JP2010007801A - 円筒面３方向螺旋相互分割方法 - Google Patents
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Abstract
【課題】円筒上の２点間を最短距離で結ぶ螺旋を利用して、異なる螺旋の交差によって円筒面を合同な三角形領域に分割する方法を確立する。
【解決手段】円筒軸に対する該円筒面上の任意の赤道円周を少なくとも３等分割する３種の始点群から、該円筒面上に任意の回転方向で該円筒面に対して対称的に一定の螺旋周期を伴った３種の螺旋群の軌跡１０，２０，３０を描き、該３種の螺旋群の各螺旋１０，２０，３０が該円筒面上で互いに３回づつ交差することによって螺旋３方向格子Ｇ１，Ｇ２，Ｇ３と螺旋３方向格子点Ｇを形成し、該３種の螺旋群からなる該螺旋３方向格子で囲まれた最小限で合同な円筒面状三角形Ａ１，Ａ２に完全に分割され、任意の該螺旋格子点Ｇに集まる６個の該合同な円筒面状三角形Ａ１，Ａ２の面角の総和がつねに３６０度になる円筒状螺旋多面体および螺旋多頂点体などを形成するための円筒面３方向螺旋相互分割方法を数学的、構造的に一般化する。
【選択図】図５
【解決手段】円筒軸に対する該円筒面上の任意の赤道円周を少なくとも３等分割する３種の始点群から、該円筒面上に任意の回転方向で該円筒面に対して対称的に一定の螺旋周期を伴った３種の螺旋群の軌跡１０，２０，３０を描き、該３種の螺旋群の各螺旋１０，２０，３０が該円筒面上で互いに３回づつ交差することによって螺旋３方向格子Ｇ１，Ｇ２，Ｇ３と螺旋３方向格子点Ｇを形成し、該３種の螺旋群からなる該螺旋３方向格子で囲まれた最小限で合同な円筒面状三角形Ａ１，Ａ２に完全に分割され、任意の該螺旋格子点Ｇに集まる６個の該合同な円筒面状三角形Ａ１，Ａ２の面角の総和がつねに３６０度になる円筒状螺旋多面体および螺旋多頂点体などを形成するための円筒面３方向螺旋相互分割方法を数学的、構造的に一般化する。
【選択図】図５
Description
この発明は、航空機用構造物、建築用構造物、超軽量シェルターや容器、ワイヤーロープなどに使用される円筒面を３種の螺旋群の交差によって総三角形化して、より軽量で剛性と強度のある螺旋構造体に変換するための円筒面分割方法に関するものである。
航空機や建築用の軽量構造体として円筒面を総三角形化する開発は、１９５１年吉村慶丸による金属の円筒面を軸方向に直接圧縮したときに生じる吉村パターンの発見から始まった。薄肉の円筒が座屈した「概不伸張有限変形」は、明解に視覚化された自然の原理であり航空機の胴体などを軽量化するために応用できると考えられた。その後１９５７年、米国の建築家バックミンスター・フラーによって当時最大規模を誇ったユニオンタンカーの巨大ジオデシックドームに接続する入口用の総三角形化された半円筒状の軽量のフレーム構造体として発展してきた。
この同じ構造パターンは、レンゾ・ピアノによって１９６６年、ローマのポメツィアのイオウ採掘工場用にダイヤモンドパネルを折り曲げた同型ユニットを連続させて総三角形化された半円筒系多面体は、移設可能な軽量の移動用建築用構造体として採用された。１９６１年ロケットのボディの剛性を向上させるために意図的に円筒面を三角形化する「PCCPシェル」（Pseudo-Cylindrical-helix Concave Polyhedral Shellが開発された。「PCCPシェル」は平面での山折りと谷折りのある三角形パターンを疑似円筒面に変換したものである。
さらに１９８０年代からその理論は飲料用金属缶に応用され、使用する金属の厚みを劇的に軽減しながら、剛性と強度を向上させる技術として発展してきた。この飛躍的な機能は、薄肉の金属円筒を軸方向に圧縮すると赤道円周に形成される正多角形が互い違いに周期的に積み上げられて総三角形化されたパターンが発生し、構造体を形成することに起因する。円筒材料の変形時に展延を生じない「等長変換」という山折りと谷折りの総三角形化による円筒の構造化は、円筒面の円周方向に周期的に凹凸のある円筒系多面体を形成して優れた力学的安定性をもたらす。この円筒から円筒系多面体への「等長変換」は、円筒面の表面積を一定にして円筒の体積と長さを変化させる作用を伴っている。これらの吉村パターンから始まった「等長変換」されたすべての構造には、２つの合同な三角形が菱形を形成し、その対角線が円周方向に周期的にかつ円筒軸に対して等間隔に多角形リング状の谷折り線を連続的に構成しているのが特徴である。
一方、１９６０年代にR.B.フラーは、複数の正４面体を正三角形で相互に連続的に結合させた結果、螺旋柱状体テトラヒリクス（Teterahelix）を構成することを発見した。テトラヒリクスは３本の連続した平行な三角形の帯が中心軸に対して回転対称的に捩じれながら形成される最小限の螺旋柱状体を構成する。このR.B.フラーのテトラヒリクスのように、同型の多面体のユニットを軸方向に連続的に形成する他の螺旋柱状体として、正８面体を連続させて形成できるオクタヒリクス（octahelix）や正２０面体の赤道部のみを連続的に結合させたイコサヒリクス（icosahelix）などが公知である。これらの螺旋柱状体は「PCCPシェル」と同じように平行な正多角形リングの谷折線が円筒軸に対して等ピッチで平行に形成されている。これはテトラヒリクスにはない特徴であるが、テトラヒリクスやオクタヒリクス、イコサヒリックスに共通した名称のように、螺旋（helix）が介在して形成される構造体として分類できる。
テトラヒリクスやオクタヒリクス、イコサヒリクスの螺旋（helix）を形成する同型ユニットからなる帯状に連続した稜線部は、中心軸に対して連続した平行な稜線の捻れがテトラヒリクスにおいては３本、オクタヒリクスでは６本、イコサヒリクスでは１０本が形成される。各稜線は中心軸に対して対称的に右または左に旋回しながら連続的に螺旋を形成する。これらの直線からなる螺旋群は互いに同一の螺旋周期をもつ。実際、テトラヒリクスはR.B.フラーによると別名tetrahelical waveまたはhyperbolic-parabolic、 helical columnであり、この螺旋柱状体（ a straight、 prismatic、 three-edged、 triangular-based column）の稜線は３本の螺旋をもった３重螺旋柱状体として考察されている。前述した「PCCPシェル」の定義とは区別できる概念である。
また本発明者による別の多角柱状構造体（特公平７−３０８７２）には、最小限のこのテトラヒリクス以外の螺旋柱状構造体を形成する一般化された他の無数に存在する総三角形化された多角柱状構造体を再現するために、方向が異なった３種の平行線が互いに交差して形成される三角形の編目（3way-grid）に山折りと谷折りの折り曲げ溝を形成した平面の展開図から多角柱状構造体を構築する方法が述べられている。
ワイヤーロープの構造は、繊維心とロープの層が同心円状部に分離され、普通撚り（Ordinary lay,regular lay）の場合、ロープ全体の撚り方向とロープを構成するストランドの撚り方向とが逆方向に撚られている。平行撚りは（Parallel Lay または Equal Lay）は、各素線の接触状態から線接触より（Linear Contact Lay）とも呼ばれている。
平行撚りは、ストランドの下層素線の谷間に上層素線ができるだけ隙間なく重なるように素線を配置させるために、それぞれ異なる径の素線を同時に撚ったもので、各層の素線は同一ピッチになって、線接触状態を維持している。_ワイヤーロープの構造は、異なった螺旋群を異なった同心円上に螺旋群同士の関係を線接触で交差させ平行な状態で線接触状態にしている。ワイヤーロープを設計する場合、各層の素線には物理的な径が存在するために、物理的に異なった同心円上には異なった螺旋周期が共存しているにも関わらず、主に同心円上の各螺旋群の断面から経験的実験的に設計されていた。
（特開平５−１６９３５、特開平８−２６２８６）
特公平７−３０８７２
THE ARTIFACTＳ０F B.BUCKMINSTER FULLER A Garland Seriess 1985 東京大学理工学研究所報告1951年11月号
都市と建築a+u「レンゾ・ピアノ」 1989年3月号
『Synergetics』Macmillan Publishing
『コズモグラフィー』バックミンスター・フラー著（梶川泰司訳） 白揚社 2007年
平行撚りは、ストランドの下層素線の谷間に上層素線ができるだけ隙間なく重なるように素線を配置させるために、それぞれ異なる径の素線を同時に撚ったもので、各層の素線は同一ピッチになって、線接触状態を維持している。_ワイヤーロープの構造は、異なった螺旋群を異なった同心円上に螺旋群同士の関係を線接触で交差させ平行な状態で線接触状態にしている。ワイヤーロープを設計する場合、各層の素線には物理的な径が存在するために、物理的に異なった同心円上には異なった螺旋周期が共存しているにも関わらず、主に同心円上の各螺旋群の断面から経験的実験的に設計されていた。
このように円筒面を円筒軸方向に直接圧縮して「吉村パターン」を形成する方法か、あるいは「PCCPシェル」や展開図から多種の多角柱状構造体を形成できるが、それ以外の方法によって円筒から直接必要とする多角柱状構造体を正確に確実に形成することは困難であった。前記の螺旋柱状体および多角柱状構造体（Helical column）を含む螺旋多頂点体（Helical polyvertexia）を形成するために、円筒面を直接的に面分割する数学的概念に基づいた方法は開発されなかったので、円筒面の総三角形化による構造の安定化にはごく限られたパターンしか選択できなかった。またそれによって「PCCPシェル」や多角柱状構造体の形態デザインにおいて、円筒面を総三角形化した構造体が必要とする様々な方向からの応力分散に最適な構造とパターンの選択肢に限りがあった。
さらに、螺旋に太さを与えたワイヤーロープなどの設計において、異なった同心円上に分離された各螺旋群の中心軌跡を統合するための３次元的な立体交差の設計は困難であった。
さらに、螺旋に太さを与えたワイヤーロープなどの設計において、異なった同心円上に分離された各螺旋群の中心軌跡を統合するための３次元的な立体交差の設計は困難であった。
本発明は、従来のように平面の展開図を経由させずに安定した構造システムである円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）や螺旋多頂点体（Helical polyvertexia）をより簡単に形成するために、円筒面の完全な総三角形分割が可能な円筒面分割方法を提供することを目的としている。また４面体（tetrahedron）を面的に接合させて連続的な螺旋体を形成する従来のテトラヒリクス(Teterahelix)とは明らかに異なる、異なった３種の螺旋群の軸回転操作のみで形成する円筒面３方向螺旋相互分割方法を提供することを目的としている。言い換えれば、円筒面に対しては、球面に対してジオデシック数学が完全な総三角形化のための球面分割法として開発されたように、総三角形化のための一般化された分割法は確立されてこなかった。
球面上の２点間の最短距離はジオデシックラインであり、球の大円はジオデシックラインである。本発明者は、最小限の３本の大円が回転対称的に互いに交差して総三角形化する球面の３方向格子（Spherical three-way grid）が球状正８面体の球面分割を形成するように、円筒面上の一つの円周から異なった３方向に成長する３種の螺旋群が円筒面上で互いに交差して総三角形化する円筒面の３方向格子（Cylindrical three-way grid）を形成する場合、該円筒面の３方向格子上の隣り合う格子を互いに結ぶ螺旋パターンはすべて最短距離であることに注目した。このことから本発明者は、円筒面上の２点間の最短距離は螺旋曲線であり、合同に分割されたすべての円筒状三角形同士の境界線は、常に異なった連続する最短距離を表す３種の螺旋群から構成されることを発見した。また本発明者は、球面と球面に内接する球系多面体との間には球面過剰（球面三角形の内角の和と平面三角形の内角の和の差）が発生するが、円筒面と螺旋多面体との間には円筒面過剰は発生しないことから、円筒状三角形からなる円筒状多面体を該表面積と２頂点間距離を一定にした軸回転によって、三角形のみからなる螺旋多面体に変換できる「等面積・等長変換」を発見した。
本発明は、本発明者の上記の数学的発見である平面の展開図を使用しないで直接円筒面の任意の円周を等分割して３種の始点群を設けた円周の軸回転対称性を利用した３種の螺旋群が互いに円筒面上で交差して形成される円筒面の３方向格子（Cylindrical three-way grid）に基づいて、円筒面上に曲線からなる円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）または円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）、および上記円筒面３方向格子を直線状の３方向格子に変換した直線の螺旋からなる螺旋多面体（Helical polyhedron）または螺旋多頂点体（Helical polyvertexia）の４種の構造体を形成するための一般化された円筒面３方向螺旋相互分割方法を提供することを目的とする。円筒面３方向螺旋相互分割方法は、円筒における３種の螺旋群の対称的軸回転操作によって形成される、螺旋の相互の交差による円筒面の総三角形化である。
ジオデシックラインによって総三角形化されたジオデシックドームがもっとも経済的な関係を物質化したように、円筒面上の２点間の最短距離を結ぶ螺旋によって総三角形化する本発明による円筒面３方向螺旋相互分割方法は、もっとも経済的な関係を円筒状の螺旋構造物に反映できる。言い換えれば、円筒面を総三角形化する３種の螺旋群のシナジェティクス的操作は、構造の軽量化を飛躍的に向上させながら構造の剛性と強度をも劣化させることなく向上させることができる。
また本発明による最小限の３種の曲線からなる螺旋群から構成される円筒状螺旋多頂点体はそれ自体として安定した構造であるが、最終的にすべて直線からなる螺旋群から構成される螺旋多頂点体（Helical polyvertexia）に変換可能である。同時に円筒面と思われていた形態は、無数の３種の螺旋群の交差によって形成された総三角形化された超高分割の螺旋多頂点体（Super-high frequency helical polyvertexia）として認識できる。同じ観点からR.B.フラーによって最初に発見されたテトラヒリクスは本発明者による３種の螺旋群からなる超低分割の最小限の螺旋多頂点体（Super-low frequency helical polyvertexia）として再認識できる。言い換えれば、本発明による総三角形化された円筒状螺旋多頂点体に内接して形成される３種の直線からなる螺旋群から構成される最小限の螺旋多頂点体（Helical polyvertexia）および円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）の等面積・等長変換によって形成される螺旋多面体（Helical polyhedron）は、４面体（tetrahedron）を面的に接合させて連続的な螺旋柱状体を形成する従来の最小限のテトラヒリクス(Teterahelix)とは明らかに異なる。
このように３種の螺旋群による円筒面３方向螺旋相互分割方法は分割（Frequency）によって、超高分割化から超低分割化された無数の円筒状および円筒系の螺旋多面体と円筒状および円筒系の螺旋多頂点体の４種の構造体を提供できる。またそれによって、該螺旋多面体と該螺旋多頂点体の側壁にかかる様々な方向からの応力分散を予測できるので必要に応じてこれまでになく最適な形態を選択できる。
さらにまた本発明による互いに異なる３種の螺旋群によって形成される螺旋多頂点体において、３種の螺旋群を対称的に省略するための配置パターンから必要最小限の螺旋群の本数と円筒の正確な直径を予め決定することができるので、数千年以上の伝統があるアジアの竹籠の三つ網み（three-way grid）の構造とパターンに新たな円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）の構造とパターンを提供できる。
さらにまた本発明による円筒面３方向螺旋相互分割方法は円筒における螺旋による最短距離法なので、ワイヤーロープの構造とパターンの設計などにおいて、互いに異なる３種の螺旋群が異なる円筒面によって形成される複層または同心円筒型螺旋多頂点体の構造とパターンを提供できる。建築構造において複層化された同心円筒型螺旋多面体や螺旋多頂点体は、３種の螺旋群によって総三角形化された更なる力学的な構造安定性を提供できる。
本発明による総三角形化された円筒状螺旋多頂点体の最小限の基本形態は、螺旋周期がそれぞれ異なる右回転の螺旋３本の第１螺旋群と左回転の螺旋２本の第２の螺旋群とさらに右回転の螺旋１本からなる第３の螺旋群の計６本の３種の曲線からなる螺旋群によって形成できる（上記左右の回転の向きは、同時に反転可能である）。
次に、６本の螺旋からなるこの最小限の円筒状螺旋多頂点体は、合同な円筒面状三角形の表面積を一定にしかつ上記螺旋３方向格子（Helical 3way-grid）の格子間の長さをそれぞれ一定に維持した状態で、該３種の螺旋群のうち２種の螺旋群がそれぞれ異なった一定の山折りの二面角（dihedral angle）をもった連続した複数の直線からなる螺旋に変換すると同時に、同様に残りの一種の螺旋群を、一定の谷折りの二面角をもった連続した複数の直線からなる螺旋に変換することによって、円筒状螺旋多頂点体全体に動力学的な円筒軸回転運動（トルク）が発生して、２種の山折り螺旋群と１種の谷折り螺旋群からなる計３種の直線からなる螺旋群が互いに交差した正三角形のみからなる最小限の螺旋多頂点体(Helical polyvertexia)に完全に変換できる。変換によって円筒の半径は拡大し、その長さ方向に収縮するが、オリジナルの円筒の表面積は一定である。
円筒面３方向螺旋相互分割方法において同一の３種の螺旋群と同一の螺旋三方向格子点を使用した場合に形成される円筒状と円筒系の螺旋多頂点体の２つの形態間には、互いに動的な相互変換が存在する。本発明による円筒状螺旋多頂点体は、つねにもう一つの円筒系の螺旋多頂点体に連続的に相互に変換可能である。円筒の表面積を一定にしかつ隣り合う３方向格子点間の距離一定に維持できるのは、この円筒面３方向螺旋相互分割方法のもっとも基本的で動的なトポロジー変換である。
実施例を図面に基づいて説明すれば次の通りである。
図２、図３および図４は、図１に示す円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）１１０と図５に示す円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）１１２を形成するための本発明の円筒面３方向螺旋相互分割方法による３種の螺旋群の軸回転操作法を示した実施例である。総三角形化された面分割パターンと円周分割パターンを形成するための螺旋の軸回転操作法を螺旋周期が異なる３種の螺旋群ごとに分解して説明する。
図２において円筒軸xに対する円筒面上の任意の赤道円周Ｃを任意の始点Ｓで３等分割する第１の始点群の各始点Ｓ、Ｓａ１、Ｓａ２から、円筒面上に左回転方向Ｌで一定の螺旋周期を伴った第１の螺旋群として３本の軌跡１０、１１、１２を描き、赤道円周Ｃを第１の始点群と共有する始点Ｓで２等分割する新たな第２の始点群の各始点Ｓ、Ｓｂ１から、第１の螺旋群とは反対の右回転方向Ｒで、第１の螺旋群とは螺旋周期が異なり、第１の螺旋数よりも１本少ない２本の螺旋の軌跡２０、２１を第２の螺旋群として描く。さらに、第１の螺旋群の軌跡１０と第２の螺旋群の軌跡２０との共有始点Ｓで赤道円周Ｃを１等分割する第３の始点Ｓｃ１から、第１の螺旋群と同じ左回転方向Ｌで螺旋周期が第１と第２の螺旋群とは異なり、螺旋数が第１の螺旋群と第２の螺旋群との差に等しい１本の螺旋の軌跡３０を第３の螺旋として描く。
図２、図３および図４は、図１に示す円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）１１０と図５に示す円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）１１２を形成するための本発明の円筒面３方向螺旋相互分割方法による３種の螺旋群の軸回転操作法を示した実施例である。総三角形化された面分割パターンと円周分割パターンを形成するための螺旋の軸回転操作法を螺旋周期が異なる３種の螺旋群ごとに分解して説明する。
図２において円筒軸xに対する円筒面上の任意の赤道円周Ｃを任意の始点Ｓで３等分割する第１の始点群の各始点Ｓ、Ｓａ１、Ｓａ２から、円筒面上に左回転方向Ｌで一定の螺旋周期を伴った第１の螺旋群として３本の軌跡１０、１１、１２を描き、赤道円周Ｃを第１の始点群と共有する始点Ｓで２等分割する新たな第２の始点群の各始点Ｓ、Ｓｂ１から、第１の螺旋群とは反対の右回転方向Ｒで、第１の螺旋群とは螺旋周期が異なり、第１の螺旋数よりも１本少ない２本の螺旋の軌跡２０、２１を第２の螺旋群として描く。さらに、第１の螺旋群の軌跡１０と第２の螺旋群の軌跡２０との共有始点Ｓで赤道円周Ｃを１等分割する第３の始点Ｓｃ１から、第１の螺旋群と同じ左回転方向Ｌで螺旋周期が第１と第２の螺旋群とは異なり、螺旋数が第１の螺旋群と第２の螺旋群との差に等しい１本の螺旋の軌跡３０を第３の螺旋として描く。
