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Laufräder für Pumpen, Turbinen und Propellerantriebe zur Erzeugung
einer axialsymmetrischen Strömung Die Erfindung betrifft ein Laufrad mit axialsymmetrischer
Strömung für Pumpen, Turbinen und Propellerantriebe. Das Laufrad kann dabei als
Schaufelrad, dessen Schaufelfläche eine Erzeugende parallel zur Achsrichtung hat,
oder als Schraubenrad, dessen Schraubenfläche eine Erzeugende senkrecht zur Achsrichtung
hat, ausgebildet sein.
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Es ist bekannt, die Arbeitsflächen derartiger Laufräder so zu bauen,
daß, abgesehen von einer ganz geringen Wirbelbildung infolge Keilung, eine wirbelfreie
Strömung erzeugt wird, in der sich die Arbeitsflächen bewegen, ohne diese Strömung
zu stören (vgl. Jahrbuch der Schiffbautechnischen Gesellschaft [STG] vom Jahre 1906,
S. 374ff., Vortrag von Prof. H. Lorenz). Man ging dabei für die Ausbildung der Arbeitsflächen
von der Voraussetzung aus, daß durch ein Drehmoment die umgebende Flüssigkeit in
eine kreisende Bewegung entsprechend dem Eulerschen Momentensatz versetzt wird.
Die hiernach entwickelten Schrauben brachten jedoch gegenüber den bisherigen zwar
geringe Wirkungsgradverbesserungen, aber auch betriebliche Nachteile durch hohe
Umdrehungszahlen und Erschütterungen.
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Die Erfindung stellt sich die Aufgabe, diese Nachteile bei den genannten
Laufrädern zu vermeiden, und geht von dem Gedanken aus, mit Hilfe der Schaufelflächen
einen Schub in radialer Richtung aufzunehmen oder zu erzeugen und mit Hilfe der
Schraubenflächen einen Schub in Fahrt- oder Achsrichtung zu erzeugen oder aufzunehmen.
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Die Erfindung besteht darin, daß bei Schaufelrädern der Querschnitt
durch die Schaufel senkrecht zur Achsrichtung (x-Achse) durch logarithmische Spiralen
begrenzt wird, die durch die Gleichung y=rl-gm9# bestimmt wird.
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Bei Schraubenrädern ist die Schraubenfläche erfindungsgemäß durch
die Gleichung x=xi-e2mm zu bestimmen, wobei r die Strahllänge, d. h. der Abstand
eines Punktes der Fläche von der Achse (x-Achse) (s. Abb. 1 und 2), e die Basis
der natürlichen' Logarithmen, (p die Strahlrichtung, d. h. der Winkel zwischen
r
und einer Nullage r, (s. Abb. 2), r, die Strahllänge für 99 = 0, x,. die
Abszissenlänge für (p = 0 ist;
wobei a den Winkel zwischen r und der Tangente an die logarithmische Spirale
im Punkt x, r, 9p bedeutet, o,) die Winkelgeschwindigkeit der Umdrehung des
Laufrades, a den Beiwert der Stromfunktion y = a r2 x.
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Die Druck- und Saugseiten der Schaufeln oder Schrauben werden durch
zwei Flächen der angegebenen Art gebildet. Die eintretende Kante ist halbkreisförmig
gegen die relative Strömung abgerundet. An der austretenden Kante sind die Räderflächen
derart zugespitzt, daß sich eine scharfe Austrittskante auf der Mittelfläche der
Saug- und Druckflächen bildet (s. Abb. 8).
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Die Erfindung wird an Hand von Zeichnungen erläutert. Es stellt dar
Abb.l einen Axialschnitt der Stromfunktion y@ = m c) r2 x = 0,56 r2
x (die hyperbelähnlichen Kurven sind Axialschnitte der Flächen, innerhalb
welcher sekundlich die gleiche Strommenge durch einen Querschnitt senkrecht zur
Achse fließt), Abb. 2 die Zerlegung der Geschwindigkeiten und Abb. 3 die Zerlegung
der Beschleunigungen in einem Punkte der logarithmischen Spirale bei Umdrehungen
derselben, Abb. 4 die Zerlegung der Geschwindigkeit in einem Punkt der Schraubenfläche
und Abb. 5 bis 9 Angaben über ein ausgeführtes Modell einer Schiffsschraube, dabei
zeigt Abb. 5 eine Ansicht quer zur Achse von vorn, Abb. 6 eine Seitenansicht, Abb.
7 abgewickelte Zylinderschnitte der Druckseite,
Abb. 8 einen abgewickelten
Zylinderschnitt 5 der Abb. 7 und Abb. 9 die Abwicklung einer Schraubenfläche.
