CN116579094A - 一种双圆弧弧齿锥齿轮齿面接触分析方法 - Google Patents

一种双圆弧弧齿锥齿轮齿面接触分析方法 Download PDF

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CN116579094A CN202310359727.8A CN202310359727A CN116579094A CN 116579094 A CN116579094 A CN 116579094A CN 202310359727 A CN202310359727 A CN 202310359727A CN 116579094 A CN116579094 A CN 116579094A
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Abstract

本发明公开了一种双圆弧弧齿锥齿轮齿面接触分析方法，基于端面铣削加工原理，结合双面切削法和单面切削法，建立了等齿槽双圆弧弧齿锥齿轮和等齿厚双圆弧弧齿锥齿轮数学模型，对双圆弧弧齿锥齿轮的制造过程和安装过程进行误差溯源，得到了考虑三种刀盘位置误差、刀盘尺寸误差和运动精度误差的外锥齿轮齿面方程，建立了包含四种典型安装误差的齿面接触分析模型，基于空间共轭曲面啮合理论，建立了考虑制造误差和安装误差作为基本约束条件的非线性方程组，使用Levenberg‑Marquardt信赖域算法进行求解，精确求解齿面迹线，定量分析了各种误差对齿面接触特性的影响规律，符合工程实际。

Description

一种双圆弧弧齿锥齿轮齿面接触分析方法
技术领域：
本发明涉及双圆弧弧齿锥齿轮的加工领域，特别是一种双圆弧弧齿锥齿轮齿面接触分析方法，该双圆弧弧齿锥齿轮齿面接触分析方法可以应用在任何的双圆弧弧齿锥齿轮产品，如章动减速器的锥齿轮。
背景技术：
在现代科技创新的支持下，工业机器人成为了中国制造行业结构转型升级的关键，其发展对增强和保持中国制造在国际市场的竞争力的作用显著；工业机器人已经成为反映一个国家整体工业能力与科技水平的主要指标，高精度减速器作为工业机器人核心部件，直接影响整个工业机器人的性能表现，双圆弧弧齿锥齿轮经常被使用到工业机器人的零部件中。
双圆弧弧齿锥齿轮具有承载能力高、使用寿命长的优点，但它对制造误差和安装误差非常敏感，传统的齿面接触分析只考虑安装误差对齿面接触特性的影响，误差种类比较单一，在齿轮的实际加工过程中，不可避免的存在制造误差，这些误差也会影响齿轮的传动质量。
发明内容：
鉴于现有技术的上述不足，本发明提出一种双圆弧弧齿锥齿轮齿面接触分析方法，该方法综合考虑了多种误差，能够为双圆弧弧齿锥齿轮的加工、设计和安装误差控制提供相关依据，以获得齿轮理想的啮合性能。
本发明双圆弧弧齿锥齿轮齿面接触分析方法，其特征在于：
(1)基于端面铣削加工原理，结合双面切削法和单面切削法，建立双圆弧弧齿锥齿轮数学模型；
(2)进行误差溯源，分析双圆弧弧齿锥齿轮制造过程和安装过程中的误差来源和类型；
(3)建立包含五种制造误差的双圆弧弧锥齿轮外锥齿轮齿面数学模型；
(4)建立包含四种典型安装误差的双圆弧弧锥齿轮齿面接触模型；
(5)求解齿面初始接触点，建立考虑制造误差和安装误差作为基本约束条件的非线性方程组；
(6)使用Levenberg-Marquardt信赖域算法进行迭代求解，精确求解齿面迹线，定量分析各种误差对齿面接触特性的影响规律。
