CN1794119A - 多输入多输出系统的极限pid控制方法 - Google Patents

Abstract

一种工业过程控制技术领域的多输入多输出系统的极限PID控制方法，步骤如下：1)根据多输入多输出过程的传递函数矩阵辨识模型；2)利用鲁棒控制理论的H₂最优性能目标设计三个最优控制器的解调因子；3)依据H₂最优性能目标和已设计出的三个最优控制器的解调因子，设计最优控制器；4)将最优控制器矩阵C(s)中的子控制器化简；5)离散域PID控制器计算公式计算控制信号Δu_ij (n)，再加上(n－1)时刻的控制器输出u_ij (n－1)，得到第(n)时刻子控制器C_ij (s)的输出控制信号，通过D/A转换后输出至执行器，作用到被控对象，使被控对象运行在给定的范围内。采用本发明方法，通过定量调节控制器参数可以达到用户满意的标称性能和鲁棒性，本发明适用强，可最大可能的逼近理论设计出的控制器性能。

Description

多输入多输出系统的极限PID控制方法

技术领域

本发明涉及的是一种用于工业过程控制技术领域的方法，具体是一种多输入多输出系统的极限PID控制方法。

背景技术

为了解决多变量系统的耦合问题，常用的方法多为将多变量系统解耦为多个单变量系统，然后应用单变量系统的控制方法实现多环控制，也称为分布式控制结构。由于具有结构简单，成本低廉以及各闭环独立工作性强等优点，在化工实践中得到广泛采用。然而这种控制结构的稳定性容易受到实际被控过程不确定性的破坏，此外，当多环控制结构中每一个独立闭环控制系统之间存在干扰和不协调的控制作用时，系统就不能达到理想的控制效果。实际工业生产中要求多变量控制器应该使同时控制几个输出变量的子控制器之间的作用尽可能好的相互协调，达到实际控制要求。由于多输入多输出系统的复杂性，通过解析方法推导出控制器传递函数中往往还包含有无理项或高阶项，使得控制器形式无法直接变形为PID控制器的形式。目前解决这类问题的方法有最小二乘、Pade近似和Taylor近似等近似方法，但由于近似精度限制，近似后的控制器与理论上的最优控制器之间还是存在一定误差。

经对现有技术的文献检索发现，Yongho Lee等人在《AIChE Journal》(美国化学工程协会杂志)(1998年1月第1期，总第44卷，第106-115页)上发表的“PID controller tuning for desired closed loop response for SI/SO systems”(单输入单数出系统理想闭环响应的PID控制器调节方法)，该文提出一种基于Maclaurin展开式的PID控制器(以下简称Maclaurin PID控制器)设计方法，该方法在理论上能达到更好的系统性能，其不足是文章中没有给出具体的控制器参数的整定方法。

发明内容

本发明的目的在于针对现有技术的不足，提出一种多输入多输出系统的极限PID控制方法，使其依据解析的方法设计最优控制器来解耦系统闭环响应，再采用Maclaurin展开序列和Pade近似理论对包含有纯滞后的控制器进行降阶，得到的控制器可以最大可能的逼近理论设计出的最优控制器性能。通过定量调节控制器参数可以达到用户满意的标称性能和鲁棒性能，实现更好的控制效果。

本发明是通过以下技术方案实现的，本发明在现有的鲁棒最优控制器设计方法以及单参数PID整定方法的基础上，采用单位反馈控制结构，设计三个最优控制器的解调因子并推导出最优的控制器，然后将理论上最优的控制器形式近似变形为极限PID控制方法集成在工业控制系统的监控模块中实现控制作用。在工控系统辨识出控制对象模型的基础上，自动执行事先编制好的PID控制程序，从而实现对系统鲁棒性的定量整定，使系统的标称性能和鲁棒性以最佳的方式达到折中。同时用户还可通过在线调节控制器参数来调节控制效果，获得要求的标称性能和鲁棒性。具体步骤如下：

1)首先根据多输入多输出过程的传递函数矩阵辨识模型：

其中： 是指从被控过程的第i个输入到第j个输出的传递函数，g_ij(s)是其稳定正则的有理传递函数部分，θ_ij是其对应的过程传输时滞，i＝1，2，…，p，j＝1，2，…，q，当p＝q时G(s)为方阵，当p≠q时G(s)为非方矩阵。采用Moore-Penrose伪逆的求逆方法对被控对象G(s)求逆，公式如下，其适用于被控对象G(s)是方阵和非方矩阵的形式。

                  G⁺(s)＝G^*(s)[G(s)G^*(s)]^-1            (2)

