JP5086926B2 - 算出方法、プログラム及び露光方法 - Google Patents

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Description

本件は、算出方法、プログラム及び露光方法に関する。
フォトリソグラフィー（焼き付け）技術を用いて半導体デバイスを製造する際に、原版（マスク又はレチクル）に描画された回路パターンを投影光学系によってウエハ等の基板に投影して回路パターンを転写する投影露光装置が使用されている。近年では、半導体デバイスの微細化に伴い、投影露光装置には、更なる解像力の向上（高解像度化）が望まれている。
投影露光装置の高解像度化を達成する手段としては、投影光学系の高ＮＡ化（投影光学系の開口数（ＮＡ）の増加）及び露光光の短波長化が従来から知られている。また、ｋ１ファクター（「プロセス定数」とも呼ばれる）を小さくすることにより投影露光装置の解像度の向上を図る超解像技術（ＲＥＴ：Ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ Ｅｎｈａｎｃｅｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ）も注目されている。
一方、ｋ１ファクターが小さくなるにつれて、露光の難易度は増している。従来では、実験を何回か繰り返して露光可能かどうか（即ち、回路パターンを忠実に投影することができるかどうか）を確認し、露光（露光条件や露光方法など）の最適化をしていた。但し、露光の難易度が増している現在では、露光可能かどうかを実験で確認するのでは時間もコストもかかってしまう。そこで、現在では、コンピュータを用いて露光シミュレーションを繰り返して露光の最適化をしている。かかるシミュレーションにおいては、予め決められたルールに基づいたシミュレーションから、光学の物理モデルに基づいたシミュレーションを実行する、所謂、モデルベース超解像技術が主流となっている。
モデルベース超解像技術は、一般的に、部分コヒーレント結像計算を使用している。従って、部分コヒーレント結像計算の計算速度を向上させれば、モデルベース超解像技術（シミュレーション）にかかる時間を短縮することが可能となる。現在では、コンピュータ環境の進歩に伴い、複数台のコンピュータを並列化させて計算速度を向上させる技術も提案されている。また、部分コヒーレント結像計算を実行するアルゴリズムを改良することで、コンピュータの並列化よりも効果的に計算速度を向上させる技術も提案されている。
例えば、非特許文献１（Ｃｒｉｓ Ｓｐｅｎｃｅ著）において、ＳＯＣＳというアルゴリズムは計算速度（シミュレーション速度）を１００００倍にしたとの報告がなされている。また、非特許文献２には、部分コヒーレント結像計算について記載されているが、ＳＯＣＳのアルゴリムを用いた場合の計算速度を上回る計算速度を実現するアルゴリズムは紹介されていない。なお、非特許文献２では、ＳＯＣＳをＣｏｈｅｒｅｎｔ Ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎと呼んでいる。
Ｆｕｌｌ−Ｃｈｉｐ Ｌｉｔｈｏｇｒａｐｈｙ Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｄｅｓｉｇｎ Ａｎａｌｙｓｉｓ−Ｈｏｗ ＯＰＣ ｉｓ Ｃｈａｎｇｉｎｇ ＩＣ Ｄｅｓｉｇｎ，Ｐｒｏｃ. ｏｆ ＳＰＩＥ，ＵＳＡ、ＳＰＩＥ ｐｒｅｓｓ，２００５，Ｖｏｌ．５７５１，ｐｐ．１−１４ Ａｌｆｒｅｄ Ｋｗｏｋ−ｋｉｔ Ｗｏｎｇ著，「Ｏｐｔｉｃａｌ Ｉｍａｇｉｎｇ ｉｎ Ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ Ｍｉｃｒｏｌｉｔｈｏｇｒａｐｈｙ」，アメリカ合衆国、ＳＰＩＥ ｐｒｅｓｓ，２００５年，ｐｐ．１５１−１６３
しかしながら、ＳＯＣＳは、相互透過係数（ＴＣＣ：Ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ Ｃｒｏｓｓ Ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ）の算出や固有値及び固有関数の分解に時間がかかってしまう。
そこで、本発明は、このような従来技術の課題に鑑みて、投影光学系の像面に形成される光強度分布を短時間で算出することができる算出方法を提供することを例示的目的とする。
上記目的を達成するために、本発明の第１の側面としての算出方法は、照明光学系を用いて原版を照明して、前記原版のパターンの像を投影光学系を介して基板に投影する際に、前記投影光学系の像面に形成される光強度分布をコンピュータによって算出する算出方法であって、前記原版が前記投影光学系の物体面に配置されていない場合に前記投影光学系の瞳面に形成される有効光源を、複数の領域に分割するか否かを判定する判定ステップと、前記有効光源を複数の領域に分割すると判定した場合に、前記有効光源を複数の領域に分割する分割ステップと、前記複数の領域のそれぞれについて、複数の点光源に分割された各点光源の位置に応じて、前記投影光学系の瞳を示す瞳関数をシフトさせることによってシフトされた複数の瞳関数を生成する生成ステップと、前記複数の領域のそれぞれについて、前記生成ステップで生成された前記複数の瞳関数を含む行列を定義する定義ステップと、前記複数の領域のそれぞれについて、前記定義ステップで定義された前記行列を特異値分解して固有値と固有関数とを算出する第１の算出ステップと、前記複数の領域のそれぞれについて、前記原版のパターンで回折された回折光の回折光分布、前記第１の算出ステップで算出された前記固有値と前記固有関数とに基づいて、前記投影光学系の像面に形成される光強度分布を算出する第２の算出ステップと、前記第２の算出ステップで算出された前記複数の領域のそれぞれについての前記光強度分布を合成する合成ステップと、を有することを特徴とする。
本発明の第２の側面としてのプログラムは、照明光学系を用いて原版を照明して、前記原版のパターンの像を投影光学系を介して基板に投影する際に、前記投影光学系の像面に形成される光強度分布を算出する処理をコンピュータに実行させるプログラムであって、前記コンピュータに、前記原版が前記投影光学系の物体面に配置されていない場合に前記投影光学系の瞳面に形成される有効光源を複数の領域に分割するか否かを判定する判定ステップと、前記有効光源を複数の領域に分割すると判定した場合に、前記有効光源を複数の領域に分割する分割ステップと、前記複数の領域のそれぞれについて、複数の点光源に分割された各点光源の位置に応じて、前記投影光学系の瞳を示す瞳関数をシフトさせることによってシフトされた複数の瞳関数を生成する生成ステップと、前記複数の領域のそれぞれについて、前記生成ステップで生成された前記複数の瞳関数を含む行列を定義する定義ステップと、前記複数の領域のそれぞれについて、前記定義ステップで定義された前記行列を特異値分解して固有値と固有関数とを算出する第１の算出ステップと、前記複数の領域のそれぞれについて、前記原版のパターンで回折された回折光の回折光分布、前記第１の算出ステップで算出された前記固有値と前記固有関数とに基づいて、前記投影光学系の像面に形成される光強度分布を算出する第２の算出ステップと、前記第２の算出ステップで算出された前記複数の領域のそれぞれについての前記光強度分布を合成する合成ステップと、を実行させることを特徴とする。
本発明の第３の側面としての露光方法は、照明光学系を用いて原版を照明して、前記原版のパターンの像を投影光学系を介して基板に投影する際に、前記投影光学系の像面に形成される光強度分布を算出する算出ステップと、前記算出ステップで算出された前記光強度分布に基づいて露光条件を調整する調整ステップと、前記調整ステップの後、前記原版のパターンの像を前記基板に投影する露光ステップと、を有し、前記算出ステップは、前記原版が前記投影光学系の物体面に配置されていない場合に前記投影光学系の瞳面に形成される有効光源を複数の領域に分割するか否かを判定する判定ステップと、前記有効光源を複数の領域に分割すると判定した場合に、前記有効光源を複数の領域に分割する分割ステップと、前記複数の領域のそれぞれについて、複数の点光源に分割された各点光源の位置に応じて、前記投影光学系の瞳を示す瞳関数をシフトさせることによってシフトされた複数の瞳関数を生成する生成ステップと、前記複数の領域のそれぞれについて、前記生成ステップで生成された前記複数の瞳関数を含む行列を定義する定義ステップと、前記複数の領域のそれぞれについて、前記定義ステップで定義された前記行列を特異値分解して固有値と固有関数とを算出する第１の算出ステップと、前記複数の領域のそれぞれについて、前記原版のパターンで回折された回折光の回折光分布、前記第１の算出ステップで算出された前記固有値と前記固有関数とに基づいて、前記投影光学系の像面に形成される光強度分布を算出する第２の算出ステップと、前記第２の算出ステップで算出された前記複数の領域のそれぞれについての前記光強度分布を合成する合成ステップと、を含むことを特徴とする。
本発明の第４の側面としてのプログラムは、照明光学系を用いて原版を照明して、前記原版のパターンの像を投影光学系を介して基板に投影する際に、前記投影光学系の像面に形成される光強度分布を算出する処理をコンピュータに実行させるプログラムであって、前記コンピュータに、前記原版が前記投影光学系の物体面に配置されていない場合に前記投影光学系の瞳面に形成される有効光源を、複数の領域に分割して、前記複数の領域のそれぞれについて前記有効光源を複数の点光源に分割する分割ステップと、前記複数の領域のそれぞれについて、前記点光源の各位置に応じて、前記投影光学系の瞳を示す瞳関数をシフトさせることによってシフトされた複数の瞳関数を生成する生成ステップと、前記複数の領域のそれぞれについて、前記生成ステップで生成された前記複数の瞳関数を含む行列を定義する定義ステップと、前記複数の領域のそれぞれについて、前記定義ステップで定義された前記行列を特異値分解して固有値と固有関数とを算出する第１の算出ステップと、前記複数の領域のそれぞれについて、前記原版のパターンで回折された回折光の回折光分布、前記第１の算出ステップで算出された前記固有値と前記固有関数とに基づいて、前記投影光学系の像面に形成される光強度分布を算出する第２の算出ステップと、前記第２の算出ステップで算出された前記複数の領域のそれぞれについての前記光強度分布を合成する合成ステップと、を実行させることを特徴とする。
