JP2006215011A - 不確かさ推定方法及びプログラム - Google Patents

Abstract

【課題】 理論解析が困難な測定システムの不確かさをモンテカルロ法により推定すると共に、ユーザの負担を小さく抑え、かつ信頼性の高い不確かさ推定を行うことを可能にする。
【解決手段】 推定対象の測定機により得られた測定値を入力し、測定値の誤差を推定する（Ｓ１）。推定された測定値の誤差に基づいて測定値間の共分散行列又は相関行列を求め（Ｓ２）、共分散行列又は相関行列を固有値分解することにより固有値と固有ベクトルを求め（Ｓ３）、各固有ベクトルに対して、期待値が０で、且つ分散がその固有ベクトルに対応する固有値となるような正規乱数を結合係数として生成し、全固有ベクトルの線形結合をとることにより前記測定機の擬似測定値を生成する（Ｓ４）。得られた擬似測定値を統計処理することにより測定機の不確かさを推定する（Ｓ５）。
【選択図】 図１

Description

本発明は、ＣＭＭ（Coordinate Measuring Machine）、その他の測定機の不確かさ推定方法及びプログラムに関する。

一般に、測定機の不確かさはすべての誤差要因を洗い出し、誤差伝播を考慮してそれらを合成することにより計算される。このような理論的な計算による不確かさ解析は、測定システムが単純でその不確かさが一意に決まるときは比較的容易に行うことができるが、システムが複雑になってくると大変困難なものとなる。

例えば三次元測定機の測定は、任意の測定戦略（測定点数や測定位置等）に従って行われ、さらに複雑な演算処理により形体が各種パラメータ（真円度、平面度、直角度等）として評価される。このような複雑な測定においては、理論的な誤差解析により不確かさを推定することは実際問題として不可能である。

理論解析が困難な不確かさを推定する方法として現在主流となりつつあるのが、モンテカルロ法を用いる方法である。その中で最も完成度が高いものが、PTB（ドイツの計量研究所）が中心となり提唱しているVirtual CMM法（非特許文献１）である。Virtual CMM法では、コンピュータの中に擬似三次元測定機を作り、その測定機に測定をシミュレートさせることにより測定機の不確かさの推定を行う。初めに三次元測定機、プローブ、環境などの誤差要因を洗い出し、予備測定によりその大きさを見積もる。これら誤差に乱数を掛け合わせて揺らがせることにより擬似誤差を発生させている。しかし、この予備測定には数日程度の日数を要し、ユーザの負担はかなり重いものである。
"Traceability of coordinate measurements according to the method of the virtual measuring machine", PTB-Bericht, MAT1-CT94.0076, (1999)

本発明は、このような問題点に鑑みされたもので、理論解析が困難な測定システムの不確かさをモンテカルロ法により推定すると共に、ユーザの負担を小さく抑え、かつ信頼性の高い不確かさ推定を行うことを可能にする測定機の不確かさ推定方法及びプログラムを提供することを目的とする。

上記目的を達成するため、本発明に係る測定機の不確かさ推定方法は、推定対象の測定機に関する推定情報に基づいて前記測定機で得られる測定値間の共分散行列又は相関行列を求めるステップと、このステップで求められた共分散行列又は相関行列を固有値分解することにより固有値と固有ベクトルを求めるステップと、このステップで求められた各固有ベクトルに対して、期待値が０で、且つ分散がその固有ベクトルに対応する固有値となるような正規乱数を結合係数として生成し、全固有ベクトルの線形結合をとることにより前記測定機の擬似測定値を生成するステップと、このステップで得られた擬似測定値を統計処理することにより前記測定機の不確かさを推定するステップとを備えたことを特徴とする。

また、本発明に係る測定機の不確かさ推定プログラムは、上記の各ステップを備えたことを特徴とするコンピュータに実行可能なプログラムである。

なお、測定値間の分散行列又は相関行列を求めるステップは、例えば推定対象の測定機により得られた測定値の誤差に基づいて点間距離の測定値間の共分散行列又は相関行列を求めるステップである。

