EP0867841A2 - Verfahren zum Abschätzen der Ausfallsrate von Komponenten technischer Einrichtungen - Google Patents

Verfahren zum Abschätzen der Ausfallsrate von Komponenten technischer Einrichtungen Download PDF

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EP0867841A2
EP0867841A2 EP98105443A EP98105443A EP0867841A2 EP 0867841 A2 EP0867841 A2 EP 0867841A2 EP 98105443 A EP98105443 A EP 98105443A EP 98105443 A EP98105443 A EP 98105443A EP 0867841 A2 EP0867841 A2 EP 0867841A2
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EP
European Patent Office
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lifetime
lifetime distribution
distribution
components
component
Prior art date
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Withdrawn
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EP98105443A
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French (fr)
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EP0867841A3 (de
Inventor
Ulrich Dr. Leuthäusser
Jürgen Dr. Sellen
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ESG Elektroniksystem und Logistik GmbH
Original Assignee
ESG Elektroniksystem und Logistik GmbH
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Filing date
Publication date
Application filed by ESG Elektroniksystem und Logistik GmbH filed Critical ESG Elektroniksystem und Logistik GmbH
Publication of EP0867841A2 publication Critical patent/EP0867841A2/de
Publication of EP0867841A3 publication Critical patent/EP0867841A3/de
Withdrawn legal-status Critical Current

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Classifications

    • G—PHYSICS
    • G07—CHECKING-DEVICES
    • G07C—TIME OR ATTENDANCE REGISTERS; REGISTERING OR INDICATING THE WORKING OF MACHINES; GENERATING RANDOM NUMBERS; VOTING OR LOTTERY APPARATUS; ARRANGEMENTS, SYSTEMS OR APPARATUS FOR CHECKING NOT PROVIDED FOR ELSEWHERE
    • G07C5/00—Registering or indicating the working of vehicles
    • G—PHYSICS
    • G07—CHECKING-DEVICES
    • G07C—TIME OR ATTENDANCE REGISTERS; REGISTERING OR INDICATING THE WORKING OF MACHINES; GENERATING RANDOM NUMBERS; VOTING OR LOTTERY APPARATUS; ARRANGEMENTS, SYSTEMS OR APPARATUS FOR CHECKING NOT PROVIDED FOR ELSEWHERE
    • G07C3/00—Registering or indicating the condition or the working of machines or other apparatus, other than vehicles

Definitions

  • the invention relates to a method for estimating the failure rate ⁇ (t) of corresponding components in one Inventory of technical facilities, such as B. vehicles of all kinds, one continuously counting the number of each Failing time interval and therefore by repair or Exchange of components to be replaced and from them determines a lifetime distribution f (t) of these components.
  • the components in question can be used directly or via the cumulative lifetime distribution F (t) the failure rate Calculate ⁇ (t).
  • the lifetime distribution of the respective component is therefore ongoing during the use of the technical Establishments to determine the failure rate for calculate a forecast of future needs for this component.
  • the failure rate can be derived directly from the data obtained in this way ⁇ (t) from the quotient of the number of failed Determine components and the relevant observation period.
  • ⁇ (t) the system noise caused by statistical fluctuations the lifetimes of the individual components are not taken into account.
  • a reliable failure forecast based on a failure rate ⁇ (t) calculated directly from the data obtained is not possible.
  • lifetime data f (t) are determined from the data obtained, in the following the lifetime distribution of the components that failed for the first time in the maintenance period with f 1 (t) and the lifetime distribution of the components f 2 (t) which fail for the second time, etc.
  • the failure rate ⁇ (t) can then be determined in principle from the lifetime distributions thus determined, for example by summing up the Laplace transforms of the lifetime distributions and the sum back-transformed (see e.g. Cox, DR; Miller, H .: The Theory of Stochastic Processes, Methun & Co. LTD, London).
  • a simple relationship for the Laplace-transformed failure rate ⁇ (s) can be derived from the classical renewal theory, namely as the quotient of the Laplace transform f 1 (s) of the first lifetime distribution f 1 (t) divided by the difference between 1 and the Laplace - Transformed f (s) into one of the other lifetime distributions f (t).
  • the prerequisite here is that the other lifetime distributions are all the same. It is also a prerequisite that the inventory of technical equipment does not change. However, these requirements are often not met.
  • the number of fighter jets is changing over time according to given retirement plans.
  • further inventory reductions may occur, e.g. B. due of accidents or repairs that are no longer worthwhile.
  • the invention is based on the consideration that, for. Legs Reduction of inventory leads to fewer failures, d. H. to changed lifetime distributions. If you lay these life distributions then the calculation of the failure rate ⁇ (t) of the based on the respective component, this usually results values for the failure rate ⁇ (t) too low; higher reliability the respective component is faked. A Demand forecast for the component based on the so Failure rate ⁇ (t) determined therefore gives incorrect results.
  • the invention has for its object a method of Specify the type mentioned at the beginning, which one is temporally changing total inventory of technical facilities taken into account.
  • This object is achieved in that one according to a predefined or continuously determined inventory function G (t) temporally changing total inventory the lifetime distribution f (t) or the cumulative lifetime distribution F (t) corrected by taking into account the inventory function G (t).
  • the failure rate ⁇ (t) results the measured lifetime distribution f (t), namely, accordingly the chosen mathematical formalism, immediately from the lifetime distribution f (t) or from the accumulated lifetime distribution F (t).
  • the invention Correction to take into account the inventory function G (t) can with the lifetime distribution f (t) or the cumulative lifetime distribution F (t) can be made.
  • the corrected lifetime distribution f 0 (t) can be determined by time differentiation of the corrected cumulative lifetime distribution F 0 (t).
  • the invention is concerned with a method for estimating the failure rate ⁇ (t) of corresponding components in an inventory technical facilities such.
  • the failure rate ⁇ (t) can be directly calculated simply by approximating the failure rate ⁇ (t) according to the following relationship: ⁇ (t) ⁇ 1 ⁇ + ⁇ ⁇ 3rd ⁇ T - ⁇ ⁇ 2nd ⁇ 1 ⁇ - 3rd 2nd 1 + ⁇ 2nd ⁇ 2nd + ⁇ 2nd 2 ⁇ 3rd , where ⁇ 1 the first moment of the first life distribution f 1 (t), ⁇ the first moment of a further, preferably the second life distribution f 2 (t), ⁇ the difference between the first moments ⁇ 2 and ⁇ 3 of two successive, preferably the second and third lifetime distributions f 2 (t) and f 3 (t), ⁇ the
  • Fig. 1 is an inventory of technical equipment schematically represented in the form of six vehicles a to f that consist of a large number of schematically represented components 12, 14, 16, 18 put together, such as. B. an engine, a brake system, a battery, a steering or the like.
  • Each vehicle in the inventory is constructed the same and thus consists of the same components as each other vehicles of the stock together.
  • the individual components are in turn composed of component parts, which in the event of failure of one of the components 12, 14, 16, 18 can be replaced individually for repair.
  • the vehicles a to f of the stock are in terms of their Failure behavior, d. H. with regard to failures individual components and repairs or new installation of the same, monitored and any failures that occur are documented.
  • an inventory function shown in Fig. 2a can G (t) are taken into account.
  • This inventory function G (t) gives the stock of vehicles (i.e. the number of the vehicles in operation) related to the Opening balance depending on the operating time t der Vehicles.
  • the course of the inventory function G (t) can on the one hand be determined by vehicles due to a predetermined retraction curve are put out of operation and thus a further observation of the failure behavior of the Components in such a vehicle are no longer possible or that, on the other hand, the vehicle is in an accident or the like fails and is no longer repaired. Also in this second case the observation of the individual breaks System components.
  • a first failure a 1 of the component S a has occurred
  • the failure data of component S in vehicles b to f are shown according to the same principle, with particular attention being paid to components S c and S d of vehicles c, d.