次に図３、図４および図５において、異なる３種の螺旋群の交差によって円筒面が漸次的に総三角形化される過程を説明する。図３において、螺旋周期が異なる該３種の螺旋群のうち、第１の螺旋群の軌跡１０、１１、１２と第２の螺旋群の軌跡２０、２１が２回づつ交差することによって螺旋２方向格子点Ｇ′と螺旋２方向格子Ｇ１′、Ｇ２′が形成され、図４に示す円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）１１１のように螺旋２方向格子Ｇ１′、Ｇ２′で囲まれた最初の円筒面分割領域としてすべて合同な円筒面状平行四辺形Ｐ１（図中に斜線で示した領域）を形成する。図５に示すように、第３の螺旋群の軌跡３０がＰ１の対向する２組の螺旋２方向格子点間の内短い螺旋２方向格子点間を合同な２つの円筒面状三角形Ａ１およびＡ２に分割するように最短距離の螺旋対角線の軌跡を描きながら連続的に通過する。その結果、赤道円周Ｃをそれぞれ等分割する該第１、第２および第３の３種の始点群から螺旋周期と回転方向が互いに異なる３種の螺旋群の各軌跡が円筒面上で互いに３回づつ交差することによって螺旋３方向格子（Helical 3way-grid）Ｇ１、Ｇ２、Ｇ３と螺旋３方向格子点Ｇを形成し、最終的に円筒面が該３種の螺旋群からなる該螺旋３方向格子で囲まれた最小限で合同な円筒面状三角形Ａ１またはＡ２に完全に分割され、任意の螺旋格子点Ｇに集まる６個の該合同な円筒面状三角形の面角の総和がつねに３６０度になる該螺旋３方向格子を稜線とし該螺旋格子点を頂点とする円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）１１２を示す。
螺旋の三次元的な複雑な立体交差を簡略して説明するために、総三角形化された円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）１１２は、円筒面を不透明な面として表しているが、サーフィス・モデル（面モデル）から面的な要素を除去しても構造として自律する図１に示すワイヤーフレーム・モデルの円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）１１０を形成してもよい。これらの円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）１１０と円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）１１２は、本発明による円筒面三方向螺旋相互分割法によって形成される総三角形化された最小限の円筒状螺旋構造システムである。
このように、異なる３種の螺旋群からなる最小限６本の螺旋によって形成される円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）１１０および円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）１１２は、１分割（１Frequency）の円筒状テトラヒリクス（Cylindrical-helix １Ｆ Teterahelix；６=３、２、１）として表記され、総三角形化される分割パターンを分割数（Frequency）と３種の螺旋群の各構成数とそれらの総数のみで本質的に分類できる（螺旋総数６本＝第１の曲線からなる螺旋３本＋第２の曲線からなる螺旋２本＋第３の曲線からなる螺旋１本）。この表記システムから、円筒面を総三角形化する３種の螺旋群において、最も多い螺旋群の螺旋数は、他の２種のより少ない螺旋群の螺旋数の合計に等しく、以下に述べるすべての実施例においても例外がない。
図６は、円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）１１３から図７に示す螺旋多面体（Helical polyhedron）１１４を形成するための本発明の円筒面３方向螺旋相互分割方法による３種の螺旋群による別の操作法を示した実施例である。円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）１１３の３種の螺旋群から同一種の各螺旋上で隣り合うすべての円筒上の各螺旋３方向格子点間を互いに最短距離で結んで連続的に形成される曲線からなる螺旋３方向格子Ｇ１、Ｇ２、Ｇ３を、円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）１１３の螺旋３方向格子点Ｇを介在して内接させながら最短距離で総三角形化する直線からなる螺旋３方向格子ｇ１、ｇ２、ｇ３に変換し、新たな稜線とした総三角形化された螺旋多面体（Helical polyhedron）１１４を形成する。図６と図７に示す螺旋多面体（Helical polyhedron）１１４の一方の端部は、円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）１１３の螺旋３方向格子点Ｇを介して螺旋３方向格子Ｇ１、Ｇ２、Ｇ３と螺旋３方向格子ｇ１、ｇ２、ｇ３の内接関係を立体的に示すために円周上の始点Ｓ以外の始点群を含む三角形は部分的に省略して示している。
図６に示す円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）１１３は円筒面上に異なる３種の曲線からなる螺旋群の軸回転操作によって連続的に互いに交差して螺旋３方向格子Ｇ１、Ｇ２、Ｇ３と螺旋格子点Ｇが形成されるが、螺旋多面体（Helical polyhedron）１１４においては、円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）１１３が形成した各螺旋格子点Ｇを介しながら、異なる３種の直線のみからなる螺旋が連続的に互いに交差することによって円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）１１３に内接する螺旋３方向格子ｇ１、ｇ２、ｇ３が形成される。図７に単独に取り出した螺旋多面体（Helical polyhedron）１１４を示す。図６における３種の曲線からなる第１の螺旋群の軌跡１０、１１、１２、と第２の螺旋群の軌跡２０、２１および第３の螺旋の軌跡３０は、図７における直線からなる３種の連続した第１の螺旋群の軌跡１０′、１１′、１２′と第２の螺旋群の軌跡２０′、２１′および第３の螺旋の軌跡３０′にそれぞれ変換される。このように軸回転操作によらない曲線からなる３種の螺旋群を直線からなる３種の螺旋群へと変換する場合、曲線からなる第１及び第２の螺旋群はそれぞれ異なった一定の山折りの二面角（dihedral angle）をもった連続した複数の直線からなる螺旋に変換されると同時に、同様に第３の螺旋群を、一定の谷折りの二面角をもった連続した複数の直線から成る螺旋に変換されている。さらに螺旋３方向格子ｇ１、ｇ２、ｇ３によってサーフィス・モデルとして形成される螺旋多面体（Helical polyhedron）１１４において、図５に示される合同な円筒面状三角形Ａ１、およびＡ２は、円筒面への内接によって形成される合同な平面状三角形Ｂ１およびＢ２に変換されると該各円筒面状三角形の面積は縮小されるが、各螺旋格子点Ｇを共有する６個の合同な平面状三角形Ｂ１およびＢ２の面角の総和は、つねに３６０度で一定に形成される。球面と球面に内接する球系多面体との間には球面過剰（球面三角形の内角の和と平面三角形の内角の和の差）が発生するが、円筒面と螺旋多面体との間には円筒面過剰は発生しない。
図８に示す螺旋多頂点体（Helical polyvertexia）１１５は、図７に示す螺旋多面体（Helical polyhedron）１１４のサーフィス・モデルから面的な要素を除去しても構造として自律するワイヤーフレーム・モデルであり、本発明の円筒面３方向螺旋相互分割方法によって形成される総三角形化された最小限の螺旋多頂点体であるテトラヒリクスである。直線からなる３種の螺旋群である第１の螺旋１０′、１１′、１２′と第２の螺旋２０′、２１′および第３の螺旋３０′はそれぞれ連続した螺旋であり、各螺旋３方向格子点Ｇは球状格子点として表している。
このように、異なる３種の螺旋群が直線からなる最小限６本の螺旋によって形成される螺旋多面体（Helical polyhedron）１１４および螺旋多頂点体（Helical polyvertexia）１１５は、１分割（Frequency）の螺旋多面体テトラヒリクス（Helical １Ｆ Teterahelix；６=３、２、１）として表記され、直線によって総三角形化される分割パターンを分割数（Frequency）と３種の螺旋群の構成数とそれらの総数のみで本質的に分類できる。回転方向が異なった３種の直線からなる螺旋群が螺旋多面体（Helical polyhedron）および螺旋多頂点体（Helical polyvertexia）を形成する場合、もっとも螺旋数が少ない螺旋群はつねに一定の谷折りの二面角をもった連続した複数の直線から成る螺旋を形成することには例外がない。
図１０および図１１は、図９に示す円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）１２０を形成するための本発明の円筒面３方向螺旋相互分割方法による３種の螺旋群の軸回転操作方法を示した他の実施例である。総三角形化された面分割パターンと円周分割パターンを形成するための螺旋の軸回転操作法を螺旋周期が異なる３種の螺旋群ごとに分解して説明する。図１０において円筒軸xに対する円筒面上（円筒の側面は省略して示している）の任意の赤道円周Ｃを任意の始点Ｓで６等分割する第１の始点群の各始点Ｓ、Ｓａ１、Ｓａ２、Ｓａ３、Ｓａ４、Ｓａ５から、円筒面上に左回転方向Ｌで一定の螺旋周期を伴った第１の螺旋群として６本の軌跡１０、１１、１２、１３、１４、１５を描き、赤道円周Ｃを第１の始点群と共有する始点Ｓで４等分割する新たな第２の始点群の各始点Ｓ、Ｓｂ１、Ｓｂ２、Ｓｂ３から、第１の螺旋群とは反対の右回転方向Ｒで、第１の螺旋群とは螺旋周期が異なり、第１の螺旋数よりも２本少ない４本の螺旋の軌跡２０、２１、２２、２３を第２の螺旋群として描く。さらに、第１の螺旋群の軌跡１０と第２の螺旋群の軌跡２０との共有始点Ｓで赤道円周Ｃを２等分割する第３の始点Ｓ、Ｓｃ１から、第１の螺旋群と同じ左回転方向Ｌで螺旋周期が第１と第２の螺旋群とは異なり、螺旋数が第１の螺旋と第２の螺旋との差に等しい２本の螺旋の軌跡３０、３１を第３の螺旋群として描く。
次に、図１１において異なる３種の螺旋群の交差によって円筒面が漸次的に総三角形化される過程を説明する。螺旋周期が異なる該３種の螺旋群のうち、第１の螺旋群の軌跡１０、１１、１２、１３、１４、１５と第２の螺旋群の軌跡２０、２１、２２、２３が２回づつ交差することによって螺旋２方向格子点Ｇ′（図示しない）と螺旋２方向格子Ｇ１′、Ｇ２′が形成され、螺旋２方向格子Ｇ１′、Ｇ２′（図示しない）で囲まれた最初の円筒面分割領域としてすべて合同な円筒面状平行四辺形Ｐ２（図中に斜線で示した領域）を形成し、各第３の螺旋群３０、３１がＰ２の対向する２組の螺旋２方向格子点間の内短い螺旋２方向格子点間を合同な２つの円筒面状三角形Ａ３およびＡ４に分割するように最短距離の螺旋対角線の軌跡を描きながら連続的に通過する。その結果、該赤道円周をそれぞれ等分割する該第１、第２および第３の３種の始点群から螺旋周期と回転方向が互いに異なる該３種の螺旋群の各螺旋が該円筒面上で互いに３回づつ交差することによって螺旋３方向格子（Helical 3way-grid）Ｇ１、Ｇ２、Ｇ３と螺旋３方向格子点Ｇを形成し、最終的に該円筒面が該３種の螺旋群からなる該螺旋３方向格子で囲まれた最小限で合同な円筒面状三角形Ａ３とＡ４に完全に分割され、任意の螺旋３方向格子点Ｇに集まる６個の該合同な円筒面状三角形の面角の総和がつねに３６０度になる該螺旋３方向格子を稜線とし該螺旋格子点を頂点とする円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）１２１を形成する。
このように、円周の周期的で対称的な分割によって形成される３種の始点群に連動して増加する３種の螺旋群からなる円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）１２０または円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）１２１は、図１に示す円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）１１０または図５に示す円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）１１２の各螺旋３方向格子間を２等分割に細分化して増加する螺旋３方向格子点Ｇと螺旋３方向格子（Helical 3way-grid）Ｇ１、Ｇ２、Ｇ３から形成され、細分化して増加する異なる３種の螺旋群が互いに交差することで円筒面上により細分化されて総三角形化される面分割領域のパターンを構築する。
螺旋の三次元的な複雑な立体交差を簡略して説明するために、総三角形化された円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）１２１は、円筒面を不透明な面として表しているが、サーフィス・モデル（面モデル）から面的な要素を除去しても構造として自律する図９に示す円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）１２０に形成してもよい。
異なる３種の螺旋群からなる１２本の螺旋によって形成される円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）１２０および円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）１２１は、２分割（２Frequency）の円筒状テトラヒリクス（Cylindrical-helix ２Ｆ Teterahelix；１２=６、４、２）として表記され総三角形化される分割パターンを分割数（Frequency）と３種の螺旋の各構成数とそれらの総数のみで本質的に分類できる。（螺旋総数１２本＝曲線からなる第１の螺旋６本＋曲線からなる第２の螺旋４本＋曲線からなる第３の螺旋２本）この表記システムから、円筒面を総三角形化する３種の螺旋群において、最も多い螺旋群の螺旋数は、他の２種のより少ない螺旋群の螺旋数の合計に等しい。
図１２は、円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）１２２から図１３に単独で示す螺旋多面体（Helical polyhedron）１２３を形成するための本発明の円筒面３方向螺旋相互分割方法による３種の螺旋群の別の操作法を示した実施例である。円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）１２２の３種の螺旋群から同一種の各螺旋上で隣り合うすべての円筒上の各格子点間を互いに最短距離で結んで連続的に形成される曲線からなる螺旋３方向格子Ｇ１、Ｇ２、Ｇ３を、螺旋３方向格子点Ｇを介して内接させながら最短距離で総三角形化する直線からなる螺旋３方向格子ｇ１、ｇ２、ｇ３に変換すると共に、図１１に示される合同な円筒面状三角形Ａ３、およびＡ４を合同な平面状三角形Ｂ３およびＢ４に変換し、上記螺旋３方向格子点Ｇを共有する６個の合同な平面状三角形の面角の総和が、つねに３６０度になるように構成した複数の直線のみからなる該螺旋３方向格ｇ１、ｇ２、ｇ３を稜線とした螺旋多面体（Helical polyhedron）１２３が形成される。図１２における３種の曲線からなる螺旋群１０、１１、１２、１３、１４、１５と２０、２１、２２、２３および３０、３１は、図１３における直線からなる３種の連続した螺旋１０′、１１′、１２′、１３′、１４′、１５′と２０′、２１′、２２′、２３′および３０′、３１′にそれぞれ変換される。螺旋多面体（Helical polyhedron）１２３の一方の端部は、円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）１２２の螺旋３方向格子点Ｇを介して螺旋３方向格子Ｇ１、Ｇ２、Ｇ３と螺旋３方向格子ｇ１．ｇ２，ｇ３の内接関係を立体的に示すために円周上の始点Ｓ以外を含む三角形は部分的に省略して示している。
図１４に示す螺旋多頂点体（Helical polyvertexia）１２４は、図１３に示す螺旋多面体（Helical polyhedron）１２３のサーフィス・モデルから面的な要素を除去しても構造として自律するワイヤーフレーム・モデルであり、本発明の円筒面３方向螺旋相互分割方法によって形成され総三角形化された２分割（２Frequency）の螺旋多面体であるテトラヒリクスである。直線からなる３種の螺旋群である第１の螺旋の軌跡と第２の螺旋の軌跡および第３の螺旋の軌跡はそれぞれ連続した螺旋であり、各螺旋３方向格子点Ｇは球状格子点として表している。
このように、異なる３種の螺旋群が直線からなる１２本の螺旋によって形成される螺旋多面体（Helical polyhedron）１２３および螺旋多頂点体（Helical polyvertexia）１２４はともに、２分割（２Frequency）の螺旋多面体であるテトラヒリクス（２Ｆ Teterahelix；１２=６、４、２）として表記され、直線によって総三角形化される分割パターンを分割数（Frequency）と３種の螺旋群の各構成数とそれらの総数のみで本質的に分類できる。（螺旋総数１２本＝直線からなる第１の螺旋６本＋直線からなる第２の螺旋４本＋直線からなる第３の螺旋２本）。もっとも螺旋数が少ない第３の螺旋群３０′、３１′は、２本の谷折りの螺旋を形成している。
このように、異なる３種の螺旋群が直線からなる１２本の螺旋によって形成される螺旋多面体（Helical polyhedron）１２３および螺旋多頂点体（Helical polyvertexia）１２４はともに、２分割（２Frequency）の螺旋多面体であるテトラヒリクス（２Ｆ Teterahelix；１２=６、４、２）として表記され、直線によって総三角形化される分割パターンを分割数（Frequency）と３種の螺旋群の各構成数とそれらの総数のみで本質的に分類できる。（螺旋総数１２本＝直線からなる第１の螺旋６本＋直線からなる第２の螺旋４本＋直線からなる第３の螺旋２本）。もっとも螺旋数が少ない第３の螺旋群３０′、３１′は、２本の谷折りの螺旋を形成している。
図１６図は、図１５に示す円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）１３０と図１７に示す円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）１３１を形成するための本発明の円筒面３方向螺旋相互分割方法による３種の螺旋群の軸回転操作法を示した他の実施例である。総三角形化された面分割パターンと円周分割パターンを形成するための螺旋の軸回転操作法を螺旋周期が異なる３種の螺旋群ごとに分解して説明する。
円筒軸xに対する円筒面上（円筒の側面は省略して示している）の任意の赤道円周Ｃを任意の始点Ｓで９等分割する第１の始点群の各始点Ｓ、Ｓａ１、Ｓａ２、Ｓａ３、Ｓａ４、Ｓａ５、Ｓａ６、Ｓａ７、Ｓａ８から、円筒面上に左回転方向Ｌで一定の螺旋周期を伴った第１の螺旋群として９本の軌跡１０、１１、１２、１３、１４、１５、１６、１７、１８を描き、赤道円周Ｃを第１の始点群と共有する始点Ｓで６等分割する新たな第２の始点群の各始点Ｓ、Ｓｂ１、Ｓｂ２、Ｓｂ３、Ｓｂ４、Ｓｂ５から、第１の螺旋群とは反対の右回転方向Ｒで、第１の螺旋群とは螺旋周期が異なり、第１の螺旋数よりも３本少ない６本の螺旋数の軌跡２０、２１、２２、２３、２４、２５を第２の螺旋群として描く。さらに、第１の螺旋群の軌跡１０と第２の螺旋群の軌跡２０との共有始点Ｓで赤道円周Ｃを３等分割する第３の始点Ｓ、Ｓｃ１、Ｓｃ２から、第１の螺旋群と同じ左回転方向Ｌで螺旋周期が第１と第２の螺旋群とは異なり、螺旋数が第１の螺旋数と第２の螺旋数との差に等しい３本の螺旋群の軌跡３０、３１、３２を第３の螺旋群として描く。
円筒軸xに対する円筒面上（円筒の側面は省略して示している）の任意の赤道円周Ｃを任意の始点Ｓで９等分割する第１の始点群の各始点Ｓ、Ｓａ１、Ｓａ２、Ｓａ３、Ｓａ４、Ｓａ５、Ｓａ６、Ｓａ７、Ｓａ８から、円筒面上に左回転方向Ｌで一定の螺旋周期を伴った第１の螺旋群として９本の軌跡１０、１１、１２、１３、１４、１５、１６、１７、１８を描き、赤道円周Ｃを第１の始点群と共有する始点Ｓで６等分割する新たな第２の始点群の各始点Ｓ、Ｓｂ１、Ｓｂ２、Ｓｂ３、Ｓｂ４、Ｓｂ５から、第１の螺旋群とは反対の右回転方向Ｒで、第１の螺旋群とは螺旋周期が異なり、第１の螺旋数よりも３本少ない６本の螺旋数の軌跡２０、２１、２２、２３、２４、２５を第２の螺旋群として描く。さらに、第１の螺旋群の軌跡１０と第２の螺旋群の軌跡２０との共有始点Ｓで赤道円周Ｃを３等分割する第３の始点Ｓ、Ｓｃ１、Ｓｃ２から、第１の螺旋群と同じ左回転方向Ｌで螺旋周期が第１と第２の螺旋群とは異なり、螺旋数が第１の螺旋数と第２の螺旋数との差に等しい３本の螺旋群の軌跡３０、３１、３２を第３の螺旋群として描く。
次に図１７において、異なる３種の螺旋群の交差によって円筒面が漸次的に総三角形化される過程を説明する。螺旋周期が異なる３種の螺旋群のうち、第１の螺旋群の軌跡１０、１１、１２、１３、１４、１５、１６、１７、１８と第２の螺旋群の軌跡２０、２１、２２、２３、２４、２５が２回づつ交差することによって螺旋２方向格子点Ｇ′（図示しない）が形成され、最初の円筒面分割領域としてすべて合同な円筒面状平行四辺形Ｐ３（図中に斜線で示した領域）を形成し、各第３の螺旋群３０、３１、３２がＰ３の対向する２組の螺旋２方向格子点間の内短い螺旋２方向格子点間を合同な２つの円筒面状三角形Ａ５、またはＡ６に分割するように最短距離の螺旋対角線の軌跡を描きながら連続的に通過する。その結果、赤道円周Ｃをそれぞれ等分割する第１、第２および第３の３種の始点群から螺旋周期と回転方向が互いに異なる該３種の螺旋群の各螺旋が該円筒面上で互いに３回づつ交差することによって螺旋３方向格子（Helical 3way-grid）Ｇ１、Ｇ２、Ｇ３と螺旋３方向格子点Ｇを形成し、最終的に該円筒面が該３種の螺旋群からなる該螺旋３方向格子で囲まれた最小限で合同な円筒面状三角形Ａ５およびＡ６に完全に分割され、任意の螺旋３方向格子点に集まる６個の該合同な円筒面状三角形の面角の総和がつねに３６０度になる該螺旋３方向格子を稜線とし該螺旋格子点を頂点とする円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）１３１を形成する。
