DE19800552C2 - Verfahren zur Kommandosteuerung eines Manipulators - Google Patents

Verfahren zur Kommandosteuerung eines Manipulators

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Description

Die Erfindung bezieht sich auf ein Verfahren zur Komman­ dosteuerung eines Manipulators auf der Basis von mit Hilfe einer Handsteuerkugel oder dgl. von einem Programmierer oder einer übergeordneten Aufgabe kommandierten Endeffektor- Zielverschiebungen (Δxd) in Verbindung mit einer Berechnung von Gelenkpositionswerten entsprechend einem Algorithmus in­ verser Kinematik.
Aus Siciliano, B., Sciavicco, L. "Modelling and Control of Robot Manipulators", McGraw-Hill Companies (1996), S. 95 bis 101 und aus Vukobratovic, M., Kircanski, N. "Kinematics and Trajectory Synthesis of Manipulation Robots", Springer- Verlag, Tokyo, 1986, S. 105 bis 122 sind Verfahren zur Kom­ mandosteuerung eines Manipulators auf der Grundlage komman­ dierter Endeffektor-Zielverschiebungen in Verbindung mit ei­ ner Berechnung entsprechend einem Algorithmus inverser Kine­ matik unter Benutzung der Jacobi-Matrix bekannt.
In diesem Zusammenhang ergibt sich ein Verfahren inverser Kinematik für kinematisch nichtredundante Manipulatoren, al­ lerdings in einem nicht-singuläre Stellungen enthaltenden Teilraum des Arbeitsbereichs. Da in der Praxis singuläre Konfigurationen auftreten, d. h. Gelenkpositionen, an denen die Jacobi-Matrix einen Rangabfall erfährt, ist dieses Ver­ fahren nur begrenzt einsetzbar. Wird nämlich eine singuläre Konfiguration (Singularität) angefahren, so muß der Arbeits­ vorgang, der mit dem Manipulator durchgeführt wird, (interaktives Bahnführen, Kraftregelung) abgebrochen oder verzögert werden.
In diesem Zusammenhang ist ein Verfahren mit Berechnung ei­ ner verallgemeinerten Inversen der Jacobi-Matrix bekannt, das zwar einige vorteilhafte Eigenschaften hat, dafür aber auch eine Reihe von Nachteilen mit sich bringt. So ergibt sich eine Glattheit der berechneten Gelenkbahn und ein ge­ ringer Verschleiß des Roboterantriebes durch Minimierung des lokalen Gelenkpositionsversatzes Δq (lokale Energiekriteri­ en). Außerdem wird der Abstand der Gelenkpositionen von den physikalischen Gelenkanschlägen durch Optimierung von globa­ len Kriterien im Nullraum der Jacobi-Matrix berücksichtigt.
Von Nachteil ist hierbei, daß Bahnbeschränkungen durch phy­ sikalische Gelenkanschläge nicht garantiert eingehalten wer­ den können, sich ein instabiles Verhalten in singulären Ro­ boterstellungen durch eine (verallgemeinerte) Invertierung der Jacobi-Matrix ergibt und ineffiziente Roboterbahnverläu­ fe möglich sind, wenn widersprechende lokale und globale Kriterien auftreten.
Bei einem anderen bekannten Verfahren, bei dem eine Berech­ nung der transponierten Jacobi-Matrix erfolgt, wird das kom­ mandierte Endeffektorziel, entsprechend einer Darstellung der Rückwärtskinematik als Optimierungsproblem, iterativ er­ reicht. Als vorteilhafte Eigenschaft ergibt sich hierbei ein stabiles Verhalten in singulären Roboterstellungen, da keine Invertierung der Jacobi-Matrix vorgenommen wird.
Allerdings können Bahnbeschränkungen durch physikalische Ge­ lenkanschläge und maximale Gelenkgeschwindigkeiten nicht ga­ rantiert eingehalten werden. Es müssen übergeordnete Heuri­ stiken zur Abdeckung dieser Anforderungen aufgestellt wer­ den, was sich dann in Fehlern der realen Endeffektorlage ge­ genüber der gewünschten Endeffektorlage niederschlägt. Es ergeben sich ineffiziente Bahnverläufe in Form von Störbewe­ gungen des Endeffektors, da die von der Handsteuerkugel kom­ mandierte kartesische Linearbewegung nicht exakt auf den Endeffektor des Manipulators übertragbar ist.
Darüber hinaus ergibt sich ein hoher Materialverschleiß des Roboterantriebes durch abruptes Durchfahren von singulären Roboterstellungen und auf Grund einer im allgemeinen ungenü­ gend glatten Gelenkbahn, da weder der gewichtete lokale Ge­ lenkpositionsversatz noch der lokale Gelenkgeschwindigkeits­ versatz (lokale Energie- und Beschleunigungskriterien) einer Optimierung unterzogen wurden. Außerdem muß man mit einer geringen Konvergenzgeschwindigkeit, also mit Einbußen an Echtzeitfähigkeit, auskommen, da keine praktikable optimale Strategie zur Festlegung der positiv definiten kartesischen Steifigkeitsmatrix bekannt ist.
In DE 33 44 633 C2 ist eine Echtzeitsteuerung beschrieben, bei welcher zur Berechnung der Gelenkgeschwindigkeiten red­ undante Gelenke, welche zur Bewegung eines Endeffektors nicht notwendig sind, festgehalten werden, und somit die Be­ rechnung der inversen Jacobi-Matrix vereinfacht wird. Eine derartige Berechnung wird für wenigstens eine der Gelenk- Kombinationen durchgeführt. Die Geschwindigkeiten für jedes Gelenk werden dann durch Mittelung der berechneten Gelenkge­ schwindigkeiten bestimmt. Somit erfolgt bei diesem Stand der Technik eine Gewichtung, und zwar der Gelenkgeschwindigkei­ ten.
In US 5 430 643 ist ebenfalls ein Echtzeit-Verfahren be­ schrieben, bei welchem die inverse Jacobi-Matrix berechnet wird. Auch bei dem aus der vorerwähnten US-Patentschrift be­ kannten Verfahren findet eine Berücksichtigung von Gewichts­ werten für die Gelenkgeschwindigkeiten sowie von Bahnbe­ schränkungen zumindest für eine grafische Simulation der Ro­ boterbewegung statt.
Gemäß dem älteren deutschen Patent 197 03 915 C1 der Anmel­ derin ist ein Verfahren zur Kommandosteuerung für eine in­ teraktive Bahnführung eines kinematisch redundanten Manipu­ lators auf der Basis von mit Hilfe einer Handsteuerkugel oder dergleichen von einem Programmierer kommandierter End­ effektor-Zielverschiebungen in Verbindung mit einer Berech­ nung von Gelenkpositionswerten entsprechend einem Algorith­ mus inverser Kinematik vorgeschlagen.
Bei diesem Verfahren wird ausgehend von einer kommandierten Endeffektor-Zielverschiebung und dem aktuellen Istwert (qi) der Gelenkposition des Manipulators unter Berücksichtigung einer Gütefunktion (f(q)), die durch nichtnegative Gewich­ tungswerte (αj, βj) parametriert ist und unter Berücksichti­ gung von Bahnbeschränkungen durch physikalische Gelenkan­ schläge (qmin, qmax), maximaler Gelenkgeschwindigkeit (max) und der kinematischen Gleichung, welche durch die Jacobi- Matrix repräsentiert ist, eine neue Gelenkposition (qi+1) be­ rechnet, die die neuen Werte für die Gelenkregler vorgibt, wobei die Gütefunktion die Summe aus Energiekriterium und Referenzlagekriterium ist, dabei berechnen sich das Energie­ kriterium aus (q-qi)tdiag(αj) (q-qi) und das Referenzlagenkri­ terium aus (q-qref)tdiag(βj) (q-qref), wobei die Größe qref ein vorgegebener Gelenkpositionswert ist, der derart festgelegt ist, daß die Folge der berechneten Gelenkpositionswerte (qi) nahe um diesen Referenzpositionswert verläuft.
