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Gerät zur Transformation von Funktionsbildern, insbesondere zum Logarithmieren
und Delogarithmieren von Funktionsbildern Die Logarithmenrechnung gestattet es bekanntlich,
das Produkt oder den Quotienten von algebraischen und/oder trigonometrischen Funktionen-
auf additivem Wege bzw. durch Subtrahieren zu ermitteln, Rechnungsarten, die auch
ohne Schwierigkeiten graphisch durchgeführt werden können. Um sich das Funktionsbild
vorstellen zu ,können, das sich beispielsweise beim Multiplizieren von zwei Funktionen
ergibt, ist es im allgemeinen angebracht, zunächst einmal Kenntnis von dem Bild
zu besitzen, welches die Einzelfunktionen logarithmiert ergeben. Diese lassen sich
ohne Schwierigkeiten in Gedanken additiv überlagern, so daß man eine Vorstellung
von der Funktion erhält, die sich durch das Addieren zweier logarithmischer Funktionen
ergibt. Bei entsprechender Übung kann dann von dieser Funktion her ohne Schwierigkeiten
auf das Funktionsbild geschlossen werden, welches sich beim Delogarithmieren der
Summenfunktion als Produkt der Ausgangsfunktionen ergibt.
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Eine Erleichterung bei der Darstellung von logarithmischen Funktionen
bringt das sogenannte Logarithmenpapier, in das sich eine Funktion direkt eintragen
läßt und ein Bild ergibt, welches der logarithmierten Funktion entspricht. Umgekehrt
läßt sich das Delogarithmieren in Umkehr des Vorganges durchführen. Die Verwendung
von Logarithmenpapier und
von gewöhnlichem Koordinatenpapier, das
zur Darstellung der delogarithmierten Funktion notwendig ist, ist außerordentlich
zeitraubend und umständlich. Vor allem aber sind zu einem Vergleich der logarithmierten
Funktionen und der delogarithmierten Funktionen stets zwei Blätter erforderlich,
die nebeneinander vorliegen und den Übergang von einem Funktionsbild in das andere
nur verhältnismäßig wenig eindrucksvoll wiedergeben.
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Die Erfindung betrifft ein Gerät zur Transformation von Funktionsbildern
durch mechanische Veränderung der Ordinaten, mit dem nach Aufzeichnen eines Funktionsbildes
unmittelbar das Bild der transformierten Funktion zur Darstellung gebracht werden
kann. Die Umkehrung des Vorganges bewirkt die inverse Transformation. Insbesondere
ist nach der Erfindung eine derartige Veränderung der Ordinaten vorgesehen, daß
nach Aufzeichnen des Funktionsbildes mit numerisch aufgetragenen Funktionswerten
unmittelbar das Bild der logarithmischen Funktion dargestellt werden kann, und umgekehrt.
Es handelt sich dabei um ein Gerät, das insbesondere in Schulen, Fachschulen, Konstruktionsbüros
od. dgl. zur Anwendung kommen kann, in denen Wert darauf gelegt wird, sich schnell
einen Überblick darüber zu verschaffen, wie das Produkt oder der Quotient einer
oder mehrerer Funktionen schaubildlich zur Darstellung kommt. Vielfach genügt es
ja schon, überschlägig das Funktionsbild zu erhalten, um die gewünschten Rückschlüsse
auf das Ergebnis einer genauen Rechnung ziehen zu können. Das Gerät nach der Erfindung
kann aber nicht allein zur Veranschaulichung von Funktionsbildern dienen, sondern
es lassen sich damit auch unmittelbar graphische Berechnungen mit verhältnismäßig
großer Genauigkeit durchführen, wobei das mühsame- Umzeichnen von Funktionen von
dem normalen gewöhnlichen Koordinatenpapier auf Logarithmenpapier und umgekehrt
in Fortfall kommen kann. .
