JP2024508560A - 形状パラメータの反復変動による構造の物理的及び／又は幾何学的特性の最適化 - Google Patents

形状パラメータの反復変動による構造の物理的及び／又は幾何学的特性の最適化 Download PDF

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Abstract

本方法は、Ｓ個の空間によって分離され、各々が材料の少なくとも１つの層を含むＰ個のサブ構造を含む構造を、当該構造が選択された電磁励起に対して選択された応答を有するように最適化する。この方法は、空間及びサブ構造の第１の設計変数の第１のシーケンス変動及び第２の設計変数の第２のシーケンス変動に対する選択された応答の感度を表す性能指数を計算し、次いで、性能指数の勾配を計算し、その後、性能指数を改善するために、当該勾配に応じて、第１及び第２のシーケンスのうちの少なくとも１つの第１又は第２の設計変数を修正し、性能指数が設定された目標を表しておらず、かつ／又は選択された値よりも低い限り、最適化ステップを繰り返すことを含む最適化ステップ（１１０～２３０）を含み、第１のシーケンスのＰ＋Ｓ個の第１の設計変数及び第２のシーケンスのＰ＋Ｓ個の第２の設計変数が、三次元空間の３つの異なる方向のうちの１つにおいて画定される、サブ構造（３ｐ）又はサブ構造（３ｐ）間の空間（４ｓ）の幅である。【選択図】図４

Description

本発明は、空間によって互いに分離されたサブ構造を含む構造の物理的及び／又は幾何学的特性の最適化に関する。
例えば、光学、フォトニクス、及びプラズモニクスなどの特定の技術分野では、Ｓ個の空間によって互いに分離され、各々が材料の少なくとも１つの層を含むＰ個のサブ構造（Ｐ≧２及びＳ≧１である）を含む構造が使用される。これらの構造は、各々、少なくとも１つの電磁源によって選択された電磁励起に対して選択された応答を有するように意図されている。例えば、そのような構造は、所定の偏向角で光を回折するように帯電された小型回折格子（若しくはメタ格子）、又は入射平面波を集束点に向かって集束させるための小型レンズ（若しくはメタレンズ）であってもよい。
特定の応答を提供する構造を生成するために、逆設計の方法を実装することが提案されている。所与の解決策を考慮すると、このタイプの方法の目的は、特定の方法論に従うことによって、この解決策に関連する問題、好ましくは単一の問題を見つけることからなる。
逆設計を伴う最適化方法の中で、いわゆる随伴ベース（adjoint-based）の方法又は技
法に基づく最適化方法が非常に効果的であることが証明されている。これらの方法は、２つのシミュレーションを実行することからなる：１つは直接法と呼ばれ、もう１つは随伴（又は相反）法と呼ばれる。
数学的観点から、このタイプの位相幾何学的最適化方法では、一般に設計パラメータと呼ばれる変数のシーケンスによってパラメータ化された一組の方程式を考慮し、この目的は、これらの設計パラメータ及びこれらの方程式の解に応じて、性能指数（電磁励起に対する構造の応答の効率を表す）と呼ばれる関数を計算することである。例えば、フォトニクスでは、空間の特定の方向に従って伝送される電磁パワーを最大化することが解又は目的として与えられてもよく（特定の境界条件を有するマクスウェルの方程式から得られる解）、考慮される波長未満の幅の選択された数のサブ構造を含み、この目的を達成することを可能にする構造を見つけることが可能である。また、反射又は透過において、パワーフローを所定の点に集中させることを可能にする構造を見つけることも可能である。
実際には、性能指数の知識は既に非常に有用であるが、性能指数の勾配ｇを知ることは更に有用であることが分かる。これは、この勾配が、最適化されている構造の応答が設計パラメータに対してどの程度敏感であるかを表すためである。したがって、この勾配は、性能指数を増加させ（又は改善し）、したがって、最小限のコストで設定された目標を達成するために研究が実行されるべき方向を示す。しかしながら、設計パラメータの数が非常に多いことが判明する場合があり、したがって、最適化プロセスによって、特に性能指数の勾配ｇの評価中に、必要とされる計算時間が過度に長くなる可能性がある。
「随伴ベース」の最適化方法は、計算時間に関して低コストで性能指数の勾配ｇを推定することを可能にする。これらの方法は、しばしば、反復法である下降勾配法又は上昇勾配法に結合される。したがって、最終的な結果は初期条件（開始点）に依存する。最近の研究は、開始点として設計変数の連続関数を使用する位相幾何学的随伴ベースの最適化方法の有効性を実証している。それらは、構造の電磁特性を記述する連続的な初期プロファ
イルと、このプロファイルをボクセルのシーケンスによってピクセルに変換することと、各反復で設計ドメインの各ボクセルにおける性能指数の勾配ｇを計算することと、からなる。勾配ｇは、性能指数を改善するために、各ボクセルでの設計パラメータの値を修正するために使用される。各反復中、連続プロファイルは、「ぼかし（blurring）」手順及び「二値化（binarization）」手順を適用することによって、離散（最終）プロファイルに向かって収束する。ぼかしは、プロファイルを徐々に平滑化するために低いフィルタを適用することからなり、一方、二値化手順は、最適化中に、連続プロファイルを不連続プロファイルに向かって徐々に押し進めることからなる。勾配ｇの計算は、２段階で実行される。
第１の段階（「フォワードシミュレーション」と呼ばれる）では、最適化されている構造は、特定の励起（例えば、偏光平面波又は双極子型の点源（point source）又はソース線（source line）であり得る）によって、一方向に照射される。これは、特定の励起の
存在下で、特定の幾何学的構成についてマクスウェルの方程式を解くことに相当する。
第２の段階（「随伴シミュレーション」と呼ばれる）では、マクスウェルの方程式が、以前と同じ幾何学的構成に対して解かれるが、透過で動作する構造については第１の段階で使用された励起の伝搬方向とは反対の伝搬方向に、又は反射で動作する構造については同じ方向に最適化されている構造を照明する励起の存在下で解かれる。例えば、電磁波によって伝達される電力を最適化することが望まれる方向又は地点（場所）から構造を背面照明することが可能である。
例えば、偏向器の構造設計が、入射エネルギーの最大部分を所与の方向に向ける機能を有する場合、フォワードシミュレーションは、所与の入射方向に沿って最適化されている構造を照明し、透過で動作する構造の透過係数、又は反射で動作する構造の反射係数を計算することからなる。
随伴シミュレーションは、最適化方向に構造を励起するためにフォワードシミュレーションによって計算された、シナリオに応じた透過係数又は反射係数を再使用して、逆行して（又は逆方向に）、構造を励起することすることからなる。透過で動作するレンズの最適化の場合、フォワードシミュレーションは、最適化される構造を所与の入射方向に沿って照射することからなり、随伴問題では、入射電磁力が集束される点に配置された点源を使用して、構造が逆行して（逆方向に）励起される。
上記の方法の主な欠点は、最終的な構造が高性能を提供するように多数のボクセルの使用を必要とするという事実にある。典型的には、少なくとも２８ボクセルが、メタネットワークタイプの１次元（１Ｄ）構造を最適化するために必要とされ、構造の寸法が大きいほど、必要とされるボクセルの数が多くなる。更に、構造の次元数（２Ｄ又は３Ｄ）が大きいほど、必要とされるボクセル数も大きくなる。言い換えれば、構造が大きく及び／又は複雑であるほど、上記の方法はその最適化に好適ではない。
上記の方法の別の欠点は、それらが、目的関数の連続的な極小値を探索することからなるいわゆる「勾配降下」技法を実装しているという事実にある。しかしながら、保持される最後の極小値（又は最終結果）は、勾配降下技術の開始時に使用される開始点に大きく依存し、許容される結果が見つかる前にいくつかの初期開始点を無作為に試験することによって多数の計算を行うことを必要とする。更に、設計パラメータの関数としての勾配ｇの変動は、実量である。しかし、この量ｇは、性能指数を改善するために設計変数を修正するために使用されるので、設計変数が複素数である（したがって、実数部及び虚数部を有する）場合、現在存在する方法は適用できない。これは、例えば、損失性又は金属性の誘電体構造の場合である。いずれの場合も、設計変数は、複素数である誘電率関数の値で
ある。
したがって、本発明の目的は、特に、形状パラメータであり、したがって、その値が常に実数である設計パラメータを介して設計変数に作用することによって、前述の欠点の全て又は一部を改善することである。
この目的のために、本発明は、Ｓ個の空間によって互いに分離され、各々が材料の少なくとも１つの層を含むＰ個のサブ構造（Ｐ≧２及びＳ≧１である）を含む構造を、その生成のために、構造が少なくとも１つの電磁源によって選択された電磁励起に対して選択された応答を有するように最適化することを意図した方法を提案する。
