JP2004532483A5

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Publication number: JP2004532483A5
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Filing date: 2002-05-23
Publication date: 2007-06-21

Description

連立微分方程式における不一致性に関する誤り情報の提供方法

発明の詳細な説明

本発明は、連立微分方程式（System von DifferentialgleichungenSystem of defferential equations）における不一致性（矛盾、Inkonsistenzen）に関する誤り情報（Fehlerinformationen）の提供方法に関するものである。

従来技術から、連立微分方程式によって技術システムを描写することが知られている。特定のスタート条件または境界条件用に、連立微分方程式の解を計算する（演算する、berechnet）ことによって、コンピューターシステムまたはアナログ式計算機による数値法を用いて、連立微分方程式をシミュレーションすることができる。例えば、技術システムの描写および典型的なシミュレーション方法については、各専門分野の基礎的な学術書（Standardwerken）から読みとることができる。これに関して、詳細な手引は、例えば、G. Schmidt『自動制御技術の基礎（Grundlagen der Regelungstechnik）』（第２版、シュプリンガー出版、ベルリン、１９８７年）、Unbehausen『自動制御技術Ｉ（Regelungstechnik I）』（第６版、Friedr. Viehweg & Sohn出版、ブラウンシュヴァイク／ヴィスバーデン、１９８９年）、Unbehausen『自動制御技術ＩＩ（Regelungstechnik II）』（第５版、Friedr. Viehweg & Sohn出版、ブラウンシュヴァイク／ヴィスバーデン、１９８９年）、Unbehausen『自動制御技術ＩＩＩ（Regelungstechnik III）』（第２版、Friedr. Viehweg & Sohn出版、ブラウンシュヴァイク／ヴィスバーデン、１９８６年）、E. Pfeiffer『動態論入門（Einfuehrung in die Dynamik）』（B.G.Teubner出版、シュトゥットガルト、１９８９年）、E. Ziegler編『トイブナーの、ポケット版数学の本（Teubner-Taschenbuch der Mathematik）』（B.G.Teubner出版、シュトゥットガルト、１９９６年）に提示されている。シミュレーションを行う際、連立微分方程式の数値解法が中断する、という問題が頻繁に生じる。なぜなら、微分方程式の基本関数が特異だからである。同じ理由から、アナログ式計算機がシステム性能（システム評価、Systemverhalten）を予測できないということが生じてしまう。加えて、連立微分方程式を解くと、解が不明瞭になることが多い。

このような場合、従来技術から、微分方程式を解くためにプログラマーまたはプログラムの利用者に誤りを探索してもらうことが知られている。広範な経験（viel Erfahrung）によって、特異点の原因を発見でき、場合によっては技術システムをモデル化する際に誤りを低減できる。この方法を行うには、常に、時間およびコストが多大にかかってしまう。Chowdhry S.他「大規模な連立微分代数の自動的構造分析（Automatic structure analysis of large scale differential algebraic systems）」（『第１８回ＩＥＥＥ計測および測定技術会議ＩＭＴＣ２００１議事録、ブタペスト、ハンガリー、２００１年５月２１日―２３日』、ＩＥＥＥ計測および測定技術会議(IMTC):ニューヨーク、NY:IEEE、アメリカ、第１８回会議１〜３号、２００１年５月２１日、７９８−８０３ページ）には、非常に大きな連立微分代数方程式の自動的構造分析方法が開示されている。この方法は、数値情報および記号情報の両方を考慮し、線形項（linearen Termen）の効果を数学的システムに含め、連立微分代数方程式の構造の非常に正確な写しを提供している。学術論文Unger J.他「連立微分代数方程式の構造分析−理論および応用（Structual analysis of differential-algebraic equation systems − theory and applications）」（Comt Chem Eng; Computers & Chemical Engineering Aug 1995 Pergamon Press Inc, Tarrytown, NY, USA, １９巻８号、１９９５年８月、８６７−８８２ページ）には、連立微分代数方程式の構造上の特性を考慮した、構造アルゴリズムが開示されている。この論文によると、体系的に異なる構造上の２つのアプローチが、コンピューターシステムに実行され、このことによって、連立微分代数方程式が構造的に分析される。このコンピュータープログラムは、インデックスをわずかに有するシミュレーションモデルの開発（Entwicklung）を指示するための別々のプログラムとして、および、シミュレーション環境ＤＩＶＡの構成要素としても用いられる。このことによって、適切な数値アルゴリズムを選択でき、初期条件を矛盾なく計算できる。学術刊行物Reissig Gunter他「インデックス１の微分代数方程式は代数の高い構造インデックスを有することができる（may）」（Siam J. SCI. Comput.; Siam Journal of Scientific Computing 2000 SOC for Industrial & Applied Mathematics Publ, Philadelphia, PA, USA, ２１巻６号、２０００年、１９８７−１９９０年）には、一定の係数およびインデックス１を有する、線形微分代数方程式の構造インデックスを、任意に大きくでき、その限りでは、この文献に以前開示された結果と矛盾している。この刊行物から、さらに、インデックス１を有する微分代数方程式が用いられる場合、パンテリドアルゴリズム（Pantelides algorithm）が、任意の大きい数の反復および導関数を実行することが分かる。

