JP2818512B2 - 乗算装置 - Google Patents

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【産業上の利用分野】本発明は乗算装置に関し、特に高
桁数値の乗算を行ない、高速に動作することが可能な乗
算装置に関する。

【０００２】

【従来の技術】高桁数値の乗算は非線形計画法（ＮＰ）
問題を解く過程や高階微分方程式の解法などの数値計算
過程でしばしば現われる。数値が２０億以下であれば、
３２ビット以下の数値として、３２ビットの乗算プロセ
サなどで高速に処理できるが、これ以上の高桁数値など
巨大数に関する検討が最近の宇宙科学の進歩で必要とな
るが、浮動小数点による演算に限定されることは、誤差
の累積など困難な数学的処理の問題に当面している。し
かるに本発明では十進数を中心とし、十六進数を含め
て、巨大数の計算に整数演算にて対応できるので極めて
有利であり、演算速度も極めて高速なものが得られる。

【０００３】科学技術の進歩した現在では、ますます高
桁数値の高精度乗算が要求されるようになってきてい
る。

【０００４】次に、従来の乗算方式について説明する。

【０００５】周知のように、計算機で実行される乗算は
２進数の数値が使用される。被乗数と乗数がそれぞれＮ
桁及びＭ桁とする。

【０００６】この場合、従来の乗算方式では、原則的に
乗数の桁数に等しいＭ個の部分積があり、この部分積を
左へ１桁ずつシフトさせて加算するのが一般的である。
ここで、乗数のビットが０の桁に対応する部分積は省く
ことができ、ビットが１の桁に対応する部分積は被乗数
のビット列を並べたもので構成できる。３２ビット×３
２ビットを越える乗算は部分積の数と桁数が極めて大き
くなる。その結果、従来の乗算方式では、多数の部分積
を記憶するために、乗算に大きな記憶領域を必要とす
る。

【０００７】これを改良・改善するため、桁上げの遅れ
を補償するＣＬＡ回路（キャリー先見回路）やキャリー
セーブ回路、あるいは部分積の数を半分とするブース乗
算器などが採用されている。

【０００８】

【発明が解決しようとする課題】このような改良・改善
に拘らず、通常の乗算方式では、２進数に従い、ビット
数の増大による桁数の著しい増大は整数乗算が実施困難
となり、浮動小数点演算によるので著しい計算結果の誤
差の発生をともなう。

【０００９】したがって本発明の目的は宇宙科学等を含
めて、巨大数の演算を高精度高速で高桁数の乗算を行な
う、乗算装置を提供することである。

【００１０】本発明では、従来の部分積に基づく累算的
な乗算方式とは明らかに一線をかくするもので、従来の
乗算方式とは全く異なる位数積という新しい積を利用
し、最終積を特別に全く新しい考え方の尻数を用いるこ
とにより、非累算的な超高速の求積がえられる。すなわ
ち、本発明は、Ｌ進数（Ｌ≧２）で表されるＮ桁（Ｎ≧
２）の被乗数Ｘと前記Ｌ進数で表されるＭ桁（Ｍ≧２）
の乗数Ｙとを乗算し、前記被乗数Ｘと前記乗数Ｙとの積
Ｑを求める乗算装置において、 前記被乗数Ｘを構成する
任意の１つの数値と前記乗数Ｙを構成する任意の１つの
数値との全ての組み合わせを、組み合わされる２つの数
値の前記被乗数，前記乗数における位を示す位数０〜Ｎ
−１，０〜Ｍ−１の和の種類毎に、位数の和０から（Ｎ
−１）＋（Ｍ−１）までのグループにグループ化し、各
グループ毎に、組み合わされる２つの数値の乗算値をそ
のグループに属する全組み合わせについて加算した値を
求めて該値を各グループ毎の位数積とする位数積算出手
段と、 位数の和が０となるグループの位数積の最下位桁
を尻数として出力すると共に最下位桁以外の数値を１桁
だけ桁下げしたものを現時点の残留数とし、位数の和が
１のグループの位数積から位数の和が（Ｎ−１）＋（Ｍ
−１）のグループの位数積まで順に、現時点の残留数と
位数積とを加算して該加算値の最下位桁を尻数として出
力すると共にその加算値の最下位桁以外の数値を１桁だ
け桁下げしたものを現時点の残留数とする演算を繰り返
す演算手段とを備え、 前記出力した尻数および演算終了
時点の前記残留数を並べたものが前記積Ｑとなることを
特徴とする。 より具体的には、前記演算手段は、以下の
（Ａ）または（Ｂ）のように構成される。 （Ａ）入力された数値が最後の数値でないときは、入力
された数値の最下位桁の数値を尻数として出力すると共
に最下位桁以外の数値を１桁だけ桁下げしたものを残留
数として出力し、入力された数値が最後の数値であると
きは、入力された数値の最下位桁の数値および上位桁が
あるときはその上位桁の数値を尻数として出力するレジ
スタと、 位数の和が０となるグループの位数積から（Ｎ
−１）＋（Ｍ−１）となるグループの位数積まで順に１
つずつ位数積を入力し、該入力した位数積と前記レジス
タから出力される残留数とを加算し、その加算結果を前
記レジスタに出力する加算器と、 前記レジスタから出力
される尻数を、その出力順に前記積ＱのＬ ⁰ ，Ｌ ¹ ，
…，Ｌ ^{(N-1)+(M-1)+1} の位の値とするデコーダとを備え
る構成。 （Ｂ）位数の和が０となるグループの位数積を入力し、
入力した数値の最下位桁の数値を尻数として出力すると
共に最下位桁以外の数値を１桁だけ桁下げしたものを残
留数として出力する第１の配分器と、位数の和が１から
（Ｎ−１）＋（Ｍ−１）となるグループに１対１に対応
する複数の加算器であって、それぞれ、対応するグルー
プの位数積と、残留数とを入力し、両者を加算した結果
の最下位桁の数値を尻数として出力すると共に最下位桁
以外の数値を１桁だけ桁下げしたものを残留数として出
力する複数の加算器と、残留数を入力し、入力した残留
数を尻数として出力する第２の配分器とを含み、位数の
和が１のグループに対応する加算器の残留数の入力には
前記第１の配分器から出力された残留数が入力され、前
記第２の配分器の残留数の入力には位数の和が（Ｎ−
１）＋（Ｍ−１）のグループに対応する加算器の残留数
が入力され、位数の和が２から（Ｎ−１）＋（Ｍ−１）
までのグループに対応する加算器の残留数の入力には自
加算器の次に位数の和の小さいグループに対応する加算
器から出力された残留数が入力されるように、前記第１
の配分器，前記複数の加算器および前記第２の配分器が
１列に接続されており、前記第１の配分器から出力され
る尻数を前記積ＱのＬ ⁰ の位の値、位数の和が１から
（Ｎ−１）＋（Ｍ−１）となるグループに１対１に対応
する前記複数の加算器から出力される尻数を前記積Ｑの
Ｌ ¹ からＬ ^(N-1)+(M-1) の位の値、前記第２の配分器か
ら出力される尻数を前記ＱのＬ ^{(N-1)+(M-1)+1} の値と
して出力する構成。

