JP4698578B2 - 共線性を検出し、検証し、かつ修復するための方法と物品 - Google Patents
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Description
操作変数(MV)を制御変数(CV)に関連付ける次式のようなモデル(G)を考える。CV=G*MV、すなわち、
σ1、σ2,...,σm 但し、σ1≧σ2≧...≧σm≧0である。
次に、オリジナルのゲイン行列は式2、即ち、
σr/σ1≧s かつ σr+1/σ1<s
であれば、モデル行列は階数r(s)を有する。但し、r(s)≧0でありかつr(s)≦mである。r(s)=mであれば、所与のシステムは最大階数を有し、行列は「共線的」でない。r(s)<mかつσm=0であれば、システムは「共線的」または「完全に共線的」である。r(s)<mかつσm=0であれば、システムは「準共線的」である。
所与のモデル行列G及び所与のしきい値sについて、全ての部分行列G(sm)(但しsm=1,...,p)の検索が実行され、部分行列が1)非共線的なグループであるGn(sm)、2)準共線的なグループであるGnc(sm)及び3)共線的なグループであるGc(sm)の3つのグループに分類される。
部分行列が準共線的なグループに分類されると、利用可能な自由度は、余分な能力が制限される可能性があっても認識される場合も無視される場合もある。所与のアプリケーションにとって最善の策を決定するために、共線性は検証されることが可能である。この検証は、制御動作が所与のアプリケーションのニーズにとって許容できる程度に攻撃的であるかどうかの決定と、次に述べるような制御とを含む。
制御動作は逆モデルの応答にある程度比例することから、システムが準共線的である場合、所定のCVターゲットに関連する制御動作は攻撃的なものになる。(2ノルムの意味合いにおける)最大規模のMV変化は、CVが弱い方向に沿って移動するとき、即ち、
式7が示すように、準共線的なプロセスの場合、変換された出力cti(i=r+1,...,m)は変換された入力mti(i=r+1,...,m)に比較して小さい応答を有する。さらに、これらの対応する特異値σiは、変換された入力と変換された出力との間のゲインに類似している。この関係は、下記の手順を使用してそれが真のプロセスであるかどうかを検証する機会を提供する。
1.入力信号がUi(i=r+1,...,m)で指定される方向を辿るよう、系に摂動を加える。
2.収集された試験データを使用して、変換された入力及び出力ベクトルmti及びcti(i=r+1,...,m)を構築する。
3.mti及びcti(i=r+1,...,m)間のモデルを特定する。
4.変換された空間における特定されたゲインがσiに近く、特定されたゲインの不確定領域内に0が存在すれば、プロセスのこの部分は真に共線的であると見なされ、そうでなければ共線的でないとみなされる。
5.新たに収集された試験データは弱い方向に豊富なプロセス応答を含むことから、新たに収集された試験データは、特定の再実行によってモデル品質を改善するために使用される。
6.改善されたモデルを使用して共線性の検出を繰り返す。
7.この手順の反復は、収束状況及び実行者の意思に基づいて停止されるべきである。
プロセスが準共線的であるとされれば、対応するモデルを完全に共線的にすることが望ましい。言い替えれば、実行者は、コントローラがより安全に、またはより望ましい方法で行動するように、モデル行列内に示される自由度を低下させることができる。これを達成するために、最小特異値は、2つの手法のうちの一方を使用してゼロにされることが可能である。
式4を利用して、σr+i=0(i=1、...m−r)が導かれ、すると、
アプリケーションによっては、直接的手法が適当でない場合がある。例えば、原要素gijが0に極めて近ければ、直接的手法により原モデルと反対符号を有する調整されたモデルkijがもたらされる可能性がある。アプリケーションによっては、符号値のこのような変化が新たなモデルを安全に使用できるかどうかの決定を困難にする可能性がある。別の例では、共線的部分行列が2×2より大きい行列内の別の共線的部分行列と共通の要素を共有する場合があり、一方の部分行列が調整されると、その調整はもう一方の部分行列に悪影響を与える。
1)i≠jであれば、σij −(sm)=σij +(sm)=0。これは特異値行列の非対角部分に相当し、
2)i>r(sm)であれば、σii −(sm)=σii +(sm)=0。これはゼロにされる小さい特異値に相当し、