  • the last observation period t c3 'and t d3 ' does not end with component S c or S d failure.
  • the observed component S c or S d is still functional at the end of the observation (decommissioning for vehicle d, end of observation period B E for vehicle c), ie it has not failed, and must therefore not be used without a corresponding correction when estimating a failure rate ⁇ (t) (see below) are treated as component failure, as this would falsify the result.
  • the failure data of component S of vehicles a to f shown in FIG. 2b for illustration can now be used to determine the lifetime distributions f i (t) for the ith failure of component S, as in FIGS. 3 to 5 for the first, second and third component failures.
  • Fig. 3 the first failures (index 1) of component S in vehicles a to f are plotted as a histogram, which forms the lifetime distribution f 1 (t).
  • Each failure is marked with a point and the associated time interval from the start of the observation to the failure is indicated using a dimension arrow (in FIG. 3 above).
  • the failures that occur in each time step of the t-axis are added up; the sum gives the step height.
  • the lifetime distribution f 1 (t) until the first failure the case may occur that the start of the observation does not coincide with the time when the component S was first started up. So even "brand new" delivered vehicles already have a certain operating time (e.g. test run time) behind them.
  • the lifetime distribution f 1 (t) thus obtained does not have the course of the desired lifetime distribution with the start of observation from the first start-up.
  • the service life distribution f 1 (t) is also taken into account in the method described below.
  • the measured lifetime distribution f 2 (t) from the first failure to the second failure of the components S a to S f (see FIG. 4) is therefore the first complete lifetime distribution.
  • FIG. 3 shows, in addition to f 1 (t), a cumulative lifetime distribution F 1 (t) up to the first failure. This describes the probability that a component S of vehicles a to f will fail until time t.
  • FIG. 4 shows a graph corresponding to FIG. 3 for the failures a 2 to f 2 , ie in each case for the second failure of component S in vehicles a to f since the vehicle was restarted after the first failure of component S.
  • the respective lifetimes t a2 to t f2 are the operating times of the respective vehicles a to f from the restart after the first failure of component S to the second failure of component S.
  • the service life distribution is f 2 (t) until the second failure and a cumulative lifetime distribution F 2 (t) obtained according to equation (2) is plotted over time.
  • all vehicles a to f are in operation until the second failure of component S, ie component S has failed twice in each vehicle before one of vehicles a to f has been shut down.
  • FIG. 5 shows a lifetime distribution f 3 (t) (dashed line) and a cumulative lifetime distribution F 3 (t) (dash-and-dot line) obtained therefrom for the failures of component S in vehicles a, b and f.
  • Vehicle c is in operation after the second failure of component S and the corresponding repair beyond the observation period without further failure of component S.
  • Vehicle d is decommissioned with component S intact during the observation period. Vehicle d is shut down immediately after the second failure of component S.
  • the cumulative lifetime distribution F 3 (t) is to be understood here as the lifetime distribution that is obtained when the number of facilities remains unchanged over the observation period.
  • the cumulative lifetime distribution F 3 (t) forms the lower limit for the actual lifetime distribution F 3 0 (t), since it only takes into account the failures that occurred with decreasing inventory.
  • a determination of the failure rate ⁇ (t) on the basis of the cumulative lifetime distribution F 3 (t) would result in a failure rate ⁇ (t) which is too low, since the failures to be expected are not taken into account in the shutdown components.
  • An upper limit for the actual cumulative lifetime distribution F 3 0 (t) is then obtained when the non-failed during the observation period, however, disused components (S c, S d, S e) are in each case taken into account in determining the lifetime distribution as if at the time of their decommissioning according to the retirement curve f end (t) or at the end of the observation period B E (points marked with crosses).
  • the actual cumulative lifetime distribution F 3 0 (t) thus runs between the lower limit F 3 (t) and the upper limit F 3 '(t), as indicated by way of example in FIG. 5.
  • a (t) is the number of all failures up to time t Components.
  • B (t) is a first correction factor, which includes the determined number b (i) of the components which are put out of operation in the time interval i and a first term ⁇ (i).
  • C (t) is a second correction factor, which also includes the number b (i) of the components which are put out of operation in the time interval i and a second term ⁇ (i).
  • Equation 2 The above-mentioned relationship (equation 2) between f i (t) and F i (t) applies to the calculation of f 0 (t) from F 0 (t).
  • the lifetime distributions of the observed component have essentially the same course with increasing operating time of the technical device, ie they are invariant. If one takes up the example of component S in vehicles a to f mentioned at the beginning, this case can be explained in that component S, for example an engine, after a failure each time by a brand new component S, that is, by a brand new engine. In this case, it can be expected that the average life of the new component S corresponds to that of the failed component S.
  • a failure rate ⁇ (t) for the observed component e.g. B. S, in a stock of technical facilities such. B. in vehicles a to f, taking into account the falling inventory function G (t).
  • the failure rates ⁇ (t) expected in the future can be estimated.
  • expected failures which can serve as a basis for determining future spare parts.
  • the lifetime distributions change observed component S with increasing operating time of the technical Facilities.
  • Such a variant of lifetime distributions can occur if, for example, the observed Component S after a failure is not a brand new one same component is replaced, but only one or several defective component parts are replaced and the component S thus overhauled with the replacement parts again is put into operation. This means that the Component S from brand new component parts and already used components. Such Refurbished component S often has one of a brand new one Component has a very different lifetime distribution.
  • the average life of the component may decrease, since the component parts "age”, ie the number of brand new component parts decreases with increasing operating time.
  • the mean life of the components can also increase over time if components that are prone to failure are gradually replaced by more robust component parts after their failure.
  • FIG. 6 Such an increase in the average service life and thus a change in two successive service life distributions f i (t) and f i + 1 (t) is shown in FIG. 6.
  • the first moments ⁇ i and ⁇ i + 1 of the two distributions shown are entered on the t-axis.
  • the difference ⁇ between the two moments ⁇ i and ⁇ i + 1 is shown with the aid of a dimension arrow.
  • the second moments ⁇ i and ⁇ i + 1 are also approximately entered.
  • the first service life distribution f 1 (t) which may be falsified by the start of the observation, is used Lifetime distribution of the observed component until the first failure, and at least one second lifetime distribution, preferably the lifetime distribution of the observed component until the second failure f 2 (t), are determined.
  • the first lifetime distribution f 1 (t) is then transformed into the Laplace space so that it is obtained as a function of the Laplace variable s.
  • the first moment and the second moment of the existing lifetime distribution f 2 (t) and possibly further lifetime distributions f 3 (t), etc. are determined in each case.
  • the failure rate ⁇ (t) is obtained by Laplace inverse transformation.
  • this failure rate asymptotically approaches a limit value, which in this example is approximately 0.75, and which is indicated by a dashed straight line to which the following relationship applies:
  • This straight line can be described by the following equation: ⁇ (t) ⁇ 1 ⁇ + ⁇ ⁇ 3rd ⁇ T - ⁇ ⁇ 2nd ⁇ 1 ⁇ - 3rd 2nd 1 + ⁇ 2nd ⁇ 2nd + ⁇ 2nd 2 ⁇ 3rd
  • ⁇ 1 the first moment of the first life distribution f 1 (t)
  • ⁇ the first moment of a further preferably the second life distribution f 2 (t)
  • ⁇ the (constant) difference of the first moments ⁇ i and ⁇ i + 1 of two successive ones preferably the second and third lifetime distributions f 2 (t) and f 3 (t)
  • ⁇ the second moment of the further preferably second lifetime distribution f 2 (t) and ⁇ 2 the (constant) difference of the squares of two second moments, preferably ⁇ 2 and ⁇ 3 of the two successive lifetime distributions mean f 2 (t) and f 3 (t).
  • This approximation formula means that the failure rate ⁇ (t) can be easily determined for big times.
