DE19652002C2 - Schwingungs-Meßgerät - Google Patents

Schwingungs-Meßgerät

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Description

Die vorliegende Erfindung bezieht sich auf ein Schwingungs-Meßgerät zum Messen der Dichte und/oder der Durchflußmenge einer in einer geraden Meßleitung fließenden Flüssigkeit, indem die gerade Meßleitung in Schwingung versetzt wird.
Fig. 1A zeigt eine Konfiguration, eines Beispiels eines Schwingungs-Meßgeräts. Fig. 1B ist eine Drauf­ sicht einer Detektionseinheit des Schwingungs- Meßgeräts.
Das Schwingungs-Meßgerät weist eine Detektionsein­ heit 1, einen Antriebsstromkreis 8 sowie einen Si­ gnalverarbeitungskreis 9 auf, wie in Fig. 1A darge­ stellt. Die Detektionseinheit 1 weist eine hohle, gerade Meßleitung 2 auf; Haltevorrichtungen 3a und 3b zur Befestigung beider Enden der geraden Meßlei­ tung 2; Träger 4a und 4b zur Verbindung der Halte­ vorrichtungen 3a und 3b; einen Treiber 5, um die gerade Meßleitung 2 in Schwingung zu versetzen; Sen­ soren 6a und 6b zur Erfassung der Schwingung der geraden Meßleitung 2; sowie Adapter 7a, 7b und 7c, um am Treiber 5 Sensoren 6a bzw. 6b zu befestigen, wie in Fig. 1A und 1B dargestellt. Die gerade Meß­ leitung 2 ist mit einem Temperatursensor 10 verse­ hen, um die Temperatur der Meßleitung zu erfassen.
Die gerade Meßleitung 2 ist mit externen Leitungen, die in Fig. 1A nicht abgebildet sind, derart verbun­ den, daß die zu messende Flüssigkeit durch die gera­ de Meßleitung 2 fließen kann. Beide Enden der gera­ den Meßleitung 2 sind an die Haltevorrichtungen 3a bzw. 3b mit Wachs fixiert oder geschweißt, so daß die Endteile Schwingungsknoten sein können. Die Trä­ ger 4a und 4b halten den Treiber 5 und die Sensoren 6a und 6b lagefest. Sie haben eine größere Steifig­ keit als die gerade Meßleitung 2 und sind durch Lö­ ten, Schweißen, usw. an den Haltevorrichtungen 3a und 3b befestigt. Die Sensoren 6a und 6b können Ge­ schwindigkeitssensoren, Verschiebungssensoren, Be­ schleunigungssensoren, usw. sein.
Der Treiber 5 ist am Mittelpunkt der geraden Meßlei­ tung 2 angebracht. Die Sensoren 6a und 6b sind sym­ metrisch um den Treiber 5 herum angebracht und be­ rühren die Meßleitung. Wenn das Schwingungs-Meßgerät als Coriolis-Durchflußmeßgerät verwendet wird, wird die Flüssigkeitsdichte mit wenigstens einem der Sen­ soren 6a und 6b nach dem im folgenden beschriebenen Verfahren gemessen. Gleichzeitig wird die Durchfluß­ menge der Flüssigkeit aufgrund der Phasendifferenz (Zeitdifferenz) der Flüssigkeitsschwingung zwischen den beiden Sensoren 6a und 6b gemessen, die strom­ aufwärts und stromabwärts des Treibers 5 angebracht sind. Wenn das Schwingungs-Meßgerät als Dichtemesser zum alleinigen Messen der Dichte einer Flüssigkeit verwendet wird, kann auch nur einer der Sensoren 6a und 6b (beispielsweise nur Sensor 6a) als Sensor zum Messen der Dichte angebracht werden.
Die gerade Meßleitung 2 wird vom Treiber 5, der ge­ mäß dem Antriebssignal vom Antriebsstromkreis 8 be­ trieben wird, mit ihrer Resonanzfrequenz in Schwin­ gung versetzt. Die Detektionssignale von den Senso­ ren 6a und 6b und das Temperaturdetektionssignal vom Temperatursensor 10 werden an den Signalverarbei­ tungskreis 9 übertragen. Der Signalverarbeitungs­ kreis 9 erhält die Resonanzfrequenz der geraden Meß­ leitung 2 gemäß den Detektionssignalen von den Sen­ soren 6a und 6b und berechnet die Dichte der Flüs­ sigkeit durch das im folgenden beschriebene Verfah­ ren gemäß der resultierenden Resonanzfrequenz und der Temperatur der geraden Meßleitung 2.
Die folgende Differentialgleichung (1) ist in bezug auf die gerade Meßleitung 2 mit einem gleichmäßigen Querschnitt ausgedrückt, wobei E das Elastizitätsmo­ dul der geraden Meßleitung 2 angibt; I das sekundäre Querschnittsmoment der geraden Meßleitung 2 angibt; x eine Position auf der geraden Meßleitung 2 in axialer Richtung angibt (x = 0 an einem Ende der Meßleitung 2 und x = L am anderen Ende der Meßlei­ tung 2); y die Schwingungsamplitude der geraden Meß­ leitung 2 an der Position x angibt (eine Funktion mit der Variablen x); ρw die Dichte der Flüssigkeit angibt; Si den Querschnittsbereich des hohlen Teils der geraden Meßleitung 2 angibt; ρt die Dichte der geraden Meßleitung 2 angibt St den Querschnittsbe­ reich der geraden Meßleitung 2 angibt; und t die Zeit angibt.
EI(∂4y/∂x4) + (ρwSi + ρtST)(∂2y/∂t2) = 0 (1)
Löst man die Gleichung (1) mit gegebenen Randbedin­ gungen auf, erhält man die Resonanzfrequenz f der horizontalen Schwingung der geraden Meßleitung 2 durch die folgende Gleichung (2).
f = λ2{EI/(ρwSi + ρtSt)}1/2/(2πL2) (2)
(λ gibt die Konstante an, die durch die Randbedin­ gungen und den Schwingungsmodus der geraden Meßlei­ tung 2 bestimmt wird; und L gibt die Länge der gera­ den Meßleitung 2 in axialer Richtung an.)
Die oben aufgeführte Gleichung (2) wird wie im fol­ genden angegeben nach ρw aufgelöst.
ρw = {(λ4EI/4π2L4f2) - ρtSt}/Si (3)
Die Dichte ρw der Flüssigkeit erhält man, indem die erfaßte Resonanzfrequenz f der geraden Meßleitung 2 in die obige Gleichung (3) eingesetzt wird und wei­ terhin das Elastizitätsmodul E nach einer Tempera­ turberichtigung aufgrund der Temperatur der geraden Meßleitung 2, die vom Temperatursensor 10 gemessen wird; dem sekundären Querschnittsmoment I, das durch Berichtigung der thermischen Ausdehnung gemäß der Temperatur erhalten wurde; der Länge L der Meßlei­ tung sowie den Querschnittsbereichen St und Si ein­ gesetzt wird.
Im Fall der Vorrichtung mit der geraden Meßleitung 2 wie in Fig. 1 dargestellt, entsteht jedoch zwischen der geraden Meßleitung 2 und den Trägern 4a und 4b durch eine Temperaturveränderung beispielsweise der Flüssigkeit, der umgebenden Atmosphäre, usw., eine Temperaturdifferenz, wodurch eine Kraft (Axialkraft) in der geraden Meßleitung 2 in axialer Richtung er­ zeugt wird. Die Axialkraft verändert die Resonanz­ frequenz f der geraden Meßleitung 2, was bekannt ist, und erzeugt einen Fehler in der Dichte ρw, die mit der oben aufgeführten Gleichung (3) berechnet wurde.
Die konventionellen Gegenmaßnahmen für die oben ge­ nannten Probleme sollen den Einfluß der Axialkraft verhindern, indem eine gekrümmte Meßleitung vorgese­ hen wird, wobei an beiden Enden der Meßleitung eine Balg- oder Membranstruktur angebracht wird, usw., oder sie sollen die Temperaturdifferenz zwischen der Flüssigkeit und der umgebenden Atmosphäre begrenzen. Eine gekrümmte Meßleitung verstärkt jedoch hygieni­ sche Probleme, z. B. durch die Flüssigkeitspfützen hervorgerufene Korrosion, die schwer zu reinigen ist und einen hohen Druckverlust in der Flüssigkeit be­ wirken kann, wodurch Probleme für den Benutzer ent­ stehen. Weitere Probleme bei den Balg- und Membran­ strukturen sind, daß ihre Konfiguration kompliziert ist, sie aufgrund ihrer mechanischen Zerbrechlich­ keit empfindlich gegenüber Erschütterungen beim Transport sind und daß sie die Axialkraft nicht vollständig ausschalten können. Zusätzlich bedeutet das Verfahren der Begrenzung der Temperaturdifferenz zwischen der Flüssigkeit und der umgebenden Atmo­ sphäre große Einschränkungen für direkte Feldmessun­ gen. Dies ist kein erwünschtes Phänomen in der Meß­ technik.
Ein anderes Verfahren zum Lösen der Probleme auf­ grund von Veränderungen der Axialkraft ist die Be­ richtigung eines aufgrund der gemessenen Axialkraft gemessenen Dichtewertes durch Messen der Axialkraft, die auf die Meßleitung wirkt, durch Messen der Tem­ peraturdifferenz zwischen der Meßleitung und einem Träger, Messen der Verkrümmung der Meßleitung mit einem Spannungsmesser, usw. Dieses Verfahren weist jedoch auch die im folgenden beschriebenen Probleme auf.
Die oben aufgeführte Differentialgleichung (1) wird folgendermaßen ausgedrückt, wenn die Axialkraft (Spannung) T vorhanden ist:
EI(∂4y/∂x4) - T(∂2y/∂x2) + (ρwSi + ρtSt)(∂2y/∂t2) = 0 (4)
Löst man die Differentialgleichung (4) unter den gegebenen Randbedingungen auf, erhält man die Glei­ chungen (2) und (3), mit denen die Dichtewerte er­ halten werden, die folgendermaßen ausgedrückt wer­ den:
g(f, ρw, T, E, I, Si, ρt, St) = 0 (5)
Dies ist eine sehr komplizierte Funktion, welche die Dichte ρw nicht explizit enthält. Daher kann in die­ sem Fall die Dichte ρw nicht direkt erhalten werden, wie in Gleichung (3) dargestellt, und eine numeri­ sche Analyse, z. B. eine sukzessive Approximation, kann aufgrund der komplizierten Gleichung in der Praxis nicht angewandt werden.
Zusätzlich zu den oben genannten Problemen kann die Masse der Bestandteile, welche die Meßleitung berührt oder dieser zugefügt wird, z. B. der Treiber 5, die Sensoren 6a und 6b sowie der Temperatursensor 10, ein Faktor bei der Verringerung der Genauigkeit der Dichtemessung sein. Die Trägheitskraft einer solchen zugefügten Masse wirkt als Scherbeanspruchung auf die Meßleitung und kompliziert die Differentialgleichung (4) und Funktion (5) noch weiter, wodurch sie die Berechnung der Dichte ρw noch schwieriger macht.
Bei dem Verfahren zum Erhalten der Axialkraft aufgrund der Temperaturdifferenz zwischen einer Meßleitung und einem Träger ändert sich die Temperaturverteilung des Trägers mit der thermischen Leitfähigkeit des Trägers und der Temperatur der Flüssigkeit und der umgebenden Atmosphäre; daher kann die Axialkraft nicht korrekt gemessen werden. Das Verfahren der Befestigung eines Spannungsmessers an einer Meßleitung ist problematisch bei der Befestigungstechnik und der lang­ fristigen Zuverlässigkeit. Daher ist es schwierig, dieses Verfahren bei der Massenproduktion zu verwenden.
Es ist bekannt (WO 95/29 385 A1) ein Radialschwingungs- Coriolis-Massendurchflußmessgerät einzusetzen, das auf Druck- oder Dichteänderungen anspricht. Dieses Messgerät umfasst: (A) eine Durchflussleitung, in der ein Fluid mit einer bestimmten physikalischen Eigenschaft mit einer unbekannten Durchfluß­ geschwindigkeit fließt, (B) eine Antriebsschaltung zum Erzeugen einer Schwingung in der Durchflußleitung, je nach physikalischer Eigenschaft und Durchflußrate des Fluids, (C) eine Detektorsschaltung zum Messen der Schwingung an einem Arbeitspunkt und Erzeugen eines eine unkompensierte Massen­ durchflußrate des Fluids darstellenden Signals und (D) eine Schaltung zum Berechnen einer kompensierten Massendurchfluß­ rate des Fluids, die zu der unkompensierten Massendurchflußrate um einen Faktor von 1/Ω1n proportional ist, wobei Ω1 eine angetriebene Eigenfrequenz der Durchflußleitung und n eine vom Arbeitspunkt abhängige Zahl ist, wodurch mögliche Auswirkungen der physikalischen Eigenschaften auf die kompen­ sierte Durchflußrate verringert werden.
Es ist ein Durchflußmeßgerät zum Messen der Strömungs­ geschwindigkeit von Fluids unter Verwendung des Coriolis- Prinzips bekannt (WO 95/16 897 A1). Dieses umfaßt einen in den Fluid eingetauchten Hauptkörper, ein in dem Hauptkörper vor­ gesehenes Betätigungselement zum Anlegen von Schwingungen an die Oberfläche des Hauptkörpers, so daß die Schwingungen Coriolis-Kräfte innerhalb des Fluids erzeugen, einen an der Hauptkörperoberfläche befestigten Detektor zum Messen der Bewegung der Oberfläche als Funktion der in dem Fluid erzeugten Coriolis Kräfte und eine an dem Detektor ange­ schlossene elektronische Schaltung zum Berechnen der Eigen­ schaften des Fluids als eine Funktion der Bewegung der Oberfläche.
