CN100405380C - 用于建立rlcg电路模型的方法 - Google Patents

Abstract

一种用于建立RLCG电路模型的方法，其特征在于建立一种包括电阻、电感、电容、电导RLCG电路模型，建立步骤包括：(a)按实际版图的互连线的主干和分支的拓扑结构建立互连线树的π型电阻、电感、电容、电导的电路模型的步骤；(b)确定步骤(a)中建立的电路模型主干和各支路的级联数的步骤；(c)根据(a)、(b)所述的步骤，按克希霍夫电压定律和克希霍夫电流定律确定时域状态空间的数学模型。本发明用于建立RLCG电路模型的方法，使模型更贴近实际，所得的数学模型的系数矩阵形式简洁，运算速度快，所得结果精确。

Description

用于建立RLCG电路模型的方法

技术领域

本发明涉及一种用于建立电路模型的方法，特别涉及一种用于建立RLCG电路模型的方法。

背景技术

随着0.18微米集成电路工艺技术的出现，来自互连负载的延时明显增加。对于采用90纳米技术实现的标准单元ASIC(专用集成电路)来说，电路单元与互连的延时比例已经接近2∶8。也就是说，随着超大规模集成电路技术的发展，互连线(interconnect)的时延已经成为决定电路速度的重要因素。传统的以器件为核心的设计方法已向以互连线为核心的时序驱动(Timing Driven)的设计方法转变。

高速集成电路设计要求前端综合与下游的布局布线工具之间进行多次设计反复，以获得时序收敛。布局中间结果的质量评价以及布局结果的调整都要求在布局阶段及时地对时延做出评估。如果时序估计与实际的布局布线后延迟情况出入比较大而存在时序冲突的话，从前端到后端的设计反复次数将大大增加，使获得时序收敛所需的工作量将大大地增加。

随着芯片工作频率的提高和集成规模的增大，对时延估算的精度及速度不断提出新的要求。片上系统(SoC)的出现对模型的延时估算精度和速度提出了更高的要求。

因此，建立能满足高速电路设计需要的快速而又精确的互连线时延方法是目前超大规模的高速集成电路(0.18微米以下工艺)设计中亟待解决的一个问题。它对于的时延验证、门级模拟以及性能驱动的版图设计具有重要的理论意义和实践意义。

时延评估方法的关键是设法建立互连线的各种时延模型。从电路的角度看，有仅考虑互连线本身的电阻R和对地的电容C的RC模型；有考虑互连线电感L的RLC模型；但是与实际的高速电路最接近的应该是再考虑对地电导G的RLCG模型。

在先技术中，发明人徐勤卫，李征帆和陈文，提供一种用于模拟高速互连线瞬态响应的高效数值方法《电子学报，1999，27(11)：114-116》。它采用分布参数，通过偏微分方程求得瞬态响应的解析解或数值解。用这种方法处理单根的互连线尚可，但处理互连线的大规模的树型结构存在一定的难度。

互连线模型也可采用集总参数。集总参数模型的阶数趋于无穷时可逼近分布参数模型。但此时模型的规模必定十分庞大。当模型的每一项元素表达比较复杂(如含双曲函数)的话，这种高阶模型的计算将十分耗时。此外，计算的复杂度又跟互连线树型结构的分叉级数有关，一般对于分叉采用叠代算法，其计算过程更无法忍受。为了节省大规模树结构的运算时间，人们提出了不少模型简化(model reduction)的方法，用低阶的模型来近似原始的高阶模型。低阶模型虽然快速，但是存在着较大误差、误差不容易控制以及不稳定等一系列问题。

在先技术中，研究时延特性的互连线集总参数模型主要是沿着Elmore时延，如W.C，Elmore，提供的The Transient Response of Damped Linear Network withParticular Regard to Wideband Amplifiers(关于宽带放大器阻尼线性网络的瞬态响应)《Journal of Applied Physics，19(1)：55-63，1948》，矩匹配(moment matching)如Ismail，Y.I.E.G.Friedman and J.L.Neves.提供的Equivalent Elmore delay for RLCtrees(RLC树的等效Elmore时延)《IEEE Trans，2000，CAD 19(1)：83-97》，这一思路发展，模型大多是从频域传输函数来着手建立的。从频域再转换到时域进行时延估算不可避免将影响估算的速度和精度。

发明内容

本发明的目的是为了克服上述在先技术中所存在的问题，提供一种用于建立包括高阶电阻、电感、电容、电导电路模型的方法，

为了实现上述目的，本发明采用的技术方案是：一种用于建立RLCG电路模型的方法，其特征在于建立一种包括电阻R、电感L、电容C、电导G电路模型，建立的方法步骤是：

(a)首先，建立互连树的电路模型，按照实际版图互连树的主干和分支路的拓扑结构建立互连线树的π型包括电阻R、电感L、电容C、电导G的电路模型；

(b)确定上述步骤(a)中所建立的电路模型主干与各支路的级联数；

(c)根据克希霍夫(Kirchhoff)电压定律和克希霍夫电流定律基于上述(a)(b)步骤的结果建立时域状态空间的数学模型为：

$\stackrel{\·}{x}\left(t\right)=\mathrm{Ax}\left(t\right)+\mathrm{Bu}\left(t\right)$

y(t)＝Cx(t)+Du(t)

其中：A为包含电阻R、电感L、电容C、电导G的矩阵，B为包含电感L的矩阵，C为0和1组成的矩阵，D为零；

x为2m维的向量，各维的值为主干电路和各分叉支路各级联的电流I和级联节点电压V交替，其中m为主干和各支路电路的级联数的和；

为x(t)向量各维对时间t求导；

u(t)为输入电压；

y(t)为输出电压。

本发明与现有技术比较，有诸多的优点：

(1)本发明的模型A矩阵基本上只有对角线三行元素，形式简洁，又在时域表达，因而估计信号时延在时域中运算不必转换，速度较快，在MATLAB进行阶跃响应的仿真，瞬间即可完成；

