FR2502353A1

FR2502353A1 - Filtre de longueur d'onde accordable et independant de la polarisation

Info

Publication number: FR2502353A1
Application number: FR8204209A
Authority: FR
Inventors: Rodney Clifford Alferness
Original assignee: Western Electric Co Inc
Current assignee: AT&T Corp
Priority date: 1981-03-19
Filing date: 1982-03-12
Publication date: 1982-09-24
Also published as: DE3209927C2; NL8201133A; GB2095419B; JPH035563B2; DE3209927A1; JPS57168220A; CA1176093A; GB2095419A; US4390236A; FR2502353B1

Abstract

L'INVENTION CONCERNE LES DISPOSITIFS ELECTRO-OPTIQUES. UNE CONFIGURATION DE CIRCUIT POUR UN FILTRE DE LONGUEUR D'ONDE COMPREND NOTAMMENT UN COUPLEUR A SELECTIVITE DE POLARISATION D'ENTREE 11 QUI SEPARE LES MODES TM ET TE, DES CONVERTISSEURS DE MODE A SELECTIVITE DE LONGUEUR D'ONDE 14, 15 QUI CONVERTISSENT D'UN MODE A L'AUTRE L'ENERGIE A LA LONGUEUR D'ONDE SELECTIONNEE, ET UN COUPLEUR A SELECTIVITE DE POLARISATION DE SORTIE 16 QUI COMBINE DANS UN CHEMIN DE PROPAGATION DE SORTIE 17 L'ENERGIE DES MODES TE ET TM A LA LONGUEUR D'ONDE SELECTIONNEE, ET COMBINE LE RESTE DU SIGNAL D'ENTREE DANS UN SECOND CHEMIN DE SORTIE 18. APPLICATION A L'OPTIQUE INTEGREE.

Description

La présente invention concerne les filtres opti-

ques de longueur d'onde accordables et indépendants de la polarisation. Les dispositifs optiques à ondes guidées, tels que des éléments de commutation et des filtres, tendent à fonctionner différemment pour différentes directions de polarisation des ondes. Ceci crée un problème dans la mesure o les fibres monomodes disponibles ne préservent

aucune direction de polarisation particulière. Il en ré-

sulte qu'un signal optique polarisé de façon linéaire qui est appliqué à l'extrémité d'entrée d'une fibre émerge à l'extrémité de sortie avec une polarisation elliptique arbitraire qui peut varier au cours du temps. Dans ces circonstances, un commutateur ou un filtre fonctionnant 1S avec une seule polarisation donnerait une diaphonie et des pertes élevées à un point inacceptable, chaque fois que la polarisation du signal reçu serait différente de la

polarisation particulière pour laquelle l'élément de com-

mutation est conçu.

Les efforts faits pour résoudre ce problème ont porté à la fois sur la fibre et sur les dispositifs. En

ce qui concerne la fibre, des fibres biréfringentes fabri-

quées spécialement, qui maintiennent une polarisation

linéaire, sont actuellement en cours d'étude et leur effi-

cacité n'a été prouvée que pour de courtes longueurs. En

outre, les questions concernant les pertes, la réalisa-

tion de câbles et la réalisation d'épissures n'ont pas

été traitées.

En ce qui concerne les dispositifs, les filtres

qui conviennent pour le multiplexage/démultiplexage mono-

mode comprennent les guides d'ondes plans rainurés (réseaux de diffraction) et un coupleur directionnel accordable de façon électrique. Lorsque ces dispositifs sont fabriqués dans des substrats biréfringents, ils donnent une réponse de filtre dont la longueur d'onde centrale dépend de la polarisation. La longueur d'onde centrale du filtre pour

les filtres à réseau de diffraction est directement propor-

tionnelle à l'indice effectif que voient les modes respectifs.

Pour le filtre à coupleur directionnel, la longueur d'onde

de coïncidence de phase dépend de l'intersection des cour-

bes de dispersion pour les deux guides d'ondes. Dans un cas comme dans l'autre, la biréfringence modale et de la matière conduit normalement à des longueurs d'onde centra-

les différentes pour les modes TE et TM.

Une difficulté supplémentaire concerne l'accord et elle est due au fait que les modes polarisés de façon

orthogonale voient des coefficients électro-optiques diffé-

rents. Il en résulte que les changements des deux indices qui sont produits par une tension d'accord commune sont

différents. Ceci fait qu'il est impossible d'accorder simul-

tanément les deux polarisations sur la même longueur d'on-

de centrale du filtre au moyen d'un seul signal d'accord.

