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Elektrisches Gerät zur selbsttätigen Auflösung- von Gleichungen ersten
und höheren Grades Die Lösung, von Gleichungen mit mehreren Unbekannten erster und
höherer Potenz ist eine Aufgabe, die auf den verschiedensten Gebieten der Physik
und der Technik vorliegt, z: B. bei statischen Berechnungen, bei der Bestimmung
von Kapazitätskoeffizienten an elektrischen Leitungen- usf. Die rein rechnerische
Lösung ist schon beim Auftreten von linearen Gleichungen mit vier Unbekannten sehr
umständlich und nimmt im allgemeinen auch bei geschulten Kräften mehrere Stunden
in - Anspruch. Diese Schwierigkeiten wachsen mit der Zahl der Unbekannten bzw: der
Gleichungen - unverhältnismäßig rasch, besonders wenn die Gleichungen höheren Grades
sind.
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Um dem Menschen solche zeitraubende, wenig anregende Arbeit abzunehmen,
sind im Laufe der letzten Jahrzehnte eine Anzahl von Vorschlägen gemacht worden,
wie man mit mechanischen Einrichtungen derartige Gleichungssysteme lösen kann. Auch
elektrische Geräte sind, wenigstens für lineare Gleichungen, schon vorgeschlagen
worden. Doch erfordern sie eine komplizierte Schaltanordnung, ferner dauernde Beaufsichtigung
und Bedienung, meist auch die Zuhilfenahme von Rechenmaschinen; sie benötigen daher
bei der praktischen Ausführung viel Raum und Kosten und erreichen ihren wichtigsten
Zweck, menschliche Arbeitskraft zu ersetzen, nur unvollkommen.
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Zweck der vorliegenden Erfindung-ist, ein elektrisches Gerät zu schaffen,
bei dem- -ledig= lich die ersten Einstellungen von Spannungs-und Stromwerten entsprechend
den gegebenen Größen der Gleichungen vorgenommen werden müssen, worauf der Auflösungsvorgang
vollkommen selbsttätig und ohne Beaufsichtigung abrollt, um schließlich seine Beendigung
durch ein' Licht- öder Hupensignal anzuzeigen: Das Gerät ermöglicht die Lösung von
Gleichungen ersten und höheren Grades mit praktisch beliebig vielen Unbekannten.
Es ist einfach im Aufbau und in der Wirkungsweise und daher verhältnismäßig billig
und anspruchslos im Raumbedarf.
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Zum Teil sind schon die beim Gegenstande der vorliegenden Erfindung
benutzten Aufbauelemente bekannt, z. B. in der Nachrichtentechnik vor allein für
Fernsteuerzwecke oder auch bei Sondergeräten (Zieleinrichtungen für Geschütze gegen
bewegliche Ziele) zur Herbeiführüng einer Abgleichung von elektrischen Widerstandssystemen.
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Der Gegenstand der Erfindung ist in den Patentansprüchen gekennzeichnet.
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Gerät zur Lösung linearer Gleichungen mit mehreren Unbekannten In
Abb. i ist-die grundsätzliche Schaltung des Gerätes wiedergegeben; dabei ist aus
Gründen der Übersichtlichkeit angenörnmen, daß ein System von nur drei Gleichungen
mit drei Unbekannten gelöst werden soll. Am Prinzip ändert sich auch bei einer größeren
Zahl von Unbekannten nichts. Gemäß Abbildung sind drei Widerstandsgruppen von je
drei
Regelwiderständen vorhanden; jede dieser waagerecht gezeichneten Gruppen wird über
einen Spannungsteiler aus einer gemeinsamen Gleichstromquelle gespeist. Die Rückleitung
der drei parallelen Stromzweige ist gemeinsam für jede Gruppe und führt bei der
Schaltung nach Abb. i über einen Strommesser zu dem negativen Pol des Spannungsteilers
zurück. Für die Speisung kann, falls ein Gleichstromnetz nicht zur Verfügung steht,
entweder eine eigene Sammlerbatterie oder Wechselspannung mit Gleichrichter benutzt
werden. Gleichstrom ist lediglich wegen der bekannten höheren Genauigkeit der Meß-bzw.
