Es gibt eine Vielzahl von Möglichkeiten
für das
Zustandekommen nichtlinearer Zusammenhänge, wie beispielsweise in
der Sensorik, wo eine physikalische, im Allgemeinen nichtelektrische
Größe wie Druck, Strahlungsleistung
oder Temperatur mittels eines Sensors oder einer Vorrichtung in
ein elektrisches Signal zur elektronischen Darstellung und Weiterverarbeitung
umgewandelt werden soll. Die physikalisch mathematischen Beziehungen
zwischen der darzustellenden Messgröße und der gewünschten
elektrischen Größe sind im
Allgemeinen von nichtlinearer Natur. Das heißt, dass die gewonnene elektrische
Größe nicht
als das Produkt einer Proportionalitätskonstante mit der Messgröße zuzüglich einer
additiven Konstante darstellbar ist.
Linearisierung bezeichne hier die
technische Umsetzung einer mathematischen Vorschrift, zwei Größen, z.B.
eine unabhängige
Messgröße (Temperatur)
und eine abhängige
Ausgangsgröße (Spannung),
die in einem nichtlinearen Bezug zueinander stehen, in einen linearen
Zusammenhang zu stellen. Die Erfindung ist dazu geeignet sowohl
extrem nichtlineare als auch schwach nichtlineare Kennlinien zu
linearisieren. Insbesondere eignet sich die Erfindung zur Linearisierung
nicht „einfacher"
Zusammenhänge,
wie e-Funktionen, Logarithmus-, Quadrat- oder Wurzelfunktionen.
Die Erfindung soll exemplarisch anhand eines Temperaturmessumformers
mit Thermoelementen erläutert
werden.
Ein Thermoelement wird aus einem
so genannten Thermopaar, bestehend aus zwei an einem Ende miteinander
verschweißten
Drähten
unterschiedlichen Materials (z.B. Eisen-Kupfernickel), gebildet,
wobei das verschweißte
Ende im Allgemeinen den eigentlichen Temperaturfühler (Messstelle) darstellt.
Die aufgrund der elektromotorischen Kraft an den Drahtenden auftretende
elektrische Spannung steht jedoch in einem spezifischen nichtlinearen
Zusammenhang zur Temperaturdifferenz zwischen dem verschweißtem Ende
(Messstelle) und der „kalten" Übergangsstelle,
den Drahtenden, von wo aus für
gewöhnlich
die Signalführung
auf Kupferleitungen weiter erfolgt. Die Empfindlichkeit (Seebeck- Koeffizient) solcher
Thermoelemente ist sehr schwach und je nach Thermopaar sehr unterschiedlich.
Sie reicht von weinigen μV/K
bis hin zu mehr als 70 μV/K,
die dabei entstehende Ausgangsspannung liegt in der Regel je nach
Messtemperatur bei einigen 10 mV und kann in einigen Fällen 70
mV übersteigen.
Da der Seebeck-Koeffizient in der Regel stark von der Temperatur
abhängig
ist, ergeben sich bei allen bekannten Thermopaaren nichtlineare
Temperatur-Spannungskennlinien, die nicht „einfachen" Zusammenhängen gehorchen,
sondern vielmehr durch unübersichtliche
Polynome zehnter und höherer
Ordnung beschrieben werden. In den meisten technischen Anwendung
werden aber zu Mess-, Steuer- und Regelzwecken lineare Übertragungskennlinien
gefordert.
Um die zu messende Temperatur in
einen linearen Zusammenhang mit einer elektrischen Größe (z.B. Spannung
oder Strom) zur Weiterverarbeitung (Anzeige, Steuerung, Prozessrechner,
etc.) zu bringen, müssen entsprechende
elektronische Maßnahmen
zur Linearisierung solcher Thermokennlinien getroffen werden.
