-
Integrieranlage zum Lösen von Differentialgleichungen
Die Erfindung
betrifft eine kleine Integrieranlage zum Lösen gewöhnlicher Differentialgleichungen,
die auf dem Prinzip des Differential Analysers von V. Bush (vgl. V. Bush: »The differential
Analysers. A new machine for solving differential equationsve, J. Frankl.
-
Inst. Vol. 2I2 [I93I], 5. 447 und 448) beruht. Bekanntlich besteht
die Bush-Maschine im wesentlichen aus Rechenelementen der folgenden Typen: I. Integraltriebe
(Integratoren), 2. Funktionstriebe, 3. Summentriebe; dazu kommen 4. Drehmomentquellen,
um Schaltungen aus den genannten Rechenelementen antreiben, und 5. Resultattriebe
und Zählwerke, um das Verhalten solcher Schaltungen registrieren zu können.
-
Die Bush-Maschine ist aber nicht vollständig, wenn nicht noch ein
großer Satz von Zahnradgetrieben zur Einstellung von konstanten Übersetzungen vorgesehen
ist. Die ersten Bush-Maschinen weisen eine rein mechanische Bauart auf. Sie haben
den großen Nachteil, daß man eine verhältnismäßig lange Zeit braucht, um Rechenschaltungen
herzustellen und zu überprüfen.
-
Die modernen Bush-Maschinen sind überaus flexibel.
-
Sie ermöglichen eine rasche Herstellung von Rechenschaltungen auf
Grund der in ihnen vorgesehenen elektrischen Fernübertragungen. Diese modernen Maschinen
sind jedoch sehr kostspielig. Die Rechenfehler einer solchen Anlage liegen im allgemeinen
zwischen I °/oo und o,I 0!ovo In vielen Fällen ist die angegebene Genauigkeit nicht
erforderlich, sondern Fehler bis zu 101o sind durchaus zulässig. Ein weniger kostspieliges
Gerät als eine bis ins letzte modernisierteBush-Maschine würde daher schon wertvolle
Dienste leisten.
-
Die Erfindung füllt die aufgezeigte Lücke mit einer neuartigen Integrieranlage
aus. Sie ist billig, einfach in der Bedienung und ermöglicht eine außerordentlich
rasche Herstellung von Rechenschaltungen. Ihre Rechenfehler liegen in der Größenordnung
von I In/,.
-
Während bei der normalen Bush-Maschine die Integratoren zumeist als
Reibradintegratoren ausgebildet
sind und die Funktionstriebe auf
dem Prinzip der Abtastung gezeichneter Funktionskurven mit Hilfe einer Photozelle
und eines von ihr gesteuerten Servomechanismus beruhen, ist die Anlage gemäß der
Erfindung dadurch gekennzeichnet, daß Integratoren und Funktionstriebe durch ein
universelles Stufengetriebe dargestellt werden. Nach einem weiteren Erfindungsgedanken
ist das Stufengetriebe so ausgebildet, daß esdie laufende Addition zweier Größen
ermöglicht, und noch andere Erfindungsgedanken betreffen eine fernelektrische Einstellung
der Übersetzungsstufen mit Hilfe von Lochstreifen.
-
Wie bereits gesagt, benutzt die Integrieranlage gemäß der Erfindung
keinerlei Funktionstriebe, die auf dem Prinzip der Abtastung gezeichneter Funktionskurven
beruhen. Gleichwohl handelt es sich bei dem Erfindungsgegenstand um eine Anlage
nach dem Bush-Prinzip; denn kennzeichnend für Bush-Integrieranlagen ist nicht die
Abtastung gezeichneter Funktionskurven, sondern die Möglichkeit der flexiblen topologischen
Verknüpfung ihrer Elemente zu Rechenschaltungen. Der Vorteil des Erfindungsgegenstandes
liegt gerade in der Vermeidung abzutastender Funktionskurven durch die Verwendung
von Integratoren, deren Integrand stufenweise springen muß. Dadurch wird es möglich,
den Ausgang eines Rechenelementes mit dem Eingang für den Integranden eines Integrators
zu verbinden und durch eine Lochstreifensteuerung der Integratorstufen dafür zu
sorgen, daß nicht nur eine dem zugeschalteten Ausgang proportionale Stufe eingeschaltet
wird, sondern sogar eine Stufe hergestellt wird, die eine gegebene Funktion des
zugeschalteten Ausganges darstellt.