式中，G⁺(s)为G(s)的Moore-Penrose伪逆，G^*(s)为G(s)的共轭矩阵，即G^*(s)＝G^T(-s)。

2)其次利用鲁棒控制理论的H₂最优性能目标设计三个最优控制器的解调因子为：

$G_D\left(s\right)=\mathrm{diag}\{e^{-{\mathrm{\θ}}_{i}s},...,e^{-{\mathrm{\θ}}_{p}s}\}---\left(3\right)$

$G_N\left(s\right)=\mathrm{diag}\{\underset{j=1}{\overset{r_z}{\mathrm{\Π}}}{\left(\frac{-s+z_j}{s+z_j^{*}}\right)}^{k_{\mathrm{ij}}},...,\underset{j=1}{\overset{r_z}{\mathrm{\Π}}}{\left(\frac{-s+z_j}{s+z_j^{*}}\right)}^{k_{\mathrm{pj}}}\}---\left(4\right)$

$J\left(s\right)=\mathrm{diag}\{\frac{1}{{({\mathrm{\λ}}_{1}s+1)}^{n_1}},...,\frac{1}{{({\mathrm{\λ}}_{p}s+1)}^{n_p}}\}---\left(5\right)$

(3)式中e^-θis为G⁺(s)第i列的最大超前项(即e^θis)，当G⁺(s)中不存在超前项时，G_D＝I。G_D的作用是：当多输入多输出系统中存在纯滞后项时，对其求伪逆后，G(s)中纯滞后项就有可能转化成G⁺(s)中的超前项，这在控制中是不允许的，因此在不影响系统响应的情况下，设计G_D来除去G⁺(s)中的超前项。(4)式中， $s=z_j^{-1}$ 是G⁺(s)中的复右半平面极点，r_z是这些极点的个数，k_ij为G⁺(s)第i列的复右半平面极点 $s=z_j^{-1}$ 的最高次数，z_j ^*为z_j的共轭。当G⁺(s)中不存在复右半平面极点时，G_N＝I。G_N的作用是：当多输入多输出系统中存在复右半平面零点时，对其求伪逆后，G(s)中复右半平面零点就有可能转化成G⁺(s)中复右半平面极点，导致设计出的控制器不稳定，因此在不影响系统控制效果情况下，设计G_N来除去G⁺(s)中不稳定极点。(5)式中λ_j为控制器可调参数，n_j取G(s)中第i列元素的最大相对阶次，p为多输入多输出过程G(s)的传递函数矩阵模型的行向量个数。J(s)的作用是使推导出的最优控制器为正则的，易实现，且提供了方便控制器调节的单参数。所以以上三个最优控制器的解调因子扩展了本发明的适用范围，使本发明同时适用于输入量和输出量相等和不等的情况，也同时适用于系统中不含纯时滞和含有多时滞的情况。

3)然后依据H₂最优性能目标和已设计出的三个最优控制器的解调因子，设计最优控制器为：

$C\left(s\right)=\frac{G^{+}\left(s\right)G_D\left(s\right)G_N\left(s\right)J\left(s\right)}{1-G\left(s\right)G^{+}\left(s\right)G_D\left(s\right)G_N\left(s\right)J\left(s\right)}---\left(6\right)$

4)接着将最优控制器矩阵C(s)中的子控制器化简为如下PID控制器形式：

$C_{\mathrm{ij}}\left(s\right)=K_{\mathrm{Cij}}(1+\frac{1}{T_{\mathrm{Iij}}s}+T_{\mathrm{Dij}}s)\frac{1}{T_{\mathrm{Fij}}s+1}---\left(7\right)$

C_ij(s)为最优控制器C(s)的第i行第j列子控制器的传递函数。利用数学Maclaurin展开级数和Pade近似原理对其进行有理逼近实现，由此得到

$C_{\mathrm{ij}}\left(s\right)=\frac{1}{s}[f_{\mathrm{ij}}\left(0\right)+f_{\mathrm{ij}}^{\′}\left(0\right)s+\frac{f_{\mathrm{ij}}^{\′\′}\left(0\right)}{2!}{s}^2+\frac{f_{\mathrm{ij}}^{\′\′\′}\left(0\right)}{3!}{s}^3+\·\·\·]---\left(8\right)$

则极限PID控制器参数K_Cij，T_Iij，T_Dij，T_Fij分别为：

$K_{\mathrm{Cij}}=b_1{f}_{\mathrm{ij}}\left(0\right)+f_{\mathrm{ij}}^{\′}\left(0\right),T_{\mathrm{Iij}}=\frac{b_1{f}_{\mathrm{ij}}\left(0\right)+f_{\mathrm{ij}}^{\′}\left(0\right)}{f_{\mathrm{ij}}\left(0\right)},$

