JP2011242346A - 光学素子、光学装置および光学素子の偏芯量および曲面形状測定方法。 - Google Patents

Abstract

【課題】本発明は、光軸位置と向きを精度良く決定できる光学素子及び光学素子の偏芯量測定方法を提供する。
【解決手段】 光学素子は、光束を通過又は反射し、第１の関数で規定される第１表面を有する有効領域（ＹＲ）と、有効領域の外側の領域に形成され、第１の関数と異なる第２の関数で規定される第２表面を有する非有効領域（ＨＲ）と、を備える。そして光学的非有効領域（ＨＲ）の第２の関数は、曲面又は互いに異なる関数で表わされる２つ以上の平面を有する。
【選択図】 図１

Description

本発明は、偏芯量と曲面形状を精度良く決定できる光学素子、その光学素子を有する光学装置及び光学素子の偏芯量測定方法に関する。

携帯電話内蔵カメラ、液晶プロジェクターなどの製品は、非軸対称光学レンズまたは非軸対称光学ミラー等の光学素子を用いることにより小型化を実現している。これらの光学素子の偏芯量は、光軸の位置、角度を精度よく決めることができないため光学素子の外形から設計値により機械的公差の範囲内で決定する方法が用いられてきた。また、特許文献１に示すように、光学素子の表面上の複数点の三次元の座標を求め、これらの座標から表面形状を表わす関数を導出して偏芯量を求める三次元表面形状測定による方法もある。この方法では光学素子の偏芯量を演算により求めることができる。さらに、測定する座標点の点数を増やすことにより容易に測定精度を高めることができる。

特開平７−２２９８１１号公報

しかし、三次元表面形状測定では、光学素子の形状により偏芯量の測定が困難な場合がある。例えば、Ｘ−Ｙ平面に広がる平坦な光学素子は、Ｘ−Ｙ平面内の方向に偏芯しても光学素子の表面形状を表わす関数は偏芯の前後で同じため、関数を導いただけでは偏芯量は分からない。特に、非軸対称光学系は表面の凹凸が少なくて平坦な場合が多く、正確な偏芯量を求めることが困難である。また、光学素子の外形形状から偏芯量を求めることができるが、外形形状が不規則である場合には正確な外形形状を把握しにくいため、偏芯量の測定精度が落ち、その結果，決定した偏芯量にも曲面形状にも不確定性が残る場合が多かった。

本発明は、有効領域内の設計面形状を表現する関数形とは異なる関数形の面形状を有効領域外に形成することにより、光軸位置と向きが精度良く決定できる光学素子、この光学素子を使用した光学装置及びこの光学素子を使用した光学素子の偏芯量および曲面形状測定方法を提供することを目的とする。

第１の態様の光学素子は、光束を通過又は反射し第１の関数で規定される第１表面を有する有効領域と、有効領域の外側の領域に形成され第１の関数と異なる第２の関数で規定される第２表面を有する非有効領域と、を備える。そして光学的非有効領域の第２の関数は、曲面又は互いに異なる関数で表わされる２つ以上の平面を有する。

第２の態様の光学装置は、第１の態様の光学素子を光束の光路上に配置されている光学装置である。

第３の態様の曲面形状測定方法は、第１の関数で規定される第１表面と第２の関数で規定される第２表面とを有する光学素子を三次元表面形状計測装置の光学素子支持部で支持する工程と、三次元表面形状計測装置を用いて光学素子の表面形状を測定する工程と、第１の関数と第２の関数とを導出し、光学素子の偏芯量を求める工程と、を有する。

本発明の光学素子は、光学素子の光軸位置と向きを精度良く決定できる。また，曲面形状も精度良く決定できる。

光学素子１００の斜視図である。 光学素子の表面形状の測定方法を示すフローチャートである。 （ａ）は、三次元表面形状計測装置ＴＤの概略図である。 （ｂ）は、三次元表面形状計測装置ＴＤのプローブＰＢの軌跡を説明するための図である。 （ａ）は、軸対称光学素子ＪＫの表面のＸ軸に垂直な面での断面図である。 （ｂ）は、図４Ａ（ａ）の一点鎖線ＫＤ１の拡大図である。 （ｃ）は、非軸対称光学素子ＨＫの表面のＸ軸に垂直な面での断面図である。 （ｄ）は、図４Ａ（ｃ）の一点鎖線ＫＤ２の拡大図である。 光学的非有効領域ＨＲを有する非軸対称光学素子ＨＨＫの表面のＸ軸に垂直な面での断面図である。 光学素子２００の斜視図である。 （ａ）は、光学素子３００の斜視図である。 （ｂ）は、光学素子３００の原点Ｏを通るＹ軸に垂直な面での表面形状を表わしたグラフである。 （ｃ）は、光学素子３００の原点Ｏを通るＸ軸に垂直な面での表面形状を表わしたグラフである。 （ａ）は、光学素子４００の斜視図である。 （ｂ）は、光学素子４００の原点Ｏを通るＹ軸に垂直な面での表面形状を表わしたグラフである。 （ａ）は、光学素子５００の斜視図である。 （ｂ）は、図８（ａ）のＧ−Ｇ断面の概略図である。 光学素子６００の平面図である。 （ａ）は、光学的非有効領域ＨＲに凸部が形成された凸レンズを拡大した図である。 （ｂ）は、光学的非有効領域ＨＲに凹部が形成された凸レンズを拡大した図である。 （ｃ）は、光学的非有効領域ＨＲに凸部が形成された凹レンズを拡大した図である。 （ｄ）は、光学的非有効領域ＨＲに凹部が形成された凹レンズを拡大した図である。 （ａ）は、光学的非有効領域ＨＲに凸部が形成された凸ミラーを拡大した図である。 （ｂ）は、光学的非有効領域ＨＲに凹部が形成された凸ミラーを拡大した図である。 （ｃ）は、光学的非有効領域ＨＲに凸部が形成された凹ミラーを拡大した図である。 （ｄ）は、光学的非有効領域ＨＲに凹部が形成された凹ミラーを拡大した図である。 映像投写装置７００の概略図である。

