JP3960295B2 - チルト誤差低減非球面ホモジナイザー - Google Patents

Description

本発明は、レーザから出たビームを均一パワー分布に変換する１枚レンズからなる非球面ホモジナイザーに関する。炭酸ガスレーザやＹＡＧレーザなど高出力レーザは金属の切断、溶接、熱処理などに用いられることがある。レーザから出たビームは単色平行でコヒーレントであるが、パワー分布が空間的に一様でない。中央部でパワーが大きく周辺部に行くに従ってパワーが減少する。

理想的にはガウス分布をしている。そこでパワーがガウス分布しているビームをガウシアンビームあるいは簡単にガウスビームと呼ぶ。ガウスビームをそのまま導光し集光して対象物に当てて切断、溶接などを行うということはよく行われている。

しかしレーザビームのパワーを利用するような用途においては、ある空間範囲でパワーが均一であるビームが要求されることもある。ガウスビームのようになだらかでなく、ある範囲でパワーが同一であってその外側ではパワーが０であるようなビームが希求される。そのようなビームを簡単にトップハット（top hat）型と呼ぶこともある。山高帽に似ている分布だからである。円筒形断面のビームとは限らず、正方形、楕円断面のビームが必要なこともある。

ガウスビームを変形してトップハットビームを作るには幾つかの手段がある。格子状に分割された多くの平面をもつ複合ミラー面によってレーザを一点に反射して重ね合わせるというものがある。それは矩形断面のトップハットを作るのに適している。空間的に分割されたビームを同じ狭い矩形領域に集めるからパワーは同一になる。しかし位相関係が完全に崩れてしまう。位相がそろっていなくてもよいという用途には使える。

あるいは回折型光学部品（ＤＯＥ）を用いてトップハットビームを作り出すものもある。それは自由度は高いのであるが、多数の段階状の面を多数もつ部品を切削によって作るので製造コストが高くつく。

非球面レンズを使ってレーザから出てくるガウスビームをトップハットにするものもある。ガウスビームをトップハット型のビームに整形するための光学系をホモジナイザー（Homogenizer）という。

レンズを使うホモジナイザーは普通２枚のレンズを必要とする。ガウス分布するビームを空間的に均一にするレンズが必要である。それを強度変換レンズと呼ぶ。そのレンズでパワーは均一になるのであるが、位相関係が乱れてしまう。そこで乱れた位相を補正して、ある平面では位相が同一であるような平行ビームに矯正するレンズが必要である。そのように位相補正をするレンズを位相補正レンズと呼ぶ。

だからホモジナイザーは最低２枚のレンズが必要であり、ホモジナイザー＝強度変換レンズ＋位相補正レンズであった。それは任意の広がり半径ａをもつガウスビームを、任意の半径ｂをもつ均一パワー（トップハット）の平行ビームに変換するものである。最終ビームが平行であることがどうして必要かというと、ある平面で位相を合致させたビームであるから以後どれだけ伝搬しても位相関係は乱れず均一パワーを維持できるからである。平行ビームだから整形、集光するのは簡単である。拡大し縮小し、あるいは集光する必要があれば、位相補正レンズのあとにピンホールやコリメータレンズ、集光レンズをおいてビームをさらに整形する。それは入射レーザビームが、単色、平行、コヒーレント（位相がそろっている）という性質を備えているから可能である。

強度変換レンズはガウスビームを均一ビームに変換するレンズであるから通常の球面レンズではありえない。非球面レンズとなる。位相補正レンズも位相補正するものだから球面レンズではなく、非球面となる。二つの非球面レンズを使うホモジナイザーは、初めのガウスビーム径２ａと最終的な均一分布平行ビームの径２ｂの関係を自在に与えることができる。ａ＜ｂ、ａ＝ｂ、ａ＞ｂのいずれの大小関係のものをも与えることができる。

しかし本発明はそのような２枚レンズのものでなくて１枚レンズのものを対象とする。それは強度変換レンズだけからなるものであり最終ビームの径２ｂは初めのガウスビーム径２ａよりも小さくて、しかも平行ビームでないというようなものである（ａ＞ｂ）。だから位相が揃っており均一パワー平行ビームを作るという本来のホモジナイザーの定義からは逸脱する。最終ビームは非平行で位相も一様でない（非平行、インコヒーレント）。本発明はそのような１枚レンズよりなる変形ホモジナイザーに関するものである。

本発明はレンズが軸線に対して傾くチルトを問題にする。チルト（tilt）というのはレンズ面が正規の面から少し傾くという意味である。前後位置は狂いがないしレンズ中心を光学軸線が通っているのであるが、レンズ面が軸線に正しく直角でないというのがチルトである。レンズが傾くと出射ビームの軸線を横切る点がずれるので対象物面での集光点がずれる。それはレンズのコマ収差といわれるものである。本発明はチルトによる収差を少なくした１枚レンズホモジナイザーを与えることを目的とする。

特許文献１はガウスビームを強度変換レンズによって均一分布のトップハット型に変換し、さらに位相補正レンズによって平行で位相の揃った広がったビームに変換させるものである。役割の異なる２枚レンズを使ったものである。レーザから出て、このレンズ系に入る前のビームを入力ビームと呼び、このレンズ系の中間で経路を変換している中間ビームを変化ビームと呼び、レンズ系から出たビームを出力ビームと呼んで区別することにしよう。特許文献１は平行の入力ビームの半径はＲであり、出力のビーム半径もＲであり、かつ平行ビームである。

これは平行のガウシアンビームを同じサイズの平行均一ビーム（トップハット）に変換するものである。だから同じサイズの２枚のレンズが前後に用いられる。レンズの前後で平行で位相がそろったビームでなければならないという条件がある。レーザビームは平行ビームであって位相もそろっている。位相関係が強度変換レンズによって一旦乱れる。しかし位相補正レンズによって位相関係が正しく修復される。

つまりパワー分布を変換させるのは強度変換レンズであり、それによって乱れた角度と位相をそろえるのが位相補正レンズである。位相補正レンズは単に平行ビームを回復するというのではなくて位相もそろったビームにするのである。平行性、位相同期という二つの機能を位相補正レンズがになっているのである。

強度変換レンズは入射側（前面、表面）が平面で出射側（後面、裏面）が凹面であって、平凹レンズとなっており凹面が非球面である。ガウスビームの広がりａよりもトップハットのビーム広がりｂが大きいのでガウスビームの中央部のビームを外側へ広げる必要がある。先ほどの分類だとａ＜ｂの類型である。だから強度変換レンズの後面の中央部は窪んでいる。だから強度変換レンズは平凹レンズのような形状となっている。

その後に置かれた位相補正レンズは広がったビームを集めて位相の揃った平行ビームにする必要があるので前面は中央部の突き出た凸レンズとなっている。後面（出射面；裏面）は位相が揃った平行ビームを出射するので平面となっている。だから位相補正レンズは凸平レンズである。

強度変換レンズは平凹レンズで、位相補正レンズは凸平レンズである。つまり強度変換レンズ＋位相補正レンズの全体として前面と後面は平坦面となっており、内側の相対する面が凹面と凸面となっている。

２枚レンズ組の前後が平坦なレンズになるのはこのタイプのレンズ系では必然である。レーザビームは平面波であって位相は揃っている。もちろん単色性もある。単色であるから、いつまでも位相がそろうのである。このレンズ系でパワー分布を均一にした後のビームも平行で位相がそろっているべきであるから後ろの位相補正レンズの後ろ面は平面であるべきである。だから平凹＋凸平のレンズの組み合わせとなる。

実際そのような場合に計算がより単純であって解析的な微分方程式によって、強度変換レンズ後面の凹面と、位相補正レンズの前面の凸面の形状を与えることができる。この微分方程式はもちろん解析的には積分できない。しかしコンピュータを用いれば積分できるから正確なレンズの形状を先験的に求めることができる。

入力ビームと出力ビームの間においてビーム径はかわらずＲ→Ｒである。出力ビームが平行でビーム径が大きいと様々な好都合なことがある。出力ビームをミラー系で反射して任意の経路を伝搬させることができる。平行で単色で位相が揃っている（コヒーレント）から、どこまで伝搬させても位相関係が変わらない。またガルバノメータのように左右に揺動するミラーによって左右に走査しても位相関係が不変である。パルスレーザの光をガルバノミラーで左右に走査しレンズで集光すると短時間に多くの穴を等間隔に２次元で穿孔することができる。

