DE102009024130B4

DE102009024130B4 - Verfahren zur echtzeitfähigen Bahnplanung kontinuierlicher, rucksprungfreier Sollwerttrajektorien

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Publication number: DE102009024130B4
Application number: DE200910024130
Authority: DE
Inventors: Arvid Dipl.-Ing. Amthor; Stephan Dipl.-Ing. Zschäk; Christoph Prof. Dr.-Ing. Ament; Andreas Dipl.-Ing. Lorenz; Johannes Dipl.-Ing. Werner
Original assignee: Technische Universitaet Ilmenau
Current assignee: AMENT, CHRISTOPH, PROF. DR.-ING. HABIL, DE; Amthor Arvid Dr Ing De; Lorenz Andreas De; Werner Johannes De; ZSCHAECK, STEPHAN, DE
Priority date: 2009-05-29
Filing date: 2009-05-29
Publication date: 2011-05-12
Anticipated expiration: 2029-05-30
Also published as: WO2010136586A1; DE102009024130A1

Abstract

Verfahren zur echtzeitfähigen Bahnplanung vierter Ordnung zur Generierung kontinuierlicher, rucksprungfreier Sollwerttrajektorien für die kinematischen Parameter Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Ruck und Ruckanstieg unter Berücksichtigung kinematischer Restriktionen umfassend die Schritte:
• Reduktion der Dimension einer dreidimensionalen Sollwerttrajektorie zu einer eindimensionalen Funktion des Bahnortes
• Projektion der kinematischen Restriktionen für die einzelnen Bewegungsachsen auf die eindimensionale Funktion des Bahnortes
• Berechnung der kinematischen Parameter für die eindimensionale Funktion des Bahnortes
• Ermittlung der dreidimensionalen Sollwerttrajektorie für die kinematischen Parameter Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Ruck und Ruckanstieg.

Description

Die vorliegende Erfindung betrifft ein Verfahren zur echtzeitfähigen Bahnplanung vierter Ordnung zur Generierung kontinuierlicher, rucksprungfreier Sollwerttrajektorien. Anwendung findet das erfindungsgemäße Verfahren in der Robotik sowie auch in der Steuerungs- und Automatisierungstechnik.
In den letzten Jahrzehnten wurde eine Reihe von Bahnplanungsalgorithmen dritter und vierter Ordnung veröffentlicht, die geschmeidige Sollwerttrajektorien unter Berücksichtigung von kinematischen Beschränkungen erzeugen. Zum ersten Mal wurde das Ruckprofil von Olomski in eine analytische Trajektorienplanung einbezogen. Das kinematische Verhalten des Systems wird bei diesem Ansatz von einer stückweise konstanten Ruckfunktion bestimmt [1, 2]. Die Trajektorien für Beschleunigung, Geschwindigkeit und Position ergeben sich anschließend durch mehrmalige Integration dieser Ruckfunktion. Hierbei ist charakteristisch, dass das Ruckprofil ein „Bang Bang” Verhalten aufweist und somit die geplanten Trajektorien einen zeitoptimalen Charakter besitzen. Des Weiteren bietet dieser Algorithmus den Vorteil, dass er ausgesprochen recheneffizient arbeitet. Nachteilig wirkt sich jedoch die Tatsache aus, dass das geplante Ruckprofil einen nicht stetigen Verlauf aufweist und ein solches Verhalten niemals technisch realisiert werden kann. Beispielhaft sei hier auf die in [3, 4, 5] vorgestellten Methoden eingegangen, bei denen die Kinematik einer Bewegung auf Basis des Ruckverlaufes (Planung dritter Ordnung) berechnet wird. Dabei setzt sich in [3] das Ruckprofil aus stückweise konstanten Funktionsverläufen zusammen und beinhaltet somit sprungförmige Ruckänderungen. Die Parametrierung erfolgt über ein analytisches Verfahren, was Ähnlichkeiten zu der Methode von Olomski aufweist. Mit dem vorgestellten Verfahren ist es lediglich möglich, die Kinematik einer linearen eindimensionalen Bewegung (nur eine Bewegungsachse) zu planen. Außerdem wird die Planung der Kinematik auf einer Geraden im dreidimensionalen Raum thematisiert. Hier wird vorgeschlagen, die Teilbewegungen der beteiligten Achsen derart zu berechnen, dass alle Teilbewegungen die gleiche Zeitspanne andauern. Das Verschleifen zweier linearer Bahnsegmente soll mit Hilfe von Splinefunktionen realisiert werden. Die kinematischen Profile einer Bewegung auf diesen Verschleifelementen werden analog zum Fall einer linearen Bewegung berechnet. Auch hier wird wieder auf Mechanismen der Zeitdehnung bzw. Zeitraffung der kinematischen Profile zurückgegriffen, um die sowohl betrachteten Bewegungsachsen zu synchronisieren als auch die kinematischen Restriktionen einzuhalten.
Dagegen wird in [4] und der darauf aufbauenden [5] das Ruckprofil aus stückweise quadratischen Funktionen aufgebaut, was auf der Ruckanstiegsebene zu stückweise konstanten Funktionsverläufen führt. Begrenzungen des Ruckanstieges werden hierbei jedoch nicht berücksichtigt. Es wird lediglich die Planung einer geradlinigen Bewegung im kartesischen Koordinatensystem vorgestellt. Die Darstellung der Geraden erfolgt durch eine parametrische Repräsentation der Raumkurve mit Hilfe eines Bahnparameters. Das Planungsproblem kann somit auf die Kinematikplanung des Bahnparameters reduziert werden und dessen Kinematikprofile werden einem Verfahren dritter Ordnung bestimmt. Ungebräuchlich ist eine separate Synchronisation der Bewegungsachsen, da sich die Teilbewegungen der Achsen aus der parametrischen Darstellung automatisch ergeben. Außerdem wird ein Algorithmus vorgestellt, welcher ein kontinuierliches Abfahren mehrerer Wegpunkte ermöglicht. Hierzu werden zwei Geradensegmente mit Hilfe von Polynomen sechster Ordnung verschliffen. Auf diesen Verschleifelementen wird die Einhaltung der kinematischen Beschränkungen in Ruck, Beschleunigung und Geschwindigkeit nicht mehr über das geplante kinematische Profil eines Bahnparameters gewährleistet, sondern über die geschickte Wahl der Länge des Verschleifelementes.
Zusammenfassend kann festgestellt werden, dass die in [3, 4, 5] vorgestellten Methoden das Bahnplanungsproblem nicht geschlossen analytisch betrachten und somit keine rucksprungfreie Bahnplanung über mehrere Wegsegmente hinweg realisiert werden kann. Auch werden radiale Bewegungsanteile bei gekrümmten Raumkurven (hier: Verschleifelemente) bei der Planung nicht berücksichtigt, wodurch die kinematischen Beschränkungen nur in Bewegungsrichtung eingehalten werden. Um dieses Problem zu beheben stellte Sawodny et al. eine Methode vor, die das Ruckprofil aus kubischen Funktionen aufbaut [6, 7]. Alle von dieser Methode erzeugten Trajektorien sind technisch umsetzbar und so kommt es zu keiner ungewollten Anregung mechanischer Resonanzen. Der Vergleich mit der Methode von Olomski zeigt aber, dass die mit diesem Algorithmus geplanten Trajektorien keinen zeitoptimalen Charakter besitzen, denn es können keine Phasen konstanter Beschleunigung realisiert werden. Darüber hinaus ist der rechentechnische Aufwand zur Parametrierung der kubischen Funktionen erheblich höher als bei der Bahnplanung basierend auf einem konstanten Ruckprofil. Zur Vervollständigung sei an dieser Stelle noch der Algorithmus von Li et al. erwähnt, welcher anstatt von kubischen trigonometrische Funktionen zur Erzeugung des Ruckprofils nutzt [8]. Die Eigenschaften dieser Methode entsprechen der des Algorithmus von Sawodny et al. und daher soll auf eine ausführliche Beschreibung verzichtet werden.
Die natürliche Erweiterung der bereits beschriebenen Algorithmen ist eine Bahnplanung vierter Ordnung. Mit dieser ist es möglich zum einen stetige Ruckfunktionen zu erzeugen und gleichzeitig eine zeitoptimale Bewegung zu planen. Lambrechts et al. stellte hierzu eine Methode vor, die ähnlich zu Olomski auf stückweise linearen Ruckanstiegsfunktionen basiert [9, 10]. Die Trajektorien für Ruck, Beschleunigung, Geschwindigkeit und Position ergeben sich auch hier zwangsläufig nach mehrmaliger Integration der Ruckanstiegsfunktion.