3)i≦r(sm)であれば、σii −(sm)=σi(0)*(1−eps)かつσii +(sm)=σi(0)*(1+eps)、但し0<eps<1は定数、となる。epsに大きい値を選定すれば、特異値の大きい変動が許容される。目的関数は常にモデル行列の最小変動を発見しようとすることから、特異値の変動もまた極めて穏やかになることが予測される。従って、小値のeps(例えば、eps=0.1)は安全に使用されることが可能である。
プロセスが共線的でなければ、または準共線的であるがその能力を十分に探るコントローラを必要とする場合には、改善されたロバスト性を得られるようにモデルを調整して条件数を改善することができる。
1.方向の変更は、潜在的に元の共線性の場合より望ましくないパフォーマンスをもたらす可能性のある望ましくない制御問題を引き起こしかねないため、修復されたモデルは原モデルと同じ方向性を有するべきである。
2.方向性の変更は許容範囲内で行われるべきである。追加の一次方程式または一次不等式の制約等、追加的な制限を課すこともできる。
3.2×2より大きいモデル行列を扱う場合、共線的な部分行列が別の共線的な部分行列と共通の要素を共有する可能性がある。このような場合は、一方の部分行列の修復がもう一方の部分行列を修復する必要性を生じさせる「ジグザグゲーム」すなわち終わりのないループをもたらす可能性がある。従って、複数の部分行列に同期的に対応できる方法であるべきである。
これらの目的を達成するために、下記の最適化公式が考え出された。
1.σi<、i=1,...,rのとき、特異値は低下することしかできない。但し、σr+1(0)を下回ることはない。
2.σi<、i=r+1,...,mのとき、特異値は増大することしかできない。但し、σr(0)を上回ることはない。
即ち、
σi −=σr+1(0),i=1,...,r
σi +=σi(0),i=1,...,r
σi −=σi(0),i=r+1,...,m
σi +=σr(0),i=r+1,...,m
である。
全ての準共線的な部分行列
それらの特異値
弱い入力及び出力
制御動作の規模
下記の構成の2×2蒸留プロセスについて考察する。
mv1=典型的な動作範囲を有する環流[7,9]
mv2=典型的な動作範囲を有するリボイラ蒸気[5,7]
cv1=典型的な動作範囲を有する上部不純物[6,9]
cv2=典型的な動作範囲を有する底部不純物[3,13]
Δmv1/Δmv2=(−0.7421)/(−0.6703)=1.1071
となる。試験データを、図6に示す。
mt=−0.7421*mv1−0.6703*mv2
ct=0.7222*cv1+0.6917*cv2
である。
下記のゲイン行列について考察してみよう。
Claims (28)
- コンピュータによってモデル予測制御のモデルを解析する方法であって、
a)情報伝達経路を介して、所与のプロセスのモデル予測制御に使用される対象モデルのモデルゲイン行列を、前記コンピュータのプロセッサに取得するステップと、
b)前記プロセッサによって、SVD(特異値分解)を使用して前記モデルゲイン行列を探索し、所与の条件数しきい値に基づいて、前記取得されたモデルゲイン行列の全ての準共線的な部分行列を特定するステップと、
c)前記プロセッサによって、前記特定された部分行列の最小特異値を正確にゼロに設定することにより、当該特定された部分行列の共線性を調整するステップと、
d)前記プロセッサによって、調整された部分行列に基づいて二次計画問題を構築し、この二次計画問題を解くことにより、前記対象モデルの新たなモデルゲイン行列を形成するステップと、
e)前記プロセッサによって、前記所与のプロセスを、部分行列の最小特異値が得られる方向である弱い方向に方向付けるステップと、
を含む方法。 - 請求項1において、さらに、制御動作の規模を推定するステップを含む方法。
- 請求項1において、さらに、前記所与のプロセスの少なくとも一部は共線的であるか、または準共線的であるかを検証するステップを含む方法。
- 請求項3において、前記プロセスの少なくとも一部が準共線的であることが検証された場合に、共線化手順を実行する方法。
- 請求項3において、前記モデルの前記部分行列の特異ベクトルを変えない方法。
- 請求項3において、前記プロセスの少なくとも一部が非共線的であることが検証された場合に、特異ベクトルを変えずに、各部分行列の条件数がモデルの調整によって最大化される方法。
- 請求項1において、前記方法を前記モデルの複数の部分行列に同時に適用する方法。
- 請求項1において、前記方法を少なくとも2×2のサイズである正方行列または正方行列部分行列に適用する方法。
- 請求項8において、前記正方行列または正方行列部分行列は少なくとも3×3のサイズである方法。
- 請求項9において、前記正方行列または正方行列部分行列は少なくとも4×4のサイズである方法。