Weiterhin ist ein Coriolis-Effekt-Dichtemeßgerät bekannt (US 5 295 084 bzw. DE 693 11 377 T2), welches Dichtewerte mit verbesserter Genauigkeit liefert und dabei das Prinzip ein­ setzt, daß die Grundfrequenz eines mit Material gefüllten schwingenden Rohrs mti zunehmendem Massendurchsatz abnimmt. Zu diesem Zweck misst der Dichtemesser die Eigenfrequenz des Rohrs, wenn Material hindurchfließt, korrigiert die gemessene Frequenz zum Kompensieren der durch den Materialfluß verur­ sachten Abnahme der Eigenfrequenz und verwendet die korri­ gierte Eigenfrequenz bei der Materialdichteberechnung.
Der Stand der Technik zeigt jedoch nicht den Gedanken, die Axialkraft abzuleiten und eine Korrektur für die Auswirkung der Axialkraft in der Berechnungsformel zum Ableiten der Dichte zuzulassen.
Der vorliegenden Erfindung liegt die Aufgabe zugrunde, die Meßgenauigkeit eines Schwingungs-Meßgeräts zu verbessern, indem die Dichte und die Durchflußmenge einer Flüssigkeit durch ein zweck­ mäßiges Verfahren mit einer geraden Meßleitung, die für Massenproduktion und richtige Messungen geeignet ist, erhalten wird. Die vorliegende Erfindung hat weiterhin die Aufgabe, die Meßgenauigkeit eines Schwingungs-Meßgeräts zu ver­ bessern, indem sie eine Axialkraft, die auf die Meß­ leitung ausgeübt wird, mit hoher Genauigkeit erhält und den Einfluß der Axialkraft auf die Messung der Dichte und der Durchflußmenge der Flüssigkeit be­ richtigt.
Das erfindungsgemäße Schwingungs-Meßgerät mißt die Durchflußmenge und/oder die Dichte einer durch eine gerade Meßleitung fließenden Flüssigkeit, indem es die Leitung in Schwingung versetzt. Das Schwingungs- Meßgerät umfaßt eine gerade Meßleitung; eine Schwin­ gungsdetektionseinheit zur Erfassung einer Schwin­ gung der Meßleitung; sowie eine Signalverarbeitungs­ einheit zum Erhalten der resonanten Winkelfrequenz ω und Axialkraft T der Meßleitung aufgrund des Detek­ tionssignals der Schwingungsdetektionseinheit, sowie zum Erhalten der Dichte ρw der durch die Meßleitung fließenden Flüssigkeit aufgrund der folgenden Glei­ chung (E1) mit der erhaltenen resonanten Winkelfre­ quenz ω und der Axialkraft T.
wobei E das Elastizitätsmodul der Meßleitung angibt, I das sekundäre Querschnittsmoment der Meßleitung angibt, Si den Querschnittsbereich des hohlen Teils der Meßleitung angibt, ρt die Dichte der Meßleitung angibt, St den tatsächlichen Querschnittsbereich der Meßleitung angibt, L die Länge in axialer Richtung der Meßleitung angibt, x eine Position in der axia­ len Richtung der Meßleitung angibt, y die Schwingungsamplitude der Meßleitung an der Position x an­ gibt, n die Anzahl von der Meßleitung zugefügten Massen angibt, mk die Masse der k-ten zugefügten Masse angibt und yk die Schwingungsamplitude der k-ten zugefügten Masse angibt.
Die Signalverarbeitungseinheit berechnet die Dichte ρw der durch die Meßleitung fließenden Flüssigkeit mit der im folgenden aufgeführten Gleichung (E2), die man erhält, wenn man die oben aufgeführte Glei­ chung (E1) nach der Dichte ρw mit den Konstanten A, B und C, die durch die Schwingungsform oder den Schwingungsmodus der Meßleitung und der zugefügten Masse bestimmt werden, auflöst.
ρw = (AEI/ω2L4Si) + (BT/ω2L2Si) + (C/LSi) (E2)
Die oben genannten Konstanten A, B und C können be­ stimmt werden, indem die simultanen Gleichungen auf­ gelöst werden, die drei unterschiedliche Gleichungen enthalten, die erhalten werden, indem in die oben aufgeführte Gleichung (E2) drei Wertesätze der Dich­ te ρw der Flüssigkeit, des Elastizitätsmoduls E, des sekundären Querschnittsmoments I, der resonanten Winkelfrequenz ω, der Axialkraft T, der Länge L und des Querschnittsbereichs Si, die in drei unter­ schiedlichen Zuständen erhalten werden, eingesetzt werden.
Die oben genannten Konstanten A, B und C können be­ stimmt werden, indem die Methode der kleinsten Qua­ drate so angewandt wird, daß der Fehler unter wenig­ stens drei Gleichungen nach Erzeugung von wenigstens drei unterschiedlichen Gleichungen minimiert werden kann, indem in die oben aufgeführte Gleichung (E2) drei Wertesätze, der Dichte ρw der Flüssigkeit, des Elastizitätsmoduls E, des sekundären Querschnittsmo­ ments I, der resonanten Winkelfrequenz ω und der Axialkraft T, der Länge L und des Querschnittsbe­ reichs Si, die in wenigstens drei unterschiedlichen Zuständen erhalten wurden, eingesetzt werden.
Die oben genannte Signalverarbeitungseinheit kann die Axialkraft T aufgrund des Verhältnisses der Re­ sonanzfrequenz zwischen dem ersten Schwingungsmodus der Meßleitung und der Resonanzfrequenz des zweiten Schwingungsmodus erhalten. Der oben genannte erste und zweite Schwingungsmodus kann der primäre bzw. tertiäre Schwingungsmodus der Meßleitung sein. Der oben genannte erste und zweite Schwingungsmodus kann der tertiäre bzw. quinäre Schwingungsmodus der Meß­ leitung sein.
Die oben genannte Axialkraft T kann mit folgender Gleichung (E3) erhalten werden, in der eine ganze Zahl u gleich oder größer als 0 und ein Koeffizient aj verwendet werden, der die Beziehung zwischen dem Resonanzfrequenzverhältnis fr der beiden Schwin­ gungsmodi der Meßleitung und der Axialkraft T an­ gibt.
Die ganze Zahl u kann beispielsweise 2 sein.
Die oben genannte Signalverarbeitungseinheit kann die Dichte ρw der durch die Meßleitung fließenden Flüssigkeit als Konvergenzwert einer Sequenz {ρw2} mit dem gegebenen Anfangswert ρw0 erhalten, wobei ρwn der Sequenz {ρwn} durch die folgende Gleichung (E4) mit den Konstanten A, B und C, die durch die Schwin­ gungsform der Meßleitung und die zugefügte Masse bestimmt werden, dargestellt werden kann.
ρwn = (AEI/ω2L4Si) + (BT(fr, ρwn-1)/ω2L2Si) + (C/LSi) (E4)
Die Dichte der wie oben beschrieben gemessenen Flüs­ sigkeit wird als der oben genannte Anfangswert ρw0 bei der nächsten Messung verwendet. Der Wert ρwv, der durch v-malige (wobei v eine ganze Zahl gleich oder größer als 1 ist) Anwendung der Sequenz {ρwn} erhal­ ten wird, kann als die Dichte ρw verwendet werden. Der Wert v kann beispielsweise 1 sein.
Die Signalverarbeitungseinheit kann die oben genann­ te Axialkraft T aufgrund des Verhältnisses fr der Resonanzfrequenz des ersten Schwingungsmodus in der Meßleitung und der Resonanzfrequenz im zweiten Schwingungsmodus der Meßleitung erhalten.
Die Signalverarbeitungseinheit kann die Axialkraft T(fr, ρw) als eine Funktion Tr erhalten, die durch die folgende Gleichung (E5) ausgedrückt wird, in der das Verhältnis fr der Resonanzfrequenzen und die Funktion fd(ρw), die den Einfluß der Dichte ρw der Flüssigkeit angibt, verwendet werden.
T(fr, ρw) = Tr{fr/fd(ρw)} (5)
Die oben genannte Axialkraft T(fr, ρw) kann auch mit der im folgenden aufgeführten Gleichung (E6) mit einer ganzen Zahl p, die gleich oder größer als 0 ist, und dem Koeffizienten, der die Beziehung zwi­ schen {fr/fd(ρw)}j und der Funktion Tr angibt, er­ halten werden. Die ganze Zahl p kann beispielsweise 2 sein.
Die Funktion fd(ρw) kann auch mit der folgenden Gleichung (E7) mit einer ganzen Zahl u, die gleich oder größer als 0 ist, und einem Koeffizienten aj, der die Beziehung zwischen der Dichte ρw der Flüs­ sigkeit und der Funktion fd angibt, erhalten werden.
wobei die ganze Zahl u entweder 2 oder 3 sein kann.
Das erfindungsgemäße Verfahren ist das Messen der Durchflußmenge und/oder der Dichte der durch eine gerade Meßleitung fließenden Flüssigkeit, indem die Leitung in Schwingung versetzt wird. Dieses Verfah­ ren umfaßt die Schritte Erfassen der Schwingung der Meßleitung, Erhalten der resonanten Winkelfrequenz ω und Axialkraft T der Meßleitung aufgrund der erfaß­ ten Schwingung der Meßleitung sowie Erhalten der Dichte ρw der durch die Meßleitung fließenden Flüs­ sigkeit durch die oben aufgeführte Gleichung (E1) mit der erhaltenen resonanten Winkelfrequenz ω und Axialkraft T.
Dieses Verfahren kann auch den Schritt Erhalten der Dichte ρw der durch die Meßleitung fließenden Flüs­ sigkeit durch die oben aufgeführte Gleichung (E2) mit den Konstanten A, B und C, die durch die Schwin­ gungsform der Meßleitung und die zugefügte Masse bestimmt werden, umfassen.
Dieses Verfahren kann den Schritt Erhalten dreier unterschiedlicher Gleichungen umfassen, indem in die oben aufgeführte Gleichung (E2) drei Wertesätze der Dichte ρw der Flüssigkeit, des Elastizitätsmoduls E der Meßleitung, des sekundären Querschnittsmoments I der Meßleitung, der resonanten Winkelfrequenz ω und Axialkraft T der Meßleitung, der Länge L der Meßlei­ tung in axialer Richtung, des Querschnittsbereichs Si des hohlen Teils der Meßleitung, die in drei un­ terschiedlichen Zuständen erhalten wurden, einge­ setzt werden, sowie den Schritt Bestimmen der Kon­ stanten A, B und C durch Auflösen der simultanen Gleichungen der drei unterschiedlichen Gleichungen.
Dieses Verfahren kann den Schritt Erhalten von we­ nigstens drei unterschiedlichen Gleichungen umfas­ sen, indem in die oben aufgeführte Gleichung (E2) drei Wertesätze, der Dichte ρw der Flüssigkeit, des Elastizitätsmoduls E, des sekundären Querschnittsmo­ ments I, der resonanten Winkelfrequenz ω und Axial­ kraft T, der Länge L und des Querschnittsbereichs Si, die in wenigstens drei unterschiedlichen Zustän­ den erhalten wurden, eingesetzt werden, sowie den Schritt Bestimmen der Konstanten A, B und C mit ei­ ner Methode der kleinsten Quadrate, so daß der Feh­ ler unter wenigstens drei Gleichungen minimiert wer­ den kann.
Dieses Verfahren kann den Schritt Erhalten der Axialkraft T aufgrund des Verhältnisses der Reso­ nanzfrequenz des ersten Schwingungsmodus der Meßlei­ tung zur Resonanzfrequenz des zweiten Schwingungsmo­ dus umfassen. Der oben genannte erste und zweite Schwingungsmodus kann auch der primäre bzw. tertiäre Schwingungsmodus der Meßleitung sein. Der oben ge­ nannte erste und zweite Schwingungsmodus kann auch der tertiäre bzw. quinäre Schwingungsmodus der Meß­ leitung sein.
Dieses Verfahren kann auch den Schritt Erhalten der Axialkraft T durch die oben aufgeführte Gleichung (E3) umfassen, mit einer ganzen Zahl u, die gleich oder größer als 0 ist, sowie einem Koeffizienten aj, der die Beziehung zwischen dem Resonanzfrequenzver­ hältnis fr der beiden Schwingungsmodi der Meßleitung und der Axialkraft T angibt. Die ganze Zahl kann beispielsweise 2 sein.
Dieses Verfahren kann den Schritt Erhalten der Dich­ te ρw der durch die Meßleitung fließenden Flüssig­ keit als Konvergenzwert der Sequenz {ρwn} mit dem gegebenen Anfangswert ρw0 umfassen. Es kann auch den Schritt Verwenden der Dichte ρw der gemessenen Flüs­ sigkeit als Anfangswert ρw0 umfassen.
Dieses Verfahren kann den Schritt Verwenden des Wer­ tes ρwv, der durch v-maliges (wobei v eine ganze Zahl gleich oder größer als 1 ist) Anwenden der Sequenz {ρwn} erhalten wird, als Dichte ρw umfassen. Der Wert v kann beispielsweise 1 sein.
Dieses Verfahren kann auch den Schritt Erhalten der oben genannten Axialkraft T aufgrund des Verhältnis­ ses fd der Resonanzfrequenz des ersten Schwingungs­ modus der Meßleitung zur Resonanzfrequenz des zwei­ ten Schwingungsmodus der Meßleitung umfassen. Dieses Verfahren kann außerdem den Schritt Erhalten der Axialkraft T(fr, ρw) als Funktion Tr, die in die oben aufgeführten Gleichung (E5) eingeht, umfassen.
Dieses Verfahren kann weiterhin den Schritt Erhalten der Funktion Tr durch die Gleichung (E6) umfassen. In diesem Fall kann die ganze Zahl p beispielsweise 2 sein. Das Verfahren umfaßt weiterhin den Schritt Erhalten der Funktion fd durch die oben aufgeführte Gleichung (E7). In diesem Fall kann die ganze Zahl u entweder 2 oder 3 sein.