$T_{\mathrm{Dij}}=\frac{b_1{f}_{\mathrm{ij}}^{\′}\left(0\right)+f_{\mathrm{ij}}^{\′\′}\left(0\right)/2!}{b_1{f}_{\mathrm{ij}}\left(0\right)+f_{\mathrm{ij}}^{\′}\left(0\right)},T_{\mathrm{Fij}}=-\frac{f_{\mathrm{ij}}^{\′\′\′}\left(0\right)}{3f_{\mathrm{ij}}^{\′\′}\left(0\right)}---\left(9\right)$

其中：f_ij(s)＝sC_ij(s)， $f_{\mathrm{ij}}^{\left(n\right)}\left(0\right)=\underset{s\→0}{\lim }\frac{d^n}{\mathrm{ds}}\left[s{C}_{\mathrm{ij}}\left(s\right)\right],$ i，j＝1，2…。若所求得的

$\frac{f_{\mathrm{ij}}^{\′\′\′}\left(0\right)}{3f_{\mathrm{ij}}^{\′\′}\left(0\right)}>0,$ 即T_Fij＜0，则此时C_ij(s)不能转化成极限PID控制器，但可转化成PI控制器形式：

$C_{\mathrm{ij}}\left(s\right)=K_{\mathrm{Cij}}(1+\frac{1}{T_{\mathrm{Iij}}s})---\left(10\right)$

其中：K_Cij＝f_ij＇(0)，T_Iij＝f_ij＇(0)/f_ij(0)。

这种控制器的近似方法基本上达到了这个阶次控制器所能达到的标称性能极限。通过定量调节控制器中可调参数λ_i可以达到用户满意的标称性能和鲁棒性。调节参数λ_i(i＝1，2…)的整定规则为：调小λ_i可以加快对应的过程输出响应速度，提高控制系统的标称性能，但会倾向于超出其容量范围，即引起较大的超调，此外，在面临被控过程的未建模动态特性时，易于表现出过激行为，不利于控制系统的鲁棒稳定性；相反，增大λ_i会使对应的过程输出响应变缓，从而有利于提高控制系统的鲁棒稳定性。因此实际整定调节参数λ_i时，应在控制系统输出响应的标称性能与每个控制器及其执行机构的输出容量之间权衡。调节λ_i典型步长为0.01θ或更小。其初始值要保证PID控制器的四个参数K_Cij，T_Iij，T_Dij，T_Fij为正值，再依次从小到大分别调节λ_i。

5)为方便本发明给出的多输入多输出系统的极限PID控制器整定方法的软件编程实现，需按照离散域PID或PI控制器计算公式计算控制信号Δu_ij(n)，再加上(n-1)时刻的控制器输出u_ij(n-1)，得到第(n)时刻子控制器C_ij(s)的输出控制信号，通过D/A转换后输出至执行器，作用到被控对象，使被控对象运行在给定的范围内。离散域PID和PI控制器计算公式分别为

$\mathrm{\Δ}{u}_{\mathrm{ij}}\left(n\right)=K_{\mathrm{Cij}}(1+\frac{T_s}{T_{\mathrm{Iij}}}+\frac{T_{\mathrm{Dij}}}{T_s})e_{\mathrm{ij}}\left(n\right)-K_{\mathrm{Cij}}(1+\frac{2T_{\mathrm{Dij}}}{T_s})e_{\mathrm{ij}}(n-1)+\frac{K_{\mathrm{Cij}}{T}_{\mathrm{Dij}}}{T_s}{e}_{\mathrm{ij}}(n-2)$

$\mathrm{\Δ}{u}_{\mathrm{ij}}\left(n\right)=K_{\mathrm{Cij}}(1+\frac{T_s}{T_{\mathrm{Iij}}})e_{\mathrm{ij}}\left(n\right)-K_{\mathrm{Cij}}{e}_{\mathrm{ij}}(n-1)---\left(11\right)$

