CN1661609A - 钢铁生产计划中合同与库存联合优化管理方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种网络环境下的计算机生产管理技术领域，是一种钢铁生产计划与库存联合优化管理方法，其结构由计算机硬件平台及软件平台管理方法组成，其中硬件平台以交换机为核心，通过光缆与主干网和调度数据采集系统联接，同时通过服务器与管理终端联接，软件平台以计划编制功能模块为中心，实现对合同匹配、合同预处理、产能评估和预报以及计划编制的功能的管理，实际采用具有启发式修复策略的改进遗传算法，通过精确的优选算法，实现科学管理最优化。优点：在网络环境下，提供一种钢铁生产合同计划与库存联合优化管理方法，进行科学合理的计算，能快速生成生产计划，使生产计划管理由手工提升到快速自动编制，从而可合理降低库存、优化生产能力配置以及准时交货，达到提高企业效益和市场竞争力的目标。

Description

钢铁生产计划中合同与库存联合优化管理方法

技术领域

本发明涉及网络环境下的科学生产管理技术领域、计算机技术、优化理论和方法，特别适用于钢铁生产计划与库存优化管理方法。

背景技术

在动态多变的市场环境中，产品需求的起伏波动是绝对的，而企业内部的生产又必须均衡地进行，在钢铁企业中，库存余材和生产能力都被看作是企业的可利用资源，为了更好地满足市场多样化的需求，企业必须要对包括库存余材、生产能力在内的各类资源统一配置，当产品订货量少、设备能力相对过剩时，企业为保证主体设备利用率，达到批量生产的要求，通常在完成已有合同的同时，按照市场预测信息生产出一定数量的余材储备在库存中；当企业接收到新的合同时，首先对合同进行库存匹配，即根据订货要求从库存中挑选品种相同或相近的余材交货，然后对于不能匹配的合同编制生产计划，库存优化匹配工作是生产计划编制前对合同的预处理过程，在钢铁、造纸、金属加工等流程工业中普遍存在，它有利于提高企业及时交货能力、解决因剩余库存造成的资金和场地占用问题、保证物流畅通、提高企业经济效益具有重要意义，并具有广阔的应有前景。

经国内外专利检索，未查见相关的专利文献。

发明内容

为解决生产计划和库存的科学管理，本发明的目的是提供一种钢铁生产合同计划与库存联合优化管理方法，应用生产管理技术、计算机技术、优化理论和方法，进行科学合理的计算，达到合理降低库存、优化生产能力配置的目标。

本发明的技术方案是这样实现的：

本发明是在网络、数据库等信息技术支持下由计算机硬件平台和软件管理平台组成，实现钢铁生产合同计划与库存联合优化管理方法。

其中：硬件平台由服务器、交换机、调度数据采集系统、用户终端、企业内部网装置组成，其联接是硬件平台由合同计划系统和调度数据采集系统两部分组成，其中硬件平台以交换机为核心，交换机主要接口通过光缆与管理公司主干网联接，同时交换机与外围的服务器联接，其中一路服务器与计划编制或合同处理联接，另一路服务器与库存管理联接，再一路服务器与产能预估联接，交换器另一分支通过光缆与炼钢调度终端、连铸调度终端以及热轧调度终端联接(如图1所示)

软件管理平台由应用软件、数据库、调度数据采集与接口软件组成。

系统软件管理平台是将钢铁生产合同计划与库存联合优化作为一个合同计划系统，在系统环境下利用信息集成技术研究了钢铁生产合同计划与库存联合优化管理方法，开发了相应的钢铁生产合同计划与库存联合优化软件包，本方法是钢铁生产合同计划与库存联合优化软件包中的核心处理方法。

管理软件平台由功能模块组成，该模块包括有合同匹配模块、合同预处理模块、产能评估和预报模块以及计划编制模块，系统以计划编制模块为中心，负责提供合同计划的计算机辅助决策和计划分析评价(如图2所示)。