Relaiseinrichtungen gewählt. Für die drei Schaltgruppen gilt mit den Bezeichnungen
der Abb. i Jl+J2+Js=J; Ji +J2 ;-J ä =J'@ J1" + J2" + J3
, = J".
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Ersetzt man die Teilströme auf der linken Seite der drei Gleichungen
jeweils durch das Produkt aus zugehöriger Spannung und Leitwert der eingeschalteten
Widerstandsstufen, so gilt gemäß Abb. i U1 'G+U2 'G2+Us 'Gs=J, U1' .Gl+U2' .G2+UJ
.Gs=J' und Ui"'Gl+U2"'G2+U.ä'#Gs=J". Die im Schaltbild jeweils untereinanderliegenden
Regelwiderstände stimmen in ihren Leitwerten überein, da ihre beweglichen Kontakte
durch die Verbindungsschiene starr gekuppelt sind. jeder zusammengehörige, in der
Abbildung senkrecht angeordnete Widerstandssatz kann somit nur gemeinsam und nur
in gleichem Maße durch seine Verbindungsschiene verstellt werden. Wenn man die Teilspannungen
Ul, U2, Us, U,' ... und die Gesamtströme J, J' und J" als gegeben, die Leitwerte
Gl, G2, Gs als die Unbekannten annimmt, so stellt die Gesamtschaltung der Abb. i
das ins Elektrische übertragene Abbild eines Gleichungssy stemes mit drei Unbekannten
dar.
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Es ist allgemein bekannt, daß man zu jedem System linearer elektrischer
Stromkreise ein widerstandsreziprokes System der gleichen Form finden kann. In diesem
Falle würden dann die Widerstandswerte an Stelle der Leitwerte treten. Die Ermittlung
der gesuchten Leitwerte geht im Prinzip folgendermaßen vor sich: Zuerst werden mit
Hilfe der Spannungsteiler die gegebenen Teilspannungen U1, U2, U3, UI', U2 ... eingestellt.
Dann werden die drei Widerstandssätze mit den Verbindungsschienen so lange . verstellt,
bis die drei Strommesser die gegebenen Werte J, J' und J" anzeigen. Die in diesem
Zeitpunkt eingestellten Leitwerte G1, G2 und G, sind die gesuchten Unbekannten.
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Um sicher zum Ziele zu kommen, muß die Verstellung der Regelwiderstände
ganz systematisch erfolgen, ohne daß bis zur gesuchten richtigen Abgleichung zuviel
Zeit aufgewandt werden darf. Die Verstellung der Widerstände erfolgt daher selbsttätig
durch eine im folgenden Abschnitt erläuterte Getriebeanordnung, die nach dem bekannten
Prinzip der Zählwerke der Reihe nach sämtliche möglichen Einstellungen der Widerstandssätze
rasch durchführt, bis die richtige Abgleichung erreicht ist. Die dann erreichte
Einstellung der -Regelwiderstände wird durch sofortiges Entkuppeln und Abbremsen
der Antriebsteile mittels Relaisschaltungen festgehalten, gleichzeitig die Signaleinrichtung
betätigt und der Antriebsmotor abgeschaltet.
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Aufbau des Gerätes Der Beschreibung der Einzelteile soll wieder ein
Gleichungssystem mit drei Unbekannten zugrunde liegen. Die Beschreibung erfolgt
an Hand der Abb. a. In ihr sind die Stromkreise der zwei unteren Spannungsteiler
nicht mehr vollständig eingezeichnet, da die Schaltung der schematischen Abb. i
beibehalten wird.