本発明の更なる目的又はその他の側面は、以下、添付図面を参照して説明される好ましい実施形態によって明らかにされるであろう。
本発明によれば、例えば、投影光学系の像面に形成される光強度分布を短時間で算出する算出方法を提供することができる。
以下、添付図面を参照して、本発明の好適な実施の形態について説明する。なお、各図において、同一の部材については同一の参照番号を付し、重複する説明は省略する。
本発明は、例えば、露光装置や顕微鏡などにおいて、部分コヒーレント結像に基づいた光学系の結像計算（部分コヒーレント結像計算）に適用することができる。また、本発明は、ＩＣ、ＬＳＩなどの半導体チップ、液晶パネルなどの表示素子、磁気ヘッドなどの検出素子、ＣＣＤなどの撮像素子等の各種デバイスの製造やマイクロメカニクスで用いる原版のデータの生成に適用することもできる。なお、マイクロメカニクスとは、半導体集積回路製造技術を微細構造体の製作に応用して、高度な機能を有するミクロン単位の機械システムを作成する技術や、かかる機械システム自体である。
また、本発明で開示される概念は、数学的にモデル化することができる。従って、コンピュータ・システムのソフトウエア機能として実装することができる。コンピュータ・システムのソフトウエア機能は、実行可能なソフトウエア・コードを有するプログラミングを含み、本実施形態では、部分コヒーレント結像計算を実行する。ソフトウエア・コードは、コンピュータ・システムのプロセッサによって実行される。ソフトウエア・コード動作中において、コード又は関連データ記録は、コンピュータ・プラットフォームに格納される。但し、ソフトウエア・コードは、他の場所に格納される、或いは、適切なコンピュータ・システムにロードされることもある。従って、ソフトウエア・コードは、１つ又は複数のモジュールとして、コンピュータで読み取り可能な記録媒体で保持することができる。本発明は、上述したコードという形式で記述することが可能であり、１つ又は複数のソフトウエア製品として機能させることができる。
まず、本実施形態における露光装置の座標系について説明する。露光装置の座標系は、本実施形態では、２つに大別される。
第１の座標系は、マスク面（投影光学系の物体面）及びウエハ面（投影光学系の像面）における座標であって、本実施形態では、（ｘ、ｙ）で表す。マスク面上のパターンの大きさとウエハ面上のパターンの大きさとでは、投影光学系の倍率だけ異なる。但し、以下では、説明を簡単にするために、マスク面上のパターンの大きさに投影光学系の倍率をかけて、マスク面上のパターンの大きさとウエハ面上のパターンの大きさを１：１で対応させる。これにより、マスク面の座標系とウエハ面の座標系も１：１で対応する。
第２の座標系は、投影光学系の瞳面における座標であって、本実施形態では、（ｆ、ｇ）で表す。また、投影光学系の瞳面における座標（ｆ、ｇ）は、投影光学系の瞳の半径が１となるように規格化した座標系である。
露光装置では、投影光学系の物体面にマスクを配置しない状態において、投影光学系の瞳面に形成される光強度分布を有効光源と呼び、本実施形態では、Ｓ（ｆ、ｇ）で表す。また、投影光学系の瞳は、本実施形態では、瞳関数Ｐ（ｆ、ｇ）で表す。瞳関数には収差や偏光の影響（情報）を組み込むことができるため、一般的には、瞳関数といえば、収差や偏光の影響が含まれる。
露光装置は、部分コヒーレント照明でマスクを照明して、マスクのパターン（マスクパターン）をウエハに投影する。本実施形態では、透過率及び位相情報を含むマスクパターンをｏ（ｘ、ｙ）で定義し、ウエハ面に形成される光強度分布（空中像）をＩ（ｘ、ｙ）で定義する。また、マスクパターンで回折された回折光の振幅は、投影光学系の瞳面で定義され、本実施形態では、ａ（ｆ、ｇ）とする。
ここで、従来の部分コヒーレント結像計算について説明する。従来の部分コヒーレント結像計算（投影光学系の像面における光強度分布の計算）は、３種類の計算方法に大別することができる。
第１の計算方法は、光源面積分の方法（所謂、アッベの方法）である。具体的には、光源面積分の方法は、以下の数式１に示すように、光強度分布Ｉ（ｘ、ｙ）を算出する。
数式１において、Ｎ１は数値計算上の点光源の数を表し、Ｆはフーリエ変換を表す。
第２の計算方法は、ＴＣＣを固有値分解せずに計算する方法である。ＴＣＣは、以下の数式２に示すように定義される。
数式２を参照するに、ＴＣＣは、４次元関数であることがわかる。光強度分布Ｉ（ｘ、ｙ）は、ＴＣＣを用いることで、以下の数式３から算出することができる。
数式３において、Ｎ２は、ｉ、ｊ、ｋ、ｌがとりうる種類（数）を表し、数値計算上の瞳分割数に依存する。
第３の計算方法は、ＳＯＣＳと呼ばれる方法であって、数式２に示すＴＣＣを複数の固有値及び固有関数に分解する。第ｉ番目の固有値をλｉ、第ｉ番目の固有関数をΨｉとすると、光強度分布Ｉ（ｘ、ｙ）は、以下の数式４で算出される。
数式４において、Ｎ３は、数値計算上の点光源の数を表す。
光源面積分の方法は、小規模計算（小規模シミュレーション）に好適である。具体的には、光源面積分の方法は、マスクの一部分に関するシミュレーションをしたり、光学的な設定（有効光源、収差、偏光など）の違いによって結像性能がどのように変化するのかを調べたりする場合に好適である。
ＴＣＣを用いた計算方法、即ち、数式３を用いた計算方法は、４重積分を実行する必要があるため、光源面積分の方法及びＳＯＣＳと比較して計算速度が遅い。そこで、４重積分を実行せずに光強度分布を求める方法としてＳＯＣＳがある。ＳＯＣＳは、大規模計算（大規模シミュレーション）に好適である。
大規模計算では、マスクを複数の領域に分割して計算する。もし、光学的な設定（有効光源、収差、偏光など）が変化しなければ、数式２に示すＴＣＣは変化しないため、数式４における固有関数Ψｉも変化しない。従って、固有値λｉ及び固有関数Ψｉを一度求めてしまえば、マスク、即ち、回折光の振幅ａ（ｆ、ｇ）が変化しても、２次元のフーリエ変換と２乗和をとるという単純計算の繰り返しであるため、ＳＯＣＳはマスクのみを変化させる大規模計算に好適である。
一方、数式２から理解されるように、ＴＣＣを算出するためには、２重積分を実行する必要がある（即ち、ＴＣＣが４次元関数である）。従って、ＳＯＣＳでは、ＴＣＣの算出に時間がかかると共に、膨大なコンピュータ・メモリが必要となる。また、ＳＯＣＳは、固有値λｉ及び固有関数Ψｉの算出にも時間がかかってしまう。更に、ＳＯＣＳは、光学的な設定（有効光源、収差、偏光など）が変化すると、ＴＣＣを算出しなおさなければならない。従って、ＳＯＣＳは、光学的な設定を変化させて結像性能の変化を調べる場合（小規模計算）には適していない。
以上のように、従来の計算方法は、シミュレーションに多大な時間を必要としていた。また、従来技術では、計算対象（即ち、小規模計算であるのか、或いは、大規模計算であるのか）に応じて、光源面積分の方法とＳＯＣＳとを使い分ける必要がある。
図１は、本発明の一側面としての算出方法を実行する処理装置１の構成を示す概略ブロック図である。
処理装置１は、例えば、汎用のコンピュータで構成され、図１に示すように、バス配線１０と、制御部２０と、表示部３０と、記憶部４０と、入力部５０と、媒体インターフェース６０とを有する。
バス配線１０は、制御部２０、表示部３０、記憶部４０、入力部５０及び媒体インターフェース６０を相互に接続する。
制御部２０は、例えば、ＣＰＵ、ＧＰＵ、ＤＳＰ又はマイコンで構成され、一時記憶のためのキャッシュメモリなどを含む。
表示部３０は、例えば、ＣＲＴディスプレイや液晶ディスプレイなどの表示デバイスで構成される。
記憶部４０は、例えば、メモリやハードディスクで構成される。
記憶部４０は、本実施形態では、パターンデータ４０１と、有効光源情報４０２と、ＮＡ情報４０３と、λ情報４０４と、収差情報４０５と、偏光情報４０６と、レジスト情報４０７とを記憶する。更に、記憶部４０は、Ｐ演算子４０８と、空中像４０９と、マスクデータ４１０と、空中像計算プログラム４２０とを記憶する。
パターンデータ４０１は、集積回路などの設定において、レイアウト設計されたパターン（レイアウトパターン又は目標パターン）のデータである。
有効光源情報４０２は、露光装置の投影光学系の瞳面に形成される光強度分布（有効光源）に関する情報である。
ＮＡ情報４０３は、露光装置の投影光学系の像面側の開口数（ＮＡ）に関する情報である。
λ情報４０４は、露光装置の光源から射出される光（露光光）の波長に関する情報である。
収差情報４０５は、露光装置の投影光学系の収差に関する情報である。
偏光情報４０６は、露光装置の照明装置（照明光学系）で形成される光の偏光（照明光の偏光状態）に関する情報である。
レジスト情報４０７は、ウエハに塗布されるレジストに関する情報である。
Ｐ演算子４０８は、後述するように、ウエハ面に形成される光強度分布である空中像を算出する過程（即ち、空中像計算プログラム４２０）で必要となる行列である。
空中像４０９は、空中像計算プログラム４２０による空中像（光強度分布）の算出結果である。
マスクデータ４１０は、実際の原版であるマスク（レチクル）のデータである。なお、マスクデータ４１０は、一般的に、パターンデータ４０１と異なる。
空中像計算プログラム４２０は、空中像（光強度分布）を算出するためのプログラムである。
入力部５０は、例えば、キーボードやマウスなどを含む。
媒体インターフェース６０は、例えば、フレキシブルディスクドライブ、ＣＤ−ＲＯＭドライブやＵＳＢインターフェースなどを含み、記憶媒体７０と接続可能に構成される。なお、記憶媒体７０は、フレキシブルディスク、ＣＤ−ＲＯＭやＵＳＢメモリなどである。
