CN1575762B - 基于线性轨迹的断层合成系统和方法 - Google Patents

Abstract

一种数字断层合成系统采集对象(114)的多个投影射线照相并基于所采集的投影射线照相来重建对象的结构。该数字断层合成系统包括X射线源(110)和检测器(116)。X射线源发射X射线束并在相对于检测器的线性迹线中移动。

Description

基于线性轨迹的断层合成系统和方法

背景技术

断层合成(tomosynthesis)根据投影射线照相集合来重建存在于成像对象内的结构。例如在医学应用中，这些结构包括解剖学结构，如器官、血管和骨头。在计算机断层照相中，X射线源(亦被称为管)和检测器均在绕公用轴的圆形迹线上移动，并且很高数量的投影射线照相(或影像)被采集。就是说，在计算机断层照相中，X射线源和检测器典型地描述绕对象的全圆或用于X射线源和检测器的每个的半圆。在常规的运动断层照相中，X射线源描述了基本上在对象一侧上的弧，并且检测器(或胶片)描述对象的相对侧上的对应的弧(在相对方向上)，同时经过对象的一个水平片层仍是焦点对准的。相反，在断层合成中，相对少的射线照相针对变化的X射线源位置而被采集。然后，断层合成是一种采集多个投影射线照相的系统和方法，其中X射线源采用基本上在对象的一侧上的位置，而检测器(或胶片)采用对象的相对侧上的位置。

数字断层合成系统包括X射线源和数字检测器，它们通过适当的机械结构而连接于彼此。一般而言，静止成像对象的许多2维投影射线照相相对于成像对象的X射线源的不同位置被采集，并且成像对象的3维结构根据对应于2维投影射线照相的数据集合被重建。

常规的断层合成系统并不是最优地适合于检测器上的“自然”像素网格，这是显然的，因为所采用的重建技术通常在进行实际的重建之前需要数据插值步骤。该插值步骤带给它分辨率上的不可逆的损失，就是说，甚至在3D重建开始之前丢失了细微的细节(小结构)。

发明内容

在本发明的一个实施例中，一种数字断层合成系统和方法适合于采集对象的多个投影射线照相。所述系统包括适合于发射X射线束的X射线源和被放置得处于相对于对象与X射线源的空间关系的数字检测器。处理器适合于控制X射线源并处理来自检测器的数据，从而使投影射线照相相对于检测器在沿线性迹线的X射线源的焦斑的不同位置处被采集。

附图说明

图1示出基本的断层合成系统。

图2说明了示出“移位并相加”重建途径的原理的流程。

图3示出本发明的数字断层合成系统的概观。

图4说明了本发明的数字断层合成系统中的具有矩形像素网格的检测器，即具有被组织成行和列的像素的检测器。

图5示出本发明的数字断层合成系统中的X射线源、X射线源的迹线和检测器平面之间的几何关系。

图6说明了导致恒定放大倍数的本发明的数字断层合成系统的几何关系。

图7示出与被用于本发明的数字断层合成系统的重建算法关联的最优体素结构(非矩形坐标系统)。

图8说明了本发明的数字断层合成系统的另一个实施例。

图9说明了本发明的数字断层合成系统的另外的实施例。

图10说明了在本发明的数字断层合成系统的一个实施例中，取自对象的不同水平片层(即平行于检测器平面的平面)中的频率之间的关系，以及如何从通过X射线源和检测器产生的投影射线照相来恢复对成像对象内的结构的最优估算。

图11说明了在本发明的数字断层合成系统的一个实施例中，作为经过对象的水平片层的高度和经过对象的那个片层内的正弦分量的频率的函数的投影射线照相中的相移的相关性。

图12是对应于基于傅立叶的方法的流程图，该方法用于由本发明的数字断层合成系统的一个实施例来执行的数字断层合成中的最优重建。

图13示出说明与本发明的数字断层合成系统中的扇形束关联的放大倍数的图。

图14示出说明本发明的数字断层合成系统的一个实施例中的交替投影重建途径的图。

图15是说明平行束投影情况的示意图图，该图用于说明被用在本发明一个实施例中的基于傅立叶的重建技术。

具体实施方式

如所使用的，术语“适合于”、“被配置成”等指的是被安排成提如本领域的技术人员可知道的所需功能的部件。例如，在处理信号、数据等的情况下，术语“适合于”指的是这样的部件，如预编程数字计算机、特定用途集成电路(ASIC)、或其它电子、模拟或光学计算装置，其可被准备成依照所需算法来处理输入信号以提供所需的输出信号。在机械或机电装置的情况下，术语“适合于”指的是这样的部件，其以工作关系而被组合、连接或放置以提供装置中的所需功能性、组成(make up)或安排。

在整个本发明的说明书中涉及了“检测器之上的”或“检测器之上的恒定高度的”X射线源。进行这种引述是为了清楚地进行说明，并且意味着X射线源放置得相对于成像对象而与检测器相对，并且仅说明X射线源和检测器(或检测器平面)的相对位置。引述“检测器之上的”X射线源并不意味着X射线源必须被放置得“比检测器高”，这是因为例如即使数字断层合成系统被上下翻转，本发明亦可被成功地实施，只要数字断层合成系统的相对几何结构保持不变。

图1示出断层合成系统100。如图1中所示，断层合成系统100包括沿迹线112移动并发射X射线113的X射线源(或管)110。X射线113照射在对象(或病人)114上并由检测器116来检测。对象(或病人)114典型地包含具有不同X射线衰减特性的3维结构。检测器116由计算机/数据处理单元118来控制并提供输入给它。

亦如图1中所示，计算机/数据处理单元118执行处理，包括控制X射线源110的移动并从检测器116读出，插值来自检测器116的数据并从由检测器116检测的数据(投影射线照相)来重建对象114的3维影像，以及其它的辅助处理和控制功能124。

这样，对于静止对象(或病人)114，数字断层合成系统100采集几个投影射线照相，在其中X射线源110的位置相对于检测器116和对象114而变化。典型地，这是通过在采集之间相对于彼此而移动X射线源110和/或检测器116并相对于对象114而移动它们来实现的。根据所采集的投影射线照相影像，计算机/数据处理单元118重建有关成像对象114的3维信息并显示所得到的经重建的影像。典型地，控制和3维重建是在计算机/数据处理单元118内进行的，并且经重建的影像被显示在具有显示屏幕126的分离的专门计算机125上。

在从检测器116所检测的数据重建了成像对象的3维结构之后，计算机/数据处理单元118提供所述重建数据给影像显示器126，其将经重建的3维影像显示给操作者。

在常规运动断层照相的一个实例中，X射线源与胶片同步地移动以使在曝光期间对象中的特定平面(所谓的“支点平面(pivot plane)”)的投影相对于所述胶片而保持静止。结果，支点平面看起来是焦点对准的，而成像对象的所有其它结构被“模糊”。常规运动断层照相的该实例的基本原理是成像平面(即胶片)和支点平面是平行的，并且X射线源的移动亦处于与首先的两个平面平行的平面内。这种安排确保了支点平面中的结构以恒定的放大倍数被映射到所述胶片上。因此，在X射线源的移动期间，保持支点平面(内的结构)的影像焦点对准所需的只是移动所述胶片以使支点平面内的结构的投影的相对位置保持不变。

在常规运动断层照相中，X射线源(只要它位于上述平面中)的特定迹线对于支点平面中的结构出现在所述胶片上的“质量”没有显著影响。然而，特定迹线的确对平面外结构出现在影像上的方式有直接和显著的影响。一般而言，X射线源移动的范围越大，平面外结构的模糊越明显。此外，源迹线的“形状”直接转化成模糊的“形状”。对于线性迹线，平面外结构仅沿单个方向而被模糊，而对于圆形迹线，平面外结构以“圆形模糊”而被模糊。

在常规运动断层照相的两个一般情况下，X射线源线性或圆形地移动。第一种情况提供了以下优点：对连接X射线源支持和胶片支持的机械结构的相对直截了当的构建，由此确保支点平面在整个曝光期间是焦点对准的。从机械实施的立场来看，圆形迹线的选项较没有吸引力，但它提供了可被感觉为优于线性迹线选项的影像质量。其原因是“线性模糊”产生了条纹伪影，它容易被误解为是支点平面中的显著结构。该问题可被认为不如圆形迹线的情况严重，在该情况下模糊以圆形形式出现。