したがって、本発明の目的は、連立微分方程式における不一致性に関する誤り情報の提供方法を提示することにある。

この目的を、独立請求項の内容（Gegenstand）によって解決する。有効な新形態（Weiterbildungen）については、各従属請求項に記載する。

本発明の基本理念は、あらかじめシミュレーション前に、つまり、数値計算工程を行う前、または、アナログ計算機の組み立て前に、組み合わせ論の方法を用いて連立微分方程式の不一致性を調査するというものである。このような不一致性に関する情報がある場合、後のシミュレーション工程において、望ましくない中断の原因となったり、システムをまったくシミュレートしないようになったりという、技術システムをモデル化する際に生じる誤り、または、技術システム自体の誤りを低減できる。これにより、中断するまで時間をかけてシミュレーションを実行したり、シミュレーションを試行したりする必要はなくなる。このため、技術システムのモデルの補正、または技術システム自体の補正は、不一致性に関する情報が存在することによって、明らかに行いやすくなる。

本発明の方法の第１のステップでは、従属行列（Abhaengigkeitsmatrix）Ａの設定を提示する。この従属行列Ａの列は、連立微分方程式の解ベクトルｘの次元（Dimension）と同じように（wie）多い。また、この従属行列Ａの行は、所定の連立微分方程式における微分方程式の数と同じように多い。

なお、本明細書の行列Ａは、

を示し、またｘは、

を示し、またｘ（ｔ）は、

を示し、またｆは、

を示し、またｐは、

を示す。

本発明は、同次多項式（１）（Form）

で表される連立微分方程式に限定されるものではない。このことを、技術システムをシミュレートするための微分方程式が、例えば同次多項式（７）

を有している特殊な場合にも使用できる。このような場合、連立微分方程式について言及しているのではなく、通常、非線形連立方程式について言及しているのである。

さらに、不一致性に関して、シミュレートするために備えられた連立微分方程式自体を調査する必要はない。むしろ、同一の技術システムまたは同一の技術プロセスを記載する他の連立微分方程式を、不一致性に関して調査する場合がある。このことは、直近に指定された連立微分方程式の構造が、後にシミュレートされる構造よりも簡単である場合に有効であるといえる。例えば、電気網をシミュレートする場合、通常、数値シミュレーションの変更された（modifizierten）結節点電圧分析は、いわゆる枝電圧枝電流方程式（Zweigspannungs-Zweigstrom-Gleichungen）の構成が非常に簡単であるにもかかわらず、数値シミュレーションの基礎である。簡単な構成の連立微分方程式を調査することによって、不一致性をより多く検出できる場合があり、または不一致性を強く限定できる場合がある。

従属行列Ａは、その要素Ａ（ｉ、ｊ）が、「０」または「０以外」の値に設定される行列である。従属行列Ａの要素の絶対値については考慮しない。ｆの第ｉ行が、ｘのｊ番目の要素の関数であるか、または、ｘのｊ番目の要素の導関数の何れかの関数である場合、要素Ａ（ｉ、ｊ）が０以外の値に設定される。それ以外の全ての場合、要素Ａ（ｉ、ｊ）は０に設定される。

本発明の方法に関して、従属行列Ａを実際に明示的に設定するかどうかは、重要ではない。より詳細には、ｆのｉ行がｘのｉ要素の関数であるか、または、その導関数のうちの１つに応じて変化するかという情報が次の方法工程において用いられるということが重要である。

本発明の方法の第２のステップでは、行階数からなる集合が決定される。各行階数は、従属行列Ａの互いに従属な行の番号、あるいは、連立微分方程式の互いに従属な行の番号を含む。さらに、従属行列Ａの列階数からなる集合が決定される。各列階数は、従属行列Ａの互いに従属な列の番号、あるいは、ｘまたはその導関数の互いに従属な成分の番号を含む。

