CN1609861A - 有向无尺度对象关系模型 - Google Patents

Abstract

公开了一种用于有向无尺度对象的关系的生成模型的系统和方法。一方面，生成一队列的随机数。随着时间这些随机数中的单独个体被选择用于把有向无尺度对象的关系生成为基于入度和出度队列的图。

Description

有向无尺度对象关系模型

相关申请

本申请要求美国临时申请的优先权，该临时申请序列号＿＿，题目为“Generating Models for Directed Scale-Free Inter-Object Relationships”，申请日期2003年4月18日。在此以引用的方式包含于本文中。

技术领域

本发明适用于产生有向无尺度对象关系的增长及分布的模型。

背景

现实生活中大尺度图——比如“web图”，其顶点是网页，而网页的每个超级链接，都对应了环球网图中相应节点之间的一条有向边。观察到这些图所具有的一些共有特征并受其启发，人们提出并分析了许多产生随机分布图的新方法。如果需要对相关领域作一概览，可以参阅附录中的调查论文[2]和[15]。其它的网络如“Internet图”[18]，电影演员[28]和科学[25]协作图，蜂窝电话网[21]等等也被建模。

除了Strogatz和Watts最初在其它网络的范围内研究过对数直径的“小世界(small-world)现象”之外，主要观察报告之一是：现实世界当中的大多数大规模网络是无限度的(参见附录中的参考书目[5，7，24])，因为节点的度数分布服从幂律分布，而不是通常的随机图模型G(n，p)和G(n，M)中所采用的泊松分布，参见[16，17，19]，以及[9]。许多新的图象产生器被设计出来试图对现实世界的事件、现象的与比例无关的特性以及其它特性，如现实世界(real-world)事件的小直径、聚类，还有对那些体现动态发展的对象关系的，如万维网(WWW)所给出的系统进行建模。很不幸的是，当前存在的产生器所产生的图模型要么是完全无向的，要么大多是半向或者单向的(例如，入度或出度被分别处理，但不能够被同时处理)，或者仅仅具有静态的提前设定的度数分布。

据上面所述，对于那些动态产生的、无尺度的，根据出/入对象的链接而确定边的方向的对象之间的关系来说，现有图象产生技术不能提供动态产生图的无尺度具有定向对象关系的动态理想的处理。因此，传统的产生技术不足以表达可能存在于自然当中，和/或其他某种动态环境如万维网，并经过特定或者完全建模的对于无尺度的、有向的对象间关系的模拟。

由于以上所有的局限性，能够产生无尺度的图象或动态通信的关系(如网络拓扑)的模型的系统或者方法是非常必要的。这样的产生器可以用来，如产生有向网络拓扑以用来测试某种互联网路由协议；或者被用来产生环球网图，来测试某种特定的搜索算法。

概要

描述一个产生有向无尺度的对象关系模型的系统与方法。一方面，产生一列随机数字。依照时间，选择这些随机数字中的单独的数字来基于出度入度的顺序而产生有向无尺度的对象关系。

附图简述

下面参照附图来详细描述。图中，最左边的部件参考数字指明首次出现的部件的特定编号(如204首次出现在Fig.2中)。

图1是示例的计算环境的结构图，在这一环境中，可以实现生成有向的无尺度对象关系的模型的系统和方法。

图2是进一步示出图1中的系统内存结构图，包括对于用于生成有向无尺度对象关系的模型的应用程序以及程序数据的说明。

图3示出了一个有向的对象关系的实例网络。

图4示出了产生一个有向无尺度关系对象所需的模型的过程。

具体实施方式

概述

下文介绍的系统与方法能够产生有向无尺度对象关系的模型。这是通过同时处理对象的入度与出度(双向的)来提供一个非常自然的模型，从而可以产生具有幂律分布度数的图。从建模的实体特征以及抽象概念来看，出度与入度可以遵从不同的幂律分布。这样的建模与自然生活中以及技术领域(如万维网中网页间的超级链接，科学院互联网中各自治系统之间的连接以及互联网中路由器之间的互联等)中所观察到的幂律规律都是一致的。

操作环境举例

参照附图，在一个恰当的计算环境中实现了我们的发明，在附图中相同的参照数字指的是相同的元件。尽管不是必需的，本发明以计算机可执行指令的一般上下文方式来说明，例如在一台个人计算机上执行的程序模块来描述我们的发明。程序模块通常包括例程，程序，对象，组件，数据结构等，这些部分别被用来执行特定的任务或者实现特定的抽象数据类型。

图1示出了一个可以在其上实现可产生有向无尺度网络拓扑的系统、仪器以及方法的计算环境120，该系统、仪器以及方法随后将加以描述。示例计算环境120只是作为一个合适的计算环境的示例被提出，并不意味着是对系统和方法的使用或功能的范围作出任何限定。而且，计算环境120也不应该被认为依赖于或者与计算环境120中示出的任何一个组件或组件的组合有任何的必然联系。

我们所描述的方法与系统可与几乎所有的通用/专用计算系统、环境或者配置操作。以下的/但不仅限于以下已知的计算环境都可以运行我们的方法或系统，包括：手持设备，对称多处理器系统，基于微处理器或可编程电子器件的系统，网络计算机，小型机，大型机，移动通讯设备等等。本发明亦可应用在分布式处理系统之中，在分布式处理系统之中，任务在远程的计算设备中被执行，而程序可以处在于本地与远程的两端。

如图1所示，计算环境120包括一台通用的计算设备——计算机130。计算机130包括一个或多个处理器132，一组系统内存134，一条总线136将系统的不同组成部分——从系统内存134到处理器132联接起来。总线136表示一种或多种总线结构，包括内存总线或内存控制器，外设总线，加速图形端口以及其他的任何局部总线类型。我们可以举出如下的例子，当然不仅仅局限于这些例子：ISA总线，MCA总线，EISA总线，VESA局部总线以及PCI总线。

计算机130通常包括了一系列的计算机可读媒体。这种媒体可以是任何一种媒体，只要其可以被计算机130所访问。这种媒体可以是易失性的，也可以是非易失性媒体，可卸除的与不可卸除的媒体。在图1中，系统内存134包括易失性的计算机可读媒体，比如随机存取存储器(RAM)140，与/或非易失性存储器，比如只读存储器(ROM)138。一个基本输入输出系统(BIOS)142，它包括了哪些最基本的有助于在计算机130的元件之间传输信息的例程，例如开机引导过程就存储在ROM中。而RAM通常保存那些当前处理器立即访问和所用到的数据和/或程序模块。

计算机130将来也许会包括其他的可卸除/不可卸除，易失/非易失性计算机存储媒体。例如，图1示出了硬磁盘驱动器144，其作为读写不可卸除非易失性磁性媒体(通常称其为硬盘，在图中没有示出)的设备，磁盘驱动器146作为读写可卸除易失性磁性媒体148(例如软盘)的设备，光学驱动器150作为读写可卸除非易失性光盘152例如CD-ROM/R/RW，DVD-ROM/R/RW/+R/RAM或其他光介质的设备。硬盘驱动器144，磁盘驱动器146以及光学驱动器150通过一个或多个接口界面154与总线136相连

这些驱动器以及相应的存储媒体为计算机130提供了计算机指令，数据结构，程序模块，以及其他数据的非易失性的存储手段。尽管示例系统中使用了一个硬盘，一个可移动磁盘148，一个可卸除光盘152，但是为本领域技术人员所公知的是，可以选择其他类型的能够存储为计算机读取的数据的媒体，例如磁带存储器，闪存卡，数字录影盘，随机存取存储器(RAM)以及只读存储器(ROM)以及其他媒体，也可能在示例的操作环境中使用。

许多的程序模块可以存储在硬盘，软盘148，光盘152，ROM138，RAM140之上，这些模块包括例如操作系统(OS)158来为其他程序提供运行环境，一个或多个应用程序160，其它的程序模块162以及程序数据164。

用户可以通过输入设备例如键盘166以及指示设备168(例如鼠标)来对计算机130输入命令与信息。其他的输入设备(图中未示出)包括麦克风，游戏杆，游戏键盘，圆盘式卫星天线，串口，扫描仪，相机等。这些输入设备通过一个用户输入界面170与总线136耦合从而与处理单元132相连，但是也可以与其他类型的接口和总线结构如并口，游戏端口或通用串行总线(USB)耦合。

监视器172或者其他的显示设备也通过某种界面，例如显示适配卡174，与总线136相连。除了监视器172之外，个人计算机一般还包括其他的输出外设(图中未示出)，例如扬声器与打印机，它们通过输出外设界面176与总线相连。

