CN1545142A - 基于多层次等效电路模型的集成电路电源网络瞬态分析求解方法 - Google Patents

Abstract

基于多层次等效电路模型的集成电路电源网络瞬态分析求解的方法，含有基于直流分析的对电源线/电线网络进行瞬态分析的方法，其特征是：它是一种针对集成电路的电源线/地线网络具有规整的网状(Mesh)结构的特点，按照多网格方法的基本思想，把电路网络中的中间节点RLC电路的参数R、L、C和电流源近似等效到电路网络的角节点上，在当前层次基础上形成仅有角节点组成的粗电路网络层，逐层进行上述操作，形成最终的粗电路网络，然后列出线性方程组，利用现有的方法快速求解出此时刻等效电路的所有节点的电压值，再据此逐层恢复求出所有层中被合并节点此时刻的电压值的快速方法。其特点是在满足精度要求情况下，大幅提高模拟求解速度。

Description

基于多层次等效电路模型的集成电路电源网络瞬态分析求解方法

技术领域

基于多层次电路模型的集成电路电源网络瞬态分析求解方法属于VLSI物理设计领域，尤其涉及布局布线领域中RLC电源线/地线网络瞬态分析求解技术范畴。

背景技术

在芯片物理设计中，电源线/地线的布线属于特殊线网的布线部分，设计不当的电源线/地线网络会引起一系列严重的问题，如半导体器件得不到足够的供电电压所引起的逻辑错误、供电网络中某一支路的电流密度过大所引起的供电网络的损坏等，因此在布线阶段，电源线/地线的布线具有最高优先级。

随着集成电路的制造工艺由目前的深亚微米(DSM)进入到超深亚微米(VDSM)，集成电路的设计规模也由超大规模(VLSI)，甚大规模(ULSI)向G大规模(GSI)发展。由于芯片功耗急剧增加及芯片供电电压不断降低，使得供电网络必须提供越来越大的工作电流。同时随着芯片工作频率的急剧提高，使得寄生电容、电感对供电网络的影响日益增大，电源线/地线网络分析已从较简单的直流分析转换为复杂的瞬态分析。所有这一切使得芯片的安全供电问题成为芯片设计制造过程中最主要的棘手问题之一，也是制约芯片性能和规模继续提高的主要瓶颈之一，因此受到学术和工业界的空前重视。

由于生产工艺的不断提高和集成度的不断增加，半导体器件尺寸的不断缩小，连线的密度变得越来越大，使得对布线资源的需求越来越大。同时由于供电网络需提供越来越大的工作电流，所以供电网络为了保证每个单元的供电电压大于最小正常工作电压，也必须加宽电源线/地线的宽度，加大了对布线资源的需求。这样，设计一个占有布线资源尽可能少的安全供电网络，就成为布线设计阶段一个重要的目标。当电路的电源线/地线网络设计完成后，为了保证每个单元的供电电压大于最小正常工作电压，还必须对整个设计进行分析验证，即对电源线/地线网络进行瞬态分析求解。因此一个高效、精确的电源线/地线网络的瞬态分析求解器是芯片中供电网络设计优化的基础，也是电源线网设计正确与否的验证工具，同时它能够缩短芯片的设计周期。下面分部分介绍主要相关的背景知识和技术。

集成电路中的电源线/地线的拓扑形状大致分为三种：网状的Mesh结构；树状结构；网状与树状的混和结构。由于网状结构结构规整，可靠性强，工业界大多采取此种结构，也是学术界研究的重点。

图1是一个考虑电阻(R)，电感(L)，电容(C)影响的电源线网络的RLC电路分析模型。其中利用分段表示的电流源(PWL)模拟芯片中模块单元(cell)上随时间变化的吸纳电流值。电源线网络也就是对这些单元供电，保证每一个单元能够正常工作。电源线网模拟分析的目的就是求解出所有单元模块每一个时刻上的电压值，给电源线网络的正确性验证和优化提供基础。

由于单元模块的吸纳电流随时间连续变化导致单元模块电压的连续变化，所以电源网络分析求解是一个瞬态分析问题。为了便于在时域内进行分析求解，一般须将瞬态问题转化为准静态分析问题，即设置一个足够小的时间步长，将一个周期内的瞬态模拟转换为足够多个准静态直流求解问题。

准静态直流求解问题本质上是一个线性方程组的求解问题。首先根据电路网络的拓扑结构和基尔霍夫(Kirchhoff)定律，为每一个节点建立电路方程，将所有的方程联立，得到线性方程组。电源线网络由电容，电感，电阻，电流源和电压源组成，电源线网络的线性方程组的系数矩阵具有稀疏、对称、正定的性质，可以利用现有的一些高效算法直接求解。

综上，集成电路的电源线网络瞬态分析求解过程如下所示：(1)选定瞬态分析的步长并确定所需模拟的总步数，(2)在每一个模拟步骤上，先根据网络的拓扑结构和基尔霍夫定律，建立电路的线性方程组，再利用方程组的求解算法求解出每个时刻各个节点的电压值。随着集成电路集成度的日益增加，工艺的逐渐提高，电源线网络的瞬态分析求解也变得日益重要和复杂。近来学术界在这方面已经做了很多重要的有突破性的研究工作，其中有多网格法(multi grid)、层次法(hierarchical method)、预优共轭剃度法(Precondition ConjugateGradient-PCG)、层次模型降阶法(hierarchical model order reduction)。

多重网格法(muti-grid method)是提高偏微分方程求解速度与精度的有效方法，它的主要思想是：先将细网N₀等效为一个由细到粗的P/G网图序列{N₀、N₁、N₂、N₃....N_L}；由粗网快速求解出偏微分方程的一组解，再通过内插展开操作得出不同细网的近似解。由于细网近似解含有误差，包括粗网产生的低频误差和细网产生的高频误差，使差分方程产生残差。为了减小误差，在细网上对残差进行松弛迭代，消除高频误差；在粗网上，根据等效的残差，求出低频误差，产生粗网上的误差补偿量，然后通过内插展开操作，得出不同细网近似解的修正值。并对修正值进行松弛迭代，消除高频误差。重复上述减小误差的操作，进行消除误差的迭代，当细网上的差分方程产生的残差小于一个限定值时，停止迭代。这时得到的就是我们需要的偏微分方程精确解。

本发明在多网格(multi-grid)方法的基础上，利用等效电路和多层次(multi-level)方法简化电路，在不损失精确性前提下，大幅度提高了分析求解的速度，扩大了分析求解的芯片规模，对于处理大规模的芯片，得到很好的结果。

发明内容

本发明的目的是设计一种基于多层次等效电路的集成电路电源网络瞬态分析求解器，在不损失精确性的情况下，大幅度提高分析求解的速度。发明的基础是电源线/地线Mesh网络的规整结构，以及偏微分方程解法中的多网格方法(multi-grid method)。