（第１実施例）
＜光学素子１００の構成＞
第１実施例として自由曲面を有する光学素子１００について、図１を参照して説明する。

図１は、光学素子１００の斜視図である。光学素子１００は単独で使用されたり、他の素子と組み合わされたりして使用される。図１における光学素子１００は、点線の内側の領域である光学的有効領域ＹＲと、点線の外側の領域である光学的非有効領域ＨＲとを有している。図１では、光学的有効領域ＹＲと光学的非有効領域ＨＲとの境界線ＢＯが点線として示されている。

光学的有効領域ＹＲは、機器に組み込まれたりした場合に光束を反射または透過する領域である。光学的非有効領域ＨＲは光学的有効領域ＹＲ以外の領域であり、機器に組み込まれた際に基本的に光束が透過したり反射されたりしない領域である。機器に不要な迷光が光学的非有効領域ＨＲに入射することはあり得る。光学素子１００の有効領域ＨＲは、軸に対して対称とならない自由曲面として形成されている。

光学的有効領域ＹＲの表面である第１表面の形状を表わす関数を第１の関数、光学的非有効領域ＨＲの表面である第２表面の形状を表わす関数を第２の関数とする。第１の関数及び第２の関数は、互いに異なる関数である。しかし、第１の関数と第２の関数とは同じ原点Ｏを通り同じ座標系で表わされる。つまり、光学素子１００は光学的有効領域ＹＲと光学的非有効領域ＨＲとが同じ原点Ｏを基準として形成される。第１の関数と第２の関数とを同じ原点Ｏを有する関数として表わすことにより、光学的有効領域ＹＲと光学的非有効領域ＨＲとを形成する時に、座標を移動させる必要がなくなるため、光学素子１００の作製が容易になる。また，第２の関数情報で作成された光学的非有効領域ＨＲからのデータを用いても原点Ｏの位置を予測できることになる。図１では、光学的有効領域ＹＲの中央部にある原点Ｏ、原点Ｏを通り光学素子１００の表面の上方に伸びる軸であるＺ軸、原点Ｏを通りＺ軸に垂直な軸をＸ軸、原点Ｏを通りＸ軸及びＺ軸に垂直な軸をＹ軸として示している。

光学素子１００は作製された後に三次元表面形状計測装置ＴＤ（図３を参照）により光学的有効領域ＹＲの表面形状と姿勢とが測定される。姿勢には、Ｘ軸、Ｙ軸、Ｚ軸と各軸まわりの回転パラメータとの計６つのパラメータがある。三次元表面形状計測装置ＴＤでは光学素子１００の光学的有効領域ＹＲの表面形状と姿勢とを一回の計測で導きだすのは一般には容易でなく、導きだしたとしても求めたパラメータの不確定性が大きい。光学素子１００は、互いに異なる関数で表わされている光学的有効領域ＹＲと光学的非有効領域ＨＲとの表面形状を一度の測定により導きだし、光学的有効領域ＹＲの表面形状と姿勢とをパラメータの不確定性が小さい状態で導くことができる。以下に、光学素子１００の表面形状の計測方法を説明し、光学的有効領域ＹＲの表面形状と姿勢とをパラメータの不確定性が小さい状態で導くことができる理由を説明する。

＜光学素子の表面形状計測方法＞
図２及び図３を参照して光学素子の表面形状の計測方法を説明する。

図２は、光学素子の表面形状の計測方法を示すフローチャートである。
ステップＳ１０１は、光学素子１００を光学素子支持部ＫＳで支持する工程である。光学素子１００は、図１で説明されたように、光学的有効領域ＹＲと光学的非有効領域ＨＲとを有している。

ステップＳ１０２は、光学素子１００の表面形状を計測する工程である。三次元表面形状計測装置ＴＤは、光学素子１００の光学的有効領域ＹＲ及び光学的非有効領域ＨＲの表面形状をプローブＰＢ（図３を参照）で接触しながら測定し、その表面形状情報から関数を導出する。

図３（ａ）は、三次元表面形状計測装置ＴＤの概略図である。三次元表面形状計測装置ＴＤは、光学素子支持部ＫＳと、プローブＰＢと、コンピュータＫＫとを有している。光学素子支持部ＫＳは光学素子１００を例えば３点で支持する。光学素子１００は光学素子支持部ＫＳで支持された状態となる。プローブＰＢはその先端が球状に形成されており、球の表面のいずれの点で光学素子１００を接触しても、その球の中心座標で光学素子１００の表面形状情報を測定する。

図３（ｂ）は、三次元表面形状計測装置ＴＤのプローブＰＢの軌跡を説明するための図である。図３（ｂ）には、光学素子支持部ＫＳで支持される光学素子１００の平面図が示されている。例えばプローブＰＢは、−Ｘ軸方向から＋Ｘ軸方向にＸ軸に平行に光学素子１００と接しながら移動する（ＳＡ１）。そしてプローブＰＢは、光学素子１００の表面を移動し終わった後に−Ｙ軸方向に距離ＤＳだけ進み、＋Ｘ軸方向から−Ｘ軸方向へＸ軸に平行に光学素子１００と接しながら移動する（ＳＡ２）。このようにして、光学素子１００の表面全体をプローブＰＢが移動することにより光学素子１００の表面形状を計測する。実際の計測では、例えば距離ＤＳは約０．１から０．２ｍｍ、Ｘ軸方向にはピッチ１０μｍで計測を行い、光学素子１００の大きさが１０〜２０ｍｍ角程度であるとすると、全体では数万から数十万点の計測点が収集される。

１回のプローブＰＢの移動（例えばＳＡ１の移動）で、光学的有効領域ＹＲと光学的非有効領域ＨＲとの両方が計測される。この時、光学素子１００の光学的有効領域ＹＲの関数と光学的非有効領域ＨＲの関数とは境界線ＢＯの座標を境にして分けて計算される。