式中K_Cij-C(s)中第i行第j列子控制器C_ij(s)的比例增益；

T_Iij-C(s)中第i行第j列子控制器C_ij(s)的积分时间常数，；

T_Dij-C(s)中第i行第j列子控制器C_ij(s)的微分时间常数；

T_s-控制系统的采样周期；

Δu_ij(n)-当前(n)时刻C(s)中第i行第j列子控制器C_ij(s)的输出信号增量；

e_ij(n)-当前(n)时刻C(s)中第i行第j列子控制器C_ij(s)输出与其给定值输入的偏差量；

e_ij(n-1)-前面第(n-1)时刻C(s)中第i行第j列子控制器C_ij(s)的输出与其给定值输入的偏差量；

e_ij(n-2)-前面第(n-2)时刻C(s)中第i行第j列子控制器C_ij(s)输出与其给定值输入的偏差量。

并对u(n)进行限幅，防止积分饱和，由D/A转换后输出至执行器，由执行器作用到被控对象，使被控对象运行在给定的范围内。

为了找到一种使得近似后控制器与理论设计的控制器之间存在尽可能的小的误差，本发明结合Maclaurin PID控制器设计思想和Pade近似理论，推导出一种极限PID控制方法，这种方法的主要思想是对可能包含有纯滞后项的高阶控制器整体进行近似变换，而不是只近似控制器中的无理项部分，得到的控制器基本上达到了这个阶次控制器所能达到的标称性能极限。

在工业控制现场采用本发明提出的多输入多输出系统的极限PID控制方法，通过定量调节控制器参数可以达到用户满意的标称性能和鲁棒性。同时本发明中最优控制器的设计方法和控制器近似方法适用广泛，可以最大可能的逼近理论设计出的控制器性能，在实际应用中能达到更好的控制效果，且用户操作起来也更简便直观。

附图说明

图1为本发明采用极限PID控制器的设计方法所用的闭环控制结构图。

其中C为控制器，G为被控对象，r和y分别为闭环系统的输入和输出，u为控制器输出，e偏差信号。

图2为实施例中两输入两输出系统，采用本发明极限PID控制器的设计方法所得到的闭环控制结构分解图。

图3为本发明实施例示意图，在t＝0秒时刻给第一路输入量加入单位阶跃输入信号，即r₁＝1/s，而第二路输入信号为r₂＝0的控制系统响应曲线，实线和虚线分别表示系统采用极限PID控制器和近似前原始控制器所得到的系统闭环响应曲线。

图4为本发明实施例中，在t＝0秒时刻给第二路输入量加入单位阶跃输入信号：r₂＝1/s，而第一路输入信号为零，即r₁＝0时的控制系统响应曲线，实线和虚线分别表示系统采用极限PID控制器和近似前原始控制器所得到的系统闭环响应曲线。。

图3和图4中，虚线表示本发明实施例系统中采用降阶前的控制器，即说明书中第3)步求得的最优控制器所得到的闭环响应曲线，实线表示本发明实施例系统中采用降阶后的控制器，即说明书中第4)步求得的极限PID控制器所得到的闭环响应曲线。从两图中可看出，应用本发明设计的最优控制器能够较好的解耦两路闭环响应，且应用本发明给出的极限PID控制器的整定方法得到的控制器可以最大可能的逼近理论设计出的最优控制器性能。

图5为本发明实施例中，当输入信号r₁＝1/s，r₂＝0时的控制系统响应曲线，点线为被控对象模型存在不确定性时的闭环响应曲线，实线和虚线分别表示被控对象存在乘性不确定性时，分别取不同的控制器参数所得到的系统闭环响应曲线。

图6为本发明实施例中，当输入信号r₁＝0，r₂＝1/s时的控制系统响应曲线，点线为被控对象模型存在不确定性时的闭环响应曲线，实线和虚线分别表示被控对象存在乘性不确定性时，分别取不同的控制器参数所得到的系统闭环响应曲线。

图5和图6表明采用本发明中极限PID控制方法的实施例系统中，当被控对象参数存在不确定性时，通过单调的调节控制器参数，依然可以保证控制系统的鲁棒性，并获得满意的控制效果。

具体实施方式

以下结合附图和实施例对本发明的技术方案作进一步描述。

实施例：针对一个广泛研究采用的化工烃化物分馏塔过程

$G=\left[\begin{array}{cc}\frac{12.8e^{-s}}{16.7s+1}& \frac{-18.9e^{-3s}}{21s+1}\\ \frac{6.6e^{-7s}}{10.9s+1}& \frac{-19.4e^{-3s}}{14.4s+1}\end{array}\right]$

应用本发明给出的多输入多输出系统的极限PID控制器的设计和整定方法，介绍具体实施步骤：

本发明采用单位反馈控制结构，此闭环控制系统的分解结构如图2所示，控制方法具体步骤如下：

1.首先由工业控制系统中的辨识模块依据常用的辨识方法如阶跃响应法，对被控对象进行模型参数的辨识，得到被控对象的传递函数矩阵。再采用Moore-Penrose求伪逆方法对被控对象G(s)求逆，得到被控对象的伪逆矩阵为：