Nach dem heutigen Stand der Technik
bedient man sich in den meisten Fällen eines digitalen Verfahrens,
in dem die Kennlinie des zu linearisierenden Thermoelementes oder
deren Umkehrfunktion oder auch nur diejenige Kennlinie, welche die
Differenz zwischen der Thermokennlinie und der idealen anzustrebenden Übertragungsgeraden
angibt, in diskreten Abständen
in einen digitalen Speicher, dem Korrektur-ROM, abgelegt wird. Für eine lineare
Abbildung der zu messenden Temperatur wird zu jeder Messtemperatur
von der Auswerteelektronik ein entsprechender Wert aus dem Korrektur-ROM
ausgelesen und unter Zugrundelegung einer anzustrebenden Sollgeraden
entsprechend weiterverarbeitet und – bei Verwendung einer Differenzkennlinie-
zur gemessenen Thermospannung hinzuaddiert. Die Genauigkeit dieses
Verfahrens kann in weiten Grenzen zum einen durch die Qualität der betreffenden
Bauelemente (A/D-Wandler, D/A-Wandler, Operationsverstärker, u.s.w.)
und zum anderen systematisch durch die verwendete Bitbreite (Ruflösung) und
durch die Anzahl der verwendeten Korrekturstützstellen festgelegt werden.
Weiterführend
können
auch softwareunterstützte
Interpolationsverfahren zur Errechnung von Messwerten zwischen den
Korrekturstützstellen
und zur Verbesserung der Genauigkeit zur Anwendung kommen. Im Allgemeinen
werden mit dieser Methode Fehler von < 0,1% erzielt.
Den digitalen Verfahren stehen noch
eine Reihe analoger Verfahren als Alternative gegenüber. Zur
Linearisierung „einfacher"
Zusammenhänge,
wie e-Funktionen, Logarithmus-, Quadrat- oder Wurzelfunktionen können bestimmte
Bauelementeklassen wie Halbleiter -insbesondere Bipolar- oder Feldeffekttransistoren-
herangezogen werden, denen solche Zusammenhänge bereits selbst innewohnen
und leicht extrahiert werden können.
Sie können
zur Bildung einer dem Sensorsignal, welches beispielsweise eine
exponentielle Ausgangscharakteristik zur Messgröße wiedergibt, entsprechenden
Umkehrfunktion (hier also der Logarithmus) mit wenig Schaltungsaufwand
verwendet werden.
Andere analoge Verfahren bedienen
sich der stückweise
stetigen Approximation durch Polygonzüge. Bei diesem Verfahren wird
die anzustrebende Linearisierungsfunktion, welche idealer Weise
genau die Umkehrfunktion der zu linearisierenden Kennlinie darstellt,
in mehrere Abschnitte zerlegt und in den jeweiligen Abschnitten
durch Geraden ersetzt. Dies wird üblicherweise durch Widerstands-Dioden
oder Widerstands-Transistor-Netzwerke
erreicht, die sich im Gegenkopplungspfad eines Linearisierungsverstärkers befinden
und die Verstärkung
und damit die Steigung der Geradenabschnitte so programmieren, dass
sie die anzustrebende Linearisierungsfunktion am besten approximieren.
Außerdem besteht prinzipiell
immer die Möglichkeit,
einen hinreichend kleinen Kennlinienabschnitt eines nichtlinearen
Zusammenhangs direkt linear abzubilden, so dass die dort vorliegenden
Krümmungen
durch die Kleinheit des gewählten
Kennlinienabschnittes, respektive der Messspanne, derart gestreckt
werden, dass der von der Messaufgabe vorgegebene Fehler nicht überschritten
wird. Beispielsweise bei einigen wenigen der zur Auswahl stehenden
Thermoelementen (z.B. Typ J und K der DIN EN 60584 bzw. IEC 584,
Teil 1) im Bereich zwischen 0°C
und ca. 500°C,
in dem sich die Thermokennlinien „einigermaßen" linear verhalten, lässt sich
das Sensorsignal spannungslinear in diesem eingeschränkten Temperaturbereich
abbilden. Der dabei gemachte Fehler kann dann jedoch einige Prozent
betragen. Diese Art der linearen Abbildung lässt sich natürlich nur dann
anwenden, wenn die Messaufgabe die Messung in dem eingeschränkten Messintervall
erforderlich oder wenigstens zulässig
macht.
