CN116079157A - 基于多轴附加运动的蜗杆砂轮磨削非对称齿轮的齿面修形方法 - Google Patents

基于多轴附加运动的蜗杆砂轮磨削非对称齿轮的齿面修形方法 Download PDF

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CN116079157A CN202310102111.2A CN202310102111A CN116079157A CN 116079157 A CN116079157 A CN 116079157A CN 202310102111 A CN202310102111 A CN 202310102111A CN 116079157 A CN116079157 A CN 116079157A
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徐独善
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夏链
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Abstract

本发明涉及一种基于多轴附加运动的蜗杆砂轮磨削非对称齿轮的齿面修形方法，属于齿轮精密加工制造领域。操作步骤如下：1.根据非对称齿形和啮合原理得到非对称蜗杆砂轮曲面方程，建立非对称蜗杆砂展成磨削加工非对称齿轮的模型；2.筛选非对称齿轮特定一对左右齿面的磨削点云；3.对非对称齿轮齿面进行网格划分并选取网格点，使用向量点积计算实际磨削面网格点与理论非对称齿面网格点的法向偏差；4.将数控轴X1、Y1、Z1定义为四阶多项式形式，以多项式系数为优化参数，以实际齿面偏差与目标齿面偏差差值最小为优化目标，建立了优化模型并且利用敏感度矩阵和最小二乘法进行求解。使非对称齿轮的齿面修形精度达到1×10‑4mm，缩短了制造周期，降低了加工成本。

Description

基于多轴附加运动的蜗杆砂轮磨削非对称齿轮的齿面修形方法
技术领域
本发明属于齿轮精密加工制造领域，具体涉及一种非对称齿轮的齿面修形方法。
背景技术
随着新能源汽车行业的发展，汽车减速器齿轮正朝着体积小、轻量化、承载能力强、振动噪音小的方向发展。通常我们采用大压力角来提高齿轮的承载能力，采用小压力角来降低齿轮的啮合噪音。传统的对称渐开线齿轮无法同时满足上述要求，但是非对称渐开线齿轮因其特有的优势得到了广泛的应用。
然而，由于制造误差和弹性变形等，非对称齿轮在传动过程中也会产生振动和噪声问题，因此需要对非对称齿轮进行修形。目前非对称齿轮磨削修形加工主要是成形法，该方法虽然精度较高，但是效率低、对非对称刀具精度要求高，而且当目标齿轮的修形量变化时，需要修改刀具，进而导致修形加工柔性差、周期长、成本高。
发明内容
为解决现有的非对称齿轮磨削修形加工效率和精度低、柔性差的技术问题，本发明提供一种非对称齿轮的展成磨削修形方法。
一种基于多轴附加运动的蜗杆砂轮磨削非对称齿轮的齿面修形方法，所述齿面修形方法适用于数控蜗杆砂轮磨齿机床，所述数控蜗杆砂轮磨齿机床包括六个数控轴，分别为砂轮对齿轮的径向进给轴X1、切向进给轴Y1、轴向进给轴Z1、砂轮主轴旋转轴B1、工件主轴旋转轴C1和砂轮安装轴A1；
所述齿面修形方法的操作步骤如下：
(1)建立非对称蜗杆砂轮展成磨削渐开线非对称齿轮的数学模型；
理论渐开线非对称齿轮的齿形方程为：
Figure BDA0004073369010000011
式(1)中，
Figure BDA0004073369010000012
和ψ是理论渐开线非对称齿轮的表面参数；rb是基圆半径；βb和δg分别是齿轮基圆的螺旋角和齿轮节圆的齿槽半角；对于工作面rb＝rbd，δg＝δd＝π/(2*N)-tanαd+αd，αd是理论渐开线非对称齿轮的工作侧端面压力角；对于非工作面rb＝rbc，δg＝δc＝-(π/(2*N)-tanαc+αc)，αc是理论渐开线非对称齿轮的非工作侧端面压力角；