$G^{+}\left(s\right)=G^{*}\left(s\right){\left[G\left(s\right)G^{*}\left(s\right)\right]}^{-1}=\frac{\left[\begin{array}{cc}\frac{-19.4e^s}{14.4s+1}& \frac{18.9e^s}{21s+1}\\ \frac{{-6.6e}^{-3s}}{10.9s+1}& \frac{12.8e^{3s}}{16.7s+1}\end{array}\right]}{(\frac{-248.3}{{240.5s}^2+31.1s+1}-\frac{{-124.7e}^{-6s}}{228.9s^2+31.9s+1})}$

2.其次利用鲁棒控制理论的H₂最优性能目标设计三个最优控制器的解调因子。由于G⁺(s)中第一列和第二列的最大超前项分别为e^s和e^3s，所以设计G_D为

$G_D\left(s\right)=\left[\begin{array}{cc}{e}^{-s}& 0\\ 0& e^{-3s}\end{array}\right]$

因为被控对象伪逆G⁺(s)中不包含复右半平面极点，所以取G_N＝I。又由于被控对象有理部分的相对阶次为一阶，解调因子J(s)可取

$\left(s\right)=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{{\mathrm{\λ}}_{1}s+1}& 0\\ 0& \frac{1}{{\mathrm{\λ}}_{2}s+1}\end{array}\right]$

式中，λ₁和λ₂为控制器的两个可调参数。

3.然后依据H₂最优性能目标和已设计出的三个最优控制器的解调因子设计最优控制器为：

$C\left(s\right)=\frac{G^{+}\left(s\right)G_D\left(s\right)G_N\left(s\right)J\left(s\right)}{1-G\left(s\right)G^{+}\left(s\right)G_D\left(s\right)G_N\left(s\right)J\left(s\right)}$

$=\frac{\left[\begin{array}{cc}\frac{-19.4}{(14.4s+1)({\mathrm{\λ}}_{1}s+1-e^{-s})}& \frac{18.9e^{-2s}}{(21s+1)({\mathrm{\λ}}_{2}s+1-e^{-3s})}\\ \frac{{-6.6e}^{-4s}}{(10.9s+1)({\mathrm{\λ}}_{1}s+1-e^{-s})}& \frac{12.8}{(16.7s+1)({\mathrm{\λ}}_{2}s+1-e^{-3s})}\end{array}\right]}{\frac{{124.7e}^{-6s}}{{228.9s}^2+31.9s+1}-\frac{248.3}{240.5s^2+31.1s+1}}$

此控制器矩阵中有两个可调参数，通过调节λ₁和λ₂可获得满意的控制效果，对于本实施例，取λ₁＝3.8，λ₂＝3.5可获得满意的解耦闭环响应曲线，如图3和图4中虚线所示。

4.接着将最优控制器矩阵C(s)中的子控制器化简为如下PID控制器形式，方便所设计的最优控制器在物理上和实际工程应用中能够实现。利用数学Maclaurin展开级数和Pade近似原理对C(s)中的每一个元素C_ij(s)分别进行有理逼近实现，令f_ij(s)＝sC_ij(s)，按照说明书中公式(8)计算得到

f₁₁(s)＝0.0327+0.3252s-0.3943s²+…

f₁₂(s)＝-(0.0235+0.0454s+2.9545s²+314.5663s³…)

f₂₁(s)＝0.0111+0.1051s-1.2271s²+…，

f₂₂(s)＝-(0.0159+0.1312s+0.4383s²+84.6665s³…)

由于f₁₁(s)和f₂₁(s)中第三项为负，即由此推导出的T_F11和T_F21小于零，所以C₁₁(s)和C₂₁(s)无法化简为极限PID控制器形式，但可等价于PI控制器形式为：

$C_{\mathrm{ij}}\left(s\right)=\frac{1}{s}{f}_{\mathrm{ij}}\left(s\right)=f_{\mathrm{ij}}^{\′}\left(0\right)+\frac{f_{\mathrm{ij}}\left(0\right)}{s}=K_{\mathrm{Cij}}(1+\frac{1}{T_{\mathrm{Iij}}s})$

