上記式（１）において、ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｇは係数である。係数ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｇは変数であり、後述の手法により、係数値を求めていくこととなる。式（１）では、次数を２としているが、より高次のモデル式としてもよい。また、入力変数の個数は１個でもよく、３以上でもよい。いずれにしても、モデル式は、モデル化対象やその挙動により適宜設定しておく。また、モデル式は多項式に限らず、対数関数や指数関数であってもよい。また、多項式の一部の項が対数関数や指数関数であってもよい。

また、記憶部２３０は、モデル化対象に関する入力値および出力値の組み合わせとなる第１のデータ群での第１係数値の統計量を記憶する。ここで、入力値とは、モデル化対象に与えられた入力データであり、出力値とは入力データが与えられた場合のモデル化対象の出力データである。第１のデータ群は、既知データとして与えられたサンプルデータでもよく、入力値と当該入力値をシミュレータに与えた場合の出力結果との組み合わせでもよい。

また、統計量とは、第１の係数値を統計的に表現したデータである。第１のデータは複数与えられるため、統計量は、第１のデータのばらつきを考慮したデータとなる。統計量としては、たとえば、平均μと標準偏差σ（分散や共分散でもよい）で係数ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｇごとに表現される。また、各係数ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｇ間の相関を取り除くため、主成分分析により変換された主成分ごとに第１の係数値を表現してもよい。たとえば、係数ａを主成分分析して、ａ＝ｐ１＋ｐ２＋ｐ３という内容に線形変換された場合、係数ｐ１〜ｐ３のそれぞれについて統計量（平均μｐ１〜μｐ３、標準偏差σｐ１〜σｐ３）が求められることとなる。

図３は、記憶部２３０の記憶内容の一例を示す説明図である。図３では、第１のデータ群は複数得られる。統計量は、既知であればあらかじめ与えておいてもよく、また、第１のデータ群が得られた場合に、第１のデータ群を用いて算出することとしてもよい。ここでは、統計量算出のため、第１の係数値はｋ回求められているものとするが、統計量の具体的な算出については後述する。なお、記憶部２３０は、モデル生成装置２００内の記憶装置でもよく、モデル生成装置２００外の記憶装置でもよい。モデル生成装置２００外の記憶装置の場合、図１に示したネットワーク１１４を介して通信することで、記憶部２３０内のデータを読み出したり、書き込んだりすることとなる。

図２において、取得部２０１は、第１のデータ群を取得する機能を有する。取得された第１のデータ群は記憶部２３０に記憶される。

第１の係数値算出部２０２は、取得部２０１によって取得された第１のデータ群をモデル式ｆに与えることにより、第１の係数値を算出する機能を有する。具体的には、たとえば、第１のデータをモデル式ｆにそれぞれ与え、下記式（２）の誤差二乗和Ｓ１を用いた最小二乗法により第１の係数値を求める。

上記式（２）において、Ｎ１は第１のデータの個数である。ｉ番目の第１のデータを｛Ｘ_i，ｙ_i｝とすると、ｉ番目の入力変数はＸ_iであり、出力変数はｙ_iである。また、入力値の数がｎ個（ｎ＝１，２，…）ある場合、入力変数Ｘ_iはＸ_i＝｛ｘ１_i，ｘ２_i，…，ｘｎ_i｝となる。

そして、誤差二乗和Ｓ１を係数で偏微分することで得られる連立方程式を解くことで第１の係数値を求めることができる。式（１）のようにモデル式ｆが多項式である場合、連立一次方程式となるため、逆行列演算により高速で求めることができる。一般に、モデル式ｆを係数で偏微分した式にいかなる係数も含まれない場合に、連立一次方程式になる。モデル式ｆの形によっては、連立方程式を解くことができない場合もあるが、その場合は最適化によっても求められる。

上記式（２）の誤差二乗和Ｓ１を展開すると、下記式（３）となる。

式（３）においてｋ１〜ｋ２１は定数である。たとえば、ｋ７は、下記式（４）で表現される。

誤差二乗和Ｓ１を係数ａ〜ｅ，ｇでそれぞれ偏微分し、それぞれが０になるとする。たとえば、誤差二乗和Ｓ１を係数ａでそれぞれ偏微分して０になる式は、下記式（５）である。

式（５）のように係数ごとに偏微分して０になる式を用いることで連立６元一次方程式が得られる。この連立６元一次方程式を行列表現すると、下記式（６）となる。

式（６）において、Ｔは６×６の定数行列であり、Ｋは定数ベクトルである。式（５）より、Ｔの一行目は｛２ｋ₁，ｋ₇，ｋ₈，ｋ₉，ｋ₁₀，ｋ₁₁｝となる。そして、式（６）の両辺にＴの逆行列を左から掛けることで、係数ａ〜ｅ，ｇの値（第１の係数値）を求めることができる。