L'invention sera mieux comprise à la lecture de

la description qui va suivre de modes de réalisation et en

se référant aux dessins annexés sur lesquels: La figure 1 représente, sous forme de schéma synoptique, un filtre à sélectivité de longueur d'onde, indépendant de la polarisation, conforme à l'invention La figure 2 représente un exemple de réalisation d'un coupleur à sélectivité de polarisation;

La figure 3 représente un autre mode de réalisa-

tion d'un coupleur à sélectivité de polarisation; La figure 4 représente un exemple de réalisation d'un convertisseur de mode à sélectivité de longueur d'onde;

La figure 5 représente un autre mode de réalisa-

tion d'un convertisseur de mode accordable à sélectivité de longueur d'onde; et Les figures 6, 7 et 8 représentent trois modes de

réalisation de l'invention en optique intégrée.

On va maintenant considérer les dessins sur les-

quels la figure 1 représente, sous forme de schéma synop-

tique, un filtre à sélectivité de longueur d'onde 10, indé-

pendant de la polarisation, qui correspond à l'invention.

Ce filtre comprend un coupleur à sélectivité de polarisa-

tion d'entrée il et un coupleur à sélectivité de polarisa-

tion de sortie 16, interconnectés au moyen de deux chemins de propagation d'ondes, 12 et 13, chacun d'eux comprenant un convertisseur de mode à sélectivité de longueur d'onde,

14 et 15. Les deux convertisseurs de mode sont avantageu-

sement identiques, comme on l'expliquera par la suite. Le filtre a pour but d'accepter un signal d'entrée à large

bande (c'est-à-dire à plusieurs longueurs d'onde) de pola-

risation arbitraire, et de séparer sélectivement par fil-

trage l'un des canaux. Ainsi, au cours du fonctionnement,

on applique un signal d'entrée multicanal à l'accès d'en-

trée du coupleur à sélectivité de polarisation d'entrée 11. Du fait que le signal d'entrée est polarisé de façon

arbitraire, il comprend des composantes polarisées ortho-

gonalement qui, dans des circuits optiques intégrés pré-

sentant un intérêt particulier, sont appelées modes TE et TM. Par conséquent, le signal d'entrée est désigné par

TE (7 1'%2...An) et TM( 21I %2 An) et dans ces dési-

gnations X 1' 7 2 An' sont les longueurs d'onde cen-

trales des canaux respectifs. Le coupleur à sélectivité de polarisation d'entrée 11, qu'on décrira ci-après de façon plus détaillée, sépare les deux modes et il transmet les

composantes de signal de mode TE vers le chemin de propa-

gation d'onde 12, et les composantes de signal de mode TM

vers le chemin de propagation d'onde 13. Chacune des com-

posantes de signal est à son tour transmise à un convertis-

seur de mode à sélectivité de longueur d'onde, dans lequel

le mode de l'un des canaux est converti en un mode orthogo-

nal. Ainsi, par exemple, si on doit séparer le canal accor-

dé sur A i' les convertisseurs de mode 14 et 15 sont conçus de façon à effectuer une conversion sélective entre les modes TE et TM à la longueur d'onde Ai. Par conséquent, le

signal de sortie du convertisseur 14 comporte une compo-

sante TM à la longueur d'onde i, et le reste des compo-

santes TE incidentes aux longueurs d'onde - Xi 1' Xi+l....An.De façon similaire, le signal de sortie du convertisseur 15 comprend une composante TE à la longueur d'onde Ai et le reste des composantes TM incidentes aux longueurs d'onde 1* Ai -l_' Ai+l... An* Les signaux qui sont ainsi produits sont transmis au coupleur à sélectivité de polarisation de sortie, 16,

qui fonctionne de la même manière que le coupleur d'entrée.

Ainsi, le coupleur 16 sépare les signaux de modesTM et TE.

