DE102019209575A1 - Verfahren zum Verändern einer Oberflächenform mittels Teilchenbestrahlung - Google Patents

Abstract

Ein Verfahren zum Verändern einer Form einer Oberfläche (12) eines Objekts (14) mittels Teilchenbestrahlung umfasst die Schritte: Modellieren des Problems, aus einer Steuerungsgröße (36) eine resultierende Oberflächenformänderung des Objekts zu ermitteln, Ermitteln einer Vorgabe (34) für die Steuerungsgröße (36) der Teilchenbestrahlung aus einer vorgegebenen Solländerung (32) einer Oberflächenform des Objekts durch Bestimmung eines Extremums einer Gütefunktion (38), sowie Einstrahlen von Teilchen auf die Oberfläche des Objekts mit einer der ermittelten Vorgabe (34) für die Steuerungsgröße (36) entsprechenden ortsaufgelösten Wirkungsverteilung (54) zur Erzeugung von lokalen Oberflächenveränderungen an der Oberfläche (12) des Objekts (14), wobei die Bestimmung des Extremums der Lösung einer Eulerschen Gleichung entspricht, die Eulersche Gleichung einen Integraloperator definiert, die Eigenwerte des Integraloperators ermittelt werden, und die Vorgabe (34) eine Linearkombination von endlich vielen Eigenfunktionen des Integraloperators ist.