  • the inventory can be optimize for necessary spare parts, d. H. Stock shortages or inventory surplus with a sufficiently large inventory almost exclude.

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Abstract

Bei einem Verfahren zum Abschätzen der Ausfallsrate λ(t) einander entsprechender Komponenten in einem Bestand an technischen Einrichtungen, wie z. B. Fahrzeugen aller Art, wobei man laufend die Anzahl der in einem jeweiligen Zeitintervall ausfallenden und daher durch Reparatur oder Austausch zu ersetzenden Komponenten feststellt und daraus eine Lebensdauerverteilung f(t) dieser Komponenten bestimmt, wird vorgeschlagen, daß man bei einem sich gemäß einer vorgegebenen oder laufend ermittelten Bestandsfunktion G(t) zeitlich ändernden Gesamtbestand die Lebensdauerverteilung f(t) oder die kumulierte Lebensdauerverteilung F(t) durch Berücksichtung der Bestandsfunktion G(t) korrigiert. <IMAGE>

Description

Die Erfindung betrifft ein Verfahren zum Abschätzen der Ausfallsrate λ(t) einander entsprechender Komponenten in einem Bestand an technischen Einrichtungen, wie z. B. Fahrzeugen aller Art, wobei man laufend die Anzahl der in einem jeweiligen Zeitintervall ausfallenden und daher durch Reparatur oder Austausch zu ersetzenden Komponenten feststellt und daraus eine Lebensdauerverteilung f(t) dieser Komponenten bestimmt.
Komplexe technische Einrichtungen, wie Fahrzeuge aller Art, mit im allgemeinen einer Vielzahl von Komponenten, werden in der Regel nach Ausfall der einen oder anderen Komponente durch Reparatur oder Austausch wieder in Stand gesetzt. Für eine langfristige Ersatzkomponentenplanung ist es wesentlich, die Ausfallsrate λ(t) der jeweiligen Komponente möglichst zuverlässig zu bestimmen, da deren Integration über die Betriebszeit unter Berücksichtigung des Bestands den Ersatzbedarf an der jeweiligen Komponente angibt. Die Ausfallsraten der einzelnen Komponenten sind herstellerseitig häufig unbekannt, zumal dann, wenn für den jeweiligen Einsatzzweck in der technischen Einrichtung eigens konstruierte Komponenten eingesetzt werden. Von einzelnen Bestandteilen der Komponenten mögen zwar Ausfallsraten bekannt sein - ein zuverlässiger Schluß auf die Ausfallsrate der Komponente selbst läßt sich bei einer entsprechenden Vielzahl von Einzelteilen in der Regel jedoch nicht durchführen.
Aus der fraglichen Komponenten läßt sich unmittelbar oder über die kumulierte Lebensdauerverteilung F(t) die Ausfallsrate λ(t) berechnen. Die Lebensdauerverteilung der jeweiligen Komponente wird daher laufend während des Einsatzes der technischen Einrichtungen ermittelt, um hieraus die Ausfallsrate für eine Prognose zukünftigen Bedarfs an dieser Komponente zu berechnen. Hierbei geht man so vor, daß man bei jedem Ausfall der technischen Einrichtung aufgrund einer defekten Komponente bzw. bei jedem Austausch einer defekten Komponente anläßlich einer Wartung der Einrichtung, den Austausch dieser Komponente registriert und dabei auch notiert, um den wievielten Austausch es sich bei dieser Komponente innerhalb dieser technischen Einrichtung handelt.
Aus diesen so gewonnenen Daten läßt sich unmittelbar die Ausfallsrate λ(t) aus dem Quotienten der Anzahl der ausgefallenen Komponenten und des betreffenden Beobachtungszeitraums bestimmen. In dieser direkt berechneten Ausfallsrate ist allerdings das durch statistische Schwankungen bedingte Systemrauschen der Lebensdauern der einzelnen Komponenten nicht berücksichtigt. Eine zuverlässige Ausfallsprognose auf der Basis einer direkt aus den gewonnenen Daten berechneten Ausfallsrate λ(t) ist somit nicht möglich.
Um ein das Systemrauschen berücksichtigendes und damit schärferes, für Prognosen geeigneteres Ergebnis für die Ausfallsrate λ(t) zu erhalten, ermittelt man aus den gewonnenen Daten Lebensdauerverteilungen f(t), wobei im folgenden die Lebensdauerverteilung der im Wartungszeitraum zum ersten Mal ausgefallenen Komponenten mit f1(t) bezeichnet ist und die Lebensdauerverteilung der zum zweiten Mal ausfallenden Komponenten f2(t) usw. Aus den so ermittelten Lebensdauerverteilungen läßt sich dann im Prinzip die Ausfallsrate λ(t) bestimmen, beispielsweise indem man die Laplace-Transformierten der Lebensdauerverteilungen aufsummiert und die Summe rücktransformiert (siehe z. B. Cox, D.R.; Miller, H.: The Theory of Stochastic Processes, Methun & Co. LTD, London).
Aus der klassischen Erneuerungstheorie läßt sich eine einfache Beziehung für die Laplace-transformierte Ausfallsrate λ(s) ableiten und zwar als Quotient der Laplace-Transformierten f1(s) der ersten Lebensdauerverteilung f1(t) geteilt durch die Differenz von 1 und der Laplace-Transformierten f(s) einer der weiteren Lebensdauerverteilungen f(t). Vorausgesetzt ist hier jedoch, daß die weiteren Lebensdauerverteilungen alle gleich sind. Vorausgesetzt ist weiterhin, daß sich auch der Bestand an den technischen Einrichtungen nicht ändert. Diese Voraussetzungen sind jedoch häufig nicht erfüllt.
So ändert sich beispielsweise der Bestand an Kampfflugzeugen im Laufe der Zeit nach vorgegebenen Ausmusterungsplänen. Hinzu kommen können weitere Bestandsreduzierungen, z. B. aufgrund von Unfällen oder nicht mehr lohnender Reparatur.
Der Erfindung liegt die Überlegung zugrunde, daß z. B. eine Reduzierung des Bestandes zu weniger Ausfällen führt, d. h. zu geänderten Lebensdauerverteilungen. Legt man diese Lebensdauerverteilungen dann der Berechnung der Ausfallsrate λ(t) der jeweiligen Komponente zugrunde, so ergeben sich in der Regel zu geringe Werte für die Ausfallrate λ(t); eine höhere Zuverlässigkeit der jeweiligen Komponente wird vorgetäuscht. Eine Bedarfsprognose für die Komponente auf der Grundlage der so ermittelten Ausfallsrate λ(t) liefert daher falsche Ergebnisse.
Der Erfindung liegt die Aufgabe zugrunde, ein Verfahren der eingangs genannten Art anzugeben, welches einen sich zeitlich ändernden Gesamtbestand an den technischen Einrichtungen berücksichtigt.
Diese Aufgabe wird dadurch gelöst, daß man bei einem sich gemäß einer vorgegebenen oder laufend ermittelten Bestandsfunktion G(t) zeitlich ändernden Gesamtbestand die Lebensdauerverteilung f(t) oder die kumulierte Lebensdauerverteilung F(t) durch Berücksichtung der Bestandsfunktion G(t) korrigiert. Wie bereits angesprochen, ergibt sich die Ausfallsrate λ(t) aus der gemessenen Lebensdauerverteilung f(t), und zwar, entsprechend dem jeweils gewählten mathematischen Formalismus, unmittelbar aus der Lebensdauerverteilung f(t) oder aus der kumulierten Lebensdauerverteilung F(t). Die erfindungsgemäße Korrektur zur Berücksichtigung der Bestandsfunktion G(t) kann bei der Lebensdauerverteilung f(t) oder der kumulierten Lebensdauerverteilung F(t) vorgenommen werden.