(2)本发明在电路模型中引进了电导G，使模型更贴近实际；

(3)矩阵大小仅与支路个数的1次方成正比，对于一般的复杂互连线电路可直接使用高阶模型，因而结果比较精确；

(4)本发明相比单根互连线的结果，给出了复杂互连线树的一般结果，更为通用，实用性更强。

附图说明

图1是不带信号源和负载的单根互连线的RLCG电路模型；

图2是带信号源的单根互连线的RLCG电路模型；

图3是带负载的单根互连线的RLCG电路模型；

图4是2级2分叉互连线树的RLCG电路模型；

图5是4级多分叉互连线树RLCG电路模型；

图6是4级多分叉互连线树的RLCG电路模型的状态方程的系数A矩阵结构；

图7是任意分叉互连线树的RLCG电路模型；

图8是一个用于实际运算的实施例的芯片版图；

图9是建立图8中实施例的π型RLCG的电路模型。

R为电阻、L为电感、C为电容、G为电导

具体实施方式

以下结合附图，进一步说明本发明的特点。

图1是不带信号源和负载的单根互连线的RLCG电路模型，电路由π型电阻R、电感L、电容C和电导G组成，R和L为互连线本身的电阻和电感，C和G为互连线对地的电容和电导。每一级电阻与电感串联；电容与电导并联。本级的电感与后级的电阻的连接处和本级的电容电导的一端相交组成节点。整个电路的节点自左到右分别为节点1、节点2……直到节点n-1、节点n。

根据图1所构成的不带信号源和负载的单根互连线的RLCG电路模型，求得该电路模型的级联数。

不带信号源和负载的单根互连线的时域状态空间的数学模型推导如下：

对于图1电路各支路，根据克希霍夫(Kirchhoff)电压定律和克希霍夫电流定律有：

$\left\{\begin{array}{c}{V}_{\mathrm{in}}-V_1={\mathrm{RI}}_1+L\frac{{\mathrm{dI}}_1}{\mathrm{dt}}\\ I_1-I_2=C\frac{d{V}_1}{\mathrm{dt}}+{\mathrm{GV}}_1\\ V_1-V_2={\mathrm{RI}}_2+L\frac{{\mathrm{dI}}_2}{\mathrm{dt}}\\ I_2-I_3=C\frac{{\mathrm{dV}}_2}{\mathrm{dt}}+{\mathrm{GV}}_2\\ \·\\ \·\\ \·\\ V_{n-2}-V_{n-1}={\mathrm{RI}}_{n-1}+L\frac{{\mathrm{dI}}_{n-1}}{\mathrm{dt}}\\ I_{n-1}-I_n=C\frac{{\mathrm{dV}}_{n-1}}{\mathrm{dt}}+{\mathrm{GV}}_{n-1}\\ V_{n-1}-V_n={\mathrm{RI}}_n+L\frac{{\mathrm{dI}}_n}{\mathrm{dt}}\\ I_n=C\frac{{\mathrm{dV}}_n}{\mathrm{dt}}+{\mathrm{GV}}_n\end{array}\right.$

整理后得：

$\left\{\begin{array}{c}L\frac{{\mathrm{dI}}_1}{\mathrm{dt}}=-V_1-{\mathrm{RI}}_1+V_{\mathrm{in}}\\ C\frac{{\mathrm{dV}}_1}{\mathrm{dt}}=-I_1-{\mathrm{GV}}_1+I_2\\ L\frac{{\mathrm{dI}}_2}{\mathrm{dt}}=V_1-{\mathrm{RI}}_2-V_2\\ C\frac{{\mathrm{dV}}_2}{\mathrm{dt}}=-I_2-{\mathrm{GV}}_2+I_3\\ \·\\ \·\\ \·\\ L\frac{{\mathrm{dI}}_{n-1}}{\mathrm{dt}}=V_{n-2}-{\mathrm{RI}}_{n-1}-V_{n-1}\\ C\frac{{\mathrm{dV}}_{n-1}}{\mathrm{dt}}=-I_{n-2}-{\mathrm{GV}}_{n-2}-I_{n-1}\\ L\frac{{\mathrm{dI}}_n}{\mathrm{dt}}=V_{n-1}-{\mathrm{RI}}_n-V_n\\ C\frac{{\mathrm{dV}}_n}{\mathrm{dt}}=-I_n-{\mathrm{GV}}_n\end{array}\right.$

表达为状态空间模型

$\stackrel{\·}{x}\left(t\right)=\mathrm{Ax}\left(t\right)+\mathrm{Bu}\left(t\right)$

y(t)＝Cx(t)+Du(t)

式中

$\stackrel{\·}{x}={[\frac{{\mathrm{dI}}_1}{\mathrm{dt}}\frac{{\mathrm{dV}}_1}{\mathrm{dt}}\frac{{\mathrm{dI}}_2}{\mathrm{dt}}\frac{{\mathrm{dV}}_2}{\mathrm{dt}}\·\·\·\frac{{\mathrm{dI}}_{n-1}}{\mathrm{dt}}\frac{{\mathrm{dV}}_{n-1}}{\mathrm{dt}}\frac{{\mathrm{dI}}_n}{\mathrm{dt}}\frac{{\mathrm{dV}}_n}{\mathrm{dt}}]}^T,$ $\stackrel{\·}{x}\∈R^{2n}$

x＝[I₁ V₁ I₂ V₂…I_n-1 V_n-1 I_n V_n]^T，x∈R²ⁿ

y＝V_out＝V_n，y∈R

u＝V_in，u∈R

{A，B，C，D}分别为

$B_{2n\×1}={\left[\begin{array}{ccccccccc}\frac{1}{L}& 0& 0& 0& \·\·\·& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]}^T$

C_1×2n＝[0000…0001]

D＝0，

{ABCD}系数矩阵特征：

A矩阵矩阵大小为2n×2n，n为电路模型的级联数，n＞0。除了在矩阵的左上至右下对称的3条对角斜线外，其余元素均为0。右上一条对角斜线由a₁₂、a₂₃……a_{(2n-2)，(2n-1)}和a_(2n-1)，2n等2n-1个元素组成，它们的值分别为

和

交替，即 $a_{12}=-\frac{1}{L},$ $a_{23}=-\frac{1}{C},$ $a_{34}=-\frac{1}{L},$ $a_{45}=-\frac{1}{C}\·\·\·\·\·\·a_{(2n-2),(2n-1)}=-\frac{1}{C}$ 和 $a_{(2n-1),2n}=-\frac{1}{L}.$ 中间一条对角斜线由a₁₁、a₂₂……a_{(2n-1)，(2n-1)}和a_2n，2n等2n个元素组成，它们的值分别为