以下、空中像計算プログラム４２０による空中像４０９の算出について、特に、Ｐ演算子４０８に注目して説明する。なお、本実施形態では、露光光の波長をλとし、投影光学系の像面側の開口数をＮＡとする。また、照明光学系からマスク面に入射する照明光の開口数と投影光学系の物体面側の開口数との比をσとする。
露光装置におけるマスクパターンと空中像との関係は、部分コヒーレント結像の関係にある。部分コヒーレント結像計算は、上述したように、３種類（数式１、数式３及び数式４参照）に大別されている。数式１及び数式４では、フーリエ変換Ｆが用いられているため、フーリエ光学の観点から、平面波の足し合わせが空中像を形成していると考えることができる。なお、平面波は、ｅｘｐ［−ｉ２π（ｆｘ＋ｇｙ）］で表される。また、数式３では、フーリエ変換Ｆが明確に現われていないが、平面波ｅｘｐ［−ｉ２π（ｆｘ＋ｇｙ）］が含まれているため、同様に、平面波の足し合わせであると考えることができる。
このように、部分コヒーレント結像は、光学的には、平面波ｅｘｐ［−ｉ２π（ｆｘ＋ｇｙ）］を基本としていると考えることができる。一方、平面波ｅｘｐ［−ｉ２π（ｆｘ＋ｇｙ）］は、数学的には、完全直交系である。そこで、本実施形態では、平面波が完全直交系であるという性質を利用して、空中像４０９をより短い時間で算出することを実現している。
まず、１次元の空中像（光強度分布）を算出する場合を例に説明する。この場合、平面波は、ｅｘｐ（−ｉ２πｆｘ）で表すことができる。また、以下の数式５に示すように、完全直交系をベクトルで定義する。
数式５において、Ｍは、ｆの範囲を−２≦ｆ≦２とした場合に、数値計算でｆの範囲を何分割したかを表す。
ここで、Ｐ演算子４０８について説明する。なお、本実施形態では、数式５におけるＭを７としているため、図２に示すように、ｆ１＝−２、ｆ２＝−４／３、ｆ３＝−２／３、ｆ４＝０、ｆ５＝２／３、ｆ６＝４／３、ｆ７＝２となる。図２は、１次元の平面波（完全直交系）を模式的に示す図である。
マスクパターンで回折された回折光の振幅ａ（ｆ）を用いると、ｆｉから像面に達する平面波は、ａ（ｆｉ）ｅｘｐ（−ｉ２πｆｉｘ）で表すことができる。従って、投影光学系の瞳上の回折光分布が像面に達する光を平面波の重ね合わせで表現するベクトル（即ち、回折光分布のベクトル）｜φ’＞は、以下の数式６で表すことができる。
数式６において、Ａは、回折光の振幅ａ（ｆｉ）を対角成分に有する対角行列である。
投影光学系が無収差である場合、投影光学系の瞳は、−１≦ｆ≦１の範囲に存在する回折光をそのまま透過させ、｜ｆ｜＞１の範囲に存在する回折光を遮光する機能を有する。有効光源上の１点ｆ’から射出した光は、投影光学系の瞳をｆ’だけずらす（シフトする）ことと同等であると考えられる。従って、有効光源上の１点ｆ’から射出した光がマスクパターンで回折された場合、−１≦ｆ−ｆ’≦１の範囲に存在する回折光が投影光学系の瞳を通過し、｜ｆ−ｆ’｜＞１の範囲に存在する回折光が投影光学系の瞳で遮光される。
例えば、有効光源上でｆ＝ｆ４＝０から射出した光がマスクパターンで回折され、投影光学系の瞳で絞られた場合、投影光学系の瞳を透過した後の回折光の振幅｜φ１＞は、以下の数式７で表すことができる。
投影光学系の瞳を透過した後の回折光の振幅の絶対値を２乗すれば、ウエハ面上の光強度を算出することができるため、ｆ＝ｆ４＝０の点光源がウエハ面に形成する光強度分布Ｉ１（ｘ）は、以下の数式８で表される。
但し、数式８において、＜φ１｜は、｜φ１＞の転置共役（アジョイント）行列を表す。
同様に、有効光源上でｆ＝ｆ３から射出した光がマスクパターンで回折され、投影光学系の瞳で絞られた場合、投影光学系の瞳を透過した後の回折光の振幅｜φ２＞は、以下の数式９で表すことができる。
従って、ｆ＝ｆ３の点光源がウエハ面に形成する光強度分布Ｉ２（ｘ）は、以下の数式１０で表される。
また、部分コヒーレント照明は、インコヒーレントな点光源の集まりと考えることができる。例えば、有効光源上に２つの点光源が存在し、かかる点光源の座標をｆ＝０、ｆ＝ｆ３とする。２つの点光源はインコヒーレントであるため、かかる２つの点光源によってウエハ面に形成される光強度分布Ｉ（ｘ）は、Ｉ１（ｘ）＋Ｉ２（ｘ）（即ち、ウエハ面上の光強度の加算）となる。
ここで、以下の数式１１に示すように、Ｐ演算子Ｐ１Ｄを定義する。
数式１１を参照するに、Ｐ演算子Ｐ１Ｄの各行は、有効光源上に存在する点光源の位置に応じて投影光学系の瞳をずらした（シフトさせた）ベクトルである。具体的には、投影光学系の瞳面における中心位置と点光源の位置との差分だけ投影光学系の瞳をずらせばよい。Ｐ演算子Ｐ１Ｄを用いれば、ウエハ面に形成される光強度分布Ｉ（ｘ）は、以下の数式１２で表すことができる。
但し、数式１２において、「＋」記号は、ある行列の転置共役行列を表す。数式１２を参照するに、光強度分布Ｉ（ｘ）がＩ１（ｘ）＋Ｉ２（ｘ）になっていることを確認することができる。換言すれば、Ｐ演算子Ｐ１Ｄを用いることによって、ウエハ面に形成される光強度分布である空中像を簡単に表すことができる。
数式１２を変形すれば、以下の数式１３を得ることができる。
但し、Ｔ１Ｄは、以下の数式１４で定義される行列である。
数式１４で定義される行列Ｔ１Ｄは、ＴＣＣを表している。Ｐ演算子Ｐ１Ｄの算出においては、投影光学系の瞳をずらす（シフトさせる）だけであり、掛け算や足し算を必要としない。従って、Ｐ演算子Ｐ１Ｄを、より短い時間で算出することができる。また、Ｐ演算子Ｐ１ＤとＰ演算子Ｐ１Ｄの転置共役との掛け算からＴＣＣを算出することができるため、Ｐ演算子を用いれば、ＴＣＣもより短い時間で算出することが可能となる。
なお、Ｐ演算子Ｐ１Ｄは、行の数と列の数とが一致する正方行列ではない。そこで、特異値分解（Ｓｉｎｇｕｌａｒ Ｖａｌｕｅ Ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ）を用いて、以下の数式１５に示すように、Ｐ演算子Ｐ１Ｄを変形する。
数式１５において、Ｓは対角行列であり、Ｗ及びＶはユニタリー行列である。Ｐ演算子Ｐ１ＤをＬ行Ｍ列の行列とすると、一般的には、ＷはＬ行Ｌ列、ＳはＬ行Ｍ列、ＶはＭ行Ｍ列となる。但し、ＬがＭ以上である場合には、ＷはＬ行Ｍ列、ＳはＭ行Ｍ列、ＶはＭ行Ｍ列にすることができる。一方、ＬがＭよりも小さい場合には、転置行列を用いることで、行数を列数よりも多くすることができる。従って、Ｓは、以後の計算に寄与しない要素が全て０となる（不要な）行又は列を多く含むことになる。これらの行又は列を削除して（即ち、行列を圧縮して）Ｌ及びＭのうち大きくない方の行数又は列数となる正方行列を生成すれば、Ｓを対角行列にすることができる。
数式１５を数式１２に代入して、Ｗ＋Ｗが単位行列になるという特異値分解の性質を用いれば、以下の数式１６を得ることができる。
数式１６において、Ｖｊは、行列Ｖの第ｊ行をとったものである。
従来の部分コヒーレント結像計算の１つの計算方法であるＳＯＣＳは、上述したように、ＴＣＣを固有値及び固有関数に分解する。ＴＣＣは非常に大きな行列であるため、ＴＣＣの算出には多大な時間とコンピュータ・メモリを必要とする。更には、固有値及び固有関数の分解にも多大な時間が必要となる。
一方、本実施形態では、Ｐ演算子を特異値分解している。Ｐ演算子がＬ行Ｍ列の行列であるとすると、数式１４から、ＴＣＣはＭ行Ｍ列となる。ここで、Ｌは、瞳分割によって形成される点光源の数である。また、Ｍは、瞳の２倍の範囲の分割数であり、瞳の分割数、即ち、−１≦ｆ≦１の範囲の分割数のほぼ２倍となる。従って、Ｐ演算子の要素数はＴＣＣの要素数よりも必ず少なくなるため、特異値分解にかかる時間が少なくてすむ。更に、Ｐ演算子の算出には、掛け算や足し算などの複雑な計算を必要としないため、Ｐ演算子をより少ない時間で算出することができる。換言すれば、Ｐ演算子を用いることで、ＳＯＣＳより少ない計算量及び小容量のコンピュータ・メモリで固有値及び固有関数を算出することができる。その結果、ウエハ面に形成される光強度分布である空中像をより短い時間で算出することができる。また、数式１４を用いれば、ＴＣＣをより短い時間で算出することも可能である。
ここで、有効光源の複数の点光源を複数の点光源集合に分割する（即ち、有効光源を複数の領域に分割する）場合について考える。
数式７における回折光シフト行列Ｐ１ １Ｄ＝（０ ０ １ １ １ ０ ０）と数式９における回折光シフト行列Ｐ２ １Ｄ＝（０ ０ ０ １ １ １ ０）とを用いると、数式１２は、以下の数式１７に示すように変形することができる。
数式１７は、有効光源の全体で定義したＰ演算子を用いて光強度分布を算出した結果と、複数の点光源集合（複数の領域）のそれぞれで定義したＰ演算子を用いて光強度分布を算出して合成した結果とが一致することを示している。本実施形態では、全体として２つの点光源を含む有効光源を１つの点光源を含む点光源集合に分割しているが、点光源集合が複数の点光源を含むように分割してもよいことは明らかである。
これまでは、１次元の空中像（光強度分布）を算出する場合を説明したが、以下では、２次元の空中像（光強度分布）を算出する場合を説明する。
離散化された投影光学系の瞳面における座標を（ｆｉ、ｇｊ）とする。但し、ｉ及びｊの範囲は、１からＭとする。回折光分布のベクトル｜φ’２Ｄ＞は、以下の数式１８に示すように、１次元に並べて表される。
｜φ’２Ｄ＞を具体的に表すために、ｆｌｏｏｒは小数点以下切り捨てを表すものとする。｜φ’２Ｄ＞の第ｎ行は、ｊ＝ｆｌｏｏｒ［（ｎ−１）÷Ｍ］＋１、ｉ＝ｎ−（ｊ−１）×Ｍとして、ａ（ｆｉ、ｇｊ）ｅｘｐ［−ｉ２π（ｆｉｘ＋ｇｊｙ）］である。このように、２次元の完全直交系を表す。
有効光源上の第１の点光源の座標を（ｆ１、ｇ１）とすると、第１の点光源から射出した光は、投影光学系の瞳を示す瞳関数Ｐ（ｆ、ｇ）を（ｆ１、ｇ１）だけずらすことと同等であると考えられる。そのため、回折光に作用する瞳関数Ｐ１（ｆ、ｇ）は、Ｐ（ｆ＋ｆ１、ｇ＋ｇ１）で表される。瞳関数Ｐ１（ｆ、ｇ）の各要素を、数式１９に示すように１次元に並べる。これにより、瞳関数Ｐ１を１次元のベクトルで表現することができる。
