EP0867841A2 - Method for estimating the failure rate of technical equipment components - Google Patents

Method for estimating the failure rate of technical equipment components Download PDF

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EP0867841A2
EP0867841A2 EP19980105443 EP98105443A EP0867841A2 EP 0867841 A2 EP0867841 A2 EP 0867841A2 EP 19980105443 EP19980105443 EP 19980105443 EP 98105443 A EP98105443 A EP 98105443A EP 0867841 A2 EP0867841 A2 EP 0867841A2
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lifetime
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component
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EP19980105443
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Ulrich Dr. Leuthäusser
Jürgen Dr. Sellen
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ESG ELEKTRONIK SYSTEM GmbH
ESG Elektronik-System-Gesellschaft mbH
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ESG ELEKTRONIK-SYSTEM-GESELLSCHAFT MBH
ESG ELEKTRONIK SYSTEM GMBH
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    • GPHYSICS
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    • G07CTIME OR ATTENDANCE REGISTERS; REGISTERING OR INDICATING THE WORKING OF MACHINES; GENERATING RANDOM NUMBERS; VOTING OR LOTTERY APPARATUS; ARRANGEMENTS, SYSTEMS OR APPARATUS FOR CHECKING NOT PROVIDED FOR ELSEWHERE
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    • GPHYSICS
    • G07CHECKING-DEVICES
    • G07CTIME OR ATTENDANCE REGISTERS; REGISTERING OR INDICATING THE WORKING OF MACHINES; GENERATING RANDOM NUMBERS; VOTING OR LOTTERY APPARATUS; ARRANGEMENTS, SYSTEMS OR APPARATUS FOR CHECKING NOT PROVIDED FOR ELSEWHERE
    • G07C3/00Registering or indicating the condition or the working of machines or other apparatus, other than vehicles

Abstract

The failure rate estimation method uses the number of components which have failed within a given time interval and which have had to be replaced or repaired for calculation of a component lifetime distribution function. The latter component lifetime distribution function or a cumulative lifetime distribution function (F(t)) is corrected by a condition function (G(t)), which is calculated continuously or at timed intervals.

Description

Die Erfindung betrifft ein Verfahren zum Abschätzen der Ausfallsrate λ(t) einander entsprechender Komponenten in einem Bestand an technischen Einrichtungen, wie z. The invention relates to a method for estimating the failure rate λ (t) of mutually corresponding components in a stock of technical devices such. B. Fahrzeugen aller Art, wobei man laufend die Anzahl der in einem jeweiligen Zeitintervall ausfallenden und daher durch Reparatur oder Austausch zu ersetzenden Komponenten feststellt und daraus eine Lebensdauerverteilung f(t) dieser Komponenten bestimmt. B. vehicles of any kind, wherein it continuously to the failing the number in a respective time interval and, therefore, determines to be replaced by repair or replacement components and hence a lifetime distribution f (t) of these components determined.

Komplexe technische Einrichtungen, wie Fahrzeuge aller Art, mit im allgemeinen einer Vielzahl von Komponenten, werden in der Regel nach Ausfall der einen oder anderen Komponente durch Reparatur oder Austausch wieder in Stand gesetzt. Complex technical equipment such as vehicles of all types, generally having a variety of components, are usually set after failure of one or other component repair or replacement back to stand. Für eine langfristige Ersatzkomponentenplanung ist es wesentlich, die Ausfallsrate λ(t) der jeweiligen Komponente möglichst zuverlässig zu bestimmen, da deren Integration über die Betriebszeit unter Berücksichtigung des Bestands den Ersatzbedarf an der jeweiligen Komponente angibt. For a long-term replacement components planning, it is essential to determine the failure rate λ (t) of the respective component as reliable as possible, since their integration over the operating time indicative of the need for replacement of the respective component in consideration of the stock. Die Ausfallsraten der einzelnen Komponenten sind herstellerseitig häufig unbekannt, zumal dann, wenn für den jeweiligen Einsatzzweck in der technischen Einrichtung eigens konstruierte Komponenten eingesetzt werden. The failure rates of individual components are factory-often unknown, especially when specially designed components are used for the intended purpose in the technical device. Von einzelnen Bestandteilen der Komponenten mögen zwar Ausfallsraten bekannt sein - ein zuverlässiger Schluß auf die Ausfallsrate der Komponente selbst läßt sich bei einer entsprechenden Vielzahl von Einzelteilen in der Regel jedoch nicht durchführen. Although default rates may be known by different components of the components - a reliable conclusion as to the failure rate of the component itself, however, can not be performed at a corresponding plurality of individual parts generally.

Aus der fraglichen Komponenten läßt sich unmittelbar oder über die kumulierte Lebensdauerverteilung F(t) die Ausfallsrate λ(t) berechnen. the failure rate λ (t) can be directly or through the cumulative lifetime distribution F (t) calculated from the components in question. Die Lebensdauerverteilung der jeweiligen Komponente wird daher laufend während des Einsatzes der technischen Einrichtungen ermittelt, um hieraus die Ausfallsrate für eine Prognose zukünftigen Bedarfs an dieser Komponente zu berechnen. The lifetime distribution of the respective component is therefore determined continuously during operation of the technical equipment in order from this to calculate the failure rate for a forecast future demand for this component. Hierbei geht man so vor, daß man bei jedem Ausfall der technischen Einrichtung aufgrund einer defekten Komponente bzw. bei jedem Austausch einer defekten Komponente anläßlich einer Wartung der Einrichtung, den Austausch dieser Komponente registriert und dabei auch notiert, um den wievielten Austausch es sich bei dieser Komponente innerhalb dieser technischen Einrichtung handelt. Here is followed in that one at every failure of technical equipment due to a defective component or each time you replace a defective component on the occasion of maintenance of plant, registered the replacement of that component and thereby also recorded to the umpteenth exchange it at this component within this technical device is.

Aus diesen so gewonnenen Daten läßt sich unmittelbar die Ausfallsrate λ(t) aus dem Quotienten der Anzahl der ausgefallenen Komponenten und des betreffenden Beobachtungszeitraums bestimmen. From these data thus obtained, the failure rate λ (t) from the quotient of the number of failed components and of the relevant observation period can be determined directly. In dieser direkt berechneten Ausfallsrate ist allerdings das durch statistische Schwankungen bedingte Systemrauschen der Lebensdauern der einzelnen Komponenten nicht berücksichtigt. This directly calculated failure rate, however, the contingent by statistical fluctuations system noise of the lifetimes of the individual components is not taken into account. Eine zuverlässige Ausfallsprognose auf der Basis einer direkt aus den gewonnenen Daten berechneten Ausfallsrate λ(t) ist somit nicht möglich. A reliable failure prediction based on a calculated directly from the data obtained failure rate λ (t) is therefore not possible.

Um ein das Systemrauschen berücksichtigendes und damit schärferes, für Prognosen geeigneteres Ergebnis für die Ausfallsrate λ(t) zu erhalten, ermittelt man aus den gewonnenen Daten Lebensdauerverteilungen f(t), wobei im folgenden die Lebensdauerverteilung der im Wartungszeitraum zum ersten Mal ausgefallenen Komponenten mit f 1 (t) bezeichnet ist und die Lebensdauerverteilung der zum zweiten Mal ausfallenden Komponenten f 2 (t) usw. Aus den so ermittelten Lebensdauerverteilungen läßt sich dann im Prinzip die Ausfallsrate λ(t) bestimmen, beispielsweise indem man die Laplace-Transformierten der Lebensdauerverteilungen aufsummiert und die Summe rücktransformiert (siehe z. B. Cox, DR; Miller, H.: The Theory of Stochastic Processes, Methun & Co. LTD, London). A system noise considered forming and thus sharper to obtain more suitable result for the failure rate λ (t) for prediction, is determined from the data obtained lifetime distributions f (t), wherein below the lifetime distribution for the first time precipitated in the maintenance period components with f 1 (t) is referred to and the lifetime distribution of the failing for the second time component f 2 (t), etc. from the thus-determined life distributions then the failure rate λ (t) can in principle be determined, for example by summing the Laplace transform of the lifetime distributions and the sum back transformed (see, eg, Cox, DR;. Miller, H .: the Theory of Stochastic Processes, Methun & Co. LTD, London).

Aus der klassischen Erneuerungstheorie läßt sich eine einfache Beziehung für die Laplace-transformierte Ausfallsrate λ(s) ableiten und zwar als Quotient der Laplace-Transformierten f 1 (s) der ersten Lebensdauerverteilung f 1 (t) geteilt durch die Differenz von 1 und der Laplace-Transformierten f(s) einer der weiteren Lebensdauerverteilungen f(t). From classical renewal theory, a simple relation for the Laplace-transformed failure rate λ (s) can be derived and that the quotient of the Laplace transform f 1 (s) of the first lifetime distribution f 1 (t) divided by the difference of 1 and the Laplace -transformed f (s) one of the further lifetime distributions f (t). Vorausgesetzt ist hier jedoch, daß die weiteren Lebensdauerverteilungen alle gleich sind. Provided here is however that the additional lifetime distributions are all equal. Vorausgesetzt ist weiterhin, daß sich auch der Bestand an den technischen Einrichtungen nicht ändert. Provided remains that the stock of the technical equipment does not change. Diese Voraussetzungen sind jedoch häufig nicht erfüllt. These conditions are often not met.

So ändert sich beispielsweise der Bestand an Kampfflugzeugen im Laufe der Zeit nach vorgegebenen Ausmusterungsplänen. So, for example, the stock of combat aircraft in the changes over time according to specified phase-out plans. Hinzu kommen können weitere Bestandsreduzierungen, z. can be added further inventory reductions, z. B. aufgrund von Unfällen oder nicht mehr lohnender Reparatur. As a result of accidents or repair is no longer worthwhile.