この方法は、最適化ステップを含むことを特徴とし、最適化ステップが、空間及びサブ構造の第１の設計変数における第１のシーケンス変動及び第２の設計変数における第２のシーケンス変動に対する選択された応答の感度を表す性能指数を計算し、次いで、計算された性能指数の勾配を計算し、その後、性能指数を改善するために、計算された勾配に応じて、第１及び第２のシーケンスのうちの少なくとも１つの第１又は第２の設計変数を（例えば、関係するシーケンスの最も感度の高い変数から開始して）修正し、性能指数が設定された目標（set objective）を表していない限り、かつ／又は性能指数が選択された
値未満である限り、修正された設計変数の第１及び第２のシーケンスを用いて最適化ステップを繰り返すことを含む。
これらの第１のシーケンスのＰ＋Ｓ個の第１の設計変数及び第２のシーケンスのＰ＋Ｓ個の第２の設計変数は、三次元空間の３つの異なる方向のうちの１つにおいて画定されたサブ構造３ｐ又はサブ構造間の空間の幅であり得る。
したがって、構造の電磁特性を記述する連続的な初期プロファイルを使用し、設計ドメインの各ボクセル位置においてこのプロファイルを連続的に修正する代わりに、構造の要素（サブ構造及び空間）の幅は、それらの境界を変更することによって、直接、徐々に、反復的に変更される。本発明による方法によって修正が得られる設計パラメータを構成する境界は、性能指数によって保持される目的を達成することを可能にする。変数－境界はボクセルよりも数がはるかに少ないので、本発明による方法は、従来技術の方法よりもはるかに効率的で、はるかに速い。したがって、ここでは、非周期的回析メタ格子又はメタ表面を含む、より大きい及び／又はより複雑な構造を最適化することが可能である。
本発明による方法は、別個に又は組み合わせて採用することができる他の特徴を含むことができ、特に以下の特徴を含むことができる：
－初期のシーケンスと称され、各々がＰ＋Ｓ個の設計変数を含む設計変数の第１及び第２のシーケンスが生成される初期化ステップを含んでもよい。この場合、第１の最適化ステップにおいて、これらの初期の第１及び第２の設計変数シーケンスが、それぞれＰ＋Ｓ個の第３の設計変数の第３のシーケンス及びＰ＋Ｓ個の第４の設計変数の第４のシーケンスに変換され、次いで、性能指数が、これらの第３のシーケンスのＰ＋Ｓ個の第３の設計変数及び第４のシーケンスのＰ＋Ｓ個の第４の設計変数から計算され、次いで、最適化ステップ（第１のステップに続く）の各反復において、性能指数が、前の最適化ステップ中に決定されたＰ＋Ｓ個の第１の設計変数の第１のシーケンス及び先行する最適化ステップ中に決定された新しいＰ＋Ｓ個の第４の設計変数の第４のシーケンスの変換から導出された新しいＰ＋Ｓ個の設計変数の第３のシーケンスから計算され、第３のシーケンスの当該第３の設計変数及び第４のシーケンスのＰ＋Ｓ個の第４の設計変数の各々が、原点に対する、かつ幅が画定される三次元空間の方向に沿った、サブ構造の位置又はサブ構造間の空間を表し、各位置が、前の位置と対応する第１又は第２の設計変数との間の合計に等しい
。
－各最適化ステップにおいて、最大Ｐ＋Ｓ個のサブ反復を最適化するサブステップでは、性能指数の勾配にそれぞれ依存する最大Ｐ＋Ｓ個の感度パラメータのシーケンスを計算することが可能であり、次いで、Ｐ＋Ｓ個のサブ反復の各々で、第５の変数のペアを、それぞれ第３のシーケンスのＰ＋Ｓ個の第３の設計変数、対応するＰ＋Ｓ個の感度パラメータ、及び少なくとも１つの選択された制約から、第３のシーケンスにおける最も強い感度を有する第３の設計変数（つまり、勾配値（ｇ）が最も高い設計変数）から始まり、最も低い感度を有する第３の設計変数で終わるまで、反復計算することが可能であり、次いで、選択された基準に従って、現在の反復（ｔ）の検討されるサブ反復中に計算された第５の変数のペア及び第５の変数が計算される第３の設計変数を含むトリプレットの中から、これらの２つの第５の変数及びこの第３の設計変数の最良のものを決定することが可能であり、次いで、選択された基準に従って、これらの２つの第５の変数及び第３の設計変数の最良のもの並びに最大Ｐ＋Ｓ－１個の残りの第３の設計変数のシーケンスの残りから構成される最大Ｐ＋Ｓ個の第３の設計変数の新しい第３のシーケンスを更新することが可能であり、次いで、新しい第４のシーケンスを、更新された第３のシーケンスで構成することが可能であり、次いで、新しいＰ＋Ｓ個の第２の設計変数の新しい第２のシーケンスを、第４の設計変数の新しい第４のシーケンスから計算することが可能であり、次いで、新しいＰ＋Ｓ個の第１の設計変数の新しい第１のシーケンスを、それぞれ新しい第２のシーケンスの新しいＰ＋Ｓ個の第２の設計変数及びＰ＋Ｓ個の対応するノイズパラメータから生成することが可能であり、次いで、新しいＰ＋Ｓ個の第３の設計変数の新しい第３のシーケンスを、新しい第１のシーケンスの新しいＰ＋Ｓ個の第１の設計変数から計算することが可能である。
－各制約は、例えば、最小幅及び最大幅を含む群から選択され得る。
－各最適化ステップでは、対応する第３の設計変数を使用して、フォワードシミュレーション及び随伴シミュレーションから、並びに第１の最適化ステップ中に対応する第４の設計変数を使用して、フォワードシミュレーション又は先行する最適化ステップ中に生成された対応する新しい第４の設計変数のいずれかから、性能指数を計算することができる。
－各フォワードシミュレーション及び各随伴シミュレーションでは、双極子若しくはソース線若しくは平面波（偏波若しくは非偏波）又は導波路の導波モードを構成する電磁源を使用することができる。
－構造は、三次元空間の３つの異なる方向のうちの少なくとも１つに周期性を有する幾何学的形状を有し得る。例えば、構造は、少なくとも１つの別個の基本設計を形成し、線、長方形、円柱、球、平行六面体、環、及び一組の同心環又は偏心環を含む群から選択される正準形を有するサブ構造とサブ構造間の空間との（ランダム又は制御された）配置からなる幾何学的形状を有してもよい。
－代替的に、構造は、三次元空間において周期性のない幾何学的形状を有し得る。
－第１のシーケンスのＰ＋Ｓ個の第１の設計変数及び第２のシーケンスのＰ＋Ｓ個の第２の設計変数は、最初にランダムに生成され得る。
－電磁源は、構造の外側又は内側に位置し得る。
－第１のシーケンスの第１の設計変数及び第２のシーケンスの第２の設計変数の各々は、電磁源によって生成される電磁場の波長に依存し得る（又は依存しなくてもよい）。
－電磁源は、少なくとも１つの空間変数の関数である電磁場を生成し得る。
本発明はまた、一組の命令を含むコンピュータプログラム製品を提案し、命令が、処理手段によって実行されたとき、Ｓ個の空間によって互いに分離され、各々が材料の少なくとも１つの層を含むＰ個のサブ構造（Ｐ≧２及びＳ≧１である）を含む構造を、この構造が少なくとも１つの電磁源によって選択された電磁励起に対して選択された応答を有するように最適化するために、上に提示したタイプの方法を実装することができる。
本発明はまた、Ｓ個の空間によって互いに分離され、各々が材料の少なくとも１つの層を含むＰ個のサブ構造（Ｐ≧２及びＳ≧１である）を含む構造を、その生成のために、この構造が少なくとも１つの電磁源によって選択された電磁励起に対して選択された応答を有するように最適化するデバイスを提案する。
このデバイスは、最適化操作を実行するように構成された少なくとも１つのプロセッサと、少なくとも１つのメモリと、を含むことを特徴し、最適化操作が、空間及びサブ構造の第１の設計変数における第１のシーケンス変動及び第２の設計変数における第２のシーケンス変動に対する選択された応答の感度を表す性能指数を計算し、次いで、計算された性能指数の勾配を計算し、その後、性能指数を改善するために、計算された勾配に応じて、第１及び第２のシーケンスのうちの少なくとも１つの第１又は第２の設計変数を修正し（例えば、関係するシーケンスの最も感度の高い変数から開始して）、性能指数が設定された目標を表していない限り、かつ／又は性能指数が選択された値未満である限り、修正された設計変数の第１及び第２のシーケンスを用いて最適化ステップを繰り返すことからなる。
本発明はまた、上に提示したタイプのデバイスを含む電子装置を提案する。
本発明の他の特徴及び利点は、以下の詳細な説明及び添付の図面を検討することによって明らかになるであろう。
平面波を１Ｄメタ格子の前面に垂直な角度θｄだけ偏向させる１Ｄメタ格子を画定する構造の一例を概略的に示す。 メタレンズの前面に垂直な平面波を集束させるメタレンズを画定する例示的な構造を概略的に示す。 本発明による最適化デバイスを含むコンピュータの実施形態を概略的かつ機能的に示す。 本発明による最適化方法を実装するアルゴリズムの一例を概略的に示す。 構造の例の一部を、そのサブ構造及び空間の幅、並びにこれらのサブ構造のエッジの位置の表現とともに概略的に示す。 本発明による最適化方法の最適化ステップの反復中に構造のサブ構造のエッジの位置を更新する例の一部を概略的に示す。 最適化されている構造の例を概略的に示しており、左側には、フォワードシミュレーションのための電気双極子型の電磁源が示されており、右側には随伴シミュレーションのための平面波型の平面波電磁源が示されている。 本発明による最適化デバイスの機能ブロックへの例示的な分解を概略的に示す。