Ｐ１を具体的に表すために、ｆｌｏｏｒは小数点以下切り捨てを表すものとする。Ｐ１の第ｎ列は、ｊ＝ｆｌｏｏｒ［（ｎ−１）÷Ｍ］＋１、ｉ＝ｎ−（ｊ−１）×Ｍとして、Ｐ１（ｆｉ、ｇｉ）である。このように、２次元の完全直交系を表す。
有効光源上の第２の点光源の座標を（ｆ２、ｇ２）とすると、第２の点光源から射出した光に作用する瞳関数Ｐ２（ｆ、ｇ）は、Ｐ（ｆ、ｇ）を（ｆ２、ｇ２）だけずらして、Ｐ（ｆ＋ｆ２、ｇ＋ｇ２）で表される。瞳関数Ｐ２は、瞳関数Ｐ１と同様に、以下の数式２０に示すような１次元のベクトルで表現することができる。
有効光源にＮ個の点光源が存在する場合、以下の数式２１に示すように、２次元のＰ演算子を定義することが可能となる。
｜φ’２Ｄ＞及びＰ２Ｄを用いれば、ウエハ面に形成される２次元の光強度分布Ｉ（ｘ、ｙ）は、以下の数式２２を用いて算出することができる。
数式２２において、Ｐ２Ｄを特異値分解すれば、以下の数式２３を得ることができる。
このように、２次元の空中像（光強度分布）を算出する場合であっても、Ｐ演算子の要素数はＴＣＣの要素数よりも少なく、且つ、Ｐ演算子の算出に複雑な計算を必要としない。その結果、ウエハ面に形成される光強度分布である空中像をより短い時間で算出することができる。
ここで、Ｎ個の点光源を含む有効光源をＮ１個の点光源を含む点光源集合Ｘ１とＮ−Ｎ１個の点光源を含む点光源集合Ｘ２に分割した場合について考える。数式２１におけるＰｉ（ｉ＝１〜Ｎ）をｉ＝１〜Ｎ１、ｊ＝Ｎ１＋１〜Ｎで分割し、以下の数式２４及び２５に示すように、それぞれについて２次元のＰ演算子を定義する。
数式２４及び数式２５を用いると、数式２３は、以下の数式２６に示すように変形することができる。
数式２６は、数式１７を２次元で表しており、有効光源を複数の点光源集合（複数の領域）に分割した場合であっても、それぞれのＰ演算子を特異値分解すればよいことを示している。数式２６を参照するに、有効光源を複数の点光源集合（複数の領域）に分割しても同じ光強度分布が得られることがわかる。
但し、有効光源を複数の点光源集合（複数の領域）に分割すると計算時間が短縮することは自明ではない。有効光源を複数の点光源集合に分割した場合、それぞれのＰ演算子の行数が低減する。例えば、数式２１に示す有効光源の全体のＰ演算子は、Ｎ行Ｍ２列の行列である。一方、数式２４及び２５のそれぞれに示すＰ演算子は、Ｎ１行Ｍ２列の行列及び（Ｎ−Ｎ１）行Ｍ２列の行列となり、行列の大きさが小さくなる。これにより、特異値分解の計算時間が短縮される。本発明者がＭＡＴＬＡＢ（登録商標）でＬ行Ｌ列の行列を特異値分解を行った結果、Ｌの約２．７乗で計算時間が増加することがわかった。従って、有効光源を複数の点光源集合（複数の領域）に分割することは、例えば、計算精度を向上させるために瞳分割数を増やした場合などにおける計算時間の短縮に寄与する。
また、有効光源を複数の点光源集合（複数の領域）に分割することで、瞳離散行列（Ｐ演算子）をより効果的に圧縮することが可能となる。瞳離散行列の圧縮とは、特異値分解の際に不要である要素が全て０である列又は行を削除することである。例えば、数式１１を圧縮すると、以下の数式２７が得られる。
図３（ａ）及び図３（ｂ）は、瞳離散行列（Ｐ演算子）の圧縮の効果を説明するための図である。図３（ａ）は、４重極形状の有効光源に対する圧縮後のＰ演算子を示し、図３（ｂ）は、かかる有効光源の１つの極（４重極形状の有効光源を４分割したときの１つの領域）に対する圧縮後のＰ演算子を示している。また、図３（ａ）及び図３（ｂ）において、黒い部分は行列の要素が０であることを表し、白い部分は行列の要素が１であることを表している。
図３（ａ）に示すＰ演算子は、３３２行１０３４５列の行列である。図３（ｂ）に示すＰ演算子は、８３行４１８３列の行列である。図３（ａ）及び図３（ｂ）を参照するに、有効光源を４分割することによって、Ｐ演算子の行数は単純に１／４になるが、Ｐ演算子の列数は半分以下になっていることがわかる。図３（ａ）に示すＰ演算子は、要素が０である部分が多くあるにもかかわらず、他の点光源での回折光シフト行列の要素によって圧縮が効果的に機能していない。一方、図３（ｂ）に示すＰ演算子は、圧縮が効果的に機能して列数が大きく低減しているため、特異値分解にかかる計算時間を大幅に短縮することができる。
有効光源を分割しない場合、行数と列数との積で表すことができる要素数は３４３４５４０であり、これを正方行列の要素数とすると、行数（列数）は約１８５３となる。一方、有効光源を分割した場合、行数と列数との積で表すことができる要素数は３４７１８９であり、これを正方行列の要素数とすると、行数は約５８９となる。これらの値を２．７乗すると、それぞれ６６５６７７１２３、３０１５１６６５となり、後者を４倍しても前者の０．１８倍程度となり、かかる差が計算時間の差となって現れる。
なお、本実施形態では、非正方行列を正方行列と仮定しているが、非正方行列に対して特異値分解にかかる計算時間のデータベース又は経験式を作成することは難しくない。
ここで、２次元の空中像（光強度分布）の算出について、もう少し一般的に説明する。マスクパターンで回折された２次元の回折光の集合は、以下の数式２８に示すように表すことができる。
数式２８を参照するに、Ψ２Ｄは、Ｍ行Ｍ列の行列であって、Ｍ２個の要素を含む。ここで、Ｍ行Ｍ列の行列を一定の法則で１行Ｍ２列の行列に変換する（即ち、並び替える）演算子（スタッキング演算子）Ｙを導入する。スタッキング演算子Ｙの導入によって、２次元の回折光分布のベクトル｜φ’２Ｄ＞は、以下の数式２９で表される。
有効光源上の第１の点光源の座標を（ｆ１、ｇ１）とすると、第１の点光源から射出した光は、投影光学系の瞳をずらすことと同等であると考えられるため、回折光に作用する瞳関数Ｐ１（ｆ、ｇ）は、Ｐ（ｆ＋ｆ１，ｇ＋ｇ１）で表される。従って、瞳関数Ｐ１（ｆ、ｇ）は、以下の数式３０に示すように表すことができる。
同様に、有効光源上の第２の点光源の座標を（ｆ２、ｇ２）とすると、第２の点光源から射出した光に作用する瞳関数Ｐ２（ｆ、ｇ）は、Ｐ（ｆ＋ｆ２、ｇ＋ｇ２）で表される。従って、瞳関数Ｐ２（ｆ、ｇ）は、瞳関数Ｐ１（ｆ、ｇ）と同様に、以下の数式３１に示すように表すことができる。
有効光源上にＮ個の点光源が存在する場合、２次元のＰ演算子は、スタッキング演算子Ｙを用いて、以下の数式３２のように表すことができる。
数式２９及び数式３２からウエハ面に形成される光強度分布である空中像を算出する場合には、数式２２又は数式２３を用いればよい。
また、ＴＣＣを算出する場合には、以下の数式３３を用いればよい。
これまでは、数式２１や数式３２に示したように、点光源が行方向に形成されるように投影光学系の瞳をずらしたＰ演算子について説明した。但し、以下の数式３４に示すように、点光源が列方向に形成されるように投影光学系の瞳をずらしたＰ演算子であっても本質的には変わらない。従って、Ｐ演算子を数式３４に示すように表した場合であっても、直交関数系の記述を整合させればよい。
２次元の空中像（光強度分布）を算出する場合、Ｐ演算子は、上述したように、数式３２で表すことができる。瞳分割数をＬ、点光源の数をＮとすると、Ｐ演算子は、Ｎ行（２Ｌ）２列の行列である。また、Ｐ演算子の各行は独立しているため、Ｐ演算子の階数（Ｒａｎｋ）はＮである。従って、Ｐ演算子を特異値分解すると、Ｎ個の固有値及び固有関数が算出され、完全な空中像を算出するためにはＮ個の固有値及び固有関数が必要となる。但し、実際には、Ｎ個の固有値及び固有関数を使用する必要はなく、絶対値が大きい固有値のみを使用すれば十分である。
固有値の２乗を大きい順に並べ替えた後に行った番号付けをｋ（ｋ＝１、２、・・・、Ｎ）とする。全ての固有値の２乗和をＥ、ｋの順でｉ番目までの固有値の２乗和をＥｉとすると、Ｅｉ／Ｅがある一定の大きさ（例えば、０．９８以上）となる固有値までを考慮すれば、十分な精度の光強度分布を算出することができる。また、ｋの数をＮから低減することで、数式２３における和をとる数を減らすことができる。Ｖｊ｜φ’２Ｄ＞の計算は、２次元の離散的フーリエ変換に相当するため、計算階数を減らすことになるｋの数の低減は、計算時間の短縮に効果的である。なお、有効光源を複数の点光源集合（複数の領域）に分割した場合、それぞれの点光源集合に対してＥｉ／Ｅを与えることも可能である。
このように、Ｐ演算子を用いた部分コヒーレント計算方法では、Ｐ演算子を特異値分解すること、及び、固有ベクトルに対する離散的フーリエ変換を行うことが計算時間を決めることになる。
図４は、空中像計算プログラム４２０による空中像４０９の算出処理を説明するためのフローチャートである。なお、空中像計算プログラム４２０は、媒体インターフェース６０に接続された記憶媒体７０からインストールされ、制御部２０を介して記憶部４０に記憶されているものとする。また、空中像計算プログラム４２０は、入力部５０から入力されるユーザの起動命令に従って起動され、制御部２０によって実行される。
ステップＳ１００２において、制御部２０は、有効光源情報４０２、ＮＡ情報４０３、λ情報４０４、収差情報４０５、偏光情報４０６、レジスト情報４０７及びマスクデータ４１０を含む空中像算出用情報を決定する。具体的には、ユーザは、入力部５０を介して、有効光源情報「４重極照明」、ＮＡ情報「０．７３」、λ情報「２４８ｎｍ」、収差情報「無収差」、偏光情報「無偏光」、レジスト情報「考慮しない」及びマスクデータ「コンタクトホール」を入力（選択）する。そして、制御部２０は、空中像計算プログラム４２０に従って、ユーザによって入力（選択）された空中像算出用情報を表示部３０に表示して空中算出用情報を決定する。なお、本実施形態では、空中像算出用情報は予め記憶部４０に記憶されており、ユーザは記憶部４０に記憶された空中像算出用情報を入力（選択）する場合を例に説明する。但し、ユーザは記憶部４０に記憶されていない空中像算出用情報を入力することも可能である。