-
Bei der Realisierung dieses Prinzips kommt es auf die besondere Art
der Stufengetriebe nicht an. Die Differentialgetriebe können beispielsweise als
Kegelraddifferentialgetriebe ausgebildet sein.
-
Im folgenden sei die Erfindung an Hand der Abbildungen näher erläutert.
-
Das universelle Stufengetriebe. sei zunächst an Hand der schematischen
Skizze nach Abb. 1 erläutert.
-
Dieses Getriebe ist aus normierten Teilgetrieben D, U, B und S zusammengesetzt,
deren Wirkungsweise aus Abb. 2 bis 5 hervorgeht.
-
Danach erzeugt U aus einer Eingangsbewegung x entweder x oder - x.
B läßt den Eingang x entweder hindurch, oder es sperrt ihn. S läßt x entweder hindurch,
oder es erzeugt 0,I x, also den zehnten Teil der Eingangsbewegung. Die Entscheidung
darüber, was U, B, S tun, wird mathematisch getroffen und im Wege einer fernelektrischen
Einstellung von U, B und S vollzogen. Das Element D bezeichnet ein Differentialgetriebe
zum Addieren zweier Bewegungen x und y.
-
Das Universalgetriebe nach Abb. 1 besteht im wesentlichen aus zwei
Getriebestängen für zwei unabhängige Eingangsgrößen x, und x2. Beide Größen treten
in ein Vorgelege V ein, von dem aus sie dreifach verzweigt werden, wobei der eine
Zweig 0,I X, der zweite 0,3 x und der letzte o,g x überträgt. Alles weitere ist
aus Fig. I ersichtlich.
-
Nachdem die drei Zweige über Getriebe U und B gegangen sind, werden
sie durch die Differentialgetriebe D zu zwei Größen z, und z2 zusammengefaßt; bei
konstanter Einstellung der Getriebe B und U gelten Gesetze von der Form Z1=2x,,
Z2 = M x2 wobei die Faktoren 2 und u die Werte der Folge 0, 0,I; 02 . . 1,2, I,3
(A) und die entsprechenden negativen Werte je nach der Einstellung der Getriebe
U und B annehmen können.
-
Ändern sich jedoch 2 und ,u, so hat man Zl =S2 dx1, z2 =9dx2 zu setzen.
Die Größe z2 kann für sich dem Getriebe über G2 entnommen werden. Mit Hilfe des
Elements S und der ihm benachbarten Elemente B und D können z, und Z2 zu z = z,
+ cz2 zusammengefaßt werden, wobei c wahlweise auf die Werte I und 0,I eingestellt
werden kann. Im Falle 0 = 0,I kann man, wenn x, = x2 ist, den Faktor (2 Q C ) zum
im Differentialgesetz dz = (2 + M C) dx, auf alle Zahlen der Folge 0, 0,01, 0,02.
. . I,43 (B) und die entsprechenden negativen Werte einstellen.
-
Wie oben erwähnt, werden die Faktoren 2 und , durch fernelektrische
Einstellung der Elemente U und B erzeugt. Dies ist in Abb. 6 veranschaulicht.
