三.发明内容
[0017]由上所见,明显地需求一个能以有效的计算方式精确地反映原始模型各鲒点的瞬态响应的RLC互连线电路模型及其分析方法和系统。
[0018]本发明的主要目的构思是为RLC互连线提供一种系统方法,以有效的闭合式来建立严格精确的时域的状态空间模型。
[0019]本发明进而提供所述的精确模型作为评估运用各种现存和由此发展的模型简化或近似方法的RLC互连线的瞬态响应。
[0020]本发明的进而提供一种方法,系统和基础运用上述的严格精确的模型与各种模型简化方法来寻找RLC互连线的一种简单模型简化或者优化的模型简化。
[0021]本发明进而以有效的计算方法提供上述的系统方法。
[0022]本发明提供的上述系统方法有数值计算稳定性和极点稳定性以及物理的可综合性。
[0023]简而言之,本发明的主要目的是通过所述的时域的状态空间闭合式来提供RLC互连线的严格精确的2n阶模型及其模型简化和优化的简单算法。
[0024]为了达到上述和其它的目的,本发明是提供计算有效的方法,计算复杂度为O(n2)乘法。对于均匀分布的RLC互连线,所述的状态空间模型的闭合式的计算复杂度仅仅是O(1),仅仅为一固定常数。本发明确保低阶模型的稳定性,相对AWE等等其他方法而言,这可是一个有用的特征。
[0025]建立原始的2n阶模型的系统如下:分布电路的阶数如一般的假定取为2n。于是,RLC互连线,如图1所示有n段,i=1,…,n,每段有一分布电阻Ri和分布电感Li连接二个邻接的结点,和一分布电容Ci从结点到地,输入端连接一源电压vin(t),于是输出端有一电压vo(t)。下标是桉序从终端到输入端,不同于一般的从输入端到输出端。结点i和结点电压vi(t)也如此编号,i=1,…,n。在以后发展传递函数的递推算法时,此处理方式的长处就会显示出来。一般互连线有一个源电阻月Rs,一个负载电阻R0和一个负载电容C0,此时其源电压记为vin(t)=vs(t)。称此为电路模型1,如图1所示。
[0026]考虑电路模型1,取状态变量向量x(t),输入变量u(t)和输出变量y(t),分别为x(t)=[vT(t) vT(t)]T,v(t)=[vn(t),vn-1(t),…,v1(t)]T,u(t)=vin(t),y(t)=vo(t)=v1(t), (3)其中状态变量x(t)∈R2n,输入变量u(t)∈R,输出变量y(t)∈R或者为多输出,所考虑的分布互连线电路。其图1所示分布RLC电路的状态空间模型{A,B,C,D}为
C=[J 0],J=[0 ...0 1],D=0 (8)
其中A∈R2n×2n,A21∈Rn×n,A22∈Rn×n,B∈R1×2n,B1∈R1×n,C∈R2n×1,J∈Rn×1,和D∈R。
这是图1模型1的2n阶分布互连线的严格的状态空间模型的一个闭合式,其中通常n>>1。但是这闭合式对任意n>1成立。
[0027]对特殊情况n=1,上述模型退化,将在后述章节叙述。它常与模型简化有关,而分布互连线特征是由一个非常高的2n阶所表征。
[0028]建立状态空间模型的方法如下:
[0029]方法SS1(状态空间模型1):
(i)设置阶数2n.
