JP2010211684A - データ処理方法、データ処理プログラム、データ処理装置 - Google Patents

Abstract

【課題】因子（説明変数）の２次効果や交互作用を考慮した精度の良い予測式が得られるデータ処理方法、データ処理プログラム、データ処理装置を提供する。
【解決手段】本発明のデータ処理方法は、説明変数の１次項で表される目的変数の第１の予測値Ｙ１をＴ法で求めるステップと、第１の予測値Ｙ１と目的変数の実測値との差分ΔＹ１及び説明変数の２次項を計算し、説明変数の２次項で表される差分ΔＹ１の予測値ΔＹ_Ｔ１をＴ法で求めるステップと、目的変数の第２の予測値Ｙ２を、第１の予測値Ｙ１と差分ΔＹ１の予測値ΔＹ_Ｔ１との和として求めるステップとを備える。
【選択図】図１

Description

本発明は、データ処理方法、データ処理プログラム、データ処理装置に関する。

説明変数（または独立変数ともいう）を使い、目的変数（または従属変数ともいう）の値を予測する回帰分析法が知られている。説明変数が一つの場合を単回帰分析、説明変数が複数の場合を重回帰分析という。例えば線形重回帰式は、各データセットからの距離の和が最小になるように、すなわち最小２乗法により、直線（正確にはデータセットの次元を持つ超空間での平面）の方程式を求めたものである。

重回帰分析においては、高次の予測式を求めるためには必要とするデータセットの数が急増する。すなわち、ｎ個の独立な項目（説明変数）についての１次効果の計算には最低ｎ個のデータセットが必要になるのに対して２次効果まで計算するには、_ｎΠ_２＝_ｎ＋１Ｃ_２個のデータセット数が必要になり実用的ではない。さらに信頼できる予測式を得るにはこの数倍のデータセットを必要とする。また、重回帰分析を発展させた手法としてＰＬＳ（Partial Least Squares）法もあるが、基本的な原理は同じである。

これらの手法とは原理が異なるものとしてＴ法が提案されている。これはTaguchi MethodsまたはTaguchi Quality Engineeringと呼ばれる一連のデータ解析手法中の一手法である（例えば、非特許文献１）。Ｔ法は、目的変数Ｙと説明変数Ｘの単回帰関係を統合する。具体的には、各説明変数Ｘと目的変数Ｙとの線形式の傾きβと線形性の妥当性を示すＳＮ比ηを求め、ＳＮ比ηで各説明変数Ｘを重み付けした線形予測式を求める。Ｔ法は、重回帰分析に対して予測式を求めるためのデータセット数に対する制約が少ない点が特徴である。

重回帰分析及びＴ法のいずれの手法も、説明変数Ｘの主効果で目的変数Ｙを表現しようとするものであり、因子（説明変数）間の交互作用が大きい場合は予測精度が落ちるという問題がある。

