DE2753004A1 - Beseitigung spektraler kuenstlicher effekte und benutzung spektraler effekte bei der computerisierten tomographie - Google Patents

Description

Kurzfassung:

Für ein Instrument zur Rekonstruktion computerisierter Tomogramme, wobei eine durchdringende Strahlung benutzt wird, typischerweise Röntgen- oder Gammastrahlung, werden eine Vorrichtung und ein Verfahren aufgezeigt, um künstliche spektrale Effekte zu beseitigen, und um spektrale Effekte zu benutzen, um Ausgangsbilder zu erzeugen, welche Bilder für die Verteilung der Moleküle wiedergeben, und zwar entsprechend der Atomordnungszahl und der Elektronendichte innerhalb des abgebildeten Objekts. Kombinationen dieser bildlichen Darstellungen werden ebenfalls erzeugt. Rekonstruktionsfehler, die durch die panchromatische Strahlung der Quelle verursacht werden, werden vermieden. Die Dämpfung innerhalb des Objekts aufgrund der fotoelektrischen Absorption, der Compton-Streuung und Rayleigh-Streuung wird isoliert und separat analysiert. Es werden Verfahren zur Behandlung von Quellstrahlen aufgezeigt, die beliebig dünn sind oder eine endliche Dicke haben. Messungen an zwei Quellenspektren werden entweder durch verschiedene Spitzenenergieeinstellungen der Quelle, die Benutzung eines Quelleneingangsfilters oder die Benutzung von Detektoren mit verschiedenen Wirkungsgraden oder verschiedenen Ansprechbereichen oder durch irgendeine Kombination der angegebenen Maßnahmen ausgeführt. Eine statistische Fehleranalyse des Ausgangsbildes ist als eine Funktion des statistischen Fehlers in jedem der zwei Sätze von Messungen vorgesehen. Eine computerisierte Anpassung, bei der das Verfahren der kleinsten Quadrate benutzt wird, wird ausgeführt, um Parameter aufzustellen, die zu analytischen Ausdrücken für die verschiedenen Dämpfungsquerschnitte führen. Ein Kalibrierungsverfahren wird aufgezeigt, welches empirische Messungen benutzt. Ein Verfahren zur Optimierung des Meßverfahrens wird aufgezeigt. Schließlich ist eine Analyse des Fehlers beim Wassersack-Verfahren vorgesehen.

Diese Erfindung bezieht sich auf eine Vorrichtung und ein Verfahren zur Rekonstruktion zweidimensionaler Bilder von Objektschichten innerhalb eines menschlichen oder anderen Körpers, wobei eine durchdringende Strahlung, typischerweise Röntgen- oder Gammastrahlung, durch die Ebene des Körpers unter einer Vielzahl von Winkeln hindurchgeht. Diese Technik ist gewöhnlich unter computerisierter Tomographie oder transversaler axialer Tomographie bekannt.

Bei heutigen Anwendungen der computerisierten Röntgen-Tomographie sind die Energien, die für eine medizinische Diagnose brauchbar sind, bei den Röntgenstrahlquellen notwendigerweise panchromatisch, d.h. das einfallende Röntgenspektrum ist nicht auf einen Energiewert fokussiert, vielmehr zeigt die Form des Spektrums eine Unzahl verschiedener Energiewerte, Fig. 1. Dies führt unglücklicherweise zu Verzweigungen für die Qualität der Ausgangsbilder, die so erhalten werden, da alle heutigen Rekonstruktionsverfahren, unabhängig von der Quellen-Detektor-Geometrie, unter der Annahme vorgehen, daß der einfallende Röntgenstrahl monoergetisch ist. Deshalb wurde erkannt, daß es wünschenswert wäre, von den Ausgangsanzeigen jene künstlichen Effekte zu entfernen, die durch die panchromatische Natur des einfallenden Strahles verursacht werden. Ein erster Ansatz zur Lösung dieses Problems behandelte die Benutzung eines Wassersackes. Das Problem wird diskutiert in McCullough et al, "An Evaluation of the Quantitative and Radiation Features of a Scanning X-Ray Transverse Axial Tomograph: The EMI Scanner", Radiology 111, Juni (1974), 709-716.

Ein neuerer skizzenhafter Ansatz für dieses Problem kann in einer Druckschrift gefunden werden, die den Titel trägt "Utilization of Simple Energy Spectrum Messurements in X-Ray

Computerized Tomography", verfaßt von Robert E. Alvarez und Albert Macovski; diese Druckschrift erscheint in Technical Digest for the Conference "Image Processing for 2-D and 3-D Reconstruction from Projections: Theory and Practice in Medicine and the Physical Sciences", Aug. 4-7 (1975), Stanford University, Palo Alto, California. Diese Veröffentlichung leidet unter vielen Unsicherheiten. Zuerst ist dort kein Verfahren zur Behandlung der physikalischen Erscheinungen, die als Rayleigh-Streuung bekannt sind, genannt. Zweitens ist dort nicht aufgezeigt, wie Detektoren benutzt werden können, um verschiedene spektrale Informationen zu erhalten. Drittens ist dort keine Analyse der Fehler beschrieben, die durch das Verfahren erzeugt werden. Viertens zeigt die Fig. 1 in der Beschreibung des ausgeführten Testes Ausgangsbilder einer fotoelektrischen Erscheinung und einer Erscheinung der Compton-Streuung, ohne eine Beziehung dieser Zeichnungen zur Atomordnungszahl der Moleküle im Untersuchungsobjekt oder zur Elektronendichte im Untersuchungsobjekt. Fünftens wurde die Kalibrierung und Erzeugung der Ausgangsbilder mit Daten erreicht, die vom Computer simuliert waren, nicht jedoch mit tatsächlich von einem tomographischen Abtaster gemessenen Daten.

Deshalb ist es eine erste Aufgabe der Erfindung, die Bestandteile der fotoelektrischen Absorption, der Compton-Streuung und der Rayleigh-Streuung bei der Dämpfung bei der computerisierten Tomographie zu isolieren, und verallgemeinerte bildliche Darstellungen der Dämpfungen aufgrund dieser Erscheinungen zu erhalten.

Außerdem ist es Aufgabe der vorliegenden Erfindung, künstliche spektrale Effekte bei computerisierten Tomogrammen zu beseitigen.

Außerdem ist es Aufgabe der vorliegenden Erfindung, jeweils für die fotoelektrische Absorption, die Compton-Streuung und Rayleigh-Streuung genaue analytische Ausdrücke für die jeweiligen Strahlungsdämpfungsquerschnitte zu erhalten.

Außerdem ist es Aufgabe der vorliegenden Erfindung, von der gleichen Schicht des Untersuchungsobjekts eine bildliche Darstellung der Atomordnungszahl der Moleküle in der Objektschicht und der Elektronen-Dichteverteilung dieser Moleküle zu erhalten.

Außerdem ist es Aufgabe der vorliegenden Erfindung, bei der Tomographie bildliche Darstellungen von Kombinationen der Atomordnungszahlverteilung und Elektronen-Dichteverteilung innerhalb des Untersuchungsobjekts zu erhalten.

Außerdem ist es Aufgabe der vorliegenden Erfindung, alle die Energieinformationen zu benutzen, die in beliebig dünnen Strahlen oder in endlich dicken Strahlen bei der Röntgen-Tomographie enthalten sind.

Außerdem ist es Aufgabe der vorliegenden Erfindung, zu zeigen, wie man eine spektrale Information bei der computerisierten Tomographie erhalten kann, indem man die Detektoren mit unterschiedlichen Wirkungsgraden oder Ansprechbereichen, Quelleneingangsfilter oder verschiedene Spitzenenergieeinstellungen der Röntgenstrahl- oder Gammastrahlquelle oder irgendeine Kombination der obigen Maßnahmen benutzt.

Auch ist es Aufgabe der vorliegenden Erfindung, zu zeigen, wie die im obigen Absatz genannten Meßverfahren optimiert werden können, um eine maximale Information zu erhalten.

Außerdem ist es Aufgabe der vorliegenden Erfindung, eine statistische Fehleranalyse für den Fehler in irgendeinem der Ausgangsbilder aufzuzeigen, wobei in der vorliegenden Erfindung der Fehler als eine Funktion des statistischen Fehlers in jedem der Meßsätze erhalten wird, die durch die Detektoren aufgenommen werden, die als Mittel für solche Ausgangsbilder dienen.

Eine andere Aufgabe der vorliegenden Erfindung ist es, eine Analyse des Fehlers aufzuzeigen, der beim Wassersack-Verfahren auftritt, wie es gewöhnlich bei computerisierter Tomographie benutzt wird.

Eine andere Aufgabe der vorliegenden Erfindung ist es, ein Kalibrierungssystem für eine Tomographie-Vorrichtung aufzuzeigen, dabei soll dieses System auf tatsächlichen von der Vorrichtung ausgeführten Messungen beruhen.

Eine andere Aufgabe der vorliegenden Erfindung ist es, eine spektrale Information in der Tomographie-Vorrichtung zu isolieren und zu benutzen, und zwar unabhängig vom Rekonstruktionsalgorithmus und von der Quellen-Detektor-Geometrie, wie sie in der Vorrichtung benutzt werden.

Eine andere Aufgabe der vorliegenden Erfindung ist es, ein computerisiertes tomographisches Bild (Faksimile) eines Untersuchungsobjekts anzuzeigen, und zwar in der Weise, daß kompensierende Abnahmen in der Elektronendichte nicht ein Anwachsen in der Atomordnungszahl überdeckt.

Eine andere Aufgabe der vorliegenden Erfindung ist es, künstliche spektrale Effekte von computerisierten Tomogrammen zu beseitigen, wobei das abgebildete Objekt einer wesentlich geringeren Strahlungsdosis ausgesetzt wird als in Systemen, bei denen Wassersäcke benutzt werden, um diese künstlichen Effekte abzumildern.

Kurz gesagt und entsprechend den obigen Aufgaben betrifft die Erfindung eine Vorrichtung und Verfahren zur Erzeugung von zweidimensionalen Bildern einer Objektschicht durch den Nachweis einer durchdringenden Strahlung, die von der Objektschicht während einer Analyse der Objektschicht bei der computerisierten Tomographie nicht gedämpft wird.

Die heutigen Verfahren zur Rekonstruktion von zweidimensionalen Bildern bei der Röntgen-Tomographie gehen von der Annahme aus, daß die Röntgenstrahlquelle monoergetisch ist. In Wirklichkeit sind Röntgenstrahlquellen, die für die medizinische Diagnose brauchbar sind, von Natur aus panchromatisch, d.h. für sie ist ein Energiespektrum repräsentativ, wie es in Fig. 1 dargestellt ist. Diese falsche Annahme erzeugt künstliche spektrale Effekte in den entstehenden Ausgangsbildern beim Stand der Technik. Die vorliegende Erfindung überwindet diese Schwierigkeit, da das gesamte einfallende Energiespektrum berücksichtigt wird. Gleichzeitig separiert die Erfindung die Dämpfungsanteile, die auf fotoelektrischer Absorption, Compton-Streuung und Rayleigh-Streuung beruhen. Die vorliegende Erfindung erzeugt Ausgangsbilder der Elementarquantenverteilung innerhalb der Objektschicht, die untersucht wird, und der Elektronen-Dichteverteilung innerhalb der Objektschicht oder irgendeiner Kombination dieser zwei Variablen.

Ein Computerprogramm nimmt als seinen Eingang empirische Werte der verschiedenen augenblicklichen Dämpfungsquerschnitte und gibt mittels des Verfahrens der kleinsten Quadrate

Parameter, die ermöglichen, analytische Ausdrücke für die drei verschiedenen Dämpfungsquerschnitte aufzustellen, wie sie in irgendeinem Untersuchungsobjekt vorliegen. Ein Verfahren wird aufgezeigt, mit dem die drei analytischen Ausdrücke mit Ausdrücken für den Detektor-Wirkungsgrad und die Eingangsspektren kombiniert werden können, um einen Satz von zwei Gleichungen zu repräsentieren. Dann wird gezeigt, daß, wenn man zwei Meßsätze nimmt, diese zwei Sätze von Gleichungen gelöst werden können und zu Ausgangsbildern der Elementarquantenverteilung und der Elektronen-Dichteverteilung des Untersuchungsobjekts oder irgendeiner Kombination davon führen, und zwar sowohl für den Fall eines dicken als auch einen dünnen Strahles. Diese zwei Meßsätze können vorgenommen werden, indem verschiedene Spitzenenergieeinstellungen der Röntgenstrahlquellen, Detektoren mit verschiedenen Wirkungsgraden oder Energieansprechbereiche, ein Eingangsquellenfilter oder irgendeine Kombination dieser Maßnahmen benutzt werden. Ein Verfahren zur Optimierung der Dicke eines solchen Quellenfilters wird aufgezeigt. Ein ähnliches Verfahren kann benutzt werden, um die Quellenspektren, die Detektorempfindlichkeit oder Kombinationen davon zu optimieren. In der Praxis ist es vorzuziehen, zwei Detektorsätze zu benutzen, um künstliche Verschiebungs- und Atmungseffekte möglichst klein zu halten. Auch wird die Maschine während der Lösung der Gleichungssätze empirisch kalibriert.

Die Verfahren der Erfindung sind unabhängig vom benutzten Rekonstruktionsalgorithmus und von der benutzten Quellen-Detektor-Geometrie.

Dann ist eine statistische Fehleranalyse vorgesehen, die den statistischen Fehler, der in der bildlichen Ausgangsdarstellung vorliegt, als eine Funktion des statistischen Fehlers in den zwei Meßsätzen zeigt.

Zusätzlich wird gezeigt, daß das gewöhnlich bei der Tomographie benutzte Wassersack-Verfahren empfindlich gegenüber neuen künstlichen Effekten ist.

Eine Reihe von Tabellen wird vorgelegt, die die Unterschiede in den effektiven Ladungen für verschiedene anatomische Organe des menschlichen Körpers zeigen. Wenn diese Tabellen mit der Fehleranalyse der künstlichen Photoneneffekte, wie sie anderswo in der Beschreibung gezeigt werden, kombiniert werden, so zeigen diese Tabellen, welche Organe bei Benutzung der vorliegenden Erfindung voneinander unterschieden werden können.

Das Verfahren der Erfindung kann insgesamt "spektral unabhängige transversale axiale Tomographie" (SITAT = spectrally independent transverse axial tomography) genannt werden.

Diese und andere genauer detaillierte und spezifizierte Aufgaben und Merkmale der vorliegenden Erfindung werden in der folgenden Beschreibung anhand der Figuren genauer erläutert.

Dabei ist Fig. 1 eine Kurve der Photonenzahl, aufgetragen gegenüber der Energie in einem typischen Röntgenstrahl, wie er für medizinische Diagnosezwecke bei der computerisierten Tomographie brauchbar ist.

Fig. 2 ist eine schematische Teilansicht und ein teilweises Blockdiagramm eines tomographischen Instruments, bei dem die vorliegende Erfindung benutzt wird.