下面就合同模块进行详细说明：

1)合同匹配管理模块

本系统支持合同对库存中板坯、钢卷、捆包等余材的灵活匹配以及余材转现货处理等功能(如图3所示)。

合同匹配模块(100)由下列步骤组成：

(1)合同自动匹配(101)：通过合同优化匹配模型求解，自动选择库存中特征值相同或相近(按照升级原则)的材料，匹配到已投入生产的有欠量的合同；

(2)合同人工匹配(102)：系统提供人机交互界面，由管理人员根据需要建立合同对余材的匹配关系；

(3)合同的转接(103)：将已有合同的材料匹配给另一个已经投入生产有欠量的合同，提供人机接口通过手工方式完成，主要分两步进行：第一步根据决策者的要求，选择已有合同的材料与合同脱钩，既解除匹配关系；第二步输入目标匹配合同号，确定材料替代时，是否冶金产品标准大纲的要求，若满足则建立新的匹配关系，否则系统给出错误提示信息；

(4)合同脱钩处理(104)：是将已有合同的材料与该合同脱钩，本系统将提供人机接口通过手工方式修改库存材料状态、生产合同状态，并反映到材料匹配关系表中；

(5)计划封锁(105)：提供人机接口通过手工方式修改库存材料状态、生产合同状态，并反映到生产实绩和材料匹配关系表中；

(6)计划释放(106)：提供人机接口通过手工方式修改库存材料状态，将已生产出处于封锁状态的材料进行释放，允许其编入计划。

2)合同预处理模块(200)

系统根据订货批量对合同进行自动分类和统计(201)，由管理人员对小批量合同归并(202)，对大批量长期合同分解(203)，生成若干订货量小的合同(204)。各项功能(如图4所示)。

3)产能评估和预报模块(300)

根据机组产能表态表、库存能力表和本期生产实绩等值推算本期剩余时间和下期产能数据，各项功能(如图5所示)。

产能评估和预报中功能模块(300)处理方法由下列步骤组成：

(1)机组生产实绩评估(301)：实现对包括炼钢、连铸、热轧在内的各道工序中各机组实际生产信息收集和统计；

(2)库存实绩统计查询(302)：接收库存管理系统中各类特征值产品的库存实绩数据进行汇总统计；

(3)本期产能超欠量推算(303)，主要指示包括：

本期各机组作业时间超欠量＝本期各机组剩余生产时间-本期尚需占用各机组生产时间本期各机组剩余生产时间＝(本期剩余日历时间-本期还未实施的计划停机时间)×机组作业率；

本期尚需占用生产时间＝本期各工序待生产量/机组小时能力；

本期各机组产量超欠量＝本期各机组剩余能力-本期各机组待生产量；

(4)本期期末库存推算(304)：本期期末库存推算是指当前的库存与当期的出入库计划相比较，推算而得，经确认后作为下期的期初库存；

本期期末库存＝当前的库存+(上游机组本期待产出量-下游机组本期待投入量)

(5)下期机组能力预报(305)：

下期各机组可用产能＝下期机组计划产量+/-本期产能超欠量-本期合同占用下期产能下期各机组可用作业时间＝(下期机组有效作业时间+/-本期机组作业时间超欠量-本期合同占用下期机组作业时间)×机组作业率；

下期机组有效作业时间＝下期计划周期-下期机组计划停机时间。

其中：各机组计划停机时间包括定修检修、换辊周期。

(6)人工确认和调整(306)：提供人机接口，对下期机组可用产能、下期机组可用作业时间的值人工确认和修正；

(7)打印产能预测报表(307)。

4)合同计划编制模块

该组功能模块是本系统的核心，负责提供合同计划的计算机辅助决策和计划分析评价。

各项功能(如图6所示)。

合同计划编制模块(400)处理方法由下列步骤组成：

(1)合同计划自动编制(401)：针对不同工艺形式、优化目标选择相应的合同计划模型进行求解；

(2)合同计划人工编制和检验(402)：提供二维数据表和图形编辑两种形式的人机交互界面编制合同计划，并通过计算机对结果自动进行检验；

(3)合同计划结果评价(403)：主要包括合同提前/拖期率、能力负荷均衡率、品种均衡率等；

(4)合同变更管理(404)：实现生产合同添加、删除、状态修改、工艺路径修改等处理功能；

(5)合同计划高速和确认(405)：提供二维数据表和图形编辑两种形式的人机接口对准备执行或正在执行的合同计划进行调整，确认后下发；

(6)同计划查询和报表打印(406)：包括合同排产状况、设备利用状况、品种规格分布、产品产量统计、技经指标统计等，反映阶段性周计划制订、周计划执行、生产合同投入信息查询功能；

