DE19712767A1

DE19712767A1 - Verfahren zum Abschätzen der Ausfallsrate von Komponenten technischer Einrichtungen

Info

Publication number: DE19712767A1
Application number: DE19712767A
Authority: DE
Inventors: Ulrich Leuthaeusser; Juergen Sellen
Original assignee: ESG ELEKTRONIK SYSTEM GmbH
Current assignee: ESG ELEKTRONIK SYSTEM GmbH
Priority date: 1997-03-26
Filing date: 1997-03-26
Publication date: 1998-10-01
Also published as: US6085154A; EP0867841A2; EP0867841A3

Description

Die Erfindung betrifft ein Verfahren zum Abschätzen der Aus fallsrate λ(t) einander entsprechender Komponenten in einem Bestand an technischen Einrichtungen, wie z. B. Fahrzeugen aller Art, wobei man laufend die Anzahl der in einem jeweili gen Zeitintervall ausfallenden und daher durch Reparatur oder Austausch zu ersetzenden Komponenten feststellt und daraus eine Lebensdauerverteilung f(t) dieser Komponenten bestimmt.

Komplexe technische Einrichtungen, wie Fahrzeuge aller Art, mit im allgemeinen einer Vielzahl von Komponenten, werden in der Regel nach Ausfall der einen oder anderen Komponente durch Reparatur oder Austausch wieder in Stand gesetzt. Für eine langfristige Ersatzkomponentenplanung ist es wesentlich, die Ausfallsrate λ(t) der jeweiligen Komponente möglichst zuver lässig zu bestimmen, da deren Integration über die Betriebs zeit unter Berücksichtigung des Bestands den Ersatzbedarf an der jeweiligen Komponente angibt. Die Ausfallsraten der ein zelnen Komponenten sind herstellerseitig häufig unbekannt, zumal dann, wenn für den jeweiligen Einsatzzweck in der tech nischen Einrichtung eigens konstruierte Komponenten eingesetzt werden. Von einzelnen Bestandteilen der Komponenten mögen zwar Ausfallsraten bekannt sein - ein zuverlässiger Schluß auf die Ausfallsrate der Komponente selbst läßt sich bei einer ent sprechenden Vielzahl von Einzelteilen in der Regel jedoch nicht durchführen.

Aus der fraglichen Komponenten läßt sich unmittelbar oder über die kumulierte Lebensdauerverteilung F(t) die Ausfallsrate λ(t) berechnen. Die Lebensdauerverteilung der jeweiligen Kom ponente wird daher laufend während des Einsatzes der techni schen Einrichtungen ermittelt, um hieraus die Ausfallsrate für eine Prognose zukünftigen Bedarfs an dieser Komponente zu be rechnen. Hierbei geht man so vor, daß man bei jedem Ausfall der technischen Einrichtung aufgrund einer defekten Komponente bzw. bei jedem Austausch einer defekten Komponente anläßlich einer Wartung der Einrichtung, den Austausch dieser Komponente registriert und dabei auch notiert, um den wievielten Aus tausch es sich bei dieser Komponente innerhalb dieser techni schen Einrichtung handelt.

Aus diesen so gewonnenen Daten läßt sich unmittelbar die Aus fallsrate λ(t) aus dem Quotienten der Anzahl der ausgefallenen Komponenten und des betreffenden Beobachtungszeitraums bestim men. In dieser direkt berechneten Ausfallsrate ist allerdings das durch statistische Schwankungen bedingte Systemrauschen der Lebensdauern der einzelnen Komponenten nicht berücksich tigt. Eine zuverlässige Ausfallsprognose auf der Basis einer direkt aus den gewonnenen Daten berechneten Ausfallsrate λ(t) ist somit nicht möglich.

Um ein das Systemrauschen berücksichtigendes und damit schär feres, für Prognosen geeigneteres Ergebnis für die Ausfalls rate λ(t) zu erhalten, ermittelt man aus den gewonnenen Daten Lebensdauerverteilungen f(t), wobei im folgenden die Lebens dauerverteilung der im Wartungszeitraum zum ersten Mal ausge fallenen Komponenten mit f₁(t) bezeichnet ist und die Lebens dauerverteilung der zum zweiten Mal ausfallenden Komponenten f₂(t) usw. Aus den so ermittelten Lebensdauerverteilungen läßt sich dann im Prinzip die Ausfallsrate λ(t) bestimmen, bei spielsweise indem man die Laplace-Transformierten der Lebens dauerverteilungen aufsummiert und die Summe rücktransformiert (siehe z. B. Cox, D.R.; Miller, H.: The Theory of Stochastic Processes, Methun & Co. LTD, London).

Aus der klassischen Erneuerungstheorie läßt sich eine einfache Beziehung für die Laplace-transformierte Ausfallsrate λ(s) ableiten und zwar als Quotient der Laplace-Transformierten f₁(s) der ersten Lebensdauerverteilung f₁(t) geteilt durch die Differenz von 1 und der Laplace-Transformierten f(s) einer der weiteren Lebensdauerverteilungen f(t). Vorausgesetzt ist hier jedoch, daß die weiteren Lebensdauerverteilungen alle gleich sind. Vorausgesetzt ist weiterhin, daß sich auch der Bestand an den technischen Einrichtungen nicht ändert. Diese Voraus setzungen sind jedoch häufig nicht erfüllt.

So ändert sich beispielsweise der Bestand an Kampfflugzeugen im Laufe der Zeit nach vorgegebenen Ausmusterungsplänen. Hinzu kommen können weitere Bestandsreduzierungen, z. B. aufgrund von Unfällen oder nicht mehr lohnender Reparatur.

