DE19718657A1 - Verfahren und Anordnung zur Bildpunktwertberechnung - Google Patents

Verfahren und Anordnung zur Bildpunktwertberechnung

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DE19718657A1
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matrix
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Achim Ibenthal
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Description

Die Erfindung bezieht sich auf ein Verfahren und eine Anordnung zur Berechnung von Werten si(x0+Δx,y0+Δy) von Bildpunkten, welche außerhalb eines zweidimensionalen Abtastrasters {x0±n,y0±m, mit m,n = 0,1,2,3,. . .} von Bildpunkten mit Bildpunktwerten s(x0±n,y0±m) eines digitalen Bildsignals angeordnet sind.
Bei derartigen Verfahren bzw. Anordnungen zur Berechnung von neuen Bildpunktwerten geht es darum, die Werte von Bildpunkten zu ermitteln, die außerhalb eines zweidimensionalen Abtastrasters liegen. Die bekannten Bildpunkte liegen auf Orten (x0±n,y0±m), worin m und n ganze Zahlen von Null bis zu einem Maximalwert sind. Die Bildpunkte eines digitalen Bildsignals, die auf diesem Abtastraster liegen, haben bekannte Bildpunktwerte. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit wird hier angenommen, daß der Abstand zweier benachbarter Bildpunkte 1 in horizontaler bzw. vertikaler Richtung ist.
Beispielsweise für Zwecke der Fernsehsignal-Konversion, der Umrechnung zwischen verschiedenen Graphikmodi im PC, für Zwecke der Videodatenkompression oder auch für medizinische Anwendungen ist es oftmals wünschenswert bzw. erforderlich, Bildpunktwerte von Bildpunkten zu bestimmen, die nicht auf den vorgegebenen Punkten des zweidimensionalen Abtastrasters liegen, sondern zwischen diesen Punkten liegen. Grundsätzlich können dabei die gesuchten Bildpunktwerte beliebige Positionen zwischen den Punkten des Abtastrasters haben. Dies erschwert deren Berechnung.
Im Stande der Technik sind zur Berechnung derartiger neuer Bildpunktwerte im einfachsten Falle Verfahren bekannt, welche mit bilinearer bzw. bikubischer Interpolation arbeiten. Bei der bilinearen Interpolation wird eine lineare Gewichtung der vier nächsten zu einem gesuchten Bildpunkt in dem Abtastraster vorliegenden Bildpunkte vorgenommen. Bei der Interpolation durch kubische B-Splines wird ein ideales Interpolationsfilter mit einer sin(x)/x förmigen Impulsantwort für den eindimensionalen Fall durch ein Polynom 3. Ordnung angenähert, was zwar den Interpolationsfehler minimiert, die Auflösung jedoch stark reduziert, vgl. K. Pratt: "Digital Image Processing", Sec. Edition, S. 114 ff.
Ferner besteht zur Berechnung neuer Bildpunktwerte die Möglichkeit, ein kombiniertes Ab- und Downsampling vorzunehmen.
Aus der EP-A-660 514 ist ein Filter bekannt, der als eindimensionaler polynomialer Interpolator arbeitet und bei dem ein eindimensionales Polynom aufgestellt wird, das die außerhalb eines eindimensionalen Abtastrasters vorliegenden Bildpunktwerte möglichst gut annähern soll.
Es ist Aufgabe der Erfindung, ein Verfahren und eine Anordnung anzugeben, die die Berechnung von Bildpunkten gestatten, die außerhalb eines zweidimensionalen Abtastrasters vorliegen. Die Berechnung soll dabei möglichst genau und dennoch mit vertretbarem Aufwand vorgenommen werden können.
Diese Aufgabe ist erfindungsgemäß für ein Verfahren dadurch gelöst, daß
  • - für eine Berechnung eines gesuchten Bildpunktwertes si(x0+Δx,y0+Δy) wenigstens drei der Bildpunktwerte s(x0,y0), s(x0,y0+1), s(x0+1,y0) und s(x0+1,y0+1) von vier um den gesuchten Bildpunkt herum angeordneten Referenzbildpunkten ermittelt werden,
  • - ein Polynom p(x,y) der Form
    gebildet wird, das an den Positionen von wenigstens drei der vier Referenzbildpunkte mit deren Werten übereinstimmen soll, so daß gilt p(0,0) = s(x0,y0), p(1,0) = s(x0+1,y0), p(0,1) = s(x0,y0+1) und/oder p(1,1) = s(x0+1,y0+1),
  • - von wenigstens einem der Referenzbildpunktwerte die k ersten Ableitungen ∂s(x,y)/∂x in x- und ∂s(x,y)/∂y in y-Richtung gebildet werden,
  • - eine Matrix gebildet wird, deren Elemente aus den Werten der Basisfunktionen
    des Polynoms an wenigstens drei der Referenzbildpunkte und den k ersten Ableitungen ∂p(x,y)/∂x in x- und ∂p(x,y)/∂y in y-Richtung der Basisfunktionen an wenigstens einem der Referenzbildpunkte bestehen, wobei in einer Zeile der Matrix jeweils die einem Referenzbildpunkt bzw. einer ersten Ableitung eines Referenzbildpunktes zugeordneten Basisfunktionen stehen,
  • - aus der Matrix durch Inversion eine inverse oder pseudoinverse Matrix gebildet wird,
  • - zur Ermittlung der Polynomialkoeffizienten cm-1, cm-2,. . ., c2, c1, c0 die inverse bzw. pseudoinverse Matrix mit einem Beobachtungsvektor multipliziert wird, der als Elemente wenigstens drei der Bezugsbildpunktwerte und die k ersten Ableitungen ∂s(x,y)/∂x in x- und ∂s(x,y)/∂y in y-Richtung wenigstens einer der Bezugsbildpunkte aufweist,
  • - die Polynomialkoeffizienten in das Polynom p(x,y) eingesetzt werden und die Berechnung des neuen Bildpunktwertes si(x0+Δx, y0+Δy) dadurch vorgenommen wird, daß der Funktionswert des Polynoms p(Δx,Δy) an der Stelle (Δx,Δy) berechnet wird.
Bei dem erfindungsgemäßen Verfahren wird ein Polynom aufgestellt, das die Werte von vier Bildpunkten, die in dem zweidimensionalen Abtastraster vorliegen und deren Werte bekannt sind, möglichst gut annähert. Darüber hinaus soll das Polynom die k-ten Ableitungen dieser Bildpunkte möglichst gut annähern. Ein derart berechnetes Polynom gestattet eine recht genaue Bestimmung von Bildpunktwerten, die in dem Viereck zwischen den vier bekannten Bildpunkten angeordnet sind.
Für einen gesuchten Bildpunktwert si(x0+Δx,y0+Δy) werden zunächst die Werte von vier um diesen gesuchten Bildpunkt herum angeordneten Referenzbildpunkten ermittelt. Dies sind die in dem zweidimensionalen Abtastraster dem gesuchten Bildpunkt am nächsten liegenden Bildpunkte, deren Werte bekannt sind. Es wird ein Polynom der oben angegebenen Form aufgestellt, das als Zielvorstellung die Bildpunktwerte dieser vier Referenzbildpunkte möglichst gut annähern soll.