计算机130可以通过与一个或多个远程计算机(如远程计算机178)逻辑连接，在一个联网的环境中运作。远程计算机178可以包含以上所描述的大部分或全部的计算机130的组件与特性。图1中的逻辑连接是局域网(LAN)180与广域网(WAN)182。这样的网络环境在办公室，企业级计算机网络，企业内部网和国际互联网中是常见的。

在局域网环境中，计算机130通过网络接口或适配器连接到局域网180。在广域网环境中，计算机通常通过一个调制解调器186或其他的方式来在广域网182上建立连接。调制解调器186，可以是内置的也可以是外置的，通过用户输入界面170或者其他合适的机制来连接到系统总线136之上。

图1所示的是基于国际互联网的一个特定广域网实现。在此，计算机130通过调制解调器186在国际互联网188上与至少一个远程计算机178来建立连接。

在网络环境中，所述与计算机130相关的程序模块或者模块的一部分可能存在于远程的存储设备之上。例如图1所示，远程应用程序190可以位于远程计算机178的存储设备上。请注意，图示的和所述的网络连接只起到示例的作用，其它的在两台计算机之间建立连接的方法当然也可使用。

图2是对于图1中系统内存134的进一步示例的模块图，包括对于应用程序160以及程序数据164的说明。应用程序160包括，例如，一个有向无尺度对象关系网络生成模块202，这个模块可以生成有向无尺度图204(以后我们简称其为“图”)。每张图204代表了所有的节点和节点之间的边，这些节点随着时间t的推进，由网络产生模块202通过离散的迭代操作加入到图中。在转向生成图204的算法的其他细节之前，先来参照图204(a)来看一看相应的示例结构与元素。

图204(a)表现为一个矩阵，其中矩阵每个水平的行i与垂直的列j分别对应一个节点(即从节点1到节点N)。这样，i＝1...N，j＝1...N。(在下文中，node和nodes经常与vertex和vertices可互换地使用)。为了使图204(a)从一定数量的节点增加到更多数量的节点，网络生成模块202在图204(a)中增加一个节点，这意味着代表这一新增节点的行与列将被添加到图204(a)之中。图204(a)的(i，j)元素E(i，j)代表从节点i指向节点j的有向弧或连接的条数，例如可以用来建模从网页i指向网页j的超级链接，或者E(i，j)对象或特性的有向的由实体i指向实体j的某种迁移(例如资金或者货物在商人与顾客之间的转移)，和/或者类似的情况。

在图204(a)的表示法中，假定弧的方向是从行节点指向列节点。

我们现在参照图3中的网络300来描述弧E(i，j)的取值，其示出了有向对象关系的示例网络300。在这一示例网络中，对象301-1，301-2，301-3至少有一条边304(例如，更多的边用304-1到304-N来表示)通向/来自其他的对象。例如，对象302-1(图3)示出了的循环边304-1表示对象302-1与自己有关系(例如，web页面具有其内部点的超级连接)。

参照图2，这样的循环边在图204(a)中表现为边的取值对应于行节点1和列节点1的交叉点(例如，E(1，1)＝1)。这表明节点1与自身有单一的关系。这种边被称作“回环”。

在本实施例中，模块202可以在图204中产生(自)回环。然而，可以将生成模块202配置成不产生没有自回环的模块系统的回环。

在另一个实施例中，用图2中的有向无尺度图204(a)重现图3中的边304，注意到从节点302-1到节点302-2有从304-2到304-4的三条边相连。因此，行节点1与列节点2(即E(1，2))的交点处数值为3，也就是E(1，2)＝3，这代表了图3中对象302-1与对象302-2之间的关系。这种类型的边被称为是“复合边”，通常代表了对象从一个对象节点i到另一个对象节点j有两个以上的边。在本实施例中，模块202可以在图204中产生复合边。然而，在另一个实施例中，可以将生成模块202配置为不产生模块系统的复合边，其中只存在单边。

尽管图3中所示网络300与图2中的图204(a)相对仅表示/图示了一个三节点/对缘的网络，可以理解的是网络300与图2中的图204(a)表示/图示的对象的复杂性和数量只是一个示例而已，实际上可以表示/图示具有任意个数对象的任意复杂性的网络。

下面进一步详细介绍模块202用来产生有向无尺度对象关系的算法。

产生有向无尺度对象联系

参照图2，生成模块202在图204的产生过程当中引入了随机与概率的观念，以动态地模拟产生的对象(如web页面)以及它们之间的关系(如超级链接)。其经常被观察到，例如可以处在科技(如web)环境中，也可以处于文化、自然或者其他环境中。这种随机的观念是由迭代生成模块202随着时间t进行而不断对随机数产生模块(RNG)208产生多次调用随机数206而体现的，RNG208可以是一个独立的模块，也可以是某个程序模块，如操作系统158(图1)，所提供的服务。

有时需要所产生的随机数206处于0和1之间。对于每一个这样的随机数206，网络产生模块202利用其来确定三个概率，分别标号为(A)，(B)，(C)，如果随机数分别处于0与α，α与α+β，α+β与α+β+γ之间。参数α，β，γ是非负实数，其和为一，即α+β+γ＝1。这些参数作为不同的部分存储在配置数据210中。参数α，β，γ可以通过不同的方式来加以选择/确定，例如可以有一个系统管理员手工设置，也可以由程序员编制到代码当中等。这在很大程度上增加了算法的相当程度的适应模拟处理生成处理的灵活性，从而可以模拟不同类型的测量环境的结构和对象之间的关系。

当生成模块202将产生的随机数206落到[0，α]区间之内时，模块202将会对图204增加一个节点以及一条从新节点指向某一现存(旧)节点的边以使其增大。当生成模块202将产生的随机数206[α，α+β]区间之内时，模块202将会在图204的两个旧节点之间增加一条边(相当于没有增加节点，但是某个E(i，j)的会加一)。当生成模块202将产生的随机数206[α+β，α+β+γ]区间之内时，模块202将会对图204增加一个节点以及一条从某一旧节点指向此新节点的边以使其增大。另外，在生成图时，模块202还需参考两个参数δ_in和/或δ_out来引入对图中节点入度和出度的变动。

入度或出度的变更因子δ_in与δ_out都是附加到图中节点的入度或出度的非负参数。这些因子变动会在其他的随机节点选择规则应用前被应用到相应的节点之上。

据上所述，令G₀为任意确定的初始有向图204，例如，只有一个节点(节点1)，没有边(即E(1，1)＝0)，同时令t₀为G₀的边数。生成模块202每次循环增加一条边，并置G(t₀)＝G₀，所以在时间t，图G(t)有t条边，n(t)个顶点，顶点数为一随机数n(t)。为了讨论方便，边数、顶点数以及其他的中间参数与计算结果都被表示为“其他数据”212的不同部分。

在生成模块202的运行过程中，依照d_out+δ_out在图G(t)中选择节点v意味着，选择一个节点v，使得Pr(v＝v_i)与d_out(v_i)+δ_out成正比，亦即Pr(v＝v_i)＝(d_out(v_i)+δ_out)/(t+δ_outn(t))。依照d_in+δ_in选择节点v意味着，选择一个节点v，使得Pr(v＝v_j)＝(d_in(vj)+δ_in)/(t+δ_outn(t))。这里d_out(v_i)与d_in(v_j)分别为节点v_i的出度与节点v_j的入度，分别在图G(t)中测量。

对于t≥t₀，生成模块202按照如下规则由图G(t)形成图G(t+1)：

(A)以概率α(见配置数据值210)添加一个新节点v以及一条由此节点指向某一已存在的节点w的边。此处，w依照d_in+δ_in选择，亦即Pr(w＝w_j)∝(d_in(w_j)+δ_in)。(例如在一个web图中，添加一条边来代表某从节点v指向节点w的超级链接)。算法的输入为n＝n(t)个节点与t条边；输出为n(t+1)＝n(t)+1个节点与t+1条边。在加入新节点v＝节点n+1以后，对接受从新节点v所指向的边的现存节点w进行如下的选择：

E(i，j)＝E_ij＝从节点i指向节点j的边数。

d_in(v_j)＝∑ⁿ _i＝1E_ij

此时，生成模块202将会需要产生一个新的随机数206，此随机数将在0到所有d_in(v_j)+δ_in的和之间取值：

∑ⁿ _i＝1(d_in(v_j)+δ_in)＝∑ⁿ _i＝1∑ⁿ _j＝1E_ij+nδ_in＝t+nδ_in

区间[0，t+nδ_in]被分为n各小区间，其长度分别为d_in(v_j)+δ_in，j＝1，...，n。随机数206将会落到某个特定的小区间j内，对于这个小区间所对应的节点j，生成模块202将会置E(n+1，j)1。

