CN1332274C - 化工双输入输出过程的分布式pi和pid控制器的定量整定方法 - Google Patents

Abstract

一种化工双输入输出过程的分布式PI和PID控制器的定量整定方法，首先根据被控过程的对角占优的传递函数矩阵模型，设计两个分布式控制闭环的期望响应传递函数形式及其动态解调因子形式，然后推导出理想期望的两个分布式闭环控制器的形式，接着应用数学Maclaurin展开级数得到其有理逼近实现形式，最后取该展开级数的前两项构成分布式PI控制器，以及前三项构成分布式PID控制器。本发明给出的分布式PI和PID控制器的定量整定方法操作简便，具有单一调节参数整定控制器的优点，能够使分布式闭环控制系统保持良好的鲁棒稳定性，而且可以在较大范围内适应实际被控过程的建模误差以及过程参数摄动。

Description

化工双输入输出过程的分布式PI和PID控制器的定量整定方法

技术领域

本发明涉及的是一种用于工业过程控制技术领域的方法，特别是一种化工双输入输出过程的分布式PI和PID控制器的定量整定方法。

背景技术

双输入输出过程是化工生产中最常见的多变量过程，而且为了便于操作和控制，很多高维多变量过程在实际中通常分解为若干双输入输出子系统来处理。分布式(Decentralized)控制结构，亦称多环(Multiloop)控制结构，由于具有结构简单，成本低廉以及各闭环独立工作性强等优点，在化工实践中得到广泛采用。然而这种控制结构的稳定性容易受到实际被控过程不确定性的破坏，因此对该种控制结构中的两个闭环PI(比例积分)或PID(比例积分微分)控制器的整定和调节要求比较高，为了保证这种控制结构的工作稳定性，通常将两个闭环PI(或PID)控制器调节得比较松弛，但是由此造成控制系统的工作效率比较低，使得原材料和能源消耗较大，不利于经济生产和运行。目前化工实践中，通常采用单变量过程领域中已发展成熟的闭环控制器的整定方法如Z-N法和C-C法等来整定双输入输出过程的两个分布式闭环控制器，然后分别在这两个闭环控制器中设置解调系数以降低两个控制闭环之间的耦合作用，它们的主要缺点是使控制系统的调节水平较低，并且控制质量不高。

经对现有技术文献的检索发现，具有代表性的是美国学者Chen和Seborg教授在文献《Design of decentralized PI control systems based on Nyquist stabilityanalysis》(基于Nyquist稳定性分析的分布式PI控制系统的设计，发表在Journal ofProcess Control过程控制刊物，2003，13，27-39.)中，提出根据频域多变量闭环辨识所得到的临界增益和相位，利用多变量Nyquist稳定判据整定分布式闭环PI和PID控制器的方法，这里简称之为Chen的方法，虽然得到了显著改进的控制效果，但是由于采用了数值化寻优设计方法来整定控制器，数据运算量比较大，不便于在线调节和设定，并且所用到的相关专业理论知识较多，不便于被工程技术人员掌握和推广使用。需要指出，许多近期发表的其它文献给出的分布式闭环PI(或PID)控制器的整定方法虽然能够相对于实践中常用的简易整定方法取得显著的改进效果，但也基本上都是采用数值化迭代方法寻优求解控制器，数据运算量大且繁琐，不利于在线调节和工程实践。

发明内容

本发明的目的在于克服现有技术中的不足，提供一种化工双输入输出过程的分布式PI和PID控制器的定量整定方法。使其简便易行，可以实现在线单参数化调节控制器，即对每个控制器只需分别调节一个控制参数就能达到控制目的，因而操作简捷和方便，而且能够达到明显改进的控制效果。

本发明是通过以下技术方案实现的，本发明基于分布式闭环反馈控制结构，利用被控对象的对角占优的传递函数矩阵模型，并且通过提出期望的闭环传递函数矩阵来设计两个控制闭环的PI(或PID)控制器的整定公式，实际运行控制系统时，在线单调地增减每个控制器的单一调节参数，直至获得要求的控制系统标称性能及其鲁棒稳定性，并以最佳的方式在两者之间进行折中。

本发明在现有的电子控制设备和工控计算机中直接运行和实施，具体步骤如下：

1、首先根据化工双输入输出过程的对角占优的传递函数矩阵辨识模型

$G\left(s\right)=\left[\begin{array}{cc}{g}_{11}\left(s\right)& g_{12}\left(s\right)\\ g_{21}\left(g\right)& g_{22}\left(s\right)\end{array}\right]---\left(1\right)$