Description

• Hintergrund der Erfindung
• Die Erfindung betrifft eine Vorrichtung sowie ein Verfahren zum Verändern einer Form einer Oberfläche eines Objekts mittels Teilchenbestrahlung.
• Aus DE102012212199A1 ist beispielsweise eine Oberflächenstrukturierung von mikro- oder nanostrukturierten Bauteilen aus Glas oder Keramik mittels Elektronenbestrahlung bekannt. Dazu kann ein Teilchenstrahl, wie etwa ein Elektronenstrahl, mit einem Durchmesser im Bereich der kleinsten zu erzeugenden Strukturen auf ausgewählte Teilbereiche der Oberfläche gerichtet werden, um eine lokale Verdichtung und somit eine lokale Absenkung der Oberfläche entsprechend der gewünschten Oberflächenstrukturierung zu erzielen. Weiterhin wird eine Bearbeitung eines optischen Elements einer Projektionsbelichtungsanlage für die Mikrolithographie mit einem Elektronenstrahl beschrieben. Durch den Herstellungsprozess bedingte Abbildungsfehler der Projektionsbelichtungsanlage können durch eine geeignet ausgeführte Verdichtung und eine damit einhergehende Änderung der Form der optischen Oberfläche des optischen Elements kompensiert werden. Teilchenstrahlen können neben der beschriebenen Materialverdichtung auch zum direkten Materialabtrag an der Oberfläche des bestrahlten Objekts eingesetzt werden.
• Zur Steuerung der Elektronenbestrahlung wird herkömmlicherweise zunächst eine durch die Bestrahlung in das optische Element einzubringende Energiedosisverteilung bestimmt, die dazu geeignet ist, aufgrund von dadurch hervorgerufenen Materialverdichtungen eine gewünschte Korrektur der Oberflächenform des optischen Elements zu bewirken.
• Die Bestimmung der Energiedosisverteilung erfolgt gemäß dem Stand der Technik durch eine Simulation der Wirkung der eingestrahlten Energiedosisverteilung auf eine Veränderung der Oberflächenform. Ein typisches Problem liegt dabei in der Berücksichtigung der vielfältigen Rand- und Zwangsbedingungen, bedingt durch die Auslegung des Bearbeitungsprozesses und die Charakteristiken der Bearbeitungsvorrichtung. Herkömmliche Bearbeitungsvorrichtungen erreichen daher oft nicht die gewünschte Genauigkeit bei der erzielten Oberflächenformveränderung.
• Zugrunde liegende Aufgabe
• Es ist eine Aufgabe der Erfindung, eine Vorrichtung sowie ein Verfahren zum Verändern einer Form einer Oberfläche eines Objekts mittels Teilchenbestrahlung bereitzustellen, die der Lösung der vorgenannten Probleme dienen, und womit insbesondere eine gewünschte Oberflächenformänderung des Objekts mit hoher Genauigkeit bewirkt werden kann.
• Erfindungsgemäße Lösung
• Die vorgenannte Aufgabe kann erfindungsgemäß beispielsweise gelöst werden mit einem Verfahren zum Verändern einer Form einer Oberfläche eines Objekts mittels Teilchenbestrahlung. Das Verfahren umfasst die Schritte: Modellieren des Problems, aus einer Steuerungsgröße eine resultierende Oberflächenformänderung des Objekts zu ermitteln, Ermitteln einer Vorgabe für die Steuerungsgröße der Teilchenbestrahlung aus einer vorgegebenen Solländerung einer Oberflächenform des Objekts durch Bestimmung eines Extremums einer Gütefunktion, sowie Einstrahlen von Teilchen auf die Oberfläche des Objekts mit einer der ermittelten Vorgabe für die Steuerungsgröße entsprechenden ortsaufgelösten Wirkungsverteilung zur Erzeugung von lokalen Oberflächenveränderungen an der Oberfläche des Objekts. Gemäß des Verfahrens entspricht die Bestimmung des Extremums der Lösung einer Eulerschen Gleichung, definiert die Eulersche Gleichung einen Integraloperator und werden die Eigenwerte des Integraloperators ermittelt. Weiterhin ist die Vorgabe eine Linearkombination von endlich vielen Eigenfunktionen des Integraloperators.
• Gemäß einer Ausführungsform erfolgt bei der Modellierung des Problems, aus einer Steuerungsgröße eine resultierende Oberflächenformänderung des Objekts zu ermitteln, eine Faltung der Steuerungsgröße mit einer das Wirkungspotential einer die Teilchenbestrahlung bewirkenden Teilchenbestrahlungseinrichtung beschreibenden Werkzeugfunktion.
• Gemäß einer weiteren Ausführungsform unterschreiten die Eigenwerte der Eigenfunktionen jeweils einen vorgegebenen Grenzwert nicht. Insbesondere bestehen die Eigenwerte aus positiven, reelen Zahlen.
• Gemäß einer weiteren Ausführungsform entspricht die Größe der Eigenwerte des Integraloperators jeweils einer Effizienz der Teilchenbestrahlungseinrichtung auf die Oberfläche des Objekts in Bezug auf eine jeweils zugeordnete Struktur einer in der Oberfläche zu erzeugenden Formveränderung.
• Gemäß einer weiteren Ausführungsform wird der Integraloperator numerisch als Diagonalmatrix berechnet. Gemäß einer Ausführungsvariante ist die Diagonalmatrix mittels einer das Wirkungspotential der Teilchenbestrahlungseinrichtung beschreibenden Werkzeugfunktion gebildet.
• Gemäß einer weiteren Ausführungsform führt die Modellierung zu einem schlecht gestellten inversen Problem und die Gütefunktion ist dazu konfiguriert, aus einem Bündel an Lösungen des schlecht gestellten inversen Problems eine geeignete Lösung auszuwählen.
• Gemäß einer weiteren Ausführungsform umfasst die Gütefunktion vorgegebene Koeffizienten, welche die ortsaufgelöste Wirkungsverteilung charakterisieren.
• Gemäß einer weiteren Ausführungsform enthält die Gütefunktion eine Tichonov-Regularisierung.
• Gemäß einer weiteren Ausführungsform erfolgt die Optimierung der Gütefunktion auf Grundlage von externen Nebenbedingungen.
• Gemäß einer Ausführugsvariante umfasst die Steuerungsgröße eine Verweilzeit eines Teilchenstrahls auf einem entsprechenden Punkt der Oberfläche während der Bestrahlung und die externen Nebenbedingungen umfassen einen Tiefpassfilter für die Verweilzeit des Teilchenstrahls.
• Gemäß einer weiteren Ausführungsform umfasst die Steuerungsgröße eine Verweilzeit eines Teilchenstrahls auf einem entsprechenden Punkt der Oberfläche während der Bestrahlung und die externen Nebenbedingungen umfassen Gradientenbeschränkungen an die Verweilzeit des Teilchenstrahls.
• Gemäß einer weiteren Ausführungsform werden die Teilchen mit einem vorgegebenen optischen Footprint auf die Oberfläche des Objekts eingestrahlt und Eigenfunktionen, welche den Eigenwerten zugeordnet sind, erfüllen Randbedingungen, welche an den optischen Footprint angepasst sind. Ein optischer Footprint kann in dem Fall, in dem das Objekt als optisches Element einer Belichtungsanlage für die Mikrolithographie konfiguriert ist, als derjenige Bereich der Oberfläche definiert sein, welcher im Betrieb der Belichtungsanlage von Belichtungsstrahlung angestrahlt wird.
• Weiterhin wird gemäß der Erfindung ein Verfahren zur Korrektur eines Projektionsobjektivs einer Belichtungsanlage für die Mikrolithographie bereitgestellt, welches die folgenden Schritte umfasst: Messen eines Wellenfrontfehlers des Projektionsobjektivs, Ausbauen eines ersten optischen Elements des Projektionsobjektivs, Verändern der Form der Oberfläche eines zweiten optischen Elements mittels des Verfahrens gemäß eines der vorausgehenden Ansprüche, sowie Einbauen des zweiten optischen Elements an Stelle des ersten optischen Elements in das Projektionsobjektiv. Das zweite optische Element dient im Projektionsobjektiv insbesondere als Korrekturelement.
• Weiterhin wird gemäß der Erfindung ein optisches Element für ein Projektionsobjektiv einer Belichtungsanlage für die Mikrolithographie mit einer Oberflächenform bereitgestellt. Das optische Element ist hergestellt durch ein Verfahren mit den Schritten: Modellieren des Problems, aus einer Steuerungsgröße eine resultierende Oberflächenformänderung des optischen Elements zu ermitteln, Ermitteln einer Vorgabe für die Steuerungsgröße der Teilchenbestrahlung aus einer vorgegebenen Solländerung einer Oberflächenform des optischen Elements durch Bestimmen eines Extremums einer Gütefunktion, sowie Einstrahlen von Teilchen auf die Oberfläche des optischen Elements mit einer der ermittelten Vorgabe für die Steuerungsgröße entsprechenden ortsaufgelösten Wirkungsverteilung zur Erzeugung von lokalen Oberflächenveränderungen an der Oberfläche des Objekts, wobei die Bestimmung des Extremums der Lösung einer Eulerschen Gleichung entspricht, die Eulersche Gleichung einen Integraloperator definiert, die Eigenwerte des Integraloperators ermittelt werden, und die Vorgabe eine Linearkombination von endlich vielen Eigenfunktionen des Integraloperators ist.
• Das optische Element kann ein per Design zur Ausbildung des Strahlengangs des Projektionsobjektivs vorgesehenes optisches Element in Gestalt einer Linse oder eines Spiegels sein. Alternativ kann das optische Element auch ein Korrekturelement des Projektionsobjektivs in Gestalt einer Platte mit abschnittsweise planparallelen Oberflächen sein.
• Die vorgenannte Aufgabe kann erfindungsgemäß weiterhin beispielsweise gelöst werden mit einer Vorrichtung zum Verändern einer Form einer Oberfläche eines Objekts mittels Teilchenbestrahlung. Diese Vorrichtung umfasst eine Teilchenbestrahlungseinrichtung, welche dazu konfiguriert ist, in Abhängigkeit einer Steuerungsgröße Teilchen auf die Oberfläche des Objekts mit einer ortsaufgelösten Wirkungsverteilung zur Erzeugung von lokalen Oberflächenveränderungen einzustrahlen, sowie eine Steuerungseinrichtung, welche dazu konfiguriert ist, aus einer vorgegebenen Solländerung einer Oberflächenform des Objekts eine Vorgabe für die Steuerungsgröße der Teilchenbestrahlungseinrichtung durch Optimierung mittels einer Gütefunktion zu ermitteln. Die Gütefunktion enthält Eigenwerte eines Operators, welcher sich aus einer Modellierung des Problems, aus der Steuerungsgröße eine resultierende Oberflächenformänderung des Objekts zu ermitteln, ergibt.