(B)以概率β(见配置数据值210)在已存在的节点v以及节点w之间新增一条边。v和w的选取是相互独立的。v依照d_out+δ_out选择，w依照d_in+δ_in选择，因此Pr(v＝v_i，w＝w_j)∝(d_out(i)+δ_out)(d_in(j)+δ_in)。算法的输入为n＝n(t)个节点与t条边；输出为n(t+1)＝n(t)个节点与t+1条边。生成模块202按照如下的方法选择特定节点v，节点v将会被添加一条指向节点w的边：产生随机数206(r_out)：

r_out∈[0，t+nδ_out]

这一区间被分成小区间，第i小区间拥有长度d_out(i)+δ_out。随机数206将会落在某个小区间i，而这一区间对应的节点i将会成为v；同样地，生成模块202按照如下的方法选择节点w，节点w将会被添加一条来自节点v的边：产生随机数206(r_in)

                        r_in∈[0，t+nδ_in]

这一区间被分成小区间，第j小区间拥有长度d_in(j)+δ_in。随机数206将会落在某个小区间j，而这一区间对应的节点j将会成为w；同时模块202将会对E(i，j)执行加一操作。

(C)以概率γ(见配置数据值210，可由γ＝1-α-β计算得到)添加一个新节点v以及一条由某一已存在的节点w指向节点v的边。w依照d_out+δ_out选择，即Pr(w＝w_i)∝(d_out(w_i)+δ_out)。算法的输入为n＝n(t)个节点与t条边；输出为n(t+1)＝n(t)+1个节点与t+1条边。在加入新节点v＝节点n+1以后，对将要增加指向节点v的边的节点w进行如下的选择：

产生随机数(r_out)206使得

                     r_out∈[0，t+nδ_out]

这一区间被分成小区间，第j小区间拥有长度d_out(i)+δ_out。随机数206将会落在某个小区间i，而这一区间对应的节点i将会成为w；同时模块202将会置E(i，n+1)＝1。

尽管模块202并没有对参数作附加的假设，但是只有尽量避免特定的参数组合才能保证所产生的图有意义。特别的，如下的参数组合应该被尽量避免：

●α+γ＝0(<->图不生长)

●δ_in+δ_out＝0(<->图G₀之外的所有节点出度入度都为0)

●αδ_in+γ＝0(图G₀之外的所有节点入度都为0)

●γ＝1(图G₀之外的所有节点入度都为1)

●γδ_out+α＝0(图G₀之外的所有节点出度都为0)

●α＝1(图G₀之外的所有节点出度都为1)

在一个实施例中，当图204表示web图时，δout被置为0。这样的出发点在于在规则(C)下加入的节点对应于仅仅提供内容的web页面；这样的页面不会发生变化，如果其没有外部链接，则将会一直保持没有外部链接。在此实施例中，利用规则(A)所生成/加入的节点都是通常的节点，在后继过程中可以对其添加链接。尽管在数学意义上除δ_out＝0之外，令δ_in＝0也是很自然的，但是这样做会使得G0之外的所有节点要么没有入度，要么没有出度，这样的图没有意义。

一个非零的δ_in意味着：认为一个页面不属于web的一部分，直到有web的某个页面具有了指向了它的链接，例如搜索引擎。这样的处理允许模块202对于那些与搜索引擎相关的边进行单独/分别的考虑，因为这些边一般被认为与其他边相比具有一些特殊的性质(比如在实现一个搜索算法的时候)。基于同样的原因，δ_in不一定是一个整数。参数δ_out的采用是为了保证需要反转边的方向(如交换α与γ或δ_in与δ_out的模型的对称性以适应于其他非web图的模型。

在一个实施例中，我们取β＝γ＝δ_out＝0，α＝δ_in＝1，模块202就实现了Barabasi-Albert模型的m＝1的精确版本。此处m代表新增加的节点所带来的边数。比此处所述的更一般的模型，依照附加参数，可以通过为每个新节点增加m个边来得到，或(如[14]中)依据特定的新节点的分布增加随机数目的新边。在实施例中，Barabasi-Albert参数m的主要效果，亦即改变节点总体的平均度数，可以通过改变β来达到。

另一个比当前所描述的模型更为通用的模型，也具有附加的参数，可以描述具有不同适配度的节点的模型来生成。例如，某些网页可能比其他的网页更为适合或吸引人，从而在单位时间内可能获得比某些度数(外部链接数)比其高的不是适合的页面更多的访问量。为了对这一特点进行建模描述，每当模块202创建一个新节点v时，随机数发生器208将会同时产生另外的两个随机数λ(v)和μ(v)，这两个随机数分别服从特定的D_in与D_out分布，并且相互之间以及与之前产生的所有随机数之间都是独立的。接下来，步骤(A)(B)(C)将会改变如下：步骤(A)中，已存在的节点w将依照λ(w)(d_in+δ_in)选择，使得Pr(w＝w_i)∝λ(w_i)(d_in(w_i)+δ_in)。在步骤(B)中，已存在节点v将依照μ(v)(d_out+δ_out)选择，w将按照λ(w)(d_in+δ_in)选择，使得Pr(v＝v_i，w＝w_j)∝μ(v_i)λ(w_j)(d_out(v_i)+δ_out)(d_in(w_j)+δ_in)。在步骤(C)中，已存在节点w将依照μ(w)(d_out+δ_out)选择，使得Pr(w＝w_i)∝μ(w_i)(d_out(w_i)+δ_out)。

一个示例进程

Fig.4为一个示例进程400，产生有向无尺度对象之间的关系。为了讨论方便，进程中的操作按照图1与图2中所介绍的程序模块与数据特点来描述。在框图402中，生成模块202配置那些概率的具体数值α，β，γ与那些可配置的入度和出度转换参数δ_in与δ_out。在框图404中，模块202产生随机数206来从连续步骤(A)，(B)和(C)中依据时间做出选择以产生与有向无尺度对象关系对应的图。如[0042]中(A)，(B)和(C)所描述的那样，使用优点选择的附加设备随机选择节点，即分别依据入/出度作出选择，该节点被增加指向/来自其的有向边，。

结论

所述的方法与系统能够产生有向无尺度对象之间的关系。尽管对于此方法与系统的描述针对特定的结构特征与操作方法，但是所附的权利要求书中的权利要求并不局限于所述特定的特征与操作。这些特定的特征与操作仅仅是用来展示如何实现所请示保护的主题。例如，所描述的系统100与方法400，除了可以用来产生web页的有向可无限扩充关系模型(web图)或其一部分之外，还可以用来产生其他的用户自己定制的模型(人造的或者自然存在的)，实际的模型或者抽象的模型。

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[26]M.E.J.Newman，S.H.Strogatz和D.J.Watts，随意程度分布的随机图形和相关应用程序，Phys.Rev.E64，026118(2001).

[27]D.Osthus和GBuckley，导致可无限扩展程度分布的基于普及度的随机图形模型，出版中。

[28]D.J.Watts和S.H.Strogatz，‘小世界’网络的集体动力学，自然393(1998)，440-442

附录A

为了得到所谓的幂律，我们固定常量α，β，γ≥0，且其和为一，与δ_in，δ_out≥0。

并令

$c_1=\frac{\mathrm{\&alpha;}+\mathrm{\&beta;}}{1+{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{in}}(\mathrm{\&alpha;}+\mathrm{\&gamma;})}$ 与 $c_2=\frac{\mathrm{\&beta;}+\mathrm{\&gamma;}}{1+{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{out}}(\mathrm{\&alpha;}+\mathrm{\&gamma;})}$

我们同时确定一个正整数t₀，与一个边数为t₀的初始图G(t₀)。我们记t时刻图G(t)内具有入度i的节点数为x_i(t)，具有出度i的节点数为y_i(t)。

注意，如果αδ_in+γ＝0，则入度分布将会变得无意义(除了G₀中的节点，其他节点入度都为0)或者如果γ＝1(除了G₀中的节点，其他节点入度都为1)；同样的，如果γδ_out+α＝0或者α＝1，出度分布将会变得无意义，因此我们将会在下面所述的定理中排除上述情况。

定理1.设i≥0是确定的。已知常量p_i与q_i使得x_i(t)＝p_it+o(t)且y_i(t)＝q_it+o(t)以概率1成立并且，如果αδ_in+γ＞0且γ＜1则当i→∞时我们有p_i～C_INi^-XIN，此处X_IN＝1+1/c₁且C_IN为一正常数。

如果γδ_out+α＞0且α＜1，则当i→∞时我们有q_i～C_OUTi^-XOUT，此处X_OUT＝1+1/c₂且C_OUT为一正常数。

在上面的叙述中，o(t)的意义为：当t→∞时，固定i，则a(i)~b(i)意味着当i→∞时a(i)/b(i)→1。

证明.首先我们注意到如果初始的图具有n₀个节点，则n(t)等于n₀加上一个均值为(α+γ)(t-t₀)的二项分布。从Chernoff边界定理我们得出，存在常数c使得对于足够大的t，我们有

