JP5203670B2 - 位置推定システム、方法及びプログラム - Google Patents

Description

この発明は、複数の電波発生源からの電波を受信して、位置を検出するためのシステム、方法及びプログラムに関するものである。
より詳しくは、予め記録した電波強度に関連付けられた既知の位置データに基づき、電波強度に関連付けられた既知の場所の位置データを推定するためのシステム、方法及びプログラムに関するものである。

従来より、室内で、電波受信機を設置した物体の動きを追跡したいという要望がある。例えば、スーパーマーケットで、動線解析と言って、ショッピングカートにつけた専用情報端末の動きを追跡することにより、陳列棚の商品と、顧客が購入する商品との関連付けを調べ、店内の商品配列を最適化する、ということが行われている。

このためには、店内の複数の位置にそれぞれ、電波発生源が配置される。そうして、顧客が、ショッピングカートを押して、店内を動き回ると、電波発生源からの着信時刻差が生じるので、この情報を用いて、三角測量と呼ばれる技術により、ショッピングカートの位置を測定することができる。しかし、素朴な三角測量法の適用では、特に屋内の場合のように、反射体や障害物が多くて、反射波どうしが干渉したり、電波発生源に対する直接の見通しが立たず、反射波のみしか届かない場合があり、位置測定精度の劣化が甚だしいことが多い。

そこで、特開２００５−２７４３６３は、三角測量を用いた技術において、予め予定の位置に対する無線位置検出手段の偏位を測定しておき、この測定偏位情報を補間して一般の位置に対する偏位を推定し、実際に測定を行う際に無線検出位置を補正することにより、移動体の最尤位置を導出するようにした技術を開示する。

しかし、三角測量の計算方法は、比較的素朴であって、さまざまな補正手段を駆使しても、なかなか位置測定の高い精度が得られないことが分かった。

ところで、機械学習の分野で、ラベル伝播法と呼ばれる技法が知られている。Xiaojin Zhu, Zoubin Ghahramani, John Lafferty, "Semi-supervised learning using Gaussian fields and harmonic functions", Proceesings of the Twentieth International Conference on Machine Learning (ICML-2003), Washington DC, 2003 （以下、非特許文献１と称する）は、そのような技法を開示する基本的な文献である。

非特許文献１は、ラベルあり及びラベルなしの頂点をもつ重み付きグラフにおける、ラベルなしの頂点のラベル推定に関するものであり、そこには、数字の分類やテキスト分類への適用例は示唆されているが、開示されているそのままの方法では、複数の電波発生源から受信した電波の強度に基づき、位置を推定する課題に適用しても、全く思わしい結果は得られなかった。
特開２００５−２７４３６３ Xiaojin Zhu, Zoubin Ghahramani, John Lafferty, "Semi-supervised learning using Gaussian fields and harmonic functions", Proceesings of the Twentieth International Conference on Machine Learning (ICML-2003), Washington DC, 2003

この発明の目的は、複数の電波発生源から受信した電波の強度に基づき、位置推定システムの推定精度を向上させるための、技術を提供することにある。

この発明の更に他の目的は、近接関係に基づき位置を予測するシステムにおいて、近接関係をあらわす類似度のアルゴリズムを改良することによって、推定精度を向上することにある。

上記目的は、本発明に従う次のような処理によって、達成される。
すなわち、複数の電波発生源（アクセス・ポイント）からの受信強度（単位をＲＳＳ = received signal strengthとする）を配列したベクトルを、ＲＳＳベクトルと呼ぶことにする。本発明によれば、このような、ＲＳＳベクトルのデータ列が用意される。そのデータ列には、時系列に沿って測定され配列されたデータ列と、必ずしも時系列に沿って配列されていないデータ列とが含まれる。時系列に沿って測定され配列されたデータ列は、それぞれ、時系列ＩＤと、時間ＩＤを含む。時系列ＩＤとは、１つの測定の系列に与えるＩＤであり、例えば、一人の人が、データを測定し始めて、終わるまでの一連の測定データに、１つの時系列ＩＤを付与する。時間ＩＤとは、例えば、１つの時系列内の測定された順序でよい。

さて、上記データ列には、ラベルを付けられたデータと、ラベルを付けられていないデータとがある。ラベルを付けられたデータは、実際の位置を記録しながら電波強度を記録されたデータであり、すなわち、学習データである。一方、ラベルを付けられていないデータとは、位置が未定のデータであり、すなわち、学習データを使って、位置が未定のデータの、確からしい位置を予測する、ということが、この技法の目的となる。

データ列のｉ番目のＲＳＳベクトルを、Ｘ⁽ⁱ⁾とすると、Ｘ⁽ⁱ⁾とＸ^(j)の間で、熱核関数（heat kernel function)のような、関数により、アフィニティ(affinity)と呼ぶ量を計算する。但し、本発明の１つの特徴によれば、通常の熱核関数と異なるのは、ベクトルの差のノルムの指数が、１より小さいことである。本発明の好適なそのような指数値は、０．５である。

一方、特に時系列に沿って測定され配列されたデータ列の場合、時系列に沿って配列されていないデータ列と同様にアフィニティを計算してもよいけれども、本発明の好適な１つの特徴によれば、時系列に沿って測定され配列されたデータ列に付与された時系列ＩＤと時間ＩＤを利用して、Ｘ⁽ⁱ⁾とＸ^(j)の間のアフィニティを、iの時系列ＩＤと、jの時系列ＩＤが等しく、且つ、iとjの時間ＩＤの差が１である場合にのみ所定の正の値（例えば１）を返し、それ以外では０になるように計算することができる。

本発明の好適な１つの特徴によれば、そのようにして求めた(i,j)についての、時系列に沿って測定され配列されたデータ列のアフィニティの値と、時系列に沿って配列されていないデータ列のアフィニティの値を比較し、大きい方を最終的な(i,j)についてのアフィニティの値とする。

そのアフィニティの値を(i,j)についての重みとして、j番目の測定値がcという場所にある確率f^(j)(c)に、j = 1 ... N (Nは、データセットの数）を計算することによって、i番目の測定値がcという場所にある確率f⁽ⁱ⁾(c)が求められる。特に、f⁽ⁱ⁾(c)が最大になるようなcをもって、そこの場所がcであると推定されることになる。

この発明の別の側面によると、アフィニティの計算に、漸近的なべき乗減衰型関数が使われ、適用例によっては、一層有効になる。

この発明によれば、屋内の、輻輳し反射する、ノイズの多い電波環境でも、漸近的な類似度により位置推定値を計算することによって、従来の三角測量法による位置推定方法よりも高い精度で、位置を推定することができる、という効果が得られる。