Der Erfindung liegt die Überlegung zugrunde, daß z. The invention is based on the consideration that, for example. B. eine Reduzierung des Bestandes zu weniger Ausfällen führt, dh zu geänderten Lebensdauerverteilungen. B., a reduction of the portfolio to fewer failures, ie amended lifetime distributions. Legt man diese Lebensdauerverteilungen dann der Berechnung der Ausfallsrate λ(t) der jeweiligen Komponente zugrunde, so ergeben sich in der Regel zu geringe Werte für die Ausfallrate λ(t); then you put this lifetime distributions of the calculation of failure rate λ (t) of the respective component as a basis, resulting in a rule for low values ​​of the failure rate λ (t); eine höhere Zuverlässigkeit der jeweiligen Komponente wird vorgetäuscht. a higher reliability of the respective component is simulated. Eine Bedarfsprognose für die Komponente auf der Grundlage der so ermittelten Ausfallsrate λ(t) liefert daher falsche Ergebnisse. Therefore, a demand forecast for the component on the basis of the failure rate thus determined λ (t) provides incorrect results.

Der Erfindung liegt die Aufgabe zugrunde, ein Verfahren der eingangs genannten Art anzugeben, welches einen sich zeitlich ändernden Gesamtbestand an den technischen Einrichtungen berücksichtigt. The object underlying the invention is to provide a method of the type mentioned, which takes into account a time-varying total stock of technical devices.

Diese Aufgabe wird dadurch gelöst, daß man bei einem sich gemäß einer vorgegebenen oder laufend ermittelten Bestandsfunktion G(t) zeitlich ändernden Gesamtbestand die Lebensdauerverteilung f(t) oder die kumulierte Lebensdauerverteilung F(t) durch Berücksichtung der Bestandsfunktion G(t) korrigiert. This object is achieved in that one total stock changes over time in an in accordance with a predetermined or continuously determined stock function G (t) corrects the lifetime distribution f (t) or the cumulative lifetime distribution F (t) by consideration of the stock function G (t). Wie bereits angesprochen, ergibt sich die Ausfallsrate λ(t) aus der gemessenen Lebensdauerverteilung f(t), und zwar, entsprechend dem jeweils gewählten mathematischen Formalismus, unmittelbar aus der Lebensdauerverteilung f(t) oder aus der kumulierten Lebensdauerverteilung F(t). As already mentioned, the failure rate λ (t) from the measured lifetime distribution results in f (t), namely, in accordance with the respectively selected mathematical formalism directly from the lifetime distribution f (t) or from the cumulative lifetime distribution F (t). Die erfindungsgemäße Korrektur zur Berücksichtigung der Bestandsfunktion G(t) kann bei der Lebensdauerverteilung f(t) oder der kumulierten Lebensdauerverteilung F(t) vorgenommen werden. The inventive correction to take account of stock function G (t) can be made in the lifetime distribution f (t) or the cumulative lifetime distribution F (t).

Die Korrektur der kumulierten Lebensdauerverteilung F(t) wird bevorzugt dadurch vorgenommen, daß man die korrigierte kumulierte Lebensdauerverteilung F 0 (t) in Abhängigkeit von der Zeit dadurch bestimmt, daß man für ein momentanes Zeitintervall t-1 bis t eine Ausfallszahl A(t) als Anzahl der im momentanen sowie in sämtlichen vorangegangenen Zeitintervallen ausgefallenen Komponenten feststellt, daß man jeweils die in den vorangegangenen Zeitintervallen (i) gemäß einer fallenden Bestandsfunktion G(t) durch Außerbetriebsetzen der jeweiligen technischen Einrichtung außer Betrieb gesetzten Komponenten feststellt und die ermittelte Anzahl b(i) mit einem ersten bzw. zweiten Term β(i) bzw. γ(i) multipliziert, der von der bis zum jeweiligen Zeitintervall kumulierten und bereits bestimmten Lebensdauerverteilung F(i) abhängt, und die so ermittelten Produkte für sämtliche vorangegangenen Zeitintervalle (i = 1 bis t - 1) addiert zum Erhalt eines ersten bzw. zweiten Korrekturfaktors The correction of the cumulative lifetime distribution F (t) is preferably carried out in that one determines the corrected cumulative lifetime distribution F 0 (t) in function of time, characterized in that for a current time interval t-1 to t is a failure factor A (t) determines a number of failed in the current as well as in all previous time intervals components, that in each case in the previous time intervals (i) in accordance with a falling stock function G (t) determines, by shutting down the respective technical means put out of operation components and the determined number b ( i) β with a first and second terms (i) and γ (i) multiplying the up to the respective time interval accumulated by and already determined lifetime distribution F (i) depends, and the thus obtained products for all previous time intervals (i = 1 to t - 1) is added to obtain a first or second correction factor B(t) bzw. C(t), und daß man als kumulierte Lebensdauerverteilung F 0 (t) den Quotienten aus der Differenz von Ausfallszahl A(t) und dem ersten Korrekturfaktor B(t) und der Differenz von 1 und dem zweiten Korrekturfaktor C(t) bestimmt, so daß folgende Beziehung gilt: B (t) and C (t), and that as a cumulative lifetime distribution F 0 (t) the quotient of the difference of failure factor A (t) and the first correction factor B (t) and the difference of 1 and the second correction factor C (t) determined so that the following relationship applies: F 0 (t) = F 0 (t) = A(t) - B(t) A (t) - B (t) 1 - C(t) 1 - C (t) mit With A(t) = A (t) = i=1 i = 1 t t a(i) a (i) , B(t) = , B (t) = i=1 i = 1 t-1 t-1 b(i) · β(i) b (i) · β (i) , C(t) = , C (t) = i=1 i = 1 t-1 t-1 b(i) · γ(i) b (i) · γ (i) . ,

Hierbei wird vorgeschlagen, daß der erste Term β(i) der Quotient aus der bis zum jeweiligen Zeitintervall kumulierten Lebensdauerverteilung F(i) und der Differenz von 1 und dieser Lebensdauerverteilung F(i) ist, und daß der zweite Term γ(i) der Quotient aus 1 und der Differenz von 1 und dieser Lebensdauerverteilung F(i) ist, das heißt Here, it is proposed that the first term β (i) is the quotient of the up to the respective time interval cumulative lifetime distribution F (i) and the difference of 1 and the lifetime distribution F (i), and that the second term γ (i) the quotient of 1 and the difference between 1 and this lifetime distribution F (i), that is β(i) = β (i) = F(i) F (i) 1 - F(i) 1 - F (i) und γ(i) = and γ (i) = 1 1 1 - F(i) 1 - F (i) . ,

Hierdurch läßt sich auf einfache Weise der Einfluß der sich ändernden Bestandsfunktion G(t) auf die kumulierte Lebensdauerverteilung F(t) berücksichtigen. In this way can be easily the influence of the changing stock function G (t) take into account the cumulative lifetime distribution F (t). Durch zeitliche Differentiation der korrigierten kumulierten Lebensdauerverteilung F 0 (t) läßt sich die korrigierte Lebensdauerverteilung f 0 (t) bestimmen. By time differentiation of the corrected cumulative lifetime distribution F 0 (t) is the corrected lifetime distribution can determine f 0 (t). Daraus erhält man die Ausfallsrate λ(t) durch beispielsweise numerisches Lösen der folgenden Integralgleichung: This yields the failure rate λ (t) for example, by numerically solving the following integral equation: λ(t) = f 1 0 (t) + λ (t) = f 1 0 (t) + 0 0 t t λ(t - u) · f 0 (u) du λ (t - u) · f 0 (u) du , . wobei u die Integrationsvariable, f 1 (t) die erste Lebensdauerverteilung und f(u) (bzw. f(t)) die zweite, dritte, usw. Lebensdauerverteilung ist. where u is the variable of integration, f 1 (t) is the first lifetime distribution and f (u) (or f (t)) is the second, third, etc. life distribution.

Die klassische Erneuerungstheorie setzt, wie bereits angesprochen, voraus, daß sich die Lebensdauerverteilungen einer Komponente, also die erste, die zweite usw. Lebensdauerverteilung, nicht voneinander unterscheiden. The classic renewal theory is, as already mentioned, assume that the lifetime distributions of a component, ie the first, second, etc. lifetime distribution, do not differ from each other. Diese Voraussetzung ist in vielen praktischen Fällen jedoch nicht erfüllt. This requirement is not met in many practical cases. Eine mögliche Ursache hierfür ist, daß die jeweils ausgefallene Komponente nicht durch eine fabrikneue Komponente ersetzt wird, sondern durch eine überholte Komponente, wie z. One possible reason for this is that each failed component is not replaced by a brand-new component, but by an overhauled component such. B. Austauschmotor. B. replacement engine. Eine derartige überholte Komponente weist also eine Vielzahl nicht überholter, dh älterer Komponententeile auf, sowie eine oder mehrere neue Komponententeile. Such refurbished component therefore does not have a plurality of outdated, that is older component parts, as well as one or more new component parts. Aufgrund des Anteils an älteren Komponententeilen wird die mittlere Lebensdauer dieser Austauschkomponenten im allgemeinen geringer sein als die einer fabrikneuen Komponente. Because the proportion of component parts older, the average life span of these replacement components generally will be less than that of a brand-new component. Es ist jedoch auch denkbar, daß die Lebensdauer einer Austauschkomponente größer ist als die einer fabrikneuen, z. However, it is also conceivable that the life of a replacement component is greater than that of a brand-new, z. B. deshalb, weil in der Austauschkomponente ein weniger störanfälliges Komponententeil eingesetzt worden ist als in der fabrikneuen Komponente. B. because in the exchange component is a less interference-prone component part has been used as in the brand-new component.

