JP2017188894A - 不均一ｑａｍコンステレーションのための低複雑性ｌｌｒ計算 - Google Patents

Abstract

【課題】対数尤度比の値を決定して、変調された信号を復調する。
【解決手段】２進交番グレイラベル付け符号によって識別される複数のコンステレーション点を備えるコンステレーション図を使用して復調し、変調された信号に最も近い相補コンステレーション点を識別し、硬判定点を識別する。硬判定点は、信号をコンステレーション図の１次元の表現上の点として考慮する時に信号に最も近いコンステレーション点であり、相補コンステレーション点は、硬判定点と比較してビットについて異なる値を有するコンステレーション点である、硬判定点と最も近い相補コンステレーション点とを使用して対数尤度比の値を決定する。信号に２番目に近い相補コンステレーション点と硬判定点と補助硬判定点とを識別し、硬判定点と補助硬判定点と最も近い相補コンステレーション点と２番目に近い相補コンステレーション点とを使用して対数尤度比の値を決定する。
【選択図】図５

Description

諸実施形態は、全般的には複雑さを低減された信号復調での使用のための、より具体的には不均一ＱＡＭコンステレーションのための、デバイスおよび方法に関する。

デジタル信号が通信システムにまたがって送られる時には、変調された搬送波信号の形で信号を送信することが一般的である。送信の後に、受信された信号は、元の信号（内容）を再構成するために復調されなければならない。

デジタル変調方式は、有限個数の離散信号を使用する。事前定義された個数のシンボル（２進数字の一意の組合せ）が、デジタル変調シンボルごとに割り当てられ得る。

パルス振幅変調（ＰＡＭ）は、一連の信号パルスの振幅内でメッセージ情報を符号化する変調方式である。各デジタルシンボルは、搬送波信号の特定の振幅として符号化される。その後、受信された信号は、受信された信号がこれらのセットされた振幅のどれに最も近いのかを決定し、その後に、このセットされた振幅に対応するシンボルを割り当てることによって復調され得る。振幅偏移変調（ＡＳＫ）は、正弦波搬送波の振幅を変調するタイプのＰＡＭである。

直角位相振幅変調（ＱＡＭ）は、ＡＳＫを使用して２つの搬送波の振幅を変調することによってデジタルメッセージを符号化する変調方式である。２つの搬送波は、お互いと９０°位相はずれ（正弦波および余弦波）である正弦曲線である。２つの搬送波は、合計され、その後、２つの組み合わされた搬送波を分離することと、各搬送波の振幅に関して対応するシンボルを決定することとによって、受信端で復調され得る。

所与の変調方式のシンボルのセットは、コンステレーション図によって表現され得る。ＱＡＭに関して、各シンボル（２進数字の各一意の組合せ）は、複素平面上の位置を表す複素数によって表現され得る。正弦搬送波および余弦搬送波は、所与のシンボルの変調された信号を提供するために、所与のシンボルの複素数の実部と虚部とによって変調される。その後、コヒーレント復調器が、シンボルを決定するために２つの搬送波を独立に復調することができる。

通常のＱＡＭコンステレーション（すなわち、等間隔の点を有する）は、実施の相対的な簡単さ（変調／復調に関する）に起因して、実際に幅広く使用されている。しかし、これらのコンステレーションは、加法性白色ガウス雑音（ＡＷＧＮ）チャネル上でシャノン容量を達成するのに不十分である。穏当な性能改善は、隣接する点の間の不等スペーシングを許容することによる、従来の直角位相振幅変調（ＱＡＭ）コンステレーションの格子構造の緩和を介して獲得され得る。そのようなコンステレーションの一例は、距離プロファイルを正規分布の累積分布関数（ＣＤＦ）にあてはめることによって得ることができる（たとえば、ガウシアン形状ＰＡＭ）。同相／直角位相の独立を維持するために、この距離プロファイルあてはめは、パルス振幅変調（ＰＡＭ）コンステレーション上で独立に適用され得、結果のＱＡＭコンステレーションは、単純に、基礎になるＰＡＭのデカルト積になる。通常のシナリオでは、これらの不均一コンステレーションは、誤り訂正符号（たとえば、ＬＤＰＣまたはターボ符号）に関連して使用される。

理論的シャノン容量と比較された、あるＱＡＭコンステレーションの容量を示す図。 ガウシアンスペーシング（Gaussian spacing）を有するグレイラベル付けコンステレーション点（Gray-labelled constellation point）の１Ｄ考慮事項を概略的に示す図。 一実施形態によるＭａｘ₂−ｌｏｇ ＭＡＰを含む、異なる最大事後確率（ＭＡＰ）推定値のビット誤り率を示す図。 グレイラベル付けコンステレーション点の間の可能な境界を示す図。 グレイラベル付けコンステレーション点の間の可能な境界を示す図。 グレイラベル付けコンステレーション点の間の可能な境界を示す図。 一実施形態を概略的に示すフローチャート。 図５によるＭａｘ−ｌｏｇ ＭＡＰデマッパの第１の実施形態を概略的に示すフローチャート。 図５の実施形態による方法を概略的に示す図。 図５の実施形態による方法を概略的に示す図。 図５の実施形態による方法を概略的に示す図。 図５の実施形態による方法を概略的に示す図。 さらなる実施形態を概略的に示すフローチャート。 図８の実施形態によるＭａｘ₂−ｌｏｇ ＭＡＰデマッパの第１の実施形態を概略的に示すフローチャート。 図８の実施形態によるＭａｘ₂−ｌｏｇ ＭＡＰデマッパの第１の実施形態を概略的に示すフローチャート。 図８の実施形態によるＭａｘ₂−ｌｏｇ ＭＡＰデマッパの第１の実施形態を概略的に示すフローチャート。 図８の実施形態による方法の第１の部分を概略的に示す図。 図８の実施形態による方法の第１の部分を概略的に示す図。 図８の実施形態による方法の第１の部分を概略的に示す図。 図８の実施形態による方法の第１の部分を概略的に示す図。 図８の実施形態による方法の第２の部分を概略的に示す図。 図８の実施形態による方法の第２の部分を概略的に示す図。 図８の実施形態による方法の第２の部分を概略的に示す図。 一実施形態による方法を概略的に示す図。 一実施形態による方法を概略的に示す図。 一実施形態による方法を概略的に示す図。 一実施形態による方法を概略的に示す図。 一実施形態による方法を概略的に示す図。 一実施形態による方法を概略的に示す図。 図５の実施形態を示す、図６に対するＭａｘ−ｌｏｇ ＭＡＰデマッパの代替実施形態を示す図。 図８の実施形態を概略的に示す、図９ａのＭａｘ₂−ｌｏｇ ＭＡＰデマッパに対するＭａｘ₂−ｌｏｇ ＭＡＰデマッパの代替実施形態を示す図。 図１４のアルゴリズムの一部を示すフローチャート。 図１４のアルゴリズムのさらなる部分を示すフローチャート。 一実施形態による補助硬判定点を決定する際の使用のための変数のオフライン計算のための方法を示すフローチャート。 一実施形態による補助硬判定点を決定する際の使用のための変数のオフライン計算のための方法を示すフローチャート。

一実施形態によれば、対数尤度比の値を決定することによって変調された信号を復調する際に使用するためのデバイスがある。このデバイスは、
実行可能命令を記憶するように構成されたストレージデバイスと、
ストレージデバイス上に記憶された命令を実行するように構成されたプロセッサとを備えることができる。

プロセッサは、命令を実行する時に、
２進交番グレイラベル付け符号（binary reflected Gray-labelled code）によって識別される複数のコンステレーション点を備えるコンステレーション図を使用して復調されることになる、変調された信号を受信し、
グレイラベル付け符号のビットについて、信号をコンステレーション図の１次元の表現上の点として考慮する時に信号に最も近い相補コンステレーション点を識別し、
硬判定点を識別し、
ここにおいて、硬判定点は、信号をコンステレーション図の１次元の表現上の点として考慮する時に信号に最も近いコンステレーション点であり、
相補コンステレーション点は、硬判定点と比較してビットについて異なる値を有するコンステレーション点である
硬判定点と最も近い相補コンステレーション点とを使用して対数尤度比の値を決定する
ように構成され得る。

用語「〜するように構成されたプロセッサ」は、本明細書で使用される時に、説明される方法に着手するように構成され得るすべてのプロセッサを包含すると広義に解釈されなければならない。

デバイスは、変調された信号を受信するためのまたはこれを受信するように構成された信号入力を備えることができる。変調された信号は、雑音汚染された信号とすることができる。変調された信号は、等化ステップを受けた可能性がある。一実施形態は、変調された信号を等化するための等化デバイスを備えることができる。プロセッサは、変調された信号を等化するようにさらに構成され得る。

デバイスは、対数尤度比の値を出力するための出力を備えることができる。一実施形態は、軟出力を出力することができる。出力は、第２のデバイスに接続され得る。プロセッサまたは命令は、対数尤度比の値を第２のデバイスに送るように構成され得る。第２のデバイスは、復号器、たとえばＬＤＰＣ（低密度パリティ検査）復号器またはターボ符号繰返し復号器とすることができる。

一実施形態は、そのビットのまたはすべてのビットの対数尤度比を入手することができる。対数尤度比は、すべてのビットに関して得ることができる。一実施形態は、信号を復調することができる。信号は、対数尤度比の値を使用して復調され得る。

一実施形態は、対数尤度比の値または各値をデバイスから受け取り、対数尤度比の値を繰り返し更新するための復号器（たとえば、ＬＤＰＣ（低密度パリティ検査）復号器またはターボ符号繰返し復号器）を備えることができる。一実施形態、たとえば復号器は、復号された信号または送信された信号もしくはメッセージの推定値を出力するための出力を備えることができる。

デバイスのプロセッサは、復号器の仕事に着手するように構成され得る。代替案では、個々の復号器が、復号器の仕事に着手するように構成されたさらなるプロセッサを備えることができる。

諸実施形態は、複雑さがコンステレーションのサイズＭに伴って対数的に増加する、より効率的な復調器を提供することができる。

プロセッサは、対数尤度比（ＬＬＲ）の値を使用して信号を復調するようにさらに構成され得る。一実施形態による方法は、ＬＬＲの値を使用して信号を復調することができる。

一実施形態は、復調された信号を出力するための出力を備えることができる。デバイスは、復調ユニットまたは復調器とすることができる。

したがって、一実施形態によれば、本明細書で説明されるデバイスを備える通信デバイスがある。通信デバイスは、変調された信号を受信し、対数尤度比の値を決定するように構成される。通信デバイスは、変調された信号を復調することができる。通信デバイスは、受信器とすることができる。

本明細書で説明される諸実施形態は、方法と、デバイスと、装置とを備えることができる。デバイスは、本明細書で説明されるすべての方法に着手するように構成された、プロセッサまたはプロセッサによって実行される命令を備えることができる。同様に、一実施形態による方法は、一実施形態による命令を実行するプロセッサが着手するように構成されるステップを備えることができる。

変調された信号は、２次元コンステレーション上で表現され得る。２次元コンステレーションは、２つのＰＡＭコンステレーションのデカルト積とみなされ得る。変調された信号は、実部と虚部との間の固有の依存を全く有しない任意の変調された信号とすることができる。したがって、信号は、矩形ＱＡＭ変調された信号とすることができる。したがって、変調された信号は、ＰＡＭまたは他の同等の変調方法によって変調され得る。

ＱＡＭ信号は、２つの搬送波を備える。これらの搬送波は、実成分と虚成分とを表現すると考えられ得る。これらの成分は、独立であり、したがって、実成分および虚成分は、独立と考えられ得る。したがって、受信された信号の復調は、１次元で表現される２つの点を考慮して行われ得る。本明細書で説明される実施形態は、実部／虚部の間に固有の依存がないと仮定して、任意のＱＡＭコンステレーション配置に適用可能である。本明細書で説明される実施形態は、ＰＡＭコンステレーションと矩形ＱＡＭコンステレーションとに関するものとすることができる。

矩形ＱＡＭコンステレーションの２進交番グレイラベル付けは、２つの２進交番グレイラベル付けＰＡＭのデカルト積を介して直接に得られる。したがって、ｘ軸ビットおよびｙ軸ビットの考慮は、独立に行われ得る。

受信された信号がＰＡＭを使用するＱＡＭ信号である場合に、実成分および虚成分は、ＱＡＭ信号から決定され得、それぞれが、独立のＰＡＭ信号として扱われ得る。上で言及されるように、ビットの一部は、コンステレーション図の虚軸に沿って変化し、ビットの一部は、実軸に沿って変化する。したがって、ＰＡＭ信号ごとに、ＬＬＲ値が、その成分の関連する軸に沿って変化するビットだけに関して計算され得る。ＰＡＭ信号ごとに計算されるＬＬＲ値は、その後、復調された信号の全体を決定するために組み合わされ得る。

受信された信号は、２進符号を使用して識別されるシンボルと雑音とを備えることができる。諸実施形態でシンボルを識別するのに使用される２進符号は、グレイ符号すなわち交番２進符号である。

受信された信号は、雑音を備える可能性があり、したがって、通常は、コンステレーション点と一致しない。受信された信号または信号点は、軸上の点として表現され得る。受信された信号の実（同相）成分および虚（直角位相）成分は独立なので、チャネルモデルは、雑汚染された信号が表現される２つのチャネルに分割されていると考えられ得、その実成分と虚成分とに分離されていると考えられ得る。したがって、信号は、それぞれがコンステレーションプロットの１つの次元または変数を表す２つの１次元プロット上で表現され得、したがって、信号の２つの次元が別々に計算され、その後に組み合わされることを可能にする。

プロセッサは、２進交番グレイラベル付け符号によって識別される複数のコンステレーション点を備えるコンステレーション図の１次元を表現するプロット上の点として信号を表現するように構成され得る。

本実施形態は、コンステレーション点がグレイラベルまたはグレイ符号を使用して識別されるコンステレーションと共に使用するためのものである。本明細書で説明される実施形態は、各連続するコンステレーション点が１ビットのみ前の点と異なり、最上位ビットのみが異なる（一方の半分では「０」、別の半分では「１」）ＰＡＭコンステレーションの２つの半分の間の鏡映対称がある、２進交番グレイ符号を使用する。

コンステレーション点は、本明細書ではｘ_nとして指定され得、ｎは、コンステレーション点の番号である。

諸実施形態は、すべてのｉについて第ｉビットが「１」と「０」とであるコンステレーション点のサブセットから、受信された信号に最も近い（１つ、２つ、またはより多くの）点を突き止めるのに使用され得る。

諸実施形態は、１つのビットまたは各ビットの１つ（または複数）の最も近い相補コンステレーション点と硬判定点とを見つけるのに使用され得る。さらに、「補助硬判定点」が、１つのビットまたは各ビットについて識別され得る。受信された信号に関して、１つのみの一意の硬判定点があり得ることを理解されたい。本明細書で使用される時に、第ｉのビットの「補助硬判定点」という用語は、第ｉのビットに関して受信された信号と同一の値を有し、対数尤度比の値を決定するのに使用されるコンステレーション点を記述する。

特定のビット、たとえば符号の第１のビットを考慮する時に、相補コンステレーション点は、硬判定点（受信された信号に最も近いコンステレーション点）のビット値とは異なるビット値（すなわち、２進値）を有するコンステレーション点である。したがって、受信された信号に最も近いコンステレーション点が［０ １ ０］である場合に、第１のビットの相補コンステレーション点は、第１のビットとして１を有し、第２のビットの相補コンステレーション点は、第２のビットとして０を有し、第３のビットの相補コンステレーション点は、第３のビットとして１を有する。

境界は、プロットされた軸またはスケール上にある値である。諸実施形態では、境界は、２つのコンステレーション点の算術平均（すなわち、中点）に配置される。一実施形態では、境界が、第２のコンステレーション点と第３のコンステレーション点との間に配置される場合に、その境界は、定義によって、第２の位置または単純に２に配置されると言われる。

相補コンステレーション点は、境界によって信号から分離される（すなわち、信号に対して境界の反対側にある）コンステレーション点とすることができる。

本実施形態で使用される境界の例は、キー境界、イメージ境界、第２のイメージ境界、またはさらなるイメージ境界である。

境界は、関心を持たれているビットに関して異なる値を有する２つのコンステレーション点の間に配置され得る。したがって、境界は、それぞれのビットの相補コンステレーション点を非相補コンステレーション点から分離することができる。境界は、相補コンステレーション点と受信された信号との間に配置され得、これらを分離することができる。

境界が２つのコンステレーション点の間に配置される時に、その境界は、２つのコンステレーション点の中点または平均値に配置されることが可能である（すなわち、コンステレーションの１次元の表現上の値を定義する）。

硬判定点およびあるビットの最も近い相補コンステレーション点は、対数尤度比の値を決定するのに使用され得る。

対数尤度比は、受信された信号を復調するのに使用され得る。したがって、諸実施形態は、受信された信号を復調するように構成され得る。

対数尤度比の値は、対数尤度比の近似とすることができる。したがって、一実施形態は、対数尤度比の近似を決定しまたは対数尤度比を近似することができる。

最も近い相補コンステレーション点を識別することは、
キー境界を定義することと、
ここにおいて、キー境界は、コンステレーション図の１次元の表現上の値を定義する、
受信された信号をキー境界と比較することと、
キー点と呼ばれる、信号に最も近く、信号に対してキー境界の反対側にある相補コンステレーション点を最も近い相補コンステレーション点としてセットすることと
を備えることができる。

最も近い相補コンステレーション点を識別することは、
キー境界を定義することと、
ここにおいて、キー境界は、コンステレーション図の１次元の表現上の値を定義する、
受信された信号をキー境界と比較することと、
イメージ境界を定義することと、
ここにおいて、イメージ境界は、コンステレーション図の１次元の表現上の値を定義し、ここにおいて、イメージ境界は、ビットについて異なる値を有する２つのコンステレーション点の間で、キー境界について信号と同一の側に配置される、
コンステレーション点が信号に対してイメージ境界の反対側に存在するかどうかをチェックすることと、
コンステレーション点が信号に対してイメージ境界の反対側に存在しない時に、
キー点と呼ばれる、信号に最も近く、信号に対してキー境界の反対側にある相補コンステレーション点を最も近い相補コンステレーション点としてセットすることと
を備えることができる。

第ｉのビットのキー境界は、ｋ_iと表され得、ここで、ｋ_i＝３は、境界ｋ_iが第３のコンステレーション点と第４のコンステレーション点との間すなわち、ｘ₃とｘ₄との算術平均に配置されることを意味する。同一の表記および番号付け体系が、諸実施形態によるすべての境界に適用される。

信号に最も近く、信号に対してキー境界の反対側にある相補コンステレーション点（
）（キー点と呼ばれる）は、次式を使用して最も近い相補コンステレーション点としてセットされ得る。
ここで、σは、シグネチャベクトル（下を参照されたい）であり、σ_iは、ベクトル内の第ｉの項目であり、上付きのｃは、論理補数を表す。

いくつかの実施形態では、最も近い相補コンステレーション点は、相補点を非相補点から分離するキー境界を考慮することと、信号に対して境界の反対側にあるコンステレーション点を最も近い相補点としてセットすることとによって見つけられ得る。キー境界は、信号に最も近い境界（すなわち、相補コンステレーション点と非相補コンステレーション点との間の分割）とすることができる。しかし、これは、イメージ点が存在するかどうかに関してチェックが行われた後に限って行われ得る。

受信された信号を境界と比較する時に、アナログ値を使用して、信号が境界の位置より大きい値またはより小さい値のどちらを有するのかが決定され得る。この比較は、グレイコーディングされたコンステレーション点ではなく、実際の値を使用して行われ得る。そのような比較は、ユークリッド距離の計算より効率的である。

信号が境界より大きい時には、信号に最も近く、信号に対して境界の反対側にあるコンステレーション点が、境界の位置より小さい位置を有する（すなわち、従来の水平スケール上で左側にある）コンステレーション点になる。信号が境界より小さい時には、信号に最も近く、信号に対して境界の反対側にあるコンステレーション点が、境界の位置より大きい位置を有する（すなわち、従来の水平スケール上で右側にある）コンステレーション点になる。