統計量算出部２０３は、第１の係数値算出部２０２によって算出された算出結果に基づいて、第１の係数値の統計量を算出する機能を有する。具体的には、たとえば、図３に示したように、第１の係数値ごとに平均μと標準偏差σを算出する。たとえば、係数ａについては、１回目の第１の係数値ａ１からｒ回目の第１の係数値ａｒまでの平均μａと標準偏差σａを算出することとなる。また、たとえば主成分分析する場合は、主成分（たとえば、上述したｐ１〜ｐ３）ごとの平均と標準偏差を算出することとなる。

格納部２０４は、第１の係数値と当該第１の係数値の統計量を記憶装置に格納する機能を有する。具体的には、たとえば、図３に示したように、第１の係数値と当該第１の係数値の統計量を格納する。

また、取得部２０１は、ｒ回目の第１のデータ群の取得のあと、ｒ＋１回目の第１のデータ群を取得した場合、第１の係数値算出部２０２では、ｒ＋１回目の第１の係数値を算出する。そして、統計量算出部２０３は、１回目〜ｒ＋１回目の第１の係数値により、第１の係数値の統計量（平均と標準偏差）を再計算する。格納部２０４は、ｒ＋１回目の第１の係数値の項目を作成して記憶装置に格納するとともに、第１の係数値の統計量（平均と標準偏差）を、再計算された第１の係数値の統計量（平均と標準偏差）に更新する。

検出部２０５は、モデル式ｆの生成要求を検出する機能を有する。具体的には、操作入力により生成要求の有無を判断し、生成要求がない時間帯においては、第１のデータ群をあらたに取得する。たとえば、生成要求を受け付けない時間帯を設定しておき、当該時間帯において順次第１のデータ群を取得することとしてもよい。これにより、空き時間を有効活用して統計量を蓄積することができる。

決定部２２０は、モデル式ｆの係数の値を決定する機能を有する。具体的には、統計量（図３を参照）および係数ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｇにより定義されたモデル式ｆが発生する第１の確率Ｐｐと、入力変数Ｘ_iおよび出力変数ｙ_iにより定義されたモデル式ｆが発生する第２の確率Ｐｓと、を結合した結合確率Ｐの演算式を求める。この結合確率Ｐの演算式を最大化するような係数の値を決定する。より具体的には、第１の確率算出部２０６、入力部２０７、第２の確率算出部２０８、設定部２０９、第２の係数値算出部２１０により、モデル式ｆの係数の値を決定する。

第１の確率算出部２０６は、記憶部２３０に記憶されている第１の係数値から得られた統計量に基づいて、過去の統計（第１のデータ群から得られる統計量）からのモデル式ｆの発生確率となる第１の確率を算出する機能を有する。具体的には、たとえば、下記式（７）により、第１の確率Ｐｐを算出する。

上記式（７）において、Ｍはモデル式ｆにおける係数の総数、ｐｊ（ｆ）はモデル式ｆにおけるｊ番目の係数、μｊはモデル式ｆにおけるｊ番目の係数ｐｊ（ｆ）の平均、σｊはモデル式ｆにおけるｊ番目の係数ｐｊ（ｆ）の標準偏差である。第１の確率Ｐｐは、過去の統計（第１のデータ群から得られる統計量）からのモデル式ｆの発生確率を多次元正規分布によりあらわしている。第１の確率Ｐｐが大きいモデルは、過去の統計では頻繁に発生しており、小さいモデルはめったに発生していないという意味を持つこととなる。

なお、本実施の形態では、式（７）に与えられるのは統計量だけで、第１の確率Ｐｐにおけるモデル式ｆにおけるｊ番目の係数ｐｊ（ｆ）は変数のままとなる。したがって、第１の確率算出部２０６では、統計量が与えられた第１の確率Ｐｐの演算式が求められることとなる。また、なお、第１の確率Ｐｐは、上記式（７）に限らず、過去の統計（第１のデータ群から得られる統計量）からのモデル式ｆの発生確率をあらわす式であれば、他の計算式でもよい。

たとえば、主成分分析を行う場合は、ｐｊ（ｆ）は各主成分となり、寄与の少ない成分を削除する等の理由で、Ｍは係数の総数よりも少ない場合もある。

ここで、第１の確率Ｐｐについて具体的に説明する。ここでは、説明を簡略化するため、モデル式ｆをｆ（ｘ）＝ａｘ＋１として説明する。たとえば、係数ａが、過去の統計量から平均２、標準偏差１の正規分布で近似できたとする。係数ａに係数ａの平均値μａ＝２が与えられた場合、モデル式ｆがｆ（ｘ）＝２ｘ＋１である確率は、正規分布の確率密度関数から、０．３９８９４２（正規分布の平均値の確率）となる。また、係数ａに係数ａの平均値μａ＝３が与えられた場合、ｆ（ｘ）＝３ｘ＋１である確率は、同じく０．２４１９７１（平均から１σ離れた場所の確率）となる。