Alle bisher vorgestellten Algorithmen sind lediglich in der Lage symmetrische Geschwindigkeitsprofile zu planen. Dieses nicht unerhebliche Defizit hat zur Folge, dass keine Bewegungen mit von Null verschiedenen Start- und/oder Endgeschwindigkeiten realisierbar sind. Somit ist es nicht möglich mehrere verkettete Wegsegmente kontinuierlich zu durchfahren und dabei alle kinematischen Beschränkungen explizit zu berücksichtigen.
Aufgabe der vorliegenden Erfindung ist es deshalb, die Nachteile aus dem Stand der Technik zu überwinden und ein Verfahren zur echtzeitfähigen Bahnplanung vierter Ordnung zur Generierung kontinuierlicher, rucksprungfreier Sollwerttrajektorien für die kinematischen Parameter Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Ruck und Ruckanstieg unter Berücksichtigung kinematischer Restriktionen bereitzustellen.
Erfindungsgemäß gelingt die Lösung dieser Aufgabe mit den Merkmalen des ersten Patentanspruches. Vorteilhafte Ausgestaltungen des erfindungsgemäßen Verfahrens sind in den Unteransprüchen angegeben.
Die Erfindung wird im Folgenden anhand von Zeichnungen näher erläutert. Es zeigen:
1 – Trajektorie mit frenetschem Dreibein
2 – Beispiel einer ruckanstiegsfunktion
3 – Beispiel für den Verlauf von Ruck, Beschleunigung, Geschwindigkeit und Ort
4 – Beispiel für das Verschleifen zweier Strecken
5 – Mögliche Fälle bei der Bestimmung der Übergangsgeschwindigkeiten
6 – Schematische Darstellung zur Bestimmung der Elementübergangsgeschwindigkeiten
7 – Beispiel einer geplanten Trajektorie
8 – Kinematik auf Bahnebene
9 – Kinematik auf der ersten Koordinatenachse
10 – Kinematik auf der zweiten Koordinatenachse
11 – Kinematik auf der dritten Koordinatenachse
Prinzipiell kann das Vorgehen bei der analytischen Bahnplanung in drei Phasen unterteilt werden. Zu Beginn findet eine so genannte Dimensionsreduktion statt. Dies bedeutet, dass die dreidimensionale Trajektorie als Funktion des Bahnortes dargestellt wird und die kinematischen Restriktionen der einzelnen Bewegungsachsen auf die Bahn projiziert werden. Anschließend erfolgt die Kinematikberechnung des Bahnparameters in einer Dimension. Unter Ausnutzung des analytischen Zusammenhangs zwischen dem Bahnparameter und der dreidimensionalen Trajektorie werden im dritten Schritt die kinematischen Trajektorien der einzelnen Bewegungsachsen bestimmt. Dieses Vorgehen bietet den entscheidenden Vorteil, dass sich die Teilbewegungen der einzelnen Maschinenachsen zwangsläufig synchron zu einander verhalten.
Nachfolgend sollen nun die mathematischen Grundlagen für die Dimensionsreduktion sowie die Rückprojektion von eindimensionaler Bahn auf die Bewegungstrajektorien der Maschinenachsen beschrieben werden. Der dazwischenlegende Schritt der Kinematikplanung auf Bahnebene wird anschließend beschrieben.
Um das beschriebene Konzept der analytischen Bahnplanung umzusetzen, muss die Möglichkeit bestehen, von der Bahnkinematik auf die Kinematik der Trajektorie zu schließen. Im Allgemeinen kann diese Umrechnung von Bahn- zur Kurvenkinematik nur dann erfolgen, wenn ein Zusammenhang zwischen dem Bahnort und einem so genannten Kurvenparameter s gefunden werden kann: s → = s →(s) (1.1)
Diese Beziehung bildet die zentrale Grundlage zur analytischen Untersuchung räumlicher Kurven, denn nun kann die folgende allgemeine Betrachtung Anwendung finden.
Ist die Trajektorie in
nach Gleichung (1.1) darstellbar, so kann aus der vektorwertigen Ortsfunktion das sogenannte frenetsche Dreibein inklusive der zugehörigen skalaren Größen Krümmung und Torsion hergeleitet werden. Diese Orthonormalbasis (siehe 1) bildet das allgemeine Fundament zur geschlossenen Beschreibung räumlicher Kurven und wird daher im Folgenden zunächst eingeführt. Zu jedem Punkt einer Trajektorie im
kann nun eine orthonormale Basis aus Tangenten-, Normalen- und Binormalenvektor angegeben werden. 1 zeigt die drei Vektoren, aus denen sich das frenetsche Dreibein zusammensetzt, für einen frei gewählten Punkt auf der abgebildeten Raumkurve. Der erste Pfeil stellt hierbei den Tangentenvektor t → dar, während zweite Pfeil den Normalenvektor n → und der dritte Pfeil den Binormalenvektor b → verkörpert. Der Tangentenvektor t → liegt tangential an der Trajektorie und gibt die momentane Bewegungsrichtung für den untersuchten Kurvenpunkt an. Der Normalenvektor steht senkrecht auf t → und zeigt in die Richtung des Drehzentrums des so genannten Schmiegekreises (vereinfacht entspricht der Schmiegekreis exakt dem Kreis, der die Kurve im untersuchten Punkt berührt bzw. schneidet und die Trajektorie in der Umgebung um diesen Punkt am besten annähert). Geometrisch betrachtet gibt der Normalenvektor somit die Richtung an, in die der Tangentenvektor gedreht werden muss, wenn die Bewegung entlang der Trajektorie fortgesetzt werden soll. Der Binormalenvektor vervollständigt die Orthonormalbasis und verkörpert den Normalenvektor der Ebene, in der sich der Schmiegekreis befindet.
Da der Tangentenvektor die Änderung der Position in Abhängigkeit der zurückgelegten Strecke angibt, kann er als Ableitung der Kurvenfunktion nach s dargestellt werden:
Der Normalenvektor beschreibt die Änderung der Tangentenrichtung pro zurückgelegten Bahnweg und wird daher durch Ableiten des Tangentenvektors nach s und anschließende Normierung gewonnen:
Aus dem Tangenten- und dem Normalenvektor kann der Binormalenvektor durch Berechnung des Kreuzproduktes bestimmt werden: b → = b →(s) = t → × n → (1.4)
Während der Tangentenvektor die Richtung der Bewegung angibt, stellen der Normalen- und der Binormalenvektor gewissermaßen die beiden Freiheitsgrade dar, in welchen sich die Tangentenrichtung ändern kann. Da dieser qualitative Zusammenhang nicht ausreicht, um eine tatsächliche Änderung auch quantitativ beschreiben zu können, müssen die Freiheitsgrade um die Koeffizienten Krümmung κ und Torsion τ ergänzt werden. Da die Krümmung den Betrag der Richtungsänderung der Tangente in Abhängigkeit der Bahnstrecke angibt, gilt: κ = κ(s) = |t →' (1.5)
In Analogie gibt die Torsion den Betrag der Verkippung der Schmiegekreisebene an und kann daher mittels folgender Vorschrift gewonnen werden: τ = τ(s) = |b →'| (1.6)
Neben dieser grundlegenden Definition der Parameter können die Ableitungen (nach s) der einzelnen Basisvektoren auch durch Linearkombinationen der bisher eingeführten Vektoren dargestellt werden. Zur Vervollständigung der Ausführungen können diese sogenannten frenetschen Formeln wie folgt angegeben werden: t →' = κ·n → n →' = τ·b → – κ·t → b →' = –τ·n → (1.7)
Die Begründung, dass das frenetsche Dreibein die Grundlage für eine geschlossene Beschreibung räumlicher Kurven darstellt, liefert die nun folgende Herleitung der Trajektorienkinematik.
In Analogie zum eindimensionalen Fall geht auch für eine vektorwertige Ortsfunktion die Geschwindigkeit aus deren zeitlicher Ableitung hervor. Die Differentiation von Gleichung (1.1) nach der Zeit ergibt den folgenden Zusammenhang:
Wird Gleichung (1.8) erneut nach der Zeit abgeleitet, ergibt die folgende Berechnungsvorschrift für die Kurvenbeschleunigung:
Entsprechend führen zwei weitere Differentiationsschritte zu den Berechnungsvorschriften der vektorwertigen Funktionen des Kurvenrucks und des Kurvenruckanstiegs: j → + b →κτv³ + n →(κ'v³ + 3κva) + t →·(j – κ²v³) (1.10) d → = b →·(6κrv²a + 2·κ'τv⁴ + κ'τv⁴) + n →·(3κa²+ 4κvj – κ³v⁴ – κτ²v⁴ + 6κ'v²·a + κⁿv⁴) + t →·(d – 6κ²v²a – 3κκ'v⁴) (1.11)
Durch die Gleichungen (1.8) bis (1.11) stellen nun vektorwertige Funktionen für alle untersuchten kinematischen Größen zur Verfügung. Mittels dieser Berechnungsvorschriften kann zu jedem Zeitpunkt durch Einsetzen der durch die Bahnplanung ermittelten skalaren Bahngrößen v, a, j, d die Umrechnung in die Kinematik der Trajektorie erfolgen. Zusammenfassend kann festgestellt werden, dass mit Hilfe der frenetschen Formeln eine geschlossen analytische Umrechnung von der Bewegung des Bahnparameters in die korrespondierenden Größen der Kurve durchgeführt werden kann, falls die Trajektorie der Gleichung (1.1) genügt und eine mehrmalige Differenziation nach s gelingt.