また平行で広いビームで位相がそろっているから回折型光学部品（ＤＯＥ）によって１次元的２次元的に等間隔に広がった多数の（数百〜数千本）等価なビームを一挙に作り出すことができる。光源のレーザパワーが極めて強力であって出力ビームを多数のビームに分割してもなお強力で多数点、多数線を切断、穴穿孔、熱処理できるものであればそれは最適である。そのように平行で位相関係が一定でコヒーレントな出力ビームには多くの使い道がある。だから特許文献１によって提案されたホモジナイザーは極めて有用である。

特許文献２は、拡大縮小が可能であってトップハット型の均一エネルギー分布ビームを作り出すような２枚レンズのホモジナイザーを提案している。前方に強度変換レンズ、後方に位相補正レンズを設けている。しかし１対１ではなくて拡大縮小（１：Ｍ又はＭ：１）できるということを目的にしているから位相補正レンズを出た後のビームはある範囲でエネルギー分布が均一であるが、位相は乱れ平行でないビームになる。

つまり特許文献１は原理的に理想的な平行ビーム、コヒーレント、均一エネルギー分布を満たす１対１のホモジナイザーである。特許文献２は拡大縮小可能性を得るために平行性、コヒーレント性を犠牲にしている。レンズ設計は波動光学的な計算によっており均一エネルギー分布を満たす解は幾つも出てくる。

ＵＳＰ３，４７６，４６３号（Justin.L.Kreuzer） 特開平１０−１５３７５０号「レーザビーム整形光学部品」

ところが、いつもいつもガルバノミラーでビーム走査するとは限らないし、常にＤＯＥで多数のビームに分割する必要があるとは限らない。

光源のレーザパワーが弱くて、出力ビームを分割してはパワーが足りないということもある。その場合は１本のビームをそのまま絞って対象物の一点に当てるということになる。先ほどの洗練されたガルバノミラーや、ＤＯＥの話と比較すると一歩後退した話であるが１本のレーザビームでもって対象の１点だけを照射するという用途もある。それは先ほどの分類でいうとａ＞＞ｂというような類型である。

例えば１０ｍｍφの大きいガウシアンビームを１００μｍφの１本のビームに絞って対象に当てるというような場合である。その場合でも単に集光レンズを使うのでは絞ったビームがガウシアンビームであるから不都合だということがある。ガウシアンビームで穴を開けたとすると、どうしてもダレがあってきれいな穴が開かない。貫通穴であると断面が凹鼓型になるし、中途穴の場合は円筒でなく円錐に近い穴になってしまう。きれいな円筒形の穴を開けるためには絞ったビーム自体もトップハット型でなければならない。

特許文献１のレンズ系で平行均一ビームを作るから、それを集光レンズで絞って１００μｍφに整形することももちろん可能である。ところがその集光レンズ系は当然に極めて長い光学経路を必要とする。縮小光学系が必要であり上の場合１／１００に縮小するから、出力ビームの後のマスク（スリット）と集光レンズの距離をｓ、集光レンズと対象物の距離をｔとすると、ｓ：ｔ＝１００：１としなければならない。集光レンズの直径は２０ｍｍφは必要だから、それを１００μｍに絞るに必要な集光レンズ・対象間距離ｔはかなり大きいものとなる。たとえばｔ＝５０ｍｍとすると、ｓ＝５０００ｍｍとなり、それは長大なレンズ系となって場所を余分に取り望ましくない。

そこでａ＞＞ｂの場合は特許文献１のようにビーム径はあまり変わらず（Ｒ→Ｒ）平行ビームの出力を与えるものでなくて、ビーム径を小さくして、しかもトップハットだというようなことが望まれる。その場合位相は乱れていても良いし平行性も無くて良いということがある。位相がそろっており平行性が重視されるのは、それからさらに伝搬してゆくからである。伝搬しても波形がくずれないためには平行で位相がそろって単色だということは必要条件である。

しかしながら対象物に当たって、そこへただちに穴を開けたり溶接したり熱処理するという用途であればその後まで光として伝搬するのでない。だから像面での定位相、平行性というのはよく考えれば必要でない。

つまり平行性、定位相性（コヒーレンス）を犠牲にしても、より短い光学系になる方がより好ましいのである。ホモジナイザーであって、そのような用途というもの自体が新規である。

そのような場合は特許文献１とは違って強度変換レンズだけの１枚レンズでホモジナイザーを構成する方が良い。ガウスビームの半径ａに比べてトップハットビームの半径ｂが著しく小さい（ａ＞＞ｂ）しトップハットビームは伝搬させず直ちに対象物へ照射して熱に変換させ穴開け、切断、溶接、熱処理に用いられる。伝搬しないから平行ビーム等位相などの条件は不要である。エネルギーの等分配だけでよい。

１枚レンズのホモジナイザーというもの自体がこれまでにないものである。新規な概念である。それは集光レンズと強度変換レンズの作用を相乗したようなものである。だからそのレンズは正の屈折力をもち像面の微小領域（ｒ≦ｂ）で一定パワーをもつものであるべきである。

図１３にそのような１枚レンズのホモジナイザーを示す。左側から半径ａで平行単色のガウスビーム（レーザビーム）がやってくる。ホモジナイザーでそれを絞り像面で直径２ｂの狭い領域での均一分布（トップハット）ビームに変換する。これが本発明の目的とする１枚レンズホモジナイザーの光学系である。

新規な１枚レンズホモジナイザーであるが、強度変換レンズはこれまで入射側が平面で出射側が凹面であった。それは位相が揃ったレーザビームが入射側から入ってくるので入射面は平面でないと設計が難しかったからである。出射側が凹面であるのはガウスビームの中心の強い部分を外側へ広げるためである。集光レンズは入射面も出射面も凸面であるものが多い。つまり凸凸レンズであるものが多い。ここで入射側の面と出射側の面の形状を前後に並べて書いてレンズの特徴を簡明に表現することとする。もちろん集光レンズは平凸、凸平、凸凹の形状をとることができ全体として正の屈折力があればよい。

その新規な１枚ホモジナイザーレンズは平凹の強度変換レンズと、凸凸の集光レンズを合成した機能を有するべきである。だからそれは平凸のレンズで構成できると推量される。１枚レンズホモジナイザーは新規な概念であって、ここに従来技術を示すことができない。

だから平凹の強度変換レンズと凸凸の集光レンズを合成した１枚レーザホモジナイザーは、平凸のレンズになるだろうと推量される。完全に集光するのではなくて半径ｂの狭い領域で一定エネルギーになるというのだから凸面形状は球面では無理である。どうしても非球面となる。

本発明者はさらに熟考を進めた。１枚レンズホモジナイザーは用途が新規であり物自体も新規である。実際に平凸レンズを設計し、それによって均一化（トップハット）した微少スポットを生成する実験を進めた。ところが平凸とするとレンズのチルト（tilt）に対して、とても弱いということがわかってきた。チルトというのは光軸に対するレンズ傾きであるが、１分とか１０分とか僅かな傾きでも像面でのパワー乱れが大きいということが分かってきた。だからチルトに対して強い１枚レンズホモジナイザーが望まれる。本発明はそれを追求したものである。

但し位相関係はエネルギーに関係するので位相の乱れは厳密なエネルギー等分配を妨げる可能性がある。実際のエネルギーは波動関数の振幅の二乗で与えられるので波動光学的な手法によって波動関数を求めて、その２乗としてエネルギーを求めなければならない。ところが波動光学方程式を解くことはとても難しい。正しい位置に光学系が配置されているときに近似解を求めることはできるがレンズを傾けたチルトというような場合複雑過ぎてなかなか波動光学的手法ではエネルギーのズレ量を計算できない。

仕方がないので本発明者は幾何光学的手法に従って光線追跡によって１本１本の光線の経路を求める手法によった。だから位相はどうなっているのかわからない。パワーは位相が揃っていないと位相差のｃｏｓになるから位相に関係する。だから幾何光学にもとづく光線追跡では厳密にビームパワーのことはわからない。そこでガウスビームに等エネルギー密度間隔で想定した多数のビームを光線追跡し、対象面での分布が等分布であれば、それはトップハットだと考える。