本发明双圆弧弧齿锥齿轮齿面接触分析方法，基于端面铣削加工原理，结合双面切削法和单面切削法，建立了等齿槽双圆弧弧齿锥齿轮和等齿厚双圆弧弧齿锥齿轮数学模型，对双圆弧弧齿锥齿轮的制造过程和安装过程进行误差溯源，得到了考虑三种刀盘位置误差、刀盘尺寸误差和运动精度误差的外锥齿轮齿面方程，建立了包含四种典型安装误差的齿面接触分析模型，基于空间共轭曲面啮合理论，建立了考虑制造误差和安装误差作为基本约束条件的非线性方程组，使用Levenberg-Marquardt信赖域算法进行求解，精确求解齿面迹线，定量分析了各种误差对齿面接触特性的影响规律，该方法综合考虑了多种误差，能够为双圆弧弧齿锥齿轮的加工、设计和安装误差控制提供相关依据，以获得齿轮理想的啮合性能。
附图说明：
图1是双圆弧弧齿锥齿轮加工原理示意图；
图2是双面法加工原理示意图；
图3是产形轮齿向线示意图；
图4是铣刀盘坐标系和齿廓坐标系示意图；
图5是外锥齿轮产形轮和铣刀盘坐标系示意图；
图6是产形轮与外锥齿轮的啮合坐标关系示意图；
图7是右旋产形轮齿向线(内切铣刀运动轨迹)示意图；
图8是右旋产形轮齿向线(外切铣刀运动轨迹)示意图；
图9是单面法加工等齿厚锥齿轮的示意图；
图10是内锥齿轮产形轮和铣刀盘坐标系的示意图；
图11是产形轮与内锥齿轮的啮合坐标关系示意图
图12是外锥齿轮铣刀盘位置误差示意图；
图13是外锥齿轮铣刀盘尺寸误差示意图；
图14是外锥齿轮运动精度误差示意图；
图15是双圆弧弧齿锥齿轮副传动啮合坐标系示意图；
图16是齿面接触迹线示意图；
图17是双圆弧弧齿锥齿轮齿面接触分析流程图；
图18是双圆弧弧齿外锥齿轮轮坯及参数示意图；
图19是齿轮齿面上点的投影关系示意图；
图20是接触点在外锥齿轮上的坐标示意图。
具体实施方式：
对于双圆弧弧齿锥齿轮的齿面设计工作方法具体如下：
(1)根据端面铣削加工原理，建立刀盘和产形轮以及产形轮和被切齿锥齿轮之间的相互位置关系，并计算切齿加工参数；
(2)根据铣刀和不同旋向刀盘的位置关系，以标准双圆弧齿廓作为切削铣刀齿形，结合单面切削法和双面切削法，建立刀盘切削铣刀数学模型；
(3)根据刀盘与平面产形轮的相对运动关系，建立平面产形轮数学模型；并根据平面产形轮和被切齿锥齿轮的相对运动关系，建立双圆弧弧齿锥齿轮切削展成坐标系；
(4)根据切削展成坐标关系及齿轮啮合原理，使用双面切削法推导了等齿槽双圆弧弧齿锥齿轮齿面方程，使用单面切削法推导了等齿厚双圆弧弧齿锥齿轮齿面方程，并据此建立内啮合双圆弧弧齿锥齿轮齿面数学模型；
本发明采用等高齿制双圆弧弧齿锥齿轮，即齿高沿齿长方向保持不变；切制等高齿锥齿轮，不需要修正切削刀具的压力角，加工原理较为简单。
双圆弧弧齿锥齿轮的加工原理如图1所示，铣刀盘在端面铣削过程中有两个相对运动，一方面铣刀盘绕自身轴线旋转，实现与被切齿锥齿轮的切削运动；另一方面，铣刀盘绕产形轮轴线旋转，模拟产形轮绕自身轴线的转动，实现与被切齿锥齿轮的展成运动；在切齿啮合过程中，产形轮与被切齿锥齿轮按照规定的速比转动，两者节锥面相切并作无相对滑动的滚动；端面铣削法采用间歇分齿的加工方式，即每切削出来一个齿槽，铣刀盘需回到初始位置，被切齿锥齿轮转过分齿角度，如此循环往复，直到完成整个齿轮的加工过程。
现以等齿槽宽双圆弧弧齿外锥齿轮为例，其旋向为右旋，对应的平面产形轮为左旋，双面法切削法即用安装有内切铣刀和外切铣刀的双面刀盘同时切出齿槽的两侧齿面，如图2所示。在产形轮中心建立坐标系Sc(xc,yc,zc)，如图3所示。
齿宽中点锥距为：
式中，mn为齿宽中点模数，β为名义螺旋角，Zc为产形轮齿数。
锥齿轮外锥距为：
Rx＝Ra+0.5·B (2)