(ii)设置状态矩阵A如(5)
A11=0,n×n零矩阵; (9)
A12=I,n×n单位矩阵; (10)
A21如(6), (11)
A22如(7),然后置 (12)
(iii)置输入矩阵B,2n×1列矩阵如(8)
(a)bi=0,i=1,…,2n,然后(b)bn+1=1/CnLn (14)
(iv)置输出矩阵C为1×2n行矩阵如(8)
(a)ci=0,i=1,…,2n,然后(b)cj=1,j∈I[1,n];通常j=n, (15)
其中第n-j+1个结点为所选输出结点。
(v)置直接输出标量矩阵D=0。
(vi)于是模型1的状态空间模型{A,B,C,D}已建立,停。
[0030]另一种描述电路系统的常用模型是其传递函数。它建立了S域(频率域)中从输入信号向量到输出信号向量的关系。图1中的分布RLC互连线电路模型1的传递函数是由本发明的状态空间模型通过MATLAB的指令ss2tf求得。
[0031]图2中模型是没有源和负载影响的分布互连线本身,可看作图1中模型1的特殊情况,通过置源电值和负载电容为0,和负载电阻为无穷大,
Rs=0,C0=0,和1/R0=0。 (16)
[0032]图1中的另外一个特殊情况是均匀的互连线如图3中的
Ri=R,Ci=C和Li=L,i=1,…,n。 (17)
其与互连线的寄生参数的关系为
R=Rt/n,C=Ct/n和L=Lt/n (18)
其中寄生电阻Rt,寄生电容Ct,和寄生电感Lt是互连线的“总”电阻,“总”电容,和“总”电感。这儿用带引号的“总”是因为实际上这是分布的,不是总的。
[0033]另外一个特殊情况是图3中的均匀互连线不带有源和负载元件如图4所示。因此,这也是图2为均匀分布的一个特殊情况如(17)和(18)。
[0034]相应的时域和频域分析能容易地通过所导得的状态空间闭合式执行MATLAB的step和bode命令。
[0035]考虑互连线的模型简化,这儿提出一个易综合和可实现的2m阶上述推导所得的模型,带有最优参数使得定义的最优模型简化的性能指标最小。这也常倾向于用均匀分布的2m阶模型为了简化模型的简单性。上述的状态空间闭合式被用于寻找最优简化模型的参数。因为简化模型有如图1-4相同结构,所以运用图1-4中的相应低阶2m阶RLC互连线来综合,有显见的可综合性。
[0036]本发明的闭合式可进一步用于对2m阶寄生RLC互连线作均匀长度段的简化模型的近似分析。我们称此2m阶寄生模型为均匀长度阶(ELO)简化模型。所以,本发明的方法和算法可用于评估ELO简化模型。
[0037]本发明中的一个优选的方式是RLC互连线本身的模型简化不包含其源和负载部分的任何畸曲变化。然后将此简化模型连接到其实际的源和负载部分。于是这简化模型不受各种源和负载部分的影响并能与其连接。
[0038]本发明的各种形式能包括本发明中任意部分发明和任意目前的有关RLC互连线和传输线的建模和分析的已知方法相结合,或者和任意目前已知方法的组合相结合。
五.具体实施方式
[0056]本发明的优选的实施方式将在此详细叙述。
[0057]第A节叙述寻找RLC互连线的状态空间模型参数的方法如所述的闭合式。B节讨论从状态空间模型求得传递函数模型。C节讨论那些互连线的模型简化。D节阐述利用性能评估决定简化模型的近似。E节讨论所述方法的稳定性和复杂度特征。最后第F节给出实验结果。
A.状态空间模型的直接计算
A.1.模型1-带源和负载:
[0058]一个优选的方式是模型1如图1所示和前面所简述的状态空间模型(4)通过闭合式如(5)-(8)可有下述方式产生:
C=[J 0],J=[0 ... 0 1],D=0 (22)
[0059]这里子系统矩阵A21有3条对角线元素:上对角线,对角线,下对角线:及其最后一列向量。其第i行,i=2,…,n-2,有元素Cn-i+1和Ln-i+1,并且其3条对角线元素的行和等于0,i=2,…,n-2。其第n-1行和等于
其最后一列向量元素都有负载电阻R0。第1行有元素Cn,Ln,Ln-1,Rn,Rn-1,和源电阻Rs。其最后一行有元素C1,L1,R1和负载电阻R0和电容C0,其行和为