本発明の１つの目的は、特に、物理的及び／又は幾何学的（位相幾何学的）パラメータを最適化するための方法、より明確には、そのような最適化ステップを含む構造を生成する方法（１００～２３０）、並びに、空間４ｓ（又は４）によって互いに分離され、かつ各々が少なくとも１つの電磁源９又は１０によって選択された電磁励起に対して選択された応答を有するサブ構造３ｐ（又は３）の各々を含む構造２の決定を可能にする（特に最適化を可能にする）関連デバイス１を提案することである。
以下では、非限定的な例として、本発明による最適化の対象である構造２は、フォトニクスの分野におけるデバイス又は機器の一部を形成することが意図されていると仮定する。これらの構造は、例えば、（図１に非限定的な様式で示されるように）所定の偏向角で光を回折するように帯電された小型格子（若しくはメタ格子）、又は（図２に非限定的な
様式で示されるように）入射平面波を所定の集束点に向かって集束させる役割を果たす小型レンズ（若しくはメタレンズ）を画定する。しかしながら、本発明は、フォトニクスの分野における構造２に限定されない。実際、本発明は、他の技術分野に関し、特に光学及びプラズモニクスの技術分野に関する。より一般的には、本発明は、Ｓ個の空間４ｓ（又は４）によって互いに分離され、各々が材料の少なくとも１つの層を含むＰ個のサブ構造３ｐ（又は３）（Ｐ≧２及びＳ≧１である）を含み、少なくとも１つの電磁源９又は１０によって選択された電磁励起に対して選択された応答を有する必要がある任意のタイプの構造２に関する。構造２の両端に位置するサブ構造３ｐは、計算において任意選択的に考慮され得る追加の空間によって先行され得る（又は囲まれ得る）ことに留意されたい。
上で示したように、本発明は、特に、前の段落で画定されたタイプの構造２の最適化を可能にするように意図された方法（１００～２３０）を提案する。このような最適化方法（１００～２３０）は、本発明による最適化デバイス１によって実装され得、図３に非限定的な様式で示されるように、デバイスが、少なくとも１つのプロセッサ６（例えば、デジタルシグナルプロセッサ（ＤＳＰ））と、少なくとも１つのメモリ７と、を含む。
このプロセッサ６及びこのメモリ７は、図３に非限定的な様式で示されるように、コンピュータ８の一部を形成することが好ましい。このコンピュータ８は、電気若しくは電子回路又はコンポーネントとソフトウェアモジュールとの組み合わせの形態で作製することができる。このコンピュータ８は、電子装置であり得るか、又は例えば、コンピュータ（デスクトップ又はラップトップ）などの電子装置の一部であり得ることに留意されたい。
メモリ７は、プロセッサ６が下記の実施形態（１００～２３０）の最適化方法の少なくとも一部を実装する（したがって、その機能を確保する）ための命令を記憶するためにランダムである。
プロセッサ６は、有線又は無線接続によって接続された集積回路（若しくはプリント回路）又はいくつかの集積回路（若しくはプリント回路）を含み得る。集積回路（又はプリント回路）は、少なくとも１つの電気的又は電子的動作を実行することができる任意のタイプのデバイスである。
本発明による方法（１００～２３０）は、図１、図２、及び図５～図７に示されるように、Ｓ個の空間４ｓ（ｓ＝１～Ｓ）によって互いに分離されたＰ個のサブ構造３ｐ（ｐ＝１～Ｐ）を含む構造２（Ｐ≧２及びＳ≧１である）を画定することが望まれるたびに実装される。２つの隣接するサブ構造３ｐと３ｐ＋１との間に空間４ｓがあることが理解されるであろう。加えて、各サブ構造３ｐは、材料の少なくとも１つの層を含む。図１、図２、及び図５～図７の各々において、サブ構造３ｐは、単一の層の材料のみを含むが、少なくとも２つの層の材料を含むことができる。更に、パラメータの最適化が完了すると、構造２は、少なくとも１つの電磁源９又は１０によって選択された電磁励起に対して選択された応答を有する必要がある。
最適化される構造２は、三次元空間の３つの異なる方向（Ｘ、Ｙ、Ｚ）のうちの少なくとも１つにおいて周期性を有する幾何学的形状を有することができることに留意されたい。
最適化される構造２は、サブ構造３ｐ及びサブ構造３ｐ間の空間４ｓのランダム又は制御された配置からなる幾何学的形状を有することができ、幾何学的形状が、少なくとも１つの別個の基本設計を形成し、例えば、線、長方形、円柱、球、平行六面体、環、及び一組の同心環又は偏心環を含む群から選択される正準形を有することにも留意されたい。図１及び図２に非限定的な様式で示される例では、サブ構造３ｐは、平面ＸＺにおいて長方
形の断面を有する線である。
しかしながら、代替的に、最適化される構造２は、三次元空間（Ｘ、Ｙ、Ｚ）において周期性のない幾何学的形状を有してもよい。
図４に非限定的な様式で示されるように、本発明による（１００～２３０）は、最適化ステップ１１０～２３０を含み、（デバイス１）は、構造２について、性能指数（又は品質）ＦＭを計算することによって開始する。ＦＭは、空間４ｓ及びサブ構造３ｐの第１の設計変数
Figure 2024508560000002
 （又は
Figure 2024508560000003
 ）における第１のシーケンス変動及び第２の設計変数
Figure 2024508560000004
 （又は
Figure 2024508560000005
 ）の第２のシーケンスに対するこの構造２の選択された応答の感度を表す。
例えば、図５に非限定的な様式で示されるように、第１の設計変数
Figure 2024508560000006
 （又は
Figure 2024508560000007
 ）及び第２の設計変数
Figure 2024508560000008
 （又は
Figure 2024508560000009
 ）は、それぞれサブ構造３ｐ及び空間４ｓの古い幅及び新しい幅を表すことができる。図５では、方向Ｘは、各サブ構造３ｐ又は空間４ｓの幅ｅｋが決定される方向であり、ｘｋは、サブ構造３ｐのエッジ（又は境界）の位置を表し、εは、サブ構造３ｐの誘電率を表す。ここで、指数ｋは、１～Ｎｐ－１の値をとり、式中、Ｎｐ＝Ｐ＋Ｓである。
一般に、構造２の設計変数は、サブ構造３ｐ又は空間４ｓの幾何学的（又は寸法的）変数、又はサブ構造３ｐの物理的変数であり得る（例えば、材料の層の作成、又は誘電率、又は屈折率、又は導電率、又はリアルタイムで調整可能な材料の導電率を制御する化学ポテンシャルなど）。
本方法の最適化ステップ１１０～２３０は、計算したばかりの性能指数ＦＭ（ｇ（ｘ）＝∇ＦＭ（ｘ））の勾配ｇ（ｔ）（ｘｉ）の（デバイス１による）計算に続く。
次いで、本方法の最適化ステップ１１０～２３０は、ＦＭの性能指数を改善するために、計算したばかりのこの勾配ｇ（ｔ）（ｘｉ）に応じて、第１及び第２のシーケンスのうちの少なくとも１つの第１の設計変数
Figure 2024508560000010
 （若しくは
Figure 2024508560000011
 ）又は第２の設計変数
Figure 2024508560000012
 （若しくは
Figure 2024508560000013
 ）の（デバイス１による）修正が続く。次いで、性能指数ＦＭが設定された目標を表していない限り、かつ／又は性能指数ＦＭが選択された値未満である限り、設計変数の第１及び第２のシーケンスを修正して、最適化ステップ１１０～２３０が（デバイス１によって）繰り返される。
後で分かるように、記載される詳細な実施例では、第１の設計変数
Figure 2024508560000014
 （又は
Figure 2024508560000015
 ）は、各最適化ステップ１１０～２３０（第１の最適化ステップを含む）中に、計算したばかりの勾配ｇ（ｔ）（ｘｉ）に応じて修正される。第１の最適化ステップ１１０～２３０全体中に、初期の第２の設計変数
Figure 2024508560000016
 （又は
Figure 2024508560000017
 ）が修正され、次いで、次の最適化ステップ１１０～２３０中に、計算したばかりの勾配ｇ（ｔ）（ｘｉ）に応じて、第４の設計変数
Figure 2024508560000018
 （又は
Figure 2024508560000019
 ）が修正される。
最適化ステップ１１０～２３０の各反復中に、設計ドメインＩの任意の点ｘｉで、性能指数ＦＭによって保持される目的関数の勾配ｇ（ｔ）（ｘｉ）を一度に計算することが可能である。これを行うために、例えば、「随伴ベース」の方法を使用することが可能である。勾配ｇ（ｔ）の計算のために、例えば、図６に示ように、検討される構造２が「ｏｌｄ（古い）」状態（ａ）から「ｎｅｗ（新しい）」状態（ｎ）に変化するときにダミー電流が誘導されると考えることが可能である。この切り替えは、構造２の少なくとも１つの幾何学的又は物理的パラメータの変化によるものであり得る。