Ausgehend von einem Gelenkpositionswert qi als Startpunkt wird auf Basis der Gütefunktion ein zulässiger Optimierungs­ vektor bestimmt bezüglich aller aktiven Nebenbedingungen die angeben, welche Bahnbeschränkungen erreicht sind, und dieser wird skaliert entsprechend der inaktiven Nebenbedingungen, die angeben, welche Bahnbeschränkungen nicht erreicht sind.
Der skalierte Optimierungsvektor wird auf den im vorigen Iterationsschritt berechneten Gelenkpositionswert addiert und auf der Basis der Gütefunktion und der in der neu be­ rechneten Gelenkposition aktivierten Nebenbedingungen wird die Optimalität dieser Gelenkpositionswerte bewertet.
Bei diesem Verfahren ist vorteilhaft, daß eine wenig aufwen­ dige und damit benutzerfreundliche Parametrierung vorgesehen ist. Von Nachteil ist lediglich, daß das in dem älteren Pa­ tent der Anmelderin vorgeschlagene Verfahren nicht für Kraft­ regelungsaufgaben geeignet ist, da kein einheitliches Maß existiert, das angibt, wieviel Prozent der gewünschten End­ effektor-Zielverschiebung realisiert werden kann, und zudem die Priorität, die Endeffektor-Zielverschiebung möglichst gut zu erfüllen, verfahrensbedingt geringer ist.
Der Erfindung liegt die Aufgabe zugrunde, ein Verfahren in­ verser Kinematik zur Kommandosteuerung für eine interaktive Bahnführung und/oder als modularer Baustein einer übergeord­ neten Aufgabe (z. B. Kraftregelung) eines Manipulators unter optimiertem Beschleunigungsverhalten zu schaffen, mit dem Bahnbeschränkungen durch physikalische Gelenkanschläge sowie maximal erlaubte Gelenkgeschwindigkeiten sicher eingehalten werden, um die ermittelte Lösung auf Zulässigkeit hinsicht­ lich der Bahnbeschränkungen sicherzustellen, und mit dem eine minimale Belastung auf die Antriebsvorrichtung des Ma­ nipulators durch eine Optimierung des Beschleunigungsverhal­ tens der Gelenkachsen erreicht wird.
Gemäß der Erfindung, die sich auf ein Verfahren inverser Ki­ nematik zur Kommandosteuerung eines Manipulators der ein­ gangs genannten Art bezieht, wird diese Aufgabe durch die Merkmale im kennzeichnenden Teils des Anspruchs 1 gelöst. Vorteilhafte Weiterbildungen des erfindungsgemäßen Verfah­ rens sind Gegenstand der auf den Anspruch 1 unmittelbar oder mittelbar rückbezogenen Ansprüche 2 bis 9.
Gemäß der Erfindung, die sich auf ein Verfahren zur Komman­ dosteuerung eines Manipulators der eingangs angegebenen Art bezieht, ist die Aufgabe dadurch gelöst, daß
  • - ausgehend von einer kommandierten Endeffektor-Zielver­ schiebung und dem aktuellen Istwert (qi) der Gelenkposi­ tionen des Manipulators wird
    • - unter Berücksichtigung einer zu minimierenden Gütefunkti­ on (f(q)), die durch nichtnegative Gewichtungswerte (αj, βj, γj) parametriert ist
    • - und unter Berücksichtigung von Bahnbeschränkungen durch physikalische Gelenkanschläge (qmin, qmax), maximaler Ge­ lenkgeschwindigkeit (max), maximaler Gelenkbeschleuni­ gung (max) in einer Umgebung physikalischer Gelenkan­ schläge und der kinematischen Gleichung,welche durch die Jakobi-Matrix (J(q)) repräsentiert ist
    eine neue Gelenkposition (qi+1) berechnet, die die neuen Werte für die Gelenkregler vorgibt, wobei die Gütefunktion (f(q)) die Summe aus Energiekriterium, Referenzlagenkriteri­ um, Beschleunigungskriterium und einem Zusatzkriterium ist,
    • - dabei berechnet sich das Energiekriterium aus
      (q-qi)tdiag(αj)(q-qi)
    • - das Referenzlagenkriterium aus
      (q-qref)tdiag(βj)(q-qref)
      wobei die Größe qref ein vorgegebener Gelenkpositionswert ist, der derart festgelegt ist, daß die Folge der berech­ neten Gelenkpositionswerte (qi) nahe um diesen Referenz­ positionswert verläuft;
    • - das Beschleunigungskriterium aus
      (q-2qi + qi+1)tdiag(γj)(q-2qi + qi+1), und
    • - das Zusatzkriterium aus -p,
      wobei der skalare Parameter p der kinematischen Gleichung p.Δxd = J(qi) (q-qi), und der Ungleichung 0 ≦ p ≦ 1 genügt, wobei p.100 die prozentuale Realisierung der kommandierten Endeffektor-Zielverschiebung (Δxd) ist,
  • - ausgehend von einem Gelenkpositionswert qi als Startpunkt wird auf Basis der Gütefunktion ein zulässiger Optimie­ rungsvektor bestimmt bezüglich aller aktiven Nebenbedin­ gungen, die angeben, welche Bahnbeschränkungen erreicht sind und dieser wird skaliert entsprechend den inaktiven Nebenbedingungen, die angeben, welche Bahnbeschränkungen nicht erreicht sind;
  • - der skalierte Optimierungsvektor wird auf den im vorigen Iterationsschritt berechneten Gelenkpositionswert addiert;
  • - und auf Basis der Gütefunktion und der in der neu berech­ neten Gelenkposition aktivierten Nebenbedingungen wird die Optimalität dieser Gelenkpositionswerte bewertet.
Das Verfahren nach der Erfindung läßt sich bei der interak­ tiven Bahnführung des Manipulators auf der Basis von mit Hilfe einer Handsteuerkugel (Spacemouse) od. dgl. von einem Operateur kommandierter Endeffektor-Zielverschiebungen an­ wenden.
Das Verfahren nach der Erfindung läßt sich aber auch als mo­ dularer Baustein einer übergeordneten Aufgabe mit von der übergeordneten Aufgabe kommandierten Endeffektor-Zielver­ schiebungen einsetzen. Eine übergeordnete Aufgabe kann bei­ spielsweise eine solche sein, wie sie durch Kraftregelungs­ aufgaben gestellt ist.
Bei dem Verfahren nach der Erfindung ergibt sich ein gerin­ ger Verschleiß der Antriebsvorrichtung des Manipulators durch Minimierung des lokalen Gelenkpositionsversatzes Δq und des lokalen Gelenkgeschwindigkeitsversatzes (Energiekri­ terien und Beschleunigungskriterien). Es werden "schlanke" Gelenkbahnen um eine Referenzlage (z. B. Nullage) erzielt und dadurch wird reversibles Verhalten der Manipulatorbewegung erreicht.
Insbesondere wird dadurch vermieden, daß sich die Rollachsen des Manipulators während der Ausführung der kommandierten Manipulationsaufgabe immer stärker verdrehen und diese dann am Endanschlag zu liegen kommen und dann eine weitere Aus­ führung der Manipulationsaufgabe nicht mehr möglich ist.
Gelenkanschläge werden in vorteilhafter Weise weitestgehend vermieden oder sanft bzw. verschleißarm angefahren. Dieses Verhalten wird durch einen Verzögerungseffekt der Roboter­ achsen hervorgerufen, der proportional zum Abstand von der Referenzposition wirkt, und durch explizite Beschleunigungs­ beschränkungen. Darüber hinaus entsteht ein stabiles Verhal­ ten in singulären Roboterstellungen, da keine Invertierung der Jacobi-Matrix vorgenommen wird.
Außerdem ergeben sich in vorteilhafter Weise effiziente Bahnverläufe durch exakte Übertragung der von der Handsteu­ erkugel kommandierten kartesischen Linearbewegung auf den Endeffektor des Manipulators. Ferner werden Bahnbeschränkun­ gen durch physikalische Gelenkanschläge und maximale Gelenk­ geschwindigkeiten zuverlässig eingehalten.
Da hierdurch der Lösungsbereich, das ist die Menge der zu­ lässigen Gelenkpositionen, eingeschränkt wird, wird eine ho­ he Konvergenzgeschwindigkeit mit einem Gewinn an Echtzeitfä­ higkeit erreicht. Zudem wird die prozentuale Realisierung der gewünschten Endeffektor-Zielverschiebung berechnet. Sin­ gularitäten können in stabiler Weise angefahren und/oder durchfahren werden; daher ist auch keine Einschränkung des Arbeitsbereichs notwendig.