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Die drei Spannungsteiler, von denen nur der oberste dargestellt ist,
müssen in ihrem Leiterquerschnitt so reichlich wie möglich gehalten sein, dämit
die in ihnen fließenden Stromstärken groß gegenüber den nach den einzelnen Regelwiderständen
abgezweigten Teilströmen während des Abgleichvorganges bleiben; dadurch können die
eingestellten Teilspannungen wenigstens grob auf den vorgeschriebenen Wertere gehalten
werden, auch wenn die Regelwiderstände dauernd verstellt werden. Da bei technischen
Problemen die Größenordnung der Unbekannten wohl immer von vornherein bekannt ist,
kann dieser Umstand schon bei der ersten Einstellung der Teilspannungen an den Spannungsteilern
im übrigen berücksichtigt werden. Falls bei Erreichen des Abgleiches die ursprünglich
richtig eingestellten Spannungswerte nicht mehr genau stimmen, werden sie unter
Beibehalt der erreichten Widerstandseinstellungen auf ihre richtigen gegebenen Werte
nachgeregelt und der Abgleichvorgang nochmals mit dieser neuen Spannungseinstellung
vorgenommen; der hierdurch bedingte Mehraufwand an Zeit wird durch die größere Genauigkeit
des Ergebnisses ausgeglichen. An Stelle der im vorliegenden Fall gemäß Abb. i erforderlichen
neun Spannungsmesser zur Einstellung und Überprüfung der Werte Ui, U2, U3, U1
... können zur Vereinfachung und Verbilligung des Geräts für
jeden
Spannungsteiler nur je ein Spannungsmesser mit Voltmeterumschalter gemäß Abb. 2
vorgesehen werden.
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Die Kontaktarme der als Kurbelwiderstände ausgebildeten Regelsätze
liegen zu je dreien an einer gemeinsamen Verstellwelle. Die drei Verstellwellen
I, -II, - III werden durch das Getriebe Z nach Art der bekannten Zählwerke gedreht,
wie in. Abb. 2 schema-. tisch angedeutet.. Zu Beginn des Abgleichvorganges stehen
alle drei Widerstandssätze mit ihren Kontaktarmen auf der i. Stufe (niedrigster
Leitwert) ; der kleine Antriebsmotor A setzt über die Kupplung-im Schütz S das Getriebe
und damit die Verstellwellen in Bewegung. Zunächst kommt nur die Welle I in Umdrehung;
wenn sie eine volle Drehung ausgeführt hat, d. h. also alle Werte für G1 an den
drei zu ihr gehörenden Stufenwiderständen abgesucht hat, wird durch eine entsprechende
Übersetzung die Welle II und damit ihre drei zugehörigen. I#-,urbelwiderstände mit
dem Leitwert G2 um einen Schritt" auf die 2. Stufe verstellt. Welle I legt wieder
eine volle Umdrehung zurück, worauf Welle II wieder um einen Schritt auf Stufe 3
weiterspringt usf. Wenn die Welle II in dieser Weise ihrerseits eine ganze Umdrehung
hinter sich hat, springt die Welle III um einen Schritt weiter, und in dieser Weise
setzt sich der Vorgang in der Art, wie man sie beispielsweise an Kilometerzählern
von Kraftfahrzeugen kennt, fort. Wenn j eder Regelwiderstand aus 5o Einzelstufen
besteht, muß demgemäß die Drehzahl n1 der Welle I 50mal so groß wie die der Welle
II, .die Drehzahl der Welle II ihrerseits wieder 50mal so groß wie die der Welle@III
(%) sein. Auf diese Weise werden systematisch sämtliche möglichen Kombinationen
der Leitwerte G1, G2 -und Gg abgesucht. Früher oder später wird dabei auch die gesuchte
Einstellung, die die drei Gleichungen befriedigt, also der Abgleich, erreicht. In
diesem Augenblick muß sich ein Hilfsstromkreis schließen, der das Zählwerk Z entkuppelt
und in der erreichten Stellung festhält.