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Im folgenden wird die Entwicklung der in den Ansprüchen genannten
Formeln gebracht und erklärt. I. Umsetzung der in einem Drehmoment wirksamen Kräfte
in axialen oder radialen Schub. Schaufelräder und- Schrauben.
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Geht man von der bekannten Stromfunktion (s. Abb. 1) ip -- a r2 x
(Jahrbuch STG 1906, S. 374) (1) aus, so ist für die Erfindung die Möglichkeit wesentlich,
den Beiwert a so in das Produkt zweier Faktoren m und to zu zerlegen, daß mit ihrer
Angabe ein bestimmtes technisches Verhalten gekennzeichnet ist. Die Stromfunktion
schreibt sich dann Y=mwrlx. (la) Dann werden Flächen gesucht, die sich um die x-Achse
drehen, ohne die Bewegung der Flüssigkeit zu stören, so daß weder sieh Hohlräume
bilden noch zusätzliche Pressungen entstehen.
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Dann sind, wenn t die Zeit bedeutet, die Geschwindigkeitsanteile der
Strömung durch
gegeben, oder
Die Beschleunigungen sind
Damit lassen sich x und r als Funktionen von t angeben, nämlich
r = r1 , e-m«t, x - x1 , e2mmt . (4)
x, und r, geben die Lage
des Flüssigkeitsteilchens in Gestalt eines Ringes um die x-Achse zur Zeit t = 0
an. Damit lassen sich sofort zwei Scharen von Flächen, die gesucht werden, angeben.
Setzt man nämlich für tot den Buchstaben p, der den Winkel des Fahrstrahles r mit
einer Nullrichtung bezeichnet, so erhält man r = r1 . e-m9, und x
= xi # e2mp . (5)
Die erste dieser Flächen ist dadurch gekennzeichnet, daß
sich auf ihr Parallelen zur x-Achse zeichnen lassen, die ganz in der Fläche liegen.
Ebenensenkrecht zur x-Achse schneiden diese Flächen in logarithmische Spiralen (s.
Abb. 2). Die zweite Schar dieser Flächen ist ebenfalls eine Regelfläche, bei der
die Fahrstrahlen r ganz in der Fläche liegen (s. Abb. 5, 6 und 9). Die Schnittlinien
mit einem Zylinder r = r. (r, ein Festwert) ergeben auf der abgewickelten
Mantelfläche des Zylinders Exponentialkurven (s. Abb. 7 und 8). Die Bahnkurven eines
punktförmigen Flüssigkeitsteilchens längs einer der Flächen der Schar; die sich
um die x-Achse dreht, haben auf der Ebene x = 0 eine logarithmische Spirale als
Projektion. Drehen sich diese Flächen mit der Winkelgeschwindigkeit co, so lauten
die Gleichungen dieser beweglichen Flächen r = r1 # g-m (m+mt) (6a) und
x = xi . e2- (P+mt) , (6b) In irgendeiner festgehaltenen Richtung
9p ist dann die Geschwindigkeit der Fläche, die längs einem festgerichteten Fahrstrahl
r oder einer festgehaltenen Parallelen zur x-Achse daherfährt
Umgekehrt würde die Bewegung einer dieser Flächen auch eine Flüssigkeitsbewegung
gemäß der Stromfunktion zur Folge haben, wie im folgenden ausgeführt wird.
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In den hier gebrauchten Zylinderkoordinaten lauten die allgemeinen
Bewegungsgleichungen für eine ideale, nicht zusammendrückbare Flüssigkeit:
in denen X, R, U die Anteile der von außen einwirkenden Kräfte in den Richtungen
x, r, 9p bedeuten" p den Druck und @ die Dichte der Flüssigkeit angibt. Im vorliegenden
Fall werden die Kräfteanteile X, R; U
gleich Null gesetzt, außerdem
da die Strömung nicht von der Zeit abhängen soll. Nun soll die Strö- i mung der
Bedingung r = p1 . g-m(P+mt) (6a) unterworfen sein, d. h., man denkt
sich in der Strömung eine unendliche Zahl -unendlich dünner Flächen mit der Winkelgeschwindigkeit
co um die x-Achse bewegt. Dann ist
Mit Hilfe der Lagrangeschen Gleichungen kann man diese Bedingung
in die Bewegungsgleichungen aufnehmen. Die Wucht T ist für ein Flüssigkeitsteilchen
Die Lagrangeschen Bewegungsgleichungen geben dann
und (7d) wird, da
von 99 unabhängig ist [s. Gleichung (9)]
Eine Gleichung, in der
und -vorkommen, ist nicht mehr vorhanden. Diese Werte
treten also nicht mehr auf, sie sind dauernd gleich Null. Also ist -
ein unveränderlicher Wert. Nach (7c) muß er aber auch gleich Null sein, da
und
- Null sind. Die Symmetrie der Strömung macht das Verschwinden von
und - verständlich, das Verschwinden von
ist nicht ohne weiteres selbstverständlich. Nun folgt leicht aus (10c)
wo x, eine Integrationskonstante ist. Das bedeutet lediglich eine Verlagerung des
Nullpunktes auf der x-Achse. Dieser kann so gewählt werden, daß x, = 0 wird. Die
Strömung entspricht genau den Bedingungen der Stromfunktion V. Entscheidend ist
die Kontinuitätsgleichung. Ein einzelnes Massenteilchen für sich, das nicht der
Strömung angehört, würde auf der Fläche (6a) eine andere Bewegung ausführen. Die
Integration wäre leicht auszuführen, hätte aber hier keine andere Bedeutung, als
daß sie den Einfluß der Kontinuität noch deutlicher machen würde.