以下、図面に従って、本発明の実施例を説明する。説明の便宜上、主として本発明をラベル伝播法に適用した場合を説明するが、本発明は、ラベル伝播法に限定されず、より一般的な最近傍決定法あるいは、さらに一般的な近接関係に基づき位置を推定する方法に適用可能であることをこれらの実施例は、本発明の好適な態様を説明するためのものであり、発明の範囲をここで示すものに限定する意図はないことを理解されたい。また、以下の図を通して、特に断わらない限り、同一符号は、同一の対象を指すものとする。

図１は、本発明のこの実施例の前提となる、複数電波源に基づく位置推定システムの概要を示す図である。図１に示すように、部屋１０２の内部は、１０×１２のメッシュに区切られ、その各々のメッシュには、１〜１２０の番号が付けられている。尚、必ずしも、部屋１０２の床などに線が引かれたり番号が書かれていたりする訳ではなく、図１に示す領域のメッシュ分割とその番号付けは、仮想的なものと理解されたい。

この実施例では、１つのメッシュ領域は、２ｍ×２ｍの矩形とする。しかし、メッシュ領域のサイズ、分割数などは、位置推定の目的、部屋の広さ、後述する無線アクセス・ポイントの数などで異なってくるので、図１に示されている１０×１２のメッシュ分割数は、あくまでも図式的な説明上の例示であると理解されたい。

図１に示すように、部屋１０２にはさらに、複数の無線アクセス・ポイントＡＰ₁、ＡＰ₂、〜ＡＰ_nが配置されている。アクセス・ポイントＡＰ₁、ＡＰ₂、〜ＡＰ_nは、これには限定されないが、例えば、ＷｉＦｉ（登録商標）規格に従う電波発生源である。アクセス・ポイントは、部屋１０２の壁面、天井、床、部屋内のパーティション上など、部屋内の電波受信装置に対して、なるべく電波受信の妨げにならないような、任意の場所に配置することができる。アクセス・ポイントＡＰ₁、ＡＰ₂、〜ＡＰ_nには、それらを制御するためのサーバ・コンピュータ（図示しない）に接続されている。

三角測量の原理によれば、位置測定を可能とするために必要なアクセス・ポイントの最小数は、３である。しかし、一般的に、３個のアクセス・ポイントでは必要な精度が得られないので、アクセス・ポイントの数として、通常は、部屋の広さ、必要な位置推定の精度などに応じて、５０個乃至１００個の間の適当な数が選ばれるが、本発明は、このようなアクセス・ポイントの数に限定されず、任意の数のアクセス・ポイントに適用することができることを理解されたい。

このような部屋の設備内で、無線電波受信機能をもつモバイル・コンピュータＰＣを、係員またはユーザが部屋１０２内で移動しながら、異なる位置でそれぞれ、複数の無線アクセス・ポイントからの受信電波強度を記録していくという操作が、この実施例の前提となる。図１の経路１０４は、そのような動きの軌跡の例である。

図２は、図１に示したモバイル・コンピュータＰＣのハードウェア構成を示すブロック図である。図２において、システム・バス２０２には、ＣＰＵ２０４と、主記憶（ＲＡＭ）２０６と、ハードディスク・ドライブ（ＨＤＤ）２０８と、キーボード２１０と、マウス２１２と、ディスプレイ２１４が接続されている。ＣＰＵ２０４は、好適には、３２ビットのアーキテクチャに基づくものであり、例えば、インテル社のＰｅｎｔｉｕｍ（商標） ４、Ｃｏｒｅ（商標）２ ＤＵＯ、ＡＭＤ社のＡｔｈｌｏｎ（商標）などを使用することができる。主記憶２０６は、好適には、１ＧＢ以上の容量をもつものである。

システム・バス２０２にはさらに、通信インターフェース２１６が接続されている。通信インターフェース２１６は、例えばＩＥＥＥ８０２．１１ａ／ｂ／ｇの規格に従い、アンテナ２１８を介して、各々のアクセス・ポイントＡＰ₁、ＡＰ₂、〜ＡＰ_nが配置されている。アクセス・ポイントＡＰ₁、ＡＰ₂、〜ＡＰ_nから、電波を受信可能である。

ハードディスク・ドライブ２０８には、特に図示しないが、オペレーティング・システムが、格納されている。オペレーティング・システムは、Ｌｉｎｕｘ（商標）、マイクロソフト社のＷｉｎｄｏｗｓ Ｖｉｓｔａ（商標）、Ｗｉｎｄｏｗｓ ＸＰ（商標）、Ｗｉｎｄｏｗｓ（商標）２０００、アップルコンピュータのＭａｃ ＯＳ（商標）などの、ＣＰＵ２０４に適合する任意のものでよい。

ハードディスク・ドライブ２０８にはさらに、アクセス・ポイントから受信した電波強度を、アクセス・ポイント毎に記録するための記録用プログラムと、本発明に係る位置推定プログラムが格納されている。

この記録用プログラムは、任意の時点で、ユーザ操作により、または自動的に、個々のアクセス・ポイントからの電波受信強度を、ハードディスク・ドライブ２０８に記録することができる。この記録用プログラムは、ラベル（位置指定）あり、とラベルなしの両方の目的に使用することができる。また、自動連続記録にも使用することができる。

図３は、モバイル・コンピュータＰＣのディスプレイ２１４に表示される、記録用プログラムの画面３０２を示す。この画面は、モバイル・コンピュータＰＣのデスクトップ上にある所定のアイコンをマウス２１２でクリックすることにより、オペレーティング・システムの作用でハードディスク・ドライブ２０８から、主記憶２０６にロードされ、結果的に、ディスプレイ２１４に表示される。

