EP0221027A2

EP0221027A2 - Verfahren zur Bestimmung der genauen Grössen von Musikinstrumenten und Klangkörpern in Relation zu Frequenz und Klangfarbe, einschliesslich der Unterteilungen für Halbtöne

Info

Publication number: EP0221027A2
Application number: EP86810481A
Authority: EP
Inventors: Friedrich Paul Haferkorn
Original assignee: Individual
Current assignee: Individual
Priority date: 1985-10-30
Filing date: 1986-10-28
Publication date: 1987-05-06
Also published as: EP0221027A3

Abstract

Von der Frequenz ausgehend, werden durch besondere Faktoren die Klangfarbe und die Raumgrössen, einschliesslich genauer Lochpositionen für gewünschte Lochdurchmesser bei Blasinstrumenten oder die Verlängerungen bei Blechblasinstrumenten, bestimmt. Aus der Abhängigkeit von Grössen, Form und Klangfarbe ergeben sich optimale Klang- und Spieleigenschaften. Inbegriffen sind alle angeblasenen Instrumente, Glocken, Lautsprecher, Zungen, Stäbe (Xylophonplatten), Saiten, sowie die Wandstärken und Windmengen von Orgelpfeifen.

Bei den Blasinstrumenten (Hohlkörper) wird der wirkliche Oktavpunkt ermittelt, und von dort aus alle Unterteilungen, unabhängig von "Luftsäule" und "Mündungskorrekturen".

Die Verfahren ermöglichen die Herstellung von völlig genau intonierenden Instrumenten, bei Blasinstrumenten mit dem analogen Griff in den höheren Naturtonlagen, mit beliebiger Vielfalt der Klangeigenschaften. Der Arbeitsaufwand bis zum fertigen Produkt verringert sich wesentlich bei rationeller Anwendung der Verfahren.