入力部２０７は、モデル化対象に関する入力値および出力値の組み合わせとなる第２のデータ群を入力する機能を有する。具体的には、たとえば、第１のデータ群よりも後に得られたデータ群である。第２のデータ群は、Ｎ２個（通常は、Ｎ２＜＜Ｎ１，Ｎ２＝Ｎ１でもよい）の入力値および出力値の組み合わせの集合である。第２のデータ群は、第１のデータ群と同様、既知データとしてあらたに得られたサンプルデータでもよく、あらたに得られた入力値と当該入力値をシミュレータに与えた場合の出力結果との組み合わせでもよい。また、第２のデータ群からランダムに選ばれたデータ群でもよい。

第２の確率算出部２０８は、第２のデータ群をモデル式ｆに与えた場合の確からしさをあらわす第２の確率を算出する機能を有する。具体的には、たとえば、下記式（８）により、第２の確率Ｐｓを算出する。

上記式（８）において、Ｎ２は第２のデータの個数（通常はＮ２＜＜Ｎ１，Ｎ２＝Ｎ１でもよい）である。Ｘ_iは入力変数であり、ｉ番目の第２のデータの入力値が与えられる。ｙ_iは出力変数であり、ｉ番目の第２のデータの測定値が与えられる。σｙ_iはｉ番目の第２のデータの測定値ｙ_iの標準誤差（または重み）である。σｙ_iは全測定値に共通の固定値（たとえば、σｙ_i＝１）でもよく、測定値σｙ_iごとに異なる固定値でもよい。

また、入力変数Ｘ_iは、モデル式ｆの入力変数と同数となる。たとえば、モデル式ｆとして式（１）を用いる場合、ｉ番目の第２のデータは、｛ｘ１_i，ｘ２_i，ｙ_i｝となり、入力変数Ｘ_iの値はＸ_i＝｛ｘ１_i，ｘ２_i｝となる。

ここで、第２の確率Ｐｓについて具体的に説明する。ここでは、説明を簡略化するため、モデル式ｆをｆ（ｘ）＝２ｘ＋１として説明する。ある第２のデータ（ｘ，ｙ）について、正規分布で標準偏差１の誤差（測定誤差やシミュレーションの計算誤差）があるとするときに、（ｘ，ｙ）＝（０，０）の点は、本当は（０，１）の点が誤差によって、（０，０）となっただけかもしれない。元の点が（０，１）である確率は正規分布の平均から１σ離れた位置の確率０．２４１９７１である。

モデル式ｆ（ｘ）は、点（０，１）を通るため、この場合の確率はＰｓ＝０．２４１９７１となる。仮に、モデル式ｆがｆ（ｘ）＝２ｘの場合は、点（０，０）を通るため、確率は正規分布の平均の確率０．３９８９４２となる。第２のデータ（ｘ，ｙ）は複数あるため、あるモデル式ｆに対し第２のデータをそれぞれ与えた場合の確率を掛け合わせたものが、第２の確率Ｐｓとなる。

なお、本実施の形態では、第２のデータ群は、後述する連立方程式の作成後に与えられることとなる。したがって、第２の確率算出部２０８では、あらかじめ設定されたσｙ_iを式（８）に与えることで、第２の確率Ｐｓの演算式を求めることとなる。

設定部２０９は、モデル式ｆの係数に与えるべき第２の係数を求めるための連立方程式を設定する機能を有する。具体的には、設定部２０９は、第１の確率Ｐｐの演算式と第２の確率Ｐｓの演算式を結合（乗算）して、結合確率Ｐの演算式を設定する。

第１の確率Ｐｐは過去の統計（第１のデータ群から得られる統計量）からのモデル式ｆの発生確率をあらわしており、第２の確率Ｐｓは今回のサンプル（第２のデータ群）からのモデル式の確からしさをあらわしている。第１の確率Ｐｐと第２の確率Ｐｓとの結合確率Ｐを最大化することは、最も確からしいモデル式を求めることを意味する。

本例では、結合確率Ｐは複雑な式で表現されているが、結合確率Ｐの最大化を行えばよいため、係数を含まない部分を定数Ｋに置き換えると、結合確率Ｐは下記式（９）に変形することができる。

Ｐ＝Ｋ×ｅｘｐ（−１／（Ｓ２×Ｓ２））・・・（９）

ここで、Ｓ２は、下記式（１０）により表現される誤差二乗和である（ただし、簡略化のため、σｙ_i＝１とした。）。すなわち、結合確率Ｐの演算式から、結合確率Ｐを最大化するモデル式ｆを決定する誤差二乗和Ｓ２を抽出することとなる。