図３において、手動記録のメニュー３０４中の、ＴＩＤメニュー３０６において、ラジオ・ボタン３０８の「あり」をクリックすると、ＴＩＤの値３１０が記録に使用されることになる。尚、ＴＩＤとは、時系列ＩＤを意味する。そうして、ボタン３１２をクリックすると、ＴＩＤの値３１０がインクリメントされ、時間ＩＤが１にリセットされる。ここで、時間ＩＤとは、その時系列ＩＤ内での記録順序をあらわす値である。その状態で、「記録」ボタン３３０をクリックすると、指定されたＴＩＤを使用して、測定電波データが記録される。また、記録後、時間ＩＤは、１だけ増分される。その時系列ＩＤでの記録を終了するためには、ボタン３１４をクリックする。すると、ラジオ・ボタン３０８は、一旦、「なし」に切り替わる。ラジオ・ボタン３０８が「なし」の状態では、「開始」ボタン３０６は、無効化されていて、再び時系列ＩＤに基づく記録を開始するには、再びラジオ・ボタン３０８を、「あり」に切り替える必要がある。また、ＴＩＤの値は、「開始」ボタン３０６をクリックする度に自動的にインクリメントされるので、通常は操作する必要はないが、必要時は、ボタン３１６をクリックすることにより、０にリセットすることができる。

一方、ラベルのメニュー３１８では、ラジオ・ボタン３２０を、「はい」に切り替えることにより、フィールド３２２に入力され、ボタン３２４のクリックによって確定された数字が、位置ラベル・データとして確定される。そうして、「記録」ボタン３３０をクリックすることにより、確定された位置ラベル・データを使用して、測定電波データが記録される。このとき、時系列ＩＤがセットされていれば、時系列ＩＤと時間ＩＤも併せて記録される。ラジオ・ボタン３２０を、「いいえ」に切り替えることにより、測定電波データに、ラベル・データが含まれなくなる。尚、上記で、図１に示す領域のメッシュ分割とその番号付けは、仮想的なものである、と説明したが、そうは言っても、操作員がラベル情報を含むデータを記録する際には、目印がないと位置ラベルが分かりにくいので、床や周囲に、領域のラベル番号を示す表示をマークしておくことが望ましい。

図３には、自動記録のメニュー３４０も示されている。この場合、「開始」ボタン３４２をクリックすると、自動記録が開始される。この自動記録は、フィールド３４６に入れた数値の秒数周期で記録され、「終了」ボタン３４４をクリックすることによって、終了する。自動記録のメニュー３４０では、ＴＩＤや位置ラベル・データが使用されることはない。自動記録のメニュー３４０は、ラベルなしの沢山のデータを記録した場合、あるいは、記録の学習モードではなく、実測モードをシミュレートしたい場合などに使用される。

また、詳細な図示は省略するが、図３の記録用プログラムは、メニューバーのListメニューで、他のＰＤＡやノート型コンピュータから、測定電波データをインポートしたり、逆に、他のＰＤＡやノート型コンピュータに、測定電波データをエクスポートする機能をもつ。このインポート及びエクスポートは、サーバを経由するネットワーク接続で行ってもいいし、ＵＳＢインターフェースで接続される、外付けＨＤＤを使用してもよい。

図４は、時系列ＩＤをセットした場合に、記録された測定電波データの例である。図４で、データＩＤは、図３に示す記録用プログラムが自動的に付与する値であり、メニューでリセットしない限り、個々のデータに固有の値である。図４で、位置ラベルの欄が「？」であるのは、図３で、ラベルのメニュー３１８のラジオ・ボタン３２０を、「いいえ」にして測定電波データを記録した場合である。

ここで、図４に示されている電波強度ＲＳＳ値について説明すると、ＲＳＳとは、received signal strengthすなわち、受信信号強度という、電波強度の対数スケールの単位である。ＲＳＳ値は、最大が０が、最小が−１００である。すなわち、ＲＳＳ値が−１００ということは、実質的に、電波が届いていないことを意味する。尚、使用可能な電圧強度の単位は、ＲＳＳ以外にも、dBμV/mなどの他の単位も使用可能であるが、基本的には、対数強度であるのが望ましい。

一方、図５は、時系列ＩＤをセットしない場合に、記録された測定電波データの例である。この場合、時系列ＩＤと、時間ＩＤには、何もデータが入らないので、時系列的な情報は付与されず、単に、位置ラベルがセットされている場合の位置ラベルの情報と、それに対応する電波強度ＲＳＳ値のベクトルのみをもつ。なお、図４及び図５では、ＲＳＳの値が整数値のように示されているが、実際は実数値であることに留意されたい。

アクセス・ポイントは、各々、個別のアクセス・ポイントＩＤの値をヘッダとして付けて電波を送信するので、図３に示す記録用プログラムは、図２のアンテナ２１８で受信した電波に基づき、どのアクセス・ポイントからの電波強度かを識別することができる。図１にあるように、アクセス・ポイントは複数あるので、その各々のアクセス・ポイントからの電波強度の数値を並べると、それは、ベクトル値とみなすことができる。この実施例では、電波強度として、ＲＳＳを用いているので、このあと、それをＲＳＳベクトルと呼ぶことがある。尚、図１において、近接するアクセス・ポイントどうしは、電波の干渉を最小限に抑えるために、異なるチャネルの電波を使うようにしてもよい。

次に、本発明の技法に従い、位置ラベルの推定を行う処理について、説明する。この処理を行うにあたって必要なのは、図４及び図５に示すような多数のデータセットである。データセットの数が多ければ多いほど精度が高まるが、その分処理時間もかかるので、好適には、一般的には、数千個のデータセットが選ばれる。この数に限定される訳ではないが、この実施例では、全体で５０００個のデータセットを用意するものとする。

さて、図３〜図５に関連して説明したことに基づくと、データセットは、下記の４つのカテゴリに分類される。
(1) 時系列ＩＤをもち、位置ラベルをもつデータ
(2) 時系列ＩＤをもたず、位置ラベルをもつデータ
(3) 時系列ＩＤをもち、位置ラベルをもたないデータ
(4) 時系列ＩＤをもたず、位置ラベルをもたないデータ

上記それぞれのデータを、それぞれタイプ(1)、(2)、(3)及び(4)とする。本発明の技法の前提となるラベル伝播法は、semi-supervised learning (半教師付き学習)に基づくものなので、事前に学習データを必要とする。用意する学習データの少なくとも一部には、位置ラベルをもつデータが含まれていることが必須であり、それは、上記タイプ(1)またはタイプ(2)のどちらかである。タイプ(2)のデータだけでも、本発明の技法を適用することは可能であるが、タイプ(1)のデータも含まれていると、本発明の技法は、その時間的近接性の情報を利用して、位置ラベルの推定精度を向上することができる。

学習データは、原則的に、タイプ(1)またはタイプ(2)のどちらかであると期待されるが、タイプ(3)及びタイプ(4)のデータを含んでいてもよい。一見すると、タイプ(3)及びタイプ(4)のデータは位置ラベルの情報をもたないので、位置ラベルの推定処理に貢献しないように思われるが、実は、ラベル伝播の一部を担うので、学習データ中のタイプ(3)及びタイプ(4)のデータの存在も、全く無意味ではない。