钢铁生产合同计划与库存联合优化方法为：实现合同优化匹配的目标是要最大化利用现有余材，达到降低库存的目的，同时还必须考虑余材替代过程中的各种损失费用尽可能小，提高合同的期望收益值。首先建立了合同与库存优化匹配的非线性0-1规划模型，然后采用改进遗传算法求解。

已知，在计划期[1，T]内，该钢厂累计要完成N份合同，每一合同i的订货量为W₁(i＝1，2…，N)，交货期限在[υ_i，v_i]之间，生产准备费用为C_i，单位重量产品的能力占用系数为η_i；此外，还知在第j时段的额定生产能力为E_j(j＝1，2，…，T)，第k个品种余材的库存量为S_k(K＝1，2…，M)。

设合同i选择库存中第k种余材交货时的损失费用为γ_ik，定义为：

其中Ω₁为第1个产品序列集合，g(k)为第k种产品等级的量化指标。

在钢铁工业中，由于订货合同具有多品种、小批量的特征，钢铁生产和交货均是按合同组织的，因此本模型以合同为对象，确定对库存余材的匹配方案或计划生产日期；目标是实现所有合同的违约(提前/拖期/撤销)惩罚费用、生产准备费用、库存匹配费用总额最小化。

决策变量：

另外，定义变量t_i，代表合同I的交货时间。合同的库存匹配与生产计划联合优化模型如下：

$\min f=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\{{\mathrm{\α}}_i{[{\mathrm{\υ}}_i-t_i]}^{+}+{\mathrm{\β}}_i{[t_i-v_i]}^{+}\}+\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{p}_i(1-\underset{j=1}{\overset{T}{\mathrm{\Σ}}}{x}_{\mathrm{ij}}-\underset{k=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{y}_{\mathrm{ik}})$

$+\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{T}{\mathrm{\Σ}}}{c}_i{x}_{\mathrm{ij}}+\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\underset{k=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\γ}}_{\mathrm{ik}}{y}_{\mathrm{ik}}---\left(1\right)$

s.t.

$\underset{i}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{x}_{\mathrm{ij}}{w}_i{\mathrm{\η}}_i\≤E_j,j=1,\·\·\·,T;---\left(2\right)$

$\underset{i}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{y}_{\mathrm{ik}}{w}_i\≤S_k,k=1,\·\·\·,M;---\left(3\right)$

$\underset{j=1}{\overset{T}{\mathrm{\Σ}}}{x}_{\mathrm{ij}}+\underset{k=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{y}_{\mathrm{ik}}\≤1,i=1,\·\·\·,N;---\left(4\right)$

$t_i=\underset{j=1}{\overset{T}{\mathrm{\Σ}}}{x}_{\mathrm{ij}}j+(1-\underset{j=1}{\overset{T}{\mathrm{\Σ}}}{x}_{\mathrm{ij}})d_i,i=1,\·\·\·,N;---\left(5\right)$

其中[x]＝max{0，x}，d_i可选择[υ_i，v_i]中的某一常数。

在模型的目标函数中，第一项是合同的提前/拖期惩罚费用；第二项是被撤销的合同惩罚费用；第三项是合同的生产准备费用；第四项是合同选择库存中余材交货时的替代损失费用。在约束条件中，(2)式表示各时段内的生产能力限制；(3)式表示各类余材的库存量限制；(4)式表示变量t_i的取值过程，若合同i被排产，则t_i等于计划生产的时间段：若合同i利用库存交货或被撤销时，就不存在提前/拖期惩罚，因此取值限定为交货期窗口内的某个常数d_i。

上述模型属于非线性0-1规划，应用具有启发式修复策略的改进遗传算法，求得大规模问题的近优解。上述模型在库存匹配与生产计划联合优化模型中隐含着多背包问题的结构，属于NP难问题。由于实际背景中的合同规模较大、余材种类繁多，采用常规算法很难在可接受时间内获得最优解，为此利用启发式修复算子修复后代染色体，以保证对库存量和能力两个约束的满足。算法中关键环节的设计如下：