Gemäß einem weiteren Aspekt der Erfindung, der vom vorstehenden Aspekt Berücksichtigung der Bestandsfunktion an sich unabhängig ist, jedoch bevorzugt in Verbindung mit diesem realisierbar ist, befaßt sich die Erfindung mit einem Verfahren zum Abschätzen der Ausfallsrate λ(t) einander entsprechender Komponenten in einem Bestand an technischen Einrichtungen, wie z. According to a further aspect of the invention, which is independent per se from the foregoing aspect considering the stock function, but preferably is implemented in association with this, the invention is concerned with a process for estimating the failure rate λ (t) of mutually corresponding components in a stock of technical equipment such. B. Fahrzeugen aller Art, wobei man nach einem ersten Ersetzen der ausgefallenen Komponenten durch Reparatur oder Austausch und wenigstens nach einem zweiten Ersetzen laufend die Anzahl der in einem jeweiligen Zeitintervall ausfallenden Komponenten feststellt und daraus eine erste und wenigstens eine zweite Lebensdauerverteilung f 1 (t), f 2 (t) der Komponenten bestimmt. B. vehicles of all types, wherein, after a first replacement of the failed components continuously determines by repair or replacement, and at least after a second replace the number of dropouts in a respective time interval components and therefrom a first and at least a second lifetime distribution f 1 (t) , f 2 (t) of the components determined.

Zur Berücksichtigung sich ändernder Lebensdauerverteilungen wird vorgeschlagen, daß man die Laplace-transformierte Ausfallsrate λ(s) nach folgender Beziehung annähert To take account of changing life distributions is proposed that approximates the Laplace-transformed failure rate λ (s) according to the following relationship λ(s) = f 1 (s) λ (s) = f 1 (s) i=1 i = 1 exp exp - s - s j=2 j = 2 i i µ j μ j + ½ s 2 ½ + s 2 j=2 j = 2 i i σ 2 j σ 2 j , . wobei f 1 (s) die Laplace-transformierte erste Lebensdauerverteilung, µ j das erste Moment der j-ten Lebensdauerverteilung f j (t), σ j das zweite Moment der j-ten Lebensdauerverteilung f j (t) und s die Laplace-Variable bedeuten, und daß man die Ausfallsrate λ(t) durch Laplace-Rücktransformation berechnet. wherein f 1 (s) is the Laplace-transformed first lifetime distribution, μ j is the first moment of the j-th lifetime distribution f j (t), σ j is the second moment of the j-th lifetime distribution f j (t) and s is the Laplace variable mean, and in that one calculates the failure rate λ (t) through inverse Laplace transformation.

Somit läßt sich zumindest für vergleichsweise große Betriebszeiten (dh im allgemeinen t ≥ µ) die Laplace-transformierte Ausfallsrate λ(s) als einfache Summe über die Laplace-Variable s sowie die ersten und zweiten Momente der Lebensdauerverteilungen enthaltende Terme weitgehend exakt berechnen und daraus die Ausfallsrate λ(t) selbst durch Laplace-Rücktransformation bestimmen. Thus, (ie, generally t ≥ μ) can be at least for relatively large periods of operation the Laplace transform failure rate λ (s) as a simple sum of the Laplace variable s as well as the first and second moments of the lifetime distributions Terme containing largely accurately calculate and the resulting determine failure rate λ (t) itself through inverse Laplace transformation.

Für den Fall, daß die Differenz Δµ der ersten Momente aufeinanderfolgender Lebensdauerverteilungen sowie die Differenz Δσ 2 der Quadrate der zweiten Momente aufeinanderfolgender Lebensdauerverteilungen im wesentlichen konstant ist (dh die ersten Momente µ j und die Quadrate der zweiten Momente σ j der Lebensdauerverteilungen ändern sich angenähert linear mit der Zeit), läßt sich die Ausfallsrate λ(t) unmittelbar in einfacher Weise dadurch berechnen, daß man die Ausfallsrate λ(t) nach folgender Beziehung annähert: In the event that the difference Δμ of the first moments of successive lifetime distributions, and the difference Δσ 2 of the squares of the second moments of successive lifetime distributions is substantially constant (ie, the first moments μ j and the squares of the second moments σ j of the lifetime distributions change linearly approximated with time), the failure rate λ (t) can be directly calculated in a simple manner in that it approximates the failure rate λ (t) according to the following relationship: λ(t) ≅ λ (t) ≅ 1 1 µ μ + + Δµ Δμ µ 3 μ 3 · t - · T - Δµ Δμ µ 2 μ 2 µ 1 μ 1 µ μ - - 3 3 2 2 1 + 1 + σ 2 σ 2 µ 2 μ 2 + + Δσ 2 Δσ 2 3 3 , . wobei µ 1 das erste Moment der ersten Lebensdauerverteilung f 1 (t), µ das erste Moment einer weiteren, vorzugsweise der zweiten Lebensdauerverteilung f 2 (t), Δµ die Differenz der ersten Momente µ 2 und µ 3 zweier aufeinanderfolgender, vorzugsweise der zweiten und dritten Lebensdauerverteilungen f 2 (t) und f 3 (t), σ das zweite Moment der weiteren Lebensdauerverteilung f 2 (t) und Δσ 2 die Differenz der Quadrate zweier zweiter Momente σ 2 und σ 3 der beiden aufeinanderfolgenden Lebensdauerverteilungen f 2 (t) und f 3 (t) bedeuten. wherein μ 1 is the first moment of the first lifetime distribution f 1 (t), μ is the first moment of a further, preferably the second lifetime distribution f 2 (t), Δμ the difference of the first moments μ 2 and μ 3 of two successive, preferably the second and third lifetime distributions f 2 (t) and f 3 (t), the second moment of the additional lifetime distribution f 2 (t) and Δσ 2 σ the difference of the squares of two second moments σ 2 and σ 3 of the two successive lifetime distributions f 2 (t) and f 3 (t) mean.

Die Erfindung wird im folgenden an bevorzugten Ausführungsbeispielen anhand der Zeichnungen erläutert. The invention is explained in the following with preferred embodiments with reference to the drawings. Es zeigt: It shows:

Fig. 1 Fig. 1
schematisch einen Bestand an technischen Einrichtungen in Form von Fahrzeugen mit einer Vielzahl von Komponenten; schematically illustrates a stock of technical devices in the form of vehicles with a plurality of components;
Fig. 2 Fig. 2
in ihrem mit a bezeichneten oberen Teil eine kumulierte Ausmusterungskurve F end (t) und eine Bestandskurve G(t) aufgetragen über die Zeit, und in ihrem mit b bezeichneten unteren Teil Ausfälle einer bestimmten gleichen Komponente S in den technischen Einrichtungen a bis f aufgetragen über die Zeit unter Berücksichtigung der Bestandskurve G(t) aus Fig. 2a; in their designated with a upper part, a cumulative phasing curve F end (t) and a stock curve G (t) plotted against time, and in her with b referred to the lower part of failures of a designated same component S in the technical facilities A to F plotted against the time taking into account the stock curve G (t) of Fig. 2a;
Fig. 3 Fig. 3
ein Histogramm der Lebensdauerverteilung f 1 (t) bis zum ersten Ausfall der Komponente S in den technischen Einrichtungen a bis f entsprechend dem Ausfallsverhalten gemäß Fig. 2b sowie die kumulierte Lebensdauerverteilung F 1 (t) aufgetragen über die Zeit; a histogram of the lifetime distribution f 1 (t) to the first failure of the component S in the technical facilities A to F corresponding to the failure behavior of Fig 2b, and the cumulative lifetime distribution F 1 (t) plotted against time.
Fig. 4 Fig. 4
ein Histogramm der Lebensdauerverteilung f 2 (t) bis zum zweiten Ausfall sowie die kumulierte Lebensdauerverteilung F 2 (t) über die Zeit; a histogram of the lifetime distribution f 2 (t) up to the second failure and the cumulative lifetime distribution F 2 (t) over time;
Fig. 5 Fig. 5
ein Histogramm unter anderem der Lebensdauerverteilung f 3 (t) bis zum dritten Ausfall sowie die kumulierte Lebensdauerverteilung F 3 (t) über die Zeit; a histogram, inter alia, the lifetime distribution f 3 (t) to the third failure and the cumulative lifetime distribution F 3 (t) over time;
Fig. 6 Fig. 6
Graphen einer Lebensdauerverteilung f i (t) und ihr erstes Moment µ i sowie einer den auf diese unmittelbar folgenden Erneuerungsprozeß charakterisierenden, von dieser verschiedenen Lebensdauerverteilung f i+1 (t) und ihr erstes Moment µ i+1 ; Graph of a life distribution f i (t) and their first moment μ i and a the characterizing this immediately following renewal process, different from this lifetime distribution f i + 1 (t) and their first moment μ i + 1; und and
Fig. 7 Fig. 7
Graphen einer Ausfallsrate λ Δµ=0 (t) bei konstanten Lebensdauerverteilungen Graph of a failure rate λ Δμ = 0 (t) at constant lifetime distributions f i (t) = f i+1 (t) f i (t) = f i + 1 (t) (durchgezogene Linie) sowie einer Ausfallsrate λ Δµ≠0 (t) bei nicht konstanten Lebensdauerverteilungen (solid line) and a failure rate λ Δμ ≠ 0 (t) at non-constant lifetime distributions f i (t) ≠ f i+1 (t) f i (t) ≠ f i + 1 (t) (gepunktete Linie) sowie einer Asymptote λ A (t) (strichpunktierte Linie). (dotted line) as well as an asymptote λ A (t) (dot-dash line).