I Spektrumproblem

In diesem Abschnitt der Beschreibung zeigen wir ein Verfahren, durch welches die räumliche Verteilung der Elektronendichte (Zahl der Elektronen pro cm[hoch]3) und der effektive Wert von Z (atomic charge, Atomordnungszahl) eines Materials innerhalb einer dünnen Platte bestimmt werden kann, wobei ein Bildrekonstruktionsverfahren benutzt wird, welches die spektrale Verteilung des Emissionsspektrums einer medizinischen Standard-Röntgenröhre und die spektrale Abhängigkeit von zugeordneten Röntgendetektoren ausnutzt. Die üblichen Verfahren, die bei der transversalen axialen Tomographie zur Bildrekonstruktion benutzt werden, setzen voraus, daß die Linienintegral-Anfangsdaten, die beim Rekonstruktionsalgorithmus benutzt werden, das Ergebnis einer Messung mit einem monoergetischen Photonenstrahl sind, dies ist eine nicht realistische Annahme für Röntgenstrahlen im Bereich der Diagnostik, Fig. 1. Für unsere Zwecke lösen diese Rekonstruktionsverfahren das folgende Problem: Gegeben sei das Linienintegral der Dämpfung entlang von Linien, die in allen Richtungen durch alle Punkte in einer Ebene gezogen sind, so berechnet der Rekonstruktionsalgorithmus die Röntgenstrahl-Dämpfungsdichteverteilung an allen Punkten innerhalb der Ebene. Eine Formulierung der Lösung für dieses Problem ist in der US-Anmeldung Serial No. 643 896 und in der US-Anmeldung Serial No. 643 894 beschrieben. Wenn das Linienintegral der Dämpfungsdichte bei einer Photonenenergie E für eine Linie (großes Theta, kleines Beta) durch H (großes Theta, kleines Beta, E) repräsentiert wird, und wenn die Dämpfungsdichte am Punkte für die Energie E durch gegeben ist, so gilt: (1)

und (2)

Wie oben herausgestellt wurde, wurde bei früheren Formulierungen dieses Verfahrens angenommen, daß die Funktion H für eine bestimmte Energie E bekannt ist. Bei einer Messung mit einem monochromatischen Röntgenstrahl kann die Funktion H aus dem Beer'schen Gesetz bestimmt werden, da in diesem Falle das Linienintegral H einfach durch den Logarithmus der Transmission des Strahles durch das Untersuchungsobjekt entlang von Linien gegeben ist, die in der Ebene unter allen Winkeln durch jeden Punkt gehen. Das Problem wird schwieriger, wenn der für die Messung benutzte Röntgenstrahl nicht monochromatisch ist. Wenn wir die spektrale Abhängigkeit des einfallenden Röntgenstrahles durch großes Phi (E) repräsentieren, wobei großes Phi dE die Zahl der Photonen pro cm[hoch]2 x Sek im Bereich zwischen E und E+dE ist, und wenn wir einen Detektor mit der Empfindlichkeit von kleines Epsilon (E) bei einer Energie von E haben, so ist die detektierte Intensität nach Durchgang durch eine Probe mit dem Linienintegral H gegeben durch (3)

und (4)

ist die Intensität, die gemessen wird, wenn kein Objekt im Wege des Strahles ist.

Wir sehen nun, daß in den Gleichungen (3) und (4), wenn großes Phi (E) eine Dirac'sche Deltafunktion in der Energie ist, die Bestimmung von H einfach ist:

H = ln J/J[tief]o (5)

Wenn jedoch großes Phi[tief]1 keine Deltafunktion ist, wird die Lösung der Gleichungen (3) und (4) schwieriger. In der oben genannten Druckschrift von McCullough et al werden einige Lösungen diskutiert, die zur Lösung dieses Problems vorgeschlagen wurden. Eine solche Lösung ist die Benutzung eines Wassersackes.

Dieses Verfahren wird im Abschnitt VII diskutiert. Die Benutzung eines Wassersackes nutzt die Tatsache aus, daß menschliches Gewebe und Wasser im wesentlichen gleiche Röntgenstrahl-Dämpfungsdichten haben, so daß es möglich ist, dem Röntgenstrahl mit breitem Spektrum eine effektive Energie zuzuführen, und das Problem der Bildrekonstruktion bei der transversalen axialen Tomographie so zu behandeln, als wären die Messungen mit einem monochromatischen Röntgenstrahl mit der zugeführten effektiven Röntgenstrahl-Energie erfolgt.

Ein besseres Verfahren für die Lösung dieses Problems, wie es hier beschrieben ist, nutzt die bekannte funktionale Abhängigkeit der Röntgenstrahl-Streuungs-Dämpfungsquerschnitte auf die einfallende Röntgenstrahlenergie aus. Im Röntgenstrahl-Energiebereich, wie er für computerisierte Tomographie interessant ist, sind die elementaren Röntgenstrahl-Querschnitte für die Dämpfung der Röntgenstrahlen von einem Röntgenstrahlbündel das Ergebnis von Compton-Streuung, Rayleigh-Streuung und fotoelektrischer Absorption. Die funktionalen Abhängigkeiten dieser Querschnitte sind bekannt, und in unserem Fall hängen sie nur von der Energie des einfallenden Photons und der Elementarladung ab. Sind ein bekanntes Röntgenstrahlbündelspektrum, eine Effektivitätskurve des Detektors und die Dichte und die chemische Zusammensetzung eines Objekts gegeben, so kann deshalb das Transmissionsverhältnis I/I[tief]O, welches durch die Gleichungen (3) und (4) gegeben ist, theoretisch berechnet werden (es treten geringe kohärente Streueffekte auf, die von der molekularen Struktur und der Festkörperstruktur abhängen, diese Strukturen wurden vernachlässigt). Für chemische Verbindungen ist die Dämpfung einfach das Ergebnis der Summe der Dämpfungen, die durch jeden elementaren Bestandteil des Materials verursacht werden. Obwohl die Berechnung des Röntgenstrahl-Dämpfungsquerschnittes aus den physikalischen Grundformeln heraus schwierig ist, ist es möglich, diese Querschnitte in der folgenden relativ einfachen funktionalen Form zu erfassen.

(6)

kleines Sigma[tief]R ist proportional zu einer Linearkombination von kleines Sigma[tief]a und kleines Sigma[tief]c

Dabei ist Z die effektive Ladung,

[tief]e kleines Sigma (E) ist der Compton-Querschnitt für das einzelne Elektron bei der Energie E,

kleines Sigma[tief]c ist der Dämpfungsquerschnitt aufgrund der Compton-Streuung,

kleines Sigma[tief]a ist der Dämpfungsquerschnitt aufgrund der fotoelektrischen Absorption, und

kleines Sigma[tief]R ist der totale Dämpfungsquerschnitt.

Auf dieser Grundlage nehmen wird an, daß die Röntgenstrahl-Dämpfungsdichte in der folgenden funktionalen Form geschrieben werden kann: (7)

Die Funktionen G[tief]a und G[tief]c hängen nur von der Energie ab und werden in erster Ordnung durch die folgenden Beziehungen gegeben:

G[tief]a (E) ~ 1/E[hoch]3 ; G[tief]c (E) ~ [tief]e kleines Sigma (E) (8)

Die Funktionen q[tief]a und q[tief]c sind Funktionen des Ortes im Objekt, und die Dämpfungen beruhen auf fotoelektrischer Absorption bzw. Compton-Streuung. Sie hängen vom effektiven Z des Materials ab, welches die Röntgenstrahlen durchlaufen, und ebenso von dessen Elektronendichte an jedem Punkt

Diese Funktionen werden in erster Ordnung durch die folgenden Ausdrücke angegeben: (9)

Dabei ist die Zahl der Atome pro Volumeneinheit am Ort

In einem späteren Abschnitt werden wir die Ergebnisse eines Querschnittes-Anpassungsprogrammes angeben, dabei werden anstelle der Gleichungen (8) und (9) kompliziertere funktionale Abhängigkeiten benutzt, und dieses Programm kann dazu benutzt werden, die Röntgenstrahl-Dämpfungsdichte für Röntgenstrahlenergien bis zu 150 kV und für Atomordnungszahlen bis zu einem effektiven Z von ungefähr 20 mit einer Genauigkeit von wenigen Zehnteln eines Prozents zu bestimmen.

Wir definieren nun h[tief]c und h[tief]a als die Linienintegrale (10)

Wird nun die Gleichung (7) in Gleichung (2) eingesetzt und wird Gleichung (10) benutzt, so folgt für das Verhältnis der Gleichungen (3) und (4): (11)

Wenn man nun eine Messung mit einem abweichenden einfallenden

Fluß großes Phi[tief]2 (E) ausführt, so erhält man den Ausdruck (12)

wobei I[tief]2/I[tief]02 das Verhältnis der nach dem Durchgang durch die Probe detektierten Intensität zur Intensität ohne Probe im Strahl ist, wobei das Spektrum großes Phi[tief]2 benutzt wird. In der Praxis kann man ein abweichendes Röntgenstrahl-Spektrum großes Phi[tief]2 erhalten, wenn man entweder

1. die Spitzenenergieeinstellung der Röntgenstrahl-Energieversorgung ändert,

2. ein geeignetes Filter in den Röntgenstrahl einsetzt, oder

3. den Wirkungsgrad kleines Epsilon (E) des Detektors ändert oder Detektoren benutzt, die für verschiedene Energiebereiche empfindlich sind, beispielsweise für einen hohen Energiebereich und einen niedrigen Energiebereich. Von diesen möglichen Ansätzen ist der letztere vorzuziehen, da es der einzige Ansatz ist, bei dem alle Messungen für die spektral unabhängige Konstruktion auf einmal durchgeführt werden. Dies bedeutet, daß Meßabweichungen der Detektoren und anderer Schaltkreise minimalisiert werden, und daß künstliche Atmungseffekte, d.h. solche Effekte, die durch die Atmung des Patienten hervorgerufen werden, beschränkt werden.

Es ist auch möglich, optimierte Kombinationen dieser Verfahren zu benutzen. Jedoch wird der Patient keiner geringeren Strahlung ausgesetzt. Es wird später gezeigt, daß eine ungefähr gleiche Strahlungsdosis benutzt werden muß, um die gleichen Ergebnisse wie bei anderen Methoden zu erhalten.

Die drei Ausführungsformen sind in Fig. 2 dargestellt, diese Figur ist eine schematische Teildarstellung und eine teilweise Blockdarstellung eines tomographischen Instruments entsprechend der Erfindung. Die Quelle 20 und die Detektoranordnung 30 sind fest auf einem Rollenrahmen 10 montiert, der kreisförmig in einer Ebene rotiert, die den Ebenen-Querschnitt der Objektschicht 35 enthält, die abgebildet werden soll. Beispielsweise kann ein Arzt ein Bild eines Tumors 36 innerhalb eines menschlichen Körpers sehen wollen. Der Motor 70 treibt ein Antriebsgetriebe 80, welches den Rahmen 10 mittels der Zähne 85 und 86 antreibt. Die Rollen 90 halten den Rahmen 10 ausgerichtet. Die Quelle 20 ist eine Quelle für eine durchdringende Strahlung, beispielsweise für Röntgen- oder Gammastrahlung. Der Kollimator 40, der aus einer schweren Substanz, beispielsweise Blei, besteht, kollimiert die Strahlungsbündel auf die Objektschicht und die Detektoranordnung und dient zum Schutz des Betriebspersonals und des Patienten vor falscher Strahlung. Fig. 2 zeigt, daß der Strahl die Form eines dünnen Fächers hat, dies ist eine bevorzugte Form bei der menschlichen Diagnose. Der Strahl kann beliebig dünn sein (bis zu wenigen Millimetern dick) und sich in einem Winkel auffächern, der beliebig klein sein kann und bis zu 180° groß sein kann, vorzugsweise jedoch bei 35° liegt. Es ist nützlich, wenn die Verteilung der Photonen über die Dicke und Breite des Strahles im wesentlichen gleichförmig ist. Die Photonen, die nicht vom Objekt 35 gedämpft werden, werden vom Detektor 30 detektiert, dieser kann ein einheitlicher kreisförmiger Detektor oder ein Satz aus Einzeldetektoren sein, eine typische Zahl dafür ist 300. Die Detektoren können Scintillatoren, Sekundärelektronenvervielfacher, Festkörperanordnungen oder gasgefüllte Kammern sein, die beispielsweise mit Xenon oder Krypton gefüllt sind. Diese Gase werden durch die ankommende Strahlung ionisiert, wobei Signale erzeugt werden, die dann gezählt werden. In jedem Falle werden an einer Vielzahl von Winkelstellungen der Quellen-Detektor-Anordnung gegenüber der Objektschicht 35 Signale, die der ungedämpften Strahlung entsprechen, in den Computer

100 eingegeben. Dieser arbeitet vorzugsweise analog, wenn der Detektor 30 einheitlich ist, und digital, wenn die Detektoranordnung 30 einen Satz einzelner Detektoren aufweist. Im letzteren Fall dient der Kollimator 50, der aus einem schweren Material, beispielsweise Blei besteht, als Abschirmung zwischen benachbarten Detektoren und verhindert damit ein Übersprechen und andere Interferenzen. An dieser Stelle muß hervorgehoben werden, daß die speziell dargestellte Geometrie nur beispielhaft für die Erfindung ist, und daß jede andere Geometrie ebenfalls benutzt werden kann, beispielsweise dünne parallele Strahlenbündel, die eine Translations- oder eine Rotationsbewegung ausführen.

Wenn der Computer 100 die Meßdaten vom Detektor (den Detektoren) 30 empfangen hat, verarbeitet er die Daten unter Benutzung der hier beschriebenen Programme und unter Benutzung bekannter Rekonstruktionsprogramme, und der Computer erzeugt Ausgangsdaten, die von der Objektschicht 35 zwei separate Repräsentationen wiedergeben, von denen jede frei von künstlichen spektralen Effekten ist, wie hier beschrieben wurde. Diese Ausgangsdaten werden dann an die Anzeigevorrichtung 110 weitergegeben, wo sie entweder sequentiell oder simultan abgebildet werden. Die Anzeige 110 ist irgendeine Vorrichtung, die dreidimensionale Informationen grafisch abbilden kann, beispielsweise ein elektrostatischer Drucker, der zur Anzeige von Konturen programmiert ist, oder eine Kathodenstrahlröhre 120, auf der Unterschiede in der Amplitude (hier in den Dämpfungsdichten als verschiedene Grauschattierungen oder als verschiedene Farben) dargestellt werden. Die Fig. 2 zeigt den Fall, daß zwei Ausgangsbilder sequentiell auf der Kathodenstrahlröhre 120 dargestellt werden. In jedem Falle wird die Form 135, die der Objektschicht 35 entspricht, und der rekonstruierte Tumor 136, der dem Tumor 36 entspricht, deutlich dargestellt. Die Signifikanz der zwei Bilder wird anderswo in dieser Beschreibung beschrieben.

Alle drei Ausführungsformen der Erfindung sind in Fig. 2 dargestellt, da tatsächlich alle drei Ausführungsformen gleichzeitig im gleichen Gerät vorkommen können. Die erste Ausführungsform, um wieder daran zu erinnern, bringt eine Änderung der Energieverteilung der Quelle mit sich, so daß zwei aufeinanderfolgende Abtastungen des Objekts mit zwei verschiedenen Energiespektren durchgeführt werden. Dies wird beispielsweise mittels eines Wählers 60 erreicht, der zur Veränderung der Spitzenenergie-Einstellungen dient, und damit die Energieverteilung selbst ändert, indem die Spannung in der Stromversorgung der Quelle verändert wird. Der Wähler 60 kann eine Vielzahl von Einstellungen haben. Wenn er kontinuierlich arbeitet, kann er tatsächlich eine beliebig große Zahl von Einstellungen haben.

Die zweite Ausführungsform führt zu einer Einstellung des Energiespektrums zwischen zwei separaten Abtastungen, dazu dient ein Filter 55, welches zwischen der Quelle 20 und der Objektschicht 35 befestigt ist. Fig. 2 zeigt ein Filter 55, welches fest auf dem Kollimator 40 angeordnet ist. Filter 55 besteht aus einem Material, welches beispielsweise wie Lucite (TM), Kupfer oder Wolfram einen Teil der Strahlung durchläßt, wobei ein Teil der Strahlung abgedämpft wird. Ein Verfahren zur Berechnung der optimalen Dicke für das Filter wird anderswo in der Beschreibung beschrieben.

