KR20040090937A - 방향성 스케일-프리 객체 관계들의 모델링 - Google Patents

방향성 스케일-프리 객체 관계들의 모델링 Download PDF

Info

Publication number
KR20040090937A
KR20040090937A KR1020040026815A KR20040026815A KR20040090937A KR 20040090937 A KR20040090937 A KR 20040090937A KR 1020040026815 A KR1020040026815 A KR 1020040026815A KR 20040026815 A KR20040026815 A KR 20040026815A KR 20040090937 A KR20040090937 A KR 20040090937A
Authority
KR
South Korea
Prior art keywords
graph
selecting
computer program
random number
edge
Prior art date
Application number
KR1020040026815A
Other languages
English (en)
Other versions
KR101089898B1 (ko
Inventor
벨라 볼로바스
제니퍼 카예스
크리스티안에이치. 보르그스
올리버엠. 리오르단
Original Assignee
마이크로소프트 코포레이션
Priority date (The priority date is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the date listed.)
Filing date
Publication date
Priority claimed from US10/421,385 external-priority patent/US20050021316A1/en
Application filed by 마이크로소프트 코포레이션 filed Critical 마이크로소프트 코포레이션
Publication of KR20040090937A publication Critical patent/KR20040090937A/ko
Application granted granted Critical
Publication of KR101089898B1 publication Critical patent/KR101089898B1/ko

Links

Classifications

    • G—PHYSICS
    • G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
    • G06F—ELECTRIC DIGITAL DATA PROCESSING
    • G06F17/00—Digital computing or data processing equipment or methods, specially adapted for specific functions
    • G06F17/10—Complex mathematical operations
    • E—FIXED CONSTRUCTIONS
    • E05—LOCKS; KEYS; WINDOW OR DOOR FITTINGS; SAFES
    • E05C—BOLTS OR FASTENING DEVICES FOR WINGS, SPECIALLY FOR DOORS OR WINDOWS
    • E05C1/00—Fastening devices with bolts moving rectilinearly
    • E05C1/02—Fastening devices with bolts moving rectilinearly without latching action
    • E05C1/04—Fastening devices with bolts moving rectilinearly without latching action with operating handle or equivalent member rigid with the bolt
    • E—FIXED CONSTRUCTIONS
    • E05—LOCKS; KEYS; WINDOW OR DOOR FITTINGS; SAFES
    • E05B—LOCKS; ACCESSORIES THEREFOR; HANDCUFFS
    • E05B65/00—Locks or fastenings for special use
    • E05B65/0025—Locks or fastenings for special use for glass wings
    • G—PHYSICS
    • G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
    • G06F—ELECTRIC DIGITAL DATA PROCESSING
    • G06F18/00—Pattern recognition
    • G06F18/20—Analysing
    • G06F18/29—Graphical models, e.g. Bayesian networks
    • G—PHYSICS
    • G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
    • G06F—ELECTRIC DIGITAL DATA PROCESSING
    • G06F30/00—Computer-aided design [CAD]
    • G06F30/20—Design optimisation, verification or simulation
    • E—FIXED CONSTRUCTIONS
    • E05—LOCKS; KEYS; WINDOW OR DOOR FITTINGS; SAFES
    • E05Y—INDEXING SCHEME ASSOCIATED WITH SUBCLASSES E05D AND E05F, RELATING TO CONSTRUCTION ELEMENTS, ELECTRIC CONTROL, POWER SUPPLY, POWER SIGNAL OR TRANSMISSION, USER INTERFACES, MOUNTING OR COUPLING, DETAILS, ACCESSORIES, AUXILIARY OPERATIONS NOT OTHERWISE PROVIDED FOR, APPLICATION THEREOF
    • E05Y2900/00—Application of doors, windows, wings or fittings thereof
    • E05Y2900/10—Application of doors, windows, wings or fittings thereof for buildings or parts thereof
    • E05Y2900/13—Type of wing
    • E05Y2900/132—Doors
    • G—PHYSICS
    • G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
    • G06F—ELECTRIC DIGITAL DATA PROCESSING
    • G06F2111/00—Details relating to CAD techniques
    • G06F2111/08—Probabilistic or stochastic CAD

Landscapes

  • Engineering & Computer Science (AREA)
  • Theoretical Computer Science (AREA)
  • Physics & Mathematics (AREA)
  • Data Mining & Analysis (AREA)
  • General Physics & Mathematics (AREA)
  • General Engineering & Computer Science (AREA)
  • Evolutionary Computation (AREA)
  • Mathematical Physics (AREA)
  • Algebra (AREA)
  • Mathematical Optimization (AREA)
  • Computer Vision & Pattern Recognition (AREA)
  • Bioinformatics & Computational Biology (AREA)
  • Bioinformatics & Cheminformatics (AREA)
  • Artificial Intelligence (AREA)
  • Life Sciences & Earth Sciences (AREA)
  • Computational Mathematics (AREA)
  • Mathematical Analysis (AREA)
  • Evolutionary Biology (AREA)
  • Geometry (AREA)
  • Pure & Applied Mathematics (AREA)
  • Databases & Information Systems (AREA)
  • Software Systems (AREA)
  • Computer Hardware Design (AREA)
  • Mechanical Engineering (AREA)
  • Information Retrieval, Db Structures And Fs Structures Therefor (AREA)
  • Image Generation (AREA)
  • Stored Programmes (AREA)
  • Management, Administration, Business Operations System, And Electronic Commerce (AREA)

Abstract

방향성 스케일-프리 객체 관계들 (directed scale-free object relationships)의 모델들을 생성하는 시스템들 및 방법들이 설명된다. 한 양태에서, 난수들 (random numbers)의 시권스 (sequence)가 생성된다. 이러한 난수들의 각각은 그 다음에 내차수 (in-degree) 및 외차수 (out-degree)의 시권스들에 기초한 그래프로서 방향성 스케일-프리 객체 관계들을 생성하기 위해 시간에 걸쳐 선택된다.