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Für die Schließung des Hilfsstromkreises wäre die Anwendung von Kontaktstrommessern
in der Rückleitung der Gesamtströme J, J' und J" (s. Abb. i) naheliegend. Die Kontaktxneßgeräte
würden dann vor Beginn des Abgleichvorganges auf die gegebenen Sollwerte dieser
drei Ströme eingestellt. Bei Erreichen der Abgleichstellung würden die drei Strommesser
gleichzeitig Kontakt geben und damit den Hilfsstromkreis. schließen. In Rücksicht
auf die bekannte Unzuverlässigkeit der Kontaktmeßgeräte ist gemäß Abb. 2 bei der
hier beschriebenen Anordnung eine andere Einrichtung vorgesehen. An Stelle der Strommesser
der schematischen Abb. i sind hier Differentialrelais, wie sie in der Telegraphentechnik
gebräuchlich sind, samt Hilfsstromkreis, bestehend aus Hilfsstromquelle, Regelwiderstand
und einfachem Strommesser, vorgesehen. Statt einer eigenen Hilfsstromquelle kann
auch-die allgemeine Stromquelle des Gerätes herangezogen werden, was wohl billiger
ist, aber im Schaltbild der Abb.2 wegen der besseren Übersichtlichkeit nicht vorgesehen
ist. Die untere Spule eines jeden dieser drei Differentialrelais D., D', D"
'liegt
jeweils in dem zugehörigen Hilfsstromkreis. Die Stromstärken in den Hilfskreisen
werden vor Beginn auf die gegebenen Sollwerte J5, J,' und J," eingestellt mittels
der Regelwiderstände RS, , RS und R,". Wenn dann im Verlauf der Abgleichung der
Istwert eines der Ströme J, J' und J" seinem Sollwert entspricht, schließt der Hilfskontakt
des betreffenden Differentialrelais. Bei Erreichung der richtigen Abgleichung schließen
somit gleichzeitig alle drei Hilfskontakte, die gemäß Abb. 2 in Reihe liegen, und
bringen den Hilfsstrom Jh zum Fließen.
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Dieser Hilfsstrom Jh betätigt die Auslösespule im Schütz-S, wodurch
die Antriebswelle von .dem Getriebe entkuppelt und dieses stillgesetzt wird, ferner
der Antriebsmotor A abgeschaltet wird. Gleichzeitig betätigt der Hilfsstrom Jh gemäß
Schaltbild die Hupe H
zum Zeichen, daß der Abgleich erreicht ist. Die erreichte
Einstellung der drei gesuchten Leitwerte G1, G2 und G3 kann aus einer Ablesevorrichtung
(nicht gezeichnet) am Zählwerk unmittelbar entnommen werden.
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Ausdrücklich sei hier nochmals hervorgehoben, daß die beschriebene
Anordnung sinngemäß für Gleichungssysteme mit einer beliebig hohen Zahl von Unbekannten
ausgebildet werden kann. Hierfür erhöht sich nur die Zahl der Spannungsteiler, Spannungsmesser,
Regelsätze und Differentialrelais mit ihren Hilfskreisen entsprechend. Anwendung
des Gerätes für besondere Fälle Im -allgemeinen werden bei Verwendung des Gerätes
für technische oder physikalische Zwecke die einzelnen Glieder der Gleichungen und
damit auch die Unbekannten positives Vorzeichen haben und auch. in der Größenordnung
nicht sehr weit auseinander liegen. Dann kann das Gerät so, wie vorstehend beschrieben,
verwendet werden.