发明的主要思想是：(1)针对集成电路电路的电源线网络网状拓扑结构(如图4所示)的规整特点和多网格方法的基本思路，利用近似等效电路模型，将网中的中间节点的电学参数等效到相应的四角节点上，得到一个简化过的近似粗网络。反复利用此过程，得到一个最终的近似等效粗网格。(2)对于这个最终的简化的等效电路，根据基尔霍夫定律列出的线性方程组规模非常小，可以采用现有的求解算法，快速计算出此时刻的这个最终粗网格各端点的电压值。(3)利用此时刻已求得的节点电压，根据(1)的近似等效电路模型和多网格方法中的平滑与残差补偿过程，恢复计算出被合并简化的中间节点此时刻的电压。反复利用此过程，最终求解出所有节点的电压值，以达到模拟分析的目的。由于在整个过程中，求解线性方程组是最为耗时与耗内存的一步，所以减小方程组的规模可以明显地缩短整个分析求解的过程，大幅度的提高电路模拟的速度。

在本发明中，针对电源网络的规整结构，我们以一个类似“田”字的电路模型为例(如图2)，将顶角上的四个节点定义为角节点(Corner Node)，比如N_i-1，j-1，N_i+1，j-1N_i-1，j+1和N_i+1，j+1；与之相对应，把边上的四个和中心节点定义为中间节点(Middle Node)，如N_i-1，j，N_i，j-1，N_i，j，N_i，j+1和N_i+1，j节点。发明的核心内容就是对于电路网格每一个这样的子电路模型，把所有的Middle Node合并到四个角的Corner Node上去，形成一个“口”字的模型电路，电路简化为只由Corner Node组成的新一层(level)粗电路网格。对于新一层的电路网络，反复利用上面的等效简化的方法，形成一个最终的粗电路网络，再求解这个粗电路网络的电路方程组，得到每一个Corner Node此时刻的电压。然后恢复求解上一层的Middle Node此时刻的电压值，直到求解出原始网络中所有节点的电压，完成此步骤模拟的过程。

本发明所提出的基于多层次等效电路模型的集成电路电源网络瞬态分析求解的方法，含有基于直流分析的对电源线/地线网络进行瞬态分析的方法，其特征在于：它是一种针对集成电路的电源线/地线网络具有规整的网状(Mesh)结构的特点，按照多网格方法的基本思想，把电路网络中的中间节点RLC电路的参数R、L、C和电流源近似等效到电路网络的角节点上，在当前网罗层次上形成一个仅有角节点组成的粗电路网络层，逐层进行上述操作，形成最终的粗电路网络后，列出线性方程组，利用现有的方法快速求解出此时刻等效电路的所有节点的电压值，再据此逐层恢复求出所有层中被合并节点此时刻的电压值的快速方法。它依次含有以下步骤：

(1)计算机读入电路的信息文件，文件中包括节点之间的关联结构；节点之间的电阻值、电感值、电感初始电压和电流值、电容值、电容初始电压和电流值以及各个节点连接的供电模块单元的随时间变化利用PWL表示的吸纳电流波形，据此在计算机内建立电路的拓扑结构并记录其电学参数；

(2)建立根据电路的工作周期和需要模拟的周期数，计算机分别读入相应的时间步长h和总模拟步数M；选取适当的简化层次数L以及模拟的精度要求ε；

(3)离散化原始电路中的电容、电感，得到由电阻、电流源组成的电路：

(3.1)离散化电路中的电容C和电阻L，

给定模拟的时间步长，利用梯形差分公式，K+1时刻电容离散化为一个等效电阻 和一个等效电流源

并联的模型，

$I_{c,k+1}=\frac{2C}{h}{V}_{c,k+1}-(\frac{2C}{h}{V}_{c,k}+I_{c,k})---\left(1\right),$

V_c，k，I_c，k，V_c，k+1，I_c，k+1分别代表K和K+1时刻电容上的电压和电流，其方向保持一致；给定模拟的时间步长，利用梯形差分公式，K+1时刻电感离散化为一个等效电阻 和一个等效电流源 并联的模型，

$I_{L,k+1}=\frac{h}{2L}{V}_{L,k+1}+(\frac{h}{2L}{V}_{L,k}+I_{L,k})---\left(2\right),$

V_L，k，I_L，k，V_L，k+1，I_L，k+1分别代表k和k+1时刻电感上的电压和电流，其方向保持一致；

(3.2)根据(3.1)中的离散化过程，建立原始电路的离散化模型；

(4)利用基本电路定律简化离散化的电路网络模型

(4.1)利用诺顿(Norton)等效定律合并电流源以简化电路，对于电路网络中的每一条边，有电阻R和电感L，把电阻R和K+1时刻离散化电感组成的串联电路简化为由等效电阻

R_i ^*和等效电流源el_i，k+1组成的并联电路：

$R_i^{*}={2L}_i/h+R_i---\left(3\right),$

${\mathrm{el}}_{l,k+1}=(\frac{h}{2L_i}{V}_{L,i,k}+E_{i,k})\·\frac{2L_i/h}{{2L}_i/h+R_i}---\left(4\right),$

R_i、L_i分别为节点i和节点i+1之间的电阻和电感值；

V_L，i，k，E_i，k分别为K时刻L_i上的电流和电压值，方向由i+1节点到i节点；

el_i，k+1是等效简化后的与R_i ^*并联的等效电流源；

(4.2)合并节点i上的对地电流源，

在K+1时刻对于节点i，把模块单元的吸纳电流e_i，k+1和离散化电容C_i得到的效电路合并成由电流源ec_i，k+1和电阻r_i并联组成的电路：

${\mathrm{ec}}_{i,k+1}=e_{i,k+1}-(\frac{{2C}_i}{h}{V}_{i,k}+I_{i,k})---\left(5\right),$

$r_i=\frac{h}{{2C}_i}---\left(6\right)$

C_i分别为节点i对地的关联电容值；

V_i，k，I_i，k分别为K时刻节点i上的电压值和通过电容的电流值，方向对地；

ec_i，k+1表示由i节点K+1时刻自身吸纳电流和由相应电容离散化得到的等效电流合并后的总电流，按照公式(5)计算得到，电流方向对地；

至此，原始的电路网络简化为如图8所示的网络模型，把这个网络标记为N₀；

(5)对于每一层电路网络，压缩合并所有的中间节点(Middle Node)，建立由角节点(Corner Node)组成的等效电路；也就是在原来层的电路网络基础上，形成一个较为粗略网络，达到压缩网络的效果。根据给定的简化层次数，重复上述操作，形成最终层次的近似等效电路；网络的压缩合并过程分为两步：

(5.1)水平逐线等效

水平逐线等效的过程就是在当前层上，将电路网格中的垂直电源线隔行抽取，对于与被抽去的电源线相关的电路参数，按照类似于多网格的思想，作如下的近似等效处理：将被抽取线上的等效电导和电流源按相应比例合并到上下两个线段上；对于线上的连接的所有节点，利用Y型电路向π型电路的等效变换，将它们所关联的吸纳电流源和电导等效变换到上下两个节点；