モデル式ｆ（ｘ）は、第１の確率Ｐｐと第２の確率Ｐｓとの結合確率Ｐを最大化するように決定することとなる。具体的には、誤差二乗和Ｓ２が最小のときに結合確率Ｐが最大値をとるため、誤差二乗和Ｓ２の最小化問題に帰着する。誤差二乗和Ｓ２は凸関数になるため、凸最適化と呼ばれる最も一般的で簡単な、最適化問題を解く計算となる。したがって、容易に自動最適化できる。また、後述の方法で解いても良い。

また、式（１０）の右辺第２項が第１の確率Ｐｐに対応しており、右辺第１項が第２の確率Ｐｓに対応する。すなわち、誤差二乗和Ｓ１に物理的性質を反映する右辺第１項が追加された形となる。したがって、第２のデータ群の個数が少なくても、右辺第１項が効いてくるため、高精度な第２の係数値を求めることができる。

このあと、設定部２０９は、式（３）〜式（６）で示した手法と同様、誤差二乗和Ｓ２についても偏微分をして、連立方程式を作成する。

第２の係数値算出部２１０は、設定部２０９によって設定された連立方程式を解くことで、第２の係数値を算出する機能を有する。具体的には、設定部２０９により作成された連立方程式内で定義されている入力変数Ｘ_i，出力変数ｙ_iに、第２のデータ群を与えることで、各係数ａ〜ｅ，ｇに与えるべき第２の係数値を算出する。

モデル式ｆが多項式であれば、連立一次方程式となり、式（６）で示したような逆行列計算で高速に求めることができる。一般に、モデル式ｆを係数で偏微分した式にいかなる係数も含まれない場合に、連立一次方程式になる。モデル式の形によっては、連立方程式を解くことができない場合もあるが、その場合は最適化によっても求められる。

出力部２１１は、第２の係数値算出部２１０によって算出された第２の係数値をモデル式ｆに関連付けて出力する機能を有する。具体的には、たとえば、第２の係数値をモデル式ｆの対応する係数に代入して、代入後のモデル式ｆを出力する。出力形式としては、たとえば、ディスプレイ１０８への表示、プリンタ１１３への印刷出力、Ｉ／Ｆ１０９による外部装置への送信がある。また、ＲＡＭ１０３、磁気ディスク１０５、光ディスク１０７などの記憶領域に記憶することとしてもよい。また、第２の係数値が代入されたモデル式ｆの応答曲面を作成して出力することとしてもよい。

（統計量抽出処理手順）
図４−１は、モデル生成装置２００による統計量抽出処理手順を示すフローチャート（その１）である。図４−１では、連立方程式で解く場合の処理手順を示している。まず、第１の係数値算出部２０２により、誤差二乗和Ｓ１の演算式を算出して（ステップＳ４０１）、誤差二乗和Ｓ１をモデル式ｆの係数ごとに偏微分する（ステップＳ４０２）。この偏微分により、連立方程式を作成する（ステップＳ４０３）。

つぎに、実行回数ｒをｒ＝１とし（ステップＳ４０４）、入力値Ｘ_iと対応するシミュレーション結果ｙ_iとを取得する（ステップＳ４０５）。そして、ステップＳ４０３で作成された連立方程式の中で係数ａ〜ｅ，ｇに係っている値ｋを計算する（ステップＳ４０６）。たとえば、上記式（５）では、ｋ₁，ｋ₇〜ｋ₁₁，ｋ₂₂を算出する。

つぎに、ステップＳ４０６で算出された値ｋを、ステップＳ４０３で作成された連立方程式に代入し、逆行列演算により、ｒ回目における係数ａ〜ｅ，ｇの第１の係数値を求める（ステップＳ４０７）。そして、ｒ＞Ｒであるか否かを判断する（ステップＳ４０８）。Ｒは取得可能な前提条件の異なる測定値またはシミュレーション結果の数である。ＲはＲ＞１となるしきい値である。

ｒ＞Ｒでない場合（ステップＳ４０８：Ｎｏ）、ｒをインクリメントして（ステップＳ４０９）、ステップＳ４０５に戻る。この場合、取得部２０１により、あらたに入力値Ｘ_iと対応するシミュレーション結果ｙ_iとを取得することとなる。

一方、ｒ＞Ｒである場合（ステップＳ４０８：Ｙｅｓ）、統計量算出部２０３により、第１の係数値ごとに統計量を算出する（ステップＳ４１０）。そして、格納部２０４により、第１の係数値とその統計量とを格納する（ステップＳ４１１）。これにより、一連の統計量抽出処理を終了する。