Die ersten beiden soeben beschriebenen Ausführungsformen können mit bekannten Detektoren betrieben werden. Für die dritte Ausführungsform ist es jedoch notwendig, daß der Detektor (die Detektoren) gleichzeitig und separat Photonen mit verschiedenen Energiebeträgen aufnehmen kann (können). Beispielsweise zeigt Fig. 2, daß jeder Detektor 30 in einen Unterdetektor 31 für niedrige Energie und einen Hochenergie-Unterdetektor 32 aufgeteilt ist, jeder dieser Unterdetektoren ist so eingestellt, daß er oberhalb oder unterhalb einer vorbestimmten Cut-off-Energie anspricht. Die Daten von jedem Satz der Unterdetektoren werden gleichzeitig an den Computer 100 gegeben, der die Daten dann zu zwei Ausgangsbildern verarbeitet, wie hier beschrieben wurde.

Zu beachten ist, daß in den Gleichungen (11) und (12) G[tief]a und G[tief]c nach Definition nur von der Energie des einfallenden Photons abhängen, und daß h[tief]a und h[tief]c nur von den Linienintegralen der Funktionen q abhängen, die wiederum nur von der räumlichen Verteilung der Elektronendichte und des Effektivwertes von Z entlang des Weges des Linienintegrals abhängen.

Nun untersuchen wir die Gleichungen (11) und (12). Wir beobachten, daß während der Durchführung einer Messung mit einer festen Funktion großes Phi (E) für den einfallenden Fluß und mit einem festen kleines Epsilon (E) für die Detektorempfindlichkeit ein Satz von Messungen I[tief]1/I[tief]01 erhalten wird, diese Messungen erfolgten in allen Richtungen durch Punkte, die auf einer Ebene durch das Untersuchungsobjekt gezogen worden sind. In gleicher Weise können wir einen Satz von Messungen des Verhältnisses I[tief]2/I[tief]02 in Gleichung (12) erhalten. Sind diese Meßdaten gegeben, können wir nun die Meßwerte von I[tief]1/I[tief]01 und I[tief]2/I[tief]02 in die Gleichungen (11) und (12) für jede Linie durch das Untersuchungsobjekt einsetzen, und damit erhalten wir einen Satz von zwei impliziten Gleichungen mit zwei Unbekannten h[tief]a und h[tief]c. Die Lösung dieser Gleichungen für h[tief]a und h[tief]c für alle Richtungen durch alle Punkte der Untersuchungsprobe ergibt einen Datensatz für die Linienintegrale der Funktionen q[tief]a und q[tief]c, die in den Gleichungen (10) gegeben sind. Aufgrund der Analogie zwischen den Gleichungen (10) und (2) kann dieser Datensatz nun benutzt werden, um die räumliche Abhängigkeit der Funktionen q[tief]a und q[tief]c zu rekonstruieren (Block 7 in Fig. 3). Einsetzen in Gleichung (1) ergibt: (13)

und (14)

Wird ein Rekonstruktionsverfahren wie das obengenannte Faltungsverfahren benutzt, können wir damit die Werte von q[tief]a und q[tief]c an jedem Punkt innerhalb der Ebene des Untersuchungsobjekts erhalten. Wie oben beschrieben, hängen die q's nur vom effektiven Wert von Z und der Elektronendichte des Materials am fraglichen Punkte ab. Wird das Rekonstruktionsverfahren für die Gleichungen (13) und (14) benutzt, so ist es damit möglich, die räumliche Verteilung des effektiven Wertes von Z und der Elektronendichte des Materials innerhalb der gesamten Fläche des Untersuchungsobjekts zu bestimmen.

Formal umschließt dies die Beschreibung eines Verfahrens für die Lösung des Problems des Röntgenemissionsspektrums bei transversaler axialer Tomographie, bei der eine medizinische Standardröntgenröhre benutzt wird. In den folgenden Abschnitten werden wir eine Zahl von Ausführungsformen im Hinblick auf die Verwendung und Genauigkeit dieses Verfahrens diskutieren.

Hat man die räumliche Verteilung der Elektronendichte und des effektiven Wertes von Z erhalten, so hat man die Freiheit, diese Information in irgendeiner gewünschten Form zu kombinieren, um den Informationsinhalt möglichst gut zu illustrieren. Beispielsweise kann man diese Information so kombinieren, daß man die effektive Röntgenstrahl-Dämpfungsdichte erhält, wie sie mittels einer Standard-Röntgenstrahldämpfungs-Fotografie senkrecht zur fraglichen Ebene beobachtet würde. Dies würde die Information in einer Form präsentieren, wie sie augenblicklich zur Betrachtung einer Röntgendiagnose-Information üblich ist. Da nun aber die Information für die räumliche Dichte und effektiven Z-Verteilungen explizit vorhanden sind, ist dies in der Tat nicht der beste Weg, die vorhandene Information zu präsentieren. Im Abschnitt II, siehe unten, legen wir eine allgemeine Diskussion für verschiedene mögliche Verfahren der Darstellung dieser Daten vor und behandeln ebenfalls die Frage der Genauigkeit der rekonstruierten Bilder.

In Abschnitt VII diskutieren wir die Verwendung des Wassersack-Verfahrens und vergleichen die Ergebnisse dieser Technik mit Ergebnissen, wie sie mit dem obigen Verfahren erhalten werden können. Von zentraler Wichtigkeit bei der Anwendung des obigen Verfahrens ist die notwendige Lösung der Gleichungen (11) und (12) für h[tief]a und h[tief]c, die in den Intensitätsverhältnissen gegeben sind. Dieses Problem wird in den Abschnitten IV bis VI behandelt. In diesen Abschnitten beschreiben wir experimentelle Kalibrierungsverfahren und deren Optimierung, und außerdem zeigen wir die Ergebnisse von Computer-Untersuchungen des Kalibrierungsverfahrens und welche Genauigkeiten erreicht werden können.

II Rahmen für Datendarstellung

Im vorangegangenen Abschnitt haben wir ein Verfahren beschrieben, mit dem die Daten gesammelt und umgewälzt werden, um die räumliche Verteilung der Punktionen q[tief]a (R) und q[tief]c (R) zu erhalten, die in den Gleichungen (13) und (14) gegeben sind. Wenn die Umwälzung abgeschlossen ist, und wenn man diese zwei Funktionen zur Verfügung hat, ist es möglich, die Ergebnisse nach Parametern gegliedert aufzuzeigen, die von q[tief]a und q[tief]c verschieden sind. In diesem Abschnitt diskutieren wir eine Zahl solcher Möglichkeiten, außerdem diskutieren wir den statistischen Fehler, der mit der Darstellung dieser Daten in verschiedenen Koordinatennetzen verbunden ist.

Zuerst kann man die Ergebnisse in Form von Werten oder Grautonbildern der Faltungskoordinaten q[tief]a und q[tief]c als eine Funktion des Ortes darstellen. Diese Koordinaten erhalten physikalische Bedeutung durch Gleichung (7) und geben die energieunabhängigen Teile der kohärenten Röntgen- (d.h. Compton-)Streuung bzw. der fotoelektrischen Absorptionsdichten wieder. Jedoch ist die genaue physikalische Bedeutung dieser Darstellung vielleicht, vom Standpunkt einer medizinischen Anwendung betrachtet, nicht ideal.

Wie in späteren Paragraphen beschrieben wird, ist es möglich, die Funktionen q[tief]a und q[tief]c so zu kombinieren, daß man ein Bild erhält, welches im wesentlichen gleichwertig zur Standard-Röntgenstrahl-Dämpfungsdichte ist, wie sie durch Standard-Röntgenstrahl-Dämpfungsbildverfahren abgebildet wird. Zuerst jedoch heben wir hervor, daß wir nun mehr Information zur Verfügung haben als früher, dies ist ein Ergebnis des spektral unabhängigen Bildrekonstruktionsverfahrens, welches oben beschrieben wurde. Ein Koordinatensystem für die Datendarstellung, die einen beträchtlichen Wert haben kann, wird durch Untersuchung der Gleichungen (9) erhalten. Werden diese Gleichungen benutzt, können wir tatsächlich die räumliche Verteilung der effektiven Ladung und der Elektronen-(Atommasse)dichte kleines Rho[mit Überstrich] (R[mit Überstrich]) lösen, und zwar in dem Bereich, für den wir die Werte der Funktionen und haben. Damit erhalten wir für die räumliche Verteilung der effektiven Ladung Z[mit Überstrich] und die räumliche Verteilung der Elektronendichte die folgenden resultierenden Gleichungen: (15)

und (16)

Mit den Gleichungen (15) und (16) ist es deshalb möglich, Bilder zu erzeugen, die die effektive Ladungsverteilung und ebenso die Elektronendichteverteilung innerhalb des Untersuchungsbereiches illustrieren. Eine Darstellung der Daten in dieser Form, insbesondere die bildliche Darstellung der räumlichen Verteilung der effektiven Ladung, kann von großem Interesse und Wert sein. Es sollte hervorgehoben werden, daß diese Form der Darstellung eines der bedeutenden Probleme bei Messungen mit Standardverfahren ausräumt, dergestalt, daß es nicht länger möglich ist, daß der Effekt des Anwachsens der effektiven Ladung Z durch eine kompensierende Abnahme der Elektronendichte überdeckt wird.

Um die obigen Ausführungen in einer allgemeineren Form zu diskutieren, nehmen wir zur Kenntnis, daß wir die Datendarstellungskoordinaten von zwei allgemeinen Funktionen F[tief]1(q[tief]a,q[tief]c) und F[tief]2(q[tief]a,q[tief]c) betrachten können. Die Gleichungen (15) und (16) bilden nun nur einen Spezialfall, bei dem uns F[tief]1 und F[tief]2 durch die rechte Seite dieser beiden Gleichungen gegeben ist. Zu beachten ist, daß es für eine Bilddarstellung nicht notwendig ist, F[tief]1 und F[tief]2 beide zu definieren. Wenn nur ein Bild gewünscht wird, braucht nur eine dieser Funktionen definiert werden. Wie später diskutiert wird, kann es möglich sein, durch eine geschickte Wahl eine funktionale Form von F[tief]1 zu finden, welche den Effekt der statistischen und anderen Fehler besonders klein hält und die Anzeige von besonderen physiologischen Eigenschaften, die von Interesse sind, besonders deutlich macht.

Andere funktionale Formen von F[tief]1 und F[tief]2, die in Betracht gezogen werden können, sind die folgenden: (17) (18) (19) (19a)

Im nächsten Abschnitt geben wir eine Diskussion des Anteils des statistischen Fehlers bei der Messung am statistischen Fehler der Datendarstellungskoordinaten F[tief]1 und F[tief]2. Zuerst jedoch diskutieren wir Verfahren, mit denen der Dateninhalt von q[tief]a und q[tief]c behandelt werden kann, um eine Datendarstellung in Ausdrücken der effektiven Röntgenstrahl-Dämpfungskoeffizienten zu erhalten, die gleichwertig mit den heute benutzten sind.

Abhängig davon, wie man die Ergebnisse der transversalen axialen Tomographie betrachten will, kann man mehrere funktionale Definitionen benutzen, welche als die effektive Standard-Röntgenstrahl-Dämpfungsdichte bezeichnet werden könnte. Eine Definition einer effektiven Dichte, welche wir die effektive Dichte der dünnen Probe nennen, kann durch die folgende Gleichung dargestellt werden: (20)

Wie bei Betrachtung der obigen Gleichung zu sehen ist, stellt diese effektive Dichte die mittlere Röntgenstrahl-Absorptionsdichte dar, welche gemessen würde, wenn ein Röntgenstrahlbündel mit einem Energiespektrum, welches durch großes Phi (E) gegeben ist, benutzt würde, wobei dieses Strahlbündel durch einen unendlich kurzen Abstand des Materials hindurchläuft, dessen Eigenschaften durch q[tief]a und q[tief]c wiedergegeben sind. Eine andere Darstellung der effektiven Dichte, für den Fall einer dicken Probe, kann durch die folgende Gleichung definiert werden: (21)

In dieser Gleichung steht der Exponent für die Spektrumsveränderung des Bündels beim Durchlaufen durch eine endliche Dicke T eines Materials. Die Größen h[mit Überstrich][tief]a und h[mit Überstrich][tief]c repräsentieren Linienintegrale über diesen festen Abstand. Die Gleichung (21) repräsentiert damit die mittlere Röntgenstrahl-Dämpfungsdichte, die beobachtet würde, wenn ein Röntgenstrahlbündel mit einem Einfallsspektrum großes Phi (E) benutzt würde und durch eine endliche Dicke T eines Materials hindurchliefe, welches durch die Exponenten in der Gleichung wiedergegeben ist. Bevor natürlich eine Wiedergabe gemacht werden kann, müssen die (willkürliche) Dicke T des Materials und dessen Zusammensetzung definiert werden. Dies kann gleich einem geeigneten Nennwert ausgewählt werden (beispielsweise der mittlere Durchmesser des menschlichen Kopfes und ein gewebeähnliches Material wie Wasser).

Wenn die effektiven Röntgenstrahl-Dämpfungskoeffizienten durch Gleichung (20) oder (21) definiert worden sind, und wenn wir uns zurückrufen, daß wir tatsächlich zwei verschiedene Röntgenstrahl-Spektren großes Phi und großes Phi[tief]f (siehe Gleichung (12)) haben, so sind wir nun in der Lage, einen neuen Satz von Darstellungskoordinaten zu definieren, die auf den effektiven Dämpfungsdichten basieren. Beispielsweise können wir einfach die Sätze der effektiven Dämpfung und oder und anzeigen. Andere Möglichkeiten bestehen darin, eine über alles gemittelte effektive Dichte durch die folgenden Gleichungen zu definieren: (22)

oder (23)

In diesem Falle ist ein komplementärer Anzeigerahmen, der von Interesse sein kann, durch die folgenden Gleichungen gegeben: (24) oder (25)

Wenn man beobachtet, daß in den Gleichungen (20) und (21) unter dem Integralzeichen und entfernt werden können, so folgt, daß die Gleichungen (22) bis (25) als ein anderer Satz von alternativen Definitionen von F[tief]1 und F[tief]2 angesehen werden können. Auch wenn großes Phi (E) und großes Phi[tief]f (E) durch großes Phi (E) kleines Epsilon (E)' bzw. großes Phi[tief]f (E) kleines Epsilon (E) in den Gleichungen (20) und (21) ersetzt werden, so haben wir noch einen anderen Satz von Definitionen der effektiven Dämpfungsdichte, welcher nützlich sein kann.

III Genauigkeit der rekonstruierten Bilder

In diesem Abschnitt diskutieren wir das statistische Rauschen, wie es bei den verschiedenen Bilddarstellungen, die im vorangehenden Abschnitt vorgestellt wurden, auftritt, und zwar als Ergebnis des statistischen Rauschens bei den Messungen, die für die Rekonstruktion benutzt werden. Das Endergebnis dieser Analyse wird ein Satz von Gleichungen sein, aus dem man den statistischen Fehler kleines Epsilon[tief]F für irgendeine gegebene funktionale Form von F aus den statistischen Fehlern kleines Epsilon[tief]T der Röntgenstrahl-Transmissionsmessungen bestimmen kann, die bei der Bestimmung der rekonstruierten Ergebnisse benutzt werden. Diese Bestimmung kann automatisch durch den Computer 100 ausgeführt werden, dieser kann an das Betriebspersonal eine Nachricht zur Information über die Größe dieses Fehlers geben. Der Benutzer kann dann diese Information benutzen, um bestimmen zu helfen, welche Darstellungsrahmen für einzelne hell leuchtende Materialien benutzt werden. Außerdem können diese Bestimmungen dazu benutzt werden, das Meßverfahren zu optimieren, um aus der Durchführung die maximale Information zu erhalten.