強度変換レンズ１枚の新規なホモジナイザーは広い平行のガウスビームを対物面では半径ｂの小さいスポットに整形するのだから凸レンズの形をしている。１点に集光するのではなくて有限半径ｂに均一分布ビームを形成するからレンズ形状が通常の集光凸レンズとは少し違うが殆ど似たような形状になる。

実際にホモジナイザー装置を製作する場合、レンズと光軸の横ズレ、軸方向ズレ、傾きなどの製造誤差が発生する。ここではレンズの光軸に対する傾斜を問題にする。レンズの傾きをチルトと呼ぶ。レンズ面を正確に光軸に直角に設置するとチルト誤差は０度である。しかし実際には誤差０度ということは難しい。必ずばらつきがあるものである。実際には調芯するからビーム中心部は対象物の中心に合致する。が周辺部のビームが対象物から大きくずれてしまう。ホモジナイザーの場合チルトによるビームの偏奇が大きくて１分（＝１度／６０）の傾きでもビームがずれてしまう。

現実の光学装置では様々の設置誤差がおこりうるので、そのような設置誤差に対してビームの偏奇が少ない方が好ましい。つまり公差（誤差に対する余裕）が大きい方が設定しやすい。チルト公差を大きくした方が製作が容易である。

狭い対象物に対して均一分布パワーのレーザ光を照射するためのホモジナイザーにおいてレンズが傾いた（チルト）ときにビーム崩れが小さいようなレンズ配置を提供することが本発明の目的である。つまりチルトに対する許容度の大きいホモジナイザーレンズを提供することが本発明の目的である。

本発明は、光源側に凸非球面を、対象物側に平面を対向させるようにホモジナイザーレンズを配置する。つまり凸平というようなレンズの配置とするのである。
これまでのホモジナイザーは平凹強度変換レンズ＋凸平位相補正レンズというように平面をレーザ側に置いていた。１枚レンズに置き直すと平凸レンズとなりそうである。そのようにせず、本発明はレーザ側に凸面（非球面）をおいて対象物側に平面を置くようにする。

ただし平凸配置で有効であったレンズを単にひっくり返したということではない。ひっくり返すと、対象物面でエネルギー等分布するための非球面係数が異なってくる。だから全く同じレンズを反対向きにしたらよいということではないが、簡単にいうと平凸から凸平へ、レンズの向きを逆にするということである。

それが本発明の要点である。ホモジナイザーとしての性質は当然にもっている。トップハットの場合、像面での分布はステップ関数型で、

ｒ≦ｂで ｆ（ｒ）＝１、 ｒ＞ｂで ｆ（ｒ）＝０（トップハット）（１）

を満足するような均一分布である。

さらに工夫を加えてトップハットの代わりにスーパーガウシアンとすることも有用である。つまりそれは、最終的なエネルギー分布をステップ型に変化する純粋のトップハットとするのではなくて、周辺部での微分不連続をなくすためにスーパーガウシアンとする。スーパーガウシアンの係数ｍは１０〜１００とする。スーパーガウシアンというのはステップ関数（ｆ＝１、ｒ≦ｂ、ｆ＝０、ｒ＞ｂ）とするのではなくて

ｆ（ｒ）＝Ｃｅｘｐ｛−２（ｒ／ｂ）^ｍ｝ （２）

とするものである。ｍが無限大の極限ではステップ関数（トップハット）になる。ｍ＝２だとガウシアンである。ｍが有限であるとｒ＝ｂでの微分不連続がなくなりなだらかになる。ここではｍ＝１０〜１００とする。

集光型ホモジナイザーは通常の集光レンズと違って僅かなチルトでも大きい誤差が出るのが普通である。対象面でのビームパワーの均一性が強く要求される場合チルトに対して弱いということは困ったことである。本発明は凸平レンズをホモジナイザーとする。レンズが傾いていたとき（チルト）のビームの変形が小さくなり、チルトがあってもビームパワー均一性の低下がより少ない。チルト誤差が少なくなる。本発明は多少レンズが傾いていても対象物面でのビームのエネルギー均一性が損なわれない。しかも１面だけの切削加工でよいから平凸の場合と加工コストは変わらない。

レーザからの入射ビームが位相の揃った平行ビームであることから、レンズの向きを反対にするということは抵抗がある。入力側のレンズ面ですでに位相が異なってくるからである。しかしそれは差し支えのないことである。対象物面でのビームは１本であってしかも極極狭く、対象物ですぐに熱に変わるのだから位相が乱れていても良いし平行でなくてもよい。

単色性も良く考えればいらないことである。だから入射ビームについては単色性、コヒーレンスは不要であり平行ガウスビームということだけが必要である。レーザ光は平行でガウスビームだから本発明の好適な適用対象になる。しかし平行、ガウスビームであればよく、コヒーレント性、単色性は不要である。入射ビームはだからレーザ光に限らない。

本発明のホモジナイザーは、１枚レンズであって像面に小さい範囲の均一ビームを形成するもので凸非球面を前面に、平面を後面に持つものである。凸平とするのでチルトに起因する誤差は小さい。つまりチルトに対して強いホモジナイザーとすることができる。これまでの平凸の強度変換レンズという常識を反転させたものである。

入射側の広い平行ガウスビームを像面で狭い均一分布ビームにするという条件は同じである。像面（対象面）ではエネルギー分布が均一であればよい。つまりビーム分布が均等であればよい。像面ですぐに熱に変換するので平行ビームとして伝搬する必要はない。伝搬しないので、像面で平行、コヒーレントという条件は最早必要でない。単色性も不要である。単色性は屈折率が不変であるということにも関係するがレンズの屈折率は多少波長が変わっても同一であるからあまり関係ない。

本発明のホモジナイザーは像面での微小領域に均一ビームを作ろうとするのであるから凸集光レンズと中央部に凹部をもつレンズの積結合と考えることができる。それは像面での均一範囲がごく狭いから集光レンズとよく似た凸断面をもつ。本発明はチルト誤差を下げチルトに対する公差（許容誤差）を広げることを目的にしている。本発明はチルト誤差を下げるために平凸レンズよりも凸平レンズを採用するということである。

チルト誤差は高次の誤差であるから、平凸レンズや凸平レンズのチルト性能の比較は容易でない。どうして凸平レンズがよりよいのか？という理由も分かりにくい。だから簡単に説明するのは難しい。しかし一般的に優劣が判明しなければならない。後に６つの１枚レンズホモジナイザーの例を述べる。その例はそれぞれのレンズ形状においてただ一つの設計例にしかすぎない。それらの例を見る限りでは平凸レンズよりも凸平レンズがチルトに強いということは推定できる。しかし例が一つずつでは説得力に欠ける。ただの偶然かもしれないという懸念を払拭できない。

図１４に示すように、集光性をもつレンズ（凸レンズ）というものは前面Ｓ１の凸方向の傾きＧ１と後面Ｓ２の凸方向の傾きＧ２の和Ｇ１＋Ｇ２＝αが軸線からの距離ｙに比例して増大するようになっている。ただしここでＧ１は軸線垂直方向（ｙ方向）に対して凸方向の傾きで、Ｇ２はｙ方向に対して凸方向の傾きである。つまり

Ｇ１＋Ｇ２＝α＝ｇｙ （３）

なのである。焦点距離ｆを決めると合計傾きＧが決まる。しかしＧのＧ１とＧ２への配分は任意である。軸線からの高さｙにおいて引いた軸平行線がレンズ面を切る二点での接線を上に延長して交差させるとその交角はαである。高さｙの部分は頂角α＝ｇｙのプリズムだと考えることができる。屈折率がｎ、頂角がＧのプリズムは入射光線を大体（ｎ−１）αだけ（零次近似）曲げる。平行ビームが前面Ｓ１に入射すると、出射ビームの下向きの曲がり角は大体（ｎ−１）αである。それが高さｙだけ違う軸線上ｆの位置を交差するのだから、