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Da in der Strömung
so folgt für den Druck p
Mit den bereits erhaltenen Gleichungen (4) stellen (11) und (12) die vollständigen
Integrale der Bewegungsgleichungen (10) dar.
Ebenso folgt für die
Schraubenbedingung
aus der Kontinuitätsgleichung, da
wenn man die erste Gleichung (13) in (7d) einsetzt und die partielle Difl'erentiation
nach x ausführt. Und da
aus entsprechenden Gründen wie bei der Schaufel, bei der in den Gleichungen
und nicht vorkamen, so ist
Soll für r = 0 auch
sein, so ist
Der durch die Schraubenbewegung verursachte Geschwindigkeitszustand ist damit gleich
dem aus der Stromfunktion errechneten, und die Berechnung des Druckes- kann keinen
anderen Wert ergeben.
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Der Beweis ist damit für eine einzige Fläche und für die sie berührende
Flüssigkeit geführt. Durch die unendliche Anzahl der Flächen gilt er auch für die
Gesamtheit der Strömung.
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Das Strömungsbild in einer Ebene senkrecht zur x-Achse als Projektionsebene
ist unabhängig von x. Die Ebene läßt sich als komplexe @ = e -f- 177 = r
(cos 9p + i - sin p)-Ebene auffassen. Bei der Abbildung
verändern sich weder Schaufelform noch Strombild, auch wenn gegen Unendlich strebt.
Was für die unendliche Anzahl der Schaufeln gilt, muß also auch für eine Schaufel
allein gelten.
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Die Flächen i-= r1 - e-m(P+"°t) nennt man Schaufeln, die Flächen
x = x1 - e9ni (99+(,)t) nennt man Schrauben.
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Bei der Schaufel treten alle auf einer um die x-Achse symmetrischen
Zylinderfläche befindlichen Flüssigkeitsteilchen gleichzeitig in den Schaufelraum
ein und bleiben während der ganzen Bewegung bei der Umdrehung der Schaufeln auf
einer solchen Zylinderfläche, die sich entweder symmetrisch zur x-Achse hin verengt
oder umgekehrt von der Achse fort erweitert. Die Bewegung in Richtung der x-Achse
wird in keiner Weise. durch die Schaufel gehindert, die Geschwindigkeit der Fläche
längs eines fest gerichteten Fahrstrahles r stimmt mit der Geschwindigkeit der Flüssigkeitsteilchen
in derselben Richtung überein. Die Flüssigkeitsteilchen gleiten an der sich drehenden
Schaufel entlang, ohne selbst eine Drehung um die x-Achse vollführen zu müssen.
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Bei der Schraube treten alle auf einer Ebene senkrecht zur x-Achse
befindlichen Flüssigkeitsteilchen gleichzeitig in den Schraubenraum ein und bleiben
während der ganzen Bewegung bei der Umdrehung der Schrauben auf einer solchen Ebene,
die sich senkrecht zur x-Achse fortbewegt. Die Bewegung der Flüssigkeit in Richtung
des Fahrstrahles wird in keiner Weise durch die Schraube gehindert, die Geschwindigkeit
der Schraubenfläche in Richtung der x-Achse stimmt mit der Geschwindigkeit der Flüssigkeitsteilchen
überein. Die Flüssigkeitsteilchen gleiten an der sich drehenden Schraube entlang,
ohne selbst eine Drehung um die x-Achse vollführen zu müssen.
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Der Einfluß der Reibung an den Wänden oder Flächen und der der Zähigkeit
ist dabei nicht berücksichtigt, ebenso nicht der Umstand, daß eine endliche Anzahl
von endlich dicken Schaufel- oder Schraubenflächen die Bewegung nach der Stromfunktion
abwandelt.