So soll für den Referenzbildpunktwert s(x0,y0) das Polynom dessen Bildpunktwert ergeben, wenn in das Polynom die Werte 0 für x und 0 für y eingesetzt werden. Das Polynom soll den Referenzbildpunktwert s(x0+1,y0) ergeben, wenn das Polynom die Werte 1 für x und 0 für y eingesetzt werden. Entsprechendes gilt für die beiden weiteren Referenzbildpunktwerte.
Von wenigstens einem der Referenzbildpunktwerte werden die k ersten Ableitungen ∂s(x,y)/∂x und ∂s(x,y)/∂y gebildet. Das Polynom soll auch diese Werte der Ableitungen möglichst gut annähern, so daß also die Ableitung des Polynoms für den jeweiligen Bildpunkt gleich der entsprechenden Ableitung des Bildpunktwertes selber ist.
Es genügt grundsätzlich, wenn für einen der Referenzbildpunkte die ersten Ableitungen in x- und y-Richtung gebildet werden und wenn das Polynom für einen dieser Referenzbildpunktwerte dessen Ableitung möglichst gut annähert.
Das oben aufgestellte Polynom liegt zunächst nur in allgemeiner Form vor; zur Berechnung des gesuchten Bildpunktwertes si(x0+Δx,y0+Δy) sind insbesondere die Polynomialkoeffizienten cm-1, cmm-2,. . ., c2, c1, c0 zu bestimmen. Dazu wird eine Matrix gebildet, deren Werte nur aus den Basisfunktionen des Polynoms bestehen.
In dieser Matrix tauchen also die Polynomialkoeffizienten nicht auf, sondern nur die übrigen Elemente des Polynoms. Dabei wird das Polynom für wenigstens drei der Referenzbildpunktwerte und für die ersten Ableitungen in x- und y-Richtung an wenigstens einem der Referenzbildpunktwerte aufgestellt. Die Basisfunktionen werden in der Weise innerhalb der Matrix angeordnet, daß innerhalb einer Zeile der Matrix die jeweils einem Referenzbildpunktwert bzw. einer ersten Ableitung eines Referenzbildpunktwertes zugeordneten Basisfunktionen in der Reihenfolge stehen, wie sie auch in dem Polynom angeordnet sind. Damit stehen also innerhalb der Matrix zeilenweise die Basisfunktionen des Polynoms von jeweils wenigstens drei der Referenzbildpunktwerte und von wenigstens den ersten Ableitungen in x- bzw. y-Richtung wenigstens eines der Referenzbildpunktwerte.
Aus dieser Matrix wird durch Inversion eine inverse bzw. pseudoinverse Matrix gebildet, die mit einem Beobachtungsvektor multipliziert wird. Der Beobachtungsvektor weist zeilenweise die entsprechenden Werte der Bezugsbildpunkte selbst und die entsprechenden Ableitungen der Bezugsbildpunkte auf. Dabei sind die Zeilen innerhalb des Vektors und innerhalb der inversen Matrix jeweils den gleichen Referenzbildpunkten bzw. Ableitungen der Referenzbildpunkte zugeordnet.
Durch Multiplikation der inversen Matrix mit dem Beobachtungsvektor werden die Polynomialkoeffizienten cm-1, cm-2,. . ., c2, c1, c0 berechnet.
Die Polynomialkoeffizienten können nun in das Polynom p(x,y) eingesetzt werden.
Für den gesuchten Bildpunktwert si(x0+Δx,y0+Δy) werden in das Polynom die Werte Δx und Δy eingesetzt. Das Polynom wird nun berechnet und liefert als Ergebnis den gesuchten Bildpunktwert si(x0+Δx,y0+Δy).
Durch diese zweidimensionale polynomiale Berechnung des gesuchten Bildpunktwertes gelingt eine sehr gute Annäherung dessen Wertes. Gleichwohl bleibt die Berechnung vom Aufwand her vertretbar, da einige der oben genannten Berechnungsschritte nicht für jeden Bildpunktwert neu vorgenommen werden müssen. Lediglich die jeweils neu einzusetzenden Werte der Referenzbildpunkte bzw. deren erste Ableitungen sind jeweils neu zu bestimmen. Das Polynom in seiner Grundform sowie auch die inverse Matrix bleiben jeweils erhalten für wechselnde (Δx, Δy). Es gilt auch, daß die Polynomwerte p(0,0), p(1,0), p(0,1) und p(1,1) jeweils gleich bleiben, da der gesuchte Bildpunktwert jeweils so angesetzt wird, daß er an der Stelle x0+Δx und y0+Δy angeordnet ist. Es wird also, unabhängig davon, wo der gesuchte Bildpunktwert in einem zweidimensionalen Raster angeordnet ist, der Quadrant aus den Referenzbildpunktwerten immer mit diesen Werten angesetzt und lediglich die relative Lage innerhalb dieses Quadranten durch die Werte Δx und Δy für den gesuchten Bildpunktwert neu eingesetzt.
Gemäß einer Ausgestaltung der Erfindung ist vorgesehen, daß zur Bildung der Matrix von einem der Referenzbildpunktwerte, vorzugsweise dem Referenzbildpunktwert s(x0,y0), die ersten Ableitungen ∂p(x,y)/∂x in x- und ∂p(x,y)/∂y in y-Richtung gebildet werden und daß der Beobachtungsvektor die vier Referenzbildpunktwerte s(x0,y0), s(x0,y0+1), s(x0+1,y0) und s(x0+1,y0+1) und die ersten Ableitungen ∂s(x,y)/∂x in x- und ∂s(x,y)/∂y in y-Richtung eines der Referenzbildpunkte, vorzugsweise des Referenzbildpunktwertes s(x0,y0), enthält.
Für die oben erläuterte Berechnung genügt es grundsätzlich, die Werte der vier Referenzbildpunktwerte und die ersten Ableitungen in x- und y-Richtung von einem der Referenzbildpunktwerte zu berücksichtigen. Es ergeben sich hierbei bereits sehr gute Annäherungen des gesuchten Bildpunktwertes bei relativ geringem rechnerischen Aufwand.