Ｅ（ｒ）が、点ｒ’に位置する少なくとも１つの電磁源９又は１０によって生成される観測点ｒでの電気ベクトル場である場合、性能指数ＦＭの勾配は、以下の関係：
Figure 2024508560000020
 によって画定することができ、
二次の項を無視すると、
Figure 2024508560000021
 のように示され、
式中、記号「．」は、２つのベクトルのスカラー積を示し、上線は、共役複素数を示す。加えて、ソース点ｒ’での物理的特性の局所変動が観測点での電気ベクトル場Ｅ（ｒ）において変動δＥ（ｒ）を引き起こし得ると仮定すると、ＳｔｒａｔｔｏｎとＣｈｕの積分公式を使用して、以下のように示すことが可能である：
Figure 2024508560000022
 式中、ｋは、波数であり、ωは、計算ドメインを囲む領域を示す。曲面（surface）ω
を、以下のように基本曲面（elementary surface）ωｉに細分することによって、以下：
Figure 2024508560000023
 のようになり、
前述の関係は、以下：
Figure 2024508560000024
 のように書き換えることができ、
これは、
Figure 2024508560000025
 観測点ｒで計算された放射電界Ｅ（ｒ）での各基本曲面ωｉ上の各要素ｒ’ｐの寄与として現れる。
Figure 2024508560000026
 Ｇｒｅｅｎ関数の相反特性及びその勾配を使用して、
Figure 2024508560000027
 のように示すことができる。
「随伴（adjoint）」場、Ｅａｄｊ（ｒ’ｐ，ｒ）は、ｒからｒ’ｐに配置されたソー
スによって放射される場として現れる。ここで、ソース関数Ｓ（ｒ’ｐ）は、誘導場
Figure 2024508560000028
 、次いで：
Figure 2024508560000029
 の変動に比例する。
したがって、性能指数の変動は、以下のように近似することができる：
Figure 2024508560000030
 ここで、
Figure 2024508560000031
 である。
言い換えれば、性能指数ＦＭの設計ドメインの点ｒ’ｋの周りの局所変動は、電気誘導
Figure 2024508560000032
 に随伴場を掛けたものの変動に比例する。
設計Ｉの場では、誘電率ε（ｘ）は、不連続であり、区分定数（piecewise constant）関数によって記述することができる。したがって、設計ドメインＩの分割（partition）
は、各々Ｉｋ＝［ｘｋ－１，ｘｋ］によって画定される小区間（sub-interval）｛Ｉｋ，１≦ｋ≦Ｎｐ｝において画定され得る。ここで、誘電率ε（ｘ）は一定である。
各反復ｔは、各小区間Ｉｋが感度パラメータ
Figure 2024508560000033
 に関連付けられ得ることに留意されたい。感度パラメータは、例えば、ｇ（ｔ）から画定され得、ここで、
Figure 2024508560000034
 である。
この感度パラメータ
Figure 2024508560000035
 は、フィットネスパラメータ
Figure 2024508560000036
 に関連付けられる。このフィットネスパラメータ
Figure 2024508560000037
 の有用性は、後で理解されるであろう。
従来技術の位相幾何学的最適化方法の場合のように、構造２の電磁特性を記述する連続的な初期プロファイルを使用して、設計ドメインの各ボクセル位置においてこのプロファイルを連続的に修正する代わりに、本方法では、構造２の離散要素（サブ構造３ｐ及び空間４ｓ）の幅に対して、直接的かつ徐々に、連続的にアクションがとられる。これは、はるかに効率的かつはるかに高速であることを証明し、したがって、それらが非周期的な回析メタ格子又はメタ表面である場合を含めて、より大きい及び／又はより複雑な構造２を最適化することを可能にする。
図４に非限定的な様式で示されるように、本方法（１００～２３０）は、第１の最適化ステップ１１０～２３０全体の前に、初期化ステップ１００を含み得ることに留意されたい。この初期化ステップ１００では、Ｐ＋Ｓ個の第１の設計変数
Figure 2024508560000038
 （又は
Figure 2024508560000039
 ）の第１のシーケンス及びＰ＋Ｓ個の第２の設計変数
Figure 2024508560000040
 （又は
Figure 2024508560000041
 ）の第２のシーケンスが、（デバイス１によって）生成される。これらの設計変数の第１及び第２のシーケンスは、初期シーケンスと呼ばれる。
例えば、これらのＰ＋Ｓ個の第１の設計変数
Figure 2024508560000042
 （又は
Figure 2024508560000043
 ）及びＰ＋Ｓ個の第２の設計変数
Figure 2024508560000044
 （又は
Figure 2024508560000045
 ）は、最初に、デバイス１によって初期化ステップ１００中にランダムに生成され得る。しかし、これは必須ではない。実際、最適化を監督する人は、初期のＰ＋Ｓ個の第１の設計変数
Figure 2024508560000046
 （又は
Figure 2024508560000047
 ）及びＰ＋Ｓ個の第２の設計変数
Figure 2024508560000048
 （又は
Figure 2024508560000049
 ）を画定する人であることが想定され得る。
区間［ｅｍｉｎ，ｅｍａｘ］（式中、ｅｍｉｎは、サブ構造３ｐ又は空間４ｓの初期化ステップで許される最小幅であり、ｅｍａｘは、サブ構造３ｐ又は空間４ｓの初期化ステップで許される最大幅である）で、Ｐ＋Ｓ個の第１の設計変数
Figure 2024508560000050
 （又は
Figure 2024508560000051
 ）は、第１の（Ｐ＋Ｓ）タプル
Figure 2024508560000052
 （又は第１のシーケンス）を形成し、Ｐ＋Ｓ個の第２の設計変数
Figure 2024508560000053
 （又は
Figure 2024508560000054
 ）は、第２の（Ｐ＋Ｓ）タプル
Figure 2024508560000055
 （又は第２のシーケンス）を形成する。例えば、これらの確率変数（random variable
）に対して、以下の関係：
Figure 2024508560000056
 （式中、
Figure 2024508560000057
 は、
Figure 2024508560000058
 に属する確率変数の集合である）を使用することができる。
周期構造の場合の周期、又はより一般的には計算ドメインの（ここでは幅の方向Ｘに沿った）寸法を表す所与のパラメータｄに対して、
Figure 2024508560000059
 は、
Figure 2024508560000060
 を満たさなければならならず、
Figure 2024508560000061
 は、
Figure 2024508560000062
 を満たさなければならない。したがって
Figure 2024508560000063
 は、以下のように正規化され：
Figure 2024508560000064
Figure 2024508560000065
 は、以下のように正規化される：
Figure 2024508560000066
この初期化ステップ１００の後、第１の最適化ステップ１１０～２３０が開始され、初期の設計変数の第１及び第２のシーケンスが、それぞれ初期のＰ＋Ｓ個の第３の設計変数
Figure 2024508560000067
 （又は
Figure 2024508560000068
 ）の第３のシーケンス及び初期のＰ＋Ｓ個の第４の設計変数
Figure 2024508560000069
 （又は
Figure 2024508560000070
 ）の第４シーケンスに（デバイス１によって）変換される。
例えば、図５及び図６に示されるように、Ｐ＋Ｓ個の第３の設計変数
Figure 2024508560000071
 （又は
Figure 2024508560000072
 ）及びＰ＋Ｓ個の第４の設計変数
Figure 2024508560000073
 （又は
Figure 2024508560000074
 ）は、三次元空間（Ｘ、Ｙ、Ｚ）の原点に対して、かつＸ方向に沿ったサブ構造の位置３ｐ又はサブ構造３ｐ間の空間４ｓを表すことができ、それに従って、幅ｅｋが画定される。この場合、幅ｅｋは、サブ構造３ｐ及び空間４ｓの位置を固定することによって、構造２の設計段階の空間を制限する隣接変数である。例えば、表された位置は、サブ構造３ｐ又は空間４ｓのエッジ（若しくは境界）又は中心であってもよい。