この実施例では、学習データは、図１に示すモバイル・コンピュータＰＣによって作成される。このための、モバイル・コンピュータＰＣをもって移動する操作員の動きの動線１０４を、図１に示した。

一方、位置ラベルの値を推定すべきデータセットは、例えば、スーパーマーケットの買い物カゴに設置した、情報端末によって記録されたものである。すなわち、例えば、買い物客が買い物カゴをカートに乗せると、情報端末が、複数のアクセス・ポイントＡＰ₁、ＡＰ₂、〜ＡＰ_nからの受信電波の強度を記録し始める。なお、このとき、情報端末の受信感度は、図１のモバイル・コンピュータＰＣの受信感度と、ほぼ同等とする。

情報端末は、予め決まった周期で、受信電波の強度を記録するように設定されている。情報端末が記録するデータには、位置ラベル情報は含まれない。買い物客が、情報端末で位置ラベルを記録する操作を行いながら、買い物を行う、という状況は考えにくいからである。しかし、この実施例では、情報端末の記録データには、時系列ＩＤと、時間ＩＤが含まれる。すなわち、買い物客が買い物カゴをカートに乗せたときに時系列ＩＤがセットされ、その後、周期的な自動データ記録の度に時間ＩＤがインクリメントされる。そうして、買い物客がレジで清算するとき、記録が完了する。このようなデータは、図４のデータＩＤ＝x_102、x_103のような、時系列ＩＤと時間ＩＤをもつが、位置ラベルをもたないデータである。

このように、本発明の実施例では好適には、位置ラベルの値を推定すべきデータセットは、上記タイプ(3)のデータであるが、位置ラベルの値を推定すべきデータセットが時系列ＩＤをもつことは必須ではなく、タイプ(4)のデータであったとしても、本発明の技法は、有効に適用可能であることを理解されたい。

次に、アルゴリズム的な側面から、本発明の実施例を説明する。上述したように、この実施例では、全体で５０００個のデータセットを使用するとする。これには、上記学習データと、位置ラベルの値を推定すべきテスト・データの両方が含まれる。

全体のデータセットを、(Ｘ⁽ⁱ⁾, y⁽ⁱ⁾）但し、i = 1..5000とする。ここで、Ｘ⁽ⁱ⁾は、上述のＲＳＳベクトルであり、アクセス・ポイントの数をnとすると、
Ｘ⁽ⁱ⁾ ∈ Ｒⁿ 言い換えると、Ｘ⁽ⁱ⁾は、実数を成分とするｎ次元のベクトルである。このとき、前述のように、Ｒ = [-100,0] である。
また、位置ラベルy⁽ⁱ⁾ ∈ {1 .. 120} である。但し、初期的には、データセット中には、位置ラベルが不定のものが多数あり、その場合、y⁽ⁱ⁾の値は未確定である。

さらに、(Ｘ⁽ⁱ⁾, y⁽ⁱ⁾）の表記には、時系列ＩＤの情報が表示されていないが、実際は、時系列ＩＤ及び時間ＩＤの情報も、含まれる。

そこで、全体のデータセットにおいて、学習データとして位置ラベルが確定しているL個のデータを、(Ｘ⁽ⁱ⁾, y⁽ⁱ⁾）但し、i = 1..L とすると、この実施例の処理が目指すことは、位置ラベルが確定している学習データに基づき、y^(L+1), ..., y^(N)を推定することである。

上記Lの値は、多い方が望ましいが、本発明の一実施例では、位置ラベルが確定しているデータが、全体のほぼ１割、すなわち、この場合５００個程度でも、所望の結果が得られることが分かった。

さて、f⁽ⁱ⁾(c)という確率関数を導入する。これは、i番目のデータが、ラベルcをもつ確率をあらわす。定義的に、f⁽ⁱ⁾(c) ∈ [0,1]である。
図１の場合、c ∈ {1 .. 120} である。

i = 1..Lの場合は自明で、下記のようになる。

i = L+1 .. Nの場合は、f⁽ⁱ⁾(c)の初期値はすべて0にする。厳密にはこの場合、全ての位置ラベルをとる確率が均一であるとすると、∀cについて、f⁽ⁱ⁾(c)の値は、可能な位置ラベルの個数分の一、すなわち、1/120であり、これは非常に小さい値なので、0とおいて差し支えない、ということになる。

そこで、この処理が目指すことを式で書き表わすと、次のようになる。
∀c 及び i >= L+1 について、f⁽ⁱ⁾(y⁽ⁱ⁾) を推定すること。

そのようなf⁽ⁱ⁾(y⁽ⁱ⁾)の推定値が求まると、下記の式で、i >= L+1について、下記の式により、i番目のデータの最尤確率が得られる。逆に言うと、この最尤確率を与える位置ラベルcが、i番目のデータの位置ラベルとして、最も確からしいということになる。

さて、このラベル伝播の枠組みでは、近隣インスタンスすなわち近隣データの間のラベル分布のずれを最小化することが試みられる。これは、一種の最適化問題である。そのような近隣データの間のラベル分布のずれは、下記のように定式化される。

この式で、Ｗ^(i,j)とあるのは、アフィニティ(affinity、類似度または近接度とも呼ばれる)と呼ばれる係数で、i番目のインスタンスと、j番目のインスタンスの間の類似性を示す。本発明の実施例における、アフィニティの固有の定義を、後で示す。

さて、上記近隣データの間のラベル分布のずれの最適化問題は、∀c 及び i >= L+1 について、次の解をもつ。そこで、上記最適化問題を直接解く代わりに、この式を、所望のレベルまで収束するまで繰り返すことにより、推定値を得ることができる。

本発明の好適な実施例では、アフィニティが、次のように定義される。

上記式中で、便宜上、Ｗ_X ^(i,j)を空間的アフィニティまたは空間的類似度、Ｗ_t ^(i,j)を時間的アフィニティまたは時間的類似度と呼ぶ。

空間的アフィニティは、２つのＲＳＳベクトルＸ⁽ⁱ⁾、Ｘ^(j)の間のアフィニティであり、本発明の好適な実施例では、次のように定義される。

また、上記式で、||...||_qは、いわゆるqノルムを表わし、具体的には、下記のような式である。

ここで、nは、アクセス・ポイントの数である。この式で、σ_dは、スケール・パラメータであり、0 < _dσ < ∞である。特に、この実施例では、0.5 < σ_d < 1 とした。なお、σ_dのようにスケール・パラメータをとることにより、d = 1..n毎に異なるσ_dを選ぶことができる。このことは、何か異常な値を生じがちなアクセス・ポイントからの電波の寄与を、σ_dの値を小さくすることによって、低減できることを意味する。一般的には、σ₁ = σ₂ = ... = σ_nであってもよい。