Im Folgenden werden die hergeleiteten Beziehungen auf die dreidimensionalen Kurven Gerade und Kreis angewendet, denn der in diesem Kapitel vorgestellte Bahnplanungsalgorithmus nutzt diese Trajektorien als Basiselemente.
Eine beliebige Strecke kann durch einen Start- und einen Endpunkt festgelegt werden. Wie aus der Geometrie bekannt ist, kann die resultierende Gerade im
folgendermaßen dargestellt werden: s → = s → + λ·(s →_ziel – s →_start) (1.12)
Nach Gleichung (1.12) ist der Ortsvektor jedes auf dieser Geraden liegenden Punktes s → darstellbar als Summe des Ortsvektors eines so genannten Aufpunktes s →_start und einem Vielfachen λ des Richtungsvektors (s →_ziel – s →_start). Der notwendige Zusammenhang zwischen Bahn- und Trajektorienplanung kann also hergestellt werden, wenn der Bahnort s in Abhängigkeit des Kurvenparameters λ ausgedrückt werden kann. Es ist leicht nachvollziehbar, dass der zu s = s_start = 0 korrespondierende Wert für λ ebenfalls 0 sein muss. Der Endpunkt der Strecke entspricht einem λ von 1 und einem Bahnweg von s →_ziel. Eine
Division durch s →_ziel liefert die notwendige Neuskalierung des Wertebereichs für s. Somit kann Gleichung (1.12) in die folgende Darstellung überführt werden:
Mit Gleichung (1.13) ist nun eine Beziehung zwischen dem Bahnort s und der Strecke s hergeleitet worden. Somit kann zu jedem Zeitpunkt ein durch die Bahnplanung vorgegebener Bahnort in den korrespondierenden Punkt im
ungerechnet werden.
Mit Gleichung (1.13) ist die Vorraussetzung geschaffen worden die frenetschen Formeln für das Basiselement Strecke anwenden zu können. Durch einmalige Ableitung der Gleichung (1.13) nach dem Bahnort ergibt sich folgender Zusammenhang:
Es ist zu sehen, dass der resultierende Tangentialvektor eine konstante vektorwertige Funktion darstellt. Hier wird deutlich, dass die Tangente mit dem normierten Richtungsvektor der Strecke übereinstimmt, der im Folgenden verkürzt als r →_s bezeichnet werden soll. Aus der Funktion des Tangentenvektors kann durch erneute Differentiation der Normalenvektor bestimmt werden. Da die Tangente als konstante Funktion keinerlei Abhängigkeit von s aufweist, führt dieser Ableitungsschritt zu einem Nullvektor. Auch die anschließende Berechnung des Kreuzproduktes aus t → und n → hat einen Nullvektor zum Ergebnis. Dies kann wie folgt zusammengefasst werden: n → = t →' = r →'_s = 0 → (1.15) b → = t → × n → = r →_s × 0 → = 0 → (1.16)
Unter Kenntnis dieser drei Vektoren gelingen auch die Berechnung der Krümmung und der Torsion:
Durch Einsetzen der Gleichungen (1.14) bis (1.18) in die Berechnungsvorschriften (1.8) bis (1.11) können die folgenden Zusammenhänge ermittelt werden: v → = r →_s·v (1.19) a → = r →_s·a (1.20) j → = r →_s·j (1.21) d → = r →_s·d (1.22)
Hier ist zu sehen, dass für geradlinige Kurvenformen aufgrund des Wegfalls von Normalenvektor, Binormalenvektor, Krümmung und Torsion die Trajektorienkinematik durch eine einfache Multiplikation der jeweiligen Bahngröße mit dem normierten Richtungsvektor berechnet werden kann.
In ähnlicher Art und Weise kann auch für den Kreisbogen als weitere einfache Basiskurve eine Umrechnung erfolgen. Grundsätzlich legt folgende Gleichung einen Kreis im Raum fest: s → = s →_mitte + R(φ)·(s →_start – s →_mitte) (1. 23)
Es ist zu erkennen, dass jeder Punkt s → auf dem Kreisbogen durch eine Rotation R des Radiusvektors (s →_start – s →_mitte) um einen Winkel φ und anschließende Addition des Kreismittelpunktes s →_mitte bestimmt werden kann. Da die Rotationsachse eines Kreisbogens konstant bleibt, ist R nur vom Drehwinkel φ abhängig, der somit auch als Kurvenparameter angesehen werden kann. Die Umrechnung zwischen dem Bahnort s auf dem Kreisbogen und dem Kurvenparameter φ kann durch einen einfachen Dreisatz erfolgen und führt zu folgendem Zusammenhang:
Auch hier können nun die frenetschen Formeln Anwendung finden. Die Rotationsmatrix des
wird durch eine normierte Drehachse r →_a = (r_a,x r_a,y r_a,z)^T und einen Drehwinkel φ wie folgt berechnet:
Nun können anhand der Gleichung (1.24) nach Einsetzen von (1.25) die einzelnen Differentiationsschritte zur Berechnung der frenetschen Formeln durchgeführt werden. Da es sich bei einem Kreis aber um eine ebene Raumkurve handelt, kann durch eine Koordinatentransformation der Berechnungsaufwand erheblich reduziert werden. Unter Nutzung dieses Zusammenhangs kann die Berechnung einer ebenen Trajektorie in
durch entsprechende Transformationen auf einen Entwurf im
reduziert werden. Das Ergebnis kann anschließend wiederum mittels der inversen Transformation in die korrekte Lage im
projiziert werden.
Die Basistransformation kann wie folgt formuliert werden:
Somit ergeben sich die folgenden transformierten Kreisparameter:
Der Umstand, dass es sich bei den neuen Größen um Transformierte der ursprünglich gegebenen Vektoren handelt, soll durch die Tilde über den Bezeichnern verdeutlichen. Nach der erfolgten Transformation liegt nun der Kreismittelpunkt im Ursprung, während die Drehachse mit der z ~-Achse zusammenfällt. Der Startpunkt der Drehung liegt auf der x ~-Achse und die Länge des Radiusvektors |s →_start – s →_mitte| wird nunmehr mit dem Formelzeichen r benannt.
Durch die Transformation ergibt sich für die Funktion des Kurvenorts
und für die transformierte Rotationsmatrix
Durch Ableitung der Gleichung (1.31) kann der Tangentenvektor im transformierten Koordinatensystem ermittelt werden:
Ein weiterer Differenziationsschritt liefert den Normalenvektor des Kreisbogens im transformierten Koordinatensystem:
Durch Berechnung des Kreuzproduktes aus
kann nun auch der Binormalenvektor bestimmt werden:
Auf Basis der Gleichungen (1.32) bis (1.34) besteht die Möglichkeit, die folgenden Werte für die Krümmung und die Torsion zu ermitteln:
Die Herleitung liefert ein konstantes κ, das dem Kehrwert des Kreisradius r entspricht und somit exakt mit der allgemeinen Definition der Kreiskrümmung übereinstimmt. Da der Kreisbogen eine ebene Kurve darstellt, findet keine Verkippung der entsprechenden Ebenennormalen statt und die Torsion entfällt. Es sei an dieser Stelle auch angemerkt, dass die beiden Koeffizienten κ sowie τ skalare Größen darstellen und daher die Transformation des Koordinatensystems auf deren Wert keine Auswirkung hat. Aus diesem Grund behalten beide Größen auch im originalen Koordinatensystem ihre Gültigkeit, was am Fehlen der Tilde zu erkennen ist.
sDurch Einsetzen der bestimmten Vektoren des frenetschen Dreibeins und der Koeffizienten κ und τ in die Gleichungen (1.8) bis (1.11) kann die Trajektorienkinematik für den Kreis angegeben werden:
Diese vier vektorwertigen Funktionen bilden nun die Berechnungsgrundlage für die kinematischen Größen Geschwindigkeit, Beschleunigung, Ruck und Ruckanstieg des Kreises. Da die Gleichungen (1.37) bis (1.40) jedoch nur im transformierten Koordinatensystem Gültigkeit besitzen, müssen die Ergebnisse mittels der entsprechenden inversen Transformation zurück in das Ausgangskoordinatensystem überführt werden:
Im Gegensatz zu den Ortsvektoren bestehen die kinematischen Größen ausschließlich aus Richtungsvektoren, für die nur die rotatorische Modifikation rückgängig gemacht werden muss. Somit kann die translatorische Verschiebung bei der Rücktransformation entfallen und es ergibt sich:
Mit Hilfe der beschriebenen Berechnungsvorschriften ist eine direkte Umrechnung von Bahnkinematik auf die korrespondierende Trajektorienkinematik für die Strecke und den Kreis möglich. Voraussetzung für die Anwendbarkeit ist eine Darstellung der Trajektorie als eine mindestens dreimalig differenzierbare vektorwertige Funktion des Bahnortes s. Somit kann nach der Kinematikplanung von s auf die entsprechende Kinamatik der Trajektorie zurückgerechnet werden. Bevor aber die Kinematikplanung auf Bahnebene begonnen werden kann, müssen die gültigen kinematischen Restriktionen bestimmt werden.