ｔａｎ（ｎ−１）α＝ｙ／ｆ （４）

ｔａｎθ≒θという近似のもとでは、

ｙ＝ｆｔａｎ（ｎ−１）α≒ｆ（ｎ−１）α＝ｆ（ｎ−１）ｇｙ （５）

となる。だから

ｆ＝１／ｇ（ｎ−１）、ｇ＝１／ｆ（ｎ−１） （６）

である。あるいは屈折力の表現にして

１／ｆ＝（ｎ−１）ｇ （７）

というように書くこともできる。これは高さｙの部分の傾きＧ１、Ｇ２の和がｙに比例し、その比例定数ｇが１／（ｎ−１）ｆによって与えられるということである。単純な球面レンズの場合の曲率半径Ｒとｇは

Ｒ＝１／ｇ （８）

の関係にある。つまりｇは曲率である。

平行ビームが高さｙの点に入射して頂角αのプリズムで屈折し斜角α（ｎ−１）の斜めビーム（零次近似で）になってレンズ後方ｆで軸線を横切る。チルトによってレンズが多少傾いても高さｙに入射したビームは頂角α＝ｇｙのプリズムで屈折されると考えることができる。チルトΥだけプリズムが傾いたと考えれば良い。つまりｙ＝ｙの入射ビームについてはプリズムに還元して計算できる。

図１５のように頂点Ｐ、頂角αのプリズムを想定する。そこへ入射ビームがＥ点で入射しＨ点で出射したとする。Ｅ点での入射角をθ、屈折角をφ、Ｈ点での屈折角をξ、出射角をηとする。つまりＥ点の法線と入射ビームがなす角がθ、屈折ビームがなす角がφである。Ｅ、Ｈ点での法線の交点をＱとする。入射角、屈折角、出射角の間にはスネルの法則が成り立つ。

ｓｉｎθ＝ｎｓｉｎφ （９）

ｓｉｎη＝ｎｓｉｎξ （１０）

ＥＰＨＱは同一円周上にある４点であるからプリズム内部での屈折角φとξの和はαである。

φ＋ξ＝α （１１）

Ｅ点での曲がり角は（θ−φ）であり、Ｈ点での曲がり角は（η−ξ）である。プリズムによる合計の曲がり角Ｂは

Ｂ＝（θ−φ）＋（η−ξ）＝θ＋η−α （１２）

である。θ、φ、ξ、ηの４つの変数の間に３つの方程式が成り立つ。４−３＝１であるから、自由度は一つしかない。もしもθを決めると残りの３変数は全部決まる。θに限らず、どの変数を決めても残りの３変数は決まってしまう。つまりＢは１変数によって決まる関数なのである。どの変数をとってもよいが、ここでは入射角θを独立変数として考えよう。チルトというのは要するにθをチルト角Υだけ変化させたということに他ならない。であるから曲がり角の変化分ΔＢはΥｄＢ／ｄθに等しい筈である。

つまり曲がり角Ｂのθによる微分を計算できればチルトによるビーム曲がり角変化を求めることができる、という訳である。

入射ビームのなす角度θを変えると、この曲がり角Ｂも変化する。零次近似では先ほども述べたように曲がり角は（ｎ−１）αであるが、実際には入射角θが変わると曲がり角Ｂも変化する。ηをθで表現するようにしたい。そうすれば曲がり角Ｂがθだけの関数となるから、それをθで微分するとチルトの影響が分かるということになるのである。

式（１０）、（１１）、（１２）から

η＝ｓｉｎ^−１（ｎｓｉｎξ）＝ｓｉｎ^−１｛ｎｓｉｎ（α−φ）｝
＝ｓｉｎ^−１［ｎｓｉｎ［α−ｓｉｎ^−１｛（１／ｎ）ｓｉｎθ｝］］（１３）

ということになる。ηがθの関数として表現された。しかしこれは極めて分かりにくい表現である。そこでθによって、べき級数展開することにしよう。

ｓｉｎγ＝γ−γ^３／６＋γ^５／１２０−γ^７／５０４０＋… （１４）

ｓｉｎ^−１β＝β＋β^６／６＋３β^５／４０＋５β^７／１１２＋… （１５）

（１３）式の括弧の中の最終の項を計算する。θについては３次までをとることにする。

ｓｉｎ^−１｛（１／ｎ）ｓｉｎθ｝＝ｓｉｎθ／ｎ＋ｓｉｎ^３θ／６ｎ^３＋…
＝（１／ｎ）（θ−θ^３／６＋θ^５／１２０…）＋（１／６ｎ^３）（θ−θ^３／６＋θ^５／１２０…）^３＋…
＝（θ／ｎ）−（θ^３／６ｎ）｛１−（１／ｎ^２）｝… （１６）
式（１３）のｓｉｎ（α…以下は

ｓｉｎ［α−ｓｉｎ^−１｛（１／ｎ）ｓｉｎθ｝］
＝ｓｉｎ［α−（θ／ｎ）＋（θ^３／６ｎ）｛１−（１／ｎ^２）｝］
＝α−（θ／ｎ）＋（θ^３／６ｎ）｛１−（１／ｎ^２）｝−（１／６）｛α−（θ／ｎ）｝^３…
＝α−（α^３／６）−（θ／ｎ）（１−α^２／２）−αθ^２／２ｎ^２＋θ^３／６ｎ… （１７）

式（１３）のｎｓｉｎ（α…以下は、上の式にｎを掛けて、

ｎｓｉｎ［α−ｓｉｎ^−１｛（１／ｎ）ｓｉｎθ｝］
＝ｎα−（ｎα^３／６）−θ（１−α^２／２）−αθ^２／２ｎ＋θ^３／６… （１８）

となる。これのアークサインがηである。

η＝ｓｉｎ^−１［ｎｓｉｎ［α−ｓｉｎ^−１｛（１／ｎ）ｓｉｎθ｝］］
＝ｎα−（ｎα^３／６）−θ（１−α^２／２）−αθ^２／２ｎ＋θ^３／６＋（１／６）｛ｎα−（ｎα^３／６）−θ（１−α^２／２）｝^３…
＝ｎα−（ｎα^３／６）＋（１／６）｛ｎα−（ｎα^３／６）｝^３−θ（１−α^２／２）［１＋（１／２）｛ｎα−（ｎα^３／６）｝^２］＋［（１／２）｛ｎα−（ｎα^３／６）｝^２｛１−α^２／２｝−α／２ｎ］θ^２
… （１９）

このようにして初期の目的どおりηをθの関数として求めることができた。曲がり角Ｂはηにθを加えてαを差し引いたものである。

Ｂ＝θ＋η−α
＝（ｎ−１）α−ｎα^３／６＋（ｎ^３α^３／６）（１−α^２／６）^３
−θ［（ｎ^２−１）（α^２／２）−（５／１２）ｎ^２α^４＋（ｎ^２α^６／１２）］
＋（θ^２／ｎα）［（ｎ^２−１）（α^２／２）−（５／１２）ｎ^２α^４＋（ｎ^２α^６／１２）］ （２０）

となるのでθの２乗の式にすると

Ｂ＝（ｎ−１）α＋（ｎ^２−１）（α^３ｎ^３／２４）−（ｎ^３α^５／１６）−（ｎ^３α^７／１４４）＋（θ−ｎα／２）^２［｛ｎ−（１／ｎ）｝（α／２）−（５／１２）ｎα^３＋（ｎα^５／１２）］… （２１）
となる。

図１８に曲がり角Ｂをθの関数として図示した。曲がり角Ｂは、θ＝ｎα／２の時に最小値Ｍをとり、θがｎα／２から離れるに従って増加する。θが負になったり、ｎαより大きくなるとどんどん増加して行く。
もしも、入射角θの変化する範囲を０〜ｎαと限定すると、θ＝ｎα／２の時に最小値Ｍをとり、θ＝０（Ｌ点）およびｎα（Ｐ点）で最大値をとるということになる。

初めの問題に戻って考える。

図１６に示すように平凸レンズホモジナイザーというのは、前面Ｓ１が軸線に直交するというような配置に対応する。それは入射角θが０ということである。それは式（２０）でθ＝０（Ｌ点）というような、大きな曲がり角Ｂを与える。