• Mit anderen Worten wird aus der Modellierung des Problems, wie sich aus der Steuerungsgröße die Wirkungsverteilung ergibt, der genannte Operator ermittelt. Aus der Lösung des Hilfsproblems, die Eigenwerte des Operators K zu bestimmen, ergibt sich die Gütefunktion. Die Gütefunktion wiederum wird verwendet, um mittels Optimierungsrechnung die Vorgabe für die Steuerungsgröße zu ermitteln. Diese Vorgabe dient der Steuerung der Teilchenbestrahlungseinrichtung zur Erzeugung einer derartigen ortsaufgelösten Wirkungsverteilung der Teilchenbestrahlung, dass an der Oberfläche die vorgegebene Solländerung erzeugt wird. Die Optimierung mittels der Gütefunktion kann durch Optimierung dieser Gütefunktion als einziger Gütefunktion oder durch Optimierung mehrerer Gütefunktionen einschließlich der genannten Gütefunktion erfolgen. Eine Gütefunktion wird oft auch als „Meritfunktion“ oder „Zielfunktion“ bezeichnet.
• Bei der Wirkungsverteilung kann es sich beispielsweise um eine Dichte- und/oder Geschwindigkeitsverteilung der eingestrahlten Teilchen und insbesondere bei geladenen Teilchen, wie etwa Elektronen oder Ionen, um eine Energiedosisverteilung der eingestrahlten Teilchen handeln. Bei der Steuerungsgröße kann es sich beispielsweise um eine Verweilzeit eines Teilchenstrahls auf einem entsprechenden Punkt der Oberfläche während der Bestrahlung, eine Scangeschwindigkeit des Teilchenstrahls oder eine Intensitätseinstellung des Teilchenstrahls handeln.
  Die Oberflächenveränderung des Objekts kann beispielsweise durch Materialabtrag oder lokale Materialverdichtung, sogenannte Kompaktierung, im Objekt erfolgen. Beim zu bearbeitenden Objekt kann es sich um ein optisches Element, wie etwa einen Spiegel oder eine Linse handeln, welcher insbesondere zur Verwendung in einer Projektionsbelichtungsanlage für die Mikrolithograpie, wie etwa einem Projektionsobjektiv oder einem Beleuchtungssystem der Projektionsbelichtungsanlage, vorgesehen ist. Die Projektionsbelichtungsanlage kann insbesondere EUV-Strahlung oder DUV-Strahlung als Belichtungsstrahlung nutzen.
• Die zur Teilchenbestrahlung verwendeten Teilchen können geladene Teilchen sein, insbesondere Ionen oder Elektronen, wie dies bei Anlagen zur IBF-Oberflächenbearbeitung bzw. Elektronenstrahlbearbeitungsanlagen der Fall ist Dabei steht IBF für den englischen Ausdruck „ion beam figuring“. Alternativ können auch nicht geladene Teilchen zum Einsatz kommen. Dabei werden Ionen für dem Auftreffen aus die Oberfläche neutralisiert, um eine Aufladung zu vermeiden.
• Durch die erfindungsgemäße Maßnahme, in der Gütefunktion Eigenwerte eines Operators, welcher sich aus einer Modellierung des Problems ergibt, aus der Steuerungsgröße eine resultierende Oberflächenformänderung des Objekts zu ermitteln, vorzusehen, wird es möglich, die Vorgabe für die Steuerungsgröße der Teilchenbestrahlungseinrichtung durch Optimierung mittels der Gütefunktion mit hoher Präzision zu ermitteln. Die so ermittelte Vorgabe ermöglicht es wiederum, die Teilchenbestrahlungseinrichtung derart zu steuern, dass die gewünschte Oberflächenformänderung am Objekt mit hoher Genauigkeit erzeugt wird.
• Gemäß einer Ausführungsform sind für die Eigenwerte in der Gütefunktion, mittels der die Optimierung erfolgt, feste Werte oder Grenzwerte vorgegeben. Das heißt, die festen Werte bzw. Grenzwerte werden vor Ausführung der mittels der Gütefunktion erfolgenden Optimierung bestimmt.
• Gemäß einer weiteren Ausführungsform definieren die Eigenwerte des Operators jeweils eine Einwirkeffizienz der Teilchenbestrahlungseinrichtung auf die Oberfläche des Objekts in Bezug auf eine jeweils zugeordnete Struktur einer in der Oberfläche zu erzeugenden Formveränderung.
• Gemäß einer weiteren Ausführungsform ist der Operator als Diagonalmatrix konfiguriert. Nach einer Ausführungsvariante ist die Diagonalmatrix mittels einer das Wirkungspotential der Teilchenbestrahlungseinrichtung beschreibenden Werkzeugfunktion gebildet.
• Gemäß einer weiteren Ausführungsform beruht die Modellierung des Problems, aus der Steuerungsgröße eine resultierende Oberflächenformänderung des Objekts zu ermitteln, auf einer Faltung einer das Wirkungspotential der Teilchenbestrahlungseinrichtung beschreibenden Werkzeugfunktion mit der Steuerungsgröße.
• Gemäß einer weiteren Ausführungsform führt die Modellierung zu einem schlecht gestellten inversen Problem und die Gütefunktion ist dazu konfiguriert, aus einem Bündel an Lösungen des schlecht gestellten inversen Problems eine geeignete Lösung auszuwählen. Insbesondere erfolgt die Auswahl der geeigneten Lösung anhand von Rand- und/oder Zwangsbedingugen, d.h. mittels Regularisierung.
• Gemäß einer weiteren Ausführungsform umfasst die Gütefunktion vorgegebene Koeffizienten, welche die ortsaufgelöste Wirkungsverteilung charakterisieren. Das heißt, die Werte der genannten Koeffizienten sind in der Gütefunktion, mittels der die Optimierung erfolgt, vorgegeben.
• Gemäß einer weiteren Ausführungsform enthält die Gütefunktion eine Tichonov-Regularisierung. Wie dem Fachmann bekannt ist, enthält die Gütefunktion bei einer Tichonov-Regularisierung einen sogenannten Bestrafungsterm, welcher dazu dient, bei der Optimierung einem Abweichen der Optimierungsvariablen von einem Ausgangswert entgegenzuwirken.
• Gemäß einer weiteren Ausführungsform erfolgt die Optimierung der Gütefunktion auf Grundlage von externen Nebenbedingungen. Unter einer Nebenbedingung ist eine Rand- und/oder eine Zwangsbedingung zu verstehen. Eine externe Nebenbedingung ist eine Nebenbedingung, welche außerhalb der Gütefunktion beschrieben ist.
• Gemäß einer weiteren Ausführungsform ist die Vorrichtung als Ionenstrahlbearbeitungsanlage konfiguriert. Derartige Ionenstrahlbearbeitungsanlagen sind auch als Anlagen zur IBF-Oberflächenbearbeitung bekannt.
• Gemäß einer weiteren Ausführungsform ist die Vorrichtung als Elektronenstrahlbearbeitungsanlage konfiguriert.
• Weiterhin wird erfindungsgemäß ein Verfahren zum Verändern einer Form einer Oberfläche eines Objekts mittels Teilchenbestrahlung bereitgestellt. Das Verfahren umfasst ein Modellieren des Problems, aus einer Steuerungsgröße eine resultierende Oberflächenformänderung des Objekts zu ermitteln, sowie ein Bestimmen von Eigenwerten eines sich dabei ergebenden Operators. Weiterhin umfasst das Verfahren ein Ermitteln einer Vorgabe für eine Steuerungsgröße der Teilchenbestrahlung aus einer vorgegebenen Solländerung einer Oberflächenform des Objekts durch Optimierung mittels einer Gütefunktion, wobei die Gütefunktion die Eigenwerte des Operators enthält, sowie ein Einstrahlen von Teilchen auf die Oberfläche des Objekts mit einer der ermittelten Vorgabe für die Steuerungsgröße entsprechenden ortsaufgelösten Wirkungsverteilung zur Erzeugung von lokalen Oberflächenveränderungen.
• Gemäß einer Ausführungsform des erfindungsgemäßen Verfahrens ergibt sich die Gütefunktion aus der Bestimmung der Eigenwerte, die mittels der Modellierung des Problems, aus einer Steuerungsgröße eine resultierende Oberflächenformänderung des Objekts zu ermitteln erfolgt.
• Gemäß einer weiteren Ausführungsform erfolgt bei der Modellierung des Problems, aus einer Steuerungsgröße eine resultierende Oberflächenformänderung des Objekts zu ermitteln, eine Faltung der Steuerungsgröße mit einer das Wirkungspotential einer die Teilchenbestrahlung bewirkenden Teilchenbestrahlungseinrichtung beschreibenden Werkzeugfunktion.
• Die bezüglich der vorstehend aufgeführten Ausführungsformen, Ausführungsbeispiele bzw. Ausführungsvarianten, etc. der erfindungsgemäßen Vorrichtung angegebenen Merkmale können entsprechend auf das erfindungsgemäße Verfahren übertragen werden, und umgekehrt. Diese und andere Merkmale der erfindungsgemäßen Ausführungsformen werden in der Figurenbeschreibung und den Ansprüchen erläutert. Die einzelnen Merkmale können entweder separat oder in Kombination als Ausführungsformen der Erfindung verwirklicht werden. Weiterhin können sie vorteilhafte Ausführungsformen beschreiben, die selbstständig schutzfähig sind und deren Schutz ggf. erst während oder nach Anhängigkeit der Anmeldung beansprucht wird.
• Figurenliste
• Die vorstehenden, sowie weitere vorteilhafte Merkmale der Erfindung werden in der nachfolgenden detaillierten Beschreibung beispielhafter erfindungsgemäßer Ausführungsformen unter Bezugnahme auf die beigefügten schematischen Zeichnungen veranschaulicht. Es zeigt:
• 1 ein Ausführungsbeispiel einer Vorrichtung zum Verändern einer Form einer Oberfläche eines Objekts mittels Teilchenbestrahlung in Gestalt einer Elektronenstrahlbearbeitungsvorrichtung mit einer Steuerungseinrichtung, mittels welcher eine Gütefunktion optimiert wird, die Eigenwerte enthält,
• 2 ein Beispiel einer einem Eigenwert λ₁ zugeordneten Eigenfunktion ψ₁,