式中K_Cij＝f_ij′(0)，T_Iij＝f_ij′(0)/f_ij(0)。

按此式计算的C₁₁(s)和C₂₁(s)的PI控制器参数分别为：

$C_{11}\left(s\right)=0.3252(1+\frac{1}{9.9436s}),C_{21}\left(s\right)=0.1051(1+\frac{1}{9.4436s})$

f₁₁(s)和f₂₁(s)满足计算要求，所以其对应的C₁₂(s)和C₂₂(s)可以化简为极限PID控制器形式，按照说明书中公式(9)可以分别计算出J_Cij，T_Iij，T_Dij，T_Fij，得到极限PID控制器形式为：

$C_{12}\left(s\right)=-0.8804(1+\frac{1}{37.4219s}+3.5101s)\frac{1}{35.4901s+1}$

$C_{12}\left(s\right)=-1.1570(1+\frac{1}{72.6216s}+7.4481s)\frac{1}{64.3898s+1}$

仿真实验时，先在t＝0秒时刻给第一路输入量加入单位阶跃输入信号：r₁＝1/s，而第二路输入信号为r₂＝0，所得到的系统闭环响应曲线为图3中所示，图4给出了当r₁＝0和r₂＝1/s时的系统闭环响应曲线。其中，虚线表示系统采用降阶前的控制器，即第3步求得的最优控制器所得到的闭环响应曲线，实线表示系统采用降阶后的控制器，即第4步求得的极限PID控制器所得到的闭环响应曲线。从图中可看出，应用本发明设计的最优控制器能够较好的解耦两路闭环响应，且应用本发明给出的极限PID控制器的整定方法得到的控制器可以最大可能的逼近理论设计出的最优控制器性能。

5.离散域PID和PI控制器算公式分别为：

${\mathrm{\Δu}}_{\mathrm{ij}}\left(n\right)=K_{\mathrm{Cij}}(1+\frac{T_s}{T_{\mathrm{Iij}}}+\frac{T_{\mathrm{Dij}}}{T_s})e_{\mathrm{ij}}\left(n\right)-K_{\mathrm{Cij}}(1-\frac{2T_{\mathrm{Dij}}}{T_s})e_{\mathrm{ij}}(n-1)+\frac{K_{\mathrm{Cij}}{T}_{\mathrm{Dij}}}{T_s}{e}_{\mathrm{ij}}(n-2)$

${\mathrm{\Δu}}_{\mathrm{ij}}\left(n\right)=K_{\mathrm{Cij}}(1+\frac{T_s}{T_{\mathrm{Iij}}})e_{\mathrm{ij}}\left(n\right)-K_{\mathrm{Cij}}{e}_{\mathrm{ij}}(n-1)$

按照上述离散域PI和PID控制器计算公式计算控制信号Δu_ij(n)为(采样时间取T_s＝0.1s)：

Δu₁₁(n)＝0.3284e₁₁(k)-0.3252e₁₁(n-1)，Δu₂₁(n)＝0.1062e₂₁(k)-0.1051e₂₁(n-1)

Δu₁₂(n)＝-31.7838e₁₂(n)+62.6826e₁₂(n-1)-30.9011e₁₂(n-2)

Δu₂₂(n)＝-87.7982e₂₂(n)+174.4362e₂₂(n-1)-86.6396e₂₂(n-2)

再加上(n-1)时刻的控制器输出u_ij(n-1)，得到第(n)时刻子控制器C_ij(s)的输出控制信号，通过D/A转换后输出至执行器，作用到被控对象，使被控对象运行在给定的范围内。

现在假设实际存在被控过程G(s)的乘性输入不确定性Δ_I＝diag{(s+0.3)/(s+1)，(s+0.3)/(s+1)}，物理上它可以近似地解释为，被控过程的两个输入调节阀在高频段具有高达100％的不确定性，并且在低频段工作范围具有将近30％的不确定性。在这种严重的过程输入不确定性下进行如上所述仿真实验，采用本发明给出的极限PID控制器的整定方法所得到的过程输出响应的计算机仿真结果如图5和图6所示。图5显示了当输入为r₁＝1/s，r₂＝0的系统闭环响应曲线；图6给出了r₁＝0和r₂＝1/s时的系统闭环响应曲线。

由图5和图6可以看到，当被控对象存在乘性输入不确定时，采用本发明给出的极限PID控制器的整定方法(虚线)仍能良好地保证系统的给定值响应的鲁棒稳定性，但在采用相同的控制器参数的条件下，存在不确定性的系统要比标称系统(不存在不确定性)的超调量大一些。当单调的增大控制器的调节参数λ₁和λ₂，例如令其为λ₁＝7.6，λ₂＝7.0，就可以减小过程输出的振荡，同时也延长了给定值响应的上升时间，从而减慢了系统的响应速度，如图5和图6中的实线所示。因此，采用本发明给出的极限PID控制器的整定方法可以很方便地在线进行单调地调节系统输出响应，从而达到实际要求的工作指标。

