JP5252189B2 - 多層構造物 - Google Patents

Description

本発明は、鉛直下向きに凸の円弧軌道を描くように、水平面に対して斜め方向に運動するアイソレータを備える多層構造物に関する。

建築構造物の免震手法として、水平方向にせん断変形する積層ゴムを用いる手法があるが、高層ビルでは、水平方向のせん断より曲げが卓越することや、建物に転倒モーメントが作用した際に積層ゴムに大きな引張力が作用して積層ゴムが破断するおそれがあるため、積層ゴムを利用した免震手法を高層ビルに適用することは難しい。そこで、特許文献１では、高層ビルの最下部に、水平面に対して斜めに積層ゴムを設置し、積層ゴムを鉛直下向きに凸な円弧軌道に沿って運動させる免震手法が提案されている。この免震手法は、固有周期を長周期化する際に生じる免震部位の過大変位を抑制するために用いられており、免震性能とのトレードオフがあるため、免震部位の変位が比較的小さな低層建物に効果的である。

一方、建物にダンパーを設置して建物の揺れを低減しようとする制振手法がある。鉛などの金属を用いた履歴ダンパーや粘弾性体を利用した粘弾性ダンパーなどが多用され、局所的な変形抑制に効果的であるが、これらのダンパーは建物全体の共振特性を大きく変えることが無く、建物の揺れを低減させる際の補助的なものである。そこで、特許文献２では、建物上部と下部とを分断して、その間に積層ゴムを介装する中間免震手法が提案されている。中間免震手法は、建物の周期が、節の無い１次モードではなく、中間免震層を節とする２次モードで振動するように設計するものであり、２次モードが１次モードに比べて振幅が小さいことを利用している。
特開平１０−６８２４７号公報 特公平６−６０５３８号公報

しかしながら、上記特許文献１に記載された免震手法を高層建物に適用し、十分な免震効果を得ようとした場合、建物の根元に設置した積層ゴムの変形が過大になるという問題がある。特に、上記特許文献１に記載された免震手法では、水平面に対して斜めに設置した積層ゴムが、その上の構造体の重量によって、中央部付近で大きくはらんで破断するおそれがある。

また、上記特許文献２に記載された制振手法では、単に建物の固有周期を長周期側にシフトしたに過ぎず、複数の周期成分が混在する振動に対して２次モードが卓越する構造となっていないため、逆に長周期地震動の影響が顕著に現れる可能性がある。また、強風に対しても有効とされているが、強風による振動では卓越モードが顕著に現れるため、地震動で意図したような２次モードでは振動せず１次モードでの振動となり、逆に応答を増大させるおそれがある。

そこで、本発明者は、特願２００６−１４０２６４において、斜め方向に運動するアイソレータが、鉛直下向きに凸の円弧軌道に沿って運動するように設置され、地震や風による振動が抑制される多層構造物において、前記アイソレータによる円弧軌道の円弧中心が当該アイソレータよりも上方にある上層構造物の重心位置に来るように、前記アイソレータの運動方向の傾斜角度を設定する手法を提案した。この手法によれば、上層構造物に水平方向の力が作用しても、重心回りの回転モーメントは発生しないので、建物は小振幅且つ高周波で振動する。

しかし、上記発明は、アイソレータの円弧垂直方向剛性に対して円弧方向剛性および重力の影響が非常に小さな場合には有効であるが、これらの影響は一般には無視し得ないと考えられる。

本発明は、上述する問題点に鑑みてなされたもので、鉛直下向きに凸の円弧軌道を描くように、水平面に対して斜めに設置されたアイソレータを備える多層構造物において、アイソレータの円弧垂直方向剛性に対して円弧方向剛性および重力の影響が無視し得ない場合の構造物の振動低減策を示すことを目的とする。

上記目的を達成するため、本発明は、鉛直下向きに凸の円弧軌道を描くように、水平面に対して斜め方向に運動する複数のアイソレータを備える多層構造物において、前記各アイソレータに作用する合力の方向が、当該アイソレータが支持する上層構造物の重心に向いていることを特徴としている。
ここで、アイソレータの合力とは、アイソレータに作用する円弧方向の力と円弧垂直方向の力との和のことである。
また、上層構造物とは、あるアイソレータが直接支持する階から最上階までの全ての階のことである。

本発明では、アイソレータに作用する合力の方向が、当該アイソレータが支持する上層構造物の重心に向いているので、重心回りの回転モーメントが発生しない。このため、上層構造物はロッキングせず、アイソレータに大きな引張力が作用することはない。

ここで、前記アイソレータに作用する合力の方向が、当該アイソレータが支持する上層構造物の重心に向くためには、次の（１）式の解θ_ｋを、水平面に対する前記アイソレータの傾斜角度とすればよい。

但し、Ｋ_ｈ：アイソレータの円弧方向剛性、Ｋ_ｖ：アイソレータの円弧垂直方向剛性、ｗ：上層構造物の重心を含む鉛直面に関して対称に配置された一対のアイソレータ間の水平距離、Ｌ_ｋ：最上階の天面からアイソレータまでの鉛直距離。

また、アイソレータの円弧垂直方向剛性に対して重力の影響を無視し得なく、多層構造物の各階に設置されるアイソレータが一対の場合には、各階の重力補償を考慮して、次の（３）式から（５）式を用いて求められる（２）式の解θ_ｋを、水平面に対する前記アイソレータの傾斜角度とすればよい。

但し、Ｋ_ｈ：アイソレータの円弧方向剛性、Ｋ_ｖ：アイソレータの円弧垂直方向剛性、ｗ：上層構造物の重心を含む鉛直面に関して対称に配置されたアイソレータ間の水平距離、ｇ：重力加速度、ｍ_ｋ：上層構造物の質量、Ｌ_Ｇｋ：上層構造物の重心とアイソレータの円弧中心との間の鉛直距離、Ｌ_Ｏｋ：アイソレータの円弧中心とアイソレータとの間の鉛直距離、Ｋ_ｇ：第１重力補償項、Ｋ_ｍ：第２重力補償項、ｋ階（ｋ＝１，…，ｎ）の質量Ｍ_ｋ、アイソレータの傾斜角度θ_ｋ、最上階の天面からアイソレータまでの鉛直距離Ｌ_ｋ。
なおここで言う、ｋ＝１，…，ｎとは、１階から最上階のｎ階までに対応するように、変数ｋに代入された値を１，２，３，…，ｎ−１，ｎと１ずつ増やしていくことを意味する。

また、アイソレータの円弧垂直方向剛性に対して重力の影響を無視し得なく、多層構造物の各階に設置されるアイソレータが複数対の場合には、各階の重力補償を考慮して、次の（７）式から（９）式を用いて求められる（６）式の解^ｉθ_ｋを、水平面に対する前記アイソレータの傾斜角度とすればよい。

但し、Ｋ_ｈ：アイソレータの円弧方向剛性、Ｋ_ｖ：アイソレータの円弧垂直方向剛性、ｇ：重力加速度、２Ｎ：各階のアイソレータの個数、上層構造物の重心を含む鉛直面に関して対称に配置されたｉ（ｉ＝１，…，Ｎ）番目のアイソレータのトルクの加重係数^ｉλ、アイソレータ間の水平距離^ｉｗ、第２重力補償項^ｉＫ_ｍ、ｋ階（ｋ＝１，…，ｎ）の質量Ｍ_ｋ、最上階の天面からアイソレータまでの鉛直距離Ｌ_ｋ、ｉ番目のアイソレータの傾斜角度^ｉθ_ｋ。
なおここで言う、ｉ＝１，…，Ｎとは、アイソレータの対の数Ｎに対応するように、変数ｉに代入された値を１，２，３，…，Ｎ−１，Ｎと１ずつ増やしていくことを意味する。