Die Korrektur der kumulierten Lebensdauerverteilung F(t) wird bevorzugt dadurch vorgenommen, daß man die korrigierte kumulierte Lebensdauerverteilung F0(t) in Abhängigkeit von der Zeit dadurch bestimmt, daß man für ein momentanes Zeitintervall t-1 bis t eine Ausfallszahl A(t) als Anzahl der im momentanen sowie in sämtlichen vorangegangenen Zeitintervallen ausgefallenen Komponenten feststellt, daß man jeweils die in den vorangegangenen Zeitintervallen (i) gemäß einer fallenden Bestandsfunktion G(t) durch Außerbetriebsetzen der jeweiligen technischen Einrichtung außer Betrieb gesetzten Komponenten feststellt und die ermittelte Anzahl b(i) mit einem ersten bzw. zweiten Term β(i) bzw. γ(i) multipliziert, der von der bis zum jeweiligen Zeitintervall kumulierten und bereits bestimmten Lebensdauerverteilung F(i) abhängt, und die so ermittelten Produkte für sämtliche vorangegangenen Zeitintervalle (i = 1 bis t - 1) addiert zum Erhalt eines ersten bzw. zweiten Korrekturfaktors B(t) bzw. C(t), und daß man als kumulierte Lebensdauerverteilung F0(t) den Quotienten aus der Differenz von Ausfallszahl A(t) und dem ersten Korrekturfaktor B(t) und der Differenz von 1 und dem zweiten Korrekturfaktor C(t) bestimmt, so daß folgende Beziehung gilt: F0(t) = A(t) - B(t)1 - C(t) mit A(t) = i=1 t a(i) ,   B(t) = i=1 t-1 b(i) · β(i) ,   C(t) = i=1 t-1 b(i) · γ(i) .
Hierbei wird vorgeschlagen, daß der erste Term β(i) der Quotient aus der bis zum jeweiligen Zeitintervall kumulierten Lebensdauerverteilung F(i) und der Differenz von 1 und dieser Lebensdauerverteilung F(i) ist, und daß der zweite Term γ(i) der Quotient aus 1 und der Differenz von 1 und dieser Lebensdauerverteilung F(i) ist, das heißt β(i) = F(i)1 - F(i) und γ(i) = 11 - F(i) .
Hierdurch läßt sich auf einfache Weise der Einfluß der sich ändernden Bestandsfunktion G(t) auf die kumulierte Lebensdauerverteilung F(t) berücksichtigen. Durch zeitliche Differentiation der korrigierten kumulierten Lebensdauerverteilung F0(t) läßt sich die korrigierte Lebensdauerverteilung f0(t) bestimmen. Daraus erhält man die Ausfallsrate λ(t) durch beispielsweise numerisches Lösen der folgenden Integralgleichung: λ(t) = f1 0(t) + 0 t λ(t - u) · f0(u) du , wobei u die Integrationsvariable, f1(t) die erste Lebensdauerverteilung und f(u) (bzw. f(t)) die zweite, dritte, usw. Lebensdauerverteilung ist.
Die klassische Erneuerungstheorie setzt, wie bereits angesprochen, voraus, daß sich die Lebensdauerverteilungen einer Komponente, also die erste, die zweite usw. Lebensdauerverteilung, nicht voneinander unterscheiden. Diese Voraussetzung ist in vielen praktischen Fällen jedoch nicht erfüllt. Eine mögliche Ursache hierfür ist, daß die jeweils ausgefallene Komponente nicht durch eine fabrikneue Komponente ersetzt wird, sondern durch eine überholte Komponente, wie z. B. Austauschmotor. Eine derartige überholte Komponente weist also eine Vielzahl nicht überholter, d. h. älterer Komponententeile auf, sowie eine oder mehrere neue Komponententeile. Aufgrund des Anteils an älteren Komponententeilen wird die mittlere Lebensdauer dieser Austauschkomponenten im allgemeinen geringer sein als die einer fabrikneuen Komponente. Es ist jedoch auch denkbar, daß die Lebensdauer einer Austauschkomponente größer ist als die einer fabrikneuen, z. B. deshalb, weil in der Austauschkomponente ein weniger störanfälliges Komponententeil eingesetzt worden ist als in der fabrikneuen Komponente.
Gemäß einem weiteren Aspekt der Erfindung, der vom vorstehenden Aspekt Berücksichtigung der Bestandsfunktion an sich unabhängig ist, jedoch bevorzugt in Verbindung mit diesem realisierbar ist, befaßt sich die Erfindung mit einem Verfahren zum Abschätzen der Ausfallsrate λ(t) einander entsprechender Komponenten in einem Bestand an technischen Einrichtungen, wie z. B. Fahrzeugen aller Art, wobei man nach einem ersten Ersetzen der ausgefallenen Komponenten durch Reparatur oder Austausch und wenigstens nach einem zweiten Ersetzen laufend die Anzahl der in einem jeweiligen Zeitintervall ausfallenden Komponenten feststellt und daraus eine erste und wenigstens eine zweite Lebensdauerverteilung f1(t), f2(t) der Komponenten bestimmt.
Zur Berücksichtigung sich ändernder Lebensdauerverteilungen wird vorgeschlagen, daß man die Laplace-transformierte Ausfallsrate λ(s) nach folgender Beziehung annähert λ(s) = f1(s) i=1 ∞ exp- s j=2 i µj + ½ s2 j=2 i σ2 j , wobei f1(s) die Laplace-transformierte erste Lebensdauerverteilung, µj das erste Moment der j-ten Lebensdauerverteilung fj(t), σj das zweite Moment der j-ten Lebensdauerverteilung fj(t) und s die Laplace-Variable bedeuten, und daß man die Ausfallsrate λ(t) durch Laplace-Rücktransformation berechnet.
Somit läßt sich zumindest für vergleichsweise große Betriebszeiten (d. h. im allgemeinen t ≥ µ) die Laplace-transformierte Ausfallsrate λ(s) als einfache Summe über die Laplace-Variable s sowie die ersten und zweiten Momente der Lebensdauerverteilungen enthaltende Terme weitgehend exakt berechnen und daraus die Ausfallsrate λ(t) selbst durch Laplace-Rücktransformation bestimmen.
Für den Fall, daß die Differenz Δµ der ersten Momente aufeinanderfolgender Lebensdauerverteilungen sowie die Differenz Δσ2 der Quadrate der zweiten Momente aufeinanderfolgender Lebensdauerverteilungen im wesentlichen konstant ist (d. h. die ersten Momente µj und die Quadrate der zweiten Momente σj der Lebensdauerverteilungen ändern sich angenähert linear mit der Zeit), läßt sich die Ausfallsrate λ(t) unmittelbar in einfacher Weise dadurch berechnen, daß man die Ausfallsrate λ(t) nach folgender Beziehung annähert: λ(t) ≅ 1µ + Δµµ3 · t - Δµµ2 µ1 µ - 32 1 + σ2 µ2 + Δσ2 2µ3 , wobei µ1 das erste Moment der ersten Lebensdauerverteilung f1(t), µ das erste Moment einer weiteren, vorzugsweise der zweiten Lebensdauerverteilung f2(t), Δµ die Differenz der ersten Momente µ2 und µ3 zweier aufeinanderfolgender, vorzugsweise der zweiten und dritten Lebensdauerverteilungen f2(t) und f3(t), σ das zweite Moment der weiteren Lebensdauerverteilung f2(t) und Δσ2 die Differenz der Quadrate zweier zweiter Momente σ2 und σ3 der beiden aufeinanderfolgenden Lebensdauerverteilungen f2(t) und f3(t) bedeuten.