田口玄一、「ＭＴシステムによる予測推定」標準化と品質管理、２００６年、ｖｏｌ．６８、ｐ．６６

本発明は、因子（説明変数）の２次効果や交互作用を考慮した精度の良い予測式が得られるデータ処理方法、データ処理プログラム、データ処理装置を提供する。

本発明の一態様によれば、説明変数の１次項で表される目的変数の第１の予測値Ｙ１をＴ法で求めるステップと、前記第１の予測値Ｙ１と前記目的変数の実測値との差分ΔＹ１及び前記説明変数の２次項を計算し、前記説明変数の２次項で表される前記差分ΔＹ１の予測値ΔＹ_Ｔ１をＴ法で求めるステップと、前記目的変数の第２の予測値Ｙ２を、前記第１の予測値Ｙ１と前記差分ΔＹ１の予測値ΔＹ_Ｔ１との和として求めるステップと、を備えたことを特徴とするデータ処理方法が提供される。
また、本発明の他の一態様によれば、説明変数の１次項で表される目的変数の第１の予測値Ｙ１をＴ法で求める処理と、前記第１の予測値Ｙ１と前記目的変数の実測値との差分ΔＹ１及び前記説明変数の２次項を計算し、前記説明変数の２次項で表される前記差分ΔＹ１の予測値ΔＹ_Ｔ１をＴ法で求める処理と、前記目的変数の第２の予測値Ｙ２を、前記第１の予測値Ｙ１と前記差分ΔＹ１の予測値ΔＹ_Ｔ１との和として求める処理と、をコンピュータに実行させるためのデータ処理プログラムが提供される。
また、本発明のさらに他の一態様によれば、説明変数と、前記説明変数に対応して得られる目的変数の実測値とのデータセットを入力する入力装置と、前記説明変数の１次項で表される前記目的変数の第１の予測値Ｙ１をＴ法で求める処理と、前記第１の予測値Ｙ１と前記目的変数の実測値との差分ΔＹ１及び前記説明変数の２次項を計算し、前記説明変数の２次項で表される前記差分ΔＹ１の予測値ΔＹ_Ｔ１をＴ法で求める処理と、前記目的変数の第２の予測値Ｙ２を、前記第１の予測値Ｙ１と前記差分ΔＹ１の予測値ΔＹ_Ｔ１との和として求める処理と、を実行する処理装置と、を備えたことを特徴とするデータ処理装置が提供される。

本発明によれば、因子（説明変数）の２次効果や交互作用を考慮した精度の良い予測式が得られるデータ処理方法、データ処理プログラム、データ処理装置が提供される。

本発明の実施形態に係るデータ処理方法における主要ステップのフローチャート。 Ｔ法における線形式の比例定数βと線形式の精度を示すＳＮ比を説明するための模式図。 比較例１において重回帰分析法を用いて目的変数Ｙの予測を行った結果を示すグラフ。 比較例２においてＴ法を用いて目的変数Ｙの予測を行った結果を示すグラフ。 比較例３において非線形効果（説明変数の２次項）を考慮したＴ法を用いて目的変数Ｙの予測を行った結果を示すグラフ。 本発明の実施形態の方法を用いて目的変数Ｙの予測を行った結果を示すグラフ。 本発明の実施形態に係るデータ処理装置の構成を例示する模式図。

以下、図面を参照し、本発明の実施形態について説明する。

本実施形態に係るデータ処理方法は、説明変数と目的変数との既知のデータセットを基にして、未知の説明変数が与えられたときの目的変数を予測する式を求める処理を含む。

以下、比較例１〜３と比較しつつ本実施形態について説明する。ここでは、表１に例示するような目的変数Ｙと説明変数ａ〜ｄとのデータセットを考える。

目的変数Ｙは例えば半導体製造装置の特性値を表し、各説明変数ａ〜ｄはプロセス条件を表す。すなわち、表１における例えば１行目は、プロセス条件ａ、ｂ、ｃ、ｄとしてそれぞれ１５、１０、３、８０を与えた場合、特性値（実測値）Ｙ＝０が得られたということを表す。

この表１に示すデータセットを基に、比較例１〜３及び本実施形態のそれぞれの方法を使って目的変数Ｙの予測式を求めた。

［比較例１］
比較例１では重回帰分析法を用いてＹの予測を行い、その結果を図３に示す。

図３において、横軸はＹの実測値を表し、縦軸は本手法によるＹの予測値を表す。予測値は最小２乗法で得た線形重回帰式（以下の式（１））から求めたものである。
Ｙ＝０．１８１−０．００７８５ａ−０．００００９６ｂ＋０．０２４６ｃ−０．００００２１ｄ・・・・・（１）
図中の直線は、実測値と予測値との相関関係を示している（回帰直線）。