このように、円周の周期的で対称的な分割によって形成される３種の始点群に連動して増加する３種の螺旋群からなる円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）１３０または円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）１３１は、図１に示す円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）１１０または図５に示す円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）１１３の各螺旋３方向格子間を３等分割に細分化して増加する螺旋３方向格子Ｇと、螺旋３方向格子（Helical 3way-grid）Ｇ１、Ｇ２、Ｇ３から形成され、細分化して増加する異なる３種の螺旋群が互いに交差することで円筒面上に総三角形化されより細分化された面分割領域のパターンを構築する。
螺旋の三次元的な複雑な立体交差を簡略して説明するために、総三角形化された円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）１３１は、円筒面を不透明な面として表しているが、図１５に示すように、サーフィス・モデル（面モデル）から面的な要素を除去しても構造として自律する円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）１３０に形成してもよい。
このように、異なる３種の螺旋群からなる１８本の螺旋によって形成される円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）１３０および円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）１３１は、３分割（３Frequency）の円筒状テトラヒリクス（Cylindrical-helix ３Ｆ Teterahelix；１８=９、６、３）として表記され、総三角形化される分割パターンを分割数（Frequency）と３種の螺旋群の各構成数とそれらの総数のみで本質的に分類できる。（螺旋総数１８本＝曲線からなる第１の螺旋９本＋曲線からなる第２の螺旋６本＋曲線からなる第３の螺旋３本）。この表記システムから、円筒面を総三角形化する３種の螺旋群において、最も多い螺旋群の螺旋数は、他の２種のより少ない螺旋群の螺旋数の合計に等しい。
図１８は、円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）１３２から図１９に単独で示す螺旋多面体（Helical polyhedron）１３３を形成するための本発明の円筒面３方向螺旋相互分割方法による３種の螺旋群による他の変換操作法を示した実施例である。円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）１３３の３種の螺旋群から同一種の各螺旋上で隣り合うすべての円筒上の各螺旋３方向格子点間を互いに最短距離で結んで連続的に形成される曲線による螺旋３方向格子Ｇ１、Ｇ２、Ｇ３を、円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）１３２の螺旋３方向格子点Ｇを介して内接させながら最短距離で総三角形化する直線からなる螺旋３方向格子ｇ１、ｇ２、ｇ３に変換すると共に、図１７に示される合同な円筒面状三角形Ａ５、およびＡ６を合同な平面状三角形Ｂ５およびＢ６に変換し、上記各螺旋３方向格子点を共有する６個の合同な平面状三角形Ｂ５およびＢ６の面角の総和が、つねに３６０度になるように構成した複数の直線のみからなる螺旋３方向格子ｇ１、ｇ２、ｇ３を稜線とした螺旋多面体（Helical polyhedron）１３３が形成される。螺旋多面体（Helical polyhedron）１３３の一方の端部は、円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）１３２の螺旋３方向格子点Ｇを介して螺旋３方向格子Ｇ１、Ｇ２、Ｇ３と螺旋３方向格子ｇ１、ｇ２、ｇ３の内接関係を立体的に示すために部分的に省略して示している。
図２０に示す螺旋多頂点体（Helical polyvertexia）１３４は、図１９に示す螺旋多面体（Helical polyhedron）１３３のサーフィス・モデルから面的な要素を除去しても構造として自律するワイヤーフレーム・モデルであり、本発明の円筒面３方向螺旋相互分割方法によって形成される総三角形化された３分割(３Frequency)の螺旋多面体であるテトラヒリクスである。直線からなる３種の螺旋群である第１の螺旋の軌跡と第２の螺旋の軌跡および第３の螺旋の軌跡はそれぞれ連続した螺旋であり、各螺旋３方向格子点Ｇは球状格子点として表している。
このように、異なる３種の螺旋群が直線からなる１８本の螺旋によって形成される螺旋多面体（Helical polyhedron）１３３および螺旋多頂点体（Helical polyvertexia）１３４は、３分割(３Frequency)の螺旋多面体であるテトラヒリクス（３Ｆ Teterahelix；１８=９、６、３）として表記され、直線によって総三角形化される分割パターンを分割数（Frequency）と３種の螺旋群の各構成数とそれらの総数のみで本質的に分類できる。（螺旋総数１８本＝直線からなる第１の螺旋９本＋直線からなる第２の螺旋６本＋直線からなる第３の螺旋３本）もっとも螺旋数が少ない第３の螺旋群３０′、３１′、３２′は、３本の谷折りの螺旋を形成している。
図２２は、図２１に示す円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）１４０と図２３に示す円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）１４１を形成するための本発明の円筒面３方向螺旋相互分割方法による他の実施例である。総三角形化された面分割パターンを形成するための螺旋の軸回転操作法を分割数が異なる３種の円周分割パターン毎に説明する。円筒軸xに対する円筒面上の任意の赤道円周Ｃを任意の始点Ｓで１２等分割する第１の始点群の各始点Ｓ、Ｓａ１、Ｓａ２、 Ｓａ３、Ｓａ４、 Ｓａ５、Ｓａ６、 Ｓａ７、Ｓａ８、 Ｓａ9、Ｓａ１０、 Ｓａ１１から、円筒面上に左回転方向Ｌで一定の螺旋周期を伴った第１の螺旋群として１２本の軌跡（図示しない）を描き、赤道円周Ｃを第１の始点群と共有する始点Ｓで８等分割する新たな第２の始点群の各始点Ｓ、Ｓｂ１、Ｓｂ２、Ｓｂ３、Ｓｂ４、Ｓｂ５、Ｓｂ６、Ｓｂ７から、第１の螺旋群とは反対の右回転方向Ｒで、第１の螺旋群とは螺旋周期が異なり、第１の螺旋数よりも４本少ない８本の螺旋の軌跡（図示しない）を第２の螺旋群として描く。さらに、第１の螺旋群の軌跡と第２の螺旋群の軌跡との共有始点Ｓで赤道円周Ｃを４等分割する第３の始点Ｓ、Ｓｃ１、Ｓｃ２、Ｓｃ３から、第１の螺旋群と同じ左回転方向Ｌで螺旋周期が第１と第２の螺旋群とは異なり、螺旋数が第１の螺旋群と第２の螺旋群との差に等しい４本の螺旋群の軌跡（図示しない）を第３の螺旋群として描く。
次に、異なる３種の螺旋群の交差によって円筒面が漸次的に総三角形化される過程を説明する。螺旋周期が異なる該３種の螺旋群のうち、第１の螺旋群の軌跡と第２の螺旋群の軌跡が２回づつ交差することによって螺旋２方向格子点Ｇ′（図示しない）が形成され、最初の円筒面分割領域としてすべて合同な円筒面状平行四辺形Ｐ４（図中に斜線で示した領域）を形成する。図２３において第３の螺旋群の軌跡がＰ４の対向する２組の螺旋２方向格子点間の内短い螺旋２方向格子点間を合同な２つの円筒面状三角形Ａ７およびＡ８に分割するように最短距離の螺旋対角線の軌跡を描きながら連続的に通過する。その結果、赤道円周Ｃをそれぞれ等分割する該第１、第２および第３の３種の始点群から螺旋周期と回転方向が互いに異なる該３種の螺旋群の各軌跡が該円筒面上で互いに３回づつ交差することによって螺旋３方向格子（Helical 3way-grid）Ｇ１、Ｇ２、Ｇ３と螺旋３方向格子点Ｇを形成し、最終的に該円筒面が該３種の螺旋群からなる該螺旋３方向格子で囲まれた最小限で合同な円筒面状三角形Ａ７またはＡ８に完全に分割され、任意の螺旋格子点Ｇに集まる６個の該合同な円筒面状三角形の面角の総和がつねに３６０度になる該螺旋３方向格子を稜線とし該螺旋格子点を頂点とする円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）１４１を形成する。
螺旋の三次元的な複雑な立体交差を簡略して説明するために、総三角形化された円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）１４１は、円筒面を不透明な面として表しているが、サーフィス・モデル（面モデル）から面的な要素を除去しても構造として自律する図２１に示すワイヤーフレーム・モデルの円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）１４０に形成してもよい。
このように、異なる３種の螺旋群からなる２４本の螺旋によって形成される円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）１４０および円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）１４１は、４分割（４Frequency）の円筒状テトラヒリクス（Cylindrical-helix ４Ｆ Teterahelix；２４=１２、８、４）として表記され総三角形化される分割パターンを分割数（Frequency）と３種の螺旋群の各構成数とそれらの総数のみで本質的に分類できる（螺旋総数２４本＝第１の曲線からなる螺旋１２本＋第２の曲線からなる螺旋８本＋第３の曲線からなる螺旋４本）。この表記システムから、円筒面を総三角形化する３種の螺旋群において、最も多い螺旋群の螺旋数は、他の２種のより少ない螺旋群の螺旋数の合計に等しく、以下に述べるすべての実施例においても例外がない。
図２４は、円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）１４２から図２５に単独で示す螺旋多面体（Helical polyhedron）１４３を形成するための本発明の円筒面３方向螺旋相互分割方法による３種の螺旋群による別の操作法を示した実施例である。円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）１４２の３種の螺旋群から同一種の各螺旋上で隣り合うすべての円筒上の各格子点間を互いに最短距離で結んで連続的に形成される曲線からなる螺旋３方向格子Ｇ１、Ｇ２、Ｇ３を、螺旋３方向格子点Ｇを介して内接させながら最短距離で総三角形化する直線からなる螺旋３方向格子ｇ１、ｇ２、ｇ３に変換し、新たな該螺旋３方向格子ｇ１、ｇ２、ｇ３を稜線とした総三角形化された螺旋多面体（Helical polyhedron）１４４を形成する。
言い換えれば、図２４に示す円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）１４２は円筒面上に異なる３種の曲線からなる螺旋群の軸回転操作によって連続的に互いに交差して螺旋３方向格子Ｇ１、Ｇ２、Ｇ３と螺旋格子点Ｇが形成されるが、図２５に単独で示す螺旋多面体（Helical polyhedron）１４３においては、各螺旋３方向格子点Ｇを共有しながら、異なる３種の直線のみからなる螺旋が連続的に互いに交差することによって円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）１４２に内接する螺旋３方向格子ｇ１、ｇ２、ｇ３が形成される。このような曲線からなる３種の螺旋群に内接する直線からなる３種の螺旋群への変換操作によって、図２４における３種の曲線からなる第１の螺旋群の１２本の軌跡と第２の螺旋群の８本の軌跡および第３の螺旋の４本の軌跡は、直線からなる３種の連続した第１の螺旋群の１２本の軌跡と第２の螺旋群の８本の軌跡および第３の螺旋の４本の軌跡にそれぞれ変換される。
この場合、図２５に示すように上記第１および第２の螺旋群はそれぞれ異なった一定の山折りの二面角（dihedral angle）をもった連続した複数の直線からなる螺旋に変換されると同時に、同様に第３の螺旋群は、一定の谷折りの二面角をもった連続した複数の直線から成る螺旋に変換されている。
また、螺旋３方向格子ｇ１、ｇ２、ｇ３によってサーフィス・モデルとして形成される螺旋多面体（Helical polyhedron）１４３において、図２３に示される合同な円筒面状三角形Ａ７、およびＡ８は、円筒面の内接によって形成される合同な平面状三角形Ｂ７およびＢ８に変換され、各螺旋格子点Ｇを共有する６個の合同な平面状三角形Ｂ７およびＢ８の面角の総和は、つねに３６０度で一定に形成される。
図２４と図２５に示す螺旋多面体（Helical polyhedron）１４３の一方の端部は、円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）１４３の螺旋３方向格子点Ｇを介して螺旋３方向格子Ｇ１、Ｇ２、Ｇ３と螺旋３方向格子ｇ１、ｇ２、ｇ３の内接関係を立体的に示すために円周上の始点Ｓ以外の始点群を含む三角形は部分的に省略して示している。
この場合、図２５に示すように上記第１および第２の螺旋群はそれぞれ異なった一定の山折りの二面角（dihedral angle）をもった連続した複数の直線からなる螺旋に変換されると同時に、同様に第３の螺旋群は、一定の谷折りの二面角をもった連続した複数の直線から成る螺旋に変換されている。
また、螺旋３方向格子ｇ１、ｇ２、ｇ３によってサーフィス・モデルとして形成される螺旋多面体（Helical polyhedron）１４３において、図２３に示される合同な円筒面状三角形Ａ７、およびＡ８は、円筒面の内接によって形成される合同な平面状三角形Ｂ７およびＢ８に変換され、各螺旋格子点Ｇを共有する６個の合同な平面状三角形Ｂ７およびＢ８の面角の総和は、つねに３６０度で一定に形成される。
図２４と図２５に示す螺旋多面体（Helical polyhedron）１４３の一方の端部は、円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）１４３の螺旋３方向格子点Ｇを介して螺旋３方向格子Ｇ１、Ｇ２、Ｇ３と螺旋３方向格子ｇ１、ｇ２、ｇ３の内接関係を立体的に示すために円周上の始点Ｓ以外の始点群を含む三角形は部分的に省略して示している。
図２６に示す螺旋多頂点体（Helical polyvertexia）１４４は、図２５に示す螺旋多面体（Helical polyhedron）１４３のサーフィス・モデルから面的な要素を除去しても構造として自律するワイヤーフレーム・モデルであり、本発明の円筒面３方向螺旋相互分割方法によって形成される総三角形化された４分割の（4 Frequency）の螺旋多面体であるテトラヒリクスである。直線からなる３種の螺旋群である第１の螺旋の軌跡と第２の螺旋の軌跡および第３の螺旋の軌跡はそれぞれ連続した螺旋であり、各螺旋３方向格子点Ｇは球状格子点として表している。
このように、異なる３種の螺旋群が直線からなる２４本の螺旋によって形成される螺旋多面体（Helical polyhedron）１４４および螺旋多頂点体（Helical polyvertexia）１４５は、４分割（Frequency）の螺旋多面体テトラヒリクス（Helical ４Ｆ Teterahelix；２４=１２、８、４）として、直線によって総三角形化される分割パターンを分割数（Frequency）と３種の螺旋群の構成数とそれらの総数のみで本質的に分類できる。もっとも螺旋数が少ない第３の螺旋群３０′、３１′、３２′、３３′は、４本の谷折りの螺旋を形成している。
図２７は、本発明の円筒面３方向螺旋相互分割方法の他の実施例によって形成された形態である。円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）１５０は、最小限の基本形態の一つである図１の円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）１００、および図３の円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）１０５に示す本発明の円筒面３方向螺旋相互分割方法によって総三角形化された面分割パターンの各格子間を８分割して細分化される。次に異なる３種の螺旋群が互いに交差して形成する螺旋格子点Ｇを共有した後に、螺旋３方向格子点Ｇに集まる合同な平面状三角形の面角の総和がつねに３６０度になるように構成した複数の直線からなる螺旋３方向格子ｇ１、ｇ２、ｇ３を新たな稜線として独立して構成される。さらに直線からなる螺旋３方向格子ｇ１、ｇ２、ｇ３はすべて等辺になるように変換してもよい。（円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）または円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）において、すべての曲線からなる螺旋３方向格子を等長な直線からなる螺旋３方向格子に変換する操作を本発明者は「シナジェティクス等長変換」と命名した。）
このように、異なる３種の螺旋群からなる４８本の螺旋によって形成される螺旋多面体（Helical polyhedron）１５０は、８分割の螺旋多面体であるテトラヒリクス（８Ｆ Teterahelix；４８=２４、１６、８）として表記され、直線によって総三角形化される分割パターンを分割数（Frequency）と３種の螺旋群の各構成数とそれらの総数のみで本質的に分類できる。もっとも螺旋数が少ない第３の螺旋群３０′、３１′、３２′、３３′、３４′、３５′、３６′、３７′は、８本の谷折りの螺旋を形成している。
このように、異なる３種の螺旋群からなる４８本の螺旋によって形成される螺旋多面体（Helical polyhedron）１５０は、８分割の螺旋多面体であるテトラヒリクス（８Ｆ Teterahelix；４８=２４、１６、８）として表記され、直線によって総三角形化される分割パターンを分割数（Frequency）と３種の螺旋群の各構成数とそれらの総数のみで本質的に分類できる。もっとも螺旋数が少ない第３の螺旋群３０′、３１′、３２′、３３′、３４′、３５′、３６′、３７′は、８本の谷折りの螺旋を形成している。
図２９、図３０および図３１は、図２８に示す円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）２１０と図３２に示す円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）２１２を形成するための本発明の３種の螺旋群の同方向の軸回転操作による円筒面３方向螺旋相互分割方法を示した他の実施例である。総三角形化された面分割パターンと円周分割パターンを形成するための螺旋の軸回転操作法を螺旋周期が異なる３種の螺旋群ごとに分解して説明する。
図２９において、円筒軸xに対する円筒面上の任意の赤道円周Ｃを任意の始点Ｓで４等分割する第１の始点群の各始点Ｓ、Ｓａ１、Ｓａ２、Ｓａ３から、円筒面上に左回転方向Ｌで一定の螺旋周期を伴った第１の螺旋群として４本の軌跡５０、５１、５２、５３を描き、赤道円周Ｃを第１の始点群と共有する始点Ｓで３等分割する新たな第２の始点群の各始点Ｓ、Ｓｂ１、Ｓｂ２から、第１の螺旋群と同一の左回転方向Ｌで、第１の螺旋群とは螺旋周期が異なり、第１の螺旋数よりも１本少ない３本の螺旋の軌跡４０、４１、４２を第２の螺旋群として描く。さらに、第１の螺旋群の軌跡５０と第２の螺旋群の軌跡４０との共有始点Ｓで赤道円周Ｃを１分割する第３の始点Ｓｃ１から、第１および第２の螺旋群と同じ左回転方向Ｌで螺旋周期が第１と第２の螺旋群とは異なり、螺旋数が第１の螺旋群と第２の螺旋群との差に等しい１本の螺旋の軌跡３０を第３の螺旋として描く。
次に図３０、図３１および図３２において、同方向の軸回転操作による螺旋周期が異なる３種の螺旋群の交差によって円筒面が漸次的に総三角形化される過程を説明する。図３０において、螺旋周期が異なる該３種の螺旋群のうち、第１の螺旋群の軌跡５０、５１、５２、５３と第２の螺旋群の軌跡４０、４１、４２が２回づつ交差することによって螺旋２方向格子点Ｇ′が形成され、図３１に示すように最初の円筒面分割領域としてすべて合同な円筒面状平行四辺形Ｐ５（図中に斜線で示した領域）を形成する。次に、図３２に示すように第３の螺旋の軌跡３０がＰ５の対向する２組の２頂点間の内短い２頂点間を合同な２つの円筒面状三角形Ｃ１およびＣ２に分割するように最短距離の螺旋対角線の軌跡を描きながら連続的に通過する。その結果、赤道円周Ｃをそれぞれ等分割する該第１、第２および第３の３種の始点群から回転方向が同一で螺旋周期が異なる該３種の螺旋群の各軌跡が該円筒面上で互いに３回づつ交差することによって螺旋３方向格子（Helical 3way-grid）Ｇ１、Ｇ２、Ｇ３と螺旋格子点Ｇを形成し、最終的に該円筒面が該３種の螺旋群からなる該螺旋３方向格子で囲まれた最小限で合同な円筒面状三角形Ｃ１またはＣ２に完全に分割され、任意の螺旋格子点Ｇに集まる６個の該合同な円筒面状三角形の面角の総和がつねに３６０度になる該螺旋３方向格子を稜線とし該螺旋格子点を頂点とする円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）２１２を示す。
螺旋の三次元的な複雑な立体交差を簡略して説明するために、総三角形化された円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）２１２は、円筒面を不透明な面として表しているが、サーフィス・モデル（面モデル）から面的な要素を除去しても構造として自律する図２８に示すワイヤーフレーム・モデルの円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）２１０を形成してもよい。これらの円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）２１０と円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）２１２は、異なった螺旋周期をもつ３種の螺旋群が互いに同一方向で回転し交差する本発明による円筒面三方向螺旋相互分割法によって形成される総三角形化された最小限の円筒状螺旋構造システムである。