図１７に示すように凸平レンズホモジナイザーというのは、前面は斜めであり、後面が軸線に直交するような配置に対応する。そのとき前面は軸に立てたｙ軸に対しαの角度をなす。平行のビームが入るので入射角θはαだということである。それはθ＝α（Ｎ点）とおいて曲がり角が求められる。Ｎ点での曲がり角ＢはＬ点での曲がり角Ｂより小さい。

チルトΥを考えるのであるから、曲がり角自体が問題ではなく、曲がり角のθによる微分が問題である。チルトΥによる曲がり角変化をΔＢとすると

ΔＢ＝Υ（ｄＢ／ｄθ） （２２）

によって厳密に与えられる。つまりＢのθによる微分が重要であり、それがチルト評価を与えるわけである。

ｄＢ／ｄθ＝２（θ−ｎα／２）［｛ｎ−（１／ｎ）｝（α／２）−（５／１２）ｎα^３＋（ｎα^５／１２）］
＝ ２（θ−ｎα／２）Ｗ （２３）

ただし

Ｗ＝［｛ｎ−（１／ｎ）｝（α／２）−（５／１２）ｎα^３＋（ｎα^５／１２）］ （２４）

ｄＢ／ｄθは単位角チルトしたときの曲がり角変化を与える。

これが最小であるのはθ＝ｎα／２のときであり図１８のＭ点で表される。

（ｉ） 平凸レンズというのはθ＝０であるから、
ｄＢ／ｄθ＝−ｎαＷ （平凸レンズ） （２５）
である。

（ｉｉ） 凸平レンズというのはθ＝αであるから、
ｄＢ／ｄθ＝（２−ｎ）αＷ （凸平レンズ） （２６）
である。

たとえばｎ＝１．５程度であるとすると、平凸レンズのチルト誤差が−１．５であるとき、凸平レンズのチルト誤差が＋０．５程度だということになる。凸平の場合、絶対値で約１／３に減っている。符号が変わっていることにも注意すべきである。平凸レンズでチルトによって最外殻ビーム円が上に上がるが、凸平レンズでは最外殻ビーム円が下に下がるということになるわけである。チルトによるビーム偏奇の方向も異なる。

平凸レンズに対する凸平レンズのチルト誤差優越性は、式（２５）、（２６）から屈折率による。それはそうであるが、ｎは１以下にならないのであるから、常にチルト誤差の絶対値は凸平レンズの方が、平凸レンズより小さい。ｎが２に近付くに従って、凸平レンズのチルト優越性はますます顕著になってゆく。

レンズ屈折率ｎ＝２では凸平レンズがチルト誤差が０ということになる。それはもちろん、θの３次以上を省略した近似でいえることであり、θの３乗以上の誤差はあるが、それはごくわずかである。ｎが２を越えると、凸平レンズも平凸レンズもチルトにより最外殻ビームの偏奇の方向が同じようになる。そうであっても凸平レンズの方が平凸レンズよりチルト誤差は小さい。

レンズの製造コストからいえばレンズの一面だけ研削し他方の面は平坦面にするようにしたい。両面を曲面にするということは望ましくない。曲面研削には時間とコストがかかるが、それが二倍に増えるからである。そうなると、凸平レンズか平凸レンズか２者択一となり、本発明は、平凸レンズよりも凸平レンズを採用すると主張しているのである。

しかしながら両面を研削することがコスト面経済面から許されるならば、チルトをもっと小さくする可能性がある。それは、図１８のようにＭ点を採用することである。Ｍ点というのは

θ＝ｎα／２ （Ｍ点） （２７）

というように頂角αのプリズムで左右対称の屈折を起こさせる場合である（図１９）。そのとき

ｄＢ／ｄθ＝０ （２８）

であって、近似の範囲でチルトによるビーム偏奇はない。それは両面を凸面とすることによって達成される。しかし両方の凸面の曲率半径は同一でない。平行ビームがＳ１面に入射する入射角がｎα／２なのだからＳ１面の傾きはｎα／２である。Ｓ２から出たビームの曲がり角は（ｎ−１）αであって、η＝θ＝ｎα／２である。Ｓ２面の傾きはη−（ｎ−１）αであるから、（１−ｎ／２）αである。つまり

Ｓ１傾斜： ｄＳ１／ｄｙ＝ｎα／２ （２９）

Ｓ２傾斜： −ｄＳ２／ｄｙ＝（１−ｎ／２）α （３０）

ここで式（３０）でＳ２にマイナスが付くのは、入射方向へ凸であるのを正としているからである。どちらも凸面であることに注意すべきである。凸凸レンズである。曲率の合計は焦点距離ｆで決まるから、式（２９）、（３０）は合計の曲率を、前面と後面で凸面の曲率をｎ：（２−ｎ）の比率で分配せよということである。そのように分配されていれば、チルトによるビーム偏奇は０である。だから第零近似での前面の曲率半径Ｒ１（正）、後面の曲率半径Ｒ２（負）は

１／Ｒ１：１／Ｒ２＝ｎ：（ｎ−２） （３１）

の比率を満たしていれば図１８のＭ点となり、θ＝ｎα／２となる。焦点距離をｆとすると、第零近似では

１／ｆ＝（ｎ−１）（１／Ｒ１−１／Ｒ２） （３２）

であるから、

１／Ｒ１＝ｎ／２（ｎ−１）ｆ （３３）

−１／Ｒ２＝（２−ｎ）／２（ｎ−１）ｆ （３４）

となるわけである。或いは

Ｒ１＝２（ｎ−１）ｆ／ｎ （３５）

−Ｒ２＝２（ｎ−１）ｆ／（２−ｎ） （３６）

たとえば、ｎ＝１．５であれば、前後の凸面Ｓ１とＳ２の曲率半径Ｒの比の絶対値は、１：３となる。それは凸凸ホモジナイザーでありチルト誤差を近似の範囲で０にすることができる。コスト増大を厭わないのであれば、そのような両凸レンズが最も望ましい。何れかを球面にして、残りの面を非球面とすればホモジナイザーとすることができる。その場合、非球面にする方の曲率半径Ｒと最低次の非球面係数Ａ_２とは

２Ａ_２Ｒ＝１ （３７）

という関係が近似的に成り立つ。一方が非球面の場合は２Ａ_２によって１／Ｒを置き換えるべきである。たとえばＳ１が非球面のとき（３１）式は、Ｓ１の非球面２次係数Ａ_２を用いて、

２Ａ_２：１／Ｒ２＝ｎ：（ｎ−２） （３８）

と書き換えることができる。

これまでの計算ではレンズの一部を頂角αのプリズムとみなして計算をしてきた。しかし実際にはαは一定でなくてｙにほぼ比例してレンズの周辺部へ行くにし違って増えて行くものである。αとｙ（軸線からの距離）の比例定数を与えればチルトによるビーム偏奇を実際に計算することができる。

軸線に平行なビームが入射して軸線上の焦点距離ｆの位置で集光する。レンズの軸線からｙの高さを通るビームの曲がり角はｙ／ｆである。それが（ｎ−１）αに等しいのだから、

ｙ／ｆ＝（ｎ−１）α （３９）

αとｙの比例定数が１／（ｎ−１）ｆだということがすぐに分かる。

α＝ｙ／｛（ｎ−１）ｆ｝ （４０）

これを式（２４）のＷの式に代入するとｙの関数としてのＷがわかるが、３次以上を落として近似すると

となる。
（ｉ） 平凸レンズの場合の単位チルト角に対する偏奇は（２５）から

（ｉｉ） 凸平レンズの場合の単位チルト角に対する偏奇は（２６）から

いずれにしても、レンズ軸線からの距離ｙの２乗に比例して偏奇角が増える。像面でのビーム径を小さくするために焦点距離ｆを短くする必要がある。そのためにｙ／ｆがかなり大きい値になる。

たとえばレンズの有効径が２０ｍｍφで焦点距離が６０ｍｍだとすると、ｙ／ｆの最大値は１／６である。

像面での偏奇δは、ｄＢ／ｄθにチルト角Υと焦点距離ｆを掛ければ求められるから

ということになる。レンズの半径座標ｙの２乗でチルト偏奇が増大するということがよく分かる。だから外側を通るビーム（外殻ビーム）の場合にチルトが重大な問題となる。

次に述べる設計例でも最外殻ビームのチルト偏奇が特に大きくなっており、最外殻ビームに特に注意して説明している。簡単な近似の範囲で、平凸：凸平＝−ｎ：（２−ｎ）のような偏奇の比が成り立つ。