一些常规运动断层照相系统包括X射线源处于与胶片/检测器的恒定距离的约束，这意味着在整个数据采集过程中，X射线源位于与检测器平面平行的平面中。该约束并不适用于其它常规断层照相系统或数字断层合成系统。然而，在常规断层照相系统中，X射线源和检测器/胶片的移动被仔细地同步化，这并不是数字断层合成所需要的。

当使用数字检测器而不是胶片时，如以上提及的相同途径可被采用，尽管典型的是对于多重离散的X射线源(或管)位置，影像被获取于离散的时间上的时刻，并且在每个曝光期间，X射线源和检测器两者均保持不变。然而，由于数字系统的增加的通用性，投影影像的相同集合可不仅被用于重建位于支点平面中的结构，而且被用于重建任何任意高度处经过成像对象的“片层”。如在此所使用的，术语“片层”指的是经过成像对象的平面横截面，或经过待重建的体积的平面横截面，其中横截面是沿平行于检测器平面的平面而获取的。此外，由数字断层合成系统提供的附加的灵活性亦使能开发其它系统概念，如其中X射线源采用沿检测器之上的圆弧的离散位置。与在圆形断层合成的情况下不同，在这种系统中，圆弧位于与检测器平面垂直的平面中。

用于从数字断层合成系统捕获的影像来重建片层的一种技术被称为“移位并相加”。“移位并相加”技术基本上等效于常规运动断层照相系统中的影像形成过程。借助数字断层合成中包含的离散数量的影像曝光，简单的“移位并相加”操作对数字断层合成系统捕获的不同投影射线照相移位(如果有必要，并且按比例缩放)然后求和。对每个投影影像的适当移位的选择允许数字断层合成系统聚焦于在对象内的任意高度处存在的逻辑平面(即片层)上。就是说，影像重建的“移位并相加”技术导致平面外结构看起来“模糊”的影像(即它们以被相对于彼此而移位的几个低对比度拷贝的形式出现)，并且平面外结构的模糊的程度取决于其与支点平面或被重建的片层的距离。

图2说明了示出以上提及的“移位并相加”重建途径的原理的流程130。如图2中所示，对象114包括位于对象114的平面128上的结构(由正方形来表示)，以及位于与对象114的平面128不同的平面上的另一个结构(由三角形来表示)。为了说明的目的，假定垂直横截面132位于一平面中，该平面包含X射线源(或管)的迹线，以及位于对象114内的两个结构。该垂直横截面132导致正由检测器116检测的X射线113的不同角度处(即X射线源的不同位置处)的投影134。这些投影134然后被传送给计算机/数据处理单元118，其通过数据插值/重建过程122对投影134执行各种过程。这些过程包括对所检测的投影的移位和按比例缩放136，对结果的相加(或平均)，由此获得对单个平面128(其包括由正方形指示的结构)的重建140。任何平面外结构(如由三角形表示的结构)在所述重建中表现为“被模糊”的结构。就是说，对于X射线源110的离散位置，平面外结构(即三角形)的几个低对比度拷贝存在于重建影像(或片层)140中。如果对不同高度处的多个片层的重建是所需的，则借助不同的移位和按比例缩放参数来重复执行该过程(即对所检测的投影的移位和按比例缩放136，以及对结果的相加或平均138)。

数字断层合成的出现带来了以下两个效应。第一个效应是连接X射线源和检测器的机械结构是较不重要的。人们可容易地在数字上移位(如果需要，并且按比例缩放)可用的投影影像，这样对于不同的X射线源位置，待重建的平面的影像不需要具有相对于检测器的相同位置。事实上，可从投影影像的单个集合来重建整个被成像的三维体积，即人们不需要采集投影影像的新集合以重建新平面/片层。这是每个单个影像在数字上可用的结果，因此可调节每个影像的“移位”以使检测器和X射线源之间的任何任意的平面看起来是焦点对准的。因此，检测器根本不需要移动(尽管为了完全捕获对象的投影影像，这可能是所需的)。允许人们独立地移动检测器和X射线源的相同基本原理导致这样的事实，即X射线源位置不必全部处于检测器之上的相同高度处(即处于平行的平面中)，或者处于与检测器位置紧密协调的高度处。事实上，高度的任何任意的组合可被使用，因此系统几何结构可适合于手边的特定应用(乳房成像、胸部成像等)。

第二个效应，以及与常规运动断层照相的主要差异是重建方法现在可超出简单的“移位并相加”重建途径(其等效于常规运动断层照相中的影像形成过程)。借助“移位并相加”，人们看到与在常规运动断层照相中相同类型的平面外结构的模糊和伪影，而借助较为先进的重建算法，平面外伪影的影响可被极大地减小。就是说，已开发了可被用于去除上述伪影的许多技术。典型地，这些技术包含表征导致模糊的点分布函数，然后在空间或傅立叶域中对使用上述移位并相加方法获得的全3维重建去卷积。所述点分布函数典型地被假定为独立于空间中的位置，这意味着隐含地采用了平行投影或类似的近似。

重建对象的三维结构的另一种途径基于所谓的过滤反投，在其中在反投(并且求和/平均)投影影像之前过滤每个投影影像。该途径基于以下假设：X射线源和检测器旋转于公用轴上，并且为能直接使用该架构，借助断层合成系统而采集的投影影像必须首先被映射到该假定的几何结构，这导致影像质量的轻微降级。而且，过滤反投途径仅从具有来自X射线源的不同角度的大量投影的“完整”数据而产生精确的重建。

另外，有一种被称为代数重建技术(ART)的技术。在代数重建技术中，假定对象被表示为3维基函数的线性组合。该途径导致求解线性方程的大(尽管是稀疏的)系统，其可被迭代求解。

这些代数重建方法对测量噪声是敏感的，并且特定基函数的选择可导致所得到的线性方程系统的不连续性。

本发明的数字断层合成系统采集对象的多个投影射线照相并基于所采集的投影射线照相来重建对象的结构。例如，这些结构包括解剖学结构，如器官、血管和骨头。数字断层合成系统包括X射线源和检测器。X射线源发射X射线束。检测器被提供成相对于对象而与X射线源相对并具有被组织成行和列的像素。沿X射线源的线性迹线在相对于对象和/或检测器的X射线源的焦斑的不同位置采集投影射线照相。

更具体而言，本发明包括具有X射线源和数字检测器的数字断层合成系统。在本发明中，数字检测器包括规则配置的，如矩形或六边形的像素网格。在矩形像素网格中，行和列将形成90°角，而在六边形像素网格中，行和列将形成60°角。在本发明的一个实施例中，X射线源在例如轨迹上沿线性迹线移动。在本发明的一个实施例中，线性迹线位于与检测器平面平行的平面中，另外，线性迹线平行于检测器的像素行(或列)。这种特定的配置最优地适合于数字检测器，并结合成像体积的适当不规则离散化而允许使用很有效的重建技术。

图3示出本发明的数字断层合成系统200的概观。在本发明的数字断层合成系统200中，X射线源(或管)110发射照射在对象(或病人)114的X射线113。亦在本发明的数字断层合成系统200中，X射线源110在检测器216之上的基本恒定的高度处沿线性迹线212移动。

进一步的约束可与本发明一致而任选地施加于迹线212。进一步的约束之一是迹线212(如图8中所示)是线性的，并且处于检测器116之上的恒定高度处，而另一个约束是线性迹线212平行于检测器116的行或列，就是说存在从检测器表面延伸并与检测器元件的行或列对准的平面，其亦包含线性迹线212(如图5中所示)。

在随后的讨论中，通常参照的是X射线源(或管)110的焦斑位置的位置。X射线源(或管)110的取向可通过旋转而修改，而不改变焦斑位置，并且X射线源110的取向将典型地被调节以使发射束113的中心接近于或处于检测器216的中心。

焦斑是X射线源110的点状近似的位置。焦斑处于相对于X射线源110的元件的固定位置处。为了重建(在以下被讨论)的目的，焦斑表示X射线源110的位置。

这样，在数字断层合成系统200的一个实施例中，X射线源110由计算机/数据处理单元(处理器)218来定位以发射X射线113，其具有检测器216之上的恒定高度处的焦斑位置。

检测器216检测经过对象114的X射线113，并且对应于入射于检测器216的X射线的信号被发送给计算机/数据处理单元218。计算机/数据处理单元218亦控制X射线源110的移动。而且，计算机/数据处理单元218适合于执行各种过程，包括控制220X射线源110的移动，控制检测器216的读出和曝光时序，重建222成像对象114的内部结构的3维影像，以及执行224辅助处理和控制。