铣刀盘半径为：
铣刀盘中心坐标表示为：
产形轮齿向线为左旋时，齿向线在铣刀盘中心的右下方，齿向线转角θ均为负值；产形轮齿向线为右旋时，齿向线在铣刀盘中心的右上方，齿向线转角θ均为正值；左旋产形轮节锥面上的齿向线在平面xcocyc上的方程为：
标准双圆弧齿廓每一侧包括工作齿面凸齿圆弧、凹齿圆弧和非工作齿面过渡圆弧、齿根圆弧等四段圆弧；
双圆弧齿廓方程为：
式中，αi为圆弧位置角度，ri为圆弧半径，(Ei,Fi)为圆弧中心坐标。各段圆弧的位置可以利用这三种参数来确定。
根据切削铣刀与刀盘的位置关系，在铣刀盘分度圆上建立如图4所示的双圆弧切削铣刀坐标系Sn(xn,yn,zn)，其中yn轴为双圆弧标准齿形对称线，zn为双圆弧标准齿形节线，xn轴垂直于双圆弧标准齿形所在平面。
刀盘切削铣刀数学模型可表示为：
[rd,1]T＝Mdn[rni,1]T (7)
一般坐标轴之间的夹角都用正数来表示。根据前面的规定，齿向线左旋时θ取负，齿向线右旋时θ取正。切削铣刀齿形坐标系Sn至刀盘坐标系Sd的坐标变换矩阵Mdn具体表示如下：
产形轮坐标系和铣刀盘坐标系如图5所示，刀盘切削铣刀坐标系Sd到平面产形轮Sc的坐标变换矩阵为Mcd具体表示如下
外锥齿轮对应的双圆弧产形轮齿面方程为：
平面产形轮与外锥齿轮的啮合坐标关系如图6所示，其中固定参考坐标系Sc(xc,yc,zc)和动坐标系Sm(xm,ym,zm)固连在产形轮上，分别表示产形轮的起始位置和瞬时位置。产形轮绕轴zc匀速转动，角速度为ωc。Sm(xm,ym,zm)的初始位置与Sc(xc,yc,zc)重合，在啮合过程中的相对转角为固定参考坐标系S1(x1,y1,z1)和动坐标系Sh(xh,yh,zh)固连在外锥齿轮上，分别表示外锥齿轮的起始位置和瞬时位置。外锥齿轮绕轴z1匀速转动，角速度为ω1。Sh(xh,yh,zh)的初始位置与S1(x1,y1,z1)重合，在啮合过程中的相对转角为/>
在齿轮切削和啮合过程中，坐标平面xhozh与xmozm始终重合，轴xm与zh间的夹角为δ1。外锥齿轮和产形轮的瞬时传动比ice不变，其值为：
式中，δ1为外锥齿轮节锥角
通过以上的坐标关系，可得到如下坐标变换关系：
坐标系Sc到Sm的坐标变换矩阵Mmc
坐标系Sm到Sh的坐标变换矩阵Mhm
坐标系Sh到S1的坐标变换矩阵M1h
根据坐标变换关系，外锥齿轮的齿面方程为：
[r1,1]T＝M1hMhmMmc[rc,1]T＝[x1,y1,z1,1]T (15)
现以等齿厚双圆弧弧齿内锥齿轮为例，旋向为左旋，对应的产形轮为右旋。右旋产形轮节锥面上的齿向线如图7、8所示，圆弧均在铣刀盘坐标系的横轴上方，均为正值，其在平面xcocyc上的方程为：
式中，θ为齿向线转角；下标k＝a表示内切铣刀，k＝f表示外切铣刀。内切铣刀分度圆半径Ra＝Rr-0.5πmn，外切铣刀分度圆半径Rf＝Rr+0.5πmn
根据切削铣刀与刀盘的位置关系，在铣刀盘分度圆上建立如图9所示的双圆弧切削铣刀坐标系Sn(xn,yn,zn)，建立坐标系方法与外锥齿轮相同。一般坐标轴之间的夹角都用正数来表示。根面前面的规定，齿向线左旋时θ取负，齿向线右旋时θ取正。
单面法切削法即用安装有内切铣刀或外切铣刀的单面刀盘在一次切削中切出轮齿的一侧齿面，然后使用另一种单面刀盘加工轮齿的另一侧齿面。
刀盘切削铣刀上任意一点的位置矢量可表示为：
[rd,1]T＝Mdn[rni,1]T (17)
式中，切削铣刀齿形坐标系Sn至刀盘坐标系Sd的坐标变换矩阵Mdn具体表示如下：