次の設計条件を課して、６つの場合について出力ビームがスーパーガウシアン（ｍ＝５０）になるような非球面係数を計算した。エネルギーがほぼ等密度になるように入力ガウスビームに多数のビームをとり、そのビームが仮定された非球面係数をもつレンズによって屈折される軌跡を計算して対象物面でのビームの到達点を計算する。

つまり光線追跡によって対象物面での分布を求める。対象物面でのエネルギー分布が均一になるようなものを求めて、それをホモジナイザーレンズの非球面係数として決定する。与えられた条件を満足するレンズはもちろんたくさんあるのであるが、その内の一つを取っている。

そしてレンズを０．５度傾けて同じ入力ビームについて光線追跡して対象面（像面）でのビームの分布を計算した。

単レンズホモジナイザーの設計条件
波長：３５５ｎｍ （ＹＡＧ第３高調波レーザ）
入射ビーム：ガウシアンプロファイル、１／ｅ^２ ビーム径φ１０ｍｍ
焦点距離： ６０ｍｍ

つまり入力ビームはλ＝３５５ｎｍのガウスビームであってパワーが中心パワーのｅ^−２＝０．１３５３になる点と中心間距離が１０ｍｍだということである。

レンズの入力側の面をＳ１面と呼ぶ。出力側の面をＳ２と呼ぶ。半径座標ｒは中心からの距離として定義する。レンズ面Ｚ（ｒ）は基準面（中心点を含む平面）から入力側（光源側）にずれるのを正、基準面から出力側（像面側）にずれるのを負として定義する。非球面係数｛Ａ_ｊ｝は半径ｒの累乗の係数である。左右対称性があるから奇数次は０であり偶数次だけが存在する。

次数が高いほどより正確にレンズ面を定義できる。ところが次数が高くなると計算が複雑になり時間も余分にかかる。それで、ここでは２次から２０次までの１０項だけを計算する。２２次以降は０というようにする。半径ｒの単位はここではｍｍとする。レンズ面Ｚ（ｒ）の単位もｍｍである。ｊ番目の係数Ａ_２ｊの単位はｍｍ^{−２ｊ＋１}である。

レンズ面Ｚ（ｒ）は光源側に曲がるのを正、像面側に広がるのを負としているからその正負と凹凸とは違う。入力側のＳ１面が正、出力側のＳ２面が負であると凸面を意味し、入力側のＳ１が負、出力側のＳ２が正であるとそれは凹面を意味する。Ｓ１、Ｓ２が非球面でなくて球面の場合もある。その場合たくさんの非球面係数の代わりに一つの曲率半径Ｒによって曲面を定義できる。その場合でも上に述べた正負の定義は共通である。

中心厚みをＴ_０として一定とし、有効径（φ_ｅｆｆ）が決まっているから、中心から周辺部に至るまでの厚みＴ（ｒ）は非球面係数から計算することができる。全体として集光性をもつ凸レンズであるからＴ_０が共通だと中間部や周辺部の厚みも同じようなものでありチルト誤差を比較するレンズとして妥当である。

（１） 平凸レンズの場合（Ｓ１：平面、Ｓ２：非球面凸）
中心厚みＴ_０：１０ｍｍ
材料： 合成石英
屈折率： ｎ＝１．４７６０７１８７５６
有効直径： Ｄ＝φ２４ｍｍ
Ｓ１面：平面
Ｓ２面：凸非球面（非球面係数を表１に示す）

非球面係数（偶数次で２次から２０次まで１０項の係数を決める。２２次以上は０ととる）
Ｚ（ｒ）＝Ａ_２ｒ^２＋Ａ_４ｒ^４＋Ａ_６ｒ^６＋Ａ_８ｒ^８＋Ａ_１０ｒ^１０＋Ａ_１２ｒ^１２＋Ａ_１４ｒ^１４＋Ａ_１６ｒ^１６＋Ａ_１８ｒ^１８＋Ａ_２０ｒ^２０ （４６）

図１に平凸レンズホモジナイザーを示す。
図２に平凸レンズ（１）の場合の像面でのビームスポット分布を示す。左がチルトが０で、右はチルトが０．５゜の場合である。入力ガウスビーム（有効径が１０ｍｍφ）において回転対称の位置であって直径上に２３点存在するよう１１重の同心円に並びエネルギーが等分割になるようなスポット３９７点をとりレンズで屈折して像面で照射される点を求めて図示している。左側がチルトのない場合（Υ＝０）である。基準の長さを示す尺度棒は４０μｍである。像面では２６μｍφの１１重の同心円上に並びほぼ等分布となっている。初めのレーザビーム（ガウスビーム）の有効径が１０ｍｍφとしているから、像面での最外殻の２６μｍφの円は原ビームの１０ｍｍφのものに対応するのである。ａ＝５ｍｍ、ｂ＝１３μｍであり、縮小率は約１／３８０である。チルトが０の場合のこの条件は以下の５つのものについても同様である。だから以下の場合についてチルト０（Υ＝０）の説明は省く。

０．５゜のチルトのある場合（Υ＝０．５゜）の先ほどの等エネルギー分布の３９７本ビームをチルトしたレンズについて光線追跡して対象物面（像面）でのスポットを図示したものが図２の右の図である。同じ指標の長さが５倍の２００μｍになっている。レンズチルトに対しビームが大きくずれるので同じ縮尺では図示できないから１／５の縮尺にしている。像面で同心状であったビームが偏心して直径が大きくなるビーム円の中心ほど外側へ大きくずれている。最外殻のビーム円は直径６５μｍφになっている。最外殻の円は原ビームの１０ｍｍφの最外殻円に対応する。最外殻円の中心は、内殻円の中心から約５４μｍそれている。像面でのトップハットの直径が２６μｍφなのであるから５４μｍもそれてはいけない。このようにたったの０．５゜のチルトであっても外殻のビームは正規の位置から大きくずれる。

（２） 凸平レンズの場合（Ｓ１：凸非球面、Ｓ２：平面）
中心厚みＴ_０：１０ｍｍ
材料： 合成石英
屈折率： ｎ＝１．４７６０７１８７５６
有効直径： Ｄ＝φ２４ｍｍ
Ｓ１面：非球面（凸面）（表２に非球面係数を示す）
Ｓ２面：平面

非球面係数（偶数次で２次から２０次まで１０項の係数を決める。２２次以上は０ととる）
Ｚ（ｒ）＝Ａ_２ｒ^２＋Ａ_４ｒ^４＋Ａ_６ｒ^６＋Ａ_８ｒ^８＋Ａ_１０ｒ^１０＋Ａ_１２ｒ^１２＋Ａ_１４ｒ^１４＋Ａ_１６ｒ^１６＋Ａ_１８ｒ^１８＋Ａ_２０ｒ^２０ （４７）

図３に凸平レンズホモジナイザーを示す。
図４に凸平レンズ（２）の場合の像面でのビームスポット分布を示す。左がチルトが０で、右はチルトが０．５゜の場合である。入力ガウスビーム（有効径が１０ｍｍφ）において回転対称の位置であって直径上に２３点存在するよう１１重の同心円に並びエネルギーが等分割になるようなスポット３９７点をとりレンズで屈折して像面で照射される点を求めて図示している。

左側のチルトのない場合（Υ＝０）の長さを示す尺度棒は４０μｍである。像面では２６μｍφの１１重の同心円上に並びほぼ等分布となっている。Υ＝０の場合は（１）の場合と同じである。

０．５゜のチルトのある場合（Υ＝０．５゜）の先ほどの等エネルギー分布の３９７本ビームをチルトしたレンズについて光線追跡して対象物面（像面）でのスポットを図示したものが図４の右の図である。

同じ指標の長さが２．５倍の１００μｍになっている。（１）の場合と違って、１１輪の同心円ビームについてはチルトしても同心円を保持している。最外殻円ビームだけ大きくずれている。最外殻円は２９μｍφである。だからチルトがないときの２６μｍφと直径はあまり変わらない。しかし中心の位置はずれておりズレは１０μｍである。