Die Erfindung wird im folgenden an bevorzugten Ausführungsbeispielen anhand der Zeichnungen erläutert. Es zeigt:
Fig. 1
schematisch einen Bestand an technischen Einrichtungen in Form von Fahrzeugen mit einer Vielzahl von Komponenten;
Fig. 2
in ihrem mit a bezeichneten oberen Teil eine kumulierte Ausmusterungskurve Fend(t) und eine Bestandskurve G(t) aufgetragen über die Zeit, und in ihrem mit b bezeichneten unteren Teil Ausfälle einer bestimmten gleichen Komponente S in den technischen Einrichtungen a bis f aufgetragen über die Zeit unter Berücksichtigung der Bestandskurve G(t) aus Fig. 2a;
Fig. 3
ein Histogramm der Lebensdauerverteilung f1(t) bis zum ersten Ausfall der Komponente S in den technischen Einrichtungen a bis f entsprechend dem Ausfallsverhalten gemäß Fig. 2b sowie die kumulierte Lebensdauerverteilung F1(t) aufgetragen über die Zeit;
Fig. 4
ein Histogramm der Lebensdauerverteilung f2(t) bis zum zweiten Ausfall sowie die kumulierte Lebensdauerverteilung F2(t) über die Zeit;
Fig. 5
ein Histogramm unter anderem der Lebensdauerverteilung f3(t) bis zum dritten Ausfall sowie die kumulierte Lebensdauerverteilung F3(t) über die Zeit;
Fig. 6
Graphen einer Lebensdauerverteilung fi(t) und ihr erstes Moment µi sowie einer den auf diese unmittelbar folgenden Erneuerungsprozeß charakterisierenden, von dieser verschiedenen Lebensdauerverteilung fi+1(t) und ihr erstes Moment µi+1; und
Fig. 7
Graphen einer Ausfallsrate λΔµ=0(t) bei konstanten Lebensdauerverteilungen fi(t) = fi+1(t) (durchgezogene Linie) sowie einer Ausfallsrate λΔµ≠0(t) bei nicht konstanten Lebensdauerverteilungen fi(t) ≠ fi+1(t) (gepunktete Linie) sowie einer Asymptote λA(t) (strichpunktierte Linie).
In Fig. 1 ist schematisch ein Bestand an technischen Einrichtungen in Form von sechs Fahrzeugen a bis f dargestellt, die sich aus einer Vielzahl von schematisch dargestellten Komponenten 12, 14, 16, 18 zusammensetzen, wie z. B. einem Motor, einer Bremsanlage, einer Batterie, einer Lenkung oder dergleichen. Jedes Fahrzeug des Bestandes ist gleich aufgebaut und setzt sich somit jeweils aus den gleichen Komponenten wie die übrigen Fahrzeuge des Bestandes zusammen. Die einzelnen Komponenten sind wiederum aus Komponententeilen zusammengesetzt, welche bei einem Ausfall einer der Komponenten 12, 14, 16, 18 zur Reparatur derselben einzeln ausgetauscht werden können.
Die Fahrzeuge a bis f des Bestandes werden bezüglich ihres Ausfallsverhaltens, d. h. im Hinblick auf auftretende Ausfälle einzelner Komponenten und Reparaturen bzw. Neueinbau derselben, überwacht und aufgetretene Ausfälle werden dokumentiert.
Die so gewonnenen Ausfalldaten können dann mit Hilfe des erfindungsgemäßen Verfahrens ausgewertet werden.
Bei dieser Auswertung kann eine in Fig. 2a dargestellte Bestandsfunktion G(t) berücksichtigt werden. Diese Bestandsfunktion G(t) gibt den Gestambestand an Fahrzeugen (d. h. die Anzahl der im Betrieb befindlichen Fahrzeuge) bezogen auf den Anfangsbestand in Abhängigkeit von der Betriebszeit t der Fahrzeuge an. Der Verlauf der Bestandsfunktion G(t) kann einerseits dadurch bestimmt werden, daß Fahrzeuge aufgrund einer vorgegebenen Ausmusterungskurve außer Betrieb gesetzt werden und somit eine weitere Beobachtung des Ausfallsverhaltens der Komponenten bei einem derartigen Fahrzeug nicht mehr möglich ist, oder daß andererseits das Fahrzeug durch einen Unfall oder dergleichen ausfällt und nicht mehr repariert wird. Auch in diesem zweiten Fall bricht die Beobachtung der einzelnen Systemkomponenten ab.
Fig. 2a zeigt ferner die kumulierte Lebensdauerverteilung Fend(t) der Fahrzeuge, welche die Anzahl der außer Betrieb gesetzten Fahrzeuge bezogen auf die anfangs in Betrieb genommenen Fahrzeuge a bis f angibt und welche gemäß folgender Beziehung mit der Bestandsfunktion G(t) zusammenhängt: G(t) = 1-Fend(t).
In Fig. 2b sind die gesammelten Ausfallsdaten einer jeweils gleichen Komponente S (beispielsweise eines Motors) in den Fahrzeugen a bis f jeweils auf einer Zeitachse graphisch dargestellt. Betrachtet man beispielsweise die Komponente Sa des Fahrzeugs a, so ist zu erkennen, daß ein erster Ausfall a1 der Komponente Sa nach einer Zeit ta1 ab dem Beobachtungsstartzeitpunkt (t = 0) stattgefunden hat. Nach diesem Ausfall wurde die Komponente Sa gegen eine fabrikneue oder überholte Komponente ausgetauscht und das Fahrzeug a wurde erneut in Betrieb genommen. Nach einem weiteren Zeitraum ta2 trat dann im Fahrzeug a ein zweiter Ausfall der Komponente S auf, wie durch den Punkt a2 angedeutet. Daraufhin wurde die Komponente erneut gegen eine fabrikneue bzw. überholte Komponente S ausgetauscht und das Fahrzeug wieder in Betrieb genommen. Nach einem weiteren Zeitraum ta3 nach der erneuten Inbetriebnahme fiel die Komponente S im Fahrzeug a ein drittes Mal aus, wie durch den Punkt a3 angedeutet. Zu diesem Zeitpunkt wurde das Fahrzeug a schließlich stillgelegt.
Nach dem gleichen Prinzip sind jeweils die Ausfalldaten der Komponente S in den Fahrzeugen b bis f dargestellt, wobei besonderes Augenmerk auf die Komponenten Sc und Sd der Fahrzeuge c, d zu richten ist. Bei beiden Fahrzeugen endet der letzte Beobachtungszeitraum tc3' und td3' nicht mit einem Ausfall der Komponente Sc bzw. Sd. Die beobachtete Komponente Sc bzw. Sd ist am Ende der Beobachtung (Stillegung bei Fahrzeug d, Beobachtungszeitraumende BE bei Fahrzeug c) noch funktionstüchtig, d. h. nicht ausgefallen, und darf somit bei der Abschätzung einer Ausfallsrate λ(t) nicht ohne entsprechende Korrektur (siehe unten) als Komponentenausfall behandelt werden, da dies das Ergebnis verfälschen würde.
Über strichlierte Linien 20 ist ein direkter Zusammenhang zwischen Fig. 2a und 2b dargestellt. Beispielsweise werden zum Zeitpunkt t = 7 die Fahrzeuge b und d außer Betrieb genommen, so daß die Bestandskurve entsprechend fällt. Zum Zeitpunkt t = 8 wird das Fahrzeug f stillgelegt, so daß die Bestandskurve weiter fällt, usw.
Die in Fig. 2b zur Veranschaulichung dargestellten Ausfallsdaten der Komponente S der Fahrzeuge a bis f können nun zur Bestimmung der Lebensdauerverteilungen fi(t) für den i-ten Ausfall der Komponente S verwendet werden, wie in den Fig. 3 bis 5 für die ersten, zweiten und dritten Ausfälle der Komponente dargestellt.