Fig. 1A zeigt die Konfiguration eines Beispiels ei­ nes Schwingungs-Meßgeräts;
Fig. 1B ist eine Draufsicht eines Beispiels des Schwingungs-Meßgeräts;
Fig. 2 zeigt die Konfiguration der ersten Ausführung des erfindungsgemäßen Schwingungs-Meßgeräts;
Fig. 3 zeigt den Schwingungszustand der Meßleitung in drei Schwingungsmodi;
Fig. 4 ist ein Diagramm, das die Beziehung zwischen dem Verhältnis zwischen der Resonanzfrequenz im pri­ mären Modus und der Resonanzfrequenz im tertiären Modus und der Axialkraft darstellt;
Fig. 5 ist ein Diagramm, das einen Approximations­ fehler bei der Berechnung der Axialkraft darstellt, wenn das in Fig. 4 dargestellte Frequenzverhältnis mit einer primären Funktion (lineare Approximation) und einer sekundären Funktion approximiert wird;
Fig. 6 ist eine Tabelle, welche die Übereinstimmung zwischen der Dichte einer Flüssigkeit, die vom er­ findungsgemäßen Schwingungs-Meßgerät gemessen wurde, und ihrem richtigen Wert darstellt;
Fig. 7 zeigt die Konfiguration der zweiten Ausfüh­ rung des erfindungsgemäßen Schwingungs-Meßgeräts;
Fig. 8 ist eine Tabelle, welche die Dichte ρw und f(ρw) der Flüssigkeit darstellt, die mit dem Schwingungs-Meßgerät gemäß der zweiten Ausführung erhalten wurde;
Fig. 9 ist ein Diagramm, das die Beziehung zwischen der Dichte ρw und f(ρw) der Flüssigkeit darstellt, die mit dem Schwingungs-Meßgerät gemäß der zweiten Ausführung erhalten wurde;
Fig. 10 ist eine Tabelle, die das Ergebnis der Über­ prüfung der Konvergenzgeschwindigkeit der Funktion fd(ρw) darstellt;
Fig. 11 ist ein Diagramm, das die Beziehung zwischen dem Resonanzfrequenzverhältnis des tertiären Modus zum primären Modus und der Flüssigkeitsdichte dar­ stellt;
Fig. 12 ist eine Tabelle, welche die Konvergenz bei Verwendung des Iterationsverfahrens darstellt;
Fig. 13 ist eine Tabelle, welche die erfindungsgemäß gemessene Flüssigkeitsdichte, die Temperatur der Meßleitung sowie die Resonanzfrequenz der Meßleitung darstellt;
Fig. 14 ist eine Tabelle, die das Ergebnis verschie­ dener Dichteberechnungen an einem gemessenen Wert darstellt, der in der Tabelle aus Fig. 13 darge­ stellt ist; und
Fig. 15 ist ein Diagramm, das die Abhängigkeit des Frequenzverhältnisses fr von der Flüssigkeitsdichte ρw darstellt.
Fig. 2 zeigt die erste Ausführung des erfindungsge­ mäßen Schwingungs-Meßgeräts. Von den Bauteilen der ersten Ausführung haben jene mit derselben Funktion wie die in Fig. 1A und 1B dargestellten dieselben Bezugsziffern, und die Beschreibung ist hier wegge­ lassen.
Wie in Fig. 2 dargestellt, umfaßt das Schwingungs- Meßgerät gemäß der ersten Ausführung die Detektions­ einheit 1, den Antriebsstromkreis 8 sowie einen Si­ gnalverarbeitungskreis 9'. Die Detektionseinheit 1 und der Antriebsstromkreis 8 entsprechen den in Fig. 1A und 1B abgebildeten. Der Signalverarbeitungskreis 9' erhält die Resonanzfrequenz der geraden Meßlei­ tung 2 gemäß den Signalen von den Sensoren 6a und 6b und berechnet die Flüssigkeitsdichte ρw sowie die Durchflußmenge Qm gemäß der erhaltenen Resonanzfre­ quenz.
Wenn eine Axialkraft (Spannung) T auf die gerade Meßleitung 2 wirkt, ist die bei der Berechnung der Dichte verwendete Differentialgleichung die oben aufgeführte Gleichung (4). Selbst wenn die Gleichung unter gegebenen Randbedingungen aufgelöst wird, be­ zieht sich die Gleichung, welche die Dichte aus­ drückt, auf eine extrem komplizierte Funktion, wel­ che die Dichte ρw nicht explizit enthält, wie in der oben aufgeführten Gleichung (5) angegeben. Daher wird gemäß der vorliegenden Ausführung die Rayleigh- Methode zur Bestimmung einer resonanten Winkelfre­ quenz ω auf das mit einer geraden Meßleitung verse­ hene Schwingungs-Meßgerät angewandt. Der Signalver­ arbeitungskreis 9' gemäß der vorliegenden Ausführung berechnet die Dichte ρw nach der Rayleigh-Methode und korrigiert den Meßfehler, der durch die Axial­ kraft und die zugefügte Masse hervorgerufen wurde.
Die Erfinder der vorliegenden Erfindung bestätigen, daß die auf der Rayleigh-Methode basierende Glei­ chung erfindungsgemäß durch folgende Gleichung (6) ausgedrückt wird.
wobei mk den Massewert der k-ten (k = 1 - n) zuge­ fügten Masse und yk die Schwingungsamplitude der k-ten zugefügten Masse angibt.
Die Gleichung (6) weist folgende Vorteile auf:
  • a) Der Einfluß der Axialkraft und der zugefügten Masse kann korrigiert werden.
  • b) Da die Gleichung einfach ist, kann sie leicht und explizit nach der Dichte ρw aufgelöst werden.
  • c) Eine praktisch annehmbare Dichtemeßgenauigkeit kann erreicht werden.
Daher wird erfindungsgemäß eine genaue Dichtemessung mit einer einfach aufgebauten und leicht zu bedie­ nenden geraden Meßleitung realisiert.
Obwohl die Gleichung (6) eine Mehrzahl von Integra­ len aufweist, ist es gemäß dem Erfinder nicht erfor­ derlich, daß diese Integrale bei jeder Operation verarbeitet werden. Die Integrale können durch vor­ bestimmte Konstanten ersetzt werden. Die folgende Gleichung (7) ist eine Variation der Gleichung (6) und ist explizit nach der Dichte ρw aufgelöst. Die Konstanten A, B und C in der Gleichung (7) ersetzen die Integrale und die Summierung Σ in Gleichung (6).
ρw = (AEI/ω2L4Si) + (BT/ω2L2Si) + (C/LSi) (7)
Mit den Konstanten A, B und C wird die Gleichung in einfacher Form ausgedrückt, und die Dichte kann leicht berechnet werden. Die Konstanten A, B und C können aufgrund von Experimenten, usw., vorbestimmt sein, um einen ausreichend genauen Dichtewert zu erhalten.
Es ist nicht zweckmäßig, daß die Konstanten A, B und C in Gleichung (7) durch Integration erhalten wer­ den. Ein Bemessungsfehler und Restspannung vom Zu­ sammenbau können in der Detektionseinheit 1 des in Fig. 2 dargestellten Schwingungs-Meßgeräts verblei­ ben. Daher ist es wünschenswert, die Dichte tatsäch­ lich zu messen und die Konstanten A, B und C zu be­ richtigen, um die Genauigkeit der Dichtemessung zu verbessern. Die Berichtigungen werden durchgeführt wie im folgenden beschrieben.
Die Werte für ρw, E, I, ω, L, Si und T werden in einem gegebenen Zustand gemessen. Eine Gleichung mit drei Unbekannten A, B und C wird durch Einsetzen dieser Werte in Gleichung (7) erzeugt. Die Werte werden dreimal in unterschiedlichen Zuständen erhal­ ten (wobei Dichte, Temperatur, Axialkraft, usw., verändert werden), um drei Gleichungen zu erzeugen. Durch Auflösen dieser Gleichungen als simultane Gleichung können drei eindeutige Unbekannte erhalten werden. Da die Konstanten A, B und C bei diesem Ver­ fahren gemäß den tatsächlich gemessenen Werten be­ stimmt werden, können zweckmäßigere Konstanten für das Meßgerät erhalten werden, wodurch die Meßge­ nauigkeit verbessert wird. Wenn jedoch nicht jede der simultanen Gleichungen unabhängig von den ande­ ren ist, können die Konstanten A, B und C nicht ein­ deutig bestimmt werden. Wenn sie einen geringen Grad an Unabhängigkeit aufweisen, können die erhaltenen Konstanten A, B und C einen großen Fehler erzeugen. Daher ist es wünschenswert, daß jede Gleichung in drei vollständig unabhängigen Zuständen verarbeitet wird.
Das folgende Verfahren kann auch zur Bestimmung der Konstanten verwendet werden.
Dies bedeutet, daß die Messungen mehr als dreimal in veränderten Zuständen durchgeführt werden. Dadurch wird die Zahl der Gleichungen größer als die Zahl der Unbekannten. Folglich gibt es keinen Satz von Konstanten A, B und C, die alle Gleichungen erfül­ len. Daher werden die Konstanten A, B und C so be­ stimmt, daß der Fehler mit der Methode der kleinsten Quadrate minimiert werden kann. Obwohl es bei dieser Methode aufwendiger ist, Messungen durchzuführen, können sich die gemessenen Werte in einer größeren Anzahl von Zuständen bei der Bestimmung der Konstan­ ten A, B und C abbilden. Daher ist sie wirkungsvoll, wenn eine hohe durchschnittliche Meßgenauigkeit über einen größeren Anwendungsbereich, der einer Anzahl von Zuständen entspricht, erforderlich ist.
Wenn die Gleichungen (6) und (7) verwendet werden, sollte eine auf die Meßleitung wirkende Axialkraft erhalten werden, um die Dichte ρw zu berechnen. Die oben aufgeführte Gleichung (2) wird verwendet, um die Resonanzfrequenz f der Meßleitung ohne Berück­ sichtigung der Axialkraft T zu erhalten. Unter Be­ rücksichtigung der Axialkraft T wird Gleichung (2) in Gleichung (8) umgewandelt.
fv = λv(T)2{EI/(ρwSi - ρtSt)}1/2/(2πL2) (8)
wobei fv die Resonanzfrequenz des v-ten Modus der Meßleitung und λv die v-te Moduskonstante der Meß­ leitung (eine Funktion von T) angibt.
Das Verhältnis fr der Resonanzfrequenz fv und der Resonanzfrequenz fq in zwei optionalen Schwingungs­ modi, d. h. dem v-ten bzw. dem q-ten Modus der gera­ den Meßleitung 2, wird durch folgende Gleichung (9) berechnet, die aus der oben aufgeführten Gleichung (8) erhalten wird.
fr = λv(T)2/λq(T)2 (9)
Die Gleichung bezieht sich auf eine Funktion mit nur einer Axialkraft. Daher ermöglicht die Berechnung des Verhältnisses zwischen den Resonanzfrequenzen der beiden Modi der geraden Meßleitung 2 die Berech­ nung der Axialkraft T.
Da bei diesem Verfahren zwei Resonanzfrequenzen ge­ messen werden, können die gerade Meßleitung 2 der Detektionseinheit 1, die Sensoren 6a und 6b zur Erfassung der Schwingung der geraden Meßleitung 2 so­ wie das bestehende Schwingungssystem mit dem Treiber 5 unverändert verwendet werden, obwohl die Gestal­ tung des Antriebsstromkreises 8 und des Signalverar­ beitungskreises 9', die in Fig. 2 dargestellt sind, ein wenig kompliziert wird. Daher ist es nicht er­ forderlich, einen komplizierten Aufbau für die De­ tektionseinheit 1 zu gestalten. Außerdem wird mit diesem Verfahren eine genauere Messung erzielt als mit dem Verfahren des Erhaltens der Axialkraft auf­ grund der Temperaturdifferenz zwischen der Meßlei­ tung 2 und den Trägern 4a und 4b, da die Axialkraft direkt gemessen werden kann. Außerdem ist dieses Verfahren besser für die Massenproduktion geeignet, und es kann eine höhere Zuverlässigkeit als mit dem Verfahren der Befestigung eines Spannungsmessers an der Meßleitung erreicht werden.
Fig. 3 stellt die Schwingungszustände der Meßleitung 2 in drei Schwingungsmodi dar. (a) in Fig. 3 gibt die Schwingung im primären Modus an, (b) gibt die Schwingung im tertiären Modus an, und (c) gibt die Schwingung im quinären Modus an.
Normalerweise hat die in Fig. 2 abgebildete Meßlei­ tung 2 eine große Anzahl von Schwingungsmodi. Die Axialkraft kann durch Gleichung (9) mit dem Verhält­ nis zwischen den Resonanzfrequenzen von zwei belie­ bigen der Schwingungsmodi berechnet werden. Wenn die Resonanzfrequenz jedoch tatsächlich gemessen wird, wird die Meßleitung in Resonanz gebracht und die resultierende Frequenz gemessen, oder die Frequenz wird abgetastet, um die Übertragungsfunktion zu mes­ sen, und so weiter. Bei jedem Verfahren ist es wünschenswert, daß ein Modus mit ungerader Ordnungs­ zahl, bei dem der Mittelteil der Meßleitung einen Wellenbauch der Schwingung angibt, gewählt wird, wenn der Treiber 5 am Mittelpunkt der geraden Meß­ leitung 2 vorgesehen ist, wie bei der in Fig. 2 ab­ gebildeten Detektionseinheit 1. Normalerweise werden Erregung und Messung leicht in einem Modus mit klei­ nerer Ordnungszahl bei einer niedrigeren Frequenz durchgeführt. Nach der Studie der Erfinder ist es augenscheinlich angemessen, das Verhältnis zwischen der Resonanzfrequenz im primären (1.) Modus und der Resonanzfrequenz im tertiären (3.) Modus zu verwen­ den, oder das Verhältnis zwischen der Resonanzfre­ quenz im tertiären (3.) Modus und der Resonanzfre­ quenz im quinären (5.) Modus.