Description

Die Erfindung besteht in Verfahren,die eine Vorherbestimmung aller Grössen von Musikinstrumenten und Klangkörpern ermöglichen,ausgehend von der Grundfrequenz und der Klangfarbe.Die Verfahren umfassen alle Blasinstrumente mit Löchern für die Tonfolgen samt deren genauen Festlegung, Blechblasinstrumente ,diese auch mit Auszügen oder Ventil- schleifen,andere Hohlkörper ohne Tonunterteilungen,wie Glocken und Lautsprecher,ebenso feste Körper wie Zungen, Stäbe(Platten) und Saiten,die Tonfolgen als Register analoger Körper bilden.Dazu gehören noch die abhängigen Grössen wie die Wandstärken und Windmengen von Orgelpfeifen.
Im Musikinstrumentenbau werden gemäss Oberbegriff des Patentanspruches 1 die Typen durch Versuche an Modellen entwickelt.Ihre Grössen bewegen sich im Rahmen traditioneller Abmessungen,zum Teil werden völlig identische Kopien als Eigenfabrikat auf den Markt gebracht.Die Ergebnisse aus den Modellversuchen werden teilwei&e mit Computerhilfe,wobei die Programme statistische Auswertungen vornehmen oder auf der herrschenden physikalischen Theorie beruhen,korrigiert und das einzelne Serienprodukt nachintoniert,indem die Körper und/oder die Löcher usw.leicht verändert werden. Trotzdem lassen sich an jedem Instrument hörbare Abweichungen einzelner Töne von der generellen Stimmung nachweisen.
Die Physik hat desgleichen bisher keine Methoden für die gesamten Massbeziehungen der Instrumentenkörper entwickelt. Für die Blasinstrumente hat vor über 100 Jahren Theobald Böhm eine zeichnerisch/rechnerische Methode veröffentlicht in Zusammenhang mit dem nach ihmbenannten Klappen-Systems, mit dem jeder Halbton mit einem eigenen Loch gespielt werden kann.Die in seiner Methode angewandte sogenannte Mündungskorrektur(Rayleigh u.a.) und die Theorie einer Luftsäule,die kürzer als das wirkliche Rohr sein kann,bilden noch immer das Fundament von Theorie und Praxis.Mit beidseitiger Mündungskorrektur, und nur auf zylindrische Rohre beschränkt,die Masse von einem angenommenen Knotenpunkt der Luftsäule auf das Zentrum des jeweiligen Loches samt dessen Durchmesser gerechnet,wird das Verfahren beschrieben von verschiedenen Autoren.(A.H.Benade:Fundamentals of musical acoustics,Neu York,Oxford University Press 1976,Otto Stein- kopf:Zur Akustik der Blasinstrumente, Celle, Moeck Verlag 1983, u.a.).Mit Computerverrechnungen auf dieser Basis wird versucht,die auftretenden Fehler zu vermindern.Ausserhalb der traditionellen Rohrdurchmesser wird das Ergebnis schlechter. Für Orgelpfeifen hat R.Rensch einen Rechenschieber vorgelegt(Verlag Aug.Laukhuff,Weikersheim 1969),der gleichfalls auf den Mündungskorrekturannahmen und den überkommenen Regeln des Orgelbaues beruht.
In Bezug auf den Oberbegriff der Patentansprüche 2 und 3 bietet die physikalische Theorie keine zureichenden Lösungen für die Berechnung von Zungen,Stäben(Platten) und Saiten. Besonders auffällig ist das Abweichen der Ergebnisse bei stark verkürzten Baßsaiten eines Klavieres von den empirischen Lösungen,die für das Ohr richtig sind. Von Fenner + Thomma gibt es einen,bereits nachgebesserten,Rechenschieber für Klavier-und Cembalosaiten(im Verlag Das Musikinstrument, Frankfurt),der gut angenäherte Ergebnisse liefert,mit grösseren Mängeln bei den umsponnenen Saiten.Dieser Rechenschieber kommt auch aus ohne die Berücksichtigung des Elastizitätsmoduls E,das die Physik als unumgängliche Komponente verlangt.
In Bezug auf die Oberbegriffe der Patentansprüche 4 und 5 sei auf die Literatur über den Orgelbau verwiesen(Mahren- holz,Ellerhorst,Lottermoser u.a.),deren Angaben entweder ungenau oder widersprüchlich sind.
Die Mängel aller angeführten Methoden werden gelöst durch die Erfindung,wie sie in den Patentansprüchen gekennzeichnet sind.Die bisher auch unter sich nicht vergleichbaren Lösungsvorschläge werden ersetzt durch eine einheitliche und übergreifende Darstellung der Zusammenhänge.
Die durch die Erfindung erreichbaren Vorteile sind vielfältig.So lassen sich alle Grössen von Musikinstrumenten und sonstiger beschriebener Klangkörper,einschliesslich ihrer allfälligen Tonunterteilungen und die Klangfarbe,alles in Bezug auf eine geforderte Grundfrequenz,mit grösstmöglicher Genauigkeit im Voraus bestimmen,als Grundlage für die Herstellung.Damit erübrigt sich das langwierige Experimentieren an Modellen mit seinen unbefriedigenden Kompensationsver- rechnungen.Die optimale Anlage der Löcher und die Reduzierung der Lochanzahl auf ein vertretbares Mass(z.B.von 20 auf 11 Löcher in der ersten Oktave)bringt,besonders bei sinnvoller Anwendung von Gabelgriffen,eine Vereinfachung und Verbilligung der Mechanik-Systeme. Mit einer gleichmässig vorgenommenen Abstufung der Lochdurchmesser,bzw. gleichbleibenden Lochung bei zylindrischen Körpern,wird das Schwanken der Tonqualität innerhalb der Tonfolge vermeidbar. Es ergeben sich bessere Spielmöglichkeiten,da bisher jeder Wechsel auf ein anderes Fabrikat gleicher Art eine etwas abgeänderte Grifftechnik erfordert,wobei für manche Töne sogar zwei bis drei Vorschläge gemacht werden,von denen keiner den geforderten Ton exakt trifft.Das wird ersetzt mit einem einzigen Griff,der dann,im Gegensatz zur bisherigen Praxis,auch grundsätzlich in den höheren Naturtonlagen beibehalten werden kann.Die Rohre können so angelegt werden,dass sie schon auf Grund ihrer genauen Form und ihrer angepassten Wandstärke einen grösseren Dynamikbereich zuischen pp und ff erzielen können,ohne Veränderung der Frequenz.Bei der Herstellung entfällt jedes Nachintonieren. Klaviersaiten werden, besonders in den Bässen,weniger unre- gelmässig,was durch die Ausnützung der bisher nicht erkannten geometrischen Abfolge der Saitenlängen gefördert wird.
Die Individualität von Instrumenten geht bei Anwendung der Erfindung nicht verloren,die Klangcharaktere lassen sich sogar stärker als bisher variieren,als es in den sonst sehr engen Grenzen des Instrumentenbaues möglich war. Alle gebräuchlichen Instrumente lassen sich optimieren.
Die Erfindung beschreibt Verfahren zur Bestimmung der genauen Masse von Klangkörpern und davon abhängiger Grössen in der Reihenfolge der Patentansprüche.
Sollen im inneren Rohr der Länge L₁ mit der Frequenz f₁,das der Rotationskörper mit der Umhüllungskurve einer einwandfrei ausgeführten Funktion f(x) bildet,diejenigen Punkte bestimmter Frequenz in Bezug auf das ganze Rohr angegeben werden, um von dort aus später Grösse und Lage von Löchern zu ermitteln,ist die Beziehung
Jedes Rohr hat bei der Länge L₂ den Punkt,an der sich die Oktave für das ganze Rohr bildet.Der an diesem Punkt abgeschnittene Rohrteil mit dem Anblasende würde, bei veränderter Klangfarbe,ein die Oktave spielendes Instrument ergeben. Von diesem Oktavpunkt aus lassen sich alle Partialtöne geometrisch darstellen und nachweisen.Die im Rohr beteiligten Grössen unterliegen der Bedingung
Das gesuchte Verhältnis L₁/L₂, das Oktavverhältnis,das im ganzen Rohrbereich Gültigkeit behält,ist bei allen konischen und hyperbolischen Körpern technisch,aber nicht algebraisch
für zylindrische Körper im gleichen Sinn,jedoch vereinfacht, weil r₁/r₂ = 1 ist
Jeder Halbtonschritt ist dann gleich (L₁/L₂)^1/12. Diese Beziehungen ergeben sich trotz der verschieden möglichen Formen der Umhüllungskurve,uenn diese einer Funktion f(x) gehorcht,und die entstehende Längsschnittfläche,das doppelte Integral, wird gleichwertig ausgedrückt durch das flächengleiche Rechteck L·r.Das doppelte Integral bleibt auch bei den Krümmungen langer Rohre bestehen, wenn die Achse die Länge L₁ bzw.L₂ bildet.Bei einer Berechnung sind alle Masse in cm einzusetzen.Es bedeuten