Ainsi, la composante TM ( Ai) provenant du convertisseur 14 est transmise vers le chemin de propagation d'onde de sortie 17 et les composantes TE (1 1 A.. i-1' Si+î1 n)

sont transmises vers le chemin de propagation d'onde de sor-

tie 18. De façon similaire, les composantes TM (À 1 Ei-1' i+1.... n) qui proviennent du convertisseur 15 sont transmises vers le chemin de propagation d'onde de sortie 18 et la composante TE (À i) est transmise vers le chemin de propagation d'onde 17. L'effet global résultant est de séparer le canal \ i par rapport au reste du signal

d'entrée. Les canaux restants sont séparés, si on le dési-

re, en branchant en cascade des sections de filtre du type

représenté sur la figure 1 dans lesquelles les convertis-

seurs de mode de chaque section sont accordés sur une lon-

gueur d'onde de canal différente.

On va maintenant considérer la-figure 2 qui re-

présente un exemple de réalisation d'un coupleur à sélec-

tivité de polarisation qu'on peut utiliser pour mettre en oeuvre l'invention. Le coupleur, conçu pour être utilisé

dans un système optique, comprend un substrat électro-

optique biréfringent 22, dans lequel sont noyés deux gui-

des d'ondes diélectriques 20 et 21. Ces derniers, qui sont en couplage sur un intervalle L, sont fabriqués de façon

à avoir les mêmes constantes de propagation pour une direc-

tion de polarisation des ondes, mais des constantes de

phase notablement différentes pour des ondes polarisées.

orthogonalement par rapport à cette direction. On peut pro-

céder de diverses manières pour réaliser des dispositifs ayant ces caractéristiques. Par exemple, si le substrat est constitué par du niobate (ou du tantalatel de lithium

en coupe z, on forme tout d'abord une paire de guides d'on-

des identiques par pénétration de titane le long d'une ban-

de qui s'étend dans la direction y. Pour cette orientation du cristal, la constante de phase, (3TE' de la composante de mode TE est une fonction de nC, c'est-à-dire l'indice de réfraction ordinaire, tandis que la constante de phase, F TM' de la composante de mode TM, est fonction de ne ' c'est-à-dire l'indice de réfraction extraordinaire. Dans la mesure o n et ne pour les deux guides d'onde 20 et 21 sont les mêmes, on a:

TE(20) TE(21)

et

TM(20) = TM(21)

Pour détruire l'égalité pour le mode TM et pour

donner ainsi au couplage une sélectivité de mode, on mas-

que l'un des guides d'onde de façon appropriée et on sou-

met l'autre guide d'onde à une période de diffusion vers l'extérieur qui a pour effet de changer la valeur de ne

pour le guide qui est soumis à cette diffusion. Le résul-

tat final est que PTM(20) n'est plus égal à <TM(21)'

ce qui fait que le couplage n'a lieu que pour le mode TE.

Des électrodes 23, 24 et 25 sont établies pour le rattrapage des erreurs de fabrication dans les deux guides. En particulier, une seule électrode 25 est placée au-dessus du guide d'onde 21 et des électrodes séparées 23 et 24 sont placées au-dessus du guide d'onde 20. Des

tensions de commande V et -V sont respectivement appli-

quées aux électrodes 23 et 24 pour effectuer une commuta-

tion de -à ( alternée pour la composante de signal de mode TE, de la manière expliquée par H. Kogelnik et R.V.Schmidt dans leur article intitulé "Switched Direction Couplers with Alternating tP " publié dans le numéro de juillet 1976 de]a revuedel'Institute of Electrical and Electronics Engineers: Journal of Quantum Electronics, Vol. QE-12, n0 7.

La figure 3 représente un autre mode de réalisa-

tion d'un coupleur à sélectivité de polarisation, dans lequel le mode TM est le mode couplé et le mode TE est le mode transmis. Dans ce mode de réalisation, on emploie un substrat de cristal 30 en coupe x et, comme dans le mode de réalisation de la figure 2, on forme une paire de chemins de propagation d'onde identiques, 31 et 32, dans

la direction y. Cependant, du fait de l'orientation diffé-

rente du cristal, la constante de phase, PTE' pour le mode TE est fonction de ne, tandis que 18,, est fonction de nO. Pour découpler les guides d'onde pour le mode TE, l'un des guides d'onde est masqué de façon appropriée et

l'autre guide d'onde est exposé à un bain de nitrate d'ar-

gent (AgNO3). Cette exposition a pour effet de changer l'indice n e du guide exposé, ce qui fait que TE-31) i PTE(32) Ainsi, dans ce mode de réalisation, le mode TM

est le mode couplé et le mode TE est le mode transmis.