なお、前記（１）式は二つの解を有する場合があり、水平面に対するアイソレータの傾斜角度θ_ｋとして、値が小さいほうの解を用いた場合、多層構造物は、円弧方向の低剛性に依存する低周波で振動し、値が大きいほうの解を用いた場合、円弧垂直方向の高剛性に依存する高周波で振動する。また、前記（２）式及び（６）式はそれぞれ二つの解を有する場合があり、この場合に値が大きいほうの解を用いると、円弧垂直方向の高剛性に依存する高周波で振動する。
このように、各式に二つの解がある場合にアイソレータの傾斜角度θ_ｋとして、値が大きいほうの解を用いれば、構造物が小振幅且つ高周波で振動するため、長周期地震動や風振動に対しても強い構造物を実現することができる。

本発明では、鉛直下向きに凸の円弧軌道を描くように、水平面に対して斜めに設置されたアイソレータを備える多層構造物において、アイソレータに作用する合力の方向が、当該アイソレータが支持する上層構造物の重心に向くようにアイソレータの傾斜角度を設定するので、重心回りの回転モーメントが発生せず、上層構造物がロッキングすることはない。この際、高周波振動が卓越するように、水平面に対するアイソレータの傾斜角度を設定すれば、構造物は小振幅且つ高周波で振動するため、長周期地震動や風振動に対しても強い構造物を実現することができる。

（第１の実施形態）
本発明では、鉛直下向きに凸の円弧軌道を描くように、水平面に対して斜めに設置されて斜め方向に運動するアイソレータを複数備える多層構造物において、各アイソレータに作用する合力の方向が、当該アイソレータが支持する上層構造物の重心に向いているので、重心回りの回転モーメントが発生しない。このため、上層構造物に水平方向の力が作用しても、上層構造物はロッキングせず、アイソレータに大きな引張力が作用することはない。

アイソレータに作用する合力の方向が、当該アイソレータが支持する上層構造物の重心に向くようにするためには、水平面に対するアイソレータの傾斜角度θ_ｋの設定がポイントになる。

アイソレータ１の円弧中心２と、当該アイソレータ１が支持する上層構造物の重心３との位置関係を図１に示す。基準面上に配置される階４を１階とし、１階から数えてｋ番目の階４をｋ階と呼ぶこととし、この多層構造物５の最上階をｎ階とする。
なお、ここで言う階４とは、多層構造物５を構成する各層のことを意味する。また、上記の上層構造物とは、ｋ階からｎ階までの階４のことを意味する。
以下ではｋ階の構成について検討する。
図２に示すように、水平面に対して傾斜角度θ_ｋで設置されたアイソレータ１が水平方向にδ_ｋだけ変位した場合、円弧方向の変位成分はδ_ｋｃｏｓθ_ｋ、円弧垂直方向の変位成分はδ_ｋｓｉｎθ_ｋとなるので（図２（ａ）参照）、アイソレータ１の円弧方向の剛性をＫ_ｈ、円弧垂直方向の剛性をＫ_ｖとした場合、アイソレータ１が上層構造物に作用する円弧方向の力はＫ_ｈδ_ｋｃｏｓθ_ｋ、円弧垂直方向の力はＫ_ｖδ_ｋｓｉｎθ_ｋとなる（図２（ｂ）参照）。
因って、補正角度をβ_ｋとすると、鉛直面に対してアイソレータ１から上層構造物の重心３に向かう角度α_ｋは次のように表すことができる。

一方、上層構造物の重心３を含む鉛直面に関して対称に配置された一対のアイソレータ間の水平距離をｗ、最上階であるｎ階の天面からアイソレータまでの鉛直距離をＬ_ｋとすると、角度α_ｋは次のようにも表すことができる。

（１０）式と（１１）式よりα_ｋを消去すると、次式で示される傾斜角度θ_ｋの算出式が得られる。

ここで、重力の影響を考慮しない場合の値が大きいほうの傾斜角度θ_ｋを算出する工程を、各階に設置されるアイソレータが一対の場合について説明する。図３は、各階のアイソレータの傾斜角度θ_ｋを算出する工程を示すフローチャートであり、算出はイタレーション法により行う。

まず、ステップＳ１１において変数ｋに、多層構造物５全体の階数ｎの値を代入する。そして、変数ｋに代入された値が１以上であるという条件の真偽を判断する。この条件が真である場合（Ｔｒｕｅ）は、ステップＳ１２に移行する。なお、これ以降の工程でステップＳ１１を行う時は、変数ｋに代入された値から１を減じた上で変数ｋに代入された値が１以上であるという条件の真偽を判断することとなる。また、この条件が偽である場合（Ｆａｌｓｅ）は、全ての処理を終了する。
次に、ステップＳ１２において、（１１）式により角度α_ｋを求めステップＳ１３に移行する。

次に、ステップＳ１３において傾斜角度θ_ｋに９０（角度９０°のこと）を代入する。そして、傾斜角度θ_ｋに代入された値が０より大きいという条件の真偽を判断する。この条件が真である場合（Ｔｒｕｅ）は、ステップＳ１４に移行し、この条件が偽である場合（Ｆａｌｓｅ）は、異常であると判断して全ての処理を終了する。なお、ステップＳ１２からステップＳ１３に移行してきた時のみ傾斜角度θ_ｋに９０を代入し、ステップＳ１２以外の工程からステップＳ１３に移行してきた時は、傾斜角度θ_ｋに代入された値から変化量Δθを減じた上で傾斜角度θ_ｋに代入された値が０より大きいという条件の真偽を判断することとなる。
次に、ステップＳ１４において、傾斜角度θ_ｋに対して次式により得られる誤差ｅ_ｋを求め、ステップＳ１５に移行する。

次に、ステップＳ１５において、傾斜角度θ_ｋに代入された値が９０より小さいという条件の真偽を判断する。そして、この条件が真である場合（Ｔｒｕｅ）は、ステップＳ１６に移行する。
次に、ステップＳ１６において、２ステップ前のステップＳ１４で今回求めた誤差ｅ_ｋの値が先に求めた誤差ｅ_ｋの値（ステップＳ１４が既に２回以上行われた場合の、最後に行ったステップＳ１４の１回前に行ったステップＳ１４で求めた誤差ｅ_ｋの値）から符号が反転したという条件の真偽を判断する。すなわち、先に求めた誤差ｅ_ｋの値が正の数でありかつ今回求めた誤差ｅ_ｋの値が負の数である場合、又は先に求めた誤差ｅ_ｋの値が負の数でありかつ今回求めた誤差ｅ_ｋの値が正の数である場合に、誤差ｅ_ｋの符号が反転したと判断する。
この条件が真である場合（Ｔｒｕｅ）は、ステップＳ１７に移行する。なお、２ステップ前のステップＳ１４が初めて行われたステップＳ１４である場合、ステップＳ１６の条件が偽である場合（Ｆａｌｓｅ）、及び上記のステップＳ１５における条件が偽である場合（Ｆａｌｓｅ）、のいずれかの場合にはステップＳ１３に移行する。