其对角线元素是负的,为
其上对角线元素是正的,为
其下对角线元素是正的,为
,和
矩阵A21的所有其他元素都为0。
[0060]子系统矩阵A22是上三角矩阵。它的元素是有关于电阻Ri与其同一段电感Li的比例值,一电容Ci与一电容Cj的比例值。其最后一行有元素L1,R1,C1负载电阻R0和电容C0。第1行有元素Rn+Rs,Ln和Ln-1。其第i行有元素Rn-i+1,Rn-i,Ln-i+1,Ln-i and Cn-i+1 for i=1,…,n-1。其第i列有元素Cn-i+1,i=2,…,n。这些特征反映了分布互连线的结构与其元素下标序列的关系。
[0061]输入矩阵B仅有一个非另元素在第(n+1)行:
bn+1=1/CnLn, (26)
输出矩阵C的行只有一个非另元素1:
cn=1, (27)
直接输出矩阵D为0。所以,这个状态空间模型的计算复杂度仅为O(n2)乘法。
[0062]如果需要第i个结点的电压,就令输出矩阵C其第i位元素为1,其余元素为0,C=[0…1…0],而其系统矩阵A,输入矩阵B和直接输出矩阵D,各自均不变在(19)-(22)中。于是这状态空间模型可以表示和检测任意结点的电压,只需调整其相应的输出矩阵C。
[0063]方程式(19)-(22)是图1中2n阶分布互连线模型1的严格的状态空间模型的一个闭合式,这儿通常n>>1。但是这闭合式对任意n>1都是有效的。其通常相应的方法和算法是如上一章的方法SS1所示。
[0064]当n=1,上述模型退化为:
C=[1 0](29)
这常常是有关于阶数2的简化模型,而RLC分布互连线的特征是要非常高的2n阶来表征。
A.2.模型2-不带源和负载部分:
[0065]本节是提供产生模型2的状态空间模型的闭合式方法。图2所示模型2为互连线本身,没有来自各种不同源和负载的影响和摄动(扭曲)。这种情况是非常重要的,因为它描述了一个分布RLC互连线的传播延迟特征而没有负载阻抗和源阻抗的扭曲。其状态空间模型的闭合式如下:
B=[0… 0 1/(CnLn) 0 … 0]T,C=[0 … 0 1 0 … 0],D=0,n≥1。 (33)
[0066]当n=1时,其状态空间模型是
C=[1 0],D=0。 (34)
[0067]由此可见,闭合式公式(30)-(33)对n=1也是有效的,如果取矩阵A21和A22的右下角元,B矩阵中子矩阵B1的顶元,C矩阵中第一块的最右面元作为降阶形式。
[0068]相似于前述的方法,一个求得模型的方法和计算算法如下:
[0069]方法SS2:
i)置阶数2n。
ii)置矩阵A如(30),
A11=0,n×n零矩阵; (35)
A12=I,n×n单位矩阵; (36)
A21如(31), (37)
A22如(32),然而置 (38)
iii)置输入矩阵B,2n×1列矩阵如(33)
(a)bi=0,i=1,…,2n,然而(b)
iv)置输出矩阵C,1×2n行矩阵如
(a)ci=0,i=1,…,2n,然而(b)cj=1,j∈I[1,n];(通常j=n),(41)
为了选结点n-j+1作为输出结点;
v)置直接输出矩阵D=0;
vi)停
[0070]通过闭合式(30)-(33)就为模型2建立了状态空间模型{A,B,C,D}。
A.3.模型3-均匀分布,带源和负载:
[0071]本节提供建立图3中的模型3的均匀的RLC互连线带有源和负载的严格状态空间模型的方法如下:
C=[0 ... 0 1 0 ... 0],D=0,n>1.(45)
[0072]对特殊情况n=1,上述模型退化为
C=[1 0],D=0. (47)
[0073]闭合式显示了源和负载在模型3中的影响是通过比例因子Rs/R,R/R0和C0/C。当这些比例因子非常小时,它们可以分别忽略不计。模型3的一个极端的特例是模型4,它删去闭合式中所有这些因子。
[0074]应当指出和特别强调的是上述的闭合式只包含固定的非常有限次数的乘法和除法,对任意高的阶数n(n>>1)。其计算复杂度是固定的小于O(n),仅为O(1)!
