JP2775432B2 - 誤り訂正／誤り検出／消失誤り訂正を同時に行うリード・ソロモン符号の復号装置 - Google Patents

Description

【発明の詳細な説明】 （産業上の利用分野） 本発明は誤り訂正／誤り検出／消失誤り訂正を行うリ
ード・ソロモン符号の復号装置に関するものである。 （従来の技術） 情報処理システムの高信頼度化の一手法として、情報
のエラーを訂正する、誤り訂正符号が実用されている。
BCH符号（リード・ソロモン符号を含む）は特に誤り訂
正能力が高く重要な符号であるり、種々の有効な復号法
がある。 BCH符号の復号は、例えば、宮川、岩垂、今井著「符
号理論」（昭晃堂）7.3章に示されている。BCH符号の復
号は次の４つの過程からなる。 （１）受信系列からのシンドロームの算出。 （２）誤り位置多項式の係数の算出および誤りビット数
の判定 ピーターソン、バーレンカンプ・マッシィ等の方法が
あるが、誤り訂正数が４以下なら、直接、式を算出して
おき、それにシンドロームを代入する。 （３）誤り位置多項式の解法 チェインの全ての元を方程式に代入する方法が一般手
であるが、誤り訂正数が４以下なら、直接、方程式を解
くのが効率がよい。 （４）誤りの大きさの算出（２元BCH符号については不
要）。 （５）誤り訂正の実行。 なお、以下で の記号は行列を表す。 さて、一般的復号法として、1972年にMITプレス社か
ら出版されたピーターソンおよびウェルドン共著の「エ
ラー訂正符号」第２版の第９章を要約する。 BCH符号の生成多項式は最小距離をｄとするとα^r,α
^r+1,・・・，α^r+d-2を根とする多項式であり、シンド
ロームは次式で与えられる。 ただし、ｒは任意の整数、αはGF（2^m）上の原子元で
ある。 ここで、ｔは実際に生じた誤りの数、Y_iは誤りの大き
さ、X_iは誤り位置数である。最大訂正能力をt₀（≧ｔ）
とすると、ｄ＝2t₀＋１である。２元BCH符号のときY_iは
０か１である。 また、誤り位置多項式の係数σ_ｉとシンドロームとの
関係は次式で与えられる。 S_jσ_ｔ＋S_j+1σ_t-1＋・・・＋S_j+t-1σ_１＋S_j+t＝０ （02） ここで、ｒ≦ｊ≦ｒ＋2t₀−１−ｔである。 式（02）を解いてσ_ｉ（１≦ｉ≦ｔ）を求める。つい
で、誤り位置多項式 X^t＋σ₁X^t-1＋・・・＋σ_ｔ＝０ （03） を解き、誤り位置数を求めることによって復号する。 さて、誤りビット数の判定のために次式を用いる。 ｆ重誤りのときはM_f≠０であり、ｆ−１重以下の誤り
のときはM_f＝０となる。なお、２元BCH符号のときは次
式となる。 ｆまたはｆ−１重誤りのときはM_f≠０、ｆ−２重以下
の誤りのときはM_f＝０である。 したがって、ｆをt₀から減少しながら、最初のM_f≠０
のときのｆが実際に生じている誤りの数ｔと判定する。 ところが上述したごとき従来のBCHあるいはリード・
ソロモン（RS）符号の復号法は、ｄ＝2t₀＋１のとき、
誤りを訂正することに主眼を置き、訂正能力いっぱいま
で訂正することが多い。そこで、誤訂正が発生するとい
う問題がある。 したがって、ある数の誤りまで訂正し、それ以上の誤
りは検出のみとする符号を構成する効率的な復号法を実
現することが望まれる。その復号法が特開昭60−7543号
公報（出願人は本願特許と同じ）に記載されている。 この発明は、シンドロームS_jの関係式（以下、判定式
と呼ぶ。）を用いて、誤りを訂正するか検出のみとする
かを判別することを特徴とした、BCH符号の誤り訂正お
よび検出を行う復号装置である。さて、誤りを訂正する
のに必要なシンドロームに、さらに、いくつか余分なシ
ンドロームを付加すると、誤り位置多項式の係数σ_ｉを
シンドロームの異なる式で表すことができることは符号
論理の考えるところである。しかし、この関係から誤り
数を判別するのは効率が良くない。したがって、誤りを
判別する判定式は、σ_ｉが等しいとした関係式から、さ
らに、簡単な式として導く。この判定式を用いることに
よって、効率の良いBCH符号の誤り訂正および検出を行
う復号装置が実現できる。 以下に、t₀重誤り訂正/t₀＋１、t₀＋２、・・、t₀＋
ｋ誤り検出BCH（またはリード・ソロモン）符号の判定
式の算出法を述べる。t₀個以内の誤りは訂正され、t₀＋
１、t₀＋２、・・、t₀＋ｋ個の誤りは検出のみを行う。
最小距離は次式で与えられる。 ｄ＝2t₀＋ｋ＋１ （06） 式（01）、（06）より、S_j（ｒ≦ｊ≦ｒ＋2t₀＋ｋ−
１）を復号に用いることになる。そして、訂正のみを行
うときはｄ＝2t₀＋１であるから、s_j′（ｒ≦ｊ′≦ｒ
＋2t₀−１）を用いる。 さて、（02）式において、ｒ≦ｊ≦ｒ＋t₀−１、とし
たt₀個の連立方程式よりσ_ｉ（１≦ｉ≦t₀）が決まり誤
り位置多項式が求まる。さらに続く、ｒ＋t₀≦ｉ≦ｒ＋
t₀＋ｋ−１、に対しても（02）式が成立する。そこで、
t₀＋ｋ個の連立方程式のうちの適当なt₀個の方程式よ
り、それぞれのσ_ｉを求め、それらを等しいとおいた式
をもとに、誤りを訂正するか、検出するかを判別寸る、
判定式（Ｚで表わす）を求めることができる。 なお、ｋ個のシンドロームを付加することによってt₀