Die oben angegebene Aufgabe wird erfindungsgemäß für eine Anordnung dadurch gelöst, daß
  • - erste Rechenmittel vorgesehen sind, welche
  • - ein Polynom p(x,y) der Form
    bilden, das an den Positionen von wenigstens drei der vier Referenzbildpunkte mit deren Werten übereinstimmen soll, so daß gilt p(0,0) = s(x0,y0), p(1,0) = s(x0+1,y0), p(0,1) = s(x0,y0+1) und/oder p(1,1) = s(x0+1,y0+1),
  • - eine Matrix bilden, deren Elemente aus den Werten der Basisfunktionen
    des Polynoms an wenigstens drei der Referenzbildpunkte und den k ersten Ableitungen ∂p(x,y)/∂x in x- und ∂p(x,y)/∂y in y-Richtung der Basisfunktionen an wenigstens einem der Referenzbildpunkte bestehen, wobei in einer Zeile der Matrix jeweils die einem Referenzbildpunkt bzw. einer ersten Ableitung eines Referenzbildpunktes zugeordneten Basisfunktionen stehen,
  • - und aus der Matrix durch Inversion eine inverse oder pseudoinverse Matrix bilden,
  • - Differenzierer vorgesehen sind, welche von wenigstens einem der Referenzbildpunktwerte die k ersten Ableitungen ∂s(x,y)/∂x in x- und ∂s(x,y)/∂y in y-Richtung bilden,
  • - zweite Rechenmittel vorgesehen sind,
  • - denen für eine Berechnung eines gesuchten Bildpunktwertes si(x0+Δx,y0+Δy) wenigstens drei der Bildpunktwerte s(x0,y0), s(x0,y0+1), s(x0+1,y0) und s(x0+1,y0+1) von vier um den gesuchten Bildpunkt herum angeordneten Referenzbildpunkten zugeführt werden,
  • - welche zur Ermittlung der Polynomialkoeffizienten cm-1, cm-2, . . ., c2, c1, c0 die inverse bzw. pseudoinverse Matrix mit einem Beobachtungsvektor multiplizieren, der als Elemente wenigstens drei der Bezugsbildpunktwerte und die k ersten Ableitungen ∂s(x,y)/∂x in x- und ∂s(x,y)/∂y in y-Richtung wenigstens einer der Referenzbildpunkte aufweist,
  • - und welche die Polynomialkoeffizienten in das Polynom p(x,y) einsetzen und dadurch die Berechnung des neuen Bildpunktwertes si(x0+Δx,y0+Δy) vornehmen, daß sie eine Berechnung des Funktionswertes des Polynoms p(Δx,Δy) an der Stelle (Δx,Δy) durchführen.
Diese Anordnung arbeitet nach dem oben erläuterten Verfahren. Für die Anordnung kann insbesondere die Tatsache vorteilhaft eingesetzt werden, daß nicht alle oben aufgeführten Berechnungen für die Berechnung eines neuen Bildpunktwertes jeweils aufs Neue vorgenommen werden müssen.
Es sind daher in der Anordnung erste Rechenmittel vorgesehen, welche die Polynomerstellung vornehmen, welche die Polynomberechnung an den vier Referenzbildpunktwerten vornehmen, und welche die Bildung der Matrix und der inversen Matrix vornehmen. Diese Mittel können dabei so ausgelegt sein, daß sie diese Berechnungen nur einmalig vornehmen.
Es sind ferner Differenzierer vorgesehen, welche die erforderlichen ersten Ableitungen vornehmen.
Mittels zweiten Rechenmitteln wird die Berechnung eines gesuchten Bildpunktwertes si(x0+Δx,y0+Δy) in oben beschriebener Weise vorgenommen. Die Berechnungen, die die Rechenmittel vornehmen, sind für jeweils einen gesuchten Bildpunktwert si(x0+Δx,y0+Δy) neu vorzunehmen.
Je nach Realisierung können die Mittel zur Berechnung des Polynoms, von dessen Werten und der Matrizen so ausgelegt sein, daß sie in den Rechenmitteln verwirklicht sind. Das heißt die Rechenmittel sind so aufgebaut, daß in ihrer Struktur die Berechnungen des Polynoms, von dessen Werten und der Matrizen implizit realisiert sind.
Die Differenzierer der Anordnung sind, wie gemäß einer weiteren Ausgestaltung der Erfindung für die Anordnung vorgesehen ist, daß sie im Frequenz-Bereich zur Bildung der k-ten Ableitung näherungsweise die Übertragungsfunktion H = (jω)k aufweisen, wobei ω abhängig davon, ob die Ableitung in x- oder y-Richtung erfolgen soll, die Ortsfrequenz in x- oder y-Richtung ist. Durch diese Auslegung der Übertragungsfunktion wird eine sehr gute Annäherung der Werte der Ableitungen erzielt.
Dabei sind die Differenzierer vorteilhaft entsprechend einer weiteren Ausgestaltung der Erfindung so aufgebaut, daß sie hintereinandergeschaltete Verzögerungselemente aufweisen, daß Addierer vorgesehen sind, denen innerhalb des Differenzierers jeweils diejenigen Signale zugeführt werden, die mit betragsmäßig gleichen Koeffizienten multipliziert werden, daß den Addierern jeweils ein Multiplizierer nachgeschaltet ist, der die Multiplikation mit dem zugeordneten Koeffizienten vornimmt, und daß die Ausgangssignale der Multiplizierer mittels eines Addierers addiert werden, welcher das Ausgangssignal des Differenzierers liefert.
Da die oben genannte Übertragungsfunktion durch Multiplikation um verschiedene Werte verzögerter Bildpunktwerte vorgenommen werden kann und da dabei um verschiedene Werte verzögerte Bildpunktwerte mit jeweils gleichen Koeffizienten zu multiplizieren sind, wird durch diesen Aufbau des Differenzierer dessen Schaltungsaufwand möglichst gering gehalten.
Gemäß einer weiteren Ausgestaltung der Erfindung ist für die Anordnung vorgesehen, daß
  • - die Werte s(x0±n,y0±m) einer Serienschaltung aus Zeilenspeichern (31, 32, 33, 34, 35, 36) zugeführt werden, deren Ausgangssignale Bildpunktwerte s(x0+3,y0+2), s(x0+3,y0+1), . . ., s(x0+3,y0-3) liefern,
  • - ein erstes Verzögerungselement vorgesehen ist, welchem der Bildpunktwert s(x0+3,y0+1) zugeführt wird und welches ausgangsseitig den Bildpunktwert s(x0+1,y0+1) liefert,
  • - ein zweites Verzögerungselement vorgesehen ist, welchem der Bildpunktwert s(x0+1,y0+1) zugeführt wird und welches ausgangsseitig den Bildpunktwert s(x0,y0+1) liefert,
  • - ein drittes Verzögerungselement vorgesehen ist, welchem der Bildpunkt s(x0+3,y0) zugeführt wird und welches ausgangsseitig den Bildpunktwert s(x0+1,y0) liefert,
  • - ein viertes Verzögerungselement vorgesehen ist, welchem der Bildpunktwert s(x0+1,y0) zugeführt wird und welches ausgangsseitig den Bildpunktwert s(x0,y0) liefert,
  • - ein erster Differenzierer vorgesehen ist, dem die Bildpunktwerte s(x0+3,y0+3), s(x0+3,y0+2), . . ., s(x0+3,y0-3) zugeführt werden und der eine erste Ableitung ∂s(x,y)/∂y|(x0+3,y0) des Bildpunktwertes s(x0+3,y0) in y-Richtung vornimmt,
  • - ein fünftes Verzögerungselement vorgesehen ist, welchem die erste Ableitung in y-Richtung an der Stelle (x0+3,y0) zugeführt wird und welches ausgangsseitig die erste Ableitung der Bildpunktwerte in y-Richtung an der Stelle (x0,y0) liefert,
  • - ein zweiter Differenzierer vorgesehen ist, dem der Bildpunktwert s(x0+3,y0) zugeführt wird und der eine erste Ableitung ∂s(x,y)/∂x|(x0,y0) des Bildpunktwertes in x-Richtung vornimmt,
  • - die Rechenschaltung (61) eine Überlagerungsstufe (62) aufweist, mittels welcher die Bildpunktwerte bzw. ersten Ableitungen s(x0,y0), s(x0,y0+1), s(x0+1,y0), s(x0+1,y0+1), ∂s(x,y)/∂x|(x0,y0) und ∂s(x,y)/∂x|(x0,y0) entsprechend der inversen Matrix so überlagert werden, daß die Überlagerungsstufe (62) ausgangsseitig die Koeffizienten liefert,
  • - in der Rechenschaltung Multiplizierer vorgesehen sind, mittels derer die Koeffizienten mit den polynomialen Basisfunktionen, die aus Δx und Δy erzeugt werden, multipliziert werden,
  • - und die Ausgangssignale der Multiplizierer mittels einer in der Rechenschaltung vorgesehenen Addierstufe addiert werden, welche ausgangsseitig den Wert des gesuchten Bildpunktes si(x0+Δx, y0+Δy) liefert.