以上阐述的是本发明给出的一个实施例表现出的优良控制效果。需要指出，本发明不只限于上述实施例，在不偏离本发明基本精神及不超出本发明实质内容所涉及范围的前提下对其可作种种变形加以实施。由于本发明针对工业过程中一般多输入多输出过程模型给出了极限PID控制器的设计方法，所以适用于各种不同的多输入多输出生产过程。采取本发明控制方法的工控系统可广泛应用于能源、冶金、石化、轻工、医药、建材、纺织等行业中各类企业的生产过程控制。

Claims (4)

1、一种多输入多输出系统的极限PID控制方法，其特征在于，具体步骤如下：

1)首先根据多输入多输出过程的传递函数矩阵辨识模型：

其中：g_ij(s)e^-θijs是指从被控过程的第i个输入到第j个输出的传递函数，g_ij(s)是其稳定正则的有理传递函数部分，θ_ij是其对应的过程传输时滞，i＝1，2，…，p，j＝1，2，…，q，当p＝q时G(s)为方阵，当p≠q时G(s)为非方矩阵；采用Moore-Penrose伪逆的求逆方法对被控对象G(s)求逆；

2)利用鲁棒控制理论的H₂最优性能目标设计三个最优控制器的解调因子为：

$G_D\left(s\right)=\mathrm{diag}\{e^{-{\mathrm{\θ}}_{1}s},\·\·\·,e^{-{\mathrm{\θ}}_{p}s}\}$

$G_N\left(s\right)=\mathrm{diag}\{\underset{j=1}{\overset{r_z}{\mathrm{\Π}}}{\left(\frac{-s+z_j}{s+z_j^{*}}\right)}^{k_{1j}},\·\·\·,\underset{j=1}{\overset{r_z}{\mathrm{\Π}}}{\left(\frac{-s+z_j}{s+z_j^{*}}\right)}^{k_{\mathrm{pj}}}\}$

$J\left(s\right)=\mathrm{diag}\{\frac{1}{{({\mathrm{\λ}}_{1}s+1)}^{n_1}},\·\·\·,\frac{1}{{({\mathrm{\λ}}_{p}s+1)}^{n_p}}\}$

第一式中e^-θis为G⁺(s)第i列的最大超前项即e^θis，当G⁺(s)中不存在超前项时，G_D＝I；第二式中， $s=z_j^{-1}$ 是G⁺(s)中的复右半平面极点，r_z为这些极点的个数，k_ij为G⁺(s)第i列的复右半平面极点 $s=z_j^{-1}$ 的最高次数，z_j ^*为z_j的共轭；当G⁺(s)中不存在复右半平面极点时，G_N＝I；第三式中λ_j为控制器可调参数，当输入信号为单位阶跃信号时，n_i取G(s)中第i列元素的最大相对阶次，p为多输入多输出过程G(s)的传递函数矩阵模型的行向量个数；

3)然后依据H₂最优性能目标和已设计出的三个最优控制器的解调因子，设计最优控制器为：

$C\left(s\right)=\frac{G^{+}\left(s\right)G_D\left(s\right)G_N\left(s\right)J\left(s\right)}{1-G\left(s\right)G^{+}\left(s\right)G_D\left(s\right)G_N\left(s\right)J\left(s\right)}$

4)接着将最优控制器矩阵C(s)中的子控制器化简为如下PID控制器形式：

$C_{\mathrm{ij}}\left(s\right)=K_{\mathrm{Cij}}(1+\frac{1}{T_{\mathrm{Iij}}s}+T_{\mathrm{Dij}}s)\frac{1}{T_{\mathrm{Fij}}s+1}$

C_ij(s)为最优控制器C(s)的第i行第j列子控制器的传递函数，利用数学Maclaurin展开级数和Pade近似原理对其进行有理逼近实现，由此得到极限PID控制器参数K_Cij，T_Iij，T_Dij，T_Fij分别为：

$K_{\mathrm{Cij}}=b_1{f}_{\mathrm{ij}}\left(0\right)+f_{\mathrm{ij}}^{\′}\left(0\right),T_{\mathrm{Iij}}=\frac{b_1{f}_{\mathrm{ij}}\left(0\right)+f_{\mathrm{ij}}^{\′}\left(0\right)}{f_{\mathrm{ij}}\left(0\right)},$