• 3 ein Beispiel einer einem Eigenwert λ₂ zugeordneten Eigenfunktion ψ₂,
• 4 ein Beispiel einer einem Eigenwert λ₃ zugeordneten Eigenfunktion ψ₃,
• 5 ein Beispiel einer einem Eigenwert λ₆ zugeordneten Eigenfunktion ψ₆, sowie
• 6 ein Beispiel einer einem Eigenwert λ₇ zugeordneten Eigenfunktion ψ₇.
• Detaillierte Beschreibung erfindungsgemäßer Ausführungsbeispiele
• In den nachstehend beschriebenen Ausführungsbeispielen bzw. Ausführungsformen oder Ausführungsvarianten sind funktionell oder strukturell einander ähnliche Elemente soweit wie möglich mit den gleichen oder ähnlichen Bezugszeichen versehen. Daher sollte zum Verständnis der Merkmale der einzelnen Elemente eines bestimmten Ausführungsbeispiels auf die Beschreibung anderer Ausführungsbeispiele oder die allgemeine Beschreibung der Erfindung Bezug genommen werden.
• Zur Erleichterung der Beschreibung ist in 1 ein Koordinatensystem angegeben, aus dem sich die jeweilige Lagebeziehung der in den Figuren dargestellten Komponenten ergibt. Dabei verläuft die x-Richtung nach rechts und die z-Richtung nach oben. Die in 1 angegebenen Formeln betreffen ein der Einfachheit halber auf eine Dimension (x) begrenztes Modell. Daher wird in 1 auf die Angabe der y-Koordinatenachse verzichtet. Bei entsprechender Erweiterung auf ein zweidimensionales Modell (x/y) ist das Koordinatensystem von 1 um die senkrecht zur Zeichenebene verlaufende y-Koordinatenachse zu erweitern.
• In 1 wird ein Ausführungsbeispiel einer Vorrichtung 10 zum Verändern einer Form einer Oberfläche 12 eines Objekts in Gestalt eines optischen Elements 14 mittels Elektronenbestrahlung schematisch dargestellt. Als optisches Element 14 ist exemplarisch ein Spiegel für den EUV-Wellenlängenbereich, d.h. für elektromagnetische Strahlung mit einer Wellenlänge kleiner als 100 nm, insbesondere einer Wellenlänge von etwa 13,5 nm oder etwa 6,7 nm vorgesehen. Dabei kann es sich um einen Spiegel für ein Projektionsobjektiv oder für ein Maskenbeleuchtungssystem einer Projektionsbelichtungsanlage für die EUV-Mikrolithographie handeln. Die Vorrichtung 10 eignet sich aber auch zur hochgenauen Oberflächenformherstellung oder Oberflächenformänderung bei anderen optischen Elementen, wie beispielsweise Spiegel für andere Wellenlängenbereiche, Linsen oder optische Elemente mit diffraktiven Strukturen, oder auch bei Objekten, die kein optisches Element bilden.
• Die Vorrichtung 10 enthält eine Teilchenbestrahlungseinrichtung 16 zur Erzeugung eines auf auswählbare Orte der Oberfläche 12 gerichteten und gebündelten Teilchenstrahls 18. Im veranschaulichten Fall handelt es sich dabei um Elektronen und damit bei der Teilchenbestrahlungseinrichtung 16 um eine Elektronenbestrahlungseinrichtung. In anderen Ausführungsvarianten können auch Ionen, etwa bei Anlagen zur IBF-Oberflächenberarbeitung, oder ungeladene Teilchen zum Einsatz kommen. Bei Verwendung von Ionen werden diese typischerweise nach Beschleunigung im elektrischen Feld vor dem Auftreffen auf die Oberfläche neutralisiert. Der Teilchenstrahl 18 ist insbesondere energetisch derart ausgebildet, dass je nach Energiedosis ein mehr oder weniger stark ausgeprägter lokaler Abtrag bzw. eine mehr oder weniger stark ausgeprägte lokale Kompaktierung des Materials des optischen Elements 14 an der Oberfläche 12 bewirkt wird. Als Energiedosis ist die Energie pro Fläche zu verstehen, welche durch den Teilchenstrahl 18 in das optische Element 14 eingebracht wird. Die Energiedosis ist somit insbesondere von der Verweildauer des Elektronenstrahls am ausgewählten Ort und von dessen Intensität abhängig.
• Sowohl ein Materialabtrag als auch eine lokale Kompaktierung bewirkt eine lokale Absenkung der Oberfläche 12 am optischen Element 14. Eine Kompaktierung tritt insbesondere in amorphen Materialien durch eine Umverteilung von Elektronenbindungen auf. Dabei erfolgt die lokale Kompaktierung in allen Raumrichtungen, d.h. es findet nicht nur eine lokale Oberflächenabsenkung im Bereich eines Flächenelements in negativer z-Richtung sondern auch eine Kompaktierung parallel zur Oberfläche 12 statt. Dabei entstehen parallel zur Oberfläche 12 wirkende Kräfte, wodurch Spannungen in das optische Element 14 induziert werden. Diese Spannungen können eine Verformung eines gegenüber dem von der lokalen Kompaktierung betroffenen Flächenelement wesentlich größeren Oberflächenabschnitts bewirken. Der Oberflächenabschnitt kann einen Teil der Oberfläche 12 oder auch die gesamten Oberfläche 12 umfassen.
• Zur Erzeugung des Teilchenstrahls 18 in Form eines Elektronenstrahls enthält die Teilbestrahlungseinrichtung 16 eine Elektronenquelle 20 und eine Beschleunigungseinheit 22. Als Elektronenquelle 20 kann beispielsweise eine Glühkathode, eine Kristallkathode oder eine Feldemissions-Kathode verwendet werden. Die Beschleunigungseinheit 22 beschleunigt und bündelt die von der Elektronenquelle 20 emittierten Elektronen. Dazu kann die Beschleunigungseinheit 22 eine Anode mit einem gegenüber der Elektronenquelle 20 hohen positiven elektrostatischen Potential und einer kleinen Austrittsöffnung für die beschleunigten Elektronen aufweisen. Zum Bündeln und zum Einstellen der Intensität des Teilchenstrahls 18 enthält die Beschleunigungseinheit 22 ferner eine Steuerelektrode, beispielsweise einen Wehneltzylinder. Die Intensität bzw. der Strahlstrom gibt die Anzahl der Elektronen an, welche pro Zeiteinheit durch eine senkrecht zum Elektronenstrahl gedachte Fläche treten.
• Zum Fokussieren des von der Beschleunigungseinheit 22 kommenden Teilchenstrahls 18 umfasst die Teilchenbestrahlungseinrichtung 16 weiterhin eine Fokussierungseinheit 24 mit geeignet ausgebildeten elektrischen oder magnetischen Komponenten.
• Mit einer Ablenkungseinheit 26 der Teilchenbestrahlungseinrichtung 16 lässt sich der Teilchenstrahl 18 in der auf eine Dimension beschränkten Darstellung gemäß 1 in x- Richtung, allgemein sowohl in x- als auch in y-Richtung ablenken. Hierfür enthält die Ablenkungseinheit 26 ebenfalls geeignet ausgebildete elektrische oder magnetische Komponenten. Je nach Einstellung der Ablenkungseinheit 26 trifft der Teilchenstrahl 18 an einem bestimmten Ort (x gemäß der Darstellung von 1 bzw. allgemein (x, y)) auf die Oberfläche 12 des optischen Elements 14.
• Auf diese Weise lässt sich nacheinander eine Vielzahl von verschiedenen Orten der Oberfläche 12 bestrahlen und somit eine ortsaufgelöste Wirkungsverteilung in Form einer Energiedosisverteilung über die Oberfläche 12 erzielen. Unter der ortsaufgelösten Energiedosisverteilung ist hier eine Verteilung der eingebrachten Energie pro Fläche als Funktion der Oberflächenkoordinate x (allgemein der Oberflächenkoordinate (x, y)) der Oberfläche 12 des optischen Elements 14 zu verstehen. Dabei kann die Bestrahlung beispielsweise rasterartig oder auch kontinuierlich über die gesamte Oberfläche erfolgen. Auch ist eine unregelmäßige oder regelmäßige Anordnung verschiedener zu bestrahlender Orte, etwa in Zeilen, Kreisen, Ellipsen oder dergleichen, möglich.
• Zur Vermeidung einer Absorption der Elektronen des Teilchenstrahls 18 durch Luft weist die Teilchenbestrahlungseinrichtung 16 ferner eine Vakuumkammer auf, in welcher die Elektronenquelle 20, die Beschleunigungseinheit 22, die Fokussierungseinheit 24, die Ablenkeinheit 26 und das optische Element 14 bzw. zumindest die Oberfläche 12 des optischen Elements 14 angeordnet sind.
• Die Vorrichtung 10 enthält weiterhin eine Steuerungseinrichtung 30 zum Steuern der Teilchenbestrahlungseinrichtung 16. Die Steuerungseinrichtung 30 ist dazu ausgebildet, aus einer vorgegebenen Solländerung 32 für die Form der Oberfläche 12 des optischen Elements 14 eine Vorgabe 34 für eine Steuerungsgröße 36 der Teilchenbestrahlungseinrichtung 16 für die Bestrahlung der Oberfläche 12 mit dem Teilchenstrahl 18 zu ermitteln, mit welcher die Solländerung 32 der Form der Oberfläche 12 sehr genau erzielt wird. Die Vorgabe 34 der Steuerungsgröße 36 bewirkt die Erzeugung der vorstehend beschriebenen Wirkungsverteilung in Form der Energiedosisverteilung in geeigneter Ausprägung.
• Zur Bestimmung der Steuerungsgrößenvorgabe 34 ist die Steuerungseinrichtung 30 zum Optimieren einer Gütefunktion 38 konfiguriert. Die Gütefunktion 38 umfasst Eigenwerte 52 eines Operators 48, welcher sich aus einer Modellierung des Problems, aus der Steuerungsgröße 36 eine resultierende Oberflächenformänderung 42 des optischen Elements 14 zu ermitteln, ergibt. Die Modellierung dieses Problems erfolgt mittels einer Modellierungseinrichtung 40. Die Modellierungseinrichtung 40 kann Teil der Vorrichtung 10 sein oder auch eine separate Vorrichtung bilden. In der vorliegenden Ausführungsform ist die Modellierungseinrichtung 40 nicht Teil der Vorrichtung 10.
• Zur Modellierung des Problems wird die Oberflächenformänderung 42 als Faltung 46 einer das Wirkungspotential der Teilchenbestrahlungseinrichtung 16 beschreibenden Werkzeugfunktion 44 mit der Steuerungsgröße 36 beschrieben. Aus der Modellierung ergibt sich ein Operator A und durch Multiplikation desselben mit seinem adjungierten Operator A* der Operator 48 in Form einer Diagonalmatrix. Durch Lösen des mittels der Eigenwertgleichung $$K·{\mathrm{\Psi }}_n\left(x\right)={\lambda }_n\cdot {\mathrm{\Psi }}_n\left(x\right)$$

