JP2010021586A - プログラム及び算出方法 - Google Patents

Abstract

【課題】投影光学系における相互透過係数を短時間で算出することができる技術を提供する。
【解決手段】物体面に配置された物体の像を像面に投影する投影光学系における相互透過係数をコンピュータに算出させるプログラムであって、前記コンピュータに、前記投影光学系の瞳面に形成される有効光源を複数の点光源に分割する分割ステップと、前記複数の点光源のそれぞれについて、前記点光源の位置に応じて前記投影光学系の瞳を示す瞳関数をシフトすることによって、該シフトされた複数の瞳関数を生成する生成ステップと、前記生成ステップで生成された前記複数の瞳関数に基づいて、前記相互透過係数を算出する算出ステップと、を実行させることを特徴とするプログラムを提供する。
【選択図】図１

Description

本発明は、プログラム及び算出方法に関する。

フォトリソグラフィー（焼き付け）技術を用いて半導体デバイスを製造する際に、原版（マスク又はレチクル）に描画された回路パターンを投影光学系によってウエハ等の基板に投影して回路パターンを転写する投影露光装置が使用されている。近年では、半導体デバイスの微細化に伴い、投影露光装置には、更なる解像力の向上（高解像度化）が望まれている。

投影露光装置の高解像度化を達成する手段としては、投影光学系の高ＮＡ化（投影光学系の開口数（ＮＡ）の増加）及び露光光の短波長化が従来から知られている。また、ｋ１ファクター（「プロセス定数」とも呼ばれる）を小さくすることにより投影露光装置の解像度の向上を図る超解像技術（ＲＥＴ：Ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ Ｅｎｈａｎｃｅｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ）も注目されている。

一方、ｋ１ファクターが小さくなるにつれて、露光の難易度は増している。従来では、実験を何回か繰り返して回路パターンを忠実に投影するように露光可能かどうかを確認していた。即ち、露光（露光条件や露光方法など）の最適化をしていた。しかし、露光の難易度が増している現在では、実験で回路パターンを忠実に投影するように露光可能かどうかを確認するには時間もコストもかかってしまう。そこで、現在では、コンピュータを用いて露光シミュレーションを繰り返して露光条件等を最適化することが主流となっている。そのシミュレーションにおいては光学の物理モデルに基づいたシミュレーションを実行する、所謂、モデルベースの超解像技術が主流となっている。

モデルベース超解像技術は、一般的に、部分コヒーレント結像計算を使用している。従って、部分コヒーレント結像計算の計算速度を向上させれば、モデルベース超解像技術にかかる時間を短縮することが可能となる。現在では、コンピュータ環境の進歩に伴い、複数台のコンピュータを並列化させて計算速度を向上させている。また、部分コヒーレント結像計算を実行するアルゴリズムを改良することで、コンピュータの並列化よりも効果的に計算速度を向上させる技術も提案されている。

例えば、非特許文献１において、ＳＯＣＳというアルゴリズムは計算速度（シミュレーション速度）を１００００倍にしたとの報告がなされている。また、非特許文献２には部分コヒーレント結像計算について記載されているが、ＳＯＣＳのアルゴリズムを用いた場合の計算速度を上回る計算速度を実現するアルゴリズムは紹介されていない。但し、非特許文献２では、ＳＯＣＳをＣｏｈｅｒｅｎｔ Ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎと呼んでいる。

Ｃｒｉｓ Ｓｐｅｎｃｅ著、「Ｆｕｌｌ−Ｃｈｉｐ Ｌｉｔｈｏｇｒａｐｈｙ Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｄｅｓｉｇｎ Ａｎａｌｙｓｉｓ−Ｈｏｗ ＯＰＣ ｉｓ Ｃｈａｎｇｉｎｇ ＩＣ Ｄｅｓｉｇｎ」，Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ＳＰＩＥ，アメリカ合衆国、ＳＰＩＥ ｐｒｅｓｓ，２００５，Ｖｏｌ．５７５１，ｐ．１−１４ Ａｌｆｒｅｄ Ｋｗｏｋ−ｋｉｔ Ｗｏｎｇ著，「Ｏｐｔｉｃａｌ Ｉｍａｇｉｎｇ ｉｎ Ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ Ｍｉｃｒｏｌｉｔｈｏｇｒａｐｈｙ」，アメリカ合衆国、ＳＰＩＥ ｐｒｅｓｓ，２００５年，ｐ．１５１−１６３

しかしながら、ＳＯＣＳは、相互透過係数（ＴＣＣ：Ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ Ｃｒｏｓｓ Ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ）の算出や固有値及び固有関数の分解に時間がかかってしまう。

そこで、本発明は、投影光学系における相互透過係数を短時間で算出することができる技術を提供することを例示的目的とする。

上記目的を達成するために、本発明の一側面としてのプログラムは、物体面に配置された物体の像を像面に投影する投影光学系における相互透過係数をコンピュータに算出させるプログラムであって、前記コンピュータに、前記投影光学系の瞳面に形成される有効光源を複数の点光源に分割する分割ステップと、前記複数の点光源のそれぞれについて、前記点光源の位置に応じて前記投影光学系の瞳を示す瞳関数をシフトすることによって、該シフトされた複数の瞳関数を生成する生成ステップと、前記生成ステップで生成された前記複数の瞳関数に基づいて、前記相互透過係数を算出する算出ステップと、を実行させることを特徴とする。

本発明の更なる目的又はその他の側面は、以下、添付図面を参照して説明される好ましい実施形態によって明らかにされるであろう。

本発明によれば、例えば、投影光学系における相互透過係数を短時間で算出する技術を提供することができる。

本発明の一側面としての算出方法を実行する処理装置１の構成を示す概略ブロック図である。 １次元の平面波（完全直交系）を模式的に示す図である。 図１に示す処理装置において、空中像計算プログラムによる空中像の算出処理を具体的に説明するためのフローチャートである。 本発明に係る実施例１を説明するための図であって、図４（ａ）は実施例１で用いた有効光源、図４（ｂ）は実施例１で用いたマスクデータ、図４（ｃ）は空中像計算プログラムによって算出された空中像、図４（ｄ）はＳＯＣＳによって算出された空中像を示す。 本発明に係る実施例２を説明するための図であって、投影光学系に収差がある場合において、空中像計算プログラムによって算出された空中像を示す図である。 本発明に係る実施例２を説明するための図であって、照明光に偏光が設定されている場合において、空中像計算プログラムによって算出された空中像を示す図である。 本発明に係る実施例３を説明するための図であって、図７（ａ）はマスクデータ、図７（ｂ）及び図７（ｃ）は図７（ａ）に示すマスクデータ及びＯＰＣ後のマスクデータを用いて空中像計算プログラムによって算出された空中像を示す。 本発明に係る実施例４を説明するための図であって、図８（ａ）は固有値の番号と固有値の２乗との関係、図８（ｂ）は、完全な空中像と近似された空中像（即ち、一部の固有値及び固有関数から算出された空中像）との差を示す。 本発明に係る実施例４を説明するための図であって、図９（ａ）は有効光源、図９（ｂ）は圧縮されていないＰ演算子、図９（ｃ）は圧縮されたＰ演算子を示す。 本発明に係る実施例５における処理装置の構成を示す概略ブロック図である。 本発明に係る実施例５を説明するための図であって、図１１（ａ）は有効光源、図１１（ｂ）はパターンデータ、図１１（ｃ）はＰマップ、図１１（ｄ）はマスクデータ、図１１（ｅ）はＰマップにおける閾値以上の領域を示す。 補助パターンがないマスク、従来技術によって補助パターンが挿入されたマスク及び実施例５によって補助パターンが挿入されたマスクの結像性能を比較した図である。 本発明に係る実施例６を説明するための図であって、図１３（ａ）はパターンデータ、図１３（ｂ）はＰマップを示す。 本発明に係る実施例７を説明するための図であって、図１４（ａ）は有効光源、図１４（ｂ）はＰマップ、図１４（ｃ）はマスクを示す。 本発明に係る実施例８を説明するための図であって、図１５（ａ）乃至図１５（ｆ）はＰマップを示す。 本発明に係る実施例９を説明するための図であって、図１６（ａ）はＰマップ、図１６（ｂ）はマスクデータを示す。 図１１（ｄ）に示すマスクデータ（実施例５）のマスクの結像性能と図１６（ｂ）に示すマスクデータ（実施例９）のマスクの結像性能を比較した図である。 本発明に係る実施例１０におけるマスクデータを示す図である。 図１６（ｂ）に示すマスクデータ（実施例５）のマスクの結像性能と図１８に示すマスクデータ（実施例１０）のマスクの結像性能を比較した図である。 本発明に係る実施例１１を説明するための図であって、Ｐマップにおける正の値の位置に露光すべき所望のパターンと同位相の補助パターンを配置した場合、負の値の位置に所望パターンと同位相の補助パターンを配置した場合のデフォーカス特性を示す。 マスク生成プログラムによるフォービッデンピッチがないパターンデータの生成処理を説明するためのフローチャートである。 本発明に係る実施例１１を説明するための図であって、図２２（ａ）はパターンデータ、図２２（ｂ）及び図２２（ｃ）はマスクデータ、図２２（ｄ）及び図２２（ｅ）は補助パターンが挿入されたマスクデータを示す。 本発明に係る実施例１２を説明するための図であって、図２３（ａ）はパターンデータ、図２３（ｂ）は有効光源、図２３（ｃ）はＰマップ、図２３（ｄ）はマスクデータを示す。 マスク生成プログラムによるマスクデータの生成処理を説明するためのフローチャートである。 本発明に係る実施例１２を説明するための図であって、図２５（ａ）はパターンデータ、図２５（ｂ）は有効光源を示す。 本発明の一側面としての露光装置の構成を示す概略ブロック図である。 デバイスの製造を説明するためのフローチャートである。 図２７に示すステップ４のウエハプロセスの詳細なフローチャートである。

以下、添付図面を参照して、本発明の好適な実施の形態について説明する。なお、各図において、同一の部材については同一の参照番号を付し、重複する説明は省略する。

本発明は、例えば、露光装置や顕微鏡などにおいて、部分コヒーレント結像に基づいた光学系の結像計算（部分コヒーレント結像計算）に適用することができる。また、本発明は、ＩＣ、ＬＳＩなどの半導体チップ、液晶パネルなどの表示素子、磁気ヘッドなどの検出素子、ＣＣＤなどの撮像素子といった各種デバイスの製造やマイクロメカニクスで用いる原版のデータの生成に適用することもできる。なお、マイクロメカニクスとは、半導体集積回路製造技術を微細構造体の製作に応用して、高度な機能を有するミクロン単位の機械システムを作成する技術や、かかる機械システム自体をいう。

また、本発明で開示される概念は、数学的にモデル化することができる。従って、本発明は、コンピュータ・システムのソフトウエア機能として実装することができる。コンピュータ・システムのソフトウエア機能は、実行可能なソフトウエア・コードを有するプログラミングを含み、本実施形態では、部分コヒーレント結像計算を実行する。ソフトウエア・コードは、コンピュータ・システムのプロセッサによって実行される。ソフトウエア・コード動作中において、コード又は関連データ記録は、コンピュータ・プラットフォームに格納される。但し、ソフトウエア・コードは、他の場所に格納される、或いは、適切なコンピュータ・システムにロードされることもある。従って、ソフトウエア・コードは、１つ又は複数のモジュールとして、少なくとも１つのコンピュータ読み取り可能な記録媒体で保持することができる。本発明は、上述したコードという形式で記述することが可能であり、１つ又は複数のソフトウエア製品として機能させることができる。

まず、本実施形態における露光装置の座標系について説明する。露光装置の座標系は、本実施形態では、２つに大別される。

第１の座標系は、マスク面（投影光学系の物体面）及びウエハ面（投影光学系の像面）における座標であって、本実施形態では、（ｘ、ｙ）で表す。マスク面上のパターンの大きさとウエハ面上のパターンの大きさとは、投影光学系の倍率だけ異なる。但し、以下では、説明を簡単にするために、マスク面上のパターンの大きさに投影光学系の倍率をかけて、マスク面上のパターンの大きさとウエハ面上のパターンの大きさを１：１で対応させる。これにより、マスク面の座標系とウエハ面の座標系も１：１で対応する。

第２の座標系は、投影光学系の瞳面における座標であって、本実施形態では、（ｆ、ｇ）で表す。また、投影光学系の瞳面における座標（ｆ、ｇ）は、投影光学系の瞳の大きさが１となるように規格化した座標系である。

露光装置では、投影光学系の物体面にマスクを配置しない状態において、投影光学系の瞳面に形成される光強度分布を有効光源と呼び、本実施形態では、Ｓ（ｆ、ｇ）で表す。また、投影光学系の瞳は、本実施形態では、瞳関数Ｐ（ｆ、ｇ）で表す。一般的に、瞳関数には収差や偏光の影響（情報）を組み込むことができ、本実施形態の瞳関数Ｐ（ｆ、ｇ）にも収差や偏光の影響を含ませることが可能である。

露光装置は、部分コヒーレント照明でマスクを照明して、マスクのパターン（マスクパターン）をウエハに投影する。本実施形態では、透過率及び位相情報を含むマスクパターンをｏ（ｘ、ｙ）で定義し、ウエハ面に形成される光強度分布（空中像）をＩ（ｘ、ｙ）で定義する。また、マスクパターンで回折された回折光の振幅は、投影光学系の瞳面で定義され、本実施形態では、ａ（ｆ、ｇ）とする。

ここで、従来の部分コヒーレント結像計算について説明する。従来の部分コヒーレント結像計算（投影光学系の像面における光強度分布の計算）は、３種類の計算方法に大別することができる。

第１の計算方法は、所謂、Ａｂｂｅの方法である。具体的には、Ａｂｂｅの方法は、以下の数式１に示すように、光強度分布Ｉ（ｘ、ｙ）を算出する。

数式１において、Ｎ_１は数値計算上の点光源の数を表し、Ｆはフーリエ変換を表す。

第２の計算方法は、相互透過係数（ＴＣＣ）を固有値分解せずに計算する方法である。ＴＣＣは、以下の数式２に示すように定義される。

数式２を参照するに、ＴＣＣは、４次元関数であることがわかる。光強度分布Ｉ（ｘ、ｙ）は、ＴＣＣを用いることで、以下の数式３から算出することができる。

数式３において、Ｎ_２は、ｉ、ｊ、ｋ、ｌがとりうる種類（数）を表し、数値計算上の瞳分割数に依存する。

第３の計算方法は、ＳＯＣＳと呼ばれる方法であって、数式２に示すＴＣＣを複数の固有値及び固有関数に分解する。第ｉ番目の固有値をλ１、第ｉ番目の固有関数をΨｉとすると、光強度分布Ｉ（ｘ、ｙ）は、以下の数式４で算出される。