第３の螺旋群は、３種の螺旋群の回転方向が異なる場合も同一の場合もつねに合同な円筒状平行四辺形Ｐ５に対して最短距離の螺旋対角線上を通過する。また第３の螺旋群はつねに最長の螺旋から構成される。さらに、半径と長さが同一の円筒面上の３種の螺旋群が互いに交差して形成される格子点の数が同一の場合、１分割（１Frequency）の円筒状螺旋多面体Cylindrical-helix polyhedron）の３種の螺旋群の内一種の螺旋群のみが異なる方向で互いに回転する場合の最小限の螺旋数は図５に示すように計６本であるが、３種の螺旋群の回転方向がすべて同一になると、円筒状螺旋多頂点体または円筒状螺旋多面体を総三角形化する最小限の３種の螺旋総数は第１と第２の螺旋が一本ずつ増加して計８本の螺旋になる。
このように、螺旋の回転が同じ向きで互いに異なる螺旋周期の３種の螺旋群からなる最小限８本の螺旋によって形成される円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）２１０および円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）２１２は、１分割（１Frequency）の円筒状テトラヒリクス（Cylindrical-helix １Ｆ Teterahelix；８=４、３、１）として表記され総三角形化される分割パターンを分割数（Frequency）と同方向に回転する３種の螺旋群の各構成数とそれらの総数のみで本質的に分類できる（螺旋総数８本＝第１の曲線からなる螺旋４本＋第２の曲線からなる螺旋３本＋第３の曲線からなる螺旋１本）。この表記システムから、円筒面を総三角形化する３種の螺旋群において、最も多い螺旋群の螺旋数は、つねに他の２種のより少ない螺旋群の螺旋数の合計に等しい。
図３３は、円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）２１３から図３４に単独で示す螺旋多面体（Helical polyhedron）２１４を形成するための本発明の円筒面３方向螺旋相互分割方法による３種の螺旋群による他の操作法を示した実施例である。円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）２１３の３種の螺旋群から同一種の各螺旋上で隣り合うすべての円筒上の各格子点間を互いに最短距離で結んで連続的に形成される曲線からなる螺旋３方向格子Ｇ１、Ｇ２、Ｇ３を、螺旋３方向格子点Ｇを介して内接して円筒面内部を通る最短距離で総三角形化する直線からなる螺旋３方向格子ｇ１、ｇ２、ｇ３に変換し、総三角形化された新たな該螺旋３方向格子ｇ１、ｇ２、ｇ３を稜線とした螺旋多面体（Helical polyhedron）２１４を形成する。
言い換えれば、図３３に示す円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）２１３は円筒面上に異なる３種の曲線からなる螺旋の軸回転操作によって連続的に互いに交差して螺旋３方向格子Ｇ１、Ｇ２、Ｇ３と螺旋格子点Ｇが形成されるが、各螺旋３方向格子点Ｇを共有しながら、異なる３種の直線のみからなる螺旋が連続的に互いに交差することによって円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）２１３に内接する螺旋３方向格子ｇ１、ｇ２、ｇ３が形成され図３４に単独で示す螺旋多面体（Helical polyhedron）２１５に変換される。このような曲線からなる３種の螺旋群を直線からなる３種の螺旋群への変換によって、図３３における３種の曲線からなる第１の螺旋群の４本の軌跡５０、５１、５２、５３と第２の螺旋群の３本の軌跡４０、４１、４２および第３の螺旋の１本の軌跡３０は、図３４における直線からなる３種の連続した第１の螺旋群の軌跡５０′、５１′、５２′、５３′と第２の螺旋群の軌跡４０′、４１′、４２′および第３の螺旋の軌跡３０′にそれぞれ連続的に変換される。
この場合、図３４に示す螺旋多面体（Helical polyhedron）２１４の第２及び第３の螺旋群はそれぞれ異なった一定の山折りの二面角（dihedral angle）をもった連続した複数の直線からなる螺旋に変換されると同時に、第１の螺旋群は、一定の谷折りの二面角をもった連続した複数の直線からなる螺旋に変換されている。
図３３と図３４に示す螺旋多面体（Helical polyhedron）２１４の一方の端部は、の螺旋３方向格子点Ｇを介して円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）２１３の螺旋３方向格子Ｇ１、Ｇ２、Ｇ３と螺旋３方向格子ｇ１、ｇ２、ｇ３の内接関係を立体的に示すために円周上の始点Ｓ以外の始点群を含む三角形は部分的に省略して示している。
この場合、図３４に示す螺旋多面体（Helical polyhedron）２１４の第２及び第３の螺旋群はそれぞれ異なった一定の山折りの二面角（dihedral angle）をもった連続した複数の直線からなる螺旋に変換されると同時に、第１の螺旋群は、一定の谷折りの二面角をもった連続した複数の直線からなる螺旋に変換されている。
図３３と図３４に示す螺旋多面体（Helical polyhedron）２１４の一方の端部は、の螺旋３方向格子点Ｇを介して円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）２１３の螺旋３方向格子Ｇ１、Ｇ２、Ｇ３と螺旋３方向格子ｇ１、ｇ２、ｇ３の内接関係を立体的に示すために円周上の始点Ｓ以外の始点群を含む三角形は部分的に省略して示している。
螺旋３方向格子ｇ１、ｇ２、ｇ３によってサーフィス・モデルとして形成される螺旋多面体（Helical polyhedron）２１４において、図３２に示される合同な円筒面状三角形Ｃ１、およびＣ２が、図３３に示される円筒面の内接によって形成される合同な平面状三角形Ｄ１およびＤ２に変換されると、該各円筒面状三角形の面積は縮小されるが、各螺旋３方向格子点Ｇを共有する６個の合同な平面状三角形Ｂ１およびＢ２の面角の総和は、つねに３６０度で一定に形成される。球面と球面に内接する球系多面体との間には球面過剰（球面三角形の内角の和と平面三角形の内角の和の差）が発生するが、円筒面と円筒面に内接する円筒系螺旋多面体との間には円筒面過剰は発生しない。
図３５に示す螺旋多頂点体（Helical polyvertexia）２１５は、図３４に示す螺旋多面体（Helical polyhedron）２１４のサーフィス・モデルから面的な要素を除去しても構造として自律するワイヤーフレーム・モデルであり、本発明の円筒面３方向螺旋相互分割方法によって形成される総三角形化された最小限の円筒系螺旋構造システムの一つである。直線からなる３種の螺旋群である第１の螺旋５０′、５１′、５２′、５３′と第２の螺旋４０′、４１、′４２′および第３の螺旋３０′はそれぞれ連続した直線からなる螺旋であり、各螺旋３方向格子点Ｇは球状格子点として表している。
このように、螺旋の回転が同じ向きで互いに螺旋周期の異なる３種の螺旋群が直線からなる最小限８本の螺旋によって形成される螺旋多面体（Helical polyhedron）２１４および螺旋多頂点体（Helical polyvertexia）２１５は、１分割（Frequency）の螺旋多面体テトラヒリクス（Helical １Ｆ Teterahelix；８=４、３、１）として表記され、直線によって総三角形化される分割パターンを分割数（Frequency）と３種の同方向に回転する螺旋群の構成数とそれらの総数のみで本質的に分類できる。
螺旋の回転が同じ向きで互いに異なる螺旋周期の異なる３種の螺旋群が螺旋多面体（Helical polyhedron）および螺旋多頂点体（Helical polyvertexia）を形成する場合、もっとも多い螺旋数はつねに谷折りの螺旋に変換される。また第３の螺旋群の螺旋数はつねに分割数を示す。
螺旋の回転が同じ向きで互いに異なる螺旋周期の異なる３種の螺旋群が螺旋多面体（Helical polyhedron）および螺旋多頂点体（Helical polyvertexia）を形成する場合、もっとも多い螺旋数はつねに谷折りの螺旋に変換される。また第３の螺旋群の螺旋数はつねに分割数を示す。
図３７は、図３６に示す円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）２２０と
図３８に示す円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）２２１を形成するための本発明の円筒面３方向螺旋相互分割方法による３種の螺旋群の軸回転操作法を示した他の実施例である。総三角形化された面分割パターンと円周分割パターンを形成するための螺旋の軸回転操作法を螺旋周期が異なる３種の螺旋群ごとに分解して説明する。
図３８に示す円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）２２１を形成するための本発明の円筒面３方向螺旋相互分割方法による３種の螺旋群の軸回転操作法を示した他の実施例である。総三角形化された面分割パターンと円周分割パターンを形成するための螺旋の軸回転操作法を螺旋周期が異なる３種の螺旋群ごとに分解して説明する。
図３７において、円筒軸ｘに対する円筒面上の任意の赤道円周Ｃを任意の始点Ｓで８等分割する第１の始点群の各始点Ｓ、Ｓａ１、Ｓａ２、Ｓａ３、Ｓａ４、Ｓａ５、Ｓａ６、Ｓａ７から、円筒面上に左回転方向Ｌで一定の螺旋周期を伴った第１の螺旋群として８本の軌跡５０、５１、５２、５３、５４、５５、５６、５７を描き、赤道円周Ｃを第１の始点群と共有する始点Ｓで６等分割する新たな第２の始点群の各始点Ｓ、Ｓｂ１、Ｓｂ２、Ｓｂ３、Ｓｂ４、Ｓｂ５から、第１の螺旋群と同一の左回転方向Ｌで、第１の螺旋群とは螺旋周期が異なり、第１の螺旋数よりも２本少ない６本の螺旋の軌跡４０、４１、４２、４３、４４、４５を第２の螺旋群として描く。さらに、第１の螺旋群の軌跡５０と第２の螺旋群の軌跡４０との共有始点Ｓで赤道円周Ｃを２等分割する第３の始点Ｓ、Ｓｃ１から、第１および第２の螺旋群と同じ左回転方向Ｌで螺旋周期が第１と第２の螺旋群とは異なり、螺旋数が第１の螺旋群と第２の螺旋群との差に等しい２本の螺旋群の軌跡３０、３１を第３の螺旋群として描く。
次に、異なる３種の螺旋群の交差によって円筒面が漸次的に総三角形化される過程を説明する。螺旋周期が異なる該３種の螺旋群のうち、第１の螺旋群の軌跡５０、５１、５２、５３、５４、５５、５６、５７と第２の螺旋群の軌跡４０、４１、４２、４３、４４、４５が２回づつ交差することによって螺旋２方向格子点Ｇ′（図示しない）が形成され、最初の円筒面分割領域としてすべて合同な円筒面状平行四辺形Ｐ６（図示しない）を形成する。次に、図３８に示すように第３の螺旋群の軌跡３０または３１が円筒面状平行四辺形Ｐ６の対向する２組の螺旋３方向格子点間の内短い螺旋３方向格子点間を合同な２つの円筒面状三角形Ｃ３およびＣ４に分割するように最短距離の螺旋対角線の軌跡を描きながら連続的に通過する。その結果、赤道円周Ｃをそれぞれ等分割する該第１、第２および第３の３種の始点群から回転方向が同一で螺旋周期が異なる該３種の螺旋群の各軌跡が該円筒面上で互いに３回づつ交差することによって螺旋３方向格子（Helical 3way-grid）Ｇ１、Ｇ２、Ｇ３と螺旋３方向格子点Ｇを形成し、最終的に該円筒面が該３種の螺旋群からなる該螺旋３方向格子で囲まれた最小限で合同な円筒面状三角形Ｃ３またはＣ４に完全に分割され、任意の螺旋３方向格子点Ｇに集まる６個の該合同な円筒面状三角形の面角の総和がつねに３６０度になる該螺旋３方向格子を稜線とし該螺旋３方向格子点を頂点とする円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）２２１を示す。
このように、円周の周期的で対称的な分割によって形成される３種の始点群に連動して増加する３種の螺旋群からなる円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）２２０は、図２８に示す円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）２１０の各螺旋３方向格子間を、円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）２２１は図３２に示す円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）２１２の各螺旋３方向格子間をそれぞれ２等分割に細分化して増加する螺旋３方向格子点Ｇと、螺旋３方向格子（Helical 3way-grid）Ｇ１、Ｇ２、Ｇ３から形成され、細分化されて増加した異なる３種の螺旋群が互いに交差することで円筒面上により細分化されて総三角形化される面分割領域のパターンを構築する。
このように、異なる３種の螺旋群からなる１６本の螺旋によって形成される円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）２２０および円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）２２１は、２分割（２Frequency）の円筒状テトラヒリクス（Cylindrical-helix ２Ｆ Teterahelix；１６=８、６、２）として表記され総三角形化される分割パターンを分割数（Frequency）と３種の螺旋群の各構成数とそれらの総数のみで本質的に分類できる（螺旋総数１６本＝曲線からなる第１の螺旋８本＋曲線からなる第２の螺旋６本＋曲線からなる第３の螺旋２本）。この表記システムから、円筒面を総三角形化する３種の螺旋群において、最も多い螺旋群の螺旋数は、他の２種のより少ない螺旋群の螺旋数の合計に等しい。第３の螺旋群の螺旋数はつねに分割数を示す。
半径と長さが同一の円筒面上の３種の螺旋群が互いに交差して形成される各螺旋３方向格子点の数が同一の場合、２分割（２Frequency）の円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）の３種の螺旋群の内一種の螺旋群が異なる方向で回転する場合の螺旋総数は図１１に示すように１２本であるが、３種の螺旋群の回転方向がすべて同一になると、最小限の円筒状螺旋多頂点体または円筒状螺旋多面体を構成する３種の螺旋総数は第１と第２の螺旋が２本ずつ増加して計１６本の螺旋になる。この場合、分割数を決定する第３の螺旋群の螺旋数は不変である。
図３９は、円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）２２２から図４０に単独で示す螺旋多面体（Helical polyhedron）２２３を形成するための本発明の円筒面３方向螺旋相互分割方法による３種の螺旋群による他の操作法を示した実施例である。円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）２２２の３種の螺旋群から同一種の各螺旋上で隣り合うすべての円筒上の各格子点間を互いに最短距離で結んで連続的に形成される曲線からなる螺旋３方向格子Ｇ１、Ｇ２、Ｇ３を、螺旋３方向格子点Ｇを介して内接して円筒面内部を通る最短距離で総三角形化する直線からなる螺旋３方向格子ｇ１、ｇ２、ｇ３に変換し、新たな該螺旋３方向格子ｇ１、ｇ２、ｇ３を稜線とした総三角形化された螺旋多面体（Helical polyhedron）２２３を形成する。
言い換えれば、図３９に示す円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）２２２は円筒面上に異なる３種の曲線からなる螺旋の軸回転操作によって連続的に互いに交差して螺旋３方向格子Ｇ１、Ｇ２、Ｇ３と螺旋３方向格子点Ｇが形成されるが、螺旋３方向格子点Ｇを共有しながら、異なる３種の直線のみからなる螺旋が連続的に互いに交差することによって円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）２２２に内接する螺旋３方向格子ｇ１、ｇ２、ｇ３が形成され螺旋多面体（Helical polyhedron）２２３に変換される。このような曲線からなる３種の螺旋群を直線からなる３種の螺旋群への変換によって、図３９における３種の曲線からなる第１の螺旋群の軌跡と第２の螺旋群の軌跡および第３の螺旋群の軌跡は、図４０における直線からなる３種の連続した第１の螺旋群の軌跡と第２の螺旋群の軌跡および第３の螺旋の軌跡にそれぞれ連続的に変換される。
この場合、図４０に示す螺旋多面体（Helical polyhedron）２２３の第２及び第３の螺旋群はそれぞれ異なった一定の山折りの二面角（dihedral angle）をもった連続した複数の直線からなる螺旋に変換されると同時に、同様に第１の螺旋群を、一定の谷折り二面角をもった連続した複数の直線からなる螺旋に変換されている。
図３９に示す螺旋多面体（Helical polyhedron）２２３および図４０に示す螺旋多面体（Helical polyhedron）２２３のそれぞれの一方の端部は、円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）２２２の螺旋３方向格子点Ｇを介した螺旋３方向格子Ｇ１、Ｇ２、Ｇ３と螺旋３方向格子ｇ１、ｇ２、ｇ３の内接関係を立体的に示すために円周上の始点Ｓ以外の始点群を含む三角形は部分的に省略して示している。
図３９に示す螺旋多面体（Helical polyhedron）２２３および図４０に示す螺旋多面体（Helical polyhedron）２２３のそれぞれの一方の端部は、円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）２２２の螺旋３方向格子点Ｇを介した螺旋３方向格子Ｇ１、Ｇ２、Ｇ３と螺旋３方向格子ｇ１、ｇ２、ｇ３の内接関係を立体的に示すために円周上の始点Ｓ以外の始点群を含む三角形は部分的に省略して示している。
螺旋３方向格子ｇ１、ｇ２、ｇ３によってサーフィス・モデルとして形成される螺旋多面体（Helical polyhedron）２２３は、図３８に示される合同な円筒面状三角形Ｃ１、およびＣ２を、図３９に示すように内接することによって形成される合同な平面状三角形Ｄ２およびＤ３に変換されると該円筒面状三角形の面積は縮小するが、各螺旋格子点Ｇを共有する６個の合同な平面状三角形Ｄ３およびＤ４の面角の総和は、つねに３６０度で一定に形成される。
図４１に示す螺旋多頂点体（Helical polyvertexia）２２４は、図４０に示す螺旋多面体（Helical polyhedron）２２３のサーフィス・モデルから面的な要素を除去しても構造として自律するワイヤーフレーム・モデルであり、本発明の円筒面３方向螺旋相互分割方法によって形成される総三角形化された円筒系螺旋構造システムである。直線からなる３種の螺旋群である第１の螺旋と第２の螺旋および第３の螺旋群はそれぞれ連続した螺旋であり、各螺旋３方向格子点Ｇは球状格子点として表している。
このように、異なる３種の螺旋群が直線からなる１６本の螺旋によって形成される螺旋多面体（Helical polyhedron）２２３および螺旋多頂点体（Helical polyvertexia）２２４は、２分割（Frequency）の螺旋多面体テトラヒリクス（Helical ２Ｆ Teterahelix；１６=８、６、２）として表記され、直線によって総三角形化される分割パターンを分割数（Frequency）と３種の同方向に回転する螺旋群の構成数とそれらの総数のみで本質的に分類できる（螺旋総数１６本＝直線からなる第１の螺旋８本＋直線からなる第２の螺旋６本＋直線からなる第３の螺旋２本）。もっとも螺旋数が多い第１の螺旋群５０′、５１′、５２′、５３′、５４′、５５′、５６′、５７′は、８本の谷折りの螺旋を形成している。螺旋の回転が同じ向きで互いに異なる螺旋周期の異なる３種の螺旋群が螺旋多面体（Helical polyhedron）および螺旋多頂点体（Helical polyvertexia）を形成する場合、もっとも多い螺旋数はつねに谷折り方向の螺旋に変換される。また、第３の螺旋群の螺旋数はつねに分割数を示す。
図４３は、図４２に示す円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）２３０と図４４に示す円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）２３１を形成するための本発明の円筒面３方向螺旋相互分割方法による３種の螺旋群の軸回転操作法を示した他の実施例である。総三角形化された面分割パターンと円周分割パターンを形成するための螺旋の軸回転操作法を螺旋周期が異なる３種の螺旋群ごとに分解して説明する。
図４３において、円筒軸ｘに対する円筒面上の任意の赤道円周Ｃを任意の始点Ｓで１２等分割する第１の始点群の各始点Ｓ、Ｓａ１、Ｓａ２、Ｓａ３、Ｓａ４、Ｓａ５、Ｓａ６、Ｓａ７、Ｓａ８、Ｓａ９、Ｓａ１０、Ｓａ１１から、円筒面上に左回転方向Ｌで一定の螺旋周期を伴った第１の螺旋群として１２本の軌跡５０、５１、５２、５３、５４、５５、５６、５７、５８、５９、６０、６１を描き、赤道円周Ｃを第１の始点群と共有する始点Ｓで９等分割する新たな第２の始点群の各始点Ｓ、Ｓｂ１、Ｓｂ２、Ｓｂ３、Ｓｂ４、Ｓｂ５、Ｓｂ６、Ｓｂ７、Ｓｂ８から、第１の螺旋群と同一の左回転方向Ｌで、第１の螺旋群とは螺旋周期が異なり、第１の螺旋数よりも３本少ない９本の螺旋の軌跡４０、４１、４２、４３、４４、４５、４６、４７、４８を第２の螺旋群として描く。さらに、第１の螺旋群の軌跡５０と第２の螺旋群の軌跡４０との共有始点Ｓで赤道円周Ｃを３等分割する第３の始点群Ｓ、Ｓｃ１、Ｓｃ２から、第１および第２の螺旋群と同じ左回転方向Ｌで螺旋周期が第１と第２の螺旋群とは異なり、螺旋数が第１の螺旋群と第２の螺旋群との差に等しい３本の螺旋群の軌跡３０、３１、３２を第３の螺旋群として描く。