重誤り訂正符号にさらにt₀＋１、t₀＋２、・・、t₀＋ｋ
個の誤り検出能力を付加することになる。 さて、、２元BCH符号の場合はS_2k＝S_k ²が成立するの
で、生成多項式の根の指数の最大およびシンドロームの
添字の最大値は偶数と考えられる（実際に用いるのは奇
数までであるが）。したがって、ｄが奇数のときはｒ＝
１とし、ｄが偶数のときはｒ＝０とするの効率が良い。
リード・ソロモン符号のときはｒ＝０とする。もちろ
ん、ｒの値は、任意の整数であれば良い。 以下に、判定式の具体的算出例を述べる。一列として
次の符号を考える。 （１ビット誤り訂正2,3,4ビット誤り検出BCH符号） このとき、t₀＝1,d＝6,r＝０、ｋ＝３である。 したがって（02）式は次式となる。 （07）式よりσ_１＝S₁/S₀＝S₁ ²/S₁＝S₃/S₁ ²＝S₁ ⁴/
S₃、ただし、S₀≠０、S₁≠０、S₂≠０、S₃≠０となる。
この式をそのまま判定式とするのは効率が悪い。特にガ
ロア体を用いる符号理論において、除算は複雑になり、
除算を用いないことが望ましい。したがって、これを簡
単化して、判定式Ｚは次式となる。 Ｚ＝（S₁ ³＋S₃＝０） AND （S₀S₁ ³＋S₃＝０） （08） S₀＝S₁＝S₃＝０のときは誤りなしとする。Ｚ＝真のと
きは１ビット誤りと判定し、Ｚ＝偽のときは2,3,4ビッ
ト（またはそれ以上）の誤りが発生したとする。2,3,4
ビットの誤りは100％検出する。 ここで、判定式の証明をする。単一誤りにときは、S₀
＝１、シンドロームの定義からS₁ ³＝S₃である。よっ
て、Ｚは真。２、３ビット誤りのときは、（05）式にお
いて、ｆ＝３としたM_f＝S₁ ³＋S₃≠０より、Ｓは偽、次
に、４ビット誤りのときは、S₀＝０。したがって、Ｚが
真とすると、S₁＝S₃＝０でなければならない。しかし、
誤り位置数をα^ｒ＋α^ｓ＋α^ｔ＋α^ｕとすると、S₁＝α
^r,α^s,α^t,α^ｕ＝０。したがって、S₃＝α^3r＋α^3s＋α
^3t＋（α^ｒ＋α^ｓ＋α^ｔ）^３＝（α^ｒ＋α^ｓ）・（α^ｔ
＋α^ｒ）・（α^ｓ＋α^ｔ）≠０。よって、Ｚは偽（証明
終わり）。 この引用例の全ての判定式は上記方法で求めることが
できるが、（04）、（05）式を用いて算出できるものも
あるので、以下に、整理して述べる。 つぎに、以下の符号は（５）式を用いて次のようにな
る。 （２重誤り訂正3,4ビット誤り検出BCH符号） t₀＝２、ｄ＝７、ｒ＝１、ｋ＝２。 Ｚ＝S₁ ⁶＋S₃ ²＋S₁ ³S₃＋S₁S₅（＝M₄）。 （09） （３重誤り訂正4,5ビット誤り検出BCH符号） t₀＝３、ｄ＝９、ｒ＝１、ｋ＝２。 Ｚ＝S₁ ³（S₁ ⁷＋S₇）＋S₃（S₁ ⁷＋S₁S₃ ²＋S₇）＋S₅（S₁ ⁵＋S₁ ²S₃＋S₅）（＝
M₅）。 （010） なお、厳密に言うと（05）式は本発明に適用できない
ことになる。 すなわち、いま、一例として、ｆ＝３すなわち、M₃の
意味を考えてみる。２元BCH符号のシンドロームと誤り
位置多項式の係数との関係から、 が成立する。（011）式が解を持ち、３重誤りとなるた
めに、 となる。このM₃が１重誤り訂正2,3ビット誤り検出BCH符
号の判定式になるが、今の場合、S₅が定義されていない
ので意味が不明である。しかし、引用例の発明に有効で
あることは、（08）式と同様に証明できる。 さらに、次の符号の判定式は（05）式を用いて次のよ
うになる。 （1,2,3ビット誤り訂正４ビット誤り検出BCH符号） ｔ＝３、ｄ＝８、ｒ＝０、ｋ＝１。 Ｚ＝（S₀＋１）（（S₁ ³＋S₃）^２＋S₁（S₁ ²S₃＋S₅）） （013） この式は、1,2ビット誤り訂正3,4ビット誤り検出の判
定式、（09）式にS₀＋１をかけて、３ビット誤りのとき
Ｚ＝０としている。 なお、次の符号の判定式は（04）式を用いて次のよう
になる。 （1,2ディジット誤り訂正３ディジット誤り検出リード
・ソロモン符号） ｔ＝２、ｄ＝６、ｒ＝０、ｋ＝１。 Ｚ＝S₀S₂S₄＋S₁ ²S₄＋S₀S₃ ²＋S₂ ³ （014） この式は、（04）式において、ｆ＝３とおいて求めら
れる。 なお、（04）式も厳密に言うと本発明には適用できな
い。例えば、（014）式を考察するために、ｊ＝０、ｔ
＝３、ｆ＝３とすると、（02）式は、 となる。これが、解を持つための条件として、（04）式
は となり、（014）式と同一となるが、本発明の場合、S₅
が定義されないから、（016）式の意味は不明である。
しかし、（014）式で、Ｚ≠０のとき、３重誤りである
ことは直接に証明できる。 同様の方法により種々の誤り訂正および検出符号の復
号における誤り数の判定式が求められるが、ここに示し
たもの以外の例は省略する。 なお、本引用例は分割・審判によって特許査定されて
いる。特に、（04）、（05）式のM_fをこの発明に用いる
ことの新規性が認められている。 さて、２重化符号、２次元符号等では、消失誤りの訂
正が必要になる。すなわち、C2符号の復号の際に、C1符
号の復号情報から誤り位置の情報が渡される。これが消
失誤りであって、誤り位置が分かっているが、その誤り
の大きさ（数値）は不明である。次に、通常誤りと消失