Der Erfindung liegt die Überlegung zugrunde, daß z. B. eine Reduzierung des Bestandes zu weniger Ausfällen führt, d. h. zu geänderten Lebensdauerverteilungen. Legt man diese Lebensdau erverteilungen dann der Berechnung der Ausfallsrate λ(t) der jeweiligen Komponente zugrunde, so ergeben sich in der Regel zu geringe Werte für die Ausfallrate λ(t); eine höhere Zuver lässigkeit der jeweiligen Komponente wird vorgetäuscht. Eine Bedarfsprognose für die Komponente auf der Grundlage der so ermittelten Ausfallsrate λ(t) liefert daher falsche Ergebnis se.

Der Erfindung liegt die Aufgabe zugrunde, ein Verfahren der eingangs genannten Art anzugeben, welches einen sich zeitlich ändernden Gesamtbestand an den technischen Einrichtungen be rücksichtigt.

Diese Aufgabe wird dadurch gelöst, daß man bei einem sich ge mäß einer vorgegebenen oder laufend ermittelten Bestandsfunk tion G(t) zeitlich ändernden Gesamtbestand die Lebensdauerver teilung f(t) oder die kumulierte Lebensdauerverteilung F(t) durch Berücksichtung der Bestandsfunktion G(t) korrigiert. Wie bereits angesprochen, ergibt sich die Ausfallsrate λ(t) aus der gemessenen Lebensdauerverteilung f(t), und zwar, entspre chend dem jeweils gewählten mathematischen Formalismus, un mittelbar aus der Lebensdauerverteilung f(t) oder aus der kumulierten Lebensdauerverteilung F(t). Die erfindungsgemäße Korrektur zur Berücksichtigung der Bestandsfunktion G(t) kann bei der Lebensdauerverteilung f(t) oder der kumulierten Le bensdauerverteilung F(t) vorgenommen werden.

Die Korrektur der kumulierten Lebensdauerverteilung F(t) wird bevorzugt dadurch vorgenommen, daß man die korrigierte kumu lierte Lebensdauerverteilung F°(t) in Abhängigkeit von der Zeit dadurch bestimmt, daß man für ein momentanes Zeitintervall t-1 bis t eine Ausfallszahl A(t) als Anzahl der im momentanen so wie in sämtlichen vorangegangenen Zeitintervallen ausgefal lenen Komponenten feststellt, daß man jeweils die in den vor angegangenen Zeitintervallen (i) gemäß einer fallenden Be standsfunktion G(t) durch Außerbetriebsetzen der jeweiligen technischen Einrichtung außer Betrieb gesetzten Komponenten feststellt und die ermittelte Anzahl b(i) mit einem ersten bzw. zweiten Term β(i) bzw. γ(i) multipliziert, der von der bis zum jeweiligen Zeitintervall kumulierten und bereits be stimmten Lebensdauerverteilung F(i) abhängt, und die so er mittelten Produkte für sämtliche vorangegangenen Zeitinter valle (i = 1 bis t-1) addiert zum Erhalt eines ersten bzw. zweiten Korrekturfaktors B(t) bzw. C(t), und daß man als kumu lierte Lebensdauerverteilung F°(t) den Quotienten aus der Dif ferenz von Ausfallszahl A(t) und dem ersten Korrekturfaktor B(t) und der Differenz von 1 und dem zweiten Korrekturfaktor C(t) bestimmt, so daß folgende Beziehung gilt:

Hierbei wird vorgeschlagen, daß der erste Term β(i) der Quo tient aus der bis zum jeweiligen Zeitintervall kumulierten Lebensdauerverteilung F(i) und der Differenz von 1 und dieser Lebensdauerverteilung F(i) ist, und daß der zweite Term γ(i) der Quotient aus 1 und der Differenz von 1 und dieser Lebens dauerverteilung F(i) ist, das heißt

Hierdurch läßt sich auf einfache Weise der Einfluß der sich ändernden Bestandsfunktion G(t) auf die kumulierte Lebensdau erverteilung F(t) berücksichtigen. Durch zeitliche Differen tiation der korrigierten kumulierten Lebensdauerverteilung F°(t) läßt sich die korrigierte Lebensdauerverteilung f°(t) bestimmen. Daraus erhält man die Ausfallsrate λ(t) durch bei spielsweise numerisches Lösen der folgenden Integralgleichung:

wobei u die Integrationsvariable, f₁(t) die erste Lebensdauer verteilung und f(u) (bzw. f(t)) die zweite, dritte, usw. Le bensdauerverteilung ist.

Die klassische Erneuerungstheorie setzt, wie bereits angespro chen, voraus, daß sich die Lebensdauerverteilungen einer Kom ponente, also die erste, die zweite usw. Lebensdauervertei lung, nicht voneinander unterscheiden. Diese Voraussetzung ist in vielen praktischen Fällen jedoch nicht erfüllt. Eine mög liche Ursache hierfür ist, daß die jeweils ausgefallene Kom ponente nicht durch eine fabrikneue Komponente ersetzt wird, sondern durch eine überholte Komponente, wie z. B. Austausch motor. Eine derartige überholte Komponente weist also eine Vielzahl nicht überholter, d. h. älterer Komponententeile auf, sowie eine oder mehrere neue Komponententeile. Aufgrund des Anteils an älteren Komponententeilen wird die mittlere Lebens dauer dieser Austauschkomponenten im allgemeinen geringer sein als die einer fabrikneuen Komponente. Es ist jedoch auch denk bar, daß die Lebensdauer einer Austauschkomponente größer ist als die einer fabrikneuen, z. B. deshalb, weil in der Aus tauschkomponente ein weniger störanfälliges Komponententeil eingesetzt worden ist als in der fabrikneuen Komponente.