数式４において、Ｎ_３は、数値計算上の点光源の数を表す。

Ａｂｂｅの方法は、小規模計算（小規模シミュレーション）に好適である。具体的には、Ａｂｂｅの方法は、マスクの一部分に関するシミュレーションをしたり、光学的な設定（有効光源、収差、偏光など）の違いによって結像性能がどのように変化するのかを調べたりする場合に好適である。

ＴＣＣを用いた計算方法、すなわち、数式３を用いた計算方法は、Ａｂｂｅの方法及びＳＯＣＳと比較して計算速度が遅い。数式３において４重積分を実行する必要があるからである。そこで、数式３における４重積分を実行せずに光強度分布を求める方法としてＳＯＣＳがある。ＳＯＣＳは、大規模計算（大規模シミュレーション）に好適である。

大規模計算では、マスクを複数の領域に分割して計算する。もし、光学的な設定（有効光源、収差、偏光など）が変化しなければ、数式２に示すＴＣＣは変化しないため、数式４における固有関数Ψ_ｉも変化しない。従って、固有値λ_ｉ及び固有関数Ψ_ｉを一度求めた後は単純計算の繰り返しであるため、ＳＯＣＳは大規模計算に好適である。但し、ＳＯＣＳは、小規模計算には適していない。

一方、数式２から理解されるように、ＴＣＣを算出するためには２重積分が必要である（即ち、ＴＣＣが４次元関数である）ため、ＳＯＣＳでは、ＴＣＣの算出に時間がかかると共に、膨大なコンピュータ・メモリが必要となる。また、ＳＯＣＳは、固有値λ_ｉ及び固有関数Ψ_ｉの算出にも時間がかかってしまう。更に、ＳＯＣＳは、光学的な設定（有効光源、収差、偏光など）が変化すると、ＴＣＣを算出しなおさなければならないため、光学的な設定を変化させて結像性能の変化を調べる場合には適していない。

以上のように、従来の計算方法は、シミュレーションに多大な時間を必要としていた。また、従来技術では、計算対象（即ち、小規模計算であるのか、或いは、大規模計算であるのか）に応じて、Ａｂｂｅの方法とＳＯＣＳとを使い分ける必要がある。

図１は、本発明の一側面としての算出方法を実行する処理装置１の構成を示す概略ブロック図である。

処理装置１は、例えば、汎用のコンピュータで構成され、図１に示すように、バス配線１０と、制御部２０と、表示部３０と、記憶部４０と、入力部５０と、媒体インターフェース６０とを有する。

バス配線１０は、制御部２０、表示部３０、記憶部４０、入力部５０及び媒体インターフェース６０を相互に接続する。

制御部２０は、ＣＰＵ、ＧＰＵ、ＤＳＰ又はマイコンで構成され、一時記憶のためのキャッシュメモリなどを含む。

表示部３０は、例えば、ＣＲＴディスプレイや液晶ディスプレイなどの表示デバイスで構成される。

記憶部４０は、例えば、メモリやハードディスクで構成される。記憶部４０は、本実施形態では、パターンデータ４０１と、有効光源情報４０２と、ＮＡ情報４０３と、λ情報４０４と、収差情報４０５と、偏光情報４０６と、レジスト情報４０７とを記憶する。更に、記憶部４０は、Ｐ演算子４０８と、空中像４０９と、マスクデータ４１０と、空中像計算プログラム４１１とを記憶する。

パターンデータ４０１は、集積回路などの設計において、レイアウト設計されたパターン（レイアウトパターン又は目標パターン）のデータである。

有効光源情報４０２は、露光装置の投影光学系の瞳面に形成される光強度分布（有効光源）に関する情報である。

ＮＡ情報４０３は、露光装置の投影光学系の像側の開口数に関する情報である。

λ情報４０４は、露光装置の光源から射出される光（露光光）の波長に関する情報である。

収差情報４０５は、露光装置の投影光学系の収差に関する情報である。

偏光情報４０６は、露光装置の照明装置（照明光学系）で形成される光の偏光（照明光の偏光状態）に関する情報である。

レジスト情報４０７は、ウエハに塗布されるレジストに関する情報である。

Ｐ演算子４０８は、後で詳細に説明するように、ウエハ面に形成される光強度分布である空中像を算出する過程（即ち、空中像計算プログラム４１１）で必要となる行列である。

空中像４０９は、空中像計算プログラム４１１による空中像（光強度分布）の算出結果である。

マスクデータ４１０は、実際の原版であるマスク（レチクル）のデータである。なお、マスクデータ４１０は、一般的に、パターンデータ４０１と異なる。

空中像計算プログラム４１１は、空中像（光強度分布）を算出するためのプログラムである。

入力部５０は、例えば、キーボードやマウスなどを含む。

媒体インターフェース６０は、例えば、フロッピー（登録商標）ディスクドライブ、ＣＤ−ＲＯＭドライブやＵＳＢインターフェースなどを含み、記憶媒体７０と接続可能に構成される。なお、記憶媒体７０は、フロッピー（登録商標）ディスク、ＣＤ−ＲＯＭやＵＳＢメモリなどである。

以下、空中像計算プログラム４１１による空中像４０９の算出について、特に、Ｐ演算子４０８に注目して説明する。なお、本実施形態では、露光光の波長をλとし、投影光学系の像側の開口数をＮＡとする。また、照明光学系からマスク面に入射する照明光の開口数と投影光学系の物体側の開口数との比をσとする。

露光装置におけるマスクパターンと空中像との関係は、部分コヒーレント結像の関係にある。部分コヒーレント結像計算は、上述したように、３種類（数式１、数式３及び数式４参照）に大別された。数式１及び数式４では、フーリエ変換Ｆが用いられているため、フーリエ光学の観点から、平面波の足し合わせが空中像を形成していると考えることができる。なお、平面波は、ｅｘｐ［−ｉ２π（ｆｘ＋ｇｙ）］で表される。また、数式３では、フーリエ変換Ｆが明確に現われていないが、ｅｘｐ［−ｉ２π（ｆｘ＋ｇｙ）］が含まれているため、同様に、平面波の足し合わせであると考えることができる。

このように、部分コヒーレント結像は、光学的には、平面波ｅｘｐ［−ｉ２π（ｆｘ＋ｇｙ）］を基本としていると考えることができる。一方、ｅｘｐ［−ｉ２π（ｆｘ＋ｇｙ）］は、数学的には、完全直交系である。そこで、本実施形態では、平面波を完全直交系として扱うことによって、空中像４０９をより短い時間で算出することを実現している。

まず、１次元の空中像（光強度分布）を算出する場合を例に説明する。この場合、平面波は、ｅｘｐ（−ｉ２πｆｘ）で表すことができる。また、以下の数式５に示すように、完全直交系をベクトルで定義する。

数式５において、Ｍは、ｆの範囲を−２≦ｆ≦２とした場合に、数値計算でｆの範囲を何分割したかを表す。

ここで、Ｐ演算子４０８について説明する。なお、本実施形態では、数式５におけるＭを７としているため、図２に示すように、ｆ_１＝−２、ｆ_２＝−４／３、ｆ_３＝−２／３、ｆ_４＝０、ｆ_５＝２／３、ｆ_６＝４／３、ｆ_７＝２となる。図２は、１次元の平面波（完全直交系）を模式的に示す図である。

マスクパターンで回折された回折光の分布（回折光分布）は、ａ（ｆ_ｉ）ｅｘｐ（−ｉ２πｆ_ｉｘ）で表すことができるため、回折光分布のベクトル｜φ’＞は、以下の数式６で表すことができる。

数式６において、Ａは、回折光の振幅ａ（ｆ_ｉ）を対角成分に有する対角行列である。

投影光学系が無収差である場合、投影光学系の瞳は、−１≦ｆ≦１の範囲に存在する回折光をそのまま透過させ、｜ｆ｜＞１の範囲に存在する回折光を遮光する機能を有する。有効光源上の１点ｆ’から射出した光は、投影光学系の瞳をｆ’だけずらす（シフトする）ことと同等であると考えられる。従って、有効光源上の１点ｆ’から射出した光がマスクパターンで回折された場合、−１≦ｆ−ｆ’≦１の範囲に存在する回折光が投影光学系の瞳を通過し、｜ｆ−ｆ’｜＞１の範囲に存在する回折光が投影光学系の瞳で遮光される。

例えば、有効光源上でｆ＝ｆ_４＝０から射出した光がマスクパターンで回折され、投影光学系の瞳で絞られた場合、投影光学系の瞳を透過した後の回折光の振幅｜φ_１＞は、以下の数式７で表すことができる。

投影光学系の瞳を透過した後の回折光の振幅の絶対値を２乗すれば、ウエハ面上の光強度を算出することができるため、ｆ＝ｆ_４＝０の点光源がウエハ面に形成する光強度分布Ｉ_１（ｘ）は、以下の数式８で表される。

但し、数式８において、＜φ_１｜は、｜φ_１＞の転置共役（アジョイント）行列を表す。

同様に、有効光源上でｆ＝ｆ_３から射出した光がマスクパターンで回折され、投影光学系の瞳で絞られた場合、投影光学系の瞳を透過した後の回折光の振幅｜φ_２＞は、以下の数式９で表すことができる。

従って、ｆ＝ｆ_３の点光源がウエハ面に形成する光強度分布Ｉ_２（ｘ）は、以下の数式１０で表される。

また、部分コヒーレント照明は、インコヒーレントな点光源の集まりと考えることができる。例えば、有効光源上に２つの点光源が存在し、かかる点光源の座標をｆ＝０、ｆ＝ｆ_３とする。２つの点光源はインコヒーレントであるため、かかる２つの点光源によってウエハ面に形成される光強度分布Ｉ（ｘ）は、Ｉ_１（ｘ）＋Ｉ_２（ｘ）（即ち、ウエハ面上の光強度の加算）となる。

ここで、以下の数式１１に示すように、Ｐ演算子Ｐ_ＩＤを定義する。

数式１１を参照するに、Ｐ演算子Ｐ_１Ｄの各行は、有効光源上に存在する点光源の位置に応じて投影光学系の瞳をずらした（シフトさせた）ベクトルである。具体的には、投影光学系の瞳面における中心位置と点光源の位置との差分だけ投影光学系の瞳をずらせばよい。Ｐ演算子Ｐ_１Ｄを用いれば、ウエハ面に形成される光強度Ｉ（ｘ）は、以下の数式１２で表すことが可能となる。

但し、数式１２において、「＋」記号は、ある行列の転置共役行列を表す。数式１２を参照するに、光強度分布Ｉ（ｘ）がＩ_１（ｘ）＋Ｉ_２（ｘ）になっていることを確認することができる。換言すれば、Ｐ演算子Ｐ_１Ｄを用いることによって、ウエハ面に形成される光強度分布である空中像を簡単に表すことができる。

数式１２を変形すれば、以下の数式１３を得ることができる。

但し、Ｔ_１Ｄは、以下の数式１４で定義される行列である。

数式１４で定義される行列Ｔ_１Ｄは、ＴＣＣを表している。Ｐ_１Ｄの算出においては、投影光学系の瞳をずらす（シフトさせる）だけであり、掛け算や足し算を必要としない。従って、Ｐ_１Ｄを、より短い時間で算出することができる。また、Ｐ_１ＤとＰ_１Ｄの転置共役との掛け算からＴＣＣを算出することができるため、Ｐ演算子４０８を用いることで、ＴＣＣもより短い時間で算出することが可能となる。

なお、Ｐ_１Ｄは、正方行列ではない。そこで、特異値展開（Ｓｉｎｇｕｌａｒ Ｖａｌｕｅ Ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ）を用いて、以下の数式１５に示すように、Ｐ_１Ｄを変形する。

数式１５において、Ｓは対角行列であり、Ｗ及びＶはユニタリー行列である。数式１５を数式１２に代入して、Ｗ^＋Ｗが単位行列になるという特異値展開の性質を用いれば、以下の数式１６を得ることができる。

従来の部分コヒーレント結像計算の１つの計算方法であるＳＯＣＳは、上述したように、ＴＣＣを固有値及び固有関数に分解する。ＴＣＣは非常に大きな行列であるため、ＴＣＣの算出には多大な時間とコンピュータ・メモリを必要とする。更には、固有値及び固有関数の分解にも多大な時間が必要となる。

一方、本実施形態では、Ｐ演算子４０８を特異値展開している。数式１４を参照するに、Ｐ演算子４０８の要素数は、ＴＣＣの要素数よりも明らかに少ないため、特異値展開にかかる時間が少なくてすむ。更に、Ｐ演算子４０８の算出には、掛け算や足し算を必要としないため、Ｐ演算子４０８をより少ない時間で算出することができる。換言すれば、Ｐ演算子４０８を用いることで、ＳＯＣＳより少ない計算量及び小容量のコンピュータ・メモリで固有値及び固有関数を算出することができる。その結果、ウエハ面に形成される光強度分布である空中像４０９をより短い時間で算出することができる。また、数式１４を用いれば、ＴＣＣをより短い時間で算出することも可能である。

これまでは、１次元の空中像（光強度分布）を算出する場合を説明したが、以下では、２次元の空中像（光強度分布）を算出する場合を説明する。

離散化された投影光学系の瞳面における座標を（ｆ_ｉ、ｇ_ｊ）とする。但し、ｉ及びｊの範囲は、１からＭとする。回折光分布のベクトル｜φ’_２Ｄ＞は、以下の数式１７に示すように、１次元に並べて表される。

｜φ’_２Ｄ＞を具体的に表すために、ｆｌｏｏｒは小数点以下切り捨てを表すものとする。｜φ’_２Ｄ＞の第ｎ行は、ｊ＝ｆｌｏｏｒ［（ｎ−１）÷Ｍ］＋１、ｉ＝ｎ−（ｊ−１）×Ｍとして、ａ（ｆ_ｉ、ｇ_ｊ）ｅｘｐ［−ｉ２π（ｆ_ｉｘ＋ｇ_ｊｙ）］である。このように、２次元の完全直交系を表す。