誤りを訂正する復号法を二例説明する。 まず、特願昭61−142394号（特開昭62−299117号）公
報の方法を述べる。なお、この方法は、G.David Forne
y,JR.,“On Decodind BCH Codes",IEEE TRANSACTIQNS O
N INFORMATION THEORY,vol.IT−11,No.4,pp.549−557.O
ctober,1965.とほぼ同様である。後者を以後、フォーニ
ィの方法と呼ぶ。 通常誤りの数をｔ、消失誤り数をｗ（その位置:y₁,
y₂,…y_w）とすると、最小距離ｄは、 ｄ≧2t＋ｗ＋１ （017） シンドロームはS₀,S₁,…S_d-2である。消失位置多項式は
次式となる。 σ_ｕ（ｚ）＝（ｚ−y₁）（ｚ−y₂）・・（ｚ−y_w） ＝z_w＋Ａ_w,1z^w-1＋…＋Ａ_ｗ、ｗ （018） とすると、ｄ−１−ｗ個の修正シンドロームT_iは、 で求まる。 次にT_iをシンドロームとしてｔ≦［（ｄ−１−ｗ）/
2］（［Ａ］はＡを越えない最大の整数）を満たすｔ個
の通常誤りの位置（x₁,x₂,…x_t）と、その仮りの誤りの
大きさ（e₁′,e₂′，…e_t′）とを通常のリード・ソロ
モン符号の復号法によって求め、さらに、 と変換して真の通常誤りの大きさe_iを求める。 次にシンドロームS_iを、 と変換し、S_i′をシンドロームとしてｗ個の消失誤りの
大きさd_iを求めることができる。 次に、特開昭62−122332号公報のユークリッドの整除
法による消失と誤り訂正する復号法を述べる。通常誤り
の数をｔ、消失誤り数をｗ（その位置:y₁,y₂,…y_w）と
すると、最小距離ｄは、 ｄ≧2t＋ｗ＋１。 まず、シンドロームS₀,S₁,…,S_d-2を算出する。 次に、消失誤りの位置、y₁,₂,…y_wより、消失位置多
項式σ_ｕ（ｚ）の算出。 σ_ｕ（ｚ）＝（１−y₁）（１−₂Z）…（１−y_wZ） ＝σ_u0＋σ_u1Z＋σ_u2Z²＋…＋σ_uwZ （022） ただし、σ_u0＝１。 次に、修正シンドロームＨ（Ｚ）の算出。 σ_ｕ（ｚ）・Ｓ（ｚ）＝Ｈ（ｚ）mod z^d-1 （023） ただし、Ｓ（ｚ）＝S₀＋S₁z＋…＋S_d-2z^d-2 Ｈ（ｚ）＝H₀＋H₁z＋…＋H_d-2z^d-2 （024） なお、前記修正シンドロームt_iとこの修正シンドロー
ムＨ（Ｚ）の係数との間には次の関係がある。 （T_d-2-n、・・、T₁、T₀）＝（H_d-2、・・、H_n+1、H_n） （025） 次に、ユークリッドの整除法による誤り−消失数値多
孔質ｎ（ｚ）、誤り位置多項式σ_ｅ（ｚ）の算出を算出
する。即ち、次式をユークリッドの整除法を用いて解い
て、ｎ（ｚ），σ_ｅ（ｚ）を求める。 σ_ｅ（ｚ）・Ｈ（ｚ）＝ｎ（ｚ）mod Z^d-1 （026） ただし、σ_ｅ（ｚ）の次数はｔ以下、ｎ（ｚ）の次数
はｔ＋ｗ−１以下。 次に、通常誤り位置の算出、即ち、Chienの方法等に
より、σ_ｅ（ｚ）＝０の根、即ち、通常誤りの位置
（x₁,x₂,…x_t)を算出する。 最後に、通常誤りおよび消失誤りの大きさ（数値）を
算出し、誤りを訂正する。 β_ｉ＝ｎ（α_i ^-1）／σ′（α_i ^-1）、 （027） ただし、α_ｉ∈x_i,y_i、β_ｉ∈e_i、d_i、 σ（ｚ）＝σ_ｅ（ｚ）・σ_ｕ（ｚ）、σ′（ｚ）はσ（ｚ）の形式微分。
（028） （発明が解決しようとする問題点） 従来の通常誤りと、消失誤りを訂正する復号法におい
ては、誤訂正が生じ易い。また、例えば、特願昭61−14
2394号公報において、最小距離ｄ＝７の符号を用い
て、、消失誤り数３の時、単一誤りが訂正される。この
時、ｄ＝２×１＋３＋１＝６で良い、すなわち、シンド
ロームが一つ利用されていない。したがって、シンドロ
ームを全て使用し、誤訂正を少なくする効率的な復号
法、復号器が必要である。なお、通常誤り、消失誤りを
訂正した後、未使用のシンドロームの正当性を検査し、
正当でないとき誤りの検出に止める方法もあるが、不要
な復号を行うので効率が良くない。 （問題点を解決するための手段） 誤り訂正および検出および消失誤り検出を行うリード
・ソロモン符号の復号装置は、符号長ｎ、最小距離ｄ＝
2t＋ｋ＋ｗ＋１のｔ重誤り訂正/t＋１、ｔ＋２、・・、
ｔ＋ｋ誤り検出/w重消失誤り訂正リード・ソロモン符号
を採用した情報伝送システムにおけるエラー訂正処理装
置において、下記の（１）ないし（８）の手段を含むこ
とを特徴とする。 （１）符号長ｎ、最小距離ｄ＝2t＋ｋ＋ｗ＋１の符号語
に誤りを付加された受信語を保持する手段。 （２）前記受信語からシンドロームS_j（ｒ≦ｊ≦ｒ＋ｄ
−２）を算出する手段。 ただし、ｒは任意の整数。 （３）前記シンドロームが全て零のとき、誤り無しと判
定する手段。 （４）消失誤りの位置、y₁,y₂,…y_wから消失位置多項式
の係数を算出する手段。 （５）前記シンドロームと前記消失位置多項式の係数か
らｄ−１−ｗ個の修正シンドロームT_iを算出する手段。 （６）前記修正シンドロームT_iが全て零のとき、通常誤
り無しと判定し、そうでないとき、前記修正シンドロー
ムT_iを全て用いた関係式からなる判定式Ｚにより、受信