例えば、エッジ（又は境界）の各位置
Figure 2024508560000075
 は、先行する位置
Figure 2024508560000076
 と対応する第１の設計変数
Figure 2024508560000077
 又は第２の設計変数
Figure 2024508560000078
 との間の合計に等しくあり得る。この場合、得られる関係は、
Figure 2024508560000079
 （式中、
Figure 2024508560000080
 である。
これらの新しい変数ｘｋは、最適化段階中に、厚さｅｋとサブ構造３ｐの位置との間の近い一致を得ることを容易にする。
第１の最適化ステップ１１０～２３０全体において、（デバイス１が）性能指数ＦＭを、新しいＰ＋Ｓ個の第３の設計変数
Figure 2024508560000081
 （又は
Figure 2024508560000082
 ）の第３のシーケンス及びＰ＋Ｓ個の第４の設計変数
Figure 2024508560000083
 （又は
Figure 2024508560000084
 ）の第４のシーケンスから計算することが可能である。次いで、最適化ステップ１１０～２３０の各反復において、（デバイス１が）先行する最適化ステップ１１０～２３０中に決定された第１の設計変数
Figure 2024508560000085
 （又は
Figure 2024508560000086
 ）の変換から導出された新しいＰ＋Ｓ個の第３の設計変数
Figure 2024508560000087
 （又は
Figure 2024508560000088
 ）の第３のシーケンス、及び先行する最適化ステップ１１０～２３０中に決定された新しい第４の設計変数
Figure 2024508560000089
 （又は
Figure 2024508560000090
 ）の第４のシーケンスから、性能指数を計算することが可能である。
上述のように、各最適化ステップ１１０～２３０において、（デバイス１が）Ｐ＋Ｓ個の感度パラメータ
Figure 2024508560000091
 を計算することが可能であることに留意されたい。感度パラメータは、それぞれ性能指数ＦＭの勾配ｇ（ｔ）のＰ＋Ｓ個の成分ｇ（ｔ）（ｘｉ）に依存する。次いで、この場合、（デバイス１について）各最適化ステップにおいて、最大Ｐ＋Ｓ回のサブ反復を実行することが可能であり、サブ反復の各々において、（デバイス１が）第５の変数のペア
Figure 2024508560000092
 を、それぞれＰ＋Ｓ個の第３の設計変数
Figure 2024508560000093
 （又は
Figure 2024508560000094
 ）の第３のシーケンス、対応するＰ＋Ｓ個の感度パラメータ
Figure 2024508560000095
 、及び少なくとも１つの選択された制約から、好ましくは最も感度の高い第３のシーケンスの第３の設計変数（つまり、
Figure 2024508560000096
 の値が最も高い感度を有する変数）から始めて、最も感度の低い設計変数で終わるまで、繰り返し計算することが可能である。例えば、各制約は、最小幅ｅｍｉｎ及び最大幅ｅｍａｘを含む群から選択され得る。
各シーケンスにおける設計変数のそれらの感度による分類は、性能指数ＦＭの勾配関数の値に基づく。
第５の変数
Figure 2024508560000097
 のＰ＋Ｓ個のペアの各々の計算の最良の結果に収束する確率を増加させるために、最適化ステップ１１０～２３０の各反復（ｔ）の各サブ反復で、感度パラメータ
Figure 2024508560000098
 のシーケンスによってとられた値は、降順（又は昇順）で分類され、各エッジ位置変数（又は境界）ｘｋの位置を探索するために使用され得、性能指数ＦＭを改善することが可能になる。
例えば、シーケンスの各第５の変数
Figure 2024508560000099
 は、以下の関係：
Figure 2024508560000100
 によって与えられ得、
シーケンスの各第５の変数
Figure 2024508560000101
 は、以下の関係：
Figure 2024508560000102
 によって与えられ得る。
最後の２つの関係において、
Figure 2024508560000103
 は、感度パラメータ
Figure 2024508560000104
 から計算される形状パラメータ：
Figure 2024508560000105
 であり、
式中、α（ｔ）は、各反復ｔの開始時に計算され、反復回数が増加すると０に減少するパラメータである。例えば、この減少するパラメータは、以下の関係：
Figure 2024508560000106
 によって画定することができ、
式中、ｔｍａｘは、最適化ステップ１１０－２３０の最大反復回数ｔを表し、ａ０は、最適化ステップ１１０－２３０の最初の反復に付随する数値制御パラメータである。
次いで、反復ｔの各サブ反復において、（デバイス１が）計算された第５の変数
Figure 2024508560000107
 並びに第３の設計変数
Figure 2024508560000108
 の各ペアから、選択された基準に基づいて、これら２つの変数
Figure 2024508560000109
 並びに第３の設計変数
Figure 2024508560000110
 の最良のものを決定することが可能である。
したがって、感度パラメータ
Figure 2024508560000111
 から計算された各フィットネスパラメータ
Figure 2024508560000112
 は、少なくとも１つの最小幅制約ｃｍｉｎに対応するエッジ（又は境界）位置変数
Figure 2024508560000113
 の現在の値を破壊するために各サブ反復で使用される。この最小幅制約は、この破壊された値の可能な変動（増加又は減少）を引き起こす可能性がある。性能指数ＦＭ（これは前述の選択された基準である）の最良の改善をもたらす変動のみが、問題のエッジ（又は境界）位置変数
Figure 2024508560000114
 の新しい値を後で画定するために保持される。性能指数ＦＭの最良の改善をもたらす各変動の決定は、シミュレーションによって実行することができる。
なお、最小幅ｃｍｉｎは、ｅｍｉｎと異なっていてもよい。これは、ｅｍｉｎ及びｅｍａｘが初期条件の生成中の開始時に使用されるのに対して、ｃｍｉｎは、ｅｍｉｎの値とは無関係に最適化中に課され考慮される最小制約であるためである。
次いで、反復ｔの各サブ反復中に、第３の変数の第３のシーケンスが、この第３のシーケンスにおいて２つの第５の変数
Figure 2024508560000115
 並びにそれらを計算するために使用される第３のシーケンスの要素
Figure 2024508560000116
 （又は
Figure 2024508560000117
 ）の中で最良であると考えられる要素を（デバイス１によって）置換することによって更新される。
次いで、反復ｔの最大Ｐ＋Ｓ－１回のサブ反復の終了時に、（デバイス１が）完全に更新された第３のシーケンスで新しい第４のシーケンスを構成することが可能である。各新しい第４の設計変数
Figure 2024508560000118
 （又は
Figure 2024508560000119
 ）は、以下の関係：
Figure 2024508560000120
 によって与えられる。
次いで、（デバイス１が）Ｐ＋Ｓ個の第２の設計変数
Figure 2024508560000121
 （又は
Figure 2024508560000122
 ）の新しい第２のシーケンスを、各々、Ｐ＋Ｓ個の第４の設計変数
Figure 2024508560000123
 （又は
Figure 2024508560000124
 ）及び
Figure 2024508560000125
 （又は
Figure 2024508560000126
 ）の新しい第４のシーケンスの２つの要素から計算（更新）することが可能である。言い換えれば、新しい設計変数
Figure 2024508560000127
 （又は
Figure 2024508560000128
 ）の最良のセットが決定されると、サブ構造の幅３ｐ及び空間４ｓの新しいシーケンスが計算される。これを行うために、上述の関係：
Figure 2024508560000129
 が使用される。
次いで、（デバイス１が）新しいＰ＋Ｓ個の第１の設計変数
Figure 2024508560000130
 を、それぞれ対応する新しいＰ＋Ｓ個の第２の設計変数
Figure 2024508560000131
 （又は
Figure 2024508560000132
 ）及び対応するＰ＋Ｓ個のノイズパラメータ
Figure 2024508560000133
 から生成することが可能である。これを行うために、例えば、ランダム収縮又は拡張のメカニズムによって、新しい第２の設計変数