次に、ステップＳ１７において、上記の工程で得られた傾斜角度θ_ｋをｋ階のアイソレータ１の取り付け角度とし、ステップＳ１１に移行する。
こうしてｎ階から１階までの各階のアイソレータ１の傾斜角度θ_ｋを求めた後、ステップＳ１１に移行し、変数ｋに代入された値から１を減ずると変数ｋに代入された値は０となる。この時、変数ｋに代入された値が１以上であるという条件の真偽を判断すると偽（Ｆａｌｓｅ）となり、全ての処理を終了する。

なお、値が小さいほうの傾斜角度θ_ｋを求める場合は、ステップＳ１７で値が大きいほうの傾斜角度θ_ｋを求めた後にステップＳ１１に移行しないで以下の工程で計算を行う。すなわち、傾斜角度θ_ｋに代入された値から変化量Δθを減じながら傾斜角度θ_ｋに代入された値が０より大きい間は上記のステップＳ１３からステップＳ１６まで（ステップＳ１６において誤差ｅ_ｋの符号が反転した場合はステップＳ１７まで）を繰り返し、誤差ｅ_ｋの符号が反転するような傾斜角度θ_ｋを求める。そして、傾斜角度θ_ｋが０以下になったときにステップＳ１１に移行すればよい。
また、アイソレータが複数対の場合、アイソレータの位置が左右対称でない場合、アイソレータの個数が左右均等でない場合にも、上記と同様の工程にてアイソレータの取り付け角度が算出可能である。

一般に、重力の影響が無視できて、重力の影響を考慮しない場合には（１２）式の解は２つ存在する。次に、この２つの解について一例を用いて説明する。
シミュレーションに用いた多層構造物５は、アスペクト比（＝建物高さ／建物幅）が５の１０層構造物であって、各階とも幅２０ｍ、高さ１０ｍとした。また、アイソレータ１は各層間の両端部に一対介装され、円弧方向剛性Ｋ_ｈ／円弧垂直方向剛性Ｋ_ｖ＝１／１０００とし、重力については、アイソレータ１の円弧垂直方向剛性に対して無視できるほど小さいと仮定し、重力の影響を考慮しなかった。

（１２）式の解を表１に、表１の値をアイソレータ１の傾斜角度θ_ｋとした際の多層構造物５の振動モードを図４に示す。本実施形態で求めた傾斜角度θ_ｋにアイソレータ１を設置すると重力の影響を受ける多層構造物５の振動を低減させることができる。特に、重力の影響を受けない無重力の環境で建てられた多層構造物５の振動をより効果的に低減させることができる。
また、多層構造物５の振動は、水平振動に円弧方向の振動が重畳された多節振動であって、アイソレータ１の傾斜角度θ_ｋとして、値が大きいほうの解を用いた場合、円弧垂直方向の高剛性に依存する高周波振動（縦剪断振動、図４（ａ）参照）となり、アイソレータ１の傾斜角度θ_ｋとして、値が小さいほうの解を用いた場合、円弧方向の低剛性に依存する低周波振動（横剪断振動、図４（ｂ）参照）となる。
従って、アイソレータ１の傾斜角度θ_ｋとして、値が大きいほうの解を用いれば、高周波振動が卓越し、構造物は小振幅且つ高周波で振動するため、長周期地震動や風振動に対しても強い構造物を実現することができる。

（第２の実施形態）
次に、アイソレータの円弧垂直方向剛性に対して重力の影響を考慮した場合について説明する。
重力による影響を表す重力補償には２種類あり、その第１の重力補償として、多層構造物の各階が重力を受けることにより変化する円弧方向振動を補償するものがある。また、第２の重力補償として、多層構造物の各階の重心の位置が水平方向に移動することにより生じる回転トルクの影響を補償するものがある。
以下では、まず第１の重力補償の方法について説明する。

図５（ａ）に示すように、多層構造物５を円弧中心２回りの重力振子に置換し、上層構造物（ｋ階から最上階のｎ階まで）の質量をｍ_ｋ、円弧中心２回りの上層構造物の慣性モーメントをＩ_Ｏｋ、上層構造物の重心３と円弧中心２との間の鉛直距離をＬ_Ｇｋ、重力加速度をｇとすると、重力振子の周期Ｔ_ｋは次式のように表せる。

一方、図５（ｂ）に示すように、上記重力振子と同周期の無重力下での円弧方向剛性による振子の周期Ｔ_ｋは、円弧方向剛性をＫ_ｇ、アイソレータ１の個数を２Ｎ、上層構造物の重心３を含む鉛直面に関して対称に配置された外側からｉ（ｉ＝１，…，Ｎ）番目の一対のアイソレータ１間の水平距離を^ｉｗ、アイソレータ１の円弧中心２とアイソレータ１との間の鉛直距離をＬ_Ｏｋとすると、次式のように表すことができる。

（１４）式と（１５）式より、第１重力補償項Ｋ_ｇは次式のようになる。

ただし、多層構造物５の各階に設置されるアイソレータ１が複数対の場合には、複数対の円弧中心２がすべて一致する場合にのみ影響が生じるものであり、一般にはアイソレータ１が複数対の場合には第１の重力補償は考慮する必要は無い。アイソレータ１が一対の場合には（１６）式は次式のようになる。

次に、第２の重力補償の方法について説明する。この第２の重力補償は、前述したように多層構造物５の各階４の重心の位置が水平方向に移動することにより生じるトルクの影響を補償したものであり、回転トルクによりアイソレータ１に荷重が作用する。
図６に１つの階４の重心の位置が水平方向に移動した場合のアイソレータ１に作用する荷重の影響を、アイソレータ１が一対の場合を図６（ａ）に、アイソレータ１が複数対の場合を図６（ｂ）に示す。なお、各階４における一対又は複数対のアイソレータ１は上層構造物の重心を含む鉛直面に関して対称に配置されているとする。
ここで、水平方向の重心の変位をδ、１つの階４の質量をＭ、重力加速度をｇとする。

図６（ａ）に示す、各階４に設置されたアイソレータ１が一対の場合で、一対のアイソレータ１間の水平距離をｗとする。階４が水平方向に変位することにより階４が発生するトルクはＭｇδであり、階４は変位した方向側のアイソレータ１に鉛直方向下向きにＭｇδ／ｗの荷重Ｐを、変位した方向とは反対側のアイソレータ１に鉛直方向上向きにＭｇδ／ｗの荷重Ｐを作用させる。また、一対のアイソレータ１はこの荷重Ｐを受けるためにこの荷重Ｐと等しい力を発生させる。

一方、図６（ｂ）に示す、各階４に設置されたアイソレータ１が複数対の場合で、外側からｉ（ｉ＝１，…，Ｎ）番目のアイソレータ１の水平距離を^ｉｗとする。なおここで言う、ｉ＝１，…，Ｎとは、アイソレータの対の数Ｎに対応するように、変数ｉに代入された値を１，２，３，…，Ｎ−１，Ｎと１ずつ増やしていくことを意味する。
この場合は、階４の片側に設置されたＮ個のアイソレータのトルクの和が、階４が水平方向に変位することにより階４が発生するトルクＭｇδに等しい。そして、片側に設置されたＮ個のアイソレータ１に作用する各トルクは階４の重心からの距離の２乗に比例する。言い換えれば、階４の片側に設置されたＮ個のアイソレータ１に作用する各荷重は距離に比例する。ここで、ｉ番目のアイソレータ１に作用する荷重に対する加重係数^ｉλを次式のように定義する。

