EP1623497A1 - Verfahren zur modulation eines trägersignals sowie verfahren zur demodulation eines modulierten trägersignals - Google Patents

Verfahren zur modulation eines trägersignals sowie verfahren zur demodulation eines modulierten trägersignals

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EP1623497A1
EP1623497A1 EP04709199A EP04709199A EP1623497A1 EP 1623497 A1 EP1623497 A1 EP 1623497A1 EP 04709199 A EP04709199 A EP 04709199A EP 04709199 A EP04709199 A EP 04709199A EP 1623497 A1 EP1623497 A1 EP 1623497A1
Authority
EP
European Patent Office
Prior art keywords
carrier signal
signal
function
module
analog
Prior art date
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Ceased
Application number
EP04709199A
Other languages
English (en)
French (fr)
Inventor
Klaus University of Illinois HUBER
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Deutsche Telekom AG
Original Assignee
Deutsche Telekom AG
Priority date (The priority date is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the date listed.)
Filing date
Publication date
Application filed by Deutsche Telekom AG filed Critical Deutsche Telekom AG
Publication of EP1623497A1 publication Critical patent/EP1623497A1/de
Ceased legal-status Critical Current

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    • H—ELECTRICITY
    • H03—ELECTRONIC CIRCUITRY
    • H03C—MODULATION
    • H03C3/00—Angle modulation
    • H03C3/02—Details
    • H—ELECTRICITY
    • H03—ELECTRONIC CIRCUITRY
    • H03C—MODULATION
    • H03C1/00—Amplitude modulation
    • H03C1/02—Details
    • H—ELECTRICITY
    • H04—ELECTRIC COMMUNICATION TECHNIQUE
    • H04L—TRANSMISSION OF DIGITAL INFORMATION, e.g. TELEGRAPHIC COMMUNICATION
    • H04L27/00—Modulated-carrier systems

Definitions

  • the invention relates to a method for modulating a carrier signal for the transmission of message signals and a method for demodulating carrier signals modulated in this way.
  • the invention further relates to an analog circuit arrangement for modulating a carrier signal, which can be represented by an elliptical function.
  • high-frequency sinusoidal or cosine-shaped carrier signals are generally used to transmit messages, e.g. Voice, music, images or data. For this, the one to be transferred
  • the carrier frequency is denoted by f 0 , where a 0 and c are constants which are selected in accordance with practical requirements.
  • a characteristic property of the amplitude modulation is that the amplitude of the signal s (t) is modulated in the rhythm of the message m (t) to be transmitted, the frequency f 0 of the modulated carrier signal not changing over time.
  • the frequency f (m (t)) is mostly defined by the expression (f 0 + cm (t)). With frequency modulation, the amplitude a 0 is constant.
  • the invention is based on the object of adding a new modulation and demodulation method to the known modulation and demodulation methods. Another task is to provide an analog modulator circuit for the new modulation method.
  • a core idea of the invention is that a so-called waveform modulation method is used, in which, in contrast to the amplitude and angle modulation, neither the amplitude ao nor the frequency f 0 is changed over time in the rhythm of the message signal to be transmitted.
  • the signal shape of the carrier signal is changed in time by a message signal to be transmitted, the amplitude and the frequency of the carrier signal remaining constant.
  • This new modulation method is referred to as a waveform modulation method in order to differentiate it from classic amplitude and frequency modulation.
  • the waveform modulation method is preferably based on the modulation of carrier signals, the temporal course of which is defined by an elliptical function. Jacobi preferably uses elliptical functions, which are described, for example, in the book A. Hurwitz, Lectures on General Function Theory and Elliptical Functions ", Springer, 5th Edition, Springer Berlin Heidelberg New York, 2000.
  • the module k determining the shape of an elliptic function.
  • the module k is changed in time by the message signal to be transmitted in order to modulate the signal shape of the carrier signal in the rhythm of the message signal to be transmitted.
  • the temporal course of the modulated carrier signal can by the elliptical function
  • Amplitude and fo is the frequency.
  • ⁇ and the module k are related via the complete elliptic integral of the first kind.
  • the function sx (2; rfot, k (t)) for 0 ⁇ k (t) ⁇ l is determined by the Jacobi elliptic function sn (2 ⁇ rf 0 t, k (t)) and for -l ⁇ k ( t) ⁇ 0 by the Jacobi elliptic function cn (2 f 0 (tT / 4),
  • ) are defined .
  • orthogonal carrier signals are used, which are represented by the two orthogonal elliptical functions sn (2; fot, k (t)) and sd (2 ⁇ f 0 t, k (t)) or the two orhogonal elliptical functions cd (2 ⁇ fnt, k ( t)) and cn (2 ⁇ fot, k (t)) can be defined.
  • Analog circuit arrangements are composed of operational amplifiers, integrators, multipliers, differential amplifiers and dividers known per se. Analog circuit arrangements for generating elliptical functions are in the patent application filed on the same day with the internal
  • the module k (t) and thus the transmitted message signal m (t) is obtained from the sampled values.
  • the received modulated carrier signal s (t) ao 'sx (2 fo # t, k (t)) is integrated in order to obtain the module k (t).
  • the received modulated carrier signal s (t) ao * sx (2 ⁇ f 0-1 , k (t)) is squared and then integrated.
  • the modulator is characterized in that the carrier signal is modulated in that the signal shape of the carrier signal can be changed over time by a message signal to be transmitted, the amplitude and the frequency of the carrier signal remaining constant.
  • a special embodiment of the modulator provides an analog circuit arrangement that delivers at least one modulated carrier signal, the curve shape of which corresponds at least in sections to an elliptical function or is approximated.
  • the elliptical functions are preferably Jacobi elliptical functions. Since the novel modulator neither modulates the amplitude nor the frequency of the carrier signal, devices are provided which temporally change the module k of an elliptical function by the message signal to be transmitted in order to modulate the signal form of the carrier signal in the rhythm of the message signal to be transmitted.
  • the analog circuit arrangement of the modulator generates a modulated carrier signal, the temporal course of which is due to the elliptical function
  • ⁇ and the module k are related via the complete elliptical integral of the first type.
  • the circuit arrangement expediently has first analog multipliers and analog integrators which are connected together in such a way that the circuit arrangement has the three output functions
  • an analog division device for forming the quotient sn (2 ⁇ f 0 t, k (t)) / dn (2 f 0 t, k (t)) and a second analog multiplier assigned to the division device, which multiplier outputs the output signal of the division device multiplied by the factor -yl - k 2 .