和

交替，即 $a_{11}=-\frac{R}{L},$ $a_{22}=-\frac{G}{C},$ $a_{33}=-\frac{R}{L},$ $a_{44}=-\frac{G}{C}\·\·\·\·\·\·a_{(2n-1),(2n-1)}=-\frac{R}{L}$ 和 $a_{2n,2n}=-\frac{G}{C}.$ 左下一条对角斜线由a₂₁、a₃₂……a_{(2n-1)，(2n-2)}和a_2n，(2n-1)等2n-1个元素组成，它们的值分别为

和

交替，即 $a_{21}=\frac{1}{C},$ $a_{32}=\frac{1}{L},$ $a_{43}=\frac{1}{C},$ $a_{54}=\frac{1}{L},\·\·\·\·\·a_{(2n-2),(2n-1)}=\frac{1}{L}$ 和 $a_{2n,(2n-1)}=\frac{1}{C}.$

B矩阵矩阵大小为2n×1，n为电路模型的级联数，n＞0。除了第1行为

外，其余均为0。

C矩阵矩阵大小为1×2n，n为电路模型的级联数。除了最后一列为1外，其余均为0。

D矩阵D＝0

图2是带信号源的单根互连线的RLCG电路模型，信号源电压Vs，信号源内阻Rs。

根据图2所构成的带信号源的单根互连线的RLCG电路模型，求得该电路模型的级联数。

带信号源的单根互连线的RLCG电路模型的时域状态空间模型除了A矩阵中由于信号源电阻R_S与第一级联中的电阻R为串联关系， $a_{11}=-\frac{\mathrm{Rs}+R}{L}$ 外，其余与不带信号源和负载的单根互连线RLCG电路模型的时域状态空间模型均相同。

图3是带负载的单根互连线的RLCG电路模型，带有负载电容C_L，负载电阻R_L。

根据图3所构成的带负载的单根互连线的RLCG电路模型，求得该电路模型的级联数。

带负载的单根互连线的时域状态空间模型除了A矩阵中由于负载电阻R_L与最后一级联中的电导G为并联关系以及负载电容C_L与最后一级联中的电容C为并联关系，使得 $a_{\left(2n\right),\left(2n\right)}=-\frac{G+R_L^{-1}}{C+C_L}$ 和 $a_{\left(2n\right),(2n-1)}=\frac{1}{C+C_L}$ 之外，其余均与不带信号源和负载的单根互连线模型的时域状态空间模型相同。

图4是2级2支路互连线树的RLCG电路模型，2级2分叉电路即在第0级主干电路后有作为第1级的2个分叉的支路。

主干电路模型与带信号源的单根互连线电路模型相同，信号源Vs，信号源内阻为Rs；支路电路模型与带负载的单根互连线电路模型相同，负载电容、电阻分别为C_L1、C_L2和R_L1、R_L2。。输出端设于最下面的一个支路，即第2个支路末端。

主干与支路都是由n级联的π型RLCG电路构成。主干电路每一级电阻、电感、电容和电导分别为R₀、L₀、C₀和G₀；第1支路电路每一级电阻、电感、电容和电导分别为R₁、L₁、C₁和G₁；第2支路电路每一级电阻、电感、电容和电导分别为R₂、L₂、C₂和G₂。

电路各节点命名如下。主干电路节点为节点1、节点2……直到节点n-1、节点n，第1个支路节点为节点11、12……直到节点1(n₁-1)、1n₁，第2个支路节点为节点21、22……直到节点2(n₂-1)、2n₂。

根据图4所构成的2级2支路互连线树的RLCG电路模型，求得该电路模型的级联数。

2级2支路时域状态空间的数学模型推导如下：

对于电路各节点，根据克希霍夫(Kirchhoff)电压定律和克希霍夫电流定律有：

整理后得

表达为状态空间方程

$\stackrel{\·}{x}\left(t\right)=\mathrm{Ax}\left(t\right)+\mathrm{Bu}\left(t\right)$

y(t)＝Cx(t)+Du(t)

式中

$\stackrel{\·}{x}={[\frac{{\mathrm{dI}}_1}{\mathrm{dt}}\frac{{\mathrm{dV}}_1}{\mathrm{dt}}\·\·\·\frac{{\mathrm{dI}}_n}{\mathrm{dt}}\frac{{\mathrm{dV}}_n}{\mathrm{dt}}\frac{{\mathrm{dI}}_{11}}{\mathrm{dt}}\frac{{\mathrm{dV}}_{11}}{\mathrm{dt}}\·\·\·\frac{{\mathrm{dI}}_{{1n}_1}}{\mathrm{dt}}\frac{{\mathrm{dV}}_{{1n}_1}}{\mathrm{dt}}\frac{{\mathrm{dI}}_{21}}{\mathrm{dt}}\frac{{\mathrm{dV}}_{21}}{\mathrm{dt}}\·\·\·\frac{{\mathrm{dI}}_{{2n}_2}}{\mathrm{dt}}\frac{{\mathrm{dV}}_{{2n}_2}}{\mathrm{dt}}]}^T,$ $\stackrel{\·}{x}\∈R^{2m`}$

$x={[{\mathrm{dI}}_1{\mathrm{dV}}_1\·\·\·{\mathrm{dI}}_n{\mathrm{dV}}_n{\mathrm{dI}}_{11}{\mathrm{dV}}_{11}\·\·\·{\mathrm{dI}}_{1n_1}{\mathrm{dV}}_{{1n}_1}{\mathrm{dI}}_{21}{\mathrm{dV}}_{21}\·\·\·{\mathrm{dI}}_{{2n}_2}{\mathrm{dV}}_{{2n}_2}]}^T,$ x∈R^2m

$y=V_{\mathrm{out}}=V_{2n_2},$ y∈R

u＝Vs，u∈R

$B_{2m\×1}={\left[\begin{array}{ccccccccc}\frac{1}{L_0}& 0& 0& 0& \·\·\·& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]}^T$

C_1×2m＝[0000…0001]