Durch diese Anordnung aus den Zeilenspeichern, den Verzögerungselementen und den Differenzierern werden der zweiten Rechenschaltung die erforderlichen Werte zugeführt, die diese für die Aufstellung des Beobachtungsvektors benötigt. Die Berechnung der Koeffizienten wird dann durch entsprechende feste Verknüpfungen in der Überlagerungsstufe vorgenommen. Damit liefert die Überlagerungsstufe ausgangsseitig die Koeffizienten des Polynoms. Die Koeffizienten werden nachfolgend mit den polynomialen Basisfunktionen, die aus Δx und Δy des gesuchten Bildpunktwertes si erzeugt werden, multipliziert. Die Zusammenfassung dieser Produkte mittels der Addierstufe liefert dann den gesuchten Bildpunktwert si(x0+Δx+y0+Δy).
In dieser Anordnung sind die ersten Rechenmittel in die zweiten Rechenmittel in der Weise integriert, daß der Aufbau der zweiten Rechenschaltung und deren Überlagerungsstufe so gestaltet ist, daß implizit eine Berechnung der Werte entsprechend des Polynoms bzw. dessen k ersten Ableitungen vorgenommen wird. Ferner sind in der Überlagerungsstufe die Verknüpfungen so gewählt, daß die inverse bzw. pseudoinverse Matrix durch vorgegebene Verknüpfungen der Bildpunktwerte bzw. deren erster Ableitungen realisiert ist.
Damit tritt in dieser Anordnung die erste Rechenschaltung nicht explizit in Erscheinung, sondern ist durch Aufbau der zweiten Rechenschaltung verwirklicht. Dies ist möglich, da die Berechnungen der ersten Rechenschaltung nicht individuell für Bildpunktwerte vorgenommen werden müssen, sondern allgemeine Rechenvorschriften darstellen, die durch Aufbau der zweiten Rechenschaltung verwirklicht werden können.
Nachfolgend wird eine erfindungsgemäße Anordnung zur Bildpunktwertberechnung anhand der Zeichnung näher erläutert, welche nach dem erfindungsgemäßen Verfahren arbeitet. Es zeigen:
Fig. 1 eine schematische Darstellung eines zweidimensionalen Abtastrasters mit einem gesuchten Bildpunktwert und vier Referenzbildpunktwerten,
Fig. 2 eine schematische Darstellung der Funktionsweise einer Anordnung zur Berechnung von Bildpunktwerten,
Fig. 3 ein Blockschaltbild einer erfindungsgemaßen Anordnung zur Bildpunktwertberechnung, und
Fig. 4 ein Blockschaltbild eines Differenzierers, wie er in der Anordnung gemäß Fig. 3 zur Bildpunktwertberechnung eingesetzt werden kann.
In Fig. 1 ist ein zweidimensionales Abtastraster mit Bildpunktwerten s(x,y) dargestellt. In dem in der Fig. 1 angedeuteten Ausschnitt des Abtastrasters weist dieses in x-Richtung Rasterpunkte x0-1, x0, x0+1 und x0+2 auf. In y-Richtung weist das Abtastraster in dem dargestellten Ausschnitt Rasterwerte y0-1, y0, y0+1 und y0+2 auf.
Es sei davon ausgegangen, daß ein Bildpunktwert si(x0+Δx,y0+Δy) gesucht wird. Der gesuchte Bildpunktwert si ist also innerhalb eines Vierecks angeordnet, welches Referenzbildpunktwerte s(x0,y0), s(x0, y0+1), s(x0+1,y0) und s(x0+1,y0+1) aufweist.
Unabhängig davon, wo der gesuchte Bildpunktwert si innerhalb des zweidimensionalen Rasters tatsächlich angeordnet ist, wird dessen Lage in dem zweidimensionalen Abtastraster immer ausgehend von einem Referenzbildpunkt s(x0,y0) berechnet. Das heißt, daß die um den gesuchten Bildpunkt si herum angeordneten Bildpunkte immer mit den oben genannten Rasterwerten angesetzt werden.
In Fig. 2 ist ein grobes Blockschaltbild einer Anordnung zur Berechnung des gesuchten Bildpunktwertes si dargestellt. Die Werte der Bildpunkte des zweidimensionalen Abtastrasters s(x,y) werden in der Anordnung hintereinandergeschalteten Differenzierern 1, 2 bis 3 zugeführt, die jeweils eine Ableitung der ihnen zugeführten Bildpunktwerte in x-Richtung vornehmen. Dabei können insgesamt k derartige Differenzierer vorgesehen sein. Ferner sind die Differenzierer 4, 5 bis 6 vorgesehen, die Ableitungen der ihnen zugeführten Bildpunktwerte in y-Richtung des zweidimensionalen Abtastrasters vornehmen. Auch hier sind so viele Differenzierer 4 bis 6 vorgesehen, wie erste Ableitungen vorgenommen werden sollen.
Die Ausgangswerte sämtlicher Differenzierer 1 bis 6 werden einem Schaltungsblock 7 zugeführt, welcher aus den Werten der Referenzbildpunktwerte selbst sowie aus dessen k ersten Ableitungen einen Beobachtungsvektor bilden.
Ferner wird in dem Schaltungsblock 7 ein Polynom der Form
aufgestellt. Es wird ferner eine Matrix gebildet, deren Elemente aus den Werten der Basisfunktionen
des Polynoms an den Referenzbildpunkten und den k ersten Ableitungen bestehen. Dabei sind innerhalb einer Zeile der Matrix jeweils die einem Referenzbildpunkt bzw. einer der k ersten Ableitungen eines Referenzbildpunktes zugeordneten Basisfunktionen angeordnet. In der Anordnung wird aus dieser Matrix eine inverse oder pseudoinverse Matrix A⁻ gebildet. Diese Matrix wird mit dem Beobachtungsvektor multipliziert und liefert ausgangsseitig die Polynomialkoeffizienten cm-1, cm-2, . . ., c2, c1, c0. Dieses Signal stellt das Ausgangssignal des Schaltungsblockes 7 dar, das an einen zweiten Schaltungsblock 8 geliefert wird, in welchem eine Berechnung des oben genannten Polynoms für den gesuchten Bildpunktwert si(x0+Δx,y0+Δy) dadurch vorgenommen wird, daß in das Polynom die Koeffizienten eingesetzt werden und der Funktionswert des Polynoms durch Einsetzen der Werte Δx und Δy bestimmt wird. Das Ergebnis dieses so berechneten Polynoms liefert den Bildpunktwert si(x0+Δx,y0+Δy).