有効光源上の第１の点光源の座標を（ｆ^１、ｇ^１）とすると、第１の点光源から射出した光は、投影光学系の瞳を示す瞳関数Ｐ（ｆ、ｇ）を（ｆ^１、ｇ^１）だけずらすことと同等であると考えられる。そのため、回折光に作用する瞳関数Ｐ_１（ｆ、ｇ）は、Ｐ（ｆ＋ｆ^１、ｇ＋ｇ^１）で表される。瞳関数Ｐ_１（ｆ、ｇ）の各要素を、数式１７に示したように１次元に並べる。これにより、以下の数式１８に示すように、瞳関数Ｐ_１（ｆ、ｇ）を１次元のベクトルで表現することができる。

Ｐ_１を具体的に表すために、ｆｌｏｏｒは小数点以下切り捨てを表すものとする。Ｐ_１の第ｎ列は、ｊ＝ｆｌｏｏｒ［（ｎ−１）÷Ｍ］＋１、ｉ＝ｎ−（ｊ−１）×Ｍとして、Ｐ_１（ｆ_ｉ、ｇ_ｉ）である。このように、２次元の完全直交系を表す。

有効光源上の第２の点光源の座標を（ｆ^２、ｇ^２）とすると、第２の点光源から射出した光に作用する瞳関数Ｐ_２（ｆ、ｇ）は、Ｐ（ｆ、ｇ）を（ｆ^２、ｇ^２）だけずらして、Ｐ（ｆ＋ｆ^２、ｇ＋ｇ^２）で表される。瞳関数Ｐ_２（ｆ、ｇ）は、瞳関数Ｐ_１（ｆ、ｇ）と同様に、以下の数式１９に示すような１次元のベクトルで表現することができる。

有効光源にＮ個の点光源が存在する場合、以下の数式２０に示すように、２次元のＰ演算子４０８を定義することが可能となる。

｜φ’_２Ｄ＞及びＰ_２Ｄを用いれば、ウエハ面に形成される２次元の光強度分布Ｉ（ｘ、ｙ）は、以下の数式２１を用いて算出することができる。

数式２１において、Ｐ_２Ｄを特異値展開すれば、以下の数式２２を得ることができる。

このように、２次元の空中像（光強度分布）を算出する場合であっても、Ｐ演算子４０８の要素数は、ＴＣＣの要素数よりも少なく、且つ、Ｐ演算子４０８の算出に複雑な計算を必要としない。その結果、ウエハ面に形成される光強度分布である空中像４０９をより短い時間で算出することができる。

なお、マスクパターンで回折された２次元の回折光の集合は、以下の数式２３に示すように表すことができる。

数式２３を参照するに、Ψ_２Ｄは、Ｍ行Ｍ列の行列であって、Ｍ^２個の要素を含む。ここで、Ｍ行Ｍ列の行列を一定の法則で１行Ｍ^２列の行列に変換する（即ち、並び替える）演算子（スタッキング演算子）Ｙを導入する。スタッキング演算子Ｙの導入によって、２次元の回折光分布のベクトル｜φ’２Ｄ＞は、以下の数式２４で表される。

有効光源上の第１の点光源の座標を（ｆ^１、ｇ^１）とすると、第１の点光源から射出した光は、投影光学系の瞳をずらすことと同等であると考えられるため、回折光に作用する瞳関数Ｐ_１（ｆ、ｇ）は、Ｐ（ｆ＋ｆ^１，ｇ＋ｇ^１）で表される。従って、瞳関数Ｐ_１（ｆ，ｇ）は、以下の数式２５に示すように表すことができる。

同様に、有効光源上の第２の点光源の座標を（ｆ^２、ｇ^２）とすると、第２の点光源から射出した光に作用する瞳関数Ｐ_２（ｆ、ｇ）は、Ｐ（ｆ＋ｆ^２、ｇ＋ｇ^２）で表される。従って、瞳関数Ｐ_２（ｆ、ｇ）は、瞳関数Ｐ_１（ｆ、ｇ）と同様に、以下の数式２６に示すように表すことができる。

有効光源上にＮ個の点光源が存在する場合、２次元のＰ演算子４０８は、スタッキング演算子Ｙを用いて、以下の数式２７のように表すことができる。

数式２４及び数式２７からウエハ面に形成される光強度分布である空中像を算出する場合には、数式２１又は数式２２を用いればよい。

また、ＴＣＣを算出する場合には、以下の数式２８を用いればよい。

これまでは、数式２０や数式２７に示したように、行方向に点光源が形成されるように投影光学系の瞳をずらしたＰ演算子４０８について説明した。但し、以下の数式２９に示すように、列方向に点光源が形成されるように投影光学系の瞳をずらしたＰ演算子４０８であっても本質的には変わらない。従って、Ｐ演算子４０８を数式２９に示すように表した場合であっても、直交関数系の記述を整合させればよい。

図３は、空中像計算プログラム４１１による空中像４０９の算出処理を具体的に説明するためのフローチャートである。なお、空中像計算プログラム４１１は、媒体インターフェース６０に接続された記憶媒体７０からインストールされ、制御部２０を介して記憶部４０に記憶されているものとする。また、空中像計算プログラム４１１は、入力部５０から入力されるユーザの起動命令に従って起動され、制御部２０によって実行される。

ステップＳ１００２において、制御部２０は、有効光源情報４０２、ＮＡ情報４０３、λ情報４０４、収差情報４０５、偏光情報４０６、レジスト情報４０７及びマスクデータ４１０を含む空中像算出用情報を決定する。具体的には、ユーザは、入力部５０を介して、有効光源情報「四重極照明」、ＮＡ情報「０．７３」、λ情報「２４８ｎｍ」、収差情報「無収差」、偏光情報「無偏光」、レジスト情報「考慮しない」及びマスクデータ「コンタクトホール」を入力（選択）する。そして、制御部２０は、空中像計算プログラム４１１に従って、ユーザによって入力（選択）された空中像算出用情報を表示部３０に表示して空中像算出用情報を決定する。なお、本実施形態では、空中像算出用情報は予め記憶部４０に記憶されており、ユーザは記憶部４０に記憶された空中像算出用情報を入力（選択）する場合を例に説明する。但し、ユーザは記憶部４０に記憶されていない空中像算出用情報を入力することも可能である。

ステップＳ１００４において、制御部２０は、Ｐ演算子４０８を算出する。具体的には、制御部２０は、ユーザによって入力（選択）された空中像算出用情報を記憶部４０から受け取り、かかる空中像算出用情報に基づいて、例えば、数式２０や数式２７からＰ演算子４０８を算出する。また、制御部２０は、算出したＰ演算子４０８を記憶部４０に記憶させる。

ステップＳ１００６において、制御部２０は、空中像４０９を算出する。具体的には、制御部２０は、ユーザによって入力（選択）された空中像算出用情報、Ｐ演算子４０８を用いて、例えば、数式２１や数式２２から空中像４０９を算出する。また、制御部２０は、空中像４０９を表示部３０に表示させると共に、記憶部４０に記憶させる。

このように、空中像計算プログラム４１１による空中像４０９の算出処理では、Ｐ演算子４０８を用いて空中像４０９を算出することができる。換言すれば、空中像計算プログラム４１１による空中像４０９の算出処理は、ＳＯＣＳでは必要となるＴＣＣを算出することなく、空中像４０９を算出することができため、計算を全体的に簡素化して空中像４０９の算出にかかる時間を短縮することができる。

空中像計算プログラム４１１による空中像４０９の算出結果は、必要に応じて分析される。空中像の分析は、例えば、空中像の目視確認、空中像の傾斜（Ｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ Ｉｎｔｅｎｓｉｔｙ Ｌｏｇ Ｓｌｏｐｅ； ＮＩＬＳ）、コントラスト、デフォーカス特性（ＤＯＦ特性）、パターンデータ４０１との一致具合の確認などを含む。また、空中像４０９がどのようにレジストに作用するかなどを確認することもできる。なお、空中像の分析に関しては、当業界で周知のいかなる方法を適用してもよい。

更に、空中像計算プログラム４１１による空中像４０９の算出処理を応用して、様々なモデルベース超解像技術に適用することも可能である。

以下、各実施例において、空中像計算プログラム４１１による空中像４０９の算出処理の効果やモデルベース超解像技術への適用などについて詳細に説明する。

実施例１は、空中像計算プログラム４１１による空中像４０９の算出処理の効果について説明する。実施例１では、処理装置１の制御部２０を構成するＣＰＵとしてＯｐｔｅｒｏｎ（登録商標）６４ｂｉｔを使用し、記憶部４０として約１０ＧＢｙｔｅのメモリを使用した。ＭＡＴＬＡＢ（登録商標）を用いて空中像計算プログラム４１１を作成し、空中像４０９の算出にかかる時間（算出時間）を従来技術（ＳＯＣＳ）と比較した。

また、実施例１では、露光装置として、投影光学系のＮＡが０．７３であり（ＮＡ情報４０３に相当）、露光光の波長が２４８ｎｍである（λ情報４０４に相当）場合を考える。更に、投影光学系は無収差（収差情報４０５に相当）、照明光は無偏光（偏光情報４０６に相当）、ウエハに塗布されるレジストは考慮しない（レジスト情報４０７に相当）ものとする。有効光源は、図４（ａ）に示すような四重極照明を用いる。パターンデータ（目標パターン）４０１は、２つのコンタクトホールパターンで構成される。また、それぞれのコンタクトホールパターンの直径は１２０ｎｍとし、それぞれのコンタクトホールパターンの中心は（−１２０ｎｍ、０ｎｍ）、（１２０ｎｍ、０ｎｍ）とする。従って、マスクデータ４１０は、図４（ｂ）に示すようになる。また、投影光学系の瞳の分割数を３１とし、フーリエ変換を実行する際の分割数を１０２４にした。

制御部２０は、上述した空中像算出用情報に基づいて、Ｐ演算子４０８を算出する。この際、Ｐ演算子４０８の算出にかかった時間は、０．１秒以下であった。また、制御部２０は、Ｐ演算子４０８を特異値展開（即ち、固有値及び固有関数に分解）する。この際、Ｐ演算子４０８の特異値展開にかかった時間は、０．４秒であった。更に、全ての固有関数を足し合わせて完全な空中像を算出したところ、図４（ｃ）に示すような空中像４０９が得られ、空中像４０９の算出にかかった時間は約３３．０秒であった。但し、図４（ｃ）に示す空中像４０９は、最大値が１になるように規格化されている。

次に、ＳＯＣＳを用いて空中像を算出した。まず、制御部２０は、数式２に基づいて、ＴＣＣを算出する。この際、ＴＣＣの算出にかかった時間は約１１５２秒であった。また、制御部２０は、数式４に基づいてＴＣＣを固有値及び固有関数に分解する（第１の算出ステップ）。この際、ＴＣＣを固有値及び固有関数に分解するのにかかった時間は、約４．９秒であった。更に、全ての固有関数を足し合わせて完全な空中像を算出したところ（第２の算出ステップ）、図４（ｄ）に示すような空中像が得られ、空中像の算出にかかった時間は約１２０９秒であった。但し、図４（ｄ）に示す空中像は、最大値が１になるように規格化されている。

このように、空中像計算プログラム４１１による空中像４０９の算出処理は、従来技術のＳＯＣＳよりも短い時間で空中像を算出することができる。なお、図４（ｃ）に示す空中像４０９と図４（ｄ）に示す空中像とを比較すると、１．０×１０^−１５のオーダーで一致し、正しいシミュレーション結果が得られていることが分かる。

また、空中像計算プログラム４１１によれば、ＴＣＣをより短い時間で算出することも可能である。上述したように、ＳＯＣＳでは、ＴＣＣの算出に約１１５２秒かかった。一方、制御部２０がＰ演算子４０８を算出した後、数式２８に基づいてＴＣＣを算出したところ、約０．９秒しかかからなかった。

実施例２では、投影光学系の収差を考慮する場合や照明光に偏光が設定されている場合における空中像４０９の算出処理について説明する。更に、実施例２では、有効光源に光強度のむらがある（発光部の光強度が均一でない）場合やマスクパターンからの回折光の回折効率が変化する場合における空中像４０９の算出処理についても説明する。

投影光学系の収差を考慮する場合には、かかる収差を瞳関数に組み込み、数式２７を用いてＰ演算子４０８を算出すればよい。この場合、Ｐ演算子４０８の各要素は、投影光学系の収差に応じた複素数の要素を含むことになる。このようにして、数式２７におけるＰ’_ｉに投影光学系の収差を組み込むことができる。

収差情報４０５を除く空中像算出用情報は、実施例１と同じであるとする。また、収差情報４０５として、Ｆｒｉｎｇｅ Ｚｅｒｎｉｋｅ多項式の第５項（低次のコマ収差）に５０ｍλの収差情報を設定した。空中像計算プログラム４１１に従って、図４（ｂ）に示すマスクデータ４１０に対して、Ｐ演算子４０８を用いて空中像４０９を算出した結果を図５に示す。図５を参照するに、２つのコンタクトホールパターンで大きさが異なり、左側のコンタクトホールパターンが大きくなっていることがわかる。投影光学系の収差として低次のコマ収差が設定されているためである。

また、デフォーカスは波面収差の一種であるため、空中像計算プログラム４１１による空中像４０９の算出処理に組み込むことが可能である。また、ウエハに塗布されるレジストを平行平板とみなせば、レジストは球面収差を発生させると考えることができる。従って、レジストに起因する収差を空中像計算プログラム４１１による空中像４０９の算出処理に組み込むことも可能である。

照明光に偏光が設定されている場合には、有効光源でσ＝１を投影光学系のＮＡと対応させ、偏光を３次元的に表せばよい。具体的には、瞳関数に偏光に起因する因子をかければよい。偏光に起因する因子は、ｘ偏光がｘ偏光になる効果の因子、ｘ偏光がｙ偏光になる効果の因子、ｘ偏光がｚ偏光になる効果の因子、ｙ偏光がｘ偏光になる効果の因子、ｙ偏光がｙ偏光になる効果の因子及びｙ偏光がｚ偏光になる効果の因子を含む。従って、ｘ偏光用のＰ演算子、ｙ偏光用のＰ演算子及びｚ偏光用のＰ演算子の３種類のＰ演算子が導出される。