Description

방향성 스케일-프리 객체 관계들의 모델링 { MODELING DIRECTED SCALE-FREE OBJECT RELATIONSHIPS }
<관련 출원>
이 출원서는, 2003년 4월 18일에 출원된, "방향성 스케일-프리 객체간 관계 모델들의 생성"의 명칭의, 미국 가출원 시리얼 번호 60/463,792에 우선권을 주장하고, 참조로서 본 명세서에 병합된다.
본 발명은 방향성 스케일-프리 객체 관계들 (directed scale-free object relationships) 의 성장 (growth)과 분포 (distribution)에 대한 모델들을 생성하는 것에 관한 것이다.
랜덤 (random) 그래프들의 분포들을 생성하는 것에 대한 많은 새 프로세스들은, 꼭지점들이 두 개의 웹 페이지들 간의 각 하이퍼링크에 대한 방향성 에지 (directed edge)를 가진 웹 페이지들인, "웹 그래프" 같은 많은 대규모의 실세계 (real-world) 그래프들에서 관찰된 특정 공통 특성들에 의해 영감을 받아서, 소개되고 분석되어 왔다. 총람을 보려면, 부록의 써베이 (survey) 논문들 [2] 및 [15]를 보라. 기타 모델링된 그래프들은 "인터넷 그래프 (internet graph)" [18], 영화 배우 (movie actor) [28], 과학적인 협동 그래프들 (scientific collaboration graphs) [25], 셀룰라 통신망들 (cellular networks) [21], 및 그외가 있다.
스트로거츠 (Strogatz) 및 와츠 (Watts) [28]에 의해 기타 네트워크들의 컨텍스트 (context)로 원래 조사된 로그 지름 (logarithmic diameter)의 "소세계 현상 (small-world phenomenon)"에 추가해서, 주요 관찰들 중의 하나는, 이러한 대규모 실세계 그래프들의 다수가 "스케일-프리"이고 (부록의 참조들 [5, 7, 24]을 참고), 그 경우 꼭지점 차수들의 분포는, 클래식 랜덤 그래프 모델들 G(n, p) 및 G(n, M) [16, 17, 19], [9]도 참조,의 포아슨 분포 (Poisson distribution) 보다는, 멱수 법칙 (power law)을 따른다. 다수의 새로운 그래프 생성기들은, 월드 와이드 웹 ( World Wide Web, WWW)에 의해 제공된 것처럼 동적으로 개발되는 객체 관계들을 표현하는 실세계 이벤트들, 현상들, 및 시스템들의, 스케일-프리 특성들과, 작은 지름 및 클러스터링 (clustering) 같은, 기타 특성들을 모델링해보도록 제안되어 왔다. 불행히도, 그런 기존의 생성기들은 완전히 무방향성 (undirected)이거나, 기껏해야, 쎄미 (semi-) 또는 한 방향 (uni-directional)이고 (즉, 내차수들 혹은 외차수들이 다루어지고, 둘 다 동시에는 아니다), 그리고/혹은 정적으로 미리 결정된 차수 분포를 가진다.
이 관점에서, 그래프 생성의 기존 테크닉들은 객체로부터 혹은 객체로의 링크들 모두에 의존하는 방식으로 개발된 방향성 객체 관계들 (즉, 한 개의 객체에서또 다른 객체로의 링크(들))을 갖는 동적으로 생성되는 스케일-프리 그래프들의 실제적 취급법들을 제공하지 않는다. 그처럼, 일반적 생성 테크닉들은, 자연에서 그리고/혹은 WWW같은 기타 동적 환경들에 존재할 수 있는 스케일-프리, 방향성 객체 관계들의 구체적으로 혹은 완전하게 모델된 시뮬레이션들을 적절히 나타내지 않는다.
이러한 한계들의 관점에서, 방향성 스케일-프리 그래프들 혹은 관계들의 동적 커뮤너티들 (communities) (즉, 네트워크 토팔로지들 (network topologies))의 모델들을 생성하는 시스템들과 방법들은 매우 요구된다. 그런 생성기들은, 방향성 인터넷 라우팅 프로토콜들 (directed internet routing protocols)이 테스트되는 샘플 (sample) 방향성 네트워크 토팔로지들을 생성하기 위해서, 혹은 써치 (search) 알고리즘들이 테스트되는 샘플 웹 그래프들을 생성하기 위해 사용될 수 있다.
방향성 스케일-프리 객체 관계들의 모델들을 생성하는 시스템들 및 방법들이 설명된다. 한 양태에서, 난수들의 시권스가 생성된다. 이러한 난수들의 개별적인 것들은 내차수들 및 외차수들의 시권스들에 기초해서 그래프로서 방향성 스케일-프리 객체 관계들을 생성하기 위해 시간에 걸쳐 그 다음에 선택된다.
다음의 상세한 설명은 첨부된 도면들의 참조와 함께 주어진다. 도면들에서, 구성 요소 참조 번호의 가장 왼쪽 수는 그 구성 요소가 처음 나타나는 특정 도면을 식별한다.
도1은 방향성 스케일-프리 객체 관계들의 모델들을 생성하는 시스템들과 방법들이 구현될 수 있는 컴퓨팅 환경의 한 예의 블럭도이다.
도2는, 방향성 스케일-프리 객체 관계들의 모델들을 생성하는 응용 프로그램들 및 프로그램 데이타를 포함하는, 도1의 시스템 메모리의 양태들의 예를 더 자세히 도시하는 블럭도이다.
도3은 방향성 객체 관계들의 네트워크의 한 예를 도시한다.
도4는 방향성 스케일-프리 객체 관계들의 모델을 생성하는 과정의 한 예를 도시한다.
[주요 도면 부호 설명]
134: 시스템 메모리
160: 응용 프로그램들
164: 프로그램 데이타
202: 방향성 스케일-프리 네트워크 생성 모듈
204: 방향성 스케일-프리 그래프(들)
206: 난수(들)
208: 난수 생성기
210: 설정 데이타
212: 기타 데이타
<개요>
다음의 시스템들과 방법들은 객체 관계들의 방향성 스케일-프리 모델링을 생성한다. 이것은 멱수 법칙 차수 분포들로 그래프들을 생성하는 매우 자연스런 모델을 제공하기 위해 내차수들 및 외차수들 모두의 (양방향의) 동시 취급을 통해 수행된다. 개체의 특성들 혹은 모델링되는 추상적 개념 (abstraction)에 따라, 멱수 법칙은 내차수들 및 외차수들에 대해 다를 수 있다. 그런 모델링은, 예를 들어 자연에서 혹은 기술 커뮤너티들에서 관찰되는 (즉, WWW의 웹 페이지들 사이의 방향성 하이퍼링크들, AS 인터넷의 자동 시스템들 간의 연결들, 인터넷의 라우터들 (routers) 간의 연결들, 그외) 멱수 법칙들과 일관성이 있다.
<운영 환경의 예>
도면들에 대해서, 참조 번호들이 해당 소자들을 참조하고, 본 발명은 적절한 컴퓨팅 환경에서 구현되는 것으로 설명된다. 요구되지는 않았지만, 본 발명은 개인 컴퓨터에 의해 실행되는, 프로그램 모듈들 같은, 컴퓨터 실행 가능한 명령들의 일반적 컨텍스트로 설명된다. 프로그램 모듈들은 일반적으로, 특정 작업들을 수행하거나 혹은 특정 추상 데이타 타입들을 구현하는, 루틴들, 프로그램들, 객체들, 구성 요소들, 데이타 구조들, 그외를 포함한다.
도1은, 방향성 스케일-프리 네트워크 토팔로지들을 생성하기 위해 순차적으로 설명된 시스템들, 기계들, 및 방법들이 구현될 수 있는 적절한 컴퓨팅 환경(120)의 한 예를 설명한다. 컴퓨팅 환경(120)의 예는 적절한 컴퓨팅 환경의 한 예일 뿐이고 본 명세서에서 설명된 시스템들 및 방법들의 사용 혹은 기능의 범위에 대해 어떤 제한도 제안할 의도가 아니다. 컴퓨팅 환경(120)은 컴퓨팅 환경(120)에 설명된 임의의 한 구성 요소 혹은 구성 요소들의 조합에 관련해서 아무런 의존성이나 혹은 요구 사항을 갖는 것으로 해석되어서는 안된다.
본 명세서에서 설명된 방법들 및 시스템들은 다수의 기타 일반 목적 혹은 특수 목적의 컴퓨팅 시스템 환경들 혹은 구성들과 함께 연동된다. 적절할 수 있는 잘 알려진 컴퓨팅 시스템들, 환경들, 그리고/혹은 구성들의 예들은, 핸드 핼드 디바이스들 (hand-held devices), 대칭 멀티프로세서 (symmetrical multi-processor, SMP) 시스템들, 마이크로프로세서 기반 (microprocessor-based)의 혹은 프로그램할 수 있는 (programmable) 소비자 전자 제품들, 네트워크 PC들, 미니 컴퓨터들 (mini computers), 메인프레임 컴퓨터들(mainframe computers), 포터블 통신 디바이스들 (portable communication devices), 및 그외를, 하지만 거기에 국한하지 않고, 포함한다. 본 발명은, 작업들이 통신 네트워크를 통해 링크된 원격 프로세싱 디바이스들에 의해 수행되는, 분산 통신 환경들에서 또한 실시될 수 있다. 분산 컴퓨팅 환경에서, 프로그램 모듈들은 로컬 (local) 및 원격 (remote) 메모리 저장 디바이스들 모두에 위치될 수 있다.
도1에서 도시된 것처럼, 컴퓨팅 환경(120)은 컴퓨터(130)의 형태로서 일반 목적의 컴퓨팅 디바이스를 포함한다. 컴퓨터(130)는 하나 이상의 프로세서들(132), 시스템 메모리(134), 및 시스템 메모리(134)를 포함해서 다양한 시스템 구성 요소들을 프로세서(132)에 연결하는 버스(136)를 포함한다. 버스(136)는, 메모리 버스 혹은 메모리 컨트롤러, 주변 버스, 가속화된 그래픽 포트 (accelerated graphics port), 및 다양한 버스 구조들 중 임의의 것을 사용하는 프로세서 혹은 로컬 버스를 포함하는, 몇 개의 타입들의 버스 구조들 중 임의의 하나 이상의 것을 나타낸다. 예를 들어, 하지만 거기에 국한되지 않고, 그런 구조들은 산업 표준 구조 (Industry Standard Architecture, ISA) 버스, 마이크로 채널 구조 (Micro Channel Architecture, MCA) 버스, 인핸스드 ISA (Enhanced ISA, EISA) 버스, 비디오 전자 표준 학회 (Video Electronics Standards Association, VESA) 로컬 버스, 메자닌 (Mezzanine) 버스로 또한 알려진 주변 구성 요소 상호 접속(Peripheral Component Interconnects, PCI) 버스를 포함한다.
컴퓨터(130)는 전형적으로 다양한 컴퓨터 판독 가능한 미디어들 (computer readable media)을 포함한다. 그런 미디어는 컴퓨터(130)에 의해 액세스할 수 있는 임의의 가능한 미디어일 수 있고, 그것은 휘발성 및 비휘발성 미디어, 분리형 비분리형 미디어 모두를 포함한다. 도1에서, 시스템 메모리(134)는, 랜덤 액세스 메모리 (RAM)(140) 같은, 휘발성 메모리의 형태로서 그리고/혹은, 읽기용 메모리 (ROM)(138) 같은, 비휘발성 메모리의 형태로서 컴퓨터 판독 가능한 미디어에 포함된다. 스타트업 (start-up) 동안 같은 때에, 컴퓨터(130)의 소자들 간의 정보 전송을 돕는 기본 루틴들을 포함하는, 기본 입출력 시스템 (BIOS)(142)은 ROM에 저장된다. RAM은 전형적으로, 즉각 액세스할 수 있는 그리고/혹은 현재 프로세서(들)(132)에 의해 동작되고 있는 데이타 그리고/혹은 프로그램 모듈들을 포함한다.
컴퓨터(130)는 기타의 분리형/비분리형, 휘발성/비휘발성 컴퓨터 저장 미디어를 더 포함할 것이다. 예를 들어, 도1은, 비분리형, 비휘발성 자기 미디어에 (도시되지 않았고 전형적으로 "하드 드라이브"라고 일컫는) 읽고 쓰는 하드 디스크드라이브(144), 분리형, 비휘발성 자기 디스크(148) (예를 들어, "플로피 디스크")에 읽고 쓰는 자기 디스크 드라이브(146), 및 CD-ROM/R/RW, DVD-ROM/R/RW/+R/RAM 혹은 기타 광 미디어 같은 분리형, 비휘발성 광 디스크(152)에 읽고 쓰는 광 디스크 드라이브(150)를 설명한다. 하드 디스크 드라이브(144), 자기 디스크 드라이브(146), 및 광 디스크 드라이브(150)은 하나 이상의 인터페이스들(154)에 의해 버스(136)에 각각 연결된다.