ステップＳ１００４において、制御部２０は、ステップＳ１００２で決定された有効光源情報４０２に基づいて、有効光源を複数の点光源集合（複数の領域）に分割するか否かを判定する。有効光源を複数の点光源集合に分割するか否かの判定基準は、例えば、空中像４０９を算出するための計算時間が短縮される場合などとする。この場合、空中像計算プログラム４２０は、空中像算出用情報に対応する計算時間（空中像４０９の算出にかかる時間）のデータベースや経験式を含む。なお、ステップＳ１００４の有効光源の分割の判定については、後で詳細に説明する。
ステップＳ１００４で有効光源を複数の点光源集合（複数の領域）に分割しないと判定された場合には、有効光源を１つの点光源集合とみなし、ステップＳ１００６において、制御部２０は、Ｐ演算子４０８を算出する。具体的には、制御部２０は、ユーザによって入力（選択）された空中像算出用情報を記憶部４０から受け取り、かかる空中像算出用情報に基づいて、例えば、数式２１や数式３２からＰ演算子４０８を算出する。また、制御部２０は、算出したＰ演算子４０８を記憶部４０に記憶させる。
ステップＳ１００８において、制御部２０は、空中像４０９を算出する。具体的には、ユーザによって入力（選択）された空中像算出用情報、ステップＳ１００６で算出したＰ演算子４０８を用いて、例えば、数式１６や数式２３から空中像４０９を算出する。また、制御部２０は、空中像４０９を表示部３０に表示させると共に、記憶部４０に記憶させる。
一方、ステップＳ１００４で有効光源を複数の点光源集合（複数の領域）に分割すると判定された場合には、ステップＳ１０１０において、制御部２０は、有効光源を複数の点光源集合（複数の領域）に分割する。具体的には、制御部２０は、後述するように、ステップＳ１００４で選択される分割モデルに従って、有効光源を複数の点光源集合（複数の領域）に分割する。
ステップＳ１０１２において、制御部２０は、ステップＳ１０１０で分割した複数の点光源集合（複数の領域）のうち１つの点光源集合（１つの領域）を選択する。かかる点光源集合は、有効光源情報４０２に対応する有効光源とは異なるが、ある有効源情報に対応する有効光源を表している。
ステップＳ１０１４において、制御部２０は、ステップＳ１０１２で選択した点光源集合について、ステップＳ１００６と同様に、Ｐ演算子４０８を算出する。
ステップＳ１０１６において、制御部２０は、ステップＳ１０１２で選択した点光源集合について、ステップＳ１００８と同様に、空中像４０９を算出する。この際、上述したように、Ｐ演算子４０８を特異値分解（即ち、固有値及び固有関数に分解）して（第１の算出ステップ）、空中像４０９を算出する（第２の算出ステップ）。
ステップＳ１０１８において、制御部２０は、ステップＳ１０１０で分割した全ての点光源集合を選択したか否かを判定する。
ステップＳ１０１０で分割した全ての点光源集合を選択していないと判定された場合には、ステップＳ１０１２に戻って、ステップＳ１０１２以降を繰り返す。一方、ステップＳ１０１０で分割した全ての点光源集合を選択していないと判定された場合には、ステップＳ１０２０に進む。
ステップＳ１０２０において、制御部２０は、ステップＳ１０１２乃至Ｓ１０１８を繰り返して算出された複数の空中像４０９（即ち、複数の点光源集合のそれぞれが形成する空中像４０９）を合成する。数式２にも示されているように、点光源のそれぞれによる空中像の和は有効光源全体の空中像となるため、複数の点光源集合（複数の領域）のそれぞれから算出された空中像を合成する（総和する）ことで有効光源全体の空中像になることは自明である。
ここで、図５を参照して、ステップＳ１００４の有効光源の分割の判定について詳細に説明する。
ステップＳ２００２において、制御部２０は、有効光源を点光源に分割して、点光源の総数Ｎｐと各点光源の位置情報（座標）を取得する。
ステップＳ２００４において、制御部２０は、ステップＳ２００２で取得した点光源の総数Ｎｐが指定範囲（予め指定された範囲）であるか否かを判定する。ここで、指定範囲とは、有効光源を複数の点光源集合（複数の領域）に分割することで空中像４０９の算出にかかる時間が短縮されることを保証する点光源の数の範囲である。本実施形態では、点光源の総数Ｎｐがある程度多い場合には空中像４０９の算出にかかる時間を効果的に短縮することができるため、指定範囲として指定数Ｎ以上を設定する。但し、指定範囲を上限及び下限の範囲で指定範囲を設定することも可能である。
ステップＳ２００２で取得した点光源の総数Ｎｐが指定範囲でない（本実施形態では、指定数Ｎ以上でない）と判定された場合には、有効光源を分割せずに空中像４０９を算出するため、図４に示すステップＳ１００６に進む。一方、ステップＳ２００２で取得した点光源の総数Ｎｐが指定範囲である（本実施形態では、指定数Ｎ以上である）と判定された場合には、ステップＳ２００６に進む。なお、指定数Ｎに１を設定することも可能であり、この場合、有効光源は必ず分割されることになる。
ステップＳ２００６において、制御部２０は、有効光源を複数の点光源集合（複数の領域）に分割する際に、予め設定された分割モデルを使用するか否かを判定する。なお、分割モデルとは、有効光源をどのように分割するのか（有効光源の分割方法）を示すモデルであって、例えば、有効光源を矩形形状に分割する分割モデルなどを含む。また、分割モデルは、有効光源に２次元座標を設定した場合において、２次元座標の象限ごとに分割する分割モデル、２次元座標の角度方向に分割する分割モデル、２次元座標の角度方向及び動径方向に分割する分割モデルなども含む。
分割モデルを使用すると判定された場合には、ステップＳ２００８において、制御部２０は、ステップＳ２００２で取得した各点光源の位置情報に基づいて、上述した互いに異なる複数の分割モデルから１つの分割モデルを選択する。また、複数の分割モデルのそれぞれについて、空中像４０９の算出に関する処理を実行したときの時間を計算し、かかる時間が所定の時間よりも短くなる分割モデルを選択してもよい。分割モデルを選択したら、図４に示すステップＳ１０１０に進む。
一方、分割モデルを使用しないと判定された場合には、ステップＳ２０１０以降において、分割モデルを使用せずに有効光源を分割する処理を行う。なお、本実施形態では、空中像４０９を算出する際の計算時間が最小になるように有効光源を分割するが、コンピュータが必要とする記憶容量が最小になるように有効光源を分割することも可能である。
ステップＳ２０１０において、制御部２０は、最小計算時間ｔｍｉｎを設定する。ここでは、最小計算時間ｔｍｉｎとして、非常に大きな値、例えば、１．０Ｅ３０（秒）を設定する。
ステップＳ２０１２において、制御部２０は、有効光源の分割方法及び分割数を仮設定する。
ステップＳ２０１４において、制御部２０は、ステップＳ２０１２で仮設定した有効光源の分割方法及び分割数に従って有効光源を複数の点光源集合（複数の領域）に分割した場合に、点光源集合のそれぞれについて、点光源の数が指定範囲であるか否かを判定する。指定範囲としては、例えば、指定数Ｎ’以上を設定してもよいし、上限及び下限の範囲で設定してもよい。
点光源集合のそれぞれについて、点光源の数が指定範囲であると判定された場合には、ステップＳ２０１６に進む。一方、点光源集合のそれぞれについて、点光源の数が指定範囲ではないと判定された場合には、ステップＳ２０２２に進む。
ステップＳ２０１６において、制御部２０は、空中像４０９を算出する際の計算時間ｔｐを推定する。具体的には、全ての点光源集合に対するＳＶＤ計算にかかる時間を行列の要素数を用いて、データベース又は経験式から求めることで計算時間ｔｐを推定することができる。また、空中像４０９の算出に必要となる高速フーリエ変換（ＦＦＴ）の１回当たりの計算時間及び必要なＦＦＴの回数もわかるため、ＦＦＴの１回当たりの計算時間及び必要なＦＦＴの回数から計算時間ｔｐを推定することが可能である。
ステップＳ２０１８において、制御部２０は、ステップＳ２０１６で推定された計算時間ｔｐがステップＳ２０１０で設定した最小計算時間ｔｍｉｎよりも小さいか否かを判定する。
計算時間ｔｐが最小計算時間ｔｍｉｎよりも小さい（ｔ＜ｔｍｉｎ）と判定された場合には、ステップＳ２０２０に進む。一方、計算時間ｔｐが最小計算時間ｔｍｉｎよりも小さくない（ｔｐ≧ｔｍｉｎ）と判定された場合には、ステップＳ２０１２に戻り、有効光源の分割方法及び分割数の仮設定を再度行う。
ステップＳ２０２０において、制御部２０は、ステップＳ２０１２で仮設定した有効光源の分割方法及び分割数、及び、ステップＳ２０１６で推定した計算時間ｔｐを記憶部４０に記憶させる。
ステップＳ２０２２において、制御部２０は、ステップＳ２０１２乃至Ｓ２０２０を繰り返すか否かを判定する。換言すれば、分割方法及び分割数を更に変更して計算時間ｔｐを推定するか否かを判定する。
ステップＳ２０１２乃至Ｓ２０２０を繰り返すと判定された場合には、ステップＳ２０１２に戻る。一方、ステップＳ２０１２乃至Ｓ２０２０を繰り返さないと判定された場合には、ステップＳ２０２４に進む。
ステップＳ２０２４において、制御部２０は、ステップ２０２０で記憶した有効光源の分割方法及び分割数を分割モデルとして選択し、図４に示すステップＳ１０１０に進む。
なお、ステップＳ２０１２では、任意の分割方法及び分割数を仮設定することが可能であるが、後述するように、複雑な分割方法や大きな分割数が好ましいということではない。例えば、上述した分割モデル（有効光源を矩形形状に分割する分割モデルなど）を変形させて分割方法及び分割数を仮設定してもよい。
このように、空中像計算プログラム４２０による空中像４０９の算出処理では、Ｐ演算子４０８を用いて空中像４０９を算出することができる。換言すれば、空中像計算プログラム４２０による空中像４０９の算出処理は、ＳＯＣＳでは必要となるＴＣＣを算出することなく、空中像４０９を算出することができため、計算を全体的に簡素化して空中像４０９の算出にかかる時間を短縮することができる。また、Ｐ演算子を用いた空中像４０９の算出において、有効光源を複数の点光源集合（複数の領域）に分割して、各点光源集合について空中像４０９を算出して合成することで、計算時間を更に短縮することができる。