Gemäß einem weiteren Aspekt der Erfindung, der vom vorstehen den Aspekt Berücksichtigung der Bestandsfunktion an sich un abhängig ist, jedoch bevorzugt in Verbindung mit diesem reali sierbar ist, befaßt sich die Erfindung mit einem Verfahren zum Abschätzen der Ausfallsrate λ(t) einander entsprechender Kom ponenten in einem Bestand an technischen Einrichtungen, wie z. B. Fahrzeugen aller Art, wobei man nach einem ersten Erset zen der ausgefallenen Komponenten durch Reparatur oder Aus tausch und wenigstens nach einem zweiten Ersetzen laufend die Anzahl der in einem jeweiligen Zeitintervall ausfallenden Komponenten feststellt und daraus eine erste und wenigstens eine zweite Lebensdauerverteilung f₁(t), f₂(t) der Komponenten bestimmt.

Zur Berücksichtigung sich ändernder Lebensdauerverteilungen wird vorgeschlagen, daß man die Laplace-transformierte Aus fallsrate λ(s) nach folgender Beziehung annähert

wobei f₁(s) die Laplace-transformierte erste Lebensdauerver teilung, µ_j das erste Moment der j-ten Lebensdauerverteilung f_j(t), σ_j das zweite Moment der j-ten Lebensdauerverteilung f_j(t) und s die Laplace-Variable bedeuten, und daß man die Ausfallsrate λ(t) durch Laplace-Rücktransformation berechnet.

Somit läßt sich zumindest für vergleichsweise große Betriebs zeiten (d. h. im allgemeinen t ≧ µ) die Laplace-transformierte Ausfallsrate λ(s) als einfache Summe über die Laplace-Variable s sowie die ersten und zweiten Momente der Lebensdauervertei lungen enthaltende Terme weitgehend exakt berechnen und daraus die Ausfallsrate λ(t) selbst durch Laplace-Rücktransformation bestimmen.

Für den Fall, daß die Differenz Δµ der ersten Momente aufein anderfolgender Lebensdauerverteilungen sowie die Differenz Δσ² der Quadrate der zweiten Momente aufeinanderfolgender Lebens dauerverteilungen im wesentlichen konstant ist (d. h. die ersten Momente µ_j und die Quadrate der zweiten Momente σ_j der Lebensdauerverteilungen ändern sich angenähert linear mit der Zeit), läßt sich die Ausfallsrate λ(t) unmittelbar in einfa cher Weise dadurch berechnen, daß man die Ausfallsrate λ(t) nach folgender Beziehung annähert:

wobei µ₁ das erste Moment der ersten Lebensdauerverteilung f₁(t), µ das erste Moment einer weiteren, vorzugsweise der zweiten Lebensdauerverteilung f₂(t), Δµ die Differenz der er sten Momente µ₂ und µ₃ zweier aufeinanderfolgender, vorzugs weise der zweiten und dritten Lebensdauerverteilungen f₂(t) und f₃(t), σ das zweite Moment der weiteren Lebensdauerverteilung f₂(t) und Δσ² die Differenz der Quadrate zweier zweiter Momente u₂ und a₃ der beiden aufeinanderfolgenden Lebensdauerverteilun gen f₂(t) und f₃(t) bedeuten.

Die Erfindung wird im folgenden an bevorzugten Ausführungsbei spielen anhand der Zeichnungen erläutert. Es zeigt:

Fig. 1 schematisch einen Bestand an technischen Einrichtun gen in Form von Fahrzeugen mit einer Vielzahl von Komponenten;

Fig. 2 in ihrem mit a bezeichneten oberen Teil eine kumu lierte Ausmusterungskurve F_end(t) und eine Bestands kurve G(t) aufgetragen über die Zeit, und in ihrem mit b bezeichneten unteren Teil Ausfälle einer be stimmten gleichen Komponente S in den technischen Einrichtungen a bis f aufgetragen über die Zeit un ter Berücksichtigung der Bestandskurve G(t) aus Fig. 2a;

Fig. 3 ein Histogramm der Lebensdauerverteilung f₁(t) bis zum ersten Ausfall der Komponente S in den techni schen Einrichtungen a bis f entsprechend dem Aus fallsverhalten gemäß Fig. 2b sowie die kumulierte Lebensdauerverteilung F₁(t) aufgetragen über die Zeit;

Fig. 4 ein Histogramm der Lebensdauerverteilung f₂(t) bis zum zweiten Ausfall sowie die kumulierte Lebensdau erverteilung F₂(t) über die Zeit;

Fig. 5 ein Histogramm unter anderem der Lebensdauervertei lung f₃(t) bis zum dritten Ausfall sowie die kumu lierte Lebensdauerverteilung F₃(t) über die Zeit;

Fig. 6 Graphen einer Lebensdauerverteilung f_i(t) und ihr erstes Moment µ_i sowie einer den auf diese unmittel bar folgenden Erneuerungsprozeß charakterisierenden, von dieser verschiedenen Lebensdauerverteilung f_i+1(t) und ihr erstes Moment µ_i+1 und

Fig. 7 Graphen einer Ausfallsrate λ_Δµ=0(t) bei konstanten Lebensdauerverteilungen f_i(t) = f_i+1(t) (durchgezogene Linie) sowie einer Ausfallsrate λ_Δµ≠0(t) bei nicht konstanten Lebensdauerverteilungen f_i(t) ≠ f_i+1(t) (gepunktete Linie) sowie einer Asymptote λ_A(t) (strichpunktierte Linie).