根据啮合原理，由公式(1)推导出非对称蜗杆砂轮的螺旋曲面方程为：
Figure BDA0004073369010000021
式(2)中，ζ和τ是砂轮的表面参数；rw是砂轮基圆半径，可以由以下公式推导得到：
Figure BDA0004073369010000022
展成磨削过程中参与联动的六个机床运动轴为砂轮对齿轮的径向进给X1、切向进给Y1、轴向进给Z1、砂轮主轴旋转轴B1、工件主轴旋转轴C1和砂轮安装轴A1，各轴进给关系可表示为：
Figure BDA0004073369010000023
非对称蜗杆砂轮的轨迹通过从坐标系Sw2到坐标系Sp的变换矩阵表示如下：
Rp(ζ,τ,φB1,FY1,FZ1,t)＝Mpw2(φB1,FY1,FZ1,t)·Rw2(ζ,τ)     (5)
式(5)中，φB1是砂轮旋转角度；FY1是砂轮径向进给运动位置；FZ1是砂轮轴向进给运动位置；t是加工时间；
基于三个独立的运动参数砂轮旋转角度φB1、砂轮径向进给运动位置FY1、砂轮轴向进给运动位置FY1，非对称蜗杆砂轮与待加工非对称齿轮的啮合条件表示为：
Figure BDA0004073369010000024
Figure BDA0004073369010000025
Figure BDA0004073369010000026
(2)筛选待加工非对称齿轮的轴向两侧齿面的磨削点云；
具体操作步骤包括：互素数判断、接触迹数计算、磨削点云对应时间计算。
与齿轮互质规则类似，点云选择系数计算如下：
Figure BDA0004073369010000031
式(9)中，符号
Figure BDA0004073369010000032
表示对
Figure BDA0004073369010000033
进行四舍五入；
单个齿面上的接触迹线数量计算如下：
Figure BDA0004073369010000034
式(10)中，L是接触迹线的数量，无量纲；B是非对称齿轮宽度，单位为mm；nB是砂轮主轴旋转速度，单位为rad/min；vZ1是砂轮轴向进给速度，单位为mm/s；ρ为与齿宽相关的磨削设定值，无量纲；符号
Figure BDA0004073369010000035
表示括号内数值的四舍五入；
根据步骤(1)的数学模型，得到待加工非对称齿轮的所有齿面点云，在此基础上以磨削迹线上的各磨削点所对应的时刻为基础，筛选待加工非对称齿轮的一对轴向两侧齿面的磨削点对应时间
Figure BDA0004073369010000036
的计算如下：
Figure BDA0004073369010000037
式(11)中，t0为第一接触迹线上的接触点对应的时间；Np为单个接触迹线中的接触点数；m(m＝1,2,...,L)为单齿面接触迹线序号；n(n＝1,2,...Np)为单条接触迹线上的接触点序号；
(3)选择待加工非对称齿轮的轴向两侧齿面的网格点，计算实际磨削的待加工非对称齿轮的轴向两侧齿面与理论渐开线非对称齿轮的轴向两侧齿面的法向偏差值；
具体操作如下：
根据步骤(2)选取的所述磨削点云里的点作为待加工非对称齿轮的轴向两侧齿面的网格点；
首先，将理论渐开线非对称齿轮的轴向两侧齿面按照渐开线方向和齿宽方向等分为2×P×Q个交点
Figure BDA0004073369010000041
然后，分别计算出待加工非对称齿轮轴向两侧齿面同一接触迹线上任意两个相邻磨削点之间沿齿宽方向的最大距离ΔZ，单位为mm，沿齿宽方向依次划分宽度为2ΔZ带状区域，区域上下界面为端面齿廓线，交点均在区域中线上；
然后，计算交点半径，根据渐开线长度与半径转换关系计算如下：
Figure BDA0004073369010000042
式(12)中，rP为交点半径,单位为mm；l为交点对应的渐开线长度，单位为mm；P为交点半径序号，无量纲，P＝1,2,...,5；