Das oben genannte Polynom der Form
soll die Werte der vier Referenzbildpunkte s(x0,y0), s(x0,y0+1), s(x0+1,y0) und s(x0+1,y0+1) möglichst gut annähern. Darüber hinaus sollen die k ersten Ableitungen dieses Polynoms an wenigstens einem der Referenzbildpunkte die k ersten Ableitungen der Werte der entsprechenden Referenzbildpunkte möglichst gut annähern.
Dies wird im folgenden näher erläutert, wobei davon ausgegangen wird, daß für die Berechnung eines gesuchten Bildpunktes si(x0+Δx,y0+Δy) die vier um diesen gesuchten Bildpunkt herum angeordneten Referenzbildpunktwerte s(x0, y0), s(x0,y0+1), s(x0+1,y0) und s(x0+1,y0+1) herangezogen werden. Darüber hinaus wird nur die erste Ableitung des Referenzbildpunktes s(x0,y0) in x- und in y- Richtung herangezogen.
Es wird eine Matrix gebildet, deren Elemente aus den Werten der Basisfunktionen
des Polynoms an den vier Referenzbildpunktwerten und der ersten Ableitung der Basisfunktionen des Polynoms an dem Referenzbildpunktwert s(x0,y0) bestehen. Die Basisfunktionen werden dabei zeilenweise für die jeweils vier Referenzbildpunktwerte und die ersten Ableitungen in x- und in y-Richtung angeordnet.
Für den allgemeinen Fall, in der für das Polynom p(x,y) und für die ersten Ableitungen ∂p(x,y)/∂x und ∂p(x,y)/∂y angesetzt werden, muß gelten:
Diese Gleichung kann in dieser Form aufgestellt werden, da die Basisfunktionen, die in der Matrix stehen, multipliziert mit den jeweils zugeordneten Polynomialkoeffizienten gerade wieder die Polynome bzw. die Ableitungen der Polynome ergeben müssen.
Für den speziellen, vereinfachenden Fall, daß für die Berechnung eines Bildpunktwertes si die oben erläuterten vier Referenzbildpunkte und die ersten Ableitungen eines der Referenzbildpunkte herangezogen werden, lautet diese Gleichung wie folgt:
Durch das Einsetzen der Referenzbildpunktwerte und die ersten Ableitungen eines der Referenzbildpunktwerte in die Basisfunktionen vereinfacht sich die Matrix, in denen nur noch Nullen und Einsen stehen.
Für den für diese Gleichung angenommenen speziellen Fall, in dem nur die Werte der vier Referenzbildpunkte und die ersten Ableitungen in x- und y-Richtung eines der Referenzbildpunktwerte herangezogen werden, vereinfacht sich das oben genannte Polynom zu der Form
p(x,y) = c5x2+c4y2+c3xy+c2x+c1y+c0 (3).
Da in der oben dargestellten Gleichung 2 die Koeffizienten c0 bis c5 zunächst noch unbekannt sind, wird die Gleichung 2 nach dem Vektor mit den Koeffizienten c5 bis c0 aufgelöst. Es ergibt sich dann die Gleichung
Da in oben beschriebener Weise das Polynom die Werte der Referenzbildpunkte und die ersten Ableitungen möglichst gut annähern soll, kann die Gleichung (4) geschrieben werden als:
In dieser Gleichung ist die oben aufgestellte Matrix mit den Basisfunktionen nunmehr eine inverse bzw. pseudoinverse Matrix. Der Vektor, der die Bildpunktwerte bzw. deren erste Ableitungen als Elemente beinhaltet, wird im folgenden als Beobachtungsvektor bezeichnet. Durch Multiplikation dieses Beobachtungsvektors mit der inversen oder pseudoinversen Matrix kann der Vektor mit den Polynomialkoeffizienten c5 bis c0 berechnet werden.
Sind die Polynomialkoeffizienten c5 bis c0 bekannt, so können diese in das Polynom p(x,y) = c5x2+c4y2+c3xy+c2x+c1y+c0 eingesetzt werden. Für die Berechnung eines gesuchten Bildpunktes si(x0+Δx,y+Δy) müssen dann dessen Werte in das Polynom eingesetzt werden, so daß gilt:
si(x0+Δx,y0+Δy) = c5Δx2+c4Δy2+c3ΔxΔy+c2Δx+c1Δy+c0 (6).
Bei nunmehr bekannten Koeffizienten c5 bis c0 kann damit der gesuchte Bildpunktwert si unmittelbar berechnet werden.
In Fig. 3 ist ein Blockschaltbild einer erfindungsgemäßen Anordnung dargestellt, welche eine Berechnung des Bildpunktwertes si entsprechend diesem Beispiel durchführt, in welchem zur Berechnung des Bildpunktwertes si die vier den gesuchten Bildpunkt umgebenden Referenzbildpunktwerte s(x0,y0), s(x0+1,y0), s(x0,y0+1) und s(x0+1,y0+1) eingesetzt werden. Ferner wird die erste Ableitung in x- und in y-Richtung des Referenzbildpunktwertes s(x0,y0) eingesetzt.
Die in dem zweidimensionalen Abtastraster entsprechend Fig. 1 vorliegenden Bildpunktwerte s(x,y) werden in der Anordnung gemäß Fig. 3 drei vorgesehenen hintereinandergeschalteten Zeilenspeichern 31 bis 36 zugeführt. Die Zeilenspeicher 31 bis 36 verzögern jeweils um die Dauer einer Bildzeile, so daß sie ausgangsseitig jeweils Bildpunktwerte mit gleichem x Wert liefern, die jedoch jeweils einen um einen Wert geringeren y Wert aufweisen, also an derselben horizontalen Position jeweils eine Zeile höher liegen.
Somit liegen, wenn der Ausgangswert des Zeilenspeichers 33 als Wert s(x0+3,y0) angesetzt wird, jeweils die folgenden Bildpunktwerte vor:
Am Eingang des Zeilenspeichers 31 liegt der Bildpunktwert s(x0+3,y0+3), am Ausgang des Zeilenspeichers 31 der Wert s(x0+3,y0+2), am Ausgang des Zeilenspeichers 32 der Wert s(x0+3,y0+1), am Ausgang des Zeilenspeichers 34 der Wert s(x0+3,y0-1), am Ausgang des Zeilenspeichers 35 der Bildpunktwert s(x0+3,y0-2) und am Ausgang des Zeilenspeichers 36 der Bildpunktwert s(x0+3,y0-3) vor.
Alle diese genannten Bildpunktwerte werden einem ersten Differenzierer 41 zugeführt, der eine Ableitung der Bildpunktwerte in y-Richtung vornimmt, wobei die Ableitung bezogen auf den Bildpunktwert s(x0+3,y0) vorgenommen wird.
Nachfolgend ist ein Verzögerungsglied 43 vorgesehen, welches die Ableitung der Bildpunktwerte in y-Richtung an der Position (x0+3,y0) um die Dauer dreier Bildpunktwerte verzögert, so daß ausgangsseitig die Ableitung der Bildpunktwerte in y-Richtung in der Position (x0,y0) vorliegt.
Es sind ferner zwei Verzögerungselemente 51 und 52 vorgesehen, welche jeweils eine Verzögerung um die Dauer zweier Bildpunktwerte vornehmen, welche also eine Verzögerung um zwei Werte in x-Richtung des zweidimensionalen Abtastrasters erzeugen.