  • k (t) l
  • the output signal sn (2 fot, k (t)) forms the modulated carrier signal
  • Fig. 3 shows an exemplary modulator according to the
  • Fig. 4 shows an exemplary circuit arrangement for
  • FIG. 5 shows a circuit arrangement for calculating the arithmetic-geometric mean M
  • FIG. 6 shows an alternative circuit arrangement for
  • FIG. 7 shows a circuit arrangement for calculating ⁇
  • FIG. 8 shows a section of the curve shape of a carrier signal modulated according to a binary shape jump method.
  • the New modulation method is preferably based on elliptical functions and is characterized in that, in contrast to amplitude modulation, the amplitude of the carrier signal remains unchanged and, in contrast to frequency modulation, the frequency of the carrier signal also remains unchanged.
  • the new modulation method is preferably based on the Jacobi elliptic functions sn (2; rf 0 t, k), cn (2 ⁇ f 0 t, k) and dn (2 ⁇ f 0 t, k).
  • the second argument of the Jacobi elliptic functions, the value k, is called the module of the elliptic functions and, as detailed below, is used as a new modulation parameter.
  • the module of the Jacobi elliptic functions is modulated according to a message m (t) to be transmitted.
  • the module k is thus a function of time and described by k (t).
  • M (l, ⁇ jl - k 2 ) is the arithmetic-geometric mean of 1
  • FIGS. 5 and 6 Analog circuit arrangements for calculating the arithmetic-geometric mean are shown in FIGS. 5 and 6.
  • the arithmetic-geometric mean M (1,
  • the circuit arrangement shown in FIG. 5 consists of a plurality of analog arithmetic circuits 210, 220, 230, designated AG, and an analog arithmetic circuit 240 for calculating the arithmetic mean of two input signals.
  • the analog computing circuits 210 to 230 are designed such that they generate the arithmetic mean of the two input signals at one output and the geometric mean of the two input signals at the other output. As shown in FIG. 5, the value becomes 1 at the first input of the analog computing circuit 210 and the value becomes at its other input created.
  • the output signal of the analog circuit device 240 corresponds approximately to the arithmetic-geometric mean M of the values 1 and sjl - k 2 applied to the inputs of the analog computing circuit 210 6 shows an alternative analog circuit arrangement for calculating the arithmetic-geometric mean M of the two values 1 and 4l ⁇ k 2 .
  • the circuit arrangement shown in FIG. 6 has an analog arithmetic circuit 250 for calculating the minimum of two input signals, one
  • Analog arithmetic circuit 260 for calculating the maximum from two input signals
  • an analog arithmetic circuit 270 for calculating the arithmetic mean from two input signals
  • an analog arithmetic circuit 280 for calculating a geometric mean from two input signals.
  • Analog arithmetic circuit 250 has the value 1, whereas an input of the analog arithmetic circuit 260 has the value 1- & 2 .
  • the output of the analog arithmetic circuit 250 for calculating the minimum of two input signals is connected to the input of the analog arithmetic circuit 270 and the analog arithmetic circuit 280.
  • the output of the analog arithmetic circuit 260 for calculating the maximum of two input signals is with an input of the analog arithmetic circuit 270 and an input of
  • Analog computing circuit 280 connected.
  • the output of the analog arithmetic circuit 270 is connected to an input of the analog arithmetic circuit 250, whereas the output of the analog arithmetic circuit 280 is connected to an input of the analog arithmetic circuit 260.
  • the outputs of the analog arithmetic circuit 270 and 280 each provide the arithmetic-geometric mean M of 1 and ⁇ - k 2 .
  • the carrier signal s (t) is modulated in accordance with the time-changing value of k, but the zero crossings and the amplitude of the carrier signal remain unchanged.
  • Equation 1 the function sx (2? Fot, k (t)) defined in equation 1 can be defined as follows:
  • k is the modulation parameter that carries the message.
  • the values of k are in the interval
  • FIG. 3 An exemplary modulator constructed from analog arithmetic circuits is shown in FIG. 3, which electrically simulates the function sx (2 f 0 t, k (t)).
  • a multiplier 10 is a
  • the analog multiplier 20 multiplies the output signal of the multiplier 10 by the factor 2 ⁇ / ⁇ .
  • the multiplier 50 multiplies that
  • the multiplier 80 multiplies the output signal of the
  • the output signal of the integrator 30 is fed back to the multiplier 40 and to the input of the multiplier 70.
  • the output signal of the integrator 60 becomes fed back to the input of multiplier 10 and to the input of multiplier 70.
  • Integrator 90 is fed back to the input of multiplier 40 and to the input of multiplier 10. It should be noted that measures known in terms of circuit technology take account of predefined initial states
  • Such an analog circuit arrangement shown in FIG. 3 supplies the Jacobi elliptical time function sn (2 ⁇ f 0 t) at the output of the integrator 30 and the at the output of the integrator 60
  • Integrator 90 the Jacobi elliptic function dn (2 ⁇ f 0 t).
  • Multipliers 20 and 50 and the multiplication by -k - in the multiplier 80 can also take place in the integrators 30, 60 and 90.
  • the multiplication by k 2 can also be applied to the output of the integrator 90.
  • stabilization circuits it is possible to add known stabilization circuits to the circuit arrangement shown in FIG. 3, such as those found in the technical literature “semiconductors
  • a division device 96 is connected to the outputs of the integrators 30 and 90 to, in conjunction with a multiplier 97, perform the elliptical function ⁇ rf 0 t, k (t)) which, as explained above, corresponds to the elliptic function cn (2 f 0 t, k (t)) shifted by T / 4.
  • the modulator can thus deliver a waveform-modulated carrier signal according to the Jacobi elliptic function sn (2 f 0 t, (t)) at the output of the integrator 30, specifically for 0 ⁇ k (t) ⁇ 1.
  • the modulator At the output of the multiplier 97, the modulator generates a waveform-modulated carrier signal according to the
  • the waveform modulation takes place via k or ⁇ in the multipliers 20, 50 and 80.
  • the module k and ⁇ are related via the completely elliptical integral of the first type.
  • Message signal m (t) that modulates module k is shown in FIG. 7.
  • the waveform modulation of the carrier signal s (t) takes place in the multiplier 80 by the expression -k 2 2;? / T, in the multiplier 50 by the factor -2 ⁇ / ⁇ and in the multiplier 20 by the factor 2 ⁇ / ⁇ .