ステップＳ１０３は、光学素子１００の第１の関数、第２の関数および光学素子１００の偏芯量を求める工程である。プローブＰＢが、光学素子１００の表面を計測し終わった後に、第１の関数、第２の関数および偏芯量が求められる。コンピュータＫＫは、測定された表面形状情報に基づいて、最小２乗法などより表面形状情報を解析して表面形状を表わす関数を導出する。また、偏芯量は、例えば、図１のＺ軸に対する第１の関数および第２の関数の偏芯量として求められる。

以下に、計測された光学素子の偏芯量が不確実性を持つ原因と、その不確実性を小さくする方法について説明する。

図４Ａ（ａ）は、軸対称光学素子ＪＫの表面のＸ軸に垂直な面での断面図である。図中の「＋」は実際の測定点とする。ここで軸対称光学素子ＪＫとは、ある軸に対して回転操作（３６０°とその倍数の回転を除く）をさせた時に、元の光学素子の形状と区別がつかないように移動させることができる光学素子をいう。実線ＪＳ１は実際の測定点から偏差の２乗和を最小にする第１の関数の曲線であり、芯ＪＳＳ１を有している。点線ＴＳ１は実線ＪＳ１を＋Ｙ軸方向に距離ＤＡだけ移動させており、芯ＴＳＳ１を有している。芯ＪＳＳ１と芯ＴＳＳ１とは距離ＤＡだけ離れている。

図４Ａ（ｂ）は、図４Ａ（ａ）の一点鎖線ＫＤ１の拡大図である。図４Ａ（ｂ）には、実線ＪＳ１の外周部付近の点ＪＳＰ１から点線ＴＳ１まで伸びる法線ベクトルＪＳＨ１と、点ＪＳＰ１から点線ＴＳ１まで伸びＹ軸に平行なベクトルＪＳＹ１が示されている。ベクトルＪＳＹ１の大きさは距離ＤＡである。法線ベクトルＪＳＨ１とベクトルＪＳＹ１との成す角が小さい時、つまり点ＪＳＰ１における実線ＪＳ１の微分係数の絶対値が大きい場合は、ベクトルＪＳＨ１の大きさはＤＡに近くなる。これは、図４Ａ（ｂ）では、点ＪＳＰ１において実線ＪＳ１と点線ＴＳ１との距離が距離ＤＡに近いということになる。

また、図４Ａ（ｂ）では、点ＪＳＰ１から点線ＴＳ１まで伸びるＺ軸方向に平行なベクトルＪＳＺ１が示されている。点ＪＳＰ１では、実線ＪＳ１の微分係数の絶対値が大きく、ベクトルＪＳＺ１の大きさが大きい。この大きさが大きいＺ軸方向に平行なベクトルの存在は、実線ＪＳ１と点線ＴＳ１とを見分ける目安とすることができる。

図４Ａ（ａ）及び図４Ａ（ｂ）を参照すると、法線ベクトルＪＳＨ１の大きさが距離ＤＡに近い時、又はベクトルＪＳＺ１の大きさが大きい時には実線ＪＳ１と点線ＴＳ１とは明確に区別することができる。つまり、軸対称光学素子ＪＫは、導き出された表面形状を示す関数の係数及び姿勢を示すパラメータの不確定性が小さい。

図４Ａ（ｃ）は、非軸対称光学素子ＨＫの表面のＸ軸に垂直な面での断面図である。ここで、非軸対称光学素子ＨＫとは前記軸対称以外の光学素子であって、どのような軸に対して回転操作（３６０°とその倍数の回転を除く）をしても、ある回転角について元の光学素子の形状と区別がつかないように移動させることができない光学素子をいう。図中の「＋」は実際の測定点である。実線ＪＳ２は実際の測定点から偏差の２乗和を最小にする第１の関数の曲線であり、芯ＪＳＳ２を有している。点線ＴＳ２は実線ＪＳ２を＋Ｙ軸方向に距離ＤＡだけ移動させており、芯ＴＳＳ２を有している。芯ＪＳＳ２と芯ＴＳＳ２とは距離ＤＡだけ離れている。

図４Ａ（ｄ）は、図４Ａ（ｃ）の一点鎖線ＫＤ２の拡大図である。図４Ａ（ｄ）には、図４Ａ（ｃ）に示した実線ＪＳ２の中心部付近の点ＪＳＰ２から点線ＴＳ２まで伸びる法線ベクトルＪＳＨ２と、点ＪＳＰ２から点線ＴＳ２まで伸びＹ軸に平行なベクトルＪＳＹ２が示されている。ベクトルＪＳＹ２の大きさは距離ＤＡである。ベクトルＪＳＨ２の大きさはＤＡｃｏｓθ_２とみなせ、法線ベクトルＪＳＨ２とベクトルＪＳＹ２との成す角θ_２が大きくなるに従いベクトルＪＳＨ２の大きさは小さくなる。これは、図４Ａ（ｄ）では、点ＪＳＰ２において点線ＴＳ２は実線ＪＳ２の位置から＋Ｙ軸方向に距離ＤＡだけ移動しているにも関わらず、実線ＪＳ２と点線ＴＳ２とが、実際に離れている距離はＤＡｃｏｓθ_２ということになる。非軸対称光学素子ＨＫの法線ベクトルＪＳＨ２はＺ成分が小さい領域が多く、角θ_２が大きい領域が多い。従って、非軸対称光学素子ＨＫでは、実線ＪＳ２が＋Ｙ軸方向にＤＡだけ移動しているにもかかわらず、実線ＪＳ２と点線ＴＳ２との距離はＤＡｃｏｓθ_２であり、実線ＪＳ２と点線ＴＳ２との区別がつきにくくなる。

また、図４Ａ（ｄ）では、点ＪＳＰ２から点線ＴＳ２まで伸びるＺ軸方向に平行なベクトルＪＳＺ２が示されている。点ＪＳＰ２では、図４Ａ（ｃ）の実線ＪＳ２の他の領域よりも比較的に実線ＪＳ２の微分係数の絶対値が小さく、ベクトルＪＳＺ２の大きさが小さい。