In Fig. 1 ist schematisch ein Bestand an technischen Einrich tungen in Form von sechs Fahrzeugen a bis f dargestellt, die sich aus einer Vielzahl von schematisch dargestellten Kompo nenten 12, 14, 16, 18 zusammensetzen, wie z. B. einem Motor, einer Bremsanlage, einer Batterie, einer Lenkung oder derglei chen. Jedes Fahrzeug des Bestandes ist gleich aufgebaut und setzt sich somit jeweils aus den gleichen Komponenten wie die übrigen Fahrzeuge des Bestandes zusammen. Die einzelnen Kom ponenten sind wiederum aus Komponententeilen zusammengesetzt, welche bei einem Ausfall einer der Komponenten 12, 14, 16, 18 zur Reparatur derselben einzeln ausgetauscht werden können.

Die Fahrzeuge a bis f des Bestandes werden bezüglich ihres Ausfallsverhaltens, d. h. im Hinblick auf auftretende Ausfälle einzelner Komponenten und Reparaturen bzw. Neueinbau dersel ben, überwacht und aufgetretene Ausfälle werden dokumentiert.

Die so gewonnenen Ausfalldaten können dann mit Hilfe des er findungsgemäßen Verfahrens ausgewertet werden.

Bei dieser Auswertung kann eine in Fig. 2a dargestellte Be standsfunktion G(t) berücksichtigt werden. Diese Bestandsfunk tion G(t) gibt den Gesamtbestand an Fahrzeugen (d. h. die An zahl der im Betrieb befindlichen Fahrzeuge) bezogen auf den Anfangsbestand in Abhängigkeit von der Betriebs zeit t der Fahrzeuge an. Der Verlauf der Bestandsfunktion G(t) kann ei nerseits dadurch bestimmt werden, daß Fahrzeuge aufgrund einer vorgegebenen Ausmusterungskurve außer Betrieb gesetzt werden und somit eine weitere Beobachtung des Ausfallsverhaltens der Komponenten bei einem derartigen Fahrzeug nicht mehr möglich ist, oder daß andererseits das Fahrzeug durch einen Unfall oder dergleichen ausfällt und nicht mehr repariert wird. Auch in diesem zweiten Fall bricht die Beobachtung der einzelnen Systemkomponenten ab.

Fig. 2a zeigt ferner die kumulierte Lebensdauerverteilung F_end(t) der Fahrzeuge, welche die Anzahl der außer Betrieb gesetzten Fahrzeuge bezogen auf die anfangs in Betrieb genom menen Fahrzeuge a bis f angibt und welche gemäß folgender Beziehung mit der Bestandsfunktion G(t) zusammenhängt:

G(t) = 1-F_end(t) (1)

In Fig. 2b sind die gesammelten Ausfallsdaten einer jeweils gleichen Komponente S (beispielsweise eines Motors) in den Fahrzeugen a bis f jeweils auf einer Zeitachse graphisch dar gestellt. Betrachtet man beispielsweise die Komponente S_a des Fahrzeugs a, so ist zu erkennen, daß ein erster Ausfall a₁ der Komponente S_a nach einer Zeit t_a1 ab dem Beobachtungsstartzeit punkt (t = 0) stattgefunden hat. Nach diesem Ausfall wurde die Komponente S_a gegen eine fabrikneue oder überholte Komponente ausgetauscht und das Fahrzeug a wurde erneut in Betrieb genom men. Nach einem weiteren Zeitraum t_a2 trat dann im Fahrzeug a ein zweiter Ausfall der Komponente S auf, wie durch den Punkt a₂ angedeutet. Daraufhin wurde die Komponente erneut gegen eine fabrikneue bzw. überholte Komponente S ausgetauscht und das Fahrzeug wieder in Betrieb genommen. Nach einem weiteren Zeit raum t_a3 nach der erneuten Inbetriebnahme fiel die Komponente S im Fahrzeug a ein drittes Mal aus, wie durch den Punkt a₃ angedeutet. Zu diesem Zeitpunkt wurde das Fahrzeug a schließ lich stillgelegt.

Nach dem gleichen Prinzip sind jeweils die Ausfalldaten der Komponente S in den Fahrzeugen b bis f dargestellt, wobei besonderes Augenmerk auf die Komponenten S_c und S_d der Fahr zeuge c, d zu richten ist. Bei beiden Fahrzeugen endet der letzte Beobachtungszeitraum t_c3' und t_d3' nicht mit einem Aus fall der Komponente S_c bzw. S_d. Die beobachtete Komponente S_c bzw. S_d ist am Ende der Beobachtung (Stillegung bei Fahrzeug d, Beobachtungszeitraumende B_E bei Fahrzeug c) noch funktions tüchtig, d. h. nicht ausgefallen, und darf somit bei der Ab schätzung einer Ausfallsrate λ(t) nicht ohne entsprechende Korrektur (siehe unten) als Komponentenausfall behandelt wer den, da dies das Ergebnis verfälschen würde.

Über strichlierte Linien 20 ist ein direkter Zusammenhang zwi schen Fig. 2a und 2b dargestellt. Beispielsweise werden zum Zeitpunkt t = 7 die Fahrzeuge b und d außer Betrieb genommen, so daß die Bestandskurve entsprechend fällt. Zum Zeitpunkt t = 8 wird das Fahrzeug f stillgelegt, so daß die Bestandskurve weiter fällt, usw.

Die in Fig. 2b zur Veranschaulichung dargestellten Ausfalls daten der Komponente S der Fahrzeuge a bis f können nun zur Bestimmung der Lebensdauerverteilungen f_i(t) für den i-ten Ausfall der Komponente S verwendet werden, wie in den Fig. 3 bis 5 für die ersten, zweiten und dritten Ausfälle der Kom ponente dargestellt.