$\mathrm{Pr}\left(\right|n\left(t\right)-(\mathrm{\&alpha;}+\mathrm{\&gamma;})t|\&GreaterEqual;t^{1/2}\log t)\&le;e^{-c{\left(\log t\right)}^2}----\left(1\right)$

特别的，以上概率当t→∞时为o(t^-1)。

我们考虑向量(x₀(t)，x₁(t)，...)，对于所有的i，向量的分量i给出图G(t)中所有的入度为i的节点个数，如何随着t的增加而发生变化。假设G(t)以给定。则以概率α生成一个入度为0的新节点，以概率γ生成一个入度为1的新节点，更确切的，某个旧节点的入度将以概率α+β增加一。再从图G(t)到图G(t+1)的过程中，根据优先规则，如果我们执行(A)或(B)操作，则某个入度为i的节点将以概率(i+δ_in)/(t+δ_inn(t))增加一个入度。又因为我们执行A)或(B)操作的概率为α+β，且图G(t)拥有x_i(t)个入度为i的节点，因此其中之一的入度变为i+1的概率为

$(\mathrm{\&alpha;}+\mathrm{\&beta;})x_i\left(t\right)\frac{i+{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{in}}}{t+{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{in}}n\left(t\right)}$

因此，以此概率，入度为i的节点数目将会减少1。然而，以概率

$(\mathrm{\&alpha;}+\mathrm{\&beta;})x_{i-1}\left(t\right)\frac{i-1+{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{in}}}{t+{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{in}}n\left(t\right)}$

入度为i-1的节点将会变为入度为i的节点，从而使入度为i的节点数加一。把这两种情况综合起来考虑则有：

$E(x_i\left(t\right)+1)\left|G\left(t\right)\right)=x_i\left(t\right)+\frac{\mathrm{\&alpha;}+\mathrm{\&beta;}}{t+{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{in}}n\left(t\right)}((i-1+{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{in}})x_{i-1}\left(t\right)-(i+{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{in}})x_i\left(t\right))+{\mathrm{\&alpha;}1}_{\{i=0\}}+{\mathrm{\&gamma;}1}_{\{i=1\}}----\left(2\right)$

这里我们取x_-1(t)＝0，并记1_A为示性函数，此函数当且仅当事件A发生时起函数值为1，否则为0。

固定i，我们对(2)式两端取期望。唯一的问题是如何处理右端的第二项中的n(t)。为了解决这一问题，我们注意到在(1)式的一个一个相当弱的形式下，我们以概率1-o(t^-1)有|n(t)-(α+γ)t|＝o(t^3/5)。故而无论n(t)取何值，我们都有对所有的j：

$\frac{\mathrm{\&alpha;}+\mathrm{\&beta;}}{t+{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{in}}n\left(t\right)}(j+{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{in}})x_j\left(t\right)=o\left(1\right)$

所以

$E\left(\frac{\mathrm{\&alpha;}+\mathrm{\&beta;}}{t+{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{in}}n\left(t\right)}(j+{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{in}})x_j\left(t\right)\right)=\frac{\mathrm{\&alpha;}+\mathrm{\&beta;}}{t+{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{in}}(\mathrm{\&alpha;}+\mathrm{\&gamma;})t}(j+{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{in}}){\mathrm{Ex}}_j\left(t\right)+o\left(t^{-2/5}\right)$

此时对(2)式两边取期望有：

${\mathrm{Ex}}_i(i+1)=E{x}_i\left(t\right)+\frac{\mathrm{\&alpha;}+\mathrm{\&beta;}}{t+{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{in}}(\mathrm{\&alpha;}+\mathrm{\&gamma;})t}((i-1+{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{in}}){\mathrm{Ex}}_{i-1}\left(t\right)-(i+{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{in}}){\mathrm{Ex}}_i\left(t\right))+{\mathrm{\&alpha;}1}_{\{i=0\}}+{\mathrm{\&gamma;}1}_{\{i=1\}}+o\left(t^{-2/5}\right)$

我们记

为归一化的期望Ex_i(t)/t。我们前面曾经得出 $c_1=\frac{\mathrm{\&alpha;}+\mathrm{\&beta;}}{1+{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{in}}(\mathrm{\&alpha;}+\mathrm{\&gamma;})},$ 则我们有 $(t+1)\stackrel{\&OverBar;}{x_i}(t+1)-t\stackrel{\&OverBar;}{x_i}\left(t\right)=c_1((i-1+{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{in}})\stackrel{\&OverBar;}{x_{i-1}}\left(t\right)-(i+{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{in}})\stackrel{\&OverBar;}{x_i}\left(t\right))+\mathrm{\&alpha;}{1}_{\{i=0\}}+{\mathrm{\&gamma;}1}_{\{i=1\}}+o\left(t^{-2/5}\right)----\left(3\right)$

现在令p_-1＝0，并对i≥0定义p_i为p_i＝c₁((i-1+δ_in)p_i-1-(i+δ_in)p_i)+α1_{i＝0}+γ1_{i＝1}(4)

首先我们将说明，对于每个i，我们有t→∞时E(x_i(t))＝p_it+o(t^3/5)。(5)

接下来说明x_i(t)将会集中分布在其均值的附近，最后我们将说明p_i服从幂律。为了得到(5)，令 ${\mathrm{\&epsiv;}}_i\left(t\right)=\stackrel{\&OverBar;}{x_i}\left(t\right)-p_i,$ 并将(3)(4)相减，得到

(t+1)ε_i(t+1)-tε_i(t)＝c₁(i-1+δ_in)ε_i-1(t)-c₁(i+δ_in)ε_i(t)+o(t^-2/5)，我们将其写做

${\mathrm{\&epsiv;}}_i(t+1)=\frac{t-c_1(i+{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{in}})}{t+1}{\mathrm{\&epsiv;}}_i\left(t\right)+{\mathrm{\&Delta;}}_i\left(t\right)----\left(6\right)$

此处Δ_i(t)＝c₁(i-1+δ_in)ε_i-1(t)/(t+1)+o(t^-7/5)。

为了证明(5)我们必须证明对于所有的i都有ε_i(t)＝o(t^-2/5)。对i行归纳法，假设i≥0且ε_i-1(t)＝o(t^-2/5)，则归纳假设成立。进而，Δ_i(t)＝o(t^-7/5)，并且从(6)我们可以验证(比如，将ε_i(t)表示为Δ_i(t)的现实表达式，从而证明ε_i(t)＝o(t^-2/5))。至此(5)式证明完毕。下面我们将说明定理中的论断：以概率一，x_i(t)/t→p_i(7)。为了证明这一论断，我们将通过最为常用的Azuma-Hoeffding不等式来说明x_i(t)将分布在其均值附近。这也可以描述为如下形式：假设X为一通过n个相继的选择确定的随机数，并且其中某个选择的改变最多使得X的值改变θ，则

$\mathrm{Pr}\left(\right|X-\mathrm{Ex}|\&GreaterEqual;x)\&le;2e^{-\frac{x^2}{2n{\mathrm{\&theta;}}^2}}----\left(8\right)$

为了应用这一不等式，我们首先选择时间每前进一步，选择(A)(B)(C)中的哪一个进行操作。记这样的一列无限的步骤组合为事件A，则几乎对于所有的事件A(技术意义上的概率一)，(5)式的证明过程实际上将给出E(x_i(t)|A)＝p_it+o(t)。

给定A，为了确定G(t)我们还需要确定在每步之中选择那个节点进行操作。每步最多有两个节点被牵连进来。对于这些选择的改变，最多会影响所改变的节点在最终的图中的度数分布(当然，为了不影响以后的边在两节点之间的分布，这些边应该被合理的安排在两节点之间，但是很显然，其他的节点不会被影响)，也就是说，x_i(t)最多改变2，这样，应用(8)式就可以得出：

$\mathrm{Pr}\left(\right|x_i\left(t\right)-E\left(x_i\left(t\right)\right|A)|\&GreaterEqual;t^{3/4}|A)\&le;2e^{-\sqrt{t}/16}$

结合(9)式，这意味着(7)式以概率一成立，从而证明了定理的第一部分。(在此，只要稍加注意，就会发现我们能够用x_i(t)＝p_it+o(t^1/2logt)来代替(7)式)。当然，我们的讨论给出了(5)式的一个误差界；较弱的误差界是因为用o(t^3/5)代替了(1)式中的o(t^1/2logt)以便简化推导过程，否则的话，为了得到更强的误差界，过于烦冗的技术细节将会导致我们推导(9)式的过程异常艰难。

下面我们将讨论(4)式所定义的p_i的性质。

假设γ＜1，我们有α+β＞0，从而c₁＞0。我们可以将(4)式写做

(i+δ_in+c₁ ^-1)p_i＝(i-1+δ_in)p_i-1+c_i ^-1(α1_{i＝0}+γ1_{i＝1})