- 請求項9において、前記正方行列または正方行列部分行列は少なくとも5×5のサイズである方法。
- 請求項9において、前記正方行列または正方行列部分行列は少なくとも6×6のサイズである方法。
- 請求項1において、さらに、
f)請求項1のステップa)の後にゲイン行列の領域を画定するステップと、
g)前記ステップf)の後であって請求項1のステップb)の前に、共線的しきい値を指定するステップと、
h)前記ステップg)の後に、準共線的な各部分行列について少なくとも1つの、部分行列の最小特異値が得られる方向である弱い方向の出力をスケーリングするステップと、
i)前記ステップh)の後に制御動作の規模を調整するステップと、
j)前記ステップi)の後であって請求項1のステップe)の前に、望ましいモデル修復のタイプを決定するステップと、
を含む方法。 - 請求項13において、さらに、前記特異ベクトルを維持し、かつモデル偏差を最小化しながら、最適化公式、すなわち
gijはモデル行列Gの各要素、
gij(0)は公称モデル行列G(0)の各要素、
gij +,gij -はそれぞれモデル行列Gの許容される上側および下側の境界を表すG+およびG−の各要素、
σij −及びσij +は特異値の許容される上側及び下側の境界、
m(sm)は部分行列smの大きさ、
pは準共線的な部分行列Gnc(sm)の総数、
uli(sm)及びvli(sm)は原部分行列Gnc(sm)から計算される特異ベクトル
である式を使用して、選択されたサブモデルを完全に共線化するステップを含む方法。 - 請求項14において、前記最適化公式が少なくとも1つの特異値と、少なくとも1つの特異ベクトルと、モデル行列とを含む方法。
- 請求項14において、複数の部分行列を同時に解く方法。
- 請求項14において、線形制約が賦課され、前記線形制約は、特異ベクトルによって規定される変換された空間内に不確定領域を含む方法。
- 請求項13において、さらに、前記特異ベクトル維持し、かつモデルの偏差を最小化しながら、最適化公式、すなわち、
gijはモデル行列Gの各要素、
gij(0)は公称モデル行列G(0)の各要素、
gij +,gij -はそれぞれモデル行列Gの許容される上側および下側の境界を表すG+およびG−の各要素、
σij −及びσij +は特異値の許容される上側及び下側の境界、
m(sm)は部分行列smの大きさ、
pは準共線的な部分行列Gnc(sm)の総数、
uli(sm)及びvli(sm)は原部分行列Gnc(sm)から計算される特異ベクトル
である式を使用して、選択されたサブモデルにおける共線性を低下させるステップを含む方法。 - 請求項18において、前記最適化公式が少なくとも1つの特異値と、少なくとも1つの特異ベクトルと、モデル行列とを含む方法。
- 請求項19において、複数の部分行列を同時に解く方法。
- 請求項19において、線形制約が賦課され、前記線形制約は変換された空間内に不確定領域を含む方法。
- コンピュータが使用可能な媒体上で具現化されるコンピュータ・プログラム命令セットであって、請求項1に記載のモデル予測制御のモデルを解析する方法を実行するコンピュータ・プログラム命令セットを記録した、コンピュータが使用可能な媒体。
- 請求項22において、前記コンピュータ・プログラム命令の少なくとも一部が、電気通信ネットワークを介してデータまたは命令を要求する命令を含んでいる、コンピュータが使用可能な媒体。
- 請求項22において、前記コンピュータ・プログラムの少なくとも一部をグローバル・ネットワークを介して伝達する、コンピュータが使用可能な媒体。
- 請求項22において、取外し可能な記憶媒体を含む、コンピュータが使用可能な媒体。
- 請求項25において、前記取外し可能な記憶媒体がCD−ROM、DVD−ROM、フロッピ・ディスク及びテープのうちの任意のものを含む、コンピュータが使用可能な媒体。
- モデル予測制御目的で使用されるモデルにおける共線性または準共線性を検出し、検証し、かつ修復するコンピュータ・システムであって、以下のa)〜c)を備えるコンピュータ・システム。
a)コンピュータの構成部品間でデータを伝達するデータ伝達手段。
b)前記データ伝達手段からの入力を受信するように接続されるデジタル・プロセッサであって、請求項1に記載のモデル予測制御のモデルを解析する方法を実行するデジタル・プロセッサ。
c)前記デジタル・プロセッサに接続されて、前記解析されたモデルをユーザに供給する出力手段。 - 請求項27において、データの少なくとも一部をグローバル・ネットワークを介して伝達することを可能にするコンピュータ・システム。
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