ｘ偏光用のＰ演算子、ｙ偏光用のＰ演算子及びｚ偏光用のＰ演算子のそれぞれを、Ｐ_ｘ、Ｐ_ｙ及びＰ_ｚとすれば、ウエハ面に形成される光強度分布Ｉ（ｘ、ｙ）は、以下の数式３０から算出することができる。

偏光情報４０６を除く空中像算出用情報は、実施例１と同じであるとする。また、偏光情報４０６として、全ての点光源がｘ方向に偏光していると設定した。空中像計算プログラム４１１に従って、ｘ偏光用のＰ演算子Ｐ_ｘ、ｙ偏光用のＰ演算子Ｐ_ｙ及びｚ偏光用のＰ演算子Ｐ_ｚを用いて空中像４０９を算出した結果を図６に示す。図６と図４（ｃ）とを比較するに、照明光に偏光が設定されている場合には、露光光が無偏光である場合よりも、空中像４０９がぼけていることがわかる。

更に、Ｐ演算子を、以下の数式３１に示すように定義する。

数式３１において、Ｐ_ｐｏｌは、偏光の効果を含むＰ演算子である。Ｐ_ｐｏｌの要素数はＴＣＣの要素数よりも少ないため、Ｐ_ｐｏｌを用いることによって、ＳＯＣＳよりも短い時間で空中像４０９を算出することが可能である。

ここで、１つの重大な結論を導くことができる。それは、これまではＰ演算子は１つの行列で定義されていたが、複数のＰ演算子を定義してもよいということである。例えば、実施例２では、偏光を考慮して、１つのＰ演算子Ｐ_ｐｏｌを定義したが、偏光成分に分けて３種類のＰ演算子を定義することもできる。また、有効光源を複数の領域に分割して、複数のＰ演算子を定義してもよい。

一方、有効光源に光強度のむらがある（発光部の光強度が均一でない）場合には、各点光源の強度をＰ演算子に組み込めばよい。例えば、ｉ番目の点光源の強度がＳ_ｉであれば、Ｐ演算子は、以下の数式３２で定義される。

また、マスクパターンの微細化に伴い、垂直入射時の回折光分布と斜入射時の回折光分布とが異なる（即ち、回折効率が変化する）場合がある。このような場合には、数式２７を以下の数式３３に示すように変換すればよい。

但し、数式３３におけるＰ’’_ｉには、ｉ番目の点光源から斜入射する場合の回折効率が含まれている。

実施例３では、空中像計算プログラム４１１による空中像４０９の算出処理をモデルベース超解像技術に適用する場合を説明する。超解像技術の基本的な手法として、光学近接効果補正（ＯＰＣ：Ｏｐｔｉｃａｌ Ｐｒｏｘｉｍｉｔｙ Ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎ）が知られている。

マスクデータ４１０を除く空中像算出用情報は、実施例１と同じであるとする。実施例３では、マスクデータ４１０として、図７（ａ）に示すような、幅１２０ｎｍ、長さ８４０ｎｍの５つのバーを考える。この場合、空中像計算プログラム４１１によって算出される空中像４０９を図７（ｂ）に示す。図７（ａ）と図７（ｂ）とを比較するに、マスクデータ４１０と空中像計算プログラム４１１によって算出される空中像４０９とが異なっていることがわかる。そこで、ＯＰＣに基づいて、空中像計算プログラム４１１によって算出される空中像４０９（即ち、露光されたパターン）がパターンデータ４０１に近づくように、マスクデータ４１０を変化させる。

ＯＰＣにおいて、最適なマスクデータ４１０を決定するためには、マスクデータ４１０を変化させて空中像４０９を算出するループを、空中像４０９とパターンデータ４０１との差分が小さくなるまで繰り返す必要がある。従って、空中像４０９の算出に時間がかかってしまうと、最適なマスクデータ４１０を決定するまでに時間がかかってしまう。但し、空中像計算プログラム４１１は、より短い時間で空中像４０９を算出することができるため、ＯＰＣに好適である。

具体的には、制御部２０は、上述した５つのバーに対して、最適なマスクデータ４１０を決定するために、空中像計算プログラム４１１による空中像４０９の算出処理を繰り返し、マスクデータ４１０を変化させる。これにより、最終的なマスクデータ４１０では、一番左のバー及び一番右のバーは幅１３４ｎｍ、長さ９６８ｎｍ、左から２番目のバー及び右から２番目のバーは幅１２７ｎｍ、長さ９３０ｎｍ、中央のバーは幅１２０ｎｍ、長さ９２９ｎｍとなる。かかるマスクデータ４１０を用いて、空中像計算プログラム４１１によって算出される空中像４０９を図７（ｃ）に示す。図７（ｂ）と図７（ｃ）とを比較するに、図７（ｃ）に示す空中像４０９は、図７（ｂ）に示す空中像４０９よりも、パターンデータ４０１に近いことがわかる。

このように、空中像計算プログラム４１１による空中像４０９の算出処理をＯＰＣに適用することで、マスクデータ４１０をより短い時間で生成することが可能となる。

実施例４では、空中像計算プログラム４１１による空中像４０９の算出処理において、空中像４０９を更に短い時間で算出する方法について説明する。

２次元の空中像４０９を算出する場合、Ｐ演算子４０８は、上述したように、数式２７で表すことができる。瞳分割数をＬ、点光源の数をＮとすると、Ｐ演算子はＮ行（２Ｌ）^２列の行列である。Ｐ演算子の各行は独立しているため、Ｐ演算子の階数（Ｒａｎｋ）は、Ｎである。換言すれば、Ｐ演算子を特異値展開すると、Ｎ種類の固有値及びＮ種類の固有関数が算出される。従って、完全な空中像４０９を算出するためには、Ｎ種類の固有値及びＮ種類の固有関数が必要となる。但し、後述するように、実際には、Ｎ種類の固有値及びＮ種類の固有関数を使用する必要はない。

マスクデータ４１０を除く空中像算出用情報は、実施例１と同じであるとする。実施例４では、マスクデータ４１０として、図７（ａ）に示すような、幅１２０ｎｍ、長さ８４０ｎｍの５つのバーを考える。

図４（ａ）に示す有効光源は、数値計算上、９２個の点光源を有する。従って、９２種類の固有値及び９２種類の固有関数が存在する。固有値の２乗が大きい順番に、固有値と対応する固有関数を並び替える。

図８（ａ）は、一番大きい固有値の２乗を１に規格化して、各固有値の２乗をプロットした図である。固有値は、上述したように、９２種類存在し、ｉを固有値の番号、即ち、第ｉ番目の固有値とすると、図８（ａ）に示すように、ｉが１０以上である場合には、固有値の２乗は０．０１以下になる。また、ｉが４９以上である場合には、固有値の２乗は０．００１以下になる。このように、固有値の２乗は、固有値の番号ｉの増加に伴って急速に減衰していく。

ここで、全ての固有値の２乗和をＥとし、第ｉ番目までの固有値の２乗和をＥｉとする。Ｅ_ｉ／Ｅ＝１であれば、完全な空中像４０９を算出することができる。完全な空中像４０９において、ｙ＝０断面における中央のバーの線幅が１２０ｎｍになるように光強度を設定すると、一番左のバーの線幅は９８．４４ｎｍであった。

固有値の２乗は、固有値の番号ｉの増加に伴って急速に減衰し、且つ、固有関数は固有値の番号ｉの増加に伴って空間周波数が増大する。従って、固有値の番号ｉが大きくなればなるほど、空中像の形成への寄与が少ない。図８（ｂ）は、完全な空中像と近似された空中像（即ち、一部の固有値及び固有関数から算出された空中像）との差を示す図である。図８（ｂ）では、横軸に固有値の番号ｉを採用し、縦軸にｉ番目までの固有関数および固有値を用いて空中像を計算した場合における、一番左のバーの線幅を採用する。図８（ｂ）を参照するに、Ｅ_ｉ／Ｅ＝０．９６以上（即ち、固有値の番号ｉが１４以上）である場合、完全な空中像との差が０．１ｎｍ以下になっている。従って、９２種類の固有値及び９２種類の固有関数を使わなくとも、１４種類の固有値及び１４種類の固有関数を使用すれば、完全な空中像と略等しい空中像を算出することが可能である。この場合、空中像の算出にかかる時間を約８５％低減することができる。

なお、必要となる空中像の精度は、評価対象によって異なるが、本発明者は、様々なケースを検討し、Ｅ_ｉ／Ｅが０．９６以上であれば、実用上問題ないことを確かめた。更に、Ｅ_ｉ／Ｅが０．９８以上であれば、ほぼ全ての評価対象で問題のないことを確かめた。

このように、空中像計算プログラム４１１による空中像４０９の算出処理においては、評価対象に応じてＥ_ｉ／Ｅを調節することによって、空中像４０９を更に短い時間で算出することが可能となる。

一方、また、空中像４０９を更に短い時間で算出する方法として、Ｐ演算子４０８を圧縮する方法が挙げられる。例えば、１次元結像を考える。もし、Ｐ演算子４０８の第ｊ列の全ての成分が０であれば、Ｐ演算子４０８の第ｊ列は全く必要ない。そこで、Ｐ演算子４０８において、以下の数式３４に示すように、全ての成分が０である列を取り除くことで、Ｐ演算子４０８を圧縮することができる。

数式３４を参照するに、２行７列だったＰ演算子４０８が、２行４列に圧縮されていることがわかる。

同様に、２次元結像でもＰ演算子４０８を圧縮することが可能である。具体的には、Ｐ演算子４０８において、全ての成分が０である列を取り除くことで、Ｐ演算子４０８を圧縮することができる。このようにして圧縮されたＰ演算子４０８を用いれば、更に短い時間で特異値展開することが可能となり、その結果、空中像４０９を更に短い時間で算出することができる。

Ｐ演算子４０８を圧縮した場合の例を具体的に説明する。有効光源は、図９（ａ）に示すように、四重極照明であるとし、７１２個の点光源を含むものとする。空中像計算プログラム４１１に従って、通常に算出された（即ち、圧縮されていない）Ｐ演算子４０８を図９（ｂ）に示す。図９（ｂ）に示すＰ演算子４０８は、７１２行１６１２９列の行列であって、白が１、黒が０である。また、所定の処理を経て圧縮されたＰ演算子４０８を図９（ｃ）に示す。図９（ｃ）に示すＰ演算子４０８は、７１２行１０６４１列の行列であって、白が１、黒が０である。

図９（ｂ）に示すＰ演算子４０８を特異値展開するのにかかった時間は、約３４．０秒であった。一方、図９（ｃ）に示すＰ演算子４０８を特異値展開するのにかかった時間は、約２４．３秒であった。このように、Ｐ演算子４０８を圧縮することによって、Ｐ演算子４０８を特異値展開する速度が向上していることがわかる。

実施例５では、Ｐ演算子４０８を用いたモデルベース超解像技術、特に、空中像計算プログラム４１１による空中像４０９の算出処理を用いたマスクデータ４１０の生成方法について説明する。かかる生成方法は、露光するべきパターンに対して補助パターンを挿入してマスクデータ４１０を生成する。

図１０は、実施例５における処理装置１の構成を示す概略ブロック図である。図１０に示す処理装置１は、基本的には、図１に示す処理装置１と同じ構成を有するが、記憶部４０がマスク関数４１２、Ｐマップ４１３及びマスク生成プログラム４１４を更に記憶する。なお、以下では、有効光源情報４０２、ＮＡ情報４０３、λ情報４０４、収差情報４０５、偏光情報４０６、レジスト情報４０７、マスクデータ４１０及びマスク関数４１２をＰマップ算出用情報と称する。

マスク関数４１２は、後述するＰマップ４１３を作成するための変数であって、パターンデータ４０１そのもの、或いは、パターンデータ４０１を一定の規則で変形させたものである。

Ｐマップ４１３は、Ｐ演算子４０８の固有関数に回折光分布をかけてフーリエ変換したもの、或いは、それらを足し合わせたものであって、部分コヒーレントマップである。

ここで、Ｐマップ４１３の算出処理と空中像４０９の算出処理との違いについて説明する。空中像４０９の算出処理は、Ｐ演算子４０８の固有関数にマスクデータ４１０の回折光分布をかけてフーリエ変換し、それらの絶対値を２乗する。更に、絶対値を２乗した値に対応する固有値の絶対値の２乗をかけて加算する。これにより、空中像４０９が算出される。一方、Ｐマップ４１３は、Ｐ演算子４０８の固有関数にマスクデータ４１０の回折光分布をかけてフーリエ変換し、それらに対応する固有値をかけて加算することで算出される。従って、空中像４０９は必ず正の値になるが、Ｐマップ４１３は正の値になるとは限らない。Ｐマップ４１３は、投影光学系の物体面にパターンを構成する複数の要素が配置された場合の、該要素間の影響を示すマップ（関数）を示す。

マスク生成プログラム４１４は、Ｐマップ４１３に基づいて、マスクデータ４１０を生成するプログラムである。

以下、マスク生成プログラム４１４によるマスクデータ４１０の生成処理について、特に、補助パターンの挿入に注目して説明する。

実施例５では、露光装置として、投影光学系のＮＡが０．７３であり（ＮＡ情報４０３に相当）、露光光の波長が２４８ｎｍである（λ情報４０４に相当）場合を考える。更に、投影光学系は無収差（収差情報４０５に相当）、照明光は無偏光（偏光情報４０６に相当）、ウエハに塗布されるレジストは考慮しない（レジスト情報４０７に相当）ものとする。有効光源（有効光源情報４０２に相当）は、図１１（ａ）に示すように、四重極照明を用いる。パターンデータ（目標パターン）４０１は、図１１（ｂ）に示すように、孤立コンタクトホールパターンであって、かかる孤立コンタクトホールパターンの一辺は１２０ｎｍであるとする。

また、実施例５では、所謂、抜きパターンを考える。従って、露光光が照射されたレジストの部分がパターンを形成する。

なお、露光装置では、露光光の波長λ及び投影光学系の開口数ＮＡに様々な値を設定することができるため、マスクのパターンサイズを（λ／ＮＡ）で規格化することが好ましい。例えば、λが２４８ｎｍ、ＮＡが０．７３の場合、１００ｎｍのパターンは、上述した規格化によって、０．２９となる。このような規格化をｋ１換算と称する。