  • a simple binary so-called form jump method can be defined, for example, by the agreement to send a carrier signal s (t) according to the elliptic function aosn (2 ⁇ f 0 t) if a "1" is to be transmitted, and a carrier signal Function a O 4l - k 2 sd (2 f 0 t) to be sent if a "0" is to be transmitted.
  • the modulation parameter k is set to 0.9 in both cases, for example. Under the simplified assumption that one bit is transmitted per period, the bit sequence "10" is transmitted with the two successive signals.
  • the corresponding curve profile is shown in FIG. 8.
  • the function s (t) has the value zero at the times zero and T / 2, the value a 0 at the times T / 4 and the value -a 0 at the time 3T / 4.
  • the function value anSx (T / 8) results.
  • the message signal is obtained by integrating the received modulated carrier signal s (t) over a quarter period T / 4 or half a period T / 2.
  • the modulated carrier signal s (t) is first squared and then according to the equation
  • E (k) is the so-called complete elliptic integral of the second kind and k 'is 4l - k 2 .
  • An integration over half (a quarter) period gives half (a quarter) of the value.
  • elliptic functions can be used for orthogonal modulation. Given values for ao, fo, and k, you have two basis functions per dimension (sn and k 'sd in the x direction and cd and cn in the y direction) compared to only one basis function for classical ones
  • Sinus carriers The orthogonality can be used in the base and / or in the transmission band.

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Abstract

Die Erfingdung betrifft ein neues Verfahren zur Modulation eines Trägersignals zur Übertragung von analogen oder digitalen Nachrichtsensignaler. Im Uterschied zu den herkömmlichen Amplituden- und Winkelmodulationsverfahren dien weder die Amplitude noch die Frequenz, sondern der Modul k von elliptischen Funktionen als Modulationsparameter. Das Gemäss dem neuen Modulationsverfahren modulierte Trägersignal weist somit eine konstante Amplitude und eine feste Frequenz auf, wohingegen die Signalform im Rhythmus der zu übertragenden Nachricht zeitlicht verändert wird.

Description

Verfahren zur Modulation eines Trägersignals sowie Verfahren zur Demodulation eines modulierten
Trägersignals
Die Erfindung betrifft ein Verfahren zur Modulation eines Trägersignals' zur Übertragung von Nachrichtensignalen sowie ein Verfahren zur Demodulation derartig modulierter Trägersignale. Die Erfindung betrifft ferner eine analoge Schaltungsanordnung zur Modulation eines Trägersignals, welches durch eine elliptische Funktion darstellbar ist.
In der Nachrichtentechnik werden in der Regel hochfrequente sinus- oder kosinusförmige Trägersignale verwendet, um Nachrichten, wie z.B. Sprache, Musik, Bilder oder Daten, übertragen zu können. Hierzu wird die zu übertragende
Nachricht einem Trägersignal aufmoduliert. Bekannte und weitgehend genutzte Modulationsverfahren sind die Winkel- und Amplitudenmodulation. Wie allgemein bekannt ist, wird bei der Amplitudenmodulation die in dem Nachrichtensignal m(t) enthaltende Information im Wesentlichen gemäß der Gleichung
s (t) = (ao+c-m(t) ) • sin(2ττfot)
dem Trägersignal aufmoduliert. Mit f0 ist die Trägerfrequenz bezeichnet, wobei a0 und c Konstanten sind, die entsprechend praktischer Anforderungen gewählt werden. Eine charakteristische Eigenschaft der Amplitudenmodulation ist, dass die Amplitude des Signals s(t) im Rhythmus der zu übertragenden Nachricht m(t) moduliert wird, wobei die Frequenz f0 des modulierten Trägersignal zeitlich unveränderlich ist.
Bei der bekannten Winkelmodulation wird hingegen die Frequenz oder die Phase im Rhythmus des zu übertragenden Nachrichtensignals m(t) zeitlich verändert. Das über einen Übertragungskanal übertragene frequenzmodulierte Signal lautet
s(t)=a0-sin(2?f (m(t) ) )
wobei die Frequenz f(m(t)) zumeist durch den Ausdruck (f0 + c m(t)) definiert wird. Bei einer Frequenzmodulation ist die Amplitude a0 konstant.
Der Erfindung liegt nunmehr die Aufgabe zugrunde, den bekannten Modulations- und Demodulationsverfahren ein neues Modulations- und Demodulationsverfahren hinzuzufügen. Eine weitere Aufgabe ist darin zu sehen, für das neue Modulationsverfahren eine analoge Modulatorschaltung bereitzustellen.
Ein Kerngedanke der Erfindung ist darin zu sehen, dass ein sogenanntes Signalform-Modulationsverfahren angewandt wird, bei dem im Unterschied zur Amplituden- und Winkelmodulation weder die Amplitude ao noch die Frequenz f0 im Rhythmus des zu übertragenden Nachrichtensignals zeitlich verändert wird.
Vielmehr wird die Signalform des Trägersignals selbst verändert .
Das oben genannte technische Problem wird zum einen durch die
Verfahrensschritte des Anspruchs 1 gelöst.
Danach wird ein Verfahren zur Modulation eines Trägersignals zur Übertragung von Nachrichtensignalen umschrieben.
Erfindungsgemäß wird die Signalform des Trägersignals durch ein zu übertragendes Nachrichtensignal zeitlich verändert, wobei die Amplitude und die Frequenz des Trägersignals konstant bleiben. Dieses neuartige Modulationsverfahren wird zur Abgrenzung gegenüber der klassischen Amplituden- und Frequenzmodulation als Signalform-Modulationsverfahren bezeichnet.
Das Signalform-Modulationsverfahren basiert vorzugsweise auf der Modulation von Trägersignalen, deren zeitlicher Verlauf durch eine elliptische Funktion definiert wird. Vorzugsweise werden Jacobi elliptische Funktionen verwendet, die beispielsweise in dem Buch A. Hurwitz, Vorlesungen über allgemeine Funktionentheorie und elliptische Funktionen", Springer, 5. Auflage, Springer Berlin Heidelberg New York, 2000 beschrieben sind.
Als Modulationsparameter wird, wie bereits erwähnt, weder die Amplitude noch die Frequenz verwendet, sondern der die Form einer elliptischen Funktion bestimmende Modul k. Der Modul k wird durch das zu übertragende Nachrichtensignal zeitlich verändert, um die Signalform des Trägersignals im Rhythmus des zu übertragenden Nachrichtensignals zu modulieren.