Aufgabe der Erfindung nach Anspruch
1 ist es, einen kostengünstigen,
mit einfachen Mitteln zu realisierenden, universell anwendbaren,
und sehr effizienten Messwandler zur Linearisierung nichtlinearer
Funktionen bereitzustellen, der sowohl für den diskreten Aufbau mit
handelsüblichen
Bauteilen als auch für
eine integrierte Lösung
auf einem Chip geeignet ist und einige Vorteile gegenüber bekannten
analogen, wie auch digitalen Verfahren aufweist.
Ein grundsätzlicher Vorteil analoger Signalverarbeitung
ist die nicht durch die A/D-Wandlung entstehende quantisierte Signalausgabe,
d.h., dass sich in erster Näherung
der Messwert nur in sprunghaften Schritten ändern kann. Diese Eigenschaft
wird in vielen Anwendungsfällen
nicht als störend
betrachtet, kann aber für
wieder andere Anwendungsfälle
als nachteilig angesehen werden. Obwohl eine Mischtechnik diese
Nachteile der digitalen Signalverarbeitung unter Hinzunahme analoger
Schaltungstechnik beseitigen kann, bleiben dennoch Resteffekte übrig oder
es ist ein außerordentlich
hoher Schaltungsaufwand zu betreiben. Weiterhin arbeiten die meisten
A/D-Wandler getaktet, so dass sich daraus dynamische Probleme bei
der Erfassung schneller Messsignale ergeben können und außerdem sind getaktete Systeme
auch immer von Abstrahlungsproblemen von der Leiterplatte aus begleitet
(EMV). Weiterhin sind sie grundsätzlich
mit erhöhtem
Schaltungsaufwand und erhöhten
Kosten verbunden. Dem entgegen stehen eine hohe Funktionalität und Einfachheit
des Wirkungsprinzips und eine sehr hohe erreichbare Genauigkeit.
Gegenüber den genannten analogen
Verfahren besteht bei der vorliegenden Erfindung der Vorteil eines
wirklich kontinuierlichen, also auch stetig differenzierbaren, Ausgangssignals,
wie es beispielsweise bei der Methode der stückweise stetigen Approximation
durch Polygonzüge
nicht der Fall ist. Wie noch gezeigt wird, sind mit diesem Verfahren
mit wenig Aufwand sehr hohe Genauigkeiten bei sehr klein zu haltender
Queremp findlichkeit des Messwandlers gegenüber seiner Umgebungstemperatur
erzielbar. Auch dieser Vorzug ist mit dem Polygonverfahren nur mit
viel Schaltungsaufwand zu erreichen. Da Dioden und Transistoren
eine sehr starke Temperaturabhängigkeit
aufweisen, muss stattdessen auf Komparatoren, deren Schaltschwelle
durch Widerstände
wesentlich temperaturunabhängiger
programmiert werden kann, zurückgegriffen
werden, was einen vergleichsweise hohen Aufwand bedeutet.
Das erfindungsgemäße Schaltungskonzept beruht
auf ein additives analoges Linearisierungsverfahren, bei dem die
Kennlinienkorrektur so stattfindet, dass mit Hilfe bipolarer Translinearschaltungen
spezifische nichtlineare Korrekturspannungen aus dem Messsignal
erzeugt werden, die dann zu dem Messsignal hinzuaddiert werden,
so dass die von den Translinearschaltungen erzeugten krummlinigen
Spannungsverläufe
den Krümmungen
des Messsignals entgegenwirken, womit ein näherungsweise lineares Übertragungsverhalten zwischen
der Mess- und der Ausgangsgröße erreicht
wird.