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Die.Anwendung ist aber auch für den allgemeineren, wenn auch praktisch
selteneren Fall, daß einzelne Glieder negativ sind oder zu Null werden, *ebensogut
möglich. Wenn . der Wert auf der rechten Seite einer Gleichung, d. h. also der betreffende
Gesamtstrom
J oder J' oder J" der Schaltordnung, den Wert Null
hat, so muß der betreffende Sollstrom J, oder J,' oder J." zu Null gemacht
werden; der betreffende Hilfsstromkreis zur Speisung der unteren Spule des zugehörigen
Differentialrelais bleibt geöffnet. Wenn einer dieser Stromwerte negativ ist, wird
- der betreffende Hilfsstromkreis des Differentialrelais umgepolt, d. h. der Sollstrom
in seiner Richtung umgekehrt. Wenn eines der linken Gleichungsglieder fehlt, wird
der diesem Gliede entsprechende Stromzweig offen gelassen; wenn ein Glied links
negatives Vorzeichen hat, wird der entsprechende Stromzweig mit einer negativen
Teilspannung gespeist; in- solchen Fällen müssen die Spannungsteiler auch für Abgabe
negativer Teilspannungen eingerichtet sein. Wenn bei einer Unbekannten das negative
Vorzeichen von vornherein bekannt ist, wird es vor das betreffende Glied genommen,
also beispielsweise das Produkt U1 # (- GJ durch den Ausdruck -(U, # G1) ersetzt
und wie vor verfahren. Nur für den praktisch kaum vorkommenden Fall, daß negative
Unbekannte auftreten können und man nicht weiß, welche es sind, muß eine grobe Näherungsrechnung
der Inbetriebnahme des Gerätes vorhergehen, um die Vorzeichen, nicht die Größe der
Unbekannten vorher festzustellen.
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Die Genauigkeit des Verfahrens kann bis zu einem für die Praxis weit
ausreichenden Maße getrieben werden. Wenn beispielsweise an dem von -Welle I gemäß
Abb. z angetriebenen Widerstandssatz der Unbekannten G1, der einen Gesamtbereich
von zoo Siemens haben und in je 5o Teilstufen von je 2 Siemens unterteilt sein soll,
der Abgleich bei Erreichen des Leitwertes G1 = 42 erfolgt, so muß der gesuchte Leitwert
zwischen 40 und 42 liegen. Dann werden für den zweiten Abgleichvorgang an der Welle
I Regelwiderstände im Gesamtbereich von etwa 2 oder 5 Siemens, -wieder in je 5o
Teilstufen unterteilt, eingesetzt und zu jedem dieser Stufenwiderstände ein fester
Widerstand mit dem Leitwert 40 Siemens parallel geschaltet, so daß beim zweiten
Abgleichvorgang nur der Bereich von 40 bis 42 bzw. 45 Siemens abgesucht zu werden
- braucht. Als feste Widerstände zum Parallelschalten können in einem solchen Falle
gleich die bei der ersten Abgleichung verwendeten Widerstandssätze (hier im Bereich
von i bis ioo Siemens) benutzt werden. Wenn hohe Meßgenauigkeit verlangt wird, müß
der Abgleich zwei- oder auch dreimal nacheinander demgemäß erfolgen. Dann tritt
zwar ein größerer Zeitbedarf, besonders bei der Lösung von Gleichungen mit einer
größeren Zahl von Unbekannten auf; das wird man jedoch deswegen leicht in Kauf nehmen
können, weil das Gerät, wie eingangs betont, vollkommen allein jeden Abgleich durchführt
und keinerlei Überwachung erfordert. Der Vollständigkeit halber sei an dieser Stelle
noch erwähnt, daß man ohne weiteres eine Sicherheitsvorrichtung anbringen kann,
die das Gerät mit allen Stromkreisen selbsttätig abschaltet, falls alle Stufen der
einzelnen Regelsätze durchlaufen sind, ohne da,ß der Abgleich erzielt werden konnte.
Ein solcher Fall kann eintreten, wenn irgendein Einzelbestandteil versagt. Gerät
zur Lösung von Gleichungen höheren Grades mit mehreren Unbekannten Gleichungen höheren
Grades mit mehreren Unbekannten, .die durch Rechenverfahren nur sehr mühsam gelöst
werden können, lassen sich mit dem hier beschriebenen Gerät nach dem gleichen Verfahren
und mit der gleichen Schaltanordnung wie für lineare Gleichungen behandeln.. Ihre
Auflösung erfordert nicht einmal mehr Zeit, lediglich eine umfangreichere Schalteinrichtung.
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Bei linearen Gleichungssystemen gibt der Schaltaufbau gemäß Abb. i
und z genau das Bild der einzelnen Gleichungen wieder. Jeder Spannungsteiler mit
seinen seitlich angeordneten Stromzweigen entspricht einer Gleichung; jede das Schaltbild
senkrecht durchlaufende Verstellwelle entspricht einer Unbekannten (G1, G2, G3 ...