这给出了p₀＝α/(1+c₁δ_in)， $p_1={(1+{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{in}}+{c_1}^{-1})}^{-1}(\frac{{\mathrm{\&alpha;\&delta;}}_{\mathrm{in}}}{1+c_1{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{in}}}+\frac{\mathrm{\&gamma;}}{c_1}),$ 且对于i≥1有

$p_i=\frac{{(i-1+{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{in}})}_{i-1}}{{(i+{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{in}}+{c_1}^{-1})}_{i-1}}{p}_1=\frac{(i-1+{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{in}})!}{(i+{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{in}}+{c_1}^{-1})!}\frac{(1+{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{in}}+{c_1}^{-1})!}{{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{in}}!}{p}_1----\left(10\right)$

这里，对于实数x与整数n，我们用(x)_n表示x(x-1)...(x-n+1)，用x！表示Γ(x+1)，即使x不为整数。很容易验证我们的结果的正确性。可以检验， ${\mathrm{\&Sigma;}}_{i=0}^{\&infin;}{p}_i=\mathrm{\&alpha;}+\mathrm{\&gamma;};$ 在很大的时间点t，共有(α+γ+o(1))t个节点。

从(10)我们可以看到p_i～C_INi^-XIN，X_IN＝(δ_in+c₁ ^-1)-(-1+δ_in)＝1+1/c₁，正如定理中所言。

对于出度的情况，计算几乎是完全一样的，只不过需要将α与γ，δ_in与δ_out，c₁与c₂做一下交换，在交换过后，出度的幂律变为X_OUT＝1+1/c₂，如定理中所述。

我们下面将会转入更为细致的讨论，同时考虑出度与入度。记n_ij(t)为t时刻，图G(t)中具有入度i，出度j的节点个数。

定理2假设定理1的条件均得到满足，α，γ＜1，αδ_in+γδ_out＞0，固定i，j≥0，则存在常数f_ij，s.t.n_ij(t)＝f_ijt+o(t)以概率一成立。并且对于所有的固定的j≥1与i→∞。

$f_{\mathrm{ij}}~C_j{i}^{-X_{\mathrm{IN}}^{\&prime;}},----\left(11\right)$

而对于i≥1，j→∞，

$f_{\mathrm{ij}}~D_i{i}^{-X_{\mathrm{OUT}}^{\&prime;}},----\left(12\right)$

此处C_j，D_i为正常数， ${X^{\&prime;}}_{\mathrm{IN}}=1+1/c_1+c_2/c_1({\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{out}}+1_{\{{\mathrm{\&gamma;\&delta;}}_{\mathrm{out}}=0\}})$ 且

${X^{\&prime;}}_{\mathrm{OUT}}=1+1/c_2+c_1/c_2({\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{in}}+1_{\{{\mathrm{\&gamma;\&delta;}}_{\mathrm{in}}=0\}}).$

注意，定理2只对f_ij在i，j当中一个固定，而另一个趋向无穷的情况作了推断，而对于两者同时趋向无穷的情况没有论证。

定理2的证明与定理1的证明非常类似，只不过计算量稍大，我们在附录B中给出证明。关键的差别在于，定理1证明中的(10)式在定理2的证明中被二维回归关系(13)所代替，而其解相对而言更为复杂。

在讨论定理1与定理2在web图中的应用之前，我们需要注意，如果δ_out＝0(就像我们在建模时所假设的那样)，初始时出度为0的节点其出度将会一直为0。这样的节点仅当γ＞0时才存在。这样一来，为了确保初始出度为0的节点将来出度不为0，唯一的条件便是γδ_out＞0。并且，这样的节点将会主导f_ij的行为，对于所有固定的j与i→∞。对于出度，有同样的对于αδ_in的结论。如果αδ_in＝γδ_out＝0，则对于所有的非G₀当中的节点，要么入度为0，要么入度为0。

为了完整性，还需要注意，如果γδ_out＞0则(11)对于j＝0亦成立。如果γ＝0，则对于所有的i，f_i0＝0。如果γ＞0然而δ_out＝0，则在出度为0的节点中(那些有步骤(C)所产生的节点)，其出度的演化将会和所有那些具有非0出度的节点一样。在这种情况下，从定理1可知f_i0～C₀i^-XIN。

一些特殊的值

一个有益的问题是对于那些参数(如果有的话)，我们的模型能够复现现实世界当中的满足幂律的图(例如web图)。

在本节中，我们取δ_out＝0，这对应了其页面仅仅包含内容的web图。我们假设α＞0，因为否则的话我们将只有有限个节点(初始的那些)，并且有非0出度。像以前所定义的那样， $c_1=\frac{\mathrm{\&alpha;}+\mathrm{\&beta;}}{1+{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{in}}(\mathrm{\&alpha;}+\mathrm{\&gamma;})},$ 并且需要注意现在c₂＝1-α。我们已经得到幂律的指数为

X_IN＝1+1/c₁，对于入度，出度为0。

X_OUT＝1+1/c₂，对于出度，入度为0。

如果δ_in＞0，则对于具有确定出度j＞1的节点的入度有：

X’_IN＝1+1/c₁+c₂/c₁

对于具有确定入度j＞1的节点的出度有：

X’_OUT＝1+1/c₂+c₁/c₂

对于web图，最近[13]对于前两者的测量结果为X_IN＝2.1，X_OUT＝2.7。(更早[3][23]的测量结果给出的值，X_IN是一样的，而X_OUT则较小)。我们的模型当且仅当c₂＝.59，α＝.41，c₁＝1/1.1，则 ${\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{in}}=\frac{1.1(\mathrm{\&alpha;}+\mathrm{\&beta;})-1}{1-\mathrm{\&beta;}}.$

这一方程给出一个解的范围：边缘点为

δ_in＝0，β＝.49，γ＝.1与δ_in＝.24，β＝.59，γ＝0。为了检验我们的模型，我们可以检测X′_IN与X′_OUT(当然随着确定的出度与入度比不同这两个只会有所不同)，我们得到对于在区间[2.7，3.06]内取值得所有X’_OUT，X’_IN＝2.75。

附录B

在本附录中，我们将给出定理2的证明。正如在定理1中所讨论的一样，我们注意到对于每一个i，j，都有n_ji(t)/t→f_ij，f_ij满足：

f_ij＝c₁(i-1+δ_in)f_i-1j-c₁(i+δ_in)f_ij+c₂(j-1+δ_out)f_ij-1-c₂(j+δ_out)f_ij+α1_{{i＝0，j＝1}}+γ1_{{i＝1，j＝0}}.

(13)

当然如果i或j为-1，则f_ij＝0。注意，一个节点可以有指向自己的回环边，对自己的出度与入度在一步中同时增加一。这将会大大的复杂化E(n_ij(t))的表达式。容易看出，对于固定的i与j队其取期望将会得到o(t)，因此(13)式必然成立。

我们从寻找当i→∞，j固定时f_ij的展开式出发。

回归关系(13)对于一个线性算子L具有如下形式：L(f)＝α1_{{i＝0，j＝1}}+γ1_{{i＝1，j＝0}}

从此形式可以看出，此方程具有唯一解。由线性性，我们可以得出：

f_ij＝g_ij+h_ij

其中L(g)＝α1_{{i＝0，j＝1}}        (14)

L(h)＝γ1_{{i＝1，j＝0}}            (15)

我们首先考虑g。因为α，γ＜1，我们有c₁，c₂＞0，因此令

b_j＝δ_in+1/c₁+c₂/c₁(j+δ_out)

用c₁去除(14)，我们得到：(j+b_j)g_ij＝(i-1+δ_in)g_i-1j+c₂/c₁(j-1+δ_out)g_ij-1+α/c₁1_{{i＝0，j＝1}}(16)

根据(16)，不难看出对于所有的i＞0，如果αδ_in＝0则g_ij＝0。因此，就目前而言，我们应该假设αδ_in＞0。

注意到根据边界条件我们有对于所有的i，g_i0＝0。因此对于j＝1，(16)的右端第二项将会消失。我们(在省略掉相当的算术细节后)将看到

g_i1＝α(i-1+δ_in)！/(i+b₁)！，其中α＝α(b₁-1)！/[c₁(δ_in-1)！]为一正常数。(这里我们利用了αδ_in＞0)

对于j≥2，(16)中的最后一项总是为0。叠代求解g_ij我们得到

$g_{\mathrm{ij}}=c_2(j-1+{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{out}})/c_1{\mathrm{\&Sigma;}}_{k=0}^i{(j-1+{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{in}})}_{i-k}/{(i+b_j)}_{i-k+1}{g}_{\mathrm{kj}-1}----\left(17\right)$