f₁ Frequenz des Rohres mit der Länge L₁
f_x Frequenz des Rohres mit der Länge L₁ bei der Länge L_x
L_λ Wellenlänge aus(v/f)·2^{± ganze Zahl}
L₁ Länge des Innenraumes des wirksamen Rohres mit der
- Frequenz f₁,axial gemessen einschliesslich aller gekrümmten Teile des Rohres.L₁ wird begrenzt am"unteren" Ende bei einer Geraden als Umhüllungskurve dort,wo diese endet,oder wo sie in einen Becher übergeht.Dieser Becher darf jedoch im aufgesetzten Zustand die Frequenz des Rohres nicht beeinflussen,er hat lediglich der Tonabstrahlung zu dienen.Bei hyperbolischen Formen(Hörner) begrenzt der grosse Rand der Trichteröffnung die Länge.
- Am Blasende(Antriebsseite)ist in die Länge L₁ inbegriffen:bei Kernspaltflöten der Bereich des Kernspaltes,bei Quer-und Traversflöten der Bereich des Stopfens bis Rohrende,bei Oboen,Englischhörnern,Fagotten usw.das gesamte Doppelrohrblatt,bei Klarinetten,Saxophonen u.ä. die Unterseite des Blattes bis zum äussersten Punkt des Rohres, bei Instrumenten mit Kesselmundstücken die Engführung des Mundstückes.
- L₁ bei runden Orgelpfeifen und Bechern vom Kernspalt (Pfeifenboden)bis zum Stimmschlitz,eckige Holzpfeifen auf der gesamten durchgehenden Korpuslänge bis zum Stimmschlitz.Gedackte Pfeifen bis innerkant Deckel.
- L₁ bei Glocken von dem Punkt,an dem sich die Gerade von der"Schärfe" her mit der inneren Rippenform trifft, bis zum Übergang in die Platte.
L₂ Länge des Innraumes des Rohres mit der Frequenz f₁·2, axial gemessen einschliesslich der gekrümmten Teile. Am"unteren"Ende begrenzt durch den Punkt, wo das Rohr die Oktave zum gesamten Rohr bringt,am Blasende wie unter L₁ angegeben.
r₁ Radius des ganzen Rohres,gebildet aus der inneren Längsschnittfläche/2·L₁.Bei Kernspaltflöten,Klarinet- ten und Saxophonen gilt die vervollständigte Fläche innerhalb der bis an das Anblasende geführten Umhüllungskurve(Geraden).Bei Doppelrohrblattinstrumenten ist die Flächendifferenz zwischen der inneren Längsschnittfläche der handelsüblichen Doppelrohrblättern und der geradlini gen Fortführung der Umhüllungsgeraden des inneren Rohres in der Flächengrösse zu berücksichtigen.
r₂ Radius des Oktavteiles des Rohres,gebildet aus der inneren Längsschnittfläche im Bereich von L₂,geteilt durch 2·L₂, sonst analog Bemerkungen zu r₁.
R grösster Radius des Innenraumes bei Glocken,Lautspre- chern und anderen Klangkörpern
r kleinster Radius des Innenraumes

Ist der Querschnitt des Rohres elliptisch oder rechteckig, so gilt das arithmetische Mittel der Querschnittsradien

c Exponent,kann a oder b sein
a Exponent für beidseitig offene Systeme 1
b Exponent für ein-oder beidseitig geschlossene Systeme
m Grösse,abhängig von der Form des Rohres und der Art des Systems,gemäss Aufstellung in Tabelle
z₁ Exponent für das ganze Rohr,gebildet aus ±1/8 multipliziert mit Null oder ganzer Zahl
z₂ Exponent für den Oktavteil L₂ ,gebildet analog z₁

Tabelle über Systeme und Werte
offene Systeme

zylindrisch:

offen konisch:

gegen-konisch:

hyperbolisch:

zylindrisch:

offen konisch:

gegenkonisch:

hyperbolisch:

Alle z-Werte können um +1/8 und auch um +1/4 abweichen, besonders bei Travers-und Blockflöten sind Abweichungen sehr häufig,wie auch die ganze Blockflötenfamilie kein wirkliches Register bildet.Uird der Wert von z₁ um +1 geändert,so ergibt das die Oktave,was mit + 2·L₁ kompensiert werden könnte.
Alle Rohre sind einheitlich den beschriebenen Beziehungen unterworfen, unabhängig von ihrer Antriebsart(Kernspalt oder Blasloch bei Flöten,Doppelrohrblatt,Kesselmundstück,Anschlagen von Glocken oder die Anregung von Lautsprechern),solange die Antriebskraft genügend gross ist.Die Frequenz des Rohres wird dann nicht erreicht bei zu grossem Aufschnitt von Orgelpfeifen und Kernspaltflöten und/oder durch zu dicke Wände.Beim Überblasen in die höheren Naturtöne steigt dann die Frequenz unproportional an und erreicht auf diese Weise erst die wirkliche Frequenz des Rohres,bestimmte Löcher zeigen den gleichen Effekt.Ein falsches Resultat kommt auch. dann zustande,uenn der aufgesetzte Becher das Rohr beeinflusst.
Abweichungen von der mathematischen Form der Umhüllungskurve,sogar wenn diese nur 1/20 mm betragen,bewirken eine verschlechterte Redundanz der Teiltöne,die Wellenlängen werden dabei verschieden gross und erzeugen unter sich Reibungen und Schwebungen.
Den Punkten L_x mit der Frequenz f_x sind im jeweiligen Rohr Radien zugeordnet,die sich aus der Form und den Raumgrössen und aus der Beteiligung von m,z₁ und z₂ ergeben.Ein Loch,das die Frequenz f_x erzeugen soll,berührt beim Durchstoss durch die innere Oberfläche des Rohres mit seinem, dem Blasende abgewandten Rand die Stelle für f_x ,uenn der Lochdurchmesser gleich dem Rohrradius bei diesem f_x, bzw. L_x ist.Aus dem gleichen Grund ist für den tiefsten Ton einer Querflöte auch ein Loch denkbar,das ein in die innere Oberfläche geklappter Rohrdurchmsser wäre,mit Drehpunkt um das Rohrende.
Weicht der Lochdurchmesser d₁ von dem Rohrradius r_x ab, weil ein üblicher Bohrer benutzt wird, verändert sich die Lage des Loches
ab Blasende bis auf den dem Blasende abgewandten Rand des Loches.

r_x Radius des Rohres bei L_x mit der Frequenz f_x
f_x Frequenz bei L_x
d₁ Lochdurchmesser
z₃ Exponent,gebildet aus ±1/16 multipliziert mit Null oder ganzer Zahl