드라이브들 및 연관된 컴퓨터 판독 가능한 미디어들은, 컴퓨터(130)에 대해 컴퓨터 판독 가능한 명령들, 데이타 구조들, 프로그램 모듈들, 및 기타 데이타의 비휘발성 저장을 제공한다. 본 명세서에서 설명된 환경의 한 예는 하드 디스크, 분리형 자기 디스크(148) 및 분리형 광 디스크(152)를 채택하지만, 그 기술에 숙련된 사람들은, 자기 카세트들, 플래쉬 메모리 카드들, 디지탈 비디오 디스크들, 랜덤 액세스 메모리들 (RAMs), 읽기용 메모리들 (ROMs), 및 그외 같은, 컴퓨터에 의해 액세스할 수 있는 데이타를 저장할 수 있는 기타 타입들의 컴퓨터 판독 가능한 미디어들은 또한 운영 환경의 예에서 사용될 수 있음을 이해할 것이다.
다수의 프로그램 모듈들은, 예를 들어 실행 시간 환경, 하나 이상의 응용 프로그램들(160), 기타 프로그램 모듈들(162), 및 프로그램 데이타(164)를 제공하는 운영 체제 (OS)(158)를 포함해서, 하드 디스크, 자기 디스크(148), 광 디스크(152), ROM(138), 혹은 RAM(140)에 저장될 수 있다.
사용자는, 키보드(166) 및 포인팅 디바이스(168) ("마우스" 같은) 같은 입력 장치들을 통해 컴퓨터(130)에 명령들과 정보를 제공할 수 있다. 기타 입력 장치들은 (도시 안된) 마이크로폰, 조이 스틱, 게임 패드, 위성 접시, 시리얼 포트, 스캐너, 카메라, 그외를 포함할 수 있다. 이러한 그리고 기타 입력 장치들은, 버스(136)에 연결된, 하지만 병렬 포트, 게임 포트, 혹은 범용 시리얼 버스 (USB) 같은, 기타의 인터페이스 및 버스 구조들에 의해 연결될 수도 있는, 사용자 입력 인터페이스(170)를 통해 처리 장치(132)에 연결된다.
모니터(172) 혹은 기타 타입의 디스플래이 디바이스는 또한, 비디오 어뎁터(174) 같은, 인터페이스를 통해 버스(136)에 연결된다. 모니터(172)에 추가해서, 개인 컴퓨터들은 전형적으로, 출력 주변 인터페이스(176)을 통해 연결될 수 있는, 스피커들 및 프린터들 같은, (도시 안된) 기타 주변 출력 장치들을 포함한다.
컴퓨터(130)는, 원격 컴퓨터(178) 같은, 하나 이상의 원격 컴퓨터들에 논리 접속들을 사용해서 네트워크된 환경에서 동작할 수 있다. 원격 컴퓨터(178)는 컴퓨터(130)에 관련되어 본 명세서에서 설명된 다수의 혹은 모든 소자들 및 특징들을 포함할 수 있다. 도1에서 도시된 논리 접속들은 구내 통신망 (LAN)(180) 및 일반적 광역 통신망 (WAN)(182)이다. 그런 네트워크 환경들은 사무실들, 기업용 컴퓨터 네트워크들 (enterprise-wide networks) , 인트라넷들 (intranets), 및 인터넷 (internet)에서 일반적이다.
LAN 네트워크 환경에서 사용될 때, 컴퓨터(130)는 네트워크 인터페이스 혹은 어뎁터(184)를 통해 LAN(180)에 연결된다. WAN 네트워크 환경에서 사용될 때, 컴퓨터는 전형적으로 WAN(182)에서 통신들을 확립하는 모뎀(186) 혹은 기타 수단들을포함한다. 외장 혹은 내장일 수 있는, 모뎀(186)은 사용자 입력 인터페이스(170) 혹은 기타 적절한 메카니즘을 통해 시스템 버스(136)에 연결될 수 있다.
도1에서, 인터넷을 통한 WAN의 한 개의 특정 구현이 도시된다. 이 도면에서, 컴퓨터(130)는 인터넷(188)을 통해 적어도 하나의 원격 컴퓨터(178)와 통신들을 확립하기 위한 모뎀(186)을 채용한다.
네트워크 환경에서, 컴퓨터(130)에 관련해서 도시된 프로그램 모듈들, 혹은 그들의 일부는 원격 메모리 저장 디바이스에 저장될 수 있다. 그러므로, 도1에 도시된 것처럼, 원격 응용 프로그램들(190)은 원격 컴퓨터(178)의 메모리 디바이스에 상주할 수 있다. 도시되고 설명된 네트워크 연결들은 실예들이고 컴퓨터들 간의 통신 링크를 확립하는 기타 수단들이 사용될 수 있음이 이해될 것이다.
도2는, 응용 프로그램들(160) 및 프로그램 데이타(164)를 포함해서, 도1의 시스템 메모리(134)의 양태들의 예를 더 도시하는 블럭도이다. 응용 프로그램들(160)은, 예를 들어, 방향성 스케일-프리 그래프(204)를 (지금부터 "그래프"로 종종 일컬어짐) 생성하는 방향성 스케일-프리 객체 관계 네트워크 생성 모듈(202)을 포함한다. 각 그래프(204)는, 시간 t에 걸쳐 수행된 이산 반복 동작들 (discrete iterative operations) 동안 네트워크 생성 모듈(202)에 의해 그 그래프에 추가된 각각의 꼭지점들 간의 꼭지점들 (vertices)과 에지들 (edges)을 나타낸다. 그래프(204)를 생성하기 위해 사용된 알고리즘들의 더 상세한 양태들에 대해 논의하기 전에, 그래프(204)의 구조와 소자들의 예가 그래프(204)(a)에 참조해서 설명된다.
그래프(204)(a)는 매츠릭스 (matrix)로 표현되고, 그 매츠릭스의 각 수평 행 i 및 수직 열 j는 각각의 꼭지점, 혹은 노드 (즉, 노드1에서 노드N)에 해당한다. 그러므로, i = 1 ... N, 및 j = 1 ... N. (지금부터, 노드와 노드들은 종종 꼭지점과 꼭지점들이라는 용어들과 혼동되어 사용됨). 몇 개의 노드들에서 많은 수의 노드들로 그래프(204)(a)를 성장시키기 위해, 네트워크 생성 모듈(202)은 그 그래프(204)(a)에 노드를 추가한다. 이것은, 그 새 노드를 표현하는 행과 열이 그 그래프(204)(a)에 추가되는 것을 의미한다. 그래프(204)(a)의 (i,j) 소자E(i,j)는, 즉, 웹 페이지i에서 웹 페이지j로의 하이퍼링크들의 수, 혹은E(i, j)객체들 혹은 개체i에서 개체j로의 특성들의 방향성 전송 (예를 들어, 상인과 고객 간의 돈과 상품들의 전송같은), 그리고/혹은 그외를 모델링하는, 노드i에서 노드j로의 방향성 에지들 혹은 연결들의 수를 표현한다.
표현(204)(a)에서, 우리는, 에지 방향 (edge direction)이 행 노드에서 열 노드로 평가되는 컨벤션 (convention)을 채택한다.
우리는 이제, 방향성 객체 관계들의 네트워크(300)의 예를 도시하는, 도3의 네트워크(300)의 관점에서 그래프(204)(a)의 에지E(i, j)값들을 설명한다. 이 네트워크 예에서, 객체(302-1, 302-2, 및 302-3)은 또 다른 객체로(부터) 적어도 한 개의 에지(304) (즉, 304-1에서 304-N까지 중 하나 이상의 에지들)을 가진다. 예를 들어, 객체(302-1) (도3)는, 객체가 그 자신에게로 관계를 갖는 (예를 들어, 웹 페이지가 그 자신 안의 한 지점으로 하이퍼링크를 갖는) 것을 표시하는 루핑 에지 (looping edge) (304-1)를 표시한다.
도2를 참조해서, 그런 루핑 에지는 또한, 행 노드1과 열 노드1 간의 교차 (intersection)에 해당하는 에지 값에 그래프(204)(a)에서 표현된다 (즉,E(1,1) = 1). 이것은, 노드1이 그 자신에게로의 한 개의 관계를 가짐을 표시한다. 이 타입의 에지는 "루프"라고 불리운다.
이 구현에서, 모듈(202)은 그래프(204)에서 (자체) 루프들을 발생시킬 것이다. 그러나, 생성 모듈(202)은 셀프 루프들 (self-loops) 없이 시스템들을 모델링하는 루프들을 생성하지 못하게 설정될 수 있다.
도2의 방향성 스케일-프리 그래프(204)(a)를 가진 도3의 에지들(304)을 표현하는 또 다른 예에서, 도3의 객체(302-1)는 노드(302-2)로 세 개의 에지들을, (304-2)에서 (304-4)까지, 가진다. 특히, 행 노드1과 열 노드2의 교차 (즉,E(1,2))는, 도3의 객체(302-1)에서 객체(302-2)으로의 관계를 표시하는, 값 3을 보인다. 이 타입의 에지는, 일반적으로 특정 객체 노드i에서 다른 노드j에 이르는 둘 이상의 에지들을 언급하는,"복수 에지"라고 일컬어진다. 이 구현에서, 모듈(202)은 그래프(204)에서 복수의 에지들을 생성할 수 있다. 그러나, 또 다른 구현에서, 생성 모듈(202)은, 한 개의 에지들만 있는 시스템들을 모델링하기 위해, 복수의 에지들을 생성하지 않게 설정될 수 있다.
도3의 네트워크(300) 및 도2의 그래프(204)(a) 각각은 단지 3 노드들/객체들을 표현/맵핑하지만, 네트워크(300)의 예와 그래프(204)(a)에 의해 표현된/맵핑된객체들의 복잡도와 수는 예일 뿐이고, 임의의 복잡도의 임의의 수의 객체들을 표현/맵핑할 수 있음이 이해될 것이다.
우리는 이제 더 상세히 방향성 스케일-프리 객체 관계들을 생성하기 위해 생성 모듈(202)에 의해 사용된 알고리즘들을 설명한다.
<방향성 스케일-프리 객체 관계들의 생성>
도2를 참조해서, 생성 모듈(202)은, 예를 들어, 기술적 (예를 들어, 웹), 문화적, 자연적, 그리고/혹은 그외의 환경들에서, 종종 관찰되는 동적으로 생성되는 객체들 (즉, 웹 페이지들, 기타) 및 그들 간의 관계들 (즉, 하이퍼링크들, 기타)을 시뮬레이트 (simulate)하기 위해 그래프(204)의 생성 동안 랜덤 및 확률적 양태들을 소개한다. 그런 랜덤 양태는 난수 생성 모듈 (RNG)(208)로부터 각각의 난수 (들)(206)에 대해 시간 t에 걸쳐 반복적 생성 모듈(202) 요구들을 통해 얻어진다. RNG(208)는 스탠드얼로운 (standalone) 모듈이거나 혹은 OS(158) (도1)같은 컴퓨터 프로그램 모듈에 의해 제공되는 서비스일 수 있다.
몇 개의 난수들(206)은 영 (0)과 일 (1) 사이의 놓이게 요구되어질 것이다. 이러한 난수들(206)의 각각에 대해, 네트워크 생성 모듈(202)은, 그 난수가 0 과,와, 혹은,와각각의 사이에 놓여 있는지의 여부에 따라, (A), (B), 및 (C)라고 라벨화된 (labeled), 세 가지 가능성들 중 하나를 결정하는 난수들(206)을 사용한다. 파라미터들 a, b, 및 c는, 서로 더했을 때 1이 되는, 즉,, 0 혹은 양의 실수들이다. 이러한 파라미터들은 설정 데이타(210)의 각각의 부분들로서 저장된다. 파라미터들,, 및는, 예를 들어, 시스템 관리자에 의해 수동으로 미리 설정되거나, 환경적 측정들의 관점에서 프로그램에서 설정되거나, 혹은 그외의 다른 방식들로서 선택/결정될 수 있다. 이것은 측정된 환경들의 다양한 타입들의 구조적 및 객체 관계들을 시뮬레이트하기 위해 모델 생성 프로세스를 커스토마이즈 (customize)하는 대단한 융통성을 허용한다.
생성 모듈(202)이 난수(206)를 범위[0,]로 맵핑할 때, 생성 모듈(202)은 기존의 (구) 꼭지점으로 새 꼭지점의 꼭지점과 에지를 추가해서 그래프(204)를 확장시킨다. 생성 모듈(202)이 난수(206)를 범위[,]로 맵핑할 때, 생성 모듈(202)은 두 개의 구 꼭지점들을 연결함으로써 그래프(204)를 확장한다 (즉, 꼭지점은 추가되지 않지만,E(i, j)값들 중 하나는 1만큼 증가함). 생성 모듈(202)은 난수(206)를 간격 [,]에 맵핑할 때, 생성 모듈(202)은 구 꼭지점을 새로 생성된 꼭지점에 연결함으로써 그래프(204)를 확장한다. 추가적으로, 그래프 생성 동안, 모듈(202)은 그래프에 내차수 및 외차수 쉬프트들을 소개하기 위해 설정 가능한 상수들,그리고/혹은을 적용한다.
차수 쉬프트는,혹은, 꼭지점의 내차수 혹은 외차수 각각에 더 해진 0 혹은 양 (positive)의 파라미터이다. 차수 쉬프트는 랜덤 꼭지점들을 선택하기 위해 사용되는 임의의 기타 규칙들을 적용하기 전에 더해진다.
