DE10015700A1

DE10015700A1 - Verfahren und Schaltungsanordnung zur Abtastratenwandlung digitaler Signale

Info

Publication number: DE10015700A1
Application number: DE2000115700
Authority: DE
Inventors: Tim Hentschel
Original assignee: Technische Universitaet Dresden
Current assignee: Signalion GmbH
Priority date: 2000-03-27
Filing date: 2000-03-27
Publication date: 2001-10-11
Anticipated expiration: 2020-03-28
Also published as: DE10015700B4

Abstract

Die Erfindung betrifft ein Verfahren zur Abtastratenwandlung digitaler Signale, wobei ein erstes digitales Signal x(kT¶1¶) mit einer ersten Abtastrate DOLLAR I1 = 1/T¶1¶ in ein zweites digitales Signal y(mT¶2¶) mit einer zweiten Abtastrate DOLLAR I2 = 1/T¶2¶ umgeformt wird, wobei die zweite Abtastrate DOLLAR I3 zur ersten Abtastrate DOLLAR I4 in einem reellen Verhältnis steht und die notwendige Filterung mit einem Filter, dessen Impulsantwort h(t) durch stückweise Polynome gleicher Länge DELTA dargestellt werden kann, realisiert wird, dadurch gekennzeichnet, dass die Abtastperiode T¶2¶ des Ausgangssignals ein ganzzahliges Vielfaches der Länge DELTA der Polynomstücke der Impulsantwort ist. Eine Schaltungsanordnung wird beschrieben.

Description

Die Erfindung betrifft ein Verfahren zur Abtastratenwandlung digitaler Signale, wobei ein erstes digitales Signal x(kT₁) mit einer ersten Abtastrate f₁ = 1/T₁ in ein zweites digitales Signal y(mT₂) mit einer zweiten Abtastrate f₂ = 1/T₂ umgeformt wird, wobei die zweite Abtastrate f₂ zur ersten Abtastrate f₁ in einem reellen Verhältnis steht.

Die Erfindung betrifft auch eine Schaltungsanordung zur Abtastratenwandlung zwischen einem digitalen Signal x(kT₁) mit einer Abtastrate f₁ = 1/T₁ und einem zweiten Signal y(mT₂) mit einer Abtastrate f₂ = 1/T₂, wobei die Abtastraten in einem reellen Verhältnis zueinander stehen.

Bei der digitalen Signalverarbeitung werden digitale Signale verwendet, die Analogsignale repräsentieren. Dabei entspricht ein Digitalwert einem Signalwert des Analogsignals zu einem bestimmten Abtastzeitpunkt. Um ein digitales Signal zu erhalten, wird das analoge Signal abgetastet, d. h. es werden Proben ("samples") des Analogsignals genommen und mit Hilfe eines Schemas in Zahlenwerte umgewandelt. Die Abtastung erfolgt üblicherweise äquidistant, d. h. dass der zeitliche Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Abtastwerten konstant ist. Das digitale Signal kann als Folge {x[k]} mit x[k] = x(kT₁) aufgefasst und dargestellt werden. Eine grundlegende Eigenschaft des Abtastvorganges ist die spektrale Vervielfachung des Signales, die sich in den bekannten Phänomenen "Aliasing" (spektrale Überlappung) und "Imaging" (spektrale Wiederholung ohne Überlappung) äußert.

Oft werden Abtastwerte digitaler Signale benötigt, die an Stellen (d. h. Zeitpunkten) liegen, an denen das gegebene Signal keine Werte aufweist (d. h. an denen es nicht definiert ist). Diese Werte können berechnet werden. Dazu kann das erste digitale Signal x(kT₁) in ein analoges Signal zurückgewandelt werden, das dann mit der gewünschten Abtastrate f₂ = 1/T₂ abgetastet wird. Dieses (theoretische) Verfahren ist in Abb. 1 dargestellt.

Es gelte:

wobei mit

der bekannte Dirac-Impuls gegeben ist.