Des électrodes 33, 34 et 35 sont établies dans un but de réglage. Pour produire une composante de champ électrique dans la direction z, comme il est nécessaire lorsqu'on utilise un substrat de LiNbO3, les électrodes sont placées le long de côtés opposés de l'un au moins des guides. Ainsi, une électrode 33 s'étend sur toute la lorgueur de l'intervalle de couplage, le long d'un côté du guide d'onde 32. Les autres électrodes 34 et 35 sont placées entre les guides 31 et 32. Ici encore, on utilise la configuration d'électrodes séparées pour produire un couplage à - AP alterné. On peut placer facultativement une quatrième électrode 36 le long du bord extérieur du guide d'onde 31, pour réduire la tension nécessaire en produisant une variation symétrique des indice- entre les

deux guides d'onde.

Il convient de noter que du fait de la symétrie

du filtre qui est représenté sur la figure 1, on peut uti-

liser dans le filtre l'un ou l'autre des coupleurs décrits ci-dessus et, en fait, on peut utiliser un type de coupleur à une extrémité du filtre et l'autre type de coupleur à l'autre extrémité du filtre, à condition de respecter les

orientations nécessaires du cristal.

Les convertisseurs de mode 14 et 15 peuvent être l'un quelconque des nombreux dispositifs connus de ce type, et le dispositif particulier qui est sélectionné est fonction

de la coupe du cristal de la matière qui constitue le subs-

trat. Par exemple, un substrat de niobate (ou de tantalate) de lithium en coupe x impose l'utilisation d'électrodes interdigitées. Dans la mesure o c'est l'écartement entre les doigts d'électrodes qui détermine la longueur d'onde à laquelle la conversion de mode a lieu, il est important

que l'écartement soit le même pour les deux convertisseurs.

Ceci est réalisé dans la configuration représentée sur la figure 4, dans laquelle les deux convertisseurs de mode

14 et 15 partagent un jeu commun d'électrodes 43 et 44.

L'un des convertisseurs de mode comprend un guide d'onde

et les électrodes communes 43 et 44. L'autre convertis-

seur comprend un guide d'onde 41 et les électrodes commu-

nes 43 et 44.

Il convient de noter que les guides d'onde 40 et 41 ne sont pas en couplage. Le premier de ces guides d'onde, qui correspond au chemin de propagation d'onde 12 sur la figure 1, et l'autre guide d'onde, qui correspond au chemin de propagation d'onde 13 sur la figure 1, sont situés suffisamment loin l'un de l'autre pour empêcher

un tel couplage.

Une caractéristique souhaitable d'un filtre rési-

de dans sa possibilité d'accord électrique. La-figure 5, qu'on va maintenant considérer, montre un autre mode de réalisation d'un convertisseur de mode à sélectivité de

longueur d'onde qui peut être accordé de façon électrique.

En utilisant, à titre d'exemple, un cristal en coupe z avec propagation dans la direction y, chaque convertisseur comporte trois électrodes. Une première électrode uniforme

51 s'étend le long d'un guide d'onde 50, en couvrant par-

tiellement ce dernier. Cette électrode est connectée à

la masse et elle est utilisée en tant qu'électrode de ré-

férence pour des tensions de commande qui sont appliquées aux deux autres électrodes. Une seconde électrode uniforme 52 est placée d'un côté de l'électrode 51 et une troisième électrode 53, en forme de doigtsest placée du côté opposé de l'électrode 51. Pour des raisons qui apparaîtront, l'électrode 51 est décalée latéralement par rapport au

guide d'onde 50 dans la direction de l'électrode 52.

Comme on le sait, la conversion de mode dans un

cristal en coupe Z s'effectue par l'intermédiaire de l'élé-

ment non diagonal r51 du tenseur électro-optique réduit, par l'application d'une composante de champ électrique dans la direction x. Ainsi, le rendement de conversion de mode est réglé par l'application d'une première tension V1 à l'électrode 53. La longueur d'onde à laquelle la conversion de mode a lieu dépend des valeurs relatives des indices de réfraction effectifs pour les modes TE et TM, et de l'écartement entre doigts de l'électrode 53. Ainsi, pour accorder le convertisseur, on applique une seconde

tension V2 à l'électrode 52. La composante de champ résul-

tante dans la direction z agit sur r13 et r33 de façon à changer la longueur d'onde pour laquelle l'écartement

entre doigts est approprié.