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Wie es möglich ist, daß jedes Element der Fläche der umgebenden Flüssigkeit
gerade die passende Beschleunigung erteilt, wird im folgenden im einzelnen kinematisch
und dynamisch erläutert.
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Die mit einer infinitesimalen Drehung dcp = wdt einer Schaufelfläche
verbundene Verschiebung ra)dt wird durch zwei infinitesimale Verschiebungen ersetzt
gedacht, und zwar durch eine dr = - mc,)rdt in Richtung des Fahrstrahles
r und durch eine
der Fläche in sich selbst (s. Abb. 2). Die Bewegung der Fläche in sich selbst wird
strömungsmäßig außer acht gelassen, da von Reibungswiderständen abgesehen wird.
Wenn lauter kleine Flüssigkeitsteilchen nebeneinander auf einer logarithmischen
Spirale lose angeordnet gedacht werden und alle mit der Fahrgeschwindigkeit T- m(or
in Fahrstrahlrichtung auf die Achse zu oder von ihr weg streben, so bleiben sie
immer auf einer logarithmischen Spirale angeordnet, deren Gestalt aus der ursprünglichen
durch eine reine Drehung mit der Winkelgeschwindigkeit ±o) entstanden gedacht werden
kann. Das ist nur ein anderer Ausdruck der schon vorher gewonnenen Einsicht, daß
sich die Schaufelfläche längs eines Fahrstrahles r fester Richtung mit der Geschwindigkeit
T-Ara) bewegt. Obwohl sich in jedem Augenblick ein anderes Element der Schraubenfläche
auf dem festen Fahrstrahl r befindet, wirkt sich die Gesamtbewegung so aus, als
bewegte sich auf jedem Fahrstrahl nur ein Element. Diese sich in Fahrstrahlrichtung
nach außen oder nach innen bewegenden Elemente reißen die Flüssigkeit in gleicher
Weise mit sich fort. Kinematisch darf man daher die Drehbewegung der Schaufeln durch
eine Verschiebungsbewegung in Fahrstrahlrichtung ersetzt denken zusammen mit einer
Verschiebungsbewegung der Fläche in sich selbst, indem letztere bei angenommener
Reibungslosigkeit keinen Einfluß ausübt. Die sich drehenden Schaufeln bewegen -sich
als feste Körper derart, als ob sie in einer idealen Flüssigkeit mit der Fahrstrahlgeschwindigkeit
T-mcur dahinströmten.
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Diesem kinematischen Sachverhalt entspricht ein dynamischer, der diesen
kinematischen erzeugen kann.
Den Geschwindigkeiten entsprechen die
zugehörigen Beschleunigungen genau, und zwar
Dabei bezeichnet
die Projektion der relativen Geschwindigkeit des Entlanggleitens der Schaufel an
der Flüssigkeit auf die Ebene x = 0. Geschwindigkeitsdreieck und Kräftedreieck sind
einander vollständig ähnlich (Abb. 2 und 3).
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Da die Drehung der logarithmischen Spiralen kinematisch durch die
Bewegung einer Zylinderfläche mit der Geschwindigkeit T-mc.)r und der Beschleunigung
m2(02r in Richtung des Fahrstrahles ersetzt gedacht werden kann, so ermöglicht die
logarithmische Spirale, zur Erzeugung dieser Bewegung ein Drehmoment zu benutzen.
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Die Schaufel kann durch ein Drehmoment einen Schub in Fahrstrahlrichtung
r erzeugen, ohne daß eine kreisende Bewegung um die Drehachse zu entstehen braucht.
Wenn keine kreisende Bewegung entsteht, so ist das eine Folge der Forderung der
Kontinuität, die die geschilderte an sich zwar mögliche, aber nicht notwendige Zerlegung
der Bewegung und des Kräftespieles erzwingt.