$T_{\mathrm{Dij}}=\frac{b_1{f}_{\mathrm{ij}}^{\′}\left(0\right)+f_{\mathrm{ij}}^{\′\′}\left(0\right)/2!}{b_1{f}_{\mathrm{ij}}\left(0\right)+f_{\mathrm{ij}}^{\′}\left(0\right)},T_{\mathrm{Fij}}=-\frac{f_{\mathrm{ij}}^{\′\′\′}\left(0\right)}{3f_{\mathrm{ij}}^{\′\′}\left(0\right)}$

其中：f_ij(s)＝sC_ij(s)， $f_{\mathrm{ij}}^{\left(n\right)}\left(0\right)=\underset{s\&RightArrow;0}{\lim }\frac{d^n}{\mathrm{ds}}\left[s{C}_{\mathrm{ij}}\left(s\right)\right],$ i，j＝1，2…，此极限PID控制器参数计算方法适用的条件是 $\frac{f_{\mathrm{ij}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\left(0\right)}{3f_{\mathrm{ij}}^{\&prime;\&prime;}\left(0\right)}<0,$ 即保证T_Fij＞0；

5)按照离散域PID控制器计算公式计算控制信号Δu_ij(n)，再加上(n-1)时刻的控制器输出u_ij(n-1)，得到第(n)时刻子控制器C_ij(s)的输出控制信号，通过D/A转换后输出至执行器，作用到被控对象，使被控对象运行在给定的范围内。

2、根据权利要求1所述的多输入多输出系统的极限PID控制方法，其特征是，所述步骤1)中，采用Moore-Penrose伪逆的求逆方法对被控对象G(s)求逆，公式如下，其适用于被控对象G(s)是方阵和非方矩阵的形式：

             G⁺(s)＝G^*(s)[G(s)G^*(s)]^-1

式中，G⁺(s)为G(s)的Moore-Penrose伪逆，G^*(s)为G(s)的共轭矩阵，即G^*(s)＝G^T(-s)。

3、根据权利要求1所述的多输入多输出系统的极限PID控制方法，其特征是，所述步骤4)中，对于 $\frac{f_{\mathrm{ij}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\left(0\right)}{3f_{\mathrm{ij}}^{\&prime;\&prime;}\left(0\right)}>0,$ 即T_Fij＜0的情况，即对应的子控制器C_ij(s)不能转化成极限PID控制器，则将其转化为PI控制器：

$C_{\mathrm{ij}}\left(s\right)=K_{\mathrm{Cij}}(1+\frac{1}{T_{\mathrm{Iij}}s})$

其中：K_Cij＝f_ij′(0)，T_Iij＝f_ij′(0)/f_ij(0)。

4、根据权利要求1所述的多输入多输出系统的极限PID控制方法，其特征是，所述步骤5)中，按照离散域PID控制器计算公式计算控制信号Δu_ij(n)的公式分别为：

$\mathrm{\&Delta;}{u}_{\mathrm{ij}}\left(n\right)=K_{\mathrm{Cij}}(1+\frac{T_s}{T_{\mathrm{Iij}}}+\frac{T_{\mathrm{Dij}}}{T_s})e_{\mathrm{ij}}\left(n\right)-K_{\mathrm{Cij}}(1+\frac{2T_{\mathrm{Dij}}}{T_s})e_{\mathrm{ij}}(n-1)+\frac{K_{\mathrm{Cij}}{T}_{\mathrm{Dij}}}{T_s}{e}_{\mathrm{ij}}(n-2)$

$\mathrm{\&Delta;}{u}_{\mathrm{ij}}\left(n\right)=K_{\mathrm{Cij}}(1+\frac{T_s}{T_{\mathrm{Iij}}})e_{\mathrm{ij}}\left(n\right)-K_{\mathrm{Cij}}{e}_{\mathrm{ij}}(n-1)$

式中K_Cij—C(s)中第i行第j列子控制器C_ij(s)的比例增益；

T_Iij—C(s)中第i行第j列子控制器C_ij(s)的积分时间常数；

T_Dij—C(s)中第i行第j列子控制器C_ij(s)的微分时间常数；

T_s—控制系统的采样周期；

Δu_ij(n)—当前(n)时刻C(s)中第i行第j列子控制器C_ij(s)的输出信号增量；

e_ij(n)—当前(n)时刻C(s)中第i行第j列子控制器C_ij(s)输出与其给定值输入的偏差量；

e_ij(n-1)—前面第(n-1)时刻C(s)中第i行第j列子控制器C_ij(s)的输出与其给定值输入的偏差量：

e_ij(n-2)—前面第(n-2)时刻C(s)中第i行第j列子控制器C_ij(s)输出与其给定值输入的偏差量。

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