［比較例２］
比較例２ではＴ法を用いてＹの予測を行い、その結果を図４に示す。

図４において、横軸はＹの実測値を表し、縦軸はＴ法によるＹの予測値を表す。予測値は、Ｔ法で得た線形予測式（以下の式（２））から計算された。
ｙ＝Σ（βｉ／ηｉ）ｘｉ／Σηｉ（ｉ＝１〜ｎ）・・・・・（２）
表１における説明変数ａ〜ｄの場合、式（２）は、
Ｙ＝［（β１×ａ／η１）＋（β２×ｂ／η２）＋（β３×ｃ／η３）＋（β４×ｄ／η４）］／（η１＋η２＋η３＋η４）＋定数となる。
ここで、小文字で表されるｘｉ、ｙは、それぞれ、標準的なデータ（単位空間）における平均値Ｘｉ_０、Ｙ_０からの差Ｘｉ−Ｘｉ_０、Ｙ−Ｙ_０を示すものとする。従って、ｙからＹ、ｘｉからＸｉに変換したとき、ゼロ点比例式に定数項が加わる。

Ｔ法の特徴は、各説明変数Ｘｉ（ａ、ｂ、ｃ、ｄ）と目的変数Ｙとの関係をゼロ点比例式のＳＮ比（式（２）におけるηｉ）で重み付けしていることである。すなわち、図２に示すように、各Ｘｉごとに目的変数Ｙとの関係に対してゼロ点を通る直線（ｘｉ＝βｉ×ｙを設定し、この直線からのずれを数値化したものがＳＮ比ηｉである。

Ｔ法による計算手続きを要約すると以下の通りである（非特許文献１に詳述）。
１．変数変換により標準的なデータ（単位空間データ）の平均値（Ｙ_０、Ｘｉ_０）をゼロ点（座標原点）に平行移動させる。
２．ゼロ点比例式の計算法により項目毎に比例定数βｉを計算する（ｘｉ＝βｉｙ）。
３．比例式からのずれをＳＮ比（ηｉ）として計算する。
４．ＳＮ比で重み付けした推定式を求める。
ｙ＝Σ（βｉ／ηｉ）ｘｉ／Σηｉ
変数変換すると、
Ｙ−Ｙ_０＝Σ（βｉ／ηｉ）（Ｘｉ−Ｘｉ_０）／Σηｉ・・・・・（３）
以降添字０は標準データの平均値を表すものとする。

［比較例３］
比較例３では非線形効果（説明変数の２次項）を考慮したＴ法を用いてＹの予測を行い、その結果を図５に示す。
図５において、横軸はＹの実測値を表し、縦軸は本手法によるＹの予測値を表す。グラフ中の直線は、実測値と予測値の回帰直線を示している。
この比較例３は、説明変数の１次項、２次項の効果をすべて独立に評価、割り付ける手法である。

前述した各比較例の手法による予測精度の尺度として決定係数Ｒ^２を評価した。これは、元データの変動の何パーセントを与えられたモデル（予測式）で説明できたかを示す指標である。Ｒ^２は、説明変数によって説明できる平方和Ｓ_Ｒを、説明したい目的変数Ｙの全変動を表す全平方和Ｓ_Ｔで除した、Ｒ^２＝Ｓ_Ｒ／Ｓ_Ｔで表される。予測モデルとしては、できるだけ目的変数の変動を説明できることが望ましいので、全平方和Ｓ_Ｔに対する平方和Ｓ_Ｒの割合が大きくなるほどよく、一般にＲ^２が０．５以上であれば予測精度が高いと言える。

比較例１ではＲ^２＝０．２１０７、比較例２ではＲ^２＝０．１８９２、比較例３ではＲ^２＝０．１９８９との結果が得られ、いずれもＲ^２の値は０．５より小さく、比較例１〜３の予測式を用いてプロセス条件ａ〜ｄを検討するのは不適と言える。

［本発明実施形態］
図１は、本発明の実施形態に係るデータ処理方法における主要ステップのフローチャートを示す。

まず、表１に表されるデータセットに対して、比較例２と同様なＴ法を行って、目的変数の第１の予測値Ｙ１を求める（ステップＳ１）。Ｙ１は上記式（３）と同様に、
Ｙ１−Ｙ_０＝Σ（βｉ／ηｉ）（Ｘｉ−Ｘｉ_０）／Σηｉ（ｉ＝１〜ｎ）・・・・（４）となる。
この予測結果を表すグラフは図４と同じであるが、この段階では上記予測精度の尺度Ｒ^２は小さくてもよい。式（４）は、説明変数Ｘｉ（表１におけるａ、ｂ、ｃ、ｄ）の１次式である。