而且，在一个实施例中，重建的3维影像被传送给具有显示屏幕226的分离的专门计算机225以便于显示给用户。然而应认识到，显示器可以是计算机216的部分而不是分离的工作站。

图4示出具有被组织成行228和列230的像素的检测器216。而且，图4示出了在几何上存在于检测器平面232中的检测器216。在图4中所示的检测器216的实施例中，行228和列230彼此形成直(或90°)角。然而，在本发明的检测器216的另一个实施例中，行和列可彼此形成60°角，并由此被置于六边形配置中。

图5示出了本发明的数字断层合成系统200的一个实施例中X射线源110、X射线源110的迹线212和检测器平面232之间的几何关系。在本发明的该实施例中，对于每个像素行228(或列230)，存在(以三维)唯一限定的平面234，因此对于迹线212上的任何X射线源110位置，位于平面234内的(对象114的)所有结构被投影到对应的像素行228(或列230)上。

由于X射线源110沿线性迹线212移动，用于从所采集的影像来重建成像对象的结构的二维重建技术可由计算机/数据处理单元218来实施。具体而言，如果人们考虑包含线性迹线212的任意平面234，则该平面234与检测器平面232相交于一个线(如在图5中所示的实施例中为像素列230或像素行228)。所示平面234中的所有点被投影到位于检测器平面232中的所述线上的点上。这对于线性迹线212上的X射线源110的任何位置是真的。

另一方面，没有3维空间中的其它点被投影到检测器平面232的所述线(在图5的实施例中，其对应于像素行228或像素列230)上。因此，经过不同投影影像沿所述线的“剖面(profile)”(或横截面)包含了有关位于所述平面234中的成像对象114的结构的所有信息。因此，这些剖面允许对经过成像对象114的对应平面横截面的最优重建。

这样，在该架构中对对象114的全3维重建是通过执行对应于包含X射线源迹线212的平面234的平面横截面的对应2维重建来实现的。对象114的3维结构作为重建的2维结构信息的自然“补丁(patchwork)”而产生。

而且，在图5或图8的实施例中，由于X射线源110的迹线212位于与检测器平面232平行的平面内，在所述结构出现在到检测器平面232上的投影中时，对象114的结构的附加的“傅立叶域中的去耦”被提供。经过对象114的给定片层(假定其平行于检测器216)内的所有结构在其出现在投影影像中时被放大恒定的放大倍数。所述恒定放大倍数独立于沿X射线源110的迹线212的其特定位置，并且只是X射线源110在平行于检测器216的平面内的迹线212中移动的事实的结果。

因此，经过对象114的片层中的正弦“衰减结构”被看做由检测器216检测的每个投影影像中的正弦函数。该被投影的正弦函数的频率是原始结构以及恒定放大倍数的函数，而其相移取决于X射线源110的特定位置。

尽管独立于特定的X射线源110位置，恒定放大倍数的确依赖于经过对象114的所考虑的片层的高度；存在片层与检测器216的距离和关联恒定放大倍数之间的一对一关系。

因此，当根据正弦函数来表示投影影像(例如使用标准傅立叶变换)时，则每一个这些正弦项以用于经过对象114的每个片层的特定且唯一限定的频率而关联于正弦函数。仅这些特定频率处的对象114片层的正弦分量在形成由检测器216检测的投影影像中的所考虑的频率分量的过程中起作用。当重建成像对象114的3维结构时，傅立叶域中的这个唯一关系可被有利地使用，如在以下更详细讨论的。

图6示出本发明数字断层合成系统的几何关系的实例，其导致恒定的放大倍数：

$\frac{h}{h-z_0}$

现在参考图6，X射线源110(未在图6中示出)相对于位于检测器平面232中的检测器216(未在图6中示出)沿迹线212移动。例如，迹线212包括焦斑位置1和焦斑位置2。如果迹线212被包括在与检测器平面232平行的平面中，则用于给定高度z₀处的被包括在对象114中的结构的放大倍数对于沿迹线212而布置的所有焦斑位置是恒定的。就是说，来自焦斑位置1或来自焦斑位置2(位于检测器平面232之上的高度h处)的由X射线源110发射的每个X射线束113将位于检测器平面232之上的高度z₀处的结构放大以上提及的恒定放大倍数。

而且，在图5中所示的数字断层合成系统的实施例中，由于X射线源110的线性迹线212平行于检测器216中的像素列230或行228，其遵循以下情况：位于包含X射线源迹线212的平面中的结构所映射的线(分别)与检测器216的像素列230或行228平行。通过使用该特性，并使用适当的不规则(即非矩形)“体素结构”(即对包含待重建对象114的3维体积的离散化，见图7)，所需插值的计算复杂度以及分辨率的关联损失在本发明的数字断层合成系统200中被减小，这是因为仅一维函数而不是二维影像的插值由重建过程222来进行。此外，当使用之上提及的体素结构时，进行函数插值的点的相对位置被相对于检测器像素网格而固定(并且对于所有点是相同的)，因此对于给定处理器，可以以处理插值花费较少时间的有效方式来计算通过过程222进行的插值。

而且，通过使用以上提及的特性并使用适当的不规则“体素结构”(即对要重建的对象114的3维体积的离散化)，在使用用于重建的投影影像数据之前，投影影像数据的插值的主要部分(即图1中所示的过程122中包括的数据插值步骤)被避免。

该特性是有利的，这是因为在相关技术的数字断层合成系统100中，作为过程122的部分的插值过程固有地导致分辨率的损失并因此导致影像质量的损失。此外，通过相关技术的数字断层合成系统100来执行122中包括的插值过程一般需要附加的计算。

如果需要显示在规则(如矩形)网格上的被重建的体积，在执行重建步骤之后，用于被重建的体积的在不规则体素网格上的数据可被插值。

然而，通过首先在不规则体素网格(其最优地适合于本发明的数字断层合成系统200的几何结构并适合于检测器216的“自然”像素网格，见图7)上重建对象114的影像，对对象114的三维结构的重建被提供，而即使在进行图1中的过程122的实际重建之前，不像如通常在相关技术的数字断层合成系统中那样引入分辨率的损失。

这样，作为上述特性的结果，本发明的数字断层合成系统200的几何结构提供了以下益处，其导致成像对象114的重建的潜在优良的影像质量和较快的计算。

图7示出了与本发明的数字断层合成系统200关联的最优“体素结构”(或体素网格)。在图7中，平面M和N是位于成像对象114内的平面。体素的每个平面片层M、N通过对应于平面片层所位于的平面M、N的相应恒定放大倍数而映射于位于检测器平面232中的检测器216上的像素网格。举例来说，使用每个平面的第j行，第j行本身以及X射线源迹线(在图5的实例中)位于单个“重建平面”(其由此亦包含经过成像体积的对应横截面)内。这样，对位于任何水平平面M、N的行j上的点处的3维结构的重建是通过使用对应“重建平面”内的2维重建来实现。被用于该2维重建的输入数据由对应于位于检测器232(即平面0)的第j行中的检测器像素的投影影像的部分来给出。

将2维重建的集合组合成体积3维重建是直截了当的。根据特定要求，可已经以如图7中所示的方便形式提供了重建，或者对应3维体积中的任何给定点，重建的关联值是通过从与3维体积中的所考虑的点最接近的点处的2维重建计算插值值来计算的。

图7的不规则体素网格在用于通用断层合成系统200的本发明方法中亦是有用的，其中X射线管采用使焦斑位置处于检测器之上的恒定高度的位置(这对应于图8中所示的实施例)，这是因为体素之间的水平间距乘以对应的放大倍数(用于所述高度)导致检测器的像素间距。这样，可避免许多插值过程。在此情况下，可能有利的是旋转体素网格以使水平片层内的体素的行(或列)与线性X射线源迹线平行。

图8说明了本发明的数字断层合成系统200的另一个实施例，在其中X射线源110的迹线212处于检测器平面232之上的恒定高度处，但并不平行于检测器216的行228或列230。

图9说明了本发明的数字断层合成系统200的附加实施例，在其中X射线源110的迹线212不处于检测器平面232之上的恒定高度处。由于X射线源110的迹线212不位于检测器平面232之上的恒定高度处，迹线212不平行于检测器216的行228或列230。在图9中所示的实施例中，包括X射线源110的迹线212的线将与检测器平面212相交。