(a)边的近似等效

在当前层中，针对一个“田”字型电路模型，将中上(下)线段上的电导和浮动电流源根据中左、中右水两段电源线上的电导之间的比例分别分配到左上(下)、右上(下)的电源线上，如图10所示：

$I_L^{*}=\frac{R_b}{R_a+R_b}{I}_O+I_L---\left(7\right)$

$I_R^{*}=\frac{R_a}{R_a+R_b}{I}_O+I_R---\left(8\right)$

$G_L^{*}=\frac{R_b}{R_a+R_b}{G}_O+G_L---\left(9\right)$

$G_R^{*}=\frac{R_a}{R_a+R_b}{G}_O+G_R---\left(10\right)$

R_a，R_b分别表示当前层中左，中右电源线的电阻大小，I₀，G₀分别表示中上(下)的电导和浮动电流源；

I_L，G_L，I_L ^*，G_L ^*表示当前层左上(下)线段上的浮动电流源和电导的原始大小以及压缩等效后的大小；

I_R，I_R ^*，G_R，G_R ^*表示当前层右上(下)线段上的浮动电流源和电导的原始大小以及压缩等效后的大小；

(b)节点的等效

对于被抽取垂直线上的连接的所有节点，利用Y型电路向π型电路的等效变换，将它们所关联的吸纳电流源和电导等效变换到上下两个节点；

●Y型电路向π型电路的等效变换：

把由三个依次相邻的节点与地(GND)组成的Y型电路等效变换为两个端点与地组成的π型电路；

一般的，设Y电路的三个节点为x、y、z(接地)，中间节点为o，Y型电路的结构为：

端点x、o间：由电阻R_x和电流源I_x(方向为o到x)并联组成，

端点y、o间：由电阻R_y和电流源I_y(方向为o到y)并联组成，

端点z、o间：由电阻R_z和电流源I_z(方向为o到z)并联组成，

等效后节点x、y和z组成的π型电路的结构为：

节点x、y之间由等效电阻R_xy和等效电流源I_xy并联组成，其中：

$R_{\mathrm{xy}}=\frac{R_x{R}_y+R_x{R}_z+R_y{R}_z}{R_z},I_{\mathrm{xy}}=\frac{R_x{I}_x-R_y{I}_y}{R_{\mathrm{xy}}}---\left(7.1\right)$

节点x、z之间由等效电阻R_xy和等效电流源I_xz并联组成，其中：

$R_{\mathrm{xz}}=\frac{R_x{R}_y+R_x{R}_z+R_y{R}_z}{R_y},I_{\mathrm{xz}}=\frac{R_z{I}_z-R_x{I}_x}{R_{\mathrm{xy}}}---\left(7.2\right)$

节点y、z之间由等效电阻R_yz和等效电流源I_yz并联组成，其中：

$R_{\mathrm{yz}}=\frac{R_x{R}_y+R_x{R}_z+R_y{R}_z}{R_x},I_{\mathrm{xz}}=\frac{R_z{I}_z-R_y{I}_y}{R_{\mathrm{yz}}}---\left(7.3\right)$

因此，流入节点x的电流大小为：

$E_x=\frac{V_y-V_x}{R_{\mathrm{xy}}}-\frac{V_x}{R_{\mathrm{xz}}}+\left(\frac{R_x{I}_x-R_y{I}_y}{R_{\mathrm{xy}}}\right)-\left(\frac{R_z{I}_z-R_x{I}_x}{R_{\mathrm{xz}}}\right)---\left(8\right)$

流入节点y的电流大小为：

$E_y=\frac{V_x-V_y}{R_{\mathrm{xy}}}-\frac{V_y}{R_{\mathrm{yz}}}-\left(\frac{R_x{I}_x-R_y{I}_y}{R_{\mathrm{xy}}}\right)-\left(\frac{R_z{I}_z-R_y{I}_y}{R_{\mathrm{yz}}}\right)---\left(9\right)$

●并联电路的等效变换

对两个节点之间的并联电路作合并简化变换：

r_total＝1/(1/r_left+1/r_right)                    ——10

i_total＝i_left+i_right                            ——(11)

r_left，r_right，i_left，i_right，分别表示两个电阻和电流源的大小；

r_total，i_total分别表示合并后的总电阻和总电流源的大小；

在图10中的中间节点X经过上述等效后被压缩；

(5.3)垂直逐线等效

完成上述等效压缩的操作后，电源网络变化成为了一个半简化的模型，在此基础上，水平抽取电源网线；针对一个“田”字型电路模型，将中左(右)线段上的电导和电流源根据左(右)上、左(右)下两段电源线上的电导之间的比例分别分配到上左(右)、下左(右)的电源线上；对于水平线上连接的三个节点，分别利用三次Y型电路向π型电路的等效变换，将它们所关联的吸纳电流源和电导等效变换到对应的上下两个节点上面。此过程和(5.2)的水平逐线等效基本类似；

(5.4)重复上述两个步骤，对电路进行压缩，形成最终的简化等效电路经过上述两个近似等效压缩后，原始的电路网络变换成了一个较粗电路网络，其拓扑结构保持不变；根据给定的简化层次数，继续逐层压缩简化，每一次都在上一层的基础上面形成一个更粗略的电路网络，从而产生一个电路网罗序列N₁，N₂，....N_L，N_L是最终的近似等效电路模型，这个电路模型比原始的电路模型相比，节点和边的数量都大幅减小；

(6)列出简化电路的系数矩阵

据基尔霍夫(Kirchhoff)定律建立由步骤(5.4)得到的等效电路粗网N_L的节点电压方程组G_L·V_L＝I_L，从而得到只与电路结构和电阻有关的稀疏系数矩阵G_L；

(7)始化模拟，令步骤计数器K＝0，由每一个节点的PWL波形图得到各个节点的初始电压值(此值也等于各个节点关联电容的初始电压值)，由此构建V_o；

(8)若K＞M，则结束模拟；否则执行以下步骤：

(9)节点的PWL波形提取K+1步骤时刻各个节点供电模块单元的吸纳电流，通过步骤5的内插操作，将各个吸纳电流等效到最终的粗网络NL的节点上去，得到粗网络N_L上面节点的电流向量I_L，带入方程G_L·V_L＝I_L

此步骤根据每一个节点的供电模块单元吸纳电流的PWL波形，提取此时刻它们的电流值大小，然后根据步骤5的内插操作将N0层上的电流大小等效到N_L层上，得到粗网络NL上面节点的电流向量I_L