非軸対称光学素子ＨＫの実線ＪＳ２と点線ＴＳ２との距離はＤＡｃｏｓθ_２であり、特に法線ベクトルＪＳＨ２のＺ成分が小さい領域が多い表面形状がスロープ状の非軸対称光学素子ＨＫでは、実線ＪＳ２と点線ＴＳ２との区別がつきにくかった。また、Ｚ軸方向に平行なベクトルの大きい領域が、図４Ａ（ａ）に示した軸対称光学素子ＪＫでは実線ＪＳ１の＋Ｙ軸側の端部周辺と−Ｙ軸側の端部周辺との２カ所あるのに対し、図４Ａ（ｃ）に示した非軸対称光学素子ＨＫでは実線ＪＳ２の中心部周辺の１カ所のみしかない。つまり、非軸対称光学素子ＨＫは軸対称光学素子ＪＫに比べて導き出された表面形状を示す関数の係数及び姿勢を示すパラメータの不確定性が大きい。

図４Ｂは、光学的非有効領域ＨＲを有する非軸対称光学素子ＨＨＫの表面のＸ軸に垂直な面での断面図である。図中の「＋」は実際の測定点である。実線ＪＳ３は実際の測定点から偏差の２乗和を最小にする第１の関数の曲線(光学的有効領域ＹＲ内)および第２の関数の曲線（光学的非有効領域ＨＲ内）であり、芯ＪＳＳ３を有している。点線ＴＳ３は実線ＪＳ３を＋Ｙ軸方向に距離ＤＡだけ移動させており、芯ＴＳＳ３を有している。実線ＪＳ３及び点線ＴＳ３は、光学素子の中央部に光学的有効領域ＹＲを有しており外周部に光学的非有効領域ＨＲを有している。図４Ｂにおいては、実線ＪＳ３及び点線ＴＳ３の光学的有効領域ＹＲと光学的非有効領域ＨＲとは、境界ＪＢＯ３及びＴＢＯ３により分けられている。

図４Ｂの光学的有効領域ＹＲは、図４Ａ（ｃ）と同様の形状である。そのため、図４Ｂにおける一点鎖線ＫＤ４は図４Ａ（ｃ）における一点鎖線ＫＤ２と同様の形状をしており、一点鎖線ＫＤ４では実線ＪＳ３と点線ＴＳ３との区別がつきにくい。図４Ｂの光学的非有効領域ＨＲは、図４Ａ（ｂ）に示したように実線ＪＳ３と点線ＴＳ３との距離が離れており、実線ＪＳ３と点線ＴＳ３との区別がつきやすくなっている。また、法線ベクトルＪＳＨ２のＺ成分が大きい領域が、実線ＪＳ３の＋Ｙ軸側の光学的非有効領域ＨＲと、−Ｙ軸側の光学的非有効領域ＨＲと、中央部周辺との３箇所に形成されるため、光学的非有効領域ＨＲが形成されていない図４Ａ（ｃ）に示した非軸対称光学素子ＨＫと比べて、実線ＪＳ３と点線ＴＳ３との区別がつきやすくなっている。

以上により、光学的非有効領域ＨＲに光学的有効領域ＹＲとは異なる関数で表わされる表面を形成することにより、光学的有効領域ＹＲの表面形状を示す関数の係数及び姿勢を示すパラメータの不確実性を小さくできることがわかる。また、光学的非有効領域ＨＲの表面の微分係数の絶対値は、光学的有効領域ＹＲの表面の微分係数の絶対値より大きな値を持つ場合に、偏芯量の不確定性を小さくする事ができ、好ましい。そのため、光学的非有効領域ＨＲの表面の微分係数の絶対値は０とならないことが望ましい。また、光学的非有効領域ＨＲ内の表面の少なくとも１カ所以上の微分係数の絶対値が、光学的有効領域ＹＲ内の表面の任意の位置における微分係数の絶対値より大きな値を持つことが好ましいと言える。

光学的非有効領域ＨＲの表面の微分係数の絶対値が０として表わされる光学素子１００であっても、光学素子１００を傾けて測定することにより微分係数の絶対値を０ではないように設定できる場合がある。このような場合でも、少なくても光学的非有効領域ＨＲの全領域の表面は、同一平面上にないことが望ましい。そのため「光学的非有効領域ＨＲの表面の微分係数の絶対値は０とならないことが望ましい」は、より一般的な言い方をすると「光学的非有効領域ＨＲの表面は、曲面又は互いに異なる関数で表わされる２つ以上の平面を有することが望ましい」ということができる。

以下に、光学素子１００の偏芯量を求める方法を説明する。
光学的有効領域ＹＲにおける第１関数はＺ座標をＸ座標とＹ座標との関数として、以下のように記述することができる。
ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ）・・・・・（１）
式（１）と実際の測定点とを最小二乗法により当てはめ座標を計算すると以下のようになる。

・・・（２）
ここで、最小二乗法により計算された評価量をＡ、データ点の総数をＭ、(ｘ_ｉ, ｙ_ｉ)でのデータ点の値をＤata,_ｉとしている。同様に、光学的非有効領域ＨＲにおける第２の関数は、以下のように記述することができる。
ｚ＝ｇ（ｘ，ｙ）・・・・・（３）
ここで式（３）で表わされる第２の関数は、光学的非有効領域内において微分係数が０とはならないことが望ましい。つまり、第２の関数に関して他の座標系を適用することを考えてより一般的な表現をすると、第２の関数の導関数が光学的非有効領域の全領域内で同一の定数とはならない、または、光学的非有効領域内で第２の関数の導関数が変数又は異なる２つ以上の定数を有する、と言える。例えば、光学的非有効領域内で第２の関数の導関数が異なる２つの定数を有する場合とは、光学的非有効領域内に傾きが異なる２つの平面が形成されていることを示している。
式（３）に実際の測定点を最小二乗法により当てはめて座標を計算すると以下のようになる。

・・・（４）
ここで、評価量をＢ、データ点の総数をＮとしている。
式（２）と式（４）とを用いて光学素子１００の表面上の全ての計測点に関する評価量Ｃは以下のように記述できる。
・・（５）
ここで、光学的非有効領域ＨＲの重み付けをｗとしている。重み付けｗは、光学的非有効領域ＨＲの光学的有効領域ＹＲに対して考慮する割合を示したパラメータである。重み付けｗは、０≦ｗ≦１の範囲の数値で表わされる。つまり、光学的有効領域ＹＲの重み付けは１−ｗになる。