Auf Grundlage der Gleichungen (1.19) bis (1.22) kann die Bestimmung der Restriktionen auf Bahnebene erfolgen. Das grundsätzliche Problem hierbei ist die Festlegung von gültigen Intervallen für die kinematischen Bahngrößen, so dass die Achsrestriktionen nicht verletzt werden. Dies kann folgendermaßen veranschaulicht werden: –v →_max ≤ r →_s·v ≤ v →_max ∀v∊[–v_max, v_max] (2.1) –a →_max ≤ r →_s·a ≤ a →_max ∀a∊[–a_max, a_max] (2.2) –j →_max ≤ r →_s·j ≤ j →_max ∀j∊[–j_max, j_max] (2.3) –d →_max ≤ r →_s·d ≤ d →_max ∀d∊[–d_max, d_max] (2.4)
Um den Lösungsweg zu verdeutlichen, sind einige Umformungen nötig, die im Folgenden exemplarisch am Beispiel der Geschwindigkeit gezeigt werden. Zunächst ist es sinnvoll, die Vektorschreibweise in (2.1) durch die explizite Darstellung der Komponenten zu ersetzen und jede Dimension in einer separaten doppelten Ungleichung auszudrücken: –v_max,x ≤ r_s,x·v ≤ v_max,x ∀v∊[–v_max, v_max] (2.5) –v_max,y ≤ r_s,y·v ≤ v_max,y ∀v∊[–v_max, v_max] (2.6) –v_max,z ≤ r_s,z·v ≤ v_max,z ∀v∊[–v_max, v_max] (2.7)
Durch Anwendung der Betragsfunktion ist es möglich, diese drei Ungleichungen zu vereinfachen und nach v umzustellen. Da der Bahnplanungsalgorithmus sichergestellt, dass durch die Parametrierung mit v_max die Geschwindigkeitsfunktion das Intervall [–v_max, v_max] nicht verlässt, kann v durch die Bahnrestriktion v_max ersetzt werden. Durch diese Umformungen entstehen die folgenden drei oberen Schranken für die maximal zulässige Bahngeschwindigkeit:
v_max ist nun der größte Wert, der alle drei Ungleichungen erfüllt:
In gleicher Art und Weise können die Bahnrestriktionen für die Beschleunigung, den Ruck und den Ruckanstieg bestimmt werden:
Mittels der Gleichungen (2.11) bis (2.14) ist eine Berechnung der Bahnrestriktionen auf Grundlage des Richtungsvektors der Strecke und der Achsenrestriktionen möglich.
Analog zum Beispiel der Strecke kann auch für den Kreis die Einhaltung der Achsenrestriktionen durch vier doppelte Ungleichungen veranschaulicht werden:
Da die inverse Transformationsmatrix T –1 / r eine Rotationsmatrix darstellt, erfordert dies nach Gleichung (1.25) eine Vielzahl trigonometrischer Berechnungen. Durch die Multiplikation mit der transformierten vektorwertigen Kinematik, die ebenfalls Sinus- und Cosinusfunktionen enthält, entstehen für den Kreisbogen wesentlich komplexere Ausdrücke innerhalb der Ungleichungen (2.15) bis (2.18). Darüber hinaus enthalten die einzelnen Ungleichungen nicht mehr ausschließlich die jeweils zugehörige Bahngröße. Diese beiden Sachverhalte führen dazu, dass es für den Kreisbogen nicht gelingt, mittels einiger Umformungen die Bahnrestriktionen direkt zu bestimmen. Zur Lösung dieses weitaus komplexeren Problems wurde ein alternativer numerischer Lösungsansatz gewählt, der im Folgenden kurz skizziert werden soll.
Erster Lösungsschritt: Berechnung der Vektorlängen Die Basis für den angedeuteten Lösungsweg bildet die Tatsache, dass mittels der Gleichungen (1.42) bis (1.45) eine Berechnung der Länge des jeweiligen resultierenden Kinematikvektors ohne Anwendung trigonometrischer Funktionen möglich ist. Wie bereits erläutert wurde, stehen die Vektoren t → und n → senkrecht aufeinander und stellen normierte Basisvektoren dar. Diese werden durch die Koeffizienten in den Gleichungen (1.37) bis (1.40) skaliert. Somit entsteht ein rechtwinkliges Dreieck, in dem die skalierten Basisvektoren die Katheten darstellen, während das Ergebnis der Vektoraddition die Hypotenuse bildet. Unter Nutzung dieses Zusammenhangs ist es möglich, mithilfe des Satzes des Pythagoras die Länge der resultierenden Kinematikvektoren zu bestimmen:
Zweiter Lösungsschritt: Abschätzung der Vektorlängen
Um aus den Gleichungen (2.19) bis (2.22) eine Aussage über die maximal zulässigen Restriktionen auf Bahnebene zu treffen, muss zunächst eine Abschätzung der oberen Schranke erfolgen. Dass heißt, dass für jede kinematische Größe die maximal zulässige Vektorlänge bestimmt werden muss, die beliebig in der Kreisebene gedreht werden kann, ohne dabei eine Verletzung der jeweiligen Achsenrestriktionen hervorzurufen. Diese Schranken können ermittelt werden, indem zunächst die Schnittgeraden der Kreisebene mit den drei Koordinatenebenen gebildet werden. Die zugehörigen normierten Richtungsvektoren stellen genau die Richtungen dar, die potentiell zuerst eine Verletzung der Achsenbeschränkungen hervorrufen. Analog zur Restriktionsbestimmung der Strecke können für jeden dieser Richtungsvektoren obere Schranken für die maximal zulässigen Vektorlängen bestimmt werden. Die Auswahl des jeweils kleinsten Wertes liefert daraufhin die maximal zulässige Vektorlänge für jede kinematische Größe. Daher können die maximal zulässigen Vektorlängen als bekannt angenommen und die Berechnungen in (2.19) bis (2.22) entsprechend umgeformt werden:
Wie bei der Strecke gilt auch hier, dass der Wertebereich der kinematischen Bahngrößen durch die jeweiligen Restriktionen beschränkt ist. Somit kann die Bestimmung der Bahnbeschränkungen durch Lösen dieses Ungleichungssystems erfolgen, wobei die zugrundeliegenden Bahngrößen aus dem zulässigen Intervall gewählt werden müssen.
Dritter Lösungsschritt: Skalierung der Schranken
Da die Achsenrestriktionen ein bestimmtes Verhältnis der einzelnen kinematischen Größen zueinander vorgeben und demzufolge ein entsprechendes Dynamikverhalten erwarten lassen, wäre es wünschenswert, dieses Verhalten auch auf die Bahnrestriktionen übertragen zu können. Zu diesem Zweck kann ein Skalierungsfaktor x eingeführt werden, der eine gleichzeitige Skalierung aller Bahnrestriktionen gewährleistet. Formal kann dieser Zusammenhang beschrieben werden, indem die maximal zulässigen Bahngrößen durch die skalierten oberen Schranken der Vektorlängen ausgedrückt werden: v_max = x·v ^_max (2.27) a_max = x·a ^_max (2.28) j_max = x·j ^_max (2.29)
Die Zielstellung der folgenden Ausführungen besteht nun nicht mehr darin, die eigentlichen Bahnrestriktionen zu bestimmen, sondern es muss an deren Stelle lediglich der Skalierungsfaktor ermittelt werden. Auf dieser Basis kann die Untersuchung von Ungleichung (2.23) stattfinden. Im Sinne einer Worst-Case-Betrachtung kann die linke Seite dieser Ungleichung maximiert werden, indem v durch den größtmöglichen zulässigen Wert x·v_max ersetzt wird. Da sowohl x als auch v_max positive reelle Werte darstellen, kann diese Gleichung problemlos nach x umgestellt werden: x ≤ 1 (2.32)
In der gleichen Art und Weise kann nun auch die Ungleichung (2.24) untersucht werden. Nach Einsetzen der Worst-Case-Werte v = x·v ^_max sowie a = x·â_max und Umstellen nach x entsteht die folgende Ungleichung:
Der kleinere Wert für x aus den Gleichungen (2.32) und (2.33) begrenzt somit den zulässigen Wertebereich für x nach oben. Die beiden zur Untersuchung verbleibenden Ungleichungen (2.25) und (2.26) können aufgrund ihrer Gestalt nur numerisch gelöst werden.