Damit liefert das erste Verzögerungselement 51, dem der Bildpunktwert s(x0+3,y0+1) zugeführt wird, ausgangsseitig einen Bildpunktwert s(x0+1,y0+1).
Das zweite Verzögerungselement, dem eingangsseitig der Bildpunktwert s(x0+3,y0) zugeführt wird, liefert ausgangsseitig den Wert s(x0+1,y0).
Darüber hinaus sind zwei weitere Verzögerungselemente 53 und 54 vorgesehen, welche jeweils eine Verzögerung um die Dauer eines Bildpunktwertes vornehmen, welche also eine Verzögerung um einen Wert in x-Richtung des zweidimensionalen Abtastrasters erzeugen.
Damit liefert das dritte Verzögerungselement 53, dem der Bildpunktwert s(x0+1,y0+1) zugeführt wird, ausgangsseitig einen Bildpunktwert s(x0,y0+1). Das vierte Verzögerungselement 54, dem eingangsseitig der Bildpunktwert s(x0+1,y0) zugeführt wird, liefert ausgangsseitig den Wert s(x0,y0).
Der Wert s(x0,y0), den das zweite Verzögerungselement 52 liefert, wird einem zweiten Differenzierer 42 zugeführt, der eine erste Ableitung in x-Richtung an der Stelle dieses Bildpunktes vornimmt.
In der Anordnung gemäß Fig. 3 sind ferner Rechenmittel 61 vorgesehen, welche eine Überlagerungsstufe 62 aufweisen.
Der Überlagerungsstufe 62 werden die Ausgangssignale des Differenzierers 42, die Ausgangssignale der Verzögerungselemente 51 bis 54 sowie das Ausgangssignal des Verzögerungselementes 43 zugeführt.
Damit stehen der Überlagerungsstufe eingangsseitig die Werte s(x0,y0), s(x0+1,y0), s(x0,y0+1), s(x0+1,y0+1) sowie die erste Ableitung des Bildpunktwertes s(x0,y0) in x- und in y-Richtung zur Verfügung.
Es handelt sich dabei um diejenigen Werte des Vektors entsprechend Gleichung (4), die multipliziert mit der inversen Matrix dieser Gleichung, den Vektor mit den Polynomialkoeffizienten c5 bis c0 ergeben.
Eine nähere Betrachtung dieser Gleichung (5) zeigt, daß beispielsweise der Polynomialkoeffizient c5 sich aus der Summe -s(y0,y0), s(x0+1,y0) und -Δs(x,y)/δx an der Stelle (x0,y0) ergibt. In entsprechender Weise ergeben sich die Koeffizienten c4 bis c0 durch entsprechende inversen Matrix überlagerte Werte bzw. invertierte Werte des Beobachtungsvektors der Gleichung (5).
Dieser Zusammenhang zwischen den Bildpunktwerten aus dem Beobachtungsvektor und den Polynomialkoeffizienten ist in den Rechenmitteln 61 durch entsprechende Verdrahtung von Addierern 63 bis 68 innerhalb der Überlagerungsstufe 62 berücksichtigt.
So ist für den oben als Beispiel herausgegriffenen Polynomialkoeffizienten c5 die Addierer 63 und 64 vorgesehen, welche entsprechend der durch die inverse Matrix in Gleichung (5) angegebenen Vorschrift eine Überlagerung der Eingangswerte vornimmt. So wird dem Addierer 63 an einem invertierenden Eingang das Ausgangssignal des zweiten Differenzierers 42 zugeführt, welcher das Signal Δs(x,y)/∂x an der Stelle (x0,y0) liefert. An einem nicht invertierenden Eingang wird dem Addierer 63 das Signal s(x0+1,y0) zugeführt. Das Ausgangssignal des Addierers 63 gelangt auf einen nicht invertierenden Eingang des Addierers 64. Einem invertierenden Eingang des Addierers 64 wird das Signal s(x0,y0) zugeführt.
Der Addierer 64 liefert damit ausgangsseitig den Koeffizienten c5 entsprechend der Gleichung (5).
In entsprechender Weise sind zur Erzeugung des Polynomialkoeffizienten c4 die Addierer 65 und 66, zur Erzeugung des Polynomialkoeffizienten c3 die Addierer 65, 67 und 68 verschaltet. Entsprechend der inversen Matrix in Gleichung (5) ergibt sich der Polynomialkoeffizient c2 unmittelbar aus dem Wert Δs(x,y)/∂x an der Stelle (x0,y0), also dem Wert des zweiten Differenzierers 42. Der Polynomialkoeffizient c1 ergibt sich unmittelbar aus dem Wert Δs(x,y)/∂y an der Stelle (x0,y0), also dem Wert des Verzögerungsgliedes 43. Der Polynomialkoeffizient c0 entspricht dem Bildpunktwert s(x0, y0).
Damit liefert die Überlagerungsstufe 62 ausgangsseitig die Polynomialkoeffizienten c5 bis c0.
Da der Bildpunktwert si(x0+Δx,y0+Δy) sich durch Einsetzen der Werte Δx und Δy in das Polynom ergibt, gilt nunmehr die Gleichung (6), welche innerhalb der Rechenmittel 61 dadurch berechnet wird, daß die Polynomialkoeffizienten c5 bis c0 mit den jeweils zugeordneten Basisfunktionen an den Stellen Δx und Δy multipliziert werden. So multipliziert der Multiplizierer 71 den Polynomialkoeffizienten c5 mit dem Wert Δx2, der Multiplizierer 72 den Polynomialkoeffizienten c4 mit der Basisfunktion Δy2, der Multiplizierer 73 den Polynomialkoeffizienten c3 mit der Basisfunktion Δx.Δy, der Multiplizierer 74 den Polynomialkoeffizienten c2 mit der Basisfunktion Δx und der Multiplizierer 75 den Polynomialkoeffizienten c1 mit der Basisfunktion Δy. Da c0 nur mit 1 multipliziert werden muß, entfällt hier ein Multiplizierer.
Der Polynomialkoeffizient c0 sowie die Ausgangswerte der Multiplizierer 71 bis 75 werden einer Addierstufe 81 zugeführt, welche ausgangsseitig entsprechend der Gleichung (6) den Wert si(x0+Δx,y0+Δy) des gesuchten Bildpunktes liefert.
In der Anordnung gemäß Fig. 3 ist in der Auslegung der Überlagerungsstufe die Rechenvorschrift entsprechend des Polynoms und der inversen Matrix enthalten. Aus dem Eingangssignal s(x,y) der Anordnung gemäß Fig. 3 kann diese unmittelbar und laufend die gesuchten Bildpunktwerte si berechnen. Dies kann aufgrund der erfindungsgemäßen Vorgehensweise recht genau erfolgen, wobei der Aufwand entsprechend der Anordnung gemäß Fig. 3 relativ gering bleibt.
Die in der Fig. 3 als Block dargestellten Differenzierer 41 und 42 weisen vorzugsweise eine Übertragungsfunktion H = (jω)k auf, wobei ω abhängig davon, ob die Ableitung in x- oder y-Richtung erfolgen soll, die Ortsfrequenz in x- oder y- Richtung ist.
Diese Übertragungsfunktion kann beispielsweise durch ein Filter verwirklicht werden, welches die Filterkoeffizienten 13/128, -40/128, 115/128, 0/128, -115/128, 40/128 und -13/128 aufweist.