In Fig. 3 sind die ersten Ausfälle (Index 1) der Komponente S in den Fahrzeugen a bis f als Histogramm aufgetragen, welches die Lebensdauerverteilung f₁(t) bildet. Jeder Ausfall ist mit einem Punkt markiert und das zugehörige Zeitintervall vom Be obachtungsstart bis zum Ausfall unter Verwendung eines Bema ßungspfeils angegeben (in Fig. 3 oben). Die jeweils pro Zeit schritt der t-Achse aufgetretenen Ausfälle werden aufsummiert; die Summe ergibt die Stufenhöhe. Beispielsweise fallen im Zeitraum zwischen t = 1 und t = 2 die Systemkomponenten S_f und S_d zum ersten Mal seit dem Beobachtungsstart (t = 0) aus, so daß das Histogramm für dieses Zeitintervall eine Ausfallszahl A₁ (= Stufenhöhe) von 2 angibt. Auf ein Ende eines Zeitschritts fallende Ausfälle werden diesem Zeitschritt zugeordnet. Der Ausfall d₁ ist also der zweite Ausfall in dem Zeitraum zwischen t = 1 und t = 2. Die Lebensdauerverteilung f₁(t) gibt somit die stochastische Verteilung der Lebensdauern der Komponenten S_a bis S_f für den ersten Ausfall seit Beobachtungsstart (t = 0) wieder.

Bei der Lebensdauerverteilung f₁(t) bis zum ersten Ausfall kann der Fall eintreten, daß der Beobachtungsstart nicht mit dem Zeitpunkt der ersten Inbetriebnahme der Komponente S zusammen fällt. So haben selbst "fabrikneu" angelieferte Fahrzeuge be reits eine gewisse Betriebszeit (z. B. Probelaufzeit) hinter sich. Die erhaltene Lebensdauerverteilung f₁(t) hat somit nicht den Verlauf der an sich gewünschten Lebensdauerverteilung mit Beobachtungsstart ab erster Inbetriebnahme. Um die in f₁(t) enthaltene Information nicht zu verlieren und eine frühzeitige Prognose für den Komponentenbedarf zu ermöglichen, wird im nachfolgend beschriebenen Verfahren die Lebensdauerverteilung f₁(t) mit berücksichtigt.

Die gemessene Lebensdauerverteilung f₂(t) ab dem ersten Ausfall bis zum zweiten Ausfall der Komponenten S_a bis S_f (siehe Fig. 4) ist also die erste vollständige Lebensdauerverteilung.

Fig. 3 zeigt zusätzlich zu f₁(t) noch eine kumulierte Lebens dauerverteilung F₁(t) bis zum ersten Ausfall. Diese beschreibt die Wahrscheinlichkeit, daß eine Komponente S der Fahrzeuge a bis f bis zum Zeitpunkt t ausfällt.

Allgemein gilt zwischen der i-ten Lebensdauerverteilung f_i(t) und der zugehörigen i-ten kumulierten Lebensdauerverteilung F_i(t) der Zusammenhang:

Fig. 4 zeigt einen Graph entsprechend Fig. 3 für die Ausfälle a₂ bis f₂, d. h. jeweils für den zweiten Ausfall der Komponente S in den Fahrzeugen a bis f jeweils seit Wiederinbetriebnahme des Fahrzeugs nach dem ersten Ausfall der Komponente S. Die jeweiligen Lebensdauern t_a2 bis t_f2 sind also die Betriebszeiten der jeweiligen Fahrzeuge a bis f ab der Wiederinbetriebnahme nach dem ersten Ausfall der Komponente S bis zum zweiten Aus fall der Komponente S. Entsprechend Fig. 3 ist die Lebensdau erverteilung f₂(t) bis zum zweiten Ausfall und eine gemäß Gleichung (2) gewonnene, kumulierte Lebensdauerverteilung F₂(t) über die Zeit aufgetragen. Es ist anzumerken, daß gemäß Fig. 2a und 2b alle Fahrzeuge a bis f bis zum zweiten Ausfall der Komponente S in Betrieb sind, d. h. daß die Komponente S in jedem Fahrzeug zweimal ausgefallen ist, bevor eines der Fahr zeuge a bis f stillgelegt wurde.

Fig. 5 zeigt eine Lebensdauerverteilung f₃(t) (strichlierte Linie) und eine daraus gewonnene kumulierte Lebensdauerver teilung F₃(t) (Strich-Doppelpunkt-Linie) für die Ausfälle der Komponente S in den Fahrzeugen a, b und f. Es ist zu erkennen, daß die Komponenten S der Fahrzeuge c, d und e nicht zur Le bensdauerverteilung f₃(t) und der kumulierten Lebensdauerver teilung F₃(t) beitragen, da in diesen Fahrzeugen die Komponente S kein drittes Mal ausfällt. Fahrzeug c ist nach dem zweiten Ausfall der Komponente S und der entsprechenden Reparatur über den Beobachtungszeitraum hinaus ohne weiteren Ausfall der Kom ponente S in Betrieb. Fahrzeug d wird mit intakter Komponente S im Beobachtungszeitraum stillgelegt. Fahrzeug d wird unmit telbar nach dem zweiten Ausfall der Komponente S stillgelegt.