【００１１】本発明においては新規な尻数等の利用があ
るので、乗数，被乗数の桁数を同一のＮ桁とした。勿論
両者を相違させてもよいが、本発明のコンピュータ上で
の実施上の点を考えて簡明な方を用いた。

【００１２】本発明の要旨 本発明においては、従来一般に広く用いられる累算的
な、そして部分積を経過して、大規模積を演算の終りに
おいてうる通常の方法と異なり、尻数という新らしい概
念を用いて、最終積を微小空間を離して、小型の２桁程
度で桁上げの極めて少ないモジュール的な演算単位を並
列構成に近くリンクさせて、最終積を分散的に得て尻数
のデジットで出力する新規なる乗算方式である。

【００１３】本発明はコンピュータ内部ではＢＣＤコー
ドを用いるが十進数あるいは十六進数を基本とする。

【００１４】本発明においては被乗数Ｘ，乗数Ｙおよび
積Ｑの各々が十進数で表わされるならば、被乗数Ｘ，乗
数Ｙおよび積Ｑの各々は４ビットすなわち２進化１０進
（ＢＣＤ）コードで表わされる。

【００１５】被乗数Ｘ，乗数Ｙが４桁で、Ｎ＝４でＸ＝
５６７８，Ｙ＝９２３１の場合には、それぞれ４桁の配
列で表わされる。

【００１６】 Ｘ＝５６７８＝ｘ

〔０〕；ｘ〔１〕，ｘ〔２〕，ｘ〔３〕 …（１） Ｙ＝９２３１＝ｙ

〔０〕，ｙ〔１〕，ｙ〔２〕，ｙ〔３〕 …（２） この配列の〔 〕内の数字は正の整数で、変数ではな
く、添字という。ｘ〔ｉ〕，ｙ〔ｊ〕は一桁の値をも
ち、添字は配列の位を示すが、しばしば省略される。た
とえば、ｘ〔３〕＝５は位としては５・１０³ で１００
０の位の数である。３は位数である。

【００１７】 ｘ

〔０〕＝８，ｘ〔１〕＝７，ｘ〔２〕＝６，ｘ〔３〕＝５ …（３） ｙ

〔０〕＝１，ｙ〔１〕＝３，ｙ〔２〕＝２，ｙ〔３〕＝９ …（４） Ｎ桁の数の最大の添字はＮ−１で、０より始まる。配列
名はｘ，ｙであって、コンピュータなどの記憶場所での
配列の先頭番地を示す。ｘの配列とｙの配列の積のすべ
ての集合は被乗数Ｘ，乗数Ｙの積Ｑとなるのであろう
が、このような積の集計は困難である。配列ｘ〔ｉ〕，
ｙ〔ｊ〕のようなｘ〔 〕，ｙ〔 〕についての積を考
える。

【００１８】ｘ〔ｉ〕，ｙ〔ｊ〕は１桁の整数であるか
ら、両者の積で与えられる整数は２桁か１桁である。こ
のような積を配列積という。この配列積をＰ〔ｉ，ｊ〕
と２次元配列的に表記すると、以下のように定義され
る。 Ｐ〔ｉ，ｊ〕＝ｘ〔ｉ〕＊ｙ〔ｊ〕 …（５）し かし、本来は配列積はｉ＋ｊ＝ｋの位数の一次元配列
である。次に、（３），（４）式を用いて、幾つかの例
を以下に示す。 ｘ