假设对于某些常数A_jr，我们有对所有的1≤j≤j₀，i≥0

$g_{\mathrm{ij}}={\mathrm{\&Sigma;}}_{r=1}^j{A}_{\mathrm{jr}}(j-1+{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{in}})!/(i+b_r)!----\left(18\right)$

注意我们已经得到对于j₀＝1，A₁₁＝α得到了相应的结论。另j＝j₀+1，则利用(17)(18)，我们可以得到：

$g_{\mathrm{ij}}={\mathrm{\&Sigma;}}_{r=1}^{j-1}{c}_2/c_1(j-1+{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{out}})A_{j-1r}{\mathrm{\&Sigma;}}_{k=0}^i(j-1+{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{in}})!/[(k+b_r)!{(i+b_j)}_{i-k+1}]----\left(19\right)$

现在可以直接验证，对于0＜y＜x与整数0≤s≤i+1，有

${\mathrm{\&Sigma;}}_{k=s}^{i}1/[{(i+x)}_{i-k+1}(k+y)!]=1/(x-y)(1/(i+y)!-(s-1+x)!/[(i+x)!(s-1+y)!\left]\right)----\left(20\right)$

(这里可以利用逆向归纳技巧)结合(19)与s＝0情况下的(20)我们可以得到

$g_{\mathrm{ij}}={\mathrm{\&Sigma;}}_{r=1}^{j-1}{c}_2/c_1(j-1+{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{out}})A_{j-1r}(j-1+{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{in}})!/(b_j-b_r)(1/(i+b_r)!-(b_j-1)!/[(i+b_j)!(b_r-1)!\left]\right)$

将1/(i+b_r)！的系数对于不同的r值加和起来，再利用b_j-b_r＝(j-r)c₂/c₁我们将会看到(18)式对于j＝j₀+1成立。其中

A_jr＝(j-1+δ_out)/(j-r)A_j-1r

对于1≤r≤j-1， $A_{\mathrm{jj}}=-{\mathrm{\&Sigma;}}_{r=1}^{j-1}(j-1+{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{out}})/(j-r)(b_j-1)!/(b_r-1)!A_{j-1r}$

实际上我们我们并不用度算A_jr就可以得到我们所感兴趣的幂律(g而不是f)。注意到只要A₁₁＞0，则对于所有j≥1都有A_j1＞0，r＝1的项决定(18)，因此对于固定的j＞0我们有

g_ij～C_j’i^-1+δin-b1＝C_j’i^{-(1+1/c1+c2/c1(1+δout))}.    (21)

尽管并不需要计算A_jr就可以得到我们所感兴趣的幂律，我们还是给出其计算方法，因为其得出非常直接，省略掉烦冗的推导我们得出：

下面我们转入对h的计算，其计算过程与g类似。从(15)我们得出(i+b_j)hij＝(i-1+δ_in)h_i-1j+c₂(j-1+δ_out)/c₁h_ij-1+γ/c₁1_{{i＝1，j＝0}}    (22)同样的，我们省去中间推导，直接给出对j＝0，h₀₀＝0，且对所有i≥1有

h_i0＝γb₀！/(c₁δ_in！)*(i-1+δ_in)！/(i+b₀)！

如果γδ_out＝0，则h_ij＝0，对于所有的j。所以我们假设γδ_out＞0。这一次，边界条件意味着h_0j＝0，对所有的j。对所有的j＞1，我们从(22)得到

$g_{\mathrm{ij}}={\mathrm{\&Sigma;}}_{k=1}^i{c}_2(j-1+{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{out}})/c_1{(j-1+{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{in}})}_{i-k}/{(i+b_j)}_{i-k+1}{h}_{\mathrm{kj}-1}$

上式与(17)式唯一的区别在于求和从k＝1开始。如以前所讨论的一样，利用(20)式s＝1的情况，我们得到，对于i≥0与j≥0，

$h_{\mathrm{ij}}={\mathrm{\&Sigma;}}_{r=0}^j{B}_{\mathrm{jr}}(j-1+{\mathrm{\&delta;}}_{\mathrm{in}})!/(i+b_r)!$

其中

(仅当我们假设δ_out＞0时有意义)。这里r＝0项起主导作用，我们看到对于所有j≥0，当i→∞时，对于某些正常数C_j”

h_ij～C_j”i^-1+δin-b0＝C_j”i^{-(1+1/c1+c2/c1δout}.           (23)

下面回到f＝g+h。考虑固定的j≥1，i→∞，我们看到当γδ_out＞0时，来自h的贡献占主导地位，当γδ_out＝0时，这一贡献为0。这样我们结合(21)与(23)就可以证明(11)。

定理2的第二部分可以通过替换出度/入度，α/γ，δ_in/δ_out来得到证明。

Claims (60)

1.一种计算机可读媒体，包括由计算机处理器来执行的从而对有向无尺度对象之间的关系进行建模的计算机程序指令，这些指令包括：

产生一系列随机数字的指令；

随着时间选择随机数来产生有向无尺度对象关系的模型，同时根据出度和入度，图形也随之发展。

2.如权利要求1所述的计算机可读媒体，其中图为一个web图，由节点与节点之间的有向边组成，节点对应于web页，有向边对应从一个web页指向另一个web页的超级链接。

3.如权利要求1所述的计算机可读媒体，其中计算机程序指令进一步包括通过不断应用随机数而更新图的指令，按照如下的三个步骤：

(A)在新加入的节点与旧节点之间生成边；

(B)在两个旧节点之间生成边；或者

(C)根据可以配置的参数α、β、γ，在旧节点与新加入节点之间生成边。

4.如权利要求1所述的计算机可读媒体，其中计算机程序指令进一步包括作为向图中增加新的边的有向的选择性附加设备的函数的指令。

5.如权利要求1所述的计算机可读媒体，其中计算机程序指令进一步包括作为产生图的入度和/或出度δ_in与/或δ_out的函数的指令。

6.如权利要求1所述的计算机可读媒体，其中计算机程序指令进一步包括作为对图进行建模的经过测量的环境特性的函数的指令，其基于一组可配置参数α、β、γ以及δ_inδ_out。

7.如权利要求1所述的计算机可读媒体，其中图中与由图表示的对象关联的入度和关联于对象的出度互不相同。

8.如权利要求1所述的计算机可读媒体，其中与图表示的对象关联的入度象与关联于对象的出度互不相同，从而对于具有参数α、β、γ以及δ_inδ_out的产生器，其一部分具有入度d_in的节点按照如下非对称的方式扩展：

D_in ^-Xin

其中X_in＝1+(1+δ_in(α+γ))/(α+β)

另一部分具有出度d_out的节点按照如下非对称的方式扩展：

d_out ^-Xout

其中X_out＝1+(1+δ_out(α+γ))/(β+γ)

9.如权利要求3所述的计算机可读媒体，其中计算机程序指令进一步包括基于步骤(A)的指令，其通过添加一个新的对象v以及一条由此新对象v指向依据某概率所选择的旧对象w的新边，对图进行更新，该概率分布遵循：

Pr(w＝w_j)∝(d_in(w_j)+δ_in)。

10.如权利要求3所述的计算机可读媒体，其中计算机程序指令进一步包括基于步骤(B)的指令，其通过在两个旧节点v与w之间添加一条新边，对图进行更新，v与w的选择按照如下的概率分布：

Pr(v＝v_i，w＝w_j)∝(d_out(v_i)+δ_out)(d_in(w_j)+δ_in)。

11.如权利要求3所述的计算机可读媒体，其中计算机程序指令进一步包括基于步骤(C)的指令，其通过在随机选择的旧节点w与新增节点v之间添加一条新边，对图进行更新，w的选择按照如下的概率分布：

Pr(w＝w_j)∝(d_out(w_j)+δ_out)。

12.如权利要求3所述的计算机可读媒体，在步骤(A)中计算机指令进一步包括用于增加一条从新节点v_i到旧节点w_j的边，即增加边E(i，j)的指令，其进行如下操作：

将区间[0，t+nδ_in]分为n个长度分别为d_in(w_j)+δ_in的小区间；

在区间[0，t+nδ_in]中，均匀的选择一个随机数r_in；

选择旧对象w_j，如果随机数r_in落在了第j个小区间内。

13.如权利要求3所述的计算机可读媒体，其中计算机指令在步骤(B)的基础上进一步包括用于增加一条从旧节点v_i到旧节点w_j的边，即增加边E(i，j)的指令，其进行如下操作：