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Bei der Schraube lassen sich entsprechende Betrachtungen wie bei der
Schaufel durchführen. Bei letzterer drängen in der Strömung zylindrische Schichten
symmetrisch zur Achse oder von ihr fort und bedingen dadurch gleichzeitig eine Strömung
in Richtung der Achse. Bei der Schraube schreiten in der Strömung Ebenen senkrecht
zur Achse beschleunigt fort. Die wachsende Geschwindigkeit bedingt eine Querschnittsverengung
und umgekehrt die abnehmende eine Querschnittserweiterung. Bei der Schraubenfläche
wird man daher als Folge eines Drehmomentes einen Schub in axialer Richtung erwarten
müssen, den die Schaufel nicht aufnehmen kann, da ihre Erzeugenden parallel zur
Achse verlaufen. Daß diese Umsetzung der Kräfte eines Drehmomentes in axialen Schub
möglich ist, erkennt man, wenn man die Bahn eines Flüssigkeitsteilchens längs der
Schraubenfläche betrachtet. Das Flüssigkeitsteilchen durchläuft eine Stromlinie,
auf der Schraubenfläche ergibt das eine spiralige Linie, deren Projektion auf die
Ebene x = 0 eine logarithmische Spirale ist. Diese Spirale wird mit Strichlinie
bezeichnet, nicht ihre Projektion als logarithmische Spirale. Um die Größe des erforderlichen
Drehmomentes zu errechnen, geht man von dem axialen Schub aus. Dieser hat für die
Masseneinheit die Größe
und wird in zwei Anteile, einen tangential zur Strichlinie und einen tangential
zur logarithmischen Spirale, zerlegt. Der axiale Schub und die gesuchten beiden
tangentialen Anteile liegen dabei in einer Ebene, der Anteil tangential zur Strichlinie
liegt außerdem vollständig in der Schraubenfläche und übt daher direkt auf die Flüssigkeitsbewegung
keinen Einfluß aus. Der tangentiale Anteil an die logarithmische Spirale wird ähnlich
wie bei der Schaufel in einen Anteil in Richtung des Fahrstrahles senkrecht zur
Achse und in einen Anteil senkrecht zum Fahrstrahl zerlegt. Während aber bei der
Schaufel der Anteil in Fahrstrahlrichtung auf die Flüssigkeit einwirkte, ist das
bei der Schraube nicht möglich, weil der Fahrstrahl vollständig in der Schraubenfläche
liegt. Es bleibt nur noch eine Kraft senkrecht zum Fahrstrahl, die das nötige Drehmoment
zur Erzeugung des Schubes ergibt. Die das Drehmoment ergebende Kraft errechnet sich
folgendermaßen.
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Nennt man den Winkel zwischen axialem Schub und Strichlinie y, den
Weg des Flüssigkeitsteilchen längs der Strichlinie ds, so ist cos y = is
(s. Ab b. 4) , ds2 = dx2 -f- drz -i- (rdp)z = [(2 m a) x)2 -I-
(- m a) r)2 -I- (r a»21 d t2 folglich ist
Dann wird der Schubanteil in Richtung der Strich-Linie je Masseneinheit
Der Schubanteil in Richtung der Tangente an die logarithmische Spirale wird
Dieser Anteil wird wieder in einen Anteil in Richtung von r und einen senkrecht
dazu zerlegt. Der erstere wird
Der zweite wird
Diese das Drehmoment ergebende Kraft ist also bei gleichem m und c) in derselben
Entfernung r doppelt so groß wie bei der Schaufel.
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Auch hier hat diese Zerlegung nur Wert, weil die Kontinuität der Strömung
die gleichmäßige Fortbewegung in Ebenen erzwingt. Ein einzelnes Massenteilchen allein
würde eine andere Bewegung auf der Schraubenfläche ausführen. Die Schraube ist geeignet,
Drehmomente um ihre Achse innerhalb ihrer Fläche in axialen Schub umzusetzen. Diese
Erkenntnis stellt einen grundlegenden Fortschritt für den Bau der Schrauben dar
und beseitigt eine bisher als notwendig angesehene Verlustquelle für den Wirkungsgrad
aller Arten von Kreiselrädern.
Zu den charakteristischen Eigentümlichkeiten
der Schraubenfläche x = x1 - elm 91 gehören die Krümmungsverhältnisse: In einem
Punkt x = x', r = r',
(p = 99' entsprechen sie einer Schraubenfläche
von gleichbleibender Steigung H = 4nmx. Die Hauptkrümmungshalbmesser R sind
für beide Flächen entgegengesetzt gleich
Die asymptotischen Linien beider Flächen, auf denen die Krümmungshalbmesser unendlich
werden, besitzen in beiden Fällen die gleichen Projektionen auf die Ebene
x = 0, nämlich die Halbmesser rp = cp und die Kreise r = r'. Dadurch
wird die ungestörte Strömunggewährleistet. Der Geschwindigkeitsanteil-
wird in keiner Weise durch die Schraube direkt veranlaßt und- ist nur durch die
Notwendigkeit der Kontinuität bedingt. Aber auch die zweite asymptotische Linie
bewegt sich durch die Strömung, ohne daß Druckveränderungen vor oder hinter der
Schraubenfläche stattfinden. Auch die gesamte Bewegung in Richtung der x-Achse ist
nur durch die Notwendigkeit der Kontinuität veranlaßt. Die sich drehende Schraube
ist förmlich ein Teil der Strömung; in der sie mitfließt, während eine zusätzliche
infinitesimale Verschiebung in sich selbst die fortschreitende Bewegung in die Drehbewegung
verwandelt.