Wir beginnen mit der Definition von I/I[tief]0 in Gleichung (11) und

I[tief]f/I[tief]of in Gleichung (12) durch T[tief]1 bzw. T[tief]2. Gestützt auf die Diskussion in Abschnitt I beobachten wir, daß tatsächlich h[tief]a und h[tief]c als Funktionen von T[tief]1 und T[tief]2 angesehen werden können. Deshalb schreiben wir die Gleichungen (11) und (12) in der folgenden Form um: (26)

und (27)

Dabei haben wir angenommen, daß großes Phi[tief]1 (E) kleines Epsilon und großes Phi[tief]2 (E) kleines Epsilon normalisiert worden sind, so daß ihre Integrale eins sind. Zum Zwecke dieser Analyse bringen wir die Gleichungen zur Durchführung der in den Gleichungen (13) und (14) gegebenen Rekonstruktionsfaltung in die folgende Form, die aus den obengenannten Patentanmeldungen US-Ser.No. 643 896 und US-Ser.No. 654 894 hervorgehen: (28)

Dabei ist h[hoch]n,P(T[tief]1[hoch]n,P,T[tief]2[hoch]n,P) der Wert von h entlang einer Linie am Projektionswinkel großes Theta[tief]p und in einem Abstand na vom interessierenden Punkt. Der Abstand des Probenpunktes ist a. Die Gesamtzahl der Projektionen ist N, und in jeder Projektion sind K Messungen. Zu bemerken ist, daß in dieser Gleichung T[tief]1[hoch]n,P und T[tief]2[hoch]n,P die gemessenen Transmissionen für die n-te Messung der p-ten Projektion repräsentieren, und h ist durch die Gleichungen (26) und (27) bestimmt. In Gleichung (28) haben wir zeitweise die Indices a oder c von den Variablen q und h fallengelassen. Nun betrachten wir die allgemeine funktionale Form F(q[tief]a,q[tief]c), wobei q[tief]a und q[tief]c über die Gleichungen (26) und (27) von den gemessenen

T[tief]1 und T[tief]2 abhängen. Der statistische Fehler kleines Epsilon[tief]F, der bei der Bestimmung von F aus den Messungen T[tief]1 und T[tief]2, die statistische Fehler kleines Epsilon[tief]T[tief]1 bzw. kleines Epsilon[tief]T[tief]2 haben, resultiert, wird durch die folgende Gleichung gegeben, die auf dem Quadratsummenverfahren der Fehleranalyse basiert: (29)

Die Summen erstrecken sich über alle Messungen der Transmissionen T[tief]1 und T[tief]2. Die Gleichung (29) kann auch in der folgenden Form geschrieben werden: (30)

Dabei gelten die Werte von

T und kleines Epsilon[tief]T für den Strahl n,P. Wenn wir für einen Moment annehmen, daß

Konstanten für alle Messungen sind, so wird diese Gleichung zu: (31)

Dabei haben wir die Beobachtung benutzt, daß aus Gleichung (28) folgt: (32)

Die Summe in Gleichung (31) kann nun aus Gleichung (28) in der folgenden Form erhalten werden: (33)

Wenn man beachtet, daß (34)

so erhalten wir: (35)

Einsetzen von Gleichung (35) in Gleichung (31) ergibt das Endergebnis: (36)

Dies ist die gewünschte Gleichung, die den statistischen Fehler in F für die relativen statistischen Fehler kleines Epsilon[tief]T[tief]1/T[tief]1 und kleines Epsilon[tief]T[tief]2/T[tief]2 in den Messungen angibt. Diese Gleichung gibt den Fehler an, der auf statistische Photoneneffekte und andere künstliche Effekte mit mittleren quadratischen Fehlern zurückzuführen ist, wie beispielsweise Widerstandsrauschen. Bei der Ableitung von Gleichung (36) haben wir angenommen, daß die Sätze der Messungen mit dem Spektrum großes Phi[tief]1 (und auch großes Phi[tief]2) mit der gleichen relativen Genauigkeit ausgeführt wurden. Auch wurden bestimmte Annahmen bezüglich von gemacht. Nun untersuchen wir diese Annahmen.

Wenn wir die partielle Ableitung von Gleichung (26) und (27) nach T[tief]1 und T[tief]2 nehmen, können wir die resultierenden Gleichungen lösen und erhalten: (37)

Dabei gilt:

t = e [hoch]-(G[tief]ch[tief]c + G[tief]ah[tief]a) (38)

Die anderen partiellen Ableitungen erhält man, wenn man eine der folgenden Operationen oder beide auf Gleichung (38) anwendet: (i) Auswechslung der Indices 1 und 2, (ii) Auswechslung der Indices a und c.

In unserer Ableitung der Gleichung (36) haben wir im wesentlichen angenommen, daß die rechte Seite der Gleichung (37) konstant unabhängig von h[tief]a und h[tief]c ist. Dies ist nicht in Allgemeinheit richtig. Jedoch ist es richtig für spezielle Fälle. Beispielsweise wenn großes Phi[tief]1 und großes Phi[tief]2 Dirac'sche Deltafunktionen bei der Energie E[tief]1 und E[tief]2 sind, so kürzt sich t aus dem Zähler und Nenner der Gleichung (37) heraus. Im Abschnitt V beschreiben wir numerische Berechnungen mit einigen typischen Spektren für großes Phi[tief]1 und großes Phi[tief]2 für eine Vielzahl von Materialien und Werte für h[tief]a und h[tief]c, wie sie in Gleichung (10) gegeben sind. Bei diesen Berechnungen beobachten wir nur langsame Veränderungen der verschiedenen

-Funktionen. Die berechneten Werte werden in diesem Abschnitt vorgelegt.

IV Anpassung der Rayleigh-, Compton- und fotoelektrischen Röntgenstrahl-Querschnitte nach der Methode der kleinsten Fehlerquadrate.

Im Abschnitt VI beschreiben wir Verfahren zur experimentellen Kalibrierung, die bei der Anwendung der spektral unabhängigen transversalen tomographischen Analysemethode verwendet werden. Um dieses Kalibrierungsverfahren anzuwenden, ist eine genaue analytische Darstellung der gemessenen Röntgenstrahl-Querschnitte notwendig. In diesem Abschnitt geben wir eine Zusammenfassung eines Anpassungsprogrammes nach der Methode der kleinsten Fehlerquadrate, dieses Programm wurde benutzt, um die gemessenen Rayleigh-Querschnitte, Compton-Querschnitte und fotoelektrischen Querschnitte für Elemente anzupassen, die eine Ladung von Z = 4 bis Z = 20 haben, und zwar für einen Röntgenstrahlbereich von 20 keV bis 150 keV. In diesem Röntgenstrahlbereich geben diese drei Prozesse eine ziemlich vollständige Beschreibung des Dämpfungsprozesses des Röntgenstrahlbündels beim Durchgang durch die Materie. Nur kleine kohärente Streueffekte, die von der molekularen und kristallinen Struktur abhängen, wurden im einzelnen vernachlässigt. Jedoch sollte über die Integraleffekte in den unten vorgelegten Querschnittsformeln hinreichend Rechenschaft abgelegt werden. Die von uns hier vorgelegten Ergebnisse sind geeignet und passend für die Verwendung bei der in Abschnitt VI beschriebenen experimentellen Kalibrierung. Zusätzlich werden sie in den folgenden Abschnitten benutzt, und zwar für eine Computer-Analyse und eine Abschätzung der statistischen Genauigkeit der Bildrekonstruktionen, die bei Benutzung der spektral unabhängigen transversalen axialen tomographischen Analysetechnik erreichbar sind. Programm 1 ist eine Liste eines FORTRAN-Programmes, welches geschrieben und benutzt wurde, um eine genaue Parametrisierung des quadratischen Fehlers der Röntgenstrahl-Querschnitte zu erhalten, wie sie im NBS-Bulletin 29 tabelliert sind ("Photon Cross Sections, Attenuation Coefficients from 10 keV to 100 GeV", US-Department of Commerce, National Bureau of Standards, August 1969).

In diesem NBS-Bulletin sind die einzelnen Komponenten für die Rayleigh- und Compton-Streuung und die fotoelektrische Röntgenstrahl-Absorptionsquerschnitte für die Elemente als Funktionen der einfallenden Röntgenstrahlenergie gegeben. Bei diesem Programm wurde der totale Querschnitt, der die Summe der drei Komponenten enthält, angepaßt, wobei die folgenden analytischen Ausdrücke verwendet wurden:

kleines Sigma (E,Z) = G[tief]c (E) f[tief]c (Z) + G[tief]a (E) f[tief]a (Z) (39)

Dabei sind G[tief]a (E), G[tief]c (E), f[tief]a (Z) und f[tief]c (Z) durch die folgenden Ausdrücke gegeben:

G[tief]a (E) = FAE (E) + FR2E (E) (40)

Dabei ist: (41)

(42)

G[tief]c (E) = GSUBC (E) + FR1E (E) (42a)

Dabei ist: (43) (44)

f[tief]a (Z) = FAZ (Z) (45)

Dabei ist: (46)

f[tief]c (Z) = Z (47)

Zur Vereinfachung haben wir auch die FORTRAN-Variablen (Gleichung (41), (42), (43), (44) und (46)) für diese Funktionen miteinbezogen, diese Variablen wurden im FORTRAN-Programm benutzt. Die Reihen µ[tief]a (n), µ'[tief]a (n), µ[tief]R (n) und µ'[tief]R (n) sind Parameter, die durch das Programm der kleinsten Fehlerquadrate bestimmt wurden. Die Parameter Z[tief]o und E[tief]o sind feste Eingangsparameter. Beispielsweise wird der totale Querschnitt SIGTH berechnet, indem diese Ausdrücke auf den Zeilen 105 bis 106 und auch auf den Zeilen 295 bis 296 in diesem Programm benutzt werden.

Hier beschreiben wir kurz das Verfahren, welches in dem Programm zur Parametrisierung des totalen Röntgenstrahl-Dämpfungsquerschnittes benutzt wurde. Die verschiedenen Komponenten in den Gleichungen (39) bis (47) entstammen den folgenden Ausdrücken für die grundlegenden Röntgenstrahlquerschnitte.

kleines Sigma[tief]a (E,Z) = FAZ (Z) * FAE (E) (48)

kleines Sigma[tief]c (E,Z) = Z * GSUBC (E) (49)

kleines Sigma[tief]R (E,Z) = FAZ (Z) * FRZE (E) + FR1E (E) (50)

Dabei ist kleines Sigma[tief]a der fotoelektrische Querschnitt, kleines Sigma[tief]c ist der Compton-Querschnitt, und kleines Sigma[tief]R ist der Rayleigh-Streuquerschnitt. Der erste Schritt bei der Prozedur in dem Programm ist es, einen Satz von Parametern zu bestimmen, welche möglichst gut dem Absorptionsquerschnitt angepaßt sind, wobei die in Gleichung (48) gegebene funktionale Form verwendet wird. Der Ausdruck für den in Gleichung (49) gegebenen Compton-Streuquerschnitt ist tatsächlich ein exakter analytischer Ausdruck, welcher an diesen Teil des Röntgenstrahl-Querschnittes ohne weitere Anpassung angepaßt ist. Der nächste Schritt im Programm besteht deshalb darin, den Rayleigh-Streuquerschnitt anzupassen, dabei wird der in Gleichung (50) gegebene Ausdruck verwendet, wo wir die Parameter µ[tief]a (n) konstant halten, die bei der Anpassung des Absorptionsquerschnittes kleines Sigma[tief]a bestimmt wurden. Bei vollständiger Ausführung dieser Prozedur erhalten wir einen kompletten Satz von Parametern, aus denen der totale Röntgenstrahl-Dämpfungsquerschnitt, der in Gleichung (39) gegeben ist, berechnet werden kann. Bei der Erlangung der Ergebnisse, die unten vorgelegt werden, wurde die obige Prozedur mehrfach wiederholt, um den bestmöglichen Parametersatz zu bestimmen.

An dieser Stelle verweisen wir auf das Programm 1 im Anhang, dies ist die FORTRAN-Liste des Anpassungsverfahrens nach der Methode der kleinsten Fehlerquadrate. Danach zeigen wir die Ausgangsparameter, die mit diesem Programm bestimmt wurden, und Tabelle 1, die angibt, welche Genauigkeit erreicht worden ist.

Bei Benutzung des obigen Programmes und des beschriebenen Verfahrens wurden die folgenden Parameter erhalten, diese können in den Gleichungen (39) bis (47) zur Berechnung des totalen Röntgenstrahl-Dämpfungsquerschnittes benutzt werden.

Z[tief]o = 6,5 E[tief]o = 75 keV

U[tief]A (1) = 1,000 U[tief]A' (1) = 7,832

U[tief]A (2) = 0,3245 U[tief]A' (2) = -1,621

U[tief]A (3) = 0,5507x10 U[tief]A' (3) = 4,289

U[tief]A (4) = -1,512 U[tief]A' (4) = 8,140

U[tief]A (5) = 2,378 U[tief]A' (5) = -3,226

U[tief]A (6) = -1,444 U[tief]A' (6) = -9,871

U[tief]A (7) = 0,3014 U[tief]A' (7) = 2,189

U[tief]R (1) = 0,1513x10 U[tief]R' (1) = 0,3296x10

U[tief]R (2) = 0,1100x10 U[tief]R' (2) = -0,2151x10

U[tief]R (3) = -0,9817x10 U[tief]R' (3) = 0,4415x10

U[tief]R' (4) = 0,2832x10

Tabelle 1 zeigt die Ergebnisse, die bei Benutzung dieser Parameter erhalten wurden, und vergleicht diese Ergebnisse mit den tabellierten Werten, die als Eingang für das Anpassungsverfahren der kleinsten Fehlerquadrate benutzt wurden. Diese Ergebnisse werden in der Tabelle in Form einer Matrix vorgelegt, dabei repräsentieren die Spalten die verschiedenen Energien des einfallenden Röntgenstrahles von 20 keV bis 150 keV, die Spalten sind entsprechend beschriftet, und die Zeilen stehen für verschiedene aufsteigende Einheiten der Elementarladung von Z = 4 bis Z = 20. Am Kreuzungspunkt einer bestimmten Röntgenstrahlenergie und einer bestimmten Elementarladung besitzt die Tabelle zwei Einträge. Der obere Eintrag repräsentiert den berechneten totalen Querschnitt, wie er durch die Gleichung (39) gegeben ist, wenn man die Parameterwerte benutzt, die oben in den Gleichungen (40) bis (47) vorgelegt worden sind. Die zweite Zahl ist die Differenz zwischen dem berechneten Wert und dem NBS-Eingangswert (NBS = National Bureau of Standards) dividiert durch den berechneten Wert für den Querschnitt. Der FORTRAN-Ausdruck "E-01" bedeutet, daß der Dezimalpunkt um einen Platz nach links verschoben werden muß, "E-02" bedeutet, daß der Dezimalpunkt um zwei Plätze nach links verschoben werden muß, u.s.w. Wie ersichtlich ist, ist die größte Abweichung vom Tabellenwert 5,55 %. Im allgemeinen ist die Anpassungsgenauigkeit, insbesondere in dem Bereich, der sowohl von der Röntgenstrahlenergie als auch von der Atomordnungszahl her interessant ist, deutlich besser als dieser Wert. Die totale mittlere quadratische Abweichung der berechneten Werte von den Eingangswerten ist 1,9 %. Diese Genauigkeit ist wahrscheinlich vergleichbar mit der Genauigkeit der Eingangsdaten und ist für die meisten Anwendungen ausreichend.