1)编码方法

采用两段整数编码，前一部分反映合同与库存的匹配情况，后一部分反映合同的排产情况，两段的合同次序相同。染色体的表示方法如下：

设染色体S＝(a₁，…，a_N|b₁，…，b_N}，其中基因ai(0≤a_i≤M，i＝1，…，N)代表匹配合同i交货的余材的种类，若a_i＝0时，表示合同i没有选择库存余材交货；而基因b_i(0≤b_i≤T，i＝1，…，N)代表安同i生产的期限，若b_i＝0时，表示合同i未排产。

2)求得初始解

为了保证初始解符合约束(4)的限制，要求基因a_i和b_i不能同时大于零。因此，初始解的求解分成两步：

第一步：构造前一部分染色体；在[0，M]范围内随机产生一个整数I，若而γ_ik＝∞时，a_i＝0，否则a_i＝S：

第二步：按照前一部分染色体的基因指导产生后一部分染色体；即当a_i≠0时，令b_i＝0；若a_i＝O时，在[0，T]范围内随机产生一个整数赋值给b_i。

3)遗传算子选择方法

交叉运算是产生新个体的主要方法，它决定了遗传算法的全局搜索能力。为了保证子代不违反约束(4)，这里采用分段并行均匀交叉策略，即同时交换父代染色体前半部分和后半部分固定基因位上的值，生成新个体。

变异的作用是增强个体多样性，增加收敛到最优解的机会，它决定了遗传算法的局部搜索能力。为了保证新个体满足约束条件(4)，本发明采用并行分段互换变异方法，即选择父代染色体中前后段相同位置上的基因进行互换。

4)染色体的修复策略方法

为了保证问题的解能同时满足约束条件(3)和(4)，本发明对修复策略做了改进，核心算法处理流程(如图7所示)，其流程步骤如下：

步骤1.参数初始化(701)：首先判断解是否满足约束条件(3)的限制；若不满足，则将合同按单位余材替代损失费用(γ_ik/W_i)大到不盺顺序，依次撤销选择余材替换的合同(即令a_i＝0)直到满足约束条件(3)为止。

步骤2.匹配余材库存(702)：将步骤1.中撤消的合同，按照交货期惩罚(α_i[υ_i-t]⁺+β_i[t-v_i]⁺)最小原则，分配时间段(即令b_i＝t)；

步骤3.按交货期分配时段(703)：判断解是否满足约束条件(4)；若不满足，则将染色体按交货期惩罚从大到小的顺序，依次撤消合同(即令b_i＝0)，直到约束满足为止；

步骤4.校验合同处理方式(704)：对于既未匹配也未排产的合同，首先在满足约束条件(3)的前提下，按生产准备费用Ci从大到小的顺序，依次进行余材匹配；对所有不能匹配的合同，在满足约束(4)的条件下，按照撤销惩罚Pi从大到小的顺序，依次分配到交货期惩罚最小的时段中。

5)适应度函数

采用正规化标定技术评价染色体的适应度，设F_max、F_min分别是当前种群中最大目标值和最小目标值，α是一个限制在(0，1)区间内的正实数，则算法的适值函数F_i为：

$F_i=\frac{F_{\max }-f_i+\mathrm{\α}}{F_{\max }-F_{\min }+\mathrm{\α}}$

6)选择策略方法

由父代和子代构成扩展种群空间，采用转轮法从中选择Pop-Size(种群规模)个染色体组成新的种群。

本发明的优点：

在网络环境下，提供一种钢铁生产合同计划与库存联合优化管理方法，进行科学合理的计算，能快速生成生产计划，使生产计划管理由手工提升到快速自动编制，从而可合理降低库存、优化生产能力配置以及准时交货，达到提高企业效益和市场竞争力的目标。