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Erfindungsgemäß ist vorgesehen, daß eine innerhalb eines Rahmens angeordnete
Zeichenfläche zum Auftragen von Funktionsbildern durch Stäbe gebildet ist, die quer
zu ihrer Längsrichtung im Rahmen verschiebbar sind und deren Breite derart bemessen
und/oder deren jeweiliger Verschiebungsweg in der einen oder anderen Richtung durch
Anschläge od. dgl. derart begrenzt ist, daß auf der Zeichenfläche der Stäbe bei
deren Lage in bestimmter Stellung jeweilig punktförmig aufgetragene Funktionswerte
bei einer Verschiebung der Stäbe in eine bestimmte andere Stellung das Bild der
transformierten Funktion bzw. bei Umkehr des Vorganges die inverse Transformation
ergeben. Gemäß weiterer Erfindung kann der durch Anschläge od. dgl. begrenzte Verschiebungsweg
derart bemessen sein, daß die in einer Endstellung der Stäbe auf diese numerisch
aufgetragenen Funktionswerte in der anderen Endstellung der Stäbe das Bild der entsprechenden
logarithmischen Funktion ergeben, oder umgekehrt. Das Gerät nach der Erfindung stellt
demnach eine mechanische Überlagerung einer mit einem normalen Koordinatensystem
überdeckten Zeichenfläche mit einer Zeichenfläche dar, die eine dem Logarithmenpapier
entsprechende Aufteilung aufweist, wobei die Beweglichkeit der Stäbe und die Begrenzung
des Verschiebungsweges eine logarithmische oder delogarithmische Verschiebung von
aufgetragenen Funktionspunkten ermöglicht.
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Um den Verschiebungsweg der einzelnen Stäbe in der einen oder anderen
Richtung zu begrenzen, kann erfindungsgemäß vorgesehen sein, daß stirnseitig der
Stäbe beiderseits im Rahmen zueinander symmetrische, stufenförmig abgesetzte Kulissen
angeordnet sind, deren Stufen jeweils den Verschiebungsweg eines zugeordneten Stabes
in einer Richtung begrenzen. Bei der Anordnung derartiger Kulissen kann erfindungsgemäß
vorgesehen sein, daß die Länge der Stäbe jeweils dem Abstand der sich gegenüberliegenden
zugeordneten Stufen der Kulissen entspricht, so daß sie jeweils in der Endlage eindeutig
festgelegt sind.
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Die logarithmische Verschiebung der Funktionspunkte auf, den Einzelstäben
durch Stabverschiebung kann erfindungsgemäß auf zweierlei Art ermöglicht sein. '
z. Es kann die Höhe der Stufen der Kulissen untereinander gleich sein, während die
Breite der Stäbe von Stufe zu Stufe logarithmisch zu- bzw. abnimmt.
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2. Es kann die Höhe der aufeinanderfolgenden Stufen der Kulissen logarithmisch
zu- bzw. abnehmen, während die Breite der Stäbe untereinander gleich ist.
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Die beiden Ausführungsformen bringen es mit sich, daß durch auf der
Zeichenfläche der Stäbe bei deren Lage in der einen Endstellung jeweils punktförmig
numerisch aufgetragene Funktionen bei einer Verschiebung der Stäbe in die andere
Endstellung das Bild der entsprechenden logarithmischen Funktion entsteht bzw. sich
bei der Auftragung einer logarithmischen Funktion auf den Stäben in der letztgenannten
Endstellung bei deren Verschiebung das Bild der entsprechenden delogarithmischen
Funktion einstellt.
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Zur Erleichterung des Auftragens von Funktionen kann erfindungsgemäß
weiter vorgesehen sein, daß auf dem Rahmen des Gerätes eine numerisch und/oder eine
logarithmische Koordinatenteilung aufgetragen ist. Handelt es sich um ein Funktionsbild,
bei dem die Stäbe auseinandergeschoben sind und voneinander Zwischenräume aufweisen,
sieht die Erfindung zum Festlegen derselben Gittertafeln vor, deren Gitterstäbe
zwischen den Stäben zu liegen kommen und die Stäbe des Gerätes zu einer geschlossenen
Zeichenfläche ergänzen. Statt einer derartigen Gittertafel kann auch ein Kamm zum
Festlegen der Stäbe dienen, dessen Zähne zwischen die Stäbe ragen. Ein Kamm ist
insbesondere in dem Bereich des Gerätes von Vorteil, in dem der Abstand der auseinandergeschobenen
Stäbe nur sehr gering ist, so daß gegebenenfalls die Anordnung von Gitterstäben
einer Gittertafel mit Schwierigkeiten verbunden ist.