然后，计算各带状区域内所有磨削点与交点半径之差的绝对值r，公式如下：
Figure BDA0004073369010000043
式(13)中，xs，ys为所有磨削点在笛卡尔坐标系Sp中的坐标；s为磨削点序号，s＝1,2,...,2·L·Np；
接着，选择2×P×Q个半径差值最小的磨削点作为待加工非对称齿轮的轴向两侧齿面的网格点，得到待加工非对称齿轮的轴向两侧齿面的网格点坐标
Figure BDA0004073369010000044
最后，计算实际磨削齿面法向偏差值，即待加工非对称齿轮的轴向两侧齿面的网格点与理论渐开线非对称齿轮的轴向两侧齿面的网格点的法向偏差值，计算公式如下：
Figure BDA0004073369010000045
式(14)中，i是网格点的总数；
Figure BDA0004073369010000046
表示齿面理论磨削点的法向量；εi是网格点i处的实际磨削齿面法向偏差值；
(4)将所述数控蜗杆砂轮磨齿机床的径向进给轴X1、切向进给轴Y1和轴向进给轴Z1定义为四阶多项式，以多项式系数为优化参数，以实际磨削齿面法向偏差值εi与给定的目标修形齿面法向偏差值
Figure BDA0004073369010000047
的差值最小为优化目标，利用敏感度矩阵和最小二乘法进行求解，建立了优化模型如下：
Figure BDA0004073369010000051
式(18)中，
Figure BDA0004073369010000052
是给定的目标修形齿面法向偏差值，即目标渐开线非对称齿轮的齿面的网格点与理论渐开线非对称齿轮的轴向两侧齿面的网格点的法向偏差值；εi(λ)是实际磨削齿面法向偏差值。
进一步的技术方案如下：
步骤(4)中，所述数控蜗杆砂轮磨齿机床的径向进给轴X1、切向进给轴Y1和轴向进给轴Z1定义为以下四阶多项式：
Figure BDA0004073369010000053
Figure BDA0004073369010000054
Figure BDA0004073369010000055
式(15)、式(16)和式(17)中，常数项FN(N＝X1,Y1,Z1)为未进行修形的轴位置；λj(j＝1～12)为多项式系数；zb为未进行修形处理的轴向进给轴Z1的位置与非对称齿轮齿宽之比，计算为zb＝FZ1/B；
所述优化模型是通过微调径向进给轴X1、切向进给轴Y1和轴向进给轴Z1运动多项式系数实现的，以实际磨削齿面法向偏差值与目标修形齿面法向偏差值之差的绝对值之和建立目标优化函数，来求解多项式系数，即
Figure BDA0004073369010000056
式(18)中，
Figure BDA0004073369010000057
是目标修形齿面法向偏差值，εi(λ)是实际磨削齿面法向偏差值；
为了确定目标优化函数值最小时的一组多项式系数λj(j＝1～12)，采用奇异值分解和最小二乘法；待加工非对称齿轮的轴向两侧齿面上第i个点的法向偏差值δεi的变化量是由多项式系数的变化量
Figure BDA0004073369010000058
引起的法向偏差变化量的线性组合；因此，敏感矩阵Ms表示为待加工非对称齿轮的轴向两侧齿面上网格点的法向偏差值δεi相对于多项式系数λj的一阶偏微分：
Figure BDA0004073369010000061
Figure BDA0004073369010000062
然而，由于待加工非对称齿轮的轴向两侧齿面网格点的数量大于多项式系数λj的数量，因此敏感矩阵Ms不是方阵；方程(20)中多项式系数λj的变化量能使用线性回归技术来计算；
Figure BDA0004073369010000063
因为敏感矩阵Ms不是方阵，并且通常是病态的，奇异值分解应用于敏感矩阵Ms的伪逆以避免计算发散，扩展如下：
[Ms]＝UWVT (22)
式(22)中，U和V包括酉矩阵；W是对角线上非负实数的对角特征值矩阵；
