JP3844740B2 - 地震応答解析方法 - Google Patents
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Description
【０００１】
【発明の属する技術分野】
本発明は、地震応答解析方法に係り、特に、地盤の液状化を考慮した地震応答解析方法に関する。
【０００２】
【従来の技術】
従来、地震時の地盤の液状化を考慮した時々刻々の地震応答の解析方法として動的有効応力解析法があるが、過剰間隙水圧の上昇過程の予測方法が複雑で、地盤調査データを直接用いて構造物への応答値を求めることができない。
【０００３】
また、特許文献１には、液状化の前後等で時間を区切って等価線形解析を行い、液状化による地盤剛性の低下を考慮した地震応答解析を行う方法が提案されている。
【０００４】
しかしながら、特許文献１に記載された方法では、時間の区切り方を自動的に決定することができず、区切り方によって解析結果が異なる場合がある、という問題があった。
【０００５】
また、特許文献２には、半波毎に応力の最大値を求め、これから累積損傷度を求めて過剰間隙水圧を求める方法が提案されている。
【０００６】
しかしながら、特許文献２に記載された技術では、半波毎に応力の最大値を求めて累積損傷度を計算するため、累積損傷度の増加が階段状となり精度よく求めることができず、時々刻々の解析への適用が困難である、という問題があった。また、この技術では、減衰定数が剛性とは独立して求まるという利点があるが、時々刻々と計算される建物などの弾塑性計算に利用することができない、という問題があった。また、この方法は、解析法が安定しており、利用しやすいが、２次元解析等の自由地盤の応答以外に適用する場合には、計算時間が急激に増え、実用的でない、という問題もあった。
【０００７】
【特許文献１】
特開２００１−１１６６５１号公報
【特許文献２】
特開２００１−２０８６４１号公報
【０００８】
【発明が解決しようとする課題】
本発明は、上記問題を解決すべく成されたものであり、地盤のひずみによる非線形挙動と同時に液状化を考慮した時々刻々の非線形挙動を予測することのできる簡便かつ精度のよい地震応答解析方法を提供することを目的とする。
【０００９】
【課題を解決するための手段】
上記課題を解決するため、請求項１記載の発明は、解析対象モデルの質量情報、剛性情報、減衰情報、及び入力地震情報による運動方程式を用いて時々刻々と変化する前記解析対象モデルの変位情報を求め、前記変位情報に基づいて、時々刻々と変化する少なくともひずみに関する応答値の時間特性を求める地震応答解析方法において、前記変位情報に基づいてひずみ及び応力を求め、求めた応力が予め定めた前記応力の半波開始点以降に求めた応力の応力最大値を越えた場合には、前記求めた応力に基づいて累積損傷度の増分を求め、求めた当該累積損傷度の増分を増分最大値として設定して前記半波開始点の累積損傷度に前記増分最大値を加算することにより累積損傷度を求め、求めた応力が前記応力最大値以下の場合には、前記半波開始点の累積損傷度に、最後に求めた前記増分最大値を加算することにより累積損傷度を求め、前記ひずみ及び前記累積損傷度に基づいて、応力−ひずみ骨格曲線を求め、求めた曲線よりせん断応力情報及び前記剛性情報を更新する処理を、予め定めた所定時間毎に繰り返すことにより前記応答値の時間特性を求めることを特徴とする。
【００１０】
この発明によれば、地盤調査及び材料試験などから得られた解析対象モデルの材料情報などから得られる質量情報、剛性情報、減衰情報、実際の地震の測定などにより得られる入力地震情報による運動方程式を用いて時々刻々と変化する解析対象モデルの変位情報を求める。これは、例えば運動方程式を時間積分することにより求めることができる。なお、解析対象モデルは、例えば地盤モデルとすることができる。
【００１１】
そして、求めた変位情報に基づいて、時々刻々と変化する少なくともひずみ（例えばせん断ひずみ）に関する応答値の時間特性、すなわち時刻歴応答値を求める。なお、応答値には、ひずみの他、例えば速度、加速度、応力、累積損傷度、塑性率等がある。
【００１２】
このような地震応答解析方法において、まず変位情報に基づいてひずみ及び応力を求める。そして、求めた応力が予め定めた応力の半波開始点以降に求めた応力の応力最大値を越えた場合には、求めた応力に基づいて累積損傷度の増分を求める。
【００１３】
ここで、半波開始点は、例えば請求項３に記載したように、応力がゼロとなる時点とすることができる。この場合、半波終了点も応力がゼロとなる時点であり、この半波終了点は、次の半波開始点でもある。また、応力の折り返し点、すなわち応力の絶対値が最大となる時点としてもよい。
【００１４】
累積損傷度の増分は、例えば解析対象に力を繰り返し加えたときに液状化するときの繰り返し回数から求めることができる。そして、繰り返し回数は、例えば予め定めた応力と解析対象に力を繰り返し加えて液状化するときの繰り返し回数との対応関係である液状化強度曲線から、求めた応力に対応する繰り返し回数を求めることによって求めることができる。
【００１５】
次に、求めた累積損傷度の増分を増分最大値として設定する。すなわち、求めた応力が増加する区間では、増分最大値は更新される。そして、半波開始点の累積損傷度に増分最大値を加算することにより累積損傷度を求める。
【００１６】
一方、求めた応力が応力最大値以下の場合には、半波開始点の累積損傷度に、最後に求めた増分最大値、すなわち現時点での増分最大値を加算することにより累積損傷度を求める。すなわち、求めた応力が応力最大値以下となる区間では、累積損傷度は更新されず一定となる。
【００１７】
そして、ひずみ及び累積損傷度に基づいて、応力−ひずみ骨格曲線を求め、求めた曲線よりせん断応力情報及び剛性情報を更新する。これにより、求めた剛性が運動方程式に関係する剛性情報に反映されるため、次の時刻ステップでは、それまでの剛性の変化が考慮された解析が行われることとなる。
【００１８】
このような処理を、予め定めた所定時間毎に繰り返すことにより、応答値の時刻歴を得る。この所定時間は、半波内で上記の処理が複数回繰り返される程度に、半波開始点から半波終了点までの時間よりも十分短い時間に設定される。すなわち、累積損傷度は半波毎に求められるのではなく、各時刻ステップで各々求められる。
【００１９】
このように、半波毎に累積損傷度を求めるのではなく、時々刻々と累積損傷度が求められるため、累積損傷度の上昇が滑らかになり精度よく液状化を考慮した地震応答解析を行うことができる。また、非線形モデルの地震応答解析に適用することができるため、建物などの弾塑性解析と液状化する地盤とを一体とした解析が可能となる。
【００２０】
請求項２記載の発明は、解析対象モデルの質量情報、剛性情報、減衰情報、及び入力地震情報による運動方程式を用いて時々刻々と変化する前記解析対象モデルの変位情報を求め、前記変位情報に基づいて、時々刻々と変化する少なくともひずみに関する応答値の時間特性を求める地震応答解析方法において、前記変位情報に基づいてひずみ及び応力を求め、求めた応力が予め定めた前記応力の半波開始点以降に求めた応力の応力最大値を越えた場合には、前記求めた応力に基づいて累積損傷度の増分を求め、求めた当該累積損傷度の増分を増分最大値として設定して前記半波開始点の累積損傷度に前記増分最大値を加算することにより累積損傷度を求め、求めた応力が前記応力最大値以下の場合には、前記半波開始点から最後に求めた前記増分最大値を設定した時点までの間の少なくとも一部の前記累積損傷度の増分の傾向に基づいて累積損傷度の増分を求め、前記半波開始点の累積損傷度に、求めた累積損傷度の増分を加算することにより累積損傷度を求め、前記ひずみ及び前記累積損傷度に基づいて、応力−ひずみ骨格曲線を求め、求めた曲線よりせん断応力情報及び前記剛性情報を更新する処理を、予め定めた所定時間毎に繰り返すことにより前記応答値の時間特性を求めることを特徴とする。
【００２１】
この発明によれば、求めた応力が応力最大値以下の場合には、半波開始点から最後に求めた増分最大値を設定した時点までの間の少なくとも一部の累積損傷度の増分の傾向に基づいて累積損傷度の増分を求める。例えば、傾向として、半波開始点における累積損傷度の増分と最後に求めた増分最大値を設定した時点の累積損傷度の増分とから、半波開始点から最後に求めた増分最大値を設定した時点までの傾きを求め、この傾きに従って累積損傷度が増加するように累積損傷度の増分を求める。そして、半波開始点の累積損傷度に、求めた累積損傷度の増分を加算することにより累積損傷度を求める。なお、半波開始点から最後に求めた増分最大値を設定した時点までの傾きでなく、その一部の区間の傾きに基づいて累積損傷度の増分を求めてもよい。