[0075]获得模型的方法和计算的算法是相似于前述的如下。
[0076]方法SS3:
i)置阶数2n。
ii)置系统矩阵A如(42)
如n=1,置
A21如(46), (48)
A22如(46),然而置 (49)
置 (50)
C=[1 0]和D=0 (51)
停。
如果n>1,转下步。
iii)置
A11=0,n×n零矩阵, (52)
A12=I,n×n单位矩阵, (53)
A21如(43), (54)
A22如(44),然而置 (55)
iv)置输入矩阵B,2n×1列向量如(45)
(a)bi=0,i=1,…,2n,然而(b)bn+1=1/CL (57)
v)置输出矩阵C,1×2n行向量如
(a)ci=0,i=1,…,2n,然而(b)cj=1,j∈l[1,n];(通常j=n), (58)
为了选结点n-j+1作为输出结点.
vi)置直接输出矩阵D=0。
vii)停。
[0077]于是对模型3通过{A,B,C,D}上述闭合式(42)-(45)建立了状态空间的模型3。
A.4.模型4-均匀分布,不带源和负载:
[0078]本节给出产生均匀分布的互连线本身的状态空间模型的方法。图4给出了模型4的电路。其没有各种源和负载的任意扭曲。其状态空间模型的闭合式如下。
C=[0 ... 0 1 0 ... 0],D=0,n≥1. (62)
[0079]当n=1的特殊情况,上述模型退化为
C=[1 0],D=0。 (63)
由此可见,闭合式公式(59)-(62)对n=1也是有效的。
[0080]应当强调指出上述闭合式仅仅只需2次乘法和2次除法对无论任意大的n(n>>1)。这表明计算复杂度是一常数4,也就是O(1)!
[0081]产生均匀互连线和传输线模型的方法和算法与上述相似如下。.
[0082]方法SS4:
i)置阶数2n。
ii)置系统矩阵A如(59)
如果n=1,置
A21=-1/CL如(63), (64)
A22=-R/L如(63),然而置 (65)
置 (66)
B=[0 1/CL]T,C=[1 0],D=0如(63) (67)停。
如果n>1,转下一步。
iii)置
A11=0,n×n零矩阵; (68)
A12=1,n×n单位矩阵; (69)
A21如(60), (70)
A22如(61),然而置 (71)
iv)置输出矩阵B,2n×1列向量如(62)
(a)bi=0,i=1,…,2n,然而(b)bn+1=1/CL (73)
v)置输出矩阵C,1×2n行向量如
(a)ci=0,i=1,…,2n,然而(b)cj=1,j∈I[1,n];(通常j=n), (74)
为了选结点n-j+1作为输出结点.
vi)置直接输出矩阵D=0。
vii)停。
[0083]于是通过所述的模型4的闭合式(59)-(62)建立了其状态空间模型{A,B,C,D}。
B.由状态空间模型求传递函数模型
[0084]本节是阐述怎样运用上面所发展的概念由状态空间模型来求RLC互连线到其任一输出结点的传递函数。考虑图1-4中的一般的分布RLC互连线和传输线。
[0085]由于状态空间模型已由闭合式求得,于是通过MATLAB指令ss2tf即可容易地求得互连线由输入到其任一输出结点的传递函数Tn(s)。由于状态空间模型是精确的,于是传递函数也是相当精确的。
C.模型简化和近似的阶数
[0086]已经阐明了怎样通过上述精确的闭合式求得严格的状态空间模型的方法和进一步求得相当精确的传递函数方法。但是计算这些严格的模型对典型的大分布互连线的阶数是高达上千。在实践中,没有必要计算如此高阶的RLC互连线,因为瞬态行为能够用低阶模型精确地表征,例如,用少数主导极点(通常几十个极点)。现在上述所快速产生的精确的状态空间模型和传递函数模型提供了模型简化或者模型截断,以及进一步比较的基础和出发点。例如,平衡截断法(BTM)能够运用于上述状态空间模型作模型简化。另外所得的传递函数可用于通过频率域的模型简化方法,如AWE,Pade近似和其他有关方法。通过对原始模型性能的比较,按照所需近似性能,例如精度和频率范围,可决定简化模型的近似阶数。
[0087]上述模型对于揭示ELO简化模型和原始高阶模型之间的关系是非常有效的。其方法如下。