Somit gilt für das Ausgangssignal des Systems:

Durch Umformung und Einführung der Größen

kann das Ausgangssignal des Systems folgendermaßen beschrieben werden:

Diese Formel beschreibt die zeitdiskrete Faltung des Eingangssignals mit der Impulsantwort des Filters h(t), das mit der Abtastrate f₁ = 1/T₁ abgetastet wird, allerdings mit für jeden Ausgangswert anderer zeitlicher Verzögerung µ_mT₁ ∈ [0,T₁). Somit wird für jeden berechnteten Ausgangswert des Signals y(mT₂) ein anderes Digitalfilter verwendet. Die Filteroperation aus Gleichung (**) ist eine zeitvariante Filteroperation.

Die Größe µ_m ∈ [0,1) wird als "inter-sample position" bezeichnet und stellt die Position des zu berechnenden Ausgangswertes innerhalb einer Abtastperdiode T₁ des Eingangssignals dar.

Im Falle eines rationalen Verhältnisses der Abtastraten

kann die Größe µ_m genau L verschiedene Werte annehmen, wobei der kleinste gemeinsame Teiler von L und M Eins sei. Gleichung (**) beschreibt in diesem Falle eine periodisch zeitvariante Filteroperation mit der Periode LT₂ = MT₁. Eine Schaltungsanordung zur Abtrastratenwandlung mit einem periodisch zeitvarianten Filter, die sich aus Gleichung (**) ergibt, ist in Abb. 2 gezeigt (es gilt λ = µ_mL). Da sie im Falle M = 1 zur ganzzahligen Erhöhung der Abtastrate um L genutzt werden kann, wird sie auch als Polyphaseninterpolator bezeichnet.

Offensichtlich ist es nicht möglich, unendlich viele Teilfilter (auch Polyphasenzweige genannt) zu realisieren. Aber auch im Falle der Abtastratenwandlung mit rationalem Faktor ist es oft mit hohem Aufwand verbunden, eine große Anzahl von Polyphasenzweigen aufzubauen (wenn L groß ist). Hinzu kommt das Problem, die ganze Struktur ändern zu müssen, wenn sich der Ratenanpassungsfaktor L/M ändert.

Um diese Nachteile zu vermeiden, können die notwendigen Abtastwerte der Impulsantworten der Teilfilter erst dann berechnet werden, wenn sie gebraucht werden, anstatt sie zu speichern. Lediglich eine Rechenvorschrift wird gespeichert. Dann können beliebige Abtastwerte von h(T₂(n + µ_m)) berechnet werden. Der Speicherbedarf für die Rechenvorschrift ist gewöhnlich gering. Damit ergibt sich eine enorme Einsparung an Speicherbedarf. Desweiteren sind auch irrationale Ratenanpassungsfaktoren realisierbar, da µ_m nicht mehr periodisch sein muss. Somit können rein rechnerisch unendlich viele Polyphasenzweige erzeugt werden.

Ein diese Vorteile begrenzender Faktor ist der Aufwand, der nötig ist, um die Abtastwerte der Teilfilter zu berechnen.

Um diesen Aufwand so gering wie möglich zu halten, haben sich Polynomfilter als praktikabel erwiesen. Dabei wird die zeitkontinuierliche Impulsantwort h(t) stückweise durch Polynome beschrieben, deren Funktionswerte die Abtastwerte der Impulsantwort darstellen. Eine weitere Möglichkeit ist, dass die aus stückweisen Polynomen zusammengesetzte Impulsantwort h(t) eine Zielimpulsantwort eines Prototypenfilters h_proto(t) approximiert. Das ist in Abb. 3 skizziert.