不等（たとえば、ガウシアン）スペーシングがコンステレーションのために使用される、本明細書で説明されるいくつかの特定の実施形態（たとえば、図６および図９ａの実施形態）では、当初に識別され、そのように定義される最も近い相補コンステレーション点は、実際の最も近い相補コンステレーション点ではない場合がある（すなわち、別のコンステレーション点が、実際にはこのコンステレーション点より信号に近い場合がある）。その場合に、さらなるチェックが、識別された実際の最も近い相補コンステレーション点を識別し、それに従って最も近い相補コンステレーション点の定義またはアイデンティティを更新するために使用され得る。このさらなるチェックは、イメージ境界を利用することができる。

したがって、本開示では、最も近い相補コンステレーション点が、実際に最も近い相補コンステレーション点を指すのに必ず使用されるとは限らないことに留意されたい。そうではなく、この用語は、実施形態によるアルゴリズムが進行する時に更新され得るラベルとして使用される。

最も近い相補コンステレーション点は、グレイラベル付け符号の複数のビットまたはすべてのビットについて識別され得る。したがって、プロセッサは、グレイラベル付け符号の複数のビットまたはすべてのビットについて最も近い相補コンステレーション点（または第２のもしくは後続の最も近い相補コンステレーション点）を識別するように構成され得る。

グレイラベル付け符号のすべてのビットについて最も近い相補コンステレーション点を識別することは、
第１のビットについて第１のキー境界を定義することと、
ここにおいて、キー境界は、コンステレーション図の１次元の表現上の値を定義する、
受信された信号を第１のキー境界と比較することと、
キー点と呼ばれる、信号に最も近く、信号に対して第１のキー境界の反対側にある相補コンステレーション点を、第１のビットの最も近い相補コンステレーション点としてセットすることと、
さらなるビットごとにそれぞれのキー境界を順次定義することと、
ここにおいて、各それぞれのキー境界は、それぞれのビットについて異なる値を有する２つのコンステレーション点の間で、前のビットのキー境界について信号と同一の側に配置される、
受信された信号を各それぞれのキー境界と比較することと、
それぞれのキー点と呼ばれる、信号に最も近く、信号に対してそれぞれのキー境界の反対側にある相補コンステレーション点を、それぞれのビットの最も近い相補コンステレーション点としてセットすることと
を備えることができる。

グレイラベル付け符号のすべてのビットについて最も近い相補コンステレーション点を識別することは、
第１のビットについて第１のキー境界を定義することと、
ここにおいて、キー境界は、コンステレーション図の１次元の表現上の値を定義する、
受信された信号を第１のキー境界と比較することと、
第１のイメージ境界を定義することと、
ここにおいて、イメージ境界は、コンステレーション図の１次元の表現上の値を定義し、ここにおいて、イメージ境界は、ビットについて異なる値を有する２つのコンステレーション点の間で、キー境界について信号と同一の側に配置される、
コンステレーション点が信号に対して第１のイメージ境界の反対側に存在するかどうかをチェックすることと、
コンステレーション点が信号に対して第１のイメージ境界の反対側に存在しない時に、
第１のキー点と呼ばれる、信号に最も近く、信号に対して第１のキー境界の反対側にある相補コンステレーション点を、第１のビットの最も近い相補コンステレーション点としてセットすることと、
さらなるビットごとにそれぞれのキー境界を順次定義することと、
ここにおいて、各それぞれのキー境界は、それぞれのビットについて異なる値を有する２つのコンステレーション点の間で、前のビットのキー境界について信号と同一の側に配置される、
受信された信号を各それぞれのキー境界と比較することと、
さらなるビットごとにそれぞれのイメージ境界を定義することと、
ここにおいて、イメージ境界は、コンステレーション図の１次元の表現上の値を定義し、ここにおいて、イメージ境界は、ビットについて異なる値を有する２つのコンステレーション点の間で、それぞれのキー境界について信号と同一の側に配置される、
コンステレーション点が信号に対してそれぞれのイメージ境界の反対側に存在するかどうかをチェックすることと、
コンステレーション点が信号に対してそれぞれのイメージ境界の反対側に存在しない時に、
それぞれのキー点と呼ばれる、信号に最も近く、信号に対してキー境界の反対側にある相補コンステレーション点を、それぞれのビットの最も近い相補コンステレーション点としてセットすることと
を備えることができる。

グレイラベル付け符号のすべてのビットについて最も近い相補コンステレーション点を識別することは、
さらなるビットごとにそれぞれのキー境界を順次定義すること、
ここにおいて、各それぞれのキー境界は、二分探索アルゴリズムに従って定義されまたは配置される
を備えることができる。

前のビットは、それぞれのビットに直接に先行するビット（すなわち、隣接するビット）を指すことができる。

探索は、最上位ビット（左端ビット）から開始することができる。前のビットは、現在のビットの左隣とすることができる。

次式が、第（ｉ＋１）のビットすなわちｋ_i+1のキー境界を更新するのに使用され得る。
ここで、Ｍは、コンステレーションのサイズであり、σは、シグネチャベクトル（下を参照されたい）であり、σ_iは、ベクトル内の第ｉの項目であり、上付きのｃは、論理補数を表す。

上式は、最も近い相補点（１つまたは複数）が識別された後に、繰り返して実施され得る。

上式は、
がもはや真ではなくなるまで、すなわち、キー境界がグレイ符号のすべてのビットについて定義され、決定され、または配置されるまで、繰り返して実施され得る。

第１のキー境界は、
と定義され得る。

第１のキー境界は、軸の中点、たとえばアナログの０に配置され得る。２進交番グレイ符号コンステレーションの性質に起因して、これは、その第１のビットとして０を有するコンステレーション点のすべてを、その第１のビットとして１を有するコンステレーション点から分離しなければならない。

最も近い相補コンステレーション点（１つまたは複数）は、グレイ符号のビットごとに識別され得る。したがって、一実施形態は、同等の方法がさらなるビットの相補コンステレーション点を識別するように着手される前に、第１のビットについて相補コンステレーション点がこれによって識別され得る繰返し手順を備えることができる。

キー境界は、グレイ符号のビットごとに定義され得る。グレイ符号の第ｉのビットのキー境界が定義される位置は、前のキー境界すなわち第（ｉ−１）のキー境界に依存しまたはこれによって決定され得る。各連続するキー境界は、前のキー境界について、受信された信号と同一の側に配置され得る。したがって、キー境界は、複数の繰返しを介して、受信された信号に接近することができる。

キー境界を定義するこのプロセスは、各キー境界の定義が前のキー境界に依存する、二分探索法によって管理され得る。したがって、１つのキー境界または各キー境界は、二分探索法を使用して定義される二分探索境界とすることができる。

各キー境界は、相補コンステレーション点と非相補コンステレーション点との間に配置されるように定義され得る。したがって、キー境界の隣の、信号に対してキー境界と反対側にあるコンステレーション点は、相補コンステレーション点とすることができる。

２進交番グレイラベル付けを使用することによって、各キー境界は、相補コンステレーション点をその非相補対応物によって分離する境界と一致する。

キー境界は、それが、二分探索の形で２つの前のキー境界の間、キー境界とコンステレーションの一番端との間、またはコンステレーションの２つの一番端の間で未分割のまたは「残っている」軸を半分にするように配置され得る。

第１のキー境界は、第１のビットとして「０」を有するコンステレーション点と第１のビットとして「１」を有するコンステレーション点とを分離する点に配置され得る。第ｉのキー境界は、第ｉのビットとして「０」を有するコンステレーション点と第ｉのビットとして「１」を有するコンステレーション点とを分離する点に配置され得る。第ｉのビットのキー境界は、第ｉのビットに関して異なるコンステレーション点の中点に配置され得る。

キー境界または第１のキー境界は、コンステレーション図の１次元の表現の中央値位置または中点と定義され得る。後続のキー境界は、コンステレーション図の１次元の表現の部分の中点にあるものと定義され得る。コンステレーション図の１次元の表現の部分は、前のビットのキー境界と、前のキー境界またはコンステレーション図の１次元の表現の端点のいずれかとによって境界を示される部分とすることができる。コンステレーション図の１次元の表現の部分は、前のビットのキー境界について信号と同一の側にあるものとすることができる。

シグネチャベクトルが、定義され得、これによって、シグネチャベクトルは、キー境界と受信された信号との間の１つの比較または各比較の結果を記憶する。シグネチャベクトルは、後続のキー境界の位置を決定するのに使用され得る。したがって、キー境界の位置は、前のキー境界の位置と、受信された信号と前のキー境界との比較に関するシグネチャベクトル内の関連する入力とに依存するものとすることができる。

シグネチャベクトルは、２進入力を記憶することができ、これによって、シグネチャベクトルの第ｉの項目内の１は、信号が第ｉのビットのキー境界より大きかったことを意味し、０は、信号が第ｉのビットのキー境界より小さかったことを意味する。

シグネチャベクトルは、σと定義されてよく、ここで、σ_iは、受信された信号が第ｉのキー境界より大きい場合に１にセットされ、そうでない場合には、σ_iは０にセットされる。

比較中に、信号が、それが比較される境界と等しいことがわかる場合があり、これが発生する可能性は、無視できるほどに低いので、そのような結果が本明細書で考慮されないことに留意されたい。必要な場合には、比較に対する「等しい」結果は、本明細書で説明される特定の実施形態に依存して、「より大きい」結果または「より小さい」結果のいずれかとして分類され得る。

シグネチャベクトルは、次式を使用することによって投入され得る。

硬判定点を識別することは、
受信された信号をグレイラベル付け符号の最後のビットのキー境界と比較することと、
グレイラベル付け符号の最後のビットのキー境界に最も近く、キー境界について信号と同一の側にあるコンステレーション点を硬判定点としてセットすることと
を備えることができる。

硬判定点ｘ^MLは、ｉがグレイ符号の最後のビットを指す時に、
と定義され得る。代替案では、これが、
として表され得、ここで、ｍは、基礎になるＰＡＭコンステレーションのビットの個数を表す。

グレイコーディングされたコンステレーションの性質に起因して、第１のキー境界が中点にあるようにキー境界が定義されると仮定すると、すべての後続のキー境界は、それぞれのビットに関する相補コンステレーション点と非相補コンステレーション点との間に配置され、各後続のキー境界は、前のキー境界について信号と同一の側にあるように配置され、最後のビットのキー境界は、相補コンステレーション点と硬判定点との間に配置される。したがって、このキー境界について信号と同一の側にあるコンステレーション点を単純に選択することは、硬判定点すなわち受信された信号に最も近いコンステレーション点の選択をもたらす。

命令は、
シグネチャベクトルを決定する
ここにおいて、シグネチャベクトルの項目は、それぞれ、受信された信号と各それぞれのキー境界との間の比較の結果を備える
ようにさらに構成され得、
硬判定点を識別することは、
２進シグネチャベクトルと同等のグレイラベルを硬判定点としてセットすること
を備えることができる。

シグネチャベクトルは、２進シグネチャベクトルとすることができる。

シグネチャベクトルは、上で説明されるように定義され得る。この場合に、同等のグレイ符号への２進ベクトルの変更は、硬判定点のグレイ符号を提供することができる。

最も近い相補コンステレーション点を識別することは、
イメージ境界を定義することと、
ここにおいて、イメージ境界は、コンステレーション図の１次元の表現上の値を定義し、ここにおいて、イメージ境界は、ビットについて異なる値を有する２つのコンステレーション点の間で、キー境界について信号と同一の側に配置される、
コンステレーション点が信号に対してイメージ境界の反対側に存在するかどうかをチェックすることと
を備えることができる。

最も近い相補コンステレーション点を識別することは、
コンステレーション点が、信号に対してイメージ境界の反対側に存在する時に、
イメージ点と呼ばれる、信号に最も近く信号に対してイメージ境界の反対側にある相補コンステレーション点が、キー点より信号に近いかどうかを決定することと、
イメージ点がキー点より信号に近い時に、イメージ点を最も近い相補コンステレーション点としてセットすることと
を備えることができる。

最も近い相補コンステレーション点を識別することは、
コンステレーション点が信号に対してイメージ境界の反対側に存在する時に、
イメージ点と呼ばれる、信号に最も近く、信号に対してイメージ境界の反対側にある相補コンステレーション点とキー点とのうちで受信された信号に最も近いものを最も近い相補コンステレーション点としてセットすること
を備えることができる。

イメージ点とキー点とのうちの受信された信号に最も近いものを最も近い相補コンステレーション点としてセットすることは、イメージ点またはキー点のどちらが受信された信号により近いのかを決定することを備えることができる。

イメージ点がキー点より信号に近いかどうかを決定する際に、キー点がイメージ点より信号から遠いかどうかが、チェックされ得る。これは、ある点が代替の点より近いかどうかに関するすべてのチェックにあてはまる可能性がある。点が信号から等距離になる可能性が無視できると仮定されるので、第１の点がより近いかどうかまたは第２の点がより遠いかどうかが、同等に決定され得る。

イメージ点と呼ばれる、信号に最も近く、信号に対してイメージ境界の反対側にある相補コンステレーション点が、キーより信号に近いかどうかを決定することは、
信号に最も近く、信号に対してイメージ境界の反対側にある相補コンステレーション点をビットのイメージ点としてセットすること
を備えることができる。

イメージ点と呼ばれる、信号に最も近く、信号に対してイメージ境界の反対側にある相補コンステレーション点が、キー点より信号に近いかどうかを決定することと、イメージ点がキー点より信号に近い時に、イメージ点を最も近い相補コンステレーション点としてセットすることとは、
信号とイメージ点との間のコンステレーション図の１次元の表現内のユークリッド距離と信号とキー点との間のユークリッド距離とを計算することと、
信号とイメージ点との間の距離と信号とキー点との間の距離とを比較することと、
信号とキー点との間の距離が信号とイメージ点との間の距離より大きい時に、イメージ点を最も近い相補コンステレーション点としてセットすることと
を備えることができる。

イメージ点と呼ばれる、信号に最も近く、信号に対してイメージ境界の反対側にある相補コンステレーション点が、キー点より信号に近いかどうかを決定することと、イメージ点がキー点より信号に近い時に、イメージ点を最も近い相補コンステレーション点としてセットすることとは、
受信された信号をキー点とイメージ点との間の中点と比較することと、
キー点とイメージ点との間の中点が、受信された信号についてキー点と同一の側にある時に、イメージ点を最も近い相補コンステレーション点としてセットすることと
を備えることができる。

２つの点のどちらが受信された信号に最も近いのかを決定することは、受信された信号の値（大きさ）を２つの点の中点と比較することを備えることができる。

第１の点（たとえば、キー点）と第２の点（たとえば、イメージ点と呼ばれる、信号に最も近く、信号に対してイメージ境界の反対側にある相補コンステレーション点）とのどちらが受信された信号に最も近いのかを決定することは、
第１の点および第２の点の最小値またはより小さいものとして第１の比較点をセットすることと、
第１の点および第２の点の最大値またはより大きいものとして第２の比較点をセットすることと、
受信された信号が、第１の比較点と第２の比較点との算術平均より小さいかどうかを決定することと
を備えることができる。

２つの点の中点は、２つの点の算術平均とすることができる。

イメージ点とキー点とのうちで受信された信号に最も近いものを最も近い相補コンステレーション点としてセットすることは、
第１の比較点をキー点とイメージ点との最小値としてセットすることと、
第２の比較点をキー点とイメージ点との最大値としてセットすることと、
受信された信号が第１の比較点と第２の比較点との算術平均より小さいかどうかを決定することと、
受信された信号が算術平均より小さい時に、第１の比較点を最も近い相補コンステレーション点としてセットすることと
を備えることができる。

一般的に言って、第１の点（たとえば、キー点）と第２の点（たとえば、イメージ点と呼ばれる、信号に最も近く、信号に対してイメージ境界の反対側にある相補コンステレーション点）とのうちで受信された信号に最も近いものを最も近い相補コンステレーション点としてセットすることは、
第１の点と第２の点とのうちの最小値またはより小さいものを第１の比較点としてセットすることと、
第１の点と第２の点とのうちの最大値またはより大きいものを第２の比較点としてセットすることと、
受信された信号が第１の比較点と第２の比較点との算術平均より小さいかどうかを決定することと
を備えることができる。

キー点と、イメージ点と呼ばれる、信号に最も近く、信号に対してイメージ境界の反対側にある相補コンステレーション点とのうちで受信された信号に最も近いものを最も近い相補コンステレーション点としてセットすることは、さらに、
受信された信号が算術平均より小さい時に、第１の比較点を最も近い相補コンステレーション点としてセットすること
を備えることができる。

第２の比較点は、受信された信号が算術平均より小さくない時に、最も近い相補コンステレーション点としてセットされ得る。

本明細書で説明される実施形態のいずれにおいても、第１の点および第２の点のいずれが受信された信号に最も近いのかが決定されなければならない場合に、これが、第１の点と第２の点との中点を識別することによって達成され得る。その後、中点が、受信された信号についてどちらの側に配置されるのかが決定され得る。中点に対して受信された信号と反対側にあるコンステレーション点が、最も近い。たとえば、第１のコンステレーション点が、受信された信号より小さく、第２のコンステレーション点が、受信された信号より大きく、第１のコンステレーション点と第２のコンステレーション点との中点が、受信された信号の、第１のコンステレーション点と同一の側に配置される（すなわち、これが、受信された信号より小さいと決定される）場合には、第２のコンステレーション点が、受信された信号により近い。

イメージ境界は、信号点の、キー点と反対側にある相補コンステレーション点が実際にキー点より近くないことをチェックするために定義され得る。

イメージ境界ｌは、
と定義され得る。

イメージ境界は、二分探索の次のステップが配置されるはずの位置で定義され得る。

コンステレーション点が信号に対してイメージ境界の反対側に存在するかどうかをチェックすることは、次式が真であるかどうかをチェックすることによって行われ得る（当然、同等のチェックが、下の不等式を、たとえばこれにＭを乗算することによって、再整理することによって行われ得る）。

イメージ点
を最も近い相補コンステレーション点
としてセットすることは、
を使用して実施され得る。

イメージ境界は、それぞれのビットごとに定義され、チェックされ得る。したがって、それぞれのキー境界は、グレイ符号のそれぞれのビットのそれぞれのイメージ境界を定義するのに使用され得る。イメージ境界を定義することと、コンステレーション点が信号に対してイメージ境界の反対側に存在するかどうかをチェックすることと、コンステレーション点が信号に対してイメージ境界の反対側に存在する時に続くステップとに関する上のアルゴリズムは、すべて、グレイ符号のビットごとに着手され得る。グレイ符号内のビットの大多数に関して、イメージ点が存在せず、したがって、さらなるステップが要求されない可能性がある。

プロセッサは、
グレイラベル付け符号のビットについて、信号に最も近い相補コンステレーション点と信号に２番目に近い相補コンステレーション点とを識別し、
硬判定点と補助硬判定点とを識別し、ここにおいて、補助硬判定点は、硬判定点と同一のビットの値を有する、信号に２番目に近いコンステレーション点である、
硬判定点と、補助硬判定点と、最も近い相補コンステレーション点と、２番目に近い相補コンステレーション点とを使用して対数尤度比の値を決定する
ように構成され得る。

諸実施形態は、１つ、２つ、３つ、４つ、５つ、または６つ以上の最も近い相補コンステレーション点と同等の非相補コンステレーション点と（すなわち、硬判定点と補助硬判定点と）を識別することができる。受信された信号を復調する際により多くの点を使用することは、より正確な復調をもたらすことができ、本明細書で説明される実施形態は、任意の個数の最も近い相補コンステレーション点と補助硬判定点とを使用することができる。しかし、考慮される点の個数の増加は、複雑さを高める。本質的に、ｍａｘ−ｌｏｇ ＭＡＰとｍａｘ₂−ｌｏｇ ＭＡＰとに関して本明細書で説明される実施形態は、相補コンステレーション点と非相補コンステレーション点とに関して３つ以上の項を使用する任意の実施形態内に含まれる。