本发明的数字断层合成系统具有在胸部成像、乳房成像等以及应用的其它非医学领域(例如用于非破坏性评价)中的应用。

现在讨论用于图3中所示的3D结构重建222的一种方法。在以下方法中，对象114是从有限数量的数字射线照相术投影影像来重建的。亦在以下方法中，数字断层合成系统200的X射线源110采用全部位于检测器216之上的相同高度处的许多不同位置(在图3中被示出)，即在一个实施例中我们具有如图8或图5中所示的数字断层合成系统实施例。在另一个实施例中，数字断层合成系统200的X射线源110采用全部位于检测器216之上的相同高度处但不位于一个线上的许多不同位置。用于数字断层合成中的最优重建的以下方法、被称为基于傅立叶的方法，使用了以下事实：影像采集过程将位于检测器216之上的所选高度处的经过成像对象114的平面中的正弦衰减轮廓映射到在检测器216所检测的投影影像中观察到的正弦函数上。所述正弦函数包括高度相关的相位和频率移位。而且，相位上的移位亦取决于X射线源110的位置(在水平坐标系统中)。以上信息被用于从相应投影影像的傅立叶变换来重建经过对象114的水平片层的傅立叶系数。

在附加的实施例中，在用于数字断层合成中的最优重建的基于傅立叶的方法中，对象114位于有界体积内的约束或其它适当的约束被用于重建不能由傅立叶域中的关系单独确定的对象结构的分量。上述约束导致迭代过程，其提供对成像对象114的3维结构的最优估算的重建。

用于数字断层合成中的最优重建的基于傅立叶的方法可提供高影像质量，这是因为它最优地适合于数字断层合成系统200(在图5或图8的实施例中)的成像几何结构和断层合成采集过程。而且，用于数字断层合成中的最优重建的基于傅立叶的方法重建对象114的影像而不由于不适当的近似(如平行投影)而引入伪影或降级重建的影像质量。

用于数字断层合成中的最优重建的基于傅立叶的方法提供了一种用于从断层合成射线照相术投影影像来进行最优影像重建的方法，并最优地适合于不同X射线源110的位置位于与检测器216平行的平面中的数字断层合成系统几何结构。而且，用于数字断层合成中的最优重建的基于傅立叶的方法不显示出以上提及的“移位并相加”、过滤反投和ART技术的缺点。

在用于数字断层合成中的最优重建的基于傅立叶的方法中，假定X射线源110的相应焦点位置位于与检测器216平行的固定平面中。因此，在一个实施例中，X射线源110在检测器216之上的固定高度处的直线上移动。这可被通用于位于与检测器216平行的固定平面中的其它迹线。

亦在用于数字断层合成中的最优重建的基于傅立叶的方法中，假定许多投影影像是由数字断层合成系统200来采集的，这是因为用于数字断层合成中的最优重建的基于傅立叶的方法包含求解许多联立的N个未知数的N个线性方程，其中N是投影影像的数量。

对于具有遵循检测器之上的恒定高度处的线性迹线的X射线源110的数字断层合成系统200，位于包含所述线性迹线的平面上的所有点被投影到检测器平面232中的线上，如在图5和图8B中所说明的。而且，如在检测器平面232中所述而形成的不同投影线平行于彼此(以及线性迹线212)。就是说，位于包含X射线源迹线的平面中的结构的投影可被认为是基本上2维的，并且不相互干扰。这样，用于对象114的预定体积的3维影像的重建是通过以下而获得的：使用用于数字断层合成中的最优重建的基于傅立叶的方法通过求解从投影集合来重建平面中的结构的2维问题，并组合2维解的适当集合。

待成像的对象114被假定由多个(薄)片层来适当表示，其中每个片层都显示出不作为该片层内的高度的函数而变化的结构。因此，每个片层可被认为是基本上是2维结构(即影像)，并且经过这种片层的每个切割/轮廓(profile)基本上是1维函数。因此，可借助标准影像处理工具来处理每个片层。具体而言，将影像分解成正弦分量之和的2维傅立叶变换可被计算。类似地，对于经过片层和投影影像的每个切割，标准的1维傅立叶变换可被计算。

图10和图11说明了用于数字断层合成中的最优重建的基于傅立叶的方法所基于的原理。图10说明了取自对象的不同片层中的结构的频率之间的关系238以及如何从通过X射线源的投影来恢复最优估算。就是说，图10是检测器平面232之上的不同高度处的对应频率的说明，并示出了对应的傅立叶系数如何通过线性方程联立而链接。具体而言，图10仅示出位于经过对象的四个不同片层中的结构。实际上，影像体积通常将由被安排为片层“堆”(没有片层之间的显著间距)的较大量的片层来表示以表示整个成像体积。

如图10中所示，X射线源110从沿平行于检测器平面232的迹线212的焦斑1、2、3等处发射X射线。所发射的X射线行进经过对象114，其具有位于与检测器平面232平行的平面240、242、244、246上的结构。每个平面240、242、244、246位于检测器平面232之上的不同高度h处。就是说，如图10中所示，有位于检测器平面230之上的不同高度处但平行于检测器平面的不同平面240、242、244、246处的对象内的结构。由于所述结构并因此平面240、242、244、246位于与X射线源110的不同距离处，如图10中所示，在X射线行进经过每个平面240、242、244、246并照射在检测器平面232上时，由X射线源110发射的X射线束将把每个结构放大一个放大倍数，如在以下所说明的。

图10中的关系238示出了包含仅四个不同高度处的结构的对象114(即这些片层之间的体积被假定为在放射学上是透明的)。通过进行每个片层内的对象114的结构的傅立叶变换，每个片层都被分解成相应的正弦分量。图10仅描述了用于四个所考虑的片层中的每个的单个频率分量，其中为了说明的目的，在每个高度处采用了特定的相位，此外，这些正弦分量被假定为具有相等的振幅。实际上，给定高度处的正弦分量的相位和振幅是由该高度处的片层内的结构的傅立叶变换来确定的。

仅考虑焦斑位置1，四个高度240、242、244、246处的频率通过与每个高度关联的相应放大倍数而彼此联系。具体而言，如图10中的阴影区域239所说明的，在每个水平240、242、244、246处指示的正弦结构的全循环被投影到检测器平面232处的全循环上。就是说，对于给定频率(在检测器平面232处)，在每个高度240、242、244、246处正好有一个频率，其通过投影而映射于那个频率。这种简单关系是由与每个高度240、242、244、246关联的放大倍数来支配的。具体而言，不同高度处的频率之间的这种相同关系对于位于迹线212上的任何焦斑位置是成立的。此外，等价的关系对于位于其它高度处的片层内的结构是成立的。

此外，在关系238中，检测器处的投影影像被示出为每个高度240、242、244、246处的(对应放大频率处的)相应投影正弦曲线之和。对于焦斑位置1，正弦曲线的投影实际上都是相同的，即它们具有相同的频率、相位和振幅，因此，这个频率在检测器216所检测的所得投影影像中被放大。

再次参考图10，对于焦斑位置2，由于有相同放大倍数的事实，正弦分量被映射到投影影像的正弦分量上，其具有与相对于焦斑位置1的对应投影相同的频率。然而，来自两个最高片层240、242的正弦曲线在投影影像中相互抵消，因此由检测器216检测的投影影像包含与关联于焦斑位置1的投影影像相同频率的但具有与针对焦斑1所获得的相比而不同的相位和较小的振幅的正弦。

对于焦斑位置3，更小的振幅被检测器216检测。在数学上，在检测器216处观察到的正弦曲线的复振幅(即振幅和相位)是对象114内的结构的不同高度240、242、244、246处对应频率分量的复振幅的线性组合(具有绝对值一的复权重)。在图10中所示的实例中，这导致四个(等于现有片层的数量)未知数的三个(等于焦斑位置的数量)线性方程的系统。该线性方程系统是不确定的，这是因为有比方程多的变量，但解的最优估算是可确定的。对于X射线源的每个焦斑位置并对于每个频率，存在与所考虑的片层集合关联的权重集合(其是复的并且具有绝对值一)。对于每个所考虑的焦斑位置，这些权重可被收集成矢量(其被称为“特征垂直轮廓(characteristic verticalprofile)”，这是因为矢量的每个元素对应于不同的高度)。最优解(被称为“最优轮廓”)然后被确定为存在于通过所述特征垂直轮廓所跨越的矢量空间中并满足投影方程的系数集合。同样，确定最优轮廓中的系数的特征垂直轮廓的线性组合由该过程来确定。每个都用特征垂直轮廓的对应值来加权的最优垂直轮廓中的系数之和为对应的焦斑给出对应频率处对应投影的正确傅立叶系数。与特征轮廓类似，最优轮廓是包含系数的矢量，其中每个系数都对应于不同的高度并且指示对应频率处对应高度处的片层内的结构的傅立叶变换的系数的最优估算。在图10的实例中，经过对象114的垂直傅立叶系数轮廓的最优估算被给出为四元素矢量，其位于与每个焦斑关联的特征垂直轮廓所跨越的空间矢量中并满足投影方程，即最优轮廓与特征轮廓的标积具有相应投影的傅立叶系数的对应复振幅的值。这些关系以在以下公开的方程(3)-(5)中的其最一般形式而被提供。注意，这样的关系对于每个所考虑的频率都成立，并且特征垂直轮廓作为所考虑的频率的函数而变化。