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Bei der wirklichen Gestaltung bestehen die Druck-und die Saugseite
der Flügel aus zwei Schraubenflächen, die von den Geraden x = x1, @p
= 0 und x = x, -f- d x1, cp = 0 ausgehen.
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Sind die hier gegebenen Ausführungen richtig, so bedingen sie in theoretischer
Hinsicht eine gewisse Ausweitung üblicher Vorstellungen über die Möglichkeit von
Arbeitsübertragungen durch bewegte Körper in einer Flüssigkeit, entweder von dieser
auf die Körper oder umgekehrt.
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Nach üblicher Anschauung genügt in keinem Falle zur Übertragung von
Energie die Potentialströmung, die von einer Schaufeldrehung in einer im Unendlichen
ruhenden Flüssigkeit hervorgerufen wird; diese erscheint vielmehr als eine - allerdings
ziemlich ausgedehnte - Störung des Ruhezustandes ohne dauernde Wirkung im Sinne
einer Energieübertragung. Damit überhaupt ein Energiefeld zustande kommt, in dem
zwischen Eintritt und Austritt beim Rade eine endliche und dauernde Differenz des
Energieniveaus herrscht, ist eine Zirkulationsströmung um jede einzelne Schaufel
erforderlich. Tritt hierzu noch eine Strömung, die einen dauernden Fluß von Flüssigkeitsmenge
durch die Schaufelkanäle ergibt, so tritt eine Übertragung von Energie zwischen
Schaufelrad und Flüssigkeit ein. Die sich ergebende Strömung mit Energieübertragung
setzt sich also stets aus folgenden drei Bestandteilen zusammen: 1. eine Verdrängungsströmung
in der im Unendlichen ruhenden Flüssigkeit, 2. eine Zirkulationsströmung um die
einzelnen Schaufeln, 3. eine Durchflußströmung.
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Die ausführliche theoretische Begründung zeigt, daß in einer Potentialströmung
eine Energieübertragung nicht möglich ist. Bezeichnet wird man Strömungspotential
mit 0 -. im vorliegenden Fall
Unter der Voraussetzung, daß Translations- und Rotatiopsgeschwindigkeit des .bewegten
Körpers konstant sind, ist nun
Dabei bedeutet w den Geschwindigkeitsanteil eines Massenteilchens der Flüssigkeit,
der dadurch für die Rechnung gekennzeichnet ist, daß man sich das Massenteilchen
mit dem festen Körper fest verbunden denkt. Mit v. ist die Projektion der wirklichen
Flüssigkeitsbewegung auf die Geschwindigkeit w bezeichnet.
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Ist nun bei Schaufelflächen r = r, - e- 91 die Geschwindigkeit
w so, als ob sie von einer Zylinderfläche herrührt, die als Ganze sich gleichmäßig
in jedem Abstand r von oder zu der Achse hinbewegt, dann ist dieses w = muor,
und v@ ist gleichfalls = mwr, so daß w - v"" = m',o)2r2 ist. Im allgemeinen
ist es ja so: Ist der feste Körper ein mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um eine
feststehende Achse sich drehendes Schaufelrad, so wird w gleich der »Umfangsgeschwindigkeit«
u eines Flüssigkeitsteilchens auf der Schaufel sein, und zwar gleich rcv; v" wird
man dann mit c. bezeichnen können und erhält g-T=u-cu+const., und die geleistete
Arbeit
gibt dann die längst bekannte und gebräuchliche Hauptgleichung der Turbinentheorie
(s. W. Kucharski: Strömungen einer reibungsfreien Flüssigkeit bei Rotation fester
Körper, München und Berlin, 1918; bei R. Oldenbourg, S. 33).
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Mit dieser Betrachtungsart reiht sich die vorgesehene Strömung durchaus
dem Eulerschen Momentensatz oder der Hauptgleichung der Turbinentheorie ein und
ergibt eine Arbeitsleistung oder Energieübertragung, ohne daß eine Zirkulationsströmung
für deren Zustandekommen erforderlich wäre. Das ist nur möglich, weil in den bisherigen
Theorien der Fall einer in sich selbst bewegten Fläche, wenn auch nur infinitesimal,
nicht mit eingeschlossen war; die damit für die Flüssigkeit einen anderen Bewegungszustand
darstellt als angenommen. Außerdem hat die dreidimensionale Betrachtung zu dem hier
gefundenen Ergebnis geführt, das bei einer zweidimensionalen Betrachtungsweise nicht
hätte gefunden werden können.
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Das Nichterkennen des Sonderfalles der Eulerschen Momentengleichung
hat zweimal zu technischen Fehlkonstruktionen von Schraube und Schaufel geführt.