Die Impulsantwort h(t) eines durch stückweise Polynome beschriebenen Filters ist

mit den Polynomstücken

wobei Δ = T₁ die Länge der N Polynomstücke vom Grade n - 1 ist. Somit gilt für die Abtastwerte der Impulsantwort h(t) an den Stellen t = T₁(n + µ_m):

Es ergibt sich eine prinzipielle Struktur gemäß Abb. 4, die die Struktur aus Abb. 2 ersetzt. Mit Hilfe von µ_m ist jedes beliebige Teilfilter auswählbar. Die Kästchen mit den c_k(i) stellen Transversalfilterstrukturen dar, die für jedes k (Grad des jeweiligen Terms des Polynoms) alle zu diesem Zeitpunkt notwendigen Polynomstücke beschreiben. die Koeffizienten c_k(i) können auch zeitvariant sein. Die gewonnene Struktur heißt Farrow-Struktur (C. W. Farrow, A Continuously Varable Digital Delay Element, IEEE International Symposium on Circuits and Systems 1988, S. 2641-2465.) und stellt den Stand der Technik dar. Mit zeitvarianten Koeffizienten c_k(i) und

wurde die Struktur als Verallgemeinerte Farrow-Struktur (T. A. Ramstad, Fractional Rate Decimator and Interpolator Design, Proceedings of the European Signal Processing Conference 1998.) eingeführt. Sie stellt ebenfalls den Stand der Technik dar. Eine typische detaillierte Darstellung der Farrow-Struktur ist in Abb. 5 dargestellt.

Wie in Gleichung (**) zu erkennen ist, wird bei der Farrow-Struktur die Impulsantwort des Filters h(t) mit der Abtastrate f₁ = 1/T₁ des Eingangssignals abgetastet. Das hat bei verschiedenen Filtertypen Nachteile auf die hier nicht eingegangen werden soll.

Die Aufgabe der Erfindung besteht darin, eine Lösung zur Abtastratenanpassung mit Polynomfiltern, deren Impulsantwort h(t) mit der Abtastrate f₂ = 1/T₁ des Ausgangsssignals abgetastet wird, anzugeben. Die resultierende Struktur soll dabei nicht komplizierter als die Farrow-Struktur sein.

Erfindungsgemäß wird die Aufgabe durch ein Verfahren mit den im Anspruch 1 genannten Merkmalen gelöst. Vorteilhafte Varianten des Verfahrens ergeben sich im Zusammenhang mit den in den Unteransprüchen genannten Merkmalen. Die Aufgabe wird weiterhin durch eine Schaltungsanordnung mit den im Anspruch 6 genannten Merkmalen gelöst. Vorteilhafte Ausgestaltungen ergeben sich aus den abhängigen Unteransprüchen.

Das Wesen der Erfindung besteht in der Kombination aus Polynomfilter und Polyphasendezimator, d. h. einer Implementierung eines digitalen zeitkontinuierlichen Polynomfilters, dessen Impulsantwort mit der Abtastrate des Ausgangssignals abgetastet wird.

Die Anwendung der gleichen Koeffizienten c_k(i) mit der Farrow-Struktur oder der die Erfindung betreffenden Struktur stellt zwei verschiedene Filter dar, da die berechneten Abtastwerte bei der Farrow-Struktur einen Abstand von T₁ haben, während dieser Abstand bei der die Erfindung betreffenden Struktur T₂ beträgt. Dieser Unterschied hat wesentlichen Auswirkungen auf die Übertragungseigenschaften beider Systeme.

Gemäß der Schaltung beruht die Lösung auf der Kombination von Polynomfiltern mit einem sogenannten Polyphasendezimator im Gegensatz zum Polyphaseninterpolator bei der Farrow- Struktur.

Die Klasse der interpolierten FIR-Filter, die von Y. Neuvo, D. Cheng-Yu und S. K Mitra: Interpolated Finite Impulse Response Filters, IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing, vol. ASSP-32, Nr. 3, Juni 1984, S. 563-570. vorgeschagen wurden, gehören zu den stückweisen Polynomfiltern und können somit sowohl auf der Farrow-Struktur als auch auf der die Erfindung betreffenden Struktur implementiert werden.