附图说明

图1钢铁生产合同计划与库存联合优化方法硬件网络结构图

图2钢铁生产合同计划与库存联合优化方法系统功能框架图

图3合同匹配管理功能层次图

图4合同预处理功能层次图

图5产能评估和预报功能层次图

图6合同计划编制功能层次图

图7钢铁生产合同计划与库存联合优化方法核心算法处理流程图

具体实施方式

为了验证模型和算法的有效性，对多组问题的实例进行仿真，获得较为理想的结果。下面以某钢铁企业中热送装工艺流程为背景，采用本方法进行仿真实验。结合企业的实际，钢材生产依次通过炼钢—精炼—连铸—热轧四道工序，且工艺路径相同，整个流程的额定生产能力以“瓶颈”工序的能力作为核算依据。已知，计划期范围是1个月，以旬为单位划分时间段，因此T＝3。实例选择合同量、额定生产能力和库存种类不同规模的三组数据，如表1所示。

                    表1库存匹配和生产计划联合优

遗传算法的参数设置为：Pc＝0.7，Pm＝0.3，种群规模为100，最大迭代代数为800。分别对不同规模的问题测试10次，统计最小(最好)目标值fmin、最大(最差)目标值fmax和平均目标值fovg，以及最好目标时库存匹配与排产的合同数，结果如表2和表3。

                  表2三种规模问题的结果统计

                 表3最好目标时库存匹配与排产

通过不同规模问题的计算结果可以看出，在不违反库存量和生产能力限制的前提下，通过分配现有的余材和安排加工日期，使得大部分合同都能在交货期范围内被满足。

Claims (7)

1.一种钢铁生产计划中合同与库存联合优化管理方法，该方法在网络、数据库等信息支持下由计算机硬件平台和软件管理平台组成，其特征在于：硬件平台由服务器、交换机、调度数据采集系统、用户终端、企业内部网装置组成；软件管理平台由应用软件、数据库、调度数据采集与接口软件组成，均采用模块形式；其硬件联接是硬件平台由合同计划系统和调度数据采集系统两部分组成，其中硬件平台以交换机为核心，交换机主要接口通过光缆与管理公司主干网联接，同时交换机与外围的服务器联接，其中一路服务器与计划编制或合同处理联接，另一路服务器与库存管理联接，再一路服务器与产能预估联接，交换器另一分支通过光缆与炼钢调度终端、连铸调度终端以及热轧调度终端联接。

2.按权利要求1所述的优化管理方法，其特征在于管理软件平台由功能模块形式组成，该模块包括有合同匹配模块、合同预处理模块、产能评估和预报模块以及计划编制模块，系统以计划编制模块为中心，负责提供合同计划的计算机辅助决策和计划分析评价。

3.按权利要求2所述的优化管理方法，其特征在于合同匹配模块(100)由下列步骤组成：

(1)合同自动匹配(101)：通过合同优化匹配模型求解，自动选择库存中特征值相同或相近(按照升级原则)的材料，匹配到已投入生产的有欠量的合同；

(2)合同人工匹配(102)：系统提供人机交互界面，由管理人员根据需要建立合同对余材的匹配关系；

(3)合同的转接(103)：将已有合同的材料匹配给另一个已经投入生产有欠量的合同。提供人机接口通过手工方式完成，主要分两步进行。第一步根据决策者的要求，选择已有合同的材料与合同脱钩，既解除匹配关系；第二步输入目标匹配合同号，确定材料替代时，是否符合冶金产品标准大纲的要求，若满足则建立新的匹配关系，否则系统给出错误提示信息；

(4)合同脱钩处理(104)：是将已有合同的材料与该合同脱钩。本系统将提供人机接口通过手工方式修改库存材料状态、生产合同状态，并反映到材料匹配关系表中；

(5)计划封锁(105)：提供人机接口通过手工方式修改库存材料状态、生产合同状态，并反映到生产实绩和材料匹配关系表中；

(6)计划释放(106)：提供人机接口通过手工方式修改库存材料状态，将已生产出处于封锁状态的材料进行释放，允许其编入计划。

4.按权利要求2所述的优化管理方法，其特征在于合同预处理模块(200)，系统根据订货批量对合同进行自动分类和统计(201)，由管理人员对小批量合同归并(202)，对大批量长期合同分解(203)，生成若干订货量小的合同(204)。