【００２２】
これにより、累積損傷度の上昇がより滑らかになり、さらに精度よく液状化を考慮した地震応答解析を行うことができる。
【００２３】
なお、求めた応力が予め定めた応力の半波開始点以降に求めた応力の応力最大値を越えた場合に求められる累積損傷度の増分は、例えば請求項１の発明で同様に求められる累積損傷度の増分の約半分となるように求める。これにより、半波内における累積損傷度を正確に増加させることができる。
【００２４】
また、求めた応力が応力最大値以下の場合で且つ応力が減少傾向の場合には、半波開始点から前記傾向に基づいて累積損傷度の増分を求めてこれを半波開始点の累積損傷度に加算して累積損傷度を求め、求めた応力が応力最大値以下の場合で且つ応力が増加傾向の場合には、累積損傷度を更新しないようにしてもよい。
【００２５】
【発明の実施の形態】
〔第１実施形態〕
以下、図面を参照して本発明の第１実施形態について説明する。
【００２６】
図１には、地震応答解析装置１０が示されている。地震応答解析装置１０は、操作部１２、記憶部１４、演算部１６、表示部１８で構成されている。
【００２７】
操作部１２は、オペレータが表示部１８に表示されたメニューに従って所望の解析モデルについての地震応答解析を演算部１６に実行させるための指示や必要なパラメータを指定するためのものである。記憶部１４は、演算部１６において様々な解析モデルのパラメータや地震応答解析に必要な各種演算式が記憶されている。また、記憶部１４には、演算部１６による地震応答解析の解析結果が格納される。
【００２８】
演算部１６は、操作部１２からの指示に従って記憶部１４から必要なデータを読み出して地震応答解析を行うと共に、出力結果を記憶部１４へ記憶すると共に、表示部１８へ出力する。
【００２９】
演算部１６では、地震応答解析をおおよそ次のようにして行う。すなわち、せん断応力の時刻歴から累積損傷度を求め、累積損傷度から過剰間隙水圧を求め、これによって得られる有効応力から液状化によるせん断剛性低下率を得る。そして、さらにこのせん断剛性低下率を考慮して得られる応力−ひずみ骨格曲線の関係（非線形剛性）を用いて時々刻々のせん断ひずみに依存したせん断応力を求める時刻歴応答、すなわち地震応答解析を行う。
【００３０】
地震応答解析は、次式で示される運動方程式を時間積分することにより行う。
【００３１】
【数１】
【００３２】
なお、本実施の形態では、時間積分には、一般によく知られた動的非線形問題の時間積分法を用いることができる。本実施の形態では、一例として、Ｎｅｗｍａｒｋ−β法による増分解法を用いた。
【００３３】
次に、第１実施形態の作用として、演算部１６で実行される制御ルーチンについて図２に示すフローチャートを参照して説明する。
【００３４】
まず、ステップ１００では、オペレータが表示部１８に表示されたメニューに従って操作部１２を操作し、地震応答解析を行うべき解析モデルのパラメータを指定すると、演算部１６では、指定された解析モデルに関するデータを記憶部１４から読み込む。
【００３５】
この解析モデルに関するデータには、例えば解析対象の地層（例えば図３に示すように上から４番目の地層）、材料定数、時間積分定数がある。
【００３６】
次のステップ１０２では、以下の地震応答を求める演算において用いる各種データの初期値の設定を行う。このデータには、例えば加速度、速度、変位、せん断応力、せん断ひずみ、上記（１）式における質量行列Ｍ、剛性行列Ｋ、減衰行列Ｃなどがある。演算部１６では、これらのデータに初期値を設定する。
【００３７】
次に、ステップ１０４において、ｔ＋Δｔ時刻の応答変位、応答速度、応答加速度の予測値ｕ*を下記（２）式により算出すると共に、外力Ｆ（ｔ＋Δｔ）、粘性力ＦC、慣性力ＦMの算出を行う。外力は上記（１）式の右辺の算出を（ｔ＋Δｔ）時刻について行うことにより得られる。粘性力ＦCは下記（３−ａ）式により、慣性力ＦMは下記（３−ｂ）式により算出することができる。
【００３８】
ｕ*＝Ａｕ（ｔ）＋ＢΛ …（２）
ここで、Ａは予測オペレーター行列、Ｂは修正オペレーター行列、Λは未知数である修正値ベクトルである。
【００３９】
【数２】
【００４０】
【数３】
【００４１】
そして、次のステップ１０６で、時刻歴ループの中の後述するステップ１２０で前回求めた累積損傷度Ｄ、過剰間隙水圧比ｒu等から、応力−ひずみ骨格曲線を求め、予測値ｕ*より予測したせん断ひずみγに対するせん断応力τを算出し、これより内力Ｒを算出する。この内力Ｒの算出は、時刻歴ループにより時々刻々と行う。すなわち、予め定めたΔｔ時間毎に内力Ｒの算出を行う。
【００４２】
せん断応力τは次式で示され、これにより応力−ひずみ骨格曲線が得られる。
【００４３】
【数４】
【００４４】
ここで、Ｇ0は、基準平均応力σ' m0の時のせん断剛性、Ｆσ（σ' m／σ' m0）は有効拘束圧比に依存する微少ひずみ時の剛性の低減係数（剛性低下率）で経験式（関数）として得られ、一例として下記（５）式で表される。Γ（γ／γ50）は微少ひずみ時の剛性で基準化されたせん断応力−せん断ひずみ曲線で主にせん断ひずみに依存する経験式である。γはせん断ひずみ、γ50はせん断割線剛性が初期剛性の半分になるひずみで、有効応力比の関数になる（実験式で表す）。現在の有効応力σ' mは、応力評価点の初期平均応力σ' m0に（１−過剰間隙水圧比＝１−ｒu）を掛けた値である。
【００４５】
【数５】
【００４６】
次に、せん断応力τの算出について、図３を参照して説明する。
【００４７】
本実施の形態では、例えば繰り返し載荷試験等の地盤試験として標準化された試験により得られた図３の▲１▼〜▲５▼に示す関係（式）を用いてせん断応力τを算出する。
【００４８】
図３に示す▲１▼は、ある地層における時々刻々と変化するせん断ひずみγ、せん断応力τ、累積損傷度Ｄを示している。
【００４９】
図３に示す▲２▼は、液状化強度曲線を示している。なお、▲２▼の横軸は液状化するときの繰り返し回数Ｎif、縦軸は応力比τ／σ'm0である。この液状化強度曲線は、地盤調査における動的非排水変形試験により得られたものを用いることができる。
【００５０】
▲２▼に示すように、液状化強度曲線により、せん断応力τから繰り返し回数Ｎifを求めることができる。さらに、求めた繰り返し回数Ｎifから、累積損傷度の増分ΔＤを求めることができる。累積損傷度の増分ΔＤは、次式で示される。
【００５１】
ΔＤ＝１／２Ｎif …（６）
図３に示す▲３▼は、累積損傷度と過剰間隙水圧比との関係を示している。なお、▲３▼の横軸は累積損傷度Ｄ、縦軸は過剰間隙水圧比ｒuを示す。この累積損傷度と過剰間隙水圧比との関係は、実験により得ることができるが、公知の次式を用いることができる。
【００５２】
【数６】
【００５３】
なお、ｒu＝Ｄとしてもよい。図３に示す▲４▼は、過剰間隙水圧比と剛性低下率Ｆσとの関係を示している。なお、▲４▼の横軸は過剰間隙水圧比ｒu、縦軸は剛性低下率Ｆσである。この過剰間隙水圧比ｒuと剛性低下率Ｆσとの関係は、実験により得ることができるが、（５）式を用いることができる。
【００５４】
また、有効拘束圧比とγ50との関係には次式を用いることができる。
【００５５】
【数７】
【００５６】
ここで、（γ50）refはσrefでのγ50、γ50はＧ／Ｇ0が０．５となるせん断ひずみである。また、前述したように、現在の有効応力σ' mは、応力評価点の初期平均応力σ' m0に（１−過剰間隙水圧比＝１−ｒu）を掛けた値である。
【００５７】
ステップ１０６では、これらの関係を用いてせん断応力τを算出し、さらにこれを用いて内力Ｒを算出する。すなわち、後述するステップ１２０において前回算出した累積損傷度Ｄと、今回のステップ１０６で予測値から算出したせん断ひずみγと、から、上記▲２▼、▲３▼、▲４▼、▲５▼の関係（すなわち式（４）〜（９））を用いてせん断応力τを求める。
【００５８】
次に、ステップ１０８において、外部から作用する外力Ｆ、粘性力ＦC、慣性力ＦMなどからなる外力項とステップ１０６で得られた内力Ｒとの残差力（不釣り合い力）ΔＲを求める。