(10)用现有方法求解方程组G_L·V_L＝I_L，得到K+1时刻N_L层网络上面所有节点的电压值向量V_L

(11)恢复求解原始网络N₀上节点此时刻的电压值；

根据多网格方法的思想，此步骤大致分为三部分：

·根据上一步求解出的N_L网络上节点的电压值，按照N_L，N_L-1，…N₁，N₀的顺序作内插操作，逐层恢复计算出原始电路网络N₀上面的节点电压值V₀；

·由于N₀-N_L的网络压缩是一个近似等效过程，所以V₀仅仅是一个近似解，首先对V₀进行松弛操作，消除高频误差，得到新解U₀；

·根据U₀求出低频的残差，再等效到粗网上面，求出高频的残差，通过内插操作，求出粗网上面的解的补偿量，再更新U₀，反复作此操作，直到新解满足精度要求；

下面详细说明上述三个步骤：

11.1进行内插操作，恢复求解细网节点的电压值

在当前层中的每一个“口”字型的子电路模型中，首先对四条边上的电路分别利用如下的公式恢复求出各条边上中间节点的电压值：

$E_a=\frac{V_b-V_a}{R_{\mathrm{ab}}}+I_{\mathrm{ab}}-\frac{V_a}{R_{\mathrm{ac}}}-I_{\mathrm{ac}}---\left(12\right)$

V_x＝V_a+(E_a-I_a)×R_a

然后根据两个垂直边中点的电压值，还是利用上面的公式，求解出中心节点的电压值；从N_L层粗网络开始到原始的N₀层，逐层操作，直到求出N₀层上面所有节点的电压值向量V₀；

11.2 解的松弛操作

在求得电压向量V₀后，需要经过松弛操作，以消除由于近似等效带来的高频误差；采用SOR五点松弛操作，遍历更新所有结点的电压值，得到松弛过的电压向量V₁，公式如下：

$V_{i,j}^1=\frac{1}{g_{i,j}}(I_{i,j}+g_{i-1,j}{V}_{i+1,j}^1+g_{i-1,j-1}{V}_{i,j+1}^1+g_{i+1,j}{V}_{i-1,j}^0+g_{i+1,j+1}{V}_{i,j-1}^0)---\left(13\right)$

V⁰ _i，j，V¹ _i，j分别表示节点(i，j)在向量V₀和V₁中的分量；

11.3 残差补偿

按照多网格的思想，此部分利用残差补偿，减小求解的误差分为一下几个步骤：

a)初始化，令q＝0；

b)首先得到细网上面的残差电流向量

${\mathrm{\ΔI}}_0^q=I_0-G_0\·U_0^q$

c)按照(5)的压缩过程，将N0细网上的残差电流近似等效NL上面，得到粗网上面的残差电流向量ΔI_L ^q，建立如下方程，求解得到粗网上面的补偿值ΔV_L ^q， $G_L\·\mathrm{\Δ}{V}_L^q={\mathrm{\ΔI}}_L^q$

d)利用(6.1)的逐层内插操作，求解出细网N0上面的补偿值向量ΔV₀ ^q，同样对ΔV₀ ^q进行松弛操作，消除补偿解的高频误差，得到更新的细网补偿向量ΔU₀ ^q

e)更新细网的解， $U_0^{q+1}=U_0^q+{\mathrm{\ΔU}}_0^q$

做如下的判断，如果ΔU₀ ^q≤ε则满足精度要求，此步骤模拟结束，否则转到(a)，q＝q+1继续进行补偿操作；

(12)输出保存K+1时刻的所有节点的电压值，置K＝K+1，转到步骤(8)，进行下一步模拟过程。

实验证明，本发明所提出的方法在满足精度的情况下能大幅提高模拟的速度，比标准的SPICE模拟程序快两个数量级。

附图说明：

图1：电源线网络的RLC分析模型。

图2：电源线网络中的RLC“田”字格状子电路。

图3：电容、电感的离散化模型，

     1-K+1时刻电容的离散化模型，

     2-K+1时刻电感的离散化模型。

图4：诺顿(Norton)等效定律，

     1-变换前，

     2-变换后。

图5：合并电流源，

     1-合并前，

     2-合并后。

图6：离散化并经过简化后的电路网络。

图7：网络电路简化过程的详细指示图，

     1-原始网格，

     2-垂直等效，

     3-水平等效，

     4-近似等效电路。

图8：Y型电路向π型电路的等效变换，

     1-变换前，

     2-变换后。

图9：并联电路的等效变换，

     1-变换前，

     2-变换后。

图10：垂直(水平)等效的示意图，

     1-原始网格电路，

     2-垂直(水平)抽取电源线，

     3-利用Y型电路向π型电路的等效变换，合并中间节点。

图11：电路网格简化的缩略图。

图12：供电模块的吸纳电流PWL表示图，以及根据PWL波形提取(K+1)h时刻吸纳电流值。

图13：利用残差补偿和松弛平滑过程减小误差的流程图。

图14：发明的整体流程图。

图15：一个9×9的实例电路缩略图。

图16：在第0层N0上面作垂直等效后的网络。

图17：在第0层N0上面作水平等效后的网络，形成第一层简化的电路N1。

图18：继续在N1上作垂直等效。

图19：继续在N1上作水平等效，形成等效网络N2。

具体实施方式：

现结合图(14)对本发明按照以下步骤进行详述：

1.计算机读入电路的信息文件，文件中包括节点之间的关联结构；节点之间的电阻值、电感值、电感初始电压和电流值、电容值、电容初始电压和电流值以及各个节点连接的供电模块单元的随时间变化的吸纳电流波形(利用PWL表示，如图12)，据此在计算机内建立电路的拓扑结构并记录其电学参数。

2.建立根据电路的工作周期和需要模拟的周期数，计算机分别读入相应的时间步长h和总模拟步数M；选取适当的简化层次数L以及模拟的精度要求ε

3.离散化原始电路中的电容、电感，得到由电阻、电流源组成的电路：

(3.1)离散化电路中的电容C和电阻L，

给定模拟的时间步长，利用梯形差分公式，K+1时刻电容离散化为一个等效电阻

和一个等效电流源

并联的模型，

$I_{c,k+1}=\frac{2C}{h}{V}_{c,k+1}-(\frac{2C}{h}{V}_{c,k}+I_{c,k})---\left(1\right),$ V_c，k，I_c，k，V_c，k+1，I_c，k+1分别代表K和K+1时刻电容上的电压和电流，其方向保持一致，如图3(1)所示。

给定模拟的时间步长，利用梯形差分公式，K+1时刻电感离散化为一个等效电阻

和一个等效电流源

并联的模型，

$I_{L,k+1}=\frac{h}{2L}{V}_{L,k+1}+(\frac{h}{2L}{V}_{L,k}+I_{L,k})---\left(2\right),$

V_L，k，I_L，k，V_L，k+1，I_L，k+1分别代表k和k+1时刻电感上的电压和电流，其方向保持一致；如图3(2)所示。

(3.2)根据(3.1)中的离散化过程，建立原始电路的离散化模型；

4.利用基本电路定律简化离散化的电路网络模型

(4.1)利用诺顿(Norton)等效定律合并电流源以简化电路，

对于电路网络中的每一条边，有电阻R和电感L，把电阻R和K+1时刻离散化电感组成的串联电路简化为由等效电阻R_i ^*和等效电流源el_i，k+1组成的并联电路：

$R_i^{*}=2L_i/h+R_i---\left(3\right),$

${\mathrm{el}}_{i,k+1}=(\frac{h}{{2L}_i}{V}_{L,i,k}+E_{i,k})\·\frac{{2L}_i/h}{{2L}_i/h+R_i}---\left(4\right),$