5.按权利要求2所述的优化管理方法，其特征在于产能评估和预报中功能模块(300)处理方法由下列步骤组成：

(1)机组生产实绩评估(301)：实现对包括炼钢、连铸、热轧在内的各道工序中各机组实际生产信息收集和统计；

(2)库存实绩统计查询(302)：接收库存管理系统中各类特征值产品的库存实绩数据进行汇总统计；

(3)本期产能超欠量推算(303)，主要指示包括：

本期各机组作业时间超欠量＝本期各机组剩余生产时间-本期尚需占用各机组生产时间

本期各机组剩余生产时间＝(本期剩余日历时间-本期还未实施的计划停机时间)×机组作业率；

本期尚需占用生产时间＝本期各工序待生产量/机组小时能力；

本期各机组产量超欠量＝本期各机组剩余能力-本期各机组待生产量；

(4)本期期末库存推算(304)：本期期末库存推算是指当前的库存与当期的出入库计划相比较，推算而得，经确认后作为下期的期初库存；

本期期末库存＝当前的库存+(上游机组本期待产出量-下游机组本期待投入量)；

(5)下期各机组实际可用产能预报(305)；

下期各机组可用产能＝下期机组计划产量+/-本期产能超欠量-本期合同占用下期产能；

下期各机组可用作业时间＝(下期机组有效作业时间+/-本期机组作业时间超欠量-本期合同占用下期机组作业时间)×机组作业率；

下期机组有效作业时间＝下期计划周期-下期机组计划停机时间；

其中：各机组计划停机时间包括定修检修、换辊周期；

(6)人工确认和调整(306)：提供人机接口，对下期机组可用产能、下期机组可用作业时间的值人工确认和修正；

(7)打印产能预测报表(307)。

6.按权利要求2所述的优化管理方法，其特征在于合同计划编制模块(400)处理方法由下列步骤组成：

(1)合同计划自动编制(401)：针对不同工艺形式、优化目标选择相应的合同计划模型进行求解；

(2)合同计划人工编制和检验(402)：提供二维数据表和图形编辑两种形式的人机交互界面编制合同计划，并通过计算机对结果自动进行检验；

(3)合同计划结果评价(403)：主要包括合同提前/拖期率、能力负荷均衡率、品种均衡率等；

(4)合同变更管理(404)：实现生产合同添加、删除、状态修改、工艺路径修改等处理功能；

(5)合同计划调整与确认(405)：提供二维数据表和图形编辑两种形式的人机接口对准备执行或正在执行的合同计划进行调整，确认后下发；

(6)合同计划查询和报表打印：包括合同排产状况、设备利用状况、品种规格分布、产品产量统计、技经指标统计等，反映阶段性周计划制订、周计划执行、生产合同投入信息查询功能。

7.按权利要求2所述的优化管理方法，其特征在于核心算法处理流程步骤如下：

步骤1.参数初始化(701)：首先判断解是否满足约束条件(3)的限制；若不满足，则将合同按单位余材替代损失费用(γ_ik/W_i)大到不昕顺序，依次撤销选择余材替换的合同(即令a_i＝0)直到满足约束条件(3)为止；

步骤2.匹配余材库存(702)：将步骤1.中撤消的合同，按照交货期惩罚(α_i[υ_i-t]⁺+β_i[t-v_i]⁺)最小原则，分配时间段(即令b_i＝t)；

步骤3.按交货期分配时段(703)：判断解是否满足约束条件(4)；若不满足，则将染色体按交货期惩罚从大到小的顺序，依次撤消合同(即令b_i＝0)，直到约束满足为止；

步骤4.校验合同处理方式(704)：对于既未匹配也未排产的合同，首先在满足约束条件(3)的前提下，按生产准备费用Ci从大到小的顺序，依次进行余材匹配；对所有不能匹配的合同，在满足约束(4)的条件下，按照撤销惩罚Pi从大到小的顺序，依次分配到交货期惩罚最小的时段中；

其中：

$\underset{i}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{y}_{\mathrm{ik}}{w}_i\≤S_k,k=1,\·\·\·,M;---\left(3\right)$

$\underset{j=1}{\overset{T}{\mathrm{\Σ}}}{x}_{\mathrm{ij}}+\underset{k=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{y}_{\mathrm{ik}}\≤1,i=1,\·\·\·,N;---\left(4\right).$

Images