【００５９】
次に、ステップ１１０において、累積損傷度Ｄを考慮した応力−ひずみ骨格曲線の算出とそれに基づいてせん断ひずみγより接線剛性Ｋの算出を行う。
【００６０】
次に、ステップ１１２において、上記剛性を用いて要素行列の算出とこれを用いた全体剛性の算出を行う。
【００６１】
次に、ステップ１１４において、動的解析用全体行列Ｋ*を算出する。動的解析用全体行列Ｋ*は次式で示される。
【００６２】
Ｋ*＝Ｍ＋γΔｔＣ＋βΔｔ2Ｋ …（１０）
ここで、β、γは、Ｎｅｗｍａｒｋ−β法における係数（一定）である。また、Ｋは接線剛性である。
【００６３】
次に、ステップ１１６において、残差力より（ｔ＋Δｔ）時刻の修正値Λを下記（１１）式により算出し、この修正値Λにより予測値ｕ*を修正し、（ｔ＋Δｔ）時刻の応答変位、応答速度、応答加速度を求め、これにより外力Ｆ、慣性力ＦM及び粘性力ＦCを算出する。
【００６４】
Δｔは計算時間間隔、すなわち時刻歴ループの実行間隔である。なお、Δｔは一定の値でもよいし、計算毎に変化させてもよい。
【００６５】
【数８】
【００６６】
次に、ステップ１１８において、ｔ＋Δｔ時刻の変位に基づくせん断ひずみγ、せん断応力τを求め、これより内力Ｒを算出する。せん断ひずみγは下記（１２）式で表され、内力Ｒは下記（１３）式で表される。
【００６７】
【数９】
【００６８】
ここで、ｚはひずみが発生している所の深さである。
【００６９】
【数１０】
【００７０】
ここで、Ｖは対象とする体積であり、Ｎは節点（計算位置）への変換関数である。
【００７１】
次に、ステップ１２０において、さきに求めたせん断応力τから、図３に示した方法により累積損傷度Ｄを求める。
【００７２】
累積損傷度Ｄは、図４に示すように、半波開始点ｔS、すなわち、せん断応力τが前回ゼロ線を横切ったときの累積損傷度をＤｓとして次式で表すことができる。
【００７３】
Ｄ＝Ｄｓ＋ΔＤmax …（１４）
ここで、ΔＤmaxは、半波内の半波開始点ｔSから現在までに求めたせん断応力τ（の絶対値）のうち最大のせん断応力τmaxから求まる累積損傷度の増分の最大値である。すなわち、今回計算したせん断応力τ（の絶対値）が前回計算したせん断応力τ（の絶対値）を越えた場合には、そのときのせん断応力τをその時点における最大せん断応力（応力最大値）τmaxとみなし、そのときの累積損傷度の増分ΔＤで累積損傷度の増分の最大値（増分最大値）ΔＤmaxを更新する。一方、今回計算したせん断応力τが最大せん断応力τmax以下の場合には、累積損傷度の増分の最大値Ｄmaxを更新せずそのままにする。
【００７４】
例えば、図４に示すように、せん断応力τが徐々に上昇して最大となり、その後徐々に下降するような場合には、半波開始点ｔSからｎステップ後（Δｔ×ｎ秒後）であってせん断応力τが半波内で最大となるｔmaxの時点よりも手前のｔnの時点における累積損傷度の増分ΔＤnは、その時点における累積損傷度の増分の最大値ΔＤmaxとなる。一方、せん断応力τが最大となるｔmax以降、半波終了点ｔeまでは、せん断応力τが下降するため、累積損傷度の増分の最大値ΔＤmaxは更新されない。
【００７５】
なお、累積損傷度の増分ΔＤは、前述したように、液状化強度曲線により、せん断応力τから求まる応力比τ／σ'm0から繰り返し回数Ｎifを求め、この繰り返し回数Ｎifから上記（６）式により求めることができる。
【００７６】
また、累積損傷度Ｄｓは、せん断応力τがゼロ線を横切る毎に更新される。すなわち、図４の場合には、半波開始点ｔs、半波終了点ｔeの時点において、そのときの累積損傷度Ｄが累積損傷度Ｄｓに設定される。累積損傷度の増分の最大値ΔＤmaxは、半波開始点ｔs、半波終了点ｔeの時点においてゼロに初期化される。
【００７７】
ところで、実際のせん断応力τの波形は、図４に示すような単純な波形ではなく、図５に示すように、半波内で何度も上下するのが通常である。このような場合の累積損傷度Ｄの変化について説明する。
【００７８】
図５に示すように、ｔ1〜ｔ2、ｔ4〜ｔ5、ｔ7〜ｔ8の区間は、せん断応力τの絶対値が単調増加する区間（このようにせん断応力τの絶対値が単調増加する区間を載荷状態という）であって、その区間のせん断応力τの絶対値は、それまでの最大せん断応力τmaxの絶対値よりも大きくなる。従って、このような区間では、累積損傷度の増分ΔＤは、せん断応力τの増加に伴って上昇する。このため、累積損傷度Ｄも増加する。
【００７９】
また、ｔ2〜ｔ3、ｔ5〜ｔ6、ｔ8〜ｔ9、ｔ10〜ｔ11の区間は、せん断応力τの絶対値が単調減少する区間（このようにせん断応力τの絶対値が単調減少する区間を除荷状態という）であって、その区間のせん断応力τの絶対値は、それまでの最大せん断応力τmaxの絶対値以下となる。従って、このような区間では、累積損傷度の増分ΔＤは増加せず、累積損傷度の増分の最大値ΔＤmaxが更新されない。このため、累積損傷度Ｄは増加せず一定となる。例えば、ｔ2の時点での累積損傷度をＤ（ｔ2）とし、ｔ3の時点での累積損傷度をＤ（ｔ3）とした場合、Ｄ（ｔ2）＝Ｄ（ｔ3）となる。
【００８０】
また、ｔ3〜ｔ4、ｔ6〜ｔ7、ｔ9〜ｔ10の区間は、せん断応力τの絶対値が単調増加する区間ではあるが、その区間のせん断応力τの絶対値は、それまでの最大せん断応力τmaxの絶対値以下となる。従って、このような区間では、累積損傷度の増分ΔＤは増加せず、累積損傷度の増分の最大値ΔＤmaxが更新されない。このため、累積損傷度Ｄは増加せず一定となる。従って、図５に示すように、ｔ4の時点での累積損傷度をＤ（ｔ4）とすると、Ｄ（ｔ2）＝Ｄ（ｔ3）＝Ｄ（ｔ4）となる。
【００８１】
このように、せん断応力τがそれまでのせん断応力の最大値τmaxを越えて増加し続ける載荷状態では累積損傷度Ｄが増加するように、かつ除荷状態及びせん断応力τがそれまでのせん断応力の最大値τmaxを越えない範囲で増加し続ける載荷状態では累積損傷度Ｄを更新しないように時々刻々とΔｔ時間毎に累積損傷度Ｄを求めるため、累積損傷度Ｄの増加が滑らかになり精度よく地震応答解析を行うことができる。
【００８２】
次に、ステップ１２２において、ステップ１０８と同様に外力と内力の差（残差力）ΔＲを算出する。次に、ステップ１２４において、この残差力ΔＲが許容値以下であるか否かを判断し、許容値を越えていれば、ステップ１１０から反復して計算する。この残差力ΔＲが許容値以下であれば、次のステップ１２６へ進む。
【００８３】
次に、ステップ１２６において、算出した各応答値を表示部１８や記憶部１４へ出力する。出力値としては、変位、速度、加速度、せん断ひずみ、せん断応力等がある。
【００８４】
このようにして、地震時間全体についてステップ１０４からステップ１２６までの処理（時刻歴ループ）を行い、各時刻毎の応答値を算出する。
【００８５】
このようにして時刻歴ループが終了すると、ステップ１２８において、時刻歴ループにおいて算出した各応答値の最大値などを表示部１８や記憶部１４に出力する。
【００８６】
このように、地震応答の半波内において、地盤材料試験などから得られたデータ（経験式）から時々刻々と累積損傷度を求めることにより液状化を考慮した地盤剛性を求め、これを用いて時刻歴応答計算を行うので、解析するものの技量によらない地震応答及び永久変形の予測を行うことが可能になると共に、地震応答の予測技術の標準化が進み、液状化時の建設構造物の安全性が客観的に評価することが可能となる。
【００８７】
〔第２実施形態〕
以下、図面を参照して本発明の第２実施形態について説明する。第２実施形態では、第１実施形態で説明したステップ１２０の累積損傷度Ｄの求め方の他の方法について説明する。なお、ステップ１２０以外の処理については、第１実施形態と同様であるので、説明を省略する。
【００８８】
第１実施形態では、せん断応力τが、その時までの最大値τmaxを越えて増加し続ける載荷状態では、累積損傷度の増分ΔＤを求めて累積損傷度Ｄを更新するようにし、せん断応力τが減少し続ける除荷状態及びその時までの最大値τmaxを越えない範囲で増加し続ける載荷状態の場合には、累積損傷度Ｄを更新しないようにした。
【００８９】
第２実施形態では、せん断応力τが、その時までの最大値τmaxを越えて増加し続ける載荷状態の場合には、累積損傷度の増分ΔＤは１／４波分であると考え、累積損傷度の増分ΔＤを次式で求める。
【００９０】
ΔＤ＝１／４Ｎif …（１５）