１２０ｎｍの径を有する孤立コンタクトホールパターンをｋ１換算すれば、約０．３５である。ｋ１換算した値が０．５以下の場合、空中像は正弦波的な形状になる。正弦波の特徴を最大限に利用するために、従来技術では、孤立コンタクトホールパターンの径を周期の半分として補助パターンを挿入していた。例えば、所望パターンである孤立コンタクトホールパターンの中心が（０、０）に存在する場合、（±２４０、０）、（０、±２４０）、（２４０、±２４０）及び（−２４０、±２４０）の８箇所に補助パターンを挿入していた。

マスク生成プログラム４１４では、まず、マスク関数４１２を目標パターンそのもの、即ち、１２０ｎｍの孤立コンタクトホールパターンとする。

実施例４で説明したように、Ｐ演算子４０８の固有値が大きければ大きいほど、Ｐ演算子４０８の固有関数の空中像４０９の形成に対する寄与が大きくなる。そこで、Ｐ演算子４０８の固有値の２乗が大きくなる順番に、固有値を並び替える。こうして並び替えた第ｉ番目の固有値に対応する固有関数を第ｉ番目の固有関数と呼ぶ。

Ｐ演算子４０８の第１番目の固有関数は、空中像４０９の形成に対する寄与がもっとも大きい。そこで、Ｐ演算子４０８の第１の固有関数だけを考える。Ｐ演算子４０８の第１の固有関数に、マスク関数４１２の回折光分布をかけてフーリエ変換する。このようにして算出されたＰマップ４１３を図１１（ｃ）に示す。

図１１（ｃ）では、白い点線で囲んだ領域ＡＲ１乃至ＡＲ８における値が大きくなっている。つまり、領域ＡＲ１乃至８からの回折光は目標パターンからの回折光と干渉して像強度を向上させる。従って、白い点線で囲んだ領域ＡＲ１乃至ＡＲ８に開口パターンを配置すれば、（０、０）の位置における像強度が大きくなる。

そこで、図１１（ｄ）に示すように、白い点線で囲んだ領域ＡＲ１乃至ＡＲ８に補助パターンＨＰ１乃至ＨＰ８を挿入する。上述したように、（０、０）に中心を有する孤立コンタクトホールパターンを露光することが本来の目的であり、Ｐマップ４１３を解析すると、（０、０）にＰマップ４１３がピークとなる位置がある。従って、パターンデータ４０１と同じ大きさの主パターンＳＰを、その中心が（０、０）の位置となるように配置する。そして、図１１（ｄ）に示すマスクパターンをマスクデータ４１０としてマスクを作成すればよい。これにより、補助パターンＨＰ１乃至ＨＰ８による回折光が主パターンＳＰによる回折光に作用し、目標パターンである孤立コンタクトホールパターンを精度よく転写することができ、解像性能が向上する。

図１２は、補助パターンがないマスク、従来技術によって補助パターンが挿入されたマスク及び実施例５（即ち、マスク生成プログラム４１４）によって補助パターンが挿入されたマスクの結像性能を比較した図である。図１２では、横軸にデフォーカス量を、縦軸にコンタクトホールパターンの径（ＣＤ）を採用し、デフォーカス変動に対する孤立コンタクトホールパターンの径（ＣＤ）の変化でマスクの結像性能を評価した。また、従来技術における補助パターンの大きさは、９０ｎｍ×９０ｎｍである。なお、実施例５における補助パターンの大きさについては後述する。

図１２を参照して、補助パターンがないマスクの結像性能と従来技術によって補助パターンが挿入されたマスクの結像性能とを比較する。この場合、従来技術によって補助パターンが挿入されたマスクの方がデフォーカスの変動に対して孤立コンタクトホールパターンの径の変化が著しく少なくなっている。換言すれば、従来技術によって補助パターンが挿入されたマスクは、補助パターンがないマスクよりも結像特性が向上している。

同様に、従来技術によって補助パターンが挿入されたマスクの結像性能と実施例５によって補助パターンが挿入されたマスクの結像性能とを比較する。図１２を参照するに、実施例５によって補助パターンが挿入されたマスクは、従来技術によって補助パターンが挿入されたマスクよりも結像特性が向上していることがわかる。

なお、図１１（ｃ）に示すＰマップ４１３について詳細に説明する。図１１（ｃ）で示すＰマップ４１３において、一定の閾値を超えていて、且つ、ピークをとる第１の位置を探す。ピークをとる位置とは、Ｐマップ４１３を位置で微分した値が零となる位置である。第１の位置は、距離及び方向の情報を含んでいるため、ベクトルである。実施例５では、第１の位置は（±２８５、０）、（０、±２８５）、（±３２０、３２０）及び（±３２０、−３２０）の８箇所である。但し、図１１（ｃ）では、最大値が１になるように規格化してあり、閾値を０．０３とした。第１の位置を求めたら、Ｐマップ４１３の光強度分布になるべく忠実に補助パターンを挿入する。実施例５では、７０ｎｍ×１２０ｎｍの長方形を回転させて８箇所に補助パターンを挿入（配置）している。

なお、数値計算でピーク位置を求めることは困難である。そこで、ピーク位置と重心の位置がほとんど変わらないことを利用して、Ｐマップ４１３において、一定の閾値を越えている領域内で重心を求め、かかる重心を第１の位置としてもよい。

例えば、図１１（ｃ）に示すＰマップ４１３において、閾値０．０３以上の領域を１、閾値０．０３未満の領域を０として表示すると図１１（ｅ）のようになる。図１１（ｅ）において、領域ＳＲは、孤立コンタクトホールパターン（所望パターン）である主パターンＳＰに対応している。領域ＨＲ１乃至ＨＲ８は、補助パターンを挿入（配置）するべき領域（即ち、領域ＡＲ１乃至ＡＲ８）に対応している。従って、領域ＨＲ１乃至ＨＲ８の各々について重心を求めて、補助パターンを配置すればよい。

実施例６では、パターンデータ（目標パターン）４０１がｎ個のコンタクトホールパターンで構成されたパターンである場合におけるマスクデータ４１０の生成方法について説明する。

Ｐマップ４１３を用いてマスクデータ４１０を生成することによって、孤立コンタクトホールパターンを有するマスクの結像性能が向上することは実施例５で説明した通りである。同様に、Ｐマップ４１３を用いてマスクデータ４１０を生成することによって、ｎ個のコンタクトホールパターンで構成されたパターンを有するマスクの結像性能も向上させることができる。

マスク関数４１２を除くＰマップ算出用情報は、実施例５と同じであるとする。パターンデータ（目標パターン）４０１は、図１３（ａ）に示すように、１２０ｎｍ四方の３つのコンタクトホールパターンを含むパターンである。３つのコンタクトホールパターンの中心は、（０、０）、（３２０、３２０）及び（６４０、−３５０）である。なお、実施例５と同様に、マスク関数４１２を目標パターンそのもの、即ち、１２０ｎｍの径を有する３つのコンタクトホールパターンとする。

Ｐ演算子４０８の第１番目の固有関数は、空中像４０９の形成に対する寄与がもっとも大きい。そこで、Ｐ演算子４０８の第１の固有関数だけを考える。Ｐ演算子４０８の第１の固有関数に、マスク関数４１２の回折光分布をかけてフーリエ変換する。このようにして算出されたＰマップ４１３を図１３（ｂ）に示す。

図１３（ｂ）において、白い点線で囲んだ領域は、ある閾値（実施例５では０．０２５）以上、且つ、ピーク位置である。従って、図１３（ｂ）に示す白い点線で囲んだ領域に補助パターンを挿入（配置）すればよい。

次に、パターンデータ４０１に対応する主パターンの決定について説明する。まず、（０、０）の位置に中心を有するパターンデータに注目する。Ｐマップ４１３を解析すると、（０、０）から（δｘ、δｙ）だけずれた位置にピークを有している。従って、（０、０）の位置に中心を有する１２０ｎｍ四方の主パターンを配置すると、光近接効果によって（δｘ、δｙ）だけ位置がずれて露光されてしまう。

そこで、（−δｘ、−δｙ）の位置に中心を有する主パターンを配置すれば、位置ずれをキャンセルすることができる。同様に、（３２０、３２０）及び（６４０、−３５０）の位置に中心を有するコンタクトホールパターンについても、位置ずれを考慮して、パターンデータ４０１の位置とは異なる位置に主パターンを挿入（配置）する。

また、Ｐマップ４１３を解析することで、主パターンがどれだけ歪むか予測することも可能である。従って、主パターンの歪みに基づいて主パターンの形状を決定することもできる。

なお、Ｐマップ４１３に基づいて、主パターンをパターンデータ４０１が示すパターンそのものとして決定した後、ＯＰＣを適用して主パターンの位置ずれや形状を補正してもよい。

なお、コンタクトホールパターンの配置に依存するが、補助パターン同士が著しく隣接する場合がある。この場合、隣接する補助パターンの近傍に、１つの補助パターンを挿入（配置）すればよい。また、補助パターンと所望パターンが近接する場合には、かかる補助パターンを取り除く必要がある。

マスク生成プログラム４１４は、正方形形状のコンタクトホールパターンを有するマスクに限定されるものではなく、長方形形状のコンタクトホールパターンやラインパターンを有するマスクにも適用することができる。実施例７では、マスク生成プログラム４１４を用いて、孤立ラインパターンを有するマスクのマスクデータ４１０を生成する場合について説明する。

有効光源情報４０２及びマスク関数４１２を除くＰマップ算出用情報は、実施例５と同じであるとする。有効光源（有効光源情報４０２に相当）は、図１４（ａ）に示すように、二重極照明を用いる。パターンデータ（目標パターン）４０１は、幅が１２０ｎｍの孤立ラインパターンであるとする。

また、実施例７では、露光光が照射され、光強度がある閾値以下のレジストの部分でパターンを形成する、所謂、残しパターンを考える。

まず、マスク関数４１２を目標パターンそのもの、即ち、１２０ｎｍの孤立ラインパターンとする。一般的に、ラインパターンを露光する場合には、ライン部分だけにレジストを残す。従って、マスク関数４１２は、バックグラウンド透過率が１００％で、１２０ｎｍの孤立ラインパターンの遮光部を有するマスクを表現する。

上述したＰマップ算出用情報から算出されたＰマップ４１３を図１４（ｂ）に示す。図１４（ｂ）に示すＰマップ４１３において、一定の閾値より小さく、且つ、ピークになる位置に補助パターンを挿入（配置）してマスクデータ４１０を生成すれば、マスクの結像特性が向上する。

図１４（ｂ）に示すＰマップ４１３は、孤立ラインパターンの中心から約２９０ｎｍの位置にピークを有する。そこで、図１４（ｃ）に示すように、孤立ラインパターンの中心から２９０ｎｍの位置に補助パターンが配置されたマスクを用いれば結像性能が向上する。図１４（ｃ）において、ｄは、孤立ラインパターンの中心からの距離を示し、実施例７では、２９０ｎｍである。

また、以下のようにして補助パターンを挿入（配置）しても孤立ラインパターンを有するマスクのマスクデータ４１０を生成することができる。

まず、抜きパターンとして算出したＰマップ４１３をＰＭ_１（ｘ、ｙ）とする。ここで、ＰＭ_１（ｘ、ｙ）の最大値を１に規格化する。次に、ＰＭ_２（ｘ、ｙ）＝１−ＰＭ_１（ｘ、ｙ）として新たなＰマップ４１３であるＰＭ_２（ｘ、ｙ）を算出する。このようにして算出されたＰＭ_２（ｘ、ｙ）において、一定の閾値より小さい領域で、且つ、ピークの位置（又は重心位置）に補助パターンを挿入（配置）してマスクデータ４１０を生成する。また、ＰＭ_１（ｘ、ｙ）において、一定の閾値を越える領域で、且つ、ピークの位置（又は重心位置）に残しパターンを形成する補助パターンを挿入（配置）してもよい。

実施例８では、マスク関数４１２について詳細に説明する。

Ｐマップ算出用情報は、実施例５と同じであるとする。パターンデータ（目標パターン）４０１は、１２０ｎｍ四方の孤立コンタクトホールパターンであるとする。

マスク関数４１２を目標パターンそのものとして算出したＰマップ４１３を図１５（ａ）及び図１５（ｂ）に示す。なお、図１５（ａ）は、Ｐマップ４１３そのものを示す。また、図１５（ｂ）は、図１５（ａ）に示すＰマップ４１３において、正の値を有する位置を１、負の値を有する位置を−１として表示したものである。

また、マスク関数４１２を６０ｎｍ四方の孤立コンタクトホールパターンとして算出したＰマップ４１３を図１５（ｃ）及び図１５（ｄ）に示す。なお、図１５（ｃ）は、Ｐマップ４１３そのものを示す。また、図１５（ｄ）は、図１５（ｃ）に示すＰマップ４１３において、正の値を有する位置を１、負の値を有する位置を−１として表示したものである。

更に、マスク関数４１２を１ｎｍ四方の孤立コンタクトホールパターンとして算出したＰマップ４１３を図１５（ｅ）及び図１５（ｆ）に示す。なお、図１５（ｅ）はＰマップ４１３そのものを示す。また、図１５（ｆ）は、図１５（ｅ）に示すＰマップ４１３において、正の値を有する位置を１、負の値を有する位置を−１として表示したものである。

マスク関数４１２を小さなパターンにすると、かかる小さなパターンに光が集中するように補助パターンが挿入（配置）されるため、露光裕度が大きくなる。但し、図１５（ａ）乃至図１５（ｆ）から理解されるように、マスク形状は複雑になる。一方、マスク関数４１２を大きなパターンにすると、マスク形状は単純になる。本発明者が検討した結果、マスク関数４１２は、目標パターンと同等、或いは、目標パターンよりも小さくするとよい。

また、Ｐマップ４１３の算出を単純化するためには、コンタクトホールパターンを点（例えば、１ｎｍのコンタクトホールパターン）、ラインパターンを線（例えば、幅１ｎｍ）としてマスク関数４１２とすればよい。長方形形状のコンタクトホールパターンの場合は、長手方向に伸びる線（例えば、長さが長手方向と同じ長さで、幅が１ｎｍ）をマスク関数４１２とすればよい。