R_i、L_i分别为节点i和节点i+1之间的电阻和电感值；

V_L，i，k，E_i，k分别为K时刻L_i上的电流和电压值，方向由i+1节点到i节点；

el_i，k+1是等效简化后的与R_i ^*并联的等效电流源；如图5所示。

(4.2)合并节点i上的对地电流源，

在K+1时刻对于节点i，把模块单元的吸纳电流e_i，k+1和离散化电容C_i得到的效电路合并成由电流源ec_i，k+1和电阻r_i并联组成的电路：

${\mathrm{ec}}_{i,k+1}=e_{i,k+1}-(\frac{{2C}_i}{h}{V}_{i,k}+I_{i,k})---\left(5\right),$

$r_i=\frac{h}{{2C}_i}---\left(6\right)$

C_i分别为节点i对地的关联电容值；

V_i，k，I_i，k分别为K时刻节点i上的电压值和通过电容的电流值，方向对地；

ec_i，k+1表示由i节点K+1时刻自身吸纳电流和由相应电容离散化得到的等效电流合并后的总电流，按照公式(5)计算得到，电流方向对地；如图4所示。

至此，原始的电路网络简化为如图6所示的网络模型，我们把这个最初的网络极为N₀。

5.对于每一层电路网络，压缩合并所有的中间节点(Middle Node)，建立由角节点(Corner Node)组成的等效电路；也就是在原来层的电路网络基础上，形成一个较为粗略网络，达到压缩网络的效果。根据给定的简化层次数，重复上述操作，形成最终层次的近似等效电路。网格中点和边的标记如图7所示。网络的压缩合并过程分为两步：

(5.1)水平逐线等效

水平逐线等效的过程就是在当前层上，将电路网格中的垂直电源线隔行抽取，对于与被抽去的电源线相关的电路参数，按照类似于多网格的思想，作如下的近似等效处理：将被抽取线上的等效电导和电流源按相应比例合并到上下两个线段上。对于线上的连接的所有节点，利用Y型电路向π型电路的等效变换，将它们所关联的吸纳电流源和电导等效变换到上下两个节点。

(a)边的近似等效

在当前层中，针对一个“田”字型电路模型，将中上(下)线段上的电导和浮动电流源根据中左、中右水两段电源线上的电导之间的比例分别分配到左上(下)、右上(下)的电源线上，如图10所示：

$I_L^{*}=\frac{R_b}{R_a+R_b}{I}_O+I_L---\left(7\right)$

$I_R^{*}=\frac{R_a}{R_a+R_b}{I}_O+I_R---\left(8\right)$

$G_L^{*}=\frac{R_b}{R_a+R_b}{G}_O+G_L---\left(9\right)$

$G_R^{*}=\frac{R_a}{R_a+R_b}{G}_O+G_R---\left(10\right)$

R_a，R_b分别表示当前层中左，中右电源线的电阻大小，I₀，G₀分别表示中上(下)的电导和浮动电流源。

I_L，G_L，I_L ^*，G_L ^*表示当前层左上(下)线段上的浮动电流源和电导的原始大小以及压缩等效后的大小。

I_R，I_R ^*，G_R，G_R ^*表示当前层右上(下)线段上的浮动电流源和电导的原始大小以及压缩等效后的大小。

(b)节点的等效

对于被抽取垂直线上的连接的所有节点，利用Y型电路向π型电路的等效变换，将它们所关联的吸纳电流源和电导等效变换到上下两个节点。

●Y型电路向π型电路的等效变换：

把由三个依次相邻的节点与地(GND)组成的Y型电路等效变换为两个端点与地组成的的π型电路，如图8所示。

一般的，设Y电路的三个节点为x、y、z(接地)，中间节点为o，Y型电路的结构为：

端点x、o间：由电阻R_x和电流源I_x(方向为o到x)并联组成，

端点y、o间：由电阻R_y和电流源I_y(方向为o到y)并联组成，

端点z、o间：由电阻R_z和电流源I_z(方向为o到z)并联组成，

等效后节点x、y和z组成的π型电路的结构为：

节点x、y之间由等效电阻R_xy和等效电流源I_xy并联组成，其中：

$R_{\mathrm{xy}}=\frac{R_x{R}_y+R_x{R}_z+R_y{R}_z}{R_z},I_{\mathrm{xy}}=\frac{R_x{I}_x-R_y{I}_y}{R_{\mathrm{xy}}}---\left(7.1\right)$

节点x、z之间由等效电阻R_xz和等效电流源I_xz并联组成，其中：

$R_{\mathrm{xz}}=\frac{R_x{R}_y+R_x{R}_z+R_y{R}_z}{R_y},I_{\mathrm{xz}}=\frac{R_z{I}_z-R_x{I}_x}{R_{\mathrm{xy}}}---\left(7.2\right)$

节点y、z之间由等效电阻R_yz和等效电流源I_yz并联组成，其中：

$R_{\mathrm{yz}}=\frac{R_x{R}_y+R_x{R}_z+R_y{R}_z}{R_x},I_{\mathrm{xz}}=\frac{R_z{I}_z-R_y{I}_y}{R_{\mathrm{yz}}}---\left(7.3\right)$

因此，流入节点x的电流大小为：

$E_x=\frac{V_y-V_x}{R_{\mathrm{xy}}}-\frac{V_x}{R_{\mathrm{xz}}}+\left(\frac{R_x{I}_x-R_y{I}_y}{R_{\mathrm{xy}}}\right)-\left(\frac{R_z{I}_z-R_x{I}_x}{R_{\mathrm{xz}}}\right)---\left(8\right)$

流入节点y的电流大小为：

$E_y=\frac{V_x-V_y}{R_{\mathrm{xy}}}-\frac{V_y}{R_{\mathrm{yz}}}-\left(\frac{R_x{I}_x-R_y{I}_y}{R_{\mathrm{xy}}}\right)-\left(\frac{R_z{I}_z-R_y{I}_y}{R_{\mathrm{yz}}}\right)---\left(9\right)$

●并联电路的等效变换

对两个节点之间的并联电路作合并简化变换，如图9所示：

r_total＝1/(1/r_left+1/r_right)           ——(10)

i_total＝i_left+i_right                   ——(11)

r_left，r_right，i_left，i_right，分别表示两个电阻和电流源的大小；

r_total，i_total分别表示合并后的总电阻和总电流源的大小；

在图10(3)中的中间节点X经过上述等效后被压缩。

(5.3)垂直逐线等效

完成上述等效压缩的操作后，电源网络变化成为了一个半简化的模型，在此基础上，水平抽取电源网线。针对一个“田”字型电路模型，将中左(右)线段上的电导和电流源根据左(右)上、左(右)下两段电源线上的电导之间的比例分别分配到上左(右)、下左(右)的电源线上。对于水平线上连接的三个节点，分别利用三次Y型电路向π型电路的等效变换，将它们所关联的吸纳电流源和电导等效变换到对应的上下两个节点上面。此过程和(5.2)的水平逐线等效基本类似。