Dieses Filter ist entsprechend der Darstellung gemäß Fig. 4 durch entsprechende Verschaltung verwirklicht.
Das Filter gemäß Fig. 4 weist sechs Verzögerungselemente 11 bis 16 auf, welche hintereinandergeschaltet sind, wobei dem ersten Verzögerungselement 11 das zu differenzierende Eingangssignal zugeführt wird. Entsprechend der zu wählenden Filterkoeffizienten wird das Eingangssignal sowie das mittels eines Inverters 26 invertierte Ausgangssignal des letzten Verzögerungselementes 16 einem Addierer 21 zugeführt, da beide in nicht invertierter bzw. invertierter Form mit dem Faktor 13/128 zu multiplizieren sind. Dies wird mittels eines dem Addierer 21 nachgeschalteten Multiplizierers 24 vorgenommen.
Entsprechend der oben genannten Filterkoeffizienten werden die Ausgangssignale des ersten Verzögerungselementes 11 und des fünften Verzögerungselementes 15 in nicht invertierter bzw. invertierter Form mittels eines Summierers 19 überlagert und mit dem Filterkoeffizienten -40/128 multipliziert. Entsprechend werden die Ausgangssignale des zweiten Verzögerungselementes 12 und des vierten Verzögerungselementes 14 in nicht invertierter bzw. mittels eines Invertierers 18 invertierter Form einem Addierer 17 zugeführt, dessen Ausgangssignal mittels eines Multiplizierers mit dem zugeordneten Filterkoeffizienten 115/128 multipliziert wird.
Die Ausgangswerte der Multiplizierer 22 bis 24 werden mittels eines Addierers 25 überlagert, so daß die Gesamtanordnung gemäß Fig. 4 ein Filterverhalten liefert, welches die oben genannte Übertragungsfunktion gut annähert.
Derartige Differenzierer können in der Schaltung gemäß Fig. 3 eingesetzt werden. Dabei sind für die Differenzierung in x-Richtung die Verzögerungselemente innerhalb des Differenzierers vorgesehen. Für die Verzögerung in y-Richtung sind in der Anordnung gemäß Fig. 3 die Verzögerungselemente als Zeilenspeicher 31 bis 36 extern aufgebaut. In diesem Fall sind das Eingangssignal und die Ausgangssignale der Zeilenspeicher 31 bis 36 in entsprechender Weise dem Addierer 17, 19 und 21 in nicht invertierter bzw. invertierter Form zuzuführen, ohne die Verzögerungselemente 11 bis 16 zu durchlaufen.
Darüber hinaus ist die Laufzeit des vertikalen Differenzierers 41 in Fig. 3 durch ein Verzögerungsglied 43, das eine horizontale Verzögerung von drei Pixeln realisiert, an die Laufzeit des horizontalen Differenzierers 42 anzugleichen, so daß am Ausgang des Differenzierers 42 die horizontale Ableitung des Eingangssignals s(x,y) im Punkt (x0,y0) vorliegt und am Ausgang des Verzögerungsgliedes 43 die vertikale Ableitung des Eingangssignales s(x,y) in demselben Punkt (x0,y0).

Claims (7)

1. Verfahren zur Berechnung von Werten si(x0+Δx,y0+Δy) von Bildpunkten, welche außerhalb eines zweidimensionalen Abtastrasters {x0±n, y0±m, mit m,n = 0,1,2,3,. . .} von Bildpunkten mit Bildpunktwerten s(x0±n,y0±m) eines digitalen Bildsignals angeordnet sind, dadurch gekennzeichnet, daß
  • - für eine Berechnung eines gesuchten Bildpunktwertes si(x0+Δx,y0+Δy) wenigstens drei der Bildpunktwerte s(x0,y0), s(x0,y0+1), s(x0+1,y0) und s(x0+1,y0+1) von vier um den gesuchten Bildpunkt herum angeordneten Referenzbildpunkten ermittelt werden,
  • - ein Polynom p(x,y) der Form
    gebildet wird, das an den Positionen von wenigstens drei der vier Referenzbildpunkte mit deren Werten übereinstimmen soll, so daß gilt p(0,0) = s(x0,y0), p(1,0) = s(x0+1,y0), p(0,1) = s(x0,y0+1) und/oder p(1,1) = s(x0+1,y0+1),
  • - von wenigstens einem der Referenzbildpunktwerte die k ersten Ableitungen ∂s(x,y)/∂x in x- und ∂s(x,y)/∂y in y-Richtung gebildet werden,
  • - eine Matrix gebildet wird, deren Elemente aus den Werten der Basisfunktionen
    des Polynoms an wenigstens drei der Referenzbildpunkte und den k ersten Ableitungen ∂p(x,y)/∂x in x- und ∂p(x,y)/∂y in y-Richtung der Basisfunktionen an wenigstens einem der Referenzbildpunkte bestehen, wobei in einer Zeile der Matrix jeweils die einem Referenzbildpunkt bzw. einer ersten Ableitung eines Referenzbildpunktes zugeordneten Basisfunktionen stehen,
  • - aus der Matrix durch Inversion eine inverse oder pseudoinverse Matrix gebildet wird,
  • - zur Ermittlung der Polynomialkoeffizienten cm-1, cm-2,. . ., c2, c1, c0 die inverse bzw. pseudoinverse Matrix mit einem Beobachtungsvektor multipliziert wird, der als Elemente wenigstens drei der Bezugsbildpunktwerte und die k ersten Ableitungen ∂s(x,y)/∂x in x- und ∂s(x,y)/∂y in y-Richtung wenigstens einer der Bezugsbildpunkte aufweist,
  • - die Polynomialkoeffizienten in das Polynom p(x,y) eingesetzt werden und die Berechnung des neuen Bildpunktwertes si(x0+Δx,y0+Δy) dadurch vorgenommen wird, daß der Funktionswert des Polynoms p(Δx,Δy) an der Stelle (Δx,Δy) berechnet wird.
2. Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß zur Bildung der Matrix von einem der Referenzbildpunktwerte, vorzugsweise dem Referenzbildpunktwert s(x0,y0), die ersten Ableitungen ∂p(x,y)/∂x in x- und ∂p(x,y)/∂y in y-Richtung gebildet werden und daß der Beobachtungsvektor die vier Referenzbildpunktwerte s(x0,y0), s(x0,y0+1), s(x0+1,y0) und s(x0+1,y0+1) und die ersten Ableitungen ∂s(x,y)/∂x in x- und ∂s(x,y)/∂y in y-Richtung eines der Referenzbildpunkte, vorzugsweise des Referenzbildpunktwertes s(x0,y0), enthält.