Der Quotient aus r_x/d₁wird im Normalfall möglichst gleichgross wie (2^c)^z3, also (r_x/d₁)/(2^c)^z3 ≅ 1.Je nach dem relativen Lochdurchmesser ergeben sich Klangfarben-und Intensitätsunterschiede des Tones,analog zu den Rohren selbst, wenn Rohre eng oder weit sind,wie es sich aus den Änderungen von z₁ ergeben kann.
Um Gleichmässigkeit des Klanges zu erzielen,sind die Löcher immer im gleichen Verhältnis zum jeweiligen Rohrradius auszuführen,oder bei zylindrischen Instrumenten werden die Löcher immer kleiner,je höher der Ton ist,indem z₃ pro Halbton sich um -1/16 ändert.Bei nebeneinander liegenden Doppellöchern für die tieferen Halbtöne,z.B.bei Blockflöten, ist das zuerst zu öffnende Loch d₁ gemäss der erläuterten Beziehung anzuordnen,aber näher an den Ort des nächsthöheren Halbtones.Dieser höhere Halbton wird dann erzeugt,wenn die Durchmesser der gleichzeitig geöffneten Löcher die Relation d₃ = (d₁ ² + d₂ ²)^0.5 bilden.Bei schräggebohrten Löchern ist d₁ gleich der halben Summe aus dem kleinen und dem grossen Halbmesser der sich bildenden Ellipse. Mit einem Gabelgriff wird der Ton zwischen zwei offenen Löchern erzeugt, (f
f_x3)^0.5= f_x2, unabhängig von der Lage und Grös- se der beteiligten Löcher. Daher liegen auch die Überblaslöcher auf den Stellen bestimmter Halbtöne.Die Löcher müssen nicht in einer Linie angeordnet sein,die Anpassungen an die üblichen Klappensysteme und die Finger des Spielers bleiben unberührt bei Anwendung der Erfindung.
Bei Glocken wird eine Halbtonunterteilung nur in der Reihung von einzelnen Glocken in einem Glockenspiel vorgenommen.Der übliche innere Verlauf der sogenannten Glocken-Rippe wird traditionell aus einer Geraden und 1 bis 2 anschliessenden Kreisbogenteilen konstruiert,uas dann zu den bekannten unproportionalen Teiltonfrequenzen führt. Wird diese Art der Rippenform in die nächstliegende Hyperbel umgeformt,so stimmen auch die Teiltöne unter sich.Diese Hyperbel kann beliebig angenommen werden, x₁ jedoch nicht kleiner als 1,analog zu den Hörnern.Die Rahmenbedingungen für die hyperbolischen,europäischen,Glocken sind
Lautsprecher kompensieren die Reduzierung ihrer Länge L_λ = (v/f)·2^{-ganze Zahl}mit einer Vergrösserung von r1 über die Veränderung von z₁ um die entsprechenden Oktaven. Das ist der Grund für die Möglichkeit der Wiedergabe auch tiefer Frequenzen,mit Wellenlängen grösser als 10 m,auf sehr kleinen Lautsprechern.Der Konus des Lautsprechers kann jede mathematische Form f(x) annehmen,um klirrfrei eine Klangwiedergabe zu erzielen,jedoch darf auch hier x₁ nicht kleiner als 1 sein,wenn es sich um eine hyperbolische Form handelt.Die Einspannung des Lautsprecherkonus kann eine geringe Frequenzerhöhung zur Folge haben,die Wandstärke muss völlig gleichmässig sein,um ideal zu wirken und um die Partialtöne möglichst wenig zu dämpfen.Der Einfluss des Klangcharakters des Lautsprechers lässt sich nicht unterdrücken.
Die Erfindung gemäss dem Oberbegriff des Patentanspruches 1 wird zusätzlich näher erläutert an den Beispielen für ein Englischhorn und für eine Trompete.
Das Englischhorn hat eine offen-konische Form,die Stimmung des Rohres sei tiefer angenommen als die Stimmung der Löcher,die aufgesetzte Birne so angelegt,dass sie nicht die Stimmung des Rohres beeinflussen kann.Voraussetzung für das Rohr sind die den Klangcharakter bestimmenden Faktoren,die zu r₁ und r₂ führen,das handelsübliche Doppelrohr- blatt,dessen Länge und grösster Durchmesser gegeben sind und dessen Neigung steiler ist,als es die des Instrumentenrohres ist.Diese Auswirkung auf r₁ und r₂ wird hier aber vernachlässigt,um die Darstellung nicht zu sehr zu komplizieren.Das Rohr einschliesslich Rohrblatt ist L₁ = 85.0 cm, r₁ = 0.56 cm,m = 16,z₁ = 1,z₂ = 2,r₂ angenommen 0.3 cm.

L_λ = L₁ ^a·(r₁·m (2^a)^z1)^(1/a)-1= 85^a(0.56·16·(2^a))^(1/a)-1=
L_λ = 102.50826 cm
L2 = (2(r₂·m·(2^a)^z)^(1/a)-1/L_λ)^-1/a= 2(0.3 16 (2^a2)²)^(1/a)-1/102.50826)^-1/a= 35.375144cm
L_1/L₂ = 2((0.3/0.56)^1/a·2^(2-1+1))^(1/a)-1= 2.4028166 85.0/35.375144 = 2.4028171

Die beiden Oktavverhältnisse sind fast identisch. Die Stimmung des ersten Loches mit f = 247.63 Hz wird gleichgesetzt L_λ = 98.4 cm.Der Punkt L_x für diese Wellenlänge ist

_{L1/Lx = (102}._50826/98.₄₎ln ^{2.402817/ln 2} = 1.053092
L_x = 80.714697 cm

Der Radius des Rohres an dieser Stelle ist,gerechnet aus den Rohrmassen nach der Hesse'schen Normalform für die Gerade,r = 0.9604356 cm.Soll der Lochdurchmesser 1.2 cm sein und der Klammerausdruck sich möglichst dem Wert 1 annähern,so wird