Eine zu einem Zeitpunkt Ti kommandierte kartesische Endef­ fektor-Zielverschiebung Δxc kann vom Operateur und/oder ei­ ner übergeordneten Aufgabe (z. B. Kraftregelung) in Form ei­ nes 6-dimensionalen Inkrementvektors kommandiert werden. Al­ ternativ hierzu kann der Inkrementvektor durch Differenzbil­ dung absoluter Endeffektorkoordinaten bestimmt sein.
In den anliegenden Zeichnungen zeigen
Fig. 1 eine schematisierte Darstellung eines Ein/Ausgabe­ flusses einer Rückwärtskinematik im Echt­ zeitraster;
Fig. 2 in Form eines Blockschaltbildes einen beim erfin­ dungsgemäßen Verfahren zur Kommandosteuerung eines Manipulators verwendeten Algorithmus inverser Ki­ nematik, und
Fig. 3 die Anwendung des erfindungsgemäßen Verfahrens zur Kommandosteuerung eines Manipulators im Rahmen der Durchführung einer übergeordneten Aufgabe, wie beispielsweise einer Kraftregelung.
In Fig. 1 ist im Zusammenhang mit den vorstehenden Merkmalen der Erfindung eine Darstellung des Ein-/Ausgabeflusses der Rückwärtskinematik im Echtzeitraster gezeigt.
Bei dem Verfahren ist unter Benutzung der Jacobi-Matrix der Kinematik zu einem Zeitpunkt Ti, eine kommandierte Endeffek­ tor-Zielverschiebung Δxc: = (Δxt, Δxr) bezeichnet, welche vom Operateur mit Hilfe einer Spacemouse oder einer übergeordne­ ten Aufgabe in Form eines 6-dimensionalen Inkrementvektors kommandiert wird. Mit Δxt ∈ R 3 bzw. Δxr ∈ R 3 sind jeweils der translatorische bzw. rotatorische Anteil der kommandier­ ten Endeffektor-Zielverschiebung bezeichnet, während Δxt max bzw. Δxr max jeweils den maximalen (skalarwertigen), transla­ torischen bzw. rotatorischen kartesischen Lageversatz des Endeffektors pro Abtastzeit ΔT definieren.
Die gewünschte kartesische translatorische bzw. rotatorische Endeffektor-Zielverschiebung Δx d|t bzw. Δx d|r pro Abtastzeit ΔT ist wie folgt definiert:
Der Betrag |x| eines Vektors x ist dabei und im weiteren durch seine euklidische Norm
gegeben. Die ge­ wünschte Endeffektor-Zielverschiebung ist durch Δxd: = (Δx d|t, Δx d|r) erklärt. Die Energiekriterien, Referenzla­ genkriterien und Beschleunigungskriterien können entspre­ chend den vorherrschenden problemspezifischen Anforderungen geeignet gewichtet werden, indem jeder Achse j drei positi­ ve, vom Operateur vorgegebene Zahlenwerte, sogenannte Ge­ wichtungswerte αj, βj, γj zugewiesen werden. Von den Gewich­ tungswerten dienen der Wert αj der Gewichtung eines Energie­ kriteriums, das die Differenz zweier benachbarter berechne­ ter Gelenkpositionen von Achse j bewertet, der Wert βj der Gewichtung eines Kriteriums, das die Auslenkung der Gelenk­ position qj von einem ebenfalls vom Operateur vorgegebenen Referenzwert qref,j bewertet, und der Wert γj der Gewichtung eines Kriteriums, das das Beschleunigungsverhalten in Form eines Gelenkgeschwindigkeitsversatzes der Gelenkachse qj be­ wertet. Der Gelenkgeschwindigkeitsversatz der Gelenkachse qj wird genauso vom Operateur vorgegeben wie die Bahnbeschrän­ kungen betreffenden physikalischen Gelenkanschläge qmin, qmax des Manipulators sowie die Gelenkgeschwindigkeitsbeschrän­ kungen max und die Gelenkbeschleunigungsbeschränkungen max. Da das erfindungsgemäße Verfahren der Optimierung gewichti­ ger Kriterien im Echtzeittakt unter garantierter Einhaltung aller Bahnbeschränkungen dient, wird zu einer gewünschten Endeffektor-Zielverschiebung Δx i|d zum Zeitpunkt Ti-1 während des Zeitintervalls ΔT mit dem sich in einer Initialisie­ rungsphase und einer nachfolgenden Optimierungsphase abwickelnden Algorithmus der inversen Kinematik ein zulässiger optimaler Gelenkpositionsversatz Δqi berechnet. Hierbei ist der aktuelle Sollwert an die Gelenkregler aus q i+1|soll: = q i|soll + Δqi erklärt, wobei mit q i|soll im Zeitraum ΔT die Gelenkpositionen durch die Gelenkregler entsprechend verfah­ ren werden. Unter einem zulässigen Gelenkpositionsversatz wird dabei verstanden, daß der mit Δq aktualisierte Gelenk­ positionswert den physikalischen Gelenkanschlägen qmin, qmax entsprechend qmin ≦ qsoll + Δq ≦ qmax und Δq den Gelenkge­ schwindigkeitsbeschränkungen max entsprechend |Δqi| ≦ max ΔT ge­ nügt. Hierdurch werden die Beschränkungen der Gelenkbe­ schleunigungen beim Annähern von Gelenkpositionen an die physikalischen Gelenkanschläge zuverlässig eingehalten. Die Art der Optimalität von Δqi ist vom Operateur durch die Gü­ tekriteriengewichtung α, β, γ festlegbar. Dadurch ist die Ab­ tastzeit ΔT dabei entsprechend ΔT ≧ max (Δtq, Δtr) so bemes­ sen, daß die Rechenzeit Δtq zur Berechnung eines optimalen zulässigen Gelenkpositionsversatzes Δq und die Einregelzeit Δtr, welche die Regler zur Angleichung der Achspositionen an die Sollwerte qsoll benötigen, innerhalb der Zeitspanne ΔT liegen.
Es folgt nun eine algorithmische Beschreibung des Verfahrens nach der Erfindung.
Es bezeichnen Ji, i = 1, . . ., ndof die Spalten der Jacobi-Ma­ trix der Kinematik im Punkt qi der aktuellen Gelenkpositio­ nen des Manipulators, ndof die Anzahl der Gelenke und εi: = i|maxΔT den maximal erlaubten Gelenkpositionsversatz pro Abtastzeit ΔT. Mit
und
Jε: = (J1ε1, J2ε2, . . ., Jndofεndof) lautet die inkrementelle kinemati­ sche Gleichung:
pΔxd = Jεy (1)
Aufgrund der Bahnbeschränkungen ergeben sich folgende Boxbe­ schränkungen für y:
Definiere weiter:
Dabei be­ zeichnet Δqi das jüngst berechnete Inkrement der i-ten Ge­ lenkachse.
Damit alle Bahnbeschränkungen erfüllt werden können, ist, gemäß der kinematischen Gleichung (1), die gewünschte Endef­ fektor-Zielverschiebung einer zentrischen Streckung unter­ worfen, die in Form eines Skalars beschrieben ist:
0 ≦ p ≦ 1.
Die Größe p wird durch das erfindungsgemäße Verfahren so ma­ ximiert, daß alle Bahnbeschränkungen eingehalten werden. Da­ bei ist p.100 die prozentuale Realisierung der gewünschten Endeffektor-Zielverschiebung.
Definiere den Begrenzungsvektor b: = (0, 0, 0, 0, 0, 0, ymin, 0, -ymax, -1) ∈ R 2n+6, den zu bestimmenden Parametervektor x: = (y, p) und die Matrix der Gradienten aller Nebenbedingungen A ∈ R 2n+6,n mit n: = ndof + 1:
Dabei bezeichnet In ∈ R n,n die Einheitsmatrix. Ferner be­ zeichnen ai, i = 1, . . ., 2n + 6 die Zeilen von A.