最后，多项式系数λj通过奇异值分解在每次迭代中得到如下公式(23)：
Figure BDA0004073369010000064
所述优化模型在第一次迭代中多项式系数λj设置为0，根据模型计算出实际磨削齿面法向偏差值εi；然后给出目标修形齿面法向偏差值
Figure BDA0004073369010000065
计算出待加工非对称齿轮的轴向两侧齿面上第i个点的法向偏差值
Figure BDA0004073369010000066
根据式(21)、式(22)和式(23)计算出多项式系数的变化量δλj，修形后多项式系数λj调整为λj+δλj；最后，将变化后的多项式系数λj+δλj重新分别代入式(19)、式(20)、式(21)、式(22)和式(23)，进行第二次迭代；一直重复上述迭代过程，直到实际磨削齿面法向偏差值εi与目标修形齿面法向偏差值
Figure BDA0004073369010000071
的差值f(λ)保持在给定的齿面偏差范围内或者保持稳定为止，得到最终的一组多项式系数λj(j＝1～12)；
所述优化模型中实际磨削齿面法向偏差值εi与目标修形齿面法向偏差值
Figure BDA0004073369010000072
之差用于展示所提出的齿面拓扑修形方法的效果；齿面误差e用于衡量所提出的方法的最低修形能力，公式如下：
Figure BDA0004073369010000073
式(24)中，
Figure BDA0004073369010000074
是实际磨削齿面法向偏差值和目标修形齿面法向偏差值的最大值，当待加工非对称齿轮的轴向两侧齿面的误差值不同时，选择较大的值作为齿面误差值。
本发明的有益技术效果体现在以下方面：
1、本发明的齿面修形方法不需要对砂轮进行修整这个工序，只需要在加工过程中改变运动轴的联动关系就可以进行不同修形量的加工，因此加工效率提高了约60％，大大提高了加工柔性，从而使非对称齿轮修形加工成本大大降低。现有技术修形齿面误差最大达到10μm以上，本发明修形齿面误差都是在1×10-4mm之内。
2、本发明建立的非对称蜗杆砂轮展成磨削非对称齿轮的数学模型中，加入了时间变量t，使用加工时间数据计算磨削点不仅能够直观看到非对称齿轮齿面上所有磨削点顺序之间的关系，而且为步骤(2)筛选出特定的一对非对称齿面提供了条件。
3、本发明提出的筛选渐开线非对称齿轮轴向两侧齿面的磨削点云的方法能够有效提高模型的计算速度，因为只需要计算一对非对称齿面磨削点云，而原始模型需要计算整个齿轮所有齿面，因此模型的计算速度是原来的48倍。
4、本发明的齿面修形方法使用非对称齿面的实际磨削点作为网格点来精确计算机床各运动轴的实际位置，使非对称齿轮齿面加工精度提升到1×10-9数量级。
附图说明
图1是数控蜗杆砂轮磨齿机的结构示意图；
图2是数控蜗杆砂轮磨齿机对应的空间坐标系；
图3是本发明的非对称渐开线齿轮齿廓示意图；
图4是本发明的非对称齿轮左右螺旋面形成原理图；
图5是本发明的非对称齿轮修形加工计算示意图；
图6是本发明的非对称齿面网格点划分原理图；
图7是本发明的各运动轴多项式系数优化流程图；
图8是实施例1的结果图；
图9是实施例2的结果图。
具体实施方式
为了对本发明的技术特征、目的和效果有更加清楚的理解，下面结合附图和实施例对本发明作进一步的说明。
基于多轴附加运动的蜗杆砂轮磨削非对称齿轮的齿面修形方法适用于数控蜗杆砂轮磨齿机床，如图1所示，以YW7232CNC数控蜗杆砂轮磨齿机床为例，该机床主要包括六个数控轴，分别为砂轮对齿轮的径向进给X1、切向进给Y1、轴向进给Z1、砂轮主轴旋转轴B1、工件主轴旋转轴C1和砂轮安装轴A1，如图2所示是该机床磨削加工时对应的空间坐标系。本实施例所设计的非对称蜗杆砂轮的头数Nw为3，砂轮外径为293.533mm，砂轮导程角γw为2.567°，螺旋参数Pw为6.007；所设计的非对称齿轮齿数Ng为48，法面模数mn为4，轴向右齿面法向压力角αd为25°，轴向左齿面法向压力角αc为20°，齿顶高系数为1，顶隙系数为0.25，螺旋角βg为30°，齿宽B为40mm；所设计的砂轮与齿轮的中心距E为250.8513mm。