위에 논의된 것에 관련해서, 예를 들어, 에지없는 (예를 들어,E(1,1) = 0) 한 개의 꼭지점 (예를 들어, 노드1)같이,G 0 를 임의의 고정된 최초의 방향그래프(204)라고 놓고,t 0 를G 0 의 에지들의 수라고 놓자. 생성 모듈(202)은 항상 한 번 반복당 한 개의 에지를 더하고,G(t 0 ) = G 0로 세트하고, 시간t에서 그래프G(t)는 정확히t에지들, 및 꼭지점들의 난수n(t)를 가진다. 논의를 위해서, 기타 중간 파라미터들 및 계산들을 비롯해서, 에지들과 꼭지점들의 수(들)는 "기타 데이타"(212)의 각각의 부분들에 의해 표현된다.
생성 모듈(202)의 동작에서,에 따라의 꼭지점를 선택하는 것은,는에 비례하게 v를 선택함을 의미한다, 즉,.에 따라를 선택하는 것은,인를 선택하는 것을 의미한다. 여기서및는, 그래프에서 측정된, 각각의 외차수 및의 내차수이다.
일 때, 생성 모듈(202)은 다음의 규칙들에 따라서로부터을 형성한다:
(A) 확률로써 (설정 데이타 값들(210)을 참조),로부터 기존의 꼭지점로의 에지와 함께 새 꼭지점를 추가한다.는에 따라 선택되고,된다. (예를 들어, 웹 그래프에서, 꼭지점로부터 꼭지점까지의 하이퍼링크를 나타내는 한 개의 에지를 추가함). 이 알고리즘으로의 입력들은꼭지점들과에지들이고, 출력들은꼭지점들과에지들이다. 새 꼭지점를 추가한 뒤에, 그 새 꼭지점로부터 에지를 수신할 특정한 기존의 꼭지점는 다음과 같이 결정된다:
이 싯점에서, 생성 모듈(202)은 0과에서 모든 수들의 합간에 추가적 난수(206)를 요구한다:
0에서범위는길이의슬롯들 (slots)로 나누어져 있다. 난수(206)는 특정 슬롯로 떨어질 것이다. 이 싯점에서, 생성 모듈(202)은를 세트한다.
(B) 확률로써 (설정 데이타 값들(210) 참조), 기존의 꼭지점에서 기존의 꼭지점로 에지를 추가한다.와는,에 따라를,에 따라를, 독립적으로 =선택되어서, 가 된다. 이 알고리즘의 입력들은꼭지점들과에지들이고, 출력들은꼭지점들이고에지들이다. 생성 모듈(202)은 난수(206)()를 생성해서 꼭지점에 에지를 추가하는 특정한 기존의 꼭지점를 선택한다:
이 범위는 길이를 가진번째 슬롯을 가진 슬롯들로 분할된다. 난수(206)는 특정 슬롯에 떨어지고, 꼭지점는이다. 생성 모듈(202)은 다음과 같이 난수(206)()를 생성해서 에지를 수신하는 꼭지점를 결정한다:
이 범위는, 길이를 가진번째 슬롯을 가진 슬롯들로 분할된다. 난수(206)는 특정 슬롯로 떨어진다; 꼭지점는일 것이다. 이 싯점에서, 생성 모듈(202)은 1씩를 증가한다.
(C) 확률로써 (로 계산할 수 있는 설정 데이타 값들(210) 참조), 새 꼭지점와 기존의 꼭지점에서로의 에지를 추가한다.는에 따라 선택되고,가 된다. 이 알고리즘의 입력들은꼭지점들과에지들이고, 출력들은꼭지점들과에지들이다. 새 꼭지점을 추가한 후에, 새 꼭지점에 에지를 추가하는 특정한 기존의 꼭지점는 다음과 같이 결정된다:
다음에 따라서 난수()(206)를 생성한다:
이 범위는, 길이를 가진슬롯을 가진 슬롯들로 분할된다. 난수(206)는 특정 슬롯에 떨어진다; 꼭지점는일 것이다. 그러므로, 생성모듈(202)은을 세트한다.
생성 모듈(202)은 파라미터들에 대해 아무런 추가 가정을 만들지 않지만, 그 결과적 그래프의 행위 (behavior)는, 파라미터들의 특정 세팅들이 회피되기만 하면, 트리비얼(trivial)하지 않다. 특히, 다음의 파라미터 값들은 트리비앨러티 들(trivialities)을 제외하기 위해 회피될 수 있다:
●(↔ 그래프는 성장하지 않는다)
●(↔에 있지 않은 모든 꼭지점들은혹은을 가진다)
●(↔에 있지 않은 모든 꼭지점들은가진다)
●(↔에 있지 않은 모든 꼭지점들은가진다)
●(↔에 있지 않은 모든 꼭지점들은가진다)
●(↔에 있지 않은 모든 꼭지점들은가진다)
한 구현 예에서, 그래프(204)가 웹 그래프를 나타낼 때,은 0로 세트된다. 동기는, 규칙 (C)에 따라 추가된 꼭지점들은 컨텐트 (content)만을 제공하는 웹 페이지들에 해당한다는 것이다; 그런 페이지들은 변화하지 않고, 아웃 링크들 (out-links)이 없이 생기고, 아웃 링크들이 없이 유지된다. 이 구현에서, 규칙 (A)에 따라 생성/추가된 꼭지점들은, 링크들이 나중에 추가되는, 일반 페이지들에 해당한다. 수학적으로,에 추가해서을 택하는 것은 자연스러운 것같지만, 그러는 것은에 있지 않은 모든 페이지들이 인-링크들 (in-links)을 전혀 갖지 않거나 혹은 아웃-링크들 (out-links)을 전혀 갖지 않는 모델을, 즉, 트리비얼 (trvial) 모델, 제공할 것이다.
의 영(0)이 아닌 값은, 페이지는 어떤 것이, 예를 들어 써치 엔진 (serach engin), 그것을 포인팅 (pointing)할 때까지 웹의 일부로서 고려되지 않음을 주장하는 것에 해당한다. 이것은, 그 에지들이 전형적으로 기타 타입들의 에지들 보다는 다른 성격의 에지들로서 (예를 들어, 써치 알고리즘을 구현하는 목적들로서) 고려되므로, 그 그래프의 나머지 부분으로부터 독립적/분리적으로 에지들을 써치 엔진으로부터 생성 모듈(202)이 고려하는 것을 허용한다. 같은 이유로써,는 정수일 필요가 없다. 파라미터은 에지들의 방향들을 역으로 함에 따라 (를와 그리고을과 스와핑 (swapping)함으로써) 그 모델에 대칭을 제공하기 위해서, 및 웹 그래프의 그것 보다는 컨텍스트들로 그 모델을 더 적응시키기 위해서 포함된다.
한 구현에서,및를 택함으로써, 생성 모듈(202)은 바라바시-알버트 모델 (Barabasi-Albert)[5]의의 특정 경우의 정확한 버젼을 포함하고, 여기서은 각 새로운 꼭지점에 대해 추가된 새 에지들의 수를 나타낸다. 추가 파라미터들과 함께, 본 명세서에서 여태까지 설명된 것보다 더 일반적인 모델은, 각 새로운 꼭지점에 대해에지들을 추가함으로써 혹은 ([14]에서 처럼) 각 새로운 꼭지점에 대해 특정 분포로 새 에지들의 난수를 추가함으로써, 생성될 수있다. 본 명세서의 설명을 구현하는데 있어서, 바라바시-알버트 파라미터의 주요 효과는, 즉 전체적 평균 정도를 다르게 하는,를 다르게 함으로써 얻어진다.
역시 추가 파라미터들을 가지고, 본 명세서에서 여태까지 설명된 것보다 더 일반적인 또 하나의 모델은, 서로 다른 꼭지점들이 서로 다른 피트니스들 (fitnesses)을 갖는 시스템들을 설명하기 위해 생성될 수 있다. 예를 들어, 어떤 웹 페이지들은 기타의 것들보다 더 잘 맞거나 혹은 눈에 띄이는 것으로 고려되어질 수 있고, 그들의 차수들이 덜 맞는 웹 페이지들의 것들 만큼 높지는 않지만 단위 시간 당 더 많은 연결들을 얻을 수 있다. 이것을 모델링하기 위해서, 생성 모델(202)은 새로운 꼭지점를 생성할 때마다, 난수 생성기(208)는 서로 간에 및 모든 과거의 선택들에 독립적으로, 어떤 특정 분포들및으로부터 두 난수들및를 제각각 독립적으로 생성할 것이다. 그 다음에 [0041]의 스텝들 (steps) (A),(B), 및 (C)는 다음과 같이 수정될 것이다: 스텝 (A)에서, 기존의 꼭지점는에 따라서 선택될 것이고,가 된다. 스텝 (B)에서, 기존의 꼭지점는에 따라 선택될 것이고, 기존의 꼭지점는에 따라서 선택될 것이고,가 된다. 스텝 (C)에서, 기존의 꼭지점는에 따라 선택될 것이고,가 된다.
<과정의 예>
도4는 방향성 스케일-프리 객체 관계들을 생성하는 과정(400)의 예를 도시한다. 논의를 위해서, 이러한 과정적 동작들은 도1과 도2의 프로그램 모듈들과 데이타 특징들을 참조해서 설명된다. 블럭(402)에서, 생성 모듈(202)은 수치적 확률들,,및 설정 가능한 내차수 및 외차수 쉬프트 상수들,를 설정한다. 블럭(404)에서, 생성 모듈(202)은 그래프로서 방향성 스케일-프리 객체 관계들을 생성하기 위해 시간에 걸쳐 연차적 스텝들 (A), (B), 혹은 (C)를 선택하는 난수들(206)을 생성한다. 방향성 에지들이(을) 추가되는(하는) 부차적 꼭지점들의 랜덤 선택은, [0042]의 (A), (B), 및 (C)에 설명된대로, 선호적 부착 (preferential attachment)을, 즉 내/외차수 각각에 따라 선택, 사용한다.
<결론>
설명된 시스템들과 방법들은 방향성 스케일-프리 객체 관계들을 생성한다. 시스템들과 방법들이 구조적 특징들 및 방법적 동작들에 고유한 언어로 설명되지만, 첨부된 청구항들에서 정의된 것처럼 그 주제는 설명된 특정 특징들이나 혹은 동작들에 제한될 필요가 없다. 그 대신, 특정 특징들 및 동작들은 청구된 주제를 구현하는 형태들의 예로서 개시된다. 예를 들어, 웹 (웹 그래프) 혹은 그것의 어떤 일부의 방향성 스케일-프리 모델의 생성에 적용될 수 있는 것에 추가해서, 설명된 시스템들(100) 및 방법들(400)은 다수의 기타 자연스럽게 발생하는 (인간-제조의 및 다른 것들) 물리적 및 추상적 객체 관계들의 커스토마이즈된 모델들을 생성하기 위해 또한 사용될 수 있다.
<첨부 A>
멱수 법칙들을 발견하기 위해, 우리는 합해서 일 (1)이되는 상수들및을 고정시키고, 다음을 세트한다.
우리는 또한 양의 정수와에지들을 가진 초기 그래프를 고정 시킨다. 내차수를 가진의 꼭지점들의 수에 대해를 쓰고, 외차수를 가진 수에 대해를 쓰자.
내차수 분포는,(에 있지 않은 모든 꼭지점들은 내차수 영(0)을 가질 것임) 혹은(에 있지 않은 모든 꼭지점들은 내차수 일(1)을 가질 것임)이면 트리비얼 (trivial)해지고,혹은에 대해 외차수 분포는 트리비얼해진다. 우리는 그러므로 다음의 정리에서 이러한 경우들을 제외할 것이다.
정리 1. 이 고정되었다고 하자. 확률 1를 가진그리고를 만족하는 상수들와가 있다. 그리고, 만약이고이면,에 따라 우리는 다음의 식을 가진다.
여기서,이고은 양의 상수이다.이고이면,에 따라, 우리는 다음의 식을 가진다.
여기서,이고은 양의 상수를 가진다.
위의 문장에서,표기는를 고정시키고을 나타내고,는에 따라를 의미한다.
증명.초기 그래프가꼭지점들을 가지면,는와의 평균치를 갖는 바이노미얼 분포 (Binomial Distribution)를 합한 것과 같음을 먼저 주목한다. 그것은, 모든 충분히 큰에 대해 다음의 식을 갖게 되는 양의 상수가 있는 체르노프 바운드 (Chernoff bound)로부터 나온다.
(1)
특히, 위의 확률은에 따라이다.
우리는, 그래프에서 내차수의 꼭지점들의 수를 각에 대해 주어서, 어떻게 벡터가이 일 (1)씩 증가함에 따라 변하는지를 고려한다.가 주어졌다고 가정하자. 그러면 확률의 내차수 영 (0)의 새 꼭지점이 다음 스텝에서 생성되고, 확률의 내차수 일 (1)을 가진 새 꼭지점이 생성된다. 더욱 구체적으로, 확률로 구 꼭지점의 내차수는 증가된다.에서로 가는 것에서, 선호적 부착 규칙 (preferential attachment rule)으로부터, 우리가 동작 (A) 혹은 (B)를 수행하면, 내차수의 특정 꼭지점은 증가된 그 자신의 내차수를 갖는 확률은 정확히이다. 우리가 (A) 혹은 (B)를 수행하는 확률은이고,는 내차수의꼭지점들을 정확히 가지므로, 이것들 중 하나가에서 내차수의 꼭지점이 되는 확률은 정확히
,
그러므로 이 확률로써 내차수의 꼭지점들의 수는 일 (1)만큼 감소한다. 그러나, 다음의 확률로써
의 내차수의 꼭지점은, 내차수의 꼭지점들의 수를 일 (1)만큼 증가시키면서,에서 내차수의 꼭지점이 된다. 이러한 효과들을 모두 통합해서,
(2)
여기서 우리는를 택하고, 이벤트가 있으면 1 그렇지 않으면 0인 인디케이터 함수 (indicator fuinction)에 대해를 쓴다.
를 고정되었다고 놓자. 우리는 (2)의 양쪽 모두의 기대값 (expectation)을 택하길 원한다. 단지 한 가지 문제는 오른쪽의 제2 항의에 있다. 이것을 위해서, (1)의 매우 약한 형태로부터, 확률로써, 우리는를 가짐을 주목한다. 이제가 어떠한 값을 택하든지간에 우리는 다음의 식을 가진다.