In Fig. 1 ist schematisch ein Bestand an technischen Einrichtungen in Form von sechs Fahrzeugen a bis f dargestellt, die sich aus einer Vielzahl von schematisch dargestellten Komponenten 12, 14, 16, 18 zusammensetzen, wie z. In Fig. 1, a stock of technical devices in the form of a six vehicles is shown to f schematically composed of a plurality of schematically illustrated components 12, 14, 16, 18, such. B. einem Motor, einer Bremsanlage, einer Batterie, einer Lenkung oder dergleichen. like for example a motor, a brake system, a battery, a steering system or the like. Jedes Fahrzeug des Bestandes ist gleich aufgebaut und setzt sich somit jeweils aus den gleichen Komponenten wie die übrigen Fahrzeuge des Bestandes zusammen. Each vehicle of the stock has the same structure and is therefore composed in each case of the same components as the other vehicles of the stock. Die einzelnen Komponenten sind wiederum aus Komponententeilen zusammengesetzt, welche bei einem Ausfall einer der Komponenten 12, 14, 16, 18 zur Reparatur derselben einzeln ausgetauscht werden können. The individual components are in turn assembled from component parts which the same can be individually replaced in case of failure of one of the components 12, 14, 16, 18 for repair.

Die Fahrzeuge a bis f des Bestandes werden bezüglich ihres Ausfallsverhaltens, dh im Hinblick auf auftretende Ausfälle einzelner Komponenten und Reparaturen bzw. Neueinbau derselben, überwacht und aufgetretene Ausfälle werden dokumentiert. The vehicles a to f of the stock will be in terms of their failure behavior, that is, with a view to occurring failures of individual components and repair or re-installation of the same, monitors and occurred failures are documented.

Die so gewonnenen Ausfalldaten können dann mit Hilfe des erfindungsgemäßen Verfahrens ausgewertet werden. The default data thus obtained can then be analyzed using the method.

Bei dieser Auswertung kann eine in Fig. 2a dargestellte Bestandsfunktion G(t) berücksichtigt werden. In this evaluation, a stock function G (t) shown in Fig. 2a can be taken into account. Diese Bestandsfunktion G(t) gibt den Gestambestand an Fahrzeugen (dh die Anzahl der im Betrieb befindlichen Fahrzeuge) bezogen auf den Anfangsbestand in Abhängigkeit von der Betriebszeit t der Fahrzeuge an. This stock function G (t) indicates the Gestambestand on vehicles (ie the number of vehicles in operation) based on the initial stock as a function of the operating time of the vehicles t. Der Verlauf der Bestandsfunktion G(t) kann einerseits dadurch bestimmt werden, daß Fahrzeuge aufgrund einer vorgegebenen Ausmusterungskurve außer Betrieb gesetzt werden und somit eine weitere Beobachtung des Ausfallsverhaltens der Komponenten bei einem derartigen Fahrzeug nicht mehr möglich ist, oder daß andererseits das Fahrzeug durch einen Unfall oder dergleichen ausfällt und nicht mehr repariert wird. The course of the stock function G (t) on the one hand are determined by the fact that vehicles are put out of operation due to a predetermined phasing curve and thus a further observation of the failure behavior of the components is not possible in such a vehicle, or on the other hand the vehicle is in an accident or the like precipitates and is beyond repair. Auch in diesem zweiten Fall bricht die Beobachtung der einzelnen Systemkomponenten ab. Also in this second case, the observation of individual system components is canceled.

Fig. 2a zeigt ferner die kumulierte Lebensdauerverteilung F end (t) der Fahrzeuge, welche die Anzahl der außer Betrieb gesetzten Fahrzeuge bezogen auf die anfangs in Betrieb genommenen Fahrzeuge a bis f angibt und welche gemäß folgender Beziehung mit der Bestandsfunktion G(t) zusammenhängt: FIG. 2a also shows the cumulative lifetime distribution F end (t) of the vehicles which, based the number of vehicles decommissioned indicating the initially placed in service vehicles a to f and which according to the relationship with the stock function G (t) related: G(t) = 1-F end (t). G (t) = 1-F end (t).

In Fig. 2b sind die gesammelten Ausfallsdaten einer jeweils gleichen Komponente S (beispielsweise eines Motors) in den Fahrzeugen a bis f jeweils auf einer Zeitachse graphisch dargestellt. In Fig. 2b, the collected failure data of a respective same component S (for example, a motor) shown graphically in vehicles a to f are each on a time axis. Betrachtet man beispielsweise die Komponente S a des Fahrzeugs a, so ist zu erkennen, daß ein erster Ausfall a 1 der Komponente S a nach einer Zeit t a1 ab dem Beobachtungsstartzeitpunkt (t = 0) stattgefunden hat. For example, considering the component S a of the vehicle a, so it can be seen that a first failure of a 1 of the component S a after a time t a1 from the viewing start time (t = 0) has occurred. Nach diesem Ausfall wurde die Komponente S a gegen eine fabrikneue oder überholte Komponente ausgetauscht und das Fahrzeug a wurde erneut in Betrieb genommen. After this failure, the component S a by a brand-new or refurbished component has been replaced, and the vehicle A was put back into service. Nach einem weiteren Zeitraum t a2 trat dann im Fahrzeug a ein zweiter Ausfall der Komponente S auf, wie durch den Punkt a 2 angedeutet. After a further period t a2 then entered in the vehicle, a second a failure of the component S on, as indicated by the point a 2. Daraufhin wurde die Komponente erneut gegen eine fabrikneue bzw. überholte Komponente S ausgetauscht und das Fahrzeug wieder in Betrieb genommen. Then, the component was exchanged again by a brand-new or refurbished component S and the vehicle is taken into operation again. Nach einem weiteren Zeitraum t a3 nach der erneuten Inbetriebnahme fiel die Komponente S im Fahrzeug a ein drittes Mal aus, wie durch den Punkt a 3 angedeutet. After a further period t a3 after the re-start-up was the component S in the vehicle, a third time out, as indicated by the point a 3. Zu diesem Zeitpunkt wurde das Fahrzeug a schließlich stillgelegt. At this time, the vehicle was a finally shut down.

Nach dem gleichen Prinzip sind jeweils die Ausfalldaten der Komponente S in den Fahrzeugen b bis f dargestellt, wobei besonderes Augenmerk auf die Komponenten S c und S d der Fahrzeuge c, d zu richten ist. Following the same principle, the failure data of the component S in the vehicles b are each represented by f, paying special attention to the components S c and S d of the vehicles c, d is to be sent. Bei beiden Fahrzeugen endet der letzte Beobachtungszeitraum t c3 ' und t d3 ' nicht mit einem Ausfall der Komponente S c bzw. S d . For both vehicles, the last observation period ends t c3 'and d3 t' is not a failure of the component S c and S d. Die beobachtete Komponente S c bzw. S d ist am Ende der Beobachtung (Stillegung bei Fahrzeug d, Beobachtungszeitraumende B E bei Fahrzeug c) noch funktionstüchtig, dh nicht ausgefallen, und darf somit bei der Abschätzung einer Ausfallsrate λ(t) nicht ohne entsprechende Korrektur (siehe unten) als Komponentenausfall behandelt werden, da dies das Ergebnis verfälschen würde. The observed component S c and S d at the end of observation (aside when the vehicle is d, the observation period end B E when the vehicle c) still functional, that is not failed, and must thus not without a corresponding correction in the estimation of a failure rate λ (t) (see below) are treated as a component failure, as this would distort the result.

Über strichlierte Linien 20 ist ein direkter Zusammenhang zwischen Fig. 2a und 2b dargestellt. Via broken lines 20 is a direct relationship between Fig. 2a and 2b. Beispielsweise werden zum Zeitpunkt t = 7 die Fahrzeuge b und d außer Betrieb genommen, so daß die Bestandskurve entsprechend fällt. For example, at time t = 7, the vehicles b taken and d out of operation, so that the constituent curve drops correspondingly. Zum Zeitpunkt t = 8 wird das Fahrzeug f stillgelegt, so daß die Bestandskurve weiter fällt, usw. At time t = 8 for the vehicle is shut down so that the stock curve continues to fall, etc.

Die in Fig. 2b zur Veranschaulichung dargestellten Ausfallsdaten der Komponente S der Fahrzeuge a bis f können nun zur Bestimmung der Lebensdauerverteilungen f i (t) für den i-ten Ausfall der Komponente S verwendet werden, wie in den Fig. 3 bis 5 für die ersten, zweiten und dritten Ausfälle der Komponente dargestellt. In Fig. 2b for illustrating failure data of the component depicted S of the vehicles a to f can now for the determination of the lifetime distributions f (t) are used for the i-th failure of the component S i, as shown in Figs. 3 to 5 for the shown first, second and third failure of the component.