例えば、実施例５の場合には、マスク関数４１２を１ｎｍの孤立コンタクトホールパターンとすればよい。実施例６の場合には、マスク関数４１２を２つの１ｎｍのコンタクトホールパターンとすればよい。実施例７の場合には、幅が１ｎｍのラインパターンをマスク関数４１２とすればよい。

マスク関数４１２は、上述したように、目標パターンと同等、或いは、目標パターンよりも小さくするとよいため、０よりも大きく１以下の縮小倍率を予め設定しておき、かかる縮小倍率を目標パターンにかけたものをマスク関数４１２としてもよい。

例えば、縮小倍率を０．７５に設定した場合、実施例５では、９０ｎｍ（１２０ｎｍ×０．７５）の孤立コンタクトホールパターンをマスク関数４１２とすればよい。また、実施例７では、幅９０ｎｍのラインパターンをマスク関数４１２とすればよい。なお、実施例５乃至実施例７は、縮小倍率を１に設定した場合の例であると言える。

ラインパターン及び長方形形状のパターンにおいては、一般的に、短手方向の解像が困難であるため、短手方向の解像に注目する必要がある。そこで、目標パターンの短手方向だけに縮小倍率をかけたものをマスク関数４１２とし、Ｐマップ４１３を算出してもよい。

実施例９では、Ｐマップ４１３において、負の値を有する領域（位置）に挿入（配置）する補助パターンについて説明する。

Ｐマップ４１３は、負の値を有する領域を含む。これは、Ｐマップ４１３には空中像の形成を打ち消そうとする領域があることを示している。

空中像の形成を打ち消す効果は、位相が反転している（即ち、位相差が１８０度である）と解釈することができる。従って、Ｐマップ４１３における負の値を有する領域に、所望パターンを透過した光の位相と補助パターンを透過した光の位相との位相差が１８０度になるように補助パターンを挿入（配置）することで、結像特性を向上させることが可能となる。

Ｐマップ算出用情報は、実施例５と同じであるとする。パターンデータ（目標データ）４０１は、孤立コンタクトホールパターンであって、かかる孤立コンタクトホールパターンの径は１２０ｎｍであるとする。

上述したＰマップ算出用情報からは、実施例５で説明したように、図１１（ｃ）に示すＰマップ４１３が算出される。図１１（ｃ）に示す白い点線で囲んだ領域ＡＲ１乃至ＡＲ８に所望パターンと同位相（位相差が０度）の補助パターンを挿入（配置）すれば、マスクの結像特性は向上する。但し、図１１（ｃ）に示すＰマップ４１３は、図１６（ａ）に示すように、白い点線で囲んだ領域ＡＲ９乃至ＡＲ１２に大きな負のピーク値を有する。図１６（ａ）に示すＰマップ４１３において、白い点線で囲んだ領域ＡＲ９乃至ＡＲ１２の中心は、（±２２５、２２５）及び（±２２５、−２２５）の４箇所である。そこで、白い点線で囲んだ領域ＡＲ９乃至ＡＲ１２に、所望パターンとの位相差が１８０度となる補助パターンＡＰ１乃至ＡＰ４を挿入（配置）し、図１６（ｂ）に示すマスクデータ４１０を生成する。図１６（ｂ）において、補助パターンＡＰ１乃至ＡＰ４は、所望パターンとの位相差が１８０度になっており、その大きさは９０ｎｍ×９０ｎｍである。

図１７は、図１１（ｄ）に示すマスクデータ４１０（即ち、実施例５）のマスクの結像性能と図１６（ｂ）に示すマスクデータ４１０（即ち、実施例９）のマスクの結像性能を比較した図である。図１７では、横軸にデフォーカス量を、縦軸に孤立コンタクトホールパターンの径（ＣＤ）を採用し、デフォーカス変動に対する孤立コンタクトホールパターンの径（ＣＤ）の変化でマスクの結像性能を評価した。図１７を参照するに、図１６（ｂ）に示すマスクデータ４１０のマスクは、図１１（ｄ）に示すマスクデータ４１０よりも結像性能がよい。

このように、Ｐマップ４１３において、負の値を有する領域に、所望パターンとの位相差が１８０度となる補助パターンを挿入（配置）することによって、マスクの結像性能を向上させることができる。従って、Ｐマップ４１３において、正の閾値を超えて、且つ、ピークとなる領域に所望パターンと同位相の補助パターンを挿入し、負の閾値より小さく、且つ、ピークとなる位置に所望パターンとの位相差が１８０度の補助パターンを挿入すればよい。なお、実施例９では、正の閾値を０．０３とし、負の閾値を−０．０１８とした。

実施例５や実施例９で説明したように、Ｐマップ４１３に基づいてマスクデータ４１０を生成することによって、マスクの結像性能を向上させることができる。但し、Ｐマップ４１３に忠実に補助パターンを挿入（配置）した場合、マスク形状が複雑になってしまう。現在のマスク作成技術であれば、図１１（ｄ）に示すマスクデータ４１０のマスクや図１６（ｂ）に示すマスクデータ４１０のマスクを作成することは可能である。それでも、マスクの作成にかかる負担を低減することは非常に有意義である。

マスク作成にかかる負担を減らすためには、Ｐマップ４１３において、一定の閾値を超え、且つ、ピークになる位置に露光すべきパターンと略相似な補助パターンを挿入すればよい。Ｐマップ４１３は、補助パターンを挿入（配置）する位置を示すことが最大の特徴であるため、補助パターンの形状を変化させても結像性能に対する影響は少ない。

Ｐマップ算出用情報は、実施例５と同じであるとする。パターンデータ（目標データ）４０１は、孤立コンタクトホールパターンであって、かかる孤立コンタクトホールパターンの径は１２０ｎｍであるとする。

実施例５で説明したように、上述したＰマップ算出用情報から算出されるＰマップ４１３において、正の閾値以上で、且つ、ピークをとる位置は（±２８５、０）、（０、±２８５）、（±３２０、３２０）及び（±３２０、−３２０）の８箇所であった。かかる８箇所に露光すべきパターンと同じ位相の補助パターンを挿入する。但し、補助パターンの形状は露光すべき所望のパターンである孤立コンタクトホールパターンと相似な形状であり、補助パターンの大きさは９０ｎｍ×９０ｎｍとする。

次に、実施例９で説明したように、（±２２５、２２５）及び（±２２５、−２２５）の４箇所に露光すべきパターンからの回折光との位相差が１８０度となる補助パターンを挿入する。但し、補助パターンの形状は露光すべき所望のパターンである孤立コンタクトホールパターンと相似な形状であり、補助パターンの大きさは９０ｎｍ×９０ｎｍとする。

このようにして生成されたマスクデータ４１０を図１８に示す。図１８において、補助パターンＡＰ５乃至ＡＰ１２は、（±２８５、０）、（０、±２８５）、（±３２０、３２０）及び（±３２０、−３２０）に挿入（配置）された、露光すべきパターンと同じ位相の補助パターンである。補助パターンＡＰ１３乃至ＡＰ１６は、（±２２５、２２５）及び（±２２５、−２２５）に挿入（配置）された露光すべきパターンとの位相差が１８０度となる補助パターンである。図１８に示すマスクデータ４１０のマスクは、補助パターンＡＰ５乃至ＡＰ１６の形状が正方形形状（即ち、所望パターンと相似）であるため、図１６（ｂ）に示すマスクデータ４１０のマスクよりも容易に作成することができる。

図１９は、図１６（ｂ）に示すマスクデータ４１０（即ち、実施例５）のマスクの結像性能と図１８に示すマスクデータ４１０（即ち、実施例１０）のマスクの結像性能を比較した図である。図１９を参照するに、図１６（ｂ）に示すマスクデータ４１０のマスクと図１８に示すマスクデータ４１０のマスクでは、結像性能にほとんど差がないことがわかる。このように、Ｐマップ４１３において、一定の閾値を超え、且つ、ピークになる位置に露光すべきパターンと略相似な補助パターンを挿入（配置）することで、マスクの作成にかかる負荷を低減することができる。また、従来技術によって作成されたマスクよりも結像性能を向上させることができる。なお、補助パターンの形状は、所望パターンと略相似な形状に限定されず、マスクを作成することが容易となる形状であればよい。

補助パターンの形状が露光すべきパターンと略相似な形状である場合、補助パターンのサイズは、露光すべきコンタクトホールパターンのサイズの７５％近傍であることが好ましい。ここで、サイズとは面積ではなく、パターンの一辺の長さである。例えば、１２０ｎｍのコンタクトホールパターンを露光するために、１辺が１２０ｎｍの正方形形状のパターンをマスクに設けた場合には、補助パターンの１辺の長さは９０ｎｍ程度であればよい。但し、Ｐマップ４１３は、補助パターンを挿入（配置）すべき位置を的確に示しているため、補助パターンを挿入（配置）すれば、少ながらず解像力の向上につながる。従って、補助パターンのサイズを露光すべきコンタクトホールパターンのサイズの７５％に固定する必要はない。本発明者が検討した結果、補助パターンのサイズが露光すべきコンタクトホールパターンのサイズの５０％乃至８５％であっても、十分な効果を得ることができる。

コンタクトホールパターンが長方形形状である場合は、長方形形状の補助パターンを挿入（配置）すればよい。かかる補助パターンの短手方向の辺の長さは、露光すべきコンタクトホールパターンの短手方向の長さの５０％乃至８０％にすればよい。

露光すべきパターンがラインパターンである場合には、ライン形状の補助パターンを挿入すればよい。ライン形状のパターンは解像しやすいため、補助パターンの幅は、露光すべきラインパターンの幅の３５％乃至７０％であることが好ましい。

本実施例では、Ｐマップ４１３を用いた多重露光について説明する。微細パターンを露光するための露光方法の１つとして、広義の多重露光が知られている。広義の多重露光は、狭義の多重露光と複数回露光とを含む。狭義の多重露光では、現像プロセスを経ることなく潜像パターンを足し合わせる。例えば、代表的な２重露光では、マスクパターンを密なパターンと疎なパターンの２種類のパターンに分けて２重露光する。また、ラインパターンを縦方向と横方向に分けて、それらを別々に露光して所望のラインパターンを形成する２重露光もある。一方、複数回露光では、現像プロセスを経て潜像パターンを足し合わせる。これらは、ｋ１ファクターを小さくする方法の１つであって、以下では、狭義の多重露光と複数回露光とを含むものとして、単に「多重露光」と称する。

Ｐマップ４１３は、上述したように、負の値を有する領域を含み、かかる領域は、結像（即ち、空中像の形成）を打ち消す機能を有する。

Ｐマップ算出用情報は、実施例５と同じであるとする。Ｐマップ算出用情報から算出されるＰマップ４１３において、正の値の位置に露光すべきパターンと同位相の補助パターンを挿入（配置）した場合、負の値の位置に露光すべきパターンと同位相の補助パターンを挿入した場合のデフォーカス特性を図２０に示す。図２０には、比較のために、補助パターンがない場合のデフォーカス特性も示す。図２０では、横軸にデフォーカス量を、縦軸にコンタクトホールパターンの径（ＣＤ）を採用している。

図２０を参照するに、Ｐマップ４１３において、正の値の位置に補助パターンを挿入（配置）した場合は、補助パターンがない場合よりもデフォーカス特性がよい。但し、Ｐマップ４１３において、負の値の位置に補助パターンを挿入（配置）した場合は、補助パターンがない場合よりデフォーカス特性が悪化している。このように、従来技術では、露光すべきパターンに対して補助パターンを配置すれば配置するほどよいとされてきたが、必ずしもそうではないということを図２０は示している。

Ｐマップ４１３において、負の値の位置は、フォービッデンピッチを示していると考えられる。Ｐマップ４１３において、負の値の位置は、距離及び方向に依存しているため、ベクトルである。この場合、（±２２５、２２５）及び（±２２５、−２２５）の４種類のベクトルがフォービッデンピッチを示すベクトルとなる。かかるベクトルは、Ｐマップ４１３において、原点から可干渉性が閾値以下の領域に至るベクトルである。

フォービッデンピッチを示すベクトルを基準ベクトルとし、フォービッデンピッチを避けるようにパターンデータ４０１を分割すれば、フォービッデンピッチがないパターンデータ４０１の生成が可能となる。

図２１を参照して、マスク生成プログラム４１４によるフォービッデンピッチがないパターンデータ４０１の生成処理を具体的に説明する。なお、Ｐマップ算出用情報は、ユーザによって、入力部５０を介して予め入力され、記憶部４０に記憶されているものとする。また、マスク生成プログラム４１４は、媒体インターフェース６０に接続された記憶媒体７０からインストールされ、制御部２０を介して記憶部４０に記憶されているものとする。マスク生成プログラム４１４は、入力部５０から入力されるユーザの起動命令に従って起動され、制御部２０によって実行される。

ステップＳ１１０２では、制御部２０は、Ｐマップ算出用情報に基づいて、Ｐマップ４１３を算出する。但し、ステップＳ１１０２において、マスク関数４１２は、パターンデータ（目標パターン）４０１の全体ではなく、目標パターンの一要素だけを対象とする。具体的には、対象となる目標パターンの一要素に、所定の処理（例えば、縮小倍率をかけるなど）を施してマスク関数４１２とする。

ステップＳ１１０４では、制御部２０は、ステップＳ１１０２で算出したＰマップ４１３からフォービッデンピッチを示す基準ベクトルを特定する。具体的には、Ｐマップ４１３において、原点から、閾値以下で、且つ、負のピークに至るベクトル量を抽出することで、基準ベクトルを特定する。

ステップＳ１１０６では、制御部２０は、後述するステップで生成するパターンデータ４０１の整理番号ｉに初期値「１」を設定する。なお、以下では、整理番号ｉの第ｉパターンデータと称する。

ステップＳ１１０８では、制御部２０は、パターンデータ４０１にフォービッデンピッチがあるかどうかを判定する。具体的には、パターンデータ４０１を対象として、パターンデータ４０１の複数の要素から注目要素を選択し、選択された注目要素の中心を始点として基準ベクトルを配置した際に、基準ベクトルの終点付近に要素が存在するかどうかを判断する。そして、基準ベクトルの終点付近に要素が存在すると判断した場合、制御部２０は、パターンデータ４０１にフォービッデンピッチがあると判定する。一方、基準ベクトルの終点付近に要素が存在しないと判断した場合、制御部２０は、パターンデータ４０１にフォービッデンピッチがないと判定する。