Die Erfindung soll im Folgenden anhand
von Ausführungsbeispielen,
Schaltbildern und mathematischen Zusammenhängen dargestellt und näher beschrieben
werden. Für
die nachfolgenden Betrachtungen werden Ströme, die aus einem Modul bzw.
Strukturblock heraus gequellt werden, positiv und Ströme, die
in Module oder Strukturblöcke
hinein gesenkt werden, negativ gezählt.
l zeigt
ein schematisches Blockschaltbild des Messwandlers 9 gemäß der Erfindung.
2a zeigt
einen Differenzverstärker
15A bestehend aus zwei NPN-Transistoren
T1 und T2, deren Emitter über
zwei in Serie liegenden Widerstände
R
s1 und R
s2 miteinander
verbunden sind und an der Verbundstelle der beiden Widerstände R
s1 und R
s2 von einer
Stromquelle
14 vom Betrag I
D bestromt
werden, wobei die Teilströme
der Transistoren aus ihren Emittern heraus in die Stromquelle führen. Die
beiden Basen stellen die Differenzeingänge
10 und
11 dar
mit der Eingangsspannung U
IN1–U
IN2 und den Ausgangsströmen -I
1 und
-I
2 an den Klemmen
12 und
13,
die von den Kollektoren geliefert werden. Die Übertragungsfunktion lautet
im Falle, dass die Widerstände
R
s1 und R
s2 gleich
Null sind und bei Gleichheit der Transistoren T1 und T2 in sehr
guter Näherung:
wobei das negative Vorzeichen
von I
D von der Zählrichtung herrührt, nach
der per oben vereinbarter Definition in Strukturblöcke bzw.
in Module hinein fließende
Ströme
negativ gezählt
werden. Der Differenzverstärker
15A kann äquivalent
auch mit PNP-Transistoren aufgebaut werden. Die NPN-Transistoren
werden dann durch PNP-Transistoren substituiert, wobei anschließend sämtliche
Spannungs- und Stromrichtungen entgegengesetzt zu zählen sind.
Dann bleiben die Gültigkeit
der Gl. 1a und Gl. 1b bis auf ein positives Vorzeichen von I
D erhalten. U
T =
k/q∙T
a
bs ist die Temperaturspannung.
Sie ist das Produkt des Faktors k/q mit der absoluten Umgebungstemperatur
T
abs auf der Kelvinskala, wobei k die Boltzmann-Konstante
mit k = 1.3804∙10
–2J/K
und q die Elementarladung mit q = 1.6021∙10
–9 C
ist. U
T hat bei 25°C den Wert 25,69 mV.
Die Widerstände Rs1 und
Rs2 führen
ab einer bestimmten Größe ihrer
Werte, die vom Strom ID abhängen, zu
einer deutlichen Scherung, also Streckung der hyperbolischen Tangensfunktion.
Dies kann zur Erzielung besserer Linearisierungseffekte zwar worteilig
sein, während
aber die Temperaturabhängigkeit
des Differenzverstärkers 15A in
Präzisionsanwendungen
nur schwer und mit hohem Aufwand zu kompensieren ist.
2b zeigt
einen bekannten E-Funktionsgenerator
15B mit zwei NPN-Transistoren T3 und
T4, einem Operationsverstärker
18,
einer Referenzspannungsquelle U
REF, einem
Widerstand R1, und einem optionalen Widerstand R
v.
Die beiden Emitter der Transistoren T3 und T4 sind miteinander und über den
Widerstand R
v mit dem Ausgang des Operationsverstärkers
18 verbunden.
Der Kollektor von T3 führt
zusammen mit dem Widerstand R1 auf den Minus-Eingang des Operationsverstärkers
18.