In Fig. 3 sind die ersten Ausfälle (Index 1) der Komponente S in den Fahrzeugen a bis f als Histogramm aufgetragen, welches die Lebensdauerverteilung f 1 (t) bildet. In Fig. 3, the first failure (index 1) of component S are plotted in the vehicles a to f as a histogram forming the lifetime distribution f 1 (t). Jeder Ausfall ist mit einem Punkt markiert und das zugehörige Zeitintervall vom Beobachtungsstart bis zum Ausfall unter Verwendung eines Bemaßungspfeils angegeben (in Fig. 3 oben). Any failure is indicated by a point and the associated time interval specified by the start of observation to failure using a dimensioning arrow (in Fig. 3 above). Die jeweils pro Zeitschritt der t-Achse aufgetretenen Ausfälle werden aufsummiert; Each per time step t the axis occurred failures are summed; die Summe ergibt die Stufenhöhe. The sum is the step height. Beispielsweise fallen im Zeitraum zwischen t = 1 und t = 2 die Systemkomponenten S f und S d zum ersten Mal seit dem Beobachtungsstart (t = 0) aus, so daß das Histogramm für dieses Zeitintervall eine Ausfallszahl A 1 (= Stufenhöhe) von 2 angibt. For example, fall in the period between t = 1 and t = 2, the system components S f and S d for the first time since the start of observation (t = 0), so that the histogram for that time interval indicating a failure factor A 1 (= step height) of 2 , Auf ein Ende eines Zeitschritts fallende Ausfälle werden diesem Zeitschritt zugeordnet. On one end of a time step falling failures this time step are assigned. Der Ausfall d 1 ist also der zweite Ausfall in dem Zeitraum zwischen t = 1 und t = 2. Die Lebensdauerverteilung f 1 (t) gibt somit die stochastische Verteilung der Lebensdauern der Komponenten S a bis S f für den ersten Ausfall seit Beobachtungsstart (t = 0) wieder. The failure of d 1 is thus the second failure within the time period between t = 1 and t = 2. The lifetime distribution f 1 (t) is thus the stochastic distribution of the component lifetimes S a to S f for the first failure since the start of observation (t = 0) again.

Bei der bebensdauerverteilung f 1 (t) bis zum ersten Ausfall kann der Fall eintreten, daß der Beobachtungsstart nicht mit dem Zeitpunkt der ersten Inbetriebnahme der Komponente S zusammenfällt. In the shake time distribution f 1 (t) to the first failure, it may occur that the start of observation does not coincide with the date of first commissioning of the component S. So haben selbst "fabrikneu" angelieferte Fahrzeuge bereits eine gewisse Betriebszeit (z. B. Probelaufzeit) hinter sich. So have even "factory fresh" delivered vehicles already operating a certain time (eg. As a test run time) behind. Die erhaltene Lebensdauerverteilung f 1 (t) hat somit nicht den Verlauf der an sich gewünschten Lebensdauerverteilung mit Beobachtungsstart ab erster Inbetriebnahme. The lifetime distribution f 1 (t) obtained has therefore not the course of the desired se lifetime distribution of start of observation from the first start-up. Um die in f 1 (t) enthaltene Information nicht zu verlieren und eine frühzeitige Prognose für den Komponentenbedarf zu ermöglichen, wird im nachfolgend beschriebenen Verfahren die Lebensdauerverteilung f 1 (t) mit berücksichtigt. In order not to lose the information contained in f 1 (t) and to enable an early prognosis for the components needed in the methods described below the lifetime distribution f 1 (t) is taken into account.

Die gemessene Lebensdauerverteilung f 2 (t) ab dem ersten Ausfall bis zum zweiten Ausfall der Komponenten S a bis S f (siehe Fig. 4) ist also die erste vollständige Lebensdauerverteilung. Thus, the measured lifetime distribution f 2 (t) from the first to the second failure failure of the components S a to S f (see Fig. 4) is the first complete life distribution.

Fig. 3 zeigt zusätzlich zu f 1 (t) noch eine kumulierte Lebensdauerverteilung F 1 (t) bis zum ersten Ausfall. Fig. 3 shows in addition to f 1 (t) nor a cumulative lifetime distribution F 1 (t) to the first failure. Diese beschreibt die Wahrscheinlichkeit, daß eine Komponente S der Fahrzeuge a bis f bis zum Zeitpunkt t ausfällt. This describes the probability that a component S of the vehicles a to f to the time t fails.

Allgemein gilt zwischen der i-ten Lebensdauerverteilung f i (t) und der zugehörigen i-ten kumulierten Lebensdauerverteilung F i (t) der Zusammenhang: In general, the relationship applies between the i-th lifetime distribution f i (t) and the corresponding i-th cumulative lifetime distribution F i (t): F i (t) = F i (t) = 0 0 t t f i (x) dx f i (x) dx bzw. f i (t)= or f i (t) = dF i (t) dF i (t) dt dt . ,

Fig. 4 zeigt einen Graph entsprechend Fig. 3 für die Ausfälle a 2 bis f 2 , dh jeweils für den zweiten Ausfall der Komponente S in den Fahrzeugen a bis f jeweils seit Wiederinbetriebnahme des Fahrzeugs nach dem ersten Ausfall der Komponente S. Die jeweiligen Lebensdauern t a2 bis t f2 sind also die Betriebszeiten der jeweiligen Fahrzeuge a bis f ab der Wiederinbetriebnahme nach dem ersten Ausfall der Komponente S bis zum zweiten Ausfall der Komponente S. Entsprechend Fig. 3 ist die Lebensdauerverteilung f 2 (t) bis zum zweiten Ausfall und eine gemäß Gleichung (2) gewonnene, kumulierte Lebensdauerverteilung F 2 (t) über die Zeit aufgetragen. Fig. 4 shows a graph corresponding to FIG. 3 for the failures a 2 to f 2, that is in each case for the second failure of the component S in the vehicles a to f respectively for re-starting the vehicle after the first failure of the component S. The respective lifetimes t a2 to t f2 are thus the operation times of the respective vehicles a to f from the restart after the first failure of the component S to the second failure of the component S. according to FIG. 3, the lifetime distribution is f 2 (t) to the second failure and a according to equation (2) obtained, cumulative lifetime distribution F 2 (t) plotted against time. Es ist anzumerken, daß gemäß Fig. 2a und 2b alle Fahrzeuge a bis f bis zum zweiten Ausfall der Komponente S in Betrieb sind, dh daß die Komponente S in jedem Fahrzeug zweimal ausgefallen ist, bevor eines der Fahrzeuge a bis f stillgelegt wurde. It should be noted that all of the vehicles a to f S are shown in Fig. 2a and 2b to the second failure of the component in operation, that is that the component S has failed twice in each vehicle before one of the vehicles A was shut down by f.

Fig. 5 zeigt eine Lebensdauerverteilung f 3 (t) (strichlierte Linie) und eine daraus gewonnene kumulierte Lebensdauerverteilung F 3 (t) (Strich-Doppelpunkt-Linie) für die Ausfälle der Komponente S in den Fahrzeugen a, b und f. Fig. 5 shows a lifetime distribution f 3 (t) (dashed line) and a derived therefrom cumulative lifetime distribution F 3 (t) (dash-double-dot line) for the failures of the component S in the vehicles A, B and f. Es ist zu erkennen, daß die Komponenten S der Fahrzeuge c, d und e nicht zur Lebensdauerverteilung f 3 (t) und der kumulierten Lebensdauerverteilung F 3 (t) beitragen, da in diesen Fahrzeugen die Komponente S kein drittes Mal ausfällt. It will be appreciated that the components S of the vehicles c, d and e is not f 3 (t) and the cumulative lifetime distribution F 3 (t) contribute to the life distribution, since in these vehicles, the component S fails for a third. Fahrzeug c ist nach dem zweiten Ausfall der Komponente S und der entsprechenden Reparatur über den Beobachtungszeitraum hinaus ohne weiteren Ausfall der Komponente S in Betrieb. C vehicle is after the second failure of the component S and the corresponding repair over the period of observation without further addition, failure of the component S in operation. Fahrzeug d wird mit intakter Komponente S im Beobachtungszeitraum stillgelegt. D vehicle is shut down with intact S component in the period. Fahrzeug d wird unmittelbar nach dem zweiten Ausfall der Komponente S stillgelegt Vehicle d S is shut down immediately after the second failure of the component

Da bei der Bestimmung der Lebensdauerverteilung f 3 (t) bzw. der daraus gewonnenen kumulierten Lebensdauerverteilung F 3 (t) nur die im Beobachtungszeitraum im betreffenden Fahrzeug zum dritten Mal ausgefallenen Komponenten (S a , S b , S f ) berücksichtigt sind, jedoch die mit den betreffenden Fahrzeugen stillgelegten Komponenten (S c , S d , S e ) für diese Lebensdauerverteilungen außer Acht gelassen werden, liegt die erhaltene kumulierte Lebensdauerverteilung F 3 (t) unterhalb einer tatsächlichen Lebensdauerverteilung F 3 0 (t). As in the determination of the lifetime distribution f 3 (t) and the recovered therefrom cumulative lifetime distribution F 3 (t) only, the precipitated during the observation period in the respective vehicle for the third time components (S a, S b, S f) are taken into account, however, the disused with the respective vehicles components (S c, S d, S e) are ignored for this life distributions is based on the obtained cumulative lifetime distribution F 3 (t) is below an actual lifetime distribution F 3 0 (t). Unter der tatsächlichen Lebensdauerverteilung F 0 (t) soll hier diejenige Lebensdauerverteilung verstanden werden, die man bei über den Beobachtungszeitraum unverändertem Bestand an Einrichtungen erhält. Under the actual lifetime distribution F 0 (t) that lifetime distribution is to be understood here obtained at facilities in over the observation period the same portfolio. Die kumulierte Lebensdauerverteilung F 3 (t) bildet, da sie nur die bei abnehmendem Bestand stattgefundenen Ausfälle berücksichtigt, den unteren Grenzwert für die tatsächliche Lebensdauerverteilung F 3 0 (t). The cumulative lifetime distribution F 3 (t) forms, as it takes into account only taken place at decreasing inventory outages, the lower limit for the actual lifetime distribution F 3 0 (t). Eine Bestimmung der Ausfallsrate λ(t) auf der Basis der kumulierten Lebensdauerverteilung F 3 (t) würde eine zu geringe Ausfallsrate λ(t) ergeben, da die zu erwartenden Ausfälle bei den stillgelegten Komponenten nicht berücksichtigt werden. A determination of failure rate λ (t) on the basis of the accumulated lifetime distribution F 3 (t) would result in a too low failure rate λ (t), since the expected losses in the closed-down components are not taken into account.