[0088]考虑一个2n阶均匀分布的RLC互连线的电路如图4所示,其总长度电阻Rt,总长度电感Lt,和总长度电容Ct,如(18)所示。其原始2n阶均匀分布模型是如(59)-(63)所示。其2m阶ELO模型{Aem,Bem,Cem,D}是
Cem=[0 … 0 1 0 … 0],D=0,n≥1 (77)
其中Aem∈R2m×2m,Aem21∈Rm×m,Aem22∈Rm×m,Bem∈R2m×1,Cem∈R1×2m,而R,L和C是原始2n阶模型的参数,其阶数简化的比例是
r=n/m。 (78)
[0089]本发明的方法可运用于图3一带源和负载的均匀分布的RLC互连线的电路。其2n阶原始模型是(42)-(45)。然后,其2m阶ELO状态空间模型{Aem,Bem,Cem,D}是
Cem=[0 … 0 1 0 … 0],D=0,n>1 (82)
其中Aem∈R2m×2m,Aem21∈Rm×m,Aem22∈Rm×m,Bem∈R2m×1,Cem∈R1×2m,而R,C和L是原始2n阶模型的参数。模型简化比是r=n/m。
[0090]上述方法揭示了ELO带源和负载的模型取决于其分布参数和外部参数的参数比R/Rs,R/R0,C/C0,(Rt/Rs,Rt/R0,Ct/C0)和阶数简化比r。有二种外部参数的极端情况:一种是没有外部参数即只有互连线本身,不含任何畸曲,另一种是含起主导作用的大的外部参数。一个通常情况是间于这二极端情况之间。但是对互连线本身的简化模型可用于连接各种的外部源和负载参数。
D.确定瞬态响应和Bode图
[0091]进而,上述的原始模型和简化模型可用于确定和研究瞬态响应和Bode图(频率响应),即他们的时域性能和频域性能。例如用一些简单的MATLAB指令step(A,B,C,D)或step(n,d)作时域阶跃响应,bode(n,d)和bode(A,B,C,D)作频域Bode图。这些性能图和数据也可方便地比较原始模型和其简化模型。
E.计算复杂度和稳定性特征
[0092]上述发明的新方法的RLC互连线状态空间模型的计算复杂度是O(n2),n是RLC节数,阶数是2n,远小于传统方法的复杂度O(nk),k>2或k>3。这儿需强调的是这儿所说的计算复杂度是基于乘除法的次数。而传统方法有时仅基于通过元件径路的次数。对此当然是线性的。所以这儿的计算复杂度更严格,更精确。这儿的复杂度O(n2)是因为新的状态空间模型的闭合式方法避免了矩阵求逆或矩阵分解和矩阵乘法。
[0093]但是,对均匀分布的RLC互连线,所说的状态空间模型的闭合式计算复杂度仅是一个固定的常数,即O(1)。而互连线和传输线,树和网络常常是由均匀分布的次互连线和次传输线构成。于是,这新发明的状态空间模型方法计算复杂度用于树或网络将是这些树和网络的指数乘以O(1),这将是远小于O(n),其中n是总树或网络的阶数。
[0094]这些方法导致了2n阶分布RLC互连线和传输线系统的严格精确的模型。所以,这些方法保证所导出的模型的稳定性。而且其数值计算也是稳定,这是对任意阶的模型。这些方法也能与数据的比例尺法和其他技术相结合。
[0095]本发明方法是特别有效于互连线阻抗分布特性的建模,由于其如此简单的状态空间模型计算和如此容易地求得互连线由输入到其任一输出结点的传递函数模型,再加上其高精度。
F.实验结果
[0096]所述的状态空间模型的闭合式对于时域的仿真是非常有用。特别是对于时域常用的试验和评估的阶跃响应。如果一个系统是用传递函数描述,它常将首先转换成时域的状态空间以求阶跃响应。但是,传递函数是对频域仿真和评估十分有用,特别是作频域评估分析常用的Bode图。如果一个系统是用状态空间模型描述的,它将首先转换成频域的传递函数以求Bode图。
[0097]所述的方法现在将用于计算两均匀分布RLC互连线的阶跃输入的瞬态响应和频率响应的Bode图。例子1是互连线和传输线本身,而例子2是互连线带源和负载。然后,所得的原始模型的阶跃响应和Bode图将和其BTM和ELO简化模型的相应的阶跃响应和Bode图分别比较。