Die Erfindung wird nachfolgend an Hand von Ausführungsbeispielen näher erläutert. In den Zeichnungen zeigen:

Abb. 1 eine Abtastratenwandlung durch Wandlung des zeitdiskreten Signals in ein zeitkontinuierliches Signal und erneute Abtastung

Abb. 2 ein typisches Blockschaltbild eines Polyphaseninterpolators

Abb. 3 eine Approximation der Prototypen-Impulsantwort h_proto(t) durch Impulsantwort h(t), die aus stückweisen Polynomen zusammengesetzt ist

Abb. 4 eine Struktur, die alle Polyphasenzweige aus Abb. 2 ersetzen kann und damit eine Impulsantwort, die aus stückweisen Polynomen zusammengesetzt ist, realisiert

Abb. 5 eine Farrow-Struktur zur Abtastratenwandlung mit Polynomfiltern, basierend auf einem Polyphaseninterpolator

Abb. 6 ein typisches Blockschaltbild eines Polyphasendezimators

Abb. 7 eine Struktur, die alle Polyphasenzweige aus Abb. 6 ersetzen kann und damit eine Impulsantwort, die aus stückweisen Polynomen zusammengesetzt ist, realisiert

Abb. 8 eine Struktur zur Abtastratenwandlung mit Polynomfiltern, basierend auf einem Polyphasendezimator

Abb. 9 ein Ausführungsbeispiel einer Impulsantwort bestehend aus stückweisen Polynomen erster Ordnung

Abb. 10 ein Ausführungsbeispiel einer Struktur zur Abtastratenwandlung mit Polynomfiltern, die die Impulsantwort aus Abb. 9 implementiert

Abb. 11 eine Abtastung der Impulsantwort aus Abb. 9 mit T₂ = 2Δ und µ_k < 0.5 (o) bzw. µ_k < 0.5 (•)

Die Darstellungen in den Abb. 1 bis 5 dienen zur Erläuterung des Standes der Technik.

Um die Zusammenhänge bei der Erfindung zu verdeutlichen, soll der Ratenanpassungsfaktor zunächst auf rationale Zahlen

beschränkt werden. Eine Möglichkeit zur Realisierung einer Abtastratenwandlung besteht im Erhöhen der Abtastrate durch Einfügen von L-1 Nullen zwischen jeweils zwei benachbarte Signalwerte des Eingangssignals. Das so erhaltene Signal wird dann mit Hilfe eines Polyphasendezimators in seiner Abtastrate um den Faktor M dezimiert. Ein Polyphasendezimator ist in Abb. 6 dargestellt, wobei zu beachten ist, dass der Eingangskommutator (Schalter) mit jedem neuen Abtastwert des Eingangssignals einen neuen Polyphasenzweig auswählt. Um das Erhöhen der Abtastrate des Eingangssignals mit dem Kommutator zu verbinden, wird die Schrittweite des Kommutators auf L festgelegt. Im Falle L = 1 werden die M Polyphasenzweige nacheinander durchlaufen. Immer, wenn der Kommutator (Schalter) den letzten Polyphasenzweig passiert hat (egal, ob tatsächlich geschaltet oder übersprungen), wird ein neuer Wert des Ausgangssignals berechnet.

Ähnlich wie bei der Herleitung der Farrow-Struktur lassen sich die Teilfilter (Polyphasenzweige) durch ein zeitkontinuierliches Filter ersetzen, dessen bei Bedarf berechnete Abtastwerte die Impulsantworten der Teilfilter darstellen. Es gilt wiederum

wobei Δ = T₂ die Länge der N Polynomstücke vom Grade n-1 ist. Somit gilt für die Abtastwerte der Impulsantwort:

wobei µ_k die "inter-sample position" darstellt, die in diesem Falle die Position des zum Zeitpunkt kT₁ eintreffenden Eingangssignalwertes innerhalb der Abtastperiode T₂ des Ausgangssignals beschreibt. Der Wert Größe µ_k liegt immer in einem Intervall der Länge 1. Praktisch relevant sind die Intervalle µ_k ∈ [0,1), µ_k ∈ {-1,0] und µ_k ∈ [-0.5,0.5).