Eine obere Grenze für die tatsächliche kumulierte Lebensdauerverteilung F 3 0 (t) erhält man dann, wenn die im Beobachtungszeitraum nicht ausgefallenen, jedoch stillgelegten Komponenten (S c , S d , S e ) bei der Bestimmung der Lebensdauerverteilung jeweils so berücksichtigt werden, als wären sie zum Zeitpunkt ihrer Stillegung gemäß der Ausmusterungskurve f end (t) bzw. zum Ende des Beobachtungszeitraums B E ausgefallen (mit Kreuzen markierte Punkte). An upper limit for the actual cumulative lifetime distribution F 3 0 (t) is then obtained when the non-failed during the observation period, but disused components (S c, S d, S e) are taken into account in determining the lifetime distribution in each case as if it at the time of shutdown according to the phasing curve f end (t) or has failed to the end of the observation period B e (marked with crosses points). Die tatsächliche kumulierte Lebensdauerverteilung F 3 0 (t) verläuft also zwischen der unteren Grenze F 3 (t) und der oberen Grenze F 3 '(t), wie in Fig. 5 beispielhaft angedeutet. Thus, the actual cumulative lifetime distribution F 3 0 (t) runs between the lower limit of F 3 (t) and the upper limit F 3 '(t), as exemplarily indicated in Fig. 5.

Sie kann mit Hilfe der folgenden Schätzformel bestimmt werden: It can be determined using the following estimation formula: F 0 (t) = F 0 (t) = A(t) - B(t) A (t) - B (t) 1 - C(t) 1 - C (t) wobei in which A(t) = A (t) = i=1 i = 1 t t a(i) a (i) B(t) = B (t) = i=1 i = 1 t-1 t-1 b(i) · β(i) b (i) · β (i) C(t) = C (t) = i=1 i = 1 t-1 t-1 b(i) · γ(i) b (i) · γ (i)

Dabei ist A(t) die Anzahl aller bis zum Zeitpunkt t ausgefallenen Komponenten. Here, A (t) is the number of all until time t failed components.

B(t) ist ein erster Korrekturfaktor, in den die ermittelte Anzahl b(i) der im Zeitintervall i außer Betrieb gesetzten Komponenten und ein erster Term β(i) eingeht. B (t) is a first correction factor, in which the determined number of the received disused components and a first term β (i) b (i) in the time interval i. C(t) ist ein zweiter Korrekturfaktor, in den ebenfalls die Anzahl b(i) der im Zeitintervall i außer Betrieb gesetzten Komponenten und ein zweiter Term γ(i) eingeht. C (t) is a second correction factor, also the number of is received in the time interval i disused components and a second term γ (i) in the b (i). Für β(i) und γ(i) gelten folgende Beziehungen: For β (i) and γ (i) the following relationships: β(i) = β (i) = F(i) F (i) 1 - F(i) 1 - F (i) und and γ(i) = γ (i) = 1 1 1 - F(i) 1 - F (i) . ,

Insgesamt gilt somit: Overall, therefore, the following applies: F 0 (t)= F 0 (t) = i=1 i = 1 t t a(i) a (i) - - i=1 i = 1 t-1 t-1 b(i) · b (i) * F(i) F (i) 1 - F(i) 1 - F (i) 1 - 1 - i=1 i = 1 t-1 t-1 b(i) · b (i) * 1 1 1-F(i) 1-F (i)

Für die Berechnung von f 0 (t) aus F 0 (t) gilt der oben genannte Zusammenhang (Gleichung 2) zwischen f i (t) und F i (t). For the calculation of f 0 (t) F 0 (t), the above relationship holds true (Equation 2) between f i (t) and F i (t).

Vergleicht man die ermittelten Lebensdauerverteilungen (ggf. korrigierte Lebensdauerverteilungen) der einzelnen Ausfälle miteinander, so können prinzipiell zwei Fälle eintreten. If one compares the determined lifetime distributions (if necessary corrected lifetime distributions) of the individual failures with each other, so in principle can occur two cases.

Im ersten Fall haben die Lebensdauerverteilungen der beobachteten Komponente mit steigender Betriebszeit der technischen Einrichtung im wesentlichen den gleichen Verlauf, dh sie sind invariant. In the first case, the lifetime distributions of the observed component with increasing operating time of the technical device essentially invariant the same course, that they have. Greift man in diesem Zusammenhang wieder das anfangs angesprochene Beispiel der Komponente S in den Fahrzeugen a bis f auf, so läßt sich dieser Fall dadurch erklären, daß die Komponente S, beispielsweise ein Motor, nach einem Ausfall jeweils durch eine fabrikneue Komponente S, also durch einen fabrikneuen Motor, ersetzt wird. it re-engages the initially mentioned example of the component S in the vehicles a to f in this connection, so that this case can be explained by the fact that the component S, such as a motor, after a failure in each case by a brand-new component S, that is, by a brand new engine is replaced. Es ist zu erwarten, daß in diesem Fall die mittlere Lebensdauer der neuen Komponente S derjenigen der ausgefallenen Komponente S entspricht. It is expected that in this case corresponds to the mean life of the new component S that of the failed component S. Für diesen ersten Fall der invarianten Lebensdauerverteilungen läßt sich eine Ausfallsrate λ(t) für die beobachtete Komponente, z. a failure rate λ (t) for the observed component, is allowed for this first case, the invariant life distributions. B. S, in einem Bestand an technischen Einrichtungen, wie z. B. S in a stock of technical devices such. B. in den Fahrzeugen a bis f, unter Berücksichtigung der fallenden Bestandsfunktion G(t) bestimmen. determine example, in the vehicles a to f, taking into account the falling stock function G (t). Zwischen der Ausfallsrate λ(t) und den durch Differentiation der ermittelten korrigierten kumulierten Lebensdauerverteilungen F i 0 (t) nach der Zeit gewonnenen korrigierten Lebensdauerverteilungen f 1 0 (t), f 2 0 (t), usw., allgemein f i 0 (t), besteht folgender Zusammenhang: Obtained between the failure rate λ (t) and 0 by differentiating the calculated corrected cumulative lifetime distributions F i (t) after the time corrected lifetime distributions f 1 0 (t), f 2 0 (t), etc., generally i f 0 ( t), the following relationship exists: λ(t) = f 1 0 (t) + λ (t) = f 1 0 (t) + 0 0 t t λ(t - u) · f 0 (u) du λ (t - u) · f 0 (u) du wobei u die Integrationsvariable ist und f 2 0 (t)=f 3 0 (t)=...f i 0 (t) und i ≥ 2. where u is the variable of integration, and f 2 0 (t) = f 3 0 (t) = f ... i 0 (t) and i ≥. 2

Somit lassen sich also für eine Vielzahl beobachteter Komponenten auf der Grundlage erfaßter Ausfallsdaten unter Berücksichtigung der Bestandsfunktion, beispielsweise durch numerisches Lösen der Gleichung 9, deren in Zukunft erwarteten Ausfallsraten λ(t) abschätzen. So thus be observed for a plurality of detected components based on failure data taking into account the constituent function, for example by numerically solving equation 9, assess their future expected failure rate λ (t). Durch Integration der Ausfallsrate λ(t) über die Zeit läßt sich gemäß folgender Beziehung By integrating the failure rate λ (t) over time can be according to the relationship M(t)= M (t) = 0 0 t t λ(x)dx λ (x) dx eine Zahl M(t) von für einen Zeitraum a number M (t) for a period of Δt=t 2 -t 1 At = t 2 -t 1 zu erwartenden Ausfällen berechnen, die als Grundlage für die Bestimmung zukünftig benötigter Ersatzteile dienen kann. Calculate the expected precipitation, which may serve as the basis for determining the future required spare parts.

Im zweiten Fall ändern sich die Lebensdauerverteilungen der beobachteten Komponente S mit steigender Betriebszeit der technischen Einrichtungen. In the second case, the lifetime distributions of the observed component S change with increasing operating time of the technical facilities. Derartige Variante Lebensdauerverteilungen können dann auftreten, wenn beispielsweise die beobachtete Komponente S nach einem Ausfall nicht durch eine fabrikneue gleiche Komponente ersetzt wird, sondern lediglich ein oder mehrere defekte Komponententeile ausgetauscht werden und die somit mit den Austauschteilen überholte Komponente S wieder in Betrieb genommen wird. Such a variant lifetime distributions can arise, for example, when the observed component S is not replaced by a brand-new identical component after a failure, but only one or more defective component parts are exchanged and the thus reconditioned with the exchange of component S is put into operation again. Dies bedeutet, daß sich die Komponente S aus fabrikneuen Komponententeilen und bereits gebrauchten Komponententeilen zusammensetzt. This means that the component is composed S from virgin component parts and already used component parts. Eine derartige überholte Komponente S weist oftmals eine von einer fabrikneuen Komponente stark abweichende Lebensdauerverteilung auf. Such refurbished component S often has a distinctly different from a brand-new component life distribution.

Für das Beispiel des Motors bedeutet dies, daß der ausgefallene Motor durch einen überholten Austauschmotor ersetzt wird, der schon eine gewisse Betriebszeit hinter sich hat und der nach einem Ausfall durch Ersetzen des ausgefallenen Bauteils repariert wurde. For the example of the engine, this means that the failed motor is replaced by an overhauled exchange engine which already has a certain operating time behind and was repaired after a failure by replacing the failed component. Es ist in diesem Fall zu erwarten, daß der überholte Austauschmotor eine andere mittlere Lebensdauer als der fabrikneue Motor hat. It is to be expected in this case that the reconditioned exchange engine has a different average life than the brand-new engine.