Die Gewichte α, β, γ der Kriterien definieren den Cholesky- Faktor der Hessematrix aus der skalierten Summe der Krite­ rien in Form der Diagonalmatrix Λ ∈ R n,n. Diese Kriterien sind das Energiekriterium (q-qi)tdiag(αj)(q-qi), das Refe­ renzlagenkriterium (q-qref)tdiag(βj)(q-qref), wobei die Größe qref ein vorgegebener Gelenkpositionswert ist, der derart festgelegt ist, daß die Folge der berechneten Gelenkpositi­ onswerte (qi) nahe um diesen Referenzpositionswert verläuft; das Beschleunigungskriterium (q-2qi + qi-1)tdiag(γj)(q-2qi + qi-1) und das Zusatzkriterium aus -p, wobei der skalare Parameter p der kinematischen Gleichung pΔxd = J(qi)(q-qi) und der Un­ gleichung 0 ≦ p ≦ 1 genügt und p.100 die prozentuale Reali­ sierung der kommandierten Endeffektor-Zielverschiebung (Δxd) ist. Die Hauptdiagonalelemente der vorerwähnten Diagonalma­ trix lauten:
Die Grundstruktur des eine Rückwärtskinematik benutzenden besonderen Verfahrens nach der Erfindung zur Kommandosteue­ rung ist schematisch in Fig. 2 dargestellt.
Anhand der Fig. 2 wird im folgenden ein beim Verfahren nach der Erfindung benutzter Algorithmus für die inverse Kinema­ tik genauer beschrieben. Beim verwendeten Algorithmus der inversen Kinematik wird zuerst eine Initialisierungsphase durchgeführt, die folgendermaßen ausgestaltet ist: Zählindex: k = 0; Startwert: xk = (yk, pk) = 0; k max < 2; initialisiere mit mk: = 7 die Matrix der Gradienten der ak­ tiven Nebenbedingungen Ât ∈ R mk,n:
initialisiere die Indexmenge Jk: = (j 1|k, j 2|k, . . ., j 2n+6|k) zur Kenn­ zeichnung der aktiven, singulären und inaktiven Nebenbedin­ gungen:
initialisiere die orthogonale Dreieckszerlegung von Â:
(rk, Jk, Yk, Zk, Lk, Sk): = Φ0 A(Â, mk, Jk);
initialisiere die orthogonale, reguläre Dreieckszerlegung von Z: = ΛZk:
(Q Z|k, R Z|k): = Φ0 Z(Z, rk);
initialisiere den Gradientenvektor der Gütefunktion f(q)
g0 ∈ R n: gk: = 2(β scal|l(y l|k - y l|ref) + γ scal|l(y l|k - y l|acc)
+ α scal|ly l|k, . . ., β scal|ndof(y ndof|k - y ndof|ref) + γ scal|ndof(y ndof|k - y ndof|acc) + α scal|ndofy ndof|k, -1),
wobei für gk folgende Kurzschreibweise verwendet wird:
2(β scal|i(y i|k - y i|ref) + γ scal|i(y i|k - y i|acc) + α scal|iy i|k, -1),
daß beim verwendeten Algorithmus der inversen Kinematik an­ schließend eine Optimierungsphase durchgeführt wird, die folgendermaßen ausgestaltet ist:
  • I. Berechne die Optimierungsrichtung dk:
    R Z|kdaux = -Q Z|kZkgk.
    Bestimme hieraus daux durch Rückwärtssubstitution.
    R Z|kdZ = Q Z|kdaux.
    Bestimme hieraus dZ durch Rückwärtssubstitution. Definiere die Optimierungsrichtung:
    dk: = ZkdZ.
  • II. Bestimme die maximale Schrittweite sk und den Index j i0|k der beschränkenden Nebenbedingung:
    (Bei Mehrdeutigkeit wähle dasjenige j0 mit kleinstem Index i0).
  • III. Prüfe auf Optimalität und Update aller Matrix- und In­ dexgrößen.
    • (a) Falls sk < 1 (Nebenbedingung j 0|k ist aktiv gewor­ den):
      • i. Falls mk < n (es gibt noch inaktive Nebenbedin­ gungen):
        • - xk+1 = xk + skdk, xk+1 = (yk+1, pk+1);
          gk+1 = 2(β scal|i(y i|k+1 - y i|ref) + γ scal|i(y i|k+1 - y i|acc) + α scal|iy i|k+1, -1).
        • - Aktualisiere Matrixfaktorisierungen und Indexmenge:
          (rk+1, mk+1, Jk+1, Yk+1, Zk+1, Lk+1, Sk+1): = Φ+ A(i0, rk, mk, Jk, Yk, Zk, Lk, Sk.
          Prüfe xk+1 auf Optimalität:
          Falls Z t|k+1gk+1 = 0;
          und λk+1 = LLS(rk+1, mk+1, gk+1, Yk+1, Lk+1) ≧ 0
          dann: Gehe zu Schritt IV.
          Sonst: k = k+1 (erhöhe Iteratonsindex)
          Falls k < k max: Gehe zu Schritt IV.
          Sonst: Bestimme die orthogonale, reguläre Dreieckszerlegung von Z: = ΛZk+1:
          (Q Z|k+1, R Z|k+1): = ΦZ(Z, rk+1).
          Gehe zu Schritt I.
      • ii. Falls mk = n (Ecke des zulässigen Bereichs erreicht, Austausch aktiver Nebenbedingungen erforderlich):
        • - xk+1 = xk + skdk, xk+1 = (yk+1, pk+1);
          gk+1 = 2(β scal|i(y i|k+1 - y i|ref) + γ scal|i(y i|k+1 - y i|acc) + α scal|iyk+1, -1);
          λk = LLS(rk+1, mk+1, gk, Yk, Lk).
        • - Gib eine Richtung frei mit höchstem Optimierungspotential:
        • - Aktualisiere Matrixfaktorisierungen und Indexmenge:
          (k, k, k, k, k, k, k): = Φ- A(j0, rk, mk, Jk, Yk, Zk, Lk, Sk).
        • - Aktiviere Nebenbedingung j i0|k.
          Aktualisiere Matrixfaktorisierungen und Indexmenge:
          (rk+1, mk+1, Jk+1, Yk+1, Zk+1, Lk+1, Sk+1): = Φ+ A(i0, k, k, k, k, k, k, k).
        • - Prüfe xk+1 auf Optimalität:
          Falls Z t|k+1gk+1 = 0;
          und λk+1 = LLS(rk+1, mk+1, gk+1, Yk+1, Lk+1) ≧ 0
          dann: Gehe zu Schritt IV.
          Sonst: k = k + 1 (erhöhe Iteratonsindex)
          Falls k < k max: Gehe zu Schritt IV.
          Sonst: Bestimme die orthogonale, reguläre Dreieckszerlegung von Z: = ΛZk+1:
          (Q Z|k+1, R Z|k+1): = ΦZ(Z, rk+1).
          Gehe zu Schritt I.
    • (b) Falls sk = 1 (keine neue aktive Nebenbedingung).
      • - xk+1 = xk + dk, xk+1 = (yk+1, pk+1);
        gk+1 = 2(β scal|i(y i|k+1 - y i|ref) + γ scal|i(y i|k+1 - y i|acc) + α scal|iy i|k+1, -1);
      • - Aktualisiere Matrixfaktorisierungen und Indexmenge:
        (rk+1, mk+1, Jk+1, Yk+1, Zk+1, Lk+1, Sk+1): = (rk, mk, Jk, Yk, Zk, Lk, Sk).
      • - Prüfe xk+1 auf Optimalität:
        Falls Z t|k+1gk+1 = 0;
        und λk+1 = LLS(rk+1, mk+1, gk+1, Yk+1, Lk+1) ≧ 0
        dann: Gehe zu Schritt IV.
        Sonst: Gib eine Richtung frei mit höchstem Optimierungspotential:
        • - Aktualisiere Matrixfaktorisierungen und Indexmenge:
          (rk+1, mk+1, Jk+1, Yk+1, Zk+1, Lk+1, Sk+1): = Φ- A(j0, rk, mk, Jk, Yk, Zk, Lk, Sk)
        • - k = k + 1 (erhöhe Iteratonsindex)
        • - Falls k < k max: Gehe zu Schritt IV.