(5.4)重复上述两个步骤，对电路进行压缩，形成最终的简化等效电路。

经过上述两个近似等效压缩后，原始的电路网络变换成了一个较粗电路网络，其拓扑结构保持不变。根据给定的简化层次数，继续逐层压缩简化，每一次都在上一层的基础上面形成一个更粗略的电路网络，从而产生一个电路网络序列N₁，N₂，....N_L。N_L是最终的近似等效电路模型，这个电路模型与原始的电路模型相比，节点和边的数量都大幅减小。示意图如图11。

6.列出简化电路的系数矩阵。据基尔霍夫(Kirchhoff)定律建立由步骤(5.4)

得到的等效电路粗网N_L的节点电压方程组G_L·V_L＝I_L，从而得到只与电路结构和电阻有关的稀疏系数矩阵G_L；

7.初。始化模拟，令步骤计数器K＝0，由每一个节点的PWL波形图得到各个节点的初始电压值(此值也等于各个节点关联电容的初始电压值)，由此构建V_o；

8.若K＞M，则结束模拟；否则执行以下步骤：

9.节点的PWL波形提取K+1步骤时刻各个节点供电模块单元的吸纳电流，通过步骤5的内插操作，将各个吸纳电流等效到最终的粗网络N_L的节点上去，得到粗网络N_L上面节点的电流向量I_L，带入方程G_L·V_L＝I_L。

此步骤根据每一个节点的供电模块单元吸纳电流的PWL波形，提取此时刻它们的电流值大小，然后根据步骤5的内插操作将N0层上的电流大小等效到NL层上，得到粗网络NL上面节点的电流向量I_L

10.用现有方法求解方程组G_L·V_L＝I_L，得到K+1时刻N_L层网络上面所有节点的电压值向量V_L

11.恢复求解原始网络N_L上节点此时刻的电压值。

根据多网格方法的思想，此步骤大致分为三部分：

●根据上一步求解出的N_L网络上节点的电压值，按照N_L，N_L-1，…N₁，N₀的顺序作内插操作，逐层恢复计算出原始电路网络N₀上面的节点电压值V₀；

●由于N₀-N_L的网络压缩是一个近似等效过程，所以V0仅仅是一个近似解，首先对V₀进行松弛操作，消除高频误差，得到新解U₀；

●根据U₀求出低频的残差，再等效到粗网上面，求出高频的残差，通过内插操作，求出粗网上面的解的补偿量，再更新U₀，反复作此操作，直到新解满足精度要求。

下面详细说明上述三个步骤：

11.1进行内插操作，恢复求解细网节点的电压值

在当前层中的每一个“口”字型的子电路模型中，首先对四条边上的电路分别利用如下的公式恢复求出各条边上中间节点的电压值：

$E_a=\frac{V_b-V_a}{R_{\mathrm{ab}}}+I_{\mathrm{ab}}-\frac{V_a}{R_{\mathrm{ac}}}-I_{\mathrm{ac}}---\left(12\right)$

V_x＝V_a+(E_a-I_a)×R_a

然后根据两个垂直边中点的电压值，还是利用上面的公式，求解出中心节点的电压值。从N_L层粗网络开始到原始的N₀层，逐层操作，直到求出N₀层上面所有节点的电压值向量V₀。

11.2 解的松弛操作

在求得电压向量V₀后，需要经过松弛操作，以消除由于近似等效带来的高频误差。采用SOR五点松弛操作，遍历更新所有结点的电压值，得到松弛过的电压向量V₁，公式如下：

$V_{i,j}^1=\frac{1}{g_{i,j}}(I_{i,j}+g_{i,1,j}{V}_{i+1,j}^1+g_{i-1,j-1}{V}_{i,j+1}^1+g_{i+1,j}{V}_{i-1,j}^0+g_{i+1,j+1}{V}_{i,j-1}^0)---\left(13\right)$

V⁰ _i，j，V¹ _i，j分别表示节点(i，j)在向量V₀和V₁中的分量。

11.3 残差补偿

按照多网格的思想，此部分利用残差补偿，减小求解的误差分为以下几个步骤：

a)初始化，令q＝0；

b)首先得到细网上面的残差电流向量

${\mathrm{\ΔI}}_0^q=I_0-G_0\·U_0^q$

c)按照(5)的压缩过程，将N0细网上的残差电流近似等效NL上面，得到粗网上面的残差电流向量ΔI_L ^q，建立如下方程，求解得到粗网上面的补偿值ΔV_L ^q， $G_L\·\mathrm{\Δ}{V}_L^q=\mathrm{\Δ}{I}_L^q$

d)利用(6.1)的逐层内插操作，求解出细网N0上面的补偿值向量ΔV₀ ^q，同样对ΔV₀ ^q进行松弛操作，消除补偿解的高频误差，得到更新的细网补偿向量ΔU₀ ^q

e)更新细网的解， $U_0^{q+1}=U_0^q+{\mathrm{\ΔU}}_0^q$

做如下的判断，如果ΔU₀ ^q≤ε则满足精度要求，此步骤模拟结束，否则转到(a)，q＝q+1继续进行补偿操作。

减小误差的具体流程图见图13。

12.输出保存K+1时刻的所有节点的电压值，置K＝K+1，转到步骤(8)，进行下一步模拟过程。

Claims (1)

1.基于多层次等效电路模型的集成电路电源网络瞬态分析求解的方法，含有基于直流分析的对电源线/电线网络进行瞬态分析的方法，其特点在于：它是一种针对集成电路的电源线/地线网络具有规整的网状(Mesh)结构的特点，按照多网格方法的基本思想，把电路网络中的中间节点RLC电路的参数R、L、C和电流源近似等效到电路网络的角节点上，在当前网络层次上形成一个仅有角节点组成的粗电路网络层，逐层重复进行上述操作，形成最终的粗电路网络后，列出线性方程组，利用现有的方法快速求解出此时刻等效电路的所有节点的电压值，再据此逐层恢复求出所有层中被合并节点此时刻的电压值的快速方法；它依次含有以下步骤：

(1)计算机读入电路的信息文件，文件中包括节点之间的关联结构；节点之间的电阻值、电感值、电感初始电压和电流值、电容值、电容初始电压和电流值以及各个节点连接的供电模块单元的随时间变化利用PWL表示的吸纳电流波形，据此在计算机内建立电路的拓扑结构并记录其电学参数；