D＝0

各变量下标中m＝n+1n₁+2n₂，n、1n₁、2n₂分别为主干和两个分叉支路电路模型的级联数。

状态变量特征：

A矩阵

A矩阵大小为2m×2m，m＝n+1n₁+2n₂，n、1n₁、2n₂分别为主干和两个分叉支路电路模型的级联数。对于每一支路(包括主干)，一般可使用相同级联数的电路模型，即n＝1n₁＝2n₂，则有m＝kn，k为支路(包括主干)数，对于本2级2分叉电路，k＝3，则A矩阵大小为6n×6n。

主干和支路各组成一个2n×2n的子矩阵。由于主干电路起始端增加了信号源Vs，信号源内阻为Rs，因此主干子矩阵的形式同带信号源的单根互连线模型；由于两个支路末端分别增加了负载电阻R_L1和R_L2以及负载电容C_L1和C_L2，因此两个支路子矩阵的形式同带负载的单根互连线模型。上述主干和支路组成的子矩阵对角排列组成对角子矩阵。次序依次为主干子矩阵、第1支路子矩阵和第2支路子矩阵。除了对角子矩阵外还有下列非0元素：在主干子矩阵的最后一行和两个支路子矩阵的第1列的交叉处有

和

即元素 $a_{2n,(2n+1)}=-\frac{1}{C_1},$ $a_{2n,(4n+1)}=-\frac{1}{C_2};$ 在主干子矩阵的最后一列和两个分叉支路子矩阵的第1行的交叉处有

和

即元素 $a_{(2n+1),2n}=\frac{1}{L_1},$ $a_{(4n+1),2n}=\frac{1}{L_2}.$ 其余元素均为0。

B矩阵

B矩阵大小为2m×1，m＝n+1n₁+2n₂，n、1n₁、2n₂分别为主干和两个支路电路模型的级联数。当n＝1n₁＝2n₂时，B矩阵大小为6n×1。除了第1行为以外，其余均为0。

C矩阵

C矩阵大小为1×2m，m意义同上。当n＝1n₁＝2n₂时，C矩阵大小为1×6n。除了最后一列(即第6n列)为1以外，其余均为0。

D矩阵

D＝0。

图5是一个4级多分叉的互连线RLCG电路模型，图中负载阻抗Z_L为负载电阻R_L与负载电容C_L并联。4级多分叉的互连线电路模型是一个特殊的任意分叉互连线电路模型。一般的任意分叉互连线电路模型可仿照该特殊的任意分叉互连线电路模型得到。

电路的主干和每一支路使用n级联的单根互连线电路模型，主干和每一支路的n可以相同，也可以不同。主干l，后有3个第1级支路，分别为l₁、l₂和l₃。l₁后有2个第2级支路：l₁₁和l₁₂。l₂后也有2个第2级支路：l₂₁和l₂₂。l₂₁后有3个第3级支路：l₂₁₁、l₂₁₂和l₂₁₃。L₂₂后没有再分叉。l₃后没有分叉。包括主干共有11个支路。

同2级2电路，在主干电路的起始端接信号源Vs，信号源内阻为Rs；在每条分叉支路的末端分别接负载阻抗。输出端设于最下方一个支路，即l₃的末端。

根据图5所构成的4级多分叉的互连线RLCG电路模型，分别求得该电路模型的主干电路的级联数和支路的级联数。

仿2级2支路求取时域状态空间的数学模型的方法可以求得本4级多的互连线电路的时域状态空间的数学模型，形式与2级2支路的时域状态空间的数学模型一致，区别在于A、B、C、D四个系数矩阵的形式：

A矩阵构成：主干和每一支路各组成大小为2n×2n的子矩阵，n为各主干电路或每一支路的级联数，各子矩阵的级联数n可以不等。子矩阵对角排列构成对角子矩阵，次序为l、l₁、l₁₁、l₁₂、l₂、l₂₁、l₂₁₁、l₂₁₂、l₂₁₃、l₂₂和l₃。

主干l的子矩阵采用带信号源的单根互连线模型的A矩阵，中间支路l₁、l₂、l₂₁的子矩阵采用不带信号源和负载的单根互连线模型的A矩阵，末端支路l₁₁、l₁₂、l₂₁₁、l₂₁₂、l₂₁₃、l₂₂和l₃的子矩阵采用带负载的单根互连线模型的A矩阵。

每一父干的最后一行与子干的第1列的交叉点增加元素

k为支路下标；每一子干的第一行与父干的最后一列交叉点增加元素

k为支路下标，其结构形式如图6所示。

本4级多支路的互连线电路包括主干共有支路数n_b＝11，取各主干和支路的级联数n相同，A矩阵大小为(2·n_b·n)×(2·n_b·n)＝22n×22n，A矩阵大小与主干和支路数成正比。

B矩阵大小为(2·n_b·n)×1＝22n×1， $B={\left[\begin{array}{ccccccccc}\frac{1}{L_0}& 0& 0& 0& \·\·\·& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]}^T$

C矩阵大小为1×(2·n_b·n)＝1×22n。C＝[0000…0001]

D＝0

图7是任意分叉互连线RLCG电路模型。

同4级多支路，在主干电路的起始端接信号源Vs，信号源内阻为Rs；在每条支路的末端分别接负载阻抗。输出端设于最下方一个分叉支路的末端。

根据图7所构成的任意分叉互连线RLCG电路模型，分别求得该电路模型的主干电路的级联数和支路的级联数。

任意分叉互连线RLCG电路模型的时域状态空间的数学模型可对于电路各节点，根据克希霍夫(Kirchhoff)电压定律和克希霍夫电流定律得到，其形式和4级多支路的互连线电路的时域状态空间的数学模型一致，其矩阵构成可依2级2分叉电路和4级多支路的互连线电路类推为：

A矩阵构成：大小为2m行2m列，m为主干和各支路的级联数的和；主干和每一支路各组成大小为2n×2n的子矩阵，n为各主干电路或每一支路的级联数，各子矩阵的级联数n可以不等。主干电路的子矩阵采用带信号源的单根互连线RLCG模型的A矩阵，中间支路的子矩阵采用不带信号源和负载的单根互连线RLCG模型的A矩阵，末端支路的子矩阵采用带负载的单根互连线RLCG模型的A矩阵；A矩阵大小为2m×2m，A矩阵大小与主干和支路的数目成正比，各子矩阵按对角线排列组成对角子矩阵，子矩阵排列顺序的原则同4级多支路，即按电路图中从左到右、从上到下，左右先于上下选取支路(包括主干)的原则。每一主干子矩阵的最后一行与支路子矩阵的第1列的交叉点增加元素