〔０〕＊ｙ

〔０〕＝８×１＝８×１０⁰⁺⁰ ＝８×１０⁰ ＝８ …（６） ｘ〔１〕＊ｙ

〔０〕＝７×１＝７ …（７） Ｐ〔０，１〕＝ｘ

〔０〕＊ｙ〔１〕＝８×３＝２４ ｘ〔ｉ〕，ｙ〔ｊ〕の添字ｉ，ｊを考えるとき、その添
字の和を配列積の位数という。配列積の位数をｋとする
と、次式が成立する。

【００１９】 ｉ＋ｊ＝ｋ …（８） （６）式の位数は位数ｋ＝０である。（７）式の第１，
第２式はｋ＝１、すなわち両式とも位数ｋ＝１である。
このように、位数が１となる配列積の和をｐｔ〔１〕と
かくと、 ｐｔ〔１〕＝ｘ〔１〕＊ｙ

〔０〕＋ｘ

〔０〕＊ｙ〔１〕 …（９） のように表わされる。（７）式の場合には、 ｐｔ〔１〕＝７＋２４＝３１ …（１０） である。位数ｋ＝０のときのｐｔは、 ｐｔ

〔０〕＝８ …（１１）である。 ｐｔ〔ｋ〕という一次元配列は位数積配列であ
って、ｘ〔ｉ〕，ｙ〔ｊ〕の一次元配列の積の一次元配
列積か二次元配列積のいずれからも作られる。この一次
元配列ｐｔ〔ｋ〕の方を位数積という。位数積配列ｐｔ
〔ｋ〕を用いると、被乗数，乗数に対する積を高桁にお
いても精度高く、高速にコンピュータソフトあるいはコ
ンピュータ結合回路を用いて求解できる。位数ｋは０を
出発点として、被乗数，乗数のサイズがＮであれば最大
値は２（Ｎ−１）である。配列積の最大数は（Ｎ−１）
² である。

【００２０】配列積の二次元配列のサイズはこのように
大きくなる。これに対して、位数積配列はＮ＋Ｈ−２個
で小さくなる。サイズが小さく、一次元の配列ｐｔ
〔ｋ〕つまり位数積配列と尻数による乗算解の簡易さの
方がはるかに有利である。

【００２１】（３），（４）式で与えられる被乗数，乗
数の一次元配列に対する上の他の位数積配列を求めよ
う。

【００２２】 ｋ＝２：位数２ ｐｔ〔２〕＝ｘ〔２〕＊ｙ

〔０〕＋ｘ〔１〕＊ｙ〔１〕 ＋ｘ

〔０〕＊ｙ〔２〕 ＝６×１＋７×３＋１６＝２７Ｈ６＝４３ …（１２） ｋ＝３：位数３ ｐｔ〔３〕＝ｘ〔３〕＊ｙ

〔０〕＋ｘ〔２〕＊ｙ〔１〕 ＋ｘ〔１〕＊ｙ〔２〕＋ｘ

〔０〕＊ｙ〔３〕 ＝５＋１８＋１４＋７２＝７７＋１４＋１８ ＝９１＋１８＝１０９ …（１３） ｋ＝４：位数４ ｐｔ〔４〕＝ｘ〔３〕＊ｙ〔１〕＋ｘ〔２〕＊ｙ〔２〕 ＋ｘ〔１〕＊ｙ〔３〕 ＝５×３＋６×２＋６３＝９０ …（１４） ｋ＝５：ｐｔ〔５〕＝ｘ〔３〕＊ｙ〔２〕＋ｘ〔２〕＊ｙ〔３〕 ＝１０＋５４＝６４ …（１５） ｋ＝６：ｐｔ〔６〕＝ｘ〔３〕＊ｙ〔３〕＝４５ …（１６） 以上のように求めた位数積配列を用いて、尻数非累算乗
算装置によりて求めるＸ，Ｙの積を高速順次に求められ
る。

【００２３】また位数積配列が求まった時点で、分割積
配列は不要となり、コンピュータ等の装置より消去して
よい。

【００２４】図１は従来の累算式乗算器を示す。まづこ
の従来の乗算にちょっとふれると、左側のレジスタより
被乗数を加え、乗算を右側のＡＣＯ−ＭＧペアに加える
と、クリアされているＡＣＣ−ＭＱの内容はくりかえし
によって、積が累積するものので である。（ＡＣＣ−ＭＱ）は０ではない。

【００２５】これに対し本発明の一実施の形態は図２に
示すような基本構造で、形が図１に似ているが、累算的
動作を行わない。図２の左側の位数積配列ｐｔ〔ｋ〕は
ｋ＝０のものより順に読み込まれ、（ＡＣＣ−ＭＱ）と
いうレジスタに加えられるが、このレジスタに入ったデ
ータの最下位の十進数一桁はレジスタの右側から押出さ
れて、デコーダを通して、別に用意された直列的な十進
数１桁のみを収容できる一次元配列ｑ〔ｍ〕にｍ＝０の
ものより順に入れられる。このように、レジスタの右側
から押出される数値を尻数といい、今の例では十進数一
桁（ＢＣＤ４ビット）である。