そして、求めた累積損傷度の増分ΔＤで累積損傷度Ｄを更新するようにし、せん断応力τが減少し続ける除荷状態では、その時までの最大値τmaxを越えて増加し続ける載荷状態における累積損傷度Ｄの傾きαに従って徐々に増加するように累積損傷度の増分ΔＤを求める。また、せん断応力τが、その時までの最大値τmaxを越えない範囲で増加し続ける載荷状態の場合には、累積損傷度Ｄを更新しないようにする。
【００９１】
例えば、図６に示すように、半波開始点ｔsからせん断応力τが最大となるｔmaxまでは、第１実施形態と同様に累積損傷度の増分ΔＤを上記（１５）式により求め、上記（１４）式により累積損傷度Ｄを求める。
【００９２】
そして、その時までの最大値τmaxを越えて増加し続ける載荷状態における累積損傷度Ｄの傾きαを次式により求める。
【００９３】
α＝ΔＤmax／（ｔmax−ｔs） …（１６）
ここで、ｔsは該当半波の開始時刻である。
【００９４】
ｔmaxから半波終了点ｔeまでの除荷状態における各時刻ｔnでは、求めた傾きα、ｔmaxにおける累積損傷度の増分の最大値ΔＤmax等から次式により累積損傷度Ｄを求める。
【００９５】
Ｄ＝ΔＤmax＋α・（ｔn−ｔmax） …（１７）
これにより、半波開始点ｔsから半波終了点ｔeまでより滑らかに累積損傷度Ｄが増加する。
【００９６】
ところで、前述したように、実際のせん断応力τの波形は、図６に示すような単純な波形ではなく、図７に示すように、半波内で何度も上下するのが通常である。このような場合の累積損傷度Ｄの変化について説明する。
【００９７】
図７に示すように、ｔ1〜ｔ2、ｔ4〜ｔ5、ｔ7〜ｔ8の区間は、せん断応力τの絶対値が単調増加する載荷状態であって、その区間のせん断応力τの絶対値は、それまでの最大せん断応力τmaxの絶対値よりも大きくなる。従って、このような区間では、累積損傷度の増分ΔＤは、せん断応力τの増加に伴って上昇する。このため、累積損傷度Ｄも増加する。
【００９８】
また、ｔ2〜ｔ3、ｔ5〜ｔ6、ｔ8〜ｔ9、ｔ10〜ｔ11の区間は、せん断応力τの絶対値が単調減少する除荷状態であって、その区間のせん断応力τの絶対値は、それまでの最大せん断応力τmaxの絶対値以下となる。従って、このような区間では、上記（１６）式により、その時までの最大値τmaxを越えて増加し続ける載荷状態におけるせん断応力τの傾きαを求め、上記（１７）式により累積損傷度Ｄを求める。このとき、求めた累積損傷度Ｄが、載荷状態の開始点ｔsにおける累積損傷度Ｄとせん断応力τが最大となるｔmaxにおける累積損傷度Ｄとの差の２倍以上になる場合には、それ以降は、累積損傷度Ｄを更新しないようにする。
【００９９】
また、ｔ3〜ｔ4、ｔ6〜ｔ7、ｔ9〜ｔ10の区間は、せん断応力τの絶対値が単調増加する区間ではあるが、その区間のせん断応力τの絶対値は、それまでの最大せん断応力τmaxの絶対値以下となる。従って、このような区間では、累積損傷度の増分ΔＤは増加せず、累積損傷度の増分の最大値ΔＤmaxが更新されないため、累積損傷度Ｄは増加せず一定となる。
【０１００】
このように、せん断応力τがそれまでのせん断応力の最大値τmaxを越えて増加し続ける載荷状態では累積損傷度Ｄが増加するように、除荷状態では載荷状態における傾きに従って累積損傷度Ｄが増加するように、せん断応力τがそれまでのせん断応力の最大値τmaxを越えない範囲で増加し続ける載荷状態では累積損傷度Ｄを更新しないように、時々刻々とΔｔ時間毎に累積損傷度Ｄを求めるため、累積損傷度Ｄの増加がさらに滑らかになり、より精度よく地震応答解析を行うことができる。
【０１０１】
なお、ｔ2〜ｔ3、ｔ5〜ｔ6、ｔ8〜ｔ9の区間を、ｔ2〜ｔ4、ｔ5〜ｔ7、ｔ8〜ｔ10の区間と同様に扱うこともできる。
【０１０２】
なお、上記実施形態では、半波開始点ｔs及び半波終了点ｔeを、せん断応力τがゼロ線を横切る位置としていたが、図８に示すように、半波開始点ｔs及び半波終了点ｔeをせん断応力τが折り返す位置、すなわち、せん断応力τの絶対値が最大となる位置としてもよい。
【０１０３】
この場合、Δｔ時間毎に累積損傷度の増分ΔＤを求めるが、半波開始点ｔs及び半波終了点ｔeをせん断応力τが折り返す位置としているため、そのまま累積損傷度の増分ΔＤを求めると、両振幅分、すなわち２τ分の累積損傷度の増分ΔＤが計算されてしまう。そこで、液状化強度曲線を参照する際には、せん断応力τの半分のτ／２を用いて繰り返し回数Ｎifを求め、これから累積損傷度の増分ΔＤを求める。
【０１０４】
また、上記実施形態では、半波開始点ｔs及び半波終了点ｔeをせん断応力τに基づいて定義していたが、応力比τ／σ'm0に基づいて定義してもよい。すなわち、応力比τ／σ'm0にがゼロ線を横切る時点を半波開始点ｔs及び半波終了点ｔeとしてもよい。
【０１０５】
【実施例】
次に、本発明の実施例について図面を参照して説明する。図９には、特開２００１−２０８６４１号公報に記載された半波毎に応力の最大値を求め、これから累積損傷度を求める方法（従来法）におけるせん断応力比及び累積損傷度のシミュレーション結果、第１実施形態で示した累積損傷度の計算方法（１／２Ｎ法）におけるせん断応力比及び累積損傷度のシミュレーション結果、第２実施形態で示した累積損傷度の計算方法（１／４Ｎ法）におけるせん断応力比及び累積損傷度のシミュレーション結果、図８に示すように半波開始点ｔs及び半波終了点ｔeをせん断応力τが折り返す位置に設定して第１実施形態と同様に累積損傷度を計算する方法（１／２Ｎ法・折返し評価法）におけるせん断応力比及び累積損傷度のシミュレーション結果を示した。
【０１０６】
図９から明らかなように、従来法では、半波毎に応力の最大値を応力の代表値として求め、これから累積損傷度を求めるため、累積損傷度の増加が階段状になっているのに対し、他の３つの方法では、半波内で時々刻々と累積損傷度を求めるため、累積損傷度の増加が比較的滑らかとなっている。このため、従来法と比較して精度よく地震応答解析を行うことができる。
【０１０７】
また、従来法以外の３つの方法の中では、１／４Ｎ法が最も累積損傷度の上昇が滑らかであり、最も精度よく地震応答解析を行うことができることが判った。
【０１０８】
【発明の効果】
以上説明したように、本発明によれば、地盤の液状化を考慮した地震応答を精度よく求めることができると共に、液状化を考慮しないどのような弾塑性解析にも適用できる、という効果を有する。
【図面の簡単な説明】
【図１】 地震応答解析装置の概略ブロック図である。
【図２】 第１実施形態における演算部において実行される制御ルーチンのフローチャートである。
【図３】 せん断剛性の算出について説明するための図である。
【図４】 第１実施形態における累積損傷度Ｄの計算について説明するための図である。
【図５】 第１実施形態における累積損傷度Ｄの計算について説明するための図である。
【図６】 第２実施形態における累積損傷度Ｄの計算について説明するための図である。
【図７】 第２実施形態における累積損傷度Ｄの計算について説明するための図である。
【図８】 第３実施形態における累積損傷度Ｄの計算について説明するための図である。
【図９】 せん断応力比と累積損傷度のシミュレーション結果を示す線図である。
【符号の説明】
１０ 地震応答解析装置
１２ 操作部
１４ 記憶部
１６ 演算部
１８ 表示部
【発明の属する技術分野】
本発明は、地震応答解析方法に係り、特に、地盤の液状化を考慮した地震応答解析方法に関する。
【０００２】
【従来の技術】
従来、地震時の地盤の液状化を考慮した時々刻々の地震応答の解析方法として動的有効応力解析法があるが、過剰間隙水圧の上昇過程の予測方法が複雑で、地盤調査データを直接用いて構造物への応答値を求めることができない。
【０００３】
また、特許文献１には、液状化の前後等で時間を区切って等価線形解析を行い、液状化による地盤剛性の低下を考慮した地震応答解析を行う方法が提案されている。
【０００４】
しかしながら、特許文献１に記載された方法では、時間の区切り方を自動的に決定することができず、区切り方によって解析結果が異なる場合がある、という問題があった。
【０００５】
また、特許文献２には、半波毎に応力の最大値を求め、これから累積損傷度を求めて過剰間隙水圧を求める方法が提案されている。
【０００６】