次に、上記ステップＳ１で得られた第１の予測値Ｙ１と、目的変数Ｙの実測値（表１に示される値）との差分（または残差）ΔＹ１を計算する（ステップＳ２）。さらに、説明変数の２次項ＸｉＸｊ（ｉ＝１〜ｎ、ｊ＝１〜ｎ）を計算し、本来説明変数の１次項に対する計算であるＴ法において、２次項ＸｉＹｊを１項目とみなして擬似的にＴ法解析を行い、上記差分ΔＹ１と説明変数の２次項ＸｉＹｊとの関係を求める（ステップＳ３）。

なお、表１のデータセットの場合、説明変数の２次項は、各ａ、ｂ、ｃ、ｄの２乗項ａ^２、ｂ^２、ｃ^２、ｄ^２、異なる変数どうしの積ａｂ、ａｃ、ａｄ、ｂｃ、ｂｄ、ｃｄに対応する。

すなわち、各２次項ＸｉＸｊごとに、差分ΔＹ１との関係に対してゼロ点を通る直線を設定し、この直線からのずれを数値化したＳＮ比ηｉｊ、および図２におけるβｉに対応する傾きβｉｊを求める。

そして、２次項ＸｉＹｊを１項目とみなして擬似的にＴ法解析を行い、上記差分ΔＹ１の予測値ΔＹ_Ｔ１を下記のように求める。
ΔＹ_Ｔ１−ΔＹ１_０＝ΣΣ（βｉｊ／ηｉｊ）（ＸｉＸｊ−（ＸｉＸｊ）_０）／ΣΣηｉｊ

次に、目的変数の第２の予測値Ｙ２を、前述までのステップで求めた第１の予測値Ｙ１と差分ΔＹ１の予測値ΔＹ_Ｔ１との和として求める（ステップＳ４）。すなわち、
Ｙ２＝Ｙ１＋ΔＹ_Ｔ１＝Σ（βｉ／ηｉ）Ｘｉ／Σηｉ＋ΣΣ（βｉｊ／ηｉｊ）ＸｉＸｊ／ΣΣηｉｊ＋定数・・・・・式（５）

このように、本実施形態によれば、Ｔ法において、説明変数の１次項Ｘｉと２次項ＸｉＸｊとを組み合わせることにより精度のよい予測値Ｙ２を得ることができる。

図６に、前述した本実施形態に係る方法を用いた予測結果を示す。
図６において、横軸は目的変数Ｙの実測値を表し、縦軸は本実施形態の方法で得られた目的変数の予測値Ｙ２を表す。グラフ中の直線は、本実施形態の方法で得た予測値と実測値の回帰直線である。

本実施形態によれば、予測精度の尺度であるＲ^２は、Ｒ^２＝０．５１５４となり、０．５より大きく、本実施形態による予測式は前述した比較例１〜３に比べ予測精度が高く信用性が高いものとなっている。

本実施形態で得られる式（５）において、予測値Ｙ２は説明変数の１次項Ｘｉだけでなく２次項ＸｉＸｊでも表現されているので、得られた予測式（５）は、説明変数の２次効果及び異なる２変数間の交互作用を考慮した精度の高いものとなっている。従来のＴ法（比較例２に相当）の適用では２次効果や交互作用の効果が大きく精度の高い予測が不可能な場合でも、本実施形態の方法によれば予測精度が向上する。

本実施形態の方法は、原理的にさらに高次の効果にまで拡張することができるため、２次項を使った予測で望む精度が得られない場合には、上記ステップＳ２〜Ｓ４と同様の計算を３次項まで拡張して行い、さらに予測精度を高めることができる。