          Sonst: Bestimme die orthogonale, reguläre Dreieckszerlegung von Z: = ΛZk+1:
          (Q Z|k+1, R Z|k+1): = ΦZ(Z, rk+1).
          Gehe zu Schritt I.
  • IV. Lösung xk+1 ermittelt. Stop!
    Ende des Algorithmus der inversen Kinematik.
    Definition der Funktion LLS:
    • λ = LLS(r, m, g, Y, L).
      λi: = 0, i = r + 1, . . ., m;
      λnL: = (λr+1, . . ., λm);
      LtλL = Ytg.
    Bestimme hieraus λL ∈ R r durch Rückwärtssubstitution. Definiere den Ausgabewert der Funktion:
    • λ: = (λL, λnL).
    Mit leq: = 1 + max1 ≦ i ≦ m) |λ(i)| setze diejenigen Komponenten von λ auf den Wert leq, die zu den Gleichungsnebenbedingungen (1) gehören.
    Ende der Funktion LLS.
    Definition der Funktion Φ+:
    (r, m, J, Y, Z, L, S) = Φ+ A(i0, r, m, J, Y, Z, L, S)
    Aktiviere Nebenbedingung ji0. Es bezeichne aj0 mit j0: = ji0 die ji0 Zeile von A. Definiere Qt: = (Y, Z) und bilde a: = Qaj0. Partitioniere a =: (aY, aZ) mit ay ∈ R r und aZ ∈ R n-r. Bestimme die Householderreflexion ∈ R n-r,n-r so, daß gilt:
    |aZ|e1 = aZ,
    mit e1: = (1,0, . . ., 0) ∈ R n-r. Definiere den unitären Transformator H ∈ R n,n gemäß:
    Definiere den unitären Transformator:
    Q: = HQ;
    Aktualisiere Indizies:
    Vertausche Nebenbedingungen:
    Falls r ≠ r, dann
    sonst
    J: = (j1, . . ., j2n+6).
    Aktualisiere Matrixfaktorisierungen:
    Y ist die Teilmatrix von Qt, die die Spalten 1 bis r von Qt enthält.
    Z ist die Teilmatrix von Qt, die die Spalten r + 1 bis n von Qt enthält.
    Ende der Funktion Φ+.
    Definition der Funktion Φ-:
    (r, m, J, Y, Z, L, S) = Φ- A(j0, r, m, J, Y, Z, L, S).
    Inaktiviere Nebenbedingung jj0.
  • - Falls j0 < r: (Eliminiere singuläre aktive Nebenbedingung)
    Aktualisiere Indizies:
    r: = r;
    m: = m - 1;
    Vertausche Nebenbedingungen:
    J: = (j1, . . ., j2n+6).
    Aktualisiere Matrixfaktorisierungen:
    Y: = Y;
    Z: = Z;
    L: = L;
    S: = (S1, . . ., Sj0-r-1, Sj0-r+1, . . ., Sm-r),
    dabei bezeichnen Si die Spalten von S.
  • - Falls j0 ≦ r: (Eliminiere reguläre aktive Nebenbedingung) ergibt sich aus R: = Lt durch Streichen der j0-ten Spalte. Die an den Stellen (j0, j0 + 1), (j0 + 1, j0 + 2), . . ., (r, r +1) auftretenden Elemente von werden durch Linksmultiplikation mit einer Folge von unitären Eliminationsmatrizen j0,j0+1, . . ., r-1,r ∈ R r,r annulliert. Definiere lineare Transformatoren:
    • - Falls die letzte Zeile von null ist oder falls r = m:
      Aktualisiere Indizies:
      r: = r - 1;
      m: = m - 1;
      Vertausche Nebenbedingungen:
      J: = (j1, . . ., j2n+6).
      Aktualisiere Matrixfaktorisierungen:
      Y ist die Teilmatrix von Qt, die die Spalten 1 bis r von Qt enthält.
      Z ist die Teilmatrix von Qt, die die Spalten r + 1 bis n von Qt enthält. Falls r < m streiche die letzte Zeile von und . Setze:
      L: = t;
      S: = ;
    • - Sonst (wandle singuläre aktive Nebenbedingungen in reguläre aktive Nebenbedingung):
      Bestimme das Element der letzten Zeile von mit dem kleinsten Index l0 derart, daß gilt:
      r,l0 ≠ 0.
      Vertausche Spalte l0 mit Spalte 1 von . Definiere linearen Transformator:
      R: = (, l0),
      dabei bezeichnet l0 die l0-te Spalte von .
      Aktualisiere Indizies:
      r: = r;
      m: = m - 1;
      Vertausche Nebenbedingungen:
      J: = (j1, . . ., j2n+6).
      Aktualisiere Matrixfaktorisierungen:
      Y ist die Teilmatrix von Qt, die die Spalten 1 bis r von Qt enthält.
      Z ist die Teilmatrix von Qt, die die Spalten r + 1 bis n von Qt enthält.
      L: = Rt;
      S: = (2,. . ., l0-1, 1,. . ., l0+1,. . ., m-r).
      dabei bezeichnen die 1 die Spalten von .
      Ende der Funktion Φ-.
      Definition der Funktion Φ0 A:
      (r, J, Y, Z, L, S): = Φ0 A(Â, m, J).
  • 1. Definiere:
    A0: = Â, i: = 0.
  • 2. Definiere folgende Matrizenrekursion:
    Ai+1: = HiAi, i ≧ 0.
    Der unitäre Transformator Hi ∈ R n,n ist wie folgt erklärt:
    Die Householderreflexion i ∈ R n-i,n-i ist so definiert, daß gilt:
    |ã i|k0|e1 = iã i|k0,
    mit e1: = (1,0, . . ., 0) ∈ R n-i. Dabei bezeichnen die Vektoren ã i|k ∈ R n-i, k = 1, . . ., n - i die Spalten der Matrix Ãi ∈ R n-i,m-i:
    Ferner ist 1 ≦ k0 ≦ n - i der kleinste Index mit ã i|k0 ≠ 0. Falls kein solches k0 existiert, dann gehe zu Schritt III, sonst gehe zu Schritt IV.
  • 3. Definiere Indizies:
    r: = i;
    J: = (j1, . . ., j2n+6).
    Definiere Matrixfaktorisierungen:
    Q: = HH . . . H0;
    Y ist die Teilmatrix von Qt, die die Spalten 1 bis r von Qt enthält.
    Z ist die Teilmatrix von Qt, die die Spalten r + 1 bis n von Qt enthält.
    Es ist T die Matrix, die durch Streichen der Zeilen r + 1 bis n aus Ai+1 entsteht.
    Definiere L ∈ R und S ∈ R gemäß:
    (Lt, S): = T.
    Stop: Ausführung der Funktion Φ0 A ist beendet!
  • 4. Vertausche die Spalte i + k0 mit der Spalte i + 1 in Ai.
    Setze jk: = jk k, erhöhe den Zählindex i = i + 1 und gehe zu Schritt II.
    Ende der Funktion Φ0 A.
    Definition der Funktion Φ0 Z:
    (QZ, RZ): = Φ0 Z(Z, r).
    Bestimme die QR-Dreieckszerlegung von Z:
    Dabei bezeichnen QZ ∈ R n,n eine unitäre Matrix und RZ ∈ R r,r eine obere Dreiecksmatrix.
    Ende der Funktion Φ0 Z.