次に、異なる３種の螺旋群の交差によって円筒面が漸次的に総三角形化される過程を説明する。螺旋周期が異なる該３種の螺旋群のうち、第１の螺旋群の軌跡５０、５１、５２、５３、５４、５５、５６、５７、５８、５９、６０、６１と第２の螺旋群の軌跡４０、４１、４２、４３、４４、４５、４６、４７、４８が２回づつ交差することによって螺旋２方向格子点Ｇ′（図示しない）が形成され、最初の円筒面分割領域としてすべて合同な円筒面状平行四辺形Ｐ７（図示しない）を形成する。次に、図４４に示すように第３の螺旋群の軌跡３０または３１または３２が円筒面状平行四辺形Ｐ７の対向する２組の螺旋３方向格子点間の内短い螺旋３方向格子点間を合同な２つの円筒面状三角形Ｃ５およびＣ６に分割するように最短距離の螺旋対角線の軌跡を描きながら連続的に通過する。その結果、赤道円周Ｃをそれぞれ等分割する該第１、第２および第３の３種の始点群から回転方向が同一で螺旋周期が異なる該３種の螺旋群の各軌跡が該円筒面上で互いに３回づつ交差することによって螺旋３方向格子（Helical 3way-grid）Ｇ１、Ｇ２、Ｇ３と螺旋３方向格子点Ｇを形成し、最終的に該円筒面が該３種の螺旋群からなる該螺旋３方向格子で囲まれた最小限で合同な円筒面状三角形Ｃ５またはＣ６に完全に分割され、任意の螺旋格子点Ｇに集まる６個の該合同な円筒面状三角形の面角の総和がつねに３６０度になる該螺旋３方向格子を稜線とし該螺旋格子点を頂点とする円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）２３１を示す。
このように、円周の周期的で対称的な分割によって形成される３種の始点群に連動して増加する３種の螺旋群からなる円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）２３０または円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）２３１は、図２８に示す円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）２１０または図３２に示す円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）２１２の各螺旋３方向格子間を３等分割に細分化して増加する螺旋３方向格子点Ｇと、細分化された螺旋３方向格子（Helical 3way-grid）Ｇ１、Ｇ２、Ｇ３から形成され、細分化されて増加した異なる３種の螺旋群が互いに交差することで円筒面上により細分化されて総三角形化される面分割領域のパターンを構築する。異なる３種の螺旋群が互いに交差することで円筒面上により細分化されて総三角形化される面分割領域のパターンを構築する。
このように、異なる３種の螺旋群からなる２４本の螺旋によって形成される円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）２３０および円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）２３１は、３分割（３Frequency）の円筒状テトラヒリクス（Cylindrical-helix ３Ｆ Teterahelix；２４=１２、９、３）として表記され総三角形化される分割パターンを分割数（Frequency）と３種の螺旋群の各構成数とそれらの総数のみで本質的に分類できる（螺旋総数２４本＝曲線からなる第１の螺旋１２本＋曲線からなる第２の螺旋９本＋曲線からなる第３の螺旋３本）。この表記システムから、円筒面を総三角形化する３種の螺旋群において、最も多い螺旋群の螺旋数は、他の２種のより少ない螺旋群の螺旋数の合計に等しい。また、第３の螺旋群の螺旋数はつねに分割数を示す。
半径と長さが同一の円筒面上の３種の螺旋群が互いに交差して形成される螺旋３方向格子点の数が同一の場合、３分割（３Frequency）の円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）の３種の螺旋群の内一種の螺旋群が異なる方向で互いに回転する場合の螺旋数は図１７に示すように１８本であるが、３種の螺旋群の回転方向がすべて同一になると、最小限の円筒状螺旋多頂点体または円筒状螺旋多面体を構成する３種の螺旋総数は第１と第２の螺旋が３本ずつ増加して計２４本の螺旋になる。この場合、分割数を決定する第３の螺旋群の螺旋数は不変である。
図４５は、円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）２３２から図４６に単独で示す螺旋多面体（Helical polyhedron）２３３を形成するための本発明の円筒面３方向螺旋相互分割方法による３種の螺旋群による他の操作法を示した実施例である。円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）２３２の３種の螺旋群から同一種の各螺旋上で隣り合うすべての円筒上の各格子点間を互いに最短距離で結んで連続的に形成される曲線からなる螺旋３方向格子Ｇ１、Ｇ２、Ｇ３を、円筒面に内接して円筒面内部を通る最短距離で総三角形化する直線からなる螺旋３方向格子ｇ１、ｇ２、ｇ３に変換し、新たな該螺旋３方向格子ｇ１、ｇ２、ｇ３を稜線とした総三角形化された螺旋多面体（Helical polyhedron）２３３を形成する。
言い換えれば、円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）２３２は円筒面上に異なる３種の曲線からなる螺旋の軸回転操作によって連続的に互いに交差して螺旋３方向格子Ｇ１、Ｇ２、Ｇ３と螺旋格子点Ｇが形成されるが、各螺旋格子点Ｇを共有しながら、異なる３種の直線のみからなる螺旋が連続的に互いに交差することによって円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）２３２に内接する螺旋３方向格子ｇ１、ｇ２、ｇ３が形成され螺旋多面体（Helical polyhedron）２３３に変換される。このような曲線からなる３種の螺旋群を直線からなる３種の螺旋群への変換によって、図４４における３種の曲線からなる第１の螺旋群の軌跡と第２の螺旋群の軌跡および第３の螺旋群の軌跡は、図４６における直線からなる３種の連続した第１の螺旋群の軌跡と第２の螺旋群の軌跡および第３の螺旋の軌跡にそれぞれ連続的に変換される。（螺旋群の各符号は省略している）
この場合、図４６に示す螺旋多面体（Helical polyhedron）２３３の第２及び第３の螺旋群はそれぞれ異なった一定の山折りの二面角（dihedral angle）をもった連続した複数の直線からなる螺旋に変換されると同時に、同様に第１の螺旋群を、一定の谷折りの二面角をもった連続した複数の直線から成る螺旋に変換されている。
図４５に示す螺旋多面体（Helical polyhedron）２３２および図４６に示す螺旋多面体（Helical polyhedron）２３３のそれぞれの一方の端部は、円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）２３２の螺旋３方向格子点Ｇを介して螺旋３方向格子Ｇ１、Ｇ２、Ｇ３と螺旋３方向格子ｇ１、ｇ２、ｇ３の内接関係を立体的に示すために円周上の始点Ｓ以外の始点群を含む三角形は部分的に省略して示している。
図４５に示す螺旋多面体（Helical polyhedron）２３２および図４６に示す螺旋多面体（Helical polyhedron）２３３のそれぞれの一方の端部は、円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）２３２の螺旋３方向格子点Ｇを介して螺旋３方向格子Ｇ１、Ｇ２、Ｇ３と螺旋３方向格子ｇ１、ｇ２、ｇ３の内接関係を立体的に示すために円周上の始点Ｓ以外の始点群を含む三角形は部分的に省略して示している。
螺旋３方向格子ｇ１、ｇ２、ｇ３によってサーフィス・モデルとして形成される螺旋多面体（Helical polyhedron）２３３において、図４４に示される合同な円筒面状三角形Ｃ５、およびＣ６を、内接によって形成される合同な平面状三角形Ｄ５およびＤ６に変換されると該円筒面状三角形の面積は縮小するが、各螺旋格子点Ｇを共有する６個の合同な平面状三角形Ｄ５およびＤ６の面角の総和は、つねに３６０度で一定に形成される。
図４７に示す螺旋多頂点体（Helical polyvertexia）２３４は、図４６に示す螺旋多面体（Helical polyhedron）２３３のサーフィス・モデルから面的な要素を除去しても構造として自律するワイヤーフレーム・モデルであり、本発明の円筒面３方向螺旋相互分割方法によって形成される総三角形化された最小限の円筒系螺旋構造システムの一つである。直線からなる３種の螺旋群である第１の螺旋と第２の螺旋および第３の螺旋群はそれぞれ連続した螺旋であり、各螺旋３方向格子点Ｇは球状格子点として表している。
このように、異なる３種の螺旋群が直線からなる２４本の螺旋によって形成される螺旋多面体（Helical polyhedron）２３３および螺旋多頂点体（Helical polyvertexia）２３４は、３分割（Frequency）の螺旋多面体テトラヒリクス（Helical ３Ｆ Teterahelix；２４=１２、９、３）として表記され、直線によって総三角形化される分割パターンを分割数（Frequency）と３種の同方向に回転する螺旋群の構成数とそれらの総数のみで本質的に分類できる（螺旋総数２４本＝直線からなる第１の螺旋１２本＋直線からなる第２の螺旋９本＋直線からなる第３の螺旋３本）。図４６および図４７においてもっとも螺旋数が多い第１の螺旋群５０′、５１′、５２′、５３′、５４′、５５′、５６′、５７′、５８′、５９′、６０′、６１′（図示しない）は、１２本の谷折りの螺旋を形成する。
螺旋の回転が同じ向きで互いに異なる螺旋周期の異なる３種の螺旋群が螺旋多面体（Helical polyhedron）および螺旋多頂点体（Helical polyvertexia）を形成する場合、もっとも多い螺旋数はつねに谷折りの螺旋に変換される。また第３の螺旋群の螺旋数はつねに分割数を示す。
螺旋の回転が同じ向きで互いに異なる螺旋周期の異なる３種の螺旋群が螺旋多面体（Helical polyhedron）および螺旋多頂点体（Helical polyvertexia）を形成する場合、もっとも多い螺旋数はつねに谷折りの螺旋に変換される。また第３の螺旋群の螺旋数はつねに分割数を示す。
図４９は、図４８に示す円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）２４０と図５０に示す円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）２４１を形成するための本発明の円筒面３方向螺旋相互分割方法による３種の螺旋群の軸回転操作法を示した他の実施例である。総三角形化された面分割パターンと円周分割パターンを形成するための螺旋の軸回転操作法を螺旋周期が異なる３種の螺旋群ごとに分解して説明する。
図４９において、円筒軸ｘに対する円筒面上の任意の赤道円周Ｃを任意の始点Ｓで１６等分割する第１の始点群の各始点Ｓ、Ｓａ１、Ｓａ２、Ｓａ３、Ｓａ４、Ｓａ５、Ｓａ６、Ｓａ７、Ｓａ８、Ｓａ９、Ｓａ１０、Ｓａ１１、Ｓａ１２、Ｓａ１３、Ｓａ１４、Ｓａ１５から、円筒面上に左回転方向Ｌで一定の螺旋周期を伴った第１の螺旋群として１６本の軌跡（図示しない）を描き、赤道円周Ｃを第１の始点群と共有する始点Ｓで１２等分割する新たな第２の始点群の各始点Ｓ、Ｓｂ１、Ｓｂ２、Ｓｂ３、Ｓｂ４、Ｓｂ５、Ｓｂ６、Ｓｂ７、Ｓｂ８、Ｓｂ９、Ｓｂ１０、Ｓｂ１１から、第１の螺旋群と同一の左回転方向Ｌで、第１の螺旋群とは螺旋周期が異なり、第１の螺旋数よりも４本少ない１２本の螺旋の軌跡（図示しない）を第２の螺旋群として描く。さらに、第１の螺旋群の軌跡と第２の螺旋群の軌跡との共有始点Ｓで赤道円周Ｃを４等分割する第３の始点群Ｓ、Ｓｃ１、Ｓｃ２、Ｓｃ３から、第１および第２の螺旋群と同じ左回転方向Ｌで螺旋周期が第１と第２の螺旋群とは異なり、螺旋数が第１の螺旋群と第２の螺旋群との差に等しい４本の螺旋群の軌跡（図示しない）を第３の螺旋群として描く。
次に、異なる３種の螺旋群の交差によって円筒面が漸次的に総三角形化される過程を説明する。螺旋周期が異なる該３種の螺旋群のうち、第１の螺旋群（符号は省略する）の軌跡と第２の螺旋群（符号は省略する）の軌跡が２回づつ交差することによって螺旋２方向格子点Ｇ′（図示しない）が形成され、最初の円筒面分割領域としてすべて合同な円筒面状平行四辺形Ｐ８（図示しない）を形成する。次に、図５０に示すように第３の螺旋群の軌跡（符号は省略する）が円筒面状平行四辺形Ｐ８の対向する２組の螺旋３方向格子点間の内短い螺旋３方向格子点間を合同な２つの円筒面状三角形Ｃ７およびＣ８に分割するように最短距離の螺旋対角線の軌跡を描きながら連続的に通過する。その結果、赤道円周Ｃをそれぞれ等分割する該第１、第２および第３の３種の始点群から回転方向が同一で螺旋周期が異なる該３種の螺旋群の各軌跡が該円筒面上で互いに３回づつ交差することによって螺旋３方向格子（Helical 3way-grid）Ｇ１、Ｇ２、Ｇ３と螺旋３方向格子点Ｇを形成し、最終的に該円筒面が該３種の螺旋群からなる該螺旋３方向格子で囲まれた最小限で合同な円筒面状三角形Ｃ７またはＣ８に完全に分割され、任意の螺旋格子点Ｇに集まる６個の該合同な円筒面状三角形の面角の総和がつねに３６０度になる該螺旋３方向格子を稜線とし該螺旋格子点を頂点とする円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）２４１を示す。
このように、円周の周期的で対称的な分割によって形成される３種の始点群に連動して増加する３種の螺旋群からなる円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）２４０または円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）２４１は、図２８に示す円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）２１０または図３２に示す円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）２１２の各螺旋３方向格子点間を４等分割に細分化して増加する格子点Ｇと、細分化された螺旋３方向格子（Helical 3way-grid）Ｇ１、Ｇ２、Ｇ３から形成され、異なる３種の螺旋群が互いに交差することで円筒面上に総三角形化されより細分化された面分割パターンを形成して構築される。
このように、異なる３種の螺旋群からなる３２本の螺旋によって形成される円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）２４０および円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）２４１は、４分割（４Frequency）の円筒状テトラヒリクス（Cylindrical-helix ４Ｆ Teterahelix；３２=１６、１２、４）として表記され総三角形化される分割パターンを分割数（Frequency）と３種の螺旋群の各構成数とそれらの総数のみで本質的に分類できる（螺旋総数３２本＝曲線からなる第１の螺旋１６本＋曲線からなる第２の螺旋１２本＋曲線からなる第３の螺旋４本）。この表記システムから、円筒面を総三角形化する３種の螺旋群において、最も多い螺旋群の螺旋数は、他の２種のより少ない螺旋群の螺旋数の合計に等しい。この場合、分割数を決定する第３の螺旋群の螺旋数は不変である。
半径と長さが同一の円筒面上の３種の螺旋群が互いに交差して形成される格子点の数が同一の場合、４分割（４Frequency）の円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）の３種の螺旋群の内一種の螺旋群が異なる方向で互いに回転する場合の螺旋数は図２３に示すように２４本であるが、３種の螺旋群の回転方向がすべて同一になると、最小限の円筒状螺旋多頂点体または円筒状螺旋多面体を構成する３種の螺旋総数は第１と第２の螺旋が４本ずつ増加して計３２本の螺旋になる。
図５１は、示す円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）２４２から図５２に単独に示す螺旋多面体（Helical polyhedron）２４３を形成するための本発明の円筒面３方向螺旋相互分割方法による３種の螺旋群による別の操作法を示した実施例である。円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）２４２の３種の螺旋群から同一種の各螺旋上で隣り合うすべての円筒上の各螺旋３方向格子点間を互いに最短距離で結んで連続的に形成される曲線からなる螺旋３方向格子Ｇ１、Ｇ２、Ｇ３を、螺旋３方向格子点Ｇを介して内接して円筒面内部を通る最短距離で総三角形化する直線からなる螺旋３方向格子ｇ１、ｇ２、ｇ３に変換し、新たな該螺旋３方向格子ｇ１、ｇ２、ｇ３を稜線とした総三角形化された螺旋多面体（Helical polyhedron）２４３を形成する。
言い換えれば、円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）２４２は円筒面上に異なる３種の曲線からなる螺旋の軸回転操作によって連続的に互いに交差して螺旋３方向格子Ｇ１、Ｇ２、Ｇ３と螺旋格子点Ｇが形成されるが、各螺旋３方向格子点Ｇを共有しながら、異なる３種の直線のみからなる螺旋が連続的に互いに交差することによって円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）２４２に内接する螺旋３方向格子ｇ１、ｇ２、ｇ３が形成され螺旋多面体（Helical polyhedron）２４３に変換される。このような曲線からなる３種の螺旋群を直線からなる３種の螺旋群への変換によって、図５０における３種の曲線からなる第１の螺旋群の軌跡と第２の螺旋群の軌跡および第３の螺旋群の軌跡は、図５２における直線からなる３種の連続した第１の螺旋群の軌跡と第２の螺旋群の軌跡および第３の螺旋の軌跡にそれぞれ連続的に変換される。
この場合、図５２に示す螺旋多面体（Helical polyhedron）２４３の第２及び第３の螺旋群はそれぞれ異なった一定の山折りの二面角（dihedral angle）をもった連続した複数の直線からなる螺旋に変換されると同時に、同様に第１の螺旋群を、一定の谷折りの二面角をもった連続した複数の直線からなる螺旋に変換されている。
図５１に示す螺旋多面体（Helical polyhedron）２４３および図５２に示す螺旋多面体（Helical polyhedron）２４３のそれぞれの一方の端部は、円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）２４２の螺旋３方向格子点Ｇを介した螺旋３方向格子Ｇ１、Ｇ２、Ｇ３と螺旋３方向格子ｇ１、ｇ２、ｇ３の内接関係を立体的に示すために円周上の始点Ｓ以外の始点群を含む三角形は部分的に省略して示している。
図５１に示す螺旋多面体（Helical polyhedron）２４３および図５２に示す螺旋多面体（Helical polyhedron）２４３のそれぞれの一方の端部は、円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）２４２の螺旋３方向格子点Ｇを介した螺旋３方向格子Ｇ１、Ｇ２、Ｇ３と螺旋３方向格子ｇ１、ｇ２、ｇ３の内接関係を立体的に示すために円周上の始点Ｓ以外の始点群を含む三角形は部分的に省略して示している。
螺旋３方向格子ｇ１、ｇ２、ｇ３によってサーフィス・モデルとして形成される螺旋多面体（Helical polyhedron）２４３において、図５０に示される合同な円筒面状三角形Ｃ７、およびＣ８を、内接によって形成される合同な平面状三角形Ｄ７およびＤ８に変換されると該円筒状三角形の面積は縮小するが、各螺旋格子点Ｇを共有する６個の合同な平面状三角形Ｄ７およびＤ８の面角の総和は、つねに３６０度で一定に形成される。
図５３に示す螺旋多頂点体（Helical polyvertexia）２４４は、図５２に示す螺旋多面体（Helical polyhedron）２４３のサーフィス・モデルから面的な要素を除去しても構造として自律するワイヤーフレーム・モデルであり、本発明の円筒面３方向螺旋相互分割方法によって形成される総三角形化された最小限の円筒系螺旋構造システムの一つである。直線からなる３種の螺旋群である第１の螺旋と第２の螺旋および第３の螺旋群はそれぞれ連続した螺旋であり、各螺旋３方向格子点Ｇは球状格子点として表している。
このように、異なる３種の螺旋群が直線からなる３２本の螺旋によって形成される螺旋多面体（Helical polyhedron）２４３および螺旋多頂点体（Helical polyvertexia）２４４は、４分割（Frequency）の螺旋多面体テトラヒリクス（Helical ４Ｆ Teterahelix；３２=１６、１２、４）として表記され、直線によって総三角形化される分割パターンを分割数（Frequency）と３種の同方向に回転する螺旋群の構成数とそれらの総数のみで本質的に分類できる（螺旋総数３２本＝直線からなる第１の螺旋１６本＋直線からなる第２の螺旋１２本＋直線からなる第３の螺旋４本）。この表記システムから、円筒面を総三角形化する３種の螺旋群において、最も多い螺旋群の螺旋数は、他の２種のより少ない螺旋群の螺旋数の合計に等しい。螺旋の回転が同じ向きで互いに異なる螺旋周期の異なる３種の螺旋群が螺旋多面体（Helical polyhedron）および螺旋多頂点体（Helical polyvertexia）を形成する場合、もっとも多い螺旋数はつねに谷折りの螺旋に変換される。また第３の螺旋群の螺旋数はつねに分割数を示す。