また、前記測定値間の分散行列又は相関行列を求めるステップは、前記推定対象の測定機の精度仕様に基づいて点間距離の測定値間の共分散行列又は相関行列を求めるステップであっても良い。 ここで、「推定対象の測定機に関する推定情報」とは、前記推定された「測定値の誤差」や推定された「点間距離の測定の不確かさ」のことをいう。また、「点間距離の測定」とは、空間距離の測定（２点間の長さ測定や原点に対する座標値の測定など）のみならず、相対温度測定、絶対温度測定、相対圧力測定、絶対圧力測定あるいは電圧測定などを含むものである。

なお、不確かさ推定の精度を更に向上させるためには、前記疑似測定値を生成するステップは、前記疑似測定値を複数回生成するステップであり、前記測定機の不確かさを推定するステップは、前記複数回分の疑似測定値を統計処理して前記測定機の不確かさを推定するステップであることが望ましい。

また、前記測定機が三次元測定機である場合には、前記疑似測定値を生成するステップを、前記三次元測定機の各軸方向の疑似測定値を各軸で独立に生成するステップとすれば良い。

本発明によれば、シミュレーションの手法を用いて疑似測定値を生成することにより理論計算が困難な不確かさを推定する事ができ、また、環境等の誤差要因を洗い出すための予備測定なしで不確かさを推定する事ができるため、既存法に比べユーザの負担が軽いという効果を奏する。

次に、本発明の実施の形態を、図面を参照して説明する。

図１は、この発明の一実施形態に係る測定機の不確かさ推定方法の手順を示すフローチャートである。この不確かさ推定方法は、例えばフローチャートに記述された手順を備えた不確かさ推定プログラムをコンピュータに実行させることにより実現される。

この推定プログラムの概要は、次の通りである。まず、コンピュータの中に擬似測定機を作り、その測定機に測定をシミュレートさせることにより擬似測定値を生成する。そして得られた測定値を統計処理することにより不確かさの推定を行う。その際、測定値間の相関を考慮しモンテカルロシミュレーションの出力に拘束をかけることにより、実際のデータと類似のデータを生成する。以下に測定値間の相関を考慮する事の重要性について述べる。

＜相関考慮の重要性＞
例として三次元測定機の測定値について考える。図２は三次元測定機でステップゲージを測定したデータである。横軸は測定位置、縦軸は測定誤差を表しており14台分のデータを合わせてプロットしている。この図を見ると、測定誤差にはランダムに揺らぐ成分と、測定長さに依存して緩やかに変化する成分とが含まれていることが分かる。そして両者を比べると、緩やかに変化する成分の方がランダム成分に比べて支配的であることがわかる。このような測定結果においては、測定を行う二点の間の距離が近いとその測定値（測定誤差）も比較的近い値となる。ここで見方を変えると、測定する二点間の距離が近いときはその測定値間の相関が大きくなり、測定する二点間の距離が遠くなると測定値間の相関が小さくなるとも見る事ができる。

一般の測定機についても同様のことが言える。例えばある測定機においてN個の測定を行ったとき、各測定の間の空間的または時間的な距離が近いものほど、似た値が得られる可能性が高いと推測することは容易である。

乱数を振り測定値を再現する際に、上で述べた測定値間の相関を考慮することが重要となる。たとえば図３、図４はそれぞれ三次元測定機でステップゲージを測定したときの誤差と、それを単純な乱数で擬似測定値を生成したものである（乱数は大きさのみを揃えた一様乱数）。図中の矢印の位置で二点間の距離を測定したとして両者の誤差を比較すると、単純な乱数を与えたものの方が実測値よりもかなり大きくなっている。これは明らかな過大評価である。つまり、このような単純な乱数を用いてモンテカルロシミュレーションを行うと、その結果は測定機の仕様を大きく超え、測定機の精度が無駄になる。以上の事より測定シミュレーションを行う際には測定値間の相関を考慮して擬似測定値を生成することが有効である。つまり実測値に良く似たデータを生成するために、相関を考慮しなければならない。

次に、図１に基づき、実際に相関を考慮し不確かさ推定を行うための方法について説明する。

まず、推定対象の測定機の測定値の誤差を推定する（Ｓ１）。測定値としては、例えば図５に示すような、実際の検査データ等を使用することができる。

次に、入力された測定値に基づいて、疑似測定値を生成する。疑似測定値の生成に際しては、拘束付きモンテカルロシミュレーション法（以下、「ＣＭＳ法」と呼ぶ。）を利用する。ＣＭＳ法は次の３段階で実行される。