Vierter Lösungsschritt: Formulierung der Optimierungsprobleme Im Folgenden sollen aus Platzgründen lediglich die Optimierungsprobleme (OP) zur Lösung der Ungleichungen (2.25) und (2.26) formuliert werden. Ungleichung (2.25) kann gelöst werden durch:
Die anschließende Division der optimalen Zielfunktionswerte durch die entsprechenden Schranken liefert drei möglicherweise unterschiedliche Skalierungsfaktoren, von denen der kleinste die Lösung darstellt:
Gleichermaßen kann auch Ungleichung (2.26) gelöst werden. Da nun alle kinematischen Größen Bestandteil der Ungleichung sind, müssen folglich auch vier Optimierungsschritte durchgeführt werden. Die Problemstellung kann folgendermaßen formuliert werden:
Auf Basis der so bestimmten optimalen Werte für die maximale Ausdehnung der Lösung in jeder Koordinatenrichtung kann auch hier die zulässige Skalierung mittels Auswahl des kleinsten Quotienten ermittelt werden:
An dieser Stelle liegen nun vier obere Schranken für den Skalierungsfaktor x vor. Die globale Obergrenze für x ist folglich der kleinste dieser vier Werte. Durch Einsetzen des Skalierungsfaktors in die Gleichungen (2.27) bis (2.30) können anschließend die gültigen Bahnrestriktionen abgelesen werden.
Im Folgenden wird die eindimensionale Kinematikplanung des Bahnparameters vorgestellt. Im Allgemeinen besteht das Ziel dieser Planungskomponente darin, in einer Dimension und unter Einhaltung vorgegebener Restriktionen eine festgelegte Bahnstrecke möglichst zeitoptimal zurückzulegen. Des Weiteren ist es Aufgabe der Bahnplanung, auch Qualitätsanforderungen an die Kinematikfunktionen, etwa bezüglich deren Stetigkeit und Differenzierbarkeit, zu berücksichtigen.
Zur Behebung der erwähnten Nachteile aus dem Stand der Technik wurde eine Bahnplanungsmethode vierter Ordnung entwickelt. Ziel des im Folgenden vorgestellten Verfahrens ist es, ein sequentielles Maximieren der kinematischen Größen nach dem Vorbild der Konstant-Ruck-Methode zu ermöglichen. Darüber wurde ein Algorithmus entwickelt, der es erlaubt die Gesamtdynamik der Positionierung über mehrere Wegsegmente hinweg zu steigern. Dies ist nur möglich, wenn das kinematische System nicht an jedem Übergangspunkt zwischen den einzelnen Wegteilen zum Stillstand kommen muss. Dies kann erreicht werden, indem die Übergänge verschliffen werden, was heißt, dass Richtungsänderungen langsam und kontinuierlich stattfinden und so mit relativ hoher Geschwindigkeit durchfahren werden können. Für den im Folgenden herzuleitenden Bahnplanungsalgorithmus hat dies jedoch zur Folge, dass es möglich sein muss mit beliebigen Start- und/oder Endgeschwindigkeiten in ein Streckengrundelement ein- bzw. auszutreten.
Zum Beginn der Herleitung stetig differenzierbarer Funktionen für die Größen Ruck, Beschleunigung, Geschwindigkeit und Ort wird folgende stetige Ruckanstiegsfunktion mitsamt der zugehörigen Restriktion neu eingeführt:

Nach mehrmaliger Integration ergeben sich daraus stetig differenzierbare Funktionsverläufe aller kinematischer Größen. Aus Gründen der Übersichtlichkeit wurden die Intervallgrenzen dieser stückweise definierten Ruckanstiegsfunktion verkürzt dargestellt. Tabelle 1: Grenzen der Intervalle I1 bis I15

Intervall	Intervallgrenzen
I1	0 ≤ t ≤ T₁
I2	T₁ ≤ t ≤ T₁ + T₂
I3	T₁ + T₂ ≤ t ≤ 2T₁ + T₂
I4	2T₁ + T₂ ≤ t ≤ 2T₁ + T₂+ T₃
I5	2T₁+ T₂+ T₃ ≤ t ≤ 3T₁+ T₂+ T₃
I6	3T₁ + T₂+ T₃ ≤ t ≤ 3T₁+ 2T₂+ T₃
I7	3T₁+ 2T₂ + T₃ ≤ t ≤ 4T₁+ 2T₂ +T₃
I8	4T₁+ 2T₂+ T₃ ≤ t ≤ 4T₁+ 2T₂+ T₃+ T₄
I9	4T₁+ 2T₂+ T₃+ T₄≤ t ≤ 4T₁+ 2T₂+ T₃+T₄+ T₅
I10	4T₁+ 2T₂+ T₃+ T₄+ T₅ ≤ t ≤ 4T₁+ 2T₂+ T₃+ T₄+ T₅+ T₆
I11	4T₁+ 2T₂+ T₃+ T₄+ T₅ + T₆ ≤ t ≤ 4T₁ + 2T₂+ T₃+ 2T₄+ 2T₅+ T₆
I12	4T₁+ 2T₂+ T₃ + T₄+ 2T₅ + T₆ ≤ t ≤ 4T₁+ 2T₂+ T₃+ T₄+ 2T₅+ T₆+ T₇
I13	4T₁+ 2T₂+ T₃+ T₄+ 2T₅+ T₆+ T₇ ≤ t ≤ 4T₁ + 2T₂ + T₃ + T₄ + 3T₅ + T₆ + T₇
I14	4T₁+ 2T₂ +T₃ + T₄ + 3T₅+ T₆+ T₇ ≤ t ≤ 4T₁+ 2T₂+ T₃ + T₄+ 3T₅+ 2T₆ + T₇
I15	4T₁ + 2T₂ + T₃+ T₄ + 3T₅+ 2T₆ + T₇ ≤ t ≤ 4T₁ + 2T₂ + T₃ + T₄ + 4T₅ + 2T₆ + T₇

In Tabelle 1 werden den Intervallbezeichnern I1 bis I15 die jeweiligen Schranken zugeordnet. Anhand der Berechnungsvorschrift (3.1) und der Tabelle 1 ist eine Unterteilung der Funktion in fünfzehn Teilbereiche erkennbar.
Die Konstanten T₁ bis T₇ stehen dabei symbolisch für die sieben auftretenden grundlegenden Intervallbreiten, aus denen sich die tatsächliche Segmentierung des Definitionsbereichs ergibt. Diese sieben Werte können a priori für jedes Wegsegment bestimmt werden und bleiben danach unveränderlich. Die Berechnung von T₁ bis T₇ geschieht auf Basis der gegebenen Restriktionen und der Weglänge. Bei näherer Untersuchung der Gleichung (3.1) fällt auf, dass die Teilfunktionen in den ungerade nummerierten Intervallen Polynome zweiten Grades darstellen. Die resultierenden Parabeln unterscheiden sich in ihrem Scheitelpunkt und in ihrer Öffnungsrichtung. Darüber hinaus variiert auch die Parabelbreite zwischen Beschleunigungs- und Bremsphase. Die genannten Parameter wurden derart gewählt, dass der Scheitelpunkt in Richtung der Abszisse genau in der jeweiligen Intervallmitte liegt und der zugehörige Funktionswert in seinem Betrag genau der Ruckanstiegsrestriktion d_max entspricht. Somit sind pro Parabel zwei Nullstellen vorhanden. Durch günstige Wahl der Parabelbreite fallen diese Nullstellen exakt auf die Intervallgrenzen und bilden so einen stetigen Übergang zu den Nullfunktionen in den geradzahlig benannten Intervallen. Beispielhaft werden diese Zusammenhänge in 2 gezeigt. Wie zu sehen ist, wurde hier für die Ruckanstiegsrestriktion der Wert d_max = 10 m/s⁴ gewählt. Des Weiteren wird durch die sichtbare Trennung von Beschleunigungs- und Bremsphase bereits in der Ruckanstiegsfunktion ein Verhalten der Kinematik vorbereitet, das unterschiedliche Start- und Endgeschwindigkeiten zulässt. Aus der Ruckanstiegsfunktion können nun die weiteren kinematischen Größen auf Bahnebene ermittelt werden. Durch einmalige Integration von d(t) über die Zeit t und anschließende geeignete Festlegung der Integrationskonstanten ergibt sich die Berechnungsvorschrift für die Ruckfunktion j(t). Die Eignung der Werte für die Integrationskonstanten wird dabei durch zwei Forderungen bestimmt. Einerseits besteht auch für den Ruck das Ziel der Stetigkeit über alle fünfzehn Intervalle, andererseits sind Nullstellen der Ruckfunktion am Beginn und am Ende jedes Wegsegments algorithmisch bedingt zwingend erforderlich. Durch den integrativen Zusammenhang ist sichergestellt, dass die Ruckanstiegsfunktion exakt der Ableitung der Ruckfunktion entspricht. Da darüber hinaus beide Funktionen stetig gewählt wurden, ist die angestrebte stetige Differenzierbarkeit für den Ruck gegeben. Analog liefern weitere drei Integrationsschritte die stetig differenzierbaren Funktionen für die Beschleunigung, die Geschwindigkeit und den Ort. Auf die explizite Angabe der resultierenden Definitionen für j(t), a(t), v(t) und s(t) soll hier aus Platzgründen verzichtet werden. 3 zeigt die entsprechenden Verläufe, die unter Anwendung der hergeleiteten Funktionsdefinitionen entstehen. Die Restriktionen, die zur Erzeugung der Grafik herangezogen wurden, entsprechen dabei in Ihren Werten denen aus 2.