図５４は、本発明の円筒面３方向螺旋相互分割方法の軸回転操作による等面積・等長変換を使った他の実施例である。異なる３種の螺旋群から形成された円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）１００を、合同な円筒面状三角形Ａ１、Ａ２の表面積を一定にしかつ曲線からなる螺旋３方向格子（Helical 3way-grid）Ｇ１、Ｇ２、Ｇ３の長さをそれぞれ一定に維持した状態で動力学的に等面積・等長変換する過程を説明する。３種の螺旋群のうち第１の螺旋群の軌跡１０、１１、１２と第２の螺旋群の軌跡２０、２１がそれぞれ異なった一定の山折りの二面角（dihedral angle）をもった連続した複数の直線からなる螺旋群の軌跡１０′、１１′、１２′と軌跡２０′、２１′に変換され、残りの第３の螺旋の軌跡３０が、一定の谷折りの二面角をもった連続した複数の直線からなる螺旋の軌跡３０′に変換される過程では、軸回転によって該３種の各螺旋群の各螺旋軌道と周期は漸次的に変化し、最終的に変換前の円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）１００に比べて半径方向により増大し軸方向により収縮した仮想的な円筒面に第２の螺旋３方向格子点ｇ′を介してつねに内接する直線のみからなる第２の螺旋３方向格子（3way-grid）ｇ１′、ｇ２′、ｇ３′に変換される。同時に、図中に示される合同な円筒面状平行四辺形領域Ｐ１は、合同な平面状平行四辺形領域Ｑ１に変換されると共に、合同な円筒面状三角形Ａ１、およびＡ２はそれぞれ第２の螺旋３方向格子ｇ１′、ｇ２′、ｇ３′で囲まれた合同な平面状三角形Ａ１′およびＡ２′に変換されるが、円筒面状平行四辺形領域Ｐ１と平面状平行四辺形領域Ｑ１の面積は不変である。さらに螺旋３方向格子Ｇ１、Ｇ２、Ｇ３と第２の螺旋３方向格子ｇ１′、ｇ２′、ｇ３′の長さもそれぞれ不変である。該第２の螺旋３方向格子点ｇ′に集まる６個の合同な平面状三角形の面角の総和がつねに３６０度になるように構成した複数の直線からなる螺旋３方向格子ｇ１′、ｇ２′、ｇ３′を稜線にし、螺旋格子点ｇ′を頂点にした螺旋多面体（Helical polyhedron）１０１を形成する。この場合、球面と球面に内接する球系多面体との間には球面過剰（球面三角形の内角の和と平面三角形の内角の和の差）が発生するが、円筒面と螺旋多面体との等面積・等長変換には円筒面過剰は発生しない。
この等面積・等長変換において、円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）１００と螺旋多面体（Helical polyhedron）１０１の表面積は一定であるが、１分割の円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）の場合、初期の半径 Ｒ=１．０と高さｈ=１．０は、螺旋多面体（Helical polyhedron）に変換した後の仮想的な外接円筒の半径 Ｒ′=１．２３３９９３と高さｈ′＝０．９６６６０９１７８になる。また図示しないが、２分割の円筒状螺旋多面体の場合は、初期の半径 Ｒ=１．０とと高さｈ=１．０は、螺旋多面体（Helical polyhedron）に変換した後の仮想的な外接円筒の半径 Ｒ=１．０５０４１１と高さｈ′＝０．９９５０２４１６になる。外接円筒の半径Ｒの拡大（２Ｒ＜２Ｒ′）と円筒の高さｈまたは長さの収縮（ｈ＞ｈ′）は、物理的な適切な厚みのあるペーパー・モデリングからも確認できる。同時にこの動的な等面積・等長変換には、円筒状螺旋多面体の半径の拡大収縮を常に伴う回転トルクが生じていることが確認できる。また本発明者によって、波形に山と谷があるように、円筒面の等面積・等長変換に不可欠な振動または分割（Frequency）が発生した結果、円筒を構造化する総三角形化パターンとしての山折りの二面角をもった直線からなる螺旋と谷折りの二面角をもった直線からなる螺旋が形成され、構成単位となる合同な三角形の各稜線における山折りと谷折りの構成比はつねに２:１であることが発見された。最も少ない螺旋群はつねに谷折り線の機能を担う。また、谷折り線の第３の螺旋群を構成する各螺旋は最長の螺旋となる。
このように、異なる３種の螺旋群からなる計６本の螺旋によって形成される円筒状螺旋多面体１００および螺旋多面体１０１は、１分割（１Frequency）の円筒状および円筒系テトラヒリクス（１Ｆ；６=３、２、１）として総三角形化される分割パターンを３種の螺旋群（または直線からなる３種の螺旋群）の構成数で本質的に分類できる。図示しないが、同様の方法で円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）はワイヤーフレーム、モデルである螺旋多頂点体（Helical polyvertexia）に変換できる。
図５５は、本発明の円筒面３方向螺旋相互分割方法の軸回転操作による準等面積・準等長変換を使った他の実施例である。３種の螺旋群のうち一つの螺旋群を螺旋周期のない円筒軸に平行な直線群７０を含む場合を図５５に基づいて説明する。螺旋周期が異なる２種の螺旋群と螺旋周期のない平行な直線群から形成された円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）１０２を、合同な円筒面状三角形 Ｅ１、Ｅ２の表面積をほぼ一定にしかつ直線からなる螺旋３方向格子Ｇ１と曲線からなる螺旋３方向格子Ｇ２、Ｇ３の長さをほぼ一定に維持した状態で動力学的に準等面積・準等長変換する場合、３種の螺旋群うち第２の直線群の軌跡７０、７１、７２と第３の螺旋の軌跡３０がそれぞれ異なった一定の山折りの二面角（dihedral angle）をもった連続した複数の直線からなる螺旋群の軌跡７０′、７１′、７２′と軌跡３０′に変換され、残りの第１の螺旋群の軌跡８０、８１、８２、８３が一定の谷折りの二面角をもった連続した複数の直線からなる螺旋の軌跡８０′、８１′、８２′、８３′に変換される。この過程で、軸回転によって該３種の各螺旋群の各螺旋軌道と周期は漸次的に変化し、最終的に変換前の円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）１０２に比べて半径方向により増大し軸方向により収縮した仮想的な円筒面につねに内接する直線のみからなる第２の螺旋３方向格子（3way-grid）ｇ１′、ｇ２′、ｇ３′に変換される。同時に図中に示される合同な円筒面状平行四辺形領域Ｐ９において、合同な円筒面状三角形Ｅ１、およびＥ２はそれぞれ第２の螺旋３方向格子ｇ１′、ｇ２′、ｇ３′で囲まれた合同な平面状三角形Ｅ１′およびＥ２′に変換されるると共に合同な平面状平行四辺形領域Ｑ９に変換されるが、円筒面状平行四辺形領域Ｐ９は平面状平行四辺形領域Ｑ９の面積と近似値をもち、完全には一致しない。該第２の螺旋３方向格子点ｇ′に集まる６個の合同な平面状三角形の面角の総和が３６０度の近似値になるように構成した複数の直線からなる螺旋３方向格子ｇ１′、ｇ２′、ｇ３′を稜線、螺旋格子点ｇ′を頂点にした螺旋多面体（Helical polyhedron）１０３を形成する。
螺旋周期のない円筒軸に平行な直線群を含んだこれらの螺旋多面体（Helical polyhedron）および螺旋多頂点体（Helical polyvertexia）においては、もっとも多い螺旋数が谷折りの螺旋に変換される場合は、完全な等面積・等長変換は失われる。完全な等面積・等長変換は図５４に示すようにつねにもっとも少ない螺旋数が谷折りの螺旋に変換される場合のみである。しかし、この変換過程には外接円筒の半径の拡大（２Ｒ＜２Ｒ′）と円筒の高さまたは長さが収縮（ｈ＞ｈ′）を伴うので、この動的な変換が、円筒面の半径の拡大と共に回転トルクを生じさせていることに変わりはない。ただし、この動的な変換過程では第２の直線群の軌跡７０，７１，７２のみが山折りの直線となり、残りの螺旋群が山折りも谷折りの螺旋を形成しない場合は三角柱となる。この変換過程までは完全な等面積・等長変換と言える。（図示しない）
このように、螺旋周期が異なる２種の螺旋群と螺旋周期のない平行な直線群を含んだ計８本の軌跡によって形成される円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）１０２を準等面積・準等長変換した後の螺旋多面体（Helical polyhedron）１０３も、共に１分割（１Frequency）の円筒状および円筒系テトラヒリクス（１Ｆ；８=４、３、１）として表記され総三角形化される分割パターンを３種の螺旋群の構成数で本質的に分類できる。図示しないが、同様の方法で円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）は螺旋多頂点体（Helical polyvertexia）に変換できる。
図５６は、本発明の円筒面３方向螺旋相互分割方法の軸回転操作による等面積・等長変換を使った他の実施例である。異なる３種の螺旋群から形成された円筒状螺旋体多面体（Cylindrical-helix polyhedron）１０４を、合同な円筒面状三角形Ｆ１、Ｆ２の表面積を一定にしかつ螺旋３方向格子（Helical 3way-grid）Ｇ１、Ｇ２、Ｇ３の長さをそれぞれ一定に維持した状態で動力学的に等長変換する場合、３種の螺旋群のうち第１の螺旋群の軌跡１０、１１、１２と第２の螺旋群の軌跡２０、２１がそれぞれ異なった一定の山折りの二面角（dihedral angle）をもった連続した複数の直線からなる螺旋群の軌跡１０′、１１′、１２′と軌跡２０′、２１′に変換され、残りの第３の螺旋の軌跡３０が、一定の谷折りの二面角をもった連続した複数の直線からなる螺旋の軌跡３０′に変換される。この過程で、軸回転によって該３種の各螺旋群の各螺旋軌道と周期は漸次的に変化し、最終的に変換前の円筒状螺旋体多面体（Cylindrical-helix polyhedron）１０４に比べて半径方向により増大し軸方向により収縮した仮想的な円筒面につねに内接する直線のみからなる第２の螺旋３方向格子（3way-grid）ｇ１、ｇ２、ｇ３に変換される。同様に、図中に示される合同な円筒面状平行四辺形領域Ｐ１０は、合同な平面状平行四辺形領域Ｑ１０に変換されると共に、合同な円筒面状三角形Ｆ１、およびＦ２はそれぞれ第２の螺旋３方向格子ｇ１′、ｇ２′、ｇ３′で囲まれた合同な平面状三角形Ｆ１′およびＦ２′に変換される。該第２の螺旋３方向格子点ｇ′に集まる６個の合同な平面状三角形の面角の総和がつねに３６０度になるように構成した複数の直線からなる螺旋３方向格子ｇ１′、ｇ２′、ｇ３′を稜線に螺旋格子点ｇ′を頂点にした螺旋多面体（Helical polyhedron）１０５を形成する。
この等面積・等長変換において、円筒状螺旋体多面体（Cylindrical-helix polyhedron）１０４と螺旋多面体（Helical polyhedron）１０５の表面積は一定であるが、外接円筒の半径の拡大（２Ｒ＜２Ｒ′）と円筒の高さまたは長さの収縮（ｈ＞ｈ′）は実際の物理的なモデリングからも確認できる。同時にこの動的な等面積・等長変換には、円筒状螺旋多面体の半径の拡大には常に回転トルクが生じていることが確認できる。このように、異なる３種の螺旋群からなる計６本の螺旋によって形成される円筒状螺旋多面体１０４および螺旋多面体１０５は、１分割（１Frequency）の円筒状および円筒系テトラヒリクス（１Ｆ；６=３、２、１）として総三角形化される分割パターンを３種の螺旋群（または直線からなる螺旋群）の構成数で本質的に分類できる。図示しないが、同様の方法で円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）は螺旋多頂点体（Helical polyvertexia）に変換できる。
上記変換は、図５４に示した円筒状および円筒系テトラヒリクス（１Ｆ；６=３、２、１）における等面積・等長変換と同一である。円筒面を分割する円周分割パターンが同一でも構成単位面積の変化または構成単位である合同な二等辺三角形の鈍角の拡大によって、円筒状および円筒系テトラヒリクスの形態を特徴づける第１の螺旋群である３本の山折り線で示す３重螺旋（3edged triangular based tetrahelix）から、２本の山折り線で現れる第２の螺旋群である２重螺旋（2edged triangular based tetrahelix）に入れ替わり、螺旋多面体（Helical polyhedron）１０５は仮想的な円筒面につねに内接する。
図５７は、本発明の円筒面３方向螺旋相互分割方法による異なった３種の螺旋群を合成融合した実施例である。図１に示す円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）１１０を基にして、第３の螺旋上にある隣り合う円筒上の各螺旋３方向格子点Ｇ同士のみを互いに連続的に最短距離で結ぶことによって第３の螺旋３０′を形成し、該螺旋３０′から直線のみからなる選択的螺旋３方向格子ｇ３を形成した後に、螺旋３方向格子Ｇを共有して他の曲線からなる螺旋３方向格子Ｇ１とＧ２と合成しハイブリッド型螺旋３方向格子を形成する。該ハイブリッド型螺旋３方向格子によって新たに曲線と直線からなる連続した螺旋群の総三角形化されたハイブリッド型の螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia １Ｆ；６=３、２、１）３００を形成する。第３の螺旋３０′のみが一定の二面角をもった連続した複数の直線からなる谷折りの螺旋に変換されている。
図５８は、本発明の円筒面３方向螺旋相互分割方法による異なった３種の螺旋群を合成融合した他の実施例である。図２８に示す円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）２１０を基にして、第３の螺旋上にある隣り合う円筒上の各格子点Ｇ同士のみを互いに連続的に最短距離で結ぶことによって第３の螺旋３０′を形成し、該螺旋３０′から直線のみからなる選択的螺旋３方向格子ｇ３を形成した後に、螺旋３方向格子Ｇを共有して他の曲線からなる螺旋３方向格子Ｇ１とＧ２と合成しハイブリッド型螺旋３方向格子を形成する。該ハイブリッド型螺旋３方向格子によって新たに曲線と直線からなる連続した螺旋群の総三角形化されたハイブリッド型の螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia １Ｆ；８=４、３、１）３０１を形成する。第３の螺旋３０′は一定の二面角をもった連続した複数の直線からなる谷折りの螺旋に変換されている。
図５９は、本発明の円筒面３方向螺旋相互分割方法による異なった３種の螺旋群を合成融合した他の実施例である。図９に示す円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）１２０を基にして、第３の螺旋上にある隣り合う円筒上の各格子点Ｇ同士のみを互いに連続的に最短距離で結ぶことによって第３の螺旋３０′、３１′を形成し、該螺旋３０′、３１′から直線のみからなる選択的螺旋３方向格子ｇ３を形成した後に、螺旋３方向格子Ｇを共有して他の曲線からなる螺旋３方向格子Ｇ１とＧ２と合成しハイブリッド型螺旋３方向格子を形成する。ハイブリッド型螺旋３方向格子によって新たに曲線と直線からなる連続した螺旋群の総三角形化された２分割のハイブリッド型螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia ２Ｆ；１２=６、４、２）３０２を形成する。この場合、２分割の螺旋多頂点体の特徴である第３の２本の螺旋３０′、３１′のみが、一定の二面角をもった連続した複数の直線からなる谷折りの螺旋に変換されている。図示しないが、他の曲線からなる螺旋群の一部が直線からなる螺旋群に変換されてもハイブリッド型の螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）を形成する。
図６０は、同心円型で複層化された２種の円筒系螺旋多面体（Helical polyhedron）および円筒系螺旋多頂点体（Helical polyvertexia）４００を形成するための本発明の円筒面３方向螺旋相互分割方法による３種の螺旋群の複層化の操作法を示した実施例である。
３種の直線からなる螺旋群を３層の同心円筒面（図示しない）に内接する同心円型で複層化された螺旋多面体（Helical polyhedron）および螺旋多頂点体（Helical polyvertexia）を形成するための円筒面３方向螺旋相互分割方法を説明する。複層のなかで最小半径を有する螺旋多面体（Helical polyhedron）ｆ１を構成する３種の螺旋群に属する各螺旋格子点ｇｆ１を、共有する同心円筒軸ｘ１と直交する直径２Ｒに沿って、第２層の同心円筒面に交差する格子点ｇｆ２および第３層の同心円筒面に交差する格子点ｇｆ３にそれぞれ移動させると共に、移動後の各層の隣り合う螺旋格子点を互いに最短距離で結んで螺旋３方向格子を形成し、直線のみからなる異なった３種の螺旋群を第２層および第３層の同心円筒面に内接するように形成する。各層のすべての螺旋３方向格子点ｇｆ１、ｇｆ２、ｇｆ３は、各層の螺旋群のパターンと螺旋３方向格子点数を変えないで螺旋周期を調節することで同心円筒軸ｘ１と直交する各半径Ｒに沿って直径上に並べられるので、同心円型で複層化され一体化した螺旋多面体（Helical polyhedron）および円筒系螺旋多頂点体（Helical polyvertexia）４００はより構造的に安定する。
３種の直線からなる螺旋群を３層の同心円筒面（図示しない）に内接する同心円型で複層化された螺旋多面体（Helical polyhedron）および螺旋多頂点体（Helical polyvertexia）を形成するための円筒面３方向螺旋相互分割方法を説明する。複層のなかで最小半径を有する螺旋多面体（Helical polyhedron）ｆ１を構成する３種の螺旋群に属する各螺旋格子点ｇｆ１を、共有する同心円筒軸ｘ１と直交する直径２Ｒに沿って、第２層の同心円筒面に交差する格子点ｇｆ２および第３層の同心円筒面に交差する格子点ｇｆ３にそれぞれ移動させると共に、移動後の各層の隣り合う螺旋格子点を互いに最短距離で結んで螺旋３方向格子を形成し、直線のみからなる異なった３種の螺旋群を第２層および第３層の同心円筒面に内接するように形成する。各層のすべての螺旋３方向格子点ｇｆ１、ｇｆ２、ｇｆ３は、各層の螺旋群のパターンと螺旋３方向格子点数を変えないで螺旋周期を調節することで同心円筒軸ｘ１と直交する各半径Ｒに沿って直径上に並べられるので、同心円型で複層化され一体化した螺旋多面体（Helical polyhedron）および円筒系螺旋多頂点体（Helical polyvertexia）４００はより構造的に安定する。
図６２は、図６１に示す省略型の円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）５００および図６３に示す省略型の円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）５０１を形成するための本発明の円筒面３方向螺旋相互分割方法による３種の螺旋群の対称的に省略する軸回転操作を螺旋周期が異なる３種の始点群ごとに分解した円周分割パターンで示した実施例である。省略型の円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）５０１は、３種の螺旋群の螺旋数がすべて偶数である図２３に示す円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）１４１の４分割（４Frequency）の円筒状テトラヒリクス（Cylindrical-helix ４Ｆ Teterahelix；２４=１２、８、４）を基本とし、図２２の各赤道円周Ｃから一つ置きに周期的にかつ対称的に間引くことによって、図６２に示すように赤道円周Ｃを１２等分割し、間引いた残りの第１の始点群の６個の始点Ｓ、Ｓａ２、Ｓａ４、Ｓａ６、Ｓａ８、Ｓａ１０と赤道円周Ｃを８等分割し間引いた残りの第２の始点群の４個の始点Ｓ、Ｓｂ２、Ｓｂ４、Ｓｂ６、および赤道円周Ｃを４等分割し間引いた残りの第３の２個の始点Ｓｃ１、Ｓｃ３を形成する。次に、図６３に示すように一つおきに対称的に残った該３種の各始点群に連動して、周期的にかつ対称的に残った３種の螺旋群の内２種の螺旋群が交互に交差することによって、最終的に該円筒面を該３種の螺旋群の組み合わせからなる省略型の螺旋２方向格子（Cylindrical-helix 2way-grid）Ｇ１′，Ｇ２′，Ｇ３′で囲まれた合同な円筒面状三角形Ａ７およびＡ８と合同な円筒面状六角形Ｈ１に完全に再分割され、任意の該螺旋格子点に集まる２個ずつの円筒面状三角形Ａ７またはＡ８と円筒面状六角形Ｈ１との面角の総和がつねに３６０度になるように構成した省略型螺旋２方向格子（Cylindrical-helix 2way-grid）を稜線とし該螺旋格子点を頂点とする省略型円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）５０１を形成する。省略型円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）５０１のサーフィスモデルから面的な要素を除去すれば、図６１に示す省略型円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）５００を形成できる。