其中 $g_{\mathrm{ij}}\left(s\right)=g_{\mathrm{oij}}\left(s\right)e^{-{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}s}$ ，它是指从被控过程的第i个输入到第j个输出的传递函数，g_0ij(s)是其稳定正则的有理传递函数部分，θ_ij是其相应的过程传输时滞，i，j＝1，2.。利用化工过程鲁棒控制理论的H₂最优性能目标，设计组成分布式控制系统的两个控制闭环的期望响应传递函数形式为

$h_1=\frac{e^{-{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}s}}{{({\mathrm{\λ}}_{i}s+1)}^{U^i}}\underset{k=1}{\overset{V_i}{\mathrm{\Π}}}\frac{({-z}_{k}s+1)}{(z_{k}s+1)},i=\mathrm{1,2}.---\left(2\right)$

其中λ_i是用于得到实际期望的第i个控制闭环输出响应的调节参数，U_i是g_0ij的相对阶次， $s=z_k^{-1}$ 是g_0ij的复右半平面零点，V_i是这些零点的个数，i＝1，2.。由此确定出了整定两个控制闭环中的PI(或PID)控制器所要达到的控制系统输出响应的性能和工作指标。

2、由于实际化工双输入输出过程的分布式控制系统中的两个控制闭环之间具有耦合作用，对各自的输出响应会产生不利影响。为此，引入两个动态解调因子来设计这两个控制闭环中的控制器，从而实现第i个过程输入与其对应的过程输出之间的传递函数即为步骤1所示出的控制闭环的期望响应传递函数形式，i＝1，2.。为了满足这个控制要求，可以推导得出这两个动态解调因子的形式为

$d_1=\frac{2g_{11}{g}_{22}}{(h_1-h_2)g_{12}{g}_{21}+g_{11}{g}_{22}+{(-1)}^m\sqrt{{[(h_1-h_2)g_{12}{g}_{21}-g_{11}{g}_{22}]}^2-4g_{11}{g}_{22}{g}_{12}{g}_{21}(1-h_1)h_2}}---\left(3\right)$

$d_2=\frac{2g_{11}{g}_{22}}{(h_2-h_1)g_{12}{g}_{21}+g_{11}{g}_{22}+{(-1)}^m\sqrt{{[(h_1-h_2)g_{12}{g}_{21}-g_{11}{g}_{22}]}^2-4g_{11}{g}_{22}{g}_{12}{g}_{21}(1-h_1)h_2}}---\left(4\right)$

其中

$m=\left\{\begin{array}{cc}0,& g_{11}\left(0\right)g_{22}\left(0\right)>0\\ 1,& g_{11}\left(0\right)g_{22}\left(0\right)<0\end{array}\right.---\left(5\right)$

3、然后根据步骤1给出的两个控制闭环的期望响应传递函数形式以及步骤2得到的两个动态解调因子的形式，利用每个控制闭环的输出响应传递函数形式与其对应的控制器形式之间的因果关系，可以得到理想期望的两个分布式闭环控制器的形式为

$c_{i-\mathrm{ideal}}=\frac{1}{g_{\mathrm{ij}}}\&CenterDot;\frac{d_i{h}_i}{1-d_i{h}_i},i=\mathrm{1,2}.---\left(6\right)$

4、由于步骤3给出的理想期望的两个分布式闭环控制器的形式均因以复杂的形式含有无理项而不能物理实现，因而这里采用数学Maclaurin展开级数对其做有理逼近，从而方便实际构造控制器。考虑到步骤3给出的理想期望的两个分布式闭环控制器的形式均具有积分特性，不能直接进行数学求导运算，所以先令M_i(s)＝sc_i-idcal(s)，i＝1，2.，然后利用数学Maclaurin展开级数对其进行有理逼近，由此得到可以实际物理实现的控制器的有理逼近形式

$c_{i-\mathrm{Mac}}\left(s\right)=\frac{1}{s}[M_i\left(0\right)+M_i^{\&prime;}\left(0\right)s+\frac{M_i^{\&prime;\&prime;}\left(0\right)}{2!}{s}^2+...+\frac{M_i^{\left(n\right)}\left(0\right)}{n!}{s}^{\&prime;\&prime;}+...],i=\mathrm{1,2}.---\left(7\right)$