「行階数」とは、ここでは、以下のことである。すなわち、１≦ｉ≦ｎである自然数ｉからなる集合Ｃｚがｎ行およびｍ列を有する行列の行階数であるとは、集合Ｃｚが以下の条件を満たすことである。

（ｉ）行添字の集合がＣｚを含むような、行列Ａの横断線Ｔは存在しない。

（ｉｉ）Ｃｚの任意の要素ｃに対し、行添字の集合がＣｚ＼｛ｃ｝を完全に含むような、行列Ａの横断線Ｔが存在する。

ここで、Ｃｚ＼｛ｃ｝は、集合Ｃ_Ｚから要素ｃを取り除いた集合を示している。

行列Ａの横断線Ｔとは、以下のことである。つまり、ｎ行およびｍ列を有する行列Ａの横断線とは、０でない行列要素Ａ（ｉ、ｊ）の位置（ｉ、ｊ）からなる集合のひとつであって、同一行または同一列に対応する２つ以上の要素を有しない集合である。すなわち、対（ｉ，ｊ）（１≦ｉ≦ｎ、１≦ｊ≦ｍ）からなる集合Ｔが行列Ａの横断線であるとは、Ｔが以下の条件（i）（ii）を満たしていることである。

（ｉ）Ａ（ｉ，ｊ）は、Ｔの全ての要素（ｉ，ｊ）に対してゼロではない。

（ｉｉ）（ｉ，ｊ）と（ｉ’，ｊ’）とがＴの２つの異なる要素であれば、すなわち、ｉ≠ｉ’またはｊ≠ｊ’であれば、ｉ≠ｉ’かつｊ≠ｊ’が成立する。

この場合、本発明では、従属行列Ａの可能な横断線のうちの１つを計算しても、あまり意味がない。ここではむしろ、概念「行階数」および「列階数」について詳述するために、概念「横断線」の定義が必要である。

「横断線Ｔの行添字」とは、以下のことである。「横断線Ｔの行添字」からなる集合Ｚは、要素として、Ｔの要素の行添字を有している。言い換えると、集合Ｚは、丁度、あるｊが存在して、（ｉ、ｊ）がＴの要素となるような、番号ｉからなる集合である。

また、ｎ行およびｍ列を有する行列Ａの列階数とは、１≦ｉ≦ｍである自然数ｉからなる集合Ｃｓであって、以下の条件を満たす集合Ｃｓのことである。

（ｉ）列添字の集合がＣｓを含むような、行列Ａの横断線Ｔは存在しない。

（ｉｉ）Ｃｓの任意の要素ｃに対し、列添字の集合がＣｓ＼｛ｃ｝を完全に含むような、行列Ａの横断線Ｔが存在する。

この「横断線Ｔの列添字の集合」とは、要素として、行列Ａの横断線Ｔの要素の列添字を含んだ集合Ｚのことである。言い換えると、集合Ｚは、丁度、あるｉが存在して、（ｉ、ｊ）が行列Ａの横断線Ｔの要素となるような、番号ｊの集合である。

本発明の第２のステップを実行した後、それぞれ、従属行列Ａの互いに従属な行の番号、あるいは、連立微分方程式の互いに従属な行の番号を含む行階数の集合が得られる。さらに、それぞれ、従属行列Ａの互いに従属な列の番号、あるいは、ｘまたはその導関数の互いに従属な成分の番号を含む従属行列Ａの列階数の集合が得られる。

この情報によって、出発点として存在している連立微分方程式の構造誤りを特に簡単に推論できる。本来の連立微分方程式におけるこのような構造誤りまたは不一致性は、連立微分方程式の解を計算する際に、誤りを度々引き起こす。

本発明の方法を実行する際の基本的な工程とは、行階数および列階数を発見するという工程である。行階数および列階数の発見方法は、公知である。文献中のキーワードである「方程式の構造上最小に（minimally）特異的な部分集合」（参照：C.C. Pantelides「連立微分代数の矛盾のない初期化（the consistent initialization of differential-algebraic systems）」（SIAM J. Sci. Statist. Comput., 9(2):213-231, １９８８年３月））から、「行階数」の計算方法が分かる。「列階数」を決定する行列から転置行列を決定する場合、「列階数」を決定するために、「行階数」の決定方法を使用できる。行列の列階数を決定するために、それに相当する転置行列の行階数を決定する。