-
Zum Einstellen von 2 und µ dienen zwei Lochstreifen F, und F2; jeder
Streifen hat die Breite eines normalen Filmbandes. Jede Lochkombination bedeutet
einen Übersetzungsfaktor aus der obigen Folge (A). Der eine Lochstreifen, F,, steuert
den Faktor 2, der andere, F2, den Faktor . Der Streifentransport erfolgt mittels
zweier Trommeln T, und T2, deren Bewegung durch zwei mechanische Eingänge y, und
Y2 veranlaßt wird. Beide Eingänge können Drehbewegungen aufnehmen. Eine Umdrehung
am Eingang y2 hat die Bewegung von um eine Lochzeile zur Folge. Eine Umdrehung am
Eingang y, bewirkt eine Bewegung von F, um einen gewissen Schaltschritt. Die Schrittweite
hängt aber noch von der Einstellung eines zweistufigen Getriebes S,, ab, dessen
beide Übersetzungsstufen sich um den Faktor 10 unterscheiden.- In der ersten Stufe
ergibt eine Umdrehung y, einen Filmtransport um eine Lochzeile, in der zweiten Stufe
ergeben erst zehn Umdrehungen an Y1 genau eine Zeilenverschiebung.
-
Obwohl das universelle Stufengetriebe, welches zugleich zum Integrieren
und zum Bilden einer Funktion von einer Veränderlichen benutzt werden kann, auch
eine Linearkombination der beiden Eingänge x, und x2 mit konstanten Koeffizienten
ermöglicht, ist es zweckmäßig, besondere sogenannte Summentriebketten vorzusehen,
um Linearkombinationen von mehr als zwei Größen herstellen zu können. Nach einem
besonderen - Erfindungsgedanken sind diese Summentriebketten mit den gleichen Elementen
U, B und S sowie mit Differentialgetrieben D versehen, wie sie im universellen Stufengetriebe
vorkommen. Dadurch
wird die Anlage als Ganzes auf spezielle einfache
Getriebetypen zurückgeführt, womit zugleich eine wesentliche Verbilligung gegenüber
der Verwendung von immer neuen Spezialgetrieben erreicht wird.
-
Der Aufbau einer Summentriebkette ist aus Abb. 7 ersichtlich. Mit
ihrer Hilfe können vier Eingangsgrößen xl, X2, x3 und x, linear kombiniert werden,
so daß zwischen ihnen und vier Ausgangsgrößen z1, zl, z3, z4 die zyklischen Relationen
z1 = α1x1 + ß1z4, z2 = α2x2 + ß2z1, z3 = α3x3 + ß3z2, Z4 = a4x,
+ ß4z3 bestehen, wobei die Faktoren und Pi die Werte Pi = o; 1 10, = I; 0,I annehmen
können. Eine Lochstreifensteuerung dieser Faktoren kann vorgesehen werden; sie können
aber auch vor Beginn einer Rechnung mit Hilfe von Schaltern fest eingestellt werden.
Setzt man in den obigen Gleichungen beispielsweise α1 = 1, ß1 = 1, α4
= 1, ß4 = 1, α3 = 1, ß3 = 1, α2 = 1, ß2 = 0, so erhält man die Summe
z1 = x, + x2 + x, + x, am Ausgang z1.
-
Um Resultate, die in einer Rechenschaltung der Integrieranlage gemäß
der Erfindung entstehen, registrieren zu können, kann die Anlage in an sich bekannter
Weise mit Zählwerken oder mit sogenannten Resultattrieben ausgerüstet werden. Es
ist zweckmäßig, für die erfindungsgemäße Anlage vierstellige Zählwerke zu benutzen.
Der Vollständigkeit halber sei noch der an sich im Prinzip bekannte Resultattrieb
im folgenden erläutert.
-
Das Prinzip des Resultattisches ist aus Abb. 8 ersichtlich. Sollen
zwei Vorgänge x und y in Abhängigkeit voneinander registriert werden, so wird y
einer mit einer Zeichenvorrichtung versehenen Mutter 1 als Verschiebung mitgeteilt.
Eine senkrecht zur Verschiebungsrichtung angeordnete Spindel 2 nimmt eine zu x proportionale
Bewegung auf, so daß eine von ihr geführte Mutter 3 den Weg x zurücklegt. Alsdann
liefert die von der Schreibvorrichtung auf der Schreibfläche des Tisches gezeichnete
Spur die Funktionskurve y = y (x).