Fig. 4 zeigt ein Beispiel für die Beziehung zwischen dem Verhältnis der Resonanzfrequenz im tertiären Modus zur Resonanzfrequenz im primären Modus und der Axialkraft. "f1" in Fig. 4 gibt die Resonanzfrequenz im primären Modus an, und "f3" gibt die Resonanzfre­ quenz im tertiären Modus an. Die horizontale Achse gibt eine Axialkraft an, und die vertikale Achse gibt das Frequenzverhältnis (f3/f1) an, das durch Division der Resonanzfrequenz im tertiären Modus durch die Resonanzfrequenz im primären Modus erhal­ ten wird.
Normalerweise bezieht sich λv(T) in Gleichung (8) auf eine komplizierte Funktion, und es ist nicht zweckmäßig, die Axialkraft aus dem Frequenzverhält­ nis fr zu erhalten, wenn man die Funktion unverän­ dert verwendet. Nach der Studie der Erfinder ist es zweckmäßiger, die Axialkraft T mit einer Approximation durch ein Polynom, z. B. die folgende Gleichung (10), zu erhalten. Es ist augenscheinlich, daß die Approximation mit einer quadratischen Funktion, bei der u auf 2 eingestellt ist (u = 2), in der Praxis ausreichend ist.
wobei u eine ganze Zahl gleich oder größer als 0 angibt, und aj ein Koeffizient ist, der die Beziehung zwischen dem Frequenzverhältnis fr und der Axial­ kraft T angibt.
Fig. 5 stellt einen Approximationsfehler bei der Berechnung der Axialkraft T dar, wenn das in Fig. 4 dargestellte Frequenzverhältnis mit einer linearen Funktion (lineare Approximation) und einer quadrati­ schen Funktion approximiert wird. Der Koeffizient zur Verwendung bei der Approximation mit der quadra­ tischen Funktion wird durch die Methode der klein­ sten Quadrate erhalten. Wie in Fig. 5 deutlich ge­ zeigt wird, wird ein relativ großer Approximations­ fehler von der Approximation mit einer linearen Funktion ausgegeben, während ein sehr kleiner Fehler von der Approximation mit einer quadratischen Funk­ tion ausgegeben wird.
Dieses Approximationsverfahren ist nicht auf die Verwendung in der oben genannten Dichtemessung durch die Gleichungen (6) und (7) beschränkt, sondern kann auf den Fall anwendbar sein, in dem das erfindungs­ gemäße Schwingungs-Meßgerät mit einer geraden Meß­ leitung, z. B. die in Fig. 2 dargestellte Detektionseinheit 1, als Coriolis-Durchflußmengenmeßgerät ver­ wendet wird. Wenn das Schwingungs-Meßgerät als Coriolis-Durchflußmengenmeßgerät verwendet wird, wird die Durchflußmenge Qm der Flüssigkeit durch folgende Gleichung (11) aus der Phasendifferenz (2α) oder der Zeitdifferenz Δt zwischen den Detektionssi­ gnalen von zwei Sensoren 6a und 6b erhalten.
Δt = 2α/ω = 4L3Qmηc(a, T)/EIη(a, T) (11)
wobei η eine Funktion angibt, welche die Amplitude an einer Position a auf der Länge der Meßleitung 2 angibt, ω die Resonanzfrequenz der Meßleitung 2 an­ gibt und ηc(a) die Funktion der Variablen- (oder Verschiebungs-)Amplitude der geraden Meßleitung 2 angibt, die durch die Beanspruchung oder Reaktion von der Flüssigkeit an einer Position a auf der Län­ ge der Meßleitung 2 erzeugt wird.
Wie von der Gleichung (11) angegeben, ändern sich die Phasendifferenz 2α und die Zeitdifferenz Δt mit der Axialkraft T, die auf die Meßleitung 2 wirkt. Wenn die Axialkraft T aus dem Frequenzverhältnis erhalten wird, um die Änderung zu berichtigen, wird die Approximation praktisch durch Gleichung (10) mit einer quadratischen Funktion ausgeführt, wobei u auf 2 gesetzt wird (u = 2), wie oben beschrieben.
Nachfolgend wird ein Beispiel für eine Dichtemessung beschrieben, die mit dem in Fig. 2 abgebildeten er­ findungsgemäßen Schwingungs-Meßgerät durchgeführt wurde. Das in Fig. 2 abgebildete Beispiel umfaßt nur eine Meßleitung, es ist jedoch offenkundig, daß gleichermaßen eine Mehrzahl von Meßleitungen für die Messung verwendet werden kann.
Das Resonanzfrequenzverhältnis, das bei der Messung einer Axialkraft verwendet wird, wird durch Division der Resonanzfrequenz im tertiären Modus durch die Resonanzfrequenz im primären Modus erhalten. Bei der Messung einer Resonanzfrequenz weist ein in Resonanz befindliches System die gerade Meßleitung 2 auf, die Sensoren 6a und 6b zur Erfassung der Schwingung der Meßleitung, den Antriebsstromkreis 8 sowie den Trei­ ber 5. Die Meßleitung 2 ist sowohl im primären als auch im tertiären Modus in Resonanz, indem das Fre­ quenzband und die Phase vom Antriebsstromkreis 8 eingestellt werden. Der Signalverarbeitungskreis 9' mißt beide Frequenzen. Dann erhält der Signalverar­ beitungskreis 9' das Resonanzfrequenzverhältnis, indem er die Resonanzfrequenz im tertiären Modus durch die Resonanzfrequenz im primären Modus divi­ diert, und der Temperatursensor 10 mißt die Tempera­ tur der Meßleitung 2.
Fig. 6 ist eine Tabelle, welche die Temperatur der Meßleitung 2 und die Resonanzfrequenzen im primären und tertiären Modus (f1 bzw. f3) darstellt, die vom Meßgerät gemäß der vorliegenden Ausführung gemessen wurden, das Frequenzverhältnis (fr) und die Flüssig­ keitsdichte, die vom Signalverarbeitungskreis 9' berechnet wurden, den richtigen Wert der Flüssig­ keitsdichte sowie den Fehler zwischen der berechne­ ten Dichte und dem richtigen Wert. Die Daten Nr. 1-3 sind experimentelle Werte, die erhalten werden, wenn Flüssigkeiten mit unterschiedlichen Dichten durch die Meßleitung 2 geleitet werden. Sie werden so ge­ messen, daß die Detektionseinheit 1 auf einer kon­ stanten Temperatur gehalten werden kann und daß kei­ ne Axialkraft in der Meßleitung erzeugt wird. Folg­ lich gibt das Resonanzfrequenzverhältnis der Daten Nr. 1-3 einen ungefähr konstanten Wert an. Die Daten Nr. 4-7 geben Werte an, die durch Veränderung der Axialkraft, die auf die Meßleitung wirkt, erhalten wurden, wobei die Dichte der Flüssigkeit in der Meß­ leitung konstant gehalten wurde. In diesem Fall än­ dert sich das Frequenzverhältnis mit der Axialkraft.
Das Verfahren, bei dem die Dichte aus den gemessenen Werten f1 und f3 der Resonanzfrequenz der Daten Nr. 1-7 und der Temperatur der Meßleitung erhalten wird, ist im folgenden beschrieben.
Als erstes wird die Axialkraft durch die Gleichung (10) aufgrund des Frequenzverhältnisses fr erhalten. Jeder Wert unterscheidet sich von dem in Fig. 4 dar­ gestellten Wert, die Axialkraft T kann jedoch er­ folgreich mit einer quadratischen Funktion des Fre­ quenzverhältnisses fr (u = 2) approximiert werden. Eine zweckmäßige Gleichung (12) wird im folgenden beschrieben.
T = a2fr2 + a1fr + a0 (12)
(a2: 1692,2; a1: -20338,7; a0: 59229,3)
Als nächstes werden die Konstanten A, B und C durch Gleichung (7) zur Berechnung der Flüssigkeitsdichte bestimmt. Zur Bestimmung der Konstanten werden die Daten Nr. 1, 2 und 4 verwendet. In jedem Fall werden mit den Konstanten A, B und C als unbekannte Elemente durch Einsetzen der Axialkraft T, die durch Glei­ chung (12) erhalten wurde, in Gleichung (7) ternäre lineare simultane Gleichungen erzeugt; ein durch Berichtigung mit der Temperatur der Meßleitung er­ haltener Wert, eine thermische Veränderung des Ela­ stizitätsmoduls E und eine thermische Ausdehnungsve­ ränderung in I, L und Si; ein richtiger Wert ρw der Flüssigkeitsdichte; sowie eine resonante Winkelfre­ quenz ω. Dadurch werden die Konstanten A, B und C durch Auflösen der oben genannten simultanen Glei­ chungen erhalten. Zu diesem Zeitpunkt können entwe­ der f1 oder f3 für die Winkelfrequenz ω (= 2πf1 oder 2πf3) verwendet werden. Da alle Daten beständig sein sollten, wird in dieser Ausführung f3 angenommen.
Die Daten Nr. 1, 2 und 4, die unabhängig zu sein scheinen, werden aus den sieben Datengruppen ausge­ wählt und für die Bestimmung der Konstanten verwen­ det. Als Ergebnis werden folgende Konstanten ausge­ geben:
A = 0,0155343
B = 0,0004201
C = -0,000023
Nachdem die Konstanten A, B und C in Gleichung (7) bestimmt wurden, werden die Meßergebnisse der Daten Nr. 1-7 in Gleichung (7) eingesetzt, um die Dichte zu berechnen, und ein Fehler wird erhalten, indem die Dichte mit einem richtigen Wert verglichen wird. In Zeile 2-4 der Tabelle aus Fig. 6 werden die Daten Nr. 1, 2 und 4 für die Bestimmung der Konstanten A, B und C verwendet und geben daher einen Fehler von 0 aus. Mit anderen Daten ist der Fehler gleich oder kleiner als 0,001 [g/cm3], was zeigt, daß genaue Meß­ ergebnisse erzielt werden können.
Erfindungsgemäß wird durch Gleichung (6) eine Dich­ teberechnung durchgeführt, und eine genaue Messung kann durchgeführt werden, indem durch eine einfache Berechnung der Einfluß von Axialkraft und zugefügter Masse berichtigt wird, wobei ein einfaches, starres und zweckdienliches Meßinstrument mit einer geraden Meßleitung wie in Fig. 2 dargestellt verwendet wird. Die Berechnung kann einfacher durchgeführt werden, indem Gleichung (6) explizit nach der Dichte ρw auf­ gelöst wird und Integral und Summierung (Σ) zusammen durchgeführt und für die Konstanten A, B und C ein­ gesetzt werden.
Außerdem kann eine genauere Messung durchgeführt werden, indem die Konstanten A, B und C aufgrund tatsächlicher Daten durch Verwendung von simultanen Gleichungen und der Methode der kleinsten Quadrate berichtigt werden. Die Messung kann für eine Massen­ produktion mit der Axialkraft, die aus dem Resonanz­ frequenzverhältnis bei den Operationen erhalten wur­ de, richtig durchgeführt werden. In diesem Fall ist es wünschenswert, das Verhältnis der Resonanzfre­ quenz im primären Modus zu der im tertiären Modus oder das Verhältnis der Resonanzfrequenz im tertiä­ ren Modus zu der im quinären Modus zu verwenden. Die Operationen können praktisch durchgeführt werden, indem die Axialkraft als Polynom eines Resonanzfre­ quenzverhältnisses approximiert wird, wie in Glei­ chung (10) angegeben. In diesem Fall kann ein quadratisches Polynom verwendet werden, um die Opera­ tionen weiter zu vereinfachen.
Im folgenden wird die zweite Ausführung der vorlie­ genden Erfindung beschrieben.
Fig. 7 zeigt die zweite Ausführung des erfindungsge­ mäßen Schwingungs-Meßgeräts. Dieselben Elemente, die in Fig. 1A, 1B und 2 verwendet wurden, sind in die­ ser Ausführung mit denselben Bezugsziffern bezeich­ net, und die detaillierten Beschreibungen sind hier weggelassen.
Wie in Fig. 7 dargestellt, weist das Schwingungs- Meßgerät gemäß der zweiten Ausführung die Detek­ tionseinheit 1, den Antriebsstromkreis 8 sowie den Signalverarbeitungskreis 9" auf. Die Detektionsein­ heit 1 und der Antriebsstromkreis 8 entsprechen den in Fig. 1A, 1B und 2 abgebildeten. Der Signalverar­ beitungskreis 9" erhält die Resonanzfrequenz der Meßleitung 2 aufgrund des Signals von den Sensoren 6a und 6b und berechnet die Flüssigkeitsdichte ρw und die Durchflußmenge Qm mit der Resonanzfrequenz nach dem im folgenden beschriebenen Verfahren.
Gemäß der zweiten Ausführung wird das nachfolgend definierte Iterationsverfahren angewandt.
Nehmen wir einmal an, die folgende Gleichung (13) wird ausgedrückt als in einem abgeschlossenen Be­ reich R = [a, b] mit einer gegebenen Funktion f(z) definiert.
z = f(z) (13)
Die Auflösung der Gleichung (13) ist der Konvergenz­ wert der Sequenz {zn}, die vom willkürlich ausgewähl­ ten Anfangswert z0 im oben genannten abgeschlossenen Bereich R induktiv erzeugt wird, und die folgende Gleichung (14).
zn = f(zn-1) (14)
(n = 1, 2, . . .)
Wenn die folgenden Bedingungen i), ii) und iii) bei dem oben beschriebenen Verfahren erfüllt sind, ist erwiesen, daß die Gleichung (13) nur eine Lösung im abgeschlossenen Bereich R hat und die Sequenz {zn} in nur eine Lösung konvergiert.
  • a) f(z) ist im abgeschlossenen Bereich aufein­ anderfolgend (kontinuierlich).