ここで、q = 2の場合は、ユークリッド距離と呼ばれ、q = 1の場合は、マンハッタン距離と呼ばれる。このように命名されていることからも分かるように、一般的に、最適化問題では、q >= 1ととることが常識であり、それ以外の場合は、考慮されることがなかった。しかし、本願発明者は、敢えてその常識に挑戦し、0 < q < 1というノルムを用いてみた。すると、ラベル伝播法をもちいた位置推定技法において、位置推定の精度に、著しい向上が見られた。

特に、１つの実施例では、q = 0.5とした。0 < q < 1であることから、これを１未満ノルムと呼ぶことにすると、１未満ノルムが成功した理由は、次のようであると考えられる。すなわち、特に室内の無線環境では、壁面などでの電波の反射や干渉の効果が大きく、これにより、あるアクセス・ポイントからの電波が突然欠落することがある。図４の例では、データＩＤがx_103の、AID1で示されているアクセス・ポイントAP₁からの電波強度が、-65から、突然-100になる、などである。屋内での電波の干渉は非常に複雑なので、原因を明確に特定することは困難であるが、ともかく言えることは、１未満ノルムが、このような電波強度の欠落がラベル伝播の計算に与える影響を、うまく緩和する作用をもたらした、ということである。

更なる考察により、アクセス・ポイントの数を増やすほど、qの値を0に近づけることが望ましいことが分かった。

また、下記のような、いわば、べき乗減衰型関数も、空間的アフィニティの計算に有用であることが分かった。

ここで、νは、1より大きい実数であるが、好ましくは、3.0または4.0程度の値が望ましい。また、nは、アクセス・ポイントの数である。σ_dの値の設定は、数７の場合と同様でよい。

さらに別の、下記のようなべき乗減衰型関数も、空間的アフィニティの計算に使うことができる。

ここで、βは、1より大きい実数であるが、好ましくは、3.0または4.0程度の値が望ましい。また、nは、アクセス・ポイントの数である。σ_dの値の設定は、数７の場合と同様でよい。

１未満ノルムと、べき乗減衰型関数は、その漸近性の点で、似ているといえる。このような漸近的な類似度の関数を使うことにより、特定のアクセス・ポイントからの電波の異常値をなだらかにし、それの類似度の計算に対する影響を抑える働きがある。この点で、べき乗減衰型関数は、１未満ノルムよりも、さらに離れた距離に対する減衰が弱い。また、上記数８あるいは数９で、νあるいはβを、∞にすると、２ノルムすなわち、ユークリッド距離の場合に近づく。

次に、時間的アフィニティは、この実施例では、次のように与えられる。

この式で、δは、クロネッカのδを拡張した関数で、関数の括弧内が真のときは1を返し、そうでないときは0を返す。従って、この時間的アフィニティは、データiとデータjが同一の時系列ＩＤをもち、また、データiとデータjの時間ＩＤの差が１のとき、pという値により、そうでない場合に、0という値になる。値pを返す例は、図４のデータＩＤがx_101のデータと、データＩＤがx_102のデータの間の関係の場合である。すなわち、同一時系列ＩＤに属し、時間ＩＤが隣接する場合を、時間的アフィニティが大きいとみなす。言い換えると、時間的に直ぐ隣のデータは、同一の位置ラベルをもつ確率が高い、ということを意味する。

この発明の実施例では、p = 1と選ばれた。すると、上記数６から分かるように、空間的アフィニティＷ_X ^(i,j)は、絶対に１より大きくなり得ないので、データiとデータjが同一の時系列ＩＤをもち、且つ、データiとデータjの時間ＩＤの差が１のときは、数５に従い、時間的アフィニティが、最終的なi,jのアフィニティとして選ばれることを意味する。

但し、pを1より小さい正の数として選ぶことにより、空間的アフィニティがきわめて1に近いときのi,jについて、データiとデータjが同一の時系列ＩＤをもち、また、データiとデータjの時間ＩＤの差が１であっても、空間的アフィニティに譲るようにしてもよい。

ところで、上記の時間的アフィニティの式は、時間ＩＤが隣接する場合しか配慮しない。そこで、時間的アフィニティの式として、下記のように、時間ＩＤが2以上離れていても、時間的アフィニティが0にならないような式を使うことができる。

ここで、

ここで、0 < σ < ∞であり、好ましくは、0.5 < σ < 1である。また、好ましくは、0 < r <= 2である。この場合、r >= 1でもよいのは、時間的アフィニティの場合、空間的アフィニティほど、漸近性のなだらかさを考慮する必要がないからである。そういう意味で、時間的アフィニティにも、べき乗減衰型関数を使用してもよいが、空間的アフィニティほど、それを使うメリットない。

尚、時間的アフィニティの計算において、データiとデータjの一方または両方が、時系列ＩＤをもたない、という場合がありえる。すなわち、上記タイプ(2)またはタイプ(4)の場合である。この場合、特に数１０または数１１の計算を行うことなく、時間的アフィニティとして、単に0を返すようにする。

また、上記実施例で、時間的アフィニティを考慮せず、空間的アフィニティだけを用いても（すなわち、数５の右辺としてＷ_X ^(i,j)だけを用いる）、ある程度の位置推定精度が得られることが分かっている。しかし、数５に示すように、空間的アフィニティと時間的アフィニティの大きい方を、アフィニティとして選ぶようにすることによって、有意義な推定精度の向上が見て取れた。

次に、図６のフローチャートを参照して、この実施例の処理を説明する。図６のステップ６０２では、測定電波の値と、それに関連する位置ラベル値、時系列ＩＤが、処理のため、図２に示すハードディスク・ドライブ２０８に保存される。これには、学習データとテスト・データの両方が含まれる。

好適には、学習データは、モバイル・コンピュータＰＣで記録されるが、テスト・データは、別途の情報端末などで取得され、図示しないがＵＳＢインターフェースなどを介して、モバイル・コンピュータＰＣのハードディスク・ドライブ２０８に取り込まれる。