図４−２は、モデル生成装置２００による統計量抽出処理手順を示すフローチャート（その２）である。図４−２では、最適化により解く場合の処理手順を示している。まず、実行回数ｒをｒ＝１とし（ステップＳ４２１）、入力値Ｘ_iと対応するシミュレーション結果ｙ_iとを取得する（ステップＳ４２２）。

つぎに、誤差二乗和Ｓ２の最小化を目的関数とする自動最適化を適用することで、第１の係数値を求める（ステップＳ４２３）。モデルとなる関数ｆ（ｘ）は、第１の確率Ｐｐと第２の確率Ｐｓとの結合確率Ｐを最大化するように決定することとなる。具体的には、上記式（１０）の誤差二乗和Ｓ２が最小のときに結合確率Ｐが最大値をとるため、誤差二乗和Ｓ２の最小化問題に帰着する。誤差二乗和Ｓ２は凸関数になるため、凸最適化と呼ばれる最も一般的で簡単な最適化問題を解く計算となる。このようにして、第１の係数値を求める。

このあと、ｒ＞Ｒであるか否かを判断する（ステップＳ４２４）。ＲはＲ＞１となるしきい値である。ｒ＞Ｒでない場合（ステップＳ４２４：Ｎｏ）、ｒをインクリメントして（ステップＳ４２４）、ステップＳ４２２に戻る。この場合、取得部２０１により、あらたに入力値Ｘ_iと対応するシミュレーション結果ｙ_iとを取得することとなる（ステップＳ４２２）。

一方、ｒ＞Ｒである場合（ステップＳ４２４：Ｙｅｓ）、統計量算出部２０３により、第１の係数値ごとに統計量を算出する（ステップＳ４２６）。そして、格納部２０４により、第１の係数値とその統計量とを格納する（ステップＳ４２７）。これにより、一連の統計量抽出処理を終了する。

図５−１は、モデル生成装置２００によるモデル生成処理手順を示すフローチャート（その１）である。

まず、Ｍ個の係数に与えられる統計量を記憶部２３０から取得し（ステップＳ５０１）、必要に応じて主成分分析を実行する（ステップＳ５０２）。主成分分析により、第１の係数値が直交化されるため、相関成分を除去することができる。

つぎに、第１の確率算出部２０６により、統計量を式（７）に与えることで、統計量が与えられた場合のモデル式の発生確率となる第１の確率Ｐｐの演算式を算出する（ステップＳ５０３）。

つぎに、第２の確率算出部２０８により、Ｎ２個の第２のデータ群を与えた場合のモデル式ｆの確からしさをあらわす第２の確率Ｐｓの演算式を算出する（ステップＳ５０４）。具体的には、σｙ_iを式（８）に与えることで、第２の確率Ｐｓの演算式を算出する。

そして、設定部２０９により、ステップＳ５０５〜Ｓ５０７を実行する。具体的には、第１の確率Ｐｐと第２の確率Ｐｓとの結合確率Ｐを最大化するモデル式ｆを決定する誤差二乗和Ｓ２を設定する（ステップＳ５０５）。具体的には、第１の確率Ｐｐの演算式と第２の確率Ｐｓの演算式とを結合（乗算）して、結合確率Ｐの演算式を算出する。そして、結合確率Ｐの演算式から、結合確率Ｐを最大化するモデル式ｆを決定する誤差二乗和Ｓ２を抽出することとなる。

つぎに、誤差二乗和Ｓ２をモデル式ｆの係数ごとに偏微分し（ステップＳ５０６）、偏微分の結果により連立方程式を作成する（ステップＳ５０７）。ステップＳ５０１〜Ｓ５０７の処理は、統計量を変えない限り再実行する必要がない。もし統計量が更新されても、できるだけ文字式で計算を行なってあれば、再実行は不要か、限られた部分の再実行で済む。ただし、モデル式が変更された場合は再実行が必要となる。

図５−２は、モデル生成装置２００によるモデル生成処理手順を示すフローチャート（その２）である。図５−２のフローチャートは、図５−１において、得られた連立方程式を用いて第２の係数値を求める処理手順を示している。

まず、入力部５０７により、Ｎ２個の第２のデータ群を入力する（ステップＳ５２１）。そして、第２の係数値算出部２１０により、ステップＳ５０７で作成された連立方程式の中で係数ａ〜ｅ，ｇに係っている値ｋを計算する（ステップＳ５２２）。たとえば、上記式（５）のような式が連立方程式にある場合、Ｎ２個の第２のデータ群を代入することで、ｋ１，ｋ７〜ｋ１１，ｋ２２を算出する。

つぎに、ステップＳ５２２で算出された値ｋを、ステップＳ５０７で作成された連立方程式に代入し、逆行列演算により、係数ａ〜ｅ，ｇの第２の係数値を求める（ステップＳ５２３）。このあと、出力部２１１により、算出された第２の係数値をモデル式ｆの対応する係数と関連付けて出力する（ステップＳ５２４）。これにより、一連のモデル生成処理を終了する。