Par exemple, en l'absence de tension appliquée,

la fréquence centrale du filtre A est donnée par l'ex-

pression

I |(NTE) O - (NTM)OI (1)

dans laquelle: A est l'écartement entre doigts d'électrode; et (NTE)o et (NTM)o sont les indices effectifs pour les modes TE et TM, pour une tension

appliquée égale à zéro.

Pour un cristal en coupe z, l'application d'une tension d'accord V2 produit un changement des indices effectifs donné par les relations: N3r (NTE)V= (NTE)o + 2 1 TEEz (2) N3r et (NTM)V (N) + 2 e E (3) T 2 TM o 2 TM z

dans lesquelles: No et Ne sont les indices de réfraction or-

dinaire et extraordinaire;

r13 et r33 sont des coefficients électro-

optiques;

TE et "TM sont les paramètres de che-

TE TMV

vauchement pour les modes respectifs; et E est la composante de champ dans la di- z

rection z qui est due à la tension appli-

quée V2.

La nouvelle longueur d'onde de coïncidence de phase 0 =+tX est donnée par: NT2o E r3T- (4) (7)(N TE)O (N TM)O +2 (C<TE0r 13 --TMNer33)t2 4

\4+ C

En notant que 0 est faible, et en négli-

geant les effets du second ordre, la variation relative de la longueur d'onde centrale a/ o est donnée par: Ezt N3 N3 E2 01TE J13 -TM e r33 2s.T (5) o \(NTE)O - (NTM)o l Lorsque le convertisseur de mode est correctement accordé, il présente une coïncidence de phase à la longueur d'onde à laquelle on s'intéresse. En effet, la tension d'accord V2 est choisie de façon que Ci= 0 pour le canal à éliminer, avec:

2 W!N -N 216

A. \NTE TM1 t (6) Dans cette expression: est la longueur d'onde intéressante; NTE, NTM sont les indices de réfraction effectifs pour les modes respectifs; et

\ est l'écartement entre doigts de l'élec-

trode 53.

Il convient de noter que l'accord, qui est fonc-

tion de la différence entre r13 et r33, est totalement indé-

pendant de l'état de polarisation du signal incident. On peut donc construire un filtre de séparation de bandes

complet en branchant en cascade plusieurs sections de fil-

tre identiques du type représenté sur la figure 1, et en sélectionnant les longueurs d'onde des canaux individuels

par le réglage de la tension d'accord V2 sur les conver-

tisseurs de riode de chaque section.

Les figures 6 et 7 représentent deux modes de réalisation entièrement intégrés d'un filtre accordable et

indépendant de la polarisation qui convient à l'utilisa-

tion aux longueurs d'onde optiques. Les deux modes de réa-

lisation utilisent à titre d'exemple un cristal en coupe

x et ils emploient des coupleurs à sélectivité de polari-

sation 60, 61, et 70, 72 du type représenté sur la figure 3, et des convertisseurs de mode 61, 65 et 71, 75 du type

représenté sur la figure 4.

Comme on l'a noté précédemment, alors que les deux convertisseurs de mode partagent une paire commune d'électrodes 66, 67 et 76, 77, les guides d'ondes 63, 64

et 73, 74 ne sont pas en couplage. Dans le mode de réali-

sation de la figure 6, on réalise ceci en séparant physi-

quement les deux guides d'onde 63 et 64 dans la région qui

se trouve entre les coupleurs à sélectivité de polarisa-

tion 60 et 62. Dans le mode de réalisation de la figure 7,

les guides d'onde 73 et 74 ne sont pas physiquement sépa-

rés, mais ils sont découplés au point de vue optique au moyen d'une rainure 78 qui est taillée entre les guides

d'onde dans la région située entre les coupleurs à sélecti-

vité de polarisation.

La figure 8 représente un mode de réalisation de l'invention en optique intégrée qui utilise un substrat 80 en coupe z. Dans ce mode de réalisation, les deux coupleurs

à sélectivité de polarisation 81 et 82 sont du type repré-

senté sur la figure 2, et les deux convertisseurs de mode 83 et 84 sont du type représenté sur la figure 5. Dans cette configuration, les électrodes en forme de doigt- pour les deux convertisseurs sont réalisées Bous la forme d'une électrode unique 86 avec deux jeux de doigts placés à l'opposé. Comme dans toutes ces configurations, les guides d'onde 87 et 88 ne sont pas en couplage dans la région

située entre les coupleurs 81 et 82.