C为支路k中的电容，k为支路下标；每一子干矩阵的第一行与父干矩阵的最后一列的交叉点增加元素

L为支路k中的电感，k为支路下标，其他元素都为0；

B矩阵大小为2m×1， $B={\left[\begin{array}{ccccccccc}\frac{1}{L_0}& 0& 0& 0& \·\·\·& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]}^T,$ L₀为主干电路中每一级联的电感；

C矩阵大小为1×2m，C＝[0000…0001]；

D＝0。

对于得到的A矩阵、B矩阵、C矩阵可通过作矩阵的相似变换或作降阶，得到新的矩阵形式。

图8是一个用于实际运算的实施例的芯片版图，如图8所示：虚线为网格，单位为1μm×1μm。

G0为信号发送端，0-1为主干l，后接一2分叉分支：1-2为分支l₁；1-3为分支l₂，，l₂后又有分叉：3-4为分支l₂₁，l₂₁终端G₂₁；3-5为分支l₂₂，l₂₂终端G₂₂。

图9是建立图8中实施例的π型RLCG的电路模型，主干和支路电路模型的级联数n取100。

由图8可知，主干和分支的长度分别为l＝3μm，l₁＝2μm，l₂＝3μm，l₂₁＝1μm，l₂₂＝4μm。

信号源内阻R_S＝500Ω，接收端负载电容C_L＝0.15Pf，负载电阻R_L＝∞。

互连线单位长度的电学参数为：r₀＝0.067Ω/μm，l₀＝0.70pH/μm，C₀＝0.062fF/μm，g₀＝0。得到：

R₀＝0.00201Ω，L₀＝0.021pH，C₀＝0.00186fF，G₀＝0；

R₁＝0.00134Ω，L₁＝0.014pH，C₁＝0.00124fF，G₁＝0；

R₂＝0.00201Ω，L₂＝0.021pH，C₂＝0.00186fF，G₂＝0；

R₂₁＝0.00067Ω，L₂₁＝0.007pH，C₂₁＝0.00062fF，G₂₁＝0；

R₂₂＝0.00268Ω，L₂₂＝0.028pH，C₂₂＝0.00248fF，G₂₂＝0。

对于电路各节点，根据克希霍夫(Kirchhoff)电压定律和克希霍夫电流定律得到本时域的状态空间模型：

$\stackrel{\·}{x}\left(t\right)=\mathrm{Ax}\left(t\right)+\mathrm{Bu}\left(t\right)$

y(t)＝Cx(t)+Du(t)

式中

x(t)＝[I_0，1 V_0，1 V_0，2 V_0，2…V_0，99 V_0，99 V_0，100 V_0，100 I_1，1 V_1，1 I_1，2 V_1，2…I_1，99 V_1，99 I_1，100V_1，100 I_2，1 V_2，1 I_2，2 V_2，2…I_2，99 V_2，99 I_2，100 V_2，100 I_21，1 V_21，1 I_21，2 V_21，2…I_21，99 V_21，99 I_21，100V_21，100 I_22，1 V_22，1 I_22，，2 V_22，2… I_22，99 V_22，99 I_22，100 V_22，100]^T(I_ij、V_ij为主干和各支路中各节点对地电容的电流和各节点的电压。i＝0、1、2、21、22；j＝1、2、…99、100)

为x(t)向量对时间t求导。

u(t)＝V_S；y(t)＝V_out

A矩阵大小为1000×1000，有下列元素组成：

$a_{11}=\frac{{-R}_S-R_0}{L_0}=-2.38\×{10}^4;$ $a_{12}=\frac{-1}{L_0}=-4.76\×{10}^{13};$ a₁₃＝0；……a_1，1000＝0；

$a_{21}=\frac{1}{C_0}=5.38\×{10}^{17};$ $a_{22}=\frac{-G_0}{C_0}=0;$ $a_{23}=\frac{-1}{C_0}=-5.38\×{10}^{17};$ a₂₄＝0；……a_2，1000＝0；

a₃₁＝0； $a_{32}=\frac{1}{L_0}=4.76\×{10}^{13};$ $a_{33}=\frac{{-R}_0}{L_0}=-9.57\×{10}^{10};$ $a_{34}=\frac{-1}{L_0}=-4.76\×{10}^{13};$ a₃₅＝0；……a_3，1000＝0；

……

a_198，1＝0；……a_198，196＝0； $a_{\mathrm{198,197}}=\frac{1}{C_0}=5.38\×{10}^{17};$ $a_{\mathrm{198,198}}=\frac{-G_0}{C_0}=0;$ $a_{\mathrm{198,199}}=\frac{-1}{C_1}=-5.38\×{10}^{17};$ a_198，200＝0；……a_198，1000＝0

a_199，1＝0；……a_199，197＝0； $a_{\mathrm{199,198}}=\frac{1}{L_0}=4.76\×{10}^{13};$ $a_{\mathrm{199,199}}=\frac{-R_0}{L_0}=-9.57\×{10}^{10};$ $a_{\mathrm{199,200}}=\frac{-1}{L_0}=-4.76\×{10}^{13};$ a_199，201＝0；……a_199，1000＝0；

a_200，1＝0；……a_200，198＝0； $a_{\mathrm{200,199}}=\frac{1}{C_0}=5.38\×{10}^{17};$ $a_{\mathrm{200,200}}=\frac{-G_0}{C_0}=0;$ $a_{\mathrm{200,201}}=\frac{-1}{C_1}=-8.06\×{10}^{17};$ a_200，202＝0；……a_200，400＝0； $a_{\mathrm{200,401}}=\frac{-1}{C_2}=-5.38{\×10}^{17};$ a_200，402＝0；……a_200，1000＝0