Eine Struktur gemäß Abb. 7 veranschaulicht die Realisierung eines alle Polyphasenzweige in Abb. 6 ersetzenden "zeitkontinuierlichen Polyphasenzweiges". Die zeitlichen Relationen werden wie bereits beschrieben durch die Schrittweite L des Kommutators und die Momente des Passierens des letzten Polyphasenzweiges bestimmt. Der Zusammenhang zwischen µ_k und der Größe λ in den Abb. 6 und 7 ist

Eine detaillierte Darstellung der die Erfindung betreffenden Struktur ist in Abb. 8 zu sehen. Mit

können die Koeffizienten c_k(i) bei Bedarf zeitvariant ausgelegt werden. Die Nutzung zeitvarianter Koeffizienten ergibt sich immer dann, wenn die Polynomlänge Δ kürzer als die Abtastperiode T₂ ist. Eine kurze Polynomlänge ermöglicht jedoch unter Umständen die Nutzung einfacherer Polynome (niedrigerer Ordnung). Dieser Vorteil ist der Grund dafür, dass der Nachteil zeitvarianter Koeffizienten inkauf genommen wird. Da es sich um die Implementierung eines digitalen zeitkontinuierlichen Filters handelt, ist die Berechnung beliebiger Abtastwerte der Impulsantwort möglich. Deshalb kann die Einschränkung auf rationale Abtastratenverhältnisse wieder aufgehoben werden.

Ein Filter mit der Impulsantwort gemäß Abb. 9 soll zur Abtastratenwandlung entsprechend der Erfindung genutzt werden. Es handelt sich um eine Impulsantwort, die aus stückweisen Polynomen erster Ordnung besteht. Entsprechend der Erfindung soll die Länge der Polynomstücke Δ = T₂ (also p = 1) sein. Damit ergeben sich konstante (zeitinvariante) Koeffizienten c_k(i). Mit der Definition der Polynomstücke ergeben sich die Koeffizienten c_k(i) aus der Impulsantwort und der Definition des Intervalls für µ_k. Im Beispiel soll das Intervall µ_k ∈ [0,1) gelten. Deshalb sind die Koeffizienten c₀(i), die den "Gleichanteil" jedes Polynoms beschreiben, gleich den Werten der Startpunkte der Polynomstücke (Kreise in Abb. 9). Die Koeffizienten c₁(i) stellen den Anstieg der Geraden dar, sind also durch

gegeben. Es ergeben sich konkret:

Somit ergibt sich eine Struktur gemäß Abb. 10, wobei µ_k für den praktisch relevanten Fall eines rationalen Verhältnisses der Abtastraten

angegeben wurde.

Wie beschrieben, ist es auch möglich, die Länge der Polynomstücke bzgl. T₂ kürzer zu wählen. Das soll im Beispiel durch Erhöhung von T₂ geschehen, nämlich T₂ = 2Δ. Damit ergeben sich zeitvariante Koeffizienten ck(i,µ_k); im konkreten Falle mit der Periode 2. Je nachdem, ob µ_k < 0.5 oder µ_k ≧ 0.5 gilt, wird ein anderer Koeffizient ausgewählt, da in beiden Fällen unterschiedliche Polynome zur Berechnung der Abtastwerte der Impulsantwort h(t) herangezogen werden müssen (siehe Abb. 11). Es ergeben sich 2 Sätze von Koeffizienten, die durch Aufteilung der Koeffizienten aus obiger Tabelle entstehen.

Es ist zu beachten, dass die gleiche Impulsantwort wie im Falle Δ = T₂ verwendet wurde. Aber auf Grund der Wahl von T₂ = 2Δ ergibt sich ein anderer Zeitbezug und somit eine andere Übertragungscharakteristik.