図６のフローチャートの処理を行うプログラムは、予め、ハードディスク・ドライブ２０８に保存されており、マウス、キーボートなどの適当な処理によって、起動可能である。このプログラムは、Ｃ、Ｃ＋＋、Ｊａｖａ（商標）などの既存のプログラミング言語で作成することができるが、Ｒ言語などの統計処理言語の機能を使って、便利に実装することもできる。

さて、ステップ６０４では、位置ラベル付きデータについて、前記数１に基づき、f⁽ⁱ⁾(c)が、初期化される。位置ラベルのないデータについては、f⁽ⁱ⁾(c)は、全て0に初期化される。

ステップ６０６では、前記数５、数６、数７、数１０に基づき、すべての(i,j)の組み合わせ(i,j = 1 ... N)につきアフィニティＷ^(i,j)が計算され、後で使用するために一旦、ハードディスク・ドライブ２０８に保存される。なお、空間的アフィニティの計算は、数６及び数７の代わりに、数８または数９を使ってもよい。また、時間的アフィニティの計算は、数１０の代わりに、数１１及び数１２を使ってもよい。空間的アフィニティと、時間的アフィニティの両方が計算されると、数５により、それらの大きい方が、最終的なアフィニティとして選ばれる。

ステップ６０８では、ラベルなしデータが、任意の順序で選ばれる。例えば、i = L+1 .. Nという順序で選んでもよい。

ステップ６１０では、ステップ６０８で選ばれたラベルなしデータにつき、前記数４に基づき、全ての位置ラベルcで、f⁽ⁱ⁾(c)が更新される。

ステップ６１２では、終了条件を満たすかどうかが判断される。ここで、１つの終了条件の例は、ステップ６０８及びステップ６１０の繰り返し回数が、ある所定の回数を超えることである。１つの例では、繰り返し回数は、全データ数の三倍の数とした。別の終了条件の例は、前回計算したf⁽ⁱ⁾(c)と、今回計算したf⁽ⁱ⁾(c)の差の絶対値が所定の値よりも小さくなることである。

実装的には、ステップの繰り返し回数を決めておく方が、前回計算した値と、今回計算した値との差が所定の値よりも小さくなることを検出するよりも、容易である。

こうして、ステップ６１２では、終了条件を満たすと判断されると、全てのcに対して、i = L+1 .. Nにつき、f⁽ⁱ⁾(c)が求まるので、個々のiに関して、最大の確率を示すcが確定されて、ステップ６１４で、ハードディスク２０８に書き出され、後の動線解析などに使用される。

なお、上記の実施例では、電波強度データの記録のために、ＷｉＦｉの複数のアクセス・ポイントと、これからの電波を受信可能な無線ＬＡＮインターフェースをもつモバイル・コンピュータの組み合わせを使用したが、これには限定されず、例えば、ＲＦＩＤのアクティブタグを位置を検出すべき移動体に付与し、アクセス・ポイントで、アクティブタグから発生される電波を、受信するようにしてもよい。この場合、ＲＦＩＤ側ではなく、アクセス・ポイント側に接続したコンピュータの側で、電波強度を記録することができる。

位置推定手順を、具体的に説明すると、下記のとおりである。
先ず、店舗内の領域を、分析目的に合わせて分割し、位置ラベルを付与する（図１参照）。

上記領域分割と前後してもよいが、店舗内に電波発信源（無線ＬＡＮアクセス・ポイントまたはＲＦＩＤアンテナ）を複数設置する。全ての電波発信源は、中央サーバにネットワーク接続されている。なお、アクティブタグの場合、ＲＦＩＤのアンテナは、受信源となる。

このとき、全てのアクセス・ポイントには、個別識別可能なように、アクセス・ポイントＩＤが付与されている。

次に、店舗の準備担当者が、電波受信機（アクティブタグの場合、電波発信源）を携帯しながら、店舗内を巡回する（例えば、図１の経路１０４参照）。電波受信機は、無線ＬＡＮカードとアンテナをもつノート型パソコン、ＰＤＡなどである。電波受信機は、全アクセス・ポイントからの電波強度を測定して、データとして記録する。このとき、図４に示すように、時系列ＩＤと時間ＩＤを併せて記録するのが望ましいが、図５に示すように、時系列ＩＤと時間ＩＤなしのデータでもよい。このときのデータ記録は、好適には、電波受信機がローカルにもつディスクであるが、ネットワーク経由で、サーバに送り、サーバのストレージに記憶するようにしてもよい。

このとき、現在の位置ラベルを、その場所の受信電波データと結びつけて記録する。精度の高い位置推定のためには、各位置につき、最低１つの位置ラベル付き測定電波データが、必要である。図３は、位置ラベル付き測定電波データを記録するための、グラフィック・ユーザ・インターフェースの一例を示すものであり、図示されているように、個々の位置で、位置ラベルは、ユーザが、手入力する。このようにして、全ての位置に亘って、位置ラベル付き測定電波データが測定される。以上のようにして、学習データが記録される。

次に、試験者（顧客）が、電波受信機を携帯し、店舗内を巡回し、同様にして測定電波データを記録する。実際は、電波受信機は、買い物籠、買い物カートなどに取り付けられていてもよい。このとき、測定データは、原則的に、ラベルなし測定電波データとなる。顧客は、位置ラベルを気にすることなく、買い物に専念すべきだからである。但し、動線経路の決定という性質上、時系列の情報は、必要である。

こうして、学習データと、顧客の店内巡回によって記録されたテスト・データの両方を、所定のコンピュータのハードディスクに集めて保存する。この所定のコンピュータは、店舗の準備担当者が学習データ記録のために持ち歩いたノート型パソコンでもよいし、別の、よりハイエンドのコンピュータでもよい。

こうして、上記で説明したようなラベル伝播アルゴリズムに従う本発明の処理により、顧客の移動に従って記録された、ラベルなし測定電波データの最尤位置ラベルが推定される。この推定された位置と、上記時系列の情報を組み合わせて、顧客の動線データが得られる。

別の顧客の動線データを求める際にも、上記の学習データは、使いまわすことができる。

こうして、好適には複数の顧客の動線データと、関連する他のデータ（例えば、購入商品のＰＯＳデータ等）の関係を分析することにより、店舗における売上げ増加のための施策を検討し実行する。

その後、さらに顧客の動線データを測定し、上記施策の効果を検証する。なお、一旦作成した学習データは、原則として、使いまわすことができるが、気温、湿度、パーティションのレイアウト変更などで、電波状況が異なるので、適宜更新することが望ましい。