このような本発明の方法に関する行階数および列階数の決定は、限定的に理解されるべきものではない。より正確には、行階数および列階数が存在するための残りの条件を満たしている限り、行階数および列階数の他の決定方法を用いることもできる。

本発明の方法の最後のステップでは、ステップ２にしたがって決定された各行階数および各列階数に対し、その行階数および列階数に含まれている番号を出力する（ausgegeben）。これらの数は、行階数に関しては、構造上の問題がある場合のある、連立微分方程式における方程式の連続番号（laufenden Nummern）を示している。列階数の場合、そこに含まれ、誤り情報として出力された数は、構造上の問題がある場合のある、解ベクトルｘの成分の番号を示している。

本発明の方法によって、数値計算工程の実行前またはアナログ計算機の組み立て前に、システムの一致性に関して、計算される連立微分方程式の構造を検査できる。本発明の方法によって、連立微分方程式の不一致性が認識された場合、連立微分方程式の構造上起こりうる誤りを大部分確認できる。これによって、誤り探索を促進し、さらに、時間のかかるシミュレーションテストを回避できる。

本発明の方法を、連立微分方程式の数値解法および連立微分方程式の解法によるどのシミュレーションシステムの場合にも、アナログ計算機を用いることによって使用できる。

本発明の特に有効な一形態では、本発明の方法のステップ１を実行する前に、長さｎの方程式有意表（Gleichungs-Bedeutungsliste）を作成する。この表では、連立方程式の各方程式に、方程式番号および／または方程式テキスト情報が割り当てられている。同様に、本発明の方法のステップ１を実行する前に、長さｍの成分有意表（Komponenten-Bedeutungsliste）を作成する。このリストでは、解ベクトルｘの各成分に、成分番号および／または成分テキスト情報が割り当てられている。この場合、有意表にそれぞれ作成された方程式テキスト情報または成分テキスト情報を、シミュレートされる技術システムとの関連で有効なように選択する。これによって、シミュレートされた技術システムの構成要素およびシミュレートされる技術システムの部分構造（Teilstrukturen）を、連立微分方程式の方程式および解ベクトルｘの成分に割り当てることができる。なお、この成分は、本発明の方法によって出力された誤り情報の解釈を簡易化するものである。

また、本発明の方法のステップ３では、そのために、各行階数に含まれる番号を出力する代わりに、方程式有意表に応じて、方程式番号および／または方程式テキスト情報を出力する。行階数に整数ｉが含まれている場合に、番号ｉを出力せずに、むしろ、方程式有意表のｉ番目の成分の内容（Inhalt）を出力する。同様に、本発明の方法のステップ３では、各列階数に含まれる番号を出力する代わりに、成分重要度リストに応じた成文番号および／または成分テキスト情報を出力する。列階数に番号ｊが番号として存在している場合に、番号ｊを出力するのではなく、むしろ、成分重要度リストのｊ番目の成分の内容を出力する。

本発明の方法のこの形態によって、誤り情報として、シミュレートされる技術システムと直接的に関連のある重要度内容物（Bedeutungsgehalte）を出力する。この誤り情報によって、技術システムの構造中のシステムエラーを、特に簡単に説明できる。この結果、誤り探索はさらに促進される。

また、本発明の方法では、少なくとも１つの記憶素子、演算装置、入力装置、および、出力装置を備えたデジタル計算機を使用することが好ましい。

また、本発明を、連立方程式における不一致性に関する誤り情報を提供するためのコンピュータープログラム中でも実現できる。このコンピュータープログラムを、システム特性、スタート条件または境界条件、および、システムへの従属の入力後に、本発明の方法を前述の請求項のうちの１つにしたがって実施できるように設計すると、シミュレーション、解ベクトル、または、異なる時点での解ベクトルの結果を出力できる。さらに、コンピュータープログラムが、主として前述の請求項のうちの１つにしたがって不一致性に関する情報を提供することもできる。

本発明のコンピュータープログラムによって、公知のシミュレーションプログラムおよびシミュレーション方法と比べて、ランタイムが著しく改善される。なぜなら、多数の誤りのあるプログラム実行またはシミュレーションテストを回避できるからである。

さらに、本発明は、そのようなコンピュータープログラムを有するデータキャリア（Datentraeger）に関するものである。また、本発明は、そのようなコンピュータープログラムの、電子データ網（例えばインターネット）から、データ網に接続されたコンピューターへのダウンロード方法に関するものである。