最も近い相補コンステレーション点だけが識別される時に最も近い相補コンステレーション点を識別するためのものとして説明されるすべての方法は、２番目に近い相補コンステレーション点が識別されている時に最も近い相補コンステレーション点を識別するために同等に適用可能である。同一のことが、硬判定点の識別に関する方法にあてはまる。

したがって、最も近い相補コンステレーション点または硬判定点を識別することに関する議論は、最も近い相補コンステレーション点または補助硬判定点が何個識別されるのかにかかわりなく、必要な変更を加えて、すべての実施形態に適用可能である。

プロセッサは、
グレイラベル付け符号のすべてのビットについて、信号に最も近い相補コンステレーション点と信号に２番目に近い相補コンステレーション点とを識別し、
硬判定点と補助硬判定点とを識別し、ここにおいて、補助硬判定点は、硬判定点と同一のビットの値を有する、信号に２番目に近いコンステレーション点である、
硬判定点と、補助硬判定点と、最も近い相補コンステレーション点と、２番目に近い相補コンステレーション点とを使用して対数尤度比の値を決定する
ように構成され得る。

複数の最も近い相補コンステレーション点と補助硬判定点とを識別することに関して説明される方法は、１ビットではなく各ビットまたはすべてのビットに適用されるように適用可能である。１ビットに関して着手されるものとして説明される、最も近い相補コンステレーション点と２番目に近い相補コンステレーション点とを識別するすべての方法は、すべてのビットに関して着手されるものとしても解釈され得る（そのビットのそれぞれの境界とみなされる境界と、連続するビットごとに上で議論されるように更新されるキー境界とに関連して）。したがって、キー境界、イメージ境界などに対するすべての参照は、必要に応じてそれぞれの境界などへの参照に置換され得る。

信号に最も近い相補コンステレーション点と信号に２番目に近い相補コンステレーション点とを識別することは、
コンステレーション点が信号に対してイメージ境界の反対側に存在しない時に、
キー点の隣の、キー境界についてキー点と同一の側にある相補コンステレーション点を２番目に近い相補コンステレーション点としてセットすること
を備えることができる。

最も近い相補コンステレーション点（キー点とすることができる）の次の、キー境界について最も近い相補コンステレーション点と同一の側にある相補コンステレーション点は、次式を使用することによって２番目に近い相補コンステレーション点としてセットされ得る。
ここで、
は、２番目に近い相補コンステレーション点である。

信号に最も近い相補コンステレーション点と信号に２番目に近い相補コンステレーション点とを識別することは、
コンステレーション点が、信号に対してイメージ境界の反対側に存在し、イメージ点が、キー点より信号に近い時に、
イメージ点を最も近い相補コンステレーション点としてセットすることと、
キー点を２番目に近い相補コンステレーション点としてセットすることと、
コンステレーション点が、信号に対してイメージ境界の反対側に存在し、イメージ点が、キー点より信号に近くはない時に、
イメージ点を２番目に近い相補コンステレーション点としてセットすることと
を備えることができる。

信号に最も近い相補コンステレーション点と信号に２番目に近い相補コンステレーション点とを識別することは、
コンステレーション点が、信号に対してイメージ境界の反対側に存在し、イメージ点が、キー点より信号に近い時に、
イメージ点を最も近い相補コンステレーション点としてセットすることと、
イメージ点が、コンステレーションの端にある時に、
キー点を２番目に近い相補コンステレーション点としてセットすることと、
を備えることができる。

その代わりにまたはそれに加えて、信号に最も近い相補コンステレーション点と信号に２番目に近い相補コンステレーション点とを識別することは、
コンステレーション点が、信号に対してイメージ境界の反対側に存在し、イメージ点が、キー点より信号に近くはない時に、
キー点を最も近い相補コンステレーション点としてセットすることと、
キー点が、コンステレーションの端にある時に、
イメージ点を２番目に近い相補コンステレーション点としてセットすることと
を備えることができる。

キー点が、最も近い相補コンステレーション点としてセットされ、キー点が、コンステレーションの端にあるのではない時には、受信された信号がイメージ点またはイメージ点に対してキー点の反対側の、キー点の隣である点により近いかどうかが、チェックされ得る。

イメージ点とイメージ点に対して反対側のキー点の隣とのうちで受信された信号に最も近いものが、その後、２番目に近い相補コンステレーション点としてセットされ得る。

イメージ点が、最も近い相補コンステレーション点としてセットされ、イメージ点が、コンステレーションの端にあるのではない時には、受信された信号が、キー点またはキー点に対してイメージ点の反対側にあるイメージ点の隣である点により近いかどうかがチェックされ得る。

キー点とイメージ点の隣とのうちで受信された信号に最も近いものが、その後、２番目に近い相補コンステレーション点としてセットされ得る。

イメージ点を２番目に近い相補コンステレーション点としてセットすることは、
を使用して行われ得る。

信号に最も近い相補コンステレーション点と信号に２番目に近い相補コンステレーション点とを識別することは、
コンステレーション点が、信号に対してイメージ境界の反対側に存在し、イメージ点が、キー点より信号に近い時に、
第２のイメージ境界を定義することと、ここにおいて、第２のイメージ境界は、コンステレーション図の１次元の表現上の値を定義する、ここにおいて、第２のイメージ境界は、
信号の値がキー境界の値より大きい時に、イメージ境界がその間に配置される２つのコンステレーション点に関して正方向に２つのコンステレーション点だけシフトされ、または、
信号の値がキー境界の値より小さい時に、イメージ境界がその間に配置される２つのコンステレーション点に関して負方向に１つのコンステレーション点だけシフトされる、
グレイラベル付け符号を有する２つのコンステレーション点の間に配置される、
コンステレーション点が、信号に対してイメージ境界の反対側に存在し、イメージ点が、キー点より信号に近くない時に、
第２のイメージ境界を定義することと、ここにおいて、第２のイメージ境界は、コンステレーション図の１次元の表現上の値を定義する、ここにおいて、第２のイメージ境界は、
信号の値がキー境界の値より大きい時に、キー境界がその間に配置される２つのコンステレーション点に関して負方向に１つのコンステレーション点だけシフトされ、または
信号の値がキー境界の値より小さい時に、キー境界がその間に配置される２つのコンステレーション点に関して正方向に２つのコンステレーション点だけシフトされる、
グレイラベル付け符号を有する２つのコンステレーション点の間に配置される、
第２のイメージ境界がその間に配置される２つのコンステレーション点の両方が存在することをチェックすることと、
第２のイメージ境界がその間に配置される２つのコンステレーション点の両方が存在する時に、
第２のイメージ点と呼ばれる、第２のイメージ境界がその間に配置される２つのコンステレーション点のうちの最小のグレイラベル付け符号を有するコンステレーション点が、２番目に近い相補コンステレーション点より信号に近いかどうかを決定することと、
第２のイメージ点が、２番目に近い相補コンステレーション点より信号に近い時に、第２のイメージ点を２番目に近い相補コンステレーション点としてセットすることと
を備えることができる。

本開示では、第１の点が第２の点より信号に近いかどうかを決定することは、第２の点が第１の点より信号から遠いかどうかをチェックすることによって行われ得る。

信号に最も近い相補コンステレーション点と信号に２番目に近い相補コンステレーション点とを識別することは、
コンステレーション点が、信号に対してイメージ境界の反対側に存在し、イメージ点が、キー点より信号に近い時に、
第２のイメージ境界を定義することと、ここにおいて、第２のイメージ境界は、コンステレーション図の１次元の表現上の値を定義する、ここにおいて、第２のイメージ境界は、
信号の値がキー境界の値より大きい時に、イメージ境界がその間に配置される２つのコンステレーション点に関して正方向に２つのコンステレーション点だけシフトされ、または、
信号の値がキー境界の値より小さい時に、イメージ境界がその間に配置される２つのコンステレーション点に関して負方向に１つのコンステレーション点だけシフトされる、
グレイラベル付け符号を有する２つのコンステレーション点の間に配置される、
コンステレーション点が、信号に対してイメージ境界の反対側に存在し、イメージ点が、キー点より信号に近くない時に、
第２のイメージ境界を定義することと、ここにおいて、第２のイメージ境界は、コンステレーション図の１次元の表現上の値を定義する、ここにおいて、第２のイメージ境界は、
信号の値がキー境界の値より大きい時に、キー境界がその間に配置される２つのコンステレーション点に関して負方向に１つのコンステレーション点だけシフトされ、または
信号の値がキー境界の値より小さい時に、キー境界がその間に配置される２つのコンステレーション点に関して正方向に２つのコンステレーション点だけシフトされる、
グレイラベル付け符号を有する２つのコンステレーション点の間に配置される、
第２のイメージ境界がその間に配置される２つのコンステレーション点の両方が存在することをチェックすることと、
第２のイメージ境界がその間に配置される２つのコンステレーション点の両方が存在する時に、
第２のイメージ点と呼ばれる、第２のイメージ境界がその間に配置される２つのコンステレーション点のうちの最小のグレイラベル付け符号を有するコンステレーション点が、２番目に近い相補コンステレーション点より信号に近いかどうかを決定することと、第２のイメージ点が、２番目に近い相補コンステレーション点より信号に近い時に、第２のイメージ点を２番目に近い相補コンステレーション点としてセットすることと
を備えることができる。

第１の境界が、第２の境界に関してある個数のコンステレーション点だけシフトされると言う場合に、これは、第１の境界を、第２の境界に関して正方向または負方向のいずれかのある距離に定義することと解釈されなければならない。正方向は、図１０から図１２の右側であり、負方向は左側である。たとえば、第２のイメージ境界が、イメージ境界がその間に配置される２つのコンステレーション点に関して正方向に２つのコンステレーション点だけシフトされる２つのコンステレーション点の間に配置される場合に、これは、第２のイメージ境界が、イメージ境界の右に配置され、イメージ境界の右側の第２のギャップ内にあり、ギャップは、２つのコンステレーション点の間のスペースである。

コンステレーション点が信号に対してイメージ境界の反対側に存在し、信号とキー点との間のユークリッド距離が信号とイメージ点との間の距離より大きい時に第２のイメージ境界（ｌ’）を定義することは、次式に従って行われ得る。

コンステレーション点が信号に対してイメージ境界の反対側に存在し、信号とキー点との間のユークリッド距離が信号とイメージ点との間の距離より大きくない時に第２のイメージ境界を定義することは、次式に従って行われ得る。

第２のイメージ点ｘ_l’は、第２のイメージ境界のすぐ左の（すなわち、第２のイメージ境界より小さい）コンステレーション点とすることができる。

第２のイメージ境界がその間に配置される２つのコンステレーション点の両方が存在することをチェックすることは、第２のイメージ境界がコンステレーションの領域内にあることを確かめる。点の一方が存在しない場合には、境界は、コンステレーションの領域内に存在することができず、これに対応して、第２のイメージ点は存在することができない。このシナリオでは、最も近い相補コンステレーション点と２番目に近い相補コンステレーション点とに対するさらなる変更は、行われない。同様の原理が、（第１の）イメージ境界に関してあてはまり、チェックは、イメージ点が存在することを確かめるために着手される。

第２のイメージ境界がその間に配置される２つのコンステレーション点の両方が存在することをチェックすることすなわち、第２のイメージ境界が存在することをチェックすることは、次式が真であるかどうかをチェックすることによって行われ得る。

第２のイメージ点を２番目に近い相補コンステレーション点としてセットすることは、次式を使用して実施され得る。

硬判定点と補助硬判定点とを識別することは、
硬判定点を識別することと、
硬判定点がコンステレーション図の軸の端にあるかどうかを決定することと、
硬判定点がコンステレーション図の軸の端にある時に、
硬判定点の隣のコンステレーション点を第１の補助硬判定点としてセットすることと、
硬判定点から３つ離れたコンステレーション点を第２の補助硬判定点としてセットすることと
を備えることができる。

上記は、２進交番グレイラベル付けの特性に起因して真である。

一実施形態では、硬判定点は、最も近い（および、あてはまる場合には２番目に近い）相補コンステレーション点のすべてが見つけられた後に限って識別され得る。したがって、いくつかの実施形態では、最も近い（および２番目に近い）相補コンステレーション点は、硬判定点が本明細書で説明されるように識別される前に、本明細書で説明される方法を使用して、ビットごとに識別される。

これは、いくつかの実施形態で、硬判定点が、グレイ符号内の最後のビットのキー境界を使用してまたはシグネチャベクトルを使用して識別され得、これが、受信された信号をグレイ符号内の最後のビットのキー境界と比較した後に限って完了され得るからである。

コンステレーション図の軸の端は、次元のうちの１つにおける最後のコンステレーション点すなわち、コンステレーション図の次元の端点すなわち、コンステレーション図の外側境界を構成するコンステレーション点である。

硬判定点が軸の端にあるかどうかを決定することは、次式が真ではないかどうかをチェックすることを備えることができる。

上記が満足される場合には、硬判定点は軸の端にはない。上記が満足されない場合には、硬判定点は軸の端にある。

硬判定点の隣のコンステレーション点を第１の補助硬判定点としてセットすることは、次式に従って実施され得る。

硬判定点から３つ離れたコンステレーション点を第２の補助硬判定点としてセットすることは、次式に従って実施され得る。

硬判定点と補助硬判定点とを識別することは、
硬判定点を識別することと、
コンステレーション図の１次元の表現内で、第１のテスト点または第２のテスト点のどちらが信号により近いのかを決定することと、
ここにおいて、第１のテスト点および第２のテスト点は、硬判定点の両側のコンステレーション点である、
第１のテスト点が、第２のテスト点より信号に近くはない時に、
第２のテスト点を第１の補助硬判定点としてセットすることと
を備えることができる。

第１および第２のテスト点は、第１のテスト点が第２のテスト点より原点に近くなるように配置され得る。第１および第２のテスト点は、第１のテスト点が第２のテスト点より小さくなるように配置され得る。

第１のテスト点が、第２のテスト点より信号に近くはない時には、第１のテスト点は、第２の補助硬判定点としてセットされ得る。

第１のテスト点が、第２のテスト点より信号に近い時には、第１のテスト点は、第１の補助硬判定点としてセットされ得る。第２のテスト点は、第２の補助硬判定点としてセットされ得る。

硬判定点と補助硬判定点とを識別することは、
硬判定点を識別することと、
信号と第１のテスト点との間のコンステレーション図の１次元の表現におけるユークリッド距離と、信号と第２のテスト点との間のユークリッド距離とを計算することと、
ここにおいて、第１のテスト点および第２のテスト点は、硬判定点の両側のコンステレーション点であり、第１のテスト点は、第２のテスト点よりコンステレーション図の原点に近く、
信号と第１のテスト点との間の距離と信号と第２のテスト点との間の距離とを比較することと、
信号と第１のテスト点との間の距離が信号と第２のテスト点との間の距離より小さくはない時に、
第２のテスト点を第１の補助硬判定点として、第１のテスト点を第２の補助硬判定点としてセットすることと
を備えることができる。

硬判定点と補助硬判定点とを識別することは、
硬判定点を識別することと、
第１のテスト点と第２のテスト点とのどちらが受信された信号に最も近いのかを決定することと、ここにおいて、第１のテスト点および第２のテスト点は、硬判定点の両側のコンステレーション点であり、第１のテスト点は、第２のテスト点未満または第２のテスト点より小さい、
受信された信号を第１のテスト点と第２のテスト点との算術平均と比較することと、
算術平均が受信された信号より大きい時に、第１のテスト点を第１の補助硬判定点としてセットすることと
を備えることができる。

硬判定点と補助硬判定点とを識別することは、
硬判定点を識別することと、
コンステレーション図の１次元の表現内で、受信された信号を第１のテスト点と第２のテスト点との間の中点と比較することと、
ここにおいて、第１のテスト点および第２のテスト点は、硬判定点の両側のコンステレーション点であり、第１のテスト点は、第２のテスト点よりコンステレーション図の原点に近く、
第１のテスト点と第２のテスト点との間の中点が、受信された信号について第２のテスト点と同一の側にない時に、
第２のテスト点を第１の補助硬判定点として、第１のテスト点を第２の補助硬判定点としてセットすることと
を備えることができる。

硬判定点と補助硬判定点とを識別することは、
硬判定点の両側のコンステレーション点を第１のテスト点および第２のテスト点としてセットすること、
ここにおいて、第１のテスト点は、第２のテスト点よりコンステレーション図の原点に近い
を備えることができる。

上記は、硬判定点が軸の端にない場合に実施され得る。

硬判定点の両側のコンステレーション点を第１のテスト点および第２のテスト点としてセットすることは、
と
とに従って実施され得、ここで、ｘ_uは、第１のテスト点とすることができ、ｘ_vは、第２のテスト点とすることができる。

第２のテスト点を第１の補助硬判定点としてセットすることは、
を使用して実施され得る。

第１のテスト点を第２の補助硬判定点としてセットすることは、
を使用して実施され得る。

第１のテスト点が第２のテスト点より信号に近い時には、硬判定点と補助硬判定点とを識別することは、第３のテスト点を識別することと、第２のテスト点が第３のテスト点より信号から遠いかどうかを決定することとを備えることができる。第２のテスト点と第３のテスト点とのうちのどちらが信号により近いのかが、決定され得る。

第２のテスト点が第３のテスト点より信号から遠い時には、第１のテスト点が、第１の補助硬判定点としてセットされ得、第３のテスト点が、第２の補助硬判定点としてセットされ得る。

第２のテスト点が第３のテスト点より信号から遠くはない時には、第１のテスト点が、第１の補助硬判定点としてセットされ得、第２のテスト点が、第２の補助硬判定点としてセットされ得る。

第３のテスト点は、記憶されたルックアップテーブルから得ることができる。ストレージデバイスは、第３のテスト点を記憶するためのルックアップテーブルを記憶するように構成され得る。ストレージデバイスは、第３のテストのためのルックアップテーブルを受信するように構成され得る。プロセッサは、ルックアップテーブルが入力され、ストレージデバイスに記憶され得るように構成され得る。下記のステップは、ルックアップテーブルを投入するために、ユーザまたはプロセッサによって着手され得る。ルックアップテーブルは、コンステレーションサイズ、たとえばコンステレーション点の個数に依存するものとすることができる。２進交番グレイラベル付けが採用されると仮定すると、ルックアップテーブルは、コンステレーションごとに要求され得る。システムが、異なるレートで送信するように構成される場合に、ルックアップテーブルは、コンステレーションごとに記憶され得る。テーブルエントリは、受信される信号に依存しないものとすることができる。したがって、ルックアップテーブルは、オフラインで開発され、および／または評価され得る。

ルックアップテーブル内のエントリは、４を除くコンステレーションのすべての点について要求される。たとえば、基礎になるコンステレーションが８−ＰＡＭである場合には、４つのエントリを有するルックアップテーブルが必要である（図１７と図１８とを参照されたい）。これは、両端の点が、比較を全く必要とせず、第１および第２の補助点が、単純に決定されるからである。さらに、より内側の点に関して、第３の点は存在しない。

硬判定点と補助硬判定点とを識別することは、
ルックアップテーブルから値をルックアップすることと、
ここにおいて、ルックアップテーブル内の値は、コンステレーションのサイズに依存する、
補助硬判定点を識別するのにルックアップテーブルからの値を使用することと
を備えることができる。

ルックアップテーブルからの値は、点、たとえばテスト点または比較点を定義することができる。ルックアップテーブルからの値は、点を定義することができ、この点は、補助硬判定点とすることができる。

第３のテスト点を識別し、チェックする時に、下記のステップのいずれもが着手され得る。

第１のテスト点ｘ_uは、第１の補助硬判定点
としてセットされ得る。

決定ステップは、
であるかどうかを決定することができる。

そうではない場合には、第２のテスト点ｘ_vは、
としてセットされ得る。
が真である場合には、（ｋ_i＋σ_i−σ₁）÷４の剰余ｒが、計算され得る。

剰余ｒが０より大きい場合には、パラメータΔが、Δ＝２^2-rem(r,2)と定義され得る。

剰余ｒが０より大きくはない場合には、パラメータｒ’が、
になるように定義され得る。その後、さらなるパラメータΔが、Δ＝２^{4-rem(r’,2)}と定義され得る。