以上、本発明を、ラベル伝播法に適用する場合について説明したが、本発明は、これには限定されず、近接関係をあらわす類似度に従って、既知の位置ラベルから、未知の位置ラベルを推定する技法に広く適用することができる。

また、上記では、動線解析に利用する例について説明したが、モバイル・コマース、移動型ロボットの自己位置推定による行動判断、高齢者や障害者向けのヘルスケア、などの用途にも、本発明は適用可能である。例えば、移動型ロボットの自己位置推定による行動判断では、位置ラベルをもつデータが周囲にほとんどで、ラベル伝播させることなく、近接関係の類似度だけで、未知の位置ラベルを推定することができる。このような、より一般的な推定処理も、本発明の範囲であり、その際、本発明に従う１未満ノルム類似度、あるいはべき乗減衰型の類似度関数が、有意義に働く。

以上、特定の実施例に基づき、本発明を説明してきたが、この発明はこの特定の実施例に限定されず、その本質を逸脱しないさまざまな応用例に適用可能であることを理解されたい。

屋内での位置ラベル付けと、アクセス・ポイントの配置を示す図である。 電波強度を記録するためのモバイル・コンピュータのハードウェアを示す図である。 モバイル・コンピュータを使って電波強度を記録するためのプログラムのメニューを示す図である。 時系列をもつ場合の、測定電波データの例を示す図である。 時系列をもたない場合の、測定電波データの例を示す図である。 位置ラベル推定処理のフローチャートを示す図である。

Claims (9)

1. コンピュータにより、電波強度のデータから電波受信機の位置を推定するための方法であって、
   位置ラベル付き電波強度ベクトルのデータと、位置ラベルなし電波強度ベクトルのデータをそれぞれ複数用意して、前記コンピュータの記憶手段に記録するステップと、
   前記コンピュータにより、前記位置ラベル付き電波強度ベクトルのデータ及び位置ラベルなし電波強度ベクトルのデータが位置ラベルcをもつ確率f⁽ⁱ⁾(c)(i=1 ... N、Nは、用意された全電波強度ベクトルのデータの個数）の初期値を、位置ラベルが確定している場合には1を、そうでない場合には0とするように、設定するステップと、
   前記コンピュータにより、すべてのi,j(i,j=1 ... N)について、電波強度ベクトルのqノルム( 0 < q < 1)を用いて、類似度Ｗ^(i,j)を計算するステップと、
   前記コンピュータにより、前記位置ラベルなし電波強度ベクトルのデータに関して、下記の式により、f⁽ⁱ⁾(c)を計算するステップと、
   

   

   前記コンピュータにより、前記f⁽ⁱ⁾(c)を計算するステップを繰り返すステップとを有し、
   前記類似度Ｗ^(i,j)が、qノルムを使用する下記の式で与えられ、0 < σ_d < ∞であり、X⁽ⁱ⁾は、i番目の電波強度ベクトルであり、
   

   

   ここで、
   

   

   ここで、nは、電波強度ベクトルの次元数である、
   方法。
2. q = 0.5、σ = 0.5である、請求項１に記載の方法。
3. コンピュータにより、電波強度のデータから電波受信機の位置を推定するための方法であって、
   位置ラベル付き電波強度ベクトルのデータと、位置ラベルなし電波強度ベクトルのデータをそれぞれ複数用意して、前記コンピュータの記憶手段に記録するステップと、
   前記コンピュータにより、前記位置ラベル付き電波強度ベクトルのデータ及び位置ラベルなし電波強度ベクトルのデータが位置ラベルcをもつ確率f⁽ⁱ⁾(c)(i=1 ... N、Nは、用意された全電波強度ベクトルのデータの個数）の初期値を、位置ラベルが確定している場合には1を、そうでない場合には0とするように、設定するステップと、
   前記コンピュータにより、すべてのi,j(i,j=1 ... N)について、類似度Ｗ^(i,j)を計算するステップと、
   前記コンピュータにより、前記位置ラベルなし電波強度ベクトルのデータに関して、下記の式により、f⁽ⁱ⁾(c)を計算するステップと、
   

   

   前記コンピュータにより、前記f⁽ⁱ⁾(c)を計算するステップを繰り返すステップとを有し、
   前記類似度Ｗ^(i,j)が、べき乗減衰型関数を用いて計算した空間類似度と、時間的類似度のうちの大きい方を類似度とし、
   X⁽ⁱ⁾、X^(j)を、それぞれi番目とj番目のベクトルとしたとき、
   前記空間的類似度Ｗ_X ^(i,j)が、
   

   

   ここで、nはベクトルの次元数であり、0 < σ_d < ∞であり、νは、1より大きい数である式、
   または、
   

   

   ここで、nはベクトルの次元数であり、0 < σ_d < ∞であり、βは、1より大きい数である式、
   のどちらかの式を用いて計算され、
   前記時間的類似度Ｗ_t ^(i,j)が、
   

   

   ここで、t ⁽ⁱ⁾ はi番目の時間、TID ⁽ⁱ⁾ はi番目の時間ID、δは、クロネッカのδを拡張した関数で、関数の括弧内が真のときは1を返し、そうでないときは0を返し、0 < p <= 1である式、
   または
   

   

   である式のどちらかの式を用いて計算され、
   ここで、
   

   

   であり、0 < p <= 1、0 < r <= 2、0 < σ < ∞である、
   方法。
4. コンピュータにより、電波強度のデータから電波受信機の位置を推定するためのプログラムであって、
   前記コンピュータに、
   位置ラベル付き電波強度ベクトルのデータと、位置ラベルなし電波強度ベクトルのデータをそれぞれ複数用意して、前記コンピュータの記憶手段に記録するステップと、
   前記位置ラベル付き電波強度ベクトルのデータ及び位置ラベルなし電波強度ベクトルのデータが位置ラベルcをもつ確率f⁽ⁱ⁾(c)(i=1 ... N、Nは、用意された全電波強度ベクトルのデータの個数）の初期値を、位置ラベルが確定している場合には1を、そうでない場合には0とするように、設定するステップと、
   すべてのi,j(i,j=1 ... N)について、電波強度ベクトルのqノルム( 0 < q < 1)を用いて、類似度Ｗ^(i,j)を計算するステップと、
   前記位置ラベルなし電波強度ベクトルのデータに関して、下記の式により、f⁽ⁱ⁾(c)を計算するステップと、
   

   