  • b) f(z) ∈ R für alle z ∈ R
  • c) Die folgende Gleichung (15) wird für alle z1, z2 ∈ R ausgedrückt.
    |f(z1) - f(z2)| < |z1 - z2| (15)
Die Definition, das Theorem und der Beweis des oben genannten Iterationsverfahrens werden beispielsweise in "The Basic Value Analysis" (von P. Henritch, übersetzt von Shin Ichimatsu, et al., verlegt bei Baifukann) auf S. 59-65 beschrieben.
Nach der Studie der Erfinder werden die oben be­ schriebenen Bedingungen i), ii) und iii) von der folgenden Gleichung (17) erfüllt (wobei T' weiterhin ρw als Variable enthält), die erhalten wird, indem die folgende Gleichung (16), die aus der obigen Gleichung (6) umgewandelt wurde, explizit nach der Flüssigkeitsdichte ρw aufgelöst wird. Daher konver­ giert die Sequenz {ρwn} immer in ρw, was die einzige Lösung ist, indem das oben genannte Iterationsver­ fahren auf die Gleichung (17) angewandt wird. Da­ durch wird mit diesem Verfahren erfolgreich die Flüssigkeitsdichte ρw erhalten.
wobei:
E das Elastizitätsmodul der Meßleitung 2 angibt,
I das sekundäre Querschnittsmoment der Meßleitung 2 angibt,
T' die Axialkraft (= T'(fr, ρw)) angibt, die auf die Meßleitung 2 wirkt,
ρw die Dichte der Flüssigkeit angibt,
ρt die Dichte der Meßleitung 2 angibt,
Si den Querschnittsbereich des hohlen Teils der Meß­ leitung 2 angibt,
St den tatsächlichen Querschnittsbereich der Meßlei­ tung 2 angibt,
L die Länge der Meßleitung 2 angibt,
x eine Position x in axialer Richtung auf der Meß­ leitung 2 angibt (x = 0 an einem Ende der Meßleitung 2 und x = L am anderen Ende der Meßleitung 2),
y die Schwingungsamplitude der Meßleitung 2 (eine Funktion mit der Variablen x) an der Position x an­ gibt,
M die Anzahl von der Meßleitung 2 zugefügten Massen angibt,
mk die k-te zugefügte Masse angibt (k = 1 bis M), und
yk die Schwingungsamplitude der k-ten zugefügten Masse angibt (k = 1 bis M).
Die Dichte ρw, die durch die Gleichung (17) erhalten wurde, wird als Funktion, z. B. E, I, T', Si, usw. dargestellt, wie von den Gleichungen (18) und (19) gezeigt, und T' enthält ρw als Variable.
ρw = g(E, I, T'(fr, ρw), Si, . . .) (18)
ρwn = g(E, I, T'(fr, ρwn-1), Si, . . .) (19)
Die Meßgenauigkeit der Flüssigkeitsdichte kann er­ höht werden, indem der Einfluß auf die Messung der Flüssigkeitsdichte durch die Axialkraft T berichtigt wird, indem die Dichte mit den oben aufgeführten Gleichungen (16) und (17) erhalten wird.
Wenn das Schwingungs-Meßgerät gemäß der vorliegenden Ausführung als Coriolis-Durchflußmeßgerät verwendet wird, wird eine Durchflußmenge mit dem Verfahren gemäß der ersten Ausführung gemessen, indem die Axialkraft T mit der oben beschriebenen Funktion T(fr, ρw) aus der Flüssigkeitsdichte ρw und dem mit dem oben beschriebenen Verfahren erhaltenen Fre­ quenzverhältnis fr erhalten wird. Daher kann die Berichtigung des Meßwerts (Phasendifferenz) durch die Axialkraft T mit Genauigkeit durchgeführt wer­ den, wenn die Durchflußmenge erhalten wird.
Ein Problem bei dem oben genannten Iterationsverfah­ ren ist die Konvergenzgeschwindigkeit. Nach der Stu­ die der Erfinder wird die Konvergenz normalerweise sehr schnell erzielt, wenn das Iterationsverfahren auf die Gleichung (17) angewandt wird. In einem wei­ ter unten beschriebenen Beispiel wird ein Konvergenz­ wert nach zwei oder drei Iterationen mit praktisch annehmbarer Genauigkeit erhalten. Daher kann die für Wiederholungsoperationen erforderliche Zeit bedeu­ tend verkürzt werden.
Obwohl die Gleichung (16) ein Integral enthält, muß das Integral nicht bei jedem Auftreten ausgerechnet werden. Es kann problemlos durch eine vorbestimmte Konstante ersetzt werden. Die Gleichung (17) erhält man, indem man das Integral und die Summierung (Σ) in Gleichung (16) gemeinsam durch die Konstanten A, B und C ersetzt, nachdem die Gleichung (16) explizit nach der Dichte ρw aufgelöst wurde (wobei die Axial­ kraft T weiterhin ρw enthält). Mit den vorbestimmten Konstanten A, B und C kann eine annehmbare Genauig­ keit erhalten werden. Mit diesem Verfahren können das Format der Gleichung vereinfacht und die Opera­ tionen leicht durchgeführt werden.
Es ist nicht zweckmäßig, die Konstanten A, B und C in Gleichung (17) durch tatsächliche Operationen zu erhalten, da ein Bemessungsfehler, Restspannung, usw. in der Detektionseinheit 1 des in Fig. 7 dargestellten Schwingungs-Meßgeräts aus dem Zusammenbau des Instruments verbleiben können. Daher ist es wün­ schenswert, die Dichte tatsächlich zu messen und dann die Konstanten zu berichtigen, um die Genauig­ keit der Dichtemessung weiter zu erhöhen. Die Be­ richtigung kann wie im folgenden beschrieben durch­ geführt werden.
In einem bestimmten Zustand, wenn die Werte ρw, E, I, ω, L, Si und T gemessen und in Gleichung (17) eingesetzt werden (ρw wird für ρwn und ρwn-1 einge­ setzt), wird eine Gleichung mit den Konstanten A, B und C als Unbekannten ausgedrückt. Dadurch werden drei Gleichungen ausgedrückt, nachdem Messungen dreimal in unterschiedlichen Zuständen ausgeführt wurden (wobei die Dichte, Temperatur, Axialkraft, usw. verändert wurden). Löst man diese Gleichungen als simultane Gleichungen auf, erhält man eindeutig die drei Unbekannten. Da mit diesem Verfahren die Konstanten A, B und C mit tatsächlich gemessenen Werten bestimmt werden, sind die Konstanten für das Meßinstrument geeignet, wobei die Meßgenauigkeit verbessert wird. Wenn die simultanen Gleichungen jedoch nicht unabhängig sind, können die Unbekannten A, B und C nicht eindeutig bestimmt werden. Wenn sie nur leicht unabhängig sind, können die erhaltenen Zahlen A, B und C große Fehler enthalten. Daher ist es wünschenswert, daß Messungen in drei deutlicher unabhängigen Zuständen durchgeführt werden.
Wie oben erwähnt, ist die Konvergenzgeschwindigkeit beim Iterationsverfahren ein Problem. Die Konver­ genzgeschwindigkeit wird dadurch bestimmt, wie der Anfangswert ρw0 ausgewählt wird. Es ist normalerweise sicher, daß die Konvergenz schnell erzielt werden kann, wenn eine Operation von einem Anfangswert aus­ geht, der nahe an einem Konvergenzwert liegt.
Allgemein fluktuiert die Flüssigkeitsdichte nicht sehr, wenn nicht die Flüssigkeitsart geändert oder die Zustände plötzlich gewechselt werden. Daher ist es wahrscheinlich, daß der zuvor gemessene Dichte­ wert nahe am aktuellen gemessenen Dichtewert liegt. Angenommen, daß ein geeigneter Anfangswert ρw0 als die erste Messung nach dem Einschalten des Meßgeräts ausgewählt wird, dann konvergiert die Berechnung nach dem oben genannten Iterationsverfahren schnell auf einen Durchschnitt, indem der zuvor gemessene Dichtewert als neuer Anfangswert ρw0 für die nächste Messung eingestellt wird.
Bis zum aktuellen Schritt des Iterationsverfahrens wird eine Operation durchgeführt, bis die Sequenz {ρwn} konvergiert, und der Konvergenzwert wird als ein gemessener Dichtewert ρw bestimmt. Die Operation wird jedoch nicht so lange durchgeführt, bis die Sequenz mit einer ganzen Zahl v (gleich oder größer als 1) konvergiert, die als eine iterative Zahl für Berechnungen eingestellt wurde. Ein Wert, der durch v-malige Durchführung der iterativen Berechnungen erhalten wurde, kann ein gemessener Dichtewert ρw sein. Die Merkmale dieses Verfahrens sind:
  • 1. Die erforderliche Zeit für die Durchführung der Operationen kann verkürzt werden, da die Zahl der Operationen verringert werden kann und es nicht er­ forderlich ist, eine Konvergenz zu bestimmen.
  • 2. Da die Zahl der Operationen begrenzt ist, kann der Meßzyklus konstant gehalten werden.
  • 3. Da der gemessene Wert kein Konvergenzwert ist, erhöht sich der Meßfehler.
Betrachtet man Punkt (3), kann eine annehmbare Ge­ nauigkeit erzielt werden, indem man den vorherigen Dichtewert wie oben erwähnt als Anfangswert verwen­ det. Daher hat dieses Verfahren einen Vorteil, wenn es auf ein tatsächliches Schwingungs-Meßgerät ange­ wandt wird. Besonders wenn eine Konvergenz in zwei oder drei iterativen Operationen erzielt wird, ist v = 1 praktisch annehmbar.
Normalerweise wird die oben genannte Axialkraft T(fr, ρw) eine sehr komplizierte Funktion und ist in Operationen sehr schwer zu verwenden. Die Funktion fr(T', ρw), die durch Auflösung von T'(fr, ρw) nach fr erhalten wurde, kann als abgesonderte Variable wie in der folgenden Gleichung (20) verarbeitet wer­ den.
fr = fr(T', ρw) = ft(T').fd(ρw) (20)
Die Gleichung (20) gibt an, daß das Frequenzverhält­ nis fr durch ein Produkt der Funktion ft(T'), die den Einfluß der Axialkraft T' angibt, und der Funk­ tion fd(ρw), die den Einfluß der Dichte ρw einer Flüssigkeit angibt, dargestellt werden kann.
Ordnet man die Gleichung (20) um, erhält man die folgende Gleichung (21).
ft(T') = fr/fd(ρw) (21)
Die rechte Seite der Gleichung (21) gibt an, daß der Einfluß der Flüssigkeitsdichte ρw auf das Frequenz­ verhältnis fr durch Division des Frequenzverhältnis­ ses fr durch die Funktion fd(ρw), die den Einfluß der Flüssigkeitsdichte ρw angibt, aufgehoben wird. Nimmt man zusätzlich an, daß Tr die Umkehrfunktion von ft(T') ist, kann die folgende Gleichung (22) ausgedrückt werden.
T' = T'(fr, ρw) = Tr{fr/fd(ρw)} (22)
Die Gleichung (22) gibt die Axialkraft als Funktion von fr/fd(ρw) an, die durch Aufheben des Einflusses der Flüssigkeitsdichte ρw auf das Frequenzverhältnis fr erhalten wurde.
Gemäß der ersten Ausführung wird die Axialkraft als eine Funktion nur von dem Frequenzverhältnis fr in der Form von T(fr) dargestellt. Die Funktion T(fr) hat normalerweise eine komplizierte Form, aber mit der ersten Ausführung wird eine praktisch annehmbare Genauigkeit realisiert, indem die Funktion durch ein Polynom von fr approximiert wird.
Es wurde auch nachgewiesen, daß eine praktisch an­ nehmbare Genauigkeit erzielt werden kann, wenn die Funktion Tr(fr/fd(ρw)), welche die Axialkraft T' angibt, die von der rechten Seite der obigen Glei­ chung (22) dargestellt wird, mit einem Polynom ap­ proximiert wird. Die Approximationsgleichung wird praktisch durch die folgende Gleichung (23) darge­ stellt.
wobei p eine ganze Zahl angibt, die gleich oder grö­ ßer als 0 ist, und bj ein Koeffizient ist, der die Beziehung zwischen {fr/fd(ρw)}j und der Funktion Tr angibt.
Eine Approximation mit einem quadratischen Polynom (p = 2) hat sich als annehmbar erwiesen.
Gleichermaßen wurde nachgewiesen, daß eine praktisch annehmbare Genauigkeit durch eine polynomische Ap­ proximation für die Funktion fd(ρw), die den Ein­ fluß der Flüssigkeitsdichte ρw auf das oben genannte Frequenzverhältnis fr angibt, erzielt werden kann. Die Approximation wird praktisch durch die folgende Gleichung (24) dargestellt.
wobei u eine ganze Zahl gleich oder größer als 0 ist und aj ein Koeffizient ist, der die Beziehung zwi­ schen der Flüssigkeitsdichte ρw und der Funktion fd angibt.
Diese Approximation mit einem quadratischen Polynom (p = 2) oder einem kubischen Polynom (p = 3) hat sich gemäß der Abmessung der in Fig. 7 dargestellten Detektionseinheit 1 als annehmbar erwiesen.
Danach wird die Funktion T'(fr, ρw) durch eine leicht berechenbare Form dargestellt, und eine prak­ tisch annehmbare Berechnungsgenauigkeit kann erzielt werden, indem die Funktion T(fr, ρw) durch die Form der Funktion Tr(fr/fd(ρw)) approximiert wird, in­ dem die Funktion Tr(fr/fd(ρw)) durch ein Polynom von fr/fd(ρw) approximiert wird und indem die Funk­ tion fd(ρw) durch ein Polynom von ρw approximiert wird.
Nach weiterer Untersuchung wurde nachgewiesen, daß bei der in Fig. 7 dargestellten Detektionseinheit 1 die Funktion fd(ρw), die den Einfluß der Flüssig­ keitsdichte ρw auf das oben genannte Frequenzver­ hältnis fr angibt, nicht mit einem quadratischen oder kubischen Polynom approximiert werden kann. In einem solchen Fall wird der Wert der Funktion fd­ (ρw) für die Flüssigkeitsdichte ρw von mehreren Flüs­ sigkeitsarten gemessen, und eine Reihe von Linien fd­ (ρw) interpoliert Daten von den gemessenen Werten, so daß eine Berechnung leicht durchgeführt und eine praktisch annehmbare Berechnungsgenauigkeit erzielt werden kann.