(2)建立根据电路的工作周期和需要模拟的周期数，计算机分别读入相应的时间步长h和总模拟步数M；选取适当的简化层次数L以及模拟的精度要求ε；

(3)离散化原始电路中的电容、电感，得到由电阻、电流源组成的电路：

(3.1)离散化电路中的电容C和电阻L，

给定模拟的时间步长，利用梯形差分公式，K+1时刻电容离散化为一个等效电阻

和一个等效电流源

并联的模型，

$I_{c,k+1}=\frac{2C}{h}{V}_{c,k+1}-(\frac{2C}{h}{V}_{c,k}+I_{c,k})---\left(1\right),$

V_c，k，I_c，k，V_c，k+1，I_c，k+1分别代表K和K+1时刻电容上的电压和电流，其方向保持一致；给定模拟的时间步长，利用梯形差分公式，K+1时刻电感离散化为一个等效电阻

和一个等效电流源

并联的模型，

$I_{L,k+1}=\frac{h}{2L}{V}_{L,k+1}+(\frac{h}{2L}{V}_{L,k}+I_{L,k})---\left(2\right),$

V_L，k，I_L，k，V_L，k+1，I_L，k+1分别代表k和k+1时刻电感上的电压和电流，其方向保持一致；

(3.2)根据(3.1)中的离散化过程，建立原始电路的离散化模型；

(4)利用基本电路定律简化离散化的电路网络模型

(4.1)利用诺顿(Norton)等效定律合并电流源以简化电路，对于电路网络中的每一条边，有电阻R和电感L，把电阻R和K+1时刻离散化电感组成的串联电路简化为由等效电阻R_i ^*和等效电流源el_i，k+1组成的并联电路：

$R_i^{*}={2L}_i/h+R_i---\left(3\right),$

${\mathrm{el}}_{i,k+1}=(\frac{h}{{2L}_i}{V}_{L,i,k}+E_{i,k})\·\frac{{2L}_i/h}{{2L}_i/h+R_i}---\left(4\right),$

R_i、L_i分别为节点i和节点i+1之间的电阻和电感值；

V_L，i，k，E_i，k分别为K时刻L_i上的电流和电压值，方向由i+1节点到i节点；el_i，k+1是等效简化后的与R_i ^*并联的等效电流源；

(4.2)合并节点i上的对地电流源，

在K+1时刻对于节点i，把模块单元的吸纳电流e_i，k+1和离散化电容C_i得到的效电路合并成由电流源ec_i，k+1和电阻r_i并联组成的电路：

${\mathrm{ec}}_{i,k+1}=e_{i,k+1}-(\frac{2C_i}{h}{V}_{i,k}+I_{i,k})---\left(5\right),$

$r_i=\frac{h}{{2C}_i}---\left(6\right)$

C_i分别为节点i对地的关联电容值；

V_i，k，I_i，k分别为K时刻节点i上的电压值和通过电容的电流值，方向对地；ec_i，k+1表示由i节点K+1时刻自身吸纳电流和由相应电容离散化得到的等效电流合并后的总电流，按照公式(5)计算得到，电流方向对地；

至此，原始的电路网络简化为如图8所示的网络模型，把这个网络标记为N₀；

(5)对于每一层电路网络，压缩合并所有的中间节点(Middle Node)，建立由角节点(Corner Node)组成的等效电路；也就是在原来层的电路网络基础上，形成一个较为粗略网络，达到压缩网络的效果。根据给定的简化层次数，重复上述操作，形成最终层次的近似等效电路；网络的压缩合并过程分为两步：

(5.1)水平逐线等效

水平逐线等效的过程就是在当前层上，将电路网格中的垂直电源线隔行抽取，对于与

被抽去的电源线相关的电路参数，按照类似于多网格的思想，作如下的近似等效处理：将被抽取线上的等效电导和电流源按相应比例合并到上下两个线段上；对于线上的连接的所有节点，利用Y型电路向π型电路的等效变换，将它们所关联的吸纳电流源和电导等效变换到上下两个节点；

(a)边的近似等效

在当前层中，针对一个“田”字型电路模型，将中上(下)线段上的电导和浮动电流源根据中左、中右水两段电源线上的电导之间的比例分别分配到左上(下)、右上(下)的电源线上，如图10所示：

$I_L^{*}=\frac{R_b}{R_a+R_b}{I}_O+I_L---\left(7\right)$

$I_R^{*}=\frac{R_a}{R_a+R_b}{I}_O+I_R---\left(8\right)$

$G_L^{*}=\frac{R_b}{R_a+R_b}{G}_O+G_L---\left(9\right)$

$G_R^{*}=\frac{R_a}{R_a+R_b}{G}_O+G_R---\left(10\right)$

R_a，R_b分别表示当前层中左，中右电源线的电阻大小，I₀，G₀分别表示中上(下)的电导和浮动电流源；

I_L，G_L，I_L ^*，G_L ^*表示当前层左上(下)线段上的浮动电流源和电导的原始大小以及压缩等效后的大小；

I_R，I_R ^*，G_R，G_R ^*表示当前层右上(下)线段上的浮动电流源和电导的原始大小以及压缩等效后的大小；

(b)节点的等效

对于被抽取垂直线上的连接的所有节点，利用Y型电路向π型电路的等效变换，将它们所关联的吸纳电流源和电导等效变换到上下两个节点；

●Y型电路向π型电路的等效变换：

把由三个依次相邻的节点与地(GND)组成的Y型电路等效变换为两个端点与地组成的π型电路；

一般的，设Y电路的三个节点为x、y、z(接地)，中间节点为o，Y型电路的结构为：端点x、o间：由电阻R_x和电流源I_x(方向为o到x)并联组成，

端点y、o间：由电阻R_y和电流源I_y(方向为o到y)并联组成，

端点z、o间：由电阻R_z和电流源I_z(方向为o到z)并联组成，

等效后节点x、y和z组成的π型电路的结构为：

节点x、y之间由等效电阻R_xy和等效电流源I_xy并联组成，其中：

$R_{\mathrm{xy}}=\frac{R_x{R}_y+R_x{R}_z+R_y{R}_z}{R_z},I_{\mathrm{xy}}=\frac{R_x{I}_x-R_y{I}_y}{R_{\mathrm{xy}}}---\left(7.1\right)$

节点x、z之间由等效电阻R_xz和等效电流源I_xz并联组成，其中：

$R_{\mathrm{xz}}=\frac{R_x{R}_y+R_x{R}_z+R_y{R}_z}{R_y},I_{\mathrm{xz}}=\frac{R_z{I}_z-R_x{I}_x}{R_{\mathrm{xy}}}---\left(7.2\right)$

节点y、z之间由等效电阻R_yz和等效电流源I_yz并联组成，其中：

$R_{\mathrm{yz}}=\frac{R_x{R}_y+R_x{R}_z+R_y{R}_z}{R_x},I_{\mathrm{xz}}=\frac{R_z{I}_z-R_y{I}_y}{R_{\mathrm{yz}}}---\left(7.3\right)$