Das andere Ende von R1 ist mit der Spannungsquelle U
REF verbunden,
wodurch ein in den Kollektor von T3 hinein fließender, konstanter Strom Ic
hervorgerufen wird. Die Basis von T4 und der Plus-Eingang des Operationsverstärkers
18 sind
mit dem Bezugspotential (Ground) verbunden. Die Basis von T3 bildet
den Eingang
16, an dem die Eingangsspannung U
exp anliegt
während
der Kollektor von T4 den Stromausgang
17 bildet und den
Strom –I
exp führt.
Bei Gleichheit der Transistoren T3 und T4 lautet die Übertragungsfunktion
in sehr guter Näherung
Die zwei NPN-Transistoren
T3 und T4 können
auch hier durch PNP-Transistoren
substituiert werden, wobei alle Strom- und Spannungsrichtungen entgegengesetzt
anzusetzen sind. Jedoch, unter Beibehaltung der Zählrichtung
für U
exp wie in
2b,
lautet die Übertragungsfunktion
für den
Ausgangsstrom I
exp dann
Der Widerstand R
v hat keinen Einfluss auf die Funktionsweise,
sondern wird nur zur Verbesserung der Stabilitätseigenschaften eingesetzt.
3 stellt
zur Veranschaulichung die Funktion 1/2(1 + tanh( x/2)) (19, durchgezogene
Linie), die Funktion ex (20, gestrichelte
Linie) und die Funktion 1 – e–x (21,
strichpunktierte Linie) nebeneinander dar. Für x < –3
geht 1/2∙(1
+ tanh(x/2)) in ex über während 1/2∙(1 + tanh(x/2)) für x > 3 in 1-e-x übergeht.
Dies wird, wie weiter unten gezeigt, in gewissen Fällen für die Wahl
der Linearisierungstechnik gemäß den Gleichungen
Gl. 1a, Gl. 1b bzw. Gl. 2a, Gl. 2b von Bedeutung sein.
4 zeigt
einen typischen Kennlinienverlauf 22 der Thermospannung
ETH eines Thermoelementes am Beispiel des
Thermopaares Platin-30%Rhodium/Platin-6%Rhodium
(Typ B der DIN EN 60584 bzw. IEC 584 Teil 1) im Temperaturbereich
zwischen 0°C
und +1820°C
(durchgezogene Linie) und den Verlauf 23 für das beispielhaft
linearisierte Sensorsignal U'M (gestrichelte
Linie).
5 zeigt
den relativen Messfehler 24 in Prozent bezüglich des
Temperaturbereiches von +200°C bis
+1820°C
der am Beispiel des Typ B linearisierten Thermospannung 23 bezüglich einer
idealen Geraden, die durch den Anfangswert (0V) der Kurve 23 bei
+200 °C
und den Endwert (19.23 mV) der Kurve 23 bei + 1820°C geht.
6 zeigt
beispielhaft den Kennlinienverlauf 25 des Messwandlers 9 für das Thermoelement
vom Typ B, wobei die Spannung ETH auf der
Abszisse linear in μV
abgetragen ist, während
die Ausgangsspannung für
UM durch die Kurve 25 auf der Ordinate
in V skaliert dargestellt ist.
7 zeigt
eine Anordnung, bei der der Messwandler 9 im Gegenkopplungszweig
eines Verstärkers 27 mit
der Verstärkung
V liegt. Der Funktionsblock 26 stellt den (nichtlinearen)
Zusammenhang ETH(M) zwischen der physikalischen
(nichtelektrischen) Messgröße M und
dem elektrischen Messsignal ETH her. Zur
Erzielung einer Linearisierung nach diesem Schaltungsprinzip muss
dann, wenn V → ∞ näherungsweise
gilt, der Messwandler 9 nicht die Umkehrfunktion sondern
die zu linearisierende Funktion ETH(ULin) selbst nachbilden. Das kann dann Vorteile
bringen, wenn sich für
bestimmte Kennlinienverläufe
eine Generierung der Kennlinienverläufe selbst einfacher gestaltet
als die der Umkehrfunktion.