Figure 2024508560000134
 の最良のセットにランダム振動を適用することが可能である。この目的のために、例えば、以下の関係：
Figure 2024508560000135
 を使用することが可能である。
β０は、誘導された破壊によって
Figure 2024508560000136
 の値が過度に修正されないように、サブ構造３ｐ及びサブ構造３ｐ間の空間４ｓの幅
Figure 2024508560000137
 を微調整するためのパラメータである。例えば、以下：
Figure 2024508560000138
 を選択することが可能であり、
式中、ρは、調整可能な数値パラメータであり、例えば、１０に等しい。
［ｒｋ］＝２ｒａｎｄ（Ｎｐ，１）－１は、区間
Figure 2024508560000139
 における確率変数のベクトルであり、
これは、電流ベクトル
Figure 2024508560000140
 の振動モードにおける不確実性をシミュレーションする。
Figure 2024508560000141
 は、最適化ステップ１１０～２３０の反復回数とともに減少するパラメータである。例えば、以下：
Figure 2024508560000142
 を選択することが可能である。
最後に、デバイス１は、Ｐ＋Ｓの新しい第１のシーケンスの新しいＰ＋Ｓ個の第１の設計変数から、新しいＰ＋Ｓ個の第３の設計変数の新しい第３のシーケンスを計算して、次の反復（ｔ＋１）中にそれを使用することができる。
好ましくは、第１の最適化ステップ１１０～２３０の後の各最適化ステップ１１０～２３０において、最大Ｐ＋Ｓ個の第４の設計変数
Figure 2024508560000143
 （又は
Figure 2024508560000144
 ）として機能するように、先行する最適化ステップ１１０～２３０中に生成された最大Ｐ＋Ｓ個の新しい第４の変数
Figure 2024508560000145
 （又は
Figure 2024508560000146
 ）が、（デバイス１によって）使用される。加えて、最大Ｐ＋Ｓ個の第３の設計変数
Figure 2024508560000147
 （又は
Figure 2024508560000148
 ）として機能するように、先行する最適化ステップ１１０～２３０中に生成されたＰ＋Ｓ個の新しい第１の設計変数
Figure 2024508560000149
 の変換からそれぞれ導出された最大Ｐ＋Ｓ個の新しい第３の変数は、性能指数ＦＭが設定された目標を表していない限り、かつ／又は性能指数ＦＭが選択された値未満である限り、（デバイス１によって）使用される。言い換えれば、以前の構造２が更新され、次いで、最適な最終構造２に収束しておらず、かつ最適化ステップ１１０～２３０の最大反復回数にまだ達していない限り、新しい反復が実行される。
各最適化ステップ１１０～２３０において、（デバイス１が）対応する第３の設計変数
Figure 2024508560000150
 （又は
Figure 2024508560000151
 ）を使用するフォワードシミュレーション及び随伴シミュレーションから、並びに第１の最適化ステップ１１０～２３０中に対応する第４の設計変数
Figure 2024508560000152
 （又は
Figure 2024508560000153
 ）を使用するフォワードシミュレーション又は先行する最適化ステップ１１０～２３０における対応する新しい第４の設計変数
Figure 2024508560000154
 （又は
Figure 2024508560000155
 ）のいずれかから、性能指数ＦＭを計算することが可能であることに留意されたい。
フォワードシミュレーション及び随伴シミュレーションは、当業者に周知であるので、以下では説明しない。各フォワードシミュレーション及び各随伴シミュレーションにおいて、双極子、ソース線、平面波、又は導波路の導波モードを構成する電磁源を使用することができることを簡単に述べることができる。例として、各フォワードシミュレーションでは、デバイス１は、例えば、（図７の左部分に概略的に示されているように）双極子を構成する電磁源９を使用してもよく、各随伴シミュレーションでは、（デバイス１が）例えば、（図７の右部分に概略的に示されているように）平面波を生成する電磁源１０を使用することが可能である。
双極子型又はソース線型の電磁源９又は１０は、構造２の外側又は内側に位置し得ることに留意されたい。
また、第１のシーケンスの第１の設計変数
Figure 2024508560000156
 及び第２のシーケンスの第２の設計変数
Figure 2024508560000157
 の各々は、電磁源によって生成される電磁場の波長に依存し得ることにも留意されたい
。しかし、代替的に、第１の設計変数
Figure 2024508560000158
 及び第２の設計変数
Figure 2024508560000159
 は、電磁源によって生成される電磁場の波長とは無関係であってもよい。
電磁源９又は１０は、少なくとも１つの空間変数に依存する電磁場を生成することができることにも留意されたい。しかし、これは必須ではない。
一例として、図１に示されるものと同様の１Ｄ回折メタ格子を構成し、３．６０８２に等しい屈折率、６５０ｎｍに等しい（Ｚに沿った）高さを有し、１．４５に等しい屈折率を有し、５０ｎｍに等しい最小幅（ｃｍｉｎ）に関する製造制約を有するＳｉＯ２基板上に堆積されたシリコン製の線形サブ構造３ｐ（バー）を含む構造２を最適化することが可能である。この構造２は、０．９μｍに等しい波長を有する電磁波を、４０°に等しい偏向角θｄで偏向させることが意図されている。区間［ｅｍｉｎ，ｅｍａｘ］において、２５個の第１のＰ＋Ｓタプル
Figure 2024508560000160
 及び２５個の第２のＰ＋Ｓタプル
Figure 2024508560000161
 が最初に生成され、２５ペアの各々について、最適化ステップ１１０～２３０の最大反復回数が１００
Figure 2024508560000162
 に設定されている。更に、Ｐ＋Ｓ（＝Ｎｐ）の３つの値、すなわち、Ｐ＋Ｓ＝５（３つのサブ構造３ｐ（ｐ＝１～３）及び２つの空間４ｓ（ｓ＝１及び２））、Ｐ＋Ｓ＝７（４つのサブ構造３ｐ（ｐ＝１～４）及び３つの空間４ｓ（ｓ＝１～３））、Ｐ＋Ｓ＝９（５つのサブ構造３ｐ（ｐ＝１～５）及び４つの空間４ｓ（ｓ＝１～４））が試験される。Ｐ＋Ｓ（＝Ｎｐ）の値がどのようなものであっても、最終構造２は、高い性能を有する（したがって、最初に選択された応答に非常に近い応答を提供する）。ただし、Ｐ＋Ｓ（＝Ｎｐ）の値が大きいほど、性能が高くなる。しかし、実際には、Ｐ＋Ｓ（＝Ｎｐ）の値が大きいほど、最終構造２の製造コストが高くなり、したがって、Ｐ＋Ｓの最大値（ここでは９に等しい）を有する構造との性能の差が非常に少ない（典型的には０．５％未満）ので、Ｐ＋Ｓの最小値（ここでは５に等しい）を有する構造２を製造することを選択することが可能である。例えば、本発明による方法を実装して、選択されたコンピュータを用いて最終的な最適構造２に向かって収束させるための計算時間が、Ｐ＋Ｓ＝５に対して３９９６．５秒、Ｐ＋Ｓ＝７に対して４８６１．５秒、Ｐ＋Ｓ＝９に対して５８２１．７秒に等
しい場合、この選択された同じコンピュータを用いるが、２８ボクセルによって画定される連続初期プロファイル関数を使用する従来技術の位相幾何学的最適化方法を実装すると、最終的な最適構造に向かって集束させるための計算時間は６７２４７秒に等しい。全ての場合において、本発明による計算時間と従来技術による計算時間との間に１１倍以上の差があることに留意されたい。
本発明による方法（１００～２３０）を実装するアルゴリズムの例を、以下に記載し、図４に示す。
このアルゴリズムは、任意選択的な初期化ステップ１００を含み、Ｐ＋Ｓ個の設計変数
Figure 2024508560000163
 （又は
Figure 2024508560000164
 ）の初期の第１のシーケンス及びＰ＋Ｓ個の第２の設計変数
Figure 2024508560000165
 （又は
Figure 2024508560000166
 ）の初期の第２のシーケンスが生成される。
次いで、第１の最適化ステップ１１０～２３０が開始される。後者は、サブステップ１１０及び１２０で始まり、設計変数の初期の第１及び第２のシーケンスが、それぞれＰ＋Ｓ個の第３の設計変数
Figure 2024508560000167
 （又は
Figure 2024508560000168
 ）の初期の第３のシーケンス及びＰ＋Ｓ個の第４の設計変数
Figure 2024508560000169
 （又は
Figure 2024508560000170
 ）の初期の第４のシーケンスに変換される。
次いで、サブステップ１３０及び１４０において、現在の設計変数及び対応する第３の設計変数
Figure 2024508560000171
 （又は