Der zeitliche Verlauf des modulierten Trägersignals kann durch die elliptische Funktion
s(t) = a0 sx (2;rfot, k (t) ) definiert werden, wobei a0 die
Amplitude und fo die Frequenz ist. π und der Modul k hängen über das vollständige elliptische Integral erster Art zusammen.
Gemäß einer vorteilhaften Weiterbildung wird die Funktion sx (2;rfot, k (t) ) für 0<k(t)<l durch die Jacobi elliptische Funktion sn (2τrf0t, k (t) ) und für -l≤k(t)< 0 durch die Jacobi elliptische Funktion cn (2 f0 (t-T/4) , |&(t)| ) definiert .
Mit Hilfe elliptischer Funktionen können bekannte orthogonale Übertragungsverfahren, die auf Sinus- und Kosinusträgern basieren, verallgemeinert werden. Auf diese Art und Weise ist es möglich, neuartige orthogonale Modulationsverfahren anzuwenden. Hierzu werden orthogonale Trägersignale verwendet, die durch die beiden orthogonalen elliptischen Funktionen sn (2; fot, k (t) ) und sd (2^f0t, k (t) ) oder die beiden orhogonalen elliptischen Funktionen cd(2πfnt, k (t) ) und cn (2^fot, k (t) ) definiert werden.
Zweckmäßigerweise werden die durch eine elliptische Funktion definierten Trägersignale unter Verwendung einer analogen Schaltungsanordnung erzeugt. Analoge Schaltungsanordnungen setzen sich aus an sich bekannten Operationsverstärkern, Integrierern, Multiplizierern, Differenzverstärkern und Dividierern zusammen. Analoge Schaltungsanordnungen zum Erzeugen von elliptischen Funktionen sind in der am gleichen Tag eingereichten Patentanmeldung mit dem internen
Aktenzeichen P03025 ausführlich beschrieben. Der Inhalt dieser deutschen Patentanmeldung wird hiermit vollumfänglich mit aufgenommen.
Das oben genannte technische Problem wird ebenfalls durch die Verfahrensschritte des Anspruchs 9 gelöst. Danach wird ein Verfahren zur Demodulation eines modulierten Trägersignals zur Verfügung gestellt, dessen zeitlicher Verlauf durch die elliptische Funktion s (t) =a0" sx (2^fof t, k(t)) beschrieben wird, an ist die Amplitude und fπ ist die Frequenz des Trägersignals, wobei π und der Modul k über das vollständige elliptische Integral erster Art zusammenhängen. Zur Demodulation wird das empfangene modulierte Trägersignal zu Zeitpunkten, die den ungeraden Vielfachen von T/8, mit T=l/f0, entsprechen, abgetastet. Aus den Abtastwerten wird der Modul k(t) und damit das übertragene Nachrichtensignal m(t) gewonnen.
Nach einem alternativen Demodulationsverfahren wird das empfangene modulierte Trägersignal s (t) =ao' sx (2 fo# t, k(t)) integriert, um den Modul k(t) zu gewinnen.
Nach einem weiteren alternativen Demodulationsverfahren wird das empfangene modulierte Trägersignal s (t)=ao* sx (2^f0- 1, k (t) ) quadriert und anschließend integriert .
Das oben genannte technische Problem wird ebenfalls durch einen Modulator gemäß Anspruch 13 gelöst.
Der Modulator zeichnet sich dadurch aus, dass die Modulation des Trägersignals dadurch erfolgt, dass die Signalform des Trägersignals durch ein zu übertragendes Nachrichtensignal zeitlich veränderbar ist, wobei die Amplitude und die Frequenz des Trägersignals konstant bleiben.
Eine besonderes Ausbildung des Modulators sieht eine analoge Schaltungsanordnung vor, die wenigstens ein moduliertes Trägersignal liefert, dessen Kurvenverlauf wenigstens abschnittsweise einer elliptischen Funktion entspricht oder angenähert ist.
Vorzugsweise handelt es sich bei den elliptischen Funktionen um Jacobi elliptische Funktionen. Da der neuartige Modulator weder die Amplitude noch die Frequenz des Trägersignals moduliert, sind Einrichtungen vorgesehen, die den Modul k einer elliptischen Funktion durch das zu übertragende Nachrichtensignal zeitlich verändern, um die Signalform des Trägersignals im Rhythmus des zu übertragenden Nachrichtensignals zu modulieren.
Gemäß einer alternativen Ausführungsform erzeugt die analoge Schaltungsanordnung des Modulators ein moduliertes Trägersignal, dessen zeitlicher Verlauf durch die elliptische Funktion
s(t)=a0*sx(2?fo-t, k(t))
definiert ist, wobei ao die Amplitude und f0 die Frequenz des Trägersignals ist und wobei π und der Modul k über das vollständige elliptische Integral erster Art zusammenhängen.
Die Schaltungsanordnung weist zweckmäßigerweise erste analoge Multiplizierer und analoge Integrierer auf, die derart zusammengeschaltet sind, dass die Schaltungsanordnung die drei Ausgangsfunktionen
sn(2^f0t,k(t) ) cn(2 f0t,k(t) ) dn(2τrf0t,k(t) )
liefert.
Ferner ist eine analoge Divisionseinrichtung zum Bilden des Quotienten sn (2πf0t, k (t) ) /dn (2 f0t, k (t) ) sowie ein zweiter, der Divisionseinrichtung zugeordneter analoger Multiplizierer vorgesehen, der das Ausgangssignal der Divisionseinrichtung mit dem Faktor -yl - k2 multipliziert. Für 0=k(t)=l bildet das Ausgangssignal sn (2 fot, k (t) ) das modulierte Trägersignal, wohingegen für -l=k(t)=0 das Ausgangssignal des zweiten analogen Multiplizierers das modulierte Trägersignal bildet.