しかしながら、特許文献２に記載された技術では、半波毎に応力の最大値を求めて累積損傷度を計算するため、累積損傷度の増加が階段状となり精度よく求めることができず、時々刻々の解析への適用が困難である、という問題があった。また、この技術では、減衰定数が剛性とは独立して求まるという利点があるが、時々刻々と計算される建物などの弾塑性計算に利用することができない、という問題があった。また、この方法は、解析法が安定しており、利用しやすいが、２次元解析等の自由地盤の応答以外に適用する場合には、計算時間が急激に増え、実用的でない、という問題もあった。
【０００７】
【特許文献１】
特開２００１−１１６６５１号公報
【特許文献２】
特開２００１−２０８６４１号公報
【０００８】
【発明が解決しようとする課題】
本発明は、上記問題を解決すべく成されたものであり、地盤のひずみによる非線形挙動と同時に液状化を考慮した時々刻々の非線形挙動を予測することのできる簡便かつ精度のよい地震応答解析方法を提供することを目的とする。
【０００９】
【課題を解決するための手段】
上記課題を解決するため、請求項１記載の発明は、解析対象モデルの質量情報、剛性情報、減衰情報、及び入力地震情報による運動方程式を用いて時々刻々と変化する前記解析対象モデルの変位情報を求め、前記変位情報に基づいて、時々刻々と変化する少なくともひずみに関する応答値の時間特性を求める地震応答解析方法において、前記変位情報に基づいてひずみ及び応力を求め、求めた応力が予め定めた前記応力の半波開始点以降に求めた応力の応力最大値を越えた場合には、前記求めた応力に基づいて累積損傷度の増分を求め、求めた当該累積損傷度の増分を増分最大値として設定して前記半波開始点の累積損傷度に前記増分最大値を加算することにより累積損傷度を求め、求めた応力が前記応力最大値以下の場合には、前記半波開始点の累積損傷度に、最後に求めた前記増分最大値を加算することにより累積損傷度を求め、前記ひずみ及び前記累積損傷度に基づいて、応力−ひずみ骨格曲線を求め、求めた曲線よりせん断応力情報及び前記剛性情報を更新する処理を、予め定めた所定時間毎に繰り返すことにより前記応答値の時間特性を求めることを特徴とする。
【００１０】
この発明によれば、地盤調査及び材料試験などから得られた解析対象モデルの材料情報などから得られる質量情報、剛性情報、減衰情報、実際の地震の測定などにより得られる入力地震情報による運動方程式を用いて時々刻々と変化する解析対象モデルの変位情報を求める。これは、例えば運動方程式を時間積分することにより求めることができる。なお、解析対象モデルは、例えば地盤モデルとすることができる。
【００１１】
そして、求めた変位情報に基づいて、時々刻々と変化する少なくともひずみ（例えばせん断ひずみ）に関する応答値の時間特性、すなわち時刻歴応答値を求める。なお、応答値には、ひずみの他、例えば速度、加速度、応力、累積損傷度、塑性率等がある。
【００１２】
このような地震応答解析方法において、まず変位情報に基づいてひずみ及び応力を求める。そして、求めた応力が予め定めた応力の半波開始点以降に求めた応力の応力最大値を越えた場合には、求めた応力に基づいて累積損傷度の増分を求める。
【００１３】
ここで、半波開始点は、例えば請求項３に記載したように、応力がゼロとなる時点とすることができる。この場合、半波終了点も応力がゼロとなる時点であり、この半波終了点は、次の半波開始点でもある。また、応力の折り返し点、すなわち応力の絶対値が最大となる時点としてもよい。
【００１４】
累積損傷度の増分は、例えば解析対象に力を繰り返し加えたときに液状化するときの繰り返し回数から求めることができる。そして、繰り返し回数は、例えば予め定めた応力と解析対象に力を繰り返し加えて液状化するときの繰り返し回数との対応関係である液状化強度曲線から、求めた応力に対応する繰り返し回数を求めることによって求めることができる。
【００１５】
次に、求めた累積損傷度の増分を増分最大値として設定する。すなわち、求めた応力が増加する区間では、増分最大値は更新される。そして、半波開始点の累積損傷度に増分最大値を加算することにより累積損傷度を求める。
【００１６】
一方、求めた応力が応力最大値以下の場合には、半波開始点の累積損傷度に、最後に求めた増分最大値、すなわち現時点での増分最大値を加算することにより累積損傷度を求める。すなわち、求めた応力が応力最大値以下となる区間では、累積損傷度は更新されず一定となる。
【００１７】
そして、ひずみ及び累積損傷度に基づいて、応力−ひずみ骨格曲線を求め、求めた曲線よりせん断応力情報及び剛性情報を更新する。これにより、求めた剛性が運動方程式に関係する剛性情報に反映されるため、次の時刻ステップでは、それまでの剛性の変化が考慮された解析が行われることとなる。
【００１８】
このような処理を、予め定めた所定時間毎に繰り返すことにより、応答値の時刻歴を得る。この所定時間は、半波内で上記の処理が複数回繰り返される程度に、半波開始点から半波終了点までの時間よりも十分短い時間に設定される。すなわち、累積損傷度は半波毎に求められるのではなく、各時刻ステップで各々求められる。
【００１９】
このように、半波毎に累積損傷度を求めるのではなく、時々刻々と累積損傷度が求められるため、累積損傷度の上昇が滑らかになり精度よく液状化を考慮した地震応答解析を行うことができる。また、非線形モデルの地震応答解析に適用することができるため、建物などの弾塑性解析と液状化する地盤とを一体とした解析が可能となる。
【００２０】
請求項２記載の発明は、解析対象モデルの質量情報、剛性情報、減衰情報、及び入力地震情報による運動方程式を用いて時々刻々と変化する前記解析対象モデルの変位情報を求め、前記変位情報に基づいて、時々刻々と変化する少なくともひずみに関する応答値の時間特性を求める地震応答解析方法において、前記変位情報に基づいてひずみ及び応力を求め、求めた応力が予め定めた前記応力の半波開始点以降に求めた応力の応力最大値を越えた場合には、前記求めた応力に基づいて累積損傷度の増分を求め、求めた当該累積損傷度の増分を増分最大値として設定して前記半波開始点の累積損傷度に前記増分最大値を加算することにより累積損傷度を求め、求めた応力が前記応力最大値以下の場合には、前記半波開始点から最後に求めた前記増分最大値を設定した時点までの間の少なくとも一部の前記累積損傷度の増分の傾向に基づいて累積損傷度の増分を求め、前記半波開始点の累積損傷度に、求めた累積損傷度の増分を加算することにより累積損傷度を求め、前記ひずみ及び前記累積損傷度に基づいて、応力−ひずみ骨格曲線を求め、求めた曲線よりせん断応力情報及び前記剛性情報を更新する処理を、予め定めた所定時間毎に繰り返すことにより前記応答値の時間特性を求めることを特徴とする。
【００２１】
この発明によれば、求めた応力が応力最大値以下の場合には、半波開始点から最後に求めた増分最大値を設定した時点までの間の少なくとも一部の累積損傷度の増分の傾向に基づいて累積損傷度の増分を求める。例えば、傾向として、半波開始点における累積損傷度の増分と最後に求めた増分最大値を設定した時点の累積損傷度の増分とから、半波開始点から最後に求めた増分最大値を設定した時点までの傾きを求め、この傾きに従って累積損傷度が増加するように累積損傷度の増分を求める。そして、半波開始点の累積損傷度に、求めた累積損傷度の増分を加算することにより累積損傷度を求める。なお、半波開始点から最後に求めた増分最大値を設定した時点までの傾きでなく、その一部の区間の傾きに基づいて累積損傷度の増分を求めてもよい。
【００２２】
これにより、累積損傷度の上昇がより滑らかになり、さらに精度よく液状化を考慮した地震応答解析を行うことができる。
【００２３】
なお、求めた応力が予め定めた応力の半波開始点以降に求めた応力の応力最大値を越えた場合に求められる累積損傷度の増分は、例えば請求項１の発明で同様に求められる累積損傷度の増分の約半分となるように求める。これにより、半波内における累積損傷度を正確に増加させることができる。
【００２４】
また、求めた応力が応力最大値以下の場合で且つ応力が減少傾向の場合には、半波開始点から前記傾向に基づいて累積損傷度の増分を求めてこれを半波開始点の累積損傷度に加算して累積損傷度を求め、求めた応力が応力最大値以下の場合で且つ応力が増加傾向の場合には、累積損傷度を更新しないようにしてもよい。
【００２５】
【発明の実施の形態】
〔第１実施形態〕
以下、図面を参照して本発明の第１実施形態について説明する。
【００２６】