Prof. H. Lorenz fügte bei seiner Schraube zu der durch die Stromfunktion W = mc»r2x
festgelegten Bewegung noch eine Kreisbewegung um die Achse hinzu, um dem Eulerschen
Momentensatz Genüge zu leisten.
Seine Schrauben brachten bei den
Versuchen, während deren die Umdrehungszahlen gegenüber der Rechnung wesentlich
erhöht werden mußten, keinen Gewinn. Offenbar war der Fall des Schraubenstrahles
für den Schub der Schraube nur ein Verlust.
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In der deutschen Patentschrift 531831 hat Dipl.-Ing. W. Lentz
eine Kreiselmaschine angegeben, bei der sämtliche Schaufelschnitte senkrecht zur
Achse kongruente logarithmische Spiralen sind. Um aber der Strömung die nach dem
Eulerschen Momentensatz notwendige kreisende Bewegung zu geben, versetzt er die
entsprechenden Punkte der kongruenten Spiralen so gegeneinander, daß eine Verbindungslinie
dieser Punkte auf einem Zylinderschnitt nicht eine Gerade, sondern in der Abwicklung
der Zylinderfläche eine hyperbolische Kurve ist, deren Krümmung von der Rotationsgeschwindigkeit
abhängig ist, die der Strömung erteilt werden soll.
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Einfacher Entwurf, Einfachheit der Herstellung und erhöhter Wirkungsgrad
sind technische Vorteile der Erfindung gegenüber bisherigen Bauweisen.
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Die theoretische Hydrodynamik beweist nämlich den Satz: Die wirbellose
Bewegung einer inkompressiblen Flüssigkeit in einem einfach zusammenhängenden Raum
besitzt geringere kinetische Energie als jede andere Bewegung, die die gleiche Geschwindigkeit
normal zur Grenzfläche hat (Lamb, Hydrodynamik,. 1907, S. 58 und 71, und anderswo).
Bei Kreiselpumpen muß die wirbelnde Bewegung zur Ruhe kommen, und die in der Wirbelbewegung
steckende Energie ist dann in der Regel verloren.
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Die Überlagerung der axialsymmetrischen Strömung mit einer Rotationsbewegung
hat aber nicht nur den hier geschilderten Nachteil erhöhter Rotations- und Wirbelenergie,
deren Umsetzung stets verlustreich ist, sondern sie muß auch die Kavitationsgefahr
erhöhen, trotzdem Lentz das Gegenteil versichert. Sobald die Rotationsgeschwindigkeit
in der Strömung rings um die Achse vorhanden ist, müssen je nach Größe der Winkelgeschwindigkeit
mehr oder minder große Hohlräume mit der Begrenzungsfläche eines Rotationsparaboloids
um die Achse entstehen.
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Da es entscheidend auf die theoretische Wirbellosigkeit und Drallosigkeit
ankommt und die bisherigen technischen Ausführungen nur besondere Ausführungen gemäß
dem Eulerschen Momentensatz darstellen, so ist damit der bisherige Stand der Technik
festgelegt. Die Flächen nach der Erfindung sind von bisher ausgeführten wesentlich
verschieden, wenn auch einzelne Elemente gleich sein mögen; sie sind so verschieden
wie die verschiedenen Gestalten der Regelflächen, bei denen überall eine Schar gerader
Linien auftritt.
11. Formeln für Antrieb und Drehmoment Bezeichnet man mit
Q die Gewichtsmenge, die durch einen Querschnitt senkrecht zur x-Achse mit dem Halbmesser
Y und der Geschwindigkeit vx hindurchfließt, so ist Q--nr2vxy=ny2mcoxr2=2nyip.
(22)
Die Kraft, die zur Beschleunigung der Masse 1 nötig ist, beträgt 4m'c)2x.
Für eine Scheibe von der Dicke dx senkrecht zur x-Achse und vom Halbmesser r ist
sie damit n9r2dx
- 4M2co2x. Für einen Raum, der von den Ebenen
x = x1 .und
x = x2 und der Fläche qp = const. begrenzt wird, ist der
Antrieb
| P= f irO4m'co2r2x.dx, |
| x, |
| oder, da |
| Y2 = |
| m c) x ' |
| x2 |
| P=4xemao fdx=47vOMCOY(x2-xl) |
| x1 |
| = Q (yx2 - Vxl) (23) |
Das ist der übliche Satz vom Antrieb, der in dieser Form den Einfluß der Nabenlänge
x"-x, besonders deutlich ins Licht setzt.