【００２６】ここでさらに重要な動作が行なわれる。尻
数のとび出しと同時に、ここに空いた一桁数の所へ（Ａ
ＣＣ−ＭＱ）に入ったｐｔ〔ｋ〕が桁下がりして入る
が、これは次の段のｐｔ〔ｋ＋１〕との加算にかかわ
る。この和は次の段の尻数と桁下り操作の一桁に働ら
く。この次々と段で行なわれる乗数の単位操作は作用す
る桁数が大体２桁十進であり、単位操作ごとに尻数（１
桁１０進）が出力され、被乗数，乗数の積を下の桁から
順に出力されるのは尻数そのものである。単位操作は現
用のプロセサーを用いて、桁数が小さいのでｎ秒程度に
することができる。１００桁十進の巨大数とμ秒の程度
に完了する。一つの単位操作の始めの部分を示す。

【００２７】

【００２８】以上のべた演算の単位操作は本発明の中核
をなすもので、この動作に関連する十進数はせいぜい２
桁にすぎないので、巨大数の何千，何万という桁であっ
ても、中核となる単位操作は小さい簡明な操作のくりか
えしである。

【００２９】単位操作の終了によって、例えば図２の古
典結線図では（ＡＣＣ−ＭＱ）が０となって終了するの
であって、従来からの累積回路で、最終は（ＡＣＣ−Ｍ
Ｑ）に被乗数，乗数の積が最後にえられるのとは本質的
に異っている。

【００３０】図３の単位操作図では、３段の簡単な例を
示す。この単位動作に入るまえに、位数積配列ｐｔ
〔ｋ〕を求めることが必要である。ｐｔ〔ｋ〕のｋは位
数を示す添字で、ｋ＝０から始まり、被乗数，乗数の桁
数がＮならばｋ＝２（Ｎ−１）で終る。図３の例ではＮ
＝２であることから、ｋ＝２である。図３のスタート状
態は前記のように明らかであるが、図３のｐｔ〔２〕か
らは終了段を示している。ｐｔ〔１〕からの桁下げ分の
３とｐｔ〔２〕の入力分６とが加わって、９が（ＡＣＣ
−ＭＱ）にストアされるが、この数が１０進一桁である
から、全部尻ビットの方へ出てしまう。かくして、ｑ
〔２〕＝９として、求積の最高位は決まり、（ＡＣＣ−
ＭＱ）の内容は０となるので、非累算性はさらに確認さ
れた。

【００３１】本例はＸ＝２５，Ｙ＝３７のＮ＝２の簡単
な場合で、結果の積が９２５となり、ｑ〔２〕＝９，ｑ
〔１〕＝２，ｑ

〔０〕＝５となる。積の桁はこの場合は
２（Ｎ−１）＝２×（２−１）＝２で、０から数えて、
０，１，２で３桁である。しかし場合によってＸ，Ｙが
２桁の場合４桁となる場合もある。図４の場合はＸ，Ｙ
が５桁数で積が１０桁の場合である。

【００３２】 Ｎ＝５；ｘ＝２３４１３，Ｙ＝４５３２０ の場合の数の１桁づつの配列は次のように表わされる。

【００３３】Ｘ：ｘ〔４〕＝２，ｘ〔３〕＝３，ｘ
〔２〕＝４，ｘ〔１〕＝１，ｘ

〔０〕＝３． Ｙ：ｙ〔４〕＝４，ｙ〔３〕＝５，ｙ〔２〕＝３，ｙ
〔１〕＝２，ｙ

〔０〕＝０． ｘ〔ｉ〕，ｙ〔ｊ〕の〔 〕内の数字は添字といわれ、
０を含む整数であって、ｉ，ｊをそれぞれの添字とする
とき、ｉ＋ｊ＝ｋは位数といわれる。

【００３４】この数値例の場合、ｋは０から８までの値
をもつ。配列積ｘ〔３〕×ｙ〔１〕の位数ｋは４であ
る。添字ｉ，ｊの値の最大値はＮ＝５であるから、それ
ぞれＮ−１＝４である。ｉ，ｊはＮ＝５の場合には４以
上はとれないのである。位数積配列は一次元配列で、同
一の位数をもつ配列積を集めて作る。

【００３５】ｐｔ

〔０〕は位数０の位数積配列で１個の
配列積より作られる。

【００３６】 ｐｔ

〔０〕＝ｘ

〔０〕＊ｙ

〔０〕＝３×０＝０ ｘ，ｙの〔 〕内の添字が０であるのに限られるからで
ある。ｐｔ〔１〕はｘ，ｙの〔 〕内の添字の一方が１
で他方は０のときであると和が１となるから、 １＋０＝１，０＋１＝１。