Bei näherer Betrachtung von 3 sind die geschilderten Zusammenhänge deutlich erkennbar. So entsprechen alle dort dargestellten kinematischen Funktionen den angestrebten Kriterien bezüglich Stetigkeit und stetiger Differenzierbarkeit. Aufgrund der Tatsache, dass die Beschleunigungs- und die Bremsphase getrennt voneinander parametriert werden können, entsteht ein „asymmetrischer” Geschwindigkeitsverlauf. Der Begriff der Asymmetrie soll die Ungleichheit von Start- und Endgeschwindigkeit hervorheben. Der Zweck dieser Funktionalität besteht in der Vorbereitung der Verschleifoperationen, auf die später näher eingegangen wird. Im Beispiel aus 3 wurden die Geschwindigkeit an den Funktionsgrenzen zu v_start= 0,3 m/s und v_ziel = 0,6 m/s gewählt. Kernkomponente des Planungsalgorithmus ist die Bestimmung der Basisintervallbreiten T₁ bis T₇, denn diese bestimmen direkt die Lage der Extrema der kinematischen Funktionen. Die Anforderungen Zeitoptimalität und Einhaltung der Beschränkungen können nur erfüllt werden, indem eine kinematische Größe nach der anderen möglichst nahe an ihre Restriktion herangeführt wird. An dieser Stelle sei darauf hingewiesen, dass aus Sicht der Intervallbreitenbestimmung neben d_max, j_max, a_max, v_max auch s_ziel eine Restriktion darstellt. Zum Zweck der sequentiellen Ausnutzung der Beschränkungen wird in einem ersten Schritt die Intervallbreite der Ruckanstiegsphase während der Beschleunigung bestimmt. Begrenzend für den entsprechenden Wert T₁ wirkt die durch die resultierenden Kinematikfunktionen zuerst erreichte Restriktion. Dies kann mittels der folgenden Ungleichungen dargestellt werden: j(t = T₁) ≤ j_max (3.2) a(t = 2T₁ + T₂; T₂ = 0) ≤ a_max (3.3) v(t = 4T₁+ 2T₂ + T₃; T₂, T₃= 0) ≤ v_max (3.4) s(t = 4T₁ + 2T₂ + T₃ + T₄ + 4T₆+ 2T₆ + T₇; T₂, T₃, T₄ = 0) ≤ s_ziel (3.5)
Durch Umstellen dieser vier Ungleichungen nach T können theoretisch vier obere Schranken für die Intervallbreite der Ruckanstiegsphase bestimmt werden. Die Auswahl des kleinsten der berechneten Werte würde daraufhin zur maximal gültigen Belegung für T₁ führen. Allerdings gelingt diese Umformung nicht für die Ungleichung (3.5), denn diese enthält neben T₁ auch die Unbekannten T₅, T₆ und T₇. Zur Lösung des Problems wird die Wegrestriktion im ersten Schritt der Intervallbreitenbestimmung vernachlässigt und Beschleunigungs- und Bremsphase werden losgelöst voneinander betrachtet. Die Berechnung kann, somit rein analytisch auf Basis von Gleichung (3.2) bis (3.4) erfolgen.
Unter der Annahme, dass T₁ mit einem korrekten Wert versehen werden konnte, folgt im zweiten Schritt die Berechnung von T₂ in analoger Art und Weise. Die entsprechenden Ungleichungen lauten: a(t = 2T₁ + T₂; T₁ bekannt) ≤ a_max (3.6) v(t = 4T₁ + 2T₂ + T₃; T₁ bekannt; T₃ = 0) ≤ v_max (3.7) s(t = 4T₁ +2T₂ + T₃ + T₄ + 4T₅ + 2T₆ + T₇; T₁ bekannt; T₃, T₄ = 0) ≤ s_ziel (3.8)
Auch hier kann die Lösung nur unter Vernachlässigung der Ortsrestriktion analytisch erfolgen. Nach diesem Vorbild kann die Berechnung der restlichen fünf Intervallbreiten fortgesetzt werden.
Im zweiten Schritt wird nun geprüft, ob die Wegrestriktion verletzt wird. Dies kann erfolgen, indem die Phase konstanter Geschwindigkeit wie folgt ermittelt wird:
Ergibt sich ein negatives T₄, so bedeutet dies, dass die berechnete Beschleunigungs- und Bremsphase mehr Weg benötigen als zur Verfügung steht. Somit sind alle Ergebnisse ungültig und die Bestimmung der Intervallbreiten muss numerisch erfolgen. Da eine numerische Lösung jedoch mit einer ganzen Reihe von Nachteilen einhergeht, muss an dieser Stelle darauf hingewiesen werden, dass alle Spezialfälle, die eine direkte analytische Lösung ermöglichen, vorher von Algorithmus abgefangen werden. Beispielsweise fällt die komplette Bremsphase weg, falls die Endgeschwindigkeit der maximal zulässigen Geschwindigkeit entspricht. Dadurch können die Parameter T₅, T₆ und T ₇aus der Ortsfunktion eliminiert werden. Die resultierenden Ungleichungen können anschließend problemlos umgestellt und analytisch gelöst werden. Des Weiteren besteht unter der Randbedingung v_ziel = v_max die Möglichkeit, die Werte für T₁ bis T₄ ohne Einsatz numerischer Verfahren zu bestimmen. Analog fällt für v_start = v_max die Beschleunigungsphase heraus und T₄ bis T₇ sind problemlos berechenbar. Die Kombination beider Fälle bildet den dritten berücksichtigten Fall, in dem ausschließlich eine Phase konstanter Geschwindigkeit auftritt und somit einzig das korrespondierende T₄ bestimmt werden muss. Des Weiteren muss erwähnt werden, dass der Spezialfall v_start = v_ziel = 0 aufgrund seiner Symmetrie und durch den Wegfall der beiden Randgeschwindigkeiten ebenfalls eine analytische Berechnung zulässt.
Sollen mehrere Messfahrten hintereinander ausgeführt werden, ist es wünschenswert, diese Wegsegmente kontinuierlich und rucksprungfrei zu durchfahren. Die benutzerdefinierten Messstrecken werden durch die Grundelemente Strecke und Kreis beschrieben. Aufgrund der unterschiedlichen Krümmung der Streckengrundelemente ist eine kontinuierliche Durchfahrt der Strecke mit stetigem Beschleunigungsprofil nicht möglich. Zur Lösung des Problems werden zusätzlich zu den bereits vorgestellten Grundelementen weitere Kurvenformen eingeführt. Hierbei handelt es sich um die Bloss- und die erweiterte Blosskurve. Die Blosskurve besitzt einen quadratischen Krümmungsanstieg und ist daher prädestiniert für den Einsatz als Verschleifelement. Das erfindungsgemäße Verfahren ist in der Lage zwei sich schneidende Geraden zu verbinden (siehe 4). Des Weiteren können Tangente und Kreis ohne tangentiale Abrückung sowie Sekante und Kreis verschliffen werden. Hierbei erfolgt je nach vorliegender Paarung die Verschleifung durch eine Kombination aus mindestens einer Blosskurve und falls notwendig einem Kreisbogen.