Die Erfindung wird nachfolgend anhand mehrerer Ausführungsbeispiele in Verbindung mit den beiliegenden Zeichnungen näher erläutert. Es zeigen:
Fig. 1 eine Viertelperiode der Kurvenverläufe eines mittels des Moduls k modulierten Trägersignals, wobei 0=k(t)=l, Fig. 2 eine Viertelperiode der Kurvenverläufe eines mittels des Moduls k modulierten Trägersignals, wobei -l=k(t)=0,
Fig. 3 einen beispielhaften Modulator gemäß der
Erfindung, Fig. 4 eine beispielhafte Schaltungsanordnung zur
Erzeugung der elliptischen Funktion sn(2^f0t), Fig. 5 eine Schaltungsanordnung zum Berechnen des arithmetisch-geometrischen Mittels M, Fig. 6 eine alternative Schaltungsanordnung zur
Berechnung des arithmetisch-geometrischen Mittels M, und Fig. 7 eine Schaltungsanordnung zur Berechnung von π ,
Fig. 8 einen Abschnitt des Kurvenverlaufs eines nach einem binären Formsprungverfahren modulierten Trägersignals .
Nachfolgend wird detailliert ein neues Modulationsverfahren zur Datenübertragung beschrieben, welches als Modulationsparameter nicht die Amplitude oder die Frequenz eines Trägersignals, sondern die Signalform verwendet. Das neue Modulationsverfahren basiert vorzugsweise auf elliptischen Funktionen und zeichnet sich dadurch aus, dass im Unterschied zur Amplitudenmodulation die Amplitude des Trägersignals unverändert bleibt und dass im Unterschied zur Frequenzmodulation auch die Frequenz des Trägersignals unverändert bleibt. Wie erwähnt, basiert das neue Modulationsverfahren vorzugsweise auf den Jacobi elliptischen Funktionen sn (2;rf0t, k) , cn(2^f0t,k) und dn (2^f0t, k) . Das zweite Argument der Jacobi elliptischen Funktionen, der Wert k, wird der Modul der elliptischen Funktionen genannt und, wie weiter unten detailliert ausgeführt, als neuer Modulationsparameter verwendet. Mit anderen Worten wird der Modul der Jacobi elliptischen Funktionen gemäß einer zu übertragenden Nachricht m(t) moduliert. Der Modul k wird somit eine Funktion der Zeit und durch k(t) beschrieben. Wir nehmen an, dass die Frequenz der zu übertragenden Nachricht und damit die Frequenz der Änderung von k(t) klein gegenüber der Frequenz f0=l/T der Änderung des Trägersignals ist. Das über einen Nachrichtenkanal übertragene modulierte Trägersignal kann durch
s(t)=a0-sx(2^fo-t), k(t)) (1)
angegeben werden. Die Rolle von π bei den klassischen Sinus- oder Kosinusträgersignalen wird bei elliptischen Funktionen durch π übernommen, π ist eine Funktion des Moduls k, wobei der Zusammenhang zwischen π und k durch das sogenannten vollständige elliptische Integral erster Art wie folgt gegeben ist :
π <>π/2 dφ
Λ =- K-vk) = I , ψ — (2)
2 Jo ^\ - k2 sm2 (φ) Die Berechnung von π kann leicht mit Hilfe der Gleichung
7t π = erfolgen, (3)
wobei M(l,Λjl - k2 ) das arithmetisch-geometrische Mittel von 1
Analoge Schaltungsanordnungen zur Berechnung des arithmetisch-geometrischen Mittels sind in den Figuren 5 und 6 dargestellt.
Um π schaltungstechnisch erzeugen zu können, kann zunächst das arithmetisch-geometrische Mittel M (1, beispielsweise mit einer analogen Schaltungsanordnung realisiert werden, die in Fig. 5 dargestellt ist. Die in Fig. 5 dargestellte Schaltungsanordnung besteht aus mehreren mit AG bezeichneten Analogrechenschaltungen 210, 220, 230 sowie einer Analogrechenschaltung 240 zum Berechnen des arithmetischen Mittels aus zwei Eingangssignalen. Die Analogrechenschaltungen 210 bis 230 sind derart ausgeführt, dass sie an einem Ausgang das arithmetische Mittel der beiden Eingangssignale und am anderen Ausgang das geometrische Mittel der beiden Eingangssignale erzeugen. Wie in Fig. 5 dargestellt, wird an den ersten Eingang der Analogrechenschaltung 210 der Wert 1 und an dessen anderen Eingang der Wert angelegt. Unter der Voraussetzung, dass der Faktor \ - k2 zwischen 0 und 1 liegt, entspricht das Ausgangssignal der Analogschaltungseinrichtung 240 in etwa dem arithmetisch-geometrischen Mittel M der an den Eingängen der Analogrechenschaltung 210 angelegten Werte 1 und sjl - k2 Fig. 6 zeigt eine alternative analoge Schaltungsanordnung zur Berechnung des arithmetisch-geometrischen Mittels M der beiden Werte 1 und 4l ~ k2. Die in Fig. 6 dargestellte Schaltungsanordnung weist eine Änalogrechenschaltung 250 zum Berechnen des Minimums aus zwei Eingangssignalen, eine
Änalogrechenschaltung 260 zum Berechnen des Maximums aus zwei Eingangssignalen, eine Änalogrechenschaltung 270 zum Berechnen des arithmetischen Mittels aus zwei Eingangssignalen und eine Änalogrechenschaltung 280 zum Berechnen eines geometrischen Mittels aus zwei Eingangssignalen auf. An einen Eingang der
Änalogrechenschaltung 250 ist der Wert 1 angelegt, wohingegen an einen Eingang der Änalogrechenschaltung 260 der Wert 1-&2 angelegt ist. Der Ausgang der Änalogrechenschaltung 250 zum Berechnen des Minimums aus zwei Eingangssignalen ist mit dem Eingang der Änalogrechenschaltung 270 und der Änalogrechenschaltung 280 verbunden. Der Ausgang der Änalogrechenschaltung 260 zum Berechnen des Maximums aus zwei Eingangssignalen ist mit einem Eingang der Änalogrechenschaltung 270 und einem Eingang der
Änalogrechenschaltung 280 verbunden. Der Ausgang der Änalogrechenschaltung 270 ist mit einem Eingang der Änalogrechenschaltung 250 verbunden, wohingegen der Ausgang der Änalogrechenschaltung 280 mit einem Eingang der Änalogrechenschaltung 260 verbunden ist. Bei der in Fig. 6 dargestellten analogen Schaltungsanordnung liefern die Ausgänge der Änalogrechenschaltung 270 und 280 jeweils das arithmetisch-geometrische Mittel M von 1 und \ — k2.
Die Berechnung von π kann nunmehr über eine in Fig. 7 dargestellte Divisionseinrichtung 290 erfolgen, an deren Eingänge die Zahl π und das arithmetisch-geometrische Mittel
M(l, 4l - k2 ) , welches beispielsweise von der in Fig. 5 oder in Fig. 6 dargestellten Schaltung erzeugt wird, angelegt sind.