V Computer-Untersuchung der statistischen Genauigkeit von SITAT.

In diesem Abschnitt diskutieren wir ein FORTRAN-Programm, welches dafür vorbereitet wurde, die statistische Genauigkeit der Ergebnisse zu analysieren, die in verschiedenen Darstellungsrahmen, wie sie in Abschnitt II diskutiert wurden, vorgelegt wurden. Die grundlegenden Formulierungen, die für diese Analyse benötigt werden, wurden im Abschnitt III vorgelegt. Spezifische Berechnungen wurden für den statistischen Fehler bei den Darstellungsrahmen gemacht, die durch die Gleichungen (15) und (16) und auch (21) repräsentiert sind. Zusätzlich wurden Parameter, die mit bestimmten Gliedern in Gleichung (36) korrespondieren, berechnet (z.B. die Gleichungen (53) oder (57)) und tabelliert, so daß die statistische Genauigkeit in einem Darstellungsrahmen, wie er durch die Gleichung F(q[tief]a,q[tief]c) repräsentiert und im Abschnitt II diskutiert wird, leicht berechnet werden kann. In den folgenden Paragraphen diskutieren wir den Programmfluß und die Ergebnisse, die erhalten wurden. Dann werden eine Liste des Programmes und einige numerische Ergebnisse vorgelegt.

Zusätzlich zur Berechnung der Ergebnisse, die sich auf den statistischen Fehler beim SITAT-Verfahren beziehen, berechnet das Programm auch vorteilhafterweise bestimmte, vom Computer erzeugte Daten, die für einen Test des Kalibrierungsverfahrens geeignet sind und sich auf die Lösungen der Gleichungen (11) und (12) für h[tief]a und h[tief]c beziehen, und die zugehörigen experimentellen Kalibrierungsverfahren, um diese Lösungen aus den Daten zu erhalten, die in einem tatsächlichen Instrument erhalten werden. Diese Ergebnisse werden als Teil der Tabellen, die in diesem Abschnitt enthalten sind, vorgelegt. Eine Beschreibung der im Programm benutzten Formulierungen, um diese vom Computer erzeugten Daten zu berechnen, wird in diesem Abschnitt vorgelegt. Eine detaillierte Diskussion ihrer Bedeutung und ihrer Verwendung zum Testen des Kalibrierungsverfahrens wird im Abschnitt VI vorgelegt, zusammen mit der Beschreibung des Verfahrens selbst.

Wie im Abschnitt III diskutiert wurde, benutzen wir die Gleichung (36), um den statistischen Fehler in einer Darstellung zu bestimmen, die durch die Funktion F repräsentiert wird. Von zentraler Bedeutung bei der Benutzung dieser Gleichung für die Fehlerberechnung sind die partiellen Ableitungen der Form die aus Gleichung (37) erhalten werden. Eine Prüfung dieser Gleichung zeigt, daß diese partiellen Ableitungen aus den Integralen über die Spektren großes Phi[tief]1 und großes Phi[tief]2 in der folgenden Form berechnet werden: (51)

(vergleiche auch Gleichung (26) und (27)) und (52)

Dabei ist t durch Gleichung (38) gegeben. (Vergl. Zeile 146, 147, 148 des Programmes 2.) Die linke Seite dieser Gleichungen gibt die Namen der FORTRAN-Variablen wieder, die im Programm für diese Parameter benutzt werden. Der Index i in den anderen Gleichungen numeriert das Spektrum, über welches das Integral ausgeführt wird, und der Index ist entweder a oder c. Mit diesen Definitionen wurden die Variablen auf der rechten Seite der obigen Gleichungen vorher bei der Entwicklung der Gleichungen (37) und (38) definiert. Die Bedeutung der Notation auf der linken Seite wird später genauer definiert. Im Programm 2, das FORTRAN-Programm, welches wir später genauer beschreiben werden, werden die Integrale berechnet, die durch die Gleichungen (51) und (52) repräsentiert werden. Diese Ergebnisse und Gleichung (37) werden benutzt, um Ergebnisse der folgenden Form zu erhalten: (53)

Dabei stehen auf der linken Seite die Namen der FORTRAN-Variablen, die durch dieses Programm berechnet wurden. (Siehe Zeilen 164 und 168 des Programmes.) Ein Vergleich der rechten Seite der Gleichung (53) und der Gleichung (36) zeigt, daß, wenn die zahlenmäßigen Werte der durch die Gleichung (53) repräsentierten Variablen gegeben sind, die einzigen Informationsteile, die zur Berechnung des statistischen Fehlers in der Funktion F(q[tief]a,q[tief]c) benötigt werden, die partiellen Ableitungen von F nach q[tief]a und q[tief]c und der relative Fehler bei den gemessenen Transmissionen sind.

Nun geben wir eine Zusammenfassung des Verfahrens, welches vom Programm benutzt wird, um die Parameter zu berechnen, die durch die Gleichungen (51), (52) und (53) repräsentiert werden. Wir schließen auch Einzelheiten über die zahlenmäßigen Werte für die Parameter mit ein, die für die Berechnungen der Ergebnisse benutzt wurden, und die in einer folgenden Tabelle vorgelegt werden. Die Berechnungen im Programm 2 basieren auf der Annahme, daß die Materialproben eine gleichförmige Dichte haben. Die Ergebnisse werden für verschiedene Atomordnungszahlen und verschiedene Längen L berechnet. Außerdem nehmen wir eine Detektorempfindlichkeit von 1 an. Die im Programm benutzten Querschnitte basieren auf der Anpassung nach der Methode der kleinsten Fehlerquadrate, wie sie im Abschnitt IV diskutiert wurde. Im Programm wurden numerische Integrationen über drei einfallende Röntgenspektren ausgeführt. Diese Spektren entsprechen experimentell beobachteten Spektralverteilungen von Röntgenröhren, die mit einer Gleichspannung von 70, 100 und 130 kV betrieben wurden. Die Ergebnisse werden dann nach den Spektrumpaaren gegliedert vorgelegt: (70, 100), (70, 130) und (100, 130). Die Auswahl zur Berechnung eines gefilterten Spektrums, wie es beim Durchgang durch irgendein Röntgenfilter entsteht, ist ebenfalls im Programm eingearbeitet. Jedoch wurde für die hier vorgelegten Ergebnisse ein Einheitstransmissionsfilter angenommen. Basierend auf diesen Annahmen und bei Verwendung der Gleichungen (10) und (39) und aufgrund der Tatsache, daß q (siehe Gleichung (7)) gleich der Dichte mal der Funktion f in Gleichung (39) ist, kann man die Integrale und Berechnungen ausführen, die nötig sind, um die Glieder auf der rechten Seite der Gleichungen (51) und (52) zu berechnen.

Die zahlenmäßigen Werte für die Spektralverteilungen großes Phi[tief]i werden hier nicht aufgelistet, sie können aus der Liste für das FORTRAN-Programm erhalten werden (siehe Zeilen 294 bis 350 des Programmes). Der im Programm für N benutzte Zahlenwert ist 360, der für a ist 0,3 cm. Bei den Gliedern für den Fehler in der Transmission kleines Epsilon[tief]T[tief]1/T[tief]1 und kleines Epsilon[tief]T[tief]2/T[tief]2 wurde angenommen, daß sie durch Ausdrücke der folgenden allgemeinen Form gegeben sind: (54)

Man erhält diesen Ausdruck, da gilt:

T = J/J[tief]o (55)

Damit ist: (56)

Wir haben angenommen, daß der Fehler in J[tief]o vernachlässigbar ist. Für die Berechnungen nehmen wir einen einfallenden Fluß J von 10[hoch]8 Photonen pro Messung an. Zu beachten ist, daß mit dieser Annahme nicht notwendig die gesamte Zeitlänge, die für eine Messung benötigt wird, optimiert wird. Für eine Optimierung, um einen möglichst kleinen statistischen Fehler kleines Epsilon[tief]F in F bei einer gegebenen Gesamtlänge für die Meßzeit zu erhalten, muß die relative Größe der zwei Glieder in Gleichung (36) verglichen werden.

Benutzt man diese Annahmen, kann man die Berechnung von Gleichung (36) für den Fehler in F noch weiter vereinfachen, als es durch Benutzung von Gleichung (53) erreichbar ist, wenn man die folgenden Parameterwerte benutzt: (57)

Diese Werte werden durch das FORTRAN-Programm berechnet (siehe Zeilen 167 und 171 der Programm-Liste). Mit diesem Ergebnis werden nur die partiellen Ableitungen von F nach q[tief]a und q[tief]c benötigt, um Gleichung (36) zu lösen. Bei Benutzung der Ergebnisse der obigen Berechnungen berechnet das Programm dann Lösungen für den statistischen Fehler, und zwar für die spezifischen Darstellungsformeln, die durch Gleichungen (15) und (16) gegeben werden. Diese werden im Programm mit dem Parameter ERZSZ bzw. ERRSR bezeichnet. Werden die Gleichungen (57), (15) in (36) benutzt, so erhalten wir den folgenden Ausdruck für den relativen Fehler in der Atomordnungszahl: (58)

Dabei beziehen sich die Indices auf die Spektren großes Phi[tief]1 und großes Phi[tief]2. Werden die Gleichungen (57), (16) in (36) benutzt, so erhalten wir den folgenden Ausdruck für den relativen Fehler in der Elektronendichte: (59)

Zusätzlich berechnet das Programm den Fehler EREFON in der effektiven Dichte, wie sie in dem durch Gleichung (23) repräsentierten Darstellungsrahmen gegeben ist. Dies ist ein interessanter Darstellungsrahmen, da die Formulierung des Fehlers, der durch Gleichung (36) gegeben ist, beträchtlich wie nachfolgend vereinfacht werden kann.

Zuerst betrachten wir die Darstellung für die effektive Dichte, die durch Gleichung (21) gegeben ist, wobei wir großes Phi als großes Phi[tief]1 ansehen.

Dies bedeutet, daß F in Gleichung (36) als gleich mit genommen wird, letzteres ist durch die Gleichung (21) gegeben. Wenn wir nun die partiellen Ableitungen von F nach q[tief]a und q[tief]c nehmen, wie sie in Gleichung (36) benötigt werden, und wenn wir auch die Ergebnisse von Gleichung (37) einsetzen, so erhalten wir: (60)

Dabei ist kleines Epsilon[tief]D[tief]T gleich dem statistischen Fehler in D, welches durch Gleichung (21) gegeben ist, und zwar aufgrund des relativen statistischen Fehlers bei der gemessenen Transmission. In der Ableitung der Gleichung (60) haben wir angenommen, daß h[tief]a und h[tief]c in Gleichung (38) ungefähr gleich mit h[mit Überstrich][tief]a und h[mit Überstrich][tief]c in Gleichung (21) sind. Dies ergibt die offensichtliche Unabhängigkeit des Fehlers in vom Fehler kleines Epsilon[tief]T[tief]2. Um die Abhängigkeit von kleines Epsilon[tief]T[tief]2 zu erhalten, muß man die Glieder zweiter Ordnung betrachten: Wenn man annimmt, daß

h[tief]c = h[mit Überstrich][tief]c (1 + großes Delta[tief]c) (61)

und

h[tief]a = h[mit Überstrich][tief]a (1 + großes Delta[tief]a) (62)

so erhält man (63)

Dabei ist kleines Epsilon'[hoch]2[tief]D[tief]T der Anteil des statistischen Fehlers in T[tief]2 am statistischen Fehler von

Einige grobe Abschätzungen dieser Größe zeigen an, daß dieser Anteil kleiner als 10 % der Größe des Anteils ist, der in Gleichung (60) für die erwarteten Werte der verschiedenen Parameter ausgedrückt ist.

Benutzen wir Ergebnisse der Form, wie sie in Gleichung (60) ausgedrückt ist, so können wir nun direkt den Ausdruck für den Fehler in der gesamten mittleren effektiven Dichte erhalten, wie er in Gleichung (23) beschrieben ist.

(64)

wenn

kleines Epsilon[tief]T[tief]1 / T[tief]1 kongruent kleines Epsilon[tief]T[tief]2 / T[tief]2, dann gilt: (65)

EREFDN ist der Name der FORTRAN-Variablen (siehe Zeile 157 in der Programm-Liste).

Die obige Diskussion vervollständigt die Beschreibung der Anwendung des FORTRAN-Programmes für die Analyse des statistischen Fehlers beim SITAT-Verfahren. Nachfolgend stellen wir bestimmte Parameter zusammen und definieren sie, diese werden durch das Programm berechnet und dienen als vom Computer erzeugte Daten zur Anwendung und zum Test der Kalibrierungsverfahren, die im Abschnitt VI beschrieben werden. Für jede Ladung, jede Dicke und jedes Spektrumpaar werden vier Parameter durch das Programm berechnet. Diese vier Parameter sind: (66)

Siehe Zeile 150,5 des Spezialfall-Programmes.

(67)

Siehe Zeile 182.

(68) (69)

Siehe Zeilen 180 und 181 des Programmes.

An dieser Stelle verweisen wir auf eine Liste des FORTRAN-Programmes, und zwar auf Programm 2. Unmittelbar auf das Programm wird Tabelle 2 gezeigt, dies ist eine Tabelle des Computer-Ausgangs, wie er durch das Programm erzeugt wird. Diese Tabellen zeigen Ergebnisse für die Atomordnungszahlen 3, 4, 6, 8, 11, 13, 14, 16 und 20. Die Ladung wird in den Tabellen durch den Ausdruck "CHARGE" angezeigt. Für jede Ladung werden Ergebnisse für die Dicken 0, 1, 2, 4, 8, 16 und 32 cm der Probem berechnet. Die Dicke in cm wird durch den Ausdruck "THICK" angezeigt. "THICK = UUUU ..." bezieht sich auf ein Objekt mit der Dicke 0, dafür benutzt das Programm bestimmte Grenzwerte. Auf diese Tabellen folgen Tabellen, die die gleiche Information für jede der sieben Dicken geben, und zwar für Wasser (Z = 7,5063) und Lucite (TM) (Z = 7,1588), deren mittlere effektive Ladungen werden weiter unten aus Gleichung (99) berechnet. Für jede Ladung und Dicke werden Berechnungen für die folgenden einfallenden Spektrumpaare ausgeführt: (70 kV, 100 kV), (70 kV, 130 kV) und (100 kV, 130 kV). Hinweise auf der ersten Seite von

Tabelle 2 verweisen von den Ausgangsparametern auf die Formeln, die oben vorgelegt wurden. Das gleiche Muster wird für jede Ladung und Dicke in der Tabelle wiederholt.

VI Empirische Kalibrierungsverfahren für SITAT

Im Abschnitt I haben wir das spektral unabhängige transversale axiale Tomographieverfahren zur Bildrekonstruktion beschrieben. Es erfordert die Lösung der Gleichungen (11) und (12) für h[tief]a und h[tief]c, wobei die experimentell gemessenen Intensitätsverhältnisse J[tief]1/J[tief]o1 und J[tief]2/J[tief]o2 gegeben sind. In diesem Abschnitt legen wir ein empirisches Verfahren vor, durch welches die Kalibrierung einer speziellen Maschine mit den charakteristischen Spektren großes Phi[tief]1 und großes Phi[tief]2 und einer Detektorempfindlichkeit kleines Epsilon (E) erreicht wird, und durch welches die Inversion der zwei Gleichungen für h[tief]a und h[tief]c ausgeführt wird. Es wird klarwerden, daß eine genaue Kenntnis der Spektralfunktionen, die die Röntgeneinfallsspektren großes Phi[tief]1 und großes Phi[tief]2 repräsentieren, und der Detektorempfindlichkeit gegenüber der Energie nicht notwendig ist. Es ist hinreichend, die Integralinformation zu kennen, welche auf der speziellen Anordnung für die Kalibrierung durch experimentelle Messungen erhalten werden kann.