각에 대해, 그러므로
그리고, (2)의 양쪽 모두의 기대치를 택함으로써,
'정규화된 기대치'에 대해를 쓰자.를 기억하면, 우리는 다음을 갖는다.
(3)
이제라고 놓고에 대해를 다음과 같이 정의한다.
(4)
첫 번째로, 우리는 각에 대해,따라서, 우리가 다음의 식을 가짐을 보일 것이다.
(5)
나중에 우리는,가 그 자신의 평균치 주변에 집중되고, 그리고 그 다음에 마지막으로는 언급된 멱수 법칙을 따름을 보일 것이다. (5)를 보기 위해,를 세트한다. 그 다음에 (3)으로부터 (4)를 빼서,
이것을, 우리는 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.
(6)
여기서,
(5)를 증명하기 위해, 우리는 각에 대해임을 정확히 보여야 한다. 우리는에 대한 유도로써 이것을 수행한다:이고라고 가정하고,을 주목하면, 유도는 시작된다. 그 다음에, 및 (6)에서를 체크할 수 있다 (예를 들어,의 형태로에 대해 명백하게 이 수식을 해결함으로써). 이것으로 (5)의 증명을 완결한다.
다음에 우리는, 확률 1을 가지고, 정리의 문장에서 처럼, 우리가 다음의 식을 가짐을 보인다.
(7)
이것을 하기 위해, 우리는 통례로써, 아주마-호에프딩 부등식 (Azuma-Hoeffding inequality) [4, 20] ([10]을 또한 참조)을 사용해서 그 자신의 기대치 주변에의 집중을 보인다. 이것은 다음의 형태로 쓸 수 있다:가개의 선택들의 시퀀스에 의해 결정되는 랜덤 변수이고, 한 개의 선택을 바꾸는 것이 기껏해야만큼의 값을 변화 시키면,
(8)
이것을 적용하기 위해, 각 시간 스텝에 대해 어떤 동작 (A), (B), 혹은 (C)를 수행할 지를 먼저 선택하자.가 그런 선택들의 한 개의 (무한의) 시퀀스에 해당하는이벤트라 하자. 대부분의에 대해 (기술적 센스에서 확률 1의), (5)를 증명하는 논의는 실제로 다음을 제공함을 주목한다.
(9)
주어진에서,를 결정하기 위해, 그것은 어떤 구 꼭지점 ((A) 혹은 (C)에서), 혹은 어떤 구 꼭지점들 ((B)에서)이 관련되는지를 각 스텝에서 선택하기 위해 남아 있는다. 기껏해야구 꼭지점 선택들을 할 수 있다.에서으로 이런 선택들 중 하나를 변화하는 것은, 다시 말하면, 최종 그래프에서와의 차수들에 단지 영향을 준다. (후속 단계들에서 비율적 부착을 보존하기 위해, 우리는에서간에 적절히 후속 에지들을 재 분배해야 한다; 그러나 다른 기타 꼭지점들은 영향을 받지 않는다.) 그러므로,는 기껏해야 2만큼 변화하고, (8)을 적용해서, 우리는 다음의 식을 가진다.
(9)와 함께, 이것은, 정리의 처음 부분을 증명하면서, (7)이 확률 1을 가짐을 내포한다. (조금 더 신경써서, 우리는 아마도 (7)을으로 대치할 수 있음을 주목한다. 확실히 우리의 논의는 (5)의 이런 형태의 에러 바운드 (error bound)를 제공한다; 언급된 더 약한 바운드는 수식들을 단순화하기 위해으로써 (1)의를 대체하는 것의 결과이다. 그러나, (9)에 이르는 기술적 상세성은, 우리가 그런 타이트 (tight) 에러 바운드를 목표로 하면 복잡해질 것이다.
우리는 이제 (4)에 의해 정의된 양들 (quantities)의 행위를 결정한다.을 가정하면, 우리는을 갖고이므로, 우리는 다음과 같이 (4)를 다시 쓸 수 있다.
이것은그리고,에 대해,
(10)
여기서,실수와정수에 대해, 우리는에 대해을 사용한다. 또한, 우리는,가 정수가 아니어도에 대해를 사용한다. 우리가 얻은 공식이 진실로 해답들을 제공하는 것을 체크하는 것은 쉬운 일이다.를 체크할 수 있다; 긴 시간에꼭지점들이 있다.
(10)에서, 우리는따라 우리는, 정리의 문장에서 처럼, 다음의 식과 함께를 가짐을 보게된다.
외차수에 대해, 그 계산은와그리고와의 역할들을 상호 교환한 후에 정확하게 동일하다. 이 상호 교환 뒤에,은가 되고, 외차수들에 대한 멱수 법칙에서 지수는, 청구된 대로,이다.
우리는 이제, 동시에 내차수 및 외차수를 고려하면서, 더 상세한 결과들에대해 논의한다,는 내차수와 외차수를 가진의 꼭지점들의 수라 놓자.
정리 2. , 이라는 정리1의 조건들이 유지된다고 가정하자.를 고정 시키자. 그 다음에 확률 1로써를 만족하는 상수가 있다. 게다가, 고정된에 대해 그리고일때,
(11)
그리고, 고정된에 대해 그리고일때,
(12)
여기서,와는 양의 상수들이고,
그리고
정리 2는,및중 하나가 나머지 하나가 고정이 되고 무한대까지 감에 따라,를 제한하는 행위에 대해 문장들을 씀을 주목한다;및가 어떤 식으로 무한대까지 함께 감에 따라 그 행위에 대한 아무런 문장이 없다.
정리 2의 증명은 정리 1의 것의 동일 라인들을 따르지만, 더 많은 계산에 관여하고, 그러므로 부록 B에 제공된다. 주요 차이는, (10)대신에 우리는, 해답이 더욱 복잡한 2차 재발 관계 (2 dimensional recurrence relation) (13)를 얻는다.
웹 그래프에 정리 1 및 정리 2의 적용을 논의하기 전에,이면 (우리가 웹 그래프를 모델링할 때 가정할 것처럼), 외차수 0으로 생성된 꼭지점들은 항상 외차수 0을 갖는다. 그런 꼭지점들은 단지면 존재한다. 그러므로은, 외차수 0으로써 생성된 0이 아닌 외차수를 가진 꼭지점들을 포함하는 그래프에 대해 정확히 필요한 조건이다. 그런 꼭지점들이 존재할 때, 그들은 고정된이고에 대해의 행위를 주도하게 된다. 유사한 코멘트 (comment)가 내차수와 외차수가 상호 교환된에 적용된다. 만약이면,에 있지 않은 각각의 꼭지점은 내차수 혹은 외차수 0을 가질 것이다.
완전함 (completeness)에 대해서, 만약이면 (11)은에 대해 또한 성립함을 주목한다. 만약이면, 모든에 대해이다.,이면, 외차수 0을 가진 꼭지점들 간에 (타입 (C) 스텝에서 생성된 것들), 내차수의 진화는 함께 택해진 0이 아닌 외차수를 가진 모든 꼭지점들 사이에서와 동일하다. 이 경우에인 정리 1로부터 나온다.
<특정 값들>
흥미 있는 질문은 어느 파라미터들 (만약 있다면)에 대해 우리의 모델이 특정 실세계 그래프들에, 특히 웹그래프, 대해 관찰된 멱수 법칙들을 재생하는가이다.
이 세션에서, 우리는 이것이 컨텐트만 있는 페이지들이 있는 웹 그래프들을모델링하므로을 택한다. 우리는로 가정하고, 그렇지 않으면 0이 아닌 외차수를 가진 유한하게 (finitely) 많은 꼭지점들 (초기의 것들)만 있을 것이다. 전과 같이,라고 놓고, 이제를 주목한다. 우리는 멱수 법칙 지수들이, 전체 내차수에 대해 (혹은 외차수를 0으로 고정한 내차수), 다음과 같이 됨을 보였다.
전체 외차수에 대해,
고정 외차수를 가진 꼭지점들 사이의 내차수에 대해, 만약이면, 다음의 지수들을 가진다.
그리고, 고정 내차수를 가진 꼭지점들 사이의 외차수에 대해,
.
웹 그래프에 대해, 처음 두 개의 지수들의 최신 측정치들 [13]은및이다. ([3] 및 [23]에서 이전의 측정들은에 대해 동일 값을 그러나에 작은 값들을 주었다) 우리의 모델은,와및와 다음식이 등가이면 이러한 지수들을 제공한다.
이 수식은 한 개의 범위의 해답들을 제공한다: 극단의 점들은및이다.
그 모델의 테스트로서, 지수들및을 (고정 내차수/외차수가 달라질 때 물론 실제로 달라질 수 있음) 측정할 수 있다. 우리는에 2.75 그리고에 간격 [2.7, 3.06] 내의 어떤 것을 얻는다.
<부록 B>
이 부록에서, 우리는 정리 2의 증명을 제공한다. 정리 1의 증명에서 처럼 논의하면서 우리는, 각와에 대해가 되고, 여기서가 다음의 식을 만족하는 것을 보게된다.
(13)
물론 우리는혹은가 -1 이면가 0 이되게 택한다. 꼭지점은, 한 스텝에 그 자신의 내차수들 및 외차수들 모두를 증가하면서, 그 자신에게 루프를 보낼 수 있음을 주목한다. 이것이에 대한 수식들을 복잡하게 하고, 고정된와에 대해 이 기대치에의 효과는이고, 그래서 (13)이 정확히 성립함을 쉽게 알 수 있을 것이다.
우리는, 고정된를 가지고일 때,에 대한 확장을 발견함으로써 시작한다.
재발 관계 (recurrence relation) [13]는, 계수들의 2차 배열의리니어 연산자 (linear operator)에 대해, 다음의 형태이다.
이 수식에 고유한 해답이 있는의 형태로부터 명백하다. 리니어리티 (linearity)에 의해, 우리는 다음과 같이 쓸 수 있다.
여기서
(14)
그리고
(15)
먼저를 고려하자.이므로 우리는를 얻고, 그래서 다음과 같이 세팅 (setting)하고,
,
에 의해 (14)를 나누면, 우리는 다음의 식을 얻는다.
(16)
(16)을 사용해서,이면 모든에 대해을 보이는 것은 어렵지 않다. 그 동안, 우리는 그러므로을 가정한다.
경계 조건 (boundary condition)으로부터, 우리는 모든에 대해을얻음을 주목한다. 그러므로,에 대해, (16)의 오른쪽의 제 2항은 사라지고, 우리는 다음의 식을 보게된다 (그 대수 (algebra)의 상세함들을 생략하고).
여기서,
는 양의 상수이다. (여기서 우리는를 사용한다.)
에 대해, (16)의 마지막 항은 항상 0 이다. 반복으로에 대해 수식을 풀어서, 우리는 다음을 얻는다.
(17)
몇 개의 상수들에 대해, 모든및 모든에 있어서, 우리는 다음의 식을 가진다.
(18)
우리는,로써,에 대해 이것을 보임을 주목한다.이라 놓자. 그 다음, (17)과 (18)을 사용해서, 우리는 다음을 보게된다.
(19)
이제및가인 정수이면, 다음 식이 됨을 확인하는 것은 쉽다.
(20)
(예를 들어,로부터 시작해서에 대한 아래로의 유도가 사용될 수 있고, 양쪽 모두가 0 이다) (19)와 (20)의경우를 조합해서, 우리는 다음 식을 보게된다.
의 다른 값들에 대해의 계수들을 수집하고,을 주목해서, 우리는,에서, 다음 식이 성립되면, (18)은에 대해 성립한다.
그리고,
사실상 우리는,를 계산함이 없이 우리가 관심이 있는 (보다는에 대해) 멱수 법칙을 가진다. 모든에 대해임을 단지 관찰하면,항은 (18)을 주도한다. 그러므로 임의의 고정된에 대해 우리는 다음 식을 얻는다.
(21)
우리는 멱수 법칙에 대해를 필요로 하지 않음을 언급했지만, 우리는, 그것이 쉬우므로 완전함 (completeness)을 위해 그들의 계산을 포함한다. 다소 불편한 유도를 생략하고, 우리는 다음 식을, 위의 동일한 상수에 대해, 청구한다.
이것은 위의 관계들을 사용해서에 대해 유도를 사용해서 확인하기는 쉽다.
우리는 이제, 그 계산이 유사한,를 논의한다. (15)으로부터 우리는 다음 식을 얻는다.
(22)
역시 많은 대수식을 생략하고,에 대해, 우리는, 모든에서,이고, 다음 식이 됨을 본다.
이면, 모든에 대해이고, 그래서 이제라고 가정하자. 이번에 그 경계 조건은 모든에 대해임을 내포한다.에 대해, 우리는 그러므로 (22)로부터 다음 식을 얻는다.
((17)로부터 단지 다른 점은 합이에서 시작함이다) 이전과 같이 논의하고, (20)의의 경우를 사용해서, 우리는,에 대해, 다음 식을 보게 된다.
여기서,
(이것은, 우리가을 가정해서 가능하다.) 여기서항은 주도하고, 우리는, 각에 대해,일 때 어떤 양의 상수에 대해, 다음 식을 얻음을 보게된다.
(23)
이제를 논의하면, 고정된를 고려하고일 때, 우리는,일 때,로부터의 분포가 주도하고, 만약이면 이 분포는 0 임을 보게된다. 그러므로 (21)과 (23)을 조합하는 것은 (11)을 증명한다.
정리 2의 두 번째 부분은, (12)의 증명, 내차수들 및 외차수들,,그리고,, 을 상호 교환해서 나온다.
방향성 스케일-프리 객체관계들의 모델들을 생성하기 위한 시스템들 및 방법들은, 시간에 걸친 난수들의 선택으로 내차수 및 외차수 시퀀스들에 기초한 방향성 스케일-프리 객체 관계를 생성한다.