内锥齿轮产形轮坐标系和铣刀盘坐标系如图10所示，刀盘切削铣刀坐标系Sd到平面产形轮Sc的坐标变换矩阵为Mcd具体表示如下
内锥齿轮对应的双圆弧产形轮齿面方程为：
平面产形轮与内锥齿轮的啮合坐标关系如图11所示，其中固定参考坐标系Sc(xc,yc,zc)和动坐标系So(xo,yo,zo)固连在产形轮上，分别表产形轮的起始位置和瞬时位置。产形轮绕轴zc匀速转动，角速度为ωc。So(xo,yo,zo)的初始位置与Sc(xc,yc,zc)重合，在啮合过程中的相对转角为固定参考坐标系S2(x2,y2,z2)和动坐标系Sh(xh,yh,zh)固连在内锥齿轮上，分别表示内锥齿轮的起始位置和瞬时位置。内锥齿轮绕轴z2匀速转动，角速度为ω2。Sh(xh,yh,zh)的初始位置与S2(x2,y2,z2)重合，在啮合过程中的相对转角为/>
在齿轮切削和啮合过程中，坐标平面xhozh与xoozo始终重合，轴xo与zh间的夹角为δ2。内锥齿轮和产形轮的瞬时传动比ice不变，其值为：
式中，δ2为内锥齿轮节锥角根据坐标变换关系，内锥齿轮的齿面方程为：
[r2,1]T＝M2hMhoMoc[rc,1]T＝[x2,y2,z2,1]T (22)
式中，Moc为坐标系Sc到So的坐标变换矩阵；Mho为坐标系So到Sh的坐标变换矩阵；M2h为坐标系Sh到S2的坐标变换矩阵M1h。
传统的齿面接触分析只考虑安装误差对齿面接触特性的影响，误差种类太过单一。在齿轮的实际加工过程中，不可避免的存在制造误差，这些误差也会影响齿轮的传动质量，本发明对双圆弧弧齿锥齿轮的制造和安装过程进行误差溯源，综合考虑了五种制造误差和四种典型安装误差，研究成果有望为章动传动双圆弧弧齿锥齿轮的参数设计、公差设计和安装误差控制策略提供理论依据。
目前将所有误差分为三大类，第一类：制造误差，该类误差会使齿轮的实际齿面偏离理论齿面。主要来源有：运动精度误差即被加工锥齿轮理论运动位置和实际运动位置的偏差ΔJ；铣刀盘的位置误差包括铣刀盘的水平偏移量ΔH、铣刀盘的垂直偏移量ΔV、铣刀盘的偏置误差ΔD；铣刀盘的尺寸误差ΔR；加工参数误差。
第二类：安装误差，该类误差会使外锥齿轮和内锥齿轮的实际位置相对于理论位置产生偏差。
第三类误差：其它误差，减速器在运行过程中，内锥齿轮和外锥齿轮接触面间高频摩擦，使得锥齿轮温度上升、振动剧烈以及变形增大，导致齿轮产生运动误差。该类误差通常可通过安装散热、减振装置等措施得以降低影响。
在实际加工过程中，不可避免地存在制造误差及不确定性因素，使得齿面几何形状偏离理论设计齿面，影响齿轮传动质量，甚至造成过早失效等问题。有鉴于此，根据前述的端面铣削加工原理和多源误差溯源，将建立含制造误差的外锥齿轮展成加工数学模型，并结合齿轮啮合原理，获得含参数误差的齿面数学模型(即建立包含多源误差的双圆弧弧齿锥齿轮副齿面接触模型)。图12为铣刀盘位置误差，ΔH表示铣刀盘的水平偏移量，ΔV表示铣刀盘的垂直偏移量，ΔD表示铣刀盘的偏置误差；Sd(xd,yd,zd)表示铣刀盘理论位置，S′d(x′d,y′d,z′d)表示铣刀盘实际位置。图13为铣刀盘尺寸误差，ΔR表示铣刀盘的尺寸误差。图14为外锥齿轮运动精度误差。
计入制造误差的刀盘切削铣刀数学模型可表示为：
[r′d,1]T＝Edn[rni,1]T (23)
一般坐标轴之间的夹角都用正数来表示。根据前面的规定，齿向线左旋时θ取负，齿向线右旋时θ取正。切削铣刀齿形坐标系Sn至刀盘实际位置坐标系S′d的坐标变换矩阵Edn具体表示如下：
刀盘实际位置坐标系S′d到平面产形轮Sc的坐标变换矩阵为Ecd为：
计入制造误差的产形轮齿面方程为：