Der dem Blasende abgewandte Rand des Loches liegt also 80.066 cm vom Blasende entfernt,das Loch selber innerhalb dieser Distanz.
Bei Trompeten,Posaunen,Hörnern,Tuben usw. werden die Halbtöne erzeugt,indem von einem höheren Naturton auf dem Grundrohr aus durch eine entsprechende Verlängerung des Rohres die tieferen Halbtöne erreicht werden.Somit bildet das kürzere Rohr,zusammen mit dem Auszug,bzw.den Schleifen, ein zweites Instrument,das mit ersteren in analoger Beziehung steht wie ein Rohr mit seiner Oktave,nur ist das Ver- hältnis umgekehrt in seinen Längen und reicht normalerweise nur bis zum tieferen Tritonus.Die Schwierigkeit liegt bei den hyperbolisch geformten Körpern in der Verrechnung der Integrale mit L₁. r₁.Die Umhüllungskurven y = x^P·F,mit einem x₁ nicht kleiner als 1,haben bei heutigen Konzertinstrumenten die angenäherten Werte

p = -(L_λ·1050^-1 + 0.41) F = 1.0059^Lλ·2.5
R = 1.0043^Lλ·2.8 ,da R,der grösste Trichterradius, kleiner wird bei grösseren L_λ .Nach diesen Angaben ist für das Beispiel einer möglichen Hoch-F-Trompete mit L_λ = 98.44 cm.die Kurvenfunktion y = x^-4.5·4.5.Wird L₁= 90.0 cm _ang_enommen,_{haben r1} aus dem Integral und r₁ aus der akustischen Beziehung ein anderes Ergebnis,m = 8,z₁ = 1.5,
r₁(integ)= ((91^0.5- 1)/0.5)/90 = 0.8539392
_{r1 =} (_L /(m(2^a)^z)^(1/a)-1)L₁ ^a)^1/(1/a)-1 = ₀._8613266 4.5(0.8613266/0.8539392) =4.5389294 = F korrigiert

Die Kurvenfunktion muss also leicht geändert werden. Der kleinste Radius r des Rohres ist mit 0.4758 cm für ein handelsübliches Mundstück zu gross,deshalb verengen sich in der Praxis die letzten Viertel der Rohrlänge,es müssen deshalb die dadurch verlorengehenden Flächen an anderer Stelle kompensiert werden. Zu beachten ist,dass bei bestimmter Kurvenfunktion f(x) der Trichterradius R den Punkt x₁ ausweist.
Die Schleifen für das Spielen von Halbtönen setzen erst gegen Ende des Rohres an,im Beispiel wird der zusätzliche Zylinder für die Schleifen mit r = 0.525 cm festgelegt, entsprechend 74.746 cm Länge ab Trichterrand.Uird für das um den Tritonus verlängerte Instrument eine Länge,einschliesslich des Zylinders,von L₁= 141.0 cm genommen, davon 51.0 cm für den Zylinder,sind im Vergleich

Integral =((91^0.5-1)/0.5)4.5389294) + (0.525 51) = = 104.29439 cm²
L₁·(L_λ·2^0.5/(m(2 a)^2.25)^(1/a)-1)·L₁ ^a)^1/(1/a)-1= L₁·r₁= 104.28293 cm²

Von den hohlen Körpern, wie sie bis hierher beschrieben wurden, unterscheiden sich Zungen,Stäbe(Platten) und Saiten dadurch,dass sie volle Körper sind,deren Gewicht,und bei Saiten zusätzlich die Zugkraft,die Beziehungen zwischen der Frequenz,bzw.der Wellenlänge,und den Grössen der Körper spezifisch beeinflussen.Die Bestimmung der Grössen wird dafür einfacher darstellbar,die Notwendigkeit einer Einteilung innerhalb der Körper in Oktaven und Halbtöne entfällt.Das Gleiche gilt auch von den abhängigen Bedingungen bei Wandstärken und Windmengen von Orgelpfeifen.Halbton- folgen entstehen in der Zusammenstellung zu Registern.Die Bestimmung der Grössen ist jeweils direkt auf die Art des Körpers oder der den Orgelpfeifen zugehörenden Wandstärken und Windmengen hin formuliert.Die Verbindung mit der Beschreibung für die hohlen Körper besteht in den immer wieder auftretenden Werten (2^c)^z und den Exponenten a und b, die die analogen Effekte bedingen.
Bei Zungen und Stäben(Platten) ist die zusätzliche relevante Grösse somit das Gewicht,und daher ist die genaue Feststellung der Dichte,des spezifischen Gewichtes in g/cm³,von entscheidender Bedeutung.Das Elastizitätsmodul E betrifft nur die Rückstellkraft und damit die Art der Dämpfung der Schwingung.
Die Länge L₁ eines Stabes oder einer Zunge mit gleichmässigem Querschnittist, wenn Querschnitt x Dichte einen Wert von (2^a)^zqerreicht, L₁= (L_λ·(2^a)^zc)ⁿ. Ist der wirkliche Massenquerschnitt Q·D von (2^a)^zq abweichend, und diese Abweichung (2^a)^zq/Q·D muss kleiner als (2^a)±^1/8 sein,verändert sich L₁ in der Weise

L_λ Wellenlänge
L₁ Länge des Stabes,Länge der Zunge ab Einspannungspunkt
Q Querschnittsfläche
D Dichte des Materials in g/cm³
n Exponent,gebildet aus 0.25 mulipliziert mit 1,2,3 oder 4
z₁ Exponent für den Längenfaktor,gebildet aus ±0.25 multipliziert mit Null oder ganzer Zahl
z_q Exponent für den Faktor,der die Norm-Querschnittsfläche darstellt,gebildet aus ±0.25 multipliziert mit Null oder ganzer Zahl
a Exponent,a = ln(ln 2)^-1/ln 2
x Grösse im exp,die sich aus der Verrechnung der Abweichung des Massenquerschnittes von einer Normgrösse ergibt