すなわち、上記ステップＳ４の後、第２の予測値Ｙ２と、目的変数Ｙの実測値との差分ΔＹ２を計算する。さらに、説明変数の３次項ＸｉＸｊＸｋ（ｉ＝１〜ｎ、ｊ＝１〜ｎ、ｋ＝１〜ｎ）を計算し、３次項ＸｉＸｊＸｋを１項目とみなして擬似的にＴ法解析を行い、上記差分ΔＹ２と説明変数の３次項ＸｉＸｊＸｋとの関係を求める。

すなわち、各３次項ＸｉＸｊＸｋごとに、差分ΔＹ２との関係に対してゼロ点を通る直線を設定し（標準データの平均値が０になるように変数変換する）、この直線からのずれを数値化したＳＮ比ηｉｊｋおよび傾きβｉｊｋを求める。

そして、３次項ＸｉＸｊＸｋを１項目とみなして擬似的にＴ法解析を行い、上記差分ΔＹ２の予測値ΔＹ_Ｔ２を下記のように求める。
ΔＹ_Ｔ２−ΔＹ２_０＝ΣΣΣ（βｉｊｋ／ηｉｊｋ）（ＸｉＸｊＸｋ−（ＸｉＸｊＸｋ）_０）／ΣΣΣηｉｊｋ

次に、目的変数の第３の予測値Ｙ３を、第２の予測値Ｙ２と差分ΔＹ２の予測値ΔＹ_Ｔ２との和として求める。すなわち、
Ｙ３＝Ｙ２＋ΔＹ_Ｔ２＝Σ（βｉ／ηｉ）Ｘｉ／Σηｉ＋ΣΣ（βｉｊ／ηｉｊ）ＸｉＸｊ／ΣΣηｉｊ＋ΣΣΣ（βｉｊｋ／ηｉｊｋ）ＸｉＸｊＸｋ／ΣΣΣηｉｊｋ＋定数

４次以上の高次項への拡張も上記ステップと同様な計算を繰り返すことで可能であり、原理的に次数の上限はない。
すなわち、目的変数の第ｎ＋１（ｎは自然数）の予測値Ｙ（ｎ＋１）と目的変数の実測値との差分ΔＹ（ｎ＋１）及び説明変数の（ｎ＋２）次項を計算し、説明変数の（ｎ＋２）次項で表される差分ΔＹ（ｎ＋１）の予測値ΔＹ_Ｔｎ＋１をＴ法で求めるステップと、目的変数の第ｎ＋２の予測値Ｙ（ｎ＋２）を、予測値Ｙ（ｎ＋１）と予測値ΔＹ_Ｔｎ＋１との和として求めるステップとを必要回数だけ繰り返す。
本実施形態では、説明変数の低次の効果を優先して解析し、実測値との残差に対して高次の効果を推定する。予測式に高次項が追加されるほど予測精度は向上する。

なお、比較例１で説明したような重回帰分析法で上記と同様の高次項を追加して計算するには次数の増加に伴って計算に必要とするデータセット数は幾何級数的に増大（各項目の係数を計算するために必要な連立方程式の数が急増）し、実用的ではない。

これに対して、本実施形態の方法では、最初に与えられたデータセット（例えば表１に示されるようなデータセット）のみを用いて、高次項の効果を考慮した計算ができる。

また、本実施形態の方法は、複数の目的変数Ｙ１、Ｙ２、・・・Ｙｑについても各Ｙｉ（ｉ＝１〜ｑ）とＸ１、・・・Ｘｎの関係を独立に求めることができるので、同様の高次項を含む予測式を作ることができる。

以上説明した本実施形態によれば、ある時点で得られたデータセットを用いて、期待される特性値（目的変数）Ｙの予測ができるので、本発明を例えば半導体製造装置に適用することで、工程の異常診断、管理スペックの変更、歩留まり予測などをオンラインで行うことができる。

もちろん、本発明は、半導体製造装置に限らず、一般的な製造装置への適用、さらにはその他あらゆる分野における多変量解析に適用可能である。すなわち、本発明は、未知の条件（説明変数）が与えられたときの特性値（目的変数）を、説明変数間の交互作用を考慮して精度良く予測することができる。