Dans la description de l'invention faite ci-

dessus, on a mentionné le niobate de lithium et le tanta- late de lithium en tant qu'exemples de matières. On peut utiliser de façon similaire d'autres matières ayant une structure cristalline du type C3v. Plus généralement, on peut employer pour mettre en oeuvre l'invention n'importe quelle matière biréfringente qui a des pertes faibles aux

longueurs d'onde intéressantes et dont le tenseur de per-

turbation électro-optique comporte des composantes non diagonales. Il va de soi que de nombreuses modifications peuvent être apportées au dispositif décrit et représenté,

sans sortir du cadre de l'invention.

Claims

REVENDICATIONS

1. Filtre de longueur d'onde (10) caractérisé

en ce qu'il comporte un coupleur à sélectivité de polari-

sation d'entrée (11) destiné à séparer, dans deux chemins de propagation d'onde différents (12, 13), des composan- tes d'onde polarisées orthogonalement (TE, TM) d'un signal d'entrée polarisé de façon arbitraire; un convertisseur de mode (TE -4TM) à sélectivité de longueur d'onde (14, ) placé dans chacun des chemins de propagation d'onde (12, 13) ; et un coupleur à sélectivité de polarisation de sortie (16) destiné à combiner en un seul chemin de signal de sortie (17) des composantes de signal centrées sur la longueur d'onde des convertisseurs de mode, et à combiner dans un second chemin de propagation d'onde de sortie (18)

le reste du signal d'entrée.

2. Filtre selon la revendication 1, caractérisé en ce que chaque coupleur (11, 16) comprend: une paire de guides d'onde optiques (20, 21) (31, 32) formés sur un substrat (22, 30) de matière biréfringente d'indice de réfraction inférieur; et ces guides sont en couplage sur une distance définie (L) et ont des constantes de phase (PTM' PTE)qui sont égales pour des composantes d'onde d'une polarisation et sont inégales pour des composantes

d'onde polarisées orthogonalement à cette polarisation.

3. Filtre selon la revendication 1, dans lequel chaque convertisseur de mode comprend: un guide d'onde optique (40, 41) noyé dans un substrat (42) en matière

électro-optique biréfringente d'indice de réfraction infé-

rieur; et des moyens à sélectivité de longueur d'onde, es-

pacéslongitudinalement le long de ce guide d'onde, pour induire un couplage sélectif entre des composantes d'onde (TE, TM) polarisées orthogonalement; caractérisé en ce que ces moyens à sélectivité de longueur d'onde consistent en

une paire d'électrodes interdigitées (43, 44) qui sont em-

ployées en commun par les deux convertisseurs de mode.

4. Filtre selon la revendication 3, caractérisé

en ce que les guides d'onde (73 et 74) sont découplés opti-

quement au moyen d'une rainure (78) qui se trouve dans la

région du substrat située entre ces guides d'onde.

5. Convertisseur de mode à sélectivité de lon-

gueur d'onde comprenant un guide d'onde optique formé dans un substrat, caractérisé en ce que ce substrat est un substrat en coupe z (55) d'une matière électro-optique biréfringente d'indice de réfraction inférieur à celui du guide d'onde, et il a une structure cristallographique C3v; une première électrode uniforme (51) s'étend le long

du guide d'onde, et partiellement sur une partie de celui-

ci; une seconde électrode uniforme (52) est placée le long d'un côté du guide d'onde, en position adjacente à la première électrode; une troisième électrode en forme de doigts (53) est placée le long de l'autre côté du guide d'onde, à l'opposé de la seconde électrode; les première et troisième électrodes sont conçues de façon à recevoir une première tension (V1) pour induire une conversion de

mode TE Es TM à l'intérieur du guide d'onde; et les premiè-

re et seconde électrodes sont conçues de façon à recevoir une seconde tension (V2) telle que dû= 0 à la longueur d'onde intéressante, avec: = 2NTE-NTM 2T et dans cette expression: A est la longueur d'onde intéressante NTE' NTM sont les indices effectifs pour les modes respectifs; et A est l'écartement entre doigts de l'électrode

en forme de doigts.