  

  beschriebenen Eigenwertproblems 50 werden die Eigenwerte 52 bestimmt und an die Steuerungseinrichtung 30 übergeben. In dem Ausdruck (1) bezeichnen K den Operator 48, λ_n die Eigenwerte 52 und ψ_n(x) zugehörige Eigenfunktionen.
• Weiterhin umfasst die Gütefunktion 38 Koeffizienten 54, welche die ortsaufgelöste Wirkungsverteilung des auf die Oberfläche 12 eingestrahlten Teilchenstrahls 18 charakterisieren. Diese Koeffizienten 54 werden ebenfalls von der Modellierungseinrichtung 40 ermittelt und an die Steuerungseinrichtung 30 übermittelt. Nachstehend wird die in 1 dargestellte Ausführungsform des Optimierungsmoduls 30 sowie der Modellierungseinrichtung 40 hinsichtlich Aufbau und Funktionsweise im Detail erläutert.
• In vielen Anwendungen, bei denen Oberflächen 12 mit Hilfe von Teilchenstrahlen 18 bearbeitet werden, hängt die Oberflächenänderung, die durch eine Funktion der Raumkoordinaten dargestellt werden kann, linear von der Aufenthaltszeit des bearbeitenden Werkzeugs, im vorliegenden Fall der Teilchenbestrahlungseinrichtung 16, über der Oberfläche 12 ab.
• Wie bereits vorstehend erwähnt, werden zur Erleichterung der Beschreibung Oberflächenformänderungen 42 entlang nur einer Koordinate x betrachtet. Vorliegend werden die Oberflächenformänderungen 42 mit h(x) bezeichnet. Die Wirkung des Werkzeugs in Gestalt der Teilchenbestrahlungseinrichtung 16 wird durch die sogenannte Werkzeugfunktion 44 charakterisiert, welche mit fw(x) bezeichnet wird, wobei die Oberflächenänderungen, die sich dadurch einstellen, dass das Werkzeug während der die Steuerungsgröße 36 darstellenden Aufenthaltsdauer t(x) über einem Punkt steht, wie folgt als die vorstehend genannte Faltung 46 schreiben lässt: $$h\left(x\right)={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_W\left(x-x\text{'}\right)}t\left(x\text{'}\right)dx\text{'}$$

  
• Es ist zu beachten, dass der Wirkungsbereich des Teilchenstrahls 18 durch Blenden und sonstige Vorrichtungen eingeschränkt werden kann. In diesem Fall muss der Integrationsbereich ebenfalls eingeschränkt werden. Hier wird für die Werkzeugfunktion 44 die folgende Form angesetzt: $$f_{\sigma }\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{e}^{-\frac{x^2}{2{\sigma }^2}}$$

  
• Eine typische Aufgabe in der Oberflächenbearbeitung ist die Berechnung von Maschinensteuerungsvorgaben, wie der Aufenthaltsdauer t(x), aus einer vorgegebenen Solländerung 32 der Oberflächenform, welche nachstehend mit h̃ (x) bezeichnet wird. Typischerweise muss die gewünschte Oberfächenänderung nicht für alle Raumpunkte erzielt werden, sondern für einen bestimmten Bereich, in unserem Fall das Auswerteintervall [-L_f, L_f ]. Wie später deutlich wir, ist es nicht sinnvoll zu versuchen, die Aufenthaltsdauer t(x) durch die Lösung der Gleichung $$\tilde{h}\left(x\right)\mathrm{,,}=\text{'}\text{'}{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_{\sigma }\left(x-x\text{'}\right)t\left(x\text{'}\right)dx\text{'}}$$