その後、第３のテスト点境界ｗが、
と定義され得る。

第３のテスト点は、ｘ_wと定義され得る。

その後、第２のテスト点が第３のテスト点より信号から遠いすなわち、｜ｙ−ｘ_v｜＞｜ｙ−ｘ_w｜かどうかが決定され得る。

そうである場合には、第３のテスト点が、第２の補助硬判定点としてセットされる、すなわち、
である。そうでない場合には、第２のテスト点が、第２の補助硬判定点としてセットされる、すなわち、
である。

この方法は、硬判定点を決定する際に第３の点が計算されることを可能にする。しかし、本明細書で説明される代替の方法によれば、ルックアップテーブルは、オフラインで投入され得、第３の点は、硬判定点が見つけられた後に、単純なルックアップテーブル照会によって直接に取り出され得る。

代替案では、補助硬判定点が、以下のように決定され得る。

２つのテスト点は、ｘ_αとｘ_βと定義され得、α＝ｋ_m＋σ_m−１およびβ＝ｋ_m＋σ_m＋１である。

受信された信号が、ｘ_βよりｘ_αに近いかどうかが決定され得る。これに対する回答がＹｅｓである場合には、第１の補助硬判定点は、ｘ_αとしてセットされ得、
である。

その後、
であるかどうかが決定され得る。回答がＮｏである場合には、ｘ_βが、第２の補助硬判定点としてセットされ得る、
。
に対する回答がＹｅｓである場合には、
であるかどうかが決定され得る。ｗが、本明細書で説明されるアルゴリズムに従ってオフラインで決定され得ることに留意されたい。
に対する回答がＮｏである場合には、ｘ_βが、第２の補助硬判定点としてセットされ得る、
。
に対する回答がＹｅｓである場合には、第２の補助硬判定点は、次のようにセットされ得る。

受信された信号が、ｘ_βよりｘ_αに近いのではない場合には、ｘ_βが、第１の補助硬判定点としてセットされ得る、
。その後、決定ステップが、
であるかどうかを決定する。これに対する回答がＮｏである場合には、ｘ_αが、第２の補助硬判定点としてセットされ得る、
。
に対する回答がＹｅｓである場合には、
であるかどうかがチェックされ得る。これに対する回答がＹｅｓである場合には、ｘ_αが、第２の補助硬判定点としてセットされ得る、
。これに対する回答がＮｏである場合には、第２の補助硬判定点は、次のようにセットされ得る。

一実施形態に従ってｗを計算するための方法が、これから説明される。このアルゴリズムは、補助硬判定点がオフラインで決定され得るすべての実施形態と共に使用され得る。２つのわずかに異なるアルゴリズムが、コンステレーション点の左半分（図１７参照）と右半分（図１８参照）とのｗ（すなわち、ルックアップテーブルエントリ）を計算するために要求される。この２つのアルゴリズムが、これから説明される。

コンステレーション点の左半分に関して、まず、ｉ＝２とおく。その後、剰余が、ｒ＝ｒｅｍ（ｉ，４）に従って計算され得る。

ｒ＞０であるかどうかに関して、決定が行われ得る。そうではない場合には、変数が、次のように定義され得る、
。ｒ＞０である場合には、変数は、その代わりに次のように定義され得る、δ＝２^2-rem(r,2)。

変数δが決定された後に、ｗの値は、ｗ（ｉ）＝ｉ＋δ＋１としてセットされ得る。

その後、次の演算が着手され得る、ｉ＝ｉ＋１。その後、決定ステップが、
であるかどうかを決定することができる。回答がＹｅｓである場合には、アルゴリズムは完了する。回答がＮｏである場合には、剰余をｒ＝ｒｅｍ（ｉ，４）として計算するために、ループがアルゴリズムを元に戻すことができる。

コンステレーション点の右半分のｗを計算するための方法は、次の通りとすることができる。このアルゴリズムは、補助硬判定点がオフラインで決定され得るすべての実施形態と共に使用され得る。

まず、
とおく。その後、剰余が、ｒ＝ｒｅｍ（ｉ−１，４）として計算され得る。次に、ｒ＞０であるかどうかに関する決定が行われ得る。決定ステップに対する回答がＮｏである場合には、変数が、
と定義され得る。決定に対する回答が、その代わりにＹｅｓである場合には、変数は、その代わりにδ＝２^2-rem(r,2)と定義され得る。

次に、ｗが、ｗ（ｉ）＝ｉ−δ−１と定義され得る。その後、ステップが、ｉ＝ｉ＋１と更新することができる。

その後、決定ステップは、ｉ＞Ｍであるかどうかを決定することができる。回答がＹｅｓである場合には、アルゴリズムは完了し、ｗが決定されている。回答がＮｏである場合には、ｒ＝ｒｅｍ（ｉ−１，４）として剰余を定義するために、ループがアルゴリズムを元に戻すことができる。

補助硬判定点または第２の（または後続の）補助硬判定点は、テスト点、またはコンステレーションサイズに依存する変数を使用して突き止められ得る。テスト点、またはコンステレーションサイズに依存する変数は、ルックアップテーブル内に記憶され得る。したがって、補助硬判定点または第２の（または後続の）補助硬判定点は、ルックアップテーブルの助けを得て決定され得る。

最も近い相補コンステレーション点と硬判定点とを使用して対数尤度比の値を決定することは、次式に従って行われ得、
ここで、ＬＬＲは、対数尤度比であり、ｂ_iは、送信された符号語ｂのビット番号ｉであり、ｙは、受信された信号であり、ｘ_bは、コンステレーション点である。

一実施形態によれば、変調された信号をデマッピングするための対数尤度比の値を決定するための方法がある。この方法は、
２進交番グレイラベル付け符号によって識別される複数のコンステレーション点を備えるコンステレーション図を使用して復調されることになる、変調された信号を受信することと、
グレイラベル付け符号のビットについて、信号をコンステレーション図の１次元の表現上の点として考慮する時に信号に最も近い相補コンステレーション点を識別することと、
硬判定点を識別することと、
ここにおいて、硬判定点は、信号をコンステレーション図の１次元の表現上の点として考慮する時に信号に最も近いコンステレーション点であり、
相補コンステレーション点は、硬判定点と比較してビットについて異なる値を有するコンステレーション点である、
硬判定点と最も近い相補コンステレーション点とを使用して対数尤度比の値を決定することと
を備えることができる。

この方法は、２進交番グレイラベル付け符号によって識別される複数のコンステレーション点を備えるコンステレーション図の１次元を表現するプロット上の点として信号を表現することを備えることができる。

この方法は、対数尤度比を使用して信号を復調することを備えることができる。

一実施形態では、最も近い相補コンステレーション点は、グレイラベル付け符号のすべてのビットについて識別され得る。

グレイラベル付け符号のすべてのビットについて最も近い相補コンステレーション点を識別することは、
第１のビットについて第１のキー境界を定義することと、
ここにおいて、キー境界は、コンステレーション図の１次元の表現上の値を定義する、
受信された信号を第１のキー境界と比較することと、
第１のイメージ境界を定義することと、
ここにおいて、イメージ境界は、コンステレーション図の１次元の表現上の値を定義し、ここにおいて、イメージ境界は、ビットについて異なる値を有する２つのコンステレーション点の間で、キー境界について信号と同一の側に配置される、
コンステレーション点が信号に対して第１のイメージ境界の反対側に存在するかどうかをチェックすることと、
コンステレーション点が信号に対して第１のイメージ境界の反対側に存在しない時に、
第１のキー点と呼ばれる、信号に最も近く、信号に対して第１のキー境界の反対側にある相補コンステレーション点を、第１のビットの最も近い相補コンステレーション点としてセットすることと、
さらなるビットごとにそれぞれのキー境界を順次定義することと、
ここにおいて、各それぞれのキー境界は、それぞれのビットについて異なる値を有する２つのコンステレーション点の間で、前のビットのキー境界について信号と同一の側に配置される
受信された信号を各それぞれのキー境界と比較することと、
さらなるビットごとにそれぞれのイメージ境界を定義することと、
ここにおいて、イメージ境界は、コンステレーション図の１次元の表現上の値を定義し、ここにおいて、イメージ境界は、ビットについて異なる値を有する２つのコンステレーション点の間で、それぞれのキー境界について信号と同一の側に配置される、
コンステレーション点が信号に対してそれぞれのイメージ境界の反対側に存在するかどうかをチェックすることと、
コンステレーション点が信号に対してそれぞれのイメージ境界の反対側に存在しない時に、
それぞれのキー点と呼ばれる、信号に最も近く、信号に対してキー境界の反対側にある相補コンステレーション点を、それぞれのビットの最も近い相補コンステレーション点としてセットすることと
を備えることができる。

最も近い相補コンステレーション点は、グレイラベル付け符号のすべてのビットについて識別され得、
ここにおいて、グレイラベル付け符号のすべてのビットについて最も近い相補コンステレーション点を識別することは、
第１のビットについて第１のキー境界を定義することと、
ここにおいて、キー境界は、コンステレーション図の１次元の表現上の値を定義する、
受信された信号を第１のキー境界と比較することと、
第１のキー点と呼ばれる、信号に最も近く、信号に対して第１のキー境界の反対側にある相補コンステレーション点を、第１のビットの最も近い相補コンステレーション点としてセットすることと、
さらなるビットごとにそれぞれのキー境界を順次定義することと、
ここにおいて、各それぞれのキー境界は、それぞれのビットについて異なる値を有する２つのコンステレーション点の間で、前のビットのキー境界について信号と同一の側に配置される、
受信された信号を各それぞれのキー境界と比較することと、
それぞれのキー点と呼ばれる、信号に最も近く、信号に対してそれぞれのキー境界の反対側にある相補コンステレーション点を、それぞれのビットの最も近い相補コンステレーション点としてセットすることと
を備えることができる。

この方法は、
グレイラベル付け符号のビットについて、信号に最も近い相補コンステレーション点と信号に２番目に近い相補コンステレーション点とを識別することと、
硬判定点と補助硬判定点とを識別することと、ここにおいて、補助硬判定点は、硬判定点と同一のビットの値を有する、信号に２番目に近いコンステレーション点である、
硬判定点と、補助硬判定点と、最も近い相補コンステレーション点と、２番目に近い相補コンステレーション点とを使用して対数尤度比の値を決定することと
を備えることができる。

一実施形態にさらによれば、プロセッサ上で実行される時に、プロセッサに一実施形態による方法を実行させるコンピュータ実行可能命令を担持するコンピュータ可読担体媒体がある。

一実施形態にさらによれば、コンピュータが本明細書の他所で説明される方法を実行するためのプログラム命令を含む非一時的コンピュータ可読媒体がある。

一実施形態によれば、不均一コンステレーションの低複雑性軟デマッピング（soft demapping）が考慮されるが、諸実施形態は、均一コンステレーションのために使用され得る。対数尤度比（ＬＬＲ）の元の和対数表現が、受信された雑音汚染されている信号に最も近い２つの点だけを考慮することによってよりよく近似され得るという事実によって動かされて、あるアルゴリズムが、Ｍａｘ₂−ｌｏｇ ＭＡＰによって表される。周知のＭａｘ−ｌｏｇ ＭＡＰ軟デマッパと比較して、提案されるアルゴリズムは、優れた性能を提供すると同時に同一の複雑さのオーダーを有する。提案されるアルゴリズムの単純さは、基礎になるＱＡＭの矩形の形状（すなわち、同相成分と直角位相成分の間の独立）ならびに２進交番グレイラベル付けの継承された対称性に頼る。提案されるアルゴリズムは、特殊なケースとしてＭａｘ−ｌｏｇ ＭＡＰを包含する。

明瞭さのために、本開示では、Ｌｏｇ ＭＡＰは、正確なＬＬＲ（指数の和の対数）を評価する最適軟復調器（soft demodulator）を表す。Ｍａｘ−ｌｏｇ ＭＡＰおよびＭａｘ−ｌｏｇは、法外に複雑な正確なＬＬＲを評価するのではなく、分子内ならびに分母内の支配的な項だけが計算される、Ｌｏｇ ＭＡＰに対する代替方法を提供する。ブルートフォースＭａｘ−ｌｏｇ ＭＡＰは、最も近いコンステレーション点第１の相補点が、すべてのコンステレーション点を用いる網羅的探索を介して突き止められるＭａｘ−ｌｏｇ ＭＡＰである。これは、各ステップで候補点の個数を制限し、したがって複雑さを低減することを意図された提案される方法とは対照的である。

図１は、シャノン２Ｄ非拘束容量を通常の矩形形状のＱＡＭコンステレーションおよびガウシアン形状ＱＡＭコンステレーションと比較する。図からわかるように、ガウシアン形状ＱＡＭコンステレーションを使用することは、より大きい容量をもたらすことができる。

対数の複雑さを有する不均一グレイラベル付けＱＡＭコンステレーション用の近ｌｏｇ ＭＡＰ軟デマッパが、提案される。

諸実施形態は、均一なスペースを設けられたコンステレーションおよび不均一なスペースを設けられたコンステレーションと互換である。ＰＡＭが、矩形ＱＡＭに関して使用され得るが、諸実施形態は、これに限定されない。

一実施形態によれば、矩形ＱＡＭ（すなわち、独立の同相成分／直角位相成分）、したがってＰＡＭコンステレーションだけが、考慮される必要がある。ガウシアンフィッティングされた（Gaussian fitted）不均一ＰＡＭコンステレーションが、特定の例として考慮されるが、本開示が、ガウシアンフィッティングされた不均一ＰＡＭに決して限定されないことを理解されたい。

ＰＡＭコンステレーションの距離プロファイルのガウシアンフィッティング手法が、下で概要を示される。２ｍビットを有する符号語が不均一に分布すると仮定すると、ガウシアン形状同相点ｘ_k（それぞれ、直角位相）は、
として得られ、ここで、Ｍ＝２^mは、ＰＡＭコンステレーションのサイズを表す。ｍ＝３の例が、図２に示されている。通常のシナリオでは、これらの不均一コンステレーションは、誤り訂正符号（たとえば、ＬＤＰＣまたはターボ符号）に関連して使用される。実用的観点から、不均一コンステレーション用の複雑さを低減された軟デマッパを研究することが、非常に重要である。この目的に向けて、一般性を失うことなく、ＡＷＧＮチャネルにおいて、システムモデルが
によって与えられると仮定し、ここで、ｙは、雑音汚染された信号を表し、ｘ_bは、符号語ｂ＝（ｂ₁，ｂ₂，…，ｂ_m）に対応する送信されたシンボルを表し、ｎは、ＡＷＧＮサンプルを表す。ここでは、受信された信号が等化ステップ（たとえば、ＺＦまたはＭＭＳＥなどの線形等化器）を受けており、したがって、異なるストリームが、独立に扱われ得ると仮定されることに留意されたい。さらに、受信器側での完全なＣＳＩを仮定すると、フェージング係数は、基礎になるコンステレーションだけをスケールし、したがって、以下では無視される。

第ｉビットの元の対数尤度比（ＬＬＲ）は、
によって与えられ、ここで、Ｎ_oは、雑音分散を表す。

上式は、周知のＭａｘ−ｌｏｇ近似のおかげで次のように単純化され得る。

ブルートフォースＭａｘ−ｌｏｇ ＭＡＰデマッパは、両方のコンステレーション（すなわち、
によって表される、ｂ：ｂ_i＝１に対応するコンステレーションと、
によって表される、ｂ：ｂ_i＝０に対応するコンステレーションと）上でユークリッド距離を網羅的に最小化することからなる。したがって、ＬＬＲ評価は、１次元あたりのユークリッド距離のＭ回の評価と１次元あたり１ビットあたりＭ−２回の比較とを伴い、２（Ｍ−２）ｌｏｇ₂Ｍ回のユークリッド距離比較に加えて、２Ｍ回のユークリッド距離計算のオーダーの全体的な計算的な複雑さを生じる。

一実施形態では、ｍａｘ−ｌｏｇ ＭＡＰ性能は、分子ならびに分母内の最初のｎ個（ただし、ｎ＞１）の項（降順すなわち、最小距離から最大距離に向かうと仮定して）を考慮することによって高められた。本明細書で説明される諸実施形態は、ｎ＝１とｎ＝２とに関する。ｎ＞２を有するアルゴリズムは、本明細書では説明されないさらなるステップを必要とする。

一実施形態では、ｎ＝２の特殊なケースが考慮された（ｎ＝１およびＭ／２は、それぞれＭａｘ−ｌｏｇおよびｌｏｇ ＭＡＰである）。

様々な変調次数とブロックサイズ６４８００を有するレート１／２ ＬＤＰＣとに関する数値シミュレーションを介するＭａｘ−ｌｏｇ ＭＡＰに関する性能利得が、図３に示されており、図３では、ｄＢ単位のＥｂ／Ｎｏ（複素雑音分散に対する１ビットあたりのエネルギとして表された信号対雑音比を表す）が、ｘ軸に沿ってプロットされ、ビット誤り率が、Ｙ軸上にプロットされ、各グラフ内では、ｎ＝２（したがって、Ｍａｘ₂−ｌｏｇ ＭＡＰと呼ばれる）のケースが、Ｍａｘ−ｌｏｇ ＭＡＰより低いビット誤り率を有することが示されている。図３のグラフ内の最も下のプロットは、ｌｏｇ ＭＡＰである。

一実施形態によれば、ブルートフォース対応物の線形複雑さではなく対数の複雑さを有する不等スペースを設けられたＱＡＭコンステレーションのＭａｘ₂−ｌｏｇ ＭＡＰを実施することを可能にする複雑さを低減されたアルゴリズムがある（２進交番グレイラベル付けを仮定する）。しかし、諸実施形態が、等しいスペースを設けられたＱＡＭコンステレーションに同等に適用可能であることに留意されたい。

一実施形態は、ｎを１に制限する時に、Ｍａｘ−ｌｏｇ ＭＡＰデマッパを包含することができる。

以下では、Ｍａｘ₂−ｌｏｇ ＭＡＰアルゴリズムが、概要を示される。実は、提案されるアルゴリズムは、Ｍａｘ−ｌｏｇ ＭＡＰを包含し、したがって、不等スペースを設けられたＰＡＭのためのＭａｘ−ｌｏｇ ＭＡＰを提示する第１の実施形態が、まず示される。その後、第２の実施形態は、この手法をＭａｘ₂−ｌｏｇ ＭＡＰに向けて拡張する。

複雑さを低減されたＭａｘ−ｌｏｇ ＭＡＰデマッパに関して、受信された信号点に最も近いコンステレーション点と定義される硬判定点を突き止めるために繰返し探索を使用することは、伝統的な実施形態と比較してわずかな追加の計算コストでＭａｘ−ｌｏｇ ＭＡＰを評価することにつながる可能性がある。Ｍ個の点を有する不均一ＰＡＭを仮定し、｛ｘ_k：ｋ＝１，…，Ｍ｝が、昇順の同相コンステレーション点を表すものとする。本明細書でキー境界と呼ばれる、第ｋの制限する境界は、ｘ_kとｘ_k+1との算術平均とすることができ、ここで、ｋ＝１，…，Ｍ−１であり、図２内の垂直の破線を参照されたい。

本明細書での目的が、コンステレーションの集合
から受信された信号に最も近い点を突き止めることであることを想起されたい。ｉのそれぞれについて、要求される点のうちの１つが、硬判定点である（本明細書ではｘ^MLによって表される）。一般性を失うことなく、硬判定点が、集合
に対応すると仮定する。したがって、各ステップにおいて、相補コンステレーション
（上付きのｃは、論理補数を表す）から、今後は
によって表される最も近い点を突き止めることだけが必要である。