このとき、各アイソレータ１に作用する荷重^ｉＰは次のように表すことができる。

次に、第２の重力補償の方法について、各階に設置されたアイソレータが一対の場合を説明する。
図７は、水平方向の外力が各階４に加えられた多層構造物５の状態を示す説明図である。なお、アイソレータ１をそれぞれ区別して説明する場合には便宜的に、ｋ階（ｋ＝１，…，ｎ）の下部を支持するアイソレータ１を第ｋアイソレータ１のように記載する。
なおここで言う、ｋ＝１，…，ｎとは、１階から最上階のｎ階までに対応するように、変数ｋに代入された値を１，２，３，…，ｎ−１，ｎと１ずつ増やしていくことを意味する。
図７において、アイソレータ１の円弧方向の剛性をＫ_ｈ、円弧垂直方向の剛性をＫ_ｖ、ｋ階の重心に水平方向に加わる外力をＦ_ｋ、（ｋ−１）階とｋ階間の水平方向の変位をδ_ｋ、ｋ階の質量をＭ_ｋ、各階のアイソレータ１の水平距離は均一としてｗ、重力加速度をｇ、一対の第ｋアイソレータ１の水平面に対する傾斜角度（取り付け角度）をθ_ｋ、変位により第ｋアイソレータ１に作用する荷重をＰ_ｋ、最上階のｎ階の天面から第ｋアイソレータ１までの鉛直距離をＬ_ｋとする。
このとき、地面に対するｋ階の重心の水平方向の変位Δ_ｋは、次式のようになる。

第ｋアイソレータ１に作用する荷重Ｐ_ｋは、ｋ階からｎ階までの変位の影響が累積される。従って、ｋ階の荷重Ｐ_ｋは次式のようになる。

ここで、前述したことと同様に、ｋ階及び第ｋアイソレータに作用する力について検討する。
図８（ａ）に示すように、水平面に対する傾斜角度θ_ｋで設置された第ｋアイソレータ１が水平方向にδ_ｋだけ変位した場合、円弧方向の変位成分はδ_ｋｃｏｓθ_ｋ、円弧垂直方向の変位成分はδ_ｋｓｉｎθ_ｋとなる。また、図８（ｂ）に示すように、第ｋアイソレータ１に作用する荷重Ｐ_ｋは、円弧方向の荷重成分がＰ_ｋｓｉｎθ_ｋ、円弧垂直方向の荷重成分がＰ_ｋｃｏｓθ_ｋとなる。
因って８（ｃ）に示すように、鉛直面に対して第ｋアイソレータ１から上層構造物の重心３に向かう角度α_ｋ、合力の円弧方向成分をｆ_ｋｈ、合力の円弧垂直方向成分をｆ_ｋｖとすると、次式のようになる。なお、Ｋ_ｇは（１７）式より求められる１重力補償項である。

ｋ階に設置された一対の第ｋアイソレータ１のそれぞれに作用する合力の円弧方向成分ｆ_ｋｈ及び合力の円弧垂直方向成分をｆ_ｋｖの水平方向成分の和は、ｋ階から最上階であるｎ階までに作用する外力の合計に等しいので、次式が成り立つ。

ここで、外力Ｆ_ｋは全て等しい値をとるとして外力Ｆとする。また、変位の比ｈ_ｊｋを次式のように定義する。

ただし、ｈ_ｋｋは１となる。ｈ_ｊｋを用いて（２２）式及び（２３）式を書き直すと次式のようになる。

ただし、Ｋ_ｍは第２重力補償項である。以上より、図８におけるｋ階の補正角度β_ｋを次式のように求めることができる。

こうして、（２４）式及び（３０）式により、次式で示される傾斜角度θ_ｋの算出式が得られる。

ここで、重力の影響を考慮する場合の傾斜角度θ_ｋを算出する工程を、各階に設置されるアイソレータが一対の場合について説明する。
図９から図１１は、傾斜角度θ_ｋを算出する工程を示すフローチャートである。
なお、ステップＳ１１からステップＳ１３までの算出工程は、上述した重力の影響を考慮しない場合の工程と同一なので説明を省略する。

ステップＳ１３に続いて行われるステップＳ２１において図１０に示すＫ_ｇ計算関数を行い第１重力補償項Ｋ_ｇの値を求め、ステップＳ２２に移行する。
次に、ステップＳ２２において、図１１に示すＫ_ｍ計算関数を行い第２重力補償項Ｋ_ｍを求める。

Ｋ_ｍ計算関数のサブルーチンは、まず、ステップＳ４１において、変数ｋに代入された値より変数ｎに代入された値（多層構造物５全体の階数）が大きいという条件の真偽を判断する。この条件が真である場合（Ｔｒｕｅ）はステップＳ４２に移行する。
また、ステップＳ４１において、変数ｋに代入された値より変数ｎに代入された値が大きいという条件が偽である場合（Ｆａｌｓｅ）は、ステップＳ４５において次式により第２重力補償項Ｋ_ｍの値を求め、サブルーチンを終了して図９に示すステップＳ２３に移行する。

ステップＳ４１における条件が真である場合（Ｔｒｕｅ）に行われるステップＳ４２では、次式による値を求めステップＳ４３に移行する。

次に、ステップＳ４３において、後述するステップＳ２４で計算しメモリに記憶された次式による値（変数ｊには、（ｋ＋１）からｎまで１ずつ増える値が代入される）を用いて、（２６）式による変位の比ｈ_ｊｋをそれぞれ求め、ステップＳ４４に移行する。

次に、ステップＳ４４において、（２９）式により第２重力補償項Ｋ_ｍの値を求め、サブルーチンを終了して図９に示すステップＳ２３に移行する。

次に、ステップＳ２３おいて、傾斜角度θ_ｋに対して次式により得られる誤差ｅ_ｋを求め、ステップＳ１５に移行する。

続いて行われるステップＳ１５以降の算出工程は、上述した重力の影響を考慮しない場合の工程と同一なので説明を省略する。
なお、ステップＳ１７の後のステップＳ２４で、ステップＳ１７で求められた傾斜角度θ_ｋによる（３３）式の値をメモリに記憶しておく。

ここで、上記の重力の影響を考慮しない場合と同じ条件を用いて、重力の影響を考慮した場合のアイソレータ１の傾斜角度θ_ｋをシミュレーションで求めた結果を表２示す。具体的な条件は、多層構造物は、アスペクト比（＝建物高さ／建物幅）が５の１０層構造物であって、各階とも幅２０ｍ、高さ１０ｍとした。また、アイソレータ１は各層間の両端部に一対介装され、各階４の質量は（鉄の０．０２倍の比重として）６．２８×１０^５（ｋｇ）、重力加速度は９．８０６６（ｍ／ｓ^２）とした。また、円弧方向剛性は３．５×１０^６（Ｎ／ｍ）、円弧垂直方向剛性は３．５×１０^９（Ｎ／ｍ）で、円弧方向剛性Ｋ_ｈ／円弧垂直方向剛性Ｋ_ｖ＝１／１０００とした。
（３１）式の解を表２に示す。なお、表２中には、表１で示した重力の影響を考慮しない場合の大きいほうの傾斜角度θ_ｋも併せて載せている。