図１には、地震応答解析装置１０が示されている。地震応答解析装置１０は、操作部１２、記憶部１４、演算部１６、表示部１８で構成されている。
【００２７】
操作部１２は、オペレータが表示部１８に表示されたメニューに従って所望の解析モデルについての地震応答解析を演算部１６に実行させるための指示や必要なパラメータを指定するためのものである。記憶部１４は、演算部１６において様々な解析モデルのパラメータや地震応答解析に必要な各種演算式が記憶されている。また、記憶部１４には、演算部１６による地震応答解析の解析結果が格納される。
【００２８】
演算部１６は、操作部１２からの指示に従って記憶部１４から必要なデータを読み出して地震応答解析を行うと共に、出力結果を記憶部１４へ記憶すると共に、表示部１８へ出力する。
【００２９】
演算部１６では、地震応答解析をおおよそ次のようにして行う。すなわち、せん断応力の時刻歴から累積損傷度を求め、累積損傷度から過剰間隙水圧を求め、これによって得られる有効応力から液状化によるせん断剛性低下率を得る。そして、さらにこのせん断剛性低下率を考慮して得られる応力−ひずみ骨格曲線の関係（非線形剛性）を用いて時々刻々のせん断ひずみに依存したせん断応力を求める時刻歴応答、すなわち地震応答解析を行う。
【００３０】
地震応答解析は、次式で示される運動方程式を時間積分することにより行う。
【００３１】
【数１】
なお、本実施の形態では、時間積分には、一般によく知られた動的非線形問題の時間積分法を用いることができる。本実施の形態では、一例として、Ｎｅｗｍａｒｋ−β法による増分解法を用いた。
【００３３】
次に、第１実施形態の作用として、演算部１６で実行される制御ルーチンについて図２に示すフローチャートを参照して説明する。
【００３４】
まず、ステップ１００では、オペレータが表示部１８に表示されたメニューに従って操作部１２を操作し、地震応答解析を行うべき解析モデルのパラメータを指定すると、演算部１６では、指定された解析モデルに関するデータを記憶部１４から読み込む。
【００３５】
この解析モデルに関するデータには、例えば解析対象の地層（例えば図３に示すように上から４番目の地層）、材料定数、時間積分定数がある。
【００３６】
次のステップ１０２では、以下の地震応答を求める演算において用いる各種データの初期値の設定を行う。このデータには、例えば加速度、速度、変位、せん断応力、せん断ひずみ、上記（１）式における質量行列Ｍ、剛性行列Ｋ、減衰行列Ｃなどがある。演算部１６では、これらのデータに初期値を設定する。
【００３７】
次に、ステップ１０４において、ｔ＋Δｔ時刻の応答変位、応答速度、応答加速度の予測値ｕ*を下記（２）式により算出すると共に、外力Ｆ（ｔ＋Δｔ）、粘性力ＦC、慣性力ＦMの算出を行う。外力は上記（１）式の右辺の算出を（ｔ＋Δｔ）時刻について行うことにより得られる。粘性力ＦCは下記（３−ａ）式により、慣性力ＦMは下記（３−ｂ）式により算出することができる。
【００３８】
ｕ*＝Ａｕ（ｔ）＋ＢΛ …（２）
ここで、Ａは予測オペレーター行列、Ｂは修正オペレーター行列、Λは未知数である修正値ベクトルである。
【００３９】
【数２】
【数３】
そして、次のステップ１０６で、時刻歴ループの中の後述するステップ１２０で前回求めた累積損傷度Ｄ、過剰間隙水圧比ｒu等から、応力−ひずみ骨格曲線を求め、予測値ｕ*より予測したせん断ひずみγに対するせん断応力τを算出し、これより内力Ｒを算出する。この内力Ｒの算出は、時刻歴ループにより時々刻々と行う。すなわち、予め定めたΔｔ時間毎に内力Ｒの算出を行う。
【００４２】
せん断応力τは次式で示され、これにより応力−ひずみ骨格曲線が得られる。
【００４３】
【数４】
ここで、Ｇ0は、基準平均応力σ' m0の時のせん断剛性、Ｆσ（σ' m／σ' m0）は有効拘束圧比に依存する微少ひずみ時の剛性の低減係数（剛性低下率）で経験式（関数）として得られ、一例として下記（５）式で表される。Γ（γ／γ50）は微少ひずみ時の剛性で基準化されたせん断応力−せん断ひずみ曲線で主にせん断ひずみに依存する経験式である。γはせん断ひずみ、γ50はせん断割線剛性が初期剛性の半分になるひずみで、有効応力比の関数になる（実験式で表す）。現在の有効応力σ' mは、応力評価点の初期平均応力σ' m0に（１−過剰間隙水圧比＝１−ｒu）を掛けた値である。
【００４５】
【数５】
次に、せん断応力τの算出について、図３を参照して説明する。
【００４７】
本実施の形態では、例えば繰り返し載荷試験等の地盤試験として標準化された試験により得られた図３の▲１▼〜▲５▼に示す関係（式）を用いてせん断応力τを算出する。
【００４８】
図３に示す▲１▼は、ある地層における時々刻々と変化するせん断ひずみγ、せん断応力τ、累積損傷度Ｄを示している。
【００４９】
図３に示す▲２▼は、液状化強度曲線を示している。なお、▲２▼の横軸は液状化するときの繰り返し回数Ｎif、縦軸は応力比τ／σ'm0である。この液状化強度曲線は、地盤調査における動的非排水変形試験により得られたものを用いることができる。
【００５０】
▲２▼に示すように、液状化強度曲線により、せん断応力τから繰り返し回数Ｎifを求めることができる。さらに、求めた繰り返し回数Ｎifから、累積損傷度の増分ΔＤを求めることができる。累積損傷度の増分ΔＤは、次式で示される。
【００５１】
ΔＤ＝１／２Ｎif …（６）
図３に示す▲３▼は、累積損傷度と過剰間隙水圧比との関係を示している。なお、▲３▼の横軸は累積損傷度Ｄ、縦軸は過剰間隙水圧比ｒuを示す。この累積損傷度と過剰間隙水圧比との関係は、実験により得ることができるが、公知の次式を用いることができる。
【００５２】
【数６】
なお、ｒu＝Ｄとしてもよい。図３に示す▲４▼は、過剰間隙水圧比と剛性低下率Ｆσとの関係を示している。なお、▲４▼の横軸は過剰間隙水圧比ｒu、縦軸は剛性低下率Ｆσである。この過剰間隙水圧比ｒuと剛性低下率Ｆσとの関係は、実験により得ることができるが、（５）式を用いることができる。
【００５４】
また、有効拘束圧比とγ50との関係には次式を用いることができる。
【００５５】
【数７】
ここで、（γ50）refはσrefでのγ50、γ50はＧ／Ｇ0が０．５となるせん断ひずみである。また、前述したように、現在の有効応力σ' mは、応力評価点の初期平均応力σ' m0に（１−過剰間隙水圧比＝１−ｒu）を掛けた値である。
【００５７】
ステップ１０６では、これらの関係を用いてせん断応力τを算出し、さらにこれを用いて内力Ｒを算出する。すなわち、後述するステップ１２０において前回算出した累積損傷度Ｄと、今回のステップ１０６で予測値から算出したせん断ひずみγと、から、上記▲２▼、▲３▼、▲４▼、▲５▼の関係（すなわち式（４）〜（９））を用いてせん断応力τを求める。
【００５８】
次に、ステップ１０８において、外部から作用する外力Ｆ、粘性力ＦC、慣性力ＦMなどからなる外力項とステップ１０６で得られた内力Ｒとの残差力（不釣り合い力）ΔＲを求める。
【００５９】
次に、ステップ１１０において、累積損傷度Ｄを考慮した応力−ひずみ骨格曲線の算出とそれに基づいてせん断ひずみγより接線剛性Ｋの算出を行う。
【００６０】
次に、ステップ１１２において、上記剛性を用いて要素行列の算出とこれを用いた全体剛性の算出を行う。
【００６１】
次に、ステップ１１４において、動的解析用全体行列Ｋ*を算出する。動的解析用全体行列Ｋ*は次式で示される。
【００６２】
Ｋ*＝Ｍ＋γΔｔＣ＋βΔｔ2Ｋ …（１０）
ここで、β、γは、Ｎｅｗｍａｒｋ−β法における係数（一定）である。また、Ｋは接線剛性である。
【００６３】
次に、ステップ１１６において、残差力より（ｔ＋Δｔ）時刻の修正値Λを下記（１１）式により算出し、この修正値Λにより予測値ｕ*を修正し、（ｔ＋Δｔ）時刻の応答変位、応答速度、応答加速度を求め、これにより外力Ｆ、慣性力ＦM及び粘性力ＦCを算出する。
【００６４】
Δｔは計算時間間隔、すなわち時刻歴ループの実行間隔である。なお、Δｔは一定の値でもよいし、計算毎に変化させてもよい。
【００６５】
【数８】
次に、ステップ１１８において、ｔ＋Δｔ時刻の変位に基づくせん断ひずみγ、せん断応力τを求め、これより内力Ｒを算出する。せん断ひずみγは下記（１２）式で表され、内力Ｒは下記（１３）式で表される。
【００６７】
【数９】
ここで、ｚはひずみが発生している所の深さである。
【００６９】
【数１０】