Da bei der Bestimmung der Lebensdauerverteilung f₃(t) bzw. der daraus gewonnenen kumulierten Lebensdauerverteilung F₃(t) nur die im Beobachtungszeitraum im betreffenden Fahrzeug zum drit ten Mal ausgefallenen Komponenten (S_a, S_b, S_f) berücksichtigt sind, jedoch die mit den betreffenden Fahrzeugen stillgelegten Komponenten (S_c, S_d, S_e) für diese Lebensdauerverteilungen außer Acht gelassen werden, liegt die erhaltene kumulierte Lebens dauerverteilung F₃(t) unterhalb einer tatsächlichen Lebens dauerverteilung F₃°(t). Unter der tatsächlichen Lebensdauerver teilung F°(t) soll hier diejenige Lebensdauerverteilung ver standen werden, die man bei über den Beobachtungszeitraum un verändertem Bestand an Einrichtungen erhält. Die kumulierte Lebensdauerverteilung F₃(t) bildet, da sie nur die bei abneh mendem Bestand stattgefundenen Ausfälle berücksichtigt, den unteren Grenzwert für die tatsächliche Lebensdauerverteilung F₃°(t). Eine Bestimmung der Ausfallsrate λ(t) auf der Basis der kumulierten Lebensdauerverteilung F₃(t) würde eine zu geringe Ausfallsrate λ(t) ergeben, da die zu erwartenden Ausfälle bei den stillgelegten Komponenten nicht berücksichtigt werden.

Eine obere Grenze für die tatsächliche kumulierte Lebensdauer verteilung F₃°(t) erhält man dann, wenn die im Beobachtungs zeitraum nicht ausgefallenen, jedoch stillgelegten Komponenten (S_c, S_d, S_e) bei der Bestimmung der Lebensdauerverteilung je weils so berücksichtigt werden, als wären sie zum Zeitpunkt ihrer Stillegung gemäß der Ausmusterungskurve f_end(t) bzw. zum Ende des Beobachtungszeitraums B_E ausgefallen (mit Kreuzen markierte Punkte) . Die tatsächliche kumulierte Lebensdauerver teilung F₃°(t) verläuft also zwischen der unteren Grenze F₃(t) und der oberen Grenze F₃'(t), wie in Fig. 5 beispielhaft ange deutet.

Sie kann mit Hilfe der folgenden Schätzformel bestimmt werden:

wobei

Dabei ist A(t) die Anzahl aller bis zum Zeitpunkt t ausgefal lenen Komponenten.

B(t) ist ein erster Korrekturfaktor, in den die ermittelte Anzahl b(i) der im Zeitintervall i außer Betrieb gesetzten Komponenten und ein erster Term β(i) eingeht. C(t) ist ein zweiter Korrekturfaktor, in den ebenfalls die Anzahl b(i) der im Zeitintervall i außer Betrieb gesetzten Komponenten und ein zweiter Term γ(i) eingeht. Für β(i) und γ(i) gelten folgende Beziehungen:

Insgesamt gilt somit:

Für die Berechnung von f°(t) aus F°(t) gilt der oben genannte Zusammenhang (Gleichung 2) zwischen f_i(t) und F_i(t).

Vergleicht man die ermittelten Lebensdauerverteilungen (ggf. korrigierte Lebensdauerverteilungen) der einzelnen Ausfälle miteinander, so können prinzipiell zwei Fälle eintreten.

Im ersten Fall haben die Lebensdauerverteilungen der beobach teten Komponente mit steigender Betriebszeit der technischen Einrichtung im wesentlichen den gleichen Verlauf, d. h. sie sind invariant. Greift man in diesem Zusammenhang wieder das anfangs angesprochene Beispiel der Komponente S in den Fahr zeugen a bis f auf, so läßt sich dieser Fall dadurch erklären, daß die Komponente S, beispielsweise ein Motor, nach einem Ausfall jeweils durch eine fabrikneue Komponente S, also durch einen fabrikneuen Motor, ersetzt wird. Es ist zu erwarten, daß in diesem Fall die mittlere Lebensdauer der neuen Komponente S derjenigen der ausgefallenen Komponente S entspricht. Für die sen ersten Fall der invarianten Lebensdauerverteilungen läßt sich eine Ausfallsrate λ(t) für die beobachtete Komponente, z. B. S, in einem Bestand an technischen Einrichtungen, wie z. B. in den Fahrzeugen a bis f, unter Berücksichtigung der fallenden Bestandsfunktion G(t) bestimmen. Zwischen der Aus fallsrate λ(t) und den durch Differentiation der ermittelten korrigierten kumulierten Lebensdauerverteilungen F_i°(t) nach der Zeit gewonnenen korrigierten Lebensdauerverteilungen f₁°(t), f₂°(t), usw., allgemein f_i°(t), besteht folgender Zu sammenhang:

wobei u die Integrationsvariable ist und f₂°(t)=f₃°(t)=. . .f_i°(t) und i ≧ 2.

Somit lassen sich also für eine Vielzahl beobachteter Kompo nenten auf der Grundlage erfaßter Ausfallsdaten unter Berück sichtigung der Bestandsfunktion, beispielsweise durch numeri sches Lösen der Gleichung 9, deren in Zukunft erwarteten Aus fallsraten λ(t) abschätzen. Durch Integration der Ausfallsrate λ(t) über die Zeit läßt sich gemäß folgender Beziehung

eine Zahl M(t) von für einen Zeitraum Δt=t₂-t₁ zu erwartenden Ausfällen berechnen, die als Grundlage für die Bestimmung zu künftig benötigter Ersatzteile dienen kann.

Im zweiten Fall ändern sich die Lebensdauerverteilungen der beobachteten Komponente S mit steigender Betriebszeit der tech nischen Einrichtungen. Derartige variante Lebensdauervertei lungen können dann auftreten, wenn beispielsweise die beobach tete Komponente S nach einem Ausfall nicht durch eine fabrik neue gleiche Komponente ersetzt wird, sondern lediglich ein oder mehrere defekte Komponententeile ausgetauscht werden und die somit mit den Austauschteilen überholte Komponente S wie der in Betrieb genommen wird. Dies bedeutet, daß sich die Komponente S aus fabrikneuen Komponententeilen und bereits gebrauchten Komponententeilen zusammensetzt. Eine derartige überholte Komponente S weist oftmals eine von einer fabrik neuen Komponente stark abweichende Lebensdauerverteilung auf.