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Die Berechnung des Drehmomentes ist für Schraube und Schaufel nur
dadurch unterschieden, daß die Schraube an derselben Stelle bei gleichem m und w
das doppelte Drehmoment erfordert. Das Druckgefälle in der Achsrichtung ist doppelt
so groß wie senkrecht dazu.
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In der Entfernung r von der Achse wirkt auf die Gewichtseinheit die
Kraft
senkrecht zum Fahrstrahl. Zunächst berechnet man das Drehmoment für Schaufeln, und
zwar für eine Scheibe von der Dicke dx und dem Halbmesser r. Dann ist
| r r |
| dm = f2nremco2rdrdx=2nemuo2dx fr3dr |
| 0 0 |
| r4 |
| = 2nomc)2 4 dx. |
Jetzt berechnet man einen Raum, der von der Stromfläche zp = const. zwischen x1
und x2 begrenzt wird und berücksichtigt wieder
. Dann ist
| #x#2 x2 |
| M-J l 'n@m(02 22 2 -dx= 1 .geO #2 #J
d2 = 1 #icQo #2 (24) |
| 2 m c# x 2 m x 2 m x1 x2 |
| x1 x1 |
Für die spätere Verwendung braucht man noch einige Umformungen. Man berücksichtigt,
daß y
= mcor12x1 = moir22x2. Dann wird
| M = 2 # 7v P m (t)2 Y14 x12 ) 2 ' n P m co2 Y24
x22 x , (24a) |
| ( x1 x2 1 x 2 |
| oder mit vxl = 2 m ci x1 , vx2 = 2 m (o x2, v xl - vxl
= V, |
| M = 4 # 7L Q (t) Y14 Vxl = 4 # |
| n VX2 4g 4g e UJ Y24 Vx2 _ #
UJ Y12 V., = # (t) Y22 #l = 4 # P Y12 |
| (24b) |
Bei der Anwendung dieser Formeln hat man stets zwei Werte von yr
zur Kennzeichnung der Begrenzung, yi' als Wert für die äußere Begrenzung, y" für
die innere oder Nabenbegrenzung. Den zu V' gehörigen Halbmesser bezeichnet man mit
R, den zu y@ ' gehörigen mit
r. Dann tritt im Drehmoment für r¢ der Ausdruck
R4-r4 auf. Man zerlegt ihn in R4 -r4 =
(R '-r') (R2-+2) und führt für
eine Größe R2 ein. Damit wird (24b) zu
Ebenso gilt allgemein
In seinem Vortrag vor der STG rechnete Lorenz die Konstruktionsdaten der Schrauben
für den Dampfer »Kaiser Wilhelm der Große« aus. Der Dampfer hatte bei einer Geschwindigkeit
von 22,5 Knoten je Stunde = 11,6 m/sec = c einen Fahrwiderstand von 112 000 kg zu
überwinden, so daß auf jede Schraube ein Schub S = 56 000 kg entfiel. Die Umdrehungszahl
der Welle betrug n = 78/Min., der eine Winkelgeschwindigkeit
entsprach. Die dem Schub
S entsprechende Leistung
N
betrug damit
N = Sc = 649 0000 mkg (8660 PS). Der größte Eintrittshalbmesser wurde von
Lorenz zu R2 = 3,3 m gewählt, der zugehörige Nabenhalbmesser zu r= = 0,74 m. Die
Durchfiußmenge Q betrug dann bei einer Wichte y = 1000 kg
Lorenz nimmt dann an, daß das Wasser mit der Fahrgeschwindigkeit c des Schiffes
in die Schraube eintritt, so daß vxi
= c wird. Mit dieser falschen Annahme
wird die absolute Austrittgeschwindigkeit des Schraubenstrahles v = vx2 - vx,
= vx2
- c. Sie berechnet sich zu
Mit Hilfe der Formeln (25) ergibt sich
Die Nabenlänge wird mit x2 -- xi = 1,3 m festgesetzt. Damit ist es möglich, aus
zu berechnen. Man verläßt den Lorenzschen Gedankengang und findet
Lorenz hat neben anderen Fehlern für _seine Schraube eine falsche Umdrehungszahl
eingesetzt. Die Umdrehungszahl ist nämlich nicht frei wählbar. Der Schubbelastungsgrad
ergibt den idealen Wirkungsgrad
Setzt man nun
so ergibt sich aus den Formeln (24 c)
anstatt 66,75 bei Lorenz oder co = 7,500 anstatt 8,17 oder n = 71,6 anstatt 78.
Lorenz' Umdrehungszahlen stimmten beim Versuch in keiner Weise mit den errechneten
überein. Er mußte sie wesentlich höher ansetzen, weil die Eintrittsgeschwindigkeit
des Wassers erheblich höher ist, als er annahm.