-
Es ist zweckmäßig, Rechenschaltungen aus den einzelnen Elementen
der Integrieranlage mit Hilfe fernelektrischer Bewegungsübertragungen von Element
zu Element vorzusehen; besonders vorteilhaft und dem Charakter der Erfindung angepaßt
sind elektrische Schrittschaltwerke. Zu einem Schrittschaltwerk gehörten zwei Elemente,
die als Geber und Empfänger bezeichnet werden. Wird der Geber gedreht, so folgt
der elektrisch mit ihm verbundene Empfänger nahezu synchron. Symbole für Geber und
Empfänger sind in den Abb. g und 10 dargestellt.
-
Wie aus Abb. 5 und 7 ersichtlich, befinden sich Empfänger an allen
mechanischen Eingängen und Geber an den mechanischen Ausgängen der Universalstufengetriebe
und Summentriebketten.
-
Die elektrische Verbindung der Elemente untereinander hat den großen
Vorteil, daß Schaltungen schnell hergestellt werden können. Mit jedem Geber können
mehrere Empfänger verbunden und so die Bewegung des Gebers verzweigt werden. Beispielsweise
können die Eingänge x, und x, des Stufengetriebes nach Abb. 5 mit einem Geber verbunden
werden, wodurch zugleich xi x2 gesetzt wird.
-
Eingänge, die auf diese Weise miteinander identifiziert werden, sollen
im folgenden auch abhängige Eingänge, im anderen Falle unabhängige Eingänge heißen.
Durch einfaches Umschalten von Leitungen kann man die Drehrichtung des Empfängers
umkehren und so eine gegebene Bewegung x auch in der Form übertragen.
-
Im folgenden sei die Wirkungsweise der Integrieranlage gemäß der
Erfindung vom mathematischen Standpunkt aus beschrieben. Dabei sind zweckmäßig die
folgenden speziellen Fälle zu unterscheiden.
-
Die Verwendung des Universalstufengetriebes im einzelnen: a) Mit
vier unabhängigen Eingängen Es sollen die vier Eingänge xl, xl y1, y2 unabhängig
voneinander sein.
-
Der Übersetzungsfaktor 2 hängt von y, und vom Lochstreifen F1 ab.
Er stellt eine Funktion (Y1) dar.
-
Entsprechend kann man eine Funktion g (Y2) als Übersetzungsfaktor
ansetzen. Hieraus folgt das Gesetz Z .ff (Yi) dx1 + c#g (Y2) dx2, (I) wobei c wahlweise
auf die Werte o, 0,I und r eingestellt werden kann. Aus der Beziehung (I) geht hervor,
daß ein einziges Stufengetriebe zusammen mit seinem lochstreifengesteuerten Kontaktwerk
das gleiche leistet wie eine geeignete Schaltung zweier Integral-, zweier Funktionstriebe
und eines Summentriebes der normalen Bush-Maschine. Dafür lassen sich jedoch die
beiden Funktionen f(y,) und g (Y2) nur in beschränktem Umfang den mathematischen
Bedürfnissen anpassen. f(yl) und g(y2) sind nämlich auf die Werte (A) beschränkt.
Es handelt sich also um stückweise konstante Funktionen. Für viele Zwecke dürfte
indes der-Wertvorrat (A) ausreichen.
-
Abb. II zeigt ein Beispiel für eine Funktion f(y,), die für je zehn
Umdrehungen für y, um den Wert 0,1 springt und näherungsweise die lineare Funktion
f(y1) = ### darstellt. b) Als feinstufiger Integrator Das Getriebe S wird auf den
Faktor c = 0,I eingestellt. Ferner wird x1 = x2, y1 = y2 (2) gesetzt, und aus (I)
wird jetzt z = #(f(y1) + 0,1g(y1)) - dx1. (3)
Als Integrand tritt
jetzt nur eine einzige Funktion von y,, nämlich die Funktion h (y1) = f(y1) + 0,1
# g(y1) (4) auf. Wegen des Faktors O,I in der vorstehenden Linearkombination ist
es möglich, die Funktion h (Y1) feinstufiger zu machen, als es bei f und g möglich
ist. Als Wertevorrat für h(yl) stehen insbesondere die Zahlen (B) zur Verfügung.