In Fig. 3 sind die ersten Ausfälle (Index 1) der Komponente S in den Fahrzeugen a bis f als Histogramm aufgetragen, welches die Lebensdauerverteilung f1(t) bildet. Jeder Ausfall ist mit einem Punkt markiert und das zugehörige Zeitintervall vom Beobachtungsstart bis zum Ausfall unter Verwendung eines Bemaßungspfeils angegeben (in Fig. 3 oben). Die jeweils pro Zeitschritt der t-Achse aufgetretenen Ausfälle werden aufsummiert; die Summe ergibt die Stufenhöhe. Beispielsweise fallen im Zeitraum zwischen t = 1 und t = 2 die Systemkomponenten Sf und Sd zum ersten Mal seit dem Beobachtungsstart (t = 0) aus, so daß das Histogramm für dieses Zeitintervall eine Ausfallszahl A1 (= Stufenhöhe) von 2 angibt. Auf ein Ende eines Zeitschritts fallende Ausfälle werden diesem Zeitschritt zugeordnet. Der Ausfall d1 ist also der zweite Ausfall in dem Zeitraum zwischen t = 1 und t = 2. Die Lebensdauerverteilung f1(t) gibt somit die stochastische Verteilung der Lebensdauern der Komponenten Sa bis Sf für den ersten Ausfall seit Beobachtungsstart (t = 0) wieder.
Bei der bebensdauerverteilung f1(t) bis zum ersten Ausfall kann der Fall eintreten, daß der Beobachtungsstart nicht mit dem Zeitpunkt der ersten Inbetriebnahme der Komponente S zusammenfällt. So haben selbst "fabrikneu" angelieferte Fahrzeuge bereits eine gewisse Betriebszeit (z. B. Probelaufzeit) hinter sich. Die erhaltene Lebensdauerverteilung f1(t) hat somit nicht den Verlauf der an sich gewünschten Lebensdauerverteilung mit Beobachtungsstart ab erster Inbetriebnahme. Um die in f1(t) enthaltene Information nicht zu verlieren und eine frühzeitige Prognose für den Komponentenbedarf zu ermöglichen, wird im nachfolgend beschriebenen Verfahren die Lebensdauerverteilung f1(t) mit berücksichtigt.
Die gemessene Lebensdauerverteilung f2(t) ab dem ersten Ausfall bis zum zweiten Ausfall der Komponenten Sa bis Sf (siehe Fig. 4) ist also die erste vollständige Lebensdauerverteilung.
Fig. 3 zeigt zusätzlich zu f1(t) noch eine kumulierte Lebensdauerverteilung F1(t) bis zum ersten Ausfall. Diese beschreibt die Wahrscheinlichkeit, daß eine Komponente S der Fahrzeuge a bis f bis zum Zeitpunkt t ausfällt.
Allgemein gilt zwischen der i-ten Lebensdauerverteilung fi(t) und der zugehörigen i-ten kumulierten Lebensdauerverteilung Fi(t) der Zusammenhang: Fi(t) = 0 t fi(x) dx bzw. fi(t)=dFi(t)dt .
Fig. 4 zeigt einen Graph entsprechend Fig. 3 für die Ausfälle a2 bis f2, d. h. jeweils für den zweiten Ausfall der Komponente S in den Fahrzeugen a bis f jeweils seit Wiederinbetriebnahme des Fahrzeugs nach dem ersten Ausfall der Komponente S. Die jeweiligen Lebensdauern ta2 bis tf2 sind also die Betriebszeiten der jeweiligen Fahrzeuge a bis f ab der Wiederinbetriebnahme nach dem ersten Ausfall der Komponente S bis zum zweiten Ausfall der Komponente S. Entsprechend Fig. 3 ist die Lebensdauerverteilung f2(t) bis zum zweiten Ausfall und eine gemäß Gleichung (2) gewonnene, kumulierte Lebensdauerverteilung F2(t) über die Zeit aufgetragen. Es ist anzumerken, daß gemäß Fig. 2a und 2b alle Fahrzeuge a bis f bis zum zweiten Ausfall der Komponente S in Betrieb sind, d. h. daß die Komponente S in jedem Fahrzeug zweimal ausgefallen ist, bevor eines der Fahrzeuge a bis f stillgelegt wurde.
Fig. 5 zeigt eine Lebensdauerverteilung f3(t) (strichlierte Linie) und eine daraus gewonnene kumulierte Lebensdauerverteilung F3(t) (Strich-Doppelpunkt-Linie) für die Ausfälle der Komponente S in den Fahrzeugen a, b und f. Es ist zu erkennen, daß die Komponenten S der Fahrzeuge c, d und e nicht zur Lebensdauerverteilung f3(t) und der kumulierten Lebensdauerverteilung F3(t) beitragen, da in diesen Fahrzeugen die Komponente S kein drittes Mal ausfällt. Fahrzeug c ist nach dem zweiten Ausfall der Komponente S und der entsprechenden Reparatur über den Beobachtungszeitraum hinaus ohne weiteren Ausfall der Komponente S in Betrieb. Fahrzeug d wird mit intakter Komponente S im Beobachtungszeitraum stillgelegt. Fahrzeug d wird unmittelbar nach dem zweiten Ausfall der Komponente S stillgelegt
Da bei der Bestimmung der Lebensdauerverteilung f3(t) bzw. der daraus gewonnenen kumulierten Lebensdauerverteilung F3(t) nur die im Beobachtungszeitraum im betreffenden Fahrzeug zum dritten Mal ausgefallenen Komponenten (Sa, Sb, Sf) berücksichtigt sind, jedoch die mit den betreffenden Fahrzeugen stillgelegten Komponenten (Sc, Sd, Se) für diese Lebensdauerverteilungen außer Acht gelassen werden, liegt die erhaltene kumulierte Lebensdauerverteilung F3(t) unterhalb einer tatsächlichen Lebensdauerverteilung F3 0(t). Unter der tatsächlichen Lebensdauerverteilung F0(t) soll hier diejenige Lebensdauerverteilung verstanden werden, die man bei über den Beobachtungszeitraum unverändertem Bestand an Einrichtungen erhält. Die kumulierte Lebensdauerverteilung F3(t) bildet, da sie nur die bei abnehmendem Bestand stattgefundenen Ausfälle berücksichtigt, den unteren Grenzwert für die tatsächliche Lebensdauerverteilung F3 0(t). Eine Bestimmung der Ausfallsrate λ(t) auf der Basis der kumulierten Lebensdauerverteilung F3(t) würde eine zu geringe Ausfallsrate λ(t) ergeben, da die zu erwartenden Ausfälle bei den stillgelegten Komponenten nicht berücksichtigt werden.
Eine obere Grenze für die tatsächliche kumulierte Lebensdauerverteilung F3 0(t) erhält man dann, wenn die im Beobachtungszeitraum nicht ausgefallenen, jedoch stillgelegten Komponenten (Sc, Sd, Se) bei der Bestimmung der Lebensdauerverteilung jeweils so berücksichtigt werden, als wären sie zum Zeitpunkt ihrer Stillegung gemäß der Ausmusterungskurve fend(t) bzw. zum Ende des Beobachtungszeitraums BE ausgefallen (mit Kreuzen markierte Punkte). Die tatsächliche kumulierte Lebensdauerverteilung F3 0(t) verläuft also zwischen der unteren Grenze F3(t) und der oberen Grenze F3'(t), wie in Fig. 5 beispielhaft angedeutet.
Sie kann mit Hilfe der folgenden Schätzformel bestimmt werden: F0(t) = A(t) - B(t)1 - C(t) wobei A(t) = i=1 t a(i) B(t) = i=1 t-1 b(i) · β(i) C(t) = i=1 t-1 b(i) · γ(i)
Dabei ist A(t) die Anzahl aller bis zum Zeitpunkt t ausgefallenen Komponenten.
B(t) ist ein erster Korrekturfaktor, in den die ermittelte Anzahl b(i) der im Zeitintervall i außer Betrieb gesetzten Komponenten und ein erster Term β(i) eingeht. C(t) ist ein zweiter Korrekturfaktor, in den ebenfalls die Anzahl b(i) der im Zeitintervall i außer Betrieb gesetzten Komponenten und ein zweiter Term γ(i) eingeht. Für β(i) und γ(i) gelten folgende Beziehungen: β(i) = F(i)1 - F(i) und γ(i) = 11 - F(i) .