将区间[0，t+nδ_out]分为n个长度分别为d_out(v_i)+δ_out的小区间；

在区间[0，t+nδ_out]中，均匀的选择一个随机数r_out；

选择旧对象v_i，如果随机数r_out落在了第i个小区间内；

将区间[0，t+nδ_in]分为n个长度分别为d_in(w_j)+δ_in的小区间；

在区间[0，t+nδ_in]中，均匀的选择一个随机数r_in；

选择旧对象w_j，如果随机数r_in落在了第j个小区间内。

14.如权利要求3所述的计算机可读媒体，其中计算机指令在步骤(C)的基础上进一步包括用于增加一条从旧节点w_i到新节点v_j的边，即增加边E(i，j)的指令，其进行如下操作：

将区间[0，t+nδ_out]分为n个长度分别为d_out(w_j)+δ_out的小区间；

在区间[0，t+nδ_out]中，均匀的选择一个随机数r_out；

选择旧对象w_i，如果随机数r_out落在了第i个小区间内。

15.如权利要求1所述的计算机可读媒体，其中计算机指令进一步包括指令用于：

对于每一个新产生的节点，独立的产生两个随机数λ(v)与μ(v)，分别按照两个分布D_in与D_out；

利用上面的随机数来对图进行如下更新：

(A)依据λ(w)(d_in+δ_in)选择已存在节点w，使得Pr(w＝w_j)∝λ(w_j)(d_in(w_j)+δ_in)；

(B)分别依据μ(v)(d_out+δ_out)与λ(w)(d_in+δ_in)选择已存在节点v与w，使得Pr(v＝v_i，w＝w_j)∝μ(v_i)λ(w_j)(d_out(v_i)+δ_out)(d_in(w_j)+δ_in)；或者

(C)依照μ(w)(d_out+δ_out)选择已存在节点w，使得Pr(w＝w_i)∝μ(w_i)(d_out(w_i)+δ_out)。

16.一种对有向无尺度对象之间的关系进行建模的方法，这一方法包括：

产生一系列随机数字的指令；

随着时间选择随机数来产生有向无尺度对象关系的模型，同时根据出度和入度，图形也随之发展。

17.如权利要求16中所述的方法，其中图为一个web图，由节点与节点之间的有向边组成，节点对应于web页，有向边对应从一个web页指向另一个web页的超级链接。

18.如权利要求16中所述的方法，其中该方法进一步包括通过不断应用随机数从而更新图的如下的三个步骤：

(A)在新加入的节点与旧节点之间生成边；

(B)在两个旧节点之间生成边；或者

(C)根据可以配置的参数α、β、γ，在旧节点与新加入节点之间生成边。

19.如权利要求16中所述的方法，其中该方法进一步包括如同有向的选择性附加设备向图中增加新的边的步骤。

20.如权利要求16中所述的方法，其中该方法进一步包括产生图的入度和/或出度δ_in与/或δ_out的步骤。

21.如权利要求16中所述的方法，该方法包括作为对图进行建模的经过测量的环境的函数的步骤，其基于一组可配置参数α、β、γ以及δ_inδ_out的函数。

22.如权利要求16中所述的方法，其中与图表示的对象相关联的入度和关联于对象的出度互不相同。

23.如权利要求16中所述的方法，其中与图表示的对象相关联的入度和关联于对象的出度互不相同，从而对于具有参数α、β、γ以及δ_inδ_out的产生器，其一部分具有入度d_in的节点按照如下非对称的方式扩展：

d_in ^-Xin

其中X_in＝1+(1+δ_in(α+γ))/(α+β)

另一部分具有出度d_out的节点按照如下非对称的方式扩展：

D_out ^-Xout

其中X_out＝1+(1+δ_out(α+γ))/(β+γ)

24.如权利要求18中所述的方法，其中步骤(A)进一步包括通过添加一个新的对象v以及一条由此新对象v指向依据某概率所选择的旧对象w的新边，对图进行更新的步骤，该概率分布遵循：

Pr(w＝w_j)∝(d_in(w_j)+δ_in)

25.如权利要求18中所述的方法，其中步骤(B)进一步包括通过在两个旧节点v与w之间添加一条新边，对图进行更新的步骤，v与w的选择按照如下的概率分布：

Pr(v＝v_i，w＝w_j)∝(d_out(v_i)+δ_out)(d_in(w_j)+δ_in)

26.如权利要求18中所述的方法，其中步骤(C)进一步包括通过在随机选择的旧节点w与新增节点v之间添加一条新边，对图进行更新的步骤，w的选择按照如下的概率分布：

Pr(w＝w_j)∝(d_out(w_j)+δ_out)

27.如权利要求24中所述的方法，其中步骤(A)还包括增加一条从新节点v_i到旧节点w_j的边E(i，j)的步骤，该步骤进行如下操作：

将区间[0，t+nδ_in]分为n个长度分别为d_in(w_j)+δ_in的小区间；

在区间[0，t+nδ_in]中，均匀的选择一个随机数r_in；

选择旧对象w_j，如果随机数r_in落在了第j个小区间内。

28.如权利要求25中所述的方法，其中步骤(B)进一步包括增加一条从旧节点v_i到另一条旧节点w_j的边E(i，j)的步骤，该步骤进行如下操作：

将区间[0，t+nδ_out]分为n个长度分别为d_out(v_i)+δ_out的小区间；

在区间[0，t+nδ_out]中，均匀的选择一个随机数r_out；

选择旧对象v_i，如果随机数r_out落在了第i个小区间内；

将区间[0，t+nδ_in]分为n个长度分别为d_in(w_j)+δ_in的小区间；

在区间[0，t+nδ_in]中，均匀的选择一个随机数r_in；

选择旧对象w_j，如果随机数r_in落在了第j个小区间内。

29.如权利要求26中所述的方法，其中步骤(C)进一步包括用于增加一条从旧节点w_i到新节点v_j的边，即增加边E(i，j)的指令，该步骤进行如下操作：

将区间[0，t+nδ_out]分为n个长度分别为d_out(w_j)+δ_out的小区间；

在区间[0，t+nδ_out]中，均匀的选择一个随机数r_out；

选择旧对象w_i，如果随机数r_out落在了第i个小区间内。

30.如在权利要求16中所述的方法，此方法进一步包括：

对于每一个新产生的节点，独立的产生两个随机数λ(v)与μ(v)，分别按照两个分布D_in与D_out；

利用上面的随机数来对图进行如下更新的步骤：

(A)依据λ(w)(d_in+δ_in)选择已存在节点w，使得Pr(w＝w_j)∝λ(w_j)(d_in(w_j)+δ_in)。

(B)分别依据μ(v)(d_out+δ_out)与λ(w)(d_in+δ_in)选择已存在节点v与w，使得Pr(v＝v_i，w＝w_j)∝μ(v_i)λ(w_j)(d_out(v_i)+δ_out)(d_in(w_j)+δ_in)；或者

(C)依照μ(w)(d_out+δ_out)选择已存在节点w，使得Pr(w＝w_i)∝μ(w_i)(d_out(w_i)+δ_out)。

31.一台用来产生有向无尺度对象之间关系的模型的计算设备，包括：

一个处理器；

一个存储器，与处理器相耦合，存储器由处理器可执行指令组成，完成如下操作：

产生一系列随机数字；

随着时间选择随机数来产生有向无尺度对象关系的模型，同时根据出度和入度，图形也随之发展。

32.如权利要求31所述的计算设备，其中图为一个web图，由节点与节点之间的有向边组成，节点对应于web页，有向边对应从一个web页指向另一个web页的超级链接。

33.如权利要求31所述的计算设备，其中计算机程序指令进一步包括通过不断应用随机数从而更新图的指令，按照如下的三个步骤：

(A)在新加入的节点与旧节点之间生成边；

(B)在两个旧节点之间生成边；或者

(C)根据可以配置的参数α、β、γ，在旧节点与新加入节点之间生成边。

34.如权利要求31所述的计算设备，其中计算机程序指令进一步包括作为向图中增加新的边的有向的选择性附加设备的函数的指令。

35.如权利要求31中所述计算设备，其中计算机程序指令进一步包括作为产生图的入度和/或出度δ_in与/或δ_out的函数的指令。

36.如权利要求31所述的计算设备，其中计算机程序指令进一步包括作为对图进行建模的经过测量的环境特性的函数的指令，其基于一组可配置参数α、β、γ以及δ_inδ_out。

37.如权利要求31所述的计算设备，其中与由图表示的对象相关联的入度和关联与对象的出度互不相同。

38.如权利要求31所述的计算设备，其中与由图表示的对象相关联的入度和关联与对象的出度互不相同，从而使得具有参数α、β、γ以及δ_inδ_out的产生器，其一部分具有入度d_in的节点按照如下非对称的方式扩展：

D_in ^-Xin

其中X_in＝1+(1+δ_in(α+γ))/(α+β)

另一部分具有出度d_out的节点按照如下非对称的方式扩展：

D_out ^-Xout

其中X_out＝1+(1+δ_out(α+γ))/(β+γ)