Wie oben erwähnt, ist die Axialkraft T' nicht nur eine Funktion des Frequenzverhältnisses fr, sie hängt jedoch durch den Einfluß einer zugefügten Masse, z. B. dem Treiber 5, den Sensoren 6a und 6b sowie dem Temperatursensor 10, mit dem die in Fig. 7 dar­ gestellte Meßleitung 2 versehen ist, von der Flüs­ sigkeitsdichte ρw als einer Form von T(fr, ρw) ab. Dies gibt an, daß sich die Funktion T(fr.ρw) oder die Funktion fd(ρw), die den Einfluß der Flüssig­ keitsdichte ρw auf das Frequenzverhältnis fr angibt, mit den oben genannten zugefügten Massen verändert. Wie ebenfalls oben erwähnt, konvergiert eine Glei­ chung normalerweise sehr schnell, wenn das Iterati­ onsverfahren wie in der vorliegenden Erfindung auf die Gleichungen (17) und (19) angewandt wird, da die Steigung von f(z) in der oben aufgeführten Gleichung (13) viel kleiner als 1 ist. Allgemein gilt: Je kleiner die Steigung von f(z) ist, desto schneller konvergiert das Iterationsverfahren. Wenn die Stei­ gung von f(z) beispielsweise 0 ist und f(z) eine Konstante ist, konvergiert die Gleichung nach einer Operation.
Daher kann das Iterationsverfahren schnell konver­ gieren, indem die Steigung der rechten Seite der oben aufgeführten Gleichung (17) oder (19) (entsprechend f(z) der Gleichung (13)) auf ρw ver­ ringert wird, indem die Form der oben aufgeführten Funktion T(fr, ρw) oder fd(ρw) eingestellt wird, während die zugefügte Masse verändert wird. Norma­ lerweise sollte die Steigung von T(fr, ρw) oder fd­ (ρw) verringert werden, um die Steigung auf der rechten Seite der Gleichung (17) oder (19) auf ρw zu verringern. Ein zweckmäßiges Verfahren zur Verände­ rung der zugefügten Masse ist die Änderung des Gewichts, der Einbauposition oder der Anzahl der in Fig. 7 dargestellten Treiber 5, Sensoren 6a und 6b und des Temperatursensors 10. Andernfalls können weitere zugefügte Massen mit ungefähr eingestelltem Gewicht, Einbauposition oder Anzahl angebracht wer­ den.
Normalerweise hat die in Fig. 7 dargestellte gerade Meßleitung 2 eine gewaltige Anzahl von Schwingungs­ modi, wie oben erwähnt in Fig. 3 dargestellt. Alle oben genannten Verfahren können bei dem Resonanzfre­ quenzverhältnis fr zwischen zwei beliebigen Modi anwendbar sein. Wenn jedoch eine Resonanzfrequenz tatsächlich gemessen wird, wird die Frequenz der geraden Meßleitung 2 gemessen, indem die gerade Meß­ leitung 2 in Resonanz gebracht wird, oder die Über­ tragungsfunktions wird durch tatsächliches Abtasten der Resonanzfrequenz gemessen. In jedem Fall ist ein Modus mit einer ungeraden Ordnungszahl wünschens­ wert, so daß der Mittelpunkt der Meßleitung wahr­ scheinlich mit einem Schwingungsbauch der Schwingung übereinstimmt, wenn der Treiber 5 am Mittelpunkt der geraden Meßleitung 2 angebracht ist, wie von der in Fig. 7 abgebildeten Detektionseinheit 1 dargestellt. Zusätzlich können Erregung und Messung einfacher bei einer geringeren Frequenz in einem Modus mit niedri­ gerer Ordnungszahl realisiert werden. Nach einer eingehenden Studie wurde bewiesen, daß das Resonanz­ frequenzverhältnis zwischen dem primären und dem tertiären Modus (primär/tertiär oder tertiär/primär) oder zwischen dem tertiären und dem quinären Modus (tertiär/quinär oder quinär/tertiär) angemessen ist.
Nachfolgend wird eine Dichtemessung beschrieben, die tatsächlich mit dem Schwingungs-Meßgerät gemäß der zweiten Ausführung durchgeführt wurde. Die Detekti­ onseinheit 1 des in Fig. 7 dargestellten Schwingungs-Meßgeräts weist eine Meßleitung auf, die Detektionseinheit 1 kann jedoch auch eine Mehrzahl von Meßleitungen aufweisen.
Das Resonanzfrequenzverhältnis fr, das bei Messungen der Axialkraft verwendet wird, wird durch Division der Resonanzfrequenz im tertiären Modus durch die Resonanzfrequenz im primären Modus erhalten. Beim Messen der Resonanzfrequenz wird die Meßleitung 2 mit einem in Resonanz befindlichen System, das die gerade Meßleitung 2, Sensoren 6a und 6b zur Erfas­ sung der Schwingung der Meßleitung, einen Antriebs­ stromkreis 3 sowie den Treiber 5 aufweist, sowohl im tertiären als auch im primären Modus in Resonanz gebracht, indem das Frequenzband und die Phase vom Antriebsstromkreis 8 eingestellt werden. Nach dem Messen beider Frequenzen erhält der Signalverarbei­ tungskreis 9" das Resonanzfrequenzverhältnis, indem die Resonanzfrequenz im tertiären Modus durch die Resonanzfrequenz im primären Modus dividiert wird, und führt eine Berichtigung gemäß der Temperatur der geraden Meßleitung 2 durch, die vom Temperatursensor 10 gemessen wurde.
Das Verhältnis zwischen der Axialkraft und den Reso­ nanzfrequenzverhältnissen zwischen dem primären und dem tertiären Modus wird bei der Erläuterung der ersten Ausführung unter Bezugnahme auf Fig. 4 be­ schrieben.
Fig. 8 ist eine Tabelle, welche die Flüssigkeits­ dichte ρw und f(ρw) darstellt, die durch Anwenden der Funktion der oben aufgeführten Gleichung (17) auf die Datenverarbeitung durch das in Fig. 7 darge­ stellte Meßinstrument erhalten wurde. Fig. 9 ist ein Diagramm, das die Beziehung zwischen der Flüssig­ keitsdichte ρw und f(ρw) darstellt. In diesem Dia­ gramm liegt der Bereich der Dichtemessung zwischen 0,4 und 3,0 g/cm3 . f(ρw) entspricht der rechten Seite der Gleichung (17). Tr(fr/fd(ρw)) in der Gleichung (22) wird als Axialkraft T(fr, ρw) in der Gleichung (17) verwendet. Mit der Gleichung, in der u = 2 in der oben aufgeführten Gleichung (24) verwendet wird, wird fd(ρw) mit einer quadratischen Funktion appro­ ximiert, wie in Gleichung (25) dargestellt. Dadurch können Operationen leichter durchgeführt werden.
fd(ρw) = a2.ρw2 + a1.ρw + a0 (25)
a2: -0,0012384
a1: 0,0038639
a0: 0,997214
Damit das oben genannte Iterationsverfahren in eine einzige Lösung konvergiert, sollte fd(ρw) die oben genannten Bedingungen i), ii) und iii) erfüllen. Es ist augenscheinlich, daß fd(ρw) die Bedingungen i) und ii) erfüllt. Unter Berücksichtigung der Bedin­ gung iii) kann die oben aufgeführte Gleichung (15) wie in der im folgenden aufgeführten Gleichung (26) dargestellt umgewandelt werden, wobei die Funktion fd'(ρw) erhalten wird, indem das als Sequenz ange­ sehene fd(ρw) einmal abgeleitet wird.
|fd'(ρw)| < 1 (26)
Gemäß Fig. 9 und der Tabelle in Fig. 8 gibt fd(ρw) die Steigung von nur 1/100 an, wodurch die oben auf­ geführte Gleichung (26) erfüllt wird. Daher erfüllt fd(ρw) die Bedingungen i), ii) und iii), und ρw kon­ vergiert zwangsweise in nur eine Lösung gemäß dem oben genannten Iterationsverfahren.
Fig. 10 ist eine Tabelle, die das Ergebnis der Über­ prüfung der Konvergenzgeschwindigkeit von fd(ρw) darstellt. In der Tabelle werden die Werte für die Dichte und f(ρw) aufgrund des oben genannten Itera­ tionsverfahrens mit Wasser (Dichte 0,997 g/cm3) als zu messender Flüssigkeit erhalten.
In der in Fig. 10 dargestellten Tabelle sind die Werte durch leere Zeilen in vier Blöcke aufgeteilt. Jeder der führenden Werte in den jeweiligen Blöcken ist der Anfangswert ρw0 des bei dem Iterationsverfah­ ren verwendeten ρw. f(ρw) in der nächsten Spalte in der Zeile ist das Ergebnis, d. h. ρw1, das durch Ein­ setzen des Anfangswerts ρw0 in die Gleichung (17) erhalten wurde. ρw1 in derselben Spalte eine Zeile tiefer enthält ρw0. Mit ρw1 wird ρw2 berechnet. In Fig. 10 ist die fünfmalige Wiederholung der Berech­ nung dargestellt; es wurde bis zu ρw5 erhalten. Fig. 10 zeigt, daß ρw nach höchstens zwei Malen Wiederholungsberechnungen für jeden Anfangswert konvergiert. Die Konvergenz wird also normalerweise schnell er­ reicht, wenn das Iterationsverfahren auf Gleichung (17) angewandt wird, da angenommen wird, daß die Steigung von f(ρw) viel kleiner als 1 ist, wie in Fig. 9 dargestellt. Gemäß der Tabelle in Fig. 10 wird die Konvergenz schneller erreicht, wenn der Anfangswert näher am Konvergenzwert liegt. Daher kann die Dichte schnell konvergieren, wenn der vor­ herige Konvergenzwert (gemessener Wert) als Anfangs­ wert verwendet wird.
Fig. 11 stellt die Beziehung zwischen der Flüssig­ keitsdichte ρw und dem Resonanzfrequenzverhältnis fr (f3/f1) zwischen dem tertiären und dem primären Mo­ dus dar. f1 gibt die Resonanzfrequenz im primären Modus an, und f3 gibt die Resonanzfrequenz im ter­ tiären Modus an.
Bei dem in Fig. 11 dargestellten Beispiel verändert sich das Resonanzfrequenzverhältnis fr in das For­ mat, in dem es nicht leicht relativ zur Dichte ρw mit einem Polynom, das eine quadratische oder kubi­ sche Funktion enthält, approximiert werden kann. Daher kann die Funktion fd(ρq), die den Einfluß der Dichte ρw auf das Resonanzfrequenzverhältnis fr an­ gibt, nicht leicht durch ein Polynom mit ρw in Glei­ chung (24) dargestellt werden. Folglich wird auf die Linien, die Werte in gemessenen Punkten () interpo­ lieren, als fd(ρw) wie in Fig. 11 dargestellt Bezug genommen. In diesem Fall konvergiert ρw zwangsweise in eine einzige Lösung, da fd(ρw) die Konvergenzbedingungen i), ii) und iii) des oben genannten Itera­ tionsverfahrens erfüllt.
Fig. 12 ist eine Tabelle, welche die Daten dar­ stellt, die sich auf die Dichtemessung beziehen. Die Daten in dieser Tabelle geben die Konvergenz des Iterationsverfahrens an, wenn die oben genannten Linien verwendet werden.
Die Tabelle stellt das Ergebnis dar, das durch Be­ rechnung der Dichte von vier Arten Flüssigkeiten (entsprechend Nr. 1-4) erhalten wird. Luft wird für die Flüssigkeit Nr. 1 zur leichteren Berichtigung verwendet. Der Bereich der Dichtemessung liegt zwi­ schen 0,4 und 3,0 g/cm3. Die Spalten auf der rechten Seite jeder Datennummer enthalten einen tatsächlich gemessenen Wert der Flüssigkeitsdichte, einen An­ fangswert, einen berechneten Dichtewert sowie einen Fehlerwert, in dieser Reihenfolge. Die Dichte wird mit zwei unterschiedlichen Anfangswerten für jede Flüssigkeit berechnet.
Der erste Block jeder Datennummer in der in Fig. 12 abgebildeten Tabelle enthält das Ergebnis, das mit dem tatsächlich berechneten Wert als dem Anfangswert ρw0 erhalten wurde. Der zweite Block enthält das Er­ gebnis, das mit dem Wert als Anfangswert ρw0 erhalten wurde, der im Bereich der Dichtemessung die größte Differenz zum tatsächlich gemessenen Wert angibt (also dem Wert, der die geringste Konvergenz impli­ ziert). In jedem Block enthält die erste Zeile den berechneten Wert ρw1 und die zweite Zeile den berech­ neten Wert ρw2. Der Fehler gibt die Differenz zwischen dem tatsächlich gemessenen Wert und dem be­ rechneten Wert an. Gemäß der Tabelle aus Fig. 12 konvergiert das Iterationsverfahren bei allen Be­ rechnungen in eine richtige Lösung. Da die Konver­ genz in höchstens zwei Operationen erreicht wird, erweist sich das Verfahren als schnell konvergie­ rend.
Die Tabelle aus Fig. 13 gibt die Flüssigkeitsdichte an; den gemessenen Wert der Temperatur einer Meßlei­ tung, der erhalten wurde, während die auf die Meß­ leitung wirkende Axialkraft T verändert wurde; die gemessenen Ergebnisse der Resonanzfrequenzen f1 und f3 im primären und tertiären Modus; sowie das Ergeb­ nis, das durch Berechnen der Flüssigkeitsdichte mit Gleichung (17) aufgrund der oben genannten Meßergeb­ nisse erhalten wurde.