图11说明了关系241，其表明相移是正弦分量的频率和高度的函数。更具体而言，图11示出了两个不同平面250、252(位于检测器平面232之上的不同高度处)处的相应对应频率的对象114的两组结构。

更具体而言，图11说明了关系241，其示出与投影映射关联的平移(和放大)如何对应于正弦分量的相移，以及该(相对的)相移如何取决于平面250、252的高度和对象114(未在图11中示出)内的结构的频率254、256以及焦斑1和2之间的距离。

图11描述了两个不同高度250、252处的平面处的相应对应频率254、256的两组正弦结构。对应于频率1(254)的结构由实线来指示，而对应于频率2(256)的结构由虚线来指示。为清楚起见，用于不同频率254、256的结果投影被单独示出。对于频率254、256两者，粗实线指示从焦斑1得到的投影(该投影对于两个高度250、252处的相应结构是重合的)。虚线指示相对于焦斑2的上平面250结构的投影，而点划线指示相对于焦斑2的下平面252结构的投影。(相对的)相移(其与由循环长度划分的平移成比例)随以下而增加：

焦斑之间的增加的距离，

正弦结构(检测器216之上)的位置的增加的高度，

增加的频率。

这些关系说明了有助于在以下建立方程(2)的基本原理。就是说，对于给定的焦斑位置和给定频率，相移仅取决于所考虑的结构所位于的检测器216之上的高度。对于不同的焦斑位置，该关系改变，这样一种事实，其被用于恢复有关给定高度处给定频率的结构的相位和振幅的信息。

图12是对应于以上提及的基于傅立叶的方法的流程图260，该方法用于由数字断层合成系统200来执行的数字断层合成中的最优重建。图12中所示的基于傅立叶的重建的流程图260包括对每个投影影像的独立处理261，对每个频率分量的独立处理265(其利用了有关系统几何结构/焦斑位置267的信息)，对经过对象114的每个水平片层的独立处理271，以及通过结合有关对象114的支持(或空间范围)或其它约束的信息来改进重建的任选迭代过程247。

如图12中所示，上述过程261、265、271和277被执行如下。尽管以下描述涉及对经过被重建的体积的片层和投影影像的2维处理，在一个实施例中，用于数字断层合成中的最优重建的基于傅立叶的方法的二维版本被使用，如在以上所讨论的。该实施例具体而言意味着对经过投影影像的对应切割和经过被重建的体积的片层的1维傅立叶变换被使用。

对每个投影影像的独立处理261是由如所说明的过程262和264来执行的。针对不同焦斑位置由数字断层合成系统200来采集262投影影像。接下来，每个影像的上述2维傅立叶变换由数字断层合成系统200来计算264。

对每个频率分量的独立处理265是由如所说明的过程266、267、268和270来执行的。对于每个频率，对应频率分量的傅立叶系数为所有投影影像而被收集266。有关系统几何结构/焦斑位置267的信息由如所说明的过程268和270来利用。对于每个频率，连接投影影像的傅立叶系数与对应频率处傅立叶系数的某些特征垂直轮廓的线性方程系统被求解268。这些方程由X射线源110的焦斑位置267和所考虑的频率来确定。对象114的每个高度h处的对应频率通过与对应高度关联的放大倍数而连接于投影影像中的所考虑的频率。对于X射线源110的给定焦斑位置，在检测器216处捕获的影像的傅立叶系数是经过成像对象114的水平片层关联频率处的傅立叶系数的线性组合。该线性组合的复权重全部是绝对值1，但相位不同。这些权重完全由所考虑的频率、焦斑位置和经过对象114的关联片层的高度来确定，并且如果焦斑位置被事先固定，则其被预先计算。对于每个频率并对于每个所考虑的焦斑位置，矢量中的这些权重(用于所有高度)的集合表示关联的特征垂直轮廓。

通过计算由通过268获得的系数来加权的与焦斑位置(对于对应的频率)关联的特征垂直轮廓的线性组合，为每个频率而确定270最优垂直轮廓。

对经过对象114的每个片层的独立处理271是由如所说明的过程272、274和276来执行的。对于正由数字断层合成系统200重建的经过对象114的片层的每个所考虑的高度，通过确定所考虑的高度处对于所有频率的对应最优垂直轮廓的值来收集272(在所考虑的高度处)所有频率的傅立叶系数。

对于每个所考虑的高度，逆傅立叶变换被计算274。结果是仅基于由投影给出的信息在每个所考虑的高度处由数字断层合成系统200对对象114进行的最优重建267。

通过使用有关对象114的支持(即空间范围)的可用附加信息，通过将位于支持(或有界体积)以外的重建的所有元素设置成零，重建被限制278于所述支持。支持是函数不为零的区域/体积。在一个实施例中，支持是对象114与不存在对象114的区域相对而存在的体积。如果对象114的支持不是预先已知的，则所谓的有界体积(boundingvolume)可被使用，其是由有关成像对象的现有知识而限定的体积，其包含对象114(但其可能比对象114的支持大)。一般而言，有界体积越小，对象114的重建的质量越好。在另一个实施例中，附加约束可包括基于有关成像对象的现有知识和物理原理，将被重建的体积中的值限制于物理上有意义的范围。

任选的迭代过程277是由如所说明的过程278、280和282来执行的。对于重建260的以下迭代更新277，经过对象144的相当数量的片层被重建。对于每个焦斑位置，重建对象114的对应投影被计算280。该过程280是通过以下来实现的：沿经过重建对象114的线来计算明显线积分(obvious line integral)，或在傅立叶域中通过首先计算经过对象114的每个被重建的片层的傅立叶变换(在将对象114限制于所述支持和/或施加其它约束之后)，然后计算不同高度h处的对应频率分量的垂直轮廓与由焦斑位置和所考虑的频率给出的特征垂直轮廓的标积。

新投影与原始投影影像的差异被计算282。通过将该差异用作对重建算法的输入(即对过程264的输入)，重建对象114的当前估算被迭代更新。

用于数字断层合成中的最优重建基于傅立叶的方法适用于2维情况(其对应于通过遵循线性迹线的X射线源110来采集投影影像的专门情况)和3维情况两者，所述3维情况在X射线源110遵循检测器之上的恒定高度处的较一般迹线(即不是线性迹线)的较一般情况下是特别感兴趣的。在2维情况下，图12的流程图260的所有过程以其确切顺序被使用，但不是处理投影影像现在“投影轮廓”被使用，其中这些投影轮廓是通过提取沿某些线的影像的值从投影影像而获得的，如以上所讨论的。如以下所述，2维情况被详细说明，随后是对3维情况的说明。2维情况给予了优于3维情况的计算效率，所述3维情况可给予优良的影像质量。

现在参考用于数字断层合成中的最优重建的基于傅立叶的方法的2维情况，考虑给定高度z＝z₀处的经过对象114的水平片层(如图6中所示，更具体而言，如图13中所示)。该高度z₀处的对象114的(局部变化的)衰减由轮廓o_z(x)来表示，其中x表示沿水平轴的位置。该轮廓亦可被表示为傅立叶积分，

$o_z\left(x\right)=\underset{w}{\∫}{p}_z\left(w\right)e^{\mathrm{iwx}}\mathrm{dw},---\left(1\right)$

其中p_z(w)表示轮廓o_z(x)的傅立叶变换。简化假设包括x轴是无穷的，即x∈R，并且对于不存在对象114的位置的所有x，轮廓o_z(x)是零。z分量以相同方式被处理，由此简化了正式表示中的符号。