39.如权利要求33所述的计算设备其中计算机程序指令进一步包括基于步骤(A)的指令，其通过添加一个新的对象v以及一条由此新对象v指向依据某概率所选择的旧对象w的新边，对图进行更新，该概率分布遵循：

Pr(w＝w_j)∝(d_in(w_j)+δ_in)

40.如权利要求33所述的计算设备，其中计算机程序指令进一步包括基于步骤(B)的指令，其通过在两个旧节点v与w之间添加一条新边，对图进行更新，v与w的选择按照如下的概率分布：

Pr(v＝v_i，w＝w_j)∝(d_out(v_i)+δ_out)(d_in(w_j)+δ_in)

41.如权利要求33所述的计算设备，其中计算机程序指令进一步组成基于步骤(C)的指令，其通过在随机选择的旧节点w与新增节点v之间添加一条新边，对图进行更新，w的选择按照如下的概率分布：

Pr(w＝w_j)∝(d_out(w_j)+δ_out)

42.如权利要求33和39所述的计算设备，在步骤(A)中计算机指令进一步包括用于增加一条从新节点v_i到旧节点w_j的边，即增加边E(i，j)的指令，其进行如下操作：

将区间[0，t+nδ_in]分为n个长度分别为d_in(w_j)+δ_in的小区间；

在区间[0，t+nδ_in]中，均匀的选择一个随机数r_in；

选择旧对象w_j，如果随机数r_in落在了第j个小区间内。

43.如权利要求33和40所述的计算设备，其中计算机指令在步骤(B)的基础上进一步包括用于增加一条从旧节点v_i到旧节点w_j的边，即增加边E(i，j)的指令，其进行如下操作：

将区间[0，t+nδ_out]分为n个长度分别为d_out(v_i)+δ_out的小区间；

在区间[0，t+nδ_out]中，均匀的选择一个随机数r_out；

选择旧对象v_i，如果随机数r_out落在了第i个小区间内；

将区间[0，t+nδ_in]分为n个长度分别为d_in(w_j)+δ_in的小区间；

在区间[0，t+nδ_in]中，均匀的选择一个随机数r_in；

选择旧对象w_j，如果随机数r_in落在了第j个小区间内。

44.类似权利要求33和41所述的计算设备，其中计算机指令在步骤(C)的基础上进一步包括用于增加一条从旧节点w_i到新节点v_j的边，即增加边E(i，j)的指令，其进行如下操作：

将区间[0，t+nδ_out]分为n个长度分别为d_out(w_j)+δ_out的小区间；

在区间[0，t+nδ_out]中，均匀的选择一个随机数r_out；

选择旧对象w_i，如果随机数r_out落在了第i个小区间内。

45.如权利要求31所述的计算设备，其中计算机指令进一步包括指令用于：

对于每一个新产生的节点，独立的产生两个随机数λ(v)与μ(v)，分别按照两个分布D_in与D_out；

利用上面的随机数来对图进行如下更新：

(A)依据λ(w)(d_in+δ_in)选择已存在节点w，使得Pr(w＝w_j)∝λ(w_j)(d_in(w_j)+δ_in)。

(B)分别依据μ(v)(d_out+δ_out)与λ(w)(d_in+δ_in)选择已存在节点v与w，使得Pr(v＝v_i，w＝w_j)∝μ(v_i)λ(w_j)(d_out(v_i)+δ_out)(d_in(w_j)+δ_in)；或者

(C)依照μ(w)(_dout+δ_out)选择已存在节点w，使得Pr(w＝w_i)∝μ(w_i)(d_out(w_i)+δ_out)。

46.一台用来产生有向无尺度对象之间关系的模型的计算设备，其包括：

用于产生一系列随机数字的指令的设备；

用于随着时间选择随机数来产生有向无尺度对象关系的模型，同时根据出度和入度，图形也随之发展的设备。

47.如权利要求46所述的计算设备，其中图为一个web图，由节点与节点之间的有向边组成，节点对应于web页，有向边对应从一个web页指向另一个web页的超级链接。

48.如权利要求46所述的计算设备，其中该设备进一步包括通过不断应用随机数从而更新图的装置，其采用的步骤包括：

(A)在新加入的节点与旧节点之间生成边；

(B)在两个旧节点之间生成边；或者

(C)根据可以配置的参数α、β、γ，在旧节点与新加入节点之间生成边。

49.如权利要求46所述的计算设备，其中该方法进一步包括用于作为有向的选择性附加设备向图中增加新的边的装置。

50.如权利要求46所述的计算设备，其中进一步包括用于产生图的入度和/或出度δ_in与/或δ_out的装置。

51.如权利要求46所述的计算设备，其中进一步包括作为对图进行建模的经过测量的环境特性的函数的装置，该函数基于一组可配置参数α、β、γ以及δ_inδ_out。

52.如权利要求46所述的计算设备，其中与由图表示的对象相关联的入度和关联与对象的出度互不相同。

53.如权利要求46所述的计算设备，其中与由图表示的对象相关联的入度和关联与对象的出度互不相同，从而使得具有参数α、β、γ以及δ_inδ_out的产生器，其一部分具有入度d_in的节点按照如下非对称的方式扩展：

d_in ^-Xin

其中X_in＝1+(1+δ_in(α+γ))/(α+β)

另一部分具有出度d_out的节点按照如下非对称的方式扩展：

D_out ^-Xout

其中X_out＝1+(1+δ_out(α+γ))/(β+γ)

54.如权利要求48所述的计算设备，其中进一步包括基于步骤(A)通过添加一个新的对象v以及一条由此新对象v指向依据某概率所选择的旧对象w的新边，对图进行更新的装置，该概率分布遵循：

Pr(w＝w_j)∝(d_in(w_j)+δ_in)

55.如权利要求48中所述计算设备，其中进一步包括基于步骤(B)用于通过在两个旧节点v与w之间添加一条新边，对图进行更新的装置，v与w的选择按照如下的概率分布：

Pr(v＝v_i，w＝w_j)∝(d_out(v_i)+δ_out)(d_in(w_j)+δ_in)

56.如权利要求48中所述计算设备，其中进一步包括基于步骤(C)用于通过在随机选择的旧节点w与新增节点v之间添加一条新边，对图进行更新的装置，w的选择按照如下的概率分布：

Pr(w＝w_j)∝(d_out(w_j)+δ_out)

57.如权利要求48中所述计算设备，其中进一步包括包括增加一条从新节点v_i到旧节点w_j的边E(i，j)的装置，该装置进行如下操作：

将区间[0，t+nδ_in]分为n个长度分别为d_in(w_j)+δ_in的小区间；

在区间[0，t+nδ_in]中，均匀的选择一个随机数r_in；

选择旧对象w_j，如果随机数r_in落在了第j个小区间内。

58.如权利要求48中所述计算设备，其中进一步包括基于步骤(B)用于增加一条从旧节点v_i到另一条旧节点w_j的边E(i，j)的装置，该装置进行如下操作：

将区间[0，t+nδ_out]分为n个长度分别为d_out(v_i)+δ_out的小区间；

在区间[0，t+nδ_out]中，均匀的选择一个随机数r_out；

选择旧对象v_i，如果随机数r_out落在了第i个小区间内；

将区间[0，t+nδ_in]分为n个长度分别为d_in(w_j)+δ_in的小区间；

在区间[0，t+nδ_in]中，均匀的选择一个随机数r_in；

选择旧对象w_j，如果随机数r_in落在了第j个小区间内。

59.如权利要求48中所述计算设备，进一步包括用于增加一条从旧节点w_i到新节点v_j的边，即增加边E(i，j)的装置，该装置进行如下操作：

将区间[0，t+nδ_out]分为n个长度分别为d_out(w_j)+δ_out的小区间；

在区间[0，t+nδ_out]中，均匀的选择一个随机数r_out；

选择旧对象w_i，如果随机数r_out落在了第i个小区间内。

60.如权利要求48中所述计算设备，并且进一步的包括装置用于：

对于每一个新产生的节点，独立的产生两个随机数λ(v)与μ(v)，分别按照两个分布D_in与D_out；

利用上面的随机数来对图进行如下更新的步骤：

(A)依据λ(w)(d_in+δ_in)选择已存在节点w，使得Pr(w＝w_j)∝λ(w_j)(d_in(w_j)+δ_in)。

(B)分别依据μ(v)(d_out+δ_out)与λ(w)(d_in+δ_in)选择已存在节点v与w，使得Pr(v＝v_i，w＝w_j)∝μ(v_i)λ(w_j)(d_out(v_i)+δ_out)(d_in(w_j)+δ_in)；或者

(C)依照μ(w)(d_out+δ_out)选择已存在节点w，使得Pr(w＝w_i)∝μ(w_i)(d_out(w_i)+δ_out)。

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