). Sinngemäß muß bei einer Anordnung für Gleichungen höheren Grades für jede in
höherer Potenz auftretende Unbekannte eine eigene Verstellwelle mit zugehörigem
Widerstandssatz, dessen Leitwertstufen entsprechend auf die Grundstufen "abgestimmt
sein müssen, hinzutreten; dies soll an einer Gleichung zweiten Grades mit zwei Unbekannten
gezeigt und an Hand der Abb. 3 erläutert werden.
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Wenn die erste Gleichung des zu lösenden Gleichungssystems zweiten
Grades die Form hat: a1 ' x2 -I- a2 ' x -i- bi ' y2 -l-' b2 ' .9'
= c, so gilt für die ihr entsprechende Schaltanordnung U1 . G1, ..h. U2 .
G1 -I- U3 . G2 .-I- U4 . G2 = J, wobei der Leitwert G1 zahlenmäßig gleich dem quadratischen
Wert von G1 sein muß. Es müssen also entsprechend den Unbekannten Gi , G1, G2',
G2 vier Verstellwellen mit zugehörigen Regehviderständen vorgesehen werden. Die
Leitwertsstufen der Welle I' haben jeweils den quadratischen Wert der zugeordneten
Stufen der Welle I. Wenn beispielsweise die drei ersten Stufen des 'Widerstandssatzes
der Welle I die Leitwerte
i, 2 und 3 Siemens haben, so müssen die
drei ersten Stufen der von Welle I' betätigten Regelwiderstände die Leitwerte i,
q. und 9 Siemens haben. Die Wellen müssen genau synchron während des Abgleichvorganges
laufen. Alles hier über die Widerstandssätze an Welle I und I' Ausgeführte gilt
sinngemäß auch für die Zusammenarbeit der Systeme an II und IV. Auf diese Weise
wird für jede nur mögliche Einstellung während des Abgleichvorganges stets zahlenmäßig
Gi = G12 und G2 = G22 sein. Das im vorstehenden bezüglich der ersten Gleichung Ausgeführte
gilt sinngemäß für das am zweiten Spannungsteiler liegende Schaltsystem der zweiten
Gleichung. Da beide Schaltanordnungen der Gleichungen vollkommen übereinstimmen,
ist das zweite Schaltsystem und die aus Abschnitt II bekannte übrige Einrichtung
(Getriebe, Schütz, Auslösestromkreis, Antrieb) in der Abb. 3 nicht nochmals eingetragen.
Die Einstellung des Gerätes vor Beginn des Abgleichvorganges und dieser selbst erfolgt
in gleicher Art, wie für lineare Gleichungen beschrieben.
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Die Lösung von Gleichungssystemen höheren Grades mit mehreren Unbekannten
erfordert somit lediglich eine größere Anzahl von Verstellwellen samt Widerstandssätzen
und entsprechend mehr Stromabzweige an den einzelnen Spannungsteilern als für lineare
Systeme. Die Zahl der Spannungsteiler, der Differentialrelais mit ihren Hilfsstromkreisen
zur Einstellung von J, J', J" . . . hingegen bleibt die gleiche wie bei der Anordnung
für lineare Gleichungen; sie ist der Zahl der Gleichungen bzw. Unbekannten proportional.
Auch die Dauer des Abgleichvorganges ist nur von der Zahl der Gleichungen und Unbekannten,
nicht von dem Grade der Gleichungen abhängig, da ja die zusammengehörigen Wellen
für die Unbekannten x, x2, x3 ..., die zusammengehörigen Wellen für die Unbekannten
y, y2, y3. . . usf. sich. je gleichzeitig und synchron drehexr.
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In dieser Weise läßt sich das Gerät für die Lösung von Gleichungssystemen
,eines innerhalb der praktischen Grenzen beliebig hohen Grades einrichten.
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Hinsichtlich der Vorzeichenfrage und der Genauigkeit gilt das -am
Ende des vorigen Abschnittes Ausgeführte sinngemäß.