Für das Beispiel des Motors bedeutet dies, daß der ausgefal lene Motor durch einen überholten Austauschmotor ersetzt wird, der schon eine gewisse Betriebszeit hinter sich hat und der nach einem Ausfall durch Ersetzen des ausgefallenen Bauteils repariert wurde. Es ist in diesem Fall zu erwarten, daß der überholte Austauschmotor eine andere mittlere Lebensdauer als der fabrikneue Motor hat.

Mit steigender Anzahl der Ausfälle kann beispielsweise ein Absinken der mittleren Lebensdauer der Komponente eintreten, da die Komponententeile "altern", d. h. daß mit zunehmender Betriebszeit die Anzahl der fabrikneuen Komponententeile ab sinkt. Die mittlere Lebensdauer der Komponenten kann jedoch auch mit der Zeit zunehmen, falls störanfällige Komponenten teile nach ihrem Ausfall nach und nach durch robustere Kom ponententeile ersetzt werden. Ein derartiges Steigen der mitt leren Lebensdauer und somit eine Veränderung zweier aufeinan derfolgender Lebensdauerverteilungen f_i(t) und f_i+1(t) ist in Fig. 6 dargestellt. Zur Verdeutlichung der Veränderung der beiden aufeinanderfolgenden Lebensdauerverteilungen sind die ersten Momente µ_i und µ_i+1 der beiden dargestellten Verteilungen auf der t-Achse eingetragen. Ferner ist die Differenz Δµ zwi schen den beiden Momenten µ_i und µ_i+1 mit Hilfe eines Bemaßungs pfeils dargestellt. Auch sind die zweiten Momente σ_i und σ_i+1 näherungsweise eingetragen.

Um den durch den Einsatz überholter Komponenten verursachten Effekt von sich ändernden Lebensdauerverteilungen bei der Abschätzung der zu erwartenden Ausfallsrate λ(t) zu berück sichtigen, wird die, wie oben erläutert, durch den Beobach tungsstartzeitpunkt möglicherweise verfälschte, erste Lebens dauerverteilung f₁(t), d. h. die Lebensdauerverteilung der beobachteten Komponente bis zum ersten Ausfall, und wenigstens eine zweite Lebensdauerverteilung, vorzugsweise die Lebens dauerverteilung der beobachteten Komponente bis zum zweiten Ausfall f₂(t), bestimmt. Anschließend wird die erste Lebens dauerverteilung f₁(t) in den Laplace-Raum transformiert, so daß man diese in Abhängigkeit von der Laplace-Variablen s erhält. Ferner bestimmt man jeweils das erste Moment und das zweite Moment der vorhandenen Lebensdauerverteilung f₂(t) und ggf. weiterer Lebensdauerverteilungen f₃(t), usw. Mit den so be stimmten Größen läßt sich allgemein die Ausfallsrate λ(s) im Laplace-Raum für große t (d. h. im allgemeinen t ≧ µ_j) nach folgender Beziehung annähern:

wobei j den Index der jeweiligen Lebensdauerverteilung be zeichnet. Durch Laplace-Rücktransformation erhält man die Aus fallsrate λ (t)
Fig. 7 zeigt den Verlauf einer Ausfallsrate λ_Δµ=0(t) bei inva rianten, d. h. konstanten Lebensdauerverteilungen. Insbeson dere bei großen Zeiten zeigt sich, daß sich diese Ausfallsrate asymptotisch einem Grenzwert nähert, der in diesem Beispiel etwa bei 0,75 liegt, und der mit einer strichlierten Geraden angedeutet ist, für welche die folgende Beziehung gilt:

Ferner zeigt Fig. 7 den Verlauf einer weiteren Ausfallsrate λ_Δµ≠0(t), welche typisch für die in Fig. 7 dargestellten va rianten Lebensdauerverteilungen f_i(t) und f_i+1(t) ist. Es ist zu erkennen, daß die Funktion für große Zeiten (t <5) einen angenähert linearen Verlauf annimmt. Unter der Annahme, daß sich die ersten Momente µ und die Quadrate der zweiten Momente σ der sich ändernden Lebensdauerverteilungen linear mit dem Index i der Lebensdauerverteilungen f_i°(t) ändern, d. h.

µ_i = µ-Δµ.i und σ_i ² = σ²-Δσ².i

läßt sich diese durch die strichpunktierte Gerade λ_A(t) annä hern. Diese Gerade kann durch folgende Gleichung beschrieben werden:

wobei µ₁ das erste Moment der ersten Lebensdauerverteilung f₁(t), µ das erste Moment einer weiteren, vorzugsweise der zweiten Lebensdauerverteilung f₂(t), Δµ die (konstante) Dif ferenz der ersten Momente µ_i und µ_i+1 zweier aufeinanderfolgen der, vorzugsweise der zweiten und dritten Lebensdauervertei lungen f₂(t) und f₃(t), σ das zweite Moment der weiteren, vor zugsweise zweiten Lebensdauerverteilung f₂(t) und Δσ² die (kon stante) Differenz der Quadrate zweier zweiter Momente, vor zugsweise σ₂ und σ₃ der beiden aufeinanderfolgenden Lebensdau erverteilungen f₂(t) und f₃(t) bedeuten.

Durch diese Näherungsformel kann also die Ausfallsrate λ(t) für große Zeiten auf einfache Weise bestimmt werden.