3. Anordnung zur Berechnung von Werten si(x0+Δx,y0+Δy) von Bildpunkten, welche außerhalb eines zweidimensionalen Abtastrasters {x0±n, y0+m mit m,n = 0,1,2,3,. . .} von Bildpunkten mit Bildpunktwerten s(x0±n,y0±m) eines digitalen Bildsignals angeordnet sind, dadurch gekennzeichnet, daß
  • - erste Rechenmittel (61) vorgesehen sind, welche
  • - ein Polynom p(x,y) der Form
    bilden, das an den Positionen von wenigstens drei der vier Referenzbildpunkte mit deren Werten übereinstimmen soll, so daß gilt p(0,0) = s(y0,y0), p(1,0) = s(y0+1,y0), p(0,1) = s(x0,y0+1) und/oder p(1,1) = s(x0+1,y0+1),
  • - eine Matrix bilden, deren Elemente aus den Werten der Basisfunktionen
    des Polynoms an wenigstens drei der Referenzbildpunkte und den k ersten Ableitungen ∂p(x,y)/∂x in x- und ∂p(x,y)/∂y in y-Richtung der Basisfunktionen an wenigstens einem der Referenzbildpunkte bestehen, wobei in einer Zeile der Matrix jeweils die einem Referenzbildpunkt bzw. einer ersten Ableitung eines Referenzbildpunktes zugeordneten Basisfunktionen stehen,
  • - und aus der Matrix durch Inversion eine inverse oder pseudoinverse Matrix bilden,
  • - Differenzierer (41, 42) vorgesehen sind, welche von wenigstens einem der Referenzbildpunktwerte die k ersten Ableitungen ∂s(x,y)/∂x in x- und ∂s(x,y)/∂y in y-Richtung bilden,
  • - zweite Rechenmittel (61) vorgesehen sind,
  • - denen für eine Berechnung eines gesuchten Bildpunktwertes si(x0+Δx,y0+Δy) wenigstens drei der Bildpunktwerte s(y0,y0), s(x0,y0+1), s(x0+1,y0) und s(x0+1,y0+1) von vier um den gesuchten Bildpunkt herum angeordneten Referenzbildpunkten zugeführt werden,
  • - welche zur Ermittlung der Polynomialkoeffizienten cm-1, cm-2,. . ., c2, c1, c0 die inverse bzw. pseudoinverse Matrix mit einem Beobachtungsvektor multiplizieren, der als Elemente wenigstens drei der Bezugsbildpunktwerte und die k ersten Ableitungen ∂s(x,y)/∂x in x- und ∂s(x,y)/∂y in y-Richtung wenigstens einer der Referenzbildpunkte aufweist,
  • - und welche die Polynomialkoeffizienten in das Polynom p(x,y) einsetzen und dadurch die Berechnung des neuen Bildpunktwertes si(x0+Δx,y0+Δy) vornehmen, daß sie eine Berechnung des Funktionswertes des Polynoms p(Δx,Δy) an der Stelle (Δx,Δy) durchführen.
4. Anordnung nach Anspruch 3, dadurch gekennzeichnet, daß die Differenzierer (41,42) im Frequenz-Bereich zur Bildung der k-ten Ableitung näherungsweise die Übertragungsfunktion H = (jω)k aufweisen, wobei ω abhängig davon, ob die Ableitung in x- oder y-Richtung erfolgen soll, die Ortsfrequenz in x- oder y- Richtung ist.
5. Anordnung nach Anspruch 3 oder 4, dadurch gekennzeichnet, daß der Differenzierer (41) hintereinandergeschaltete Verzögerungselemente (11, 12, 13, 14, 15, 16) aufweist, daß Addierer (17, 19, 21) vorgesehen sind, denen innerhalb des Differenzierers jeweils diejenigen Signale zugeführt werden, die mit betragsmäßig gleichen Koeffizienten multipliziert werden, daß den Addierern (17, 19, 21) jeweils ein Multiplizierer (22, 23, 24) nachgeschaltet ist, der die Multiplikation mit dem zugeordneten Koeffizienten vornimmt, und daß die Ausgangssignale der Multiplizierer mittels eines Addierers (25) addiert werden, welcher das Ausgangssignal des Differenzierers liefert, und daß ein weiterer Differenzierer (42) dieselbe Struktur wie der Differenzierer (42) aufweist, dem die Ein- und Ausgangssignale der Verzögerungselemente (31 bis 36) als Eingangssignale für die invertierten bzw. nicht invertierten Eingänge der Addierer (17, 19 und 21) zugeführt werden.
6. Anordnung nach einem der Ansprüche 3 bis 5, dadurch gekennzeichnet, daß
  • - die Werte s(x0±n,y0±m) einer Serienschaltung aus Zeilenspeichern (31, 32, 33, 34, 35, 36) zugeführt werden, deren Ausgangssignale Bildpunktwerte s(x0+3,y0+2), s(x0+3,y0+1), . . ., s(x0+3,y0-3) liefern,
  • - ein erstes Verzögerungselement vorgesehen ist, welchem der Bildpunktwert s(x0+3,y0+1) zugeführt wird und welches ausgangsseitig den Bildpunktwert s(x0+1,y0+1) liefert,
  • - ein zweites Verzögerungselement vorgesehen ist, welchem der Bildpunktwert s(x0+1,y0+1) zugeführt wird und welches ausgangsseitig den Bildpunktwert s(x0,y0+1) liefert,
  • - ein drittes Verzögerungselement vorgesehen ist, welchem der Bildpunktwert s(x0+3,y0) zugeführt wird und welches ausgangsseitig den Bildpunktwert s(x0+1,y0) liefert,
  • - ein viertes Verzögerungselement vorgesehen ist, welchem der Bildpunktwert s(x0+1,y0) zugeführt wird und welches ausgangsseitig den Bildpunktwert s(x0,y0) liefert,
  • - ein erster Differenzierer vorgesehen ist, dem die Bildpunktwerte s(x0+3,y0+3), s(x0+3,y0+2), . . ., s(x0+3,y0-3) zugeführt werden und der eine erste Ableitung ∂s(x,y)/∂y|(x0+3,y0) des Bildpunktwertes s(x0+3,y0) in y-Richtung vornimmt,
  • - ein fünftes Verzögerungselement vorgesehen ist, welchem die erste Ableitung in y-Richtung an der Stelle (x0+3,y0) zugeführt wird und welches ausgangsseitig die erste Ableitung der Bildpunktwerte in y-Richtung an der Stelle (x0,y0) liefert,
  • - ein zweiter Differenzierer vorgesehen ist, dem der Bildpunktwert s(x0+3,y0) zugeführt wird und der eine erste Ableitung ∂s(x,y)|∂x (x0,y0) des Bildpunktwertes in x-Richtung vornimmt,
  • - die Rechenschaltung (61) eine Überlagerungsstufe (62) aufweist, mittels welcher die Bildpunktwerte bzw. ersten Ableitungen s(x0,y0), s(x0,y0+1), s(x0+1,y0), s(x0+1,y0+1), ∂s(x,y)|∂x|(x0,y0) und δs(x,y)|∂x|(x0,y0) entsprechend der inversen Matrix so überlagert werden, daß die Überlagerungsstufe (62) ausgangsseitig die Koeffizienten liefert,
  • - in der Rechenschaltung Multiplizierer vorgesehen sind, mittels derer die Koeffizienten mit den polynomialen Basisfunktionen, die aus Δx und Δy erzeugt werden, multipliziert werden,
  • - und die Ausgangssignale der Multiplizierer mittels einer in der Rechenschaltung vorgesehenen Addierstufe addiert werden, welche ausgangsseitig den Wert des gesuchten Bildpunktes si(x0+Δx, y0+Δy) liefert.
7. Verwendung der Anordnung zur Formatumwandlung eines digitalen Bildsignals.
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