空中像計算プログラム４２０による空中像４０９の算出結果は、必要に応じて分析される。空中像の分析は、例えば、空中像の目視確認、空中像の傾斜（Ｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ Ｉｎｔｅｎｓｉｔｙ Ｌｏｇ Ｓｌｏｐｅ； ＮＩＬＳ）、コントラスト、デフォーカス特性（ＤＯＦ特性）、パターンデータ４０１との一致具合の確認などを含む。また、空中像４０９がどのようにレジストに作用するかなどを確認することもできる。なお、空中像の分析に関しては、当業界で周知のいかなる方法を適用してもよい。
更に、空中像計算プログラム４２０による空中像４０９の算出処理を応用して、様々なモデルベース超解像技術に適用することも可能である。例えば、空中像計算プログラム４２０による空中像４０９の算出処理を光学近接効果補正に適用することで、微細なパターンを精度よく形成することができるマスクデータを短時間で生成することができる（即ち、マスクを短時間で作成することができる）。なお、光学近接効果補正は、一般的には、ＯＰＣ（Ｏｐｔｉｃａｌ Ｐｒｏｘｉｍｉｔｙ Ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎ）と呼ばれる。
以下、各実施形態において、空中像計算プログラム４２０による空中像４０９の算出処理の効果や露光装置への適用などについて詳細に説明する。
＜第１の実施形態＞
第１の実施形態では、処理装置１の制御部２０を構成するＣＰＵとしてＸｅｏｎ（登録商標）３２ｂｉｔを使用し、記憶部４０として約２ＧＢｙｔｅのメモリを使用した。ＭＡＴＬＡＢ（登録商標）を用いて空中像計算プログラム４２０を作成し、有効光源を分割して空中像４０９を算出する際の計算時間と、有効光源を分割せずに空中像４０９を算出する際の計算時間とを比較した。
また、第１の実施形態では、露光装置として、投影光学系のＮＡが０．７３（ＮＡ情報４０３に相当）であり、露光光の波長が２４８ｎｍである（λ情報４０４に相当）場合を考える。更に、投影光学系は無収差（収差情報４０５に相当）、照明光は無偏光（偏光情報４０６に相当）、ウエハに塗布されるレジストは考慮しない（レジスト情報４０７に相当）ものとする。有効光源は、図６（ａ）に示すような四重極照明を用いる。パターンデータ（目標パターン）４０１は、２つのコンタクトホールパターンで構成される。また、それぞれのコンタクトホールパターンの直径は１２０ｎｍとし、それぞれのコンタクトホールパターンの中心は（−１２０ｎｍ、０ｎｍ）、（１２０ｎｍ、０ｎｍ）とする。従って、マスクデータ４１０は、図６（ｂ）に示すようになる。また、投影光学系の瞳の分割数を６４とすると、図６（ａ）に示す有効光源の点光源の総数は３３２となる。なお、フーリエ変換を実行する際の分割数は２５６に設定し、Ｅｉ／Ｅ＝１．０、即ち、全ての固有値を使用して空中像４０９を算出する。
まず、図６（ａ）に示す有効光源を分割せずに空中像４０９を算出した。具体的には、制御部２０は、上述した空中像算出用情報に基づいて、Ｐ演算子４０８を算出する。この際、Ｐ演算子４０８の算出にかかった時間は、０．１秒以下であった。また、制御部２０は、Ｐ演算子４０８を特異値分解（即ち、固有値及び固有関数に分解）する。この際、Ｐ演算子４０８の特異値分解にかかった時間は、９．２秒であった。更に、全ての固有関数を足し合わせて完全な空中像を算出したところ、図７に示すような空中像４０９が得られ、空中像４０９の算出にかかった時間は約２８秒であった。但し、図７示す空中像４０９は、最大値が１になるように規格化されている。
次に、図６（ａ）に示す有効光源を分割して空中像４０９を算出した。具体的には、制御部２０は、図６（ａ）に示す有効光源を図８（ａ）乃至図８（ｄ）に示すように４つの点光源集合（４つの領域）に分割する。第１の実施形態では、２次元座標（ｘ、ｙ）に関して、それぞれが正であるか、或いは、負であるかの４通りに分割したと考えることができる。また、２次元座標を極座標（Ｒ、θ）として考え、３６０°を４分割したと考えることもできる。そして、制御部２０は、点光源集合のそれぞれについてＰ演算子４０８を算出し、かかるＰ演算子４０８を特異値分解する。この際、１つの点光源集合についてＰ演算子４０８の特異値分解にかかった時間は、０．５６秒乃至０．５７秒であり、合計しても２．２６秒であった。従って、有効光源を分割しない場合と比較して、Ｐ演算子４０８の特異値分解にかかる時間が大幅に（約１／４に）短縮されている。
また、点光源集合のそれぞれから算出される空中像を合成したところ、図９に示すような空中像４０９が得られ、空中像４０９の算出にかかった時間は約２１秒であった。従って、有効光源を分割しない場合と比較して、空中像４０９の算出にかかる時間が約７秒短縮されており、かかる時間差は特異値分解にかかる時間差とほぼ一致している。なお、図７に示す空中像４０９と図９に示す空中像４０９とは、１．０×１０−１５のオーダーで一致している。
このように、有効光源を複数の点光源集合（複数の領域）に分割し、それぞれの点光源集合に対して空中像を算出して合成することで、Ｐ演算子の特異値分解及び有効光源の全体に対する空中像の算出にかかる時間を効果的に短縮することができる。
＜第２の実施形態＞
第２の実施形態では、処理装置１の制御部２０を構成するＣＰＵとしてＸｅｏｎ（登録商標）３２ｂｉｔを使用し、記憶部４０として約２ＧＢｙｔｅのメモリを使用した。ＭＡＴＬＡＢ（登録商標）を用いて空中像計算プログラム４２０を作成し、有効光源を分割して空中像４０９を算出する際の計算時間と、有効光源を分割せずに空中像４０９を算出する際の計算時間とを比較した。
また、第２の実施形態では、露光装置として、投影光学系のＮＡが０．７３（ＮＡ情報４０３に相当）であり、露光光の波長が２４８ｎｍである（λ情報４０４に相当）場合を考える。更に、投影光学系は無収差（収差情報４０５に相当）、照明光は無偏光（偏光情報４０６に相当）、ウエハに塗布されるレジストは考慮しない（レジスト情報４０７に相当）ものとする。有効光源は、図１０に示すようなσ＝０．７の円形照明を用いる。パターンデータ（目標パターン）４０１は、第１の実施形態と同様に、図６（ｂ）に示す２つのコンタクトホールパターンで構成される。
図１０に示す有効光源を分割せずに空中像４０９を算出した場合、空中像４０９の算出にかかった時間は約１６８秒であった。
次に、図１０に示す有効光源を分割して空中像４０９を算出した場合を説明する。２次元座標の極座標（ｘ軸の正方向を０°とし、反時計回りに３６０°回る極座標）を用いて、図１０に示す有効光源を角度方向に分割する場合について考える。具体的には、図１１に示すように、図１０に示す有効光源を角度方向にｎ分割（図１１では、ｎ＝６）する。ｎを２、３、４、６、８、１６と変化させたとき、空中像４０９の算出にかかった時間は、それぞれ、９０秒、７０秒、６２秒、５５秒、５６秒、５５秒、５９秒であった。ｎを大きくすると空中像４０９の算出にかかる時間が短縮され、ｎを６以上にした場合には、有効光源を分割しない場合と比較して、計算時間が約１／３に短縮された。
更に、図１０に示す有効光源を角度方向に加えて動径方向に分割することも可能である。具体的には、図１２に示すように、図１０に示す有効光源を角度方向にｎ分割（図１２では、ｎ＝４）し、動径方向にｍ分割（図１２では、ｍ＝２）する。（ｍ、ｎ）＝（２、８）、（４、４）とすると、空中像４０９の算出にかかった時間は、それぞれ、５２秒、５５秒であり、有効光源の分割が効果的であることがわかる。
一方、（ｍ、ｎ）＝（３６、１）とすると（即ち、動径方向のみに分割すると）、空中像４０９の算出にかかった時間は７３秒であった。これは、有効光源の分割数を大きくしてもＰ演算子の圧縮が効率的に行われないからである。具体的には、（ｍ、ｎ）＝（１、３６）とすると、圧縮後のＰ演算子は５１行４３８８列となるのに対し、（ｍ、ｎ）＝（３６、１）とすると、圧縮後のＰ演算子は、大きいもので列数が２倍（８６１３列）になる。従って、有効光源に応じて、適切に有効光源を分割することが好ましい。
＜第３の実施形態＞
第３の実施形態では、図１０に示す有効光源を第２の実施形態と異なる分割方法（分割モデル）で分割した場合について説明する。
有効光源の２次元座標を（ｆ、ｇ）の直交座標系で設定する。図１０に示す有効光源は、ｆ２＋ｇ２＝（０．７）２で表すことができるため、−０．７≦ｆ≦０．７、−０．７≦ｇ≦０．７となる。そこで、ｆ方向の分割数をＭ、ｇ方向の分割数をＮとして、図１０に示す有効光源を矩形形状に分割する。この場合、点光源集合（ｍ、ｎ）（ｍ＝１〜Ｍ、ｎ＝１〜Ｎ）の領域は、以下の数式３５で表現することができる。図１３は、図１０に示す有効光源の分割の一例を示す図である。
−０．７＋１．４×（ｍ−１）／Ｍ≦ｆ＜−０．７＋１．４×ｍ／Ｍ
−０．７＋１．４×（ｎ−１）／Ｎ≦ｇ＜−０．７＋１．４×ｎ／Ｎ ・・・（数式３５）
図１３は、図１０に示す有効光源の分割の一例を示す図である。但し、図１３では、（ｍ、ｎ）＝（４、２）である。
数式３５に従って有効光源を分割した場合に、空中像４０９の算出にかかった時間を求めた。具体的には、（ｍ、ｎ）＝（３、１）、（４、１）、（６、１）、（８、１）、（４、２）、（８、２）、（２、８）、（４、４）、（６、６）とすると、それぞれ、７３秒、６５秒、５９秒、６０秒、５３秒、５３秒、５２秒、５２秒、５５秒であった。このように、数式３５に従って有効光源を分割しても、空中像４０９の算出にかかる時間を効果的に短縮することができる。
有効光源の総分割数Ｚ＝ｍ×ｎで考えると、Ｚ＝３〜８程度においては総分割数Ｚが大きくなると計算時間は短縮されるが、Ｚ＞８においては総分割数Ｚを大きくしても計算時間の短縮の効果は大きくない。また、ｘ方向のみで分割するよりもｘ及びｙの両方向で分割した方がよい。有効光源を角度方向に分割した場合（第２の実施形態）と比較すると、総分割数が同じであれば、計算時間はほぼ同じである。