繰返し探索の一連の比較の進行は、シグネチャベクトルσを介して追跡され得、ここで、σ_iは、受信された信号が現在のキー境界より大きい場合に１にセットされ、そうでない場合には、σ_iは０にセットされる。

一実施形態は、受信された信号を第ｋ₁の制限するキー境界と比較することによって開始することができる。まず、
とおく。グレイラベル付けのおかげで、この中央値境界は、コンステレーション
と
とを分離する。図４ａを参照されたい。

したがって、この比較の結果に基づいて、
を決定することができる。すなわち、
である。

次に、受信された信号が、
を有する第ｋ₂のキー境界と比較される。同様に、第ｋ₂のキー境界が、
と
とを分離することが簡単に検証され得る（図４ｂを参照されたい）。次に、我々は、
を有する。このプロセスは、硬判定点が突き止められるまで継続する。最後のステップは、硬判定点の位置をトレースバックすること（すなわち、集合Ｘを決定すること）からなる。実際に、硬判定点の位置は、グレイ符号化されたシグネチャベクトルの個々のビットによって直接に与えられる。たとえば、Ｍ＝１６およびσ＝［１ １］の場合に、グレイ符号化されたシグネチャベクトルは、［１ ０］によって与えられる、すなわち、
であり、これは、
および
を暗示する。

連続するコンステレーション点の間の不等スペーシングに起因して、追加のテスト（イメージ境界を使用する）が、下で示されているように
を評価する時に要求される可能性があることに留意する価値がある。このテストは、等スペーシングに関しては要求されないはずである。

一実施形態による方法の例示的な概略図が、図５内で提供され、例示的な詳細なフローチャートが、図６内で提供されている。

複雑さを低減されたＭａｘ₂−ｌｏｇ ＭＡＰデマッパに関して、目的は、正確なＬＬＲをよりよく近似するために最大の２つの項を使用することによって、元のＭａｘ−ｌｏｇデマッパを改善することである。
に次いで最も近い点（
によって表され、２番目に近い相補コンステレーション点と呼ばれる）が、同様の形で決定される。しかし、コンステレーション点の間の不等スペーシングの結果として、追加のチェックが実行され得ることに留意されたい。この追加のチェックは、イメージ境界と関連するイメージ点とを定義することによって行われる。

一実施形態によるＭａｘ₂−ｌｏｇ ＭＡＰデマッパの例示的な概略図が、図８内に要約されている。例示的な詳細なフローチャートが、図９ａ内で提供されている。図９ｂおよび図９ｃは、図９ａのアルゴリズム内の特定のステップのより詳細な例示的なアルゴリズムを備える。

図６内に示された実施形態による諸実施形態は、既存の方法と比較した複雑さに関して相違を有する可能性がある。その一方で、図６のフローチャートによれば、受信された信号は、現在の境界とｌｏｇ₂Ｍ回比較される必要がある。イメージ点が存在する（イメージ点に関するさらなる情報については下を参照されたい）場合には、最大で追加のｌｏｇ₂Ｍ回のユークリッド距離比較が必要である。このアルゴリズムの終わりに、ユークリッド距離は、ｌｏｇ₂Ｍ＋１回評価される必要がある。イメージ点が存在する場合には、最大で追加の２ｌｏｇ₂Ｍ回のユークリッド距離比較が必要である。したがって、図６のアルゴリズムによるＭａｘ−ｌｏｇ ＭＡＰアルゴリズムの計算的な複雑さは、ｌｏｇ₂Ｍ＋１回のユークリッド距離評価とｌｏｇ₂Ｍ回の境界比較とによって下に有界であり、３ｌｏｇ₂Ｍ＋１回のユークリッド距離評価と２ｌｏｇ₂Ｍ回の比較とによって上に有界である。

したがって、図６のＭａｘ−ｌｏｇ ＭＡＰデマッパの複雑さは、コンステレーションのサイズＭに伴って対数的に増加する。

図１３による実施形態に関して、受信された信号は、境界とｌｏｇ₂Ｍ回比較される。イメージ点の存在チェックは、ｌｏｇ₂Ｍ回の比較を伴い、イメージ点が存在する場合には、追加のｌｏｇ₂Ｍ回の比較が必要である。ユークリッド距離は、このアルゴリズムの終わりにｌｏｇ₂Ｍ＋１回評価される必要がある。したがって、図１３の実施形態によるｍａｘ−ｌｏｇ ＭＡＰアルゴリズムのワーストケースの計算の複雑さは、ｌｏｇ₂Ｍ＋１回のユークリッド距離評価と３ｌｏｇ₂Ｍ回の境界比較とによって与えられる。したがって、このｍａｘ−ｌｏｇ ＭＡＰデマッパの複雑さは、コンステレーションのサイズＭに伴って対数的に増加する。

ブルートフォースＭａｘ−ｌｏｇ ＭＡＰの計算コストが、Ｍ回のユークリッド距離評価および（Ｍ−２）ｌｏｇ₂Ｍ回の比較まで増大することに留意する価値がある。

均一ＱＡＭコンステレーションに関して、イメージ点チェックは、省略され得、この場合に、提案されるアルゴリズムの計算の複雑さは、既存の実用的アルゴリズムと同一である。

その一方で、図９ａから図９ｃの実施形態のＭａｘ₂−ｌｏｇ ＭＡＰの複雑さ分析は、次の通りである。受信された信号は、現在の境界とｌｏｇ₂Ｍ回比較される必要がある。イメージ点が存在する場合には、最大で２ｌｏｇ₂Ｍ＋２回の追加のユークリッド距離比較が必要である（図９ｂを参照されたい）。このアルゴリズムの終わりに、ユークリッド距離は２ｌｏｇ₂Ｍ＋３回評価される必要があるが、イメージ点が存在し、分析される必要がある場合には、最大で４ｌｏｇ₂Ｍ＋４回（図９ｃを参照されたい）の追加のユークリッド距離評価が必要である。したがって、このアルゴリズムの計算的複雑さは、ｌｏｇ₂Ｍ回の境界比較と２ｌｏｇ₂Ｍ＋３回のユークリッド距離評価とによって下に有界であり、３ｌｏｇ₂Ｍ＋２回の比較と６ｌｏｇ₂Ｍ＋７回のユークリッド距離評価とによって上に有界である。

同等のブルートフォース軟デマッパは、Ｍ回のユークリッド距離評価と、（Ｍ−２）ｌｏｇ₂Ｍ回と２（Ｍ−２）ｌｏｇ₂Ｍ回との間の比較とを必要とするはずである。

図１４から図１６の実施形態（下を参照されたい）のＭａｘ₂−ｌｏｇ ＭＡＰの複雑さ分析は、次の通りである。受信された信号は、現在の境界とｌｏｇ₂Ｍ回比較される必要があり、イメージ点の存在チェックは、ｌｏｇ₂Ｍ回の比較を伴い、イメージ点が存在する場合には、３ｌｏｇ₂Ｍ回の追加のユークリッド距離比較が必要である。４回のさらなる比較が、
と
とを決定するために必要である。

このアルゴリズムの終わりに、ユークリッド距離は、３ｌｏｇ₂Ｍ＋３回評価される必要がある。したがって、このアルゴリズムのワーストケース計算的複雑さは、２ｌｏｇ₂Ｍ＋３回のユークリッド距離評価と、５ｌｏｇ₂Ｍ＋４回の境界比較と、ｌｏｇ₂Ｍ＋２回のヤコビアン対数（Jacobian logarithm）とによって与えられる。同等のブルートフォース軟デマッパのワーストケース計算的複雑さは、Ｍ回のユークリッド距離評価と、２（Ｍ−２）ｌｏｇ₂Ｍ回の比較と、ｌｏｇ₂Ｍ＋２回のヤコビアン対数とを伴う。

提案されるアルゴリズムは、ブルートフォース軟デマッパと比較して計算コストの大幅な節約を提供し、したがって、実用シナリオにおいて、特に近ｌｏｇ ＭＡＰ性能を提供しながらの高次変調に有利である。

図６のＭａｘ−ｌｏｇ ＭＡＰアルゴリズムを使用する数値例を次に示す。

この実施形態は、図７ａから図７ｄと、図５および図６のフローチャートとを参照して提供される。図７ａから図７ｄが、正確に原寸通りではないが、実施形態の表示を提供するには十分に正確であることに留意されたい。

ビット数ｍ＝６であるものとする。本実施形態と同様に、同相成分と直角位相成分とに関する独立グレイラベル付けを用いる矩形ＱＡＭが考慮される時に、実成分と虚成分との独立の性質に起因して、コンステレーション点の最初の３つの値が、実軸上の位置と独立であり、したがって、下の例に関して計算される必要がないことに留意されたい。実際に、実軸の値および虚軸の値は、同一の方法を使用して独立に計算され得る。したがって、ｍは、３と考えられ得、したがって、下の例のコンステレーションのサイズＭ＝８である。実ガウシアン形状ＰＡＭコンステレーション点は、｛±０．１５７３； ±０．４８８８； ±０．８８７１； ±１．５３４１｝によって与えられる。これらは、図７ａから図７ｄではｘ₁〜ｘ₈のラベルを付けられる。コンステレーション点ｘ₁からｘ₈は、それぞれ０００、００１、０１１、０１０、１１０、１１１、１０１、１００とグレイ符号化される。図７ａを参照されたい。

雑音汚染された受信された信号点ｙが、図７ａから図７ｄで黒のドットを用いてマークされた０．７７２４と等しいと仮定する。

一実施形態は、当初にｉを１にセットし、したがって、キー境界は
である、Ｓ１２。キー境界ｋ_iは、必ずコンステレーション点ｘ_iとｘ_i+1との間の中間点に配置されるので、ｋ₁は、実軸上で０に配置される。

受信された信号は、第ｋ₁のキー境界と比較される。信号がキー境界より大きいので、σ₁＝１であり、最も近い相補コンステレーション点であるキー点は、
によって与えられる、Ｓ１４。この点は、図７ｂ内で破線の箱によって示されている。

ここで、ｘ₄が実際の最も近い相補コンステレーション点であることを確かめるためにチェックが着手される。というのは、連続するコンステレーション点の間の不等スペーシングに起因して、必ずそうなるとは限らないからである。これは、同様に受信された信号から相補コンステレーション点を分離することのできる第１のイメージ境界ｌを考慮することによって行われる。したがって、イメージ境界は、キー境界と同様の目的のために使用され得、それぞれのビットについて異なる値を有する点を分離する。イメージ点は、イメージ境界の隣に配置され得る。イメージ境界ｌは、
として計算される、Ｓ１６。この場合には、ｌ₁＝１２であり、したがって、イメージ境界が、８まで増えるのみであるコンステレーション点の外側範囲を超えるので、イメージ点は存在することができない。これは、次の不等式を使用してチェックされ得る、Ｓ１８。

第１のステップに関して、すなわち、第１のキー境界が定義された後に、第１のステップに関して
を実証することができ、これが、必ず指定された範囲の外の点を生じるので、いくつかの実施形態では、イメージ点が存在するかどうかのチェックが省略され得ることに留意されたい。

この繰返しに関してイメージ点が存在しないので、ｉ＜ｌｏｇ₂Ｍであるかどうかに関する決定が行われる、Ｓ２０。そうではない場合には、境界に対する比較の必要な回数のすべてが、実行済みである。しかし、ここではｉ＜ｌｏｇ₂Ｍであり、したがって、さらなる繰返しが行われる。

第ｋ₂のキー境界が、ここで、
を使用してセットされる、Ｓ２２。ここで、ｋ₂＝６であり、これは、０．６８８０によって与えられる。

その後、ｉは、ｉ＋１にセットされる、Ｓ２４。

次に、受信された信号は、上と同様に第ｋ₂のキー境界と比較される、Ｓ１４。信号が、まだキー境界より大きいので、σ₂＝１であり、
である、Ｓ１４。これが、図７ｃに示されている。

ステップＳ１６およびＳ１８が、上で識別された相補コンステレーション点が実際の最も近い相補コンステレーション点であることを確認するために、もう一度実行される。まず、イメージ境界ｌ₂が、１０として計算される。前と同様に、ｌ₂がＳ１８の要件を満足しないので、イメージ点は存在しない。したがって、上で識別された相補コンステレーション点は、実際の最も近い相補コンステレーション点である。

ｉ＝２であり、ｌｏｇ₂８＝３であるから、決定Ｓ２０に対する回答は、同様にＹｅｓであり、したがって、第ｋ₃のキー境界がセットされる、Ｓ２２。ｋ₃＝７であり、これは、１．２１０６によって与えられる。Ｓ２４は、ｉ＝３をセットする。受信された信号が、第ｋ₃のキー境界と比較される。ここで、信号は、キー境界値より小さく、したがって、σ₃＝０と
とを得る、Ｓ１４。

この場合に、イメージ点に関してチェックする時に、ｌ₃＝５である、Ｓ１６。これは、Ｓ１８の不等式を満足し、したがって、イメージ点が存在する。したがって、受信された点と相補コンステレーション点ｘ₈との間の距離が、受信された点とイメージ境界ｌ₃の反対側のイメージ点との間の距離より大きいかどうかが、明示的にチェックされなければならない。これは、Ｓ２６で、
であるかどうかをチェックすることによって行われる。Ｓ２６に対する回答がＮｏである場合には、以前に最も近い相補コンステレーション点として識別された（すなわち、現在は
としてセットされている）キー点は、実際の最も近い相補コンステレーション点である。Ｓ２６に対する回答がＹｅｓである場合には、実際の最も近い相補コンステレーション点は、実際にはイメージ点
であり、したがって、イメージ点が、最も近い相補コンステレーション点としてセットされる
、Ｓ２８。

現在の例では、イメージ点
は、初期推定値
より受信された信号に近い。したがって、
は、ｘ₅に更新される、Ｓ２８。これが、図７ｄに示されている。

ここで、硬判定点が、
として決定される、Ｓ３０。この点は、図７ｄでは細い実線の長方形内にある。

シグネチャベクトルσ＝［１ １ ０］である。このシグネチャベクトルのグレイ符号化は［１ ０ １］を与え、これは、
（すなわち、硬判定点が、その第１のビットとして１を有し、その第２のビットとして０を有し、その第３のビットとして１を有する）を示すが、最初の３つのビットは、実軸と虚軸との独立性に起因してグレイコーディングされたコンステレーション点内で無視されることに留意されたい（上を参照されたい）。グレイ符号化されたシグネチャベクトルは、
であり、
であり、
であることをも示す。

Ｘ¹およびＸ⁰から最も近い点（すなわち、各キー境界ｋ₁からｋ₃の両側で信号点に最も近い点、具体的には
、およびｘ^ML）が、現在は識別済みである。したがって、受信された信号ｙと
、および
との間のユークリッド距離が計算され、式（４）からのＬＬＲの近似が下記のように決定されることを可能にする。

図１３に関して、Ｍａｘ−ｌｏｇ ＭＡＰデマッパの代替実施形態が示されている。この実施形態は、図６に示された実施形態に対する変形形態である。この図は、図５のアルゴリズムに対応する。全般的に、このアルゴリズムは、図６を参照して説明されたものと同一である。同様の符号は、同様の演算を指す。したがって、相違だけが、ここで説明される。

Ｓ１４の一部として最も近い相補コンステレーション点を当初にセットするのではなく、このアルゴリズムは、シグネチャベクトルをＳ１５で更新するが、この時には、どの点をも最も近い相補コンステレーション点としてセットしない。

わずかに再定式化されたチェックが、イメージ点が存在するかどうかをチェックするのに使用される、Ｓ１９。

Ｓ１９が真ではない場合には、信号に最も近く、信号に対してキー境界の反対側にある相補コンステレーション点
が、
を使用して最も近い相補コンステレーション点としてセットされ（Ｓ３５）、ここで、σは、シグネチャベクトル（下を参照されたい）であり、σ_iは、ベクトル内の第ｉの項目であり、上付きのｃは、論理補数を表す。その後、このアルゴリズムは、図６のアルゴリズムと同様の形で進行する。

Ｓ１９が真である場合には、第１の比較点が、ｘ_εとしてセットされ、ここで、
であり、第２の比較点が、ｘ_μとしてセットされ、ここで、
である、Ｓ２７。

その後、ステップＳ２９で、受信された信号が２つの比較点の算術平均より小さいかどうかがチェックされる。それに対する回答がＹｅｓである場合には、第１の比較点が、最も近い相補コンステレーション点としてセットされる、
、Ｓ３１。それに対する回答がＮｏである場合には、第２の比較点が、最も近い相補コンステレーション点としてセットされる、
、Ｓ３３。

その後、図１３のアルゴリズムは、図６のアルゴリズムと同様の形で進行する。

Ｍａｘ−ｌｏｇ ＭＡＰアルゴリズムの第２の実施形態（図１３による）を使用することは、
を決定する時にキー点とイメージ点との中点が計算されるステップを伴うが、Ｍａｘ−ｌｏｇ ＭＡＰデマッパの第１の実施形態（すなわち、図６による実施形態）と同一の数値結果を生じる。これから、これが短く説明される。

ビット数ｍ＝６であるものとする。この実施形態と同様に、同相成分と直角位相成分とに関して独立のグレイラベル付けを用いる矩形ＱＡＭが考慮される時に、実成分と虚成分との独立の性質に起因して、コンステレーション点の最初の３つの値が、実軸上の位置と独立であり、したがって、下の例に関して計算される必要がないことに留意されたい。実際に、実軸の値および虚軸の値は、同一の方法を使用して独立に計算され得る。したがって、ｍは、３と考えられ得、したがって、下の例のコンステレーションのサイズＭ＝８である。実ガウシアン形状ＰＡＭコンステレーション点は、｛±０．１５７３； ±０．４８８８； ±０．８８７１； ±１．５３４１｝によって与えられる。これらは、図７ａから図７ｄではｘ₁〜ｘ₈のラベルを付けられる。コンステレーション点ｘ₁からｘ₈は、それぞれ０００、００１、０１１、０１０、１１０、１１１、１０１、１００とグレイ符号化される。図７ａを参照されたい。

雑音汚染された受信された信号点ｙが、０．７７２４と等しいと仮定する。

一実施形態は、当初にｉを１にセットし、したがって、キー境界は
である、Ｓ１２。キー境界ｋ_iは、必ずコンステレーション点ｘ_iとｘ_i+1との間の中間点に配置されるので、ｋ₁は、実軸上で０に配置される。

受信された信号は、第ｋ₁キー境界と比較される。信号がキー境界より大きいので、σ₁＝１である、Ｓ１５。
である、Ｓ１６。この場合に、ｌ₁＝１２であり、したがって、イメージ境界が、８まで増えるのみであるコンステレーション点の外側範囲を超えるので、イメージ点は存在することができない。これは、
であるかどうかをチェックすることによってチェックされ得る、Ｓ１９。ここではそうではなく、したがって、最も近い相補コンステレーション点であるキー点は、
によって与えられる、Ｓ３５。

ここで、ｉ＜ｌｏｇ₂Ｍであるかどうかに関するチェックが行われる、Ｓ２０。そうではない場合には、境界に対する比較の必要な回数のすべてが、実行済みである。しかし、ここではｉ＜ｌｏｇ₂Ｍであり、したがって、さらなる繰返しが行われる。

第ｋ₂のキー境界が、ここで、
を使用してセットされる、Ｓ２２。ここで、ｋ₂＝６であり、これは、０．６８８０によって与えられる。

その後、ｉは、ｉ＋１にセットされる、Ｓ２４。

次に、受信された信号は、第ｋ₂のキー境界と比較される。信号が、まだキー境界より大きいので、σ₂＝１である、Ｓ１５。

ステップＳ１６およびＳ１９が、上で識別された相補コンステレーション点が実際の最も近い相補コンステレーション点であることを確認するために、もう一度実行される。まず、イメージ境界ｌ₂が、１０として計算される。前と同様に、ｌ₂がＳ１９の要件を満足しないので、イメージ点は存在しない。