なお、ステップＳ５０３で得られた第２のデータ群を、第１のデータ群として図４のステップＳ４０１で取得してもよい。すなわち、次回第２のデータ群を取得するため、今回取得された第２のデータ群を第１のデータ群として扱う。ただし通常はＮ２＜＜Ｎ１であるので、サンプル数をＮ１ないしその近くまで追加で取得する必要がある。これにより、今回の第２のデータ群について第１の係数値が求められ、統計量が最新の状態に更新されることとなる。

このように、本実施の形態によれば、第２のデータ群の個数が少ない場合であっても、統計量で補完することができるため、大きな誤差が発生することなく、高精度な予測をすることができる。また、過去データである第１のデータ群を統計量で扱うことができるため、実装の容易化や既存の装置への組み込みの容易化を図ることができる。また、第１のデータ群を捨てて統計量のみ保存しておくことで、省メモリ化を図ることができる。また、統計量は実際のデータから作成しなくても、モデル形状が予想されれば、その予想から作成しても良い。

また、統計量の計算を空き時間に実行することで、たとえば夜間などの空いている時間帯を利用して計算コストの低減化を図ることができる。これに対し、第２の係数値を求めたい場合は、第２のデータ群を与えるだけで、短時間にモデル生成をおこなうことができる。

また、空き時間を利用して、未計算の計算条件下における第１のデータ群を取得してその統計量を抽出することとしてもよい。たとえば、計算条件として温度１０℃、１５℃、１００℃が記憶装置に蓄積されている場合、これらの温度のうちまだ計算されていない入力値の全部の組み合わせ、または一部の組み合わせを第１のデータ群として取得する。これにより、統計量をどの計算条件でも網羅することができる。

また、モデル生成の精度を向上するために、様々な条件での統計量が揃っていることが望ましい。たとえば、計算条件として温度１０℃、１５℃、１００℃が記憶装置に蓄積されている場合に、内挿法で、１２．５℃の計算条件を生成し（１０℃、１５℃間の内挿）、外挿法で５℃の計算条件を生成し（１０℃、１５℃間の外挿）、実験計画法で１０℃から１００℃まで２０℃刻みの計算条件を自動生成しておくこととしてもよい。また、値が急激に変わるような計算条件や、過去に似た条件がない計算条件や、重要度の高い計算条件を自動生成してもよい。このように、計算条件を自動生成することで、精度向上のための統計量を揃えることができる。

また、結合確率が最大となるように第２の係数値を求めることで、少数の結果から精度のよい計算手順を、既存の凸最適化技術により短い計算時間で実現することができる。

また、モデル式ｆを多項式で表現することで、適用範囲も広く極めて高速な計算手法である逆行列ソルバを利用することができるため、高速処理かつ高精度にモデル生成を実現することができる。

以下に本実施の形態の具体例を示す。

実施例１は、モデル化対象をＳＲＡＭ（Ｓｔａｔｉｃ Ｒａｎｄｏｍ Ａｃｃｅｓｓ Ｍｅｍｏｒｙ）とした場合のＳＲＡＭのチップ間ばらつきの歩留まりの計算例である。少数のチップ間ばらつきのサンプルから、チップ間ばらつき全体の結果を予測するのに用いる。これにより、少ないサンプルからの全体予測を高速に実現することができる。

実施例１の統計量抽出において、第１のデータ群｛Ｘ_i，ｙ_i｝が多数の過去のチップ間ばらつきのサンプル（入力値Ｘ_iがチップ間ばらつき変数で、測定値ｙ_iが歩留まり）となる。ｒ個の異なる前提条件について、それぞれサンプルがＮ１個ある。モデル式ｆはチップ間ばらつき変数の関数であり、多項式で表現できる。モデル式ｆに入力値Ｘ_iを与えた出力値が歩留まりｆ（Ｘ_i）となる。第１のデータ群で統計量を抽出しておき、少数の第２のサンプルが与えられると、チップ間ばらつき変数の関数であるモデル式ｆの係数に与えるべき第２の係数値が求まる。

実施例２は、モデル化対象をセルライブラリとした場合のセルライブラリの条件計算のバリエーション（例：負荷スルーのテーブル）の作成例である。これにより、シミュレーション点数の低減化を図り高速化を実現する。

実施例２の統計量抽出において、第１のデータ群｛Ｘ_i，ｙ_i｝が過去の大量のシミュレーション点数（Ｘ_iが負荷とスルー、ｙ_iが遅延などのセルの値）、Ｎ１がＸ_iの種類の数である。モデル式ｆは、負荷とスルーとの関係を表現した関数であり、多項式で表現できる。第１のデータ群で統計量を抽出しておき、少数の第２のサンプルが与えられると、負荷とスルーとの関係を表現した関数であるモデル式ｆの係数に与えるべき第２の係数値が求まる。