坐标系Sc到Sm的坐标变换矩阵Mmc参考式(12)，坐标系Sm到Sh的坐标变换矩阵Mhm参考式(13)。
坐标系Sh到S1的坐标变换矩阵E1h
计入制造误差的外锥齿轮齿面方程为：
[r′1,1]T＝E1hMhmMmc[r′c,1]T＝[x′1,y′1,z′1,1]T (28)
双圆弧弧齿锥齿轮齿面由几段圆弧曲面拼接而成，凸凹齿面共轭啮合可以有效提高承载能力，但这种啮合机制也造成该类齿轮对多源误差极为敏感。在实际装配过程中，不可避免地存在各种误差因素，使得外锥齿轮和内锥齿轮实际安装位置偏离理想安装位置，进而造成接触迹线发生偏移。为分析章动式双圆弧弧齿锥齿轮副的齿面接触特性，定量分析各种误差对接触特性的影响规律，建立如图15所示的章动式双圆弧弧齿锥齿轮传动啮合坐标系。
Sg(xg,yg,zg)表示内锥齿轮所在的坐标系，k2表示其旋转轴线。Sp(xp,yp,zp)表示外锥齿轮所在的坐标系，k1表示其旋转轴线。Ss(xs,ys,zs)表示固定空间坐标系。ΔP表示外锥齿轮沿其轴线的偏移量；ΔG表示内锥齿轮沿其轴线的偏移量；ΔE表示外锥齿轮轴线相对于内锥齿轮轴线的偏置距；ΔΣ表示在平面内外锥齿轮轴线相对内锥齿轮轴线的角偏移量。
根据齿轮啮合原理，双圆弧弧齿外锥齿轮和内锥齿轮在任一啮合点处应有相同的位置矢量和法向矢量，即在固定坐标系中应该满足如下条件：
式中，分别为外锥齿轮和内锥齿轮接触点处的法线在固定空间坐标系中的表达式；/>分别为外锥齿轮和内锥齿轮接触点处的位置在固定空间坐标系中的表达式。
M2是内锥齿轮的旋转变换矩阵
M1是外锥齿轮的旋转变换矩阵
Mg2是坐标系S2到Sg的齐次变换矩阵
Mp1是坐标系S1到Sp的齐次变换矩阵
Msg是内锥齿轮坐标矢量r2从坐标系So到Ss的齐次变换矩阵
Msp是外锥齿轮坐标矢量r1从坐标系Sm到Ss的齐次变换矩阵
双圆弧弧齿外锥齿轮和内锥齿轮在固定空间中的位置矢量及法向矢量表达式如下：
式中，Li为矩阵Mi去掉最后一行和最后一列的子矩阵。
使用Levenberg-Marquardt信赖域算法进行迭代求解，式(29)所示的啮合方程为两个矢量方程，可以化为六个标量方程，但是第二个方程中的矢量为单位矢量，因此只有五个方程是互相独立的。方程组中有六个未知数，这样求解比较困难。通过分析和试验可以发现，参数θ控制点在齿宽方向上的位置，参数α控制点在齿高方向上的位置，我们可以固定其中任意一个参数的值来求解其他5个参数，这样就可以确定一个接触点。然后以固定步长来改变这个参数值，从而获得另一个接触点，继续求解直至接触点超出齿面边界，这些瞬时接触点连接起来就组成了齿面接触路径，如图16所示。
结合图17，对双圆弧弧齿锥齿轮的齿面接触分析流程即如下：
(1)基于端面铣削加工原理，结合双面切削法和单面切削法，建立双圆弧弧齿锥齿轮数学模型；
(2)进行误差溯源，分析双圆弧弧齿锥齿轮制造过程和安装过程中的误差来源和类型；
(3)建立包含五种制造误差的双圆弧弧锥齿轮外锥齿轮齿面数学模型；
(4)建立包含四种典型安装误差的双圆弧弧锥齿轮齿面接触模型；
(5)求解齿面初始接触点，建立考虑制造误差和安装误差作为基本约束条件的非线性方程组；
(6)使用Levenberg-Marquardt信赖域算法进行迭代求解，精确求解齿面迹线，定量分析各种误差对齿面接触特性的影响规律。
双圆弧弧齿锥齿轮的每一侧齿面四个部分，其中凸齿面部分和凹齿面部分均为工作齿面，因此存在两条接触轨迹，需要选取两个初始点，一个位于凸齿面的理论接触点，一个位于凹齿面的理论接触点。双圆弧弧齿外锥齿轮齿轮如图18所示。