【００３７】 ｐｔ〔１〕＝ｘ〔１〕＊ｙ

〔０〕＋ｘ

〔０〕＊ｙ〔１〕 ＝３×２＝６ 同様にして、ｐｔ〔２〕は３個の配列積の和で、 ｐｔ〔２〕＝ｘ〔２〕＊ｙ

〔０〕＋ｘ〔１〕＊ｙ〔１〕 ＋ｘ

〔０〕＊Ｙ〔２〕＝２＋９＝１１ 同じ位数３をもつ、ｐｔ〔４〕はｘ〔ｉ〕が最大ｘ′
〔４〕をとり、位数４をとる項数は４項である。

【００３８】 ｐｔ〔４〕＝ｘ〔４〕＊ｙ

〔０〕＋ｘ〔３〕＊ｙ〔１〕 ＋ｘ〔２〕＊ｙ〔２〕＋ｘ〔１〕＊ｙ〔３〕 ＋ｘ

〔０〕＊ｙ〔４〕＝３×２＋１２＋５＋１２＝３５ 次にｐｔ〔５〕はｘ〔 〕の添字が４以上とれないの
で、ｙ〔 〕の添字を１より始める。

【００３９】 ｐｔ〔５〕＝ｘ〔４〕＊ｙ〔１〕＋ｘ〔３〕＊ｙ〔２〕 ＋ｘ〔２〕＊ｙ〔３〕＋ｘ〔１〕＊ｙ〔４〕 ＝８＋９＋２０＝３７ 位数がＮ＝５かそれ以上になると、ｘ〔ｉ〕＊ｙ〔ｊ〕
のｉ，ｊの値が０をとることはなくなる。ｉ，ｊが４以
上をとれず、ｋ位数は５より大きくなるからである。

【００４０】 ｐｔ〔６〕＝ｘ〔４〕＊ｙ〔２〕＋ｘ〔３〕＊ｙ〔３〕 ＋ｘ〔２〕＊ｙ〔４〕＝６＋１５＋１６＝３７ ｐｔ〔７〕＝ｘ〔４〕＊ｙ〔３〕＋ｘ〔３〕＊ｙ〔４〕 ＝１０＋１２＝２２ ｐｔ〔８〕＝ｘ〔４〕＊ｙ〔４〕＝８ 以上ですべての位数積配列ｐｔ

〔０〕，…ｐｔ〔８〕が
手計算で求められたが、これは原理を理解して頂くため
のもので、コンピュータソフトウェアで、高速に計算さ
れる。

【００４１】上記の位相積配列ｐｔ〔ｋ〕をｋ＝０より
順次求めると、単位操作がくりかえされ、尻数の送出，
桁移動と位数積の加算が行なわれ、尻数列ｑ〔 〕の上
に被乗数，乗数の積の下の桁より１桁づつか次々に確定
するが、この直列的動作は桁の少ない桁移動か１桁の送
出か加算の程度であるから、極めて高速である。この時
間は用いるＬＳＩによる所が大きいが、図３，４の流れ
図を見ても充分に高速性を求められる。本発明の原理図
表示である図２で

【００４２】

【００４３】のように、乗算のプロセスに入るとき、０
で途中で桁数の少ない部分を用いて、乗算処理を行な
い、終了で再び０とするので、累積式でないことは明ら
かである。

【００４４】ただここで乗算の終了の仕方が２通りある
のを注意する。

【００４５】図４では単位操作のｐｔ

〔０〕からｐｔ
〔８〕までであるｐｔ〔８〕のときの最後の和の項が

【００４６】

【００４７】のように２桁となるので下の位の０が尻数
ｑ〔８〕となり、上の位の１は（ＡＣＣ−ＭＱ）の末尾
の桁であるが、下の位の１に桁落ちして、尻数として、
ｑ

〔９〕＝１となる。このような操作はＣ言語では（Ａ
ＣＣ−ＭＱ）％ｌｏで行なわれる。％は１０以下の剰余
をとり出す。ｌｏは１０の記号化である。例えば３５％
ｌｏ→５→．またＣ言語で／ｌｏは３５／ｌｏ→３．と
なる。

【００４８】以上のように、いかに巨大数であっても、
位数積配列ｐｔ〔ｋ〕をｘ〔Ｎ−１〕…ｘ

〔０〕，ｙ
〔Ｎ−１〕…ｙ

〔０〕のような被乗数，乗数の配列より
作成し、ｘ〔ｉ〕＊ｙ〔ｊ〕のような配列積を位数順に
加算してｐｔ

〔０〕…ｐｔ〔２（Ｎ−１）〕をつくれ
ば、尻数分離，桁下げ、ｐｔ〔ｋ〕の加算による単位操
作によって複雑な場合も簡易に最終の積を尻数配列上の
定まる。

【００４９】以上の乗算方式はコンピュータのソフトウ
ェアとして極めて高速，高桁に利用できるが、この場合
（１）分離積をもとめる演算を指数変換の小さい表１で
実行し、必要位数積を残し、不要となった分割積を消去
する方法をとると、メモリの大巾の減少を行なえる。ま
た一回の乗算を行なうことなしに、巨大数の高速乗算を
小さいメモリで行える利点はこれまでの如何なる乗算器
にて対応できなかったことである。小型パーソナルコン
ピュータにて、１１６桁（１０進数，ＢＣＤ）×１１６
桁も１ｍＳ以下で印字出力した例を図６に示す。