例えば、三次元表面形状計測装置ＴＤが光学的有効領域ＹＲを測定点数Ｍが９万点、光学的非有効領域ＨＲを測定点数Ｎが１万点を測定したと仮定する。この時、重み付けｗを０．５とすれば、光学素子１００の光学的有効領域ＹＲと光学的非有効領域ＨＲとがデータ点数に比例して重み付けされて光学素子１００の表面上の座標が計算されることになる。また、特に光学的非有効領域ＨＲでの不確定性が少なくなるように光学素子１００の設計がされている場合は、重み付けｗをさらに大きくして、光学的非有効領域ＨＲの重み付けを大きくしても良い。

式（５）の関数の係数及び、光学素子支持部ＫＳ（図３）で支持されている光学素子１００の姿勢を考えるために、以下の例を考える。
式（１）の関数は、ｙ座標のみの変数をもつ３次元関数で表わされるとし、＋Ｙ軸方向にａ_０のオフセットを持っているとする。この時、式（１）は、次のように表わすことができる。
ｆ（ｘ，ｙ）＝ｆ（ｙ）
＝ａ_１（ｙ−ａ_０）^３＋ａ_２（ｙ−ａ_０）^２＋ａ_３（ｙ−ａ_０）＋ａ_４・・・（６）
式（３）の関数は、ｙ座標のみの変数をもつ２次元関数で表わされるとし、＋Ｙ軸方向にａ_０のオフセットを持っているとする。この時、式（３）は、次のように表わすことができる。
ｇ（ｘ，ｙ）＝ｇ（ｙ）
＝ａ_５（ｙ−ａ_０）^２＋ａ_６（ｙ−ａ_０）＋ａ_７・・・（７）
最小二乗法の計算は、評価量Ｃが最小となるパラメータａ_０からa_７を求めることにより行うことができる。評価量Ｃを最小にするためには、ａ_０からa_７の各パラメータでＣを偏微分した値が零になるように計算する。このようにして求めたパラメータａ_０からa_７、特にオフセット量a_０及び光学的有効領域ＹＲ内の関数に関するパラメータa_０からa_４は、光学的有効領域ＹＲのみを使用して計算した場合に比べ、不確定性が小さい。

（第２実施例）
＜光学素子２００の構成＞
図５は、光学素子２００の斜視図である。光学素子２００は、図５の境界線ＢＯで囲まれた光学的有効領域ＹＲの表面の面形状が平面ＦＡに対して面対称になるように形成されている。境界線ＢＯ外の領域である光学的非有効領域ＨＲは、平面ＦＡに対して面対称であっても面対称ではなくても良い。平面ＦＡは、原点Ｏを通り、Ｘ軸に垂直である。光学素子２００においても第１実施例と同様に不確実性が少ないように表面形状と姿勢とを求めることが可能である。さらに、光学素子２００は軸対称の光学的有効領域ＹＲを有していても良い。

（第３実施例）
第１実施例の光学素子１００では、境界線ＢＯにおいて光学的有効領域ＹＲと光学的非有効領域ＨＲとが連続して形成されず、境界線ＢＯで段差が形成される場合もあった。これは、式（１）により示される光学的有効領域ＹＲの関数と、式（３）により示される光学的非有効領域ＨＲの関数とが、同一のＸ、Ｙ座標に対して異なるＺ座標を有することである。しかし、光学的有効領域ＹＲと光学的非有効領域ＨＲとが境界線ＢＯにおいて連続して形成されていた方が、三次元表面形状計測装置ＴＤ（図３）による測定で都合のよいことが多い。以下に、境界線ＢＯにおいて光学的有効領域ＹＲと光学的非有効領域ＨＲとが連続して形成されている光学素子３００に関して説明する。

＜光学素子３００の構成＞
図６（ａ）は、光学素子３００の斜視図であり、図６（ｂ）は、光学素子３００の原点Ｏを通るＹ軸に垂直な面での表面形状を表わしたグラフであり、図６（ｃ）は、光学素子３００の原点Ｏを通るＸ軸に垂直な面での表面形状を表わしたグラフである。

光学素子３００の光学的有効領域ＹＲと光学的非有効領域ＨＲとは、連続的に接合されている。図６（ｂ）に示すように、光学的有効領域ＹＲと光学的非有効領域ＨＲとは、境界線ＢＯ上の点Ａにおいて同じＸ座標であるＡ_Ｘ及び同じＺ座標であるＡ_Ｚを有している。また光学的有効領域ＹＲと光学的非有効領域ＨＲとは、境界線ＢＯ上の点Ｂにおいても同じＸ座標であるＢ_Ｘ及び同じＺ座標であるＢ_Ｚを有している。また、図６（ｃ）に示すように、光学的有効領域ＹＲと光学的非有効領域ＨＲとは、点Ｃにおいて同じＹ座標であるＣ_Ｙ及び同じＺ座標であるＣ_Ｚを有している。また光学的有効領域ＹＲと光学的非有効領域ＨＲとは、点Ｄにおいても同じＹ座標であるＤ_Ｙ及び同じＺ座標であるＤ_Ｚを有している。

光学素子３００は、光学的有効領域ＹＲと光学的非有効領域ＨＲとが連続的に繋がっていることにより光学素子１００の作製時に加工し易かったり、割れ欠け等の欠陥が生じ難くなったりしている。

＜光学素子４００の構成＞
図７（ａ）は、光学素子４００の斜視図であり、図７（ｂ）は、光学素子４００の原点Ｏを通るＹ軸に垂直な面での表面形状を表わしたグラフである。光学素子４００は、光学的有効領域ＹＲと光学的非有効領域ＨＲとの境界線ＢＯにおいて、光学的非有効領域ＨＲと光学的有効領域ＹＲとの同じ座標における法線が共通の軸上に存在している。図７（ｂ）に示すように、光学的有効領域ＹＲと光学的非有効領域ＨＲとは、境界線ＢＯ上の点Ｅにおいて同じＸ座標であるＥ_Ｘ及び同じＺ座標であるＥ_Ｚを有している。また光学的有効領域ＹＲと光学的非有効領域ＨＲとは、境界線ＢＯ上の点Ｆにおいても同じＸ座標であるＦ_Ｘ及び同じＺ座標であるＦ_Ｚを有している。