また、本発明のコンピューターシステムを、このシステム上で、連立方程式における不一致性に関する誤り情報の本発明の提供方法を実行できるように設計する。

最後に、本発明は、微分方程式における不一致性に関する誤り情報を提供するための本発明の方法および／またはコンピューターシステムの使用に関するものでもある。

本発明の方法では、初めにシステム（つまり、プロセスを記載した連立微分方程式）、または、微分方程式を有していない例えば非線形連立方程式のような他の形態を設定する。この場合、ここで必要な方法は当業者に知られている。これについては、本明細書の初めに言及した専門文献に詳述されている。他にも、関連のコンピュータープログラムがある。

本発明の第１実施例は、技術システム（図示せず）のシミュレーションに関するものである。この技術システムを、図１の関数ｆ１、ｆ２、および、ｆ３およびパラメーターベクトルｐを有する同次多項式（Form）

の連立方程式（１）の数値解によって記載できる。

システムの動作（「性質」、Verhaltens des Systems）を予測するために、連立方程式を数値によって解く。つまり、１つ以上の時点ｔでの未知のベクトルｘ（ｔ）の値を求める。このために、公知の数値解法（説明は省略する）を用いる。この数値解法は、コンピューターシステム（図示せず）上でコンピュータープログラムとして実行するものである。

本発明にしたがって、連立方程式を実際に解く前に、連立方程式において不一致性に関する誤り情報の提供工程を実行する。

本発明の方法のステップ１では、図２に示した従属行列Ａを決定する。図２における従属行列Ａの０以外の全ての要素を、星（“＊”）で示す。

例示的に選び出された要素Ａ（１，１）を、ほぼ任意の０以外の値“＊”にする。なぜなら、ｆの第１要素（つまり下記数式（１１）

）が、ｘの第１要素（つまりｘ_１（ｔ））の関数だからである。

また、例示的に選び出された要素Ａ（３，１）を、値“０”にする。なぜなら、ｆの第３要素（つまり下記数式（１２）

）が、ｘの第１要素（つまりｘ_１ ^（Ｓ）（ｔ））の関数だからである。

本発明の方法のステップ２では、図２に示した従属行列Ａの行階数および列階数を検出するために、初めに、図２に示した従属行列Ａの横断線Ｔを決定する。（「最大基数２部整合（maximum cardinality bipartite matchings）」の）横断線の検出方法については、I. S. Duff「最大横断線を獲得するためのアルゴリズムについて（on algorithms for obtaining a maximum transversal）」（ACM Trans. Math. Software, 7(3)、３１５〜３３０ページ、１９８１年）、E. L. Lawler「組み合わせの最適化：ネットワークおよびマトロイド（Combinatorial Optimization: Networks and Matroids）」（Holt, Rinehart and Winston、１９７６年）、L. Lovasz，M. D. Plummer「マッチング理論（Matching Theory）」（North-Holland Mathematics Studies 121. Annals of Discrete Mathematics, 29. North-Holland, 1986）、または、C. C. Pantelides「微分代数システムの矛盾のない初期化（The consistent initialization of differential-algebraic Systems）」（SIAM J. Sci. Statist. Comput., 9(2)、２１３〜２３１ページ、１９８８年３月）に開示されている。

図２の横断線Ｔには３つの要素がある。ｎ＝ｍ＝３なので、図２の従属行列Ａには、行階数も列階数も存在していない。C. C. Pantelides「微分代数システムの矛盾のない初期化（The consistent initialization of differential-algebraic Systems）」に示した行の位の計算方法（「方程式の構造上最小に特異的な部分集合」）は、このような従属行列Ａの行階数を検出しない。そこで示された行階数の計算方法は、従属行列Ａの転置行列（Transponierten）のこのような行階数も検出しない。したがって、従属階数Ａの行階数は存在しない。また、ステップ２で決定された、従属行列Ａの行階数は存在しない。ステップ２で決定された、従属行列Ａの列階数も存在しない。それゆえ、本発明の方法のステップ３では、誤り情報は出力されない。

初めに提示した連立方程式を、誤りの発生なしに確率を高くすることによって解決できる。それにもかかわらず、シミュレーションが中断する場合、または、それが正しそうではない解を提供する場合、若しくは、それがまったく間違っている場合、技術システムの記載（Beschreibung）によって、あるいは高度の確立を有する技術システム自体において、構造上の誤りをなくすことができる。これによって、誤り探索が著しく簡単になる。

本発明の第２実施例は、他の技術システム（図示せず）のシミュレーションに関するものである。このシステムの動作を、図３の関数ｆ１、ｆ２、および、ｆ３およびパラメーターベクトルｐを有する下記同次多項式（１３）