次に、
である、Ｓ３５。

ｉ＝２であり、ｌｏｇ₂８＝３であるから、決定Ｓ２０に対する回答は、同様にＹｅｓであり、したがって、第ｋ₃のキー境界がセットされる、Ｓ２２。ｋ₃＝７であり、これは、１．２１０６によって与えられる。Ｓ２４は、ｉ＝３をセットする。受信された信号が、第ｋ₃のキー境界と比較される。ここで、信号は、キー境界値より小さく、したがって、σ₃＝０を得る。

この場合に、イメージ点に関してチェックする時に、ｌ₃＝５である、Ｓ１６。これは、Ｓ１９の不等式を満足し、したがって、イメージ点が存在する。

したがって、受信された点と相補コンステレーション点ｘ₈との間の距離が、受信された点とイメージ境界ｌ₃の反対側のイメージ点との間の距離より大きいかどうかが、明示的にチェックされなければならない。

第１の比較点が、ｘ_ε＝ｘ₅としてセットされ、ここで、
であり、第２の比較点が、ｘ_μ＝ｘ₈としてセットされ、ここで、
である、Ｓ２７。

その後、ステップＳ２９で、受信された信号が２つの比較点の算術平均より小さいかどうかがチェックされる。それに対する回答はＹｅｓでり、第１の比較点が、最も近い相補コンステレーション点としてセットされる、
、Ｓ３１。

ここで、硬判定点が、
として決定される、Ｓ３０。

シグネチャベクトルσ＝［１ １ ０］である。このシグネチャベクトルのグレイ符号化は［１ ０ １］を与え、これは、
（すなわち、硬判定点が、その第１のビットとして１を有し、その第２のビットとして０を有し、その第３のビットとして１を有する）を示すが、最初の３つのビットは、実軸と虚軸との独立性に起因してグレイコーディングされたコンステレーション点内で無視されることに留意されたい（上を参照されたい）。グレイ符号化されたシグネチャベクトルは、
であり、
であり、
であることをも示す。

Ｘ¹およびＸ⁰から最も近い点（すなわち、各キー境界ｋ₁からｋ₃の両側で信号点に最も近い点、具体的には
、およびｘ^ML）が、現在は識別済みである。したがって、受信された信号ｙと
、および
との間のユークリッド距離が計算され、式（４）からのＬＬＲの近似が下記のように決定されることを可能にする。

図９ａ〜図９ｃのＭａｘ₂−ｌｏｇ ＭＡＰアルゴリズムの例示的実施形態を次に示す。この実施形態による数値例が、その後に説明される。

図９ａ、図９ｂ、および図９ｃのフローチャートは、この実施形態による方法を示す。

キー境界ｋ₁およびシグネチャベクトル項目σ₁が、Ｍａｘ−Ｌｏｇ ＭＡＰの上の実施形態で説明されるように計算される、Ｓ４２およびＳ４４。初期の最も近い相補コンステレーション点
が、キー点として識別される、Ｓ４４。

ここで、各ビットの２つの最も近い相補点
が識別される。この２つの点は、本明細書では最も近い相補コンステレーション点
および２番目に近い相補コンステレーション点
と呼ばれる。２つの最も近い相補コンステレーション点を識別することに関するプロセス、Ｓ４６が、これから、図９ｂを参照してより詳細に説明され、図９ｂは、残りの相補コンステレーション点を識別するステップＳ４６を示す。

まず、上でＭａｘ−Ｌｏｇ ＭＡＰ実施形態を参照して説明されたものと同一の形でイメージ境界ｌを定義することＳ４６０と、同様に上でＭａｘ−Ｌｏｇ ＭＡＰ実施形態を参照して説明されたようにイメージ点が存在するかどうかをチェックすることＳ４６１とによって、イメージ点が存在するかどうかがチェックされる。イメージ点が存在しない場合には、２番目に近い相補コンステレーション点
は、識別された最も近い相補コンステレーション点すなわちキー点（今は実際の最も近い相補コンステレーション点であると決定される）および関連するキー境界からより遠い１つのコンステレーション点と同一の、コンステレーション図の実軸（または虚軸）の部分に存在しなければならない、Ｓ４６２。

ステップＳ４６１が、イメージ点が存在すると決定する場合には、受信された信号点とキー点すなわち現在識別されている最も近い相補コンステレーション点（すなわち、現在
としてセットされている）との間の距離が、受信された点とイメージ点との間の距離より大きいかどうかがチェックされる、Ｓ４６３。

Ｓ４６３に対する回答がＮｏである場合には、現在識別されている相補コンステレーション点（すなわち、現在
としてセットされている）は、実際の最も近い相補コンステレーション点である。その後、イメージ点は、２番目に近い相補コンステレーション点としてセットされ、
、第２のイメージ境界ｌ’が、
としてセットされる、Ｓ４６４。Ｓ４６６は、１≦ｌ’≦Ｍであるかどうかをチェックし、Ｓ４６７は次に、信号点と２番目に近い相補コンステレーション点との間の距離が、信号点と第２のイメージ点ｘ_l’との間の距離より大きいかどうか、
を決定する。これらのチェックのいずれかに対する回答がＮｏである場合には、
および
の現在のアイデンティティに対するさらなる変更は、行われない。しかし、これらの不等式（Ｓ４６６およびＳ４６７）の両方が真である場合には、第２のイメージ点ｘ_l’が、２番目に近い相補コンステレーション点
としてセットされる、Ｓ４６８。

しかし、決定Ｓ４６３に対する回答がＹｅｓであり、したがって、受信された信号点とキー点すなわち現在識別されている最も近い相補コンステレーション点（すなわち、現在
としてセットされている）との間の距離が、受信された点とイメージ点との間の距離より大きい場合には、イメージ点は、実際の最も近い相補コンステレーション点である、
。最も近い相補コンステレーション点として置換されたばかりの点は、今や、２番目に近い相補コンステレーション点と仮定され、したがって、
である。その後、第２のイメージ境界が、
としてセットされる、Ｓ４６５。その後、決定ステップＳ４６６は、１≦ｌ’≦Ｍであるかどうかをチェックし、その後、Ｓ４６７は、上と同様に
であるかどうかを決定する。これらのチェックのいずれかに対する回答がＮｏである場合には、
および
のアイデンティティに対するさらなる変更は、行われない。しかし、これらの不等式（Ｓ４６６およびＳ４６７）の両方が真である場合には、第２のイメージ点ｘ_l’が、２番目に近い相補コンステレーション点
としてセットされる、Ｓ４６８。

第２のイメージ境界と第２のイメージ点とを用いる上のチェックは、コンステレーション点の間の不等スペーシングに起因して要求される。

上で議論されるように、２つの点を比較し、そのどちらが受信された信号により近いのかを決定する時（たとえば、Ｓ４６７において）には、上で説明されるように、どちらが最も近いのかを確かめるために、２つの比較される点の間の中点が、見つけられ、受信された信号と比較され得ることが理解されなければならない。

上のＭａｘ−ｌｏｇ ＭＡＰアルゴリズムと同様に、不等式ｉ＜ｌｏｇ₂Ｍ（Ｓ４８）がもはや真ではなくなるまで、第ｋ_i+1のキー境界を定義し（Ｓ５０）、ｉを増分的に増加させる（Ｓ５２）ために、ループが実施される。ｉ＜ｌｏｇ₂Ｍがもはや真ではない場合に決定ステップＳ４８に続くステップは、下でさらに議論される。

戻って図９ａを参照すると、最も近い相補コンステレーション点（
）および２番目に近い相補コンステレーション点（
）が、ビットごとに突き止められ（Ｓ４６）、ｉ≧ｌｏｇ₂Ｍ（Ｓ４８）になった後に、硬判定点ｘ^MLが、識別され得（
）、シグネチャベクトルが、グレイ符号化され得る、Ｓ５０。

ここで、相補コンステレーション点ではない２つの最も近いコンステレーション点（すなわち、受信された信号に最も近いコンステレーション点と同一の、それぞれのビットの値を有するコンステレーション点）を見つけることが必要である。これらは、硬判定点ｘ^MLと補助硬判定点と、
と定義される。

ｘ^MLに次いで最も近い（非相補）点（補助硬判定点）を見つけるために、受信された信号とｘ^MLの左右の兄弟（siblings）との間の距離を比較しなければならず、その後、より近い点が、
として記憶される。グレイラベル付けのおかげで、
は、第１の補助硬判定点
がもはやｘ^MLの兄弟ではなく、別の点が評価される必要がある（
によって表される第２の補助硬判定点）１つの位置を除いて、受信された信号に最も近い２つの点である。コンステレーション点が規則的なスペースを設けられる場合には、
は、シュノルオイヒナエニュメレーション（Schnorr-Euchner enumeration）による次の点と等しくなったはずである（すなわち、
が左兄弟である場合には、
は右兄弟であり、逆も同様である）。現在のケース、すなわち、コンステレーション点が均等なスペースを設けられない場合には、追加のチェックが、
を決定するために必要になる可能性がある。

ここで図９ａを参照すると、まず、受信された信号点が軸のいずれかの端にあるかどうか、すなわち、信号点が、最小の可能なキー境界ｋ_iより小さいまたは最大の可能なキー境界ｋ_iより大きいのいずれかであるかどうかに関するチェックが行われる、Ｓ５３。信号点が、最小の可能なキー境界より小さいまたは最大の可能なキー境界より大きいのいずれかである場合には、１＜ｋ_i＋σ_i＜Ｍは、真ではない。

Ｓ５３に対する回答がＮｏである場合には、Ｓ５４が、
と
とをセットする。下で説明される方法を使用すると、
および
は、Ｍａｘ₂−ｌｏｇ ＭＡＰ（ｂ）を計算するのに使用され得る。

Ｓ５３に対する回答がＹｅｓである場合には、信号点は、軸のどちらの端にもない。その後、Ｓ５６は、
および
として２つの新しいエンティティを定義し、これらは、第１のテスト点（ｘ_u）と第２のテスト点（ｘ_v）とを定義する。これは、第１のテスト点ｘ_uと第２のテスト点ｘ_vとを、硬判定点の両側のコンステレーション点としてセットし、ｘ_uは、軸の中央に最も近い。

その後、信号点と第１のテスト点ｘ_uとの間の距離が、信号点と第２のテスト点ｘ_vとの間の同等距離より小さいかどうかがチェックされる、Ｓ５８。Ｓ５８に対する回答がＮｏであり、したがって｜ｙ−ｘ_u｜≧｜ｙ−ｘ_v｜である場合には、ステップＳ６２が、
と
とをセットする。その後、Ｍａｘ₂−ｌｏｇ ＭＡＰ（ｂ）が、下で説明されるように計算され得る、Ｓ６４。

Ｓ５８に対する回答がＹｅｓであり、したがって｜ｙ−ｘ_u｜＜｜ｙ−ｘ_v｜である場合には、さらなる一連のステップが、第１と第２との補助硬判定点
を突き止める（Ｓ６０）ために要求される可能性がある。これらのさらなるチェックは、原点から離れるにつれて増加する、連続するコンステレーション点の間の分離に起因して要求される。

図９ｃは、Ｓ６０のプロセスを示す。まず、ｘ_uが、
としてセットされる、Ｓ６００。次に、決定ステップＳ６０１が、
であるかどうかを決定する。そうではない場合には、ｘ_vが、
としてセットされ、Ｓ６０２、Ｍａｘ₂−ｌｏｇ ＭＡＰ（ｂ）が、下で議論されるように計算され得る。

Ｓ６０１の結果がＹｅｓであり、したがって、
である場合には、（ｋ_i＋σ_i−σ₁）÷４の剰余ｒが、計算される、Ｓ６０３。

この剰余ｒが０より大きい場合には（ステップＳ６０４参照）、ステップＳ６１１が、Δ＝２^2-rem(r,2)を定義する。

剰余ｒが０より大きくはない場合には（ステップＳ６０４参照）、ステップＳ６０５が、
を定義し、その後、Ｓ６０６が、Δ＝２^{4-rem(r’,2)}を定義する。

Ｓ６０６またはＳ６１１のいずれかが着手された後に、Ｓ６０７が、
を定義する。その後、決定ステップＳ６０８が、｜ｙ−ｘ_v｜＞｜ｙ−ｘ_w｜であるかどうかを決定する。そうである場合には、ｘ_wが、
としてセットされる。｜ｙ−ｘ_v｜＞｜ｙ−ｘ_w｜が真ではない場合には、ｘ_vが、
としてセットされる、Ｓ６０９。

Ｓ６０の方法は、ｘ_wの値が、記憶されたルックアップテーブルから取り出されて、オフラインで着手され得る。

戻って図９ａを参照すると、その後、Ｍａｘ₂−ｌｏｇ ＭＡＰ（ｂ）が、下で概要を示されるように計算され得る、Ｓ６４。

図９ａ〜図９ｃによるＭａｘ₂−ｌｏｇ ＭＡＰ実施形態の数値例が、これから、図１０ａ〜図１０ｄと図１１ａ〜図１１ｃとを参照して説明される。

ここで、図１０ａ〜図１０ｄと図１１ａ〜図１１ｃとに示された特定の実施形態を参照すると、コンステレーション点の同一の個数およびスペーシングと同一の受信された信号点とが、上の数値例と同様に使用される。

キー境界ｋ₁およびシグネチャベクトル項目σ₁が、上で第１の実施形態と図１０ｂとＳ４２とＳ４４とを参照して説明されるように計算される。最初の最も近い相補コンステレーション点
が、キー点として識別される、Ｓ４４。

第１の実施形態のＳ４６とＳ４６０とＳ４６１と（図ＡＤのフローチャートを参照されたい）と同様に、イメージ点が存在するかどうかを知るために、チェックが行われる。最初の２ビットに関してイメージ点は存在しないので（上を参照されたい）、２番目に近い相補コンステレーション点は、識別された最も近い相補コンステレーション点（今は実際の最も近い相補コンステレーション点であると決定される）ならびにキー境界ｋ₁とｋ₂とからより遠い１つのコンステレーション点と同一の実軸（または虚軸）の部分にある相補コンステレーション点でなければならない。したがって、
および
は、
として直接に得られ、したがって、
であり、
である。図１０ｂと図１０ｃとを参照されたい。

図１０ｄに示されたこの実施形態の第３のビットに関して、イメージ点
は、キー点（すなわち、最初に識別された最も近い相補コンステレーション点）より受信された信号点に近い。したがって、ｘ₅は、実際の最も近い相補コンステレーション点であり、そのようにセットされ、
（ｘ₈を置換する）、ｘ₈は、最初に２番目に近い相補コンステレーション点
としてセットされる、Ｓ４６５。ここで、第２のイメージ境界がセットされる、
。決定ステップＳ４６６は真であるが、決定ステップＳ４６７は真ではない、すなわち、
は、｜ｙ−ｘ₈｜≦｜ｙ−ｘ₄｜なので真ではない。したがって、点ｘ₈は、実際の２番目に近い相補コンステレーション点
（図１０ｄに示されているように）であり、保持される。

したがって、最も近い相補コンステレーション点および２番目に近い相補コンステレーション点は、
である。

図９ａから図９ｃに示されたアルゴリズムを継続し、図１１ａから図１１ｃを参照すると、硬判定点ｘ^MLは、識別され得（
）、シグネチャベクトルは、グレイ符号化され得る、Ｓ５０。この手順は、前の実施形態の手順に類似し、ｘ^ML＝ｘ₇とＧｒａｙ（σ）＝［１ ０ １］とを与える。

図９ａの方法を継続すると、Ｓ５３に関して、ｋ_i＋σ_i＝ｋ₃＋σ₃＝７であり１＜７＜８である、Ｓ５３。
であり、したがってｕ＝６であり、ｖ＝８である。

信号点と第１および第２のテスト点ｘ_uおよびｘ_vとの間の距離が、比較され、Ｓ５８、ｘ_uが、より近い。したがって、Ｓ５８に対する回答はＹｅｓである。第１の補助硬判定点
である、Ｓ６００。
であり、これは真である、Ｓ６０１。その後、（ｋ_i＋σ_i−σ₁）÷４＝６÷４の剰余ｒが計算され、ｒ＝２になる、Ｓ６０３。ｒ＞０であり、Ｓ６０４、したがって、ステップＳ６１１は、Δ＝２^2-rem(r,2)＝２^2-rem(2÷2)＝４を定義する。Ｓ６０７は、
を定義する。ｘ_w＝ｘ₂が、第２のビットに関して硬判定点の左隣であることが検証され得る。しかし、ｘ_v＝ｘ₈は、ｘ_w＝ｘ₂より信号点に近い。したがって、第２の補助硬判定点
である、Ｓ６０９。

その後、
が、
の２番目に近いコンステレーション点であり、
が、
の２番目に近いコンステレーション点であることが決定され得る。これは、現在のケースで、現在の例では［１ １ １］によって与えられる
に関連するグレイラベルが、第２のビットにおいて硬判定点のラベル［１ ０ １］と異なるからである。

Ｘ¹およびＸ⁰から最も近い２つの点を突き止めたので、Ｍａｘ₂−ｌｏｇ ＭＡＰ（ｂ）は、
を使用して、また、近似
において２つの項を使用する時のＬＬＲを仮定して、評価され得、ここで、ｘ’^MLは、それぞれのビットの補助硬判定点である（すなわち、
のうちの１つ）。それぞれのビットのＬＬＲは、
に従って計算され得る。

本開示によるＭａｘ₂−ｌｏｇ ＭＡＰデマッパのさらなる実施形態が、これから、図１４から図１８を参照して議論される。これらの図の要素が詳細には議論されない場合には、それらは、上の実施形態（すなわち、図９ａ〜図９ｃによる実施形態）と同一である。

ここで図１４に移ると、一実施形態によるアルゴリズムを示すフローチャートが示されている。このアルゴリズムは、図９ａに示されたアルゴリズムに対する変形形態である。ステップが、図９ａのステップと同一である場合には、上と同様に、同一の符号が使用されている。図９ａのアルゴリズムと図１４のアルゴリズムとの間の相違だけが、下で議論される。

図９ａのＳ４４とは異なって、Ｓ４５では、最も近い相補コンステレーション点が、シグネチャベクトル項目がセットされる時に同時にはセットされない。

相補点を突き止めるのに使用されるアルゴリズムＳ４７は、図９ａと図９ｂとのアルゴリズムとは異なり、図１５を参照してより詳細に説明される。

相補コンステレーション点が、すべてのビットについて識別された後に、硬判定点がセットされ、Ｓ５１、受信された信号点が軸のいずれかの端にあるかどうか、すなわち、信号点が最小の可能なキー境界より小さいまたは最大の可能なキー境界より大きいのいずれかであるかどうかに関するチェックが、行われる、Ｓ５３。Ｓ５３に対する回答がＮｏである（すなわち、硬判定点が軸の端にある）場合には、同一のアルゴリズムが、図９ａのアルゴリズムに類似する形で継続する。

硬判定点が、軸の端にあるのではない場合には、図１６を参照して議論されるように、補助硬判定点が識別される、Ｓ６１。

図１５は、最も近い相補コンステレーション点を突き止めるためのアルゴリズムを示す。図１５は、図１４内でＳ４７に示された、最も近い相補コンステレーション点を突き止めるためのアルゴリズムを示す。

イメージ境界が、本明細書の他所で説明されるように定義される、Ｓ４７１。その後、同様に本明細書で説明される方法に従って、イメージ点が存在するかどうかを知るためにチェックが行われる、Ｓ４７２。イメージ点が存在しない（すなわち、イメージ点がコンステレーションの外部に配置される）場合には、受信された信号に対してキー境界の反対側にある相補コンステレーション点が、
に従って最も近い相補コンステレーション点としてセットされ、それに隣接する相補コンステレーション点が、
に従って２番目に近い相補コンステレーション点としてセットされる。

Ｓ４７２に対する回答がＹｅｓであり、イメージ点が存在する場合には、第１の比較点が、ｘ_εとしてセットされ、ここで、
であり、第２の比較点が、ｘ_μとしてセットされ、ここで、
であり、Ｓ４７４、ここで、
は、キー境界に最も近く、キー境界の反対側にある相補コンステレーション点であり、ｌ＋σ_iは、イメージ点である。