Wir beginnen mit der Bemerkung, daß durch Gleichung (10) die Werte von h[tief]a und h[tief]c für Materialproben mit bekannter atomarer Zusammensetzung (z.B. mit bestimmten Elementen oder Verbindungen), mit bekannter Dichte und gegebener Länge berechnet werden können. In Gleichung (10) sind q[tief]a und q[tief]c durch das Produkt aus Elektronendichte und f[tief]a bzw. f[tief]c, wie in Gleichung (39) definiert, gegeben. Deshalb ist es möglich, Proben mit variierenden Werten von h[tief]a und h[tief]c über dem gesamten für diese Parameter interessanten Bereich zu erhalten, wenn eine Reihe von Materialien mit bekannter gleichförmiger chemischer Zusammensetzung (beispielsweise Beryllium, Kohlenstoff, Wasser, Aluminium und Titan) ausgewählt wird, und wenn Proben mit einer

Vielzahl von Längen verwendet werden. Wird die spezielle Anordnung, die kalibriert werden soll, benutzt, so können diese Proben in das Bündel eingesetzt werden, welches dem Spektrum großes Phi[tief]1 und dem Spektrum großes Phi[tief]2 entspricht, und die Intensitätsverhältnisse J[tief]1/J[tief]o1 und J[tief]2/J[tief]o2 der Gleichungen (11) und (12) können gemessen werden. Dieser Datensatz korrespondiert mit einem kompletten Satz empirischer Daten, die für die Kalibrierung der speziellen Anordnung benutzt werden können. Im Prinzip könnten diese Daten in Tabellen tabelliert werden, die h[tief]a oder h[tief]c als eine Funktion der Werte der gemessenen Intensitätsverhältnisse J[tief]1/J[tief]o1 und J[tief]2/J[tief]o2 (diese bezeichnen wir im weiteren als die Transmissionen T[tief]1 und T[tief]2, vergleiche Gleichungen (26) und (27)) angeben. Ist eine solche Tabelle aufgestellt, so ist es möglich, die Werte von h[tief]a und h[tief]c für eine unbekannte Probe durch eine Messung von T[tief]1 und T[tief]2 zu bestimmen. Dies vervollständigt dann das Kalibrierungsverfahren und gibt uns die benötigten Werte.

Verschiedene Abänderungen dieses Kalibrierungsverfahrens sind möglich. Beispielsweise ist der Fall in Betracht zu ziehen, daß das oben beschriebene Kalibrierungsverfahren mit einem normalisierenden Standardphantom (welches beispielsweise aus einer kreisförmigen Scheibe aus Wasser besteht) ausgeführt wird, welches im Gerät während der Messung der Intensitäten J und J[tief]o mit den kalibrierten Proben eingesetzt ist. Das normalisierende Phantom muß vollständig innerhalb des Strahlungsbündels liegen und muß mit der Rotationsachse der Quelle-Detektor-Anordnung ausgerichtet sein. Dieses Beispiel ist besonders interessant, wie unten beschrieben wird, das Ergebnis von SITAT ist dann die Differenz zwischen den Eigenschaften des gleichförmigen Materials des normalisierenden Standardphantoms (in diesem Beispiel Wasser) und den Materialeigenschaften des untersuchten anatomischen Querschnittes. In einigen Fällen reduziert dieses Verfahren den systematischen Fehler des Systems und erzeugt allgemein verbesserte Ergebnisse.

Die obige Abänderung des Kalibrierungsverfahrens kann in die Mathematik wie folgt eingeführt werden: Zuerst ersetzt man großes Phi[tief]i durch großes Phi[tief]iT[tief]H[tief]2O, wobei T[tief]H[tief]2O die Transmission des normalisierenden Phantoms ist. Dann gilt Gleichung (11): (69a)

Oder, wenn die verschiedenen Teile identifiziert werden: (69b) (69c)

Bei der Kalibrierungsmessung haben wir dann, wenn wir das normalisierende Wasser-Standardphantom und die kalibrierten Proben nehmen: (69d) (69e)

Werden diese Gleichungen in die Gleichungen (69b) und (69c) eingesetzt, so folgt: (69f) (69g)

Damit findet man, daß nur h[tief]c und h[tief]a für die Probe bekannt sein müssen, und daß die Eigenschaften des normalisierenden Phantoms für die Kalibrierung nicht bekannt sein müssen. Wird dieses Verfahren benutzt, so kann man vorgehen, wie im Paragraphen 3 dieses Abschnittes beschrieben ist, und die Ergebnisse der Rekonstruktion von Gleichung (13) sind:

Aus dem obigen sehen wir, daß die Ergebnisse der Messungen Differenzen zwischen den Eigenschaften des normalisierenden Phantoms und den Eigenschaften des untersuchten anatomischen Querschnittes sind.

In den folgenden Absätzen erläutern wir ein Verfahren, um eine empirische Anpassung an die gemessenen Kalibrierungsdaten zu erreichen, die wiederum dazu benutzt werden können, direkt die Parameter h[tief]a und h[tief]c für eine unbekannte Probe mit den gemessenen Transmissionen T[tief]1 und T[tief]2 zu berechnen. Eine genauere Betrachtung der Gleichungen (11) und (12) zeigt, daß sehr schnelle Veränderungen exponentieller Art in der Beziehung zwischen den h Parametern und den Transmissionsparametern bestehen. Zur Erleichterung der Durchführung einer empirischen Anpassung ist die folgende Parametertransformation nützlich. Wir definieren die vier Parameter S[tief]a, S[tief]c, x, und y wie folgt: (70) (71) (72) (73)

Wenn die obigen Kalibrierungsdaten gegeben sind, kann eine Tabelle aufgestellt werden, welche den Zusammenhang zwischen diesen vier Parametern wiedergibt, und die benötigten Lösungen für die Gleichungen (11) und (12) können wie folgt als Funktionen wiedergegeben werden:

S[tief]a = S[tief]a (x, y) (74)

und

S[tief]c = S[tief]c (x, y) (75)

Sind diese Verhältnisse gegeben, und sind die Werte T[tief]1 und T[tief]2 gemessen, so kann man die Gleichungen (72) und (73) dazu benutzen, x und y zu berechnen, dann kann man S[tief]a und S[tief]c durch Benutzung der Gleichungen (74) und (75) ausrechnen, und h[tief]a und h[tief]c erhält man wiederum aus den Gleichungen (70) und (71). Für praktische Spektren großes Phi[tief]1 und großes Phi[tief]2 und eine Detektorempfindlichkeit kleines Epsilon sind die durch die Gleichungen (74) und (75) wiedergegebenen Funktionen relativ langsam veränderlich und können gut durch eine Polynomentwicklung approximiert werden.

Ein Anpassungsprogramm nach der Methode der kleinsten Fehlerquadrate wurde entwickelt, welches die Koeffizienten einer Polynomentwicklung ausrechnet, die die Gleichungen (74) und (75) wie folgt wiedergibt: (76) (77)

Ist ein Satz von Kalibrierungsdaten gegeben, kann dieses Programm benutzt werden, um die Koeffizienten A[tief]aij und A[tief]cij in diesen Gleichungen zu berechnen. Dies vervollständigt die Beschreibung des empirischen Kalibrierungsverfahrens, welches zur Verwendung im SITAT-Verfahren entwickelt wurde. Die FORTRAN-Liste des Programmes und einiger Testergebnisse wird im Anhang vorgelegt.

Als Test dieses Verfahrens wurde das Programm auf vom Computer erzeugte Kalibrierungsdaten angewandt, die wie folgt auf den Tabellen des National Bureau of Standards basieren. Wie im vorangehenden Abschnitt angezeigt wurde, berechnet das Programm 2 gewisse Parameter, die in den Gleichungen (66) bis (69) angegeben sind. Eine Untersuchung dieser Gleichungen zeigt in der Tat, daß diese Parameter äquivalent mit den Parametern x, y, S[tief]a und S[tief]c sind, wie sie oben in den Gleichungen (70) bis (73) beschrieben sind, und daß diese Daten deshalb direkt als Eingangsdaten für das Programm 3 benutzt werden können, dieses Programm wird in diesem Abschnitt beschrieben. Im Anhang legen wir eine Liste des Programmes 3 und direkt nachfolgend die Tabelle 3 vor, diese ist ein Satz aus sechs Tabellen, welche die Ergebnisse wiedergeben, die bei der Anwendung des Programmes 3 auf die vom Computer erzeugten Kalibrierungsdaten, die aus den Tabellen des National Bureau of Standards abgeleitet sind, erhalten werden. Die ersten drei Tabellen berechnen einen Satz von h[tief]c's für die Energie-Spektrumpaare (70 keV, 130 keV), (70 keV, 100 keV) bzw. (100 keV, 130 keV). Die nächsten drei Tabellen berechnen einen Satz von h[tief]a's für die gleichen drei Spektrumpaare. Wenn die Werte für h erhalten worden sind, kann irgendein Rekonstruktionsalgorithmus benutzt werden, um ein für die tomographische Diagnose nützliches Ausgangsbild zu erhalten.

In der Tabelle sind die Koeffizienten A als ASUBXY bezeichnet, und darauf folgt eine Tabelle, in der in den ersten drei Spalten die Eingangsdaten aufgelistet sind, dabei sind die Spalten entsprechend den Namen der Variablen bezeichnet, die in den Gleichungen (66) bis (69) angegeben sind (die Gleichungen (68) und (69) werden durch BHSUBC und BHSUBA repräsentiert). Die vierte Spalte, die mit THSUBC oder THSUBA bezeichnet ist, korrespondiert mit h[tief]c oder h[tief]a und gibt eine Berechnung einer Lösung des Polynoms wieder, wobei die bestimmten Parameter benutzt werden, und wobei die Werte von BLOGT und RLTSLT (die mit x bzw. y korrespondieren) wie in den Spalten 1 und 2 der Tabelle angegeben angenommen werden. Die fünfte Spalte, die mit BMATRX bezeichnet ist, gibt die relative Differenz zwischen den Werten in Spalte 3 und Spalte 4 an. Die Zeilen repräsentieren verschiedene Atomordnungszahlen und Dicken. Am Ende einer jeden Tabelle ist eine gesamte relative quadratische Abweichung angegeben. Wie ersichtlich ist, sind die mittleren quadratischen Abweichungen in der Größenordnung von wenigen Prozenten. Tatsächlich ist der in den Tabellen abgedeckte Bereich von BLOGT und RLTSLT größer als erforderlich. Über einen kleineren Bereich können bessere Anpassungen erreicht werden, wie aus einer genauen Untersuchung der Werte von BMATRX ersichtlich ist.

VII Diskussion des Wassersack-Verfahrens bei der transversalen axialen Tomographie

In diesem Abschnitt geben wir eine kurze Darstellung der Anwendung eines Wassersack-Verfahrens, um die Effekte des Spektrumproblems bei der transversalen axialen Tomographie zu reduzieren, wenn ein Rekonstruktionsverfahren verwendet wird, welches die spektrale Verteilung des einfallenden Röntgenstrahles vernachlässigt. Wir formulieren zuerst dieses Verfahren und entwickeln Formeln, die die Parameter beschreiben, die bei Benutzung dieses Verfahrens gemessen werden. Dann diskutieren wir kurz die ungefähren Grenzen des Verfahrens in Abhängigkeit vom Fehler, der im rekonstruierten Bild aufgrund der Approximationen auftritt, die bei Verwendung des Verfahrens gemacht werden. Wir beginnen mit den Gleichungen (3) und (4) und bemerken, daß H wie folgt geschrieben werden kann: (78)

Wenn nun ein Experimentiergerät so angeordnet wird, daß es Intensitätsmessungen in der Weise ausführt, daß die J[tief]o2-Messung mit einer Messung korrespondiert, bei der der Röntgenstrahl auf einer effektiven Länge L durch Wasser verläuft, und bei der die Messung von J[tief]1 eine Messung des Untersuchungsobjekts ist, wobei dieses innerhalb eines Wasserbades liegt, dessen Außenabmessung eine effektive Dimension L hat, so werden die Gleichungen (3) und (4) zu: (79)

und (80)

In diesen Gleichungen ist der effektive Fluß großes Phi' (E) gegeben durch: (81)

und (82)

In den obigen Gleichungen geben kleines Sigma[tief]H und kleines Rho[tief]H den Röntgenstrahlquerschnitt und die Elektronendichte von Wasser wieder, und kleines Sigma und kleines Rho gegen den Röntgenstrahl-Dämpfungsquerschnitt und die Elektronendichte des unbekannten Untersuchungsobjekts wieder. Wenn wir großes Delta als klein annehmen, so kann das Verhältnis der Gleichung (79) zur Gleichung (80) zu einer Reihe entwickelt werden, und man erhält: (83)

Wird die effektive Dämpfungsdichte definiert durch: (84)

und wird die mittlere quadratische effektive Dämpfungsdichte definiert durch (85)

so kann Gleichung (83) in der folgenden Form geschrieben werden: (86)

bzw., wenn man die Glieder zweiter Ordnung vernachlässigt, in der folgenden Form: (87)

Die effektive Dämpfungsdichte gibt die Dämpfungsdichte des Untersuchungsobjekts wieder, wobei der Wassersack nicht eingeschlossen ist, und wobei über das Energiespektrum gemittelt wird. Wir bemerken in der obigen Gleichung, daß es möglich ist, wenn die Glieder zweiter oder höherer Ordnung vernachlässigt werden, Messungen für die Linienintegrale des effektiven Dämpfungskoeffizienten aus den Messungen von J[tief]1 und J[tief]o1 zu erhalten. Wenn die Messungen dieses Linienintegrals in allen Richtungen großes Theta durch jeden Punkt des unbekannten Objekts ausgeführt sind, kann deshalb eine Bildrekonstruktion ausgeführt werden, wobei irgendein Rekonstruktionsalgorithmus benutzt wird, um die effektive Photonendämpfung an jedem Punkt in der Probe zu erhalten. Damit erhalten wir durch Vergleich mit Gleichung (84): (88)

Durch Verwendung der durch Gleichung (88) gelieferten Ergebnisse und durch Verwendung einiger straightforward Kalibrierungsmessungen ist es möglich, die effektive Photonendämpfung an allen Punkten innerhalb der Untersuchungsprobe zu erhalten. Diese Photonendämpfung wird durch die folgende Gleichung wiedergegeben: (89)

Diese Gleichung gibt dann das Ergebnis wieder, welches bei Verwendung des Wassersack-Verfahrens bei der transversalen axialen Tomographie erhalten wird.