其中

$M_i^{\left(n\right)}\left(0\right)=\underset{s\&RightArrow;0}{\lim }\frac{d^n}{\mathrm{ds}}\left[{\mathrm{sc}}_{i-\mathrm{ideal}}\left(s\right)\right],i=\mathrm{1,2}.---\left(8\right)$

5、由于化工生产中通常采用的分布式控制器的形式为PI或PID，因此利用步骤3给出的可以实际物理实现的控制器的有理逼近形式，取前两项就可以构造出分布式PI控制器的形式

$c_{i-\mathrm{PI}}\left(s\right)=k_{\mathrm{Ci}}(1+\frac{1}{{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{Ii}}s}),i=\mathrm{1,2}.---\left(9\right)$

其中K_Ci＝M_i′(0)为比例增益，τ_Ii＝M_i′(0)/M_i(0)为积分时间常数，i＝1，2.。同理，取其前三项就可以构成分布式PID控制器的形式

$c_{i-\mathrm{PI}D}\left(s\right)=k_{\mathrm{Ci}}(1+\frac{1}{{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{Ii}}s}+{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{Di}}s),i=\mathrm{1,2}.---\left(10\right)$

其中K_Ci和τ_Ii如前所示，τ_Di＝M_i″(O)/2M_i′(O)为微分时间常数，i＝1，2.。需要说明，上式中纯微分项可通过串接一个一阶低通滤波器实现，其时间常数可取为(0.01～0.1)τ_Di。

需要指出，采用PID形式的逼近公式由于能够实现对步骤3所示出的理想期望的分布式闭环控制器形式的更佳逼近精度，因而相对于其PI形式的逼近公式能够实现更好的控制效果。此外，上述分布式PI和PID控制器的设计公式(9-10)中的控制参数实质上均由单一调节参数λ_j(i＝1，2.)整定，它对应着如步骤1所示的期望控制闭环响应的形式和性能。调节参数λ_i(i＝1，2.)的整定规则：调小λ_i可以加快对应的过程输出响应速度，提高控制系统的标称性能，但是相应所需的第i个控制器的输出能量要增大，并且它所对应的执行机构所需要提供的输出能量也要增大，会倾向于超出其容量范围，此外，在面临被控过程的未建模动态特性时，易于表现出过激行为，不利于控制系统的鲁棒稳定性；相反，增大λ_i会使对应的过程输出响应变缓，但是所要求的第i个控制器的输出能量减小，并且其所对应的执行机构所需要的输出能量也会减小，从而有利于提高控制系统的鲁棒稳定性。因此实际整定调节参数λ_i(i＝1，2.)时，应在控制系统输出响应的标称性能与每个控制器及其执行机构的输出容量之间权衡。

以下说明有助于本发明给出的分布式PI和PID控制器整定方法的软件编程实现：

本发明给出的分布式PI控制器的整定方法对应的数字离散域的控制信号增量算式为

${\mathrm{\&Delta;u}}_i\left(k\right)=k_{\mathrm{Ci}}(1+\frac{T_s}{{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{Ii}}})e_i\left(k\right)-k_{\mathrm{Ci}}{e}_i(k-1)\text{,i=1,2.---}\left(11\right)$

本发明给出的分布式PID控制器的整定方法对应的数字离散域的控制信号增量算式为

${\mathrm{\&Delta;u}}_i\left(k\right)=k_{\mathrm{Ci}}(1+\frac{T_s}{{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{Ii}}}+\frac{{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{Di}}}{T_s})e_i\left(k\right)-k_{\mathrm{Ci}}(1+\frac{2{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{Di}}}{T_s})e_i(k-1)+\frac{k_{\mathrm{Ci}}{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{Di}}}{T_s}{e}_i(k-2)\text{,i=1,2.---}\left(12\right)$

以上(11-12)式中：

K_Ci-第i个控制器的比例增益，i＝1，2.

τ_Ii-第i个控制器的积分时间常数，i＝1，2.

τ_Di-第i个控制器的微分时间常数，i＝1，2.

T_s-控制系统的采样周期

Δu_i(k)-当前(k)时刻第i个控制器的输出信号增量，i＝1，2.

e_i(k)-当前(k)时刻第i个过程输出与其给定值输入的偏差量，i＝1，2.

e_i(k-1)-前面第(k-1)时刻第i个过程输出与其给定值输入的偏差量，i＝1，2.

e_i(k-2)-前面第(k-2)时刻第i个过程输出与其给定值输入的偏差量，i＝1，2.