a_201，1＝0；……a_201，199＝0； $a_{\mathrm{201,200}}=\frac{1}{L_1}=7.14{\×10}^{13};$ $a_{\mathrm{201,201}}=\frac{-R_1}{L_1}=-9.57{\×10}^{10};$ $a_{\mathrm{201,202}}=\frac{-1}{L_1}=-7.14{\×10}^{13};$ a_201，203＝0；……a_201，1000＝0；

a_202，1＝0；……a_202，200＝0； $a_{\mathrm{202,201}}=\frac{1}{C_1}=8.06{\×10}^{17};$ $a_{\mathrm{202,202}}=\frac{-G_1}{C_1}=0;$ $a_{\mathrm{202,203}}=\frac{-1}{C_1}=-8.06{\×10}^{17};$ a_202，204＝0；……a_202，1000＝0

a_203，1＝0；……a_203，201＝0； $a_{\mathrm{203,202}}=\frac{1}{L_1}=7.14{\×10}^{13};$ $a_{\mathrm{203,203}}=\frac{-R_1}{L_1}=-9.57{\×10}^{10};$ $a_{\mathrm{203,204}}=\frac{-1}{L_1}=-7.14\×{10}^{13};$ a_203，205＝0；……a_203，1000＝0；

……

a_398，1＝0；……a_398，396＝0； $a_{\mathrm{398,397}}=\frac{1}{C_1}=8.06\×{10}^{17};$ $a_{\mathrm{398,398}}=\frac{-G_1}{C_1}=0;$ $a_{\mathrm{398,399}}=\frac{-1}{C_1}=-8.06{\×10}^{17};$ a_398，400＝0；……a_398，1000＝0

a_399，1＝0；……a_399，397＝0； $a_{\mathrm{399,398}}=\frac{1}{L_1}=7.14{\×10}^{13};$ $a_{\mathrm{399,399}}=\frac{-R_1}{L_1}=-9.57\×{10}^{10};$ $a_{\mathrm{399,400}}=\frac{-1}{L_1}=-7.14{\×10}^{13};$ a_399，401＝0；……a_399，1000＝0；

a_400，1＝0；……a_400，398＝0； $a_{\mathrm{400,399}}=\frac{1}{C_1+C_{L1}}=6.67\×{10}^{12};$ $a_{\mathrm{400,400}}=\frac{-G_1-R_{l1}^{-1}}{C_1+C_{L1}}=0;$ a_400，401＝0；……a_400，1000＝0

a_401，1＝0；……a_401，199＝0； $a_{\mathrm{401,200}}=\frac{1}{L_2}=4.76{\×10}^{13};$ a_401，201＝0；……a_401，400＝0； $a_{\mathrm{401,401}}=\frac{-R_2}{L_2}=-9.57\×{10}^{10};$ $a_{\mathrm{401,402}}=\frac{-1}{L_2}=-4.76{\×10}^{13};$ a_401，403＝0；……a_401，1000＝0；

a_402，1＝0；……a_402，400＝0； $a_{\mathrm{402,401}}=\frac{1}{C_2}=5.38{\×10}^{17};$ $a_{\mathrm{402,402}}=\frac{-G_2}{C_2}=0;$ $a_{\mathrm{402,403}}=\frac{-1}{C_2}=-5.38{\×10}^{17};$ a_402，404＝0；……a_402，1000＝0

a_403，1＝0；……a_403，401＝0； $a_{\mathrm{403,402}}=\frac{1}{L_2}=4.76{\×10}^{13};$ $a_{\mathrm{403,403}}=\frac{-R_2}{L_2}=-9.57{\×10}^{10};$ $a_{\mathrm{403,404}}=\frac{-1}{L_2}=-4.76{\×10}^{13};$ a_403，405＝0；……a_403，1000＝0；

……

a_598，1＝0；……a_598，596＝0； $a_{\mathrm{598,597}}=\frac{1}{C_2}=5.38\×{10}^{17};$ $a_{\mathrm{598,598}}=\frac{-G_2}{C_2}=0;$ $a_{\mathrm{598,599}}=\frac{-1}{C_2}=-5.38{\×10}^{17};$ a_598，600＝0；……a_598，1000＝0

a_599，1＝0；……a_599，597＝0； $a_{\mathrm{599,598}}=\frac{1}{L_2}=4.76\×{10}^{13};$ $a_{\mathrm{599,599}}=\frac{-R_2}{L_2}=-9.57{\×10}^{10};$ $a_{\mathrm{599,500}}=\frac{-1}{L_2}=-4.76\×{10}^{13};$ a_599，501＝0；……a_599，1000＝0；

a_600，1＝0；……a_600，598＝0； $a_{\mathrm{600,599}}=\frac{1}{C_2}=5.38{\×10}^{17};$ $a_{\mathrm{600,600}}=\frac{-G_2}{C_2}=0;$ $a_{\mathrm{600,601}}=\frac{-1}{C_{21}}=-1.61\×{10}^{18};$ a_600，602＝0；……a_600，800＝0； $a_{\mathrm{600,801}}=\frac{-1}{C_{22}}=-4.03{\×10}^{17};$ a_600，802＝0；……a_600，1000＝0

a_601，1＝0；……a_601，599＝0； $a_{\mathrm{601,600}}=\frac{1}{L_{21}}=1.42{\×10}^{14};$ $a_{\mathrm{601,601}}=\frac{-R_{21}}{L_{21}}=-9.57\×{10}^{10};$ $a_{\mathrm{601,602}}=\frac{-1}{L_{21}}=-1.42{\×10}^{14};$ a_601，603＝0；……a_601，1000＝0；

a_602，1＝0；……a_602，600＝0； $a_{\mathrm{602,601}}=\frac{1}{C_{21}}=1.61{\×10}^{18};$ $a_{\mathrm{602,602}}=\frac{-G_{21}}{C_{21}}=0;$ $a_{\mathrm{602,603}}=\frac{-1}{C_{21}}=-1.61{\×10}^{18};$ a_602，604＝0；……a_602，1000＝0

a_603，1＝0；……a_603，601＝0； $a_{\mathrm{603,602}}=\frac{1}{L_{21}}=1.42\×{10}^{14};$ $a_{\mathrm{603,603}}=\frac{{-R}_{21}}{L_{21}}=-9.57\×{10}^{10};$ $a_{\mathrm{603,604}}=\frac{-1}{L_{21}}=-1.42\×{10}^{14};$ a_603，605＝0；……a_603，1000＝0；