制御部２０は、パターンデータ４０１にフォービッデンピッチがあると判定した場合、ステップＳ１１１０に処理を進め、パターンデータ４０１にフォービッデンピッチがないと判定した場合、ステップＳ１１１２に処理を進める。

ステップＳ１１１０では、制御部２０は、基準ベクトルの終点付近にある要素をパターンデータ４０１から取り除き、取り除いた要素の情報をキャッシュメモリに一時記憶する。

ステップＳ１１１２では、制御部２０は、パターンデータ４０１の複数の要素のうち、ステップＳ１１１０で取り除かれなかった全ての要素についてステップＳ１１０８の判定を行ったかどうかを判定する。

制御部２０は、全ての要素についてステップＳ１１０８の判定を行ったと判定した場合、ステップＳ１１１４に処理を進め、全ての要素についてステップＳ１１０８の判定を行っていないと判定した場合、ステップＳ１１０８に処理を戻す。

ステップＳ１１１４では、制御部２０は、第ｉパターンデータを生成する（第１のデータ生成ステップ）。具体的には、ｉ＝１の場合には、基準ベクトルの終点付近にある全ての要素をパターンデータ４０１から取り除いたものを第ｉパターンデータとする。また、ｉ≧２の場合には、基準ベクトルの終点付近にある全ての要素を第ｉ−１パターンデータから取り除いたものを第ｉパターンデータとする。

ステップＳ１１１６では、制御部２０は、パターンデータの整理番号ｉに１を加算したもの（ｉ＋１）を新たにｉとして設定する。

ステップＳ１１１８では、制御部２０は、Ｐマップ４１３を算出する。詳細には、パターンデータ４０１に補助パターンを挿入（配置）する前段階としてＰマップ４１３を算出する。ステップＳ１１１８において、マスク関数４１２は、第ｉパターンデータの全体の要素を対象に決定される。換言すれば、第ｉパターンデータの全体の要素に、所定の処理（例えば、縮小倍率をかけるなど）を施してマスク関数４１２とし、Ｐマップ４１３を算出する。ステップＳ１１０２におけるマスク関数４１２とステップＳ１１１８におけるマスク関数４１２とが異なるため、ステップＳ１１０２とステップＳ１１１８でＰマップ４１３を算出する必要がある。

ステップＳ１１２０では、制御部２０は、補助パターンを挿入（配置）して、マスクデータ４１０を生成する。具体的には、ステップＳ１１１８で算出したＰマップ４１３に基づいて、一定の閾値を超え、且つ、ピークになる位置に補助パターンを挿入（配置）する。そして、マスクデータ４１０に補助パターンの情報を含めたデータを新たなマスクデータ４１０とする。この際、制御部２０は、パターンデータ４０１に代えて、マスクデータ４１０を表示部３０に表示させてもよい。

ステップＳ１１２２では、制御部２０は、キャッシュメモリを参照し、パターンデータ４０１から取り除かれた要素があるかどうかを判定する。

制御部２０は、パターンデータ４０１から取り除かれた要素があると判定した場合、ステップＳ１１２４に処理を進め、パターンデータ４０１から取り除かれた要素がないと判定した場合、処理を終了する。

ステップＳ１１２４では、制御部２０は、第ｉパターンデータを生成する際に取り除かれた要素からなるパターンデータ４０１を新たな処理対象として生成する（第２のデータ生成ステップ）。

Ｐマップ４１３を用いたパターンデータ４０１の分割の一例を示す。Ｐマップ算出用情報は、実施例５と同じであるとする。図２２（ａ）に示すパターンデータ４０１が処理対象である場合を考える。図２２（ａ）に示すパターンデータ４０１は、３つのコンタクトホールＣＰ１乃至ＣＰ３を有する。３つのコンタクトホールＣＰ１乃至ＣＰ３のそれぞれの大きさ（径）は、１２０ｎｍである。

コンタクトホールＣＰ２は、コンタクトホールＣＰ１からｙ方向に−２８０ｎｍ離れている。コンタクトホールＣＰ３は、コンタクトホールＣＰ２からｘ方向に２２５ｎｍ、ｙ方向に−２２５ｎｍ離れている。

制御部２０は、１つの要素（即ち、３つのコンタクトホールＣＰ１乃至ＣＰ３のうちの１つ）をマスク関数４１２として、Ｐマップ４１３を算出する。本実施例では、コンタクトホールＣＰ１をマスク関数４１２とする。Ｐマップ４１３は、マスク上の（±２８０、０）及び（０、±２８０）の位置で正のピークを有する。また、Ｐマップ４１３は、マスク上の（±２２５、２２５）及び（±２２５、−２２５）の位置で負のピークを有する。

また、制御部２０は、Ｐマップ４１３から、例えば、フォービッデンピッチを示す基準ベクトルを特定する。ここで、基準ベクトルは、（２２５、２２５）、（２２５、−２２５）、（−２２５、２２５）及び（−２２５、−２２５）の４種類である。

制御部２０は、図２２（ａ）に示すパターンデータ４０１を処理対象として、コンタクトホール（要素）ＣＰ２を注目要素として選択する。この場合、選択された注目要素であるコンタクトホールＣＰ２の位置を始点とするように基準ベクトルを配置すると、基準ベクトルの終点付近にコンタクトホール（要素）ＣＰ３が存在する。従って、コンタクトホールＣＰ２とコンタクトホールＣＰ３とは、フォービッデンピッチの関係にある。

そこで、制御部２０は、基準ベクトルの終点付近にあるコンタクトホール（要素）ＣＰ３を図２２（ａ）に示すパターンデータ４０１から取り除き、図２２（ｂ）に示す第１のパターンデータを生成する。また、制御部２０は、コンタクトホール（要素）ＣＰ３から、図２２（ｃ）に示す第２のパターンデータを生成する。これにより、図２２（ｃ）に示すパターンデータ４０１は、図２２（ｂ）に示す第１のパターンデータと、図２２（ｃ）に示す第２のパターンデータとに分割されたことになる。このような分割によって、フォービッデンピッチがない２つのマスクのマスクデータを生成することができる。

また、実施例５や実施例９で説明したように、Ｐマップ４１３に基づいて補助パターンを挿入（配置）すると、マスクの結像特性が向上する。従って、図２２（ｂ）に示す第１パターンデータ及び図２２（ｃ）に示す第２パターンデータに最適な補助パターンを挿入（配置）して、図２２（ｄ）及び図２２（ｅ）に示すパターンデータとすることで、単純な２重露光よりも結像特性を向上させることができる。

図２２（ｄ）に示すマスクデータ及び図２２（ｅ）に示すマスクのデータを、ＥＢ描画装置に入力させれば、図２２（ｄ）に示すマスクデータ及び図２２（ｅ）に示すマスクデータに基づいた２つのマスクが作成される。かかる２つのマスクを用いて２重露光を行えば、図２２（ａ）に示すパターンデータと同一のマスクで露光するよりも、コンタクトホールＣＰ１乃至ＣＰ３を高精度に形成することができる。

本実施例では、有効光源の最適化について説明する。有効光源の最適化においては、Ｐマップ４１３におけるピーク（一定の閾値以上の領域）がパターンデータ４０１の要素の位置に重なるように、有効光源を決定すればよい。

有効光源情報４０２を除くＰマップ算出用情報は、実施例５と同じであるとする。図２３（ａ）に示すような、３つのコンタクトホールＣＰ１１乃至ＣＰ１３を有するパターンデータ（目標データ）４０１に対する有効光源の最適化について考える。３つのコンタクトホールＣＰ１１乃至ＣＰ１３は、間隔ｄｄ＝３００ｎｍで配置されている。また、３つのコンタクトホールＣＰ１１乃至ＣＰ１３のそれぞれの大きさは、１２０ｎｍである。

図２３（ｂ）は、有効光源（有効光源情報４０２）の初期値を示す図である。図２３（ｂ）において、白い円はσ＝１を示し、白抜き部は光照射部を示す。瞳座標を規格化したとき、中心から各ポール（光照射部）の中心への距離を、ｘ方向には０．４５、ｙ方向には０．４５に設定し、各ポール（光照射部）の直径を０．３と設定する。

制御部２０は、図２３（ｂ）に示す有効光源の初期値に基づいて、図２３（ｃ）に示すＰマップ４１３を算出する。図２３（ｃ）に示すＰマップ４１３は、（０、±３００）及び（±３００、０）の位置で正のピークを有する。図２３（ｃ）に示すＰマップ４１３は、図２３（ａ）に示すパターンデータ４０１のマスクに対して好適である。これは、図２３（ａ）に示すパターンデータ４０１のマスクは、隣り合うコンタクトホールの間隔ｄｄが３００ｎｍだからである。

制御部２０は、マスク関数４１２を設定しなおして（例えば、目標パターンそのものとして）、新たにＰマップ４１３を算出する。かかるＰマップ４１３において、一定の閾値以上で、且つ、ピークである位置に補助パターンを挿入（配置）すれば、図２３（ｄ）に示すようなマスクデータ４１０を得ることができる。図２３（ｄ）に示すマスクデータ４１０のマスクを用いれば、コンタクトホールＣＰ１１乃至ＣＰ１３を高精度に形成することができる。

図２４は、マスク生成プログラム４１４によるマスクデータ４１０の生成処理を説明するためのフローチャートである。

ステップＳ１２０２では、制御部２０は、有効光源情報４０２を設定する。

ステップＳ１２０４では、制御部２０は、マスク関数４１２を設定する。なお、マスク関数４１２は、目標パターンの全体ではなく、目標パターンの一要素だけを対象とする。そして、かかる一要素に、所定の処理（例えば、縮小倍率をかけるなど）を施してマスク関数４１２とする。

ステップＳ１２０６では、制御部２０は、ステップＳ１２０４で設定したマスク関数４１２に基づいて、Ｐマップ４１３を算出する。

ステップＳ１２０８では、制御部２０は、露光すべき所望のパターンであるコンタクトホールＣＰ１１乃至ＣＰ１３とＰマップ４１３とを重ね合わせる。

ステップＳ１２１０では、制御部２０は、所望のパターンであるコンタクトホールＣＰ１１乃至ＣＰ１３がＰマップ４１３におけるピーク（一定の閾値以上の領域）に重なっているかどうかを判定する。所望パターンであるコンタクトホールＣＰ１１乃至ＣＰ１３がＰマップ４１３におけるピークに重なっていると判定した場合、制御部２０は、ステップＳ１２１２に処理を進める。所望パターンであるコンタクトホールＣＰ１１乃至ＣＰ１３がＰマップ４１３におけるピークに重なっていないと判定した場合、制御部２０は、ステップＳ１２０２に処理を戻す。

ステップＳ１２１２では、制御部２０は、マスク関数４１２を変更する。
ステップＳ１２０４では、目標パターンの一要素に注目してマスク関数４１２を設定したが、ステップＳ１２１２では、マスク関数４１２として、目標パターンの全体の要素を設定する。そこで、目標パターンの全体の要素に、所定の処理（例えば、縮小倍率をかけるなど）を施してマスク関数４１２を設定する。

ステップＳ１２１４では、制御部２０は、ステップＳ１２１２で設定したマスク関数４１２に基づいて、Ｐマップ４１３を算出する。

ステップＳ１２１６では、制御部２０は、ステップＳ１２１４で算出されたＰマップ４１３に基づいて補助パターンを挿入（配置）して、マスクデータ４１０を生成し、処理を終了する。

有効光源を最適化するためには、図２４に示すステップＳ１２０２乃至Ｓ１２１０を繰り返す（即ち、ループさせる）必要がある。ステップＳ１２０１乃至Ｓ１２１０のループを速く終わらせるためには、有効光源（有効光源情報４０２）の初期設定が重要となる。そこで、以下では、ステップＳ１２０１乃至Ｓ１２１０のループを速く終わらせることができる有効光源の初期設定を、簡易に、且つ、短時間に求める方法について説明する。

マスクパターンで回折された回折光は、投影光学系の瞳面上で回折光分布を形成する。かかる回折光の振幅を、上述したように、ａ（ｆ、ｇ）とする。また、投影光学系の瞳面の座標（ｆ、ｇ）も、上述したように、投影光学系の瞳の大きさ（瞳半径）が１となるように規格化されている。ｃｉｒｃ（ｆ−ｆ’、ｇ−ｇ’）は、（ｆ’、ｇ’）を中心に半径１以内では１で、それ以外では０の関数とする。更に、回折光の重み関数をｗ（ｆ、ｇ）とする。

まず、制御部２０は、以下の数式３５に示す重積分を、｜ｆ’｜≦２、｜ｇ’｜≦２の範囲で演算する。

次に、制御部２０は、以下の数式３６を演算する。

そして、制御部２０は、数式３６から算出されたＳ（ｆ、ｇ）を、有効光源の設定値とする。

例えば、図２５（ａ）に示すように、５行５列のコンタクトホールパターンが縦横方向に周期３００ｎｍで配置されているパターンデータ４０１を考える。なお、図２５（ａ）において、縦軸はマスク面のｙ座標であり、横軸はマスク面のｘ座標であり、それぞれの単位はｎｍであるとする。また、実施例１２でも、露光装置として、投影光学系のＮＡが０．７３であり（ＮＡ情報４０３に相当）、露光光の波長が２４８ｎｍである（λ情報４０４に相当）場合を考える。

制御部２０は、数式３５及び数式３６に基づいて、有効光源を示す関数Ｓ（ｆ、ｇ）を算出する。制御部２０によって算出された関数Ｓ（ｆ、ｇ）で示される有効光源を図２５（ｂ）に示す。なお、本実施例では、重み関数ｗ（ｆ、ｇ）を、ｗ（０、０）＝０．１、且つ、ｗ（２、２）＝１となる２次関数とした。図２５（ｂ）において、縦軸はｘ方向のσを示し、横軸はｙ方向のσを示す。