の連立方程式（１）の数値解によって記載できる。

システムの動作を予測するために、連立方程式を数値によって解く。つまり、１つ以上の時点ｔでの未知のベクトルｘ（ｔ）の値を求める。このために、公知の数値解法（説明は省略する）を用いる。この数値解法は、コンピューターシステム（図示せず）上でコンピュータープログラムとして実行するものである。

本発明の方法のステップ１では、図４に示した従属行列Ａを決定する。図４における従属行列Ａの０以外の全ての要素を、星（“＊”）で示す。

例示的に選び出された要素Ａ（１，１）を、ほぼ任意の０以外の値“＊”にする。なぜなら、ｆの第１要素（つまり上記数式（１１））が、ｘの第１要素（つまりｘ_１（ｔ））の関数だからである。同じことが、成分Ａ（１，２），Ａ（１，３），Ａ（２，３）、および、Ａ（３,３）にも言える。

また、例示的に選び出された要素Ａ（３，１）を、値“０”にする。なぜなら、ｆの第３要素（つまり上記数式（１２））が、ｘの第１要素（つまりｘ１（ｔ））、および、ｘ（ｘ１（ｓ）（ｔ））の第１要素の導関数に依存していないからである。同じことが、成分Ａ（２，１），Ａ（３，２），および、Ａ（２,２）にも言える。

本発明の方法の工程２では、図４に示した従属行列Ａの行の位および列の位を検出するために、初めに、図４に示した従属行列Ａの横断線Ｔを決定する。

C. C. Pantelides「連立微分代数の矛盾のない初期化（The consistent initialization of differential-algebraic Systems）」に示した行階数の計算方法（「方程式の構造上最小に特異的な部分集合」）は、従属行列Ａの行階数{２,３}を検出する。また、ステップ２で検出された、従属行列Ａの行階数を、図４に提示する。

C. C. Pantelides「連立微分代数の矛盾のない初期化（The consistent initialization of differential-algebraic Systems）」に示した、従属行列Ａの転置行列に用いられる、行階数の計算方法（「方程式の構造上最小に特異的な部分集合」）によって、従属行列Ａの転置行列の行階数{１,２}を検出する。本発明にしたがって、従属行列Ａの転置行列の、この行階数を、従属行列Ａの列階数とする。また、ステップ２で検出された、従属行列Ａの列階数の量Ｓを提示する。ステップ３では、図５に提示した誤り情報を出力する。

本発明にしたがって、数値手段を有する基本システムの動作の予測を初めはテストしない。なぜなら、全体的にシミュレーションが可能な場合に誤りが生じるからである。むしろ、システムのモデル化およびシステム自体を、もう一度検算する必要がある。これにより、コンピューターシステム（図示せず）上の重要な演算時間を節約する。この誤り探索を、図３に提示した誤り情報を認識することによって、著しく簡単にする。

本発明の第３実施例は、図６に示した技術システムに関するものである。この技術システムの動作を、図３の関数ｆ１、ｆ２、および、ｆ３およびパラメーターベクトルｐを有する同次多項式（１３）の連立方程式（１）の数値解によって記載できる。

本発明にしたがって、連立方程式を実際に解く前に、連立方程式中の不一致性に関する誤り情報を次のように提供する。

前述の連立方程式の解は、図６に提示した電気ネットワークの、静止状態、または、「動作基点」または「ＤＣ解」である。なお、このネットワークは、
−ネットワークの結節点１と２との間の抵抗値Ｒを有する線形抵抗、
−ネットワークの結節点１と０との間の容量値Ｃ１を有する線形容量、および、
−ネットワークの結節点２と０との間の容量値Ｃ２を有する線形容量
からなる。

このことから、図３に提示したパラメーターベクトルｐの成分が、値Ｃ１、１／Ｒ、Ｃ２にしたがって生じる。

ｘ（ｔ）の成分ｘ１（ｔ）、ｘ２（ｔ）、および、ｘ３（ｔ）は、図６に示したネットワークの以下の大きさに相当する。
−ｘ１（ｔ）は、結節点１と０との間の電圧に相当する。
−ｘ２（ｔ）は、結節点２と０との間の電圧に相当する。
−ｘ３（ｔ）は、結節点１と２との間の電圧に相当する。

連立方程式の第１方程式、つまり方程式
ｆ１（ｘ１（ｔ）,ｘ２（ｔ）,ｘ３（ｔ）,ｐ１,ｐ２,ｐ３）＝０
は、図６のネットワークの、全ての３つのネットワーク成分からなる位用のキルヒホッフの電圧方程式である。