Im Folgenden soll für die Bloss- und die erweiterte Blosskurve sowohl die Darstellung in Abhängigkeit des Bahnortes als auch die Restriktionsbestimmung auf Bahnebene hergeleitet werden. Da die Herleitungen eine sehr große Ähnlichkeit zu den Ausführungen am Beispiel des Kreisbogens aufweisen, kann diese Betrachtung sehr stark verkürzt stattfinden. Die Blosskurve stellt einen Spezialfall der erweiterten Blosskurve dar und aus diesem Grund beschränken sich die angegebenen Gleichungen auf die allgemeinere Form. Die erweiterte Blosskurve wird mit folgender Ortsfunktion eingeführt:
Es sei angemerkt, dass analog zum Kreisbogen in (4.1) bereits eine Vereinfachung mittels geeigneter Koordinatentransformationen durchgeführt wurde. Darüber hinaus geht die erweiterte Bosskurve in die Bosskurve über, wenn r_start → ∞ bzw. 1/r_start = 0 gilt. Dies ist nachvollziehbar, da r_start den Radius des Schmiegekreises am Kurvenanfang darstellt, während r_ziel den entsprechenden Zusammenhang am Kurvenende festlegt. Im Falle der einfachen Blosskurve liegt zu Beginn keine Krümmung vor, was durch r_start → ∞ zum Ausdruck kommt. Problematisch an Gleichung (4.1) ist jedoch, dass die Stammfunktion nicht analytisch berechnet werden kann und somit ein echtzeitfähiges numerisches Lösungsverfahren zum Einsatz kommen muss. Ein Ansatz hierzu bietet die „Gauß-Legendrische”-Quadratur, welche eine optimale Approximationsgenauigkeit bei geringer Rechenlast bietet. Mittels geeigneter Differentiation kann aus (4.1) das frenetsche Dreibein inklusive der zugehörigen Koeffizienten bestimmt werden:
Die Tatsache, dass auch die Blosskurven ebene Trajektorien darstellen, führt zu einem konstanten Binormalenvektor und zu einem Wegfall der Torsion. Des Weiteren ist zu bemerken, dass κ im Gegensatz zum Kreisbogen keine konstante Funktion darstellt und somit die ersten beiden Ableitungen von 0 verschiedenen sind. Bei Anwendung der Gleichungen (1.8) bis (1.11) ergeben sich die folgenden Berechnungsvorschriften für die Kinematik der erweiterten Blosskurve im transformierten Koordinatensystem:
Auch die Bestimmung der Bahnrestriktionen erfolgt unter Anwendung des Ansatzes, der bereits für den Kreisbogen skizziert wurde. Voraussetzung ist auch hier die erfolgreiche Berechnung der oberen Schranken für die Vektorlängen. Diese können, wie bereits bekannt, über den Schnitt der Kurvenebene mit den Koordinatenebenen ermittelt werden. Unter Einsatz des Satzes des Pythagoras können auf Basis der Gleichungen (4.9) bis (4.12) die folgenden Berechnungsvorschriften gebildet werden:
Auf Grundlage der Vorschriften (4.13) bis (4.17) kann nun die Bestimmung des Skalierungsfaktors x erfolgen. Da Ungleichung (4.13) exakt mit (2.23) übereinstimmt, kann die gleiche Lösung wie für den Kreisbogen ermittelt werden: x ≤ 1 (4.18)
Somit ist eine erste obere Schranke für x bekannt. Auch Ungleichung (4.14) kann erneut analytisch gelöst werden. Im Sinne einer Worst-Case-Betrachtung können analog zum Kreisbogen die Variablen v und a durch x·v ^_max bzw. x·â_max ersetzt werden. Der größtmögliche Wert für κ ist anschließend durch eine Kurvendiskussion ermittelbar:
Weitere Fälle müssen nicht berücksichtigt werden, da negative und identische Radien ausgeschlossen werden. Auch die Grenzwerte s → ±∞ sind irrelevant, da s durch (4.17) entsprechend beschränkt ist. Die dargestellte Herleitung zeigt, dass der Worst-Case-Wert für κ dem Kehrwert des kleineren der beiden Radien r_start und r_ziel entspricht. In beiden behandelten Fällen geht (4.14) in eine zu (2.24) äquivalente Form über und es gilt:
Somit können wie beim Kreisbogen die ersten beiden Ungleichungen analytisch gelöst werden. Für die verbleibenden beiden Ungleichungen (4.15) und (4.16) kann nun erneut das bereits beschriebene Optimierungsverfahren Anwendung finden. Hierbei gilt es zu beachten, dass s in den Satz der Variablen aufgenommen werden muss, denn durch die Krümmungsfunktion tritt auch der Bahnweg innerhalb der Gleichungsnebenbedingungen auf. Zur Lösung von Ungleichung (4.15) kann das Optimierungsproblem folgendermaßen formuliert werden:
In gleicher Art und Weise können auch die Optimierungsprobleme zur Lösung von Ungleichung (4.16) angepasst werden:
Die verbleibenden Berechnungsschritte, die zur Bestimmung der Skalierungen und damit der Bahnrestriktionen notwendig sind, entsprechen exakt denen des Kreisbogens. Sind die Restriktionen auf Bahnebene bekannt, kann die Kinematikberechnung auf dem Verschleifelement mit dem erfindungsgemäßen Verfahren erfolgen.
Der Bahnplaner erzeugt nun für jedes einzelne Element die kinematischen Verläufe auf Bahnebene. Hierbei sind alle höheren zeitlichen Ableitungen der Geschwindigkeit am Elementanfang und -ende Null und müssen daher entlang der Gesamtstrecke nicht weiter beachtet werden. Für die Bahngeschwindigkeit gilt dies jedoch nicht, da diese über die Gesamtstrecke einen kontinuierlichen Verlauf besitzen soll. Ziel ist es nunmehr, eine Methode zu entwickeln, welche diese Start- und Endgeschwindigkeiten und somit es dem Bahnplanungsalgorithmus ermöglicht die Kinematik elementweise zu bestimmen, ohne dabei die Gesamtstrecke betrachten zu müssen. Auf Bahnebene ist ein Element durch die sieben Größen s_ziel, v_max, a_max, j_max, d_max, v_start und v_ziel gekennzeichnet. Diese Größen des i-ten Streckenelementes können zu einem Elementvektor
zusammengefasst werden, welcher das entsprechende Streckenelement vollständig beschreibt. Da nun der Bahnplaner zu jedem Streckenelement e_i gesondert die Bahnkinematiken berechnet, wird ein Algorithmus benötigt, welcher alle v i / start und v i / ziel unter Beachtung der gesamten Trajektorie bestimmt.
Der Lösungsansatz besteht darin, die Geschwindigkeiten unter den gegebenen Restriktionen immer maximal zu wählen. Dafür ist es notwendig, ausgehend von der Startgeschwindigkeit v_start die unter den gegebenen Beschränkungen maximal mögliche Endgeschwindigkeit v_ziel zu ermitteln. In Anlehnung der von dem Bahnplanungsalgorithmus genutzten Beziehungen für die Berechnung der Bahnkinematik kann das zu lösende Problem wie folgt allgemein formuliert werden: v_ziel = f(s_ziel, v_max, a_max, j_max, d_max, v_start) (4.22)
Somit ist es möglich in Abhängigkeit der in (4.22) angegebenen Größen, die maximal erreichbare Endgeschwindigkeit auf einem Streckeelement zu berechnen. Hierbei können nun prinzipiell drei mögliche Fälle der Start- und Endgeschwindigkeiten in Bezug zur maximalen Bahngeschwindigkeit v_max auftreten (siehe 5). Start- und Endgeschwindigkeit können kleiner v_max sein, welches dem ersten Fall in 5 entspricht. In Fall 2 ist die Startgeschwindigkeit kleiner und die Endgeschwindigkeit größer oder gleich der Bahngeschwindigkeitsbegrenzung. Die verleibende Variante ist in Fall 3 dargestellt, wo v_start größer oder gleich v_max und v_ziel größer v_max ist. Tritt Fall 1 ein, so wird die berechnete Endgeschwindigkeit übernommen und die aktuelle Startgeschwindigkeit nicht modifiziert. weiterhin wird zunächst die Endgeschwindigkeit v i / ziel als Startgeschwindigkeit des nachfolgenden Elementes v i+1 / start angenommen, so dass gilt: v i+1 / start = v i / ziel (4.23)
Gilt im zweiten Fall v_ziel > v_max so wird v i / max = v i / ziel = v i+1 / start (4.24) gesetzt. Die Startgeschwindigkeit des aktuellen Elementes bleibt hierbei unverändert.
Im letzten Fall wird die Startgeschwindigkeit zu v i / max = v i / start = v i-1 / ziel (4.25) festgelegt. Darüber hinaus muss die Endgeschwindigkeit des vorherigen Streckenelementes begrenzt werden, damit der Verlauf der Bahngeschwindigkeiten entlang der gesamten Wegstrecke stetig ist.