語における誤りの数を、前記判定式Ｚが零（真）のとき
ｔ重以下と判定し、また、前記判定式Ｚが非零（偽）の
とき、ｔ＋１個以上（ｔ＋１、ｔ＋２、・・、ｔ＋ｋ
個）の誤りと判定して、それぞれの判定信号を送出する
誤り判別手段。 （７）通常誤り無しと判定したときは、ｗ個の消失誤り
の大きさを算出し、ｔ個以下の誤りがあると判定したと
き、あるいは、上記（６）項と並列に、ｔ個以下の通常
誤りの位置およびその誤りの大きさ、そして、ｗ個の消
失誤りの大きを算出する、ｔ重誤りおよびｗ重消失誤り
訂正手段。 （８）通常誤り無しの前記判定信号を受け取ったとき
は、前記受信語の前記消失誤りの訂正を実行し、通常誤
りの数がｔ重以下の前記判定信号を受け取ったときは、
前記受信語の通常誤りと消失誤りの訂正を実行し、ｔ＋
１個以上の誤りの前記判定信号を受け取ったときは誤り
の検出に止める、誤り訂正実行／検出手段。 （作用） 本願発明における、ｔ重誤り訂正/t＋１、ｔ＋２、・
・、ｔ＋ｋ誤り検出/w失誤り訂正リード・ソロモン符号
の復号法、復号器は、具体例をあげれば、単一誤り訂正
/2誤り検出/3重消失誤り訂正リード・ソロモン符号の復
号法においては、シンドロームが全て零のとき、誤り無
しと判定し、そうでないとき、３重消失誤りの影響を除
いた修正シンドロームを用いて通常誤りの数を判定し、
通常誤りが無いときは３個の消失誤りを訂正し、通常誤
りが単一誤りと判定された時、単一誤りを訂正し、さら
に、３個の消失誤りを訂正する。もし、通常誤りが２重
誤りと判定された時は、情報に信頼性がないとして誤り
検出に止め、通常誤り、消失誤りとも訂正を行わない。
この方法によって、誤訂正が減少する。また、通常誤り
が２重誤りであれば、誤り検出に止め、不要な復号処理
を行わないので効率が良い。なお、全てのシンドローム
が復号処理に用いられる。 （実施例） 誤りには、誤りの位置と大きさ共に分からない通常誤
りと、誤りの位置が分かっているが誤りの大きさの分か
らない消失誤りの２つが考えられる。 現在、２重化リード・ソロモン符号を用いるとき、C₁
符号の情報をC₂符号に渡し、C₂符号では、誤り位置が分
かっている消失誤りと通常の誤りを合わせて訂正するこ
とが多い。そうした場合、誤り訂正能力一杯に訂正を行
うと誤訂正が生じ信頼度が低下するので、誤訂正を防ぐ
ために種々の工夫がなされる。例えば、３重誤り訂正が
可能な場合に、３次の誤り位置多項式の定数項が非零で
あるとき誤りを検出に止めるようにすれば、３、４誤り
を検出することができる。しかし、この方法では100
％、３、４誤りを検出することができない。３誤りのみ
を検出することも不可能である。そこで、これらの欠点
を克服した効率の良い誤り訂正、誤り検出及び消失誤り
を同時に行う新しい復号方式が必要である。 したがって、本願発明において、ｔ重誤り訂正/t＋
１、ｔ＋２、・・、ｔ＋ｋ誤り検出/w消失誤り訂正リー
ド・ソロモン符号の復号法、復号器を呈示している。具
体例をあげれば、単一誤り訂正/2誤り検出/3重消失誤り
訂正リード・ソロモン符号の復号法においては、３重消
失誤りの影響を除いたとき、通常誤りが、単一誤りであ
れば訂正し、２重誤りであれば、情報に信頼性がないと
して、通常誤り、消失誤りとも訂正を行わない。この方
法によって、誤訂正が減少する。また、通常誤りが２重
誤りであれば検出に止め、不要な復号処理を行わないの
で効率が良い。 さて、リード・ソロモン符号は、次の生成多項式で定
義される。 まず、従来のフォーニィの復号法（特願昭61−142394
号による復号法とほぼ同様である）を概説する。復号の
ステップは、以下の様になる。 ステップ1:シンドロームの算出。シンドロームが全て零
のとき全ての誤り無し。 ステップ2:消失誤りの位置の対称関数を求める。 ステップ3:シンドロームと、消失誤り位置の対称関数を
用いて修正シンドロームを求める。 ステップ4:誤り位置多項式の係数の算出およびそれによ
る誤り数の判定。 ステップ5:誤り位置の算出。 ステップ6:シンドロームを修正しながら全ての誤りを消
失誤りとみなし、誤りの大きさを算出する。次に、新し
い復号方式で変わる点だけ述べる。 ステップ４′：修正シンドロームが全て零のとき、通常
誤りは無しと判定し、そうでないとき、修正シンドロー
ムの間の関係式よりなる判定式を用いて通常の誤り数が
ある値以下か、それ以上かを判別する。 ステップ５′：ある数以上の誤りのとき誤り検出のみと
する。通常の誤り数がある数以下のとき「通常の誤り」
の位置と大きさを一括して求める。 ステップ６′：消失誤りの大きさを全て、フォーニィの
方法より簡単な、同一の式で求める。このため、ハード
回路構成の際、並列化ができる。 さて、ステップ４′、５′は、次の原理に基づいてい
る。即ち、通常の誤りの数をｔ、誤りの大きさをe_j、誤
りの位置をx_jとし、消失誤りの位置を根とする多項式を
σ_ｄ（Ｚ）とすると修正シンドロームは次式となる。 ただし、E_j＝e_j（x_j）^m0σ_ｄ（x_j） （３） なお、σ_ｄ（ｚ）は特願昭61−142394号公報のσ
_ｕ（ｚ）と同じであり、σ_d1＝Ａ_W,1、σ_d2＝Ａ_w,2、σ