实际在工控计算机中执行本发明给出的分布式PI(或PID)控制器整定方法的软件程序时，首先读取被控过程的辨识模型参数，然后由前面步骤1-5给出的设计公式(2-10)整定两个分布式闭环控制器的控制参数，再代入(11)(或(12))式，从而可以得到控制器输出信号增量Δu_i(k)(i＝1，2.)的值，与前一时刻的控制信号u_i(k-1)(i＝1，2.)通过加法器进行加法运算就得到当前时刻的控制器输出信号u_i(k)(i＝1，2.)。

在实际工业过程控制现场采用本发明给出的分布式PI和PID控制器的整定方法，只需在线单调地调节每个控制器中的单一调节参数即可使控制系统达到指定的工作性能，而且便于实现控制系统的标称性能和鲁棒稳定性之间的最佳折中，因而操作简便，使得控制系统输出响应快速平稳，从而显著地克服了传统整定方法的主要缺点。本发明给出的分布式PI和PID控制器的整定方法可广泛应用于能源、冶金、石化、轻工、医药、建材、纺织等行业中双输入双输出生产过程的控制和调节。

附图说明

图1为本发明给出的分布式PI和PID控制器的整定方法所采用的分布式闭环控制结构图。

图2为针对一个化工实施例示意图

其中，图2(a)示出了第1个过程输出的响应曲线，图2(b)示出了第2个过程输出的响应曲线，本发明给出的分布式PI控制器的整定方法(点线)和分布式PID控制器的整定方法(实线)以及Chen的分布式PI控制器的整定方法(点划线)下的分布式控制系统，分别对于两路单位阶跃给定值输入信号和幅值为0.1的反向阶跃负载干扰信号所得到的输出响应曲线。

图3为针对被控过程G发生输入不确定性时控制系统输出响应曲线示意图

其中，图3(a)示出了第1个过程输出的响应曲线，图3(b)示出了第2个过程输出的响应曲线，本发明给出的分布式PI控制器的整定方法所得到的系统输出响应曲线(点线)，以及分别增减两个调节参数所得到的控制系统输出响应曲线(实线)。

具体实施方式：

以下结合附图和实施例对本发明的技术方案作进一步描述。

实施例：

对于一个广泛研究采用的化工烃化物分馏塔过程

$G=\left[\begin{array}{cc}\frac{12.8e^{-s}}{16.7s+1}& \frac{-18.9e^{-3s}}{21s+1}\\ \frac{6.6e^{-7s}}{10.9s+1}& \frac{-19.4e^{-3s}}{14.4s+1}\end{array}\right]$

应用本发明给出的分布式PI和PID控制器的整定方法，第一步：按照附图1所示的结构框图组建一个分布式闭环控制系统；

第二步：应用设计公式(2)，得出两个分布式控制闭环的期望响应传递函数形式分别为

$h_1=\frac{e^{-s}}{{\mathrm{\&lambda;}}_{1}s+1},h_2=\frac{e^{-3s}}{{\mathrm{\&lambda;}}_{2}s+1};$

第三步：应用设计公式(3-4)求解出两个分布式控制闭环的动态解调因子d₁和d₂；

第四步：应用设计公式(6)得出理想期望的两个分布式闭环控制器的形式；

第五步：应用设计公式(7)得出理想期望的两个分布式闭环控制器有理逼近实现的级数形式；

第六步：初始设置两个调节参数λ₁＝2.5，λ₂＝6，应用设计公式(9)得出分布式PI控制器的形式，即

$c_{1-\mathrm{PI}}\left(s\right)=0.2448(1+\frac{1}{5.458s}),c_{2-\mathrm{PI}}\left(s\right)=-0.0723(1+\frac{1}{6.278s});$

第七步：应用设计公式(10)得出分布式PID控制器的形式，即

$c_{1-\mathrm{PI}D}\left(s\right)=0.2448(1+\frac{1}{5.458s}+0.255s),c_{2-\mathrm{PID}}\left(s\right)=-0.0723(1+\frac{1}{6.278s}+1.0796s);$

需要说明，如上初始设置分布式PI和PID控制器的调节参数λ₁和λ₂的值是为了得到与Chen的方法下的系统给定值响应的上升时间相同，以便比较。

仿真实验时，分别在t＝0，100秒时刻加入控制系统的两路给定值单位阶跃输入信号r₁和r₂，在t＝200秒时刻加入幅值为0.1的反向阶跃负载干扰信号于被控过程G的两路输入端，被控过程输出的计算机仿真结果如附图2所示。