……

a_798，1＝0；……a_798，796＝0； $a_{798.797}=\frac{1}{C_{21}}=1.61{\×10}^{18};$ $a_{\mathrm{798,798}}=\frac{-G_{21}}{C_{21}}=0;$ $a_{\mathrm{798,799}}=\frac{-1}{C_{21}}=-1.61{\×10}^{18};$ a_798，800＝0；……a_798，1000＝0

a_799，1＝0；……a_799，797＝0； $a_{\mathrm{799,798}}=\frac{1}{L_{21}}=1.42{\×10}^{14};$ $a_{\mathrm{799,799}}=\frac{-R_{21}}{L_{21}}=-9.57{\×10}^{10};$ $a_{\mathrm{799,800}}=\frac{-1}{L_{21}}=-1.42\×{10}^{14};$ a_799，801＝0；……a_799，1000＝0；

a_800，1＝0；……a_800，798＝0； $a_{\mathrm{800,799}}=\frac{1}{C_{21}+C_{L21}}=6.67{\×10}^{12};$ $a_{\mathrm{800,800}}=\frac{-G_{21}-R_{L21}^{-1}}{C_{21}+C_{L21}}=0;$ a_800，801＝0；……a_800，1000＝0

a_801，1＝0；……a_801，599＝0； $a_{\mathrm{801,600}}=\frac{1}{L_{22}}=3.57{\×10}^{13};$ a_801，601＝0；……a_801，800＝0； $a_{\mathrm{801,801}}=\frac{-R_{22}}{L_{22}}=-9.57\×{10}^{10};$ $a_{\mathrm{801,802}}=\frac{-1}{L_{22}}=-3.57{\×10}^{13};$ a_801，803＝0；……a_801，1000＝0；

a_802，1＝0；……a_802，800＝0； $a_{\mathrm{802,801}}=\frac{1}{C_{22}}=4.03\×{10}^{17};$ $a_{\mathrm{802,802}}=\frac{{-G}_{22}}{C_{22}}=0;$ $a_{\mathrm{802,803}}=\frac{-1}{C_{22}}=-4.03{\×10}^{17};$ a_802，804＝0；……a_802，1000＝0

a_803，1＝0；……a_803，801＝0； $a_{\mathrm{803,802}}=\frac{1}{L_{22}}=3.57{\×10}^{13};$ $a_{\mathrm{803,803}}=\frac{-R_{22}}{L_{22}}=-9.57{\×10}^{10};$ $a_{\mathrm{803,804}}=\frac{-1}{L_{22}}=-3.57{\×10}^{13};$ a_803，805＝0；……a_803，1000＝0；

……

a_998，1＝0；……a_998，996＝0； $a_{\mathrm{998,997}}=\frac{1}{C_{22}}=4.03\×{10}^{17};$ $a_{\mathrm{998,998}}=\frac{-G_{22}}{C_{22}}=0;$ $a_{\mathrm{998,999}}=\frac{-1}{C_{22}}=-4.03\×{10}^{17};$ a_998，1000＝0；

a_999，1＝0；……a_999，997＝0； $a_{\mathrm{999,998}}=\frac{1}{L_{22}}=3.57{\×10}^{13};$ $a_{\mathrm{999,999}}=\frac{{-R}_{22}}{L_{22}}=-9.57{\×10}^{10};$ $a_{\mathrm{999,1000}}=\frac{-1}{L_{22}}=-3.57\×{10}^{13};$

a_1000，1＝0；……a_1000，998＝0； $a_{\mathrm{1000,999}}=\frac{1}{C_{22}+C_{L22}}=6.67{\×10}^{12};$ $a_{\mathrm{1000,1000}}=\frac{-G_{22}-R_{L22}}{C_{22}+C_{L22}}=0.$

B矩阵大小为1000×1， $B={\left[\begin{array}{ccccccccc}\frac{1}{L_0}& 0& 0& 0& \·\·\·& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]}^T,$ 除了第1行元素 $b_{11}=\frac{1}{L_0}=4.76\×{10}^{13}$ 外，其余都为0。

C矩阵大小为1×1000，C＝[000…001]，除了第1000列元素C_1000.1＝1外，其余都为0。

D矩阵为0。

Claims (6)

1.一种用于建立RLCG电路模型的方法，其特征在于建立一种包括电阻R、电感L、电容C、电导G的电路模型的方法步骤是：

(a)首先，建立互连树的电路模型，按照实际版图互连树的主干和支路的拓扑结构建立互连线树的π型包括电阻R、电感L、电容C、电导G的电路模型；

(b)确定上述步骤(a)中所建立的电路模型主干与各支路的级联数；

(c)根据克希霍夫电压定律和克希霍夫电流定律基于上述(a)(b)步骤的结果建立时域状态空间数学模型为：

$\stackrel{\·}{x}\left(t\right)=\mathrm{Ax}\left(t\right)+\mathrm{Bu}\left(t\right)$

y(t)＝Cx(t)+Du(t)

其中：A为包含电阻R、电感L、电容C、电导G的矩阵，B为包含电感L的矩阵，C为0和1组成的矩阵，D为零；

x(t)为2m维的向量，各维的值为主干电路和各支路各级联的电流I和级联节点电压V交替，其中m为主干和支路的级联数的和；

(t)为x(t)向量各维对时间t求导；

u(t)为输入电压；

y(t)为输出电压。

2.如权利要求1所述的用于建立RLCG电路模型的方法，其特征在于：建立不带信号源和负载的单根互连线的RLCG电路模型，使所述A矩阵大小为2n行2n列，n为电路模型的级联数，n＞0，除了矩阵的左上至右下对称的3条对角斜线外，其余元素均为0；右上一条对角斜线由a₁₂、a₂₃……a_{(2n-2)，(2n-1)}和a_(2n-1)，2n的2n-1个元素组成，它们的值分别为

和

交替，即 $a_{12}=-\frac{1}{L},$ $a_{23}=-\frac{1}{C},$ $a_{34}=-\frac{1}{L},$ $a_{45}=-\frac{1}{C}$ …… $a_{(2n-2),(2n-1)}=-\frac{1}{C}$ 和 $a_{(2n-1),2n}=-\frac{1}{L};$ 中间一条对角斜线由a₁₁、a₂₂……a_{(2n-1)，(2n-1)}和a_2n，2n的2n个元素组成，它们的值分别为