Eine Signalform-Modulation des Trägersignals s(t) erfolgt entsprechend dem zeitlich sich ändernden Wert von k, wobei jedoch die Nulldurchgänge und die Amplitude des Trägersignals unverändert bleiben. In Fig. 1 sind verschiedene Kurvenverläufe eines Signalform-modulierten Trägersignals über eine Viertelperiode der Funktion sn(2^f0t,k) für k=0, k=0,8, k=0,95 und k=0,99 dargestellt. Man beachte, dass für k=0 die elliptische Funktion die Sinusfunktion und für k-1 den Tangens-Hyperbolikus wiedergibt. Die Periode von Tangens- Hyperbolikus ist zwar unendlich, führt aber durch die Skalierung mit π zu einem Impuls. Mit der elliptischen Funktion sn (2 fot, k) erhält man Signalformen, die für 0=t=T/4 oberhalb der Sinusfunktion liegen. Um auch Signalformen unterhalb der Sinusfunktion zu erzeugen, kann die Jacobi elliptische Funktion cn (2 τrf0t, k) verwendet werden. Um diese Funktion in der gleichen Phasenlage wie die Jacobi elliptische Funktion sn(2 f0t,k) zu erhalten, wird die um T/4 verschobene Funktion cn betrachtet, die wie folgt ausgedrückt werden kann:
cn(2£(t-T/4)f0,k(t)) = T M^' » ώι(2πf0t,k(t))
= 4l - k2 sd(2 f0t,k(t) ) (4)
In Fig. 2 ist die Funktion cn (2 π (t-T/4) f0, k (t) ) für k=0, k=0,8, k=0,95 und k=0, 99 dargestellt. Für k=0 erhält man wieder die Sinusfunktion.
Man erkennt, dass durch die Benutzung der Jacobi elliptischen Funktionen sn und cn eine große Vielfalt von Signalformen abgedeckt werden kann . Demzufolge kann die in Gleichung 1 definierte Funktion sx (2 ? fot, k (t) ) wie folgt definiert werden :
In dieser Gleichung ist k der Modulationsparameter, welcher die Nachricht trägt. Die Werte von k liegen im Intervall
[-1,1].
Ein beispielhafter, aus analogen Rechenschaltungen aufgebauter Modulator ist in Fig. 3 dargestellt, der die Funktion sx (2 f0t, k (t) ) elektrisch nachbildet.
Wie Fig. 3 zeigt, sind ein Multiplizierer 10, ein
Multiplizierer 20 sowie ein analoger Integrierer 30 hintereinander geschaltet. Ferner ist ein analoger Multiplizierer 40, ein analoger Multiplizierer 50 sowie ein weiterer analoger Integrierer 60 hintereinander geschaltet. Eine dritte Reihenschaltung umfasst einen weiteren analogen Multiplizierer 70, einen anlogen Multiplizierer 80 sowie einen analogen Integrierer 90. Der analoge Multiplizierer 20 multipliziert das Ausgangssignal des Multiplizierers 10 mit dem Faktor 2 π /Υ . Der Multiplizierer 50 multipliziert das
2π Äusgangssignal des Multiplizierers 40 mit dem Faktor ~ ~f •
Der Multiplizierer 80 multipliziert das Ausgangssignal des
? 2π Multiplizierers 70 mit dem Faktor -k — .
Das Ausgangssignal des Integrierers 30 wird auf den Multiplizierer 40 und auf den Eingang des Multiplizierers 70 rückgekoppelt. Das Ausgangssignal des Integrierers 60 wird auf den Eingang des Multiplizierers 10 und auf den Eingang des Multiplizierers 70 rückgekoppelt. Der Ausgang des
Integrierers 90 wird auf den Eingang des Multiplizierers 40 und auf den Eingang des Multiplizierers 10 rückgekoppelt. Es sei angemerkt, dass schaltungstechnisch bekannte Maßnahmen zur Berücksichtigung vordefinierter Anfangszustände bei
Inbetriebnahme in der Schaltung nicht eingezeichnet sind.
Eine solche in Fig. 3 gezeigte analoge Schaltungsanordnung liefert am Ausgang des Integrators 30 die Jacobi elliptischen Zeitfunktion sn(2^f0t), am Ausgang des Integrierers 60 die
Jacobi elliptische Funktion cn(2^f0t) und am Ausgang des
Integrierers 90 die Jacobi elliptische Funktion dn(2^f0t).
2π Es sei angemerkt, dass die Multiplikation mit ±^r in den
Multiplizierern 20 bzw. 50 und die Multiplikation mit -k — im Multiplizierer 80 auch in den Integrierern 30, 60 und 90 erfolgen kann. Die Multiplikation mit k2 kann auch an den Ausgang des Integrierers 90 gelegt werden. Weiter ist es möglich, der in Fig. 3 gezeigten Schaltungsanordnung bekannte Stabilisierungsschaltungen hinzuzufügen, wie sie beispielsweise in der Fachliteratur "Halbleiter
Schaltungstechnik", Tietze, Schenk, Springer Verlag, 5, . Auflage, 1980, Berlin Heidelberg New York, Seiten 435-438 beschrieben sind.
Mit der in Fig. 3 dargestellten analogen Schaltungsanordnung können alle drei Jacobi elliptische Zeitfunktionen sn(2;rfot), cn(2 fot) und dn(2^f0t) gleichzeitig realisiert werden. Außerdem erhält man am Ausgang der Multiplizierer 10, 40 und 70 jeweils noch die Ableitungen der Jacobi elliptischen Zeitfunktionen sn, cn bzw. dn. Ferner ist eine Divisionseinrichtung 96 mit den Ausgängen der Integrierer 30 und 90 verbunden, um in Verbindung mit einem Multiplizierer 97 die elliptische Funktion τrf0t, k(t) ) zu erzeugen, welche, wie oben dargelegt, der um T/4 verschobenen elliptischen Funktion cn (2 f0t, k (t) ) entspricht.