【００５０】

【００５１】乗算器内の小乗算をなくする指数変換法は
本特許出願人の特願にのべられている。

【００５２】「複数法形高速乗算装置」特公昭６０−４
２９６５号公報を参照されたい。

【００５３】ｘ〔ｉ〕，ｙ〔ｊ〕のような被乗数，乗数
の配列の他に本乗算方式ではｘ〔ｉ〕＊ｙ〔ｊ〕のよう
な配列積やそれを同位数で加えた、例えばｘ〔１〕＊ｙ

〔０〕＋ｘ

〔０〕＊ｙ〔１〕＝ｐｔ〔１〕のような配列
（位数積配列）が特に重要であるが、それを求めるとき
指数変換は便利である。

【００５４】Ｘ＝２５，Ｙ＝３７ …（１′） を考えると、 ｘ〔１〕＝２，ｘ

〔０〕＝５ …
（２′） ｙ〔１〕＝３，ｙ

〔０〕＝７ …（３′）

【００５５】

【００５６】は、位数積配列を求めるのに便利である。
この行列の右上の斜線の和は位数積を与える。＊の積の
項があるが上の式をみるとｙ

〔０〕とｙ〔１〕が前後の
列で重なっている。

【００５７】表２は残留（普通の数）を指数に、表１は
指数を元の普通数に変換します。

【００５８】

【００５９】ここで（４’）の行列の中のｘ

〔０〕＊ｙ

〔０〕を指数変換で求めよう。表１より、 ｘ

〔０〕＝５の指数εｘ

〔０〕＝２４ ｙ

〔０〕＝７の指数εｙ

〔０〕＝９ 指数の和＝εｘ

〔０〕＋指数εｙ

〔０〕＝２４＋９＝３３なので、指数の和３３ の逆変換を表２で調べると、３３
は３５である。

【００６０】 指数の和＝３３＝表２→３５←→ｘ

〔０〕＊ｙ

〔０〕 ３５はｘ

〔０〕＝５とｙ

〔０〕＝７の積である。

【００６１】一般にｘ〔ｉ〕とｙ〔ｊ〕の指数をεｘ
〔ｉ〕，εｙ〔ｊ〕とすると、ｘ〔ｊ〕とｙ〔ｊ〕の積
は ｘ〔ｉ〕＊ｙ〔ｊ〕＝（εｘ〔ｉ〕＋εｙ〔ｊ〕）→表
２＝積． 同様ｘ

〔０〕＊ｙ〔１〕＝εｘ

〔０〕＋εｙ〔１〕＝２
４＋６９＝９３→表２＝１５ ｘ〔１〕＊ｙ

〔０〕＝εｘ〔１〕＋εｙ

〔０〕＝１＋９
＝１０→表２＝１４ ｘ〔１〕＊ｙ〔１〕＝２×３＝６＝εｘ〔１〕＋εｙ
〔１〕＝７０→表２＝６ このように指数の和から、元数の積が求まる。指数和が
１００以上に出たときは１００以上をとりさります。１
２０→２０を指数和とする。配列積のような積をすべて
このような加算のみで求めることは演算速度の向上とコ
ンピュータのメモリの有効利用に役立ち、とくに表１，
表２をｉｎｔ ｒｅ｛１６｝＝｛…｝，ｉｎｔ ｅｘ
｛１００｝＝｛… ｝のような整数配列にして、変数
の一方のメモリの番地で代行すると、演算速度はメモリ
のアクセス時間となり、位数積配列の高速処理となる。
このような処理はＣ言語においてはよく用いられる。

【００６２】さて前より

【００６３】

【００６４】となるので、ｐｔ

〔０〕＝ｘ

〔０〕＊ｙ

〔０〕＝３５． ｐｔ〔１〕＝ｘ〔１〕＊ｙ

〔０〕＋ｘ

〔０〕＊ｙ〔１〕
＝１４＋１５＝２９． ｐｔ〔２〕＝ｘ〔１〕＊ｙ〔１〕＝６． 本発明のこのような計算はすべて、プログラムの上のソ
フト構成で実行されるが、位数積配列があって、始めて
尻数乗算による単位操作ができるので、内部を検討する
ために、基本事項も簡単に説明した。

【００６５】〔ＬＳＩとしての実用化〕図５にその例を
示している。被乗数Ｘ，乗数Ｙに対する入力部は通常の
ＬＳＩと同様であるが、本方式をＬＳＩ化するときは３
２×３２ビットが最低で、高桁の場合が実用化の対象と
なる。桁数を多くとるためには、１６進数のＢＣＤ数に
よる表現が適当であろう。図５の場合は位数積配列の作
られた状態からの尻数乗算のＬＳＩ化である。ｘ
〔ｉ〕，ｙ〔ｊ〕配列からｐｔ〔ｋ〕までの変換はメモ
リＩＣと変換プログラムがあればよい。ｘ〔ｉ〕＊ｙ
〔ｊ〕の分割積二次元配列はメモリを用するので、ｐｔ
〔ｋ〕の一次元配列に変換したのち、消去する方がよ
い。ここの処理はＣ言語のメモリモジュールへの配分で
充分行える。

【００６６】図５に示すのはｐｔ〔ｋ〕の各出力段への
配分の問題で、図２，３，４の場合と大分異なる。これ
らの場合を前者とすると、前者は１個尻数桁１桁の一次
元配列への積のデコーダによる直列配分である。ただこ
の各々が単位操作で行なわれる。図５の同様であるが、
初段と終段は分配用で分けるだけであるが、第２段との
終段の間はＢＣＤ加算器の列で、前段の尻数配列を作る
出力の他の出力は次段へゆく。