Die Berechnung der Übergangsgeschwindigkeiten soll nun anhand eines Beispieles kurz skizziert werden. Die Startgeschwindigkeit des ersten Streckenelementes ist zwingend v 1 / start = 0. Somit kann für dieses Element die Endgeschwindigkeit mit Hilfe des Bahnplanungsalgorithmus ermittelt werden, wobei hier lediglich der Fall 1 oder 2 auftreten kann. Die Startgeschwindigkeit des nachfolgenden Streckenelementes wird zunächst zu v 2 / start = v 1 / ziel bei Fall 1 und zu v 2 / start = v 1 / max bei Fall 2 angenommen. In jedem weiteren Element folgt als erstes die Prüfung der Startgeschwindigkeit im Bezug auf die maximale Elementgeschwindigkeit, um Fall 3 auszuschließen oder zu bestätigen. In diesem Beispiel soll angenommen werden, dass auch im zweiten Streckenelement Fall 1 oder 2 zutrifft. Bei der Betrachtung des dritten Streckenelementes wird wieder die Startgeschwindigkeit ausgewertet. Hier soll nun v 3 / start > v 3 / max gelten und somit der dritte Fall vorliegen. Demnach wird
gesetzt. Im Falle dass
kleiner ist als v 2 / start, entsteht das entsteht die Fragestellung, ob der Weg des zweiten Elementes ausreicht, um von v 2 / start auf
abzubremsen. Sollte dies nicht der Fall sein, so müsste auch die Startgeschwindigkeit des zweiten Elementes v 2 / start entsprechend angepasst werden. Somit ist klar zu erkennen, dass sich bei ungünstigen Randbedingungen die Veränderung einer Start- oder Endgeschwindigkeit über alle Elemente der Trajektorie hinweg fortpflanzen kann. Diese rückwärtige Ausbreitung erstreckt sich über alle zusammenhängenden Elemente für die v j / ziel > v j / start für j < i gilt. Diese Rückwirkung für Elemente i#n sofort zu berechnen, ist nicht sinnvoll, denn ein späteres Element k mit i < k < n kann wieder zu einer Änderung von allen Start- und Endgeschwindigkeiten führen. Daher bleibt die rückwärtige Ausbreitung der Geschwindigkeitsanpassungen zunächst unbeachtet und die Start- und Endgeschwindigkeiten werden für alle n Elemente berechnet. Im zweiten Berechnungsschritt wird die Bremsweglänge auf jedem Streckenelement betrachtet. Die Frage ist hierbei, ob der Weg s i / ziel ausreicht um von v i / start auf v i / ziel abzubremsen. Wenn v i / ziel auf dem Weg s i / ziel nicht erreicht werden kann, muss ermittelt werden, welchen Wert v i / start maximal annehmen darf. Der Bremsvorgang ist dabei gleichbedeutend mit einer Umkehr der Vorzeichen in den höheren zeitlichen Ableitungen der Geschwindigkeit. Somit können Start- und Endgeschwindigkeit des Streckenelementes vertauscht werden, so dass v ~_start = v_ziel und v ~_ziel = v_start angenommen werden kann. Nun wird die „neue” maximale Endgeschwindigkeit
mittels des Bahnplaners berechnet. Wenn
größer oder gleich v_start ist, bedeutet dies, dass der vorhandene Weg s_ziel zum Bremsen genügt. Kann auf dem betrachteten Element nicht mehr gebremst werden, ist nach dieser Berechnung zumindest die Startgeschwindigkeit
bekannt von welcher auf v_ziel abgebremst werden kann. Diese Berechung müsste nun ausgehend vom aktuellen Element i für alle vorherigen Elemente j < i durchgeführt werden, bis
eintritt. An dieser Stelle würde die Rückwirkung über die Elemente enden. Bei der Rückwärtsberechnung werden also alle Trajektorienelemente in umgekehrter Reihenfolge durchlaufen, wobei die Start- und Endgeschwindigkeiten gegeneinander getauscht werden. Auf diese „invertierte” Trajektorie wird die Fallunterscheidung aus 5 angewendet. Hierbei wird die Endgeschwindigkeit v ~ i / ziel allerdings nur gesetzt, wenn v ~ i / ziel kleiner v i / start ist. Aus dem Minimum aller Übergangsgeschwindigkeiten der Vor- und Rückwärtsberechnung entsteht im dritten Schritt das gesuchte Geschwindigkeitsprofil (siehe 6). Durch die vorgestellte Methode ist das Endergebnis nach maximal 2n Berechnungen bekannt. Somit wächst der Rechenaufwand, trotz der Rückwirkungen zwischen den Elementen, linear mit der Anzahl der Streckenelemente.
Zusammenfassend kann festgestellt werden, dass nun eine kontinuierliche Bewegung über eine beliebige Anzahl von Basiselementen geplant werden kann. Auch ist es möglich Radialkräfte bei der Planung mit zu berücksichtigen, was im Besonderen entscheidend zu einer optimalen Regelgüte beiträgt. In 7 ist beispielhaft eine geplante Trajektorie dargestellt, welche aus mehreren Kreisbögen, Strecken sowie erweiterten Blosskurven besteht. 8 zeigt die berechnete Kinematik auf Bahnebene und 9 bis 11 die sich ergebenden dynamischen Sollwerte für die einzelnen Maschinenachsen. Es ist deutlich zu erkennen, dass zu keinem Zeitpunkt die rot eingefärbten Beschränkungen verletzt werden.
Literaturliste

[1] – LEONHARD, W.: Trajectory Control of a Multi-axes Robot with Electrical Servo Drives., In: IEEE Conference on Industrial Electronics, Proceedings, Philadelphia (USA), 1989
[2] – OLOMSKI, J.: Trajectory Planning, Optimization and Control for Industrial Robots., In: International Conference on Control and Applications, Proceedings, Jerusalem, 1989
[3] – Broquére, X.; Sidobre, D.; Herrera-Aguilar, I.: Soft Motion Trajectory Planner for Service Manipulator Robot., 6. Mai 2009
[4] – Macfarlane, S.: On-Line Smooth Trajectory Planning for Manipulators., The University of British Columbia, August 2001
[5] – Macfarlane, S.; Croft, E. A.: Jerk-Bounded Manipulator Trajectory Planning: Design for Real-Time Applications., In: IEEE Transactions on Robotics and Automation, Vol. 19, No. 1, February 2003
[6] – SAWODNY, O; ASCHEMANN, H.; LAHRES, S.; HOFER, E. P. A low cost material handling and logistic system for shop floor manufacturing using an automated bridge crane., In: 14th IFAC World Congress, Proceedings, pp. 517–522, Beijing, 1999, Beijing, China
[7] – SAWODNY, O; ASCHEMANN, H.; LAHRES, S.: An automated gantry crane as a large workspace robot., In: Control Engineering Practice, vol. 10, no. 12, pp. 1323–1338, 2002
[8] – LI, H. Z.; GONG, Z. M.; LIN, W; LIPPA, T.: Motion profile planning for reduced jerk and vibration residuals., In: SIMTech technical reports, vol. 8, no. 1, pp. 32–37, 2007
[9] – LAMBRECHTS, P.; BOERLAGE, M.; STEINBUCH, M.: Trajectory Planning and Feedforward Design for High Performance Motion Systems., In: American Control Conference, Proceedings, pp. 4637–4642, Boston (USA), 2004
[10] – LAMBRECHTS, P.; BOERLAGE, M.; STEINBUCH, M.: Trajectory planning and feedforward design for electromechanical motion systems., In: Control Engineering Practice, vol. 13, no. 3, pp. 145–157, 2004

Claims

Verfahren zur echtzeitfähigen Bahnplanung vierter Ordnung zur Generierung kontinuierlicher, rucksprungfreier Sollwerttrajektorien für die kinematischen Parameter Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Ruck und Ruckanstieg unter Berücksichtigung kinematischer Restriktionen umfassend die Schritte: • Reduktion der Dimension einer dreidimensionalen Sollwerttrajektorie zu einer eindimensionalen Funktion des Bahnortes • Projektion der kinematischen Restriktionen für die einzelnen Bewegungsachsen auf die eindimensionale Funktion des Bahnortes • Berechnung der kinematischen Parameter für die eindimensionale Funktion des Bahnortes • Ermittlung der dreidimensionalen Sollwerttrajektorie für die kinematischen Parameter Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Ruck und Ruckanstieg.
Verfahren nach Anspruch 1 dadurch gekennzeichnet, dass die Dimensionsreduktion der dreidimensionalen Sollwerttrajektorie durch Integration mittels Gauß-Legendrischer-Quadratur realisiert wird.
Verfahren nach einem der Ansprüche 1 oder 2 dadurch gekennzeichnet, dass verschiedene aufeinanderfolgende Sollwerttrajektorien unter Verwendung von Verschleifelementen, die vor der Projektion der kinematischen Restriktionen für die einzelnen Bewegungsachsen auf die eindimensionale Funktion des Bahnortes eingefügt werden, geplant werden können.
Verfahren nach Anspruch 3 dadurch gekennzeichnet, dass als Verschleifelement eine Blosskurve verwendet wird, die eine beliebige Startkrümmung aufweist.
Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 4 dadurch gekennzeichnet, dass die Übergangsgeschwindigkeiten und die Einhaltung der kinematischen Restriktionen für die gesamte Sollwerttrajektorie explizit mit einer Komplexität 2n berechnet werden.
Verwendung eines Verfahrens nach einem der Ansprüche 1 bis 5 für die Generierung von Sollwerttrajektorien mit asymmetrischen Geschwindigkeitsprofilen.