M和M′点分别为外锥齿轮凸齿面和凹齿面的理论接触点，根据双圆弧齿廓中各项参数的规定，它们到节锥的距离均为hk，所以它们到根锥的距离分别为：
节锥顶点O和根锥顶点Of之间的轴向距离为：
因此可得，初始点M位置坐标r10,l10分别为：
同理可得，初始点M′位置坐标r′10,l′10分别为：
因此，当双圆弧弧齿锥齿轮的齿宽、外锥距、齿顶高、齿根高、节锥角等参数确定以后，就可以计算出齿面接触分析的两个初始点位置。
为了确定齿面上的接触点位置，需要将外锥齿轮齿面上的任一点在旋转坐标系中的矢量表达式R1向轴线方向和与轴线垂直方向投影，如图19所示。R1表达式如下：
R1＝Mm1M1r1 (41)
设外锥齿轮齿面的M点到外锥齿轮轴线距离为r1，距离O点距离为l1，表达式如下：
式中，K1为外锥齿轮旋转轴线在旋转坐标系Sm(xm,ym,zm)中的表达式，K1＝(cosδ1,0,sinδ1)。
可知，r1和l1均为α和θ的函数，α和θ确定以后，就可以由上面的公式求出r1和l1的值。
内锥齿轮求r2和l2的原理与外锥齿轮相同。
两个相互啮合的齿面在啮合传动过程中，接触点在啮合齿面上是连续变化的，这些连续变化的瞬时点就形成了一条接触线。对应于内锥齿轮接触线上的每一个点都与一组参数值相对应，因此，当改变这一组参数时就会得到不同的接触点。在计算机仿真分析过程中只能求出接触线上的一些瞬时点，将这些离散点连接起来便形成了接触迹线。根据内锥齿轮和外锥齿轮齿面上各接触点对应的参数，可以得到接触点到锥齿轮轴线和锥顶点的距离，然后就可以求出接触点在齿面坐标系下的坐标值，如图20所示。
以外锥齿轮凸齿面上某一个接触点为例，其在齿面坐标系的坐标值可表示为：
同理可得外锥齿轮凹齿面上某一个接触点在齿面坐标系的坐标值为：
/>
本发明双圆弧弧齿锥齿轮齿面接触分析方法，基于端面铣削加工原理，结合双面切削法和单面切削法，建立了等齿槽双圆弧弧齿锥齿轮和等齿厚双圆弧弧齿锥齿轮数学模型，对双圆弧弧齿锥齿轮的制造过程和安装过程进行误差溯源，得到了考虑三种刀盘位置误差、刀盘尺寸误差和运动精度误差的外锥齿轮齿面方程，建立了包含四种典型安装误差的齿面接触分析模型，基于空间共轭曲面啮合理论，建立了考虑制造误差和安装误差作为基本约束条件的非线性方程组，使用Levenberg-Marquardt信赖域算法进行求解，精确求解齿面迹线，定量分析了各种误差对齿面接触特性的影响规律，能够为双圆弧弧齿锥齿轮的加工、设计、公差设计和安装误差控制提供相关依据。

Claims (7)

1.一种双圆弧弧齿锥齿轮齿面接触分析方法，其特征在于：
(1)基于端面铣削加工原理，结合双面切削法和单面切削法，建立双圆弧弧齿锥齿轮数学模型；
(2)进行误差溯源，分析双圆弧弧齿锥齿轮制造过程和安装过程中的误差来源和类型；
(3)建立包含五种制造误差的双圆弧弧锥齿轮外锥齿轮齿面数学模型；
(4)建立包含四种典型安装误差的双圆弧弧锥齿轮齿面接触模型；
(5)求解齿面初始接触点，建立考虑制造误差和安装误差作为基本约束条件的非线性方程组；
(6)使用Levenberg-Marquardt信赖域算法进行迭代求解，精确求解齿面迹线，定量分析各种误差对齿面接触特性的影响规律。
2.根据权利要求1所述的双圆弧弧齿锥齿轮齿面接触分析方法，其特征在于：步骤(1)具体的，齿轮端面铣削加工方法，