Claims (9)

1. Verfahren zur Kommandosteuerung eines Manipulators auf der Basis von mit Hilfe einer Handsteuerkugel oder dgl. von einem Programmierer oder einer übergeordneten Aufgabe kom­ mandierten Endeffektor-Zielverschiebungen (Δxd) in Verbin­ dung mit einer Berechnung von Gelenkpositionswerten ent­ sprechend einem Algorithmus inverser Kinematik, gekenn­ zeichnet durch folgende Merkmale:
  • - ausgehend von einer kommandierten Endeffektor-Zielver­ schiebung und dem aktuellen Istwert (qi) der Gelenkposi­ tionen des Manipulators wird
    • - unter Berücksichtigung einer zu minimierenden Gütefunk­ tion (f(q)), die durch nichtnegative Gewichtungswerte (αj, βj, γj) parametriert ist
    • - und unter Berücksichtigung von Bahnbeschränkungen durch physikalische Gelenkanschläge (qmin, qmax), maximaler Ge­ lenkgeschwindigkeit (max), maximaler Gelenkbeschleuni­ gung (max) in einer Umgebung physikalischer Gelenkan­ schläge und der kinematischen Gleichung,welche durch die Jakobi-Matrix (J(q)) repräsentiert ist
    eine neue Gelenkposition (qi+1) berechnet, die die neuen Werte für die Gelenkregler vorgibt, wobei die Gütefunktion (f(q)) die Summe aus Energiekriterium, Referenzlagenkriteri­ um, Beschleunigungskriterium und einem Zusatzkriterium ist,
    • - dabei berechnet sich das Energiekriterium aus
      (q-qi)tdiag(αj)(q-qi)
    • - das Referenzlagenkriterium aus
      (q-qref)tdiag(βj)(q-qref)
      wobei die Größe qref ein vorgegebener Gelenkpositionswert ist, der derart festgelegt ist, daß die Folge der be­ rechneten Gelenkpositionswerte (qi) nahe um diesen Refe­ renzpositionswert verläuft;
    • - das Beschleunigungskriterium aus
      (q-2qi + qi-1)tdiag(γj)(q-2qi + qi-1), und
    • - das Zusatzkriterium aus -p,
      wobei der skalare Parameter p der kinematischen Glei­ chung p.Δxd = J(qi)(q-qi), und der Ungleichung 0 ≦ p ≦ 1 genügt, wobei p.100 die prozentuale Realisierung der kommandierten Endeffektor-Zielverschiebung (Δxd) ist,
  • - ausgehend von einem Gelenkpositionswert qi als Start­ punkt wird auf Basis der Gütefunktion ein zulässiger Op­ timierungsvektor bestimmt bezüglich aller aktiven Neben­ bedingungen, die angeben, welche Bahnbeschränkungen er­ reicht sind und dieser wird skaliert entsprechend den inaktiven Nebenbedingungen, die angeben, welche Bahnbe­ schränkungen nicht erreicht sind;
  • - der skalierte Optimierungsvektor wird auf den im vorigen Iterationsschritt berechneten Gelenkpositionswert ad­ diert;
  • - und auf Basis der Gütefunktion und der in der neu be­ rechneten Gelenkposition aktivierten Nebenbedingungen wird die Optimalität dieser Gelenkpositionswerte bewer­ tet.
2. Verfahren nach Anspruch 1 unter Benutzung der Jacobi- Matrix der Kinematik, wobei ausgehend von einer kommandier­ ten Endeffektor-Zielverschiebung Δxc: = (Δxt, Δxr) zu einem Zeitpunkt Ti, worin Δxt ∈ R 3 bzw. Δxr ∈ R 3 jeweils den translatorischen bzw. rotatorischen Anteil der kommandierten Endeffektor-Zielverschiebung bezeichnen, Δxt max bzw. Δxr max jeweils den maximalen (skalarwertigen), vom Operateur vorge­ gebenen translatorischen bzw. rotatorischen kartesischen La­ geversatz des Endeffektors pro Abtastzeit ΔT definieren, die gewünschte kartesische translatorische bzw. rotatorische Endeffektor-Zielverschiebung Δx d|t bzw. Δx d|r pro Abtastzeit ΔT wie folgt erklärt ist:
(der Betrag |x| eines Vektors x ist dabei und im weiteren durch seine euklidische Norm
gegeben), und die gewünschte Endeffektor-Zielverschiebung durch Δxd: = (Δx d|t, Δx d|r) erklärt ist, dadurch gekennzeich­ net, daß die drei Kriterien, nämlich die Energiekriterien, Referenzlagenkriterien und Beschleunigungskriterien entspre­ chend den vorherrschenden problemspezifischen Anforderungen geeignet gewichtet werden, indem jeder Achse j drei positi­ ve, vom Operateur vorgegebene Zahlenwerte αj, βj, γj zugewie­ sen werden, von denen der Wert αj der Gewichtung eines Ener­ giekriteriums, das die Differenz zweier benachbarter berech­ neter Gelenkpositionen von Achse j bewertet, der Wert βj der Gewichtung eines Kriteriums, das die Auslenkung der Ge­ lenkposition qj von einem ebenfalls vom Operateur vorgege­ benen Referenzwert qref,j bewertet, und der Wert γj der Ge­ wichtung eines Kriteriums, das das Beschleunigungsverhalten in Form eines Gelenkgeschwindigkeitsversatzes der Gelenk­ achse qj bewertet, dient, der genauso vom Operateur vorgege­ ben wird wie die Bahnbeschränkungen betreffenden physikali­ schen Gelenkanschläge qmin, qmax des Manipulators sowie die Gelenkgeschwindigkeitsbeschränkungen max und die Gelenkbe­ schleunigungsbeschränkungen max, daß bei der Erlangung der Verfahrensausgangsgrößen zu einer gewünschten Endeffektor- Zielverschiebung Δx i|d zum Zeitpunkt Ti-1 während des Zeitin­ tervalls ΔT mit dem sich in einer Initialisierungsphase und einer nachfolgenden Optimierungsphase abwickelnden Algorith­ mus der inversen Kinematik ein zulässiger optimaler Gelenk­ positionsversatz Δqi berechnet wird, wobei sich der aktuelle Sollwert an die Gelenkregler aus q i+1|soll: = q i|soll + Δqi erklärt (mit q i|soll werden im Zeitraum ΔT die Gelenkpositionen durch die Gelenkregler entsprechend verfahren) und unter einem zu­ lässigen Gelenkpositionsversatz verstanden wird, daß der mit Δq aktualisierte Gelenkpositionswert den physikalischen Ge­ lenkanschlägen qmin, qmax entsprechend qmin ≦ qsoll + Δq ≦ qmax und Δq den Gelenkgeschwindigkeitsbeschränkungen max ent­ sprechend |Δqi| ≦ max ΔT genügt und die Beschränkungen der Ge­ lenkbeschleunigungen beim Annähern von Gelenkpositionen auf die physikalischen Gelenkanschläge zuverlässig eingehalten werden und die Art der Optimalität von Δqi vom Operateur durch die Gütekriteriengewichtung α, β, γ festlegbar ist und die Abtastzeit ΔT dabei entsprechend ΔT ≧ max (Δtq, Δtr) so bemessen ist, daß die Rechenzeit Δtq zur Berechnung eines optimalen zulässigen Gelenkpositionsversatzes Δq und die Einregelzeit Δtr welche die Regler zur Angleichung der Achs­ positionen an die Sollwerte qsoll benötigen, innerhalb der Zeitspanne ΔT liegen.
3. Verfahren nach Anspruch 2, gekennzeichnet durch die Anwendung bei der interaktiven Bahnführung des Manipulators auf der Basis von mit Hilfe einer Handsteuerkugel (Spacemouse) od. dgl. von einem Operateur kommandierter End­ effektor-Zielverschiebungen.
4. Verfahren nach Anspruch 2, gekennzeichnet zur An­ wendung als modularer Baustein einer übergeordneten Aufgabe mit von der übergeordneten Aufgabe kommandierten Endeffek­ tor-Zielverschiebungen.
5. Verfahren nach Anspruch 4, dadurch gekenn­ zeichnet, daß die übergeordnete Aufgabe eine solche ist, wie sie durch Kraftregelungsaufgaben gestellt ist.