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Gemäß weiterer Erfindung kann vorgesehen sein, daß die sich aus verschiebbaren
Stäben zusammensetzende Zeichenfläche durch einen starr mit def Rahmen verbundenen
Stab unterteilt ist, der sich in der Höhe des Ordinatenwertes z der sich in Verschiebungsrichtung
erstreckenden numerisch und/oder logarithmischen Teilung auf dem Rahmen befindet.
Die Anordnung eines derartigen Stabes an dieser Stelle
trägt erfindungsgemäß
dem Umstand Rechnung, daß beim Auftragen eines Funktionsbildes zwischen o und i
eine Vielzahl von Werten festgehalten werden muß, d. h., es müssen eine Vielzahl
von verschiebbaren Stäben vorhanden sein.
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Gemäß weiterer Erfindung können die Stäbe durch Führungsstangen od.
dgl. im Rahmen gehalten und parallel zueinander geführt sein. Besonders vorteilhaft
ist es nach der Erfindung, zwei Führungsstangen vorzusehen, die sich in der Stabverschiebungsrichtung
erstrecken und die Stäbe durchdringen. Hierdurch ist gewährleistet, daß die Stäbe
leicht verschoben werden können und in jeder Lage in ein und derselben Ebene liegen,
so daß eine geschlossene Zeichenebene gebildet werden kann, wenn die Stäbe zusammengeschoben
sind, oder daß eine geschlossene Zeichenfläche vorliegt, wenn die Zwischenräume
der Stäbe durch eine Gittertafel nach der Erfindung ausgefüllt sind.
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Zur Veranschaulichung des Gegenstandes der Erfindung und zur Erläuterung
seiner Handhabung ist in den Figuren ein Ausführungsbeispiel dargestellt. Es zeigt
Fig. i eine Draufsicht auf ein Gerät nach der Erfindung, dessen Stäbe sich in der
einen Endstellung befinden, Fig. z einen Schnitt nach der Linie II-II der Fig. i,
Fig. 3 eine Draufsicht auf das Gerät nach Fig. i mit den Stäben in der anderen Endstellung,
Fi&. q. eine Draufsicht auf das Gerät entsprechend Fig. i mit aufgesetzter Gittertafel,
Fig. 5 einen Schnitt nach der Linie V-V der Fig. q., Fig. 6 eine Draufsicht auf
ein Gerät entsprechend Fig. 3 mit einer aufgesetzten Gittertafel anderer Ausbildung
und Fig. 7 einen Schnitt nach der Linie VII-VII der Fig. 6.
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Wie die Figuren zeigen, liegt zwischen den rechteckigen Rahmenteilen
i und 2 die einen kulissenförmigen Ausschnitt aufweisende Platte 3. Zwischen den
sich gegenüberliegenden Rahmenseiten q. sind die Rundstangen 5 angeordnet. Diese
durchdringen die Stäbe 6, 7 und 8, von denen die Stäbe 6 und 8 auf den Rundstangen
5 parallel zueinander verschiebbar gelagert sind. Der Verschiebungsweg der Stäbe
6 und 8 ist jeweils durch die Höhe der Stufen 9 der Kulissenplatte 3 festgelegt,
und zwar in Richtung auf den fest angeordneten Stab 7 zu durch den Stab 7 bzw. die
jeweils zwischen dem Stab 7 und den jeweils gerade zu verschiebenden Stab liegenden
weiteren Stäben. In der entgegengesetzten Richtung erfolgt die Begrenzung des Verschiebungsweges
durch, die zugeordneten Stufen 9 der Kulissenplatte 3. In dem Ausführungsbeispiel
ist die Höhe der Stufen 9 oberhalb des Stabes 7 jeweils gleich der numerischen cm-Teilung
auf dem linken Randteil des Rahmens. Die Breite der Stäbe 8 ist jeweils derart gewählt,
daß sich zum oberen Randteil q. hin der nächstfolgende gegenüber dem vorherigen
Stab in seiner Breite logarithmisch verjüngt.