実施例３は、速度の遅い詳細計算の結果から統計量を抽出し、速度の速い概略計算の結果と組み合わせて、高速に精度の高い計算を行う例である。これにより、過去の大量の速度の遅い詳細計算結果から統計量を抽出することができる。実施例３の統計量抽出において、第１のデータ群｛Ｘ_i，ｙ_i｝が速度の遅い詳細計算結果（Ｘ_iが入力値でｙ_iが出力値）、Ｎ１がその計算点の個数である。第１のデータ群で統計量を抽出しておき、第２のサンプルが与えられると、モデル式ｆの係数に与えるべき第２の係数値が求まる。

実施例４は、速度の速い概略計算の幅広い入力条件の組み合わせの大量の結果から統計量を抽出し、速度の遅い詳細計算の結果と組み合わせて、高速に広範囲の結果を得る例である。これにより、過去の大量の速度の速い概略計算結果から統計量を抽出することができる。実施例４の統計量抽出において、第１のデータ群｛Ｘ_i，ｙ_i｝が速度の速い概略計算結果（Ｘｉが入力値でｙｉが出力値）、Ｎ１がその計算点の個数である。

実施例５は、ＳＰＩＣＥパラメータの抽出の際に、物理的意味の薄いフィッティングパラメータの統計量を作成しておく例である。これにより、少ない測定サンプル（第１のデータ群）でも正確にパラメータ抽出を行うことができる。

実施例５の統計量抽出において、第１のデータ群｛Ｘ_i，ｙ_i｝が過去の大量のスパイスシミュレーション結果や測定サンプル（Ｘ_iが条件値でｙ_iが測定値）、Ｎ１がその測定サンプルの個数である。

このように、本実施の形態によれば、従来で問題であった、不安定性、すなわちとてもあり得ないようなモデル式ｆが発生することが抑えられるという効果を奏する。特に、高次のモデル式ｆを使った場合にこの不安定性が大きく発生するため、従来は高次のモデル式ｆを使うためには、非常に多くのサンプルがない限り困難であった。

本実施の形態では、あり得ないようなモデル式ｆについては過去の統計量を使うことで、その係数は非常に低い確率であると計算されるため、あり得ないようなモデル式ｆの生成を抑制することができる。一方、高次でもあり得るようなモデル式ｆだけは生成されることとなる。これにより高次のモデル式ｆでなければ表現ができないような対象でも、精度のよいモデルを生成することができる。

また、従来では、たとえば１元１次式（ｆ（ｘ）＝ａｘ＋ｂ)のモデル式ｆを使う場合、最低サンプルが２つないとモデル式が決められなかった。同様に、たとえば、６元３次のモデル式ｆでは、最低８４個のサンプルが必要であった。実際はその場合のサンプルが理想的に分布していない限り、それよりもかなり多いサンプルがないと、逆行列が解けない（特異行列になる）ことがあった。

また、ようやく解けても不安定性の問題（あり得ないようなモデル式ｆが生成される）があるため、それを避けるためにさらに多くのサンプルを必要とした。本実施の形態では、高次元高次のモデルでも、サンプル数１つから、問題なく高次のモデルを生成することができる。

以上のことから、本実施の形態によれば、モデル化対象の物理的性質を高精度に反映することができるという効果を奏する。また、次数が高くなっても、精度よくモデル化することができる。また、第２のデータ群の個数が少なくても過去の統計量で補完するため、精度よくモデル化することができる。

なお、本実施の形態で説明したモデル生成方法は、予め用意されたプログラムをパーソナル・コンピュータやワークステーション等のコンピュータで実行することにより実現することができる。本モデル生成プログラムは、ハードディスク、フレキシブルディスク、ＣＤ−ＲＯＭ、ＭＯ、ＤＶＤ等のコンピュータで読み取り可能な記録媒体に記録され、コンピュータによって記録媒体から読み出されることによって実行される。また本モデル生成プログラムは、インターネット等のネットワークを介して配布してもよい。

２００ モデル生成装置
２０１ 取得部
２０２ 第１の係数値算出部
２０３ 統計量算出部
２０４ 格納部
２０５ 検出部
２０６ 第１の確率算出部
２０７ 入力部
２０８ 第２の確率算出部
２０９ 設定部
２１０ 第２の係数値算出部
２１１ 出力部
２２０ 決定部
２３０ 記憶部

Claims (8)