单个扇形束投影

图13示出说明使用单个扇形束投影的上述放大倍数的图300。现在参考图13，所考虑的焦斑位置113具有x分量s和检测器平面232之上的高度h。这样，焦斑位置113具有坐标(s，h)^T。相对于该焦斑位置113的X射线束112的扇形束投影将高度z处的经过对象114的片层以系数κ＝h/(h-z)放大，并将点(s，z)映射到点(s，0)上。

因此在上述情况下，水平轮廓o_z(x)被映射到其以下的平移且按比例缩放的版本(其检测器216处被观察到)上：

$o_z(\frac{1}{\mathrm{\κ}}x+\frac{\mathrm{\κ}-1}{\mathrm{\κ}}s)=\frac{h}{h-z}\∫p_z\left(\frac{h}{h-z}w\right)\·e^{\mathrm{iw}\frac{z}{h-z}s}{e}^{\mathrm{iwx}}\mathrm{dw}.$

该方程的较详细的推导在以下被提供。第二个表达式(即等号右侧上的表达式)表示图13中所示的高度z处的水平轮廓o_z(x)的扇形束投影的傅立叶变换表示。因此，投影影像(其包括所有高度z处的对象114的片层的投影的叠加)包括以下形式的傅立叶系数

$q_s\left(w\right)=\underset{z}{\∫}{p}_z\left(\frac{h}{h-z}w\right)\·\frac{h}{h-z}\·e^{\mathrm{iw}\frac{z}{z-h}s}\mathrm{dz}.---\left(2\right)$

方程(2)将对象114的每个片层的单个傅立叶系数(即p_z)链接于投影的单个傅立叶系数(即q_s(w)，其中下标s表示对应于所述投影的特定X射线源110位置)。

从Q_s对P_z的重建

方程(2)是函数

和的标积(相对于平方可积复函数的希尔伯特空间)。这样，从这些系数q_s(w)(对于不同的焦斑位置(113)s，即对于s_n，n＝1..N)，位于函数 $e_n\left(z\right)=(\frac{h}{h-z}\·e^{-\mathrm{iw}\frac{z}{z-h}{s}_n}),$ n＝1..N所跨越的空间中的函数

(被看做高度z的函数)的分量能被确定。没有其它信息被包含在这些系数中，并且没有任何附加的假设，则没有附加信息可从投影影像被获得。

具体而言，相对于函数e_n(z)所跨越的空间的(作为z的函数)的最小平方近似由以下给出

${p_z}^{\′}\left(\frac{h}{h-z}w\right)=\underset{n=1..N}{\mathrm{\Σ}}{c}_n{e}_n\left(z\right)---\left(3\right)$

其中系数c_n由以下线性方程系统(具有复系数)来确定

$\left(\begin{array}{ccc}{E}_{11}& \mathrm{\Λ}& E_{1N}\\ M& O& \\ E_{N1}& & E_{\mathrm{NN}}\end{array}\right)\·\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ M\\ c_N\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{q}_1\\ M\\ q_N\end{array}\right),---\left(4\right)$

并且矩阵元素E_mn由以下给出

$E_{\mathrm{mn}}=\underset{z}{\∫}{e}_m\left(z\right)\stackrel{\‾}{e_n\left(z\right)}\mathrm{dz}=\underset{z}{\∫}{\left(\frac{h}{h-z}\right)}^2\·e^{\mathrm{iw}\frac{z}{z-h}{s}_m}{e}^{-\mathrm{iw}\frac{z}{z-h}{s}_n}\mathrm{dz}---\left(5\right)$

对于预定焦斑位置s_n、s_m，其可被容易地评价。

该结果(3)在其使用所有可用信息的意义上是最优的，并且不产生任何附加信息。而且，仅当函数e_n(z)线性独立时，方程(4)中的矩阵是(正则的并因此是)可逆的。如果不是这样，则需要较为仔细的(尽管仍是相当基本的)分析来确定的最优近似。

类型(4)的方程针对每个所考虑的频率w而被求解以获得在频率w范围上的对象114的结构的最优重建。

引入附加约束

上述方法确定了相对于所考虑的傅立叶域表示的对象114的最优重建。由于对象114的范围被限制，上界和下界(x和y方向两者上)可被先验假定以使整个对象114被包含在由这些边界限定的体积中。有界体积的特定形状并不被约束为立方体或甚至矩形形状。然而，为获得最佳结果，有界体积应尽可能小。附加约束亦可包括基于有关成像对象的现有知识和物理原理将被重建的体积中的值限制到物理上有意义的范围。

具体而言，重建对象114(被看做(x，y，z)的函数)是以下两个函数空间的元素：

在有界体积以外为零(并且/或者满足其它约束)的函数的空间S的元素，以及

正好产生给定投影影像集合的函数，即满足方程(2)的函数的空间Q’的元素，其中函数q_sn(w)完全由投影影像来确定。确切地说，Q’是所谓的仿射空间，而不是希尔伯特空间。

交替投影确定最优重建

先前得到的傅立叶域重建产生了作为空间Q’的元素的函数，但通常该函数将不同时是S的元素。交替投影途径包括更新所述解以使两个约束之一被交替地满足。另外，交替投影途径收敛于符合两个条件的解。

图14示出说明交替投影途径的图310。如图14中所示，解的初始估算被确定。该初始估算然后如图14中的图310所示而被更新。在第一更新中，函数被加给初始估算，其补偿位于对象114的有界体积以外的非零分量。其结果是位于函数空间S中的估算。然而，这又导致不与所采集的投影影像一致的投影。补偿该偏离的分量然后被确定，并且所述解的新近更新的估算现在再次是Q’的元素。该途径迅速收敛并被说明于图14中。

在图14中，P表示导致“零”投影的函数的，即不通过投影看到的函数的空间，而Q表示完全由其投影确定的函数的空间。类似地，S表示在所限定的有界体积以外为零的函数的空间，而T是在所述体积内为零的函数的空间。找寻解(sought-for solution)位于空间S中，而原始重建仅递送空间Q中的重建。迭代过程估算处于空间P中的，即不能通过投影观察到的解的分量。

借助图14中所示的过程而获得的解可能仍不是精确解，即成像对象的被重建的三维结构可能与实际对象不相同，尽管图14建议了其它情况。这是以下事实的结果：S和Q’的相交将通常包含多于一个“点”(即函数)。

此外，确定作为Q’和S两者的元素的解并不局限于在之上所述的交替投影方法，而是可使用其它途径而得到。

对过程的离散化

对过程的离散化是相对直截了当的。x和y上的自然离散化网格典型地由数字检测器216(图1、3和4)的像素网格来确定。采用离散傅立叶变换(x/y上)导致周期性函数(如果该函数被解释成被限定于甚至所考虑的间隔以外)。这样，在选择函数被限定的间隔时必须小心以完全使用对象在包围对象114的某个预定体积之外为零的约束。另一方面，z分量上的离散化网格不取决于检测器216网格的间距。z上的适当间距可被选择为最大投影角度(对于较大的投影角度，可能需要z上的较细的离散化)的函数。由于与经过影像对象的不同水平平面关联的固有放大倍数，可能有利的是使用如图7中所说明的体积的离散化，其中每个水平片层内的网格的x/y(即水平)间距依照对应的放大倍数而被调节。

用于数字断层合成中的最优重建的基于傅立叶的方法的推导

以下是对以上提及的用于数字断层合成中的最优重建的基于傅立叶的方法的推导的讨论。

基本原理

为推导用于数字断层合成中的最优重建的基于傅立叶的方法，首先采用平行投影方案(这与在实际中遇到的扇形束投影方案相反)，并且X射线源110沿与检测器平面232平行的迹线212移动。而且，2维情况被提供，其通用于3维情况。

图15是示出2维对象成像安排和坐标系统的图290。更具体而言，图15是说明对推导基于傅立叶的重建技术有用的平行束投影情况的图。就是说，在图15中，放大倍数是1，而独立于高度，这消除了作为高度的函数的频率的按比例缩放。这样，当与对象的高度相比时，如果X射线源的焦斑位置的距离是大的，则图15说明了对真实世界的近似。

检测器216(在图15中被指示为检测器平面232)被(没有一般性的损失)假定在z＝0的高度处是水平的，并且成像对象114位于检测器平面232之上。具体而言，假定X射线源(未在图15中示出)发射角度θ(如从垂直轴z来测量)处的平行X射线292束。平行X射线束将是理想情况，这是因为X射线源110将处于与检测器平面232的无穷距离，并且上述放大倍数将等于1(无关于所考虑的高度)。