Die Grösse von x wird in einem ersten Durchgang erreicht, wenn in die Gleichung für exp das x gleich 0 gesetzt wird, (exp - n) = x.Bei besonders grosser Abweichung zwischen Massenquerschnitt und Normgrösse ist deshalb der Durchgang zu wiederholen,um x besser anzunähern.
Werden Register aus Zungen oder Stäben mit gleichem Querschnitt aufgestellt,so unterscheiden sich die Längen L₁ mit jedem Halbton um 2^±exp/12. Unregelmässige Körper,wozu auch Platten mit Löchern zählen,ueil dadurch die Dichte des gesamten Körpers verändert wird,unterliegen gleichfalls der beschriebenen Regel,bei ihnen sind D = Gewicht/Volumen, Q = Volumen/L₁
Eine Platte c"' hat L_λ= 65.7 cm,m = 0.5, z_ℓ = +3 ,zq= +3. Platten sind aufgelagert im Abstand L₁·0.5(2^a)^0.25. Die Verdoppelung von zq hat die tiefere Oktave zur Folge.
Die Erfindung gemäss dem Oberbegriff des Patentanspruches 2 wird zusätzlich erläutert am Beispiel einer Zunge für ein Orgelregister.
Orgelzungen haben als z_ℓ= -8 ,mit Abweichungen von ±0.25, die Querschnitte werden in den höheren Oktaven immer kleiner mit den möglichen Veränderungen ±0.25 für zq.
Die Ausgangsdaten einer aufschlagenden Orgelzunge(die nicht verändert ist gegenüber einer durchschlagenden)aus Messing:

D = 8.6 g/cm³,Zungenbreite 1.3 cm,Zungendicke 7.5/100 cm, L_A für c 8' = 262.8 cm, z_ℓ= -7.75, n = 0.75, x im ersten Durchgang (ln((2^a)^-0.5/0.8385)/(ln 2))·2.625^-1= -0.0039108.

Dieser Wert in die vollständige Formel eingesetzt,verändert den Exponenten exp zu -0.0039196 + 0.75 = 0.7460804. Auf die Zungenlänge angewandt wird
Saiten sind beidseitig eingespannte Körper,die damit als zusätzliche Veränderung gegen die vorher beschriebenen noch die Zugkraft in kg aufueisen.Die Beziehung der Grössen vereinfacht sich zu dem Ausdruck

L_λ Wellenlänge
L₁ Saitenlänge (Mensur) zwischen den Einspannungspunkten
r₁ halber Saitendurchmesser, bei umsponnenen Saiten das äussere Mass der Umspinnung
D Dichte,muss bei umsponnenen Saiten einzeln bestimmt werden
kg Zugkraft in kg,daher 1000 in der Gleichung alle Masse in cm

Die Klammer ist ein konstanter Wert, wenn z.B.bei Klavieren usw.in den Bereichen für 1,2 bzw.3 Saiten pro Ton,die Zugkraft einheitlich bleibt,obwohl sich in der Praxis die Werte von Halbton zu Halbton hin-und her schwanken.
Da sich die Saitenlängen von Klavieren und anderen Tasteninstrumenten in 2,teilweise in 3,Teilbereichen völlig einheitlich als Funktionen f(x) darstellen lassen,ebenso die abhängigen Werte für die Anschlagslänge,Saitengewicht, Saitendurchmesser,Kerndrahtdurchmesser der umsponnenen Saiten und der Durchmesser der Umspinnungsdrähte,ergibt sich so vereinfachtere und ausgeglichenere Bestimmung der Besai- tung.Die Zugkräfte für die Bereiche mit 1,2 oder 3 Saiten pro Ton bei Klavieren sind innerhalb der Rahmenbedingungen
Die Erfindung gemäss dem Oberbegriff des Patentanspruches 3 wird zusätzlich erläutert am Beispiel einer umsponnenen Klaviersaite.
L_{x =} 393.7 (F),L_{1 =} 120.0 cm,Zugkraft 95 kg,Dichte über den äusseren Umfang gemessen = 7.25 g/cm³
Den Kerndrahtradius 0.12/2 cm abgezogen,verbleibt für den Durchmesser des Umspinnungsdrahtes 0.133334 cm und liegt damit zwischen den handelsüblichen Durchmessern von 0.135 und 0.1325 cm.Berücksichtigt werden müssen die von der Umspinnung freien Enden der Saite,und es muss überprüft werden,ob die Dichte mit der Annahme übereinstimmt.
Wandstärken von Orgelpfeifen sind bezogen sowohl auf die Plattenbreite,die die Rohrwandung ergibt,und von r₁ der Pfeife abhängt,wie auch auf die Länge L₁ des Rohres,alles ausgedrückt in cm
Ist L₁ kleiner als L_λ,so kann die errechnete Dicke um (L_λ/L₁)^ab verringert werden.