  

  zu bestimmen. Es handelt sich dabei um ein typisches inverses Problem, welches im Hadamardschen Sinne schlecht gestellt (englisch: „ill defined“) ist.
• Die einfachste und üblichste Herangehensweise bietet die Methode der kleinsten Quadrate im Sinne der L²-Norm auf dem Raum der quadratisch integrierbaren Funktionen auf dem Auswertebereich [-L_f, L_f ]. Im Prinzip wären auch andere Methoden denkbar, bei welchen die Meritfunktion durch eine L^p-Norm definiert wird, beispielsweise die Methode der kleinsten absoluten Abweichungen mit der L¹-Norm. Diese Varianten werden hier nicht weiter betrachtet. Die übliche quadratische Güte- bzw. Meritfunktion Φ(t) wird definiert über die L²-Norm der Differenz der durch eine Aufenthaltsdauer t(x) erzielten Oberfächenänderung und der gewünschten Oberflächenänderung (h̃(x) - h̃(x)): $${\Vert h-\tilde{h}\Vert }_{L^2\left(\left[-L_f,L_f\right]\right)}^2={\displaystyle {\int }_{-L_f}^{L_f}{\left(h\left(x\right)-\tilde{h}\left(x\right)\right)}^{2}dx}$$

  

  und hat die Form $$\mathrm{\Phi }\left(\left\{t\right\}\right)=\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{-L_f}^{L_f}{\left({\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_{\sigma }\left(x-x\text{'}\right)t\left(x\text{'}\right)dx\text{'}-\tilde{h}\left(x\right)}\right)}^{2}dx.}$$

  
• Es ist zu beachten, dass diese Gütefunktion bis auf eine Konstante definiert ist. Eine Aufenthaltsdauer t(x), die diese Gütefunktion minimiert und eventuell zusätzliche Zwangsbedingungen erfüllt, wird als Lösung des inversen Problems betrachtet.
• Das vorliegende Problem lässt sich auf natürliche Weise mit Hilfe von funktionalanalytischen Begriffen behandeln. Die Wirkung des Werkzeugs, das während der Aufenthaltsdauer t(x) agiert, auf die Oberfläche beschreiben wir mit Hilfe eines Operators A(L_f,σ):L²(ℝ)→L²([-L_f,L_f]): $$\left(A\left(L_f,\sigma \right)t\right)\left(x\right)={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_{\sigma }\left(x-x\text{'}\right){\chi }_{\left[-L_f,L_f\right]}}\left(x\right)dx\text{'},$$

  

  der nur im relevanten Bereich [-L_f, L_f] berücksichtigt wird (X [-L_f, L_f] ist die Indikatorfunktion des Intervalls [-L_f, L_f]). Die Gütefunktion schreibt sich dann als $$\begin{array}{c}\mathrm{\Phi }\left(\left\{t\right\}\right)=\frac{1}{2}{\Vert A\left(L_f,\sigma \right)t-\tilde{h}\Vert }_{L^2\left(\left[-L_f,L_f\right]\right)}^2=\\ =\frac{1}{2}{\langle A*\left(L_f,\sigma \right)A\left(L_f,\sigma \right)t,t\rangle }_{L^2\left(ℝ\right)}-\\ {\langle A*\left(L_f,\sigma \right)\tilde{h},t\rangle }_{L^2\left(ℝ\right)}+\frac{1}{2}{\Vert \tilde{h}\Vert }_{L^2\left(\left[-L_f,L_f\right]\right),}^2\end{array}$$

  

  wobei der adjungierte Operator A*(L_f, σ) : L²([-L_f, L_f]) → L²(ℝ) durch $$\left(A*\left(L_f,\sigma \right)f\right)\left(x\right)={\displaystyle {\int }_{-L}^L{f}_{\sigma }}\left(x-x\text{'}\right){\chi }_{\left[-L_f,L_f\right]}\left(x\text{'}\right)dx\text{'}$$

  

  gegeben ist. Das Extremum der Gütefunktion wird bestimmt durch die Eulersche Gleichung $$A*\left(L_f,\sigma \right)A\left(L_f,\sigma \right)t=A*\left(L_f,\sigma \right)\tilde{h}.$$

  
• Der in 1 auch mit dem Bezugszeichen 48 bezeichnete Operator $$K\left(L_f,\sigma \right)=A*\left(L_f,\sigma \right)A\left(L_f,\sigma \right)$$

  

  ist ein selbstadjungierter Integraloperator mit dem Kern $$\begin{array}{c}{g}_{\sigma }\left(x\text{'},x\text{'}\text{'}\right)={\displaystyle {\int }_{-L_f}^{L_f}{f}_{\sigma }\left(x-x\text{'}\right)}{f}_{\sigma }\left(x-x\text{'}\text{'}\right)dx=\\ =\frac{1}{2\pi {\sigma }^2}{e}^{-\frac{{\left(x\text{'}-x\text{'}\text{'}\right)}^2}{4{\sigma }^2}}{\displaystyle {\int }_{-L_f}^{L_f}{e}^{-\frac{\left(x-\frac{x\text{'}+x\text{'}\text{'}}{2}\right)}{{\sigma }^2}}}dx=\\ \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{4\pi {\sigma }^2}}{e}^{-\frac{{\left(x\text{'}-x\text{'}\text{'}\right)}^2}{4{\sigma }^2}}\left[\text{erf}\left(\frac{x\text{'}+x\text{'}\text{'}+2L_f}{2\sigma }\right)-\text{erf}\left(\frac{x\text{'}+x\text{'}\text{'}-2L_f}{2\sigma }\right)\right].\end{array}$$

  
• Weiterhin ist K(Lf, σ) ein Hilbert-Schmidt-Operator. Für die Lösung der Gleichung (10) muss das (diskrete) Spektrum von K(Lf, σ) bestimmt werden zusammen mit den dazugehörigen Eigenräumen, d.h. die Eigenwerte An werden durch Lösen der mittels der unter dem Ausdruck (1) angegebenen Eigenwertgleichung beschriebenen Eigenwertproblems 50 bestimmt.
• Da K(Lf, σ) strikt positiv im Sinne der geordneten Vektorräume ist, d.h. für beliebige strikt positive Aufenthaltsdauern muss die dazugehörige Änderung strikt positiv sein, ist der größte Eigenwert An von K(Lf, σ) strikt positiv. Die zugehörige Eigenfunktion ψ_n ist ebenfalls strikt positiv, was aus dem Krein-Rutman-Satz folgt. Aus der Y-oungschen Ungleichung folgt die einfache Abschätzung dieses Eigenwerts: $${\mathrm{\lambda }}_1<{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_{\sigma }\left(x\right)dx=1.}$$