Figure 2024508560000172
 ）を使用するフォワードシミュレーション及び随伴シミュレーション、並びに現在の設計変数及び対応する第４の設計変数
Figure 2024508560000173
 （又は
Figure 2024508560000174
 ）を使用するフォワードシミュレーションが、性能指数ＦＭを計算するためにそれぞれ実行される。
次いで、サブステップ１５０において、性能指数ＦＭの勾配ｇ（ｔ）（ｘｉ）が計算される。
次いで、サブステップ１６０において、Ｐ＋Ｓ個の感度パラメータ
Figure 2024508560000175
 が計算され、これらは、それぞれ性能指数ＦＭの勾配ｇ（ｔ）のＰ＋Ｓ個の成分ｇ（ｔ）（ｘｉ）の関数である。
次いで、サブステップ１７０において、最大Ｐ＋Ｓ回のサブ反復が実行され、その各々において、第５の変数のペア
Figure 2024508560000176
 が、それぞれＰ＋Ｓ個の第３の設計変数
Figure 2024508560000177
 （又は
Figure 2024508560000178
 ）の第３のシーケンスから、対応するＰ＋Ｓ個の感度パラメータ
Figure 2024508560000179
 及び少なくとも１つの選択された制約から反復計算される。
次いで、サブステップ１８０において、反復ｔの各サブ反復において、第５の変数の各ペア
Figure 2024508560000180
 並びにそれらが計算される第３の設計変数
Figure 2024508560000181
 から決定され、これは、選択された基準に基づいて、これらの２つの変数
Figure 2024508560000182
 並びに第３の設計変数
Figure 2024508560000183
 の最良のものである。その基準は、性能指数ＦＭの最良の改善をもたらす各変動から構成され得る。
次いで、サブステップ１９０において、反復ｔの各サブ反復において、第３の変数の第３のシーケンスは、この第３のシーケンスにおいて、２つの第５の変数
Figure 2024508560000184
 並びに第３のシーケンスの要素
Figure 2024508560000185
 （又は
Figure 2024508560000186
 ）の中で最良と考えられる要素を置き換えることによって更新される。
次いで、反復ｔの最大Ｐ＋Ｓ－１回のサブ反復の終了時に実行されるサブステップ２００において、更新された第３のシーケンスを用いて新しい第４のシーケンスが形成される。
次いで、サブステップ２１０において、Ｐ＋Ｓ個の第２の設計変数
Figure 2024508560000187
 （又は
Figure 2024508560000188
 ）の新しい第２のシーケンスが、各々、Ｐ＋Ｓ個の第４の設計変数
Figure 2024508560000189
 （又は
Figure 2024508560000190
 ）及び
Figure 2024508560000191
 （又は
Figure 2024508560000192
 ）の新しい第４のシーケンスの２つの要素から計算（更新）される。
次いで、サブステップ２２０において、Ｐ＋Ｓ個のノイズパラメータ
Figure 2024508560000193
 が、計算されたばかりのＰ＋Ｓ個の新しい第２の設計変数
Figure 2024508560000194
 に対応して、それぞれ決定される。
次いで、サブステップ２３０において、Ｐ＋Ｓ個の新しい第１の設計変数
Figure 2024508560000195
 は、それぞれ対応する新しいＰ＋Ｓ個の第２の設計変数
Figure 2024508560000196
 （又は
Figure 2024508560000197
 ）及び対応するＰ＋Ｓ個のノイズパラメータ
Figure 2024508560000198
 から生成される。
次いで、最適な最終構造２に収束しておらず、最適化ステップ１１０～２３０の最大反復回数にまだ達していない限り、最適化ステップ１１０～２３０は、修正された設計変数を用いて繰り返され、より正確には、ここでは、そのサブステップ１１０において、（最後のサブステップ２３０で決定される）Ｐ＋Ｓ個の新しい第１の設計変数
Figure 2024508560000199
 を使用することによって繰り返されて、Ｐ＋Ｓ個の新しい第３の設計変数
Figure 2024508560000200
 （又は
Figure 2024508560000201
 ）、及びそのサブステップ１４０において、（最後のサブステップ２００で決定される）Ｐ＋Ｓ個の新しい第４の設計変数
Figure 2024508560000202
 （又は
Figure 2024508560000203
 ）が得られる。
本方法（１００～２３０）の各最適化ステップ１１０～２３０及び／又は初期化ステップ１００の１つ以上のサブステップは、異なる成分によって実行され得ることに留意されたい。したがって、本方法（１００～２３０）は、複数のデジタルシグナルプロセッサ、ランダムアクセスメモリ、大容量メモリ、入力インターフェース、出力インターフェースによって実装され得る。
本発明は、例えばプロセッサ６などの電子回路（又はハードウェア）タイプの処理手段によって実行されたとき場合、上記の方法（１００～２３０）を実装することができる一組の命令を含むコンピュータプログラム製品（又はコンピュータプログラム）も提案することにも留意されたい。
また、図８に非限定的な様式で示されるように、デバイス１は５つの機能ブロックに分解され得ることにも留意されたい。
第１の機能ブロック１０は、初期化ステップ１００（オプション）を確実にする。
第２の機能ブロック１１は、各最適化ステップ１１０～２３０中に、Ｐ＋Ｓ個の第１の設計変数
Figure 2024508560000204
 （又は
Figure 2024508560000205
 ）のそれぞれＰ＋Ｓ個の第３の設計変数
Figure 2024508560000206
 （又は
Figure 2024508560000207
 ）への変換を確実にし、第１の最適化ステップ１１０～２３０全体中に、Ｐ＋Ｓ個の初期の第２の設計変数
Figure 2024508560000208
 （又は
Figure 2024508560000209
 ）のそれぞれＰ＋Ｓ個の第４の設計変数
Figure 2024508560000210
 （又は
Figure 2024508560000211
 ）への変換を確実にする。
第３の機能ブロック１２は、各最適化ステップ１１０～２３０中に全てのフォワードシミュレーション及び随伴シミュレーションを実行する役割を果たす。
第４の機能ブロック１３は、各最適化ステップ１１０～２３０中に、性能指数ＦＭ、フィットネスパラメータ
Figure 2024508560000212
 、並びに第５の変数
Figure 2024508560000213
 の勾配計算ｇ（ｔ）（ｘｉ）を実行する役割を果たす。
第５の機能ブロック１４は、各最適化ステップ１１０～２３０中に、新しい第４の設計変数
Figure 2024508560000214
 （又は
Figure 2024508560000215
 ）、新しい第２の設計変数
Figure 2024508560000216
 、ノイズパラメータ
Figure 2024508560000217
 、及び新しい第１の設計変数
Figure 2024508560000218
 を決定する役割を果たす。
マクスウェル方程式を解くために、少なくとも２つのタイプのモード法、すなわち、Ｆｏｕｒｉｅｒモデル法（ＦＭＭ）、厳密結合波解析（ＲＣＷＡ）法、及び多項式モーダル法（ＰＭＭ）を使用することができることも留意されたい。Ｆｏｕｒｉｅｒモーダル法（ＦＭＭ）は、１Ｄ、２Ｄ、又は３Ｄ周期構造に特によく適している。非周期構造の場合、非周期フーリエモデル法（ＡＦＭＭ）を使用することが可能であり、これは、複素座標の変化によって、周期系のソルバーを完全整合層（又はＰＭＬ）と組み合わせる。これは、フーリエ基底、複素座標におけるＭａｘｗｅｌｌ方程式、及びＳｔｒａｔｔｏｎとＣｈｕの積分形式を組み合わせるハイブリッド法を導入することによって、入射平面波（入力場）及び非周期回折場を同じ形式で記述することを必要とする。しかしながら、金属構造又は高屈折率コントラストを有する構造の場合、多項式モード法（ＰＭＭ）又は非周期的多項式モーダル法（ＡＰＭＭ）を使用することが好ましい。
図２に非限定的な様式で示されるように、コンピュータ８は、デバイス１（ランダムアクセスメモリ７及びプロセッサ６）に加えて、大容量メモリ１５も含むことができることも留意されたい。更に、このコンピュータ８は、任意選択的に、デジタルシグナルプロセッサ１７によってそれ自体既知の様式で整形及び／又は復調及び／又は増幅された後、計算又は処理に使用するための命令及びデータを受信するための入力インターフェース１６も含むことができる。加えて、このコンピュータ８は、特にメッセージ及び各最適化の結果を配信するために、出力インターフェース１８も含むことができる。