L_λ Wellenlänge des Rohres
L₁ Rohrlänge

r₁ Radius des Rohres
k₁ Grösse,auf die Plattenbreite bezogen
k₂ Grösse,auf die Rohrlänge bezogen

Die üblichen Werte von k₁ und k₂ sind ungefähr im Bereich
Windmengen für den Antrieb von Orgelpfeifen sind abhängig von der Grösse der Kernspaltfläche in cm² und dem im Windladen herrschenden Luftdruck in mmWS.Dieser Druck,jeueils innerhalb eines Registers von konstanter Grösse,ergibt umgeformt einen Faktor,der in die Beziehung der Kernspaltfläche zu der Ausflussmenge Liter/sec steht.Die Kernspaltfläche wieder ist in Abhängigkeit von r₁.

mmWS Luftdruck im Windladen in mmWS
cm² _Kernspaltfläche in cm²
a Exponent,a = ln(ln 2)^-1/ln 2
b Exponent,b = 1 - (a/2)
1/s Liter/Sekunde, Mass für die nötige Ausflussmenge

Claims

1. (Anwendung eines) Verfahren(s) zur Bestimmung der genauen Grössen von Klangkörpern(Musikinstrumente u.ä.),ausgehend von deren Frequenz und Klangfarbe,einschliesslich der Unterteilungen für Tonfolgen(Löcher und Verlängerungen),bestehend aus verbundenen Regeln,die die Oktave einbeziehen,und auf alle Hohlkörper zutreffen,deren Innenraum,nach Festlegung von L₁ und r_l,durch eine Umhüllungskurve aus Funktionen f(x),oder davon leicht abweichend,für die Erzielung bester Klangeigenschaften gebildet werden,dadurch gekennzeichnet,dass die Bestimmung der Tonunterteilungen über die Grössen der Körper erfolgen müssen.Uon der Bedingung bei gleichmässiger Umhüllungskurve

,beziehungsweise bei leicht abweichender Form

über die Oktavbeziehung im Rohr

folgt für alle konischen und hyperbolischen Körper die oben erforderliche Bedinouno für den Exoonenten

für zylindrische Körper jedoch vereinfacht,weil r₂/r₁ = 0 ist,

Die aus den spezifischen Grössen des Rohres abgeleiteten Lochpositionen und Lochgrössen sind wieder in Abhängigkeit zu den Exponenten der ersten Bedinqunq

ab Anblasende bis auf den dem Anblasende abgewandten Rand des Loches.Bei nebeneinander liegenden Doppellöchern ist das zuerst geöffnete Loch d₁,mit dem zweiten Loch zusammen ergibt sich die Wirkung

d3 = (d₁ ^{2 +} d₂ ²)^0.5

Alle einzusetzenden Masse in cm.

Es bedeuten

f₁ Frequenz des Rohres mit der Länge L₁ entsprechend dem zugehörigen L

f_x Frequenz des Rohres mit der Länge L₁ bei der Länge L_x L_λ Wellenlänge aus (_v/f) 2^±ganze Zahl in _cm

L₁ Länge des Innenraumes des wirksamen Rohres,bei genügender Antriebskraft,mit der Frequenz f₁,axial gemessen einschliesslich der gekrümmten Teile des Rohres.

L₁ wird begrenzt am"unteren Ende" bei einer Geraden als Umhüllungskurve dort, wo diese endet,oder wo sie in den Becher übergeht.Dieser Becher darf im aufgesetzten Zustand die Frequenz des Rohres nicht beeinflussen.Bei hyperbolischen Formen(Hörner)begrenzt der grosse Rand der Trichteröffnung die Länge.Am Blasende (Antriebsseite)ist in die Länge L₁ inbegriffen:bei Kernspaltflöten der Bereich des Kernspaltes,bei Quer-und Traversflöten der Bereich des Stopfens bis Rohrende,bei Oboen,Englischhörnern,Fagotten usw.das gesamte Doppelrohrblatt,bei Klarinetten,Saxophonen u.ä. die Unterseite des Blattes bis zum äussersten Punkt des Rohres,bei Instrumenten mit Kesselmundstücken die Engführung des Mundstückes.

L₁ bei runden Orgelpfeifen und Bechern vom Kernspalt (Pfeifenboden) bis zum Stimmschlitz,bei eckigen Holzpfeifen die gesamte durchgehende Korpuslänge bis zum Stimmschlitz,gedackte Pfeifen bis innerkant Deckel.L₁ bei Glocken von dem Punkt,an dem sich die Gerade von der"Schärfe" her mit der inneren Rippenform trifft,bis zum Übergang in die Platte.

L₂ Länge des Innenraumes des Rohres mit der Frequenz 2·f₁ ,axial gemessen einschliesslich der gekrümmten Teile.Am"unteren Ende" begrenzt durch den Punkt,wo das Rohr die Oktave zum gesamten Rohr bringt,am Blasende wie unter L₁ angegeben.

r₁ Radius des ganzen Rohres mit der Länge L₁ gebildet aus der inneren Längsschnittfläche/2·L₁.Bei Kernspaltflöten,Klarinetten und Saxophonen gilt die vervollständigte Fläche innerhalb der bis an das Anblasende,den Beginn von L₁ ,geführten Umhüllungskurven(Geraden).Bei Doppelrohrblattinstrumenten ist die Flächendifferenz zwischen der inneren Längsschnittfläche der handelsüblichen Doppelrohrblätter und der geradlinigen Fortführung der Umhüllungsgeraden des inneren Rohres in der Flächengrösse zu berücksichtigen.

r₂ Radius des Oktavteiles des Rohres,gebildet aus der inneren Längsschnittfläche im Bereich von L₂ ,geteilt durch 2·L₂ ,sonst analog zu Bemerkungen zu r₁.

r Radius des Rohres an der Stelle der Frequenz f bei L_x

R grösster Radius des Innenraumes des Rohres oder bei Glocken,Lautsprechern und anderen Klangkörpern

r kleinster Radius des Innenraumes des Rohres ist der Querschnitt des Rohres elliptisch oder rechteckig,so gilt das arithmetische Mittel der Querschnittsradien

c Exponent,kann a oder b sein

a Exponent für beidseitig offene Systeme a = ln(ln 2)^-1/ln 2 = 0.5287664

b Exponent für ein-oder beidseitig geschlossene Systeme
b = ln(ln 16)^0.5/ln 2 = ₀.7356168
b = 1 - (a/2) a = 2(1 - b)

beidseitig offene Systeme sind zylindrisch:Flöten mit Kernspalt,Querflöten,Piccolo-

flöten,Röhrchen in Rohrgedackt(Orgel) offen-konisch:historische Oboen,Dulziane,Oboen,