  
• Des Weiteren hat K(Lf, σ) keine Spektrallücke, das heißt, lim_n→∞ λ_n = 0.
• In der numerischen Berechnung wird der Kern (Ausdruck (12)) des Operators K(Lf, σ) auf einem endlichen Intervall [-L; L] betrachtet, wobei L viel größer als Lf gewählt wird. Die kontinuierliche x-Koordinate wird durch ein äquidistantes Gitter ersetzt, welches fein genug sein muss.
• Die Eigenfunktion ψ₁ zu dem größten Eigenwert λ₁ ist in 2 dargestellt und strikt positiv (λ₁=0,98883516485, L=10, Lf =7). Am Rande fällt sie auf null ab. Eigenfunktionen höherer Ordnungen zu Eigenwerten λ₂, λ₃,... weisen Oszillationen auf, wobei die Anzahl der Oszillationsperioden mit der Funktionsordnung wächst - siehe 3 und 4 für Eigenfunktionen ψ₂ und ψ₃ zu den Eigenwerten λ₂ (λ₂= 0,9560906702, L=10, Lf =7) und λ₃ (λ₃= 0,90393245233, L=10, Lf =7).
• Im Inneren des Intervalls werden die Eigenfunktionen ψ_n sehr gut durch die SinusFunktionen $\text{sin}\frac{2\mathrm{\pi }}{2L_f}{\omega }_{n}x$

  

  und die Kosinus-Funktionen $\text{cos}\frac{2\mathrm{\pi }}{2L_f}{\omega }_{n}x$

  

  beschrieben, siehe 5 und 6 (Eigenfunktionen ψ₆ und ψ₇ zu den Eigenwerten λ₆= 0,66807975974 sowie λ₇= 0,57777692918). Auf dem Auswertebereich [-L_f, L_f] haben die Eigenfunktionen eine wohldefinierte Parität, mit Frequenzen, die annähernd durch die Formel $${\omega }_n=\left(\frac{1}{2}-\frac{\mathrm{\pi }}{4}\frac{\sigma }{2L_f}\right)n+\dots$$

  

  wiedergeben werden. Die Eigenwerte An lassen sich durch die Formel $${\mathrm{\lambda }}_n=e^{-\alpha \frac{{\sigma }^2}{2L_f}{\omega }_n^2}$$

  

  beschreiben, wobei α ≈ 0,49352.
• Es ist zu beachten, dass „Eigenwerte“ der Weierstrass-Transformation bezüglich der „Eigenfunktionen“ Sinus und Kosinus ein ähnliches (aber kontinuierliches) Spektrum haben: $$W\left(\text{sin }\omega \text{x}\right)=e^{-{\omega }^2}\text{ sin }\omega \text{x}\text{, }W\left(\text{cos }\omega \text{x}\right)=e^{-{\omega }^2}\text{ cos }\omega \text{x}\text{.}$$

  
• Wie aus den vorherigen Ausführungen folgt, fällt das Spektrum des Operators K(Lf, σ) relativ schnell ab, und zwar umso schneller, je größer die Breite σ der Werkzeugfunktion ist. Dies führt dazu, dass bei der Berechnung der direkten Lösungen der Eulerschen Gleichung (10) durch sehr kleine Zahlen geteilt wird. Somit wird keine der drei Hadamardschen Bedingungen erfüllt, d.h.:
1. 1. Das Problem der Aufenthaltszeitbestimmung hat nicht immer einer Lösung im L²-Sinne.
2. 2. Wenn es eine Lösung gibt, so ist sie nicht unbedingt eindeutig bestimmt.
3. 3. Eventuelle Lösungen sind instabil in Bezug auf Änderungen der Eingangsdaten (Vorgaben für die Oberfächenänderungen).
• Man kann das Problem der Aufenthaltszeitbestimmung auf mindestens zwei Weisen regularisieren. Das mathematisch übliche Verfahren ist die Tichonowsche Regularisierung, bei der zu der im Ausdruck (6) aufgeführten Gütefunktion der Zusatzterm $\alpha {\Vert t\Vert }_{L^2\left(ℝ\right)}^2$

  

  hinzugefügt wird: $${\mathrm{\Phi }}_{\alpha }\left(\left\{t\right\}\right)=\frac{1}{2}{\langle A*\left(L_f,\sigma \right)A\left(L_f,\sigma \right)t,t\rangle }_{L^2ℝ}-{\langle A*\left(L_f,\sigma \right)\tilde{h},t\rangle }_{L^2\left(ℝ\right)}+\frac{1}{2}{\Vert \tilde{h}\Vert }_{L^2\left(\left[-L_f,L_f\right]\right)}^2+\alpha {\Vert t\Vert }_{L^2\left(ℝ\right)}^2$$

  
• Der Parameter α verhindert, dass die L² -Norm von Lösungen zu groß wird. Der andere Zugang besteht darin, während der Berechnung der Aufenthaltszeitdauer t(x) deren Zerlegung nach den Basisfunktionen des Operators K(Lf, σ), die wir als ϕ_n(x) ∈ L² (ℝ) bezeichnen, zu verwenden: $$t\left(x\right)={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\alpha }_n{\Phi }_n\left(x\right).}$$

  
• Ebenso werden die Eingangsdaten A*(L_f, σ) h̃ nach Φ_n(x) entwickelt: $$A*\left(L_f,\sigma \right)\cdot \tilde{h}={\displaystyle \sum b_n\cdot {\mathrm{\Phi }}_n\left(x\right)}$$

  
• Die Koeffizienten b_n sind dabei die vorstehend bereits genannten Koeffizienten 54, welche die ortsaufgelöste Wirkungsverteilung des auf die Oberfläche 12 eingestrahlten Teilchenstrahls 18 charakterisieren.
• Die Gütefunktion kann dann als Summe geschrieben werden: $${\mathrm{\Phi }}_{\alpha }\left(\left\{t\right\}\right)={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left[\frac{{\mathrm{\lambda }}_n+\alpha }{2}{\alpha }_n^2-{\alpha }_n{b}_n\right].}$$

  
• In der Praxis wird die Summe ab einer bestimmten Ordnung N abgebrochen, so dass die Gütefunktion eine endliche Summe darstellt: $${\mathrm{\Phi }}_{\alpha }\left(\left\{t\right\}\right)={\displaystyle \sum _{n=1}^N\left[\frac{{\mathrm{\lambda }}_n+\alpha }{2}{\alpha }_n^2-{\alpha }_n{b}_n\right].}$$

  
• Diese Gütefunktion dient nun der Steuerungseinrichtung 30 als Gütefunktion 38 zur Bestimmung der Steuerungsgrößenvorgabe 34, welche in 1 als t̃(x) bezeichnet wird, mittels numerischer Optimierung.
• Die gesuchte Vorgabe t̃(x) der Aufenthaltsdauer kann durch unterschiedliche Zwangsbedingungen eingeschränkt werden. Die physikalisch notwendige Zwangsbedingung ist die Forderung der Positivität der sich ergebenden Aufenthaltsdauer, $${\displaystyle \sum _{n=1}^N{\alpha }_n{\Phi }_n\left(x\right)\ge 0.}$$

  
• Andere Zwangsbedingungen sind denkbar, so zum Beispiel Einschränkungen der Oberfächenänderungen von oben, oder Tiefpassfilter in der Aufenthaltszeit, bedingt durch die Dynamik der bearbeitenden Maschinen. Es ist vorteilhaft, die möglichen technischen Einschränkungen als lineare Zwangsbedingungen zu formulieren.
• Die vorstehende Beschreibung beispielhafter Ausführungsbeispiele, Ausführungsformen bzw. Ausführungsvarianten ist exemplarisch zu verstehen. Die damit erfolgte Offenbarung ermöglicht es dem Fachmann einerseits, die vorliegende Erfindung und die damit verbundenen Vorteile zu verstehen, und umfasst andererseits im Verständnis des Fachmanns auch offensichtliche Abänderungen und Modifikationen der beschriebenen Strukturen und Verfahren. Daher sollen alle derartigen Abänderungen und Modifikationen, insoweit sie in den Rahmen der Erfindung gemäß der Definition in den beigefügten Ansprüchen fallen, sowie Äquivalente vom Schutz der Ansprüche abgedeckt sein.
• Bezugszeichenliste