＜第４の実施形態＞
第４の実施形態では、上述した処理装置１で算出された空中像（投影光学系の像面に形成される光強度分布）に基づいて露光条件を調整し、露光処理を実行する露光装置１００について説明する。ここで、図１４は、露光装置１００の構成を示す概略ブロック図である。
露光装置１００は、投影光学系１４０とウエハ１５０との間に供給される液体ＬＷを介して、マスク１３０のパターンをステップ・アンド・スキャン方式でウエハ１５０に露光する液浸露光装置である。但し、露光装置１００は、ステップ・アンド・リピート方式やその他の露光方式も適用することができる。
露光装置１００は、図１４に示すように、照明光学系１２０と、マスク１３０を載置するマスクステージ１３５と、投影光学系１４０と、ウエハ１５０を載置するウエハステージ１５５と、液体供給回収部１６０と、主制御システム１７０とを備える。なお、光源１１０及び照明光学系１２０は、転写用の回路パターンが形成されたマスク１３０を照明する照明装置を構成する。
光源１１０は、波長約１９３ｎｍのＡｒＦエキシマレーザー、波長約２４８ｎｍのＫｒＦエキシマレーザーなどのエキシマレーザーを使用する。但し、光源１１０の種類及び個数は限定されず、例えば、波長約１５７ｎｍのＦ２レーザーを光源１１０として使用することもできる。
照明光学系１２０は、光源１１０からの光束を用いてマスク１３０を照明する光学系である。照明光学系１２０は、本実施形態では、ビーム整形光学系１２１と、集光光学系１２２と、偏光制御部１２３と、オプティカルインテグレーター１２４と、開口絞り１２５とを含む。更に、照明光学系１２０は、集光レンズ１２６と、折り曲げミラー１２７と、マスキングブレード１２８と、結像レンズ１２９とを含む。照明光学系は、変形照明（４重極照明や２重極照明）など様々な照明モードを実現することができる。
ビーム整形光学系１２１は、例えば、複数のシリンドリカルレンズを含むビームエクスパンダ等を使用する。ビーム整形光学系１２１は、光源１１０からの平行光の断面形状の縦横比率を所定の値に変換する（例えば、断面形状を長方形から正方形にする）。ビーム整形光学系１２１は、本実施形態では、オプティカルインテグレーター１２４を照明するために必要な大きさ及び発散角を有する光束に整形する。
集光光学系１２２は、複数の光学素子を含み、ビーム整形光学系１２１で整形された光をオプティカルインテグレーター１２４に効率よく導光する。集光光学系１２２は、例えば、ズームレンズシステムを含み、オプティカルインテグレーター１２４に入射する光束の形状及び角度の分配を調整する。
偏光制御部１２３は、例えば、偏光素子を含み、投影光学系１４０の瞳面１４２と略共役な位置に配置される。偏光制御部１２３は、投影光学系１４０の瞳面１４２に形成される有効光源の所定領域の偏光状態を制御する。
オプティカルインテグレーター１２４は、マスク１３０を照明する照明光を均一化し、入射光の角度分布を位置分布に変換して射出する機能を有する。オプティカルインテグレーター１２４は、例えば、入射面と射出面とがフーリエ変換の関係に維持されたハエの目レンズを使用する。なお、ハエの目レンズは、複数のロッドレンズ（即ち、微小レンズ素子）を組み合わせることによって構成される。但し、オプティカルインテグレーター１２４は、ハエの目レンズに限定されず、光学ロッド、回折格子、各組が直交するように配置されたシリンドリカルレンズアレイ板などを使用してもよい。
開口絞り１２５は、オプティカルインテグレーター１２４の射出面の直後の位置であって、投影光学系１４０の瞳面１４２に形成される有効光源と略共役な位置に配置される。開口絞り１２５の開口形状は、投影光学系１４０の瞳面に形成される光強度分布（即ち、有効光源）に相当する。換言すれば、開口絞り１２５は、有効光源を制御する。開口絞り１２５は、照明モードに応じて切り替え可能に構成される。なお、開口絞りを使用せずに、オプティカルインテグレーター１２４の前段に回折光学素子（ＣＧＨなど）やプリズム（円錐プリズムなど）を配置して有効光源を形成してもよい。
集光レンズ１２６は、オプティカルインテグレーター１２４の射出面近傍に形成される２次光源から射出して開口絞り１２５を通過した光束を集光し、折り曲げミラー１２７を介して、マスキングブレード１２８を均一に照明する。
マスキングブレード１２８は、マスク１３０と略共役な位置に配置され、複数の可動遮光板で構成される。マスキングブレード１２８は、投影光学系１４０の有効面積に対応する略矩形形状の開口を形成する。マスキングブレード１２８を通過した光束は、マスク１３０を照明する照明光として使用される。
結像レンズ１２９は、マスキングブレード１２８の開口を通過した光束をレチクル３０に結像させる。
マスク１３０は、回路パターンを有し、マスクステージ１３５に支持及び駆動される。マスク１３０から発せられた回折光は、投影光学系１４０を介して、ウエハ１５０に投影される。マスク１３０とウエハ１５０とは、光学的に共役の関係に配置される。露光装置１００はステップ・アンド・スキャン方式の露光装置であるため、マスク１３０とウエハ１５０とを同期走査することによって、マスク１３０の転写すべき回路パターンをウエハ１５０に転写する。なお、露光装置１００がステップ・アンド・リピート方式の露光装置であれば、マスク１３０とウエハ１５０とを静止させた状態で露光する。
マスクステージ１３５は、マスクチャックを介してマスク１３０を支持し、図示しない駆動機構に接続されている。図示しない駆動機構は、例えば、リニアモーターなどで構成され、Ｘ軸方向、Ｙ軸方向、Ｘ軸方向及び各軸の回転方向にマスクステージ１３５を駆動する。なお、マスク１３０又はウエハ１５０の面内で走査方向をＹ軸、それに垂直な方向をＸ軸、マスク１３０又はウエハ１５０の面に垂直な方向をＺ軸とする。
投影光学系１４０は、マスク１３０の回路パターンをウエハ１５０に投影する光学系である。投影光学系１４０は、屈折系、反射屈折系、或いは、反射系を使用することができる。投影光学系１４０の最終レンズ（最終面）には、液体供給回収部１６０から供給される液体ＬＷによる影響を低減（保護）するためのコーティングが施されている。
ウエハ１５０は、マスク１３０の回路パターンが投影（転写）される基板である。但し、ウエハ１５０は、ガラスプレートやその他の基板に置換することもできる。ウエハ１５０には、レジストが塗布されている。
ウエハステージ１５５は、ウエハ１５０を支持し、マスクステージ１３５と同様に、リニアモーターを利用して、Ｘ軸方向、Ｙ軸方向、Ｚ軸方向及び各軸の回転方向にウエハ１５０を移動させる。
液体供給回収部１６０は、投影光学系１４０の最終レンズ（最終面）とウエハ１５０との間の空間に液体ＬＷを供給する機能を有する。また、液体供給回収部１６０は、投影光学系１４０の最終レンズとウエハ１５０との間の空間に供給された液体ＬＷを回収する機能を有する。液体ＬＷには、露光光に対して高い透過率を有し、投影光学系１４０（の最終レンズ）に汚れを付着させず、レジストプロセスとのマッチングがよい物質を選択する。
主制御システム１７０は、ＣＰＵやメモリを有し、露光装置１００の動作を制御する。例えば、主制御システム１７０は、マスクステージ１３５、ウエハステージ１５５及び液体供給回収部１６０と電気的に接続し、マスクステージ１３５とウエハステージ１５５との同期走査を制御する。また、主制御システム１７０は、露光時のウエハステージ１５５の走査方向及び速度などに基づいて、液体ＬＷの供給と回収、或いは、停止の切り替えを制御する。更に、主制御システム１７０には、処理装置１で算出された光強度分布（空中像）が入力され、かかる光強度分布に基づいて露光条件を調整（制御）する。例えば、主制御システム１７０は、照明光学系１２０を構成する開口絞り、回折光学素子、プリズム等を調整して、所望の有効光源が形成されるように露光条件を制御する。なお、処理装置１で算出された光強度分布（空中像）の入力は、ユーザによって入力されてもよいし、処理装置１と露光装置１００をデータ通信可能に接続して、処理装置１から露光装置１００に光強度分布（空中像）を送信することによって行ってもよい。処理装置１と露光装置１００をデータ通信可能に接続する場合は、露光装置１００は周知のデータ受信部を備え、処理装置１は周知のデータ送信部を備える。
処理装置１としては、露光装置１００の外部に配置されたコンピュータを用いることができるが、主制御システム１７０が処理装置１の機能を備えることもできる。その場合、主制御システム１７０によって、Ｐ演算子を用いて投影光学系１４０の像面に形成される光強度分布（空中像）をより短い時間で算出することができる。換言すれば、主制御システム１７０は、部分コヒーレント結像計算の計算速度を向上させ、モデルベース超解像技術にかかる時間を短縮することができる。従って、露光装置１００においては、露光条件の最適化（例えば、マスク１３０に対する有効光源の最適化）を短時間で行うことができ、スループットを向上させることができる。
露光において、光源１１０から発せられた光束は、照明光学系１２０によりマスク１３０を照明する。マスク１３０を通過して回路パターンを反映する光束は、投影光学系１４０により、液体ＬＷを介してウエハ１５０に結像される。露光装置１００は、高いスループットで経済性よくデバイス（半導体素子、ＬＣＤ素子、撮像素子（ＣＣＤなど）、薄膜磁気ヘッドなど）を提供することができる。かかるデバイスは、露光装置１００を用いてフォトレジスト（感光剤）が塗布された基板（ウエハ、ガラスプレート等）を露光する工程と、露光された基板を現像する工程と、その他の周知の工程と、を経ることによって製造される。
以上、本発明の好ましい実施形態について説明したが、本発明はこれらの実施形態に限定されないことはいうまでもなく、その要旨の範囲内で種々の変形及び変更が可能である。例えば、毎回、図４に示すフローチャートのＳ１００４の判定を行わずに、有効光源を複数の領域に分割してもよい。