1. モデル化対象に入力される第１の入力値群と前記第１の入力値群に応じて前記モデル化対象から出力される第１の出力値群の関係を表現するモデル式に含まれる係数の値と、前記係数の値に基づく前記係数の統計量とを記憶装置に記憶し、
   前記記憶装置に記憶された前記統計量および前記係数の値に基づいて前記モデル式が発生する第１の確率を、第１の演算式を用いて算出し、
   前記第１の入力値群に対して値と数が異なる第２の入力値群、および前記第１の出力値群に対して値と数が異なる第２の出力値群とに基づいて前記モデル式が発生する第２の確率を、第２の演算式を用いて算出し、
   前記第１の演算式と前記第２の演算式とを乗算した第３の演算式に基づいて、前記第１の確率と前記第２の確率とを結合した結合確率を算出し、
   前記結合確率が最大となる場合の前記モデル式の前記係数の値を抽出し、
   前記抽出された前記係数の値を前記モデル式に関連付けて出力する、
   処理をコンピュータに実行させることを特徴とするモデル生成プログラム。
2. 前記統計量は、前記係数の数、前記係数の平均および前記係数の標準偏差を含み、
   前記第２の入力値群に含まれる入力値の数が前記第１の入力値群に含まれる入力値の数よりも少なく、前記第２の出力値群に含まれる出力値の数が前記第１の出力値群に含まれる出力値の数よりも少ないことを特徴とする請求項１に記載のモデル生成プログラム。
3. 前記第２の入力値群よりも過去のデータとして前記第１の入力値群を取得し、
   前記第２の出力値群よりも過去のデータとして前記第１の出力値群を取得し、
   前記取得された前記第１の入力値群および前記第１の出力値群を前記モデル式に与えることにより、前記係数の値を算出し、
   算出された前記係数の値に基づいて、前記統計量を算出し、
   算出された前記統計量および前記係数の値を前記記憶装置に格納する、
   処理をコンピュータに実行させることを特徴とする請求項１または請求項２に記載のモデル生成プログラム。
4. 前記第１の入力値群および前記第１の出力値群が取得される都度、前記係数の値を算出し、
   前記係数の値が算出される都度、前記統計量を算出し、
   前記統計量があらたに算出された場合、前記統計量を更新する、
   処理をコンピュータに実行させることを特徴とする請求項１ないし請求項３の内のいずれか１項に記載のモデル生成プログラム。
5. 前記第２の入力値群および前記第２の出力値群が取得される都度、前記係数の値を算出する、
   処理をコンピュータに実行させる請求項１ないし４の内のいずれか１項に記載のモデル生成プログラム。
6. 前記第１の入力値群および前記第１の出力値群が、前記モデル化対象のシミュレーション結果の入力値群および出力値群、または、前記モデル化対象をチップとした時の入力値群および測定値群であることを特徴とする請求項１ないし５の内のいずれか１項に記載のモデル生成プログラム。
7. モデル化対象に入力される第１の入力値群と前記第１の入力値群に応じて前記モデル化対象から出力される第１の出力値群の関係を表現するモデル式に含まれる係数の値と、前記係数の値に基づく前記係数の統計量とを記憶する記憶装置と、
   前記記憶装置に記憶された前記統計量および前記係数の値に基づいて前記モデル式が発生する第１の確率を、第１の演算式を用いて算出する第１の確率算出部と、
   前記第１の入力値群に対して値と数が異なる第２の入力値群、および前記第１の出力値群に対して値と数が異なる第２の出力値群とに基づいて前記モデル式が発生する第２の確率を、第２の演算式を用いて算出する第２の確率算出部と、
   前記第１の演算式と前記第２の演算式とを乗算した第３の演算式に基づいて、前記第１の確率と前記第２の確率とを結合した結合確率を算出する結合確率算出部と、
   前記結合確率が最大となる場合の前記モデル式の前記係数の値を抽出する抽出部と、
   前記抽出された前記係数の値を前記モデル式に関連付けて出力する出力部と、
   を有することを特徴とするモデル生成装置。
8. モデル化対象に入力される第１の入力値群と前記第１の入力値群に応じて前記モデル化対象から出力される第１の出力値群の関係を表現するモデル式に含まれる係数の値と、前記係数の値に基づく前記係数の統計量とを記憶装置に記憶し、
   前記記憶装置に記憶された前記統計量および前記係数の値に基づいて前記モデル式が発生する第１の確率を、第１の演算式を用いて算出し、
   前記第１の入力値群に対して値と数が異なる第２の入力値群、および前記第１の出力値群に対して値と数が異なる第２の出力値群とに基づいて前記モデル式が発生する第２の確率を、第２の演算式を用いて算出し、
   前記第１の演算式と前記第２の演算式とを乗算した第３の演算式に基づいて、前記第１の確率と前記第２の確率とを結合した結合確率を算出し、
   前記結合確率が最大となる場合の前記モデル式の前記係数の値を抽出し、
   前記抽出された前記係数の値を前記モデル式に関連付けて出力する、
   処理をコンピュータが実行することを特徴とするモデル生成方法。

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