なお、参考までに第１の重力補償と第２の重力補償の効果を比較するため、第１の重力補償で用いられる第１重力補償項Ｋ_ｇ、及び第２の重力補償で用いられる第２重力補償項Ｋ_ｍをそれぞれアイソレータの円弧方向剛性Ｋ_ｈで除した値を表３に示す。この結果から、第２の重力補償による重心移動の影響は非常に大きく、特に下方の階ではアイソレータの円弧方向剛性より大きな影響を及ぼすことが解る。一方、第１の重力補償による円弧方向振動の影響は非常に小さく、場合によっては無視しても差し支えないとも考えられる。

（第３の実施形態）
次に、アイソレータの円弧垂直方向剛性に対して重力の影響を考慮した場合で、第２の重力補償の方法について各階に設置されたアイソレータが複数対の場合を説明する。なお、アイソレータの設置数以外は上記の第２実施形態と同一なので、重複する説明については省略する。
また上述したように、アイソレータが複数対の場合には第１の重力補償は考慮する必要は無い。
この場合、図６（ｂ）に示すように各階において、片側にＮ個ずつ合計２Ｎ個のアイソレータ１が、上層構造物の重心を含む鉛直面に関して対称に配置されている。ここで、対をなすアイソレータ１を、外側から順に１番目、２番目、…、Ｎ番目と呼ぶことにする。

ｋ階において、ｉ番目（ｉ＝１，…，Ｎ）のアイソレータ１に作用する荷重^ｉＰ_ｋは、（１８）式、（１９）式及び（２１）式により次式のようになる。

これ以降は、第２実施形態と同様の算出手順となる。
ｋ階において、鉛直面に対してｉ番目のアイソレータ１から上層構造物の重心３に向かう角度を^ｉα_ｋ、ｉ番目のアイソレータ１の傾斜角度を^ｉθ_ｋ、角度^ｉα_ｋから傾斜角度^ｉθ_ｋを減じた値である補正角度を^ｉβ_ｋとする。また、円弧方向の剛性をＫ_ｈ、円弧垂直方向の剛性をＫ_ｖはアイソレータ１によらず一定とする。
これにより、ｉ番目のアイソレータ１に作用する合力の円弧方向成分を^ｉｆ_ｋｈ、合力の円弧垂直方向成分を^ｉｆ_ｋｖとすると、次式のようになる。

各階が剛体だと仮定すると、各アイソレータ１の水平方向の変位は等しくなる。また、ｋ階に設置された２Ｎ個のアイソレータ１のそれぞれに作用する合力の円弧方向成分^ｉｆ_ｋｈ及び合力の円弧垂直方向成分を^ｉｆ_ｋｖの水平方向成分の和は、ｋ階から最上階であるｎ階までに作用する外力の合計に等しいので、次式が成り立つ。

ここで、外力Ｆ_ｋは全て等しい値をとるとして外力Ｆとする。また、変位の比ｈ_ｊｋを次式のように定義する。

ただし、ｈ_ｋｋは１となる。ｈ_ｊｋを用いて（３７）式及び（３８）式を書き直すと次式のようになる。

ただし、^ｉＫ_ｍは第２重力補償項である。上述のように第２重力補償項は、多層構造物の各階の重心の位置が水平方向に移動することにより生じる回転トルクの影響を補償する項である。しかし、各階に一対のアイソレータが設置されている場合は第２重力補償項は（２９）式で表され、各階に複数対のアイソレータが設置されている場合は第２重力補償項は（４４）式で表される。また、別の言い方をすれば、各階に複数対のアイソレータが設置されている（４４）式で表される場合が一般的な式であり、アイソレータが一対の場合（ｉが１の値しか取らない場合）が特殊な式である。
以上より、ｋ階におけるｉ番目のアイソレータ１の補正角度^ｉβ_ｋを次式のように求めることができる。

そして、（３９）式及び（４５）式により、次式で示される傾斜角度^ｉθ_ｋの算出式が得られる。

ここで、重力の影響を考慮する場合の傾斜角度^ｉθ_ｋを算出する工程を、アイソレータが２対の場合について説明する。この場合、アイソレータの対の数であるＮは２となる。
図１２から図１４は、傾斜角度^ｉθ_ｋを算出する工程を示すフローチャートである。

まず、ステップＳ５１において、（１８）式におけるＮ＝２の場合の次式により加重係数^ｉλを求め、ステップＳ５２に移行する。

次に、ステップＳ５２において変数ｋに、多層構造物５全体の階数ｎの値を代入する。そして、変数ｋに代入された値が１以上であるという条件の真偽を判断する。この条件が真である場合（Ｔｒｕｅ）は、ステップＳ５３に移行する。なお、これ以降の工程でステップＳ５２を行う時は、変数ｋに代入された値から１を減じた上で変数ｋに代入された値が１以上であるという条件の真偽を判断することとなる。また、この条件が偽である場合（Ｆａｌｓｅ）は、全ての処理を終了する。

次に、ステップＳ５３において、（３９）式におけるｉ＝１、２の場合に相当する次式により角度^１α_ｋ、^２α_ｋを求めステップＳ５４に移行する。

次に、ステップＳ５４において、外側から１番目、２番目のアイソレータ１の傾斜角度^ｉθ_ｋ及び^２θ_ｋに９０（角度９０°のこと）を代入し、ステップＳ５５に移行する。
次に、ステップＳ５５において、図１３に示す、傾斜角度^１θ_ｋ、^２θ_ｋに代入された値に対するアイソレータの後述する式による誤差^１ｅ_ｋ、^２ｅ_ｋをそれぞれ求める^ｉｅ_ｋ計算関数を行う。
この^ｉｅ_ｋ計算関数のサブルーチンの概要を説明すると、まず、ステップＳ７１において後工程をアイソレータの対の数である２回繰り返すように設定する。次に、ステップＳ７２において、図１４に示す^ｉＫ_ｍ計算関数を行い、各アイソレータに対応する第２重力補償項^１Ｋ_ｍ、^２Ｋ_ｍを求める。そして、ステップＳ７３において、以下の式により誤差^１ｅ_ｋ、^２ｅ_ｋを求め、図１２のステップＳ５６に移行する。

次に、ステップＳ５６において、外側に配置された１番目のアイソレータ１の傾斜角度^１θ_ｋに（９０−Δ^１θ_ｋ）の値を代入してから、傾斜角度^１θ_ｋに代入された値が０より大きいという条件の真偽を判断する。この条件が真である場合（Ｔｒｕｅ）は、ステップＳ５７に移行し、この条件が偽である場合（Ｆａｌｓｅ）は、異常であると判断して全ての処理を終了する。
なお、ステップＳ５５からステップＳ５６に移行してきた時のみ傾斜角度^１θ_ｋに（９０−Δ^１θ_ｋ）の値を代入し、後述するステップＳ６０からステップＳ５６に移行してきた時は、傾斜角度^１θ_ｋに代入された値から変化量Δ^１θを減じた上で傾斜角度^１θ_ｋに代入された値が０より大きいという条件の真偽を判断することとなる。