Der Modulator kann somit am Ausgang des Integrators 30 ein Signalform-moduliertes Trägersignal gemäß der Jacobi elliptischen Funktion sn (2 f0t, (t) ) liefern, und zwar für 0 < k(t) < 1. Am Ausgang des Multiplizierers 97 kann der Modulator ein Signalform-moduliertes Trägersignal gemäß der
Jacobi elliptischen Funktion 4l - k2 sd(2 f0t, k (t) ) liefern,
Die Signalform-Modulation erfolgt über k bzw. π in den Multiplizierern 20, 50 und 80. Wie erwähnt, hängen der Modul k und π über das vollständig elliptische Integral erster Art zusammen. Eine beispielhafte analoge Schaltung zur Berechnung von π in Abhängigkeit des zu übertragenden
Nachrichtensignals m(t) , welches den Modul k moduliert, ist in Fig. 7 gezeigt.
Die Signalform-Modulation des Trägersignals s(t) erfolgt im Multiplizierer 80 über den Ausdruck -k22;?/T, im Multiplizierer 50 durch den Faktor -2 π /Υ und im Multiplizierer 20 durch den Faktor 2 π /Υ .
Mit Hilfe des Signalform-Modulationsverfahrens können nicht nur analoge Nachrichten, sondern auch digitale Nachrichten einem Trägersignal aufmoduliert werden. Ein einfaches binäres sogenanntes Formsprungverfahren (FSV) kann beispielsweise durch die Übereinkunft definiert werden, ein Trägersignal s(t) gemäß der elliptischen Funktion aosn(2^f0t) zu senden, wenn eine "1" übertragen werden soll, und ein Trägersignal der Funktion aO4l - k2 sd (2 f0t) zuzusenden, wenn eine "0" übertragen werden soll. Der Modulationsparameter k ist in beiden Fällen beispielsweise auf 0,9 gesetzt. Unter der vereinfachten Annahme, dass je Periode ein Bit übertragen wird, wird mit den beiden aufeinanderfolgenden Signalen die Bitfolge "10" übertragen. Der entsprechende Kurvenverlauf ist in Fig. 8 dargestellt.
Im Folgenden werden drei beispielhafte Demodulationsverfahren angegeben, um das übertragene Nachrichtensignal m(t) aus dem empfangenen modulierten Trägersignal s(t) zurückzugewinnen.
Das erste Demodulationsverfahren beruht auf der Tatsache, dass die Frequenz fo=l/T des Trägersignals fest ist und das modulierte Trägersignal s (t) alle T Sekunden zweimal durch Null geht. Die Funktion s(t) hat zu den Zeitpunkten Null und T/2 den Wert Null, zu den Zeitpunkten T/4 den Wert a0 und zum Zeitpunkt 3T/4 den Wert -a0. Zu den Zeitpunkten T/8 und 3T/8 ergibt sich der Funktionswert anSx(T/8). Zu den Zeitpunkten
T
5T/8 und 7T/8 beträgt der Funktionswert -a0sx(— ).
8 ^ Der Wert von sx ( — ) ist gleich 1/ l+ k' für Signalformen
8 oberhalb der Sinusfunktion und 4kx / 4l + k' für Signalformen unterhalb der Sinusfunktion. Der Ausdruck k' ist gleichVI-&2. Daher kann der sich gegenüber der Frequenz f0 des Trägersignals langsam ändernde Modulationsparameter k(t) und somit die Nachricht m(t) durch Abtastung bei den ungeraden Vielfachen von T/8 wiedergewonnen werden.
Bei dem zweiten Demodulationsverfahren erhält man das Nachrichtensignal durch Integration des empfangenen modulierten Trägersignals s(t) über eine Viertelperiode T/4 oder eine halbe Periode T/2. Mit den Integralen
J*Kx,*)Ä - -l"W*)+^(*)) f icn(χ k)dχ arcsin(k. sn(x) k rC
die beispielsweise in I.S. Gradshteyn, I.M. Ryzhik, "Table of Integrals, Series, and Products", Corrected and Enlarged Edition, Academic Press, 1980, Seite 630, 5.133) beschrieben sind, erhalten wir
Eine Integration über eine Viertelperiode ergibt jeweils die Hälfte der Werte.
Gemäß dem dritten Demodulationsverfahren wird das modulierte Trägersignal s (t) zunächst quadriert und anschließend gemäß der Gleichung
integriert, E(k) ist das sogenannte vollständige elliptische Integral zweiter Art und k' ist 4l - k2. Eine Integration über eine halbe (eine viertel) Periode ergibt jeweils die Hälfte (ein Viertel) des Wertes.
Mit Hilfe von elliptischen Funktionen können auch bekannte orthogonale Modulationsverfahren basierend auf Sinus- und Kosinusträger verallgemeinert werden. Anstatt der Sinusfunktion benutzen wir die Funktion sx(x) aus Gleichung (5) , und anstatt der Kosinusfunktion benutzen wir die
Funktion sy(x) mit x=2^f0t, die wie folgt definiert ist.
Die Funktion cd(x) ist die um K verschobene sn (x) -Funktion, d.h. cd(x) =sn (x+K) . Sie kann ausgedrückt werden durch cd(x)=cn(x) /dn(x) . Dann gilt die Orthogonalitätseigenschaft :
p4K sx (x) • sy (x) dt
Demzufolge können elliptische Funktionen für die orthogonale Modulation verwendet werden. Bei gegebenen Werten für ao, fo und k hat man zwei Basisfunktionen je Dimension (sn und k' sd in x-Richtung und cd und cn in y-Richtung) gegenüber nur einer Basisfunktion bei klassischen
Sinusträgern. Die Orthogonalität kann im Basis- und/oder im Übertragungsband genutzt werden.

Claims

Patentansprüche
1. Verfahren zur Modulation eines Trägersignals zur Übertragung von Nachrichtensignalen, dadurch gekennzeichnet, dass das Trägersignal in seiner Signalform durch ein zu übertragendes Nachrichtensignal (m(t)) zeitlich verändert wird, wobei die Amplitude (a0) und die Frequenz (f0) des Trägersignals (s(t)) konstant bleiben.
2. Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, dass der zeitliche Verlauf des Trägersignals durch eine elliptische Funktion definiert wird.
3. Verfahren nach Anspruch 2, dadurch gekennzeichnet, dass Jacobi elliptische Funktionen verwendet werden.
4. Verfahren nach Anspruch 2 oder 3, dadurch gekennzeichnet, dass der Modul k einer elliptischen Funktion durch das zu übertragende Nachrichtensignal (m(t)) zeitlich verändert wird, um die Signalform des Trägersignals im Rhythmus des zu übertragenden Nachrichtensignals (m(t)) zu modulieren.