Insgesamt gilt somit: F0(t)= i=1 t a(i) - i=1 t-1 b(i) · F(i)1 - F(i) 1 - i=1 t-1 b(i) · 11-F(i)
Für die Berechnung von f0(t) aus F0(t) gilt der oben genannte Zusammenhang (Gleichung 2) zwischen fi(t) und Fi(t).
Vergleicht man die ermittelten Lebensdauerverteilungen (ggf. korrigierte Lebensdauerverteilungen) der einzelnen Ausfälle miteinander, so können prinzipiell zwei Fälle eintreten.
Im ersten Fall haben die Lebensdauerverteilungen der beobachteten Komponente mit steigender Betriebszeit der technischen Einrichtung im wesentlichen den gleichen Verlauf, d. h. sie sind invariant. Greift man in diesem Zusammenhang wieder das anfangs angesprochene Beispiel der Komponente S in den Fahrzeugen a bis f auf, so läßt sich dieser Fall dadurch erklären, daß die Komponente S, beispielsweise ein Motor, nach einem Ausfall jeweils durch eine fabrikneue Komponente S, also durch einen fabrikneuen Motor, ersetzt wird. Es ist zu erwarten, daß in diesem Fall die mittlere Lebensdauer der neuen Komponente S derjenigen der ausgefallenen Komponente S entspricht. Für diesen ersten Fall der invarianten Lebensdauerverteilungen läßt sich eine Ausfallsrate λ(t) für die beobachtete Komponente, z. B. S, in einem Bestand an technischen Einrichtungen, wie z. B. in den Fahrzeugen a bis f, unter Berücksichtigung der fallenden Bestandsfunktion G(t) bestimmen. Zwischen der Ausfallsrate λ(t) und den durch Differentiation der ermittelten korrigierten kumulierten Lebensdauerverteilungen Fi 0(t) nach der Zeit gewonnenen korrigierten Lebensdauerverteilungen f1 0(t), f2 0(t), usw., allgemein fi 0(t), besteht folgender Zusammenhang: λ(t) = f1 0(t) + 0 t λ(t - u) · f0(u) du wobei u die Integrationsvariable ist und f2 0(t)=f3 0(t)=...fi 0(t) und i ≥ 2.
Somit lassen sich also für eine Vielzahl beobachteter Komponenten auf der Grundlage erfaßter Ausfallsdaten unter Berücksichtigung der Bestandsfunktion, beispielsweise durch numerisches Lösen der Gleichung 9, deren in Zukunft erwarteten Ausfallsraten λ(t) abschätzen. Durch Integration der Ausfallsrate λ(t) über die Zeit läßt sich gemäß folgender Beziehung M(t)= 0 t λ(x)dx eine Zahl M(t) von für einen Zeitraum Δt=t2-t1 zu erwartenden Ausfällen berechnen, die als Grundlage für die Bestimmung zukünftig benötigter Ersatzteile dienen kann.
Im zweiten Fall ändern sich die Lebensdauerverteilungen der beobachteten Komponente S mit steigender Betriebszeit der technischen Einrichtungen. Derartige Variante Lebensdauerverteilungen können dann auftreten, wenn beispielsweise die beobachtete Komponente S nach einem Ausfall nicht durch eine fabrikneue gleiche Komponente ersetzt wird, sondern lediglich ein oder mehrere defekte Komponententeile ausgetauscht werden und die somit mit den Austauschteilen überholte Komponente S wieder in Betrieb genommen wird. Dies bedeutet, daß sich die Komponente S aus fabrikneuen Komponententeilen und bereits gebrauchten Komponententeilen zusammensetzt. Eine derartige überholte Komponente S weist oftmals eine von einer fabrikneuen Komponente stark abweichende Lebensdauerverteilung auf.
Für das Beispiel des Motors bedeutet dies, daß der ausgefallene Motor durch einen überholten Austauschmotor ersetzt wird, der schon eine gewisse Betriebszeit hinter sich hat und der nach einem Ausfall durch Ersetzen des ausgefallenen Bauteils repariert wurde. Es ist in diesem Fall zu erwarten, daß der überholte Austauschmotor eine andere mittlere Lebensdauer als der fabrikneue Motor hat.
Mit steigender Anzahl der Ausfälle kann beispielsweise ein Absinken der mittleren Lebensdauer der Komponente eintreten, da die Komponententeile "altern", d. h. daß mit zunehmender Betriebszeit die Anzahl der fabrikneuen Komponententeile absinkt. Die mittlere Lebensdauer der Komponenten kann jedoch auch mit der Zeit zunehmen, falls störanfällige Komponententeile nach ihrem Ausfall nach und nach durch robustere Komponententeile ersetzt werden. Ein derartiges Steigen der mittleren Lebensdauer und somit eine Veränderung zweier aufeinanderfolgender Lebensdauerverteilungen fi(t) und fi+1(t) ist in Fig. 6 dargestellt. Zur Verdeutlichung der Veränderung der beiden aufeinanderfolgenden Lebensdauerverteilungen sind die ersten Momente µi und µi+1 der beiden dargestellten Verteilungen auf der t-Achse eingetragen. Ferner ist die Differenz Δµ zwischen den beiden Momenten µi und µi+1 mit Hilfe eines Bemaßungspfeils dargestellt. Auch sind die zweiten Momente σi und σi+1 näherungsweise eingetragen.
Um den durch den Einsatz überholter Komponenten verursachten Effekt von sich ändernden Lebensdauerverteilungen bei der Abschätzung der zu erwartenden Ausfallsrate λ(t) zu berücksichtigen, wird die, wie oben erläutert, durch den Beobachtungsstartzeitpunkt möglicherweise verfälschte, erste Lebensdauerverteilung f1(t), d. h. die Lebensdauerverteilung der beobachteten Komponente bis zum ersten Ausfall, und wenigstens eine zweite Lebensdauerverteilung, vorzugsweise die Lebensdauerverteilung der beobachteten Komponente bis zum zweiten Ausfall f2(t), bestimmt. Anschließend wird die erste Lebensdauerverteilung f1(t) in den Laplace-Raum transformiert, so daß man diese in Abhängigkeit von der Laplace-Variablen s erhält. Ferner bestimmt man jeweils das erste Moment und das zweite Moment der vorhandenen Lebensdauerverteilung f2(t) und ggf. weiterer Lebensdauerverteilungen f3(t), usw. Mit den so bestimmten Größen läßt sich allgemein die Ausfallsrate λ(s) im Laplace-Raum für große t (d. h. im allgemeinen t ≥ µj) nach folgender Beziehung annähern: λ(s) = f1(s) i=1 ∞ exp- s j=2 i µj + ½ s2 j=2 i σ2 j wobei j den Index der jeweiligen Lebensdauerverteilung bezeichnet. Durch Laplace-Rücktransformation erhält man die Ausfallsrate λ(t).