先ほどの（１）の場合は最外殻が５４μｍもずれたので、その１／５であってズレ量も少ないということがよく分かる。（２）はそのように同心円が大体維持されており、ずれも少ない。トップハット領域の直径が２６μｍφなので１０μｍ程度のズレはあまり大したことではない。（２）の方が著しく優れているということである。（１）と（２）の違いは、（１）が平凸で、（２）が凸平だということだけである。とうことはチルト誤差を少なくするには平凸を凸平に反転すれば良いのだということである。

入力面として凸が良く、出力面として平が良いということをその結果は示唆している。それでは両面とも凸にするとどうであろうか？そのような場合を次に述べる。両面を凸にすると（１）や（２）で凸面となっていたものは半分ずつ配分することになる。両方を非球面とすると計算が面倒であるから一方を球面とし他方を非球面としたものを想定した。

（３） 凸凸レンズの場合（Ｓ１：凸球面、Ｓ２：凸非球面）
中心厚みＴ_０：１０ｍｍ
材料： 合成石英
屈折率： ｎ＝１．４７６０７１８７５６
有効直径： Ｄ＝φ２４ｍｍ
Ｓ１面：凸球面 Ｒ＝７０．２ｍｍ
Ｓ２面：凸非球面（表３に非球面係数を示す）

非球面係数（偶数次で２次から２０次まで１０項の係数を決める。２２次以上は０ととる）
Ｚ（ｒ）＝Ａ_２ｒ^２＋Ａ_４ｒ^４＋Ａ_６ｒ^６＋Ａ_８ｒ^８＋Ａ_１０ｒ^１０＋Ａ_１２ｒ^１２＋Ａ_１４ｒ^１４＋Ａ_１６ｒ^１６＋Ａ_１８ｒ^１８＋Ａ_２０ｒ^２０ （４８）

図５に凸凸レンズホモジナイザーを示す。
図６に凸凸レンズ（３）の場合の像面でのビームスポット分布を示す。左がチルトが０で、右はチルトが０．５゜の場合である。左側のΥ＝０の場合はこれまでと同じである。

０．５゜のチルトのある場合（Υ＝０．５゜）の先ほどの等エネルギー分布の３９７本ビームをチルトしたレンズについて光線追跡して対象物面（像面）でのスポットを図示したものが図６の右の図である。

同じ指標の長さが５倍の２００μｍになっている。（１）の場合と違って、１１輪の同心円ビームについてはチルトしても同心円をだいたい保持している。中間のビームで中心がずれているものが一つある。最外殻円ビームが大きくずれている。最外殻円は４６μｍφで、中心位置のズレは３５μｍである。それは（２）よりは悪く、（１）より良いということである。
ということはチルト誤差を少なくするには平凸より凸凸が良く、それよりも凸平が良いということらしいことがわかる。

（４） 凸凸レンズの場合（Ｓ１：凸非球面、Ｓ２：凸球面）
中心厚みＴ_０：１０ｍｍ
材料： 合成石英
屈折率： ｎ＝１．４７６０７１８７５６
有効直径： Ｄ＝φ２４ｍｍ
Ｓ１面：凸非球面（表４に非球面係数を示す）
Ｓ２面：凸球面 Ｒ＝−７６．８ｍｍ

非球面係数（偶数次で２次から２０次まで１０項の係数を決める。２２次以上は０ととる）
Ｚ（ｒ）＝Ａ_２ｒ^２＋Ａ_４ｒ^４＋Ａ_６ｒ^６＋Ａ_８ｒ^８＋Ａ_１０ｒ^１０＋Ａ_１２ｒ^１２＋Ａ_１４ｒ^１４＋Ａ_１６ｒ^１６＋Ａ_１８ｒ^１８＋Ａ_２０ｒ^２０
（４９）

図７に凸凸レンズホモジナイザーを示す。
図８に凸凸レンズ（４）の場合の像面でのビームスポット分布を示す。左がチルトが０で、右はチルトが０．５゜の場合である。左側のΥ＝０の場合はこれまでと同じである。

０．５゜のチルトのある場合（Υ＝０．５゜）の先ほどの等エネルギー分布の３９７本ビームをチルトしたレンズについて光線追跡して対象物面（像面）でのスポットを図示したものが図８の右の図である。

同じ指標の長さが２．５倍の１００μｍになっている。（２）や（３）と同じように、１１輪の同心円ビームについてはチルトしても同心円をだいたい保持している。最外殻円ビームが大きくずれている。最外殻円は３０μｍφで、中心位置のズレは１９μｍである。それは（２）よりは悪く、（１）、（３）より良いということである。

チルト誤差を少なくするには平凸より凸凸が良く、それよりも凸平が良いということがここでも言える。

（５） 凹凸レンズの場合（Ｓ１：凹球面、Ｓ２：凸非球面）
中心厚みＴ_０：１０ｍｍ
材料： 合成石英
屈折率： ｎ＝１．４７６０７１８７５６
有効直径： Ｄ＝φ２４ｍｍ
Ｓ１面：凹球面 Ｒ＝−２６．５ｍｍ
Ｓ２面：凸非球面 （非球面係数を表５に示す）

非球面係数（偶数次で２次から２０次まで１０項の係数を決める。２２次以上は０ととる）
Ｚ（ｒ）＝Ａ_２ｒ^２＋Ａ_４ｒ^４＋Ａ_６ｒ^６＋Ａ_８ｒ^８＋Ａ_１０ｒ^１０＋Ａ_１２ｒ^１２＋Ａ_１４ｒ^１４＋Ａ_１６ｒ^１６＋Ａ_１８ｒ^１８＋Ａ_２０ｒ^２０ （５０）

図９に凹凸レンズホモジナイザーを示す。
図１０に凹凸レンズ（５）の場合の像面でのビームスポット分布を示す。左がチルトが０で、右はチルトが０．５゜の場合である。左側のΥ＝０の場合はこれまでと同じである。

０．５゜のチルトのある場合（Υ＝０．５゜）の先ほどの等エネルギー分布の３９７本ビームをチルトしたレンズについて光線追跡して対象物面（像面）でのスポットを図示したものが図１０の右の図である。

同じ指標の長さが１０倍の４００μｍになっている。内部１１輪の同心円ビームの中心がずれて貝殻状の偏心円になっている。外殻の１１番、１０番目のズレは大きい。最外殻円は約１３０μｍφで、中心位置のズレは約１１０μｍである。それは（１）、（２）、（３）、（４）の何れよりも悪いということである。チルト誤差に関しては５つの中で最悪である。チルト誤差を増やすには入射側に凹、出射側に凸というようにすればよいということである。

（６） 凹凸レンズの場合（Ｓ１：凹非球面、Ｓ２：凸球面）
中心厚みＴ_０：１０ｍｍ
材料： 合成石英
屈折率： ｎ＝１．４７６０７１８７５６
有効直径： Ｄ＝φ２４ｍｍ
Ｓ１面：凹非球面 （非球面係数を表６に示す）
Ｓ２面：凸球面 Ｒ＝−２６．２ｍｍ

非球面係数（偶数次で２次から２０次まで１０項の係数を決める。２２次以上は０ととる）
Ｚ（ｒ）＝Ａ_２ｒ^２＋Ａ_４ｒ^４＋Ａ_６ｒ^６＋Ａ_８ｒ^８＋Ａ_１０ｒ^１０＋Ａ_１２ｒ^１２＋Ａ_１４ｒ^１４＋Ａ_１６ｒ^１６＋Ａ_１８ｒ^１８＋Ａ_２０ｒ^２０
（５１）

図１１に凹凸レンズホモジナイザーを示す。
図１２に凹凸レンズ（６）の場合の像面でのビームスポット分布を示す。左がチルトが０で、右はチルトが０．５゜の場合である。左側のΥ＝０の場合はこれまでと同じである。

０．５゜のチルトのある場合（Υ＝０．５゜）の先ほどの等エネルギー分布の３９７本ビームをチルトしたレンズについて光線追跡して対象物面（像面）でのスポットを図示したものが図１２の右の図である。