Natürlich ist auch h (y,) eine stückweise konstante Funktion, die sich im allgemeinen
nach jeder vollen Umdrehung von y1 um ein ganzzahliges Vielfaches von 0,01 ändert.
Insgesamt stehen für lt (y,) 287 positive und negative äquidistante Stufen zur Verfügung.
-
Der feinstufige Integrator leistet mit der Berechnung von (3) das,
was bei der normalen Bush-Maschine erst eine Rechenschaltung, bestehend aus einem
Integrator und einem Funktionstriebe, ermöglicht.
-
In vielen Fällen wird es erwünscht sein, den Integranden der linearen
Funktion f(y1) = I00 anzupassen. Das geschieht mit Hilfe spezieller Lochstreifen,
welche die Funktion h (y) = k/100 für k - ½ # y < k ½ (5) erzeugen, wobei k alle
natürlichen Zahlen -143#k#143 durchlaufen kann. Es handelt sich um eine Treppenfunktion,
ähnlich der in Abb. II dargestellten, nur mit feineren Stufen. Da lt (y) nur innerhalb
des Bereiches -143,5#y#143,5 realisierbar ist, empfiehlt es sich, die Lochstreifen
mit Signalen zu versehen, welche nicht nur den Integrator, sondern eine ganze ihn
enthaltende Rechenschaltung anhalten, sobald das vorstehende Definitionsintervall
überschritten wird. c) Als Getriebe zur Erzeugung eines konstanten Maßstabfaktors
Man benutzt hierzu den feinstufigen Integrator mit Lochstreifen für die in (5) beschriebene
Funktion h (y). Der Faktor h (y) wird von Hand am Eingang y, ein für allemal eingestellt.
In Verbindung mit den Summentriebketten lassen sich mit geringem Aufwand dreistellige
Faktoren erzeugen. d) Als zweifacher Funktionstrieb, insbesondere Summentrieb und
Multiplikator Hierzu stehen zwei Möglichkeiten zur Verfügung.
-
I. Man identifiziert die Eingänge xl und y,, x, und Y2 miteinander.
-
Es ist also x1#y1, x2#y2.
-
Aus I. folgt dann z = #f(x1) dx1 + c##g(x2) dx2. (6) Indem f (xl)
dx1 = F(z,), fg(x,) dx2 = G(x,) gesetzt wird, kann auch z = F (x1) + c#G (x2) (7)
geschrieben werden. Damit stellt z die Summe zweier Funktionen dar, die von verschiedenen
Variablen x1 und x, abhängen. Die Funktionen F (xl) und G (x,) sind in jedem Falle
stetig und im allgemeinen stückweise linear. Es handelt sich um sogenannte Polygonfunktionen,
deren graphisches Bild einen Streckenzug darstellt. In Abb. II ist mit f(y,) zugleich
eine zugehörige Polygonfunktion F (y,) gezeigt. Man erkennt, daß F (Y1) mit guter,
für viele Zwecke völlig ausreichender Annäherung eine quadratische Funktion wiedergibt.
-
Zu einem Spezialfall von (7) gelangen wir, indem wir f(y1) = a =
konst. g(y2) = P = konst. setzen. Es ist dann bis auf eine additive Konstante z
= a xl + c P x2 (7) Damit haben wir den Spezialfall eines gewöhnlichen Summentriebes
der Bush-Maschine. Die Konstanten und c lassen sich auf die Werte der Folge (A)
einstellen, außerdem kann man c die mit 0,I multiplizierten Werte dieser Folge erteilen.
-
2. Man setzt x1#y2, x2#y1 Jetzt folgt aus (I) z = #f(x2) dx1 + c##g
(x1) dx2.