次に、ステップＳ５７において、内側に配置された２番目のアイソレータ１の傾斜角度^２θ_ｋに（９０−Δ^２θ_ｋ）の値を代入してから、傾斜角度^２θ_ｋに代入された値が０より大きいという条件の真偽を判断する。この条件が真である場合（Ｔｒｕｅ）は、ステップＳ５８に移行し、この条件が偽である場合（Ｆａｌｓｅ）は、異常であると判断して全ての処理を終了する。
なお、ステップＳ５６からステップＳ５７に移行してきた時のみ傾斜角度^２θ_ｋに（９０−Δ^２θ_ｋ）の値を代入し、後述するステップＳ５９からステップＳ５７に移行してきた時は、傾斜角度^２θ_ｋに代入された値から変化量Δ^２θを減じた上で傾斜角度^２θ_ｋに代入された値が０より大きいという条件の真偽を判断することとなる。

次に、ステップＳ５８において、上述したように傾斜角度^１θ_ｋ、^２θ_ｋに代入された各値に対する各アイソレータの誤差^１ｅ_ｋ、^２ｅ_ｋを求める^ｉｅ_ｋ計算関数を行い、ステップＳ５９に移行する。

次に、ステップＳ５９において、直前のステップＳ５８で求めた誤差^２ｅ_ｋの値が先に求めた誤差^２ｅ_ｋの値（直前のステップＳ５８が初めて行われたステップＳ５８である場合にはステップＳ５５で求めた誤差^２ｅ_ｋの値、これ以外の場合は最後に行ったステップＳ５８の１回前に行ったステップＳ５８で求めた誤差^２ｅ_ｋの値）から符号が反転したという条件の真偽を判断する。この条件が真である場合（Ｔｒｕｅ）は、ステップＳ６０に移行し、この条件が偽である場合（Ｆａｌｓｅ）は、ステップＳ５７に移行する。
次に、ステップＳ６０において、２ステップ前のステップＳ５８で求めた誤差^１ｅ_ｋの値が先に求めた誤差^１ｅ_ｋの値（２ステップ前のステップＳ５８が初めて行われたステップＳ５８である場合にはステップＳ５５で求めた誤差^１ｅ_ｋの値、これ以外の場合は最後に行ったステップＳ５８の１回前に行ったステップＳ５８で求めた誤差^１ｅ_ｋの値）から符号が反転したという条件の真偽を判断する。この条件が真である場合（Ｔｒｕｅ）は、ステップＳ６１に移行し、この条件が偽である場合（Ｆａｌｓｅ）は、ステップＳ５６に移行する。

次に、ステップＳ６１において、上記の工程で得られた誤差^１ｅ_ｋ及び^２ｅ_ｋの符号を反転させる傾斜角度^１θ_ｋ及び^２θ_ｋをｋ階の１番目及び２番目のアイソレータ１のそれぞれの傾斜角度とし、ステップＳ６２に移行する。
次に、ステップＳ６２において、上記のステップＳ６１で得られた傾斜角度^１θ_ｋ及び^２θ_ｋによる次式の値をメモリに記憶し、ステップＳ５２に移行する。

ここで、重力の影響を考慮し、各階にアイソレータ１が２対配置されている場合のアイソレータ１の傾斜角度θ_ｋをシミュレーションで求めた結果を表４示す。具体的な条件は、多層構造物は、アスペクト比（＝建物高さ／建物幅）が５の１０層構造物であって、各階とも幅２０ｍ、高さ１０ｍとした。また、アイソレータ１は各層間の両端部に一対介装され、各階４の質量は（鉄の０．０２倍の比重として）６．２８×１０^５（ｋｇ）、重力加速度は９．８０６６（ｍ／ｓ^２）とした。各階４の下部を支持するアイソレータ１は上層構造物の重心を含む鉛直面に関して対称に配置され、１番目のアイソレータ１間の水平距離^１ｗが２０（ｍ）、２番目のアイソレータ１間の水平距離^２ｗが１０（ｍ）とした。そして、円弧方向剛性は３．５×１０^６（Ｎ／ｍ）、円弧垂直方向剛性は３．５×１０^９（Ｎ／ｍ）で、円弧方向剛性Ｋ_ｈ／円弧垂直方向剛性Ｋ_ｖ＝１／１０００とした。
なお、表４中には、重力の影響を考慮しない場合の計算結果も併せて載せている。

以下、本発明に係る多層構造物の効果について列記する。
（１）アイソレータの傾斜角度として解が二つある場合に値が大きいほうの解を用いると、高次モードが卓越しその卓越周期は通常の剛構造のビルより短周期である。従って、長周期地震動で懸念される帯域に卓越周期があるため長周期地震動に弱いとされる中間免震などに比べて、本発明に係る多層構造物は長周期地震動にも強い。
（２）一般に卓越モードで振動する風振動に対しても多節振動による小振幅振動となるため、風振動にも強い。
（３）重力の影響を考慮しない場合において求めたアイソレータの傾斜角度に設置すると、重力の影響を受ける多層構造物の振動を低減させることができる。特に、重力の影響を受けない無重力の環境で建てられた多層構造物の振動をより効果的に低減させることができる。
（４）重力の影響を第１の重力補償及び第２の重力補償の２種類に分け、重力の影響を受ける多層構造物の振動を効果的に低減させるアイソレータの傾斜角度を求めることができる。特に、多層構造物の各階の重心の位置が水平方向に移動することにより生じる回転トルクの影響を補償する第２の重力補償が効果的である。
（５）上層構造物の重心を含む鉛直面に関して対称に配置されたアイソレータが一対の場合でも複数対の場合でも、多層構造物の振動を効果的に低減させるアイソレータの傾斜角度を求めることができる。
（６）水平方向には高剛性だが、円弧方向には低剛性である。ここで、円弧方向の剛性を調節して水平方向の固有振動数と一致させると、水平方向の振動エネルギーは円弧方向に遷移する。剛性が低い構造物にダンパーを装着したほうが減衰定数が大きくなり早く減衰することから、低剛性である円弧方向にダンパーを設置することにより、高い減衰性を確保することができる。

以上、本発明の実施形態について説明したが、本発明は上記の実施形態に限定されるものではなく、その趣旨を逸脱しない範囲で適宜変更可能である。例えば、本発明は、多層構造の建物を多節振動により制振することを軸としており、一般的には塔状構造物に有効な構造であり、層数の多い高層建物で特にその現象が顕著となるため、上記実施形態では、複数層の塔状構造物を例にして説明しているが、本発明は、塔状でない構造物であってもよい。また、本発明は、アスペクト比が大きい構造物に有効ということではなく、例えば幅の広い高層ビルのように、アスペクト比は小さいが層数が多い構造物にも有効である。

（第４の実施形態）
また、これまでアイソレータが１階から最上階のｎ階までの各階に設置されているとして説明してきたが、アイソレータは１つ以上の階に設置されていればよい。より詳しくは、ｎ階建て（最上階の階数がｎであることを意味する）の多層構造物の各階が、ｎの約数であるｐ個のブロックに等分され、各ブロックの最も１階側の階のみにアイソレータがそれぞれ設置されている多層構造物について検討する。

アイソレータが配置されている階に一対のアイソレータが設置されている場合には、第２実施形態と同様に考えて、１階からｎ階で構成された多層構造物であって、階全体を階数ｎの約数であるｐで等分して複数のブロックに分け、各ブロックの最も１階側の階のみに、支持する上層構造物の重心を含む鉛直面に関して対称に配置され鉛直下向きに凸の円弧軌道を描くように水平面に対して斜め方向に運動する一対のアイソレータを、この一対のアイソレータに作用する合力の方向が支持する上層構造物の重心に向くようにそれぞれ備え、水平面に対する各アイソレータの傾斜角度θ_ｋは、（５３）式から（５５）式を用いて求められる（５２）式の解として得られる多層構造物を採用してもよい。