Claims

1. Verfahren zur Abtastratenwandlung digitaler Signale, wobei ein erstes digitales Signal x(kT₁) mit einer ersten Abtastrate f₁ = 1/T₁ in ein zweites digitales Signal y(mT₂) mit einer zweiten Abtastrate f₂ = 1/T₂ umgeformt wird, wobei die zweite Abtastrate f₂ zur ersten Abtastrate f₁ in einem reellen Verhältnis steht und die notwendige Filterung mit einem Filter, dessen Impulsantwort h(t) durch stückweise Polynome gleicher Länge Δ dargestellt werden kann, realisiert wird, dadurch gekennzeichnet, dass die Abtastperiode T₂ des Ausgangssignals ein ganzzahliges Vielfaches der Länge Δ der Polynomstücke der Impulsantwort ist.

2. Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, dass die Impulsantwort h(t) mit der Abtastperiode T₂ des Ausgangssignals und einer der "inter-sample position" µ_k des jeweils zu verarbeitenden Abtastwertes des Eingangssignals entsprechenden Verzögerung µ_kT₂ abgetastet wird.

3. Verfahren nach Anspruch 2, dadurch gekennzeichnet, dass µ_k Werte innerhalb eines beliebigen Intervalls der Länge 1 annehmen kann, wobei die Intervalle µ_k ∈ [0,1), µ_k ∈ {-1,0] und µ_k ∈ [-0.5,0.5) praktisch relevant sind.

4. Verfahren nach Anspruch 2, dadurch gekennzeichnet, dass die Abtastwerte der Impulsantwort als eine Polyphase einer Polyphasenrealisierung des Filters aufgefasst werden kann, wobei die Anzahl der Polyphasen unendlich hoch sein kann.

5. Verfahren nach Anspruch 3, dadurch gekennzeichnet, dass das Polynomfilter mit Hilfe einer als "Polyphasendezimator" (Abb. 6) bekannten Struktur realisiert wird.

6. Schaltungsanordnung zur Abtastratenwandlung digitaler Signale, wobei ein erstes digitales Signal x(kT₁) mit einer ersten Abtastrate f₁ = 1/T₁ in ein zweites digitales Signal y(mT₂) mit einer zweiten Abtastrate f₂ = 1/T₂ umgeformt wird, wobei die zweite Abtastrate f₂ zur ersten Abtastrate f₁ in einem reellen Verhältnis steht und die notwendige Filterung mit einem Filter, dessen Impulsantwort durch stückweise Polynome dargestellt werden kann, realisiert wird, das allgemein als "Polyphasendezimator" (Abb. 6) bekannt ist, dadurch gekennzeichnet, dass alle Polyphasenzweige (unendlich viele im Falle eines irrationalen Verhältnisses der Abtastraten) des Polyphasendezimators durch eine einzige Struktur gemäß Abb. 7 ersetzt werden, wobei die Koeffizienten c_k(i) durch die Impulsantwort gemäß der Beschreibung gegeben sind.

7. Schaltungsanordung nach Anspruch 5, dadurch gekennzeichnet, dass das System gemäß Abb. 8 realisiert werden kann.

8. Schaltungsanordnung nach Anspruch 6, dadurch gekennzeichnet, dass die Koeffizienten in Abb. 8 zeitvariant sein können.

9. Schaltungsanordung nach Anspruch 5, dadurch gekennzeichnet, dass durch Wahl eines symmetrischen Intervalls von z. B. µ_k ∈ [-0.5,0.5) und einer symmetrischen oder anti symmetrischen Impulsantwort h(t) die Anzahl der notwendigen Koeffizienten c_k(i) durch Ausnutzung der Symmetrie halbiert werden kann.

10. Schaltungsanordnung nach Ansprüchen 6, 7, 8 und 9, dadurch gekennzeichnet, dass für µ_k ein anderes Intervall, dass die konkreten Werte der Koeffizienten c_k(i) bestimmt, aber die Struktur selbst nicht verändert, gewählt werden kann.