DE250632C - - Google Patents

Description

KAISERLICHES

PATENTAMT.

Bei Maschinen zum Lösen von Gleichungen nach der in der Patentschrift 225756 beschriebenen Art sind in einer Maschine so viele Differentialgetriebe erforderlich, als in dem zu lösenden Gleichungssystem Operationszeichen (Vorzeichen -f- ·—-) vorkommen.

Diese Differentialgetriebe müssen höchst exakt ausgeführt werden, um einwandfrei zu arbeiten und machen demnach eine solche Maschine sehr teuer.

In Maschinen zum Lösen von Gleichungen mit vielen, etwa 50 und mehr Unbekannten, besteht das die Maschine darstellende Getriebe aus sehr vielen, oft hunderten von Zahnrädern, die alle untereinander gleichzeitig in Eingriff stehen. Dadurch wird die erforderliche Reibungsarbeit sehr groß und erfordert peinlichst genaue Ausführung der einzelnen Teile, Kugellager usw.

Auch kann bei den vielen ineinandergreifenden Zahnrädern, bei nicht ganz genauer Ausführung, sehr leicht der tote Gang zu groß werden.

Alle diese Nachteile werden durch die vorliegende Erfindung vermieden.

In den Gleichungen:

- h y + C₁ ζ = m

a_zx + b₂y■■ + c₂z = η a₃x + b₃y + c₃z — ο

seien die in der Hauptdiagonale der Determinante stehenden Koeffizienten jeweils gleich oder größer als die Summe der Koeffizienten der betreffenden Zeile und gleich oder größer als die Summe der Koeffizienten der betreffenden Kolonne.

Also

«1 > h +, C₁

#2 2ΐ «2 + ^C2

und

> h

C₃ > C₁ + C₂.

Unter dieser Voraussetzung lassen sich die Gleichungen nach den bekannten Näherungsverfahren von Gauß oder Seidel lösen.

Nimmt man zur Berechnung der Gleichungen nach diesen Methoden vorerst an, die Unbekannten x, y und ζ seien gleich 0, so sind die Gleichungen natürlich nicht erfüllt. Die Fehler betragen vielmehr in der 1. Gleichung m, in der 2. Gleichung n, in der 3. Gleichung 0.

Schafft man. zuerst den Fehler in der 1. Gleichung weg, indem man m durch den Koeffizienten (a-y), der in der Hauptdiagonale steht, dividiert, so erhält man den ersten Näherungs-

wert für die Unbekante χ = χ¹ = —; da-

durch ist die 1. Gleichung erfüllt, in die änderen Gleichungen sind jedoch neue Fehler, und zwar in die 2. Gleichung n' = x' · a₂, in die 3. Gleichung 0' == χ · a_z hinzugekommen. Werden die Fehler der 2. Gleichung η -\- n' in gleicher Weise fortgeschafft, also indem

man mittels Dividierens durch S₂ den ersten Näherungswert y' für y sucht, so wird die 2. Gleichung erfüllt; in allen anderen Gleichungen treten jedoch neue Fehler auf.

Dividiert man nun den Fehler der 3. Gleichung, welcher 0" = 0 -\- x' · a₃ -\- y' · b₃ durch den Koeffizienten c₃ des Diagonalgliedes, so erhält man den ersten Näherungswert für die Unbekannte der 3. Gleichung ζ = ζ'.

ίο Auch dadurch werden wieder neue Fehler in den übrigen Gleichungen entstehen. Man fängt nun wieder von vorn an, sucht auf gleiche Weise den Wert x", y" und z" für die Unbekannten x, y und z, wodurch gleichzeitig wieder neue, kleinere Fehler m", n" und 0" entstehen, schafft auch diese weg usw.

Unter der gemachten Voraussetzung über die Koeffizienten der Hauptdiagonale, konvergieren die so nach und nach errechneten Fehlerwerte und man kann die Unbekannten mit beliebiger Genauigkeit errechnen.

Die'Werte für die Unbekannten sind gleich der Summe der einzelnen errechneten Werte

χ = x' 4- x" 4- χ'" 4- · · ·

« y/ _t_ «r/ 1 „in ι ...

Diese Lösungsmethode ist der vorliegenden Maschine zugrunde gelegt worden.

In beiliegender Zeichnung ist eine solche Maschine schematisch für die 3 Gleichungen

O₁ χ 4- b_x y 4- C₁ ζ = m

a_%x 4- b₂y 4- c₂ζ = η H^% 4- hy 4- C₃Z — ο

dargestellt.

Die Wellen I, II, III entsprechen den Unbekannten x, y, z, so zwar, daß die Umlaufzahl, der Drehwinkel dieser Wellen gleich der betreffenden Unbekannten ist.

Die Umlauf zahlen der Wellen 1, 2 und 3 entsprechen den Absolutgliedern m, η und 0. Auf der Welle I sitzt ein Zahnrad r_v das mit dem Zahnrad r₂ in Eingriff steht, das Übersetzungsverhältnis dieser Zahnradübersetzung sei gleich dem Koeffizienten a_v das Übersetzungsverhältnis der ebenfalls auf der Welle I , 50 sitzenden Zahnräder r₃ und r_s mit den mit ihnen in Eingriff stehenden Rädern r_i und r_e sei gleich a₂ bzw. gleich a₃.