Nun geben wir eine Abschätzung der Grenzen, die durch die Approximationen verursacht werden, die bei Gleichung (89) gemacht wurden. Eine Messung des Fehlers bei diesem Verfahren kann dadurch erhalten werden, daß die Differenzen zwischen den Gleichungen (86) und (87) bis zur zweiten Ordnung bestimmt werden. Diese Differenz zweiter Ordnung ist: (90)

Dabei ist (91)

Wenn man großes Psi[mit Überstrich] durch die folgende Gleichung definiert: (92)

so kann Gleichung (90) geschrieben werden als: (93)

Die sehr grobe Berechnung in dieser Differenz ergibt einen Wert von ungefähr 4 mal 10[hoch]-5 für diese Differenz, wenn angenommen wird, daß ein Anteil von 1 % der effektiven Wasserweglänge von 24 cm Luft ist. Eine Durchsicht der Gehirnabtastungen zeigt, daß Abweichungen in der Größenordnung von 6 % bis 9 % gegenüber Wasser bei Integralweglängen durch den Schädel gemessen werden. Damit haben wir eine effektive Differenz zweiter Ordnung in der Größenordnung von ungefähr 6 mal 4 mal 10[hoch]-5 = 2,4x10[hoch]-4. Wenn man beachtet, daß T = e[hoch]-a oder dT/T = -da, so schließen wir, daß eine grobe Abschätzung des Fehlers, der in diesem Effekt zweiter Ordnung begründet ist, beim Wassersack-Verfahren auf dem rekonstruierten Bild dadurch abgeschätzt werden kann, daß der Wert von Dif, der durch Gleichung (93) gegeben ist, für kleines Epsilon[tief]T/T in Gleichung (60) eingesetzt wird. Aus der obigen Diskussion schließen wir, daß das Wassersack-Verfahren offenbar einen minimalen systematischen Fehler hat, der ungefähr mit einem Fehler von 2,4x10[hoch]-4 in kleines Epsilon[tief]T/T korrespondiert. Damit ist der Erhalt der Meßdaten von J[tief]1 und J[tief]o1 mit einer statistischen Genauigkeit von besser als ungefähr 0,03 % bis 0,05 % keine wesentliche Verbesserung der Bildqualität der Rekonstruktionen, die bei Benutzung dieses Verfahrens erhalten wird. Bei der Ableitung dieses Ergebnisses wurden ziemlich vorsichtige Voraussetzungen gemacht. Der tatsächliche Effekt könnte deutlich stärker restriktiv sein.

VIII Typische effektive Elektronendichten und effektive Ladungen für anatomische Organe und Gewebe.

Wie im Abschnitt I gesagt wurde, ist die totale Dämpfungskomponente die Summe, die von den einzelnen Dämpfungskomponenten der elementaren Bestandteile des Materials abhängt, wenn das Untersuchungsobjekt aus chemischen Verbindungen zusammengesetzt ist. In diesem Abschnitt formulieren wir die Verfahren und Formeln, um diese Effekte in den Ergebnissen der vorangegangenen Abschnitte geeignet zu berechnen. Auf der Grundlage der bekannten chemischen Zusammensetzung der verschiedenen anatomischen Materialien berechnen wir dann Ergebnisse und legen diese vor, diese sind dafür gedacht, die Veränderungen in der effektiven Elektronendichte und der effektiven Ladung anzuzeigen, die gemessen werden müssen, um medizinisch bemerkenswerte Bilder bei der spektral unabhängigen transversalen axialen Tomographie zu erhalten. Aus der Diskussion der Gleichung (7) und bei Benutzung der Gleichung (29) bemerken wir, daß wir den verallgemeinerten Ausdruck schreiben können: (94)

Dabei ist kleines Rho[tief]i die Elektronendichte des Elementes mit der Ladung Z[tief]i am Orte

Die Summe wird über alle die Elemente ausgeführt, aus denen das Untersuchungsmaterial am Punkt zusammengesetzt ist. Nach den Indices a und c bei kleines Rho und f in Gleichung

(94) zugefügt worden sind, gibt diese Gleichung dann die Größen wieder, die tatsächlich bei der transversalen axialen Tomographie gemessen werden, und die bei Anwendung eines Rekonstruktionsalgorithmus bestimmt werden.

Wir bemerken, daß die Benutzung der Gleichung (94) ermöglicht, eine effektive Ladung Z[mit Überstrich][tief]f als die Lösung der folgenden Gleichung zu definieren: (95) (96)

Z[mit Überstrich][tief]f hängt von der funktionalen Abhängigkeit der Funktion f ab. Im allgemeinen ergeben verschiedene funktionale Abhängigkeiten für f verschiedene Ergebnisse für die effektive Ladung Z[mit Überstrich][tief]f. Für die funktionale Form von f muß eine Annahme getroffen werden. Im folgenden nehmen wir an, daß die Gleichungen (9) diese funktionale Abhängigkeit geben. Gestützt auf Gleichung (94) definieren wir dann eine effektive Elektronen-Ladungsdichte und eine effektive Ladung

(97)

und (98)

Wird Gleichung (97) in Gleichung (98) verwendet, so erhalten wir: (99)

Wir können die effektive Elektronendichte kleines Rho[mit Überstrich] durch die folgende Gleichung definieren: (100)

Eine mittlere Ladung können wir definieren als:

(101)

Außerdem bemerken wir, daß die Massendichte kleines Rho[tief]m gegeben ist durch: (102)

Dabei ist A[tief]i die Atommasse des i-ten-Elementes, diese ist verknüpft mit q[tief]c, da A~2Z. Die oben definierten Größen sind widerspruchsfrei zu den in den Gleichungen (15) und (16) diskutierten Größen, und sie geben eine Definition und Interpretation der Größen, die im Abschnitt II diskutiert worden sind. Zu bemerken ist, daß Abschnitt V berechnete Abschätzungen der statistischen Genauigkeit gibt, welche bei Messungen dieser Größen bei der transversalen axialen Tomographie erhalten werden kann.

Ein FORTRAN-Programm, Programm 4, wurde entwickelt, dieses berechnet die effektive Ladung und eine mittlere Ladungsdichte für 18 repräsentative anatomische Materialien. Eine Liste dieses FORTRAN-Programmes ist im Anhang beigefügt. Auf das Programm folgt ein Tabellensatz, Tabelle 4, welche die Ergebnisse wiedergibt, die mit dem Programm erhalten wurden. Die effektive Ladung, wie sie durch Gleichung (99) definiert wurde, wird zusammen mit den relativen Elektronendichten für jedes der Elemente in den ersten 18 Tabellen der Tabelle 14 gegeben. In der neunzehnten Tabelle werden die Prozent-Abweichungen dieser effektiven Ladungswerte von einer mittleren effektiven Ladung (berechnet ohne Knochen) gegeben. Diese Tabelle zeigt SITAT-Genauigkeiten, die benötigt werden, um die verschiedenen Materialien zu unterscheiden. Wird diese Tabelle zusammen mit dem bekannten statistischen Fehler, wie er in den vorangehenden Abschnitten bestimmt wurde, benutzt, so erhält man die Möglichkeit, einen geeigneten Darstellungsrahmen zur Unterscheidung zwischen gewünschten anatomischen Organen auszuwählen. Wenn der Unterschied in der effektiven Ladung zwischen den zwei

Organen, die unterschieden werden sollen, den bekannten statistischen Fehler überschreitet, der mit diesem Darstellungsrahmen verbunden ist, so kann das System die gewünschte Unterscheidung ausführen. Der Computer 100 kann dafür programmiert werden, anzuzeigen, welche Organe aus einer vorgewählten Liste bei Benutzung eines bestimmten Darstellungsrahmens unterschieden werden können, und umgekehrt.

IX Optimierung der Meßparameter

Wenn die Formulierung für die Fehleranalyse, wie sie im Abschnitt III gezeigt wurde, bekannt ist, können die Ergebnisse für viele Zwecke verwendet werden. Beispielsweise können sie zur Untersuchung der statistischen Genauigkeit von SITAT benutzt werden, wie im Abschnitt V gezeigt wurde. In diesem Abschnitt zeigen wir eine andere Anwendung, hier werden die Ergebnisse des Abschnittes III für eine Optimierung der Meßparameter verwendet. Der Satz der Meßparameter, die optimiert werden sollen, kann willkürlich ausgewählt werden. Im Beispiel für diesen Abschnitt haben wir die folgenden Parameter ausgewählt:

Wir nehmen an, daß die zwei benötigten Spektren durch Messungen mit und ohne Filter in einer Quelle mit einem festen Spektrum erzeugt werden. (In unserem Beispiel ist dies ein Röntgenspektrum von einer Röntgenröhre mit einer 130 kV-Spitze.) Die Meßparameter werden optimiert, um einen möglichst kleinen Fehler in der effektiven Ladung bei der Messung zu erzeugen, d.h. beim Fehler in Z dividiert durch Z an einem beliebigen Punkt innerhalb des Objektes. Die zu optimierenden Meßparameter werden wie folgt ausgewählt. Erstens die Filterdicke, zweitens die Atomordnungszahl des Filters, drittens die relative Zeitdauer der zwei Messungen. Die Wahl des zu optimierenden Ergebnisses und der gewählten Meßparameter ist vernünftig. Jedoch ist es nur ein Satz aus einer großen Zahl von Möglichkeiten, die von den genauen Eigenschaften des Zwecks der Messungen und des benutzten Apparates abhängen.

Um die Anwendung dieses Verfahrens zu illustrieren, fügen wir

Programm 5 bei, welches eine Berechnung für einen bestimmten Satz von Bedingungen ausführt (beispielsweise für Phantom mit einem Durchmesser von 16 cm, usw.). Für diesen Fall wird das Endergebnis auf der letzten Zeile des Programmausdruckes angegeben. Für diesen besonderen Fall ist der kleinste Wert für den relativen statistischen Fehler bei der Messung der effektiven Ladung 0,046594. Diesen Wert erhält man, wenn man ein Filter mit einer Atomordnungszahl von 47,5 und einer Dicke von 0,0475 cm benutzt. Die zwei Messungen müssen für Zeiten (oder Strahlintensitäten) im Verhältnis von 0,325 bis zu 0,675 ausgeführt werden.

X Betrachtung der Dosis, Wassersack bzw. SITAT

Der relative Dichtefehler bei SITAT ist: (103)

Um dieses Ergebnis zu erhalten, sind zwei Messungen erforderlich. In Gleichung 103 ist T[tief]1 die Transmission, l ist die Dicke, die anderen Symbole wurden vorangehend definiert. Für den Fall, daß ein Wassersack benutzt wird, um die künstlichen spektralen Effekte zu dämpfen, definieren wir T[tief]H[tief]2O als die Transmission des Wassersacks, T ist die Transmission des Untersuchungsobjektes, und l' ist die gesamte Dicke. Der Fehler ist: (104)

Angenommen, wir wollen gleiche Fehler für beide Verfahren. Dann muß Gleichung 103 mit T[tief]1 = T gleich der Gleichung 104 sein, oder: (105)

Wird Gleichung 56 benutzt, so sind die benötigten Einfallsintensitäten

I und I[tief]sack damit: (106)

oder (107)

Die relative Dosis, die auf dem Objekt angezeigt wird, ist: (108)

Zu beachten ist, daß die beiden Dosen gleich sind, wenn T[tief]H[tief]2O = 1 ist. In Gleichung 108 ist die 2 im Nenner eingeführt, um zu berücksichtigen, daß für SITAT zwei Messungen erforderlich sind. Eine Quadratwurzel von T[tief]H[tief]2O ist im Zähler eingeführt, um die Abschwächung der Dosis im Einfallsstrahl durch das Wasser wiederzugeben.

Wir betrachten nun Gleichung 108. Zuerst beachten wir, daß ln(T[tief]H[tief]2O) ungefähr gleich µ[tief]H[tief]2Ol und lnT ungefähr gleich µl

damit ist (109)

für Wasser gilt:

(110)

Damit finden wir: (111)

Benutzen wir dieses Ergebnis, so erhalten wir die folgende Tabelle:

H[tief]2O Dosis Wassersack/Dosis ohne Sack

0 cm 1

5 cm 1,685

10 cm 2,84

15 cm 4,78

20 cm 8,06

25 cm 13,6

Aus dieser Tabelle sehen wir, daß in der Dosis eine Reduzierung um einen Faktor von ungefähr 3 erreicht wird, wenn SITAT ohne einen Wassersack benutzt wird, verglichen mit einem typischen bekannten Nicht-SITAT-System, welches einen Wassersack verwendet.

Anhang

Programm I S. 1 - 10

Tabelle I S. 11

Programm II S. 12 - 18

Tabelle II S. 19 - 54

Programm III S. 55 - 63

Tabelle III S. 64 - 75

Programm IV S. 76 - 84

Tabelle IV S. 85 - 91

Programm V S. 92 - 103

Tabelle V S. 104

PROGRAMM 1

Tabelle 1

PROGRAMM 2

Tabelle 2

PROGRAMM 3

Tabelle 3

PROGRAMM 4

Tabelle 4

PROGRAMM 5

Claims (41)

1. Vorrichtung zur Tomographie zur grafischen Wiedergabe einer Information von einem Objekt, gekennzeichnet

durch zumindest eine Quelle für eine durchdringende Strahlung, wobei die Quelle so angeordnet ist, daß sie die Strahlung auf das Objekt richtet,

durch zumindest einen Detektor, der auf die Strahlung anspricht, wobei jeder Detektor so angeordnet ist, daß er diese Strahlung nach dem Durchgang durch das Objekt empfängt, um dann ein Ausgangssignal zu erzeugen, welches der vom Detektor empfangenen Strahlung entspricht,

durch eine an den Detektor (die Detektoren) gekoppelte Vorrichtung, die diese Ausgangssignale mit Hinweisen auf eine Reihe von Testausgangssignalen und entsprechenden Testzwischensignalen versieht, die durch wirkliche Messungen von Objekten erzeugt worden sind, die eine bekannte Dämpfungscharakteristik besitzen, wobei die Hinweisvorrichtung Zwischensignale erzeugt, welche zu den genannten Ausgangssignalen im gleichen Verhältnis stehen wie die genannten Testzwischensignale zu den genannten Testausgangssignalen,

und durch eine Vorrichtung zur Rekonstruktion dieser Zwischensignale in zumindest zwei getrennte Bilder (Faksimiles), von denen jedes eine unterschiedliche Verteilung des Dämpfungsgrades innerhalb des Objekts repräsentiert.

2. Vorrichtung nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die Hinweisvorrichtung eine Diskriminatorvorrichtung umfaßt, so daß das erste Bild die Verteilung der Elementarquanten innerhalb des Objekts repräsentiert, und daß das zweite Bild die Verteilung der Elektronendichte innerhalb des Objekts repräsentiert.

3. Vorrichtung nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die Hinweisvorrichtung eine Diskriminatorvorrichtung umfaßt, so daß jedes Bild für die Verteilung einer Kombination der Atomladungs- und Elektronendichte an jedem Punkt im Objekt repräsentativ ist.

4. Vorrichtung nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß ein Filter zwischen der Quelle und dem Objekt angeordnet ist, um zu verhindern, daß ein Teil der Strahlung auf das Objekt fällt, und daß eine Vorrichtung an dieses Filter gekoppelt ist, um zumindest einen Teil des Filters selektiv zu aktivieren.

5. Vorrichtung nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß eine Vorrichtung vorgesehen ist, um die Energieverteilung der Strahlungsquelle selektiv zu verändern.

6. Vorrichtung nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß in jedem Detektor eine Trennvorrichtung vorgesehen ist, um die Strahlung in zwei Teile über und unter einem vorgewählten Cut-off-Wert der Energie zu trennen, wobei jeder Detektor jeden getrennten Strahlungsteil mißt und in Abhängigkeit davon ein Ausgangssignal erzeugt.