Die mathematische Grundlage des erfindungsgemäßen Messwandlers
bildet die allgemeine Übertragungsfunktion
E
TH bezeichne
die vom Thermoelement erzeugte Thermospannung und U"nr bis auf eine
noch zu bestimmende Proportionalitätskonstante die Ausgangsspannung
des Messwandlers als Antwort auf die Thermospannung E
TH.
U
'
M ist eine noch unskalierte Größe, die
nur bei der mathematischen Bestimmung der Koeffizienten ν
n, β
n, λ
n und
der Konstanten U
const herangezogen und dann
später
durch eine Proportionalitätskonstante
auf die tatsächliche
Ausgangsspannung U
M des Messwandlers
9 umskaliert
wird. U
const ist eine konstante Spannung,
die ausschließlich
der Verschiebung des Nullpunktes der Ausgangsspannung des Messwandlers
dient. Dadurch wird erreicht, den Anfang eines ausgewählten Messbereiches,
z.B. 0 °C
oder auch 100°C,
in einen definierten Ausgangszustand, z.B. 0 V zubringen, von wo
aus der Messwandler sein Ausgangssignal proportional zur Temperaturänderung
fortsetzt. Gl. 3 ist so normiert, dass E
TH stets
mit der Verstärkung „eins",
also direkt auftritt. Die Terme ν
n∙tanh(β
n+ λ
n∙E
TH) in dem Summenausdruck stellen die hauptsächlichen,
der Erfindung zugrunde liegenden nichtlinearen Korrekturglieder
gemäß der hyperbolischen
Tangensfunktion dar. Mit ihnen, respektive durch geeignete Wahl
der Konstanten ν
n, β
n und λ
n, werden entsprechend schwache oder starke krummlinige
Spannungsverläufe
aus der vom Thermoelement erzeugten Thermospannung Erx generiert
und zu dieser hinzuaddiert, wodurch letzten Endes die gewünschte Umkehrfunktion
zu der zu verarbeitenden Sensorkennlinie synthetisiert wird. Der
Summenausdruck in Gl. 3 deutet an, dass zur Generierung einer Linearisierungsfunktion
beliebig viele solcher Terme vom Typ ν
n∙tanh(β
n+ λ
n∙E
TH) herangezogen werden können. Natürlich sollen es im realen Aufbau
zum Erreichen einer geforderten Genauigkeit nur so wenige wie möglich sein.
Der Schaltungsaufbau in 1 zeigt ein Thermoelement 1,
dessen Leitungsenden an die Eingangsklemmen 2 führen, wo
die Thermospannung ETH, bzw. ein beliebiges
für die
Weiterverarbeitung durch den Messwandler 9 aufbereitetes
Signal, abgenommen wird. Um aus der sehr kleinen Spannung ETH ein für
die elektronische Weiterverarbeitung brauchbar großes Signal
zu machen, folgt ein Spannungsverstärker 3 mit der Verstärkung Ve.
Die Spannung ETH wird bei sämtlichen
Thermoelementen gemäß der Zählrichtung
(Pfeil zwischen den Eingangsklemmen 2) mit steigender Temperatur
zu positiven Werten hin anwachsen, weshalb am Ausgang 8 eine
fallende Gerade mit negativer Steigung ausgegeben wird, wenn Ve
positiv angesetzt wird. Die somit am Ausgang des Spannungsverstärkers 3 entstehende
Spannung VE∙ETH wird über den
Widerstand R auf den Minus-Eingang des Operationsverstärkers 4 geführt, der
als invertierender Stromsummierer arbeitet. Der Gegenkopplungswiderstand
RF liegt zwischen Ausgang und Minus-Eingang
des Operationsverstärkers 4. Außerdem gelangt
das Ausgangssignal des Spannungsverstärkers 3 über N Summierknoten 5,
gefolgt von jeweils einem Verstärker 6.n
mit einer Verstärkung
Vn an den Eingang UIN einer Linearisierungszelle 7.n.