6. Verfahren nach Anspruch 2, dadurch gekenn­ zeichnet, daß die inkrementelle kinematische Gleichung unter der Voraussetzung, daß Ji, i = 1, . . ., ndof die Spalten der Jacobi-Matrix der Kinematik im Punkt qi, ndof die Anzahl der Gelenke und εi: = i|max ΔT den maximal erlaubten Ge­ lenkpositionsversatz pro Abtastzeit ΔT beschreiben, mit
lautet, daß sich aufgrund der Bahnbeschränkungen die Boxbe­ schränkungen
ergeben, wobei qi den jüngst berechneten, zulässigen Sollpo­ sitionssatz, auf dessen Werte die Achsen des Roboters be­ reits eingeregelt sind, bezeichnet, daß weiterhin
wobei Δq1 das jüngst berech­ nete Inkrement der i-ten Gelenkachse bezeichnet, definiert wird, daß zur Erfüllung aller Bahnbeschränkungen gemäß der kinematischen Gleichung (1) die gewünschte Endeffektor- Zielverschiebung einer zentrischen Streckung unterworfen wird, die sich in Form eines Skalars 0 ≦ p ≦ 1 beschreiben läßt, wobei p.100 die prozentuale Realisierung der gewünsch­ ten Endeffektor-Zielverschiebung ist und die Größe p so ma­ ximiert wird, daß alle Bahnbeschränkungen eingehalten wer­ den, daß b: = (0, 0, 0, 0, 0, 0, ymin, 0, -ymax, -1) ∈ R 2n+6, den zu be­ stimmenden Parametervektor x: = (y, p) und die Matrix der Gra­ dienten aller Nebenbedingungen A ∈ R 2n+6,n mit n: = ndof + 1:
definiert werden, wobei In ∈ R n,n die Einheitsmatrix und ai, i = 1, . . ., 2n + 6 die Zeilen von A bezeichnen, und daß die Gewichte α, β, γ der Kriterien den Cholesky-Faktor der Hesse­ matrix aus der skalierten Summe der Kriterien, nämlich des Energiekriteriums, des Referenzlagenkriteriums, des Be­ schleunigungskriteriums und des Zusatzkriteriums, in Form der Diagonalmatrix Λ ∈ R n,n definieren, deren Hauptdiagona­ lelemente
7. Verfahren nach Anspruch 6, dadurch gekenn­ zeichnet, daß beim verwendeten Algorithmus der inversen Kinematik eine Initialisierungsphase durchgeführt wird, die folgendermaßen ausgestaltet ist:
Zählindex: k = 0; Startwert: xk = (yk, pk) = 0; k max < 2; initialisiere mit mk: = 7 die Matrix der Gradienten der ak­ tiven Nebenbedingungen Ât ∈ R mk,n:
initialisiere die Indexmenge Jk: = (j 1|k, j 2|k, . . ., j 2n+6|k) zur Kenn­ zeichnung der aktiven, singulären und inaktiven Nebenbedin­ gungen:
initialisiere die orthogonale Dreieckszerlegung von Â:
(rk, Jk, Yk, Zk, Lk, Sk): = Φ0 A(Â, mk, Jk);
initialisiere die orthogonale, reguläre Dreieckszerlegung von Z: = ΛZk:
(Q Z|k, R Z|k): = Φ0 Z(Z, rk);
initialisiere den Gradientenvektor der Gütefunktion f(q):
g0 ∈ R n: gk: = 2(β scal|l(y l|k - y l|ref) + γ scal|l(y l|k - y l|acc)
+ α scal|ly l|k, . . ., β scal|ndof(y ndof|k - y ndof|ref) + γ scal|ndof(y ndof|k - y ndof|acc) + α scal|ndofy ndof|k, -1),
wobei für gk folgende Kurzschreibweise verwendet wird:
2(β scal|i(y i|k - y i|ref) + γ scal|i(y i|k - y i|acc) + α scal|iy i|k, -1),
daß beim verwendeten Algorithmus der inversen Kinematik an­ schließend eine Optimierungsphase durchgeführt wird, die folgendermaßen ausgestaltet ist:
  • I. Berechne die Optimierungsrichtung dk:
    R Z|kdaux = -Q Z|kZkgk.
    Bestimme hieraus daux durch Rückwärtssubstitution.
    R Z|kdZ = Q Z|kdaux.
    Bestimme hieraus dZ durch Rückwärtssubstitution. Definiere die Optimierungsrichtung:
    dk: = ZkdZ.
  • II. Bestimme die maximale Schrittweite sk und den Index j i0|k der beschränkenden Nebenbedingung:
    (Bei Mehrdeutigkeit wähle dasjenige j0 mit kleinstem Index i0).
  • III. Prüfe auf Optimalität und Update aller Matrix- und In­ dexgrößen.
    • (a) Falls sk < 1 (Nebenbedingung j 0|k ist aktiv gewor­ den):
      • i. Falls mk < n (es gibt noch inaktive Nebenbedin­ gungen):
        • - xk+1 = xk + skdk, xk+1 = (yk+1, pk+1);
          gk+1 = 2(β scal|i(y i|k+1 - y i|ref) + γ scal|i(y i|k+1 - y i|acc) + α scal|iy i|k+1, -1).
        • - Aktualisiere Matrixfaktorisierungen und Indexmenge:
          (rk+1, mk+1, Jk+1, Yk+1, Zk+1, Lk+1, Sk+1): = Φ+ A(i0, rk, mk, Jk, Yk, Zk, Lk, Sk.
          Prüfe xk+1 auf Optimalität:
          Falls Z t|k+1gk+1 = 0;
          und λk+1 = LLS(rk+1, mk+1, gk+1, Yk+1, Lk+1) ≧ 0
          dann: Gehe zu Schritt IV.
          Sonst: k = k+1 (erhöhe Iteratonsindex)
          Falls k < k max: Gehe zu Schritt IV.
          Sonst: Bestimme die orthogonale, reguläre Dreieckszerlegung von
          Z: = ΛZk+1:
          (Q Z|k+1, R Z|k+1): = ΦZ(Z, rk+1).
          Gehe zu Schritt I.
      • ii. Falls mk = n (Ecke des zulässigen Bereichs erreicht, Austausch aktiver Nebenbedingungen erforderlich):
        • - xk+1 = xk + skdk, xk+1 = (yk+1, pk+1);
          gk+1 = 2(β scal|i(y i|k+1 - y i|ref) + γ scal|i(y i|k+1 - y i|acc) + α scal|iyk+1, -1);
          λk = LLS(rk+1, mk+1, gk, Yk, Lk).
        • - Gebe eine Rechnung frei mit höchstem Optimierungspotential:
        • - Aktualisiere Matrixfaktorisierungen und Indexmenge:
          (k, k, k, k, k, k, k): = Φ- A(j0, rk, mk, Jk, Yk, Zk, Lk, Sk).
        • - Aktive Nebenbedingung j i0|k.
          Aktualisiere Matrixfaktorisierungen und Indexmenge:
          (rk+1, mk+1, Jk+1, Yk+1, Zk+1, Lk+1, Sk+1): = Φ+ A(i0, k, k, k, k, k, k, k).
        • - Prüfe xk+1 auf Optimalität:
          Falls Z t|k+1gk+1 = 0;
          und λk+1 = LLS(rk+1, mk+1, gk+1, Yk+1, Lk+1) ≧ 0
          dann: Gehe zu Schritt IV.
          Sonst: k = k + 1 (erhöhe Iteratonsindex)
          Falls k < k max: Gehe zu Schritt IV.
          Sonst: Bestimme die orthogonale, reguläre Dreieckszerlegung von Z: = ΛZk+1:
          (Q Z|k+1, R Z|k+1): = ΦZ(Z, rk+1).
          Gehe zu Schritt I.
    • (b) Falls sk = 1 (keine neue aktive Nebenbedingung).
        • - xk+1 = xk + dk, xk+1 = (yk+1, pk+1);
          gk+1 = 2(β scal|i(y i|k+1 - y i|ref) + γ scal|i(y i|k+1 - y i|acc) + α scal|iy i|k+1, -1);
        • - Aktualisiere Matrixfaktorisierungen und Indexmenge:
          (rk+1, mk+1, Jk+1, Yk+1, Zk+1, Lk+1, Sk+1): = (rk, mk, Jk, Yk, Zk, Lk, Sk).
        • - Prüfe xk+1 auf Optimalität:
          Falls Z t|k+1gk+1 = 0;
          und λk+1 = LLS(rk+1, mk+1, gk+1, Yk+1, Lk+1) ≧ 0
          dann: Gehe zu Schritt IV.
          Sonst: Gebe eine Richtung frei mit höchstem Optimierungspotential:
        • - Aktualisiere Matrixfaktorisierungen und Indexmenge:
          (rk+1, mk+1, Jk+1, Yk+1, Zk+1, Lk+1, Sk+1): = Φ- A(j0, rk, mk, Jk, Yk, Zk, Lk, Sk)
        • - k = k + 1 (erhöhe Iteratonsindex)
        • - Falls k < k max: Gehe zu Schritt IV.