（１）Ｓ１で求められた誤差の推定値に基づいて測定値間の共分散行列を作成する（Ｓ２）。

（２）共分散行列を固有値分解（直交基底分解）し、固有値と固有ベクトルを作成する（Ｓ３）。

（３）作成された固有ベクトルに結合係数として正規乱数を与え、それらを合成することにより擬似測定値を作成する。ただし各固有ベクトルにかかる乱数の期待値は０、分散は対応する固有値に一致するようにとる（Ｓ４）。

以下、ＣＭＳ法の３つの手順について詳細な説明を行う。

（１）誤差の推定値に基づいて測定値間の共分散行列を作成する（Ｓ２）。

今、ｍ個の値［ｘ_１，ｘ_２，…，ｘ_ｍ］をｎ回測定したとする。

それらを並べて、下記数１のように測定値行列Ｘを作成する。

測定値行列Ｘにおいて、各測定値の平均値／ｘ_ｉ（但し、／は上付バーの意、以下同様）（ｉ＝１，２，…，ｍ）を引くと、下記数２のような誤差行列Ｘ_ｅとなる。この行列要素は、平均値を真値であるとした場合の誤差（推定情報）にあたる。

但し、

測定値間の共分散行列Ｃは、誤差行列Ｘ_ｅを用いて、

として求めることができる。この行列の対角項は、

となり、非対角項は、

但し、

となり、それぞれ分散、共分散となっている。（２）共分散行列を固有値分解（直交基底分解）し、固有値と固有ベクトルを作成する（Ｓ３）。

共分散行列Ｃは、数６のように表すことができる。

固有ベクトル：

固有値：

ここで、固有ベクトルはすべて直交するようにとる。すなわち、異なる固有値に属する固有ベクトルは元々直交しているが、固有値が同じ値の場合はそうとは限らないため、それらを直交化させる必要がある。

（３）作成された固有ベクトルに結合係数として正規乱数を与え、それらを合成することにより擬似測定値を作成する（Ｓ４）。

いま、ε_ｉを乱数として、疑似測定値＾ｘ（但し、＾は上付を示す。）は、下記数７のように求める。

但し、各乱数ε_ｉは、

となるようにする。

各乱数をＮ個与えることにより、擬似測定値＾ｘをＮ個（＾ｘ_１，＾ｘ_２，…，＾ｘ_Ｎ）生成することができる。

これらＮ個の値の共分散行列はもとのデータの共分散行列と一致する。このようにして得られたデータを擬似測定値として統計処理をすることにより、測定機の不確かさを推定することができる（Ｓ５）。

例えば図５に示されるようなデータを用いて相関行列を作成し擬似測定値を生成した結果が図６である。

元データ（図５）と似たデータがシミュレーションにより得られていることが確認できる。

＜シミュレーション手法の重要性＞
次にシミュレーションの手法を用いる事の重要性について説明する。これまでの説明は1次元長さの測定であり、このような複雑な手段を用いなくても不確かさを推定することは可能である。初めに用いたデータから直接不確かさを推定することも可能である。しかし測定機構の積み重ねにより、何らかの測定が行われる場合は単純ではない。三次元測定機はｘ，ｙ，ｚ軸独立に動く機構を持ち、その測定誤差はそれらが積み重なった形で現れる。またその測定はユーザが自ら測定位置を決めて測定を行い、得られた測定結果に対しても複雑な演算処理が施され、ワークは様々な形体パラメータ（直角度、真円度、平面度等）として評価される。

このような複雑な測定に対する不確かさを求める時、シミュレーションに依る方法が真価を発揮する。例えば前述の一次元で行った手順を三次元の各軸で独立に行い、各軸方向の擬似測定値を生成すれば、三次元空間上での誤差を含んだ疑似測定値を作り出す事ができるので、この疑似測定値から形体パラメータの計算を行う。そして、この疑似測定値と形体パラメータの計算を繰り返し行い、得られた結果の統計をとることにより、測定の不確かさを推定する事ができる。