In der Tabelle aus Fig. 13 zeigen die Daten Nr. 1-4 die Meßergebnisse an, die durch Füllen der Meßlei­ tung mit Flüssigkeiten von unterschiedlicher Dichte erhalten wurde. Zu diesem Zeitpunkt wird das in Fig. 7 abgebildete Meßgerät auf einer vorbestimmten Tem­ peratur gehalten, und keine Axialkraft wirkt auf die Meßleitung. Daher hängt die Änderung im Resonanzfre­ quenzverhältnis fr, das durch die Änderungsgeschwin­ digkeit der Daten von Nr. 1-4 dargestellt wird, von der Änderung der Dichte ab. Bei dieser Messung wird die Änderung im Resonanzfrequenzverhältnis durch Darstellung des oben genannten fd(ρw) durch eine Reihe von Linien berichtigt. Unter den Daten ist die Änderung im Resonanzfrequenzverhältnis fr der Daten Nr. 4 bemerkenswert.
Die Daten Nr. 5 bis 9 geben die Meßergebnisse an, die durch Verändern des Wertes der auf die Meßlei­ tung wirkenden Axialkraft erhalten wurden, wobei die Dichte der Flüssigkeit in der Meßleitung konstant gehalten wurde. Die Daten zeigen an, daß die Axial­ kraft das Frequenzverhältnis fr verändert.
Die Dichte wird aufgrund der gemessenen Werte f1 und f3 aus den Daten Nr. 1-9 folgendermaßen berechnet: Zuerst wird fd(ρw) durch die oben genannten Linien dargestellt. Dann wird die Axialkraft T durch die im folgenden aufgeführte Gleichung (27) mit fr/fd(ρw) ausgedrückt, wobei p in Gleichung (23) auf 2 einge­ stellt ist (p = 2).
T = b2.{fr/fd(ρw)}2 - b1.fr/fd(ρw) - b0 (27)
wobei b2 = 25332,2
b1 = -283428
b0 = 781360
Als nächstes werden die Konstanten A, B und C durch Gleichung (17) als Dichteberechnungsgleichung be­ stimmt. In diesem Beispiel werden die Axialkraft T, die durch Gleichung (27) erhalten wurde; die Werte, die durch Berichtigung mit der Temperatur der Meß­ leitung, der Temperaturänderung des Elastizitätsmo­ duls E und der Änderung in I, L, St und Si durch thermische Ausdehnung für jeden Fall mit drei Arten von Daten, nämlich den Daten Nr. 1, 5 und 7 erhalten wurden; der tatsächlich gemessene Wert ρw der Flüs­ sigkeitsdichte; sowie die resonante Winkelfrequenz ω1 in Gleichung (17) eingesetzt, um simultane lineare Gleichungen mit drei Unbekannten A, B und C zu erzeugen. Jede dieser Konstanten wird durch Auflösen der simultanen Gleichungen erhalten. Die Winkelfre­ quenz ω1 ist ω = 2πf1 oder 2πf3. In diesem Fall kön­ nen entweder f1 oder f3 für die gesamten Daten aus­ gewählt werden. In diesem Beispiel wird f3 ausge­ wählt.
Die Daten, die bei der Bestimmung der Konstanten verwendet werden, werden ausgewählt, da sie höchst unabhängig sind. Als Ergebnis werden die folgenden Werte erhalten:
A = 0,364216
B = 0,00284406
C = -0,0000909489
Dadurch wird nach der Bestimmung der Konstanten A, B und C in Gleichung (17) die Dichte durch das Itera­ tionsverfahren berechnet, indem die Meßergebnisse der Daten Nr. 1-9 in Gleichung (17) eingesetzt wer­ den. Die erhaltene Dichte wird mit dem tatsächlich gemessenen Wert verglichen, um den Fehler zu berech­ nen. Unter Bezugnahme auf die zweite bis vierte Zei­ le der Tabelle aus Fig. 13 werden die Daten Nr. 1, 5 und 7 für die Bestimmung der Konstanten A, B und C verwendet und geben daher natürlich einen Fehlerwert 0 aus. Andere Daten geben ebenfalls einen Fehler gleich oder kleiner als 0,001 g/cm3 an, womit eine annehmbare Meßgenauigkeit erzielt wird.
Die Tabelle aus Fig. 14 zeigt das Ergebnis der Dich­ teberechnung durch Gleichung (7) zum Vergleich mit den gemessenen Werten in der Tabelle aus Fig. 13 an.
Die Gleichung (7) unterscheidet sich darin von Glei­ chung (17), daß die Axialkraft durch T(fr) darge­ stellt ist, ohne die Dichteabhängigkeit für das Er­ halten der Axialkraft T zu berücksichtigen, und daß das Iterationsverfahren nicht verwendet wird.
Unter Bezugnahme auf die Tabelle aus Fig. 14 ist der Fehler 0,004 g/cm3 des Berechnungsergebnisses der Daten Nr. 4, der eine große Änderung im Resonanzfre­ quenzverhältnis fr anzeigt, viermal so groß wie der in Fig. 13 dargestellte Wert. Der Fehler tritt auf, da T(fr) ungeachtet der Dichteabhängigkeit beim Erhalten der Axialkraft T verwendet wird. Der Fehler wird durch das Iterationsverfahren verringert, indem die Axialkraft T beispielsweise als T(fr, ρw) dar­ gestellt wird, unter Berücksichtigung der Dichteab­ hängigkeit wie in der Tabelle aus Fig. 13 gezeigt.
Fig. 15 stellt ein Beispiel der Dichteabhängigkeit des Frequenzverhältnisses dar, wenn die Abhängigkeit (Funktion fd(ρ, V)) des Frequenzverhältnisses fr von der Flüssigkeitsdichte ρw durch Änderung einer der Meßleitung zugefügten Masse verändert wird.
Fig. 15 zeigt die Abhängigkeit des Frequenzverhält­ nisses fr von der Flüssigkeitsdichte ρw, wenn die Masse des Treibers 5, der in Fig. 7 abgebildet ist, auf 4,2 g (mit aufgetragen), 3,2 g (mit + aufge­ tragen) und 0,8 g (mit O aufgetragen) abgeändert 02549 00070 552 001000280000000200012000285910243800040 0002019652002 00004 02430wird. Durch Verändern der zugefügten Masse kann die Abhängigkeit der Frequenz fr von der Flüssigkeits­ dichte ρw, d. h. die Form der Funktion fd(ρw) oder die Form der Axialkraft T(fr, ρw) verändert werden.
Je kleiner die Steigung f(z) in Gleichung (13) ist, desto schneller wird normalerweise die Konvergenz beim Iterationsverfahren erzielt. Daher kann die Konvergenz schnell erzielt werden, wenn T(fr, ρw) oder fd(ρw) so verändert wird, daß die Steigung in Gleichung (17) oder (19) verringert wird. Allgemein gilt: Wenn die Steigung auf ρw von T(fr, ρw) oder fd­ (ρw) verringert wird, wird auch die Steigung auf der rechten Seite der Gleichung (17) oder (19) verrin­ gert. In Fig. 15 wird das Diagramm, das die Dichte 3,2 g anzeigt, die mit (+) aufgetragen ist, als zuerst konvergierend angesehen.
Erfindungsgemäß kann der Einfluß der Veränderung der Flüssigkeitsdichte auf die Dichtemessung und die Messung der Axialkraft durch Anwendung der Gleichung (17) und des Iterationsverfahrens auf eine Dichte­ operation berichtigt werden, wodurch eine höchst genaue Messung der Dichte und der Axialkraft reali­ siert wird. Die Operationen können außerdem leicht durchgeführt werden, indem die Gleichung (16) expli­ zit nach der Dichte ρw aufgelöst wird und das Itera­ tionsverfahren auf Gleichung (17) angewandt wird, in welcher das Integral und die Summierung (Σ) gemein­ sam durch die drei Konstanten ersetzt werden. Wenn ein Iterationsverfahren verwendet wird, kann die Konvergenz schnell erreicht werden, indem eine Ope­ ration mit dem vorherigen gemessenen Dichtewert als nächstem Anfangswert durchgeführt wird. Die Berech­ nung kann beendet werden, nachdem die Operationen eine vorbestimmte Anzahl von Malen wiederholt wur­ den, ohne die Berechnung fortzuführen, bis der be­ rechnete Wert konvergiert. Dadurch kann die Zahl der Berechnungen begrenzt und eine praktisch annehmbare Genauigkeit erreicht werden.
Außerdem kann erfindungsgemäß ein einfaches Berech­ nungsformat für die Axialkraft (fr, ρw) bestimmt werden, und die Konvergenz kann schnell erreicht werden, indem die der Meßleitung zugefügte Masse eingestellt wird. Das Resonanzfrequenzverhältnis kann leicht mit dem Resonanzfrequenzverhältnis vom primären zum tertiären Modus oder vom tertiären zum quinären Modus gemessen werden.

Claims (48)

1. Schwingungs-Meßgerät zum Messen einer Durch­ flußmenge und/oder einer Dichte einer durch eine gerade Meßleitung fließenden Flüssigkeit, indem die Meßleitung in Schwingung versetzt wird, auf­ weisend:
eine gerade Meßleitung;
ein Schwingungsdetektionsmittel zum Erfassen der Schwingung der Meßleitung; sowie
ein Signalverarbeitungsmittel zum Erhalten einer resonanten Winkelfrequenz ω und Axialkraft T der Meßleitung aufgrund eines Detektionssignals der Schwingungsdetektionseinheit, sowie zum Erhalten einer Dichte ρw der durch die Meßleitung fließen­ den Flüssigkeit, aufgrund einer im folgenden auf­ geführten Gleichung (E1) mit der erhaltenen reso­ nanten Winkelfrequenz ω und der Axialkraft T,
wobei E das Elastizitätsmodul der Meßleitung an­ gibt, I ein sekundäres Querschnittsmoment der Meßleitung angibt, Si einen Querschnittsbereich des hohlen Teils der Meßleitung angibt, ρt eine Dichte der Meßleitung angibt, St einen tatsächli­ chen Querschnittsbereich der Meßleitung angibt, L eine Länge in axialer Richtung der Meßleitung angibt, x eine Position in axialer Richtung der Meßleitung angibt, y eine Schwingungsamplitude der Meßleitung an der Position x angibt, n eine Anzahl von der Meßleitung zugefügten Massen an­ gibt, mk die Masse einer k-ten zugefügten Masse angibt und yk eine Schwingungsamplitude der k-ten zugefügten Masse angibt.
2. Schwingungs-Meßgerät nach Anspruch 1, worin
das Signalverarbeitungsmittel die Dichte ρw der durch die Meßleitung fließenden Flüssigkeit mit einer nachfolgend aufgeführten Gleichung (E2), die durch Auflösen der Gleichung (E1) nach der Dichte ρw erhalten wurde, mit den Konstanten A, B und C berechnet, die durch eine Schwingungsform der Meßleitung und eine zugefügte Masse bestimmt werden.
ρw = (AEI/ω2L4Si) + (BT/ω2L2Si) + (C/LSi) (E2)
3. Schwingungs-Meßgerät nach Anspruch 2, worin die Konstanten A, B und C durch Auflösen von si­ multanen Gleichungen aus drei unterschiedlichen Gleichungen bestimmt werden, die durch Einsetzen von drei Wertesätzen in Gleichung (E2) erhalten werden, die in drei unterschiedlichen Zuständen, der Dichte ρw der Flüssigkeit, des Elastizitäts­ moduls E der Meßleitung, des sekundären Quer­ schnittsmoments I der Meßleitung, der resonanten Winkelfrequenz ω und Axialkraft T der Meßleitung, der Länge L in axialer Richtung der Meßleitung sowie eines Querschnittsbereichs Si des hohlen Teils der Meßleitung erhalten wurden.
4. Schwingungs-Meßgerät nach Anspruch 2, worin die Konstanten A, B und C durch eine Methode der kleinsten Quadrate so bestimmt werden, daß ein Fehler unter wenigstens drei Gleichungen nach Erzeugung von wenigstens drei unterschiedlichen Gleichungen minimiert wird, indem in die Glei­ chung (E2) drei Wertesätze eingesetzt werden, die in wenigstens drei unterschiedlichen Zuständen, der Dichte ρw der Flüssigkeit, des Elastizitäts­ moduls E der Meßleitung, des sekundären Quer­ schnittsmoments I der Meßleitung, der resonanten Winkelfrequenz ω und Axialkraft T der Meßleitung, der Länge L in axialer Richtung der Meßleitung sowie eines Querschnittsbereichs Si des hohlen Teils der Meßleitung erhalten wurden.
5. Schwingungs-Meßgerät nach Anspruch 1, worin das Signalverarbeitungsmittel die Axialkraft T aufgrund eines Verhältnisses zwischen einer Reso­ nanzfrequenz eines ersten Schwingungsmodus der Meßleitung und einer Resonanzfrequenz eines zwei­ ten Schwingungsmodus der Meßleitung erhält.
6. Schwingungs-Meßgerät nach Anspruch 5, worin der erste und zweite Schwingungsmodus der primäre bzw. tertiäre Schwingungsmodus der Meßleitung ist.
7. Schwingungs-Meßgerät nach Anspruch 5, worin der erste und zweite Schwingungsmodus ein tertiä­ rer bzw. quinärer Schwingungsmodus der Meßleitung ist.
8. Schwingungs-Meßgerät nach Anspruch 5, worin
die Axialkraft T durch eine im folgenden aufge­ führte Gleichung (E3) mit einer ganzem Zahl u, die gleich oder größer als 0 ist, und einem Koef­ fizienten aj, der eine Beziehung zwischen einem Resonanzfrequenzverhältnis fr von zwei Schwin­ gungsmodi der Meßleitung und der Axialkraft T anzeigt, erhalten wird.