实施例1：
参见图8中(a)，待加工非对称齿轮的目标修形齿面，轴向右齿面在齿廓和齿宽方向上分别是鼓形修形，对应的修形量分别为10μm和10μm，轴向左齿面为标准齿面。
基于多轴附加运动的蜗杆砂轮磨削非对称齿轮的齿面修形方法具体操作步骤如下：
(1)建立非对称蜗杆砂轮展成磨削渐开线非对称齿轮的数学模型
如图3和图4所示，设计的理论渐开线非对称齿轮的轴向两侧齿面的位置矢量
Figure BDA0004073369010000081
在坐标系Sg可以表示为：
Figure BDA0004073369010000091
式(1)中，
Figure BDA0004073369010000092
和ψ是理论渐开线非对称齿轮的表面参数；rb是基圆半径；βb和δg分别是齿轮基圆的螺旋角和齿轮节圆的齿槽半角；对于工作面rb＝rbd，δg＝δd＝π/(2*N)-tanαd+αd，αd是理论渐开线非对称齿轮的工作侧端面压力角；对于非工作面rb＝rbc，δg＝δc＝-(π/(2*N)-tanαc+αc)，αc是理论渐开线非对称齿轮的非工作侧端面压力角；
本实施例1中，对于工作面，理论渐开线非对称齿轮的工作侧端面压力角αd＝25°，rb＝rbd＝97.602mm，δg＝δd＝π/(2*N)-tanαd+αd＝-0.012°；对于非工作面αc＝20°，rb＝rbc＝102.193mm，δg＝δc＝-(π/(2*N)-tanαc+αc)＝0.010°；
根据啮合原理，得到的非对称蜗杆砂轮的螺旋曲面方程如下：
Figure BDA0004073369010000093
式(2)中，ζ和τ是砂轮的表面参数，无量纲，τ∈[-π,3π]，对于轴向左齿面ζ∈[8.2931,9.5295]，对于轴向右齿面ζ∈[-12.8438,-11.3141]；轴向右齿面rw＝12.803mm，轴向左齿面rw＝16.352mm；rw是砂轮基圆半径。
根据式(2)，非对称蜗杆砂轮的轨迹通过从坐标系Sw2到坐标系Sp的变换矩阵表示如下：
Rp(ζ,τ,φB1,FY1,FZ1,t)＝Mpw2(φB1,FY1,FZ1,t)·Rw2(ζ,τ)       (5)
式(5)中，φB1是砂轮旋转角度；FY1是砂轮径向进给运动位置；FZ1是砂轮轴向进给运动位置；t是加工时间；
基于三个独立的运动参数砂轮旋转角度φB1、砂轮径向进给运动位置FY1、砂轮轴向进给运动位置FZ1，砂轮与待加工非对称齿轮的啮合条件可表示为：
Figure BDA0004073369010000101
Figure BDA0004073369010000102
Figure BDA0004073369010000103
将磨削时间ti(i＝1,2,...,n)与时间间隔tgap代入方程(6)、方程(7)和方程(8)求解出待加工非对称齿轮的所有齿面上的磨削点云。设定单个接触迹线中的磨削点数Np为91，所以磨削时间和时间间隔计算结果如下：
tgap＝T1/Np＝2π/w1Np＝2.198s
ti＝tgap(i-1)(i＝1,2,...,n)
(2)筛选待加工非对称齿轮的轴向两侧齿面的磨削点云
将Ng＝48，Nw＝3带入公式(9)可以计算出Δ＝16；
根据公式(10)可以计算出单个齿面上的接触迹线数量L＝101；
以磨削迹线上的各磨削点所对应的时刻为基础，待加工非对称齿轮的一对轴向两侧齿面的磨削点对应时间
Figure BDA0004073369010000104
的计算如下：
Figure BDA0004073369010000105
式(11)中，t0为第一接触迹线上的磨削点对应的时间,单位为s；Np为单个接触迹线中的磨削点数，无量纲；m(m＝1,2,...,101)为单齿面接触迹线序号，无量纲；n(n＝1,2,...91)n(n＝1，2，...，Np)为单条接触迹线上的磨削点序号，无量纲；