          Sonst: Bestimme die orthogonale, reguläre Dreieckszerlegung von Z: = ΛZk+1:
          (Q Z|k+1, R Z|k+1): = ΦZ(Z, rk+1).
          Gehe zu Schritt I.
  • IV. Lösung xk+1 ermittelt. Stop!
    Ende des Algorithmus der inversen Kinematik.
    Definition der Funktion LLS:
    λ = LLS(r, m, g, Y, L).
    λi: = 0, i = r + 1, . . ., m;
    λnL: = (λr+1, . . ., λm);
    LtλL = Ytg.
    Bestimme hieraus λL ∈ R r durch Rückwärtssubstitution. Definiere den Ausgabewert der Funktion:
    λ: = (λL, λnL).
    Mit leq: = 1 + max1 ≦ i ≦ m) |λ(i)| setze diejenigen Komponenten von λ auf den Wert leq, die zu den Gleichungsnebenbedingungen (1) gehören.
    Ende der Funktion LLS.
    Definition der Funktion Φ+:
    (r, m, J, Y, Z, L, S) = Φ+ A(i0, r, m, J, Y, Z, L, S).
    Aktiviere Nebenbedingung ji0. Es bezeichne aj0 mit j0: = ji0 die ji0 Zeile von A. Definiere Qt: = (Y, Z) und bilde a: = Qaj0. Partitioniere a =: (aY, aZ) mit ay ∈ R r und aZ ∈ R n-r. Bestimme die Householderreflexion ∈ R n-r,n-r so, daß gilt:
    |aZ|e1 = aZ,
    mit e1: = (1,0, . . ., 0) ∈ R n-r. Definiere den unitären Transformator H ∈ R n,n gemäß:
    Definiere den unitären Transformator:
    Q: = HQ;
    Aktualisiere Indizies:
    Vertausche Nebenbedingungen:
    Falls r ≠ r, dann
    sonst
    J: = (j1, . . ., j2n+6).
    Aktualisiere Matrixfaktorisierungen:
    Y ist die Teilmatrix von Qt, die die Spalten 1 bis r von Qt enthält.
    Z ist die Teilmatrix von Qt, die die Spalten r + 1 bis n von Qt enthält.
    Ende der Funktion Φ+.
    Definition der Funktion Φ-:
    (r, m, J, Y, Z, L, S) = Φ- A(j0, r, m, J, Y, Z, L, S).
    Inaktiviere Nebenbedingung jj0.
    • - Falls j0 < r: (Eliminiere singuläre aktive Nebenbedingung)
      Aktualisiere Indizies:
      r: = r;
      m: = m - 1;
      Vertausche Nebenbedingungen:
      J: = (j1, . . ., j2n+6).
      Aktualisiere Matrixfaktorisierungen:
      Y: = Y;
      Z: = Z;
      L: = L;
      S: = (S1, . . ., Sj0-r-1, Sj0-r+1, . . ., Sm-r),
      dabei bezeichnen Si die Spalten von S.
    • - Falls j0 ≦ r: (Eliminiere reguläre aktive Nebenbedingung) ergibt sich aus R: = Lt durch Streichen der j0-ten Spalte. Die an den Stellen (j0, j0 + 1), (j0 + 1, j0 + 2), . . ., (r, r +1) auftretenden Elemente von werden durch Linksmultiplikation mit einer Folge von unitären Eliminationsmatrizen j0,j0+1, . . ., r-1,r ∈ R r,r annulliert. Definiere lineare Transformatoren:
    • - Falls die letzte Zeile von null ist oder falls r = m:
      Aktualisiere Indizies:
      r: = r - 1;
      m: = m - 1;
      Vertausche Nebenbedingungen:
      J: = (j1, . . ., j2n+6).
      Aktualisiere Matrixfaktorisierungen:
      Y ist die Teilmatrix von Qt, die die Spalten 1 bis r von Qt enthält.
      Z ist die Teilmatrix von Qt, die die Spalten r + 1 bis n von Qt enthält. Falls r < m streiche die letzte Zeile von und . Setze:
      L: = t;
      S: = ;
    • - Sonst (wandle singuläre aktive Nebenbedingungen in reguläre aktive Nebenbedingung):
      Bestimme das Element der letzten Zeile von mit dem kleinsten Index l0 derart, daß gilt:
      r,l0 ≠ 0.
      Vertausche Spalte l0 mit Spalte 1 von . Definiere linearen Transformator:
      R: = (, l0),
      dabei bezeichnet l0 die l0-te Spalte von .
      Aktualisiere Indizies:
      r: = r;
      m: = m - 1;
      Vertausche Nebenbedingungen:
      J: = (j1, . . ., j2n+6).
      Aktualisiere Matrixfaktorisierungen:
      Y ist die Teilmatrix von Qt, die die Spalten 1 bis r von Qt enthält.
      Z ist die Teilmatrix von Qt, die die Spalten r + 1 bis n von Qt enthält.
      L: = Rt;
      S: = (2, . . ., l0-1, 1, . . ., l0+1, . . ., m-r,
      dabei bezeichnen die 1 die Spalten von .
    Ende der Funktion Φ-.
    Definition der Funktion Φ0 A:
    (r, J, Y, Z, L, S): = Φ0 A(Â, m, J).
  • A. Definiere:
    A0: = Â, i: = 0.
  • B. Definiere folgende Matrizenrekursion:
    Ai+1: = HiAi, i ≧ 0.
    Der unitäre Transformator Hi ∈ R n,n ist wie folgt erklärt:
    Die Householderreflexion i ∈ R n-i,n-i ist so definiert, daß gilt:
    |ã i|k0|e1 = iã i|k0,
    mit e1: = (1,0, . . ., 0) ∈ R n-i. Dabei bezeichnen die Vektoren ã i|k ∈ R n-i, k = 1, . . ., n - i die Spalten der Matrix Ãi ∈ R n-i,m-i:
    Ferner ist 1 ≦ k0 ≦ n - i der kleinste Index mit ã i|k0 ≠ 0. Falls kein solches k0 existiert, dann gehe zu Schritt III, sonst gehe zu Schritt IV.
  • C. Definiere Indizies:
    r: = i;
    J: = (j1, . . ., j2n+6).
    Definiere Matrixfaktorisierungen:
    Q: = HH . . . H0;
    Y ist die Teilmatrix von Qt, die die Spalten 1 bis r von Qt enthält.
    Z ist die Teilmatrix von Qt, die die Spalten r + 1 bis n von Qt enthält.
    Es ist T die Matrix, die durch Streichen der Zeilen r + 1 bis n aus Ai+1 entsteht.
    Definiere L ∈ R und S ∈ R gemäß:
    (Lt, S): = T.
    Stop: Ausführung der Funktion Φ0 A ist beendet!
  • D. Vertausche die Spalte i + k0 mit der Spalte i + 1 in Ai.
    Setze jk: = jk k, erhöhe den Zählindex i = i + 1 und gehe zu Schritt II.
    Ende der Funktion Φ0 A.
    Definition der Funktion Φ0 Z:
    (QZ, RZ): = Φ0 Z(Z, r).
    Bestimme die QR-Dreieckszerlegung von Z:
    Dabei bezeichnen QZ ∈ R n,n eine unitäre Matrix und RZ ∈ R r,r eine obere Dreiecksmatrix.
    Ende der Funktion Φ0 Z.
8. Verfahren nach einem der Ansprüche 2 bis 5, dadurch gekennzeichnet, daß die zu einem Zeitpunkt Ti kommandierte kartesische Endeffektor-Zielverschiebung Δxc vom Operateur und/oder einer übergeordneten Aufgabe, z. B. einer Kraftregelungsaufgabe, in Form eines 6-dimensionalen Inkrementvektors kommandiert wird.
9. Verfahren nach Anspruch 8, dadurch gekennzeichnet, daß der Inkrementvektor der zu einem Zeitpunkt Ti kommandierten kartesischen Endeffektor-Zielverschiebung Δxc vom Operateur und/oder einer übergeordneten Aufgabe, z. B. einer Kraftregelungsaufgabe, durch Differenzbildung absoluter Endeffektorkoordinaten bestimmt wird.
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