図６４は、本発明の円筒面３方向螺旋相互分割方法による３種の螺旋群を相互に連結した他の実施例である。円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix l polyvertexia）６００、６０１を相互に連結するために、図１に示す１分割（１Frequency）の円筒状テトラヒリクス（Cylindrical-helix １Ｆ Teterahelix；６=３、２、１）である円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）１１０における３種の始点群Ｓ，Ｓａ１，Ｓｂ１，Ｓａ２のすべてを、図６４に示す円筒面の端部に設けた円周リングＣＲ１、ＣＲ２、ＣＲ３上に形成すると共に、円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix l polyvertexia）６００および６０１の各端部の円周リングＣＲ２上に各螺旋群を連続的に接続する中継点として形成する。円周リングＣＲ２の４個の中継点の符号は図示しないがＣＲ１の中継点と同一となる。この場合は、円周リングの代わりに円周ディスクにしてもよい。
図６５は、本発明の円筒面３方向螺旋相互分割方法による３種の螺旋群を相互に連結した他の実施例である。円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix l polyvertexia）６０２、６０３を相互に連結するために、図９に示す２分割（２Frequency）の円筒状テトラヒリクス（Cylindrical-helix ２Ｆ Teterahelix；１２=６、４、２）である円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）１２０における、３種の始点群Ｓ，Ｓａ１，Ｓｂ３，Ｓａ２、Ｓｃ１，Ｓａ４，Ｓｂ１，Ｓａ５のすべてを、図６５に示す円筒面の端部の赤道円周ＣＲ１、ＣＲ２、ＣＲ３上に形成すると共に、円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）６０２および６０３の各端部の円周リングＣＲ２で各螺旋群を連続的に接続する中継点として形成する。円周リングＣＲ２の８個の中継点の符号は図示しないがＣＲ１の中継点の符号と同一となる。この場合、円周リングの代わりに円周ディスクにしてもよい。
図６６は、本発明の円筒面３方向螺旋相互分割方法による３種の螺旋群を相互に連結した他の実施例である。螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）６０４および６０５同士を連結するために、図８に示す１分割（１Frequency）の螺旋多頂点体テトラヒリクス（Helical １Ｆ Teterahelix；６=３、２、１）である螺旋多頂点体（Helical polyvertexia）１１５において、３種の始点群のすべてを、図６６の螺旋多頂点体（Helical polyvertexia）６０４および６０５の各端部の多角形ディスクＤＲ１で直線からなる螺旋群を連続的に接続する４個の中継点として形成する。Ｓ以外の中継点の符号は図示していない。この場合は、多角形ディスクの代わりに多角形リングにしてもよい。
図６８は、図６７に示す円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）７００および図６９に示す円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）７０１を形成するための本発明の円筒面３方向螺旋相互分割方法による３種の螺旋群の軸回転操作法を螺旋周期が異なる３種の始点群ごとに分解した円周分割パターンで示した実施例である。総三角形化された面分割パターンと円周分割パターンを形成するための螺旋の軸回転操作法を螺旋周期が異なる３種の始点群と螺旋群ごとに分解して説明する。図６７に示す円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）７００は、円筒軸ｘに対する円筒面上の任意の赤道円周Ｃを任意の始点Ｓで５等分割する第１の始点群の各始点Ｓ、Ｓａ１、Ｓａ２、Ｓａ３、Ｓａ４から、円筒面上に左回転方向Ｌで一定の螺旋周期を伴った第１の螺旋群として５本の軌跡１０、１１、１２、１３、１４を描き、赤道円周Ｃを第１の始点群と共有する始点Ｓで４等分割する新たな第２の始点群の各始点Ｓ、Ｓｂ１、Ｓｂ２、Ｓｂ３から、第１の螺旋群とは反対の右回転方向Ｒで、第１の螺旋群とは螺旋周期が異なり、第１の螺旋数よりも１本少ない４本の螺旋の軌跡２０、２１、２２、２３を第２の螺旋群として描く。さらに、第１の螺旋群の軌跡１０と第２の螺旋群の軌跡２０との共有始点Ｓで赤道円周Ｃを１等分割する第３の始点Ｓｃ１から、第１の螺旋群と同じ左回転方向Ｌで螺旋周期が第１と第２の螺旋群とは異なり、螺旋数が第１の螺旋群と第２の螺旋群との差に等しい１本の螺旋の軌跡３０を第３の螺旋として描く。
これまで主に円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）および円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）の１分割（１Frequency）の円筒状テトラヒリクス（Cylindrical-helix １Ｆ Teterahelix；６=３、２、１）を基本として細分割（subdivision）する場合の実施例を説明してきたが、上記の実施例も円筒面を総三角形化する３種の螺旋群において、最も多い螺旋群の螺旋数は、他のより少ない螺旋群の螺旋数の合計に等しい法則を表した本発明の円筒面３方向螺旋相互分割方法の表記システムに矛盾しない。異なる３種の螺旋群からなる最小限１０本の螺旋によって形成される円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）７００は、１分割（１Frequency）の円筒状螺旋柱状体（Cylindrical-helix １F polyhelix；１０=５、４、１）として表記され総三角形化される分割パターンを分割数（Frequency）と３種の螺旋群の各構成数とそれらの総数のみで本質的に分類できる（螺旋総数１０本＝第１の曲線からなる螺旋５本＋第２の曲線からなる螺旋４本＋第３の曲線からなる螺旋１本）。さらにこの表記システムから、図示しないが図６９に示す円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）７０１を構成する３種の３方向螺旋格子をすべて２等分割すれば、２分割（２Frequency）の円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron；２０=１０、８、２）が形成できる。
図７０に示す螺旋多頂点体（Helical polyvertexia；１０=５、４、１）７０２は、直線からなる３種の螺旋群である第１の螺旋の軌跡と第２の螺旋の軌跡および第３の螺旋の軌跡はそれぞれ連続した螺旋であり、各螺旋３方向格子点Ｇは球状格子点として表している。もっとも少ない第３の螺旋群の螺旋数は、つねに分割数と谷折り線の螺旋数を表している。
この発明によって、これまで達成できなかった円筒面の螺旋のみによる完全な三角形面分割化が可能となり、より少ない材料で剛性と強度のある螺旋の構造体の設計に適応できる。航空機の円筒状機体構造物、円筒状建築構造物、緊急時の円筒状シェルター、そして円筒状容器などの基本設計と三角形化可能な構造の軽量化に伴う強度や剛性の向上に有効である。また複層の螺旋構造はロープ材などの断面を含めた基本設計に適用できる。さらに３種の螺旋群の中心軸に直交する中継用の円形ディスクや多角形ディスクは円筒状または円筒系の螺旋多面体や螺旋多頂点体を建築構造体として利用する場合、螺旋構造部材の中継用だけではなく、該構造物の床面や壁面または隔壁に応用できる。
１０ 曲線からなる第１の螺旋群の軌跡
１１ 曲線からなる第１の螺旋群の軌跡
１２ 曲線からなる第１の螺旋群の軌跡
１３ 曲線からなる第１の螺旋群の軌跡
１４ 曲線からなる第１の螺旋群の軌跡
１５ 曲線からなる第１の螺旋群の軌跡
１６ 曲線からなる第１の螺旋群の軌跡
１７ 曲線からなる第１の螺旋群の軌跡
１８ 曲線からなる第１の螺旋群の軌跡
２０ 曲線からなる第２の螺旋群の軌跡
２１ 曲線からなる第２の螺旋群の軌跡
２２ 曲線からなる第２の螺旋群の軌跡
２３ 曲線からなる第２の螺旋群の軌跡
２４ 曲線からなる第２の螺旋群の軌跡
２５ 曲線からなる第２の螺旋群の軌跡
２６ 曲線からなる第２の螺旋群の軌跡
３０ 曲線からなる第３の螺旋群の軌跡
３１ 曲線からなる第３の螺旋群の軌跡
３２ 曲線からなる第３の螺旋群の軌跡
３３ 曲線からなる第３の螺旋群の軌跡
４０ 曲線からなる第２の螺旋群の軌跡
４１ 曲線からなる第２の螺旋群の軌跡
４２ 曲線からなる第２の螺旋群の軌跡
４３ 曲線からなる第２の螺旋群の軌跡
４４ 曲線からなる第２の螺旋群の軌跡
４５ 曲線からなる第２の螺旋群の軌跡
４６ 曲線からなる第２の螺旋群の軌跡
４７ 曲線からなる第２の螺旋群の軌跡
４８ 曲線からなる第２の螺旋群の軌跡
５０ 曲線からなる第１の螺旋群の軌跡
５１ 曲線からなる第１の螺旋群の軌跡
５２ 曲線からなる第１の螺旋群の軌跡
５３ 曲線からなる第１の螺旋群の軌跡
５４ 曲線からなる第１の螺旋群の軌跡
５５ 曲線からなる第１の螺旋群の軌跡
５６ 曲線からなる第１の螺旋群の軌跡
５７ 曲線からなる第１の螺旋群の軌跡
５８ 曲線からなる第１の螺旋群の軌跡
５９ 曲線からなる第１の螺旋群の軌跡
６０ 曲線からなる第１の螺旋群の軌跡
６１ 曲線からなる第１の螺旋群の軌跡
６２ 曲線からなる第１の螺旋群の軌跡
６３ 曲線からなる第１の螺旋群の軌跡
６４ 曲線からなる第１の螺旋群の軌跡
６５ 曲線からなる第１の螺旋群の軌跡
７０ 螺旋周期のない平行な直線群の軌跡
７１ 螺旋周期のない平行な直線群の軌跡
７２ 螺旋周期のない平行な直線群の軌跡
８０ 曲線からなる第１の螺旋群の軌跡
８１ 曲線からなる第１の螺旋群の軌跡
８２ 曲線からなる第１の螺旋群の軌跡
８３ 曲線からなる第１の螺旋群の軌跡
１０′ 直線からなる第１の螺旋群の軌跡
１１′ 直線からなる第１の螺旋群の軌跡
１２′ 直線からなる第１の螺旋群の軌跡
１３′ 直線からなる第１の螺旋群の軌跡
１４′ 直線からなる第１の螺旋群の軌跡
１５′ 直線からなる第１の螺旋群の軌跡
１６′ 直線からなる第１の螺旋群の軌跡
１７′ 直線からなる第１の螺旋群の軌跡
１８′ 直線からなる第１の螺旋群の軌跡
２０′ 直線からなる第２の螺旋群の軌跡
２１′ 直線からなる第２の螺旋群の軌跡
２２′ 直線からなる第２の螺旋群の軌跡
２３′ 直線からなる第２の螺旋群の軌跡
２４′ 直線からなる第２の螺旋群の軌跡
２５′ 直線からなる第２の螺旋群の軌跡
３０′ 直線からなる第３の螺旋群の軌跡
３１′ 直線からなる第３の螺旋群の軌跡
３２′ 直線からなる第３の螺旋群の軌跡
３３′ 直線からなる第３の螺旋群の軌跡
４０′ 直線からなる第２の螺旋群の軌跡
４１′ 直線からなる第２の螺旋群の軌跡
４２′ 直線からなる第２の螺旋群の軌跡
４３′ 直線からなる第２の螺旋群の軌跡
４４′ 直線からなる第２の螺旋群の軌跡
４５′ 直線からなる第２の螺旋群の軌跡
４６′ 直線からなる第２の螺旋群の軌跡
４７′ 直線からなる第２の螺旋群の軌跡
４８′ 直線からなる第２の螺旋群の軌跡
５０′ 直線からなる第１の螺旋群の軌跡
５１′ 直線からなる第１の螺旋群の軌跡
５２′ 直線からなる第１の螺旋群の軌跡
５３′ 直線からなる第１の螺旋群の軌跡
５４′ 直線からなる第１の螺旋群の軌跡
５５′ 直線からなる第１の螺旋群の軌跡
５６′ 直線からなる第１の螺旋群の軌跡
５７′ 直線からなる第１の螺旋群の軌跡
５８′ 直線からなる第１の螺旋群の軌跡
５９′ 直線からなる第１の螺旋群の軌跡
６０′ 直線からなる第１の螺旋群の軌跡
６１′ 直線からなる第１の螺旋群の軌跡
６２′ 直線からなる第１の螺旋群の軌跡
６３′ 直線からなる第１の螺旋群の軌跡
６４′ 直線からなる第１の螺旋群の軌跡
６５′ 直線からなる第１の螺旋群の軌跡
７０′ 直線からなる第２の螺旋群の軌跡
７１′ 直線からなる第２の螺旋群の軌跡
７２′ 直線からなる第２の螺旋群の軌跡
８０′ 直線からなる第１の螺旋群の軌跡
８１′ 直線からなる第１の螺旋群の軌跡
８２′ 直線からなる第１の螺旋群の軌跡
８３′ 直線からなる第１の螺旋群の軌跡
Ａ１ 合同な円筒面状三角形
Ａ２ 合同な円筒面状三角形
Ａ３ 合同な円筒面状三角形
Ａ４ 合同な円筒面状三角形
Ａ５ 合同な円筒面状三角形
Ａ６ 合同な円筒面状三角形
Ａ７ 合同な円筒面状三角形
Ａ８ 合同な円筒面状三角形
Ａ１′ 合同な平面状三角形
Ａ２′ 合同な平面状三角形
Ｂ１ 合同な平面状三角形
Ｂ２ 合同な平面状三角形
Ｂ３ 合同な平面状三角形
Ｂ４ 合同な平面状三角形
Ｂ５ 合同な平面状三角形
Ｂ６ 合同な平面状三角形
Ｂ７ 合同な平面状三角形
Ｂ８ 合同な平面状三角形
Ｃ１ 合同な円筒面状三角形
Ｃ２ 合同な円筒面状三角形
Ｃ３ 合同な円筒面状三角形
Ｃ４ 合同な円筒面状三角形
Ｃ５ 合同な円筒面状三角形
Ｃ６ 合同な円筒面状三角形
Ｃ７ 合同な円筒面状三角形
Ｃ８ 合同な円筒面状三角形
Ｄ１ 合同な平面状三角形
Ｄ２ 合同な平面状三角形
Ｄ３ 合同な平面状三角形
Ｄ４ 合同な平面状三角形
Ｄ５ 合同な平面状三角形
Ｄ６ 合同な平面状三角形
Ｄ７ 合同な平面状三角形
Ｄ８ 合同な平面状三角形
Ｅ１ 合同な円筒面状三角形
Ｅ２ 合同な円筒面状三角形
Ｅ１′ 合同な平面状三角形
Ｅ２′ 合同な平面状三角形
Ｆ１ 合同な円筒面状三角形
Ｆ２ 合同な円筒面状三角形
Ｆ１′ 合同な平面状三角形
Ｆ２′ 合同な平面状三角形
ｆ１ 同心円状円筒系螺旋多面体
ｆ２ 同心円状円筒系螺旋多面体
ｆ３ 同心円状円筒系螺旋多頂点体
ｇｆ１ 螺旋３方向格子点
ｇｆ２ 螺旋３方向格子点
ｇｆ３ 螺旋３方向格子点
Ｒ 半径（円筒系螺旋多面体）
Ｒ′半径（螺旋多面体）
ｈ 高さ（円筒系螺旋多面体）
ｈ′ 高さ（螺旋多面体）
２Ｒ 半径（同心円状円筒系螺旋多面体）
Ｐ１ 合同な円筒面状平行四辺形領域
Ｐ２ 合同な円筒面状平行四辺形領域
Ｐ５ 合同な円筒面状平行四辺形領域
Ｐ６ 合同な円筒面状平行四辺形領域
Ｐ７ 合同な円筒面状平行四辺形領域
Ｐ８ 合同な円筒面状平行四辺形領域
Ｐ９ 合同な円筒面状平行四辺形領域
Ｐ１０ 合同な円筒面状平行四辺形領域
Ｑ１ 合同な平面状平行四辺形領域
Ｑ９ 合同な平面状平行四辺形領域
Ｑ１０ 合同な平面状平行四辺形領域
Ｓ 共有始点
Ｓａ１ 第１の始点
Ｓａ２ 第１の始点
Ｓａ３ 第１の始点
Ｓａ４ 第１の始点
Ｓａ５ 第１の始点
Ｓａ６ 第１の始点
Ｓａ７ 第１の始点
Ｓａ８ 第１の始点
Ｓａ９ 第１の始点
Ｓａ１０ 第１の始点
Ｓａ１１ 第１の始点
Ｓａ１２ 第１の始点
Ｓａ１３ 第１の始点
Ｓａ１４ 第１の始点
Ｓａ１５ 第１の始点
Ｓｂ１ 第２の始点
Ｓｂ２ 第２の始点
Ｓｂ３ 第２の始点
Ｓｂ４ 第２の始点
Ｓｂ５ 第２の始点
Ｓｂ６ 第２の始点
Ｓｂ７ 第２の始点
Ｓｂ８ 第２の始点
Ｓｂ９ 第２の始点
Ｓｂ１０ 第２の始点
Ｓｂ１１ 第２の始点
Ｓｃ１ 第３の始点
Ｓｃ２ 第３の始点
Ｓｃ３ 第３の始点
Ｇ′ 螺旋２方向格子点
Ｇ１′ 螺旋２方向格子
Ｇ２′ 螺旋２方向格子
Ｇ 螺旋３方向格子点
Ｇ１ 螺旋３方向格子
Ｇ２ 螺旋３方向格子
Ｇ３ 螺旋３方向格子
ｇ１ 直線からなる螺旋３方向格子
ｇ２ 直線からなる螺旋３方向格子
ｇ３ 直線からなる螺旋３方向格子
ｇ′ 第２の螺旋３方向格子点
ｇ１′ 第２の直線からなる螺旋３方向格子
ｇ２′ 第２の直線からなる螺旋３方向格子
ｇ３′ 第２の直線からなる螺旋３方向格子
ｘ 円筒面の中心軸
ｘ１ 同心円筒軸
Ｌ 左回転
Ｒ 右回転
Ｃ 赤道円周
ＣＲ１ 円周リング
ＣＲ２ 円周リング
ＣＲ３ 円周リング
ＤＲ１ 多角形ディスク
１００ 円筒状螺旋多面体
１０１ 螺旋多面体
１０２ 円筒状螺旋多面体
１０３ 螺旋多面体
１０４ 円筒状螺旋多面体
１０５ 螺旋多面体
１１０ 円筒状螺旋多頂点体
１１１ 円筒状螺旋多面体
１１２ 円筒状螺旋多面体
１１３ 円筒状螺旋多頂点体
１１４ 螺旋多面体
１１５ 螺旋多頂点体
１２０ 円筒状螺旋多頂点体
１２１ 円筒状螺旋多面体
１２２ 円筒状螺旋多頂点体
１２３ 螺旋多面体
１２４ 螺旋多頂点体
１３０ 円筒状螺旋多頂点体
１３１ 円筒状螺旋多面体
１３２ 円筒状螺旋多頂点体
１３３ 螺旋多面体
１３４ 螺旋多頂点体
１４０ 円筒状螺旋多頂点体
１４１ 円筒状螺旋多面体
１４２ 円筒状螺旋多頂点体
１４３ 螺旋多面体
１４４ 螺旋多頂点体
１５０ 螺旋多面体
２１０ 円筒状螺旋多頂点体
２１１ 円筒状螺旋多面体
２１２ 円筒状螺旋多面体
２１３ 円筒状螺旋多頂点体
２１４ 螺旋多面体
２１５ 螺旋多頂点体
２２０ 円筒状螺旋多頂点体
２２１ 円筒状螺旋多面体
２２２ 円筒状螺旋多頂点体
２２３ 螺旋多面体
２２４ 螺旋多頂点体
２３０ 円筒状螺旋多頂点体
２３１ 円筒状螺旋多面体
２３２ 円筒状螺旋多頂点体
２３３ 螺旋多面体
２３４ 螺旋多頂点体
２４０ 円筒状螺旋多頂点体
２４１ 円筒状螺旋多面体
２４２ 円筒状螺旋多頂点体
２４３ 螺旋多面体
２４４ 螺旋多頂点体
３００ ハイブリッド型の螺旋多頂点体
３０１ ハイブリッド型の螺旋多頂点体
３０２ ハイブリッド型の螺旋多頂点体
４００ 同心円型で一体となった螺旋多面体（Helical polyhedron）および円筒系螺旋多頂点体（Helical polyvertexia）
５００ 省略型の円筒状螺旋多頂点体
５０１ 省略型の円筒状螺旋多面体
６００ 円筒状螺旋多頂点体
６０１ 円筒状螺旋多頂点体
６０２ 円筒状螺旋多頂点体
６０３ 円筒状螺旋多頂点体
６０４ 螺旋多頂点体
６０５ 螺旋多頂点体
７００ 円筒状螺旋多頂点体
７０１ 円筒状螺旋多面体
７０２ 螺旋多頂点体
１１ 曲線からなる第１の螺旋群の軌跡
１２ 曲線からなる第１の螺旋群の軌跡
１３ 曲線からなる第１の螺旋群の軌跡
１４ 曲線からなる第１の螺旋群の軌跡
１５ 曲線からなる第１の螺旋群の軌跡
１６ 曲線からなる第１の螺旋群の軌跡
１７ 曲線からなる第１の螺旋群の軌跡
１８ 曲線からなる第１の螺旋群の軌跡
２０ 曲線からなる第２の螺旋群の軌跡
２１ 曲線からなる第２の螺旋群の軌跡
２２ 曲線からなる第２の螺旋群の軌跡
２３ 曲線からなる第２の螺旋群の軌跡
２４ 曲線からなる第２の螺旋群の軌跡
２５ 曲線からなる第２の螺旋群の軌跡
２６ 曲線からなる第２の螺旋群の軌跡
３０ 曲線からなる第３の螺旋群の軌跡
３１ 曲線からなる第３の螺旋群の軌跡
３２ 曲線からなる第３の螺旋群の軌跡
３３ 曲線からなる第３の螺旋群の軌跡
４０ 曲線からなる第２の螺旋群の軌跡
４１ 曲線からなる第２の螺旋群の軌跡
４２ 曲線からなる第２の螺旋群の軌跡
４３ 曲線からなる第２の螺旋群の軌跡
４４ 曲線からなる第２の螺旋群の軌跡
４５ 曲線からなる第２の螺旋群の軌跡
４６ 曲線からなる第２の螺旋群の軌跡
４７ 曲線からなる第２の螺旋群の軌跡
４８ 曲線からなる第２の螺旋群の軌跡
５０ 曲線からなる第１の螺旋群の軌跡
５１ 曲線からなる第１の螺旋群の軌跡
５２ 曲線からなる第１の螺旋群の軌跡
５３ 曲線からなる第１の螺旋群の軌跡
５４ 曲線からなる第１の螺旋群の軌跡
５５ 曲線からなる第１の螺旋群の軌跡
５６ 曲線からなる第１の螺旋群の軌跡
５７ 曲線からなる第１の螺旋群の軌跡
５８ 曲線からなる第１の螺旋群の軌跡
５９ 曲線からなる第１の螺旋群の軌跡
６０ 曲線からなる第１の螺旋群の軌跡
６１ 曲線からなる第１の螺旋群の軌跡
６２ 曲線からなる第１の螺旋群の軌跡
６３ 曲線からなる第１の螺旋群の軌跡
６４ 曲線からなる第１の螺旋群の軌跡
６５ 曲線からなる第１の螺旋群の軌跡
７０ 螺旋周期のない平行な直線群の軌跡
７１ 螺旋周期のない平行な直線群の軌跡
７２ 螺旋周期のない平行な直線群の軌跡
８０ 曲線からなる第１の螺旋群の軌跡
８１ 曲線からなる第１の螺旋群の軌跡
８２ 曲線からなる第１の螺旋群の軌跡
８３ 曲線からなる第１の螺旋群の軌跡
１０′ 直線からなる第１の螺旋群の軌跡
１１′ 直線からなる第１の螺旋群の軌跡
１２′ 直線からなる第１の螺旋群の軌跡
１３′ 直線からなる第１の螺旋群の軌跡
１４′ 直線からなる第１の螺旋群の軌跡
１５′ 直線からなる第１の螺旋群の軌跡
１６′ 直線からなる第１の螺旋群の軌跡
１７′ 直線からなる第１の螺旋群の軌跡
１８′ 直線からなる第１の螺旋群の軌跡
２０′ 直線からなる第２の螺旋群の軌跡
２１′ 直線からなる第２の螺旋群の軌跡
２２′ 直線からなる第２の螺旋群の軌跡
２３′ 直線からなる第２の螺旋群の軌跡
２４′ 直線からなる第２の螺旋群の軌跡
２５′ 直線からなる第２の螺旋群の軌跡
３０′ 直線からなる第３の螺旋群の軌跡
３１′ 直線からなる第３の螺旋群の軌跡
３２′ 直線からなる第３の螺旋群の軌跡
３３′ 直線からなる第３の螺旋群の軌跡
４０′ 直線からなる第２の螺旋群の軌跡
４１′ 直線からなる第２の螺旋群の軌跡
４２′ 直線からなる第２の螺旋群の軌跡
４３′ 直線からなる第２の螺旋群の軌跡
４４′ 直線からなる第２の螺旋群の軌跡
４５′ 直線からなる第２の螺旋群の軌跡
４６′ 直線からなる第２の螺旋群の軌跡
４７′ 直線からなる第２の螺旋群の軌跡
４８′ 直線からなる第２の螺旋群の軌跡
５０′ 直線からなる第１の螺旋群の軌跡
５１′ 直線からなる第１の螺旋群の軌跡
５２′ 直線からなる第１の螺旋群の軌跡
５３′ 直線からなる第１の螺旋群の軌跡
５４′ 直線からなる第１の螺旋群の軌跡
５５′ 直線からなる第１の螺旋群の軌跡
５６′ 直線からなる第１の螺旋群の軌跡
５７′ 直線からなる第１の螺旋群の軌跡
５８′ 直線からなる第１の螺旋群の軌跡
５９′ 直線からなる第１の螺旋群の軌跡
６０′ 直線からなる第１の螺旋群の軌跡
６１′ 直線からなる第１の螺旋群の軌跡
６２′ 直線からなる第１の螺旋群の軌跡
６３′ 直線からなる第１の螺旋群の軌跡
６４′ 直線からなる第１の螺旋群の軌跡
６５′ 直線からなる第１の螺旋群の軌跡
７０′ 直線からなる第２の螺旋群の軌跡
７１′ 直線からなる第２の螺旋群の軌跡
７２′ 直線からなる第２の螺旋群の軌跡
８０′ 直線からなる第１の螺旋群の軌跡