10

Vorrichtung zum Verändern der Form einer Oberfläche

12

Oberfläche

14

optisches Element

16

Teilchenbestrahlungseinrichtung

18

Teilchenstrahl

20

Elektronenquelle

22

Beschleunigungsseinheit

24

Fokussierungseinheit

26

Ablenkungseinheit

30

Steuerungseinrichtung

32

vorgegebene Solländerung

34

Vorgabe für die Steuerungsgröße

36

Steuerungsgröße

38

Gütefunktion

40

Modellierungseinrichtung

42

Oberflächenformänderung

44

Werkzeugfunktion

46

Faltung

48

Operator

50

Eigenwertproblem

52

Eigenwerte

54

Koeffizienten

• ZITATE ENTHALTEN IN DER BESCHREIBUNG
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• Zitierte Patentliteratur
• DE 102012212199 A1 [0002]

Claims (15)

1. Verfahren zum Verändern einer Form einer Oberfläche (12) eines Objekts (14) mittels Teilchenbestrahlung mit den Schritten: - Modellieren des Problems, aus einer Steuerungsgröße (36) eine resultierende Oberflächenformänderung des Objekts zu ermitteln, - Ermitteln einer Vorgabe (34) für die Steuerungsgröße (36) der Teilchenbestrahlung aus einer vorgegebenen Solländerung (32) einer Oberflächenform des Objekts durch Bestimmung eines Extremums einer Gütefunktion (38), sowie - Einstrahlen von Teilchen auf die Oberfläche des Objekts mit einer der ermittelten Vorgabe (34) für die Steuerungsgröße (36) entsprechenden ortsaufgelösten Wirkungsverteilung (54) zur Erzeugung von lokalen Oberflächenveränderungen an der Oberfläche (12) des Objekts (14), wobei - die Bestimmung des Extremums der Lösung einer Eulerschen Gleichung entspricht, - die Eulersche Gleichung einen Integraloperator definiert, - die Eigenwerte des Integraloperators ermittelt werden, und - die Vorgabe (34) eine Linearkombination von endlich vielen Eigenfunktionen des Integraloperators ist.
2. Verfahren nach Anspruch 1, bei dem bei der Modellierung des Problems, aus einer Steuerungsgröße eine resultierende Oberflächenformänderung des Objekts zu ermitteln, eine Faltung (46) der Steuerungsgröße (36) mit einer das Wirkungspotential einer die Teilchenbestrahlung bewirkenden Teilchenbestrahlungseinrichtung (16) beschreibenden Werkzeugfunktion (44) erfolgt.
3. Verfahren nach Anspruch 1 oder 2, wobei die Eigenwerte der Eigenfunktionen jeweils einen vorgegebenen Grenzwert nicht unterschreiten. (Beschreibung: insbesondere bestehen die Eigenwerte aus positiven, reelen Zahlen)
4. Verfahren nach einem der vorausgehenden Ansprüche, wobei die Größe der Eigenwerte (52) des Integraloperators jeweils einer Effizienz der Teilchenbestrahlungseinrichtung (16) auf die Oberfläche des Objekts in Bezug auf eine jeweils zugeordnete Struktur einer in der Oberfläche (12) zu erzeugenden Formveränderung entspricht.
5. Verfahren nach einem der vorausgehenden Ansprüche, wobei der Integraloperator (48) numerisch als Diagonalmatrix berechnet wird.
6. Verfahren nach Anspruch 5, wobei die Diagonalmatrix mittels einer das Wirkungspotential der Teilchenbestrahlungseinrichtung beschreibenden Werkzeugfunktion (44) gebildet ist.
7. Verfahren nach einem der vorausgehenden Ansprüche, wobei die Modellierung zu einem schlecht gestellten inversen Problem führt und die Gütefunktion (38) dazu konfiguriert ist, aus einem Bündel an Lösungen des schlecht gestellten inversen Problems eine geeignete Lösung auszuwählen.
8. Verfahren nach einem der vorausgehenden Ansprüche, wobei die Gütefunktion (38) vorgegebene Koeffizienten (54) umfasst, welche die ortsaufgelöste Wirkungsverteilung charakterisieren.
9. Verfahren nach einem der vorausgehenden Ansprüche, wobei die Gütefunktion (38) eine Tichonov-Regularisierung enthält.
10. Verfahren nach einem der vorausgehenden Ansprüche, wobei die Optimierung der Gütefunktion (38) auf Grundlage von externen Nebenbedingungen erfolgt.
11. Verfahren nach Anspruch 10, wobei die Steuerungsgröße eine Verweilzeit eines Teilchenstrahls auf einem entsprechenden Punkt der Oberfläche während der Bestrahlung umfasst und die externen Nebenbedingungen einen Tiefpassfilter für die Verweilzeit des Teilchenstrahls umfassen.
12. Verfahren nach Anspruch 10 oder 11, wobei die Steuerungsgröße eine Verweilzeit eines Teilchenstrahls auf einem entsprechenden Punkt der Oberfläche während der Bestrahlung umfasst und die externen Nebenbedingungen Gradientenbeschränkungen an die Verweilzeit des Teilchenstrahls umfassen.
13. Verfahren nach einem der vorausgehenden Ansprüche, wobei die Teilchen mit einem vorgegebenen optischen Footprint auf die Oberfläche des Objekts eingestrahlt werden und Eigenfunktionen, welche den Eigenwerten zugeordnet sind, Randbedingungen erfüllen, welche an den optischen Footprint angepasst sind.
14. Verfahren zur Korrektur eines Projektionsobjektivs einer Belichtungsanlage für die Mikrolithographie, mit den Schritten: - Messen eines Wellenfrontfehlers des Projektionsobjektivs, - Ausbauen eines ersten optischen Elements des Projektionsobjektivs, - Verändern der Form der Oberfläche eines zweiten optischen Elements mittels des Verfahrens gemäß eines der vorausgehenden Ansprüche, sowie - Einbauen des zweiten optischen Elements an Stelle des ersten optischen Elements in das Projektionsobjektiv.
15. Optisches Element für ein Projektionsobjektiv einer Belichtungsanlage für die Mikrolithographie mit einer Oberflächenform, hergestellt durch ein Verfahren mit den Schritten: - Modellieren des Problems, aus einer Steuerungsgröße (36) eine resultierende Oberflächenformänderung des optischen Elements zu ermitteln, - Ermitteln einer Vorgabe (34) für die Steuerungsgröße (36) der Teilchenbestrahlung aus einer vorgegebenen Solländerung (32) einer Oberflächenform des optischen Elements durch Bestimmen eines Extremums einer Gütefunktion (38), sowie - Einstrahlen von Teilchen auf die Oberfläche des optischen Elements mit einer der ermittelten Vorgabe (34) für die Steuerungsgröße (36) entsprechenden ortsaufgelösten Wirkungsverteilung (54) zur Erzeugung von lokalen Oberflächenveränderungen an der Oberfläche des Objekts, wobei - die Bestimmung des Extremums der Lösung einer Eulerschen Gleichung entspricht, - die Eulersche Gleichung einen Integraloperator definiert, - die Eigenwerte des Integraloperators ermittelt werden, und - die Vorgabe eine Linearkombination von endlich vielen Eigenfunktionen des Integraloperators ist.

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