5. Verfahren nach einem der Ansprüche 2 bis 4, dadurch gekennzeichnet, dass der zeitliche Verlauf des modulierten Trägersignals durch die elliptische Funktion s(t) = ao sx (2 f0t, k(t) ) definiert wird, wobei ao die Amplitude und fo die Frequenz ist und wobei π und der Modul k über das vollständige elliptische Integral erster Art zusammenhängen.
6. Verfahren nach Anspruch 5, dadurch gekennzeichnet, dass die Funktion sx (2 f0t, k (t) ) für 0<k(t)<l durch die Jacobi elliptische Funktion sn (2 f0t, k (t) ) und für -l<k(t)<0 durch die Jacobi elliptische Funktion cn (2 f0 (t-T/4) , k(t) ) definiert wird.
7. Verfahren nach einem der Ansprüche 2 bis 6, dadurch gekennzeichnet, dass ein orthogonales Übertragungsverfahren benutzt wird, welches auf orthogonalen elliptischen Basisfunktionen (sn(2 f0t,k(t) ) , sd(2 f0t,k(t) ) , cd(2 f0t, k (t) ) und cn (2 f0t, k (t) ) ) basiert.
8. Verfahren nach einem der Ansprüche 2 bis 6, dadurch gekennzeichnet, dass das durch eine elliptische Funktion definierte Trägersignal unter Verwendung einer analogen Schaltungsanordnung erzeugt wird.
9. Verfahren zur Demodulation eines modulierten Trägersignals, dessen zeitlicher Verlauf durch die elliptische Funktion
s (t) = ao sx (2^f0t, k (t) ) definiert wird, wobei ao die Amplitude und f0 die Frequenz ist und wobei π und der Modul k über das vollständige elliptische Integral erster Art zusammenhängen, nach welchem das empfangene modulierte Trägersignal (s(t)) zu Zeitpunkten, die den ungeraden Vielfachen von T/8, mit T=l/f0, entsprechen, abgetastet wird, und aus den Äbtastwerten der Modul k(t) und damit das übertragene Nachrichtensignal (m(t) ) gewonnen wird.
10. Verfahren zur Demodulation eines modulierten
Trägersignals, dessen zeitlicher Verlauf durch die elliptische Funktion s (t) = ao sx (2 f0t, k (t) ) definiert wird, wobei a0 die Amplitude und fo die Frequenz ist und wobei π und der Modul k über das vollständige elliptische Integral erster Art zusammenhängen, nach welchem das empfangene modulierte Trägersignal (s(t)) integriert wird, um den zeitabhängigen Modul k(t) und somit das übertragene Nachrichtensignal (m(t) ) zu gewinnen.
11. Verfahren nach Anspruch 10, dadurch gekennzeichnet, dass die Funktion sx (2;rf0t, k (t) ) für 0<k(t)<l durch die Jacobi elliptische Funktion sn (2;τf0t, k (t) ) und für -l<|A:(t)| <0 durch die Jacobi elliptische Funktion cn(2^f0(t-T/4) ,k(t) ) definiert wird.
12. Verfahren zur Demodulation eines modulierten Trägersignals, dessen zeitlicher Verlauf durch die elliptische Funktion s(t) = a0 sx (2τf0t, k (t) ) definiert wird, wobei ao die Amplitude und fo die Frequenz ist und wobei π und der Modul k über das vollständige elliptische Integral erster Art zusammenhängen, nach welchem das empfangene modulierte Trägersignal quadriert und anschließend integriert wird, um den Modul k(t) und somit das übertragene Nachrichtenignal (m(t)) zu gewinnen.
13. Modulator zur Modulation eines Trägersignals zur Übertragung von Nachrichtensignalen, dadurch gekennzeichnet, dass die Modulation des Trägersignals (s(t)) dadurch erfolgt, dass die Signalform des Trägersignals durch ein zu übertragendes Nachrichtensignal (m(t) zeitlich veränderbar ist, wobei die Amplitude (a0) und die Frequenz (f0) des Trägersignals (s(t)) konstant bleiben.
14. Modulator nach Anspruch 13, gekennzeichnet durch eine analoge Schaltungsanordnung, die wenigstens ein moduliertes Trägersignal (s(t)) liefert, dessen Kurvenverlauf wenigstens abschnittsweise einer elliptischen Funktion entspricht oder angenähert ist.
15. Modulator nach Anspruch 14, dadurch gekennzeichnet, dass die elliptische Funktion eine Jacobi elliptische Funktion ist.
16. Modulator nach Anspruch 14 oder 15, dadurch gekennzeichnet, dass die analoge Schaltungsanordnung Einrichtungen zum zeitlichen Verändern des Moduls k einer elliptischen Funktion durch das zu übertragende Nachrichtensignal (m(t) ) aufweist, um die Signalform des Trägersignals im Rhythmus des zu übertragenden Nachrichtensignals (m(t)) zu modulieren.
17. Modulator nach einem der Ansprüche 14 bis 16, dadurch gekennzeichnet, dass die analoge Schaltungsanordnung ein moduliertes Trägersignal erzeugt, dessen zeitlicher Verlauf durch die elliptische Funktion s(t) = a0 sx (2rfot, k(t) ) definiert ist, wobei a0 die Amplitude und f0 die Frequenz ist und wobei π und der Modul k über das vollständige elliptische Integral erster Art zusammenhängen.
18. Modulator nach Anspruch 17, gekennzeichnet durch erste analoge Multiplizierer (10, 20, 40, 50, 70, 80) und analoge Integrierer (30, 60, 90) , die derart zusammengeschaltet sind, dass diese die drei Ausgangssignale sn (2 f0 (t-T/4) , k (t) ) , cn(2^f0(t- T/4),k(t)), dn(2 fo(t-T/4) ,k(t) ) liefern, eine analoge Divisionseinrichtung (96) zum Bilden des Quotienten sn(2^f0(t-T/4),k(t))/dn(2^f0(t-T/4),k(t) ), einen zweiten, der Divisionseinrichtung (96) zugeordneten analogen Multiplizierer (97) , der das Ausgangssignal der Divisionseinrichtung (96) mit dem Faktor 4l - k2 multipliziert, wobei für 0<k(t)<l das Ausgangssignal sn (2 f0t, k (t) ) das modulierte Trägersignal bildet und für -l<k(t)<0 das Ausgangssignal des zweiten analogen Multiplizierers (97) das modulierte Trägersignal bildet.
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