9. Schwingungs-Meßgerät nach Anspruch 8, worin die ganze Zahl u 2 ist.
10. Schwingungs-Meßgerät nach Anspruch 1, worin
das Signalverarbeitungsmittel die Dichte ρw der durch die Meßleitung fließenden Flüssigkeit als Konvergenzwert einer Sequenz {ρwn} mit einem gege­ benen Anfangswert ρw0 erhält, wobei ρwn der Se­ quenz {ρwn} durch eine im folgenden aufgeführte Gleichung (E4) mit den Konstanten A, B und C, die durch eine Schwingungsform der Meßleitung und eine der Meßleitung zugefügte Masse bestimmt wer­ den, dargestellt wird.
ρwn = (AEI/ω2L4Si) + (BT(fr, ρwn-1)/ω2L2Si) + (C/LSi) (E4)
11. Schwingungs-Meßgerät nach Anspruch 10, worin eine zuvor gemessene Dichte der Flüssigkeit als Anfangswert ρw0 verwendet wird.
12. Schwingungs-Meßgerät nach Anspruch 10, worin ein Wert ρwv, der durch v-maliges Anwenden der Sequenz {ρwn} (wobei v eine ganze Zahl gleich oder größer als 1 ist) erhalten wird, als Dichte ρw verwendet wird.
13. Schwingungs-Meßgerät nach Anspruch 12, worin der Wert v 1 ist.
14. Schwingungs-Meßgerät nach Anspruch 10, worin das Signalverarbeitungsmittel die Axialkraft T aufgrund eines Verhältnisses fr zwischen einer Resonanzfrequenz eines ersten Schwingungsmodus der Meßleitung und einer Resonanzfrequenz eines zweiten Schwingungsmodus der Meßleitung erhält.
15. Schwingungs-Meßgerät nach Anspruch 14, worin
das Signalverarbeitungsmittel die Axialkraft T(fr, ρw) als eine Funktion Tr erhält, die von einer im folgenden aufgeführten Gleichung (E5) ausgedrückt wird, die das Verhältnis fr von Reso­ nanzfrequenzen und eine Funktion fd(ρw) verwen­ det, die einen Einfluß der Dichte ρw der Flüssig­ keit anzeigt.
T(fr, ρw) = Tr{fr/fd(ρw)} (E5)
16. Schwingungs-Meßgerät nach Anspruch 15, worin
die Axialkraft T(fr, ρw) durch eine im folgenden aufgeführte Gleichung (E6) mit einer ganzen Zahl p gleich oder größer als 0 und einem Koeffizien­ ten, der eine Beziehung zwischen {fr/fd(ρw)}j und einer Funktion Tr angibt, erhalten wird.
17. Schwingungs-Meßgerät nach Anspruch 16, worin die ganze Zahl p 2 ist.
18. Schwingungs-Meßgerät nach Anspruch 15, worin
die Funktion fd(ρw) durch eine im folgenden auf­ geführte Gleichung (E7) mit einer ganzen Zahl u gleich oder größer als 0 und einem Koeffizienten aj, der eine Beziehung zwischen der Dichte ρw der Flüssigkeit und der Funktion fd anzeigt, erhalten wird.
19. Schwingungs-Meßgerät nach Anspruch 18, worin die ganze Zahl u entweder 2 oder 3 ist.
20. Schwingungs-Meßgerät nach Anspruch 14, worin der erste und zweite Schwingungsmodus ein primä­ rer bzw. tertiärer Schwingungsmodus der Meßlei­ tung ist.
21. Schwingungs-Meßgerät nach Anspruch 14, worin der erste und zweite Schwingungsmodus ein tertiä­ rer bzw. quinärer Schwingungsmodus der Meßleitung ist.
22. Schwingungs-Meßgerät nach Anspruch 15, worin die Funktion fd(ρw) als Liniendiagrammdaten dar­ gestellt ist, die durch eine lineare Interpola­ tion für eine Mehrzahl von Daten des Frequenzver­ hältnisses fr erhalten werden, die für eine Mehr­ zahl von Flüssigkeitsdichten erhalten wurden.
23. Schwingungs-Meßgerät nach Anspruch 1, worin die Form einer Funktion T(fr, ρw) der Axialkraft T durch Verändern der Masse, der Einbauposition auf der Meßleitung sowie der Anzahl der zugefüg­ ten Massen eingestellt wird.
24. Schwingungs-Meßgerät nach Anspruch 15, worin die Form der Funktion fd(ρw), die einen Einfluß der Dichte ρw der Flüssigkeit auf das Verhältnis fr der Frequenzen darstellt, durch Verändern der Masse, der Einbauposition auf der Meßleitung so­ wie der Anzahl der zugefügten Massen eingestellt wird.
25. Verfahren zum Messen der Durchflußmenge und/oder der Dichte einer durch eine gerade Meß­ leitung fließenden Flüssigkeit, indem die Meßlei­ tung in Schwingung versetzt wird, aufweisend fol­ gende Schritte:
Erfassen einer Schwingung einer geraden Meßlei­ tung;
Erhalten einer resonanten Winkelfrequenz ω und Axialkraft T aufgrund der erfaßten Schwingung der Meßleitung; sowie
Erhalten einer Dichte ρw der durch die Meßleitung fließenden Flüssigkeit aufgrund einer im folgen­ den aufgeführten Gleichung (E1) mit der erhalte­ nen resonanten Winkelfrequenz ω und Axialkraft T,
wobei E das Elastizitätsmodul E der Meßleitung angibt, I ein sekundäres Querschnittsmoment der Meßleitung angibt, Si einen Querschnittsbereich eines hohlen Teils der Meßleitung angibt, ρt eine Dichte der Meßleitung angibt, St einen tatsächli­ chen Querschnittsbereich der Meßleitung angibt, L eine Länge in axialer Richtung der Meßleitung angibt, x eine Position in axialer Richtung der Meßleitung angibt, y eine Schwingungsamplitude der Meßleitung an der Position x angibt, n eine Anzahl von der Meßleitung zugefügten Massen an­ gibt, mk eine Masse einer k-ten zugefügten Masse angibt und yk eine Schwingungsamplitude der k-ten zugefügten Masse angibt.
26. Verfahren nach Anspruch 25, weiterhin aufwei­ send folgenden Schritt:
Erhalten der Dichte ρw der durch die Meßleitung fließenden Flüssigkeit durch eine im folgenden aufgeführte Gleichung (E2), die durch Auflösen der Gleichung (E1) nach der Dichte ρw erhalten wird, mit den Konstanten A, B und C, die durch eine Schwingungsform der Meßleitung und eine zu­ gefügte Masse bestimmt werden.
ρw = (AEI/ω2L4Si) + (BT/ω2L2Si) + (C/LSi) (E2)
27. Verfahren nach Anspruch 26, weiterhin aufwei­ send folgende Schritte:
Erzeugen von drei unterschiedlichen Gleichungen durch Einsetzen von drei Wertesätzen, die in drei unterschiedlichen Zuständen, der Dichte ρw der Flüssigkeit, des Elastizitätsmoduls E der Meßlei­ tung, des sekundären Querschnittsmoments I der Meßleitung, der resonanten Winkelfrequenz ω und Axialkraft T der Meßleitung, der Länge L in axia­ ler Richtung der Meßleitung sowie eines Quer­ schnittsbereichs Si des hohlen Teils der Meßlei­ tung in die Gleichung (E2) erhalten wurden; sowie
Bestimmen der Konstanten A, B und C durch Auflö­ sen von simultanen Gleichungen der drei unter­ schiedlichen Gleichungen.
28. Verfahren nach Anspruch 26, weiterhin aufwei­ send folgende Schritte:
Erzeugen von wenigstens drei unterschiedlichen Gleichungen durch Einsetzen von drei Wertesätzen, die in drei unterschiedlichen Zuständen, der Dichte ρw der Flüssigkeit, des Elastizitätsmoduls E der Meßleitung, des sekundären Querschnittsmo­ ments I der Meßleitung, der resonanten Winkelfre­ quenz ω und Axialkraft T der Meßleitung, der Län­ ge L in axialer Richtung der Meßleitung sowie eines Querschnittsbereichs Si des hohlen Teils der Meßleitung in die Gleichung (E2) erhalten wurden; sowie
Bestimmen der Konstanten A, B und C durch eine Methode der kleinsten Quadrate, so daß ein Fehler unter den wenigstens drei Gleichungen minimiert wird.
29. Verfahren nach Anspruch 25, weiterhin aufwei­ send folgenden Schritt:
Erhalten der Axialkraft T aufgrund eines Verhält­ nisses zwischen einer Resonanzfrequenz eines er­ sten Schwingungsmodus der Meßleitung und einer Resonanzfrequenz eines zweiten Schwingungsmodus der Meßleitung.
30. Verfahren nach Anspruch 29, worin der erste und zweite Schwingungsmodus der primäre bzw. tertiäre Schwingungsmodus der Meßleitung ist.
31. Verfahren nach Anspruch 29, worin der erste und zweite Schwingungsmodus ein tertiä­ rer bzw. quinärer Schwingungsmodus der Meßleitung ist.
32. Schwingungs-Meßgerät nach Anspruch 29, wei­ terhin aufweisend folgenden Schritt:
Erhalten der Axialkraft T durch eine im folgenden aufgeführte Gleichung (E3) mit einer ganzen Zahl u gleich oder größer als 0 und einem Koeffizien­ ten aj, der eine Beziehung zwischen einem Reso­ nanzfrequenzverhältnis fr von zwei Schwingungsmo­ di der Meßleitung und der Axialkraft T angibt.
33. Verfahren nach Anspruch 32, worin die ganze Zahl u 2 ist.
34. Verfahren nach Anspruch 25, weiterhin aufwei­ send folgenden Schritt:
Erhalten der Dichte ρw der durch die Meßleitung fließenden Flüssigkeit als Konvergenzwert einer Sequenz {ρwn} mit einem gegebenen Anfangswert ρw0, wobei ρwn der Sequenz {ρwn} durch eine im folgen­ den aufgeführte Gleichung (E4) mit Konstanten A, B und C, die durch eine Schwingungsform der Meß­ leitung und eine der Meßleitung zugefügte Masse bestimmt werden, dargestellt wird.
ρwn = (AEI/ω2L4Si) + (BT(fr, ρwn-1)/ω2L2Si) + (C/LSi) (E4)
35. Verfahren nach Anspruch 34, weiterhin aufwei­ send folgenden Schritt:
Verwenden der zuvor gemessenen Dichte der Flüs­ sigkeit als Anfangswert ρw0.
36. Verfahren nach Anspruch 34, weiterhin aufwei­ send folgenden Schritt:
Verwenden eines Wertes ρwv, der durch v-maliges Anwenden der Sequenz {ρwn} (wobei v eine ganze Zahl gleich oder größer als 1 ist) als Dichte ρw erhalten wird.
37. Verfahren nach Anspruch 36, worin der Wert v 1 ist.
38. Verfahren nach Anspruch 34, weiterhin aufwei­ send folgenden Schritt:
Erhalten der Axialkraft T aufgrund eines Verhält­ nisses fr einer Resonanzfrequenz eines ersten Schwingungsmodus der Meßleitung zu einer Reso­ nanzfrequenz eines zweiten Schwingungsmodus der Meßleitung.
39. Verfahren nach Anspruch 38, weiterhin aufwei­ send folgenden Schritt:
Erhalten der Axialkraft T(fr, ρw) als Funktion Tr, die durch eine im folgenden aufgeführte Glei­ chung (E5) ausgedrückt wird, mit dem Verhältnis fr von Resonanzfrequenzen und einer Funktion fd(ρw), die einen Einfluß der Dichte ρw der Flüs­ sigkeit anzeigt.
T(fr, ρw) = Tr{fr/fd(ρw)} (E5)
40. Verfahren nach Anspruch 39, weiterhin aufwei­ send folgenden Schritt:
Erhalten der Axialkraft T(fr, ρw) durch eine im folgenden aufgeführte Gleichung (E6) mit einer ganzen Zahl p gleich oder größer als 0 und einem Koeffizienten, der eine Beziehung zwischen {fr/fd­ (ρw)}j und einer Funktion Tr angibt.
41. Verfahren nach Anspruch 40, worin die ganze Zahl p 2 ist.
42. Verfahren nach Anspruch 39, weiterhin aufwei­ send folgenden Schritt:
Erhalten der Axialkraft T durch eine im folgenden aufgeführte Gleichung (E7) mit einer ganzen Zahl u gleich oder größer als 0 und einem Koeffizien­ ten aj, der eine Beziehung zwischen der Dichte ρw der Flüssigkeit und der Funktion fd anzeigt.
43. Verfahren nach Anspruch 42, worin die ganze Zahl u entweder 2 oder 3 ist.
44. Verfahren nach Anspruch 38, worin der erste und zweite Schwingungsmodus ein primä­ rer bzw. tertiärer Schwingungsmodus der Meßlei­ tung ist.
45. Verfahren nach Anspruch 38, worin der erste und zweite Schwingungsmodus ein tertiä­ rer bzw. quinärer Schwingungsmodus der Meßleitung ist.
46. Verfahren nach Anspruch 39, weiterhin umfas­ send den Schritt Darstellen der Funktion fd(ρw) als Liniendiagrammdaten, die durch lineare Inter­ polation für eine Mehrzahl von Daten des Fre­ quenzverhältnisses fr erhalten werden, die für eine Mehrzahl von Flüssigkeitsdichten erhalten wurden.
47. Verfahren nach Anspruch 25, weiterhin umfas­ send den Schritt Einstellen der Form einer Funk­ tion T(fr, ρw) der Axialkraft T durch Ändern der Masse, der Einbauposition auf der Meßleitung so­ wie der Anzahl der zugefügten Massen.
48. Verfahren nach Anspruch 39, weiterhin umfas­ send den Schritt Einstellen der Form der Funktion fd(ρw), die einen Einfluß der Dichte ρw der Flüssigkeit auf das Verhältnis fr der Frequenzen darstellt, durch Ändern der Masse, der Einbaupo­ sition auf der Meßleitung und der Anzahl der zu­ gefügten Massen.
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