   前記f⁽ⁱ⁾(c)を計算するステップを繰り返すステップを実行させ、
   前記類似度Ｗ^(i,j)が、qノルムを使用する下記の式で与えられ、0 < σ_d < ∞であり、X⁽ⁱ⁾は、i番目の電波強度ベクトルであり、
   

   

   ここで、
   

   

   ここで、nは、電波強度ベクトルの次元数である、
   プログラム。
5. q = 0.5、σ = 0.5である、請求項４に記載のプログラム。
6. コンピュータにより、電波強度のデータから電波受信機の位置を推定するためのプログラムであって、
   前記コンピュータに、
   位置ラベル付き電波強度ベクトルのデータと、位置ラベルなし電波強度ベクトルのデータをそれぞれ複数用意して、前記コンピュータの記憶手段に記録するステップと、
   前記位置ラベル付き電波強度ベクトルのデータ及び位置ラベルなし電波強度ベクトルのデータが位置ラベルcをもつ確率f⁽ⁱ⁾(c)(i=1 ... N、Nは、用意された全電波強度ベクトルのデータの個数）の初期値を、位置ラベルが確定している場合には1を、そうでない場合には0とするように、設定するステップと、
   すべてのi,j(i,j=1 ... N)について、類似度Ｗ^(i,j)を計算するステップと、
   前記位置ラベルなし電波強度ベクトルのデータに関して、下記の式により、f⁽ⁱ⁾(c)を計算するステップと、
   

   

   前記f⁽ⁱ⁾(c)を計算するステップを繰り返すステップを実行させ、
   前記類似度Ｗ^(i,j)が、べき乗減衰型関数を用いて計算した空間類似度と、時間的類似度のうちの大きい方を類似度とし、
   X⁽ⁱ⁾、X^(j)を、それぞれi番目とj番目のベクトルとしたとき、
   前記空間的類似度Ｗ_X ^(i,j)が、
   

   

   ここで、nはベクトルの次元数であり、0 < σ_d < ∞であり、νは、1より大きい数である式、
   または、
   

   

   ここで、nはベクトルの次元数であり、0 < σ_d < ∞であり、βは、1より大きい数である式、
   のどちらかの式を用いて計算され、
   前記時間的類似度Ｗ_t ^(i,j)が、
   

   

   ここで、t ⁽ⁱ⁾ はi番目の時間、TID ⁽ⁱ⁾ はi番目の時間ID、δは、クロネッカのδを拡張した関数で、関数の括弧内が真のときは1を返し、そうでないときは0を返し、0 < p <= 1である式、
   または
   

   

   である式のどちらかの式を用いて計算され、
   ここで、
   

   

   であり、0 < p <= 1、0 < r <= 2、0 < σ < ∞である、
   プログラム。
7. コンピュータにより、電波強度のデータから電波受信機の位置を推定するためのシステムであって、
   記憶手段と、
   位置ラベル付き電波強度ベクトルのデータと、位置ラベルなし電波強度ベクトルのデータをそれぞれ複数用意して、前記コンピュータの記憶手段に記録する手段と、
   前記位置ラベル付き電波強度ベクトルのデータ及び位置ラベルなし電波強度ベクトルのデータが位置ラベルcをもつ確率f⁽ⁱ⁾(c)(i=1 ... N、Nは、用意された全電波強度ベクトルのデータの個数）の初期値を、位置ラベルが確定している場合には1を、そうでない場合には0とするように、設定する手段と、
   すべてのi,j(i,j=1 ... N)について、電波強度ベクトルのqノルム( 0 < q < 1)を用いて、類似度Ｗ^(i,j)を計算する手段と、
   前記位置ラベルなし電波強度ベクトルのデータに関して、下記の式により、f⁽ⁱ⁾(c)を計算する手段と、
   

   

   前記f⁽ⁱ⁾(c)を計算する処理を繰り返す手段とを有し、
   前記類似度Ｗ^(i,j)が、qノルムを使用する下記の式で与えられ、0 < σ_d < ∞であり、X⁽ⁱ⁾は、i番目の電波強度ベクトルであり、
   

   

   ここで、
   

   

   ここで、nは、電波強度ベクトルの次元数である、
   システム。
8. q = 0.5、σ = 0.5である、請求項７に記載のシステム。
9. コンピュータにより、電波強度のデータから電波受信機の位置を推定するためのシステムであって、
   記憶手段と、
   位置ラベル付き電波強度ベクトルのデータと、位置ラベルなし電波強度ベクトルのデータをそれぞれ複数用意して、前記コンピュータの記憶手段に記録する手段と、
   前記位置ラベル付き電波強度ベクトルのデータ及び位置ラベルなし電波強度ベクトルのデータが位置ラベルcをもつ確率f⁽ⁱ⁾(c)(i=1 ... N、Nは、用意された全電波強度ベクトルのデータの個数）の初期値を、位置ラベルが確定している場合には1を、そうでない場合には0とするように、設定する手段と、
   すべてのi,j(i,j=1 ... N)について、類似度Ｗ^(i,j)を計算する手段と、
   前記位置ラベルなし電波強度ベクトルのデータに関して、下記の式により、f⁽ⁱ⁾(c)を計算する手段と、
   

   

   前記f⁽ⁱ⁾(c)を計算する処理を繰り返す手段とを有し、
   前記類似度Ｗ^(i,j)が、べき乗減衰型関数を用いて計算した空間類似度と、時間的類似度のうちの大きい方を類似度とし、
   X⁽ⁱ⁾、X^(j)を、それぞれi番目とj番目のベクトルとしたとき、
   前記空間的類似度Ｗ_X ^(i,j)が、
   

   

   ここで、nはベクトルの次元数であり、0 < σ_d < ∞であり、νは、1より大きい数である式、
   または、
   

   

   ここで、nはベクトルの次元数であり、0 < σ_d < ∞であり、βは、1より大きい数である式、
   のどちらかの式を用いて計算され、
   前記時間的類似度Ｗ_t ^(i,j)が、
   

   

   ここで、t ⁽ⁱ⁾ はi番目の時間、TID ⁽ⁱ⁾ はi番目の時間ID、δは、クロネッカのδを拡張した関数で、関数の括弧内が真のときは1を返し、そうでないときは0を返し、0 < p <= 1である式、
   または
   

   

   である式のどちらかの式を用いて計算され、
   ここで、
   

   

   であり、0 < p <= 1、0 < r <= 2、0 < σ < ∞である、
   システム。

Images