Claims (60)

  1. 방향성 스케일-프리 객체 관계(directed scale-free object relationships)를 모델링하기 위하여 프로세서에 의해 실행 가능한 컴퓨터 프로그램 명령들을 포함하는 컴퓨터 판독가능 매체에 있어서,
    상기 컴퓨터 프로그램 명령들은
    난수열을 생성하기 위한 명령; 및
    시간에 따라 상기 난수들 중의 개별 난수들을 연속적으로 선택하여, 그래프 내에서의 방향성 스케일-프리 객체 관계의 모델을 생성하기 위한 명령 -그래프 전개는 내차수 및 외차수 양자에 의존함-
    을 포함하는 컴퓨터 판독가능 매체.
  2. 제1항에 있어서, 상기 그래프는 노드들 및 상기 노드들 중의 각각의 노드들 간의 방향성 에지들을 포함하는 웹 그래프이고, 상기 노드들은 웹페이지들에 대응하고, 상기 방향성 에지들은 하나의 웹페이지에서 다른 웹페이지로의 하이퍼링크에 대응하는 컴퓨터 판독가능 매체.
  3. 제1항에 있어서, 상기 컴퓨터 프로그램 명령들은,
    상기 난수들을 연속적으로 사용하여,
    (A) 신 객체와 구 객체 간에 에지를 추가하는 단계;
    (B) 2개의 구 객체 사이에 에지를 추가하는 단계;
    (C) 설정 가능한 파라미터들 α, β 및 γ에 따라 구 객체에서 신 객체로의 에지를 추가하는 단계로써 상기 그래프를 갱신하기 위한 명령들
    을 더 포함하는 컴퓨터 판독가능 매체.
  4. 제1항에 있어서, 상기 컴퓨터 프로그램 명령들은 방향성 선호적 부착의 함수(function of directed preferential attachment)로서 상기 그래프에 새로운 에지들을 추가하기 위한 명령들을 더 포함하는 컴퓨터 판독가능 매체.
  5. 제1항에 있어서, 상기 컴퓨터 프로그램 명령들은 내차수 및/또는 외차수 시프트들 δin및/또는 δout의 함수로서 상기 그래프를 생성하기 위한 명령들을 더 포함하는 컴퓨터 판독가능 매체.
  6. 제1항에 있어서, 상기 컴퓨터 프로그램 명령들은 설정 가능한 파라미터들 α, β, γ, δin및 δout의 세트에 기초하는 측정된 환경 특성의 함수로서 상기 그래프를 모델링하기 위한 명령들을 더 포함하는 컴퓨터 판독가능 매체.
  7. 제1항에 있어서, 상기 그래프에 의해 표현되는 객체와 관련된 내차수 멱수 법칙이 상기 객체와 관련된 외차수 멱수 법칙과 다른 컴퓨터 판독가능 매체.
  8. 제1항에 있어서, 상기 그래프에 의해 표현되는 객체와 관련된 내차수 멱수 법칙이 상기 객체와 관련된 외차수 멱수 법칙과 다름으로써, 파라미터들 α, β, γ, δin및 δout을 가진 생성기에 대해, din의 내차수를 가진 꼭지점들의 비율이 점근적으로
    (여기서,)
    에 따라 스케일링되고,
    dout의 외차수를 가진 꼭지점들의 비율이 점근적으로
    (여기서,)
    에 따라 스케일링되는 컴퓨터 판독가능 매체.
  9. 제3항에 있어서, 상기 컴퓨터 프로그램 명령들은
    의 확률 분포에 따라 선택된 신 객체 v에서 무작위 구 객체 w로의 에지를 추가함으로써 상기 그래프를 갱신하기 위한 (A)에 기초한 명령들을 더 포함하는 컴퓨터 판독가능 매체.
  10. 제3항에 있어서, 상기 컴퓨터 프로그램 명령들은 상기 그래프의 제1 기존 객체 v에서 제2 기존 객체 w로의 에지를 추가함으로써 상기 그래프를 갱신하는 (B)에 기초한 명령들을 더 포함하고, 상기 객체들 v 및 w는
    의 확률 분포에 따라 선택되는 컴퓨터 판독가능 매체.
  11. 제3항에 있어서, 상기 컴퓨터 프로그램 명령들은 무작위로 선택된 구 객체 w에서 신 객체 v로의 에지를 추가함으로써 상기 그래프를 갱신하기 위한 (C)에 기초한 명령들을 더 포함하고, w는
    의 확률 분포에 따라 선택되는 컴퓨터 판독가능 매체.
  12. 제3항에 있어서, (A)에서 컴퓨터 프로그램 명령들은
    간격 [0, t + nδin]을 폭 din(wj) + δin의 n개 슬롯으로 분할하는 단계;
    상기 간격 [0, t + nδin]으로부터 균일하게 난수 rin을 선택하는 단계; 및
    상기 난수 rin이 j번째 슬롯에 있는 경우 구 객체 wj를 선택하는 단계로써
    신 객체 vi에서 상기 구 객체 wj로의 에지 E(i,j)를 추가하기 위한 명령들을 더 포함하는 컴퓨터 판독가능 매체.
  13. 제3항에 있어서, (B)에 기초한 상기 컴퓨터 프로그램 명령들은
    간격 [0, t + nδout]을 폭 dout(vi) + δout의 n개 슬롯으로 분할하는 단계;
    상기 간격 [0, t + nδout]으로부터 균일하게 난수 rout을 선택하는 단계;
    상기 난수 rout이 i번째 슬롯에 있는 경우 구 객체 vi를 선택하는 단계;
    간격 [0, t + nδin]을 폭 din(wj) + δin의 n개 슬롯으로 분할하는 단계;
    상기 간격 [0, t + nδin]으로부터 균일하게 난수 rin을 선택하는 단계;
    상기 난수 rin이 j번째 슬롯에 있는 경우 구 객체 wj를 선택하는 단계로써
    상기 구 객체 vi에서 상기 구 객체 wj로의 에지 E(i,j)를 추가하기 위한 명령들을 더 포함하는 컴퓨터 판독가능 매체.
  14. 제3항에 있어서, (C)에 기초한 상기 컴퓨터 프로그램 명령들은
    간격 [0, t + nδout]을 폭 dout(wi) + δout의 n개 슬롯으로 분할하는 단계;
    상기 간격 [0, t + nδout]으로부터 균일하게 난수 rout을 선택하는 단계;
    상기 난수 rout이 i번째 슬롯에 있는 경우 구 객체 wi를 선택하는 단계로써
    상기 구 객체 wi에서 신 객체 vj로의 에지 E(i,j)를 추가하기 위한 명령들을 더 포함하는 컴퓨터 판독가능 매체.
  15. 제1항에 있어서, 상기 컴퓨터 프로그램 명령들은
    상기 그래프의 새 꼭지점 v에 대한 특정 분포들 Din및 Dout으로부터 2개의 난수 λ(v) 및 μ(v)를 독립적으로 생성하기 위한 명령; 및
    상기 난수들을 사용하여,
    (A)이 되도록 λ(w)(din+ δin)에 따라 기존 꼭지점 w를 선택하는 단계,
    (B)이 되도록 μ(v)(dout+ δout)에 따라 기존 꼭지점 v를, λ(w)(din+ δin)에 따라 제2 기존 꼭지점 w를 선택하는 단계, 혹은
    (C) Pr(w=wi)∝μ(wi)(dout(wi)+δout)이 되도록 μ(w)(dout+ δout)에 따라 기존 꼭지점 w를 선택함으로써 상기 그래프의 꼭지점들을 갱신하기 위한 명령
    을 더 포함하는 컴퓨터 판독가능 매체.
  16. 방향성 스케일-프리 객체 관계의 모델을 생성하는 방법에 있어서,
    난수열을 생성하는 단계; 및
    시간에 따라 상기 난수들 중의 개별 난수들을 연속적으로 선택하여, 그래프 내에서의 방향성 스케일-프리 객체 관계의 모델을 생성하는 단계 -상기 그래프의전개는 내차수 및 외차수 양자에 의존함-
    를 포함하는 방법.
  17. 제16항에 있어서, 상기 그래프는 노드들 및 상기 노드들 중의 각각의 노드들 간의 방향성 에지들을 포함하는 웹 그래프이고, 상기 노드들은 웹페이지들에 대응하고, 상기 방향성 에지들은 하나의 웹페이지에서 다른 웹페이지로의 하이퍼링크에 대응하는 방법.
  18. 제16항에 있어서, 상기 방법은
    상기 난수들을 연속적으로 사용하여,
    (A) 신 객체와 구 객체 간에 에지를 추가하거나;
    (B) 2개의 구 객체 사이에 에지를 추가하거나;
    (C) 설정 가능한 파라미터들 α, β 및 γ에 따라 구 객체에서 신 객체로의 에지를 추가하는 단계로써 상기 그래프를 갱신하는 단계
    를 더 포함하는 방법.
  19. 제16항에 있어서, 상기 방법은 방향성 선호적 부착의 함수로서 상기 그래프에 새로운 에지들을 추가하는 단계를 더 포함하는 방법.
  20. 제16항에 있어서, 상기 방법은 내차수 및/또는 외차수 시프트들 δin및/또는 δout의 함수로서 상기 그래프를 생성하는 단계를 더 포함하는 방법.
  21. 제16항에 있어서, 상기 방법은 설정 가능한 파라미터들 α, β, γ, δin및 δout의 세트에 기초하는 측정된 환경 특성의 함수로서 상기 그래프를 모델링하는 단계를 더 포함하는 방법.
  22. 제16항에 있어서, 상기 그래프에 의해 표현되는 객체와 관련된 내차수 멱수 법칙이 상기 객체와 관련된 외차수 멱수 법칙과 다른 방법.
  23. 제16항에 있어서, 상기 그래프에 의해 표현되는 객체와 관련된 내차수 멱수 법칙이 상기 객체와 관련된 외차수 멱수 법칙과 다름으로써, 파라미터들 α, β, γ, δin및 δout을 가진 생성기에 대해, din의 내차수를 가진 꼭지점들의 비율이 점근적으로
    (여기서,)
    에 따라 스케일링되고,
    dout의 외차수를 가진 꼭지점들의 비율이 점근적으로
    (여기서,)
    에 따라 스케일링되는 방법.
  24. 제18항에 있어서, (A)는
    신 객체 v에서의 확률 분포에 따라 선택된 무작위 구 객체 w로의 에지를 추가함으로써 상기 그래프를 갱신하기 것을 더 포함하는 방법.
  25. 제18항에 있어서, (B)는
    상기 그래프의 제1 기존 객체 v에서 제2 기존 객체 w로의 에지를 추가함으로써 상기 그래프를 갱신하는 것을 더 포함하고, 상기 객체들 v 및 w는
    의 확률 분포에 따라 선택되는 방법.
  26. 제18항에 있어서, (C)는 무작위로 선택된 구 객체 w에서 신 객체 v로의 에지를 추가함으로써 상기 그래프를 갱신하는 것을 더 포함하고, w는
    의 확률 분포에 따라 선택되는 방법.
  27. 제24항에 있어서, (A)는
    간격 [0, t + nδin]을 폭 din(wj) + δin의 n개 슬롯으로 분할하는 단계;
    상기 간격 [0, t + nδin]으로부터 균일하게 난수 rin을 선택하는 단계;
    상기 난수 rin이 j번째 슬롯에 있는 경우 구 객체 wj를 선택하는 단계로써
    신 객체 vi에서 상기 구 객체 wj로의 에지 E(i,j)를 추가하는 것을 더 포함하는 방법.
  28. 제25항에 있어서, (B)는
    간격 [0, t + nδout]을 폭 dout(vi) + δout의 n개 슬롯으로 분할하는 단계;
    상기 간격 [0, t + nδout]으로부터 균일하게 난수 rout을 선택하는 단계;
    상기 난수 rout이 i번째 슬롯에 있는 경우 구 객체 vi를 선택하는 단계;
    간격 [0, t + nδin]을 폭 din(wj) + δin의 n개 슬롯으로 분할하는 단계;
    상기 간격 [0, t + nδin]으로부터 균일하게 난수 rin을 선택하는 단계;
    상기 난수 rin이 j번째 슬롯에 있는 경우 구 객체 wj를 선택하는 단계로써
    상기 구 객체 vi에서 상기 구 객체 wj로의 에지 E(i,j)를 추가하는 것을 더포함하는 방법.
  29. 제26항에 있어서, (C)는
    간격 [0, t + nδout]을 폭 dout(wi) + δout의 n개 슬롯으로 분할하는 단계;
    상기 간격 [0, t + nδout]으로부터 균일하게 난수 rout을 선택하는 단계; 및
    상기 난수 rout이 i번째 슬롯에 있는 경우 구 객체 wi를 선택하는 단계로써
    상기 구 객체 wi에서 신 객체 vj로의 에지 E(i,j)를 추가하는 것을 더 포함하는 방법.
  30. 제16항에 있어서, 상기 방법은
    상기 그래프의 새 꼭지점 v에 대한 특정 분포들 Din및 Dout으로부터 2개의 난수들 λ(v) 및 μ(v)를 독립적으로 생성하는 단계; 및
    상기 난수를 사용하여,
    (A)이 되도록 λ(w)(din+ δin)에 따라 기존 꼭지점 w를 선택하는 단계,
    (B)이 되도록 μ(v)(dout+ δout)에 따라 기존 꼭지점 v를, λ(w)(din+ δin)에 따라 제2 기존 꼭지점 w를 선택하는 단계,
    (C) Pr(w=wi)∝μ(wi)(dout(wi)+δout)이 되도록 μ(w)(dout+ δout)에 따라 기존 꼭지점 w를 선택함으로써 상기 그래프의 꼭지점들을 갱신하는 단계
    를 더 포함하는 방법.
  31. 방향성 스케일-프리 객체 관계의 모델을 생성하는 컴퓨팅 장치에 있어서,