Mit steigender Anzahl der Ausfälle kann beispielsweise ein Absinken der mittleren Lebensdauer der Komponente eintreten, da die Komponententeile "altern", dh daß mit zunehmender Betriebszeit die Anzahl der fabrikneuen Komponententeile absinkt. With increasing number of failures such as a decrease in the average life of the component may occur as "age" the component parts, ie that decreases with increasing operating time, the number of brand-new component parts. Die mittlere Lebensdauer der Komponenten kann jedoch auch mit der Zeit zunehmen, falls störanfällige Komponententeile nach ihrem Ausfall nach und nach durch robustere Komponententeile ersetzt werden. However, the average life of the components may increase with time if failure-prone component parts are replaced after their failure gradually with more robust component parts. Ein derartiges Steigen der mittleren Lebensdauer und somit eine Veränderung zweier aufeinanderfolgender Lebensdauerverteilungen f i (t) und f i+1 (t) ist in Fig. 6 dargestellt. Such a rise in the average life and thus a change in two successive lifetime distributions f i (t) and f i + 1 (t) is shown in Fig. 6. Zur Verdeutlichung der Veränderung der beiden aufeinanderfolgenden Lebensdauerverteilungen sind die ersten Momente µ i und µ i+1 der beiden dargestellten Verteilungen auf der t-Achse eingetragen. To clarify the change in two successive lifetime distributions, the first moments are μ i and μ i + 1 of the two distributions shown on the t-axis entered. Ferner ist die Differenz Δµ zwischen den beiden Momenten µ i und µ i+1 mit Hilfe eines Bemaßungspfeils dargestellt. Further, the difference Δμ between the two moments is μ i and μ i + 1 represented by means of a dimensioning arrow. Auch sind die zweiten Momente σ i und σ i+1 näherungsweise eingetragen. Also, the second moments σ i and σ i + 1 are approximately registered.

Um den durch den Einsatz überholter Komponenten verursachten Effekt von sich ändernden Lebensdauerverteilungen bei der Abschätzung der zu erwartenden Ausfallsrate λ(t) zu berücksichtigen, wird die, wie oben erläutert, durch den Beobachtungsstartzeitpunkt möglicherweise verfälschte, erste Lebensdauerverteilung f 1 (t), dh die Lebensdauerverteilung der beobachteten Komponente bis zum ersten Ausfall, und wenigstens eine zweite Lebensdauerverteilung, vorzugsweise die Lebensdauerverteilung der beobachteten Komponente bis zum zweiten Ausfall f 2 (t), bestimmt. To account for the effect caused by the use of obsolete components of themselves life distributions varying in the estimation of the expected failure rate λ (t), is, as explained above, by the monitoring start time point may be distorted, first lifetime distribution f 1 (t), ie lifetime distribution of the observed component-to-failure, and at least a second lifetime distribution, preferably the lifetime distribution of the observed component up to the second failure f 2 (t), is determined. Anschließend wird die erste Lebensdauerverteilung f 1 (t) in den Laplace-Raum transformiert, so daß man diese in Abhängigkeit von der Laplace-Variablen s erhält. Subsequently, the first lifetime distribution f 1 (t) is transformed in the Laplace space, so that one obtains this s depending on the Laplace variable. Ferner bestimmt man jeweils das erste Moment und das zweite Moment der vorhandenen Lebensdauerverteilung f 2 (t) und ggf. weiterer Lebensdauerverteilungen f 3 (t), usw. Mit den so bestimmten Größen läßt sich allgemein die Ausfallsrate λ(s) im Laplace-Raum für große t (dh im allgemeinen t ≥ µ j ) nach folgender Beziehung annähern: Further, determining each of the first moment and the second moment of the existing lifetime distribution f 2 (t) and optionally further lifetime distributions f 3 (t), etc. The thus-determined sizes, the failure rate can generally be λ (s) in the Laplace space approach for large t (ie, generally t ≥ μ j) by the following relationship: λ(s) = f 1 (s) λ (s) = f 1 (s) i=1 i = 1 exp exp - s - s j=2 j = 2 i i µ j μ j + ½ s 2 ½ + s 2 j=2 j = 2 i i σ 2 j σ 2 j wobei j den Index der jeweiligen Lebensdauerverteilung bezeichnet. wherein j denotes the index of the respective life distribution. Durch Laplace-Rücktransformation erhält man die Ausfallsrate λ(t). By Laplace transform we obtain the failure rate λ (t).

Fig. 7 zeigt den Verlauf einer Ausfallsrate λ Δµ=O (t) bei invarianten, dh konstanten Lebensdauerverteilungen. Fig. 7 shows the course of a failure rate λ Δμ = O (t) at invariant, that constant life distributions. Insbesondere bei großen Zeiten zeigt sich, daß sich diese Ausfallsrate asymptotisch einem Grenzwert nähert, der in diesem Beispiel etwa bei 0,75 liegt, und der mit einer strichlierten Geraden angedeutet ist, für welche die folgende Beziehung gilt: In particular for large times, it is found that this failure rate asymptotically approaches a limiting value which is in this example approximately 0.75, and is indicated by a dashed line, for which the following relationship applies:

Ferner zeigt Fig. 7 den Verlauf einer weiteren Ausfallsrate λ Δµ ≠0 (t), welche typisch für die in Fig. 7 dargestellten varianten Lebensdauerverteilungen f i (t) und f i+1 (t) ist. Further, FIG. 7 shows the course of a further failure rate λ Δμ ≠ 0 (t), which is typical of the illustrated in Fig. 7 variants lifetime distributions f i (t) and f i + 1 (t). Es ist zu erkennen, daß die Funktion für große Zeiten (t > 5) einen angenähert linearen Verlauf annimmt. It can be seen that the function for long times (t> 5) assumes an approximately linear. Unter der Annahme, daß sich die ersten Momente µ und die Quadrate der zweiten Momente σ der sich ändernden Lebensdauerverteilungen linear mit dem Index i der Lebensdauerverteilungen f i 0 (t) ändern, dh Assuming that the first moments μ and σ the changing life distributions linear f i 0 (t) change the squares of second moments with the index i of the lifetime distributions, ie µ i = µ - Δµ · i und σ i 2 = σ 2 - Δσ 2 · i μ i = μ - Δμ · i and σ i 2 = σ 2 - 2 · Δσ i läßt sich diese durch die strichpunktierte Gerade λ A (t) annähern. this can be approximated by the broken straight line A λ (t). Diese Gerade kann durch folgende Gleichung beschrieben werden: This straight line can be described by the following equation: λ(t) ≅ λ (t) ≅ 1 1 µ μ + + Δµ Δμ µ 3 μ 3 · t - · T - Δµ Δμ µ 2 μ 2 µ 1 μ 1 µ μ - - 3 3 2 2 1 + 1 + σ 2 σ 2 µ 2 μ 2 + + Δσ 2 Δσ 2 3 3 wobei µ 1 das erste Moment der ersten Lebensdauerverteilung f 1 (t), µ das erste Moment einer weiteren, vorzugsweise der zweiten Lebensdauerverteilung f 2 (t), Δµ die (konstante) Differenz der ersten Momente µ i und µ i+1 zweier aufeinanderfolgender, vorzugsweise der zweiten und dritten Lebensdauerverteilungen f 2 (t) und f 3 (t), σ das zweite Moment der weiteren, vorzugsweise zweiten Lebensdauerverteilung f 2 (t) und Δσ 2 die (konstante) Differenz der Quadrate zweier zweiter Momente, vorzugsweise σ 2 und σ 3 der beiden aufeinanderfolgenden Lebensdauerverteilungen f 2 (t) und f 3 (t) bedeuten. wherein μ 1 is the first moment of the first lifetime distribution f 1 (t), μ is the first moment of a further, preferably the second lifetime distribution f 2 (t), Δμ is the (constant) difference of the first moments μ i and μ i + 1 of two successive , preferably the second and third lifetime distributions f 2 (t) and f 3 (t), the second moment of further, preferably the second lifetime distribution σ f 2 (t) and Δσ 2, the (constant) difference of the squares of two second moments, preferably σ 2 and σ 3 of the two successive lifetime distributions f 2 (t) and f 3 (t) mean.

Durch diese Näherungsformel kann also die Ausfallsrate λ(t) für große Zeiten auf einfache Weise bestimmt werden. By this approximation formula so the failure rate λ (t) for large periods can be easily determined.

Generell kann durch Integration der Ausfallsrate λ(t) über die Zeit gemäß dem oben erwähnten Zusammenhang (Gleichung 10) die in dem vorgesehenen Zeitintervall In general, by integrating the failure rate λ (t) over time in accordance with the above-mentioned relation (Equation 10) provided for in the time interval Δt = t 2 - t 1 At = t 2 - t 1 zu erwartende Anzahl von Ausfällen M(Δt) bestimmt werden. be determined expected number of failures M (At). Dies ist in Fig. 7 mit einer trapezförmigen Fläche M(t) angedeutet, welche die Anzahl der Ausfälle zwischen den Zeitpunkten t 1 =5 und t 2 =11 angibt. This is indicated in Fig. 7 having a trapezoidal area M (t) that t the number of failures between times 1 = 5 and t 2 = 11 indicates.