【００６７】ｐｔ

〔０〕＝２１，ｐｔ〔１〕＝３８，ｐ
ｔ〔２〕＝９７， ｐｔ〔３〕＝８４，ｐｔ〔４〕＝５４ とすると加算器などの出力側は ′をつけると ｐｔ′

〔０〕＝ｐｔ

〔０〕 ｐｔ′

〔０〕＝２１，ｑ

〔０〕＝１ ｐｔ〔１〕＝３８ ｐｔ′〔１〕＝ｐｔ〔１〕＋ｐｔ

〔０〕／ｌｏ ＝３８＋２＝４０ ｐｔ′〔１〕％ｌｏ＝０＝ｑ〔１〕 このようなｐｔ′〔 〕の式がｐｔ〔 〕に対して作ら
れＩＣの出力側と次段への入力をうる。このようにチェ
ーンにするためｐｔ′〔ｋ〕の表現が必要である。接続
線のみでよい。

【００６８】

【発明の効果】以上の説明で明らかなように、本発明は
位数積と尻数による単本操作により短かい数に対しての
みの演算で、高桁の巨大数乗算を高速に誤差なく実行す
る。

【図面の簡単な説明】

【図１】従来の累算式乗算器のフローを示す図

【図２】本発明の一実施例のフローを示す図

【図３】本発明の一実施例による比較的小さい数の乗算
の流れを示す図

【図４】本発明の一実施例のよる５桁の数の乗算の流れ
を示す図

【図５】本発明の一実施例を実現するＬＳＩの構成を示
す図

【図６】本発明の一実施例をＣ言語で実行した場合の印
字出力例を示す図

Claims (4)