    프로세서; 및
    난수열을 생성하는 단계; 및
    시간에 따라 상기 난수들 중의 개별 난수들을 연속적으로 선택하여, 그래프 내에서의 방향성 스케일-프리 객체 관계의 모델을 생성하는 단계 -상기 그래프의 전개는 내차수 및 외차수 양자에 의존함-
    를 수행하기 위하여, 상기 프로세서에 결합되어, 상기 프로세서에 의해 실행가능한 컴퓨터 프로그램 명령을 포함하는 메모리
    를 포함하는 컴퓨팅 장치.
  32. 제31항에 있어서, 상기 그래프는 노드들 및 상기 노드들 중의 각각의 노드들 간의 방향성 에지들을 포함하는 웹 그래프이고, 상기 노드들은 웹페이지들에 대응하고, 상기 방향성 에지들은 하나의 웹페이지에서 다른 웹페이지로의 하이퍼링크에 대응하는 컴퓨팅 장치.
  33. 제31항에 있어서, 상기 컴퓨터 프로그램 명령들은
    상기 난수들을 연속적으로 사용하여,
    (A) 신 객체와 구 객체 간에 에지를 추가하는 단계;
    (B) 2개의 구 객체 사이에 에지를 추가하는 단계;
    (C) 설정 가능한 파라미터들 α, β 및 γ에 따라 구 객체에서 신 객체로의 에지를 추가함으로써 상기 그래프를 갱신하는 명령을
    를 더 포함하는 컴퓨팅 장치.
  34. 제31항에 있어서, 상기 컴퓨터 프로그램 명령은 방향성 선호적 부착의 함수로서 상기 그래프에 새로운 에지들을 추가하는 명령들을 더 포함하는 컴퓨팅 장치.
  35. 제31항에 있어서, 상기 컴퓨터 프로그램 명령들은 내차수 및/또는 외차수 시프트들 δin및/또는 δout의 함수로서 상기 그래프를 생성하는 명령들을 더 포함하는 컴퓨팅 장치.
  36. 제31항에 있어서, 상기 컴퓨터 프로그램 명령들은 설정 가능한 파라미터들 α, β, γ, δin및 δout의 세트에 기초하는 측정된 환경 특성의 함수로서 상기 그래프를 모델링하는 명령들을 더 포함하는 컴퓨팅 장치.
  37. 제31항에 있어서, 상기 그래프에 의해 표현되는 객체와 관련된 내차수 멱수 법칙이 상기 객체와 관련된 외차수 멱수 법칙과 다른 컴퓨팅 장치.
  38. 제31항에 있어서, 상기 그래프에 의해 표현되는 객체와 관련된 내차수 멱수 법칙이 상기 객체와 관련된 외차수 멱수 법칙과 다름으로써, 파라미터들 α, β, γ, δin및 δout을 가진 생성기에 대해, din의 내차수를 가진 꼭지점들의 비율이 점근적으로
    (여기서,)
    에 따라 스케일링되고,
    dout의 외차수를 가진 꼭지점들의 비율이 점근적으로
    (여기서,)
    에 따라 스케일링되는 컴퓨팅 장치.
  39. 제33항에 있어서, 상기 컴퓨터 프로그램 명령들은
    의 확률 분포에 따라 선택된 신 객체 v에서 무작위 구 객체 w로의 에지를 추가함으로써 상기 그래프를 갱신하기 위해 (A)에 기초한 명령들을 더 포함하는 컴퓨팅 장치.
  40. 제33항에 있어서, 상기 컴퓨터 프로그램 명령들은 상기 그래프의 제1 기존 객체 v에서 제2 기존 객체 w로의 에지를 추가함으로써 상기 그래프를 갱신하는 (B)에 기초한 명령들을 더 포함하고, 상기 객체들 v 및 w는
    의 확률 분포에 따라 선택되는 컴퓨팅 장치.
  41. 제33항에 있어서, 상기 컴퓨터 프로그램 명령들은 무작위로 선택된 구 객체 w에서 신 객체 v로의 에지를 추가함으로써 상기 그래프를 갱신하기 위한 (C)에 기초한 명령들을 더 포함하고, w는
    의 확률 분포에 따라 선택되는 컴퓨팅 장치.
  42. 제33항 및 제39항에 있어서, (A)에 기초한 컴퓨터 프로그램 명령들은
    간격 [0, t + nδin]을 폭 din(wj) + δin의 n개 슬롯으로 분할하는 단계;
    상기 간격 [0, t + nδin]으로부터 균일하게 난수 rin을 선택하는 단계;
    상기 난수 rin이 j번째 슬롯에 있는 경우 구 객체 wj를 선택하는 단계로써
    신 객체 vi에서 상기 구 객체 wj로의 에지 E(i,j)를 추가하기 위한 명령들을 더 포함하는 컴퓨팅 장치.
  43. 제33항 또는 제40항에 있어서, (B)에 기초한 상기 컴퓨터 프로그램 명령들은
    간격 [0, t + nδout]을 폭 dout(vi) + δout의 n개 슬롯으로 분할하는 단계;
    상기 간격 [0, t + nδout]으로부터 균일하게 난수 rout을 선택하는 단계;
    상기 난수 rout이 i번째 슬롯에 있는 경우 구 객체 vi를 선택하는 단계;
    간격 [0, t + nδin]을 폭 din(wj) + δin의 n개 슬롯으로 분할하는 단계;
    상기 간격 [0, t + nδin]으로부터 균일하게 난수 rin을 선택하는 단계;
    상기 난수 rin이 j번째 슬롯에 있는 경우 구 객체 wj를 선택하는 단계로써
    상기 구 객체 vi에서 제2 구 객체 wj로의 에지 E(i,j)를 추가하기 위한 명령들을 더 포함하는 컴퓨팅 장치.
  44. 제33항 및 제41항에 있어서, (C)에 기초한 상기 컴퓨터 프로그램 명령들은
    간격 [0, t + nδout]을 폭 dout(wi) + δout의 n개 슬롯으로 분할하는 단계;
    상기 간격 [0, t + nδout]으로부터 균일하게 난수 rout을 선택하는 단계;
    상기 난수 rout이 i번째 슬롯에 있는 경우 구 객체 wi를 선택하는 단계로써
    상기 구 객체 wi에서 신 객체 vj로의 에지 E(i,j)를 추가하기 위한 명령들을 더 포함하는 컴퓨팅 장치.
  45. 제31항에 있어서, 상기 컴퓨터 프로그램 명령들은
    상기 그래프의 새 꼭지점 v에 대한 특정 분포 Din및 Dout으로부터 2개의 난수들 λ(v) 및 μ(v)를 독립적으로 생성하기 위한 명령; 및
    상기 난수를 사용하여,
    (A)이 되도록 λ(w)(din+ δin)에 따라 기존 꼭지점 w를 선택하는 단계,
    (B)이 되도록 μ(v)(dout+ δout)에 따라 기존 꼭지점 v를, λ(w)(din+ δin)에 따라 제2 기존 꼭지점 w를 선택하는 단계; 혹은
    (C) Pr(w=wi)∝μ(wi)(dout(wi)+δout)이 되도록 μ(w)(dout+ δout)에 따라 기존 꼭지점 w를 선택하는 단계로써 상기 그래프의 꼭지점들을 갱신하기 위한 명령
    을 더 포함하는 컴퓨팅 장치.
  46. 방향성 스케일-프리 객체 관계의 모델을 생성하는 컴퓨팅 장치에 있어서,
    난수열을 생성하는 수단; 및
    시간에 따라 상기 난수들 중의 개별 난수들을 연속적으로 선택하여, 그래프 내에서의 방향성 스케일-프리 객체 관계의 모델을 생성하는 수단 -상기 그래프의 전개는 내차수 및 외차수 양자에 의존함-
    을 포함하는 컴퓨팅 장치.
  47. 제46항에 있어서, 상기 그래프는 노드들 및 상기 노드들 중의 각각의 노드들 간의 방향성 에지들을 포함하는 웹 그래프이고, 상기 노드들은 웹페이지들에 대응하고, 상기 방향성 에지들은 하나의 웹페이지에서 다른 웹페이지로의 하이퍼링크에 대응하는 컴퓨팅 장치.
  48. 제46항에 있어서,
    상기 난수들을 연속적으로 사용하여,
    (A) 신 객체와 구 객체 간에 에지를 추가하는 단계;
    (B) 2개의 구 객체 사이에 에지를 추가하는 단계;
    (C) 설정 가능한 파라미터들 α, β 및 γ에 따라 구 객체에서 신 객체로의 에지를 추가하는 단계로써 상기 그래프를 갱신하는 수단
    을 더 포함하는 컴퓨팅 장치.
  49. 제46항에 있어서, 방향성 선호적 부착의 함수로서 상기 그래프에 새로운 에지들을 추가하는 수단을 더 포함하는 컴퓨팅 장치.
  50. 제46항에 있어서, 내차수 및/또는 외차수 시프트들 δin및/또는 δout의 함수로서 상기 그래프를 생성하는 수단을 더 포함하는 컴퓨팅 장치.
  51. 제46항에 있어서, 설정 가능한 파라미터들 α, β, γ, δin및 δout의 세트에 기초하는 측정된 환경 특성의 함수로서 상기 그래프를 모델링하는 수단을 더 포함하는 컴퓨팅 장치.
  52. 제46항에 있어서, 상기 그래프에 의해 표현되는 객체와 관련된 내차수 멱수 법칙이 상기 객체와 관련된 외차수 멱수 법칙과 다른 컴퓨팅 장치.
  53. 제46항에 있어서, 상기 그래프에 의해 표현되는 객체와 관련된 내차수 멱수 법칙이 상기 객체와 관련된 외차수 멱수 법칙과 다름으로써, 파라미터들 α, β, γ, δin및 δout을 가진 생성기에 대해, din의 내차수를 가진 꼭지점들의 비율이 점근적으로
    (여기서,)
    에 따라 스케일링되고,
    dout의 외차수를 가진 꼭지점들의 비율이 점근적으로
    (여기서,)
    에 따라 스케일링되는 컴퓨팅 장치.
  54. 제48항에 있어서,
    의 확률 분포에 따라 선택된 신 객체 v에서 무작위 구 객체 w로의 에지를 추가함으로써 상기 그래프를 갱신하는 (A)에 기초한 수단을 더 포함하는 컴퓨팅 장치.
  55. 제48항에 있어서, 상기 그래프의 제1 기존 객체 v에서 제2 기존 객체 w로의 에지를 추가함으로써 상기 그래프를 갱신하는 (B)에 기초한 수단을 더 포함하고, 상기 객체들 v 및 w는
    의 확률 분포에 따라 선택되는 컴퓨팅 장치.
  56. 제48항에 있어서, 무작위로 선택된 구 객체 w에서 신 객체 v로의 에지를 추가함으로써 상기 그래프를 갱신하기 위한 (C)에 기초한 수단을 더 포함하고, w는
    의 확률 분포에 따라 선택되는 컴퓨팅 장치.
  57. 제48항에 있어서,
    간격 [0, t + nδin]을 폭 din(wj) + δin의 n개 슬롯으로 분할하는 단계;
    상기 간격 [0, t + nδin]으로부터 균일하게 난수 rin을 선택하는 단계;
    상기 난수 rin이 j번째 슬롯에 있는 경우 구 객체 wj를 선택하는 단계로써
    신 객체 vi에서 상기 구 객체 wj로의 에지 E(i,j)를 추가하기 위한 (A)에 기초한 수단을 더 포함하는 컴퓨팅 장치.
  58. 제48항에 있어서,
    간격 [0, t + nδout]을 폭 dout(vi) + δout의 n개 슬롯으로 분할하는 단계;
    상기 간격 [0, t + nδout]으로부터 균일하게 난수 rout을 선택하는 단계;
    상기 난수 rout이 i번째 슬롯에 있는 경우 구 객체 vi를 선택하는 단계;
    간격 [0, t + nδin]을 폭 din(wj) + δin의 n개 슬롯으로 분할하는 단계;
    상기 간격 [0, t + nδin]으로부터 균일하게 난수 rin을 선택하는 단계
    상기 난수 rin이 j번째 슬롯에 있는 경우 구 객체 wj를 선택하는 단계로써
    상기 구 객체 vi에서 제2 구 객체 wj로의 에지 E(i,j)를 추가하는 (B)에 기초한 수단을 더 포함하는 컴퓨팅 장치.
  59. 제48항에 있어서,
    간격 [0, t + nδout]을 폭 dout(wi) + δout의 n개 슬롯으로 분할하는 단계
    상기 간격 [0, t + nδout]으로부터 균일하게 난수 rout을 선택하는 단계
    상기 난수 rout이 i번째 슬롯에 있는 경우 구 객체 wi를 선택하는 단계로써
    상기 구 객체 wi에서 신 객체 vj로의 에지 E(i,j)를 추가하는 (C)에 기초한 수단을 더 포함하는 컴퓨팅 장치.
  60. 제46항에 있어서,
    상기 그래프의 새 꼭지점 v에 대한 특정 분포들 Din및 Dout으로부터 2개의 난수들 λ(v) 및 μ(v)를 독립적으로 생성하고; 및
    상기 난수를 사용하여,
    (A)이 되도록 λ(w)(din+ δin)에 따라 기존 꼭지점 w를 선택하는 단계;
    (B)이 되도록 μ(v)(dout+ δout)에 따라 기존 꼭지점 v를, λ(w)(din+ δin)에 따라 제2 기존 꼭지점 w를 선택하는 단계;
    (C) Pr(w=wi)∝μ(wi)(dout(wi)+δout)이 되도록 μ(w)(dout+ δout)에 따라 기존 꼭지점 w를 선택하는 단계로써 상기 그래프의 꼭지점들을 갱신하기 위한 수단
    을 더 포함하는 컴퓨팅 장치.
KR1020040026815A 2003-04-18 2004-04-19 방향성 스케일-프리 객체 관계의 모델을 생성하는 방법, 컴퓨팅 장치 및 컴퓨터 판독가능 기록 매체 KR101089898B1 (ko)