Mit einer Prognose auf der Grundlage der zu erwartenden Ausfallsrate λ(t) für die interessierende Komponente in einem Bestand an technischen Einrichtungen, wie z. With a forecast on the basis of the expected failure rate λ (t) for the component of interest in a stock of technical devices such. B. einem Fuhrpark oder einer Militärflugzeugstaffel, läßt sich die Lagerhaltung für nötige Ersatzteile optimieren, dh Lagerfehlbestände oder Lagerüberbestände bei ausreichend großem Bestand nahezu ausschließen. As a fleet or a military aircraft squadron, the storage of necessary spare parts can be optimized, ie stock shortages or excess inventory virtually rule out at sufficiently large holdings.

Claims (5)

  1. Verfahren zum Abschätzen der Ausfallsrate λ(t) einander entsprechender Komponenten in einem Bestand an technischen Einrichtungen, wie z. A method for estimating the failure rate λ (t) of mutually corresponding components in a stock of technical devices such. B. Fahrzeugen aller Art, wobei man laufend die Anzahl der in einem jeweiligen Zeitintervall ausfallenden und daher durch Reparatur oder Austausch zu ersetzenden Komponenten feststellt und daraus eine Lebensdauerverteilung f(t) dieser Komponenten bestimmt, B. all kinds of vehicles, wherein one continuously determines the number of dropouts in a respective time interval and, therefore, to be replaced by repair or replacement of components, and a lifetime distribution f (t) of these components is determined therefrom,
    dadurch gekennzeichnet, characterized,
    daß man bei einem sich gemäß einer vorgegebenen oder laufend ermittelten Bestandsfunktion G(t) zeitlich ändernden Gesamtbestand die Lebensdauerverteilung f(t) oder die kumulierte Lebensdauerverteilung F(t) durch Berücksichtung der Bestandsfunktion G(t) korrigiert. that total stock changes over time in an in accordance with a predetermined or continuously determined stock function G (t) corrects the lifetime distribution f (t) or the cumulative lifetime distribution F (t) by consideration of the stock function G (t).
  2. Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß man die korrigierte kumulierte Lebensdauerverteilung F 0 (t) in Abhängigkeit von der Zeit dadurch bestimmt, daß man für ein momentanes Zeitintervall t-1 bis t eine Ausfallszahl A(t) als Anzahl der im momentanen sowie in sämtlichen vorangegangenen Zeitintervallen ausgefallenen Komponenten feststellt, daß man jeweils die in den vorangegangenen Zeitintervallen (i) gemäß einer fallenden Bestandsfunktion G(t) durch Außerbetriebsetzen der jeweiligen technischen Einrichtung außer Betrieb gesetzten Komponenten feststellt und die ermittelte Anzahl b(i) mit einem ersten bzw. zweiten Term β(i) bzw. γ(i) multipliziert, der von der bis zum jeweiligen Zeitintervall kumulierten und bereits bestimmten Lebensdauerverteilung F(i) abhängt, und die so ermittelten Produkte für sämtliche vorangegangenen Zeitintervalle (i = 1 bis t - 1) addiert zum Erhalt eines ersten bzw. zweiten Korrekturfaktors B(t) bzw. C(t), und daß man als kumuliert A method according to claim 1, characterized in that the corrected cumulative lifetime distribution F 0 (t) is determined in function of time characterized in that for a current time interval t-1 to t is a failure factor A (t) as the number of the current, and failed in all previous time intervals component determines that each of the in the preceding time intervals (i) in accordance with a falling stock function G (t) determines, by shutting down the respective technical means put out of operation components and the determined number b (i) respectively with a first . second term β (i) and γ (i) multiplying the up to the respective time interval accumulated by and already determined lifetime distribution F (i) depends, and the thus obtained products for all previous time intervals (i = 1 to t - 1 ) is added to obtain a first or second correction factor B (t) and C (t), and that, as cumulated e Lebensdauerverteilung F 0 (t) den Quotienten aus der Differenz von Ausfallszahl A(t) und dem ersten Korrekturfaktor B(t) und der Differenz von 1 und dem zweiten Korrekturfaktor C(t) bestimmt, so daß folgende Bezeichnung gilt: e lifetime distribution F 0 (t) the quotient of the difference of failure factor A (t) and the first correction factor B (t) and the difference of 1 and the second correction factor C (t) determined so that the following description applies: F 0 (t) = F 0 (t) = A(t) - B(t) A (t) - B (t) 1 - C(t) 1 - C (t) mit With A(t) = A (t) = i=1 i = 1 t t a(i) a (i) , B(t) = , B (t) = i=1 i = 1 t-1 t-1 b(i) · β(i) b (i) · β (i) , C(t) = , C (t) = i=1 i = 1 t-1 t-1 b(i) · γ(i) b (i) · γ (i) . ,
  3. Verfahren nach Anspruch 2, dadurch gekennzeichnet, daß der erste Term β(i) der Quotient aus der bis zum jeweiligen Zeitintervall kumulierten Lebensdauerverteilung F(i) und der Differenz von 1 und dieser Lebensdauerverteilung F(i) ist, und daß der zweite Term γ(i) der Quotient aus 1 und der Differenz von 1 und dieser Lebensdauerverteilung F(i) ist, das heißt A method according to claim 2, characterized in that the first term β (i) is the quotient of the up to the respective time interval cumulative lifetime distribution F (i) and the difference of 1 and the lifetime distribution F (i), and that the second term γ (i) the quotient of 1 and the difference between 1 and this lifetime distribution F (i), that is β(i) = β (i) = F(i) F (i) 1 - F(i) 1 - F (i) und γ(i) = and γ (i) = 1 1 1 - F(i) 1 - F (i) . ,
  4. Verfahren zum Abschätzen der Ausfallsrate λ(t) einander entsprechender Komponenten in einem Bestand an technischen Einrichtungen, wie z. A method for estimating the failure rate λ (t) of mutually corresponding components in a stock of technical devices such. B. Fahrzeugen aller Art, wobei man nach einem ersten Ersetzen der ausgefallenen Komponenten durch Reparatur oder Austausch und wenigstens nach einem zweiten Ersetzen laufend die Anzahl der in einem jeweiligen Zeitintervall ausfallenden Komponenten feststellt und daraus eine erste und wenigstens eine zweite Lebensdauerverteilung f 1 (t), f 2 (t) der Komponenten bestimmt, B. vehicles of all types, wherein, after a first replacement of the failed components continuously determines by repair or replacement, and at least after a second replace the number of dropouts in a respective time interval components and therefrom a first and at least a second lifetime distribution f 1 (t) , f 2 (t) of the components determined,
    dadurch gekennzeichnet, characterized,
    daß man die Laplace-transformierte Ausfallsrate λ(s) nach folgender Beziehung annähert that approximates the Laplace-transformed failure rate λ (s) according to the following relationship λ(s) = f 1 (s) λ (s) = f 1 (s) i=1 i = 1 exp exp - s - s j=2 j = 2 i i µ j μ j + ½ s 2 ½ + s 2 j=2 j = 2 i i σ 2 j σ 2 j wobei f 1 (s) die Laplace-transformierte erste Lebensdauerverteilung f 1 (s), µ j das erste Moment der j-ten Lebensdauerverteilung f j (t), σ j das zweite Moment der j-ten Lebensdauerverteilung f j (t) und s die Laplace-Variable bedeuten, und daß man die Ausfallsrate λ(t) durch Laplace-Rücktransformation berechnet. wherein f 1 (s) is the Laplace-transformed first lifetime distribution f 1 (s), μ j is the first moment of the j-th lifetime distribution f j (t), σ j is the second moment of the j-th lifetime distribution f j (t) and s is the Laplace variable, and in that one calculates the failure rate λ (t) through inverse Laplace transformation.
  5. Verfahren nach Anspruch 5 oder dem Oberbegriff des Anspruchs 4, dadurch gekennzeichnet, daß man die Ausfallsrate λ(t) nach folgender Beziehung annähert: The method of claim 5 or the preamble of claim 4, characterized in that approximates the failure rate λ (t) according to the following relationship: λ(t) ≅ λ (t) ≅ 1 1 µ μ + + Δµ Δμ µ 3 μ 3 · t - · T - Δµ Δμ µ 2 μ 2 µ 1 μ 1 µ μ - - 3 3 2 2 1 + 1 + σ 2 σ 2 µ 2 μ 2 + + Δσ 2 Δσ 2 3 3 sofern die ersten Momente µ j und die zweiten Momente σ j der Lebensdauerverteilungen sich angenähert linear mit der Zeit ändern, wobei µ 1 das erste Moment der ersten Lebensdauerverteilung f 1 (t), µ das erste Moment einer weiteren, vorzugsweise der zweiten Lebensdauerverteilung f 2 (t), Δµ die Differenz der ersten Momente µ i und µ i+1 zweier aufeinanderfolgender, vorzugsweise der zweiten und dritten Lebensdauerverteilungen f 2 (t) und f 3 (t), σ das zweite Moment der weiteren Lebensdauerverteilung f 2 (t) und Δσ die Differenz zweier zweiter Momente σ 2 und σ 3 der beiden aufeinanderfolgenden Lebensdauerverteilungen f j-1 (t) und f j (t) bedeuten. if the first moments σ j of the lifetime distributions is approximately linear change with time μ j and the second moments, wherein μ 1 is the first moment of the first lifetime distribution f 1 (t), μ is the first moment of a further, preferably the second lifetime distribution f 2 (t), Δμ the difference of the first moments μ i and μ i + 1 of two successive, preferably the second and third lifetime distributions f 2 (t) and f 3 (t), the second moment of the additional lifetime distribution f σ 2 (t) and Δσ the difference between two second moments σ 2 and σ 3 of the two successive lifetime distributions f j-1 (t) and f j (t) mean.
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