Fig. 7 zeigt den Verlauf einer Ausfallsrate λΔµ=O(t) bei invarianten, d. h. konstanten Lebensdauerverteilungen. Insbesondere bei großen Zeiten zeigt sich, daß sich diese Ausfallsrate asymptotisch einem Grenzwert nähert, der in diesem Beispiel etwa bei 0,75 liegt, und der mit einer strichlierten Geraden angedeutet ist, für welche die folgende Beziehung gilt:
Figure 00180001
Ferner zeigt Fig. 7 den Verlauf einer weiteren Ausfallsrate λΔµ ≠0(t), welche typisch für die in Fig. 7 dargestellten varianten Lebensdauerverteilungen fi(t) und fi+1(t) ist. Es ist zu erkennen, daß die Funktion für große Zeiten (t > 5) einen angenähert linearen Verlauf annimmt. Unter der Annahme, daß sich die ersten Momente µ und die Quadrate der zweiten Momente σ der sich ändernden Lebensdauerverteilungen linear mit dem Index i der Lebensdauerverteilungen fi 0(t) ändern, d. h. µi = µ - Δµ · i und σi 2 = σ2 - Δσ2 · i läßt sich diese durch die strichpunktierte Gerade λA(t) annähern. Diese Gerade kann durch folgende Gleichung beschrieben werden: λ(t) ≅ 1µ + Δµµ3 · t - Δµµ2 µ1 µ - 32 1 + σ2 µ2 + Δσ2 2µ3 wobei µ1 das erste Moment der ersten Lebensdauerverteilung f1(t), µ das erste Moment einer weiteren, vorzugsweise der zweiten Lebensdauerverteilung f2(t), Δµ die (konstante) Differenz der ersten Momente µi und µi+1 zweier aufeinanderfolgender, vorzugsweise der zweiten und dritten Lebensdauerverteilungen f2(t) und f3(t), σ das zweite Moment der weiteren, vorzugsweise zweiten Lebensdauerverteilung f2(t) und Δσ2 die (konstante) Differenz der Quadrate zweier zweiter Momente, vorzugsweise σ2 und σ3 der beiden aufeinanderfolgenden Lebensdauerverteilungen f2(t) und f3(t) bedeuten.
Durch diese Näherungsformel kann also die Ausfallsrate λ(t) für große Zeiten auf einfache Weise bestimmt werden.
Generell kann durch Integration der Ausfallsrate λ(t) über die Zeit gemäß dem oben erwähnten Zusammenhang (Gleichung 10) die in dem vorgesehenen Zeitintervall Δt = t2 - t1 zu erwartende Anzahl von Ausfällen M(Δt) bestimmt werden. Dies ist in Fig. 7 mit einer trapezförmigen Fläche M(t) angedeutet, welche die Anzahl der Ausfälle zwischen den Zeitpunkten t1=5 und t2=11 angibt.
Mit einer Prognose auf der Grundlage der zu erwartenden Ausfallsrate λ(t) für die interessierende Komponente in einem Bestand an technischen Einrichtungen, wie z. B. einem Fuhrpark oder einer Militärflugzeugstaffel, läßt sich die Lagerhaltung für nötige Ersatzteile optimieren, d. h. Lagerfehlbestände oder Lagerüberbestände bei ausreichend großem Bestand nahezu ausschließen.

Claims (5)

  1. Verfahren zum Abschätzen der Ausfallsrate λ(t) einander entsprechender Komponenten in einem Bestand an technischen Einrichtungen, wie z. B. Fahrzeugen aller Art, wobei man laufend die Anzahl der in einem jeweiligen Zeitintervall ausfallenden und daher durch Reparatur oder Austausch zu ersetzenden Komponenten feststellt und daraus eine Lebensdauerverteilung f(t) dieser Komponenten bestimmt,
    dadurch gekennzeichnet,
    daß man bei einem sich gemäß einer vorgegebenen oder laufend ermittelten Bestandsfunktion G(t) zeitlich ändernden Gesamtbestand die Lebensdauerverteilung f(t) oder die kumulierte Lebensdauerverteilung F(t) durch Berücksichtung der Bestandsfunktion G(t) korrigiert.
  2. Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß man die korrigierte kumulierte Lebensdauerverteilung F0(t) in Abhängigkeit von der Zeit dadurch bestimmt, daß man für ein momentanes Zeitintervall t-1 bis t eine Ausfallszahl A(t) als Anzahl der im momentanen sowie in sämtlichen vorangegangenen Zeitintervallen ausgefallenen Komponenten feststellt, daß man jeweils die in den vorangegangenen Zeitintervallen (i) gemäß einer fallenden Bestandsfunktion G(t) durch Außerbetriebsetzen der jeweiligen technischen Einrichtung außer Betrieb gesetzten Komponenten feststellt und die ermittelte Anzahl b(i) mit einem ersten bzw. zweiten Term β(i) bzw. γ(i) multipliziert, der von der bis zum jeweiligen Zeitintervall kumulierten und bereits bestimmten Lebensdauerverteilung F(i) abhängt, und die so ermittelten Produkte für sämtliche vorangegangenen Zeitintervalle (i = 1 bis t - 1) addiert zum Erhalt eines ersten bzw. zweiten Korrekturfaktors B(t) bzw. C(t), und daß man als kumulierte Lebensdauerverteilung F0(t) den Quotienten aus der Differenz von Ausfallszahl A(t) und dem ersten Korrekturfaktor B(t) und der Differenz von 1 und dem zweiten Korrekturfaktor C(t) bestimmt, so daß folgende Bezeichnung gilt: F0(t) = A(t) - B(t)1 - C(t) mit A(t) = i=1 t a(i) , B(t) = i=1 t-1 b(i) · β(i) , C(t) = i=1 t-1 b(i) · γ(i) .
  3. Verfahren nach Anspruch 2, dadurch gekennzeichnet, daß der erste Term β(i) der Quotient aus der bis zum jeweiligen Zeitintervall kumulierten Lebensdauerverteilung F(i) und der Differenz von 1 und dieser Lebensdauerverteilung F(i) ist, und daß der zweite Term γ(i) der Quotient aus 1 und der Differenz von 1 und dieser Lebensdauerverteilung F(i) ist, das heißt β(i) = F(i)1 - F(i) und γ(i) = 11 - F(i) .
  4. Verfahren zum Abschätzen der Ausfallsrate λ(t) einander entsprechender Komponenten in einem Bestand an technischen Einrichtungen, wie z. B. Fahrzeugen aller Art, wobei man nach einem ersten Ersetzen der ausgefallenen Komponenten durch Reparatur oder Austausch und wenigstens nach einem zweiten Ersetzen laufend die Anzahl der in einem jeweiligen Zeitintervall ausfallenden Komponenten feststellt und daraus eine erste und wenigstens eine zweite Lebensdauerverteilung f1(t), f2(t) der Komponenten bestimmt,
    dadurch gekennzeichnet,
    daß man die Laplace-transformierte Ausfallsrate λ(s) nach folgender Beziehung annähert λ(s) = f1(s) i=1 ∞ exp- s j=2 i µj + ½ s2 j=2 i σ2 j wobei f1(s) die Laplace-transformierte erste Lebensdauerverteilung f1(s), µj das erste Moment der j-ten Lebensdauerverteilung fj(t), σj das zweite Moment der j-ten Lebensdauerverteilung fj(t) und s die Laplace-Variable bedeuten, und daß man die Ausfallsrate λ(t) durch Laplace-Rücktransformation berechnet.
  5. Verfahren nach Anspruch 5 oder dem Oberbegriff des Anspruchs 4, dadurch gekennzeichnet, daß man die Ausfallsrate λ(t) nach folgender Beziehung annähert: λ(t) ≅ 1µ + Δµµ3 · t - Δµµ2 µ1 µ - 32 1 + σ2 µ2 + Δσ2 2µ3 sofern die ersten Momente µj und die zweiten Momente σj der Lebensdauerverteilungen sich angenähert linear mit der Zeit ändern, wobei µ1 das erste Moment der ersten Lebensdauerverteilung f1(t), µ das erste Moment einer weiteren, vorzugsweise der zweiten Lebensdauerverteilung f2(t), Δµ die Differenz der ersten Momente µi und µi+1 zweier aufeinanderfolgender, vorzugsweise der zweiten und dritten Lebensdauerverteilungen f2(t) und f3(t), σ das zweite Moment der weiteren Lebensdauerverteilung f2(t) und Δσ die Differenz zweier zweiter Momente σ2 und σ3 der beiden aufeinanderfolgenden Lebensdauerverteilungen fj-1(t) und fj(t) bedeuten.
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