光学的有効領域ＹＲと光学的非有効領域ＨＲとが共通の法線を有することにより、境界線ＢＯ上で光学的有効領域ＹＲと光学的非有効領域ＨＲとが角が無く滑らかに接続されることになる。光学素子４００の表面形状が滑らかであることで、光学素子４００が加工し易く、また，割れ欠け等が生じ難い状態になる。また、図３（ｂ）に示される三次元表面形状計測装置ＴＤのプローブＰＢの先端は球状になっているため、光学素子の表面に角がある場合は、プローブＰＢの先端座標の複数の箇所で光学素子の表面の角を計測してしまうことがある。そのため、光学素子の表面の角は、正確に計測できないことになる。境界線ＢＯ上で光学的有効領域ＹＲと光学的非有効領域ＨＲとが角が無く滑らかに接続された場合は、光学素子の表面形状を正確に計測できない状況を防ぎ，しかも滑らかに連続した計測をすることができる。

（第４実施例）
光学素子は、光学的非有効領域ＨＲに凹凸部を有していても良い。光学素子が光学的非有効領域ＨＲに凹凸部を有することにより、より正確に表面形状を計測することができる。以下に、光学的非有効領域ＨＲに凹凸部を有している光学素子５００について説明する。

＜光学素子５００の構成＞
図８（ａ）は、光学素子５００の斜視図であり、図８（ｂ）は、図８（ａ）のＧ−Ｇ断面の概略図である。光学素子５００は、光学的非有効領域ＨＲに局所的な凹凸部ＣＯが形成されている。ここでの「凹凸部ＣＯ」は、凹部又は凸部のどちらかが形成されるという意味で用いている。図８（ｂ）では、光学的非有効領域ＨＲに形成されている凹凸部ＣＯが凸であるとして記載されている。光学素子５００では、４つの凹凸部ＣＯが形成されている。凹凸部ＣＯの形状は、どのような形状でも良いが、球面の一部の形状になるように形成された方が好ましい。これは、光学素子の軸が傾いていた場合でも、凹凸部ＣＯの表面形状を判別しやすくなるためである。図８（ｂ）では、境界線ＢＯを示す点線ＧＢＯにより光学的有効領域ＹＲと光学的非有効領域ＨＲとが分けられている。

光学素子５００は、凹凸部ＣＯにより光軸の位置をある程度特定することが容易になる。例えば、凹凸部同士を結んだ線の交点に光軸が来るように凹凸部を配置すれば、光軸の位置の特定が容易になる。更に、凹凸部を球面の一部として形成すれば、球面は様々な方向の法線ベクトルを含んでいるため、光学素子５００の光軸がシフトしていても球面の中心点の座標は正確に求め易い。光学素子５００の表面形状の測定では、凹凸部のみを第２の関数としても良い。また、凹凸部の表面形状の計測と光学的有効領域ＹＲの表面形状の計測とを分けても良い。

図９は、光学素子６００の平面図である。光学素子６００は、矩形に近い形状をしている。通常、光学素子は、光学素子の全体形状をなるべく小さくするために、光学的非有効領域ＨＲをあまり大きく取らず、光学的有効領域ＹＲをできる限り大きく取ることが多い。しかし、矩形に近い形状をした光学素子では、四隅に広い光学的非有効領域ＨＲをとることができる。光学素子６００では、この四隅の光学的非有効領域ＨＲに凹凸部が形成されている。

＜レンズにおける凹凸部＞
図１０は、光学素子が光学レンズである場合の凹凸部の形状を考察するための図である。図１０（ａ）から図１０（ｄ）は、光学的非有効領域ＨＲに形成されている凹凸部ＣＯと、光学的非有効領域ＨＲに隣接した光学的有効領域ＹＲとの拡大図である。また、図１０では、点線ＬＢＯの右側を光学的有効領域ＹＲ、左側を光学的非有効領域ＨＲとしている。光学的非有効領域ＨＲには凹凸部が形成されている。図１０（ａ）から図１０（ｄ）を用いて、光学レンズの光学的有効領域ＹＲに入射する光束Ｒ２と、光学的非有効領域ＨＲの凹凸部ＣＯの光学的有効領域ＹＲ側に入射し、光束Ｒ２に平行である光束Ｒ１との光学レンズに入射後の各光束の進行方向を考える。なお、光学的非有効領域ＨＲに入射する光束は散乱光などの迷光であり、光学的有効領域ＹＲ側の方が、可能性が高い。

図１０（ａ）は、光学的非有効領域ＨＲに凸部が形成された光学凸レンズを拡大した図である。光学的非有効領域ＨＲの凸部ＣＯに入射した光束Ｒ１は光束Ｒ３となって光学レンズ内を透過し、光学的有効領域ＹＲに入射した光束Ｒ２は光束Ｒ４となって光学レンズ内を透過する。光束Ｒ３と光束Ｒ４とは互いに離れる方向に進んでいる。

図１０（ｂ）は、光学的非有効領域ＨＲに凹部が形成された光学凸レンズを拡大した図である。光学的非有効領域ＨＲの凹部ＣＯに入射した光束Ｒ１は光束Ｒ３となって光学レンズ内を透過し、光学的有効領域ＹＲに入射した光束Ｒ２は光束Ｒ４となって光学レンズ内を透過する。光束Ｒ３と光束Ｒ４とは互いに接近する方向に進んでいる。

図１０（ｃ）は、光学的非有効領域ＨＲに凸部が形成された光学凹レンズを拡大した図である。光学的非有効領域ＨＲの凸部ＣＯに入射した光束Ｒ１は光束Ｒ３となって光学レンズ内を透過し、光学的有効領域ＹＲに入射した光束Ｒ２は光束Ｒ４となって光学レンズ内を透過する。光束Ｒ３と光束Ｒ４とは互いに離れる方向に進んでいる。