和

交替，即 $a_{11}=-\frac{R}{L},$ $a_{22}=-\frac{G}{C},$ $a_{33}=-\frac{R}{L},$ $a_{44}=-\frac{G}{C}$ …… $a_{(2n-1),(2n-1)}=-\frac{R}{L}$ 和 $a_{2n,2n}=-\frac{G}{C};$ 左下一条对角斜线由a₂₁、a₃₂……a_{(2n-1)，(2n-2)}和a_{2n，(2n-1 )}的2n-1个元素组成，它们的值分别为

和

交替，即 $a_{21}=\frac{1}{C},$ $a_{32}=\frac{1}{L},$ $a_{43}=\frac{1}{C},$ $a_{54}=\frac{1}{L},$ …… $a_{(2n-2),(2n-1)}=\frac{1}{L}$ 和 $a_{2n,(2n-1)}=\frac{1}{C}.$

3.如权利要求1所述的用于建立RLCG电路模型的方法，其特征在于：建立带信号源的单根互连线的RLCG电路模型，使所述A矩阵大小为2n行2n列，n为电路模型的级联数，n＞0，除了在矩阵的左上至右下对称的3条对角斜线外，其余元素均为O；右上一条对角斜线由a₁₂、a₂₃……a_{(2n-2)，(2n-1)}和a_(2n-2)，2n的2n-1个元素组成，它们的值分别为和

交替，即 $a_{12}=-\frac{1}{L},$ $a_{23}=-\frac{1}{C},$ $a_{34}=-\frac{1}{L},$ $a_{45}=-\frac{1}{C}$ …… $a_{(2n-2),(2n-1)}=-\frac{1}{C}$ 和 $a_{(2n-1),2n}=-\frac{1}{L};$ 中间一条对角斜线由a₁₁、a₂₂……a_{(2n-1)，(2n-1)}和a_2n，2n的2n个元素组成，它们的值除了 $a_{11}=-\frac{\mathrm{Rs}+R}{L}$ 外分别为

和

交替，即 $a_{22}=-\frac{G}{C},$ $a_{33}=-\frac{R}{L},$ $a_{44}=-\frac{G}{C}$ …… $a_{(2n-1),(2n-1)}=-\frac{R}{L}$ 和 $a_{2n,2n}=-\frac{G}{C};$ 左下一条对角斜线由a₂₁、a₃₂……a_{(2n-1)，(2n-2)}和a_2n，(2n-1)的2n-1个元素组成，它们的值分别为

和

交替，即 $a_{21}=\frac{1}{C},$ $a_{32}=\frac{1}{L},$ $a_{43}=\frac{1}{C},$ $a_{54}=\frac{1}{L},$ …… $a_{(2n-2),(2n-1)}=\frac{1}{L}$ 和 $a_{2n,(2n-1)}=\frac{1}{C}.$

4.如权利要求l所述的用于建立RLCG电路模型的方法，其特征在于：建立带负载的单根互连线的RLCG电路模型，使所述A矩阵大小为2n行2n列，n为电路模型的级联数，n＞0，除了矩阵的左上至右下对称的3条对角斜线外，其余元素均为0；右上一条对角斜线由a₁₂、a₂₃……a_{(2n-2)，(2n-1)}和a_(2n-1)，2n的2n-1个元素组成，它们的值分别为和

交替，即 $a_{12}=-\frac{1}{L},$ $a_{23}=-\frac{1}{C},$ $a_{34}=-\frac{1}{L},$ $a_{45}=-\frac{1}{C}$ …… $a_{(2n-2),(2n-1)}=-\frac{1}{C}$ 和 $a_{(2n-1),2n}=-\frac{1}{L};$ 中间一条对角斜线由a₁₁、a₂₂……a_{(2n-1)，(2n-1)}和a_2n，2n的2n个元素组成，它们的值除了 $a_{2n,2n}=-\frac{G+R_L^{-1}}{C+C_L}$ 外分别为

和交替，即 $a_{11}=-\frac{R}{L},$ $a_{22}=-\frac{G}{C},$ $a_{33}=-\frac{R}{L},$ $a_{44}=-\frac{G}{C}$ …… $a_{(2n-1),(2n-1)}=-\frac{R}{L};$ 左下一条对角斜线由a₂₁、a₃₂……a_{(2n-1)，(2n-2)}和a_2n，(2n-1)的2n-1个元素组成，它们的值除了 $a_{2n,(2n-1)}=\frac{1}{C+C_L}$ 外分别为和

交替，即 $a_{21}=\frac{1}{C},$ $a_{32}=\frac{1}{L},$ $a_{43}=\frac{1}{C},$ $a_{54}=\frac{1}{L},$ …… $a_{(2n-2),(2n-1)}=\frac{1}{L}.$

5.如权利要求1所述的用于建立RLCG电路模型的方法，其特征在于：电路模型为主干和各支路组成的互连线的RLCG电路模型，各支路为任意多级多分叉的拓扑结构，所述A矩阵的大小为2m行2m列，m为主干和各支路的级联数的和，主矩阵的主体由主干子矩阵和各支路子矩阵在对角线上排列构成对角子矩阵；其中所述主干子矩阵为带信号源的单根互连线的RLCG电路模型所得的A矩阵形式；所述支路子矩阵，在支路为中间支路时为不带信号源和负载的单根互连线的RLCG电路模型所得的A矩阵形式，在支路为末端支路时为带负载的单根互连线的RLCG电路模型所得的A矩阵形式；每一父干子矩阵的最后一行与子干子矩阵的第1列交叉点增加元素C为支路k中的电容，k为支路下标；每一子干子矩阵的第一行与父干子矩阵的最后一列交叉点增加元素L为支路k中的电导，k为支路下标；其他元素都为0。

6.如权利要求1所述的建立RLCG电路模型的方法，其特征在于：建立只包含电感的RLCG电路模型，使所述B矩阵大小为2m行1列，除了第1行等于

其它元素均为0，其中m为主干和各支路的级联数的和，L₀为主干电路中的每一级联电感。

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