このように、多次元空間の互いに直交している各軸方向の分散に差をつけて乱数を与えることにより、元のデータと類似の分布を再現することが可能となる。また各軸が直交しているため、各々の軸方向に独立に乱数を与える事ができることも本実施形態の大きな特徴である。

なお、以上の実施形態では、測定値間の共分散行列を求める方法として、推定対象の測定機より得られた測定値の推定誤差行列を用いたが、推定対象である測定機の精度仕様が予め既知の場合には、測定値の推定誤差を使用せずに、測定値間の共分散行列又は相関行列を求めることができる。

そのような実施形態を図７に示す。この実施形態では、推定対象の測定機の精度仕様に基づいて、点間測定として例えば長さ測定の不確かさを推定し（Ｓ１１）、（イ）この長さ測定の不確かさ（推定情報）から分散を算出すると共に、（ロ）算出された分散を構成する共分散を評価長さの距離の増大に従って減少する関数（例えば２次関数）で近似し、（ハ）共分散行列又は相関行列を求める（Ｓ１２）、という方法を用いている。

この実施形態によれば、様々な段取りを必要とする実際の測定を行う必要がないという点で、実用上は極めて効率的であるという効果を奏する。

この発明の一実施形態に係る不確かさ推定方法を示すフローチャートである。 三次元測定機でステップゲージを測定して得られた測定値を示す図である。 同測定値の測定誤差を示す図である。 同測定値に代えて単純な乱数で疑似測定値を生成した場合の測定誤差を示す図である。 本実施形態の入力データの一例である検査データを示す図である。 本実施形態により生成される疑似測定値を示す図である。 この発明の他の実施形態に係る不確かさ推定方法を示すフローチャートである。

Claims (6)

1. 推定対象の測定機に関する推定情報に基づいて前記測定機で得られる測定値間の共分散行列又は相関行列を求めるステップと、
   このステップで求められた共分散行列又は相関行列を固有値分解することにより固有値と固有ベクトルを求めるステップと、
   このステップで求められた各固有ベクトルに対して、期待値が０で、且つ分散がその固有ベクトルに対応する固有値となるような正規乱数を結合係数として生成し、全固有ベクトルの線形結合をとることにより前記測定機の擬似測定値を生成するステップと、
   このステップで得られた擬似測定値を統計処理することにより前記測定機の不確かさを推定するステップと
   を備えたことを特徴とする測定機の不確かさ推定方法。
2. 前記測定値間の分散行列又は相関行列を求めるステップは、
   前記推定対象の測定機により得られた測定値の誤差に基づいて点間距離の測定値間の共分散行列又は相関行列を求めるステップである
   ことを特徴とする請求項１記載の測定機の不確かさ推定方法。
3. 前記測定値間の分散行列又は相関行列を求めるステップは、
   前記推定対象の測定機の精度仕様に基づいて点間距離の測定値間の共分散行列又は相関行列を求めるステップである
   ことを特徴とする請求項１記載の測定機の不確かさ推定方法。
4. 前記疑似測定値を生成するステップは、前記疑似測定値を複数回生成するステップであり、
   前記測定機の不確かさを推定するステップは、前記複数回分の疑似測定値を統計処理して前記測定機の不確かさを推定するステップである
   ことを特徴とする請求項１〜３のいずれか１項記載の測定機の不確かさ推定方法。
5. 前記測定機は、三次元測定機であり、
   前記疑似測定値を生成するステップは、前記三次元測定機の各軸方向の疑似測定値を各軸で独立に生成するステップである
   ことを特徴とする請求項１〜４のいずれか１項記載の測定機の不確かさ推定方法。
6. 推定対象の測定機に関する推定情報に基づいて前記測定機で得られる測定値間の共分散行列又は相関行列を求めるステップと、
   このステップで求められた共分散行列又は相関行列を固有値分解することにより固有値と固有ベクトルを求めるステップと、
   このステップで求められた各固有ベクトルに対して、期待値が０で、且つ分散がその固有ベクトルに対応する固有値となるような正規乱数を結合係数として生成し、全固有ベクトルの線形結合をとることにより前記測定機の擬似測定値を生成するステップと、
   このステップで得られた擬似測定値を統計処理することにより前記測定機の不確かさを推定するステップと
   をコンピュータに実行させるようにした
   ことを特徴とする測定機の不確かさ推定プログラム。