ここで、Ｖは対象とする体積であり、Ｎは節点（計算位置）への変換関数である。
【００７１】
次に、ステップ１２０において、さきに求めたせん断応力τから、図３に示した方法により累積損傷度Ｄを求める。
【００７２】
累積損傷度Ｄは、図４に示すように、半波開始点ｔS、すなわち、せん断応力τが前回ゼロ線を横切ったときの累積損傷度をＤｓとして次式で表すことができる。
【００７３】
Ｄ＝Ｄｓ＋ΔＤmax …（１４）
ここで、ΔＤmaxは、半波内の半波開始点ｔSから現在までに求めたせん断応力τ（の絶対値）のうち最大のせん断応力τmaxから求まる累積損傷度の増分の最大値である。すなわち、今回計算したせん断応力τ（の絶対値）が前回計算したせん断応力τ（の絶対値）を越えた場合には、そのときのせん断応力τをその時点における最大せん断応力（応力最大値）τmaxとみなし、そのときの累積損傷度の増分ΔＤで累積損傷度の増分の最大値（増分最大値）ΔＤmaxを更新する。一方、今回計算したせん断応力τが最大せん断応力τmax以下の場合には、累積損傷度の増分の最大値Ｄmaxを更新せずそのままにする。
【００７４】
例えば、図４に示すように、せん断応力τが徐々に上昇して最大となり、その後徐々に下降するような場合には、半波開始点ｔSからｎステップ後（Δｔ×ｎ秒後）であってせん断応力τが半波内で最大となるｔmaxの時点よりも手前のｔnの時点における累積損傷度の増分ΔＤnは、その時点における累積損傷度の増分の最大値ΔＤmaxとなる。一方、せん断応力τが最大となるｔmax以降、半波終了点ｔeまでは、せん断応力τが下降するため、累積損傷度の増分の最大値ΔＤmaxは更新されない。
【００７５】
なお、累積損傷度の増分ΔＤは、前述したように、液状化強度曲線により、せん断応力τから求まる応力比τ／σ'm0から繰り返し回数Ｎifを求め、この繰り返し回数Ｎifから上記（６）式により求めることができる。
【００７６】
また、累積損傷度Ｄｓは、せん断応力τがゼロ線を横切る毎に更新される。すなわち、図４の場合には、半波開始点ｔs、半波終了点ｔeの時点において、そのときの累積損傷度Ｄが累積損傷度Ｄｓに設定される。累積損傷度の増分の最大値ΔＤmaxは、半波開始点ｔs、半波終了点ｔeの時点においてゼロに初期化される。
【００７７】
ところで、実際のせん断応力τの波形は、図４に示すような単純な波形ではなく、図５に示すように、半波内で何度も上下するのが通常である。このような場合の累積損傷度Ｄの変化について説明する。
【００７８】
図５に示すように、ｔ1〜ｔ2、ｔ4〜ｔ5、ｔ7〜ｔ8の区間は、せん断応力τの絶対値が単調増加する区間（このようにせん断応力τの絶対値が単調増加する区間を載荷状態という）であって、その区間のせん断応力τの絶対値は、それまでの最大せん断応力τmaxの絶対値よりも大きくなる。従って、このような区間では、累積損傷度の増分ΔＤは、せん断応力τの増加に伴って上昇する。このため、累積損傷度Ｄも増加する。
【００７９】
また、ｔ2〜ｔ3、ｔ5〜ｔ6、ｔ8〜ｔ9、ｔ10〜ｔ11の区間は、せん断応力τの絶対値が単調減少する区間（このようにせん断応力τの絶対値が単調減少する区間を除荷状態という）であって、その区間のせん断応力τの絶対値は、それまでの最大せん断応力τmaxの絶対値以下となる。従って、このような区間では、累積損傷度の増分ΔＤは増加せず、累積損傷度の増分の最大値ΔＤmaxが更新されない。このため、累積損傷度Ｄは増加せず一定となる。例えば、ｔ2の時点での累積損傷度をＤ（ｔ2）とし、ｔ3の時点での累積損傷度をＤ（ｔ3）とした場合、Ｄ（ｔ2）＝Ｄ（ｔ3）となる。
【００８０】
また、ｔ3〜ｔ4、ｔ6〜ｔ7、ｔ9〜ｔ10の区間は、せん断応力τの絶対値が単調増加する区間ではあるが、その区間のせん断応力τの絶対値は、それまでの最大せん断応力τmaxの絶対値以下となる。従って、このような区間では、累積損傷度の増分ΔＤは増加せず、累積損傷度の増分の最大値ΔＤmaxが更新されない。このため、累積損傷度Ｄは増加せず一定となる。従って、図５に示すように、ｔ4の時点での累積損傷度をＤ（ｔ4）とすると、Ｄ（ｔ2）＝Ｄ（ｔ3）＝Ｄ（ｔ4）となる。
【００８１】
このように、せん断応力τがそれまでのせん断応力の最大値τmaxを越えて増加し続ける載荷状態では累積損傷度Ｄが増加するように、かつ除荷状態及びせん断応力τがそれまでのせん断応力の最大値τmaxを越えない範囲で増加し続ける載荷状態では累積損傷度Ｄを更新しないように時々刻々とΔｔ時間毎に累積損傷度Ｄを求めるため、累積損傷度Ｄの増加が滑らかになり精度よく地震応答解析を行うことができる。
【００８２】
次に、ステップ１２２において、ステップ１０８と同様に外力と内力の差（残差力）ΔＲを算出する。次に、ステップ１２４において、この残差力ΔＲが許容値以下であるか否かを判断し、許容値を越えていれば、ステップ１１０から反復して計算する。この残差力ΔＲが許容値以下であれば、次のステップ１２６へ進む。
【００８３】
次に、ステップ１２６において、算出した各応答値を表示部１８や記憶部１４へ出力する。出力値としては、変位、速度、加速度、せん断ひずみ、せん断応力等がある。
【００８４】
このようにして、地震時間全体についてステップ１０４からステップ１２６までの処理（時刻歴ループ）を行い、各時刻毎の応答値を算出する。
【００８５】
このようにして時刻歴ループが終了すると、ステップ１２８において、時刻歴ループにおいて算出した各応答値の最大値などを表示部１８や記憶部１４に出力する。
【００８６】
このように、地震応答の半波内において、地盤材料試験などから得られたデータ（経験式）から時々刻々と累積損傷度を求めることにより液状化を考慮した地盤剛性を求め、これを用いて時刻歴応答計算を行うので、解析するものの技量によらない地震応答及び永久変形の予測を行うことが可能になると共に、地震応答の予測技術の標準化が進み、液状化時の建設構造物の安全性が客観的に評価することが可能となる。
【００８７】
〔第２実施形態〕
以下、図面を参照して本発明の第２実施形態について説明する。第２実施形態では、第１実施形態で説明したステップ１２０の累積損傷度Ｄの求め方の他の方法について説明する。なお、ステップ１２０以外の処理については、第１実施形態と同様であるので、説明を省略する。
【００８８】
第１実施形態では、せん断応力τが、その時までの最大値τmaxを越えて増加し続ける載荷状態では、累積損傷度の増分ΔＤを求めて累積損傷度Ｄを更新するようにし、せん断応力τが減少し続ける除荷状態及びその時までの最大値τmaxを越えない範囲で増加し続ける載荷状態の場合には、累積損傷度Ｄを更新しないようにした。
【００８９】
第２実施形態では、せん断応力τが、その時までの最大値τmaxを越えて増加し続ける載荷状態の場合には、累積損傷度の増分ΔＤは１／４波分であると考え、累積損傷度の増分ΔＤを次式で求める。
【００９０】
ΔＤ＝１／４Ｎif …（１５）
そして、求めた累積損傷度の増分ΔＤで累積損傷度Ｄを更新するようにし、せん断応力τが減少し続ける除荷状態では、その時までの最大値τmaxを越えて増加し続ける載荷状態における累積損傷度Ｄの傾きαに従って徐々に増加するように累積損傷度の増分ΔＤを求める。また、せん断応力τが、その時までの最大値τmaxを越えない範囲で増加し続ける載荷状態の場合には、累積損傷度Ｄを更新しないようにする。
【００９１】
例えば、図６に示すように、半波開始点ｔsからせん断応力τが最大となるｔmaxまでは、第１実施形態と同様に累積損傷度の増分ΔＤを上記（１５）式により求め、上記（１４）式により累積損傷度Ｄを求める。
【００９２】
そして、その時までの最大値τmaxを越えて増加し続ける載荷状態における累積損傷度Ｄの傾きαを次式により求める。
【００９３】
α＝ΔＤmax／（ｔmax−ｔs） …（１６）
ここで、ｔsは該当半波の開始時刻である。
【００９４】
ｔmaxから半波終了点ｔeまでの除荷状態における各時刻ｔnでは、求めた傾きα、ｔmaxにおける累積損傷度の増分の最大値ΔＤmax等から次式により累積損傷度Ｄを求める。
【００９５】
Ｄ＝ΔＤmax＋α・（ｔn−ｔmax） …（１７）
これにより、半波開始点ｔsから半波終了点ｔeまでより滑らかに累積損傷度Ｄが増加する。
【００９６】
ところで、前述したように、実際のせん断応力τの波形は、図６に示すような単純な波形ではなく、図７に示すように、半波内で何度も上下するのが通常である。このような場合の累積損傷度Ｄの変化について説明する。