図７は、本発明の実施形態に係るデータ処理装置１０の構成を例示する模式図である。本実施形態に係るデータ処理装置１０は、入力装置１１と処理装置１２と出力装置１３と記憶装置１４を備える。

入力装置１１は、例えばキーボード、タッチパネルなどであり、表１に例示されるようなデータセットなどの各種入力データの入力処理を行う。処理装置１２は、入力装置１１を介して入力されたデータセットを基に、前述したステップＳ１〜Ｓ４を含む本実施形態に係るデータ処理を実行する。この一連の処理は、本実施形態に係るデータ処理プログラムを処理装置１２が読み込みそのプログラムの命令のもと実行される。

処理の結果得られた処理結果データは記憶装置１４に格納される。また、上記データ処理プログラムも記憶装置１４に格納される。入力内容や処理結果は、出力装置（ディスプレイ、プリンター等）１３に出力可能となっている。

１０…データ処理装置、１１…入力装置、１２…処理装置、１３…出力装置、１４…記憶装置

Claims (5)

1. 説明変数の１次項で表される目的変数の第１の予測値Ｙ１をＴ法で求めるステップと、
   前記第１の予測値Ｙ１と前記目的変数の実測値との差分ΔＹ１及び前記説明変数の２次項を計算し、前記説明変数の２次項で表される前記差分ΔＹ１の予測値ΔＹ_Ｔ１をＴ法で求めるステップと、
   前記目的変数の第２の予測値Ｙ２を、前記第１の予測値Ｙ１と前記差分ΔＹ１の予測値ΔＹ_Ｔ１との和として求めるステップと、
   を備えたことを特徴とするデータ処理方法。
2. 前記目的変数の前記第ｎ＋１（ｎは自然数）の予測値Ｙ（ｎ＋１）と前記目的変数の実測値との差分ΔＹ（ｎ＋１）及び前記説明変数の（ｎ＋２）次項を計算し、前記説明変数の（ｎ＋２）次項で表される前記差分ΔＹ（ｎ＋１）の予測値ΔＹ_Ｔｎ＋１をＴ法で求めるステップと、
   前記目的変数の第ｎ＋２の予測値Ｙ（ｎ＋２）を、前記予測値Ｙ（ｎ＋１）と前記予測値ΔＹ_Ｔｎ＋１との和として求めるステップと、
   を少なくとも１回以上繰り返すことを特徴とする請求項１記載のデータ処理方法。
3. 請求項１または２に記載のデータ処理方法を、複数の前記目的変数に適用することを特徴とするデータ処理方法。
4. 説明変数の１次項で表される目的変数の第１の予測値Ｙ１をＴ法で求める処理と、
   前記第１の予測値Ｙ１と前記目的変数の実測値との差分ΔＹ１及び前記説明変数の２次項を計算し、前記説明変数の２次項で表される前記差分ΔＹ１の予測値ΔＹ_Ｔ１をＴ法で求める処理と、
   前記目的変数の第２の予測値Ｙ２を、前記第１の予測値Ｙ１と前記差分ΔＹ１の予測値ΔＹ_Ｔ１との和として求める処理と、
   をコンピュータに実行させるためのデータ処理プログラム。
5. 説明変数と、前記説明変数に対応して得られる目的変数の実測値とのデータセットを入力する入力装置と、
   前記説明変数の１次項で表される前記目的変数の第１の予測値Ｙ１をＴ法で求める処理と、前記第１の予測値Ｙ１と前記目的変数の実測値との差分ΔＹ１及び前記説明変数の２次項を計算し、前記説明変数の２次項で表される前記差分ΔＹ１の予測値ΔＹ_Ｔ１をＴ法で求める処理と、前記目的変数の第２の予測値Ｙ２を、前記第１の予測値Ｙ１と前記差分ΔＹ１の予測値ΔＹ_Ｔ１との和として求める処理と、を実行する処理装置と、
   を備えたことを特徴とするデータ処理装置。

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