[0098]例1:考虑一均匀分布的RLC互连线模型4,0.01cm长,分布特征数据:电阻5.5kΩ/m和电容94.2pF/m。一个200阶模型作为原始模型其有R=5.5·10-3Ω和C=9.42·10-5pF,其电感值由材料中的光速和电容值求得为L=2.831·10-13H。
[0099]例2:考虑相同于例1中的均匀分布RLC互连线,但带有一源电阻Rs=500Ω,负载电阻R0=1MΩ和负载电容C0=1pF如图3所示。这儿,这些外部参数比起分布参数R,L和C是主导的。
[0100]例1A:应用方法SS4于例1的模型4,其200阶的原始状态空间模型S={A,B,C,D}是
B=[0 B1]T=[0 0 … 0 3.7511·1028 0 … 0]T,C=[0 … 0 1 0 … 0]and D=0。
其传递函数可以由递推方法求得。但是由于分布参数非常小,可以结合比例尺法使用。
[0101]图5显示了200阶原始模型阶跃响应,由所述的状态空间模型的闭合式求得。
[0102]图6显示了200阶原始Bode图,由所述的状态空间模型方法求得。
[0103]Bode图既可以从上述的状态空间模型求得,也可用MATLAB指令ss2tf从上述的状态空间模型得其传递函数再求得,或者从其另一发明递推方法得到的传递函数求得。但是来自其另一发明递推算法的传递函数所作的Bode最精确。原始模型显示了当频率高于一定范围时,频率增加时Bode图有增加的衰减。但简化模型当频率高于某一频率时其Bode图曲线不能跟随这一特性,我们称此频率为模型近似的失真(或分离)频率。但是求时域阶跃响应时,状态空间模型最方便和最精确。
[0104]例1B:实验数据包括例1中原始模型和2,4,和20阶ELO简化模型。ELO简化模型即是2m阶模型4带有R,L,和C成比例于其片段长度。ELO模型是用上述发明的方法得到。
[0105]图7显示了其2阶(n=1)ELO模型阶跃响应,由所述的状态空间模型的闭合式求得。
[0106]图8显示了其2阶(n=1)ELO模型的Bode图,由所述的状态空间模型方法求得。
[0107]图9显示了其4阶(n=2)ELO模型阶跃响应,由所述的状态空间模型的闭合式求得。
[0108]图10显示了其4阶(n=2)ELO模型的Bode图,由所述的状态空间模型方法求得。
[0109]图11显示了其20阶(n=10)ELO模型阶跃响应,由所述的状态空间模型的闭合式求得。
[0110]图12显示了其20阶(n=10)ELO模型的Bode图,由所述的状态空间模型方法求得。
[0111]这些仿真说明了低阶的ELO简化模型不能很好地代表原始的均匀分布的RLC互连线。
[0112]所以从时域响应来看一高阶的ELO模型是需要的,对一个足够好的近似于200阶原始模型。很明显也很自然,ELO模型的阶数越高,其近似越好。
[0113]例2A:应用所说的方法于例2中的模型3,其200阶原始模型S为
B=[0 B1]T=[0 0 … 0 3.7511·1028 0 … 0]T,C=[0 … 0 1 0 … 0]
[0114]图13显示了一个上述原始模型但C0=0的阶跃响应,由所述的状态空间模型的闭合式求得,以便显示一些RLC互连线的特殊的特性。
[0115]图14显示了这个原始模型但C0=0的Bode图,由所述的状态空间模型方法求得。
[0116]例2B:考虑例2A中的均匀分布RLC连线但C0=0,200阶的原始模型,并考虑A3和B3节的方法产生的其BTM简化模型。
[0117]图15显示了这个原始模型及其1阶和2阶BTM模型的阶跃响应。其中最陡的曲线是原始模型的曲线,底下的曲线是2阶BTM模型的曲线,最高的曲线是1阶BTM模型的曲线。
[0118]图16显示了这个原始模型及其1阶和10阶BTM模型的Bode图。其中最多峰的曲线是原始模型的曲线,次多峰的曲线是10阶BTM模型的曲线,平直的曲线是1阶BTM模型的曲线。
[0119]这些低阶的BTM模型简化的误差是显而已见的大。这也说明所述的新方法和技术对建模和模型简化以及模型比较是非常有用的和有效的。
[0120]由此可见,综上所述,本发明的方法是有用的,稳定的,精确的,另一方面它们又是容易的,简单的,有效的,具有低计算复杂度以及低计算时耗。