その後、ステップＳ４７５で、受信された信号が２つの比較点の算術平均より小さいかどうかがチェックされる。これに対する回答がＹｅｓである場合には、受信された信号は、第１の比較点に最も近く、したがって、第１の比較点が、最も近い相補コンステレーション点としてセットされる、
、Ｓ４７６ａ。これに対する回答がＮｏである場合には、受信された信号は、第２の比較点に最も近く、第２の比較点が、最も近い相補コンステレーション点としてセットされる、
、Ｓ４７６ｂ。

第１の比較点が、最も近い相補コンステレーション点としてセットされる（Ｓ４７６ａ）場合には、第１の比較点が、コンステレーションの端にある（すなわち、その片側に隣接するコンステレーション点がない）かどうかが、ε＞１であるかどうかをチェックすることによって決定される、Ｓ４７７ａ。これに対する回答がＮｏであり、したがって、第１の比較点がコンステレーションの端にある場合には、第２の比較点が、２番目に近い相補コンステレーション点としてセットされる、
、Ｓ４８０ａ。

Ｓ４７７ａすなわちε＞１に対する回答がＹｅｓである場合には、受信された信号が、第２の比較点に対して反対側の第１の比較点の隣であるコンステレーション点ｘ_ε-1と第２の比較点との算術平均より小さい
かどうかが決定される、Ｓ４７８ａ。これは、受信された信号が、第２の比較点または第１の比較点の隣に最も近いかどうかをチェックする。これに対する回答がＹｅｓである（すなわち、第１の比較点の隣が、第２の比較点より受信された信号に近い）場合には、第１の比較点の隣が、２番目に近い相補コンステレーション点としてセットされる、Ｓ４７９ａ、
。これに対する回答がＮｏである（すなわち、第２の比較点が、第１の比較点の隣より受信された信号に近い）場合には、第２の比較点が、２番目に近い相補コンステレーション点としてセットされる、
、Ｓ４８０ａ。

同様に、第２の比較点が、最も近い相補コンステレーション点としてセットされる、Ｓ４７６ｂ場合には、第２の比較点が、コンステレーションの端にある（すなわち、その片側に隣接するコンステレーション点がない）かどうかが、μ＜Ｍをチェックすることによって決定される、Ｓ４７７ａ。これに対する回答がＮｏであり、したがって、第２の比較点がコンステレーションの端にある場合には、第１の比較点が、２番目に近い相補コンステレーション点としてセットされる、
、Ｓ４８０ｂ。

Ｓ４７７ｂすなわちμ＜Ｍに対する回答がＹｅｓである場合には、受信された信号が、第１の比較点に対して反対側の第２の比較点の隣であるコンステレーション点ｘ_μ-1と第２のコンステレーション点との算術平均より小さい
かどうかが決定される、Ｓ４７８ｂ。これは、受信された信号が、第１の比較点または第２の比較点の隣に最も近いかどうかをチェックする。これに対する回答がＮｏである（すなわち、第２の比較点の隣が、第１の比較点より受信された信号に近い）場合には、第２の比較点の隣が、２番目に近い相補コンステレーション点としてセットされる、Ｓ４７９ｂ、
。これに対する回答がＹｅｓである（すなわち、第１の比較点が、第２の比較点の隣より受信された信号に近い）場合には、第１の比較点が、２番目に近い相補コンステレーション点としてセットされる、
、Ｓ４８０ａ。

図１６は、図１４のアルゴリズム内で使用される第１の補助硬判定点と第２の補助硬判定点とを突き止めるためのアルゴリズムを示す。しかし、図１６のアルゴリズムは、任意の実施形態と共に使用され得る。

Ｓ６１１では、２つのテスト点がｘ_αおよびｘ_βと定義され、ここで、α＝ｋ_m＋σ_m−１であり、β＝ｋ_m＋σ_m＋１である。次に、受信された信号が、ｘ_βよりｘ_αに近いかどうかが決定される、Ｓ６１２。Ｓ６１２に対する回答がＹｅｓである場合には、Ｓ６１３が、第１の補助硬判定点をｘ_αとしてセットする、
。その後、決定ステップＳ６１４が、
であるかどうかを決定する。これに対する回答がＮｏである場合には、ｘ_βが、第２の補助硬判定点としてセットされる、
、Ｓ６１５。

Ｓ６１４に対する回答がＹｅｓである場合には、Ｓ６１６が、
であるかどうかをチェックする。ｗが、図１７および図１８に示されたアルゴリズムに従ってオフラインで決定されることに留意されたい。Ｓ６１６に対する回答がＮｏである場合には、ｘ_βが第２の補助硬判定点としてセットされる、
、Ｓ６１５。Ｓ６１６に対する回答がＹｅｓである場合には、第２の補助硬判定点は、次のようにセットされる。
、Ｓ６１７。

Ｓ６１２に対する回答がＮｏである場合には、Ｓ６１８が、第１の補助硬判定点をｘ_βとしてセットする、
。その後、決定ステップＳ６１９が、
であるかどうかを決定する。これに対する回答がＮｏである場合には、ｘ_αが、第２の補助硬判定点としてセットされる、
、Ｓ６２０。

Ｓ６１９に対する回答がＹｅｓである場合には、Ｓ６２１が、
であるかどうかをチェックする。Ｓ６２１に対する回答がＹｅｓである場合には、ｘ_αが、第２の補助硬判定点としてセットされる、
、Ｓ６２０。Ｓ６２１に対する回答がＮｏである場合には、第２の補助硬判定点は、次のようにセットされる、
、Ｓ６２２。

図１７は、ｗを計算するためのアルゴリズムを示す。このアルゴリズムは、補助硬判定点がオフラインで決定され得る任意の実施形態と共に使用され得る。まず、ｉ＝２とおく、Ｓ１００。その後、ｒ＝ｒｅｍ（ｉ，４）とする、Ｓ１０２。次に、ｒ＞０であるかどうかに関する決定が行われる、Ｓ１０４。Ｓ１０４に対する回答がＮｏである場合には、
とする、Ｓ１０６。Ｓ１０４に対する回答がＹｅｓである場合には、δ＝２^2-rem(r,2)とする、Ｓ１０８。

次に、Ｓ１０６またはＳ１０８のいずれかの後に、ｗ（ｉ）＝ｉ＋δ＋１とし、Ｓ１１０、その後、ｉ＝ｉ＋１とする、Ｓ１１２。その後、決定ステップが、
であるかどうかを決定する、Ｓ１１４。回答がＹｅｓである場合には、このアルゴリズムは完了する。回答がＮｏである場合には、ループが、アルゴリズムをＳ１０２に引き戻す。

図１８は、ｗを計算するためのアルゴリズムを示す。このアルゴリズムは、補助硬判定点がオフラインで決定され得る任意の実施形態と共に使用され得る。まず、
とおく、Ｓ２００。その後、ｒ＝ｒｅｍ（ｉ−１，４）とする、Ｓ２０２。次に、ｒ＞０であるかどうかに関する決定が行われる、Ｓ２０４。Ｓ２０４に対する回答がＮｏである場合には、
とする、Ｓ２０６。Ｓ２０４に対する回答がＹｅｓである場合には、δ＝２^2-rem(r,2)とする、Ｓ２０８。

次に、Ｓ２０６またはＳ２０８のいずれかの後に、ｗ（ｉ）＝ｉ−δ−１とし、Ｓ２１０、その後、ｉ＝ｉ＋１とする、Ｓ１１２。その後、決定ステップが、ｉ＞Ｍであるかどうかを決定する、Ｓ２１４。回答がＹｅｓである場合には、このアルゴリズムは完了し、ｗが決定されている。回答がＮｏである場合には、ループが、アルゴリズムをＳ２０２に引き戻す。

これから、図１４から図１６の実施形態によるＭａｘ₂−ｌｏｇ ＭＡＰデマッパの数値例が、提供される。

最初の２ビットに関して、イメージ点はなく、したがって、
および
は、
として直接に得られ、Ｓ４７３、したがって、
であり、
である。第３のビットに関して、イメージ点が存在し、Ｓ４７２、受信された信号は、キー点とイメージ点との中央値より小さい、Ｓ４７４、Ｓ４７５。したがって、イメージ点が、最も近い相補コンステレーション点としてセットされる、Ｓ４７６ａ。イメージ点は、コンステレーションの端にあるのではなく、Ｓ４７７ａ、したがって、受信された信号は、ｘ_ε-1＝ｘ₄とｘ_μ＝ｘ₈の中央値と比較され、Ｓ４７８ａ、これは、０．６８８４によって与えられ、したがって、
である。

二分探索の終わりに、このアルゴリズムは、硬判定点を
として決定する。ｋ_m＋σ_m＝７であり、したがって、Ｓ５３に対する回答はＹｅｓである。ここで図１６を見ると、α＝６であり、β＝８である。左兄弟（すなわち、ｘ₆）は、右兄弟（すなわち、ｘ₈）より受信された信号に近く（すなわち、受信された信号は、この２つのコンステレーション点の中央値より小さい、Ｓ６１２）、その後、
は、ｘ₆にセットされる、Ｓ６１３。
を突き止めるために、このアルゴリズムは、以下のように進行する。しかし、ベクトルｗが、たとえば図１７および図１８に示されたアルゴリズムを使用して、前もって記憶されると仮定されることに留意されたい。ベクトルｗがこの特定の例に関してどのように計算されるのかが、ここで示される。

ｋ_m＋σ_m＝７を有する。したがって、Ｓ６１４に対する回答はＹｅｓである。

今、ｗの値が計算される必要がある。これは特定の例に関して行われているので、図１７／１８のアルゴリズムは、繰り返しては行われない。

この特定の例では、これが、図１８を参照して行われる。というのは、我々が、コンステレーションの右半分、ｒ＝２で動作しており、したがって、δ＝４であり、ｗ（７）＝７−４−１＝２であるからである。ｗ（７）の値は、オフライン計算を使用して先験的に投入されたルックアップテーブルから獲得され得る。その後、このアルゴリズムは、受信された信号を、ｘ₂とｘ₈との中央値（０．５２２７によって与えられる）と比較し、したがって、
は、ｘ₈にセットされる。

最後に、その後、
が、
、
の２番目に近い点であり、
が、
の２番目に近い点であることが決定され得る。Ｘ¹とＸ⁰とからの２つの最も近い点を突き止めたので、このアルゴリズムは、ｍａｘ₂−ｌｏｇ ＭＡＰを評価する。

一実施形態によるＭａｘ₂−ｌｏｇ ＭＡＰデマッパのさらなる説明が、これから提供される。以下の説明では、上で使用されたものとは異なる表記が使用される場合がある。しかし、説明される実施形態は、本開示の範囲内にある。

不均一なスペースを有し、同程度に確からしい点を有するコンステレーションは、ＡＷＧＮチャネル上でシャノン容量を達成するのに不十分であることが知られている。１次元シグナリングに関して、この損失（シェイピング損失（shaping loss）と称する）は、高信号対雑音比および大きいコンステレーションサイズＭに関して１．５３ｄＢに達する。シェイピング損失は、異なる手段によって回復され得、その手段の１つは、隣接する点の間の不等スペーシングを可能にする幾何学的シェイピング（geometric shaping）を介するものである。しかし、提供される性能改善は、均一コンステレーションに関するより高い変調複雑性を犠牲にして成り立つ。本明細書で説明される実施形態は、不均一パルス振幅変調（ＮＵ−ＰＡＭ）の近最適低複雑性軟デマッピングに関する。諸実施形態の計算コストは、その複雑さがＭに伴って線形に増加する、対応するブルートフォースデマッパとは対照的に、Ｍに伴って対数的に増加する。複雑さの節約は、コンステレーションのサイズが増大するにつれて大きくなり、このコンステレーションサイズの増大は、やがて現れるワイヤレス通信標準規格とビデオ放送標準規格とにあてはまる。

不均一なスペースを有し、同程度に確からしい点を有するコンステレーションは、ＡＷＧＮチャネル上でシャノン容量を達成するのに不十分であることが知られている。実際に、実数値のＡＷＧＮチャネル（すなわち、基礎になるコンステレーションがＰＡＭである）に関して、このこうむられる損失（シェイピング損失と称する）は、コンステレーションのサイズＭが増大する時に、高ＳＮＲ領域で使用される１チャネルあたり
ビットに達する。シェイピング損失は、異なる手段によって回復され得る。たとえば、シェイピング符号が、基礎になるコンステレーションの同程度に確からしい性質を変更するために使用され得、これは、ハフマン方式に従って到来ビットを符号化し、したがって、異なる長さの符号語を各コンステレーション点にマッピングすることによって行われ得る。このプレフィックス符号は、最適マクスウェル＝ボルツマン分布に近付くように設計され得る。しかし、結果の可変レート送信は、バッファリング管理など、いくつかの実用上の問題を課す。別の手法は、超球になるようにコンステレーション点の境界領域を制限することからなる。境界超球次元Ｎが無限大に近付く時に、最適シェイピング利得が達成される。やはり、球の境界領域は、引き起こされる高い複雑さの変調／復調など、実用上の問題を課す。同程度に確からしい点を有するコンステレーションが、隣接する点の間の不等スペーシング（幾何学的シェイピングと称する）を可能にすることによって、漸近領域で（Ｍが非常に大きくなる時に）ＡＷＧＮチャネル上でシャノン容量を達成できることも、実証されている。コンステレーション点が、変調器出力がガウス分布を示すようになる形で調整される場合に、結果のコンステレーションが、Ｍ→∞の時にＡＷＧＮ容量に近付くことができることが、証明されている。

ガウシアンフィッティングされたコンステレーションの実例｛ｘ_k：ｋ＝１，…，Ｍ｝が、
によって得られる。上式内で、コンステレーション点が同様に確からしいと仮定されることに留意する価値がある。このガウシアンフィッティングは、同相と直角位相とのコンステレーションに独立に適用され得、結果の不均一直角位相振幅（ＮＵ−ＱＡＭ）は、単純に、基礎になる不均一パルス振幅変調（ＮＵＰＡＭ）コンステレーションのデカルト積である。

通常のシナリオでは、これらの不均一コンステレーションは、誤り訂正符号（たとえば、ＬＤＰＣまたはターボ符号）に関連して使用される。本明細書で説明される実施形態は、近最適の、複雑さを低減された軟デマッパを開示する。このために、一般性を失うことなく、実ＡＷＧＮチャネルｙを仮定し、システムモデルは、
によって与えられ、ここで、ｙは、雑音汚染された信号を表し、ｘ_bは、２進ラベルｂ＝（ｂ₁，ｂ₂，…，ｂ_m）に対応する送信されたシンボルを表し、ｗは、ＡＷＧＮサンプルを表す。対数尤度比（ＬＬＲ）は、
によって与えられ、ここで、Ｎ₀は、雑音分散を表す。上式は、下で示されるｍａｘ−ｌｏｇ近似のおかげで単純化され得る。

実用上の考慮に起因して、正確なＬＬＲは、
ただし、ｆ_c（｜ｘ−ｙ｜）＝ｌｏｇ（１＋ｅ^-|x-y|）、によって与えられるヤコビアン対数を再帰的に適用することによって、よりよく実施される。変調複雑性を手頃なレベルに保ちながら正確なＬＬＲをよく近似するための複数の試みは、区分定数関数または区分線形関数によって補正関数を近似することに頼った。これらの手法は、近似された補正関数のパラメータをルックアップテーブル内に記憶することからなり、引数が含まれる区間に基づいて、近似補正関数が計算される。これらの手法の主要な短所は、まだ相対的に高い復調複雑さをもたらす、固有の再帰的な性質である。

ＬＬＲ関数は、区分線形間数によってビットごとに近似されることも可能である。したがって、単純な二分探索を実行することによって、本アルゴリズムは、受信された信号がどの領域に含まれるのかを決定し、線形化されたＬＬＲパラメータ（たとえば、傾きおよびｙ切片）が、ビットごとに直接に取り出される。区分線形ＬＬＲのパラメータが、ＳＮＲごとに評価される必要があることに留意する価値がある。Ｍに伴って対数的に増加する計算的複雑さを有する低複雑性ｍａｘ−ｌｏｇ ＭＡＰデマッパも、提案された。しかし、本アルゴリズムは、均一コンステレーションを仮定する。

直観的には、元のＬＬＲのよりよい近似は、分子ならびに分母の最初の２つの支配的な項を考慮することによって得ることができる。ｉ＝１，…，ｍについて、（ｂ：ｂ_i＝１）（それぞれ、ｂ：ｂ_i＝０）に対応する点の集合
（それぞれ、
）から受信された信号に最も近い２つの点を突き止めるための新しい低複雑性アルゴリズムが、提案される。提案されるアルゴリズムに対する言及は、ｍａｘ₂−ｌｏｇ ＭＡＰによって行われる。

硬判定点（ｚ₁によって表される）が、グレイ２進ラベルｂを有すると仮定する。したがって、第ｉビットに関して、
である。
内からの受信された信号に次に近い点は、ｚ₂（ｉ）と表される。相補コンステレーション
（上付きのｃは論理補数を表す）からの受信された信号に最も近い２つの点は、それぞれ
と
とによって表される。提案されるアルゴリズムの背後にある主なアイデアは、硬判定推定値が見つけられた後に、点の残り（すなわち、ｚ’₁とｚ’₂とｚ₂）は、下で短く示されるように、制限された回数の比較とユークリッド距離評価とを介して決定され得るということである。

本手法は、数値の例を介してよりよく説明され、その後、一般化される。一実施形態は、硬判定点ｚ₁を突き止めることによって開始することができる。均一ＰＡＭコンステレーションの場合には、ｚ₁は、単純な形で得ることができるが、隣接する点の間の不等スペーシングに起因して、二分探索が使用される。

｛ｘ_k：ｋ＝１，…，Ｍ｝が、ＮＵ−ＰＡＭコンステレーション点を表すものとし、ここで、第ｎのキー境界は、単純にｘ_nとｘ_n+1との算術平均であり、ｎ＝１，…，Ｍ−１である。二分探索の全体を通しての一連の比較の進行は、シグネチャベクトルσを介して追跡され、第ｉのステップでは、σ_iは、受信された信号が現在の境界より大きい場合に１にセットされ、そうでない場合には、σ_iは０にセットされる。

Ｍ＝８であるものとすると、ＮＵ−ＰＡＭコンステレーションは、｛±０．１５７３； ±０．４８８８； ±０．８８７１； ±１．５３４１｝によって与えられる。受信された信号ｙが、０．７７２４と等しいと仮定する。したがって、アルゴリズム（そのパート（Ａ）が表２に提示され、そのパート（Ｂ）が表３に提示される）は、単純にＮＵ−ＰＡＭコンステレーションの中央値（すなわち、０）であり、したがってσ₁＝１である、第ｎ₁のキー境界（ｎ₁＝４である）と受信された信号を比較することによって開始する。２進交番グレイラベル付けのおかげで、このキー境界がコンステレーション
と
とをも分離し、したがって、我々は、
と
とを有する（図１２（ａ）参照）ことに留意する価値がある。次に、受信された信号は、０．６８８０によって与えられ、したがってσ₂＝１である、第ｎ₂のキー境界（ｎ₂＝６である）と比較される。同様に、第ｎ₂のキー境界が、
と
とを分離することが、簡単に検証され得、したがって、我々は、
と
とを有する（図１２（ｂ）参照）。受信された信号は、その後、１．２１０６によって与えられ、したがってσ₃＝０である、第ｎ₃のキー境界（ｎ₃＝７である）と比較される。図１２（ｃ）から検証され得るように、このキー境界は、
と
とをも分離するが、隣接する点の間の不等スペーシングに起因して、追加のテストが、ｚ’₁（３）とｚ’₂（３）とを突き止めるために必要になる可能性がある。