现在考虑在给定高度z＝z0处经过对象的水平切割。该高度处对象的(局部变化的)衰减可由轮廓o_z(x)来表示，其中x表示沿水平轴的位置。此外，该轮廓可被表示为傅立叶积分，

$o_z\left(x\right)=\underset{w}{\∫}{p}_z\left(w\right)e^{\mathrm{iwx}}\mathrm{dw}.---\left(6\right)$

具体而言，采用无穷的x轴，即x∈R，并且对于不存在对象114的所有x，轮廓o_z(x)被认为是零。z分量以完全相同的方式被处理，其显著地简化了形式表示。

平行投影(如图15中所示)将对象114的所考虑的轮廓映射到其平移(移位)的拷贝上，其中移位的量取决于所考虑的轮廓的高度z以及投影的角度θ。具体而言，对于投影角度θ(如从垂直的z来测量)并对于经过对象的所考虑的切割的高度z，移位的长度是ztanθ。就是说，高度z处的衰减轮廓被映射到“投影轮廓”o_z(x-ztanz)上。

对于角度θ处的单个投影，进行对经过所考虑的对象的所有水平片层的投影的叠加(即进行对所有高度z处的轮廓的适当移位的版本的叠加)，因此检测器216处的所观察的轮廓具有以下形式

$P_{\mathrm{\θ}}\left(x\right)=\underset{z}{\∫}{o}_z(x-z\tan \mathrm{\θ})\mathrm{dz}.$

将傅立叶表示(6)插入到该表达式中，人们得到

$P_{\mathrm{\θ}}\left(x\right)=\underset{z}{\∫}\underset{w}{\∫}{p}_z\left(w\right)e^{\mathrm{iwx}}{e}^{-\mathrm{iwz}\tan \mathrm{\θ}}\mathrm{dwdz}.$

以标准傅立叶积分形式重写以上表达式得到

$P_{\mathrm{\θ}}\left(x\right)=\underset{w}{\∫}{q}_{\mathrm{\θ}}\left(w\right)e^{\mathrm{iwx}}\mathrm{dw},$

其中傅立叶系数q_θ(w)具有以下形式

$q_{\mathrm{\θ}}\left(w\right)=\underset{z}{\∫}{p}_z\left(w\right)e^{-\mathrm{iwz}\tan \mathrm{\θ}}\mathrm{dz}.---\left(7\right)$

因此，投影影像P_θ(w)的傅立叶系数q_θ(w)通过方程(7)而联系于经过成像对象114的所有水平片层的傅立叶系数p_z(w)。具体而言，频率w处的傅立叶系数q_θ(w)仅为完全相同的频率处水平对象114的傅立叶系数的函数。

对象“片层”(在特定频率处)的傅立叶系数的最优重建

假定有几个角度θ_n，n＝1..N处的投影。则不同投影影像的傅立叶系数允许以下形式的表示

$q_{{\mathrm{\θ}}_n}\left(w\right)=\underset{z}{\∫}{p}_z\left(w\right)e^{-\mathrm{iwz}\tan {\mathrm{\θ}}_n}\mathrm{dz},---\left(8\right)$

其是基本上表示相对于平方可积复函数的希耳伯特空间的标积的表达式，具体而言，根据这些系数，位于函数e^iwztanθn，n＝1..N所跨越的空间中的函数p_z(w)的分量被确定。没有其它信息被包含在这些系数中，并且没有任何附加假设，则没有附加信息可从投影影像而被获得。

现在说明从形式(8)的标积来确定p_z(w)的最优估算的原理。

从基本线性代数，实值的(列)矢量p的最小平方近似是从标积集合 $q_n=e_n^{T}p$ 来恢复的，其中矢量e_n和值q_n是已知的。具体而言，

$(\left(\begin{array}{c}{e}_1^T\\ M\\ e_N^T\end{array}\right)\·\left(\begin{array}{ccc}{e}_1& \mathrm{\Λ}& e_N\end{array}\right))\·\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ M\\ c_N\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{q}_1\\ M\\ q_N\end{array}\right).---\left(9\right)$

e_n是列矢量，而c_n和q_n是标量，并且对T幂的提升(raising)表示转置的矢量。

求解该线性方程系统导致解矢量c，从而使

$p^{\′}=\left(\begin{array}{ccc}{e}_1& \text{\Λ}& e_N\end{array}\right)\·\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ M\\ c_N\end{array}\right)=\underset{n=1..N}{\mathrm{\Σ}}{c}_n{e}_n$

是相对于矢量e_n所跨越的空间对p的最小平方近似。该结果在它使用所有可用信息的意义上是最优的，并且不产生任何附加信息。仅当矢量e_n线性无关时，方程(9)中的矩阵是(正则的并因此是)可逆的。如果不是这样，则需要较为仔细的分析来确定p的最优近似。

在用于数字断层合成中的最优重建的基于傅立叶的方法中存在类似的情况，但用于数字断层合成中的最优重建的基于傅立叶的方法处理复值函数而不是实值矢量，并且考虑平方可积复函数的希耳伯特空间而不是有限维矢量空间。具体而言，值q_n在此由q_θn(w)来替换，并且矢量e_n由函数e^iwztanθn来替换。完全以与以上所概括的相同的方式，获得了其元素现在由函数e^iwztanθn的成对标积来给出的矩阵，即该矩阵的元素(m，n)具有以下形式

$\underset{z}{\∫}{e}^{\mathrm{iwz}\tan {\mathrm{\θ}}_m}{e}^{-\mathrm{iwz}\tan {\mathrm{\θ}}_n}\mathrm{dz},$

其对于预定投影角度θ_n是容易被评价的。求解所得到的线性方程系统(具有复系数)提供了系数集合c₁，..，c_N，并且

${p^{\′}}_z\left(w\right)=\underset{n}{\mathrm{\Σ}}{c}_n\·e^{\mathrm{iwztna}{\mathrm{\θ}}_n}$

表示用于所有高度z的(固定)频率w处的傅立叶系数p_z(w)的最优重建(即在w被固定时，p_z(w)在此被解释为z的函数)。类似的线性方程系统对每个所考虑的频率w而被求解。

连接到傅立叶片层定理

对方程(7)的一个解释是计算与频率wtanθ关联的函数p_z(w)(被认为是对于固定频率w的高度z的函数)的傅立叶变换系数。这也意味着q_θ(w)是与2维对象o_z(w)＝o(z，w)的2维傅立叶变换的频率(w，wtanθ)关联的傅立叶系数。该关系基本上是傅立叶片层定理的再形成，该定理论述了(平行)投影的一维傅立叶变换等于对象的二维傅立叶变换的角度θ处的中心片层。

对3维情况的概括

现在说明对先前发展的2维的用于数字断层合成中的最优重建的基于傅立叶的方法的概括。

由于经过成像对象114的水平片层以及到检测器216上的其投影是2维的，标准的2维傅立叶变换被利用。在此情况下的傅立叶基函数由1维傅立叶基函数的笛卡儿积来给出，即傅立叶系数现在由x方向上的频率和y方向上的频率两者来作为索引。如在2维情况下，经过对象114的片层被映射到其平移的版本上。

该平移(translation)被分成x和y分量，随后是对2维情况的进一步概括。同样，投影的傅立叶系数通过类型(7)的方程而链接于经过对象114的所有水平片层的傅立叶系数，并且线性方程系统被求解以从投影的傅立叶系数来确定对象“片层”的最优傅立叶系数。

如较早时所讨论的，在处于检测器平面之上的恒定高度处的X射线源110的线性迹线的情况下，不需要这个3维过程，但它可被任选地用在该情况下。然而，如以上所讨论的，与三维重建相比，二维重建提供了计算优点。

对扇形束投影的概括

假定所考虑的焦斑位置具有x分量s和检测器216之上的高度h(即它具有坐标(s，h)^T)。相对于该焦斑位置的扇形束投影将高度z处的经过对象114的片层放大κ＝h/(h-z)倍，并将点(s，z)映射到点(s，0)上。因此在该情况下，水平轮廓o_z(x)被映射到其以下的平移且按比例缩放的版本(其检测器216处被观察到)上：