【００９７】
図７に示すように、ｔ1〜ｔ2、ｔ4〜ｔ5、ｔ7〜ｔ8の区間は、せん断応力τの絶対値が単調増加する載荷状態であって、その区間のせん断応力τの絶対値は、それまでの最大せん断応力τmaxの絶対値よりも大きくなる。従って、このような区間では、累積損傷度の増分ΔＤは、せん断応力τの増加に伴って上昇する。このため、累積損傷度Ｄも増加する。
【００９８】
また、ｔ2〜ｔ3、ｔ5〜ｔ6、ｔ8〜ｔ9、ｔ10〜ｔ11の区間は、せん断応力τの絶対値が単調減少する除荷状態であって、その区間のせん断応力τの絶対値は、それまでの最大せん断応力τmaxの絶対値以下となる。従って、このような区間では、上記（１６）式により、その時までの最大値τmaxを越えて増加し続ける載荷状態におけるせん断応力τの傾きαを求め、上記（１７）式により累積損傷度Ｄを求める。このとき、求めた累積損傷度Ｄが、載荷状態の開始点ｔsにおける累積損傷度Ｄとせん断応力τが最大となるｔmaxにおける累積損傷度Ｄとの差の２倍以上になる場合には、それ以降は、累積損傷度Ｄを更新しないようにする。
【００９９】
また、ｔ3〜ｔ4、ｔ6〜ｔ7、ｔ9〜ｔ10の区間は、せん断応力τの絶対値が単調増加する区間ではあるが、その区間のせん断応力τの絶対値は、それまでの最大せん断応力τmaxの絶対値以下となる。従って、このような区間では、累積損傷度の増分ΔＤは増加せず、累積損傷度の増分の最大値ΔＤmaxが更新されないため、累積損傷度Ｄは増加せず一定となる。
【０１００】
このように、せん断応力τがそれまでのせん断応力の最大値τmaxを越えて増加し続ける載荷状態では累積損傷度Ｄが増加するように、除荷状態では載荷状態における傾きに従って累積損傷度Ｄが増加するように、せん断応力τがそれまでのせん断応力の最大値τmaxを越えない範囲で増加し続ける載荷状態では累積損傷度Ｄを更新しないように、時々刻々とΔｔ時間毎に累積損傷度Ｄを求めるため、累積損傷度Ｄの増加がさらに滑らかになり、より精度よく地震応答解析を行うことができる。
【０１０１】
なお、ｔ2〜ｔ3、ｔ5〜ｔ6、ｔ8〜ｔ9の区間を、ｔ2〜ｔ4、ｔ5〜ｔ7、ｔ8〜ｔ10の区間と同様に扱うこともできる。
【０１０２】
なお、上記実施形態では、半波開始点ｔs及び半波終了点ｔeを、せん断応力τがゼロ線を横切る位置としていたが、図８に示すように、半波開始点ｔs及び半波終了点ｔeをせん断応力τが折り返す位置、すなわち、せん断応力τの絶対値が最大となる位置としてもよい。
【０１０３】
この場合、Δｔ時間毎に累積損傷度の増分ΔＤを求めるが、半波開始点ｔs及び半波終了点ｔeをせん断応力τが折り返す位置としているため、そのまま累積損傷度の増分ΔＤを求めると、両振幅分、すなわち２τ分の累積損傷度の増分ΔＤが計算されてしまう。そこで、液状化強度曲線を参照する際には、せん断応力τの半分のτ／２を用いて繰り返し回数Ｎifを求め、これから累積損傷度の増分ΔＤを求める。
【０１０４】
また、上記実施形態では、半波開始点ｔs及び半波終了点ｔeをせん断応力τに基づいて定義していたが、応力比τ／σ'm0に基づいて定義してもよい。すなわち、応力比τ／σ'm0にがゼロ線を横切る時点を半波開始点ｔs及び半波終了点ｔeとしてもよい。
【０１０５】
【実施例】
次に、本発明の実施例について図面を参照して説明する。図９には、特開２００１−２０８６４１号公報に記載された半波毎に応力の最大値を求め、これから累積損傷度を求める方法（従来法）におけるせん断応力比及び累積損傷度のシミュレーション結果、第１実施形態で示した累積損傷度の計算方法（１／２Ｎ法）におけるせん断応力比及び累積損傷度のシミュレーション結果、第２実施形態で示した累積損傷度の計算方法（１／４Ｎ法）におけるせん断応力比及び累積損傷度のシミュレーション結果、図８に示すように半波開始点ｔs及び半波終了点ｔeをせん断応力τが折り返す位置に設定して第１実施形態と同様に累積損傷度を計算する方法（１／２Ｎ法・折返し評価法）におけるせん断応力比及び累積損傷度のシミュレーション結果を示した。
【０１０６】
図９から明らかなように、従来法では、半波毎に応力の最大値を応力の代表値として求め、これから累積損傷度を求めるため、累積損傷度の増加が階段状になっているのに対し、他の３つの方法では、半波内で時々刻々と累積損傷度を求めるため、累積損傷度の増加が比較的滑らかとなっている。このため、従来法と比較して精度よく地震応答解析を行うことができる。
【０１０７】
また、従来法以外の３つの方法の中では、１／４Ｎ法が最も累積損傷度の上昇が滑らかであり、最も精度よく地震応答解析を行うことができることが判った。
【０１０８】
【発明の効果】
以上説明したように、本発明によれば、地盤の液状化を考慮した地震応答を精度よく求めることができると共に、液状化を考慮しないどのような弾塑性解析にも適用できる、という効果を有する。
【図面の簡単な説明】
【図１】 地震応答解析装置の概略ブロック図である。
【図２】 第１実施形態における演算部において実行される制御ルーチンのフローチャートである。
【図３】 せん断剛性の算出について説明するための図である。
【図４】 第１実施形態における累積損傷度Ｄの計算について説明するための図である。
【図５】 第１実施形態における累積損傷度Ｄの計算について説明するための図である。
【図６】 第２実施形態における累積損傷度Ｄの計算について説明するための図である。
【図７】 第２実施形態における累積損傷度Ｄの計算について説明するための図である。
【図８】 第３実施形態における累積損傷度Ｄの計算について説明するための図である。
【図９】 せん断応力比と累積損傷度のシミュレーション結果を示す線図である。
【符号の説明】
１０ 地震応答解析装置
１２ 操作部
１４ 記憶部
１６ 演算部
１８ 表示部
Claims (3)
- 解析対象モデルの質量情報、剛性情報、減衰情報、及び入力地震情報による運動方程式を用いて時々刻々と変化する前記解析対象モデルの変位情報を求め、前記変位情報に基づいて、時々刻々と変化する少なくともひずみに関する応答値の時間特性を求める地震応答解析方法において、
前記変位情報に基づいてひずみ及び応力を求め、
求めた応力が予め定めた前記応力の半波開始点以降に求めた応力の応力最大値を越えた場合には、前記求めた応力に基づいて累積損傷度の増分を求め、求めた当該累積損傷度の増分を増分最大値として設定して前記半波開始点の累積損傷度に前記増分最大値を加算することにより累積損傷度を求め、
求めた応力が前記応力最大値以下の場合には、前記半波開始点の累積損傷度に、最後に求めた前記増分最大値を加算することにより累積損傷度を求め、
前記ひずみ及び前記累積損傷度に基づいて、応力−ひずみ骨格曲線を求め、求めた曲線よりせん断応力情報及び前記剛性情報を更新する処理を、
予め定めた所定時間毎に繰り返すことにより前記応答値の時間特性を求めることを特徴とする地震応答解析方法。 - 解析対象モデルの質量情報、剛性情報、減衰情報、及び入力地震情報による運動方程式を用いて時々刻々と変化する前記解析対象モデルの変位情報を求め、前記変位情報に基づいて、時々刻々と変化する少なくともひずみに関する応答値の時間特性を求める地震応答解析方法において、
前記変位情報に基づいてひずみ及び応力を求め、
求めた応力が予め定めた前記応力の半波開始点以降に求めた応力の応力最大値を越えた場合には、前記求めた応力に基づいて累積損傷度の増分を求め、求めた当該累積損傷度の増分を増分最大値として設定して前記半波開始点の累積損傷度に前記増分最大値を加算することにより累積損傷度を求め、
求めた応力が前記応力最大値以下の場合には、前記半波開始点から最後に求めた前記増分最大値を設定した時点までの間の少なくとも一部の前記累積損傷度の増分の傾向に基づいて累積損傷度の増分を求め、前記半波開始点の累積損傷度に、求めた累積損傷度の増分を加算することにより累積損傷度を求め、
前記ひずみ及び前記累積損傷度に基づいて、応力−ひずみ骨格曲線を求め、求めた曲線よりせん断応力情報及び前記剛性情報を更新する処理を、
予め定めた所定時間毎に繰り返すことにより前記応答値の時間特性を求めることを特徴とする地震応答解析方法。 - 前記半波開始点は、前記応力がゼロとなる時点であることを特徴とする請求項１又は請求項２記載の地震応答解析方法。
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