(57)【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】 Ｌ進数（Ｌ≧２）で表されるＮ桁（Ｎ≧
   ２）の被乗数Ｘと前記Ｌ進数で表されるＭ桁（Ｍ≧２）
   の乗数Ｙとを乗算し、前記被乗数Ｘと前記乗数Ｙとの積
   Ｑを求める乗算装置において、 前記被乗数Ｘを構成する任意の１つの数値と前記乗数Ｙ
   を構成する任意の１つの数値との全ての組み合わせを、
   組み合わされる２つの数値の前記被乗数，前記乗数にお
   ける位を示す位数０〜Ｎ−１，０〜Ｍ−１の和の種類毎
   に、位数の和０から（Ｎ−１）＋（Ｍ−１）までのグル
   ープにグループ化し、各グループ毎に、組み合わされる
   ２つの数値の乗算値をそのグループに属する全組み合わ
   せについて加算した値を求めて該値を各グループ毎の位
   数積とする位数積算出手段と、 位数の和が０となるグループの位数積の最下位桁を尻数
   として出力すると共に最下位桁以外の数値を１桁だけ桁
   下げしたものを現時点の残留数とし、位数の和が１のグ
   ループの位数積から位数の和が（Ｎ−１）＋（Ｍ−１）
   のグループの位数積まで順に、現時点の残留数と位数積
   とを加算して該加算値の最下位桁を尻数として出力する
   と共にその加算値の最下位桁以外の数値を１桁だけ桁下
   げしたものを現時点の残留数とする演算を繰り返す演算
   手段とを備え、 前記出力した尻数および演算終了時点の前記残留数を並
   べたものが前記積Ｑとなることを特徴とする乗算装置。
2. 【請求項２】 Ｌ進数（Ｌ≧２）で表されるＮ桁（Ｎ≧
   ２）の被乗数Ｘと前記Ｌ進数で表されるＭ桁（Ｍ≧２）
   の乗数Ｙとを乗算し、前記被乗数Ｘと前記乗数Ｙとの積
   Ｑを求める乗算装置において、 前記被乗数Ｘを構成する任意の１つの数値と前記乗数Ｙ
   を構成する任意の１つの数値との全ての組み合わせを、
   組み合わされる２つの数値の前記被乗数，前記乗数にお
   ける位を示す位数０〜Ｎ−１，０〜Ｍ−１の和の種類毎
   に、位数の和０から（Ｎ−１）＋（Ｍ−１）までのグル
   ープにグループ化し、各グループ毎に、組み合わされる
   ２つの数値の乗算値をそのグループに属する全組み合わ
   せについて加算した値を求めて該値を各グループ毎の位
   数積とする位数積算出手段と、 入力された数値が最後の数値でないときは、入力された
   数値の最下位桁の数値を尻数として出力すると共に最下
   位桁以外の数値を１桁だけ桁下げしたものを残 留数とし
   て出力し、入力された数値が最後の数値であるときは、
   入力された数値の最下位桁の数値および上位桁があると
   きはその上位桁の数値を尻数として出力するレジスタ
   と、 位数の和が０となるグループの位数積から（Ｎ−１）＋
   （Ｍ−１）となるグループの位数積まで順に１つずつ位
   数積を入力し、該入力した位数積と前記レジスタから出
   力される残留数とを加算し、その加算結果を前記レジス
   タに出力する加算器と、 前記レジスタから出力される尻数を、その出力順に前記
   積ＱのＬ ⁰ ，Ｌ ¹ ，…，Ｌ ^{(N-1)+(M-1)+1} の位の値とす
   るデコーダとを備えることを特徴とする乗算装置。
3. 【請求項３】 Ｌ進数（Ｌ≧２）で表されるＮ桁（Ｎ≧
   ２）の被乗数Ｘと前記Ｌ進数で表されるＭ桁（Ｍ≧２）
   の乗数Ｙとを乗算し、前記被乗数Ｘと前記乗数Ｙとの積
   Ｑを求める乗算装置において、 前記被乗数Ｘを構成する任意の１つの数値と前記乗数Ｙ
   を構成する任意の１つの数値との全ての組み合わせを、
   組み合わされる２つの数値の前記被乗数，前記乗数にお
   ける位を示す位数０〜Ｎ−１，０〜Ｍ−１の和の種類毎
   に、位数の和０から（Ｎ−１）＋（Ｍ−１）までのグル
   ープにグループ化し、各グループ毎に、組み合わされる
   ２つの数値の乗算値をそのグループに属する全組み合わ
   せについて加算した値を求めて該値を各グループ毎の位
   数積とする位数積算出手段と、 位数の和が０となるグループの位数積を入力し、入力し
   た数値の最下位桁の数値を尻数として出力すると共に最
   下位桁以外の数値を１桁だけ桁下げしたものを残留数と
   して出力する第１の配分器と、位数の和が１から（Ｎ−
   １）＋（Ｍ−１）となるグループに１対１に対応する複
   数の加算器であって、それぞれ、対応するグループの位
   数積と、残留数とを入力し、両者を加算した結果の最下
   位桁の数値を尻数として出力すると共に最下位桁以外の
   数値を１桁だけ桁下げしたものを残留数として出力する
   複数の加算器と、残留数を入力し、入力した残留数を尻
   数として出力する第２の配分器とを含み、位数の和が１
   のグループに対応する加算器の残留数の入力には前記第
   １の配分器から出力された残留数が入力され、前記第２
   の配分器の残留数の入力には位数の和が（Ｎ−１）＋
   （Ｍ−１）のグループ に対応する加算器の残留数が入力
   され、位数の和が２から（Ｎ−１）＋（Ｍ−１）までの
   グループに対応する加算器の残留数の入力には自加算器
   の次に位数の和の小さいグループに対応する加算器から
   出力された残留数が入力されるように、前記第１の配分
   器，前記複数の加算器および前記第２の配分器が１列に
   接続されており、前記第１の配分器から出力される尻数
   を前記積ＱのＬ ⁰ の位の値、位数の和が１から（Ｎ−
   １）＋（Ｍ−１）となるグループに１対１に対応する前
   記複数の加算器から出力される尻数を前記積ＱのＬ ¹ か
   らＬ ^(N-1)+(M-1) の位の値、前記第２の配分器から出力
   される尻数を前記ＱのＬ ^{(N-1)+(M-1)+1} の値として出
   力する演算手段とを備えることを特徴とする乗算装置。
4. 【請求項４】 前記Ｌ進数が１０進数である場合、前記
   位数積算出手段は、１から９までの数値を、 １→０ ２→１ ３→６９ ４→２ ５→２４ ６→７０ ７→９ ８→３ ９→３８ のように変換する第１の変換表と、 １から１００までの数値を、 １→２ ２→４ ３→８ ４→１６ ５→３２ ６→６４ ７→２７ ８→５４ ９→７ １０→１４ １１→２８ １２→５６ １３→１１ １４→２２ １５→４４ １６→８８ １７→７５ １８→４９ １９→９８ ２０→９５ ２１→８９ ２２→７７ ２３→５３ ２４→５ ２５→１０ ２６→２０ ２７→４０ ２８→８０ ２９→５９ ３０→１７ ３１→３４ ３２→６８ ３３→３５ ３４→７０ ３５→３９ ３６→７８ ３７→５５ ３８→９ ３９→１８ ４０→３６ ４１→７２ ４２→４３ ４３→８６ ４４→７１ ４５→４１ ４６→８２ ４７→６３ ４８→２５ ４９→５０ ５０→100 ５１→９９ ５２→９７ ５３→９３ ５４→８５ ５５→６９ ５６→３７ ５７→７４ ５８→４７ ５９→９４ ６０→８７ ６１→７３ ６２→４５ ６３→９０ ６４→７９ ６５→５７ ６６→１３ ６７→２６ ６８→５２ ６９→３ ７０→６ ７１→１２ ７２→２４ ７３→４８ ７４→９６ ７５→９１ ７６→８１ ７７→６１ ７８→２１ ７９→４２ ８０→８４ ８１→６７ ８２→３３ ８３→６６ ８４→３１ ８５→６２ ８６→２３ ８７→４６ ８８→９２ ８９→８３ ９０→６５ ９１→２９ ９２→５８ ９３→１５ ９４→３０ ９５→６０ ９６→１９ ９７→３８ ９８→７６ ９９→５１ 100→１ のように変換する第２の変換表と、 各グループの組中の或る２つの数値の乗算結果を求める
   際、該２つの数値の各々に対応する数値を前記第１の変
   換表から得て、該得られた２つの数値を足し合わせた数
   値の下２桁に対応する数値を前記第２の変換表から得
   て、該得られた数値を前記２つの数値の乗算結果とする
   手段とを有することを特徴とする請求項１，２または３
   記載の乗算装置。