Weiterhin führt
auf je einen Summierknoten 5 eine Spannungsquelle Un. n bezeichne jeweils die Durchnummerierung
der einzelnen Teilelemente der N Linearisierungseinheiten, die jeweils
aus einem Summierknoten 5, einer Spannungsquelle Un, einem
Verstärker 6.n
und einer Linearisierungszelle 7.n bestehen. N gebe die
Gesamtzahl der Linearisierungseinheiten an, womit n zwischen 1 und
N liegt.
In den Linearisierungszellen findet
die schaltungstechnische Umsetzung der Linearisierungsterme aus Gl.
3 statt. Sie wird realisiert durch den Differenzverstärker 15A.
Die Stromausgänge 12 oder 13 des
Differenzverstärkers 15A werden
auf den Minus-Eingang des Operationsverstärkers 4 geführt und
aufsummiert. Die Spannungsquellen U1, U2 bis UN, die über die
Summenknoten 5 und über
die Verstärker 6.1, 6.2 bis 6.N
die Linearisierungszellen 7.1, 7.2 bis 7.N
speisen, dienen, wie weiter unten noch gezeigt wird, zur Einstellung
der Koeffizienten βn aus Gl. 3. Der durch die Spannungsquelle
Uoff und den Widerstand Roff in
den Minus-Eingang eingespeiste Strom dient der oben erläuterten
Nullpunkteinstellung gemäß Uconst.
Es sollen nun an einem Beispiel anhand
(nur) einer Linearisierungszelle die Beziehungen zwischen den Koeffizienten ν
n, β
n, λ
n und
der Konstanten U
const aus Gl. 3 und den
elektrischen Größen des
Messwandlers
9 abgelei tet werden. Dazu soll eine genaue
Beschaltung des Differenzverstärkers
15A festgelegt
werden, da dieser eine Reihe von Beschaltungsoptionen offen lässt, ohne
das „Wesen"
der hyperbolischen Tangensfunktion zu verändern. Beispielsweise können die
Verstärker
6.n
mit Differentialausgängen
ausgestattet sein, welche dann zweckmäßiger Weise den Differenzverstärker
15A unter
Benutzung beider Eingänge
10 und
11 auch differenziell
ansteuern. Genauso wäre
es möglich
einen der beiden Eingänge,
10 oder
11 auf
Ruhepotential zu legen und den Differenzverstärker
15A einseitig
anzusteuern. Je nach gewünschtem
Effekt bzw. Richtung der geforderten Krümmung kann nur einer der beiden
Ausgänge
12 oder
13 als
Ausgang benutzt werden, der andere muss auf Ruhepotential gelegt
werden. Ebenso ist es aber auch möglich mit bekannten Stromspiegeln die
Differenz I
1-I
2 oder
I
2-I
1 der Ausgangsströme zu bilden.
Im Folgenden soll der Eingang
13 auf Bezugspotential (Ground)
und die Stromdifferenz I2-I
1 auf den Minus-Eingang des
Operationsverstärkers
gelegt werden. Damit führt
der Ausgang eines Verstärkers
6.n
auf den Eingang
12 des Differenzverstärkers
15A. Der Eingang U
IN einer Linearisierungszelle
7.n
wird also mit der Spannung U
IN = (E
TH∙V
E + U
n)∙V
n gespeist. Nach Gl. 1a und Gl. 1b ergibt
sich damit für
den Ausgangsstrom Iour einer Linearisierungszelle
7.n der
Zusammenhang
Der Strom I
2-I
1 ruft an den Klemmen
8 die Spannung
-R
F∙(I
2-I
1) (a) hervor.