図１０（ｄ）は、光学的非有効領域ＨＲに凹部が形成された光学凹レンズを拡大した図である。光学的非有効領域ＨＲの凹部ＣＯに入射した光束Ｒ１は光束Ｒ３となって光学レンズ内を透過し、光学的有効領域ＹＲに入射した光束Ｒ２は光束Ｒ４となって光学レンズ内を透過する。光束Ｒ３と光束Ｒ４とは互いに接近する方向に進んでいる。

図１０（ａ）から図１０（ｄ）より、光学的非有効領域ＨＲに形成される凹凸部ＣＯが凸形状であった場合には、凹凸部ＣＯを通った光と光学的有効領域ＹＲを通った光とは互いに離れ、凹凸部ＣＯの形状が凹部であった場合には、凹凸部ＣＯを通った光と光学的有効領域ＹＲを通った光とは互いに近づく。光学レンズ内に入射した光束が互いに近づくとゴーストやフレアが発生する。ゴーストは画像に生ずる光の輪や玉で、光束がレンズ内で反射を繰り返すことによって起こる。フレアは、画像のコントラストが下がる現象で、光学レンズ内で光束が散乱や複雑な反射を繰り返すことにより発生する。そのため光学素子が光学レンズの場合には、光学的非有効領域ＨＲに入射した光束Ｒ１が光学的有効領域ＹＲに入射した光束Ｒ２と混じらないように互いに離れる方向に透過する事が望ましい。すなわち、光学的非有効領域ＨＲに形成される凹凸部ＣＯは凸形状に形成した方が好ましい。

＜ミラーにおける凹凸部＞
図１１は、光学素子が光学ミラーである場合の凹凸部の形状を考察するための図である。図１１（ａ）から図１１（ｄ）は、光学的非有効領域ＨＲに形成されている凹凸部ＣＯと、光学的非有効領域ＨＲに隣接した光学的有効領域ＹＲとの拡大図である。また、図では、点線ＬＢＯの右側を光学的有効領域ＹＲ、左側を光学的非有効領域ＨＲとしている。光学的非有効領域ＨＲには凹凸部が形成されている。図１１（ａ）から図１１（ｄ）を用いて、光学ミラーの光学的有効領域ＹＲに入射する光束Ｒ２と、光学的非有効領域ＨＲの凹凸部ＣＯの光学的有効領域ＹＲ側に入射し、光束Ｒ２に平行である光束Ｒ１との光学ミラーに入射後の各光束の進行方向を考える。

図１１（ａ）は、光学的非有効領域ＨＲに凸部が形成された光学凸ミラーを拡大した図である。光学的非有効領域ＨＲの凸部ＣＯに入射した光束Ｒ１は光束Ｒ３となって光学ミラーを反射し、光学的有効領域ＹＲに入射した光束Ｒ２は光束Ｒ４となって光学ミラーを反射する。光束Ｒ３と光束Ｒ４とは互いに接近する方向に進んでいる。

図１１（ｂ）は、光学的非有効領域ＨＲに凹部が形成された光学凸ミラーを拡大した図である。光学的非有効領域ＨＲの凹部ＣＯに入射した光束Ｒ１は光束Ｒ３となって光学ミラーを反射し、光学的有効領域ＹＲに入射した光束Ｒ２は光束Ｒ４となって光学ミラーを反射する。光束Ｒ３と光束Ｒ４とは互いに離れる方向に進んでいる。

図１１（ｃ）は、光学的非有効領域ＨＲに凸部が形成された光学凹ミラーを拡大した図である。光学的非有効領域ＨＲの凸部ＣＯに入射した光束Ｒ１は光束Ｒ３となって光学ミラーを反射し、光学的有効領域ＹＲに入射した光束Ｒ２は光束Ｒ４となって光学ミラーを反射する。光束Ｒ３と光束Ｒ４とは互いに接近する方向に進んでいる。

図１１（ｄ）は、光学的非有効領域ＨＲに凹部が形成された光学凹ミラーを拡大した図である。光学的非有効領域ＨＲの凹部ＣＯに入射した光束Ｒ１は光束Ｒ３となって光学ミラーを反射し、光学的有効領域ＹＲに入射した光束Ｒ２は光束Ｒ４となって光学ミラーを反射する。光束Ｒ３と光束Ｒ４とは互いに離れる方向に進んでいる。

図１１（ａ）から図１１（ｄ）より、光学的非有効領域ＨＲに形成される凹凸部ＣＯが凸形状であった場合には、凹凸部ＣＯを反射する光と光学的有効領域ＹＲを反射する光とは互いに接近し、凹凸部ＣＯの形状が凹部であった場合には、凹凸部ＣＯを反射する光と光学的有効領域ＹＲを反射する光とは互いに離れる。光学ミラーを反射した光束が互いに近づくとゴーストやフレアの発生原因となる。そのため光学素子が光学ミラーの場合には、光学ミラーで反射する光束が互いに干渉しにくいように互いに離れる方向に反射する事が望ましい。すなわち、光学的非有効領域ＨＲに形成される凹凸部ＣＯは凹形状に形成した方が好ましい。

（第５実施例）
自由曲面を有する光学素子を光学装置に用いた例として、光学素子を映像投写装置に応用した例を説明する。映像投写装置は、スクリーンに斜め下方向から投写すると、投写された映像にはスクリーンの上端が広くなり下端が狭くなる台形の歪みが生じる問題があったが、自由曲面を有する光学素子を用いることにより解決することができる。

図１２は、映像投写装置７００の概略図である。映像投写装置７００は、電源ユニット７１０と、光源ユニット７２０と、光変調ユニット７３０と、自由曲面ミラー７４３を含む投写光学ユニット７４０と、を備えている。電源ユニット７１０は、各ユニットに必要な電圧及び電流を供給する。光源ユニット７２０は、高輝度の白色光を発生するランプ及び集光ミラー等を有している。光変調ユニット７３０は、光源ユニット７２０から照射された光を、画像又は映像を表示する画像表示素子で変調する。投写光学ユニット７４０は、光源ユニット７２０で変調された光を、拡大してスクリーン（不図示）に照射する。図１２中の点線矢印は、光の通る光路と進む方向とを示している。