由图2可以看到，本发明给出的分布式PI控制器的整定方法(点线)相对于Chen的分布式PI控制器的整定方法(点划线)显示出了明显改进的控制效果，而且本发明给出的分布式PID控制器的整定方法(实线)由于能够实现对理想期望的分布式闭环控制器形式的更佳逼近精度，因而相对于其分布式PI控制器的整定方法显示出了进一步提高的控制效果。

现在假设实际存在被控过程G  的乘性输入不确定性Δ_l＝diag{(s+0.3)/(s+1)，(s+0.3)/(s+1)}，它可以近似地物理解释为，被控过程的两个输入调节阀在高频段具有高达100％的不确定性，并且在低频段工作范围具有将近30％的不确定性。在这种严重的过程输入不确定性下进行如上所述仿真实验，本发明给出的分布式PI控制器的整定方法所得到的过程输出响应的计算机仿真结果如附图3所示。

由图3可以看到，本发明给出的分布式PI控制器的整定方法(点线)能够良好地保证系统的给定值响应和负载干扰响应的鲁棒稳定性。此外可以看到，单调地增大控制器c₁的调节参数λ₁，例如令其为5，就可以使第1个过程输出的给定值响应的振荡减小，如图3(a)中的实线所示；同时单调地减小控制器c₂的调节参数λ₂，例如令其为3，就可以使第2个过程输出的给定值响应的上升速度加快，如图3(b)中的实线所示。类似的控制效果亦会出现在本发明给出的分布式PID控制器的整定方法中。因此，采用本发明给出的分布式PI和PID控制器的整定方法可以很方便地在线进行单调地调节系统输出响应，从而达到实际要求的工作指标。

以上阐述的是本发明给出的一个实施例所表现出的优良控制效果。需要指出，本发明不只限于上述实施例，由于本发明针对化工过程中的一般双输入输出过程模型给出分布式PI和PID控制器的整定方法，所以适用于各种不同的化工双输入输出生产过程。本发明给出的分布式PI和PID控制器的整定方法可广泛应用于石化、冶金、医药、建材和纺织等行业的双输入输出生产过程。

Claims (2)

1、一种化工双输入输出过程的分布式PI和PID控制器的定量整定方法，其特征在于，包括如下具体步骤：

1)首先根据化工双输入输出过程的对角占优的传递函数矩阵模型：

$G\left(s\right)=\left[\begin{array}{cc}{g}_{11}\left(s\right)& g_{12}\left(s\right)\\ g_{21}\left(s\right)& g_{22}\left(s\right)\end{array}\right]$

其中： $g_{\mathrm{ij}}\left(s\right)=g_{\mathrm{oij}}\left(s\right)e^{-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{ij}}s},$ 它是指从被控过程的第i个输入到第j个输出的传递函数，g_0ij(s)是其稳定正则的有理传递函数部分，θ_ij是其对应的过程传输时滞，i，j＝1，2.，设计组成分布式控制系统的两个控制闭环的期望响应传递函数形式为

$h_i=\frac{e^{-{\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{ij}}s}}{{({\mathrm{\&lambda;}}_{i}s+1)}^{U_i}}\underset{k=1}{\overset{V_i}{\mathrm{\&Pi;}}}\frac{(-z_{k}s+1)}{(z_{k}s+1)},i=\mathrm{1,2}.$

其中：λ_i是用于得到期望的第i个闭环输出响应的调节参数，U_i是g_0ii的相对阶次， $s=z_k^{-1}$ 是g_0ii的复右半平面零点，V_i是这些零点的个数，i＝1，2.；

2)其次设计两个分布式控制闭环的动态解调因子为：

$d_1=\frac{2g_{11}{g}_{22}}{(h_1-h_2)g_{12}{g}_{21}+g_{11}{g}_{22}+{(-1)}^m\sqrt{{[(h_1-h_2)g_{12}{g}_{21}-g_{11}{g}_{22}]}^2-4g_{11}{g}_{22}{g}_{12}{g}_{21}(1-h_1)h_2}}$

$d_2=\frac{{2g}_{11}{g}_{22}}{(h_2-h_1)g_{12}{g}_{21}+g_{11}+g_{22}+{(-1)}^m\sqrt{{[(h_1-h_2)g_{12}{g}_{21}-g_{11}-g_{22}]}^2-{4g}_{11}{g}_{22}{g}_{12}{g}_{21}(1-h_1)h_2}}$