但し、各ブロックを１階から数えて第１ブロック、第２ブロック、…、第ｐブロックと呼ぶこととする。このとき、Ｋ_ｈ：アイソレータの円弧方向剛性、Ｋ_ｖ：アイソレータの円弧垂直方向剛性、ｗ：アイソレータ間の水平距離、ｇ：重力加速度、ｍ_ｋ：上層構造物（第ｋブロックから第ｐブロックまで）の質量、Ｌ_Ｇｋ：上層構造物の重心とアイソレータの円弧中心との間の鉛直距離、Ｌ_Ｏｋ：第ｋブロックのアイソレータの円弧中心とアイソレータとの間の鉛直距離、Ｋ_ｇ：第１重力補償項、Ｋ_ｍ：第２重力補償項、θ_ｋ：第ｋブロックに設置されたアイソレータの傾斜角度、Ｌ_ｋ：第ｋブロックに設置されたアイソレータから最上階の天面までの鉛直距離、Ｂ_ｋ：第ｋブロックの質量、とする。

この場合、基本的な考えは上記第２実施形態と同一だが、上記第２実施形態で説明した、Ｆ_ｋは第ｋブロックの重心に水平方向に加わる外力、δ_ｋは第（ｋ−１）ブロックと第ｋブロック間の変位、Ｐ_ｋは第ｋブロックに設置されたアイソレータに作用する荷重、Δ_ｋは地面に対する第ｋブロックの重心の変位を意味する変数に置き換えられる。
そして（２１）式は次式のようになる。

また、鉛直面に対して第ｋブロックに設置されたアイソレータから上層構造物の重心に向かう角度α_ｋ、合力の円弧方向成分をｆ_ｋｈ、合力の円弧垂直方向成分をｆ_ｋｖとすると、次式のようになる。なお、Ｋ_ｇは（１７）式より求められる第１重力補償項である。

各ブロックに設置された一対のアイソレータのそれぞれに作用する合力の円弧方向成分ｆ_ｋｈ及び合力の円弧垂直方向成分をｆ_ｋｖの水平方向成分の和は、第ｋブロックから最上階を含む第ｐブロックまでに作用する外力の合計に等しいので、次式が成り立つ。

ここで、外力Ｆ_ｋは全て等しい値をとるとして外力Ｆとする。また、変位の比ｈ_ｊｋを次式のように定義する。

ただし、ｈ_ｋｋは１となる。ｈ_ｊｋを用いて（５７）式及び（５８）式を書き直すと次式のようになる。

ただし、Ｋ_ｍは第２重力補償項である。以上より、図８に示す第ｋブロックに設置されたアイソレータの補正角度β_ｋを次式のように求めることができる。

こうして、（５９）式及び（６５）式により、次式で示される傾斜角度θ_ｋの算出式が得られる。

なお、傾斜角度θ_ｋを算出する工程は、上記第２実施形態と同様になる。
以上のように、上記多層構造物によれば、振動を効果的に低減させながらも、アイソレータの設置に要するコストを抑えることができる。
また、傾斜角度をθ_ｋとして、（６６）式の解が二つある場合には値が大きいほうの解を用いることを特徴とする多層構造物が好ましい。
この多層構造物によれば、構造物が小振幅且つ高周波で振動するため、長周期地震動や風振動に対しても強い構造物を実現することができる。

（第５の実施形態）
また、アイソレータが配置されている階に複数対のアイソレータが設置されている場合には、第３実施形態と同様に考えて、１階からｎ階で構成された多層構造物であって、階全体を階数ｎの約数であるｐで等分して複数のブロックに分け、各ブロックの最も１階側の階のみに、支持する上層構造物の重心を含む鉛直面に関して対称に配置され鉛直下向きに凸の円弧軌道を描くように水平面に対して斜め方向に運動する複数対のアイソレータを、この複数対のアイソレータに作用する合力の方向が支持する上層構造物の重心に向くようにそれぞれ備え、水平面に対する各アイソレータの傾斜角度^ｉθ_ｋは、（６８）式から（７０）式を用いて求められる（６７）式の解として得られる多層構造物を採用してもよい。

但し、各ブロックを１階から数えて第１ブロック、第２ブロック、…、第ｐブロックと呼ぶこととする。このとき、Ｋ_ｈ：アイソレータの円弧方向剛性、Ｋ_ｖ：アイソレータの円弧垂直方向剛性、ｇ：重力加速度、２Ｎ：アイソレータが配置されている階のアイソレータの個数、^ｉλ：外側からｉ（ｉ＝１，…，Ｎ）番目のアイソレータのトルクの加重係数、^ｉｗ：外側からｉ番目のアイソレータ間の水平距離、^ｉＫ_ｍ：外側からｉ番目のアイソレータの第２重力補償項、Ｌ_ｋ：第ｋブロックに設置されたアイソレータから最上階の天面までの鉛直距離、Ｂ_ｋ：第ｋブロックの質量、^ｉθ_ｋ：第ｋブロックに設置された外側からｉ番目のアイソレータの傾斜角度、とする。

この場合、基本的な考えは上記第３実施形態と同一だが、本実施形態では第ｋブロック（ｋ＝１，…，ｐ）において、外側からｉ番目（ｉ＝１，…，Ｎ）のアイソレータに作用する荷重^ｉＰ_ｋは次式のようになる。

第ｋブロックにおいて、鉛直面に対してｉ番目のアイソレータから上層構造物の重心に向かう角度を^ｉα_ｋ、ｉ番目のアイソレータの取り付け角度を^ｉθ_ｋ、^ｉα_ｋから^ｉθ_ｋを減じた値である補正角度を^ｉβ_ｋとする。また、円弧方向の剛性をＫ_ｈ、円弧垂直方向の剛性をＫ_ｖはアイソレータによらず一定とする。
これにより、ｉ番目のアイソレータに作用する合力の円弧方向成分を^ｉｆ_ｋｈ、合力の円弧垂直方向成分を^ｉｆ_ｋｖとすると、次式のようになる。

各ブロックが剛体だと仮定すると、各アイソレータの水平方向の変位は等しくなる。また、第ｋブロックに設置された２Ｎ個のアイソレータのそれぞれに作用する合力の円弧方向成分^ｉｆ_ｋｈ及び合力の円弧垂直方向成分を^ｉｆ_ｋｖの水平方向成分の和は、第ｋブロックから最上階であるｎ階を含む第ｐブロックまでに作用する外力の合計に等しいので、次式が成り立つ。

ここで、外力Ｆ_ｋは全て等しい値をとるとして外力Ｆとする。また、変位の比^ｉｈ_ｊｋを次式のように定義する。

ただし、ｈ_ｋｋは１となる。ｈ_ｊｋを用いて（７２）式及び（７３）式を書き直すと次式のようになる。

ただし、^ｉＫ_ｍは第２重力補償項である。以上より、第ｋブロックに設置されたｉ番目のアイソレータの補正角度^ｉβ_ｋを次式のように求めることができる。

そして、（７４）式及び（８０）式により、次式で示される傾斜角度^ｉθ_ｋの算出式が得られる。

なお、傾斜角度^ｉθ_ｋを算出する工程は、上記第３実施形態と同様になる。
以上のように、上記多層構造物によれば、振動を効果的に低減させながらも、アイソレータの設置に要する製造コストを抑えることができる。
また、傾斜角度を^ｉθ_ｋとして、（８１）式の解が二つある場合には値が大きいほうの解を用いることを特徴とする多層構造物が好ましい。
この多層構造物によれば、構造物が小振幅且つ高周波で振動するため、長周期地震動や風振動に対しても強い構造物を実現することができる。