_d3＝Ａ_w,3、・・・σ_dw＝Ａ_w,wである。 従って、誤りの大きさE_j、誤りの位置x_jを通常の誤り
とみなし復号することができる。従って特開昭60−7543
号公報（出願人は本願特許と同じ）を適用し、修正シン
ドロームT_nを通常のシンドロームのように扱って、誤り
判定式を求めることができる。また、消失誤りが比較的
少ないときは、修正シンドロームより通常の復号法によ
ってE_jを求め、式（３）によって実際の誤りの大きさe_j
を求めるのが効率が良い。以下に具体例を２つ示す。m₀
を０とする。 （１）「単一、２重誤り訂正/3重誤り検出／単一消失誤
り訂正」リード・ソロモン符号の復号アルゴリズム この場合ｄ＝７であり、３重誤り訂正リード・ソロモ
ン符号と同じである。簡単に復号法を示す。 スッテプ1:シンドロームS_m（０≦ｍ≦５）の算出 ステップ2:消失誤り位置をy₁とすると、 σ_ｄ（ｚ）＝ｚ＋σ_d1,σ_d1＝y₁ （４） ステップ3:修正シンドローム T_n＝S_n+1＋y₁S_n,0≦ｎ≦４ （５） ステップ4:消失誤りを除いた場合の「単一、２重誤り訂
正/3重誤り検出」の判定式は次式となる。 E₁M₃＝T₀T₂T₄＋T₂ ³＋T₁ ²T₄＋T₀T₃ ² （６） E₁M₃が零のとき２重以下の誤り、非零のとき３重以上
の誤りと判別できる。３重誤り以下のとき、この判別能
力は100％である。 なお、ここで、Ｅの添え字は誤り検出のｋの値、Ｍの
添え字は（04）式のｆの値であって、M_fを用いたことを
示す。 ステップ5:2重誤り以下の訂正を行う。 Ａ＝T₀T₂＋T₁ ² （７） 式（７）が零のとき単一誤り、非零のとき２重誤りで
ある。 単一誤りのとき 誤り位置x₁＝T₁/T₀ （８） E₁＝T₀ 誤りの大きさ 二重誤りのとき （10）式よりx²＋σ₂₁x＋σ₂₂＝０の根を算出（ポルキ
ーンホンの方法によるのが効率でよい）して、誤りの位
置を求める。ついで、通常のリード・ソロモン符号の復
号法と同様にして、E₁、E₂を次式で求める。 したがって ステップ6:シンドロームの修正 S₅′＝S₅＋e₁′x₁ ⁵＋e₂′x₂ ⁵ （13） 消失誤りの大きさ 以上の「単一・二重誤り訂正/3重誤り検出／単一消失
誤り訂正」リード・ソロモン符号の復号アルゴリズムを
図１（１）に示す。図１（１）の「単一・二重誤り訂
正」の復号アルゴリズムの部分を図１（２）に示す。 （２） 「単一誤り訂正/2重誤り検出/3重消失 誤り訂
正」リード・ソロモン符号の復号アルゴリズム この符号もｄ＝７であり、前項と同様に復号され、復
号アルゴリズムは図３に示される。y_i（ｉ＝1,2,3）は
消失誤りの位置である。 「単一誤り訂正/2重誤り検出」の判定式は次式となる。 E₁M₂＝T₀T₂＋T₁ ² （15） すなわち、式（15）が零の時単一誤り、非零の時２重
誤り噸判別する。消失誤りの大きさはフォーニィより簡
単で、しかも同一の次式で算出する。（３） 「単一誤り訂正/2重誤り検出/2重消失 誤り訂
正リード・ソロモン符号の復号アルゴリズム この符号の最小距離はｄ＝６であり、単一・２重誤り
訂正/3重誤り検出符号と同じである。 （２）項の復号アルゴリズムを少し修正すれば、この
符号の復号アルゴリズムが得られ、図３となる。 消失誤りの大きさは、（２）項と同様フォーニィより
簡単で同一の次式で算出する。 なお、同様に種々の「誤り訂正／誤り検出／消失誤り
訂正」の復号アルゴリズムが導かれる。例えば、ステッ
プ４における「単一・２重誤り訂正/3・４誤り検出」の
判定式は次式となる。 E₂M₄が真の時２重以下の誤り、偽の時３・４誤りと判
別する。また、「単一誤り訂正/2・３誤り検出」の判定
式は、 E₂M₃が真の時単一誤り、偽の時２・３誤りと判別する。 なお、E₂M₃、E₂M₄の時、ｔ重誤り訂正/t＋１、ｔ＋２
ディジット誤り検出RS符号の判定式は、まず、（04）式
を次のように変形する。 M_f＝S_2f-2・M_f-1＋N_f、 そして、Ｚ＝｛（M_f-1＝０） AND （N_f＝０）｝ とすると判定式はＺとなる。即ち、Ｚは、Ｆまたはｆ−
１個の誤りのときは偽であり、ｆ−２個以下の誤りの時
は真である。 以上のアルゴリズムはソフトウェア（マイクロプログ
ラミングを含む）で容易に実行される。現在、良く用い
られる方法は、LSI化ガロア体演算専用プロセッサを用
いてマイクロプログラミングによって、実行する方法で
ある。ガロア体の演算は指数表現またはベクトル表現に
よって行われ、その実現方法は既に知られている。 次に以上のアルゴリズムをハードウェア（フルカスタ
ムLSIを含む）で実現する場合の復号器の原理図を示
す。この場合もガロア体の演算は指数表現またはベクト
ル表現によって行われ、その実現方法は既に知られてい
る。したがって、以下に示す復号器の原理図は容易にハ
ードウェアで実現できる。 第４図は「単一・二重誤り訂正/3重誤り検出／単一消
失誤り訂正」および「単一・二重誤り訂正/3重誤り検
出」および「単一・二重誤り訂正/3重・４重誤り検出」
の多機能リード・ソロモン符号の復号器の原理図であ
る。つぎに、三つの機能を説明する。 （イ）「単一・二重誤り訂正/3重誤り検出／単一消失誤