铣刀盘在端面铣削过程中有两个相对运动，一方面铣刀盘绕自身轴线旋转，实现与被切齿锥齿轮的切削运动；另一方面，铣刀盘绕产形轮轴线旋转，模拟产形轮绕自身轴线的转动，实现与被切齿锥齿轮的展成运动；在切齿啮合过程中，产形轮与被切齿锥齿轮按照规定的速比转动，两者节锥面相切并作无相对滑动的滚动；端面铣削法采用间歇分齿的加工方式，即每切削出来一个齿槽，铣刀盘需回到初始位置，被切齿锥齿轮转过分齿角度，如此循环往复，直到完成整个齿轮的加工过程；
以等齿槽宽双圆弧弧齿外锥齿轮为例，其旋向为右旋，对应的平面产形轮为左旋，双面法切削法即用安装有内切铣刀和外切铣刀的双面刀盘同时切出齿槽的两侧齿面，在产形轮中心建立坐标系Sc(xc,yc,zc)，齿宽中点锥距为：
式中，mn为齿宽中点模数，β为名义螺旋角，Zc为产形轮齿数；
锥齿轮外锥距为：
Rx＝Ra+0.5·B (2)
铣刀盘半径为：
铣刀盘中心坐标表示为：
产形轮齿向线为左旋时，齿向线在铣刀盘中心的右下方，齿向线转角θ均为负值；产形轮齿向线为右旋时，齿向线在铣刀盘中心的右上方，齿向线转角θ均为正值；左旋产形轮节锥面上的齿向线在平面xcocyc上的方程为：
选用标准双圆弧齿廓作为切削铣刀齿形，根据切削铣刀与刀盘的位置关系，在铣刀盘分度圆上建立双圆弧切削铣刀坐标系Sn(xn,yn,zn)，其中yn轴为双圆弧标准齿形对称线，zn为双圆弧标准齿形节线，xn轴垂直于双圆弧标准齿形所在平面；
刀盘切削铣刀数学模型可表示为：
[rd,1]T＝Mdn[rni,1]T (7)。
3.根据权利要求1所述的双圆弧弧齿锥齿轮齿面接触分析方法，其特征在于：其中步骤(2)具体的，
将双圆弧弧齿锥齿轮制造过程和安装过程中的所有误差分为三大类，第一类：制造误差，该类误差会使齿轮的实际齿面偏离理论齿面，主要来源有：运动精度误差即被加工锥齿轮理论运动位置和实际运动位置的偏差ΔJ；铣刀盘的位置误差包括铣刀盘的水平偏移量ΔH、铣刀盘的垂直偏移量ΔV、铣刀盘的偏置误差ΔD；铣刀盘的尺寸误差ΔR；加工参数误差；
第二类：安装误差，该类误差会使外锥齿轮和内锥齿轮的实际位置相对于理论位置产生偏差；
第三类误差：其它误差，减速器在运行过程中，内锥齿轮和外锥齿轮接触面间高频摩擦，使得锥齿轮温度上升、振动剧烈以及变形增大，导致齿轮产生运动误差。
4.根据权利要求1所述的双圆弧弧齿锥齿轮齿面接触分析方法，其特征在于：其中步骤(3)具
体的，
计入制造误差的刀盘切削铣刀数学模型表示为：
[rd′,1]T＝Edn[rni,1]T (23)
一般坐标轴之间的夹角都用正数来表示，齿向线左旋时θ取负，齿向线右旋时θ取正，切削铣刀齿形坐标系Sn至刀盘实际位置坐标系Sd′的坐标变换矩阵Edn具体表示如下：
然而，刀盘实际位置坐标系Sd′到平面产形轮Sc的坐标变换矩阵为Ecd为：
计入制造误差的产形轮齿面方程为：
坐标系Sc到Sm的坐标变换矩阵Mmc参考式(12)，坐标系Sm到Sh的坐标变换矩阵Mhm参考式(13)。
坐标系Sh到S1的坐标变换矩阵E1h
计入制造误差的外锥齿轮齿面方程为：
[r′1,1]T＝E1hMhmMmc[r′c,1]T＝[x′1,y′1,z′1,1]T (28)。
5.根据权利要求1所述的双圆弧弧齿锥齿轮齿面接触分析方法，其特征在于：其中步骤(4)具体的，双圆弧弧齿锥齿轮的传动啮合坐标系，
Sg(xg,yg,zg)表示内锥齿轮所在的坐标系，k2表示其旋转轴线，Sp(xp,yp,zp)表示外锥齿轮所在的坐标系，k1表示其旋转轴线，Ss(xs,ys,zs)表示固定空间坐标系，ΔP表示外锥齿轮沿其轴线的偏移量；ΔG表示内锥齿轮沿其轴线的偏移量；ΔE表示外锥齿轮轴线相对于内锥齿轮轴线的偏置距；ΔΣ表示在平面内外锥齿轮轴线相对内锥齿轮轴线的角偏移量；