-
Ferner setzen wir f(x2) = x2/100, cg (x1) = x1/100. (8) Daraus ergibt
sich x1 # x2 z = (8') 10 000 Das Stufengetriebe wirkt wie ein Multiplikator. Nur
läßt sich (8') nicht exakt, sondern nur annäherungsweise mit Hilfe der speziellen
Funktionen (5) reali@ sieren, so daß der Multiplikator einen grundsätzlichen Fehler
aufweist. Für viele Aufgaben wird man jedoch diesen Fehler in Kauf nehmen können.
e) Als einfacher Funktionstrieb Jetzt setzen wir x1#x2#y1#y2.
-
Alsdann ist z = F (x1) + c#G (x1) (9) eine Folge von (7). Wir können,
indem c = 0,I gesetzt wird, Polygonfunktionen z darstellen, für deren Steigungen
der Wertevorrat (B) zur Verfügung steht. Auf diese Weise lassen sich praktisch alle
vorkommenden Funktionen einer Variablen erzeugen.
-
Um die Verwendung der Anlage zu erläutern, seien drei Schaltungen
beschrieben, die sich auf Differentialgleichungen zweiter Ordnung beziehen. Diese
sind in den Abb. 15 bis I7 unter Benutzung der in den Abb. 12 bis I4 erklärten Symbole
dargestellt, die in dieser Reihenfolge das universelle Stufengetriebe, eine Summentriebkette
und einen Resultattrieb kennzeichnen. Abb. 15 zeigt eine Schaltung für die Differentialgleichung
z" + z = o der harmonischen Schwingung. Die Schaltung besteht aus nur einem Stufenintegrator,
der zwei Integrationen z = #y1 dx, z2 = - #y2 dx nebeneinander grobstufig ausführt.
Beide Teile des Stufenintegrators werden von einem nicht dargestellten Motor entsprechend
der unabhängigen Variablen x angetrieben. Der Ausgang z bestimmt den Übersetzungsfaktor
in dem einem, der Ausgang z2 den Übersetzungsfaktor in dem anderen Strang des Stufengetriebes.
Vor Beginn der Rechnung sind die Lochstreifen für die Einstellung der Übersetzungsfaktoren
auf die vorgegebenen Anfangswerte des Differentialgleichungsproblems einzustellen.
Bei passender Einstellung kann man z und z2 in der Form z = sin x, z2 = cos z darstellen.
Ein Resultattisch R dient zur graphischen Darstellung von z über Z2 . Sie muß einen
Kreis ergeben.
-
Man benutzt die Schaltung nach Abb. I5 zur Erprobung von Integrieranlagen
oder nur zur hilfsweisen Darstellung der Sinus- und Cosinusfunktion als Koeffizienten
anderer Differentialgleichungen.
-
Abb. I6 bezieht sich auf das gleiche Problem, nur daß hier zwei Integratoren
verwendet werden, deren jeder eine Integration feinstufig ausführt.
-
Abb. I7 stellt eine Schaltung für die allgemeinste lineare Differentialgleichung
zweiter Ordnung mit nur drei Stufenintegratoren dar. Die Differentialgleichung lautet
im einzelnen y" +a,(x)y' +a0(x)y= f(x).
-
Der erste Integrator dient zur feinstufigen Integration von y' nach
X, um y zu erzeugen. Die Größe y' wird andererseits aus der Relation y' = - #fdx
- #a1dy - fa0(x) ydx aus a0, a, und y berechnet. Der zweite Integrator erzeugt in
zwei Grobstufen die beiden Integrale -ffdz, -fa1dy und die Summe # = - #fdx - #a1dy,
der dritte in zwei Grobstufen die Integrale v = - #a0(x) dx, u = #ydv.
-
Zur Addition von (p und zt werden noch zwei Differentialgetriebe
einer Kette K benötigt. Es bezeichnet R einen Resultattisch, um y über x darzustellen.
-
Die Herstellung topologischer Schaltungen erfolgt auf einer Hauptschalttafel,
die Steckdosen und Stecker enthält. Die Stecker befinden sich auf einer horizontalen,
die Steckdosen auf einer vertikalen Wand.