Englischhörner,Fagotte gegen-konisch:alle Blockflöten Traversflöten,Piccolo hyperbolisch:Trompeten,Posaunen,Hörner,Tuben

ein-oder beidseitig geschlossene Systeme sind zylindrisch:Klarinetten,Orgelpfeifen offen-konisch:Saxophone,Orgelpfeifen und Becher, Lautsprecher

gegenkonisch:Orgelpfeifen hyperbolisch:Glocken,Lautsprecher

m Grösse,die die Klangfarbe mitbestimmt bei beidseitig offenen Systemen

bei ein-oder beidseitig geschlossenen Systemen

z₁ Exponent für das ganze Rohr,gebildet aus +1/8 multipliziert mit Null oder ganzer Zahl

z₂ Exponent für den Oktavteil, gebildet analog z₁

z₃ Exponent für die Veränderung bei den Löchern,gebildet aus +1/16 multipliziert mit Null oder ganzer Zahl

alle z-Werte wirken auf die Klangfarbe.Bei Änderung von z₁ um +1 ergibt sich die Oktave,was mit der Längenänderung kompensiert werden kann.

d₁ Lochdurchmesser.

d₃ Kombination aus Doppellöchern nach Definition

Bei hyperbolischen Systemen,bei vereinfachter Anwendung des Patentanspruches,bestehen die Tonunterteilungen zu den tieferen Tönen hin in der Verlängerung des Rohres und bei gleichzeitiger Zunahme von z₁ um +1/8 pro Halbton, die gesamte Verlängerung für mehrere Halbtöne in einem zylindrischen Mittelteil zusammengefasst.

Bei Glocken Lautsprechern,Orgelpfeifen und Bechern muss nur ein Teil des Patentanspruches Anwendung finden.

2. (Anwendung eines)Verfahrens(s) zur Bestimmung der genauen Grössen von Zungen und Stäben(Xylophonplatten),ausgehend von deren Frequenz und Klangfarbe,unter Einbeziehung des Gewichtes,bzw.des spezifischen Gewichtes(Dichte),bestehend aus verbundenen Regeln,gekennzeichnet durch die Beziehungen

es bedeuten alle Masse in cm

L_λ wellenlänge

L₁Länge des Stabes,Länge der Zunge ab Einspannungspunkt

Q Querschnittsfläche = Volumen/L₁

D Dichte des Materials in g/cm³,D = Gewicht/Volumen

n Exponent,gebildet aus 0.25 multipliziert mit 1,2,3 oder 4

a Exponent,a = ln(ln 2)^-1/ln 2

z_e Exponent für den Länqenfaktor,gebildet aus ±0.25 multipliziert mit Null oder ganzer Zahl

z_q Exponent für den Faktor,der die Norm-Querschnittsfläche darstellt,gebildet aus 0.25 multipliziert mit Null oder ganzer Zahl

x Grösse im exp,die sich aus der Verrechnung der Abweichung des Mass enquerschnittes von einer Normgrösse ergibt

Abstand der Auflagerung bei Platten = L₁·0.5(2^a)^1/4 Alle z-Werte wirken auf die Klangfarbe.zq·±1 hat die Oktave zur Folge.

. (Anwendung eines) Verfahren(s) zur Bestimmung der genauen Grössen von Saiten,ausgehend von deren Frequenz und unter Einbeziehung des spezifischen Gewichtes(Dichte), bzw.des Gewichtes,und der Zugkraft(Spannung der Saite), gekennzeichnet durch die Bedingung

alle Mass in cm es bedeuten

L_λ Wellenlänge,hier v/2f

L₁ Saitenlänge(Mensur) zwischen den Einspannungspunkten

r₁ halber Saitendurchmesser,bei umsponnenen Saiten das äussere Mass der Umspinnung

D Dichte des Materials in g/cm³,D = Gewicht/Volumen kg Zugkraft in kg,daher 1000 als Ausgleich (2^a)^0.5=(ln 2)^-0.5

4. (Anwendung eines) Verfahren(s) zur Bestimmung der Wandstärken von Orgelpfeifen in Abhängigkeit zu ihrer Grösse gemäss Patentanspruch 1,sowohl auf die sich ergebende Plattenbreite,wie auch auf die Länge des Rohres bezogen, gekennzeichnet durch die Bedingungen
Dicke = (2·π·r₁)^a·k₁ = L_λ ^ab·k₂
Bei L₁ abweichend von L_λ kann die errechnete Dicke um (L_λ/L₁)^ab verringert werden
alle Masse in cm
es bedeuten

L_λ Wellenlänge

L₁ Rohrlänge

r₁ Radius des Rohres

k₁ Grösse,auf die Plattenbreite bezogen

k₂Grösse, auf die Rohrlänge bezogen

a Exponent,a = ln(ln 2) 1/ln 2

b Exponent,b = 1 - (a/2)

k₁ und k₂ hängen ab vom Winddruck im Windladen und der Dichte des verwendeten Materials.Sie werden für eine Pfeife bestimmt und ihr Wert bleibt dann gleich für die folgenden Pfeifen.

5. (Anwendung eines) Verfahren(s) zur Bestimmung der notwendigen Luftmengen für Orgelpfeifen in Abhängigkeit von Luftdruck im Windladen und der Kernspaltfläche der Pfeife, die wiederum in Abhängigkeit zum Radius gemäss Patentanspruch 1 steht,gekennzeichnet durch die Bedingung
(mmWS)^a·(0.1·8^0.5)^(a+b)·(cm²)^1/(a+b)=l/s
es bedeuten

mmWS Luftdruck im Windladen in mmWassersäule

_cm² _Kernspaltfläche in cm²,in Abhängigkeit von r₁

a Exponent,a = ln(ln 2)^-1/ln 2

b Exponent,b = 1 - (a/2)

1/s Liter/Sekunde, Mass für die Ausflussmenge