Die Thermospannung E
TH erzeugt an den Klemmen
8 den
Betrag –R
F/R∙V
E∙E
TH (b) und die Spannungsquelle U
off den
konstanten Betrag –R
F/R
off∙U
off (c). Durch Addition der Terme (a), (b),
und (e) ergibt sich für
die Ausgangsspannung U
M des Messwandlers
9 die
Gleichung
Um Gl. 5 in Gl. 3 für U
'M zu überführen, wird
der Zusammenhang
eingeführt. Dann ergeben sich für U
'M schließlich die zu Gl. 3 äquivalenten
elektrischen Beziehungen.
Damit ergibt sich durch Koeffizientenvergleich:
Dieser Sachverhalt wird in 3 grafisch veranschaulicht.
Das bedeutet, dass bei hinreichend großem oder kleinem βn in
Gl. 3 der Tangens hyperbolicus durch die e-Funktion ersetzt werden
kann. Mitunter können
bei der Bestimmung der Koeffizienten sehr kleine (negative) bzw.
sehr Große
(positive) β-Werte
gefunden werden, was aber bedeutet, dass eigentlich eine e-Funktion
die bessere Wahl für
eine Linearisierung darstellt. Der Tangens hyperbolicus verläuft jedoch
in diesen Arbeitspunkten bereits sehr flach, so dass für eine eventuell
erforderliche starke Krümmung
die ν-Werte
sehr groß werden
müssen.
Wie Gl. 7a zeigt, bedeutet dies wahlweise ein kleines VE oder
große
R- oder ID-Werte. Dies kann in der Praxis
zu ungünstigen
oder schwer realisierbaren Dimensionierungen führen, weshalb es sich als wesentlich
günstiger
erweisen kann, statt des Differenzverstärkers 15A den E-Funktionsgenerator 15B einzusetzen.
Unter Verwendung der Gleichungen Gl. 8a, Gl. 8b, Gl. 2a und Gl.
2b lässt
sich in ähnlicher
Weise, wie oben für
den Differenzverstärker
gezeigt, aus den Koeffizienten νn, βn, λn und der
Konstanten Uconst leicht die Dimensionierung
des E-Funktionsgenerators 15B und damit die des Messwandlers 9 bestimmen.
Um den Temperatureinfluss durch UT der Translinearschaltungen zu eliminieren,
müssen
die Verstärker 6.n
eine zur absoluten Temperatur proportionale Verstärkung bekommen.
Dann würde
die Temperaturabhängigkeit
von βn und λn verschwinden.
Solche Verstärker
können
mit einfachen Mitteln unter Einsatz von beispielsweise NTC-Widerständen, Halbleitersensoren
mit positivem Temperaturkoeffizienten, Pt100/Pt1000-(Platin-) Sensoren
oder PTAT-Schaltungen (Proportional To Absolute Temperature) in
guter bis sehr guter Näherung
realisiert werden.
Die Koeffizienten βn, λn, νn sowie
Uconst können
experimentell in einem mathematischen Iterations- bzw. Probierverfahren
ermittelt werden. Diese sind reelle Zahlen und können für die Erzielung optimaler Linearisierungseffekte
sowohl positive als auch negative Vorzeichen annehmen.
Die in 4 erzielte
Linearisierung U'M (gestrichelte Kurve)
für das
Thermoelement Platin-30%Rhodium/Platin-6%Rhodium (Typ B der DIN EN
60584, Teil 1) wurde mit dem Ansatz nach Gl. 3 mit zwei Linearisierungszellen
erreicht. In 5 ist der
damit erzielte relative Fehlerverlauf über den Temperaturbereich von 200°C bis 1820°C bezogen
auf die Messspanne von 1620 K dargestellt und liegt deutlich unter
0.2%.
6 zeigt
den dazugehörigen
Kennlinienverlauf des Messwandlers 9. Er generiert im Bereich
zwischen 200°C
und 1820°C
die Umkehrfunktion 25 zum Graphen 22. Die linear
abgetragene Eingangsspannung Erx in 6 überstreicht
den gesamten Definitionsbereich des Thermopaares Typ B von 0 bis
ca. 13,8 mV.