り訂正」の復号動作について説明する。まず、 シンドロームS₀〜S₅と消失誤り位置y₁から修正シンド
ローム部１でT₀〜T₄を算出する。この場合SW Aのシンド
ローム切り替え部２ではT₀〜T₄を出力する。これを用い
て「単一・二重誤り訂正」リード・ソロモン符号の復号
器３（この復号器は既に知られている）で単一および２
重誤りを訂正し、誤り位置x₁、x₂とE₁、E₂を出力する。
なお、T₀＝T₁＝T₂＝T₃＝T₄のときx₁＝x₂＝E₁＝E₂＝零元
とし、Ａ＝T₀T₂＋T₁ ²＝０のとき単一誤りなのでx₂＝E₂
＝零元とする。 つぎに、誤りの大きさ算出部４でE₁、E₂から誤りの大
きさe₁′、e₂′を求める。SW C12は下側である。そし
て、消失誤りの大きさ算出部５で消失誤りの大きさd₁を
求める。 さらに、T₀〜T₄を用いて「単一・二重誤り訂正/3重誤
り検出」判定部６では、式（６）のE₁M₃＝０が成立する
と１を出力し、インバータ回路８で反転し、OR回路10に
０を送る。したがって、誤り検出信号も０である。も
し、E₁M₃≠０ならば、誤り検出信号は１となり、上記復
号出力を無効とし誤り検出にとどめる。 （ロ）消失を考えないで、通常の「単一・二重誤り訂正
/3重誤り検出」の復号を行う場合は、SW Aシンドローム
切り替え部の出力をS₀〜S₄とする。これを用いて「単一
・二重誤り訂正」リード・ソロモン符号の復号器３で単
一および２重誤りを訂正し、誤り位置x₁、x₂とE₁、E₂を
出力する。SW C 12を上側とし、E₁、E₂をそのまま出力
する。 さらに、S₀〜S₄を用いて「単一・二重誤り訂正/3重誤
り検出」判定部６で、（イ）項と同様に誤りの判定を行
う。 （ハ）「単一・二重誤り訂正/3重・４重誤り検出」の復
号を行う場合の動作は（ロ）項と同様である。 ただし、「単一・二重誤り訂正/3重・４重誤り検出」
判定のための付加部において、式（17）の下半分 E₂M₄′＝T₃ ²（T₂T₄＋T₃ ²）＋T₄ ²（T₀T₄＋T₂ ²） ＋T₅ ²（T₀T₂＋T₁ ²）＝０ （19） の判定を行い、等式が成立すれば１を出力する。 SW B11は上側とし、OR回路10の出力が１となった時
は、式（17）のE₂M₄が偽となっているから３・４重誤り
として、誤り検出にとどめる。 第５図（１）、（２）は「単一誤り訂正２重誤り検出
３重消失誤り訂正」リード・ソロモン符号の復号器の原
理図である。まず、対称関数算出部１でσ_d1、σ_d2、σ
_d3を求め、これとシンドロームS₀〜S₅から修正シンドロ
ーム算出部２でT₀,T₁,T₂を求める。T₀,T₁,T₂とσ_d1、σ
_d2、σ_d3によって、単一誤り訂正リード・ソロモン符号
の復号器３は単一誤りを訂正し、誤りの位置x₁、誤りの
大きさe₁′を求める。ただし、T₀＝T₁＝T₂＝０のとき、
x₁＝e₁′＝零元とする。ついで、シンドロームの修正部
６でS₀′,S₁′,S₂′を求め、これらを用いて消失誤りの
大きさ算出部７でd₁、d₂、d₃を算出する。なお、「単一
誤り訂正/2重誤り検出」判定部４では、式（15）のE₁M₂
＝０となるとき１を出力し、等式が成立しないとき０を
出力するようにする。インバータ回路５の出力が１とな
ったときは、２重誤りがあったと判定し、誤り検出にと
どめる。 第６図は「単一誤り訂正/2重誤り検出/2重消失誤り訂
正」リード・ソロモン符号の復号器の原理図である。動
作は第５図と同様である。 まず、対称関数算出部１でσ_d1、σ_d2を求め、これと
シンドロームS₀〜S₄から修正シンドローム算出部２で
T₀,T₁,T₂を求める。T₀,T₁,T₂とσ_d1、σ_d2によって、単
一誤り訂正リード・ソロモン符号の復号器３は単一誤り
を訂正し、誤りの位置x₁、誤りの大きさe₁′を求める。
ただし、T₀＝T₁＝T₂＝０のとき、x₁＝e₁′＝零元とす
る。ついで、シンドロームの修正部６でS₀′,S₁′を求
め、これらを用いて消失誤りの大きさ算出部７でd₁、d₂
を算出する。なお、「単一誤り訂正/2重誤り検出」判定
部４では、式（15）のE₁M₂＝０となるとき１を出力し、
等式が成立しないとき０を出力するようにする。インバ
ータ回路５の出力が１となったときは、２重誤りがあっ
たと判定し、誤り検出にとどめる。 次に、以上述べた復号法および復号器の応用例を示
す。 現在、DAT（ディジタル・オーディオ・テープ）に
は、２重誤り訂リード・ソロモン符号と３重誤り訂リー
ド・ソロモン符号の２重化符号が用いられている。した
がって、３重誤り訂リード・ソロモン符号（ｄ＝７）の
復号を行う際、誤訂正を除くために、本発明の （１）「単一、２重誤り訂正/3重誤り検出／単一消失誤
り訂正」リード・ソロモン符号の復号アルゴリズム （２）「単一誤り訂正/2重誤り検出/3重消失 誤り訂正
リード・ソロモン符号の復号アルゴリズム および 第４図：「単一・二重誤り訂正/3重誤り検出／単一消失
誤り訂正」および「単一・二重誤り訂正/3重誤り検出」
および「単一・二重誤り訂正/3重・４重誤り検出」の多
機能リード・ソロモン符号の復号器 第５図：「単一誤り訂正/2重誤り検出/3重消失誤り訂
正」リード・ソロモン符号の復号器を適用できる。 CD（コンパクト・ディスク）を含めて、２重誤り訂正