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Unterhalb des Stabes 7 ist jeweils für die Stäbe 6 die gleiche Breite
gewählt, während die Höhe der Stufen sich zu den negativen Ordinatenwerten hin logarithmisch
vergrößert. Auf dem unteren Rahmenteil q. des Rahmens ist eine numerische Koordinateneinteilung
aufgebracht. Wird nun auf die Stäbe 8 im auseinandergezogenen Zustand und auf die
Stäbe 6 im zusammengeschobenen Zustand, wie es in der Fig. i dargestellt ist, eine
algebraische oder trigonometrische Funktion punktweise auf die Stäbe aufgetragen,
so ergibt sich das gewünschte numerische Funktionsbild.
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Zum Festlegen der Stäbe 6 und 8 kann die insgesamt mit io bezeichnete
Gitterplatte nach den Fig. q. und 5 dienen. Diese setzt sich aus einer Reihe von
Gitterstäben ii zusammen, die miteinander durch die quer zu den Gitterstäben ii
liegenden Verbindungsleisten 12 verbunden sind. Die Gitterstäbe ix der Gitterplatte
io greifen bei einem Einsetzen der Gitterplatte in den Rahmen bei einer Stellung
der Stäbe 8, wie sie in der Fig, i dargestellt ist, zwischen die Stäbe 8 und legen
diese unverrückbar fest. Gleichzeitig füllen die Stäbe ii auch die zwischen den
Stäben 8 vorhandenen Zwischenräume, so daß eine geschlossene Zeichenfläche entsprechend
Fig. q. entstanden ist, aui der durch Verbinden der einzelnen Funktionspunkte auf
den Stäben 8 eine geschlossene Kurve aufgetragen werden kann.
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Das Festlegen der Stäbe 6, die sich in zusammengeschobenem Zustand
befinden, erfolgt mittels des plattenförmigen Gitterteils i3, das den Raum zwischen
den Stäben 6 und dem unteren Rahmenteil q. ebenfalls als Zeichenfläche ausfüllt.
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Soll nun das Bild der Funktion ermittelt werden, die sich durch Logarithmieren
der aufgezeichneten Funktion ergibt, so sind lediglich die Gitterplatte io aus dem
Rahmen zu entnehmen. und die Stäbe 8 in Richtung auf den Stab 7 zu zusammenzuschieben
und die Stäbe 6 in entgegengesetzter Richtung auseinanderzuschieben, bis sie an
den Stufen 9 des unteren Teils der Kulissenplatte 3 anliegen. Damit haben die einzelnen
Funktionspunkte eine Verschiebung erfahren, so daß sie das Bild der logarithmierten
Funktion ergeben. Dieser Vorgang ist im einzelnen aus der Fig. 3 ersichtlich. Zum
Festlegen der Stäbe in der in Fig. 3 gezeigten Lage kann ähnlich, wie es in den
Fig. q. und 5 gezeigt ist, eine weitere Gitterplatte dienen, die mit einzelnen Gitterstäben
16 zwischen die Stäbe 6 greift, während ihre Platte 17 den Raum zwischen dem obersten
Stab der Stäbe und dem oberen Rahmenteil q. ausfüllt. Damit ist wieder der gesamte
Raum innerhalb des Rahmens als geschlossene Zeichenfläche. ausgebildet, auf der
die durch die Funktionspunkte auf den Stäben 6 und 8 gebildeten Kurven im Bereich
der Platte 17 zur Vervollständigung verlängert werden können.