根据齿轮啮合原理，双圆弧弧齿外锥齿轮和内锥齿轮在任一啮合点处应有相同的位置矢量和法向矢量，即在固定坐标系中应该满足如下条件：
式中，分别为外锥齿轮和内锥齿轮接触点处的法线在固定空间坐标系中的表达式；/>分别为外锥齿轮和内锥齿轮接触点处的位置在固定空间坐标系中的表达式；
M2是内锥齿轮的旋转变换矩阵
M1是外锥齿轮的旋转变换矩阵
Mg2是坐标系S2到Sg的齐次变换矩阵
Mp1是坐标系S1到Sp的齐次变换矩阵
Msg是内锥齿轮坐标矢量r2从坐标系So到Ss的齐次变换矩阵
Msp是外锥齿轮坐标矢量r1从坐标系Sm到Ss的齐次变换矩阵
双圆弧弧齿外锥齿轮和内锥齿轮在固定空间中的位置矢量及法向矢量表达式如下：
式中，Li为矩阵Mi去掉最后一行和最后一列的子矩阵。
6.根据权利要求1所述的双圆弧弧齿锥齿轮齿面接触分析方法，其特征在于：其中步骤(5)具体的，
所述双圆弧弧齿锥齿轮的每一侧齿面四个部分，其中凸齿面部分和凹齿面部分均为工作齿面，因此存在两条接触轨迹，选取两个初始点，一个位于凸齿面的初始接触点，一个位于凹齿面的初始接触点；
M和M′点分别为外锥齿轮凸齿面和凹齿面的初始接触点，根据双圆弧齿廓中各项参数的规定，它们到节锥的距离均为hk，所以它们到根锥的距离分别为：
节锥顶点O和根锥顶点Of之间的轴向距离为：
因此可得，初始点M位置坐标r10，l10分别为：
同理可得，初始点M′位置坐标r′10，l′10分别为：
因此，当双圆弧弧齿锥齿轮的齿宽、外锥距、齿顶高、齿根高、节锥角等参数确定以后，就可以计算出齿面接触分析的两个初始点位置。
7.根据权利要求5所述的双圆弧弧齿锥齿轮齿面接触分析方法，其特征在于：其中步骤(6)具体的，使用Levenberg-Marquardt信赖域算法进行迭代求解，式(29)所示的啮合方程为两个矢量方程，化为六个标量方程，第二个方程中的矢量为单位矢量，参数θ控制点在齿宽方向上的位置，参数α控制点在齿高方向上的位置，固定其中任意一个参数的值来求解其它5个参数，这样就可以确定一个接触点；然后以固定步长来改变这个参数值，从而获得另一个接触点，继续求解直至接触点超出齿面边界，这些瞬时接触点连接起来就组成了齿面接触路径；
为了确定齿面上的接触点位置，需要将外锥齿轮齿面上的任一点在旋转坐标系中的矢量表达式R1向轴线方向和与轴线垂直方向投影，R1表达式如下：
R1＝Mm1M1r1 (41)
M1是外锥齿轮的旋转变换矩阵，
设外锥齿轮齿面的M点到外锥齿轮轴线距离为r1，距离O点距离为l1，表达式如下：
式中，K1为外锥齿轮旋转轴线在旋转坐标系Sm(xm,ym,zm)中的表达式，K1＝(cosδ1,0,sinδ1)；
可知，r1和l1均为α和θ的函数，α和θ确定以后，就可以由上面的公式求出r1和l1的值；
内锥齿轮求r2和l2的原理与外锥齿轮相同；
两个相互啮合的齿面在啮合传动过程中，接触点在啮合齿面上是连续变化的，这些连续变化的瞬时点就形成了一条接触线，对应于内锥齿轮接触线上的每一个点都与一组参数值相对应，因此，当改变这一组参数时就会得到不同的接触点；在计算机仿真分析过程中只能求出接触线上的一些瞬时点，将这些离散点连接起来便形成了接触迹线；根据内锥齿轮和外锥齿轮齿面上各接触点对应的参数，可以得到接触点到锥齿轮轴线和锥顶点的距离，然后就可以求出接触点在齿面坐标系下的坐标值；
以外锥齿轮凸齿面上某一个接触点为例，其在齿面坐标系的坐标值可表示为：
同理可得外锥齿轮凹齿面上某一个接触点在齿面坐标系的坐标值为：
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