Claims (16)

  1. Ｓ個の空間（４ｓ）によって互いに分離され、各々が材料の少なくとも１つの層を含むＰ個のサブ構造（３ｐ）（Ｐ≧２及びＳ≧１である）を含む構造（２）を、前記構造（２）が少なくとも１つの電磁源によって選択された電磁励起に対して選択された応答を有するように生成するための方法（１００～２３０）であって、最適化ステップ（１１０～２３０）を含むことを特徴とし、前記最適化ステップ（１１０～２３０）が、前記空間（４ｓ）及びサブ構造（３ｐ）の第１の設計変数の第１のシーケンス変動及び第２の設計変数の第２のシーケンス変動に対する選択された応答の感度を表す性能指数を計算し、次いで、計算された前記性能指数の勾配を計算し、その後、前記性能指数を改善するために、計算された前記勾配に応じて、第１及び第２のシーケンスのうちの少なくとも１つの第１又は第２の設計変数を修正し、前記性能指数が設定された目標を表していない限り、かつ／又は前記性能指数が選択された値未満である限り、前記最適化ステップ（１１０～２３０）を繰り返すことを含み、前記第１のシーケンスのＰ＋Ｓ個の前記第１の設計変数及び前記第２のシーケンスのＰ＋Ｓ個の前記第２の設計変数が、三次元空間の３つの異なる方向のうちの１つにおいて画定される、サブ構造（３ｐ）又はサブ構造（３ｐ）間の空間（４ｓ）の幅である、方法（１００～２３０）。
  2. 初期化ステップ（１００）であって、初期のシーケンスと称され、各々がＰ＋Ｓ個の設計変数を含む、第１及び第２の設計変数シーケンスが生成される、初期化ステップ（１００）、を含むことを特徴とし、また、第１の最適化ステップ（１１０～２３０）において、これらの初期の第１及び第２の設計変数シーケンスが、それぞれＰ＋Ｓ個の第３の設計変数の初期の第３のシーケンス及びＰ＋Ｓ個の第４の設計変数の初期の第４のシーケンスに変換され、次いで、前記性能指数が、これらの前記第３のシーケンスのＰ＋Ｓ個の第３の設計変数及び前記第４のシーケンスのＰ＋Ｓ個の第４の設計変数から計算され、次いで、前記最適化ステップ（１１０～２３０）の各反復において、前記性能指数が、前の最適化ステップ（１１０～２３０）中に決定されたＰ＋Ｓ個の第１の設計変数の前記第１のシーケンス及び前記先行する最適化ステップ（１１０～２３０）中に決定された新しいＰ＋Ｓ個の第４の設計変数の前記第４のシーケンスの変換から導出された新しいＰ＋Ｓ個の設計変数の前記第３のシーケンスから計算されることを特徴とし、前記第３のシーケンスの前記第３の設計変数及び前記第４のシーケンスのＰ＋Ｓ個の第４の設計変数の各々が、原点に対する、かつ前記幅が画定される三次元空間の方向に沿った、サブ構造の位置（３ｐ）又はサブ構造（３ｐ）間の空間（４ｓ）を表し、各位置が、前の位置と対応する第１又は第２の設計変数との間の合計に等しい、請求項１に記載の方法。
  3. 各最適化ステップ（１１０～２３０）において、最大Ｐ＋Ｓ個のサブ反復を最適化するサブステップでは、前記性能指数の前記勾配にそれぞれ依存する最大Ｐ＋Ｓ個の感度パラメータのシーケンスが計算され、次いで、前記Ｐ＋Ｓ個のサブ反復の各々で、第５の変数のペアが、それぞれ前記第３のシーケンスのＰ＋Ｓ個の前記第３の設計変数、前記対応するＰ＋Ｓ個の感度パラメータ、及び少なくとも１つの選択された制約から、前記第３のシーケンスにおける最も強い感度を有する前記第３の設計変数から始まり、最も低い感度を有する前記第３の設計変数で終わるまで、反復計算され、次いで、選択された基準に従って、現在の反復の検討されるサブ反復中に計算された前記第５の変数のペア及び前記第５の変数が計算される前記第３の設計変数を含むトリプレットから、これらの２つの第５の変数及びこの第３の設計変数の最良のものが決定され、次いで、選択された基準に従って、これらの２つの第５の変数及び第３の設計変数の最良のもの並びに最大Ｐ＋Ｓ－１個の残りの第３の設計変数のシーケンスの残りから構成される最大Ｐ＋Ｓ個の第３の設計変数の新しい第３のシーケンスが更新され、次いで、新しい第４のシーケンスが、更新された前記第３のシーケンスで構成され、次いで、新しいＰ＋Ｓ個の第２の設計変数の新しい第２のシーケンスが、第４の設計変数の前記新しい第４のシーケンスから計算され、次いで
    、新しいＰ＋Ｓ個の第１の設計変数の新しい第１のシーケンスが、それぞれ前記新しい第２のシーケンスの前記新しいＰ＋Ｓ個の第２の設計変数及びＰ＋Ｓ個の対応するノイズパラメータから生成され、次いで、新しいＰ＋Ｓ個の第３の設計変数の新しい第３のシーケンスが、前記新しいＰ＋Ｓ個の第１のシーケンスの前記新しいＰ＋Ｓ個の第１の設計変数から計算されることを特徴とする、請求項２に記載の方法。
  4. 各制約が、最小幅及び最大幅を含む群から選択されることを特徴とする、請求項３に記載の方法。
  5. 各最適化ステップ（１１０～２３０）において、前記性能指数が、対応する前記第３の設計変数を使用するフォワードシミュレーション及び随伴シミュレーションから、並びに前記第１の最適化ステップ（１１０～２３０）中の対応する前記第４の設計変数を使用するフォワードシミュレーション又は前記先行する最適化ステップ（１１０～２３０）中に生成された対応する新しい前記第４の設計変数のいずれかから計算されることを特徴とする、請求項２～４のいずれか一項に記載の方法。
  6. 各フォワードシミュレーション及び各随伴シミュレーションにおいて、双極子、ソース線、平面波、又は導波路の導波モードを構成する電磁源を使用することを特徴とする、請求項５に記載の方法。
  7. 前記構造（２）が、三次元空間の３つの異なる方向のうちの少なくとも１つにおいて周期性を有する幾何学的形状を有することを特徴とする、請求項１～６のいずれか一項に記載の方法。
  8. 前記構造（２）が、サブ構造（３ｐ）及びサブ構造（３ｐ）間の空間（４ｓ）の配置からなる幾何学的形状を有し、少なくとも１つの別個の基本設計を形成し、前記幾何学的形状が、例えば、線、長方形、円柱、球、平行六面体、環、及び一組の同心環又は偏心環を含む群から選択される正準形を有する、請求項７に記載の方法。
  9. 前記構造（２）が、三次元空間において周期性のない幾何学的形状を有することを特徴とする、請求項１～６のいずれか一項に記載の方法。
  10. 前記第１のシーケンスのＰ＋Ｓ個の前記第１の設計変数及び前記第２のシーケンスのＰ＋Ｓ個の第２の設計変数が、最初にランダムに生成されることを特徴とする、請求項１～９のいずれか一項に記載の方法。
  11. 前記電磁源が、前記構造（２）の外側又は前記構造（２）の内側に位置することを特徴とする、請求項１～１０のいずれか一項に記載の方法。
  12. 前記第１のシーケンスの前記第１の設計変数及び前記第２のシーケンスの第２の設計変数の各々が、前記電磁源によって生成される電磁場の波長の関数であることを特徴とする、請求項１～１１のいずれか一項に記載の方法。
  13. 前記電磁源が、少なくとも１つの空間変数に基づいて電磁場を生成することを特徴とする、請求項１～１２のいずれか一項に記載の方法。
  14. 一組の命令を含むコンピュータプログラム製品であって、前記命令が、処理手段によって実行されたとき、Ｓ個の空間（４ｓ）によって互いに分離され、各々が材料の少なくとも１つの層を含むＰ個のサブ構造（３ｐ）（Ｐ≧２かつＳ≧１である）を含む構造（２）を最適化し、この構造（２）が少なくとも１つの電磁源によって選択された電磁励起に対
    して選択された応答を有するようにする、請求項１～１３のいずれか一項に記載の方法を実装することができる、コンピュータプログラム製品。
  15. Ｓ個の空間（４ｓ）によって互いに分離され、各々が材料の少なくとも１つの層を含むＰ個のサブ構造（３ｐ）（Ｐ≧２及びＳ≧１である）を含む構造（２）を、前記構造（２）が少なくとも１つの電磁源によって選択された電磁励起に対して選択された応答を有するように生成するためのデバイス（１）であって、最適化操作を実行するように構成された少なくとも１つのプロセッサ（６）と、少なくとも１つのメモリ（７）と、を含むことを特徴とし、前記最適化操作が、空間（４ｓ）及びサブ構造（３ｐ）の第１の設計変数における第１のシーケンス変動及び第２の設計変数における第２のシーケンス変動に対する選択された応答の感度を表す性能指数を計算し、次いで、計算された前記性能指数の勾配を計算し、その後、前記性能指数を改善するために、計算された前記勾配に応じて、前記第１及び第２のシーケンスのうちの少なくとも１つの第１又は第２の設計変数を修正し、前記性能指数が設定された目標を表していない限り、かつ／又は前記性能指数が選択された値未満である限り、前記最適化操作を繰り返すことからなる、デバイス（１）。
  16. 請求項１５に記載のデバイス（１）を含むことを特徴とする、電子装置（８）。
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