7. Vorrichtung zur Tomographie zur grafischen Wiedergabe einer Information von einer Objektschicht, gekennzeichnet

durch zumindest eine Strahlungsquelle für eine durchdringende Strahlung,

durch zumindest einen Detektor, der auf diese Strahlung anspricht, wobei jeder Detektor ein elektrisches Ausgangssignal erzeugt, welches der am Detektor empfangenen Strahlung entspricht, und wobei die Quelle (Quellen) und der Detektor (die Detektoren) auf gegenüberliegenden Seiten der Objektschicht angeordnet sind,

durch eine an den Detektor (die Detektoren) gekoppelte Vorrichtung zum Empfang der elektrischen Ausgangssignale, die vom Detektor (von den Detektoren) erzeugt worden sind, und zum Vergleich dieser Signale mit einem Satz von Testausgangssignalen und zwei korrespondierenden Sätzen von Testzwischensignalen, wobei diese Empfangs- und Vergleichsvorrichtung dabei zwei Sätze von Zwischensignalen erzeugt, von denen jeder Satz repräsentativ für Linienintegrale der Dämpfungskoeffizienten der Strahlung innerhalb des Objekts ist, wobei jedes Zwischensignal zu seinem erzeugenden Ausgangssignal in gleicher Beziehung steht wie das korrespondierende Testzwischensignal zum korrespondierenden Testausgangssignal, wobei die Empfangs- und Vergleichsvorrichtung über

Verteilungen der fotoelektrischen Absorption, der Compton-Streuung und der Rayleigh-Streuung der Photonen innerhalb des Objekts Rechenschaft abgibt,

und durch eine Vorrichtung zur Umwandlung dieser beiden Sätze von Zwischensignalen in zwei separate Bilder (Faksimiles), von denen jedes repräsentativ für die Dämpfungsverteilung innerhalb des Objekts und frei von spektralen künstlichen Effekten ist.

8. Vorrichtung zur Tomographie zur grafischen Wiedergabe einer Information von einer Objektschicht, gekennzeichnet

durch zumindest eine Quelle für eine durchdringende Strahlung, wobei diese Quelle so angeordnet ist, daß die Strahlung auf das Objekt gerichtet ist,

durch zumindest einen Detektor, der auf die Strahlung anspricht, wobei jeder Detektor so angeordnet ist, daß er die Strahlung nach dem Durchgang durch das Objekt empfängt, um ein Ausgangssignal zu erzeugen, welches der Strahlung am Detektor entspricht,

durch eine an den Detektor (die Detektoren) gekoppelte Vorrichtung, um die Ausgangssignale mit Hinweisen auf eine Serie von Testdaten zu versehen, die von wirklichen Testmessungen an Objekten mit bekannter Dämpfungscharakteristik abgeleitet sind, wobei die Hinweisvorrichtung Zwischensignale erzeugt, und wobei die Hinweisvorrichtung eine Diskriminatorvorrichtung umfaßt, so daß jedes der Bilder (Faksimiles) repräsentativ für die Verteilung einer Kombination der Elementarquanten und der Elektronendichte an jedem Punkt innerhalb des Objekts ist, wobei diese Kombination vorgewählt wird, basierend auf der Anwendung einer Fehlerfunktion, und durch eine Vorrichtung zur Rekonstruktion dieser Zwischensignale in zumindest zwei separate Bilder (Faksimiles), von denen jedes repräsentativ für eine unterschiedliche Verteilung des Dämpfungsgrades innerhalb des Objekts ist.

9. Vorrichtung nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß eines der Bilder (Faksimiles) repräsentativ für den Durchgang des Strahlungsbündels durch eine willkürlich dünne Objektschicht ist.

10. Vorrichtung nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß eines der Bilder (Faksimiles) repräsentativ für den Durchgang des Strahlungsbündels durch eine Objektschicht mit endlicher Dicke ist.

11. Vorrichtung zur Tomographie zur grafischen Wiedergabe einer Information von einer Objektschicht, gekennzeichnet

durch zumindest eine Quelle für eine durchdringende Strahlung, wobei die Quelle so angeordnet ist, daß die Strahlung auf das Objekt gerichtet ist,

durch zumindest einen Detektor, der auf die Strahlung anspricht, wobei jeder Detektor so angeordnet ist, daß er die Strahlung nach dem Durchgang durch das Objekt empfängt, um ein Ausgangssignal zu erzeugen, welches der Strahlung am Detektor entspricht,

durch eine an den Detektor (die Detektoren) gekoppelte Vorrichtung, um die Ausgangssignale mit Hinweisen auf Serien von Testdaten zu versehen, die von wirklichen Testmessungen an Objekten mit bekannter Dämpfungscharakteristik abgeleitet sind, wobei diese Hinweisvorrichtung Zwischensignale erzeugt, durch eine Vorrichtung zur Rekonstruktion dieser Zwischensignale in zumindest zwei separate Bilder (Faksimiles), von denen jedes repräsentativ für eine unterschiedliche Verteilung des Dämpfungsgrades innerhalb des Objekts ist,

und dadurch, daß eine Vorrichtung zur Fehlerberechnung an den Detektor (die Detektoren) gekoppelt ist und den mit den Bildern (Faksimiles) verbundenen statistischen Fehler als eine Funktion des statistischen Fehlers berechnet, der mit den Detektormessungen verbunden ist.

12. Vorrichtung nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die Hinweisvorrichtung eine Vorrichtung umfaßt, die Rechenschaft von den Verteilungen der fotoelektrischen Absorption, der Compton-Streuung und der Rayleigh-Streuung innerhalb des Objekts ablegt, wobei analytische Ausdrücke für diese Erscheinungen als Funktionen der Atomordnungszahl und Photonenenergie aufgestellt werden, wobei diese Ausdrücke von empirischen Daten abgeleitet sind.

13. Vorrichtung nach Anspruch 11, dadurch gekennzeichnet, daß die Vorrichtung zur Fehlerberechnung eine Vorrichtung besitzt, die den mit der Verwendung eines das Objekt umgebenden Wassersacks verbundenen Fehler als eine Funktion des statistischen Fehlers bestimmt, der mit den Messungen verbunden ist, die durch den Detektor (die Detektoren) ausgeführt worden sind.

14. Vorrichtung nach Anspruch 11, dadurch gekennzeichnet, daß eine Vorrichtung vorgesehen ist, die die mit den Bildern (Faksimiles) verbundenen statistischen Fehler mit einer vorberechneten Tabelle physikalischer Differenzen unter einem vorbestimmten Satz typischer Punkte, die wahrscheinlich innerhalb des Objekts aufzufinden sind, vergleicht, wobei diese Vergleichsvorrichtung Ausgangsdaten erzeugt, die anzeigen, welcher Punkt mit welchem Bild (Faksimile) unterschieden werden kann.

15. Vorrichtung nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß zumindest eines der Objekte mit bekannter Dämpfungscharakteristik eine einheitliche Atomordnungszahl hat.

16. Vorrichtung nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß zumindest eines der Objekte mit bekannter Dämpfungscharakteristik eine gleichförmige Atomordnungszahl und eine zylindrische Geometrie hat.

17. Vorrichtung nach Anspruch 4, dadurch gekennzeichnet, daß zumindest ein physikalisches Merkmal aus einem Merkmalsatz des Filters optimiert ist.

18. Vorrichtung nach Anspruch 17, dadurch gekennzeichnet, daß der Satz physikalischer Merkmale die Dicke des Filters umfaßt.

19. Vorrichtung nach Anspruch 17, dadurch gekennzeichnet, daß die Optimierung so ausgeführt wird, daß der Fehler in zumindest einem der Bilder (Faksimiles) minimalisiert wird.

20. Vorrichtung nach Anspruch 17, dadurch gekennzeichnet, daß die Optimierung einen minimalen relativen Fehler in der effektiven Ladungsverteilung bei zumindest einem der Bilder (Faksimiles) erzeugt.

21. Vorrichtung nach Anspruch 6, dadurch gekennzeichnet, daß die Geometrie der Trennvorrichtung optimiert ist.

22. Vorrichtung nach Anspruch 6, dadurch gekennzeichnet, daß die relative Zeitdauer, die die Trennvorrichtung in einem Betriebszustand der Vorrichtung benutzt, optimiert ist.

23. Vorrichtung nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die Strahlung eine Röntgen- oder Gammastrahlung ist, die aus der Quelle fächerförmig austritt.

24. Vorrichtung zur Tomographie zur grafischen Wiedergabe einer Information von einer Objektschicht, gekennzeichnet

durch zumindest eine Quelle für eine durchdringende Strahlung, wobei die Quelle so angeordnet ist, daß die Strahlung auf das Objekt gerichtet ist,

durch zumindest einen Detektor, der auf die Strahlung anspricht, wobei jeder Detektor so angeordnet ist, daß er die Strahlung nach Durchgang durch das Objekt empfängt, um ein Ausgangssignal zu erzeugen, welches der Strahlung am Detektor entspricht,

durch eine an den Detektor (die Detektoren) gekoppelte Vorrichtung, die die Ausgangssignale mit Hinweisen auf eine Serie von Testdaten versieht, die von wirklichen Testmessungen an Objekten mit bekannter Dämpfungscharakteristik abgeleitet sind, wobei diese Hinweisvorrichtung Zwischensignale erzeugt,

und durch eine Vorrichtung zur Rekonstruktion dieser Zwischensignale in zumindest zwei separate Bilder (Faksimiles), von denen jedes repräsentativ für eine unterschiedliche Verteilung des Dämpfungsgrades innerhalb des Objekts ist, wobei diese Rekonstruktionsvorrichtung einen nicht erneut anordnenden Faltungs- und Rückprojektions-Rekonstruktor

(non reordering convolution and backprojecting reconstructor) besitzt.

25. Vorrichtung nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die Quelle (Quellen) und der Detektor (die Detektoren) auf der gleichen Quai-Ebene wie die Objektschicht angeordnet sind.

26. Verfahren zur Beseitigung spektraler künstlicher Effekte von Tomogrammen eines unbekannten Probenobjekts, wobei die Tomogramme durch Verwendung einer durchdringenden Strahlung erzeugt werden, und wobei diese Strahlung detektiert wird, wobei ein dementsprechendes Ausgangssignal erzeugt wird, dadurch gekennzeichnet,

daß ein erster Satz von Testmessungen ohne Objekt zwischen der Quelle (den Quellen) und dem Detektor (den Detektoren) ausgeführt wird,

daß zumindest ein zusätzlicher Satz von Testmessungen ausgeführt wird, wobei bei jeder Messung zumindest ein Testobjekt mit bekannter Dämpfungscharakteristik zwischen der Quelle (den Quellen) und dem Detektor (den Detektoren) angeordnet ist,

daß diese Testmessungen in eine Tabelle umgewandelt werden, die die Detektorausgangssignale mit Linienintegralen der Strahlungsdämpfung verknüpft,

daß zwei Sätze von Betriebsmessungen ausgeführt werden, jeweils mit einem unbekannten Probenobjekt, welches zwischen der Quelle (den Quellen) und dem Detektor (den Detektoren) angeordnet ist,

daß diese Betriebsmessungen in zwei Sätze von Betriebslinienintegralen transformiert werden, wobei in der Tabelle

Hinweise gemacht werden,

und daß diese Betriebslinienintegrale in zwei Ausgangstomogramme umgesetzt werden.

27. Verfahren nach Anspruch 26, dadurch gekennzeichnet, daß die Strahlung eine Röntgen- oder Gammastrahlung ist und aus der Quelle in Form eines Fächers austritt, der in der gleichen Quasi-Ebene liegt wie das unbekannte Probenobjekt.

28. Verfahren nach Anspruch 26, dadurch gekennzeichnet, daß jedes der Ausgangstomogramme repräsentativ für eine Kombination der Atomladungsverteilung und der Elektronen-Dichteverteilung innerhalb des unbekannten Probenobjekts ist.

29. Verfahren nach Anspruch 26, dadurch gekennzeichnet, daß der Schritt zur Umsetzung bzw. Rekonstruktion die Anwendung einer nicht erneut ordnenden Faltungsvorrichtung für jeden der Sätze der Betriebslinienintegrale umfaßt.

30. Verfahren nach Anspruch 26, dadurch gekennzeichnet, daß der Schritt der Betriebsmessung die folgenden Verfahrensschritte umfaßt:

Durchführung einer ersten Gruppe von Betriebsmessungen mit einem Filter, welches zwischen der Quelle (den Quellen) und dem unbekannten Probenobjekt angeordnet ist, und

Durchführung einer zweiten Gruppe von Betriebsmessungen ohne Filter.

31. Verfahren nach Anspruch 30, dadurch gekennzeichnet, daß die physikalischen Merkmale des Filters optimiert werden.

32. Verfahren nach Anspruch 31, dadurch gekennzeichnet, daß die optimierten physikalischen Merkmale die Geometrie des Filters, die Atomzahl des Filters und die relative Zeitdauer, für die der Filter benutzt wird, einschließen.

33. Verfahren nach Anspruch 26, dadurch gekennzeichnet, daß der Schritt der Betriebsmessungen die Durchführung von zwei Sätzen von Messungen mit zwei verschiedenen Spitzenenergieeinstellungen der Quelle (Quellen) umfaßt.

34. Verfahren nach Anspruch 33, dadurch gekennzeichnet, daß die Höhe und Dauer der Energieeinstellungen optimiert werden.

35. Verfahren nach Anspruch 26, dadurch gekennzeichnet, daß jeder Detektor zwei Unterdetektoren umfaßt, die jeweils auf verschiedene Photonenenergiebereiche ansprechen, wobei jeder Unterdetektor gleichzeitig auf die Strahlung während des Schrittes der Betriebsmessung anspricht.

36. Verfahren nach Anspruch 35, dadurch gekennzeichnet, daß zumindest einige der physikalischen Eigenschaften der Unterdetektoren optimiert werden.

37. Verfahren nach Anspruch 26, dadurch gekennzeichnet, daß jedes Tomogramm Verteilungen der fotoelektrischen Absorption, der Compton-Streuung und der Rayleigh-Streuung innerhalb des unbekannten Probenobjekts wiedergibt.

38. Vorrichtung nach Anspruch 5, dadurch gekennzeichnet, daß die Zeitdauer zur selektiven Änderung der Energieverteilung der Strahlungsquelle optimiert ist.

39. Vorrichtung nach Anspruch 17, dadurch gekennzeichnet, daß der Satz physikalischer Merkmale die Atomordnungszahl des Filters einschließt.

40. Vorrichtung nach Anspruch 17, dadurch gekennzeichnet, daß der Satz der physikalischen Merkmale die relative Zeitdauer einschließt, die das Filter in einer Betriebsumgebung der Vorrichtung benutzt.

41. Vorrichtung zur Tomographie zur grafischen Wiedergabe einer Information von einem Objekt, gekennzeichnet

durch zumindest eine Quelle für eine durchdringende Strahlung, wobei diese Quelle so ausgerichtet ist, daß die Strahlung auf das Objekt gerichtet ist,

durch zumindest einen Detektor, der auf die Strahlung anspricht, wobei jeder Detektor so angeordnet ist, daß er die Strahlung nach Durchgang durch das Objekt empfängt, um ein Ausgangssignal zu erzeugen, welches der vom Detektor empfangenen Strahlung entspricht,

durch eine an den Detektor (die Detektoren) gekoppelte Vorrichtung, die diese Ausgangssignale mit Hinweisen auf eine Serie von Testsignalen versieht, die von wirklichen Testmessungen an Objekten mit bekannter Dämpfungscharakteristik erzeugt werden, wobei diese Hinweisvorrichtung Zwischensignale erzeugt, und wobei diese Hinweisvorrichtung eine Vorrichtung zur Kalibrierung der Vorrichtung zur Tomographie umfaßt, und durch eine Vorrichtung zur Rekonstruktion (Umsetzung) dieser Zwischensignale in zumindest zwei separate Bilder (Faksimiles), von denen jedes für eine unterschiedliche Verteilung des Dämpfungsgrades innerhalb des Objekts repräsentativ ist.