実際に、我々は、受信された信号が、
により近い、または、イメージ点
（ただし、
である）により近いのどちらであるのかを決定する必要がある可能性がある（図１２（ｃ）参照）。我々は、
を有し、点
が、
より受信された信号に近いことが見つけられ、これは、ｚ’₁（３）をｘ₅にセットすることを暗示する。その後、受信された信号は、
と
との中点と比較され（図１２（ｄ）参照）、この中点は、０．６８８４によって与えられ（一点鎖線）、したがって、
であることを暗示する。ここで、硬判定点が決定され、
である。対応するグレイラベルは、［１ ０ １］によって与えられ、これは、
を示すが、
である。一般に、このプロセスは、硬判定点が突き止められるまで継続し、第ｉステップでは、キー境界が
として更新される。全般的な手順は、アルゴリズムパート（Ａ）に要約されている。

最後に、本アルゴリズムは、ｚ₂の評価に進行する。その後、受信された信号は、硬判定点の左隣（すなわち、ｘ₆）と右隣（すなわち、ｘ₈）（第１および第２のテスト点）の中点と比較され（図１２（ｅ）参照）、この中点は、１．０１１５によって与えられる（一点鎖線）。グレイラベル付けのおかげで、ｚ₁は、その兄弟と正確に１位置だけ異なり、したがって、上で述べられたテストに基づいて、ｚ₂（ｉ）は、ｚ₁と異なるビット（たとえば、第ｊのビット）を除くすべてのｉについて決定される。本アルゴリズムは、ｘ₆がｊ＝２を有する硬判定推定値により近いと決定し、ｚ₂（１）＝ｚ₂（３）＝ｘ₆をもたらす。

次に、ｚ₂（ｊ）が、次のように決定される。左兄弟
が、受信された信号により近いと仮定すると、受信された信号は、
によって表される、
からの右兄弟
と左兄弟（たとえばＳ６０と図９ｃのプロセスを使用することによって、２進交番グレイコーディングに関してオフラインで決定され得る）との中点と比較され、その後、最も近い点が、ｚ₂（ｊ）として記憶される。現在のケースでは、
（図１２（ｆ）参照）であり、受信された信号は、０．３２３５によって与えられる、
とｘ₈との中点（一点鎖線）より大きいことが見つけられ、ｚ₂（２）＝ｘ₈を暗示する。全般的な手順は、アルゴリズムパート（Ｂ）に要約されている。

複雑さ分析 Ｍ−ＰＡＭコンステレーションに関して、受信された信号は、追加のテストが要求される場合の２ｌｏｇ₂Ｍ回に加えて、境界とｌｏｇ₂Ｍ回比較される（アルゴリズムパート（Ａ）参照）。次に、受信された信号は、境界と２回比較され（アルゴリズム（Ｂ）参照）、合計で３ｌｏｇ₂Ｍ＋２回までの境界比較になる。最後に、２＋ｌｏｇ₂Ｍ回のヤコビアン対数に加えて、ユークリッド距離が３＋２ｌｏｇ₂Ｍ回評価される。ブルートフォース対応物は、２＋ｌｏｇ₂Ｍ回のヤコビアン対数に加えて（２Ｍ−４）ｌｏｇ₂Ｍ回の比較に加えてユークリッド距離をＭ回評価する必要があるはずである。これは、提案されるアルゴリズムの複雑性のオーダーが、その複雑性のオーダーが線形に増加するブルートフォースアルゴリズムに反して、ＰＡＭコンステレーションのサイズに伴って対数的に増加することを示し、したがって、特に大きいサイズのコンステレーションに関して、本開示による実施形態に有利である。表１は、異なるデマッパの複雑さを要約する。ｍａｘ−ｌｏｇ ＭＡＰは、提案されるアルゴリズムの追加ステップを除去することによって得られる。

元のｌｏｇ ＭＡＰデマッパおよびｍａｘ−ｌｏｇ ＭＡＰデマッパと共に、提案されるアルゴリズムのＢＥＲ性能が、図３に提供されている。図３のデータに関して、ＡＷＧＮチャネル上のインターリービングなしで６４８００のブロック長を用いるレート１／２ ＬＤＰＣが使用される。図３から検証され得るように、説明される実施形態は、それぞれ２５６ ＮＵ−ＱＡＭと１０２４ ＮＵ−ＱＡＭと４０９６ ＮＵ−ＱＡＭとに関してＢＥＲ １０^-3でｍａｘ−ｌｏｇ ＭＡＰデマッパに対して約０．０７と０．１４と０．２との利得を達成する。

異なるデマッパの次元あたりの計算コストは、表１から直接に得ることができる。たとえば、１０２４ ＮＵ−ＱＡＭに関して、基礎になるＮＵ−ＰＡＭは、Ｍ＝３２のサイズを有する。したがって、ｌｏｇ ＭＡＰデマッパは、３２回のユークリッド距離評価と１５０回のヤコビアン対数とを必要とする。提案される実施形態は、１７回の比較と、１３回のユークリッド距離評価と、７回のヤコビアン対数とを必要とする。ｍａｘ−ｌｏｇ ＭＡＰは、１０回の比較と６回のユークリッド距離評価とを必要とする。

ある種の実施形態が説明されたが、これらの実施形態は、例としてのみ提示されたものであって、本発明の範囲を限定することは意図されていない。実際に、本明細書で説明される新規の方法、デバイス、および装置は、様々な他の形で実施され得、さらに、本明細書で説明される方法および装置の形態における様々な省略、置換、および変更は、本発明の趣旨から逸脱せずに行われ得る。添付の特許請求の範囲およびその同等物は、本発明の範囲および趣旨に含まれるものとしてそのような形態または変更を包含することが意図されている。

Claims (20)

1. 対数尤度比の値を決定することによって変調された信号を復調する際に使用するためのデバイスであって、
   実行可能命令を記憶するように構成されたストレージデバイスと、
   前記ストレージデバイス上に記憶された前記命令を実行するように構成されたプロセッサと、
   を備え、前記プロセッサは、前記命令を実行する時に、
   ２進交番グレイラベル付け符号によって識別される複数のコンステレーション点を備えるコンステレーション図を使用して復調されることになる、変調された信号を受信し、
   前記グレイラベル付け符号のビットについて、前記信号を前記コンステレーション図の１次元の表現上の点として考慮する時に前記信号に最も近い相補コンステレーション点を識別し、
   硬判定点を識別し、
   ここにおいて、前記硬判定点は、前記信号をコンステレーション図の１次元の表現上の点として考慮する時に前記信号に最も近いコンステレーション点であり、
   相補コンステレーション点は、前記硬判定点と比較して前記ビットについて異なる値を有するコンステレーション点である、
   前記硬判定点と前記最も近い相補コンステレーション点とを使用して対数尤度比の値を決定する
   ように構成される、
   デバイス。
2. 最も近い相補コンステレーション点は、前記グレイラベル付け符号のすべてのビットについて識別される、請求項１に記載のデバイス。
3. 最も近い相補コンステレーション点を識別することは、
   キー境界を定義することと、
   ここにおいて、キー境界は、前記コンステレーション図の１次元の表現上の値を定義する、
   前記受信された信号を前記キー境界と比較することと、
   イメージ境界を定義することと、
   ここにおいて、イメージ境界は、前記コンステレーション図の１次元の表現上の値を定義し、ここにおいて、前記イメージ境界は、前記ビットについて異なる値を有する２つのコンステレーション点の間で、前記キー境界について前記信号と同一の側に配置される、
   コンステレーション点が前記信号に対して前記イメージ境界の反対側に存在するかどうかをチェックすることと、
   コンステレーション点が前記信号に対して前記イメージ境界の反対側に存在しない時に、
   キー点と呼ばれる、前記信号に最も近く、前記信号に対して前記キー境界の反対側にある前記相補コンステレーション点を前記最も近い相補コンステレーション点としてセットすることと
   を備える、請求項１に記載のデバイス。
4. 前記グレイラベル付け符号のすべてのビットについて最も近い相補コンステレーション点を識別することは、
   第１のビットについて第１のキー境界を定義することと、
   ここにおいて、キー境界は、前記コンステレーション図の１次元の表現上の値を定義する、
   前記受信された信号を前記第１のキー境界と比較することと、
   第１のイメージ境界を定義することと、
   ここにおいて、イメージ境界は、前記コンステレーション図の１次元の表現上の値を定義し、ここにおいて、前記イメージ境界は、前記ビットについて異なる値を有する２つのコンステレーション点の間で、前記キー境界について前記信号と同一の側に配置される、
   コンステレーション点が前記信号に対して前記第１のイメージ境界の反対側に存在するかどうかをチェックすることと、
   コンステレーション点が前記信号に対して前記第１のイメージ境界の反対側に存在しない時に、
   第１のキー点と呼ばれる、前記信号に最も近く、前記信号に対して前記第１のキー境界の反対側にある前記相補コンステレーション点を、前記第１のビットの前記最も近い相補コンステレーション点としてセットすることと、
   さらなるビットごとにそれぞれのキー境界を順次定義することと、
   ここにおいて、各それぞれのキー境界は、前記それぞれのビットについて異なる値を有する２つのコンステレーション点の間で、前のビットの前記キー境界について前記信号と同一の側に配置される、
   前記受信された信号を各それぞれのキー境界と比較することと、
   さらなるビットごとにそれぞれのイメージ境界を定義することと、
   ここにおいて、イメージ境界は、前記コンステレーション図の１次元の表現上の値を定義し、ここにおいて、前記イメージ境界は、前記ビットについて異なる値を有する２つのコンステレーション点の間で、前記それぞれのキー境界について前記信号と同一の側に配置される、
   コンステレーション点が前記信号に対して前記それぞれのイメージ境界の反対側に存在するかどうかをチェックすることと、
   コンステレーション点が前記信号に対して前記それぞれのイメージ境界の反対側に存在しない時に、
   それぞれのキー点と呼ばれる、前記信号に最も近く、前記信号に対して前記キー境界の反対側にある前記相補コンステレーション点を、前記それぞれのビットの前記最も近い相補コンステレーション点としてセットすることと
   を備える、請求項２に記載のデバイス。
5. 前記硬判定点を識別することは、
   前記受信された信号を前記グレイラベル付け符号の最後のビットの前記キー境界と比較することと、
   前記グレイラベル付け符号の前記最後のビットの前記キー境界に最も近く、前記キー境界について前記信号と同一の側にある前記コンステレーション点を前記硬判定点としてセットすることと
   を備える、請求項４に記載のデバイス。
6. 前記プロセッサは、
   ２進シグネチャベクトルを決定する、
   ここにおいて、前記シグネチャベクトルの項目は、それぞれ、前記受信された信号と各それぞれのキー境界との間の前記比較の結果を備える、
   ようにさらに構成される、ここにおいて、
   前記硬判定点を識別することは、
   前記２進シグネチャベクトルと同等のグレイラベルを前記硬判定点としてセットすること
   を備える、請求項４に記載のデバイス。
7. 最も近い相補コンステレーション点を識別することは、
   コンステレーション点が前記信号に対して前記イメージ境界の反対側に存在する時に、
   イメージ点と呼ばれる、前記信号に最も近く、前記信号に対して前記イメージ境界の反対側にある前記相補コンステレーション点と前記キー点とのうちで前記受信された信号に最も近いものを前記最も近い相補コンステレーション点としてセットすること
   をさらに備える、請求項３に記載のデバイス。
8. 前記イメージ点と前記キー点とのうちで前記受信された信号に最も近いものを前記最も近い相補コンステレーション点としてセットすることは、
   第１の比較点を前記キー点と前記イメージ点との最小値としてセットすることと、
   第２の比較点を前記キー点と前記イメージ点との最大値としてセットすることと、
   前記受信された信号が前記第１の比較点と前記第２の比較点との算術平均より小さいかどうかを決定することと、
   前記受信された信号が前記算術平均より小さい時に、前記第１の比較点を前記最も近い相補コンステレーション点としてセットすることと
   を備える、請求項７に記載のデバイス。
9. 前記プロセッサは、
   前記グレイラベル付け符号の前記ビットについて、前記信号に最も近い相補コンステレーション点と前記信号に２番目に近い相補コンステレーション点とを識別し、
   硬判定点と補助硬判定点とを識別し、ここにおいて、補助硬判定点は、前記硬判定点と同一の前記ビットの値を有する、前記信号に２番目に近いコンステレーション点である、
   前記硬判定点と、補助硬判定点と、前記最も近い相補コンステレーション点と、前記２番目に近い相補コンステレーション点とを使用して対数尤度比の値を決定する
   ように構成される、請求項１に記載のデバイス。
10. 前記プロセッサは、
    前記グレイラベル付け符号の前記ビットについて、前記信号に最も近い相補コンステレーション点と前記信号に２番目に近い相補コンステレーション点とを識別し、
    硬判定点と補助硬判定点とを識別し、ここにおいて、補助硬判定点は、前記硬判定点と同一の前記ビットの値を有する、前記信号に前記２番目に近いコンステレーション点である、
    前記硬判定点と、補助硬判定点と、前記最も近い相補コンステレーション点と、前記２番目に近い相補コンステレーション点とを使用して対数尤度比の値を決定する
    ように構成され、
    前記信号に前記最も近い相補コンステレーション点と前記信号に前記２番目に近い相補コンステレーション点とを識別することは、
    コンステレーション点が前記信号に対して前記イメージ境界の反対側に存在しない時に、
    前記最も近いコンステレーション点の隣の、前記キー境界について前記最も近いコンステレーション点と同一の側にある前記相補コンステレーション点を前記２番目に近い相補コンステレーション点としてセットすること
    をさらに備える、請求項４に記載のデバイス。
11. 前記プロセッサは、
    前記グレイラベル付け符号の前記ビットについて、前記信号に最も近い相補コンステレーション点と前記信号に２番目に近い相補コンステレーション点とを識別し、
    硬判定点と補助硬判定点とを識別し、ここにおいて、補助硬判定点は、前記硬判定点と同一の前記ビットの値を有する、前記信号に２番目に近いコンステレーション点である、
    前記硬判定点と、補助硬判定点と、前記最も近い相補コンステレーション点と、前記２番目に近い相補コンステレーション点とを使用して対数尤度比の値を決定する
    ように構成され、
    前記信号に前記最も近い相補コンステレーション点と前記信号に前記２番目に近い相補コンステレーション点とを識別することは、
    コンステレーション点が、前記信号に対して前記イメージ境界の反対側に存在し、前記イメージ点が、前記キー点より前記信号に近い時に、
    前記イメージ点を前記最も近い相補コンステレーション点としてセットすることと、
    前記イメージ点が、前記コンステレーションの端にある時に、
    前記キー点を前記２番目に近い相補コンステレーション点としてセットすることと、
    コンステレーション点が、前記信号に対して前記イメージ境界の反対側に存在し、前記イメージ点が、前記キー点より前記信号に近くはない時に、
    前記キー点を前記最も近い相補コンステレーション点としてセットすることと、
    前記キー点が、前記コンステレーションの端にある時に、
    前記イメージ点を前記２番目に近い相補コンステレーション点としてセットすることと
    をさらに備える、請求項７に記載のデバイス。
12. 硬判定点と補助硬判定点とを識別することは、
    前記硬判定点を識別することと、
    前記硬判定点が前記コンステレーション図の軸の端にあるかどうかを決定することと、
    前記硬判定点が前記コンステレーション図の軸の端にある時に、
    前記硬判定点の隣の前記コンステレーション点を第１の補助硬判定点としてセットすることと、
    前記硬判定点から３つ離れた前記コンステレーション点を第２の補助硬判定点としてセットすることと
    を備える、請求項９に記載のデバイス。
13. 硬判定点と補助硬判定点とを識別することは、
    前記硬判定点を識別することと、
    前記コンステレーション図の１次元の表現内で、第１のテスト点または第２のテスト点のどちらが前記信号により近いのかを決定することと、
    ここにおいて、前記第１のテスト点および前記第２のテスト点は、前記硬判定点の両側のコンステレーション点である、
    前記第１のテスト点が、前記第２のテスト点より前記信号に近くはない時に、
    前記第２のテスト点を第１の補助硬判定点としてセットすることと
    を備える、請求項９に記載のデバイス。
14. 硬判定点と補助硬判定点とを識別することは、
    ルックアップテーブルから値をルックアップすることと、
    ここにおいて、前記ルックアップテーブル内の前記値は、前記コンステレーションのサイズに依存する、
    補助硬判定点を識別するのに前記ルックアップテーブルからの前記値を使用することと
    を備える、請求項９に記載のデバイス。
15. 前記対数尤度比の前記値を受け取るための復号器をさらに備える、請求項１に記載のデバイス。
16. 前記復号器は、出力を備え、前記復号器は、対数尤度比の値を繰り返し更新し、復号された信号を出力するように構成される、請求項１５に記載のデバイス。
17. 前記プロセッサは、前記対数尤度比の前記決定された値を使用して前記信号を復調するようにさらに構成される、請求項１に記載のデバイス。
18. 変調された信号をデマッピングするための対数尤度比の値を決定するための方法であって、
    ２進交番グレイラベル付け符号によって識別される複数のコンステレーション点を備えるコンステレーション図を使用して復調されることになる、変調された信号を受信することと、
    前記グレイラベル付け符号のビットについて、前記信号を前記コンステレーション図の１次元の表現上の点として考慮する時に前記信号に最も近い相補コンステレーション点を識別することと、
    硬判定点を識別することと、
    ここにおいて、前記硬判定点は、前記信号をコンステレーション図の１次元の表現上の点として考慮する時に前記信号に最も近いコンステレーション点であり、
    相補コンステレーション点は、前記硬判定点と比較して前記ビットについて異なる値を有するコンステレーション点である、
    前記硬判定点と前記最も近い相補コンステレーション点とを使用して対数尤度比の値を決定することと
    を備える方法。
19. 最も近い相補コンステレーション点は、前記グレイラベル付け符号のすべてのビットについて識別され、
    ここにおいて、前記グレイラベル付け符号のすべてのビットについて最も近い相補コンステレーション点を識別することは、
    第１のビットについて第１のキー境界を定義することと、
    ここにおいて、キー境界は、前記コンステレーション図の１次元の表現上の値を定義する、
    前記受信された信号を前記第１のキー境界と比較することと、
    第１のイメージ境界を定義することと、
    ここにおいて、イメージ境界は、前記コンステレーション図の１次元の表現上の値を定義し、ここにおいて、前記イメージ境界は、前記ビットについて異なる値を有する２つのコンステレーション点の間で、前記キー境界について前記信号と同一の側に配置される、
    コンステレーション点が前記信号に対して前記第１のイメージ境界の反対側に存在するかどうかをチェックすることと、
    コンステレーション点が前記信号に対して前記第１のイメージ境界の反対側に存在しない時に、
    第１のキー点と呼ばれる、前記信号に最も近く、前記信号に対して前記第１のキー境界の反対側にある前記相補コンステレーション点を、前記第１のビットの前記最も近い相補コンステレーション点としてセットすることと、
    さらなるビットごとにそれぞれのキー境界を順次定義することと、
    ここにおいて、各それぞれのキー境界は、前記それぞれのビットについて異なる値を有する２つのコンステレーション点の間で、前のビットの前記キー境界について前記信号と同一の側に配置される、
    前記受信された信号を各それぞれのキー境界と比較することと、
    さらなるビットごとにそれぞれのイメージ境界を定義することと、
    ここにおいて、イメージ境界は、前記コンステレーション図の１次元の表現上の値を定義し、ここにおいて、前記イメージ境界は、前記ビットについて異なる値を有する２つのコンステレーション点の間で、前記それぞれのキー境界について前記信号と同一の側に配置される、
    コンステレーション点が前記信号に対して前記それぞれのイメージ境界の反対側に存在するかどうかをチェックすることと、
    コンステレーション点が前記信号に対して前記それぞれのイメージ境界の反対側に存在しない時に、
    それぞれのキー点と呼ばれる、前記信号に最も近く、前記信号に対して前記キー境界の反対側にある前記相補コンステレーション点を、前記それぞれのビットの前記最も近い相補コンステレーション点としてセットすることと
    を備える、請求項１８に記載の方法。
20. プロセッサ上で実行される時に、前記プロセッサに請求項１８に記載の方法を実行させるコンピュータ実行可能命令を担持するコンピュータ可読記憶媒体。