$o_z(\frac{1}{\mathrm{\κ}}x+\frac{\mathrm{\κ}-1}{\mathrm{\κ}}s)=o_z((1-\frac{z}{h})x+\frac{z}{h}s)={\∫p}_z\left(w\right)e^{\mathrm{iw}(1-\frac{z}{h})x}{e}^{\mathrm{iw}\frac{z}{h}s}\mathrm{dw}.$

上述表达式是通过根据其傅立叶变换(类似于方程(6))来重写o_z(x)而获得的。进行变量的变化得到

$o_z(\frac{1}{\mathrm{\κ}}x+\frac{\mathrm{\κ}-1}{\mathrm{\κ}}s)=\frac{h}{h-z}{\∫p}_z\left(\frac{h}{h-z}w\right)e^{\mathrm{iw}\frac{z}{h-z}S}{e}^{\mathrm{iwx}}\mathrm{dw}.$

上述表达式表示高度z处的水平轮廓o_z(x)的扇形束投影的傅立叶变换表示。它紧接着遵循的是投影影像(其包括对所有高度z处的片层的投影的叠加)具有以下形式的傅立叶系数

$q_s\left(w\right)=\underset{z}{\∫}{p}_z\left(\frac{h}{h-z}w\right)\·\frac{h}{h-z}\·e^{\mathrm{iw}\frac{z}{z-h}s}\mathrm{dz}.---\left(10\right)$

该表达式对应于针对平行投影情况的方程(7)。现在，如在平行投影情况下，该方程将每个片层的单个傅立叶系数链接于投影的单个傅立叶系数。然而，由于扇形束投影的放大特性，这些傅立叶系数不全与相同的频率w关联。此外，该方程不能被解释为傅立叶变换，尽管如果z比h小的多(即如果对象的最大高度相对于X射线源110的焦斑的最小高度是小的)，则它当然可被认为是近似。注意，在以上得到的那个方程(10)正好对应于较早时给出而没有详细推导的方程(2)。

引入附加约束

对于单个频率处的傅立叶系数的重建(并且对于所有高度z，参考方程(8))，对对象114的最优重建如以上所述被获得，其是针对所有频率而进行的。

尽管一般而言，对象114的范围被限制，并且先验的下界和上界(x和y方向两者上)被假定以使整个对象114被包含在这些边界之间的体积中。这意味着o_z(x)在给定间隔以外为零。从o_z(x)基本上是p_z(w)的傅立叶变换的事实，它遵循的是p_z(w)是带受限的。这具体而言意味着被看做频率w的函数的p_z(w)是光滑的。值p_z(w)和p_z(w+δ_w)不再是不相关的(当这看来是较早时的推导方程(8)时的情况)。具体而言，谱p_z(w)已完全由相等隔开的采样p_z(w_k)来确定。从这些采样，通过用正弦函数的适当版本

来插值，针对所有的w而恢复函数p_z(w)。该约束将通常不被先前重建的函数p_z(w)满足，其中用于每个频率w的基本上分离且独立的关系被使用。这是以下事实的结果：仅有关对象114的部分信息被使用，也就是其投影的傅立叶表示。

这个新的空间约束(和/或如以上所述的其它约束)被使用如下。可以看到，使用上述交替投影的途径适用于迭代地重建对象114以使两种类型的约束(傅立叶和空间)均被符合。

具体而言，重建对象114是以下两个函数空间的元素：

在有界体积以外为零(并且/或者满足其它约束)的函数的空间S，以及

正好“产生”投影集合的，即满足方程(2)的函数的空间Q’，其中函数q_s(w)完全由投影影像来确定。(确切地说，Q’是仿射空间而不是希耳伯特空间)。

先前推导的重建得到作为空间Q的元素的函数，但通常该函数将不同时是S的元素。

以上提及的交替投影途径更新所述解以使两个约束之一被交替地满足。该交替投影途径收敛于符合两个条件的解。

其它概括

与每个频率和每个焦斑位置关联的特征垂直轮廓与可从不同高度处的经过对象的片层的傅立叶变换得到的傅立叶系数的对应垂直轮廓之间的关系，即使对于仅单个焦斑位置仍是被满足的。如果有对象的初始重建(当没有初始重建可用时，其亦可处处为零)，该重建对象的对应垂直轮廓(对于所有频率)被获得，并且重建对象然后被更新以使所述垂直轮廓是最优的(相对于所述焦斑，并且对于所有频率)。这对应于在以上所述的情况，其中仅两组投影影像的傅立叶空间信息被包括，仅有的差异是仅有单个焦斑。即使有多于一个焦斑，该步骤然后对每个焦斑而被重复。为获得“最优”的重建，该步骤被一再重复，同时依次步进经过不同的焦斑。该途径最终收敛。这样，本发明的重建方法甚至可通用于其它方案，在其中焦斑不必位于相同高度处(例如在图9中所示的本发明实施例中)，并且对于在重建的已有估算之上的改进是特别有用的。这样，尽管上述基于傅立叶的重建方法是基于使用并估算对应频率处傅立叶系数的一般思想，并且有效地利用了这些关系，然而这种相同的原理可被用在更为一般的方案中，具体而言用于不是所有焦斑位置位于检测器之上的相同高度处的系统几何结构。此外，在图9中所示的本发明实施例的架构中，使用傅立叶域信息的迭代步骤可与使用有关有界体积或成像对象的支持的信息的上述迭代步骤交替地使用，从而获得对交替投影途径的概括。

在另一个实施例中，用于数字断层合成中的最优重建的基于傅立叶的方法可被用于仅重建成像体积中的某些频率分量。例如，如果仅成像体积的边缘是感兴趣的，则人们可能想要仅重建对应于高频的分量，这是因为边缘大多数情况下是由其高频内容来表征的。此外，由于用于数字断层合成中的最优重建的基于傅立叶的方法有效地去耦成像体积中的不同频率，并允许单独重建特定频率处的分量，人们亦可使用本发明的方法来重建特定频率处的分量，而所有其它分量可借助不同的重建方法来重建。

已为了说明和描述的目的而提供了对本发明的以上讨论。此外，本说明书并不旨在将本发明局限于在此公开的形式。因此，与以上的教导和相关技术和知识相当的变化和修改处于本发明的范围内。以上所述的实施例进一步旨在说明实施本发明当前已知的最佳模式，并且使本领域的其它技术人员能同样地，或者在其它实施例中，并且借助其特定应用或本发明的使用所需的各种修改来利用本发明。想要的是，所附权利要求应被理解成在现有技术允许的程度上包括可替换的实施例。

Claims (2)

1.一种使用具有X射线源和数字检测器的系统的数字断层合成的方法，包括下列步骤：

(1)基于由X射线源(110)发射的X射线束(113)使用检测器(116，216)来采集对象(114)的投影射线照相；以及

(2)控制所述X射线源(110)并处理从所述检测器(116，216)接收的数据以使投影射线照相沿X射线源(110)的线性迹线相对于所述检测器(116，216)在X射线源(110)的焦斑的不同位置被采集，其中所述X射线源(110)以与检测器(116，216)有恒定距离的线性迹线移动；

(3)在检测器(116，216)处捕获影像；

(4)独立处理(261)每个投影射线照相，其中所述独立处理(261)每个投影射线照相的步骤包括下列步骤：

(a)从X射线源(110)的不同的焦斑位置采集投影影像(262)；

(b)计算(264)每个影像的2维傅立叶变换；

(5)独立地处理(265)每个频率分量，其中所述独立地处理(265)每个频率分量的步骤包括下列步骤：

(i)为所有的投影影像收集(266)对应频率分量的傅立叶系数；

(ii)对于每个频率，求解(268)连接投影影像的傅立叶系数与对应频率处傅立叶系数的某些特征垂直轮廓的线性方程系统；

(iii)通过X射线源(110)的焦斑位置和所考虑的频率来确定(267)线性方程，

其中对象(114)的每个高度h处的对应频率通过与对应高度关联的放大倍数而连接于投影影像中的所考虑的频率，以及

其中对于X射线源(110)的给定焦斑位置，在检测器(216)处捕获的影像的傅立叶系数是经过成像对象(114)的水平片层关联频率处的傅立叶系数的线性组合，以及

(6)基于所采集的投影射线照相重建对象(114)的结构。

2.根据权利要求1所述的方法，还包括：

通过以下步骤来独立地重建提供在对象(114)的平面中的3维结构：从在所采集的投影射线照相中提供的信息来计算有关所述对象(114)的所述平面中的结构的信息的2维重建。

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