Generell kann durch Integration der Ausfallsrate λ(t) über die Zeit gemäß dem oben erwähnten Zusammenhang (Gleichung 10) die in dem vorgesehenen Zeitintervall Δt = t₂-t₁ zu erwartende Anzahl von Ausfällen M(Δt) bestimmt werden. Dies ist in Fig. 7 mit einer trapezförmigen Fläche M(t) angedeutet, welche die Anzahl der Ausfälle zwischen den Zeitpunkten t₁=5 und t₂=11 angibt.

Mit einer Prognose auf der Grundlage der zu erwartenden Aus fallsrate λ(t) für die interessierende Komponente in einem Bestand an technischen Einrichtungen, wie z. B. einem Fuhrpark oder einer Militärflugzeugstaffel, läßt sich die Lagerhaltung für nötige Ersatzteile optimieren, d. h. Lagerfehlbestände oder Lagerüberbestände bei ausreichend großem Bestand nahezu ausschließen.

Claims

1. Verfahren zum Abschätzen der Ausfallsrate λ(t) einander entsprechender Komponenten in einem Bestand an techni schen Einrichtungen, wie z. B. Fahrzeugen aller Art, wobei man laufend die Anzahl der in einem jeweiligen Zeitintervall ausfallenden und daher durch Reparatur oder Austausch zu ersetzenden Komponenten feststellt und dar aus eine Lebensdauerverteilung f(t) dieser Komponenten bestimmt, dadurch gekennzeichnet, daß man bei einem sich gemäß einer vorgegebenen oder laufend ermittelten Bestandsfunktion G(t) zeitlich än dernden Gesamtbestand die Lebensdauerverteilung f(t) oder die kumulierte Lebensdauerverteilung F(t) durch Berück sichtung der Bestandsfunktion G(t) korrigiert.

2. Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß man die korrigierte kumulierte Lebensdauerverteilung F°(t) in Abhängigkeit von der Zeit dadurch bestimmt, daß man für ein momentanes Zeitintervall t-1 bis t eine Ausfalls zahl A(t) als Anzahl der im momentanen sowie in sämtli chen vorangegangenen Zeitintervallen ausgefallenen Kompo nenten feststellt, daß man jeweils die in den vorangegan genen Zeitintervallen (i) gemäß einer fallenden Bestands funktion G(t) durch Außerbetriebsetzen der jeweiligen technischen Einrichtung außer Betrieb gesetzten Komponen ten feststellt und die ermittelte Anzahl b(i) mit einem ersten bzw. zweiten Term β(i) bzw. γ(i) multipliziert, der von der bis zum jeweiligen Zeitintervall kumulierten und bereits bestimmten Lebensdauerverteilung F(i) ab hängt, und die so ermittelten Produkte für sämtliche vor angegangenen Zeitintervalle (i = 1 bis t-1) addiert zum Erhalt eines ersten bzw. zweiten Korrekturfaktors B(t) bzw. C(t), und daß man als kumulierte Lebensdauervertei lung F°(t) den Quotienten aus der Differenz von Ausfalls zahl A(t) und dem ersten Korrekturfaktor B(t) und der Differenz von 1 und dem zweiten Korrekturfaktor C(t) bestimmt, so daß folgende Bezeichnung gilt:

3. Verfahren nach Anspruch 2, dadurch gekennzeichnet, daß der erste Term β(i) der Quotient aus der bis zum jeweili gen Zeitintervall kumulierten Lebensdauerverteilung F(i) und der Differenz von 1 und dieser Lebensdauerverteilung F(i) ist, und daß der zweite Term γ(i) der Quotient aus 1 und der Differenz von 1 und dieser Lebensdauerverteilung F(i) ist, das heißt

4. Verfahren zum Abschätzen der Ausfallsrate λ(t) einander entsprechender Komponenten in einem Bestand an techni schen Einrichtungen, wie z. B. Fahrzeugen aller Art, wobei man nach einem ersten Ersetzen der ausgefallenen Komponenten durch Reparatur oder Austausch und wenigstens nach einem zweiten Ersetzen laufend die Anzahl der in ei nem jeweiligen Zeitintervall ausfallenden Komponenten feststellt und daraus eine erste und wenigstens eine zwei te Lebensdauerverteilung f₁(t), f₂(t) der Komponenten be stimmt, dadurch gekennzeichnet, daß man die Laplace-transformierte Ausfallsrate λ(s) nach folgender Beziehung annähert
wobei f₁(s) die Laplace-transformierte erste Lebensdauer verteilung (f₁(s), µ_j das erste Moment der j-ten Lebens dauerverteilung f_j(t), σ_j das zweite Moment der j-ten Lebensdauerverteilung f_j(t) und s die Laplace-Variable bedeuten, und daß man die Ausfallsrate λ(t) durch La place-Rücktransformation berechnet.

5. Verfahren nach Anspruch 5 oder dem Oberbegriff des An spruchs 4, dadurch gekennzeichnet, daß man die Ausfalls rate λ(t) nach folgender Beziehung annähert:
sofern die ersten Momente µ_j und die zweiten Momente σ_j der Lebensdauerverteilungen sich angenähert linear mit der Zeit ändern, wobei µ₁ das erste Moment der ersten Lebensdauerverteilung f₁(t), µ das erste Moment einer weiteren, vorzugsweise der zweiten Lebensdauerverteilung f₂(t), Δµ die Differenz der ersten Momente µ und µ zweier aufeinanderfolgender, vorzugsweise der zweiten und drit ten Lebensdauerverteilungen f₂(t) und f₃(t), σ das zweite Moment der weiteren Lebensdauerverteilung f₂(t) und Δσ die Differenz zweier zweiter Momente σ₂ und σ₃ der beiden aufeinanderfolgenden Lebensdauerverteilungen f_j-1(t) und f_j(t) bedeuten.