リード・ソロモン符号に対しては、「単一誤り訂正/2重
誤り検出／単一消失誤り訂正」リード・ソロモン符号の
復号が可能であるが、この復号は本発明の図３、図６を
少し修正するだけで良いので、説明は省略する。 さて、次に本発明の復号が特に有効である２重化符号
および、その復号法を２例提示する。 （１）「単一・二重誤り訂正/3重誤り検出」リード・ソ
ロモン符号（ｄ＝６）と３重誤り訂正リード・ソロモン
符号（ｄ＝７）の２重化符号 この符号を図７に示す。まず、C₁即ち「単一・二重誤
り訂正/3重誤り検出」リード・ソロモン符号の復号を行
い、３重誤り以上の誤りを検出してフラグを立てる。つ
ぎに、C₂即ち３重誤り訂正リード・ソロモン符号を「単
一・二重誤り訂正/3重・４重誤り検出」リード・ソロモ
ン符号として復号し、２重以下の誤りを訂正し３・４重
誤りを検出しフラグをたてる。する。これをC₁、C₂交互
に１回以上繰り返し行う。（２回目以降はフラグの立っ
ているものだけ復号する方法もある。）フラグは減少し
て行く。 ソフトウェア（マイクロプログラミングを含む）で行
うと、現在、DATでは１回程度であるが、本発明の第４
図の復号器を使用すれば何回も繰り返すことが可能であ
る。 そして、最後のC2の復号の後さらに、C₂に対して「単
一・二重誤り訂正/3重誤り検出／単一消失誤り訂正」リ
ード・ソロモン符号の復号を行う。つまり、フラグの一
つを消失誤りとして扱う。消失誤りだけのとき３消失誤
りまで訂正可能である。 以上の復号を高速に行うには、第４図の復号器の３つ
の機能を切り替えて復号すれば良い。したがって、一つ
の復号器で復号可能である。 また、消失誤りが多ければ第２図の「単一誤り訂正/2
重誤り検出/3重消失誤り訂正」リード・ソロモン符号の
復号アルゴリズム、または、第５図の「単一誤り訂正/2
重誤り検出/3重消失誤り訂正」リード・ソロモン符号の
復号器を用いれば良い。このとき、消失誤りだけであれ
ば、４消失誤りまで訂正可能である。 以上の復号は全てソフトウェア（マイクロプログラミ
ングを含む）で行うことも勿論可能であるが、高速復号
器によって、C₁、C₂の復号の繰り返し回数を増加させる
程、誤り訂正能力が向上する。 （２）「単一・二重誤り訂正/3重誤り検出」 リード・ソロモン符号同士の２重化符号 この符号を図８に示す。C₁、C₂とも「単一・二重誤り
訂正/3重誤り検出」リード・ソロモン符号であり、ｄ＝
６である。この復号は、まず、C₁即ち「単一・二重誤り
訂正/3重誤り検出」リード・ソロモン符号の復号を行い
２重以下の誤りを訂正し、３重以上の誤りを検出しフラ
グを立てる。つぎに、C₂即ち「単一・二重誤り訂正/3重
誤り検出」リード・ソロモン符号の復号を行い２重以下
の誤りを訂正し、３重以上の誤りを検出しフラグを立て
る。この復号を１回以上繰り返す。これは、ソフトウェ
ア（マイクロプログラミングを含む）で行うことも高速
復号器によることも可能であり、その方法は既に知られ
ている（原理は第１図、第４図に示されている）。 最後に、第３図の「単一誤り訂正/3重誤り検出/2重消
失誤り訂正」リード・ソロモン符号の復号アルゴリズム
か第６図の「単一誤り訂正/2重誤り検出/2重消失誤り訂
正」リード・ソロモン符号の復号器を用いて復号を行
う。 なお、本願発明の復号法には種々のバリエーションが
存在する。原理的には、フォーニィの方法、ユークリッ
ドの整除法等の方法を用いる復号法に適用できる。 （発明の効果） 本願発明における、ｔ重誤り訂正/t＋１、ｔ＋２、・
・、ｔ＋ｋ誤り検出/n消失誤り訂正リード・ソロモン符
号の復号法、復号器、具体例をあげれば、単一誤り訂正
/2誤り検出/3重消失誤り訂正リード・ソロモン符号の復
号法においては、３重消失誤りの影響を除いたとき、通
常誤りが、単一誤りと判定された時、通常の単一誤りを
訂正し、さらに、３個の消失誤りを訂正する。もし、２
重誤りと判定されれば、情報に信頼性がないとして、誤
り検出に止め、通常誤り、消失誤りとも訂正を行わな
い。 この方法によって、誤訂正が減少する。また、２重誤
りと判定された時、不要な復号処理を行なわないので効
率が良い。なお、全てのシンドロームが復号処理に用い
られる。 したがって、従来にない、通常誤りと、消失誤りが混
在する場合の効率的な復号法、復号器が構成される。

【図面の簡単な説明】 第１図（１），（２）は「単一・二重誤り訂正/3重誤り
検出／単一消失誤り訂正」リード・ソロモン符号の復号
アルゴリズム 第２図は「単一誤り訂正/2重誤り検出/3重消失誤り訂
正」リード・ソロモン符号の復号アルゴリズム 第３図は「単一誤り訂正/2重誤り検出/2重消失誤り訂
正」リード・ソロモン符号の復号アルゴリズム 第４図は「単一・二重誤り訂正/3重誤り検出／単一消失
誤り訂正」および「単一・二重誤り訂正/3重誤り検出」
および「単一・二重誤り訂正/3重・４重誤り検出」の多
機能リード・ソロモン符号の復号器の原理図 1:修正シンドローム算出部 2:シンドロームの切り替え部 3:単一・二重誤り訂正リード・ソロモン符号の復号器 4:誤りの大きさ算出部 5:消失誤りの大きさ算出部 6:「単一・二重誤り訂正/3重誤り検出」判定部 7:「単一・二重誤り訂正/3重・４重誤り検出」 判定のための付加部 ８、9:インバータ回路 10:OR回路 11、12:スイッチ 第５図（１）、（２）は「単一誤り訂正/2重誤り検出/2