Applications Claiming Priority (4)

Application Number Priority Date Filing Date Title
US46379203P 2003-04-18 2003-04-18
US60/463,792 2003-04-18
US10/421,385 US20050021316A1 (en) 2003-04-23 2003-04-23 Modeling directed scale-free object relationships
US10/421,385 2003-04-23

Publications (2)

Publication Number Publication Date
KR20040090937A true KR20040090937A (ko) 2004-10-27
KR101089898B1 KR101089898B1 (ko) 2011-12-05

Family

ID=32912027

Family Applications (1)

Application Number Title Priority Date Filing Date
KR1020040026815A KR101089898B1 (ko) 2003-04-18 2004-04-19 방향성 스케일-프리 객체 관계의 모델을 생성하는 방법, 컴퓨팅 장치 및 컴퓨터 판독가능 기록 매체

Country Status (5)

Country Link
US (1) US7647215B2 (ko)
EP (1) EP1469397A3 (ko)
JP (1) JP4369791B2 (ko)
KR (1) KR101089898B1 (ko)
CN (1) CN1609861A (ko)

Families Citing this family (15)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
JP5070893B2 (ja) * 2007-03-15 2012-11-14 富士ゼロックス株式会社 データ要素処理装置、及びプログラム
GB0718251D0 (en) * 2007-09-19 2007-10-31 Ibm An apparatus for propagating a query
US9449298B2 (en) * 2008-05-13 2016-09-20 Emc Corporation Managing complex dependencies in a file-based team environment
US20100057902A1 (en) * 2008-08-28 2010-03-04 Novell, Inc. Scal-free management networks
US9128967B2 (en) * 2011-10-24 2015-09-08 Accenture Global Services Limited Storing graph data in a column-oriented data store
US8914262B2 (en) 2011-11-08 2014-12-16 The Mathworks, Inc. Visualization of data dependency in graphical models
US8935137B1 (en) * 2011-11-08 2015-01-13 The Mathworks, Inc. Graphic theoretic linearization of sensitivity analysis
US9377998B2 (en) * 2011-11-08 2016-06-28 The Mathworks, Inc. Code generation for control design
US9354846B2 (en) 2011-11-08 2016-05-31 The Mathworks, Inc. Bidomain simulator
US20130116988A1 (en) 2011-11-08 2013-05-09 Fu Zhang Automatic solver selection
US20130116989A1 (en) 2011-11-08 2013-05-09 Fu Zhang Parameter tuning
US20150324323A1 (en) 2012-07-09 2015-11-12 Hitachi, Ltd. Information processing system and graph processing method
CN102904815B (zh) * 2012-09-21 2015-07-08 中国电子科技集团公司第二十八研究所 基于无尺度网络的路由级拓扑建模方法
GB2510429A (en) 2013-02-05 2014-08-06 Ibm Assessing response routes in a network
CN109245969B (zh) * 2018-11-27 2022-12-09 湘潭大学 一种基于微博社交行为的手机电磁辐射预测方法

Family Cites Families (3)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
GB9222884D0 (en) 1992-10-30 1992-12-16 Massachusetts Inst Technology System for administration of privatization in newly democratic nations
JPH1196134A (ja) 1997-09-25 1999-04-09 Hitachi Ltd 連結グラフの生成方法およびそのプログラム
JPH11149367A (ja) 1997-11-19 1999-06-02 Sony Corp 乱数発生方法及び乱数発生方法を実行する為のプログラムが格納された記録媒体、乱数発生装置

Also Published As

Publication number Publication date
JP4369791B2 (ja) 2009-11-25
JP2004318884A (ja) 2004-11-11
EP1469397A3 (en) 2011-10-05
KR101089898B1 (ko) 2011-12-05
CN1609861A (zh) 2005-04-27
EP1469397A2 (en) 2004-10-20
US20070083347A1 (en) 2007-04-12
US7647215B2 (en) 2010-01-12

Similar Documents

Publication Publication Date Title
JP7087079B2 (ja) 深層学習アプリケーションのための堅牢な勾配重み圧縮方式
KR101089898B1 (ko) 방향성 스케일-프리 객체 관계의 모델을 생성하는 방법, 컴퓨팅 장치 및 컴퓨터 판독가능 기록 매체
US7877737B2 (en) Tree-to-graph folding procedure for systems engineering requirements
CN110520871A (zh) 训练机器学习模型
US10403035B2 (en) Rendering images using ray tracing with multiple light sources
CN106844781A (zh) 数据处理的方法及装置
EP2788867A1 (en) Automatic modularization of source code
US10621301B2 (en) Coordinates-based variational autoencoder for generating synthetic via layout patterns
CN114035827A (zh) 应用程序更新方法、装置、设备及存储介质
Liesenborgs et al. Extended lens reconstructions with grale: exploiting time-domain, substructural, and weak lensing information
Nathan et al. Approximating personalized katz centrality in dynamic graphs
US20210406254A1 (en) Provenance analysis systems and methods
JP6781819B2 (ja) タスク処理方法及び分散コンピューティングフレームワークシステム
Valdez et al. Gpu simulations of spiking neural p systems on modern web browsers
Neuman et al. Fast, good, and repeatable: Summations, vectorization, and reproducibility
Barreto et al. RIO: a new computational framework for accurate initial data of binary black holes
US20230394212A1 (en) Equivalence checking of synthesized logic designs using generated synthesis history
US11645049B2 (en) Automated software application generation
US20050021316A1 (en) Modeling directed scale-free object relationships
CN111859985B (zh) Ai客服模型测试方法、装置、电子设备及存储介质
US11093229B2 (en) Deployment scheduling using failure rate prediction
CN114581177A (zh) 产品推荐方法、装置、设备及存储介质
Atanassov et al. Optimization of the direction numbers of the Sobol sequences
CN111723247A (zh) 基于图的假设计算
Dallard et al. Instance guaranteed ratio on greedy heuristic for genome scaffolding

Legal Events

Date Code Title Description
A201 Request for examination
E902 Notification of reason for refusal
E701 Decision to grant or registration of patent right
GRNT Written decision to grant
FPAY Annual fee payment

Payment date: 20141017

Year of fee payment: 4

FPAY Annual fee payment

Payment date: 20151030

Year of fee payment: 5

FPAY Annual fee payment

Payment date: 20161028

Year of fee payment: 6

LAPS Lapse due to unpaid annual fee