連立方程式の第２方程式、つまり方程式
ｆ２（ｘ１（ｔ）,ｘ２（ｔ）,ｘ３（ｔ）,ｐ１,ｐ２,ｐ３）＝０
は、図６のネットワークの結節点１用のキルヒホッフの電流方程式である。

連立方程式の第３方程式、つまり方程式
ｆ３（ｘ１（ｔ）,ｘ２（ｔ）,ｘ３（ｔ）,ｐ１,ｐ２,ｐ３）＝０
は、図６のネットワークの結節点２用のキルヒホッフの電流方程式である。

本発明にしたがって、図７に示した方程式有意表Ｇおよび図７に示した成分有意表Ｋを設計する。

前述の実施例にあるように、図４に示した、検出された行階数の量Ｚ、および、図４に示す検出された列階数の量Ｓとを決定する。

本発明の他の方法のステップ３では、図７の方程式有意表Ｇおよび成分有意表Ｋを用いることによって、図８に示した誤り情報を出力する。

図８に示した誤り情報から認識できることは、キルヒホッフの電流方程式が、図６のネットワークの結節点１および２に互いに線形に従属しあうことと、このネットワークの静止状態用の、図６のネットワークの結節点１と０との間および結節点２と０との間の両方の電圧とを、はっきりと決定できないということである。

本発明では、数値手段を有する基本システムの動作の予測を行わない。なぜなら、全体的にシミュレーションが可能な場合に誤りが生じるからである。正確に言えば、システムのモデル化およびシステム自体をもう一度検算する必要がある。その結果、コンピューターシステム（図示せず）上の重要な演算時間が節約される。この誤り探索は、図３に提示した誤り情報を認識することによって、著しく簡単になる。

本実施の形態に係る数式を示す図である。本実施の形態に係るその他の数式を示す図である。本実施の形態に係るその他の数式を示す図である。本実施の形態に係るその他の数式を示す図である。本実施の形態に係る処理の工程の一例を示す図である。本実施の形態に係る技術システムの一例を示す図である。本実施の形態に係るリストの一例を示す図である。本実施の形態に係るリストのその他の一例を示す図である。

Claims

所定のネットワーク特性、境界条件、および／または、ネットワークへの所定の影響を発端とする、電気ネットワークの動作の予測方法であって、上記予測方法は、
上記コンピュータシステムが、上記電気ネットワークを記述しており、かつ下記数式（１）、

で表される連立方程式（１）、つまり

の連立方程式（２）であって、
ｘ（ｔ）およびその導関数（３）、

は、ｍ個の要素をそれぞれ有しており、またｐは上記連立方程式に発生するパラメーターベクトルである連立方程式を利用可能にする工程と、
上記コンピューターシステムが、上記連立方程式の不一致性に関する誤り情報を提供するためのテスト方法を実行する工程とを含み、
上記テスト方法は、上記コンピュータシステムが実行する、以下のステップ１〜ステップ３を有している予測方法。
ステップ１：
ｍ列およびｎ行を有する従属行列Ａを設定するステップであって、ｆのｉ番目の行、すなわち下記式（４）

が、
ａ）ｘのｊ番目の要素（つまりｘ_ｊ（ｔ））、または
ｂ）ｘのｊ番目の要素の導関数のうちの１つ（つまりｘ_ｊ ^（ｓ）（ｔ））、
の関数である場合、上記従属行列Ａの要素Ａ（ｉ，ｊ）を、