本発明の一側面としての算出方法を実行する処理装置の構成を示す概略ブロック図である。 １次元の平面波（完全直交系）を模式的に示す図である。 瞳離散行列（Ｐ演算子）の圧縮の効果を説明するための図である。 図１に示す処理装置において、空中像計算プログラムによる空中像の算出処理を説明するためのフローチャートである。 図４に示すステップＳ１００４の有効光源の分割の判定について詳細に説明するためのフローチャートである。 本発明にかかる第１の実施形態を説明するための図であって、図６（ａ）は第１の実施形態で用いた有効光源を示す図、図６（ｂ）は第１の実施形態で用いたマスクデータを示す図である。 図６（ａ）に示す有効光源を分割せずに算出された空中像を示す図である。 図６（ａ）に示す有効光源を４つの点光源集合（４つの領域）に分割した場合を示す図である。 図６（ａ）に示す有効光源を分割して算出された空中像を示す図である。 第２の実施形態で用いた有効光源を示す図である。 図１０に示す有効光源の分割の一例を示す図である。 図１０に示す有効光源の分割の一例を示す図である。 図１０に示す有効光源の分割の一例を示す図である。 露光装置の構成を示す概略ブロック図である。
符号の説明
１ 処理装置
１０ バス配線
２０ 制御部
３０ 表示部
４０ 記憶部
４０１ パターンデータ
４０２ 有効光源情報
４０３ ＮＡ情報
４０４ λ情報
４０５ 収差情報
４０６ 偏光情報
４０７ レジスト情報
４０８ Ｐ演算子
４０９ 空中像
４１０ マスクデータ
４２０ 空中像計算プログラム
５０ 入力部
６０ 媒体インターフェース
７０ 記憶媒体
１００ 露光装置
１１０ 光源
１２０ 照明光学系
１２３ 偏光制御部
１２５ 開口絞り
１３０ マスク
１４０ 投影光学系
１５０ ウエハ
１７０ 主制御システム

Claims (9)

  1. 照明光学系を用いて原版を照明して、前記原版のパターンの像を投影光学系を介して基板に投影する際に、前記投影光学系の像面に形成される光強度分布をコンピュータによって算出する算出方法であって、
    前記原版が前記投影光学系の物体面に配置されていない場合に前記投影光学系の瞳面に形成される有効光源を、複数の領域に分割するか否かを判定する判定ステップと、
    前記有効光源を複数の領域に分割すると判定した場合に、前記有効光源を複数の領域に分割する分割ステップと、
    前記複数の領域のそれぞれについて、複数の点光源に分割された各点光源の位置に応じて、前記投影光学系の瞳を示す瞳関数をシフトさせることによってシフトされた複数の瞳関数を生成する生成ステップと、
    前記複数の領域のそれぞれについて、前記生成ステップで生成された前記複数の瞳関数を含む行列を定義する定義ステップと、
    前記複数の領域のそれぞれについて、前記定義ステップで定義された前記行列を特異値分解して固有値と固有関数とを算出する第１の算出ステップと、
    前記複数の領域のそれぞれについて、前記原版のパターンで回折された回折光の回折光分布、前記第１の算出ステップで算出された前記固有値と前記固有関数とに基づいて、前記投影光学系の像面に形成される光強度分布を算出する第２の算出ステップと、
    前記第２の算出ステップで算出された前記複数の領域のそれぞれについての前記光強度分布を合成する合成ステップと、
    を有することを特徴とする算出方法。
  2. 前記定義ステップで定義された前記行列について、前記行列の要素が全て０となる行又は列を削除して前記行列を圧縮する圧縮ステップを更に有し、
    前記圧縮ステップで圧縮された前記行列を用いて、前記定義ステップ、前記第１の算出ステップ、前記第２の算出ステップ、及び、前記合成ステップを実行することを特徴とする請求項１に記載の算出方法。
  3. 前記判定ステップでは、前記有効光源を複数の点光源に分割したときの点光源の数が予め指定された範囲であれば、前記有効光源を複数の領域に分割すると判定することを特徴とする請求項１に記載の算出方法。
  4. 前記分割ステップでは、互いに異なる複数の分割モデルから選択される１つの分割モデルに従って前記有効光源を複数の領域に分割することを特徴とする請求項１に記載の算出方法。
  5. 前記分割ステップでは、前記有効光源を複数の領域に分割するための互いに異なる複数の分割モデルのそれぞれについて、前記生成ステップ、前記定義ステップ、前記第１の算出ステップ、前記第２の算出ステップ、及び、前記合成ステップを含む処理を実行したときの時間を算出し、当該時間が所定の時間よりも短くなる分割モデルに従って、前記有効光源を複数の領域に分割することを特徴とする請求項１に記載の算出方法。
  6. 前記複数の分割モデルは、前記有効光源を矩形形状に分割する分割モデル、前記有効光源に２次元座標を設定した場合において、前記有効光源を前記２次元座標の象限ごとに分割する分割モデル、前記有効光源を前記２次元座標の角度方向に分割する分割モデル、及び、前記有効光源を前記２次元座標の角度方向及び動径方向に分割する分割モデルのうち少なくとも２つを含むことを特徴とする請求項４又は５に記載の算出方法。
  7. 照明光学系を用いて原版を照明して、前記原版のパターンの像を投影光学系を介して基板に投影する際に、前記投影光学系の像面に形成される光強度分布を算出する処理をコンピュータに実行させるプログラムであって、
    前記コンピュータに、
    前記原版が前記投影光学系の物体面に配置されていない場合に前記投影光学系の瞳面に形成される有効光源を複数の領域に分割するか否かを判定する判定ステップと、
    前記有効光源を複数の領域に分割すると判定した場合に、前記有効光源を複数の領域に分割する分割ステップと、
    前記複数の領域のそれぞれについて、複数の点光源に分割された各点光源の位置に応じて、前記投影光学系の瞳を示す瞳関数をシフトさせることによってシフトされた複数の瞳関数を生成する生成ステップと、
    前記複数の領域のそれぞれについて、前記生成ステップで生成された前記複数の瞳関数を含む行列を定義する定義ステップと、
    前記複数の領域のそれぞれについて、前記定義ステップで定義された前記行列を特異値分解して固有値と固有関数とを算出する第１の算出ステップと、
    前記複数の領域のそれぞれについて、前記原版のパターンで回折された回折光の回折光分布、前記第１の算出ステップで算出された前記固有値と前記固有関数とに基づいて、前記投影光学系の像面に形成される光強度分布を算出する第２の算出ステップと、
    前記第２の算出ステップで算出された前記複数の領域のそれぞれについての前記光強度分布を合成する合成ステップと、
    を実行させることを特徴とするプログラム。
  8. 照明光学系を用いて原版を照明して、前記原版のパターンの像を投影光学系を介して基板に投影する際に、前記投影光学系の像面に形成される光強度分布を算出する算出ステップと、
    前記算出ステップで算出された前記光強度分布に基づいて露光条件を調整する調整ステップと、
    前記調整ステップの後、前記原版のパターンの像を前記基板に投影する露光ステップと、
    を有し、
    前記算出ステップは、
    前記原版が前記投影光学系の物体面に配置されていない場合に前記投影光学系の瞳面に形成される有効光源を複数の領域に分割するか否かを判定する判定ステップと、
    前記有効光源を複数の領域に分割すると判定した場合に、前記有効光源を複数の領域に分割する分割ステップと、
    前記複数の領域のそれぞれについて、複数の点光源に分割された各点光源の位置に応じて、前記投影光学系の瞳を示す瞳関数をシフトさせることによってシフトされた複数の瞳関数を生成する生成ステップと、
    前記複数の領域のそれぞれについて、前記生成ステップで生成された前記複数の瞳関数を含む行列を定義する定義ステップと、
    前記複数の領域のそれぞれについて、前記定義ステップで定義された前記行列を特異値分解して固有値と固有関数とを算出する第１の算出ステップと、
    前記複数の領域のそれぞれについて、前記原版のパターンで回折された回折光の回折光分布、前記第１の算出ステップで算出された前記固有値と前記固有関数とに基づいて、前記投影光学系の像面に形成される光強度分布を算出する第２の算出ステップと、
    前記第２の算出ステップで算出された前記複数の領域のそれぞれについての前記光強度分布を合成する合成ステップと、
    を含むことを特徴とする露光方法。
  9. 照明光学系を用いて原版を照明して、前記原版のパターンの像を投影光学系を介して基板に投影する際に、前記投影光学系の像面に形成される光強度分布を算出する処理をコンピュータに実行させるプログラムであって、
    前記コンピュータに、
    前記原版が前記投影光学系の物体面に配置されていない場合に前記投影光学系の瞳面に形成される有効光源を、複数の領域に分割して、前記複数の領域のそれぞれについて前記有効光源を複数の点光源に分割する分割ステップと、
    前記複数の領域のそれぞれについて、前記点光源の各位置に応じて、前記投影光学系の瞳を示す瞳関数をシフトさせることによってシフトされた複数の瞳関数を生成する生成ステップと、
    前記複数の領域のそれぞれについて、前記生成ステップで生成された前記複数の瞳関数を含む行列を定義する定義ステップと、
    前記複数の領域のそれぞれについて、前記定義ステップで定義された前記行列を特異値分解して固有値と固有関数とを算出する第１の算出ステップと、
    前記複数の領域のそれぞれについて、前記原版のパターンで回折された回折光の回折光分布、前記第１の算出ステップで算出された前記固有値と前記固有関数とに基づいて、前記投影光学系の像面に形成される光強度分布を算出する第２の算出ステップと、
    前記第２の算出ステップで算出された前記複数の領域のそれぞれについての前記光強度分布を合成する合成ステップと、
    を実行させることを特徴とするプログラム。
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