図２５（ｂ）を参照するに、関数Ｓ（ｆ、ｇ）で示される有効光源が連続的に変化していることがわかる。図２５（ｂ）に示す有効光源は、図２３（ｂ）に示す有効光源に近い。従って、図２５（ｂ）に示す有効光源は、有効光源を最適化するためのステップＳ１２０２乃至Ｓ１２１０のループにおいて、ステップＳ１２０２で設定される有効光源情報４０２の初期値（有効光源の設定値）として好適である。

本実施例では、上述した実施例で生成されたマスクデータ４１０に基づいて作成されたマスク１３０を用いて、露光処理を実行する露光装置１００について説明する。ここで、図２６は、露光装置１００の構成を示す概略ブロック図である。

露光装置１００は、投影光学系１４０とウエハ１５０との間に供給される液体ＬＷを介して、マスク１３０のパターンをステップ・アンド・スキャン方式でウエハ１５０に露光する液浸露光装置である。但し、露光装置１００は、ステップ・アンド・リピート方式やその他の露光方式も適用することができる。

露光装置１００は、図２６に示すように、光源１１０と、照明光学系１２０と、マスク１３０を載置するマスクステージ１３５と、投影光学系１４０と、ウエハ１５０を載置するウエハステージ１５５と、液体供給回収部１６０と、主制御システム１７０とを備える。なお、光源１１０及び照明光学系１２０は、転写用の回路パターンが形成されたマスク１３０を照明する照明装置を構成する。

光源１１０は、波長約１９３ｎｍのＡｒＦエキシマレーザー、波長約２４８ｎｍのＫｒＦエキシマレーザーなどのエキシマレーザーを使用する。但し、光源１１０の種類及び個数は限定されず、例えば、波長約１５７ｎｍのＦ_２レーザーを光源１１０として使用することもできる。

照明光学系１２０は、光源１１０からの光束を用いてマスク１３０を照明する光学系である。照明光学系１２０は、本実施形態では、ビーム整形光学系１２１と、集光光学系１２２と、偏光制御部１２３と、オプティカルインテグレーター１２４と、開口絞り１２５とを含む。更に、照明光学系１２０は、集光レンズ１２６と、折り曲げミラー１２７と、マスキングブレード１２８と、結像レンズ１２９とを含む。照明光学系は、従来の照明、図４（ａ）や図１４（ａ）に示す変形照明（四重極照明や二重極照明）など様々な照明モードを実現することができる。

ビーム整形光学系１２１は、例えば、複数のシリンドリカルレンズを含むビームエクスパンダ等を使用する。ビーム整形光学系１２１は、光源１１０からの平行光の断面形状の縦横比率を所定の値に変換する（例えば、断面形状を長方形から正方形にする）。ビーム整形光学系１２１は、本実施形態では、オプティカルインテグレーター１２４を照明するために必要な大きさ及び発散角を有する光束に整形する。

集光光学系１２２は、複数の光学素子を含み、ビーム整形光学系１２１で整形された光をオプティカルインテグレーター１２４に効率よく導光する。集光光学系１２２は、例えば、ズームレンズシステムを含み、オプティカルインテグレーター１２４に入射する光束の形状及び角度の分配を調整する。

偏光制御部１２３は、例えば、偏光素子を含み、投影光学系１４０の瞳面１４２と略共役な位置に配置される。偏光制御部１２３は、投影光学系１４０の瞳面１４２に形成される有効光源の所定領域の偏光状態を制御する。

オプティカルインテグレーター１２４は、マスク１３０を照明する照明光を均一化し、入射光の角度分布を位置分布に変換して射出する機能を有する。オプティカルインテグレーター１２４は、例えば、入射面と射出面とがフーリエ変換の関係に維持されたハエの目レンズを使用する。なお、ハエの目レンズは、複数のロッドレンズ（即ち、微小レンズ素子）を組み合わせることによって構成される。但し、オプティカルインテグレーター１２４は、ハエの目レンズに限定されず、光学ロッド、回折格子、各組が直交するように配置されたシリンドリカルレンズアレイ板などを使用してもよい。

開口絞り１２５は、オプティカルインテグレーター１２４の射出面の直後の位置であって、投影光学系１４０の瞳面１４２に形成される有効光源と略共役な位置に配置される。開口絞り１２５の開口形状は、投影光学系１４０の瞳面に形成される光強度分布（即ち、有効光源）に相当する。換言すれば、開口絞り１２５は、有効光源を制御する。開口絞り１２５は、照明モードに応じて切り替え可能に構成される。なお、開口絞りを使用せずに、オプティカルインテグレーター１２４の前段に回折光学素子（ＣＧＨなど）やプリズム（円錐プリズムなど）を配置して有効光源を形成してもよい。

集光レンズ１２６は、オプティカルインテグレーター１２４の射出面近傍に形成される２次光源から射出して開口絞り１２５を通過した光束を集光し、折り曲げミラー１２７を介して、マスキングブレード１２８を均一に照明する。

マスキングブレード１２８は、マスク１３０と略共役な位置に配置され、複数の可動遮光板で構成される。マスキングブレード１２８は、投影光学系１４０の有効面積に対応する略矩形形状の開口を形成する。マスキングブレード１２８を通過した光束は、マスク１３０を照明する照明光として使用される。

結像レンズ１２９は、マスキングブレード１２８の開口を通過した光束をレチクル３０に結像させる。

マスク１３０は、上述した処理装置１（マスク作成プログラム）によって生成されたマスクデータに基づいてＥＢ描画装置等のマスク作成装置により作成され、転写すべき回路パターンと補助パターンとを有する。なお、マスク１３０のパターンには、上述のマスク作成プログラムによって作成されたマスクのパターン以外のパターンを含んでいても良い。マスク１３０は、マスクステージ１３５に支持及び駆動される。マスク１３０から発せられた回折光は、投影光学系１４０を介して、ウエハ１５０に投影される。マスク１３０とウエハ１５０とは、光学的に共役の関係に配置される。露光装置１００はステップ・アンド・スキャン方式の露光装置であるため、マスク１３０とウエハ１５０とを同期走査することによって、マスク１３０の転写すべき回路パターンをウエハ１５０に転写する。なお、露光装置１００がステップ・アンド・リピート方式の露光装置であれば、マスク１３０とウエハ１５０とを静止させた状態で露光する。

マスクステージ１３５は、マスクチャックを介してマスク１３０を支持し、図示しない駆動機構に接続されている。図示しない駆動機構は、例えば、リニアモーターなどで構成され、Ｘ軸方向、Ｙ軸方向、Ｘ軸方向及び各軸の回転方向にマスクステージ１３５を駆動する。なお、マスク１３０又はウエハ１５０の面内で走査方向をＹ軸、それに垂直な方向をＸ軸、マスク１３０又はウエハ１５０の面に垂直な方向をＺ軸とする。

投影光学系１４０は、マスク１３０の回路パターンをウエハ１５０に投影する光学系である。投影光学系１４０は、屈折系、反射屈折系、或いは、反射系を使用することができる。投影光学系１４０の最終レンズ（最終面）には、液体供給回収部１６０から供給される液体ＬＷによる影響を低減（保護）するためのコーティングが施されている。

ウエハ１５０は、マスク１３０の回路パターンが投影（転写）される基板である。但し、ウエハ１５０は、ガラスプレートやその他の基板に置換することもできる。ウエハ１５０には、レジストが塗布されている。

ウエハステージ１５５は、ウエハ１５０を支持し、マスクステージ１３５と同様に、リニアモーターを利用して、Ｘ軸方向、Ｙ軸方向、Ｚ軸方向及び各軸の回転方向にウエハ１５０を移動させる。

液体供給回収部１６０は、投影光学系１４０の最終レンズ（最終面）とウエハ１５０との間の空間に液体ＬＷを供給する機能を有する。また、液体供給回収部１６０は、投影光学系１４０の最終レンズとウエハ１５０との間の空間に供給された液体ＬＷを回収する機能を有する。液体ＬＷには、露光光に対して高い透過率を有し、投影光学系１４０（の最終レンズ）に汚れを付着させず、レジストプロセスとのマッチングがよい物質を選択する。

主制御システム１７０は、ＣＰＵやメモリを有し、露光装置１００の動作を制御する。例えば、主制御システム１７０は、マスクステージ１３５、ウエハステージ１５５及び液体供給回収部１６０と電気的に接続し、マスクステージ１３５とウエハステージ１５５との同期走査を制御する。また、主制御システム１７０は、露光時のウエハステージ１５５の走査方向及び速度などに基づいて、液体ＬＷの供給と回収、或いは、停止の切り替えを制御する。更に、主制御システム１７０には、上述の実施例における有効光源の情報が入力され、開口絞りや回折光学素子、プリズム等を制御して、有効光源を形成する。なお、有効光源の情報の入力は、ユーザーによって入力されてもよいし、処理装置１と露光装置１００をデータ通信可能に接続して、処理装置１から有効光源の情報を露光装置１００に送信することによって行っても良い。処理装置１と露光装置１００をデータ通信可能に接続する場合は、露光装置１００に周知のデータ受信手段を備え、処理装置１には周知のデータ送信手段を備える。

上述した処理装置１としては、露光装置１００の外部に配置されたコンピュータを用いることができるが、主制御システム１７０が上述した処理装置１の機能を備えることもできる。その場合、主制御システム１７０によって、Ｐ演算子を用いてウエハ面に形成される光強度分布（空中像）をより短い時間で算出することができる。換言すれば、主制御システム１７０は、部分コヒーレント結像計算の計算速度を向上させ、モデルベース超解像技術にかかる時間を短縮することができる。従って、露光装置１００においては、露光条件の最適化（例えば、マスク１３０に対する有効光源の最適化）を短時間で行うことができ、スループットを向上させることができる。また、主制御システム１７０は、Ｐマップを用いて、従来よりも結像性能に優れたマスクデータを生成することもできる。マスク１３０は、
露光において、光源１１０から発せられた光束は、照明光学系１２０によりマスク１３０を照明する。マスク１３０を通過して回路パターンを反映する光束は、投影光学系１４０により、液体ＬＷを介してウエハ１５０に結像される。露光装置１００は、優れた結像性能を有し、高いスループットで経済性よくデバイス（半導体素子、ＬＣＤ素子、撮像素子（ＣＣＤなど）、薄膜磁気ヘッドなど）を提供することができる。

図２７及び図２８を参照して、露光装置１００を利用したデバイス製造方法の実施例を説明する。図２７は、デバイス（ＩＣやＬＳＩなどの半導体チップ、ＬＣＤ、ＣＣＤ等）の製造を説明するためのフローチャートである。ここでは、半導体チップの製造を例に説明する。ステップ１（回路設計）では、デバイスの回路設計を行う。ステップ２（マスク製作）では、設計した回路パターンを形成したマスクを製作する。具体的には、処理装置１によって生成されたマスクデータに基づいてマスクを製作する。ステップ３（ウエハ製造）では、シリコンなどの材料を用いてウエハを製造する。ステップ４（ウエハプロセス）は、前工程と呼ばれ、レチクルとウエハを用いてリソグラフィー技術によってウエハ上に実際の回路を形成する。ステップ５（組み立て）は、後工程と呼ばれ、ステップ４によって作成されたウエハを用いて半導体チップ化する工程であり、アッセンブリ工程（ダイシング、ボンディング）、パッケージング工程（チップ封入）等の工程を含む。ステップ６（検査）では、ステップ５で作成された半導体デバイスの動作確認テスト、耐久性テストなどの検査を行う。こうした工程を経て半導体デバイスが完成し、これが出荷（ステップ７）される。

図２８は、ステップ４のウエハプロセスの詳細なフローチャートである。ステップ１１（酸化）では、ウエハの表面を酸化させる。ステップ１２（ＣＶＤ）では、ウエハの表面に絶縁膜を形成する。ステップ１３（電極形成）では、ウエハ上に電極を蒸着などによって形成する。ステップ１４（イオン打ち込み）では、ウエハにイオンを打ち込む。ステップ１５（レジスト処理）では、ウエハに感光剤を塗布する。ステップ１６（露光）では、露光装置１００によってレチクルの回路パターンをウエハに露光する。ステップ１７（現像）では、露光したウエハを現像する。ステップ１８（エッチング）では、現像したレジスト像以外の部分を削り取る。ステップ１９（レジスト剥離）では、エッチングが済んで不要となったレジストを取り除く。これらのステップを繰り返し行うことによってウエハ上に多重の回路パターンが形成される。かかるデバイス製造方法によれば、高品位のデバイスを高いスループットで製造することができる。このように、露光装置１００を使用するデバイス製造方法、並びに結果物としてのデバイスも本発明の一側面を構成する。

以上、本発明の好ましい実施形態について説明したが、本発明はこれらの実施形態に限定されないことはいうまでもなく、その要旨の範囲内で種々の変形及び変更が可能である。

Claims (4)

1. 物体面に配置された物体の像を像面に投影する投影光学系における相互透過係数をコンピュータに算出させるプログラムであって、
   前記コンピュータに、
   前記投影光学系の瞳面に形成される有効光源を複数の点光源に分割する分割ステップと、
   前記複数の点光源のそれぞれについて、前記点光源の位置に応じて前記投影光学系の瞳を示す瞳関数をシフトすることによって、該シフトされた複数の瞳関数を生成する生成ステップと、
   前記生成ステップで生成された前記複数の瞳関数に基づいて、前記相互透過係数を算出する算出ステップと、
   を実行させることを特徴とするプログラム。
2. 前記コンピュータに、前記算出ステップにおいて算出された前記相互透過係数を表す行列を特異値展開して固有値及び固有関数を算出するステップを更に実行させることを特徴とする請求項１に記載のプログラム。
3. 前記生成ステップでは、前記投影光学系の瞳における中心位置と前記点光源の位置との差分だけ前記瞳関数をシフトすることを特徴とする請求項１に記載のプログラム。
4. 物体面に配置された物体の像を像面に投影する投影光学系における相互透過係数をコンピュータによって算出する算出方法であって、
   前記投影光学系の瞳面に形成される有効光源を複数の点光源に分割する分割ステップと、
   前記複数の点光源のそれぞれについて、前記点光源の位置に応じて前記投影光学系の瞳を示す瞳関数をシフトすることによって、該シフトされた複数の瞳関数を生成する生成ステップと、
   前記生成ステップで生成された前記複数の瞳関数に基づいて、前記相互透過係数を算出する算出ステップと、
   を有することを特徴とする算出方法。