ここで、本発明の多層構造物が行う高次モード卓越振動の定常振動メカニズムについて、１０階の多層構造物を例として示す。
話を簡単にするため、まず無重力の場合について示す。円弧方向剛性ゼロでの振動は、図１５（ａ）に示すように高周波（縦剪断）のみの周波数の水平振動となる。円弧方向剛性を徐々に大きくすると、低周波振動である円弧振動（横剪断振動）が構造物の層数に相当する次数分表れ、図１５（ｂ）では１０階としているため１０次モードまで存在する。高周波振動の主体は縦剪断振動であり、縦剪断共振周波数の近傍にある円弧振動の次数モードも励振される。従って、円弧方向剛性を徐々に大きくするに従い、図１５（ｂ）のように１０次モード卓越から、図１５（ｃ）のように５次モード卓越へと移行する。すなわち、小振幅の縦剪断振動に、大振幅の円弧振動が重畳されるため、あたかも高次モードが卓越した振動のように振舞う。
重力の影響を考慮した場合でも同じ理由で説明できる。重力下では前述した第１の重力補償、及び第２の重力補償の影響で図１５（ａ）のような水平振動は存在しない。しかし、重力の影響は間接的に円弧方向振動となって表れるため、無重力下と同様なメカニズムで高次モード卓越振動を行う。

アイソレータの円弧中心と、当該アイソレータが支持する上層構造物の重心との位置関係を示した模式図である。 重力の影響を考慮しない場合において、（ａ）はアイソレータの仮想変位、（ｂ）はアイソレータに作用する合力をそれぞれ説明するための図である。 重力の影響を考慮しない場合の傾斜角度θ_ｋを算出する工程を示すフローチャートである。 （１２）式の解をアイソレータの傾斜角度とした場合の多層構造物の振動モードを示し、（ａ）は大きいほうの解を用いた場合、（ｂ）は小さいほうの解を用いた場合である。 （ａ）は円弧中心回りの重力振子の図、（ｂ）は重力振子と等価な円弧方向剛性を示した図である。 １つの階が重心移動した場合のアイソレータに与える影響を示し、（ａ）は設置されたアイソレータが一対の場合、（ｂ）は複数対の場合の説明図である。 多層構造物の各階が水平方向に変位した状態を示した模式図である。 重力の影響を考慮する場合において、（ａ）はアイソレータの仮想変位、（ｂ）はアイソレータに作用する荷重、（ｃ）はアイソレータに作用する合力をそれぞれ説明するための図である。 重力の影響を考慮し、各階に設置されるアイソレータが一対の場合の傾斜角度θ_ｋを算出する主工程を示すフローチャートである。 重力の影響を考慮し、各階に設置されるアイソレータが一対の場合のＫ_ｇ計算関数のサブルーチンを示すフローチャートである。 重力の影響を考慮し、各階に設置されるアイソレータが一対の場合のＫ_ｍ計算関数のサブルーチンを示すフローチャートである。 重力の影響を考慮し、各階に設置されるアイソレータが２対の場合の傾斜角度^ｉθ_ｋを算出する主工程を示すフローチャートである。 重力の影響を考慮し、各階に設置されるアイソレータが２対の場合の^ｉｅ_ｋ計算関数のサブルーチンを示すフローチャートである。 重力の影響を考慮し、各階に設置されるアイソレータが２対の場合の^ｉＫ_ｍ計算関数のサブルーチンを示すフローチャートである。 多層構造物の振動モードを示す説明図である。

符号の説明

１ アイソレータ
２ 円弧中心
３ 重心
４ 階
５ 多層構造物

Claims (7)

1. 鉛直下向きに凸の円弧軌道を描くように、水平面に対して斜め方向に運動する複数のアイソレータを備える多層構造物において、
   前記各アイソレータに作用する合力の方向が、当該アイソレータが支持する上層構造物の重心に向いていることを特徴とする多層構造物。
2. 水平面に対する前記アイソレータの傾斜角度θ_ｋは、（１）式の解として得られることを特徴とする請求項１に記載の多層構造物。
   

   

   
   但し、Ｋ_ｈ：アイソレータの円弧方向剛性、Ｋ_ｖ：アイソレータの円弧垂直方向剛性、ｗ：上層構造物の重心を含む鉛直面に関して対称に配置された一対のアイソレータ間の水平距離、Ｌ_ｋ：最上階の天面からアイソレータまでの鉛直距離。
3. 前記傾斜角度θ_ｋとして、前記（１）式の解が二つある場合には値が大きいほうの解を用いることを特徴とする請求項２に記載の多層構造物。
4. 水平面に対する前記アイソレータの傾斜角度θ_ｋは、（３）式から（５）式を用いて求められる（２）式の解として得られることを特徴とする請求項１に記載の多層構造物。
   

   

   
   但し、Ｋ_ｈ：アイソレータの円弧方向剛性、Ｋ_ｖ：アイソレータの円弧垂直方向剛性、ｗ：上層構造物の重心を含む鉛直面に関して対称に配置されたアイソレータ間の水平距離、ｇ：重力加速度、ｍ_ｋ：上層構造物の質量、Ｌ_Ｇｋ：上層構造物の重心とアイソレータの円弧中心との間の鉛直距離、Ｌ_Ｏｋ：アイソレータの円弧中心とアイソレータとの間の鉛直距離、Ｋ_ｇ：第１重力補償項、Ｋ_ｍ：第２重力補償項、ｋ階（ｋ＝１，…，ｎ）の質量Ｍ_ｋ、アイソレータの傾斜角度θ_ｋ、最上階の天面からアイソレータまでの鉛直距離Ｌ_ｋ。
5. 前記傾斜角度をθ_ｋとして、前記（２）式の解が二つある場合には値が大きいほうの解を用いることを特徴とする請求項４に記載の多層構造物。
6. 水平面に対する前記アイソレータの傾斜角度^ｉθ_ｋは、（７）式から（９）式を用いて求められる（６）式の解として得られることを特徴とする請求項１に記載の多層構造物。
   

   

   
   但し、Ｋ_ｈ：アイソレータの円弧方向剛性、Ｋ_ｖ：アイソレータの円弧垂直方向剛性、ｇ：重力加速度、２Ｎ：各階のアイソレータの個数、上層構造物の重心を含む鉛直面に関して対称に配置されたｉ（ｉ＝１，…，Ｎ）番目のアイソレータのトルクの加重係数^ｉλ、アイソレータ間の水平距離^ｉｗ、第２重力補償項^ｉＫ_ｍ、ｋ階（ｋ＝１，…，ｎ）の質量Ｍ_ｋ、最上階の天面からアイソレータまでの鉛直距離Ｌ_ｋ、ｉ番目のアイソレータの傾斜角度^ｉθ_ｋ。
7. 前記傾斜角度を^ｉθ_ｋとして、前記（６）式の解が二つある場合には値が大きいほうの解を用いることを特徴とする請求項６に記載の多層構造物。

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