因此，流入节点x的电流大小为：

$E_x=\frac{V_y-V_x}{R_{\mathrm{xy}}}-\frac{V_x}{R_{\mathrm{xz}}}+\left(\frac{R_x{I}_x-R_y{I}_y}{R_{\mathrm{xy}}}\right)-\left(\frac{R_z{I}_z-R_x{I}_x}{R_{\mathrm{xz}}}\right)---\left(8\right)$

流入节点y的电流大小为：

$E_y=\frac{V_x-V_y}{R_{\mathrm{xy}}}-\frac{V_y}{R_{\mathrm{yz}}}-\left(\frac{R_x{I}_x-R_y{I}_y}{R_{\mathrm{xy}}}\right)-\left(\frac{R_z{I}_z-R_y{I}_y}{R_{\mathrm{yz}}}\right)---\left(9\right)$

●并联电路的等效变换

对两个节点之间的并联电路作合并简化变换：

r_total＝1/(1/r_left+1/r_right)              ——(10)

i_total＝i_left+i_right                          ——(11)

r_left，r_right，i_left，i_right，分别表示两个电阻和电流源的大小；

r_total，i_total分别表示合并后的总电阻和总电流源的大小；

在图10中的中间节点X经过上述等效后被压缩；

(5.3)垂直逐线等效

完成上述等效压缩的操作后，电源网络变化成为了一个半简化的模型，在此基础上，水平抽取电源网线；针对一个“田”字型电路模型，将中左(右)线段上的电导和电流源根据左(右)上、左(右)下两段电源线上的电导之间的比例分别分配到上左(右)、下左(右)的电源线上；对于水平线上连接的三个节点，分别利用三次Y型电路向π型电路的等效变换，将它们所关联的吸纳电流源和电导等效变换到对应的上下两个节

点上面。此过程和(5.2)的水平逐线等效基本类似；

(5.4)重复上述两个步骤，对电路进行压缩，形成最终的简化等效电路经过上述两个近似等效压缩后，原始的电路网络变换成了一个较粗电路网络，其拓扑结构保持不变；根据给定的简化层次数，继续逐层压缩简化，每一次都在上一层的基础上面形成一个更粗略的电路网络，从而产生一个电路网罗序列N₁，N₂，····N_L，N_L是最终的近似等效电路模型，这个电路模型比原始的电路模型相比，节点和边的数量都大幅减小；

(6)列出简化电路的系数矩阵

据基尔霍夫(Kirchhoff)定律建立由步骤(5.4)得到的等效电路粗网N_L的节点电压方程组G_L·V_L＝I_L，从而得到只与电路结构和电阻有关的稀疏系数矩阵G_L；

(7)始化模拟，令步骤计数器K＝0，由每一个节点的PWL波形图得到各个节点的初始电压值(此值也等于各个节点关联电容的初始电压值)，由此构建

(8)若K＞M，则结束模拟；否则执行以下步骤：

(9)节点的PWL波形提取K+1步骤时刻各个节点供电模块单元的吸纳电流，通过步骤5的内插操作，将各个吸纳电流等效到最终的粗网络NL的节点上去，得到粗网络N_L上面节点的电流向量I_L，带入方程G_L·V_L＝I_L

此步骤根据每一个节点的供电模块单元吸纳电流的PWL波形，提取此时刻它们的电流值大小，然后根据步骤5的内插操作将N0层上的电流大小等效到N_L层上，得到粗网络NL上面节点的电流向量I_L

(10)用现有方法求解方程组G_L·V_L＝I_L，得到K+1时刻N_L层网络上面所有节点的电压值向量V_L

(11)恢复求解原始网络N₀上节点此时刻的电压值；

根据多网格方法的思想，此步骤大致分为三部分：

●根据上一步求解出的N_L网络上节点的电压值，按照N_L，N_L-1，···N₁，N₀的顺序作内插操作，逐层恢复计算出原始电路网络N₀上面的节点电压值V₀；

●由于N₀-N_L的网络压缩是一个近似等效过程，所以V₀仅仅是一个近似解，首先对V₀进行松弛操作，消除高频误差，得到新解U₀；

●根据U₀求出低频的残差，再等效到粗网上面，求出高频的残差，通过内插操作，求出粗网上面的解的补偿量，再更新U₀，反复作此操作，直到新解满足精度要求；

下面详细说明上述三个步骤：

11.1进行内插操作，恢复求解细网节点的电压值

在当前层中的每一个“口”字型的子电路模型中，首先对四条边上的电路分别利用如下的公式恢复求出各条边上中间节点的电压值：

$E_a=\frac{V_b-V_a}{R_{\mathrm{ab}}}+I_{\mathrm{ab}}-\frac{V_a}{R_{\mathrm{ac}}}-I_{\mathrm{ac}}---\left(12\right)$

V_x＝V_a+(E_a-I_a)×R_a

然后根据两个垂直边中点的电压值，还是利用上面的公式，求解出中心节点的电压值；从N_L层粗网络开始到原始的N₀层，逐层操作，直到求出N₀层上面所有节点的电压值向量V₀；

11.2解的松弛操作

在求得电压向量V₀后，需要经过松弛操作，以消除由于近似等效带来的高频误差；采用SOR五点松弛操作，遍历更新所有结点的电压值，得到松弛过的电压向量V₁，公式如下：

$V_{i,j}^1=\frac{1}{g_{i,j}}(I_{i,j}+g_{i-1,j}{V}_{i+1,j}^1+g_{i-1,j-1}{V}_{i,j+1}^1-g_{i+1,j}{V}_{i-1,j}^0+g_{i+1,j+1}{V}_{i,j-1}^0)---\left(13\right)$

V⁰ _i，j，V¹ _i，j分别表示节点(i，j)在向量V₀和V₁中的分量；

11.3残差补偿

按照多网格的思想，此部分利用残差补偿，减小求解的误差分为一下几个步骤：

a)初始化，令q＝0；

b)首先得到细网上面的残差电流向量

${\mathrm{\ΔI}}_0^q=I_0-G_0\·U_0^q$

c)按照(5)的压缩过程，将N0细网上的残差电流近似等效NL上面，得到粗网上面的残差电流向量ΔI_L ^q，建立如下方程，求解得到粗网上面的补偿值ΔV_L ^q， $G_L\·{\mathrm{\ΔV}}_L^q={\mathrm{\ΔI}}_L^q$

d)利用(6.1)的逐层内插操作，求解出细网N0上面的补偿值向量ΔV₀ ^q.同样对ΔV₀ ^q进行松弛操作，消除补偿解的高频误差，得到更新的细网补偿向量ΔU₀ ^q

e)更新细网的解， $U_0^{q+1}=U_0^q+{\mathrm{\ΔU}}_0^q$

做如下的判断，如果 ${\mathrm{\ΔU}}_0^q\≤\mathrm{\ϵ}$ 则满足精度要求，此步骤模拟结束，否则转到(a)，q＝q+1继续进行补偿操作；

(12)输出保存K+1时刻的所有节点的电压值，置K＝K+1，转到步骤(8)，进行下一步模拟过程。

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