其中：

$m=\left\{\begin{array}{cc}0,& g_{11}\left(0\right)g_{22}\left(0\right)>0\\ 1,& g_{11}\left(0\right)g_{22}\left(0\right)<0\end{array}\right.;$

3)然后设计理想期望的两个分布式闭环控制器的形式为：

$c_{i-\mathrm{ideal}}=\frac{1}{g_{\mathrm{ij}}}\&CenterDot;\frac{d_i{h}_i}{1-d_i{h}_i},i=\mathrm{1,2}.;$

4)接着令M_i(s)＝s_ci-ideal(s)，i＝1，2.，利用数学Maclaurin展开级数对其进行有理逼近实现，由此得到：

$c_{i-\mathrm{Mac}}\left(s\right)=\frac{1}{s}[M_i\left(0\right)+M_i^{\&prime;}\left(0\right)s+\frac{M_i^{\&prime;\&prime;}}{2!}{s}^2+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;+\frac{M_i^{\left(n\right)}\left(0\right)}{n!}{s}^n+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;],i=\mathrm{1,2}.$

其中：

$M_i^{\left(n\right)}\left(0\right)=\underset{s\&RightArrow;0}{\lim }\frac{d^n}{\mathrm{ds}}\left[s{c}_{i-\mathrm{ideal}}\left(s\right)\right],i=\mathrm{1,2}.;$

5)最后，利用步骤4)中c_i-Mac(s)的Maclaurin展开级数的前两项构造分布式PI控制器

$c_{i-\mathrm{PI}}\left(s\right)=k_{\mathrm{Ci}}(1+\frac{1}{{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{Ii}}}),i=\mathrm{1,2}$

其中：K_Ci＝M_i′(0)为比例增益，τ_Ii＝M_i′(0)/M_i(0)为积分时间常数，i＝1，2.，

同理，利用步骤4)中c_i-Mac(s)的Maclaurin展开级数的前三项构成分布式PID控制器

$c_{i-\mathrm{PID}}\left(s\right)=k_{\mathrm{Ci}}(1+\frac{1}{{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{Ii}}s}+{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{Di}}s),i=\mathrm{1,2}.$

其中：K_Ci和τ_Ii如前所示，τ_Di＝M_i″(0)/2M_i′(0)为微分时间常数，i＝1，2.，需要说明，上式中纯微分项通过串接一个一阶低通滤波器实现，其时间常数可取为(0.01～0.1)τ_Di。

2、如权利要求1所说的化工双输入输出过程的分布式PI和PID控制器的定量整定方法，其特征是，包含有分布式PI和PID控制器的整定方法的软件编程实现程序，按下式计算分布式PI控制器的整定方法对应的数字离散域的控制信号增量：

$\mathrm{\&Delta;}{u}_i\left(k\right)=k_{\mathrm{Ci}}(1+\frac{T_s}{{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{Ii}}})e_i\left(k\right)-k_{\mathrm{Ci}}{e}_i(k-1),i=\mathrm{1,2}.$

按下式计算分布式PID控制器的整定方法对应的数字离散域的控制信号增量：

$\mathrm{\&Delta;}{u}_i\left(k\right)=k_{\mathrm{Ci}}(1+\frac{T_s}{{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{Ii}}}+\frac{{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{Di}}}{T_s})e_i\left(k\right)-k_{\mathrm{Ci}}(1+\frac{2{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{Di}}}{T_s})e_i(k-1)\frac{k_{\mathrm{Ci}}{\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{Di}}}{T_s}{e}_i(k-2),i=\mathrm{1,2}.$

以上两个控制信号增量算式中：

K_Ci—第i个控制器的比例增益，i＝1，2.；

τ_Ii—第i个控制器的积分时间常数，i＝1，2.；

τ_Di—第i个控制器的微分时间常数，i＝1，2.；

T_s—控制系统的采样周期；

Δu_i(k)—当前(k)时刻第i个控制器的输出信号增量，i＝1，2.；

e_i(k)—当前(k)时刻第i个过程输出与其给定值输入的偏差量，i＝1，2.；

e_i(k-1)—前面第(k-1)时刻第i个过程输出与其给定值输入的偏差量，i＝1，2.；

e_i(k-2)—前面第(k-2)时刻第i个过程输出与其给定值输入的偏差量，i＝1，2.。

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