Das gleiche gilt für die Zahnradübersetzungen der Wellen II und III, nur sind die Uber-Setzungsverhältnisse dieser Übersetzungen gleich O₁, δ₂, b₃ bzw. C₁, c₂, c₃.

Diese Zahnradübersetzungen können durch Kupplungen mit den Wellen 1, .2 und 3 mechanisch verbunden oder von diesen getrennt werden.

Die zur Welle I gehörigen Kupplungen A₁, A₂ und A₃ sind in der beiliegenden Zeichnung geschlossen, alle übrigen Kupplungen A₄ bis k₉ offen dargestellt.

Dreht man die Welle 1 m mal, so dreht sich, da diese Welle durch das Übersetzungsverhältnis U₁ mit der Welle I verbunden ist,

diese — = x' mal.

die Welle 2
- 3

χ' · a₂ = η' mal

=x'-a_s

0' mal.

Diese Umdrehungswinkel oder Umlaufzahlen werden an Skalen oder Zählwerken abgelesen.

Auf diese Weise wurde also die erste Rech- '75 nungsoperation des Näherungsverfahrens durchgeführt.

Werden nun die Kupplungen der Welle I k_v A₂ und k₃ gelöst, dafür aber die Kupplungen der Welle II k₄, k_& und k_e geschlossen, und nun die Welle 2 (n -\- n'J mal gedreht, so dreht sich die Welle II y' mal, während sich die Welle 1 y · B₁ = m' mal dreht und die Welle 3 um y' · b₃ weitergedreht wird. Das Zählwerk dieser Welle zeigt also jetzt einen Gesamtfehler von x' · a_a 4- y' · b₃ = 0" an.

Nun werden die Kupplungen der Welle II geöffnet, die der Welle III k₇, A₈ und k_e geschlossen und auf gleiche Art z' gefunden.

Ist das geschehen, so wird wieder von vorn angefangen und x", y" und z", x"\ y'"und z'" usw.. ermittelt. Das wird so lange fortgesetzt, bis die verbleibenden Fehler an den Wellen 1,2 und 3 die gewünschte Genauigkeitsgrenze unterschreiten.

Die gesamte Umdrehungszahl der Wellen I, II und III ergibt dann die gesuchten Unbekannten x, y und z.

Wie aus dem Gesagten und der Zeichnung hervorgeht, sind in dieser Maschine die Differentialgetriebe vermieden; es ist immer nur, auch wenn es sich um eine Maschine zum Lösen von Gleichungen mit vielen Unbekannten handelt, eine geringe Anzahl von Zahnrädern miteinander gleichzeitig in Eingriff, die Reibung also gering und der tote Gang ist leicht in zulässigen Grenzen zu halten.

Obwohl die einzelnen Wellen der Absolutglieder mehrmals nacheinander betätigt werden müssen, um ein genügend genaues Rechenresultat zu bekommen, ist die zur Lösungsarbeit erforderliche Zeit nicht größer als bei einer Maschine nach Patentschrift 225756, weil die einzelnen Wellen, da es sich hier nur um eine verhältnismäßig geringe Anzahl von gleichzeitig ineinandergreifenden Zahnrädern handelt, mit einer größeren Geschwindigkeit, eventuell mittels eines Elektromotors, angetrieben werden können als bei jener Maschine.

Mit der beschriebenen Maschine lassen sich alle linearen Gleichungen lösen, da sich nach dem von E. Jürgens angegebenen Verfahren,

alle Gleichungen so umformen zu lassen, daß die Koeffizienten der Hauptdiagonale der Determinante den verlangten Bedingungen entsprechen.

Ebenso wie nach der Methode von R. M e h m k e das Näherungsverfahren von Gauß, Seidel dadurch beschleunigt werden kann, daß gleichzeitig statt einer, zwei oder mehrere Gleichungen der Rechnung unterzogen werden, läßt

ίο sich natürlich auch diese Maschine durch sinngemäße Vereinigung mit der Maschine nach Patent 225756 so gestalten, daß auch in der Maschine gleichzeitig zwei oder mehrere Gleichungen des ganzen Gleichungssystems jeweils gleichzeitig der mechanischen Berechnungsmethode unterworfen werden.

Claims (1)

1. Patent-Anspruch :

   Maschine zum Lösen von Gleichungen,

   ao deren Koeffizienten in der Hauptdiagonale ihrer Determinante gleich oder größer sind als die Summe der Koeffizienten der zugehörigen Zeilen und gleich oder größer sind als die Summe der Koeffizienten der zugehörigen Kolonnen, dadurch gekennzeichnet, daß unter Verwendung des bekannten Prinzips, die Unbekannten und die Absolutglieder durch Umlauf zahlen oder Drehwinkel, die bekannten Koeffizienten durch Radien, Zähnezahlen, also Übersetzungsverhältnisse auszudrücken, je eine der Wellen (I, II, III...), deren Umlaufzahlen oder Drehwinkel den Unbekannten entsprechen, samt den zugehörigen, den bekannten Koeffizienten entsprechenden Übersetzungen nacheinander mit den Wellen (i, 2, 3...), deren Umlaufzahl oder Drehwinkel den Absolutgliedern entsprechen, zu zwangläufigen Getrieben verbunden werden, wodurch die bekannten Näherungsmethoden zum Lösen von Gleichungen nach Gauß, Seidel sich mechanisch durchführen lassen.

   Hierzu 1 Blatt Zeichnungen.

   Berlin, gedruckt in der reichsdruckerei.