重消失誤り訂正」リード・ソロモン符号の復号器の原理
図 1:対称関数算出部 2:修正シンドローム算出部 3:単一誤り訂正リード・ソロモン符号の復号器 4:「単一誤り訂正/2重誤り検出」判定部 5:インバータ回路 6:シンドロームの修正部 7:消失誤りの大きさ算出部 第６図は「単一誤り訂正/2重誤り検出/2重消失誤り訂
正」リード・ソロモン符号の復号器の原理図 1:対称関数算出部 2:修正シンドローム算出部 3:単一誤り訂正リード・ソロモン符号の復号器 4:「単一誤り訂正/2重誤り検出」判定部 5:インバータ回路 6:シンドロームの修正部 7:消失誤りの大きさ算出部 第７図は「単一・二重誤り訂正/3重誤り検出」リード・
ソロモン符号と３重誤り訂正リード・ソロモン符号の２
重化符号 第８図は「単一・二重誤り訂正/3重誤り検出」リード・
ソロモン符号同士の２重化符号

───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続き (56)参考文献 特開 昭62−122332（ＪＰ，Ａ) 特開 昭62−299117（ＪＰ，Ａ) 特開 昭60−7543（ＪＰ，Ａ) 特開 昭61−126825（ＪＰ，Ａ) 特開 昭61−126826（ＪＰ，Ａ) ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ．ｏｎ Ｃｏｍ ｐｕｔｅｒｓ，Ｖｏｌ．Ｃ−36，Ｎｏ. 10 （Ｏｃｔ．1987） Ｐ．1165−1171 Ｗ．Ｗ．Ｐｅｔｅｒｓｏｎ，Ｅ．Ｊ. Ｗｅｌｄｏｎ，Ｊｒ．，”Ｅｒｒｏｒ− Ｃｏｒｒｅｃｔｉｎｇ Ｃｏｄｅｓ” （1972） Ｐ．17−18，Ｐ．269−309 (58)調査した分野(Int.Cl.⁶，ＤＢ名) H03M 13/00 - 13/22

Claims (1)

1. (57)【特許請求の範囲】 １．符号長ｎ、最小距離ｄ＝2t＋ｋ＋ｗ＋１のｔ重誤り
   訂正/t＋１、ｔ＋２、・・、ｔ＋ｋ誤り検出/w重消失誤
   り訂正リード・ソロモン符号を採用した情報伝送システ
   ムにおけるエラー訂正処理装置において、下記の（１）
   ないし（８）の手段を含むことを特徴とする誤り訂正お
   よび検出および消失誤り訂正を行うリード・ソロモン符
   号の復号装置。 （１）符号長ｎ、最小距離ｄ＝2t＋ｋ＋ｗ＋１の符号語
   に誤りを付加された受信語を保持する手段。 （２）前記受信語からシンドロームS_j（ｒ≦ｊ≦ｒ＋ｄ
   −２）を算出する手段。 ただし、ｒは任意の整数。 （３）前記シンドロームが全て零のとき、誤り無しと判
   定する手段。 （４）消失誤りの位置、y₁,y₂,…y_wから消失位置多項式
   の係数を算出する手段。 （５）前記シンドロームと前記消失位置多項式の係数か
   らｄ−１−ｗ個の修正シンドロームT_iを算出する手段。 （６）前記修正シンドロームT_iが全て零のとき、通常誤
   り無しと判定し、そうでないとき、前記修正シンドロー
   ムT_iを全て用いた関係式からなる判定式Ｚにより、受信
   語における誤りの数を、前記判定式Ｚが零（真）のとき
   ｔ重以下と判定し、また、前記判定式Ｚが非零（偽）の
   とき、ｔ＋１個以上（ｔ＋１、ｔ＋２、・・、ｔ＋ｋ
   個）の誤りと判定して、それぞれの判定信号を送出する
   誤り判別手段。 （７）通常誤り無しと判定したときは、ｗ個の消失誤り
   の大きを算出し、ｔ個以下の誤りがあると判定したと
   き、あるいは、上記（６）項と並列に、ｔ個以下の通常
   誤りの位置およびその誤りの大きさ、そして、ｗ個の消
   失誤りの大きを算出する、ｔ重誤りおよびｗ重消失誤り
   訂正手段。 （８）通常誤り無しの前記判定信号を受け取ったとき
   は、前記受信語の前記消失誤りの訂正を実行し、通常誤
   りの数がｔ重以下の前記判定信号を受け取ったときは、
   前記受信語の通常誤りと消失誤りの訂正を実行し、ｔ＋
   １個以上の誤りの前記判定信号を受け取ったときは誤り
   の検出に止める、誤り訂正実行／検出手段。 ２．単一・２重誤り訂正/3重誤り検出/w重消失誤り訂正
   を行うリード・ソロモン符号として、最小距離ｄ＝２×
   ２＋１＋ｗ＋１＝６＋ｗの符号を用いる時、判定式Ｚ＝
   T₀T₂T₄＋T₂ ³＋T₁ ²T₄＋T₀T₃ ²が零のときは通常誤りが２
   重以下と判定し、非零のときは通常誤りが３個以上と判
   定することを特徴とする請求項１記載の誤り訂正および
   検出および消失誤り訂正を行うリード・ソロモン符号の
   復号装置。 ３．単一誤り訂正/2重誤り検出/w重消失誤り訂正を行う
   リード・ソロモン符号として、最小距離ｄ＝２×１＋１
   ＋ｗ＋１＝４＋ｗの符号を用いる時、判定式Ｚ＝T₀T₂＋
   T₁ ²が零のときは通常誤りが単一と判定し、、非零のと
   きは通常誤りが２個以上と判定することを特徴とする請
   求項１記載の誤り訂正および検出および消失誤り訂正を
   行うリード・ソロモン符号の復号装置。