投写光学ユニット７４０は、第１レンズ群７４１、第２レンズ群７４２、自由曲面ミラー７４３より構成されている。光変調ユニット７３０から照射された光は、第１レンズ群７４１に入射する。第１レンズ群７４１は、回転対称な面形状を有し、正のパワー又は負のパワーを有する複数の屈折レンズを含んで構成されている。第１レンズ群７４１を射出した光は、第２レンズ群７４２に入射する。第２レンズ群７４２は自由曲面を有するレンズを備えている。自由曲面を有するレンズは、光の射出方向に凹部を向け、スクリーンの下端に入射する光線が通過する部分の曲率がスクリーンの上端に入射する光線が通過する部分よりも大きく形成されている。これにより、スクリーン上に投写される映像の台形の歪みを補正することができる。第２レンズ群７４２を射出した光は、自由曲面ミラー７４３により拡大反射され、映像がスクリーン上に投写される。自由曲面ミラー７４３は、レンズにより得られる光の偏向角に比べてより大きな偏向角が得られ、収差も生じ難いことから装置の大型化を抑え、広画角化を図ることが可能である。

以上のように、映像投写装置に自由曲面を有する光学素子を使用することにより、映像の歪みを補正することができ、装置の大型化を抑え、広画角化を図ることが可能となる。また本発明が用いられた光学素子は偏芯量および曲面形状が精度良く決定されているため光学素子の配置を正確に決定することができるため、装置の小型化に有利である。

自由曲面を有する光学素子は、映像投写装置の他に、携帯電話用カメラ、デジタルカメラ、レーザープリンター等、装置の小型化及び広角化が求められる光学装置に効果的に用いることができる。

以上実施形態に沿って本発明を説明したが、本発明はこれらに限定されるものではない。例えば、種々の変更、置換、改良、組み合わせ等が可能なことは当業者に自明であろう。

１００、２００、３００、４００、５００、６００ 光学素子
７００ 映像投写装置
７１０ 電源ユニット
７２０ 光源ユニット
７３０ 光変調ユニット
７４０ 投写光学ユニット
７４１ 第１レンズ群
７４２ 第２レンズ群
７４３ 自由曲面ミラー
ＢＯ 境界線
ＣＯ 凹凸部
ＦＡ 平面
ＨＫ 非軸対称光学素子
ＨＨＫ 光学的非有効領域ＨＲを有する非軸対称光学素子
ＨＲ 光学的非有効領域
ＪＢＯ３ 実線ＪＳ３の境界線
ＪＫ 軸対称光学素子
ＪＳ１、ＪＳ２、ＪＳ３ 実線
ＪＳＳ１、ＪＳＳ２、ＪＳＳ３ 実線で示された光学素子の芯
ＫＫ 計算機
ＫＳ 光学素子支持部
ＰＢ プローブ
Ｒ１〜Ｒ４ 光束
ＴＢＯ３ 点線ＴＳ３の境界線
ＴＤ 三次元表面形状計測装置
ＴＳ１、ＴＳ２、ＴＳ３ 点線
ＴＳＳ１、ＴＳＳ２、ＴＳＳ３ 点線で示された光学素子の芯
ＹＲ 光学的有効領域

Claims (14)

1. 光束を通過又は反射し、第１の関数で規定される第１表面を有する光学的有効領域と、
   前記有効領域の外側の領域に形成され、前記第１の関数と異なる第２の関数で規定される第２表面を有する光学的非有効領域と、を備え、
   前記光学的非有効領域の第２の関数は、曲面又は互いに異なる関数で表わされる２つ以上の平面を表わす光学素子。
2. 前記第２の関数の導関数が前記光学的非有効領域内で変数又は異なる２つ以上の定数を有する請求項１に記載の光学素子。
   前記第２の関数の導関数が前記光学的非有効領域内で変数又は異なる２つ以上の定数を有する請求項１に記載の光学素子。
3. 前記第２の関数が、前記光学的非有効領域内の少なくとも１カ所以上の前記第２の関数の微分係数の絶対値が、前記光学的有効領域内の任意の位置における前記第１の関数の微分係数の絶対値より大きな値を持つ請求項１または請求項２に記載の光学素子。
4. 前記第１の関数で規定される第１表面が、軸に対して対称とならない自由曲面を有する請求項１から請求項３のいずれか一項に記載の光学素子。
5. 前記第１の関数で規定される第１表面が、前記有効領域内に前記第１の関数を面対称に分割する平面を有する請求項４に記載の光学素子。
6. 前記有効領域と前記非有効領域との境界線上において、前記第１の関数と前記第２の関数とが交差又は接している請求項１から請求項５のいずれか一項に記載の光学素子。
7. 前記境界線上において、前記第１の関数の法線と前記第２の関数の法線とが同一直線上にある請求項６に記載の光学素子。
8. 前記光学素子が光学レンズまたは光学ミラーである請求項１から請求項７のいずれか一項に記載の光学素子。
9. 前記第２の関数は、局所的な凸部を有する請求項８に記載の光学素子。
10. 前記局所的な凸部は球面の一部の形状に形成される請求項９に記載の光学素子。
11. 前記第２の関数は、局所的な凹部を有する請求項８に記載の光学素子。
12. 前記局所的な凹部は球面の一部の形状に形成される請求項１１に記載の光学素子。
13. 請求項１から請求項１２のいずれか一項に記載の光学素子が前記光束の光路上に配置されている光学装置。
14. 請求項１から請求項１２のいずれか一項に記載の光学素子を三次元表面形状計測装置の光学素子支持部で支持する工程と、
    前記三次元表面形状計測装置を用いて前記光学素子の表面形状を測定する工程と、
    前記第１の関数と前記第２の関数とを導出し、前記光学素子の偏芯量を求める工程と、
    を有する光学素子の偏芯量および曲面形状測定方法。