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Die Gitterplatte 15 nach den Fig. 6 und 7 setzt sich ähnlich wie die
Gitterplatte io aus den Gitterstäben 16 und der Platte 17 zusammen, welche durch
die Querleisten 18 gehalten sind. Zur Erläuterung der Handhabung des Gerätes sind
die einzelnen Kurven, die insbesondere mit dem Gerät unter Verwendung der Gitterplatten
nach den Fig. q. und 6 zur Darstellung gebracht sind; näher gekennzeichnet. Die
Fig. q. zeigt die Funktionsbilder y = x, y = x/2, y = ex und y = 2/x. Durch
Zusammenschieben der Stäbe 8 bzw. Auseinanderschieben der Stäbe 6 ergeben sich die
Kurvenbilder der entsprechenden logarithmischen Funktionen, nämlich y=lnx,y=lnx/2,y=lnex=xundy=ln2/x.
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Als weiteres Beispiel sei die folgende Funktion aufgeführt:
y = 4 e-z'2 - cos 7c/2 - x. Zunächst werden die
beiden
Funktionen y = 4 - e-x/2 und y = cos z/2 - x
auf die durch die Stäbe 6, 7
und 8 gebildete Zeichenfläche aufgetragen, wobei sich die Stäbe in der in der Fig.
i gezeigten Stellung befinden. Durch Verschiebung der Stäbe entsprechend der Fig.
3 ergeben die zuvor aufgetragenen Kurvenpunkte die Funktionsbilder der beiden vorgenannten
Funktionen logarithmiert. Nunmehr können ohne weiteres die Ordinatenwerte der einzelnen
übereinanderliegenden Punkte addiert werden, so daß sich ein neues logarithmisches
Kurvenbild ergibt. Werden nun die Stäbe wieder in die Lage zurückverschoben, die
in der Fig. i gezeigt ist, dann wird das letztgenannte Funktionsbild umgewandelt
in das delogarithmierte Funktionsbild, so daß nunmehr das gesuchte Produkt der beiden
Ausgangsfunktionen vorliegt.
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Entsprechend erfolgt die Feststellung des Kurvenbildes von Quotienten
aus zwei oder auch mehreren Einzelfunktionen. Durch die Verwendung der Gitterplatten
ist es möglich, -die einzelnen auf den Stäben befindlichen Kurvenpunkte zu einem
geschlossenen Kurvenzug zu ergänzen, sei es, daß sich die Stäbe in der Lage nach
der Fig. i bzw. 4 oder auch in der Lage nach der Fig. 3 bzw. 6 befinden.
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Eine andere Transformation von Funktionsbildern läßt sich durch eine
entsprechende Anpassung der Breite der Stäbe 6 und 8 und/oder deren Verschiebungswege
an eine andere Transformationsformal erzielen. Werden die Verschiebungswege beispielsweise
ähnlich der in den Figuren dargestellten Weise durch Kulissen 9 begrenzt, Ydann
ergibt sich zum Beispiel eine affine Transformation, wenn sowohl die Stabbreiten
als auch die Kulissenhöhen untereinander gleich bzw. die Stabbreiten den zugehörigen
Stufen proportional gewählt werden.
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Um dies zu ermöglichen, kann das Gerät mit verschiedenen Stabserien
ausgestattet sein, die gegeneinander auswechselbar sind. Darüber hinaus können mehrere
entsprechende Gittertafeln 13 zum Festlegen der Stäbe vorgesehen sein. Für ein Auswechseln
der Stäbe ist es angebracht, die Rundstangen 5 lösbar im Rahmen 4 zu befestigen
oder den ganzen Rahmen 4 auseinandernehmbar'durch Verzapfen oder Verschrauben der
Einzelteile zu gestalten. Es genügt auch beispielsweise, wenn die Rundstangen 5
aus dem Rahmen herausschwenkbar sind. Hierzu kann. zum Beispiel das obere Ende mit
einem Gelenk versehen sein, während das untere Ende in einer Aussparung ruht und
in dieser durch eine Feder od.. dgl. gehalten wird.