８１′ 直線からなる第１の螺旋群の軌跡
８２′ 直線からなる第１の螺旋群の軌跡
８３′ 直線からなる第１の螺旋群の軌跡
Ａ１ 合同な円筒面状三角形
Ａ２ 合同な円筒面状三角形
Ａ３ 合同な円筒面状三角形
Ａ４ 合同な円筒面状三角形
Ａ５ 合同な円筒面状三角形
Ａ６ 合同な円筒面状三角形
Ａ７ 合同な円筒面状三角形
Ａ８ 合同な円筒面状三角形
Ａ１′ 合同な平面状三角形
Ａ２′ 合同な平面状三角形
Ｂ１ 合同な平面状三角形
Ｂ２ 合同な平面状三角形
Ｂ３ 合同な平面状三角形
Ｂ４ 合同な平面状三角形
Ｂ５ 合同な平面状三角形
Ｂ６ 合同な平面状三角形
Ｂ７ 合同な平面状三角形
Ｂ８ 合同な平面状三角形
Ｃ１ 合同な円筒面状三角形
Ｃ２ 合同な円筒面状三角形
Ｃ３ 合同な円筒面状三角形
Ｃ４ 合同な円筒面状三角形
Ｃ５ 合同な円筒面状三角形
Ｃ６ 合同な円筒面状三角形
Ｃ７ 合同な円筒面状三角形
Ｃ８ 合同な円筒面状三角形
Ｄ１ 合同な平面状三角形
Ｄ２ 合同な平面状三角形
Ｄ３ 合同な平面状三角形
Ｄ４ 合同な平面状三角形
Ｄ５ 合同な平面状三角形
Ｄ６ 合同な平面状三角形
Ｄ７ 合同な平面状三角形
Ｄ８ 合同な平面状三角形
Ｅ１ 合同な円筒面状三角形
Ｅ２ 合同な円筒面状三角形
Ｅ１′ 合同な平面状三角形
Ｅ２′ 合同な平面状三角形
Ｆ１ 合同な円筒面状三角形
Ｆ２ 合同な円筒面状三角形
Ｆ１′ 合同な平面状三角形
Ｆ２′ 合同な平面状三角形
ｆ１ 同心円状円筒系螺旋多面体
ｆ２ 同心円状円筒系螺旋多面体
ｆ３ 同心円状円筒系螺旋多頂点体
ｇｆ１ 螺旋３方向格子点
ｇｆ２ 螺旋３方向格子点
ｇｆ３ 螺旋３方向格子点
Ｒ 半径（円筒系螺旋多面体）
Ｒ′半径（螺旋多面体）
ｈ 高さ（円筒系螺旋多面体）
ｈ′ 高さ（螺旋多面体）
２Ｒ 半径（同心円状円筒系螺旋多面体）
Ｐ１ 合同な円筒面状平行四辺形領域
Ｐ２ 合同な円筒面状平行四辺形領域
Ｐ５ 合同な円筒面状平行四辺形領域
Ｐ６ 合同な円筒面状平行四辺形領域
Ｐ７ 合同な円筒面状平行四辺形領域
Ｐ８ 合同な円筒面状平行四辺形領域
Ｐ９ 合同な円筒面状平行四辺形領域
Ｐ１０ 合同な円筒面状平行四辺形領域
Ｑ１ 合同な平面状平行四辺形領域
Ｑ９ 合同な平面状平行四辺形領域
Ｑ１０ 合同な平面状平行四辺形領域
Ｓ 共有始点
Ｓａ１ 第１の始点
Ｓａ２ 第１の始点
Ｓａ３ 第１の始点
Ｓａ４ 第１の始点
Ｓａ５ 第１の始点
Ｓａ６ 第１の始点
Ｓａ７ 第１の始点
Ｓａ８ 第１の始点
Ｓａ９ 第１の始点
Ｓａ１０ 第１の始点
Ｓａ１１ 第１の始点
Ｓａ１２ 第１の始点
Ｓａ１３ 第１の始点
Ｓａ１４ 第１の始点
Ｓａ１５ 第１の始点
Ｓｂ１ 第２の始点
Ｓｂ２ 第２の始点
Ｓｂ３ 第２の始点
Ｓｂ４ 第２の始点
Ｓｂ５ 第２の始点
Ｓｂ６ 第２の始点
Ｓｂ７ 第２の始点
Ｓｂ８ 第２の始点
Ｓｂ９ 第２の始点
Ｓｂ１０ 第２の始点
Ｓｂ１１ 第２の始点
Ｓｃ１ 第３の始点
Ｓｃ２ 第３の始点
Ｓｃ３ 第３の始点
Ｇ′ 螺旋２方向格子点
Ｇ１′ 螺旋２方向格子
Ｇ２′ 螺旋２方向格子
Ｇ 螺旋３方向格子点
Ｇ１ 螺旋３方向格子
Ｇ２ 螺旋３方向格子
Ｇ３ 螺旋３方向格子
ｇ１ 直線からなる螺旋３方向格子
ｇ２ 直線からなる螺旋３方向格子
ｇ３ 直線からなる螺旋３方向格子
ｇ′ 第２の螺旋３方向格子点
ｇ１′ 第２の直線からなる螺旋３方向格子
ｇ２′ 第２の直線からなる螺旋３方向格子
ｇ３′ 第２の直線からなる螺旋３方向格子
ｘ 円筒面の中心軸
ｘ１ 同心円筒軸
Ｌ 左回転
Ｒ 右回転
Ｃ 赤道円周
ＣＲ１ 円周リング
ＣＲ２ 円周リング
ＣＲ３ 円周リング
ＤＲ１ 多角形ディスク
１００ 円筒状螺旋多面体
１０１ 螺旋多面体
１０２ 円筒状螺旋多面体
１０３ 螺旋多面体
１０４ 円筒状螺旋多面体
１０５ 螺旋多面体
１１０ 円筒状螺旋多頂点体
１１１ 円筒状螺旋多面体
１１２ 円筒状螺旋多面体
１１３ 円筒状螺旋多頂点体
１１４ 螺旋多面体
１１５ 螺旋多頂点体
１２０ 円筒状螺旋多頂点体
１２１ 円筒状螺旋多面体
１２２ 円筒状螺旋多頂点体
１２３ 螺旋多面体
１２４ 螺旋多頂点体
１３０ 円筒状螺旋多頂点体
１３１ 円筒状螺旋多面体
１３２ 円筒状螺旋多頂点体
１３３ 螺旋多面体
１３４ 螺旋多頂点体
１４０ 円筒状螺旋多頂点体
１４１ 円筒状螺旋多面体
１４２ 円筒状螺旋多頂点体
１４３ 螺旋多面体
１４４ 螺旋多頂点体
１５０ 螺旋多面体
２１０ 円筒状螺旋多頂点体
２１１ 円筒状螺旋多面体
２１２ 円筒状螺旋多面体
２１３ 円筒状螺旋多頂点体
２１４ 螺旋多面体
２１５ 螺旋多頂点体
２２０ 円筒状螺旋多頂点体
２２１ 円筒状螺旋多面体
２２２ 円筒状螺旋多頂点体
２２３ 螺旋多面体
２２４ 螺旋多頂点体
２３０ 円筒状螺旋多頂点体
２３１ 円筒状螺旋多面体
２３２ 円筒状螺旋多頂点体
２３３ 螺旋多面体
２３４ 螺旋多頂点体
２４０ 円筒状螺旋多頂点体
２４１ 円筒状螺旋多面体
２４２ 円筒状螺旋多頂点体
２４３ 螺旋多面体
２４４ 螺旋多頂点体
３００ ハイブリッド型の螺旋多頂点体
３０１ ハイブリッド型の螺旋多頂点体
３０２ ハイブリッド型の螺旋多頂点体
４００ 同心円型で一体となった螺旋多面体（Helical polyhedron）および円筒系螺旋多頂点体（Helical polyvertexia）
５００ 省略型の円筒状螺旋多頂点体
５０１ 省略型の円筒状螺旋多面体
６００ 円筒状螺旋多頂点体
６０１ 円筒状螺旋多頂点体
６０２ 円筒状螺旋多頂点体
６０３ 円筒状螺旋多頂点体
６０４ 螺旋多頂点体
６０５ 螺旋多頂点体
７００ 円筒状螺旋多頂点体
７０１ 円筒状螺旋多面体
７０２ 螺旋多頂点体
Claims (12)
- 円筒面上に総三角形化された面分割パターンを形成するにあたり、円筒軸に対する該円筒面上の任意の赤道円周を少なくとも３等分割する始点を第１の始点群として設け、該第１の始点群から、該円筒面上に任意の回転方向で該円筒軸に対して回転対称的に一定の螺旋周期を伴った第１の螺旋群の軌跡を描き、該第１の始点群のうち任意の始点を他の螺旋群との共有始点とし、該赤道円周を該共有始点から第１の始点群よりも少ない始点数で等分割する始点を第２の始点群として設け、該第２の始点群から該円筒面上に第１の螺旋群とは反対の回転方向で、該第１の螺旋群とは異なる一定の螺旋周期を伴った第２の螺旋群の軌跡を該円筒軸に対して回転対称的に描いて、第１の螺旋群との交差によって形成される螺旋２方向格子点と螺旋２方向格子（Cylindrical-helix 2way-grid）が、互いに平行な螺旋に囲まれた合同な円筒面状平行四辺形を形成した後に、該赤道円周を該共有始点から第１の始点群と第２の始点群との始点数の差からなる始点数で等分割する始点を第３の始点群として設け、該第３の始点群から第１の螺旋群と同じ回転方向で螺旋周期が該第１と第２の螺旋群とは異なり、該第３の始点群から第３の螺旋群が、該円筒面上のすべての該円筒面状平行四辺形に於いて対向する２組の螺旋２方向格子点間の内最短距離の螺旋対角線の軌跡である短い螺旋２方向格子点間を、合同な２つの円筒面状三角形に分割するように該円筒軸に対して回転対称的に描きながら連続的に通過し、その結果、該赤道円周をそれぞれ等分割する該第１、第２および第３の３種の始点群から螺旋周期と回転方向が互いに異なる該３種の螺旋群の各螺旋が該円筒面上で互いに３回づつ交差することによって螺旋３方向格子（Cylindrical-helix 3way-grid）と螺旋３方向格子点を形成し、該３種の螺旋群からなる該螺旋３方向格子で囲まれた最小限で合同な円筒面状三角形に完全に分割され、任意の該螺旋格子点に集まる６個の該合同な円筒面状三角形の面角の総和がつねに３６０度になる該螺旋３方向格子を稜線とし該螺旋３方向格子点を頂点とする円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）または円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）を形成するための、該円筒面を第１の螺旋群の螺旋数がつねに第２の螺旋群と第３の螺旋群との和に等しい螺旋数で分割する円筒面３方向螺旋相互分割方法。
- 上記第２の螺旋群の回転方向を第１の螺旋群と同じ回転方向にした「請求項１」記載の円筒面３方向螺旋相互分割方法。
- 上記３種の螺旋群のうち一つの螺旋群を螺旋周期のない上記円筒軸に平行な直線群にした「請求項１」および「請求項２」記載の円筒面３方向螺旋相互分割方法。
- 上記３種の螺旋群の螺旋数がすべて偶数の場合は、上記赤道円周を等分割する始点を対称的に省略すると共に、該省略した始点群に連動し該円筒軸に対して対称的に省略する３種の螺旋群の内２種の螺旋群が交互に交差して螺旋２方向格子点を形成し、最終的に該円筒面を該３種の螺旋群からなる省略型の螺旋２方向格子（Cylindrical-helix 2way-grid）で囲まれた合同な円筒面状三角形と合同な円筒面状六角形に完全に分割することによって、任意の該螺旋格子点に集まる２個ずつの該円筒面状三角形と該円筒面状六角形との面角の総和がつねに３６０度になるように構成した省略型の螺旋２方向格子（Cylindrical-helix 2way-grid）を稜線とし該螺旋２方向格子点を頂点とする省略型の円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）または省略型の円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）を形成するための「請求項１」、「請求項２」および「請求項３」記載の円筒面３方向螺旋相互分割方法。
- 上記同種の各螺旋上で隣り合うすべての円筒上の各螺旋３方向格子点間を互いに連続的に最短距離で結ぶことによって、上記螺旋３方向格子を円筒面に内接して総三角形化する直線からなる螺旋３方向格子（Helical 3way-grid）にし、上記合同な円筒面状三角形を合同な平面状三角形にすると共に、上記３種の螺旋群の内２種の螺旋群をそれぞれ異なった一定の山折りの二面角（dihedral angle）をもった連続した複数の直線からなる螺旋群に変換すると同時に、同様に残りの１種の螺旋群を一定の谷折りの二面角をもった連続した複数の直線から成る螺旋群に変換し、上記各螺旋３方向格子点を共有する６個の該合同な平面状三角形の面角の総和がつねに３６０度になるように構成した該複数の直線のみからなる螺旋３方向格子を稜線とした螺旋多面体（Helical polyhedron）または螺旋多頂点体（Helical polyvertexia）に形成した「請求項１」、「請求項２」、「請求項３」および「請求項４」記載の円筒面３方向螺旋相互分割方法。
- 上記同種の螺旋上で隣り合う円筒上の各螺旋３方向格子点間の一部を、互いに最短距離で結んだ直線からなる選択的な螺旋３方向格子（Helical 3way-grid）にすると共に、該直線からなる選択的な螺旋３方向格子（Helical 3way-grid）を上記螺旋３方向格子点において上記螺旋３方向格子（Cylindrical-helix 3way-grid）と合成したハイブリッド型の螺旋３方向格子にした「請求項１」、「請求項２」、「請求項３」および「請求項４」記載の円筒面３方向螺旋相互分割方法。
- 上記円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）または円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）の合同な円筒面状三角形の表面積を一定にしかつ上記螺旋３方向格子（Cylindrical-helix 3way-grid）の格子間の長さを一定に維持した状態で該円筒軸に対して該３種の各螺旋群の各螺旋周期を対称的にかつ漸次的に変化させ、上記３種の螺旋群のうち２種の螺旋群がそれぞれ異なった一定の山折りの二面角（dihedral angle）をもった連続した複数の直線からなる螺旋に変換されると同時に、同様に残りの一種の螺旋群を、一定の谷折りの二面角をもった連続した複数の直線からなる螺旋に変換させることによって、最終的に変換前の上記円筒に比べて半径方向により拡張し軸方向により収縮した仮想的な円筒面に内接する直線のみからなる螺旋３方向格子（3way-grid）と螺旋格子点を形成し、該各螺旋３方向格子点に集まる６個の合同な平面状三角形の面角の総和がつねに３６０度になるように構成した該複数の直線からなる該螺旋３方向格子（Helical 3way-grid）を稜線とし該螺旋格子点を頂点とする螺旋多面体（Helical polyhedron）または螺旋多頂点体（Helical polyvertexia）に動力学的に完全に等面積・等長変換した「請求項１」および「請求項２」記載の円筒面３方向螺旋相互分割方法。
- 上記合同な円筒面状三角形の表面積を一定にしかつ上記螺旋３方向格子（Cylindrical-helix 3way-grid）の格子間の長さを一定に維持した状態を、合同な円筒面状三角形の表面積をほぼ一定にしかつ螺旋３方向格子（Cylindrical-helix 3way-grid）の格子間の長さをほぼ一定に維持した状態にし、上記面角の総和がつねに３６０度になるを、面角の総和が３６０度に近似するにし、上記動力学的に完全に等面積・等長変換を、動力学的に準等面積・準等長変換にした「請求項７」記載の円筒面３方向螺旋相互分割方法。
- 上記螺旋３方向格子または螺旋２方向格子を、すべて等長の格子から構成した「請求項１」、「請求項３」、「請求項４」、「請求項５」、「請求項７」、および「請求項８」記載の円筒面３方向螺旋相互分割方法。
- 上記円筒面を同心円筒面とし、上記円筒軸を同心円筒軸とし、上記３種の螺旋群を各同心円筒面上に形成して複層化するために、各螺旋群に属する各螺旋格子点を同心円筒軸と直交する各直径に沿って該複数の同心円筒面上に移動させると共に、移動後の該各螺旋格子点を最短距離で互いに結んで３種の螺旋群を該各同心円筒上に形成した「請求項１」、「請求項２」、「請求項３」、「請求項４」、「請求項５」、「請求項６」、「請求項７」、「請求項８」および「請求項９」記載の円筒面３方向螺旋相互分割方法。
- 上記始点群のすべてを、上記円筒面の端部の赤道円周上に形成すると共に、上記円筒状螺旋多面体（Cylindrical-helix polyhedron）または円筒状螺旋多頂点体（Cylindrical-helix polyvertexia）の少なくとも片方の端部の円周リングまたは円周ディスク上で上記各螺旋群を連続的に接続する中継点にした「請求項１」、「請求項２」、「請求項３」、「請求項４」、「請求項５」、「請求項６」、「請求項７」、「請求項８」、「請求項９」および「請求項１０」記載の円筒面３方向螺旋相互分割方法。
- 上記始点群のすべてを、上記円筒面の端部の多角形ディスクまたは多角形リング上で上記各螺旋群を連続的に接続する中継点にした「請求項５」、「請求項７」、「請求項８」、「請求項９」および「請求項１０」記載の円筒面３方向螺旋相互分割方法。
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Cited By (6)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| CN106641684A (zh) * | 2013-11-28 | 2017-05-10 | 苏州征之魂专利技术服务有限公司 | 一种正反螺纹旋转式异型材网架结构 |
| US20180319538A1 (en) * | 2017-05-03 | 2018-11-08 | Petar Kirilov Zaharinov | Combinations and multiplications of foldable modules and their modifications |
| JP2019085808A (ja) * | 2017-11-09 | 2019-06-06 | 株式会社フジタ | 柱 |
| WO2020043506A1 (en) | 2018-08-28 | 2020-03-05 | Tata Steel Nederland Technology B.V. | Method for producing a polyhedral helical tube and polyhedral helical tube produced thereby |
| CN113221290A (zh) * | 2021-06-01 | 2021-08-06 | 杭州兴龙泵业有限公司 | 一种三螺杆泵主杆和从杆圆盘铣刀建模系统 |
| CN113221290B (zh) * | 2021-06-01 | 2024-05-14 | 杭州兴龙泵业有限公司 | 一种三螺杆泵主杆和从杆圆盘铣刀建模系统 |
Citations (5)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| JPS61286687A (ja) * | 1985-06-12 | 1986-12-17 | 市川 博夫 | 長さを可変とした筒状体 |
| JPS6211721U (ja) * | 1985-07-05 | 1987-01-24 | ||
| JP2001519879A (ja) * | 1997-04-10 | 2001-10-23 | ブリガム・ヤング・ユニバーシティ | 三次元等方トラス |
| JP2004520539A (ja) * | 2000-07-28 | 2004-07-08 | ブリガム・ヤング・ユニバーシティ | 等トラス構造体 |
| JP2005518485A (ja) * | 2001-08-17 | 2005-06-23 | ブリガム ヤング ユニバーシティ | 複合合成構造体ならびに連続ファイバから複合合成構造体に加工する方法および装置 |
-
2008
- 2008-06-29 JP JP2008169713A patent/JP2010007801A/ja active Pending
Patent Citations (5)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| JPS61286687A (ja) * | 1985-06-12 | 1986-12-17 | 市川 博夫 | 長さを可変とした筒状体 |
| JPS6211721U (ja) * | 1985-07-05 | 1987-01-24 | ||
| JP2001519879A (ja) * | 1997-04-10 | 2001-10-23 | ブリガム・ヤング・ユニバーシティ | 三次元等方トラス |
| JP2004520539A (ja) * | 2000-07-28 | 2004-07-08 | ブリガム・ヤング・ユニバーシティ | 等トラス構造体 |
| JP2005518485A (ja) * | 2001-08-17 | 2005-06-23 | ブリガム ヤング ユニバーシティ | 複合合成構造体ならびに連続ファイバから複合合成構造体に加工する方法および装置 |
Non-Patent Citations (3)
| Title |
|---|
| JPN6012059737; 吉村慶丸: '円筒殻の軸圧縮力による挫屈機構' 東京大学理工学研究所報告 第５巻第５号, 19511130, 第１７９-１９８頁, 東京大学理工学研究所 * |
| JPN6012059742; 'レンゾ・ピアノ ビルディング・ワークショップ' ａ＋ｕ 建築と都市 １９８９年３月臨時増刊号, 19890303, 第１７２-１７６頁, 株式会社エー・アンド・ユー * |
| JPN6012059744; Ｒ． Ｂｕｃｋｍｉｎｓｔｅｒ Ｆｕｌｌｅｒ: ＳＹＮＥＲＧＥＴＩＣＳ , 1982, ｐ．５２０-５２２, ＭＡＣＭＩＬＬＡＮ ＰＵＢＬＩＳＨＩＮＧ ＣＯ．， ＩＮＣ． * |
Cited By (8)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| CN106641684A (zh) * | 2013-11-28 | 2017-05-10 | 苏州征之魂专利技术服务有限公司 | 一种正反螺纹旋转式异型材网架结构 |
| US20180319538A1 (en) * | 2017-05-03 | 2018-11-08 | Petar Kirilov Zaharinov | Combinations and multiplications of foldable modules and their modifications |
| US11814214B2 (en) * | 2017-05-03 | 2023-11-14 | Difold Inc. | Collapsible article comprising combinations and multiplications of foldable sections |
| JP2019085808A (ja) * | 2017-11-09 | 2019-06-06 | 株式会社フジタ | 柱 |
| JP7026487B2 (ja) | 2017-11-09 | 2022-02-28 | 株式会社フジタ | 柱 |
| WO2020043506A1 (en) | 2018-08-28 | 2020-03-05 | Tata Steel Nederland Technology B.V. | Method for producing a polyhedral helical tube and polyhedral helical tube produced thereby |
| CN113221290A (zh) * | 2021-06-01 | 2021-08-06 | 杭州兴龙泵业有限公司 | 一种三螺杆泵主杆和从杆圆盘铣刀建模系统 |
| CN113221290B (zh) * | 2021-06-01 | 2024-05-14 | 杭州兴龙泵业有限公司 | 一种三螺杆泵主杆和从杆圆盘铣刀建模系统 |
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