となるように設定し、
そうでない場合、上記従属行列Ａの要素Ａ（ｉ，ｊ）を、

となるように設定するステップ。
ステップ２：
従属行列Ａの互いに従属な行の番号を含む行階数の集合を決定するとともに、従属行列Ａの互いに従属な列の番号を含む列階数の集合を決定するステップ。
ステップ３：
ステップ２にて決定した各列階数に対する、および、ステップ２にて決定した各行階数に対する誤り情報、特に、そこに含まれる番号を出力するステップ。
上記コンピュータシステムは、
上記ステップ１を実行する前に、連立方程式における各方程式に、方程式番号および／または方程式テキスト情報が割り当てられている、長さｎの方程式有意表を作成し、
また、上記ステップ１を実行する前に、解ベクトルｘの各成分に、成分番号および／または成分テキスト情報が割り当てられている、長さｍの成分有意表を作成し、
上記ステップ３では、各行階数に含まれる番号を出力する代わりに、方程式有意表に応じて、方程式番号および／または方程式テキスト情報を出力し、
また、上記ステップ３では、各列階数に含まれる番号の出力に代えて、成分有意表に応じて、成分番号および／または成分テキスト情報を出力することを特徴とする請求項１に記載の方法。
請求項１または請求項２に記載された、電気ネットワークの数値シミュレーション方法を、上記コンピュータシステムに実行させるためのプログラム命令を有するコンピュータープログラム。
コンピューター記憶素子に格納されている請求項３に記載のコンピュータープログラム。
読出し専用記憶素子に格納されている請求項３に記載のコンピュータープログラム。
請求項３に記載のコンピュータープログラムを格納する格納手段、および／または、上記コンピュータプログラムを実行する実行手段を備えたコンピューターシステム。
請求項３に記載のコンピュータープログラムを、例えばインターネットのような電子データ網に接続されたコンピュータが、該電子データ網からダウンロードする方法。
請求項１または請求項２に記載された、電子ネットワークの数値シミュレーション方法を、上記コンピュータシステムに実行させるためのプログラム命令を含む、コンピュータープログラムが格納されている、キャリア媒体（Traegermedium）、特にデータキャリア。
コンピューター上で実行されるコンピュータープログラムまたはアナログ計算機を用いて解かれる連立方程式の不一致性に関する誤り情報を提供するためのコンピュータープログラムであって、
上記コンピュータープログラムは、コンピュータ上で実行されるコンピュータープログラムまたはアナログ計算機を用いて解かれる、下記数式（１）、

で表される連立方程式（１）、つまり、

の連立方程式（２）であって、
ｘ（ｔ）およびその導関数（３）、

は、ｍ個の要素をそれぞれ有しており、またｐは上記連立方程式に発生するパラメーターベクトルである連立方程式の不一致性に関する誤り情報を提供する方法をコンピュータシステムに実行させることができるように形成されており、
上記方法は、上記コンピュータシステムにより実行される、以下のステップを有する、コンピュータープログラム。
ステップ１：
ｍ列およびｎ行を有する従属行列Ａを設定するステップであって、ｆのｉ番目の行、すなわち下記式（４）

が、
ａ）ｘのｊ番目の要素（つまりｘ _ｊ（ｔ））、または
ｂ）ｘのｊ番目の要素の導関数のうちの１つ（つまりｘ _ｊ ^（ｓ）（ｔ））、
の関数である場合、要素（下記式（５））

となるように設定し、
そうでない場合は、要素（下記数式（６））

となるように設定するステップ。
ステップ２：
従属行列Ａの互いに従属な行の番号を含む行階数の集合を決定するとともに、従属行列Ａの互いに従属な列の番号を含む列階数の集合を決定するステップ。
ステップ３：
ステップ２にて決定した各列階数に対する、および、ステップ２にて決定した各行階数に対する誤り情報、特に、そこに含まれる番号を出力するステップ。
請求項９に記載のコンピュータープログラムにおいて、
不一致性に関する誤り情報の提供方法に関して、上記コンピュータシステムに、
上記ステップ１を実行する前に、連立方程式における各方程式に、方程式番号および／または方程式テキスト情報が割り当てられている、長さｎの方程式有意表を作成させ、
また、上記ステップ１を実行する前に、解ベクトルｘの各成分に、成分番号および／または成分テキスト情報が割り当てられている、長さｍの成分有意表を作成させ、
上記ステップ３では、各行階数に含まれる番号の出力に代えて、方程式有意表に応じて、方程式番号および／または方程式テキスト情報を出力させ、
また、上記ステップ３では、各列階数に含まれる番号の出力に代えて、成分有意表に応じて、成分番号および／または成分テキスト情報を出力させるように形成されていることを特徴とする、コンピュータープログラム。
請求項９または請求項１０に記載のコンピュータープログラムを備えたデータキャリア。
コンピューター記憶素子に格納されている、請求項９または請求項１０に記載のコンピュータープログラム。
読み出し専用記憶素子に格納されている、請求項９または請求項１０に記載のコンピュータープログラム。
請求項９または請求項１０に記載のコンピュータープログラムを記憶する記憶手段、および／または、上記コンピュータプログラムを実行する実行手段を備えたコンピューターシステム。
請求項９または請求項１０に記載のコンピュータープログラムを、例えばインターネットのような電子データ網に接続されたコンピュータが、該電子データ網からダウンロードする方法。