同じ指標の長さが５倍の２００μｍになっている。内部１１輪の同心円ビームの中心がずれて貝殻状の偏心円になっている。外殻の１１番、１０番目のズレは大きい。最外殻円は約７２μｍφで、中心位置のズレは約５８μｍである。それは（５）より誤差が少なくて、（１）、（２）、（３）、（４）の何れよりも悪いということである。チルト誤差に関しては６つの中で（５）についで悪い。（５）、（６）の結果からチルト誤差を増やすには入射側に凹、出射側に凸というようにすればよいということである。

平凸レンズホモジナイザーの図。

１０ｍｍφの入力ガウスビームにおいて等エネルギー分布となるように想定した３９７個の点から出た平行ビームが、チルトなし（Υ＝０）の平凸レンズホモジナイザーによって屈折し対象物面で照射される点を光線追跡法によって求めて打点したものが左の図である。基準の尺度は４０μｍであり２６μｍの円内にほぼ等分布（トップハット）に照射されている。同じ平行ビームが０．５゜のチルト（Υ＝０．５゜）のある同じレンズで屈折し対象物面で照射される点を光線追跡法によって求めてそれぞれ打点したものが右の図である。基準の尺度は２００μｍであり、ずれを示すために左の図に比べて縮小されている。

凸平レンズホモジナイザーの図。

１０ｍｍφの入力ガウスビームにおいて等エネルギー分布となるように想定した３９７個の点から出た平行ビームが、チルトなし（Υ＝０）の凸平レンズホモジナイザーによって屈折し対象物面で照射される点を光線追跡法によって求めて打点したものが左の図である。基準の尺度は４０μｍであり２６μｍの円内にほぼ等分布（トップハット）に照射されている。同じ平行ビームが０．５゜のチルト（Υ＝０．５゜）のある同じレンズで屈折し対象物面で照射される点を光線追跡法によって求めてそれぞれ打点したものが右の図である。基準の尺度は１００μｍである。

凸凸レンズホモジナイザー（Ｓ１凸球面、Ｓ２凸非球面）の図。

１０ｍｍφの入力ガウスビームにおいて等エネルギー分布となるように想定した３９７個の点から出た平行ビームが、チルトなし（Υ＝０）の凸凸（Ｓ１凸球面、Ｓ２凸非球面）レンズホモジナイザーによって屈折し対象物面で照射される点を光線追跡法によって求めて打点したものが左の図である。基準の尺度は４０μｍであり２６μｍの円内にほぼ等分布（トップハット）に照射されている。同じ平行ビームが０．５゜のチルト（Υ＝０．５゜）のある同じレンズで屈折し対象物面で照射される点を光線追跡法によって求めてそれぞれ打点したものが右の図である。基準の尺度は２００μｍである。

凸凸レンズホモジナイザー（Ｓ１凸非球面、Ｓ２凸球面）の図。

１０ｍｍφの入力ガウスビームにおいて等エネルギー分布となるように想定した３９７個の点から出た平行ビームが、チルトなし（Υ＝０）の凸凸（Ｓ１凸非球面、Ｓ２凸球面）レンズホモジナイザーによって屈折し対象物面で照射される点を光線追跡法によって求めて打点したものが左の図である。基準の尺度は４０μｍであり２６μｍの円内にほぼ等分布（トップハット）に照射されている。同じ平行ビームが０．５゜のチルト（Υ＝０．５゜）のある同じレンズで屈折し対象物面で照射される点を光線追跡法によって求めてそれぞれ打点したものが右の図である。基準の尺度は１００μｍである。

凹凸レンズホモジナイザー（Ｓ１凹球面、Ｓ２凸非球面）の図。

１０ｍｍφの入力ガウスビームにおいて等エネルギー分布となるように想定した３９７個の点から出た平行ビームが、チルトなし（Υ＝０）の凹凸（Ｓ１凹球面、Ｓ２凸非球面）レンズホモジナイザーによって屈折し対象物面で照射される点を光線追跡法によって求めて打点したものが左の図である。基準の尺度は４０μｍであり２６μｍの円内にほぼ等分布（トップハット）に照射されている。同じ平行ビームが０．５゜のチルト（Υ＝０．５゜）のある同じレンズで屈折し対象物面で照射される点を光線追跡法によって求めてそれぞれ打点したものが右の図である。基準の尺度は４００μｍである。

凹凸レンズホモジナイザー（Ｓ１凹非球面、Ｓ２凸球面）の図。

１０ｍｍφの入力ガウスビームにおいて等エネルギー分布となるように想定した３９７個の点から出た平行ビームが、チルトなし（Υ＝０）の凹凸（Ｓ１凹非球面、Ｓ２凸球面）レンズホモジナイザーによって屈折し対象物面で照射される点を光線追跡法によって求めて打点したものが左の図である。基準の尺度は４０μｍであり２６μｍの円内にほぼ等分布（トップハット）に照射されている。同じ平行ビームが０．５゜のチルト（Υ＝０．５゜）のある同じレンズで屈折し対象物面で照射される点を光線追跡法によって求めてそれぞれ打点したものが右の図である。基準の尺度は２００μｍである。

広いレーザガウスビームを１枚レンズホモジナイザーによって狭い像面に均一分布照射するようにしたホモジナイザー光学系の概略図。

凸レンズの軸線からｙの高さの部分の両側面の接線の交点をαとすると、ｙを通るビームに対してレンズは頂角αのプリズムとして機能していることを説明するための図。

頂角αのプリズムにおいて左から入射角θのビームが入り屈折角φで屈折し反対側の面で屈折角ξで出て行き出射角がηであることを説明するための図。

平凸レンズの作用を解析するための、プリズムの前面を軸線に直角にしたときの光線の屈折図。

凸平レンズの作用を解析するための、プリズムの後面を軸線に直角にしたときの光線の屈折図。

頂角αのプリズムに入射角θでビームが入射し、出射角ηで出射するときにおいてビーム曲がり角Ｂ＝θ＋η−αをθの関数として書くと、それは二次曲線となり、θ＝ｎα／２（点Ｍ）で最小値をとることを説明する図。

チルト偏奇角というのはプリズムを傾けたときのビームの曲がり角の変化に等しいことを説明するための図。

Claims (4)

1. 平行でエネルギー分布がガウシアン分布である入射ビームを屈折させ縮小し、入射ビームの直径よりも小さい直径の範囲において像面に均一エネルギー分布のビームを形成するためのレンズであって、入力側が凸非球面であって、出力側が平面であることを特徴とするチルト誤差低減非球面ホモジナイザー。
2. 平行でエネルギー分布がガウシアン分布である入射ビームを屈折させ縮小し、入射ビームの直径よりも小さい直径の範囲において像面にスーパーガウシアンｅｘｐ｛−２（ｒ／ｂ）^ｍ｝（ｍ＝１０〜１００）に従うエネルギー分布のビームを形成するためのレンズであって、入力側が凸非球面であって、出力側が平面であることを特徴とするチルト誤差低減非球面ホモジナイザー。
3. 平行でエネルギー分布がガウシアン分布である入射ビームを屈折させ縮小し、入射ビームの直径よりも小さい直径の範囲において像面に均一エネルギー分布のビームを形成するためのレンズであって、入力側面Ｓ１、出力側面Ｓ２のいずれも凸面でいずれかが非球面であり、曲率半径Ｒ或いは非球面２次係数の２倍の逆数１／２Ａ_２のＳ１とＳ２の比率が（ｎ−２）：ｎであることを特徴とするチルト誤差低減非球面ホモジナイザー。
4. 平行でエネルギー分布がガウシアン分布である入射ビームを屈折させ縮小し、入射ビームの直径よりも小さい直径の範囲において像面にスーパーガウシアンｅｘｐ｛−２（ｒ／ｂ）^ｍ｝（ｍ＝１０〜１００）に従うエネルギー分布のビームを形成するためのレンズであって、入力側面Ｓ１、出力側面Ｓ２のいずれも凸面でありいずれかが非球面であり、曲率半径Ｒ或いは非球面２次係数の２倍の逆数１／２Ａ_２のＳ１とＳ２の比率が（ｎ−２）：ｎであることを特徴とするチルト誤差低減非球面ホモジナイザー。
   
   

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