根据公式(11)得到待加工非对称齿轮的轴向两侧齿面的所有磨削点对应的时间如下：
Figure BDA0004073369010000111
将所有磨削点对应的时间
Figure BDA0004073369010000112
带入啮合条件方程f3、f4、f5，求解出待加工非对称齿轮的轴向两侧齿面上点云对应的坐标Rs(s＝1,2,...,2×101×91)；
其中，待加工非对称齿轮的轴向左齿面上点云对应的坐标Rs如下：
Figure BDA0004073369010000113
待加工非对称齿轮的轴向右齿面上点云对应的坐标Rs如下：
Figure BDA0004073369010000114
Figure BDA0004073369010000121
参见图5，最终得到的待加工非对称齿轮的轴向两侧齿面的磨削点云。
(3)选择待加工非对称齿轮的轴向两侧齿面的网格点，计算实际磨削的待加工非对称齿轮的轴向两侧齿面与理论渐开线非对称齿轮的轴向两侧齿面的法向偏差值
由于磨削模型是基于接触线建立的，所以计算出来的待加工非对称齿轮的轴向两侧齿面点云是大于理论渐开线非对称齿轮的轴向两侧齿面的。本发明提出了一种不同于传统方法的选择齿面网格点的新方法，该方法可将不同时间间隔下的接触点按照约束进行网格划分，既能提高模型的计算效率又能保持修形齿面的精度；
如图6所示，为了提高加工精度，将理论渐开线非对称齿轮的轴向两侧齿面按照渐开线方向和齿宽方向等分为2×5×9个交点
Figure BDA0004073369010000123
通过以下方式选取待加工非对称齿轮的轴向两侧齿面的网格点：
首先，根据步骤(2)得到的待加工非对称齿轮的轴向两侧齿面点云坐标Rs分别计算出轴向左右齿面同一接触迹线上任意两个相邻磨削点之间沿齿宽方向的距离，对于轴向左齿面结果如下：
序号 1 2 3 4 ··· 88 89 90
ΔZ/mm 0.1824 0.1824 0.1824 0.1824 ··· 0.1843 0.1824 0.1843
轴向左齿面最大距离ΔZ为0.1843mm；
对于轴向右齿面结果如下：
序号 1 2 3 4 ··· 88 89 90
ΔZ/mm 0.1697 0.1696 0.1697 0.1696 ··· 0.1697 0.1697 0.1697
轴向右齿面最大距离ΔZ为0.1697mm；
然后，计算交叉点半径rP，根据渐开线长度与半径转换关系计算如下：
Figure BDA0004073369010000122
对于轴向左齿面计算结果如下：
序号P 1 2 3 4 5
<![CDATA[r<sub>P</sub>/mm]]> 104.275 106.926 109.512 112.038 114.509
对于轴向右齿面计算结果如下：
序号P 1 2 3 4 5
<![CDATA[r<sub>P</sub>/mm]]> 113.600 110.708 107.739 104.685 101.540
接着，计算各带状区域内所有磨削点与交点半径之差的绝对值r，公式如下：
Figure BDA0004073369010000131
式(13)中，xs，ys为所有磨削点在笛卡尔坐标系Sp中的坐标，单位为mm；s为磨削点序号，s＝1,2,...,2·101·91；
选择2×5×9个半径差值最小的磨削点作为待加工非对称齿轮的轴向两侧齿面的网格点，轴向左齿面的网格点对应的时刻列举如下：
Figure BDA0004073369010000132
轴向右齿面的网格点对应的时刻列举如下：
Figure BDA0004073369010000133
Figure BDA0004073369010000141
根据步骤(2)中计算出的待加工非对称齿轮的轴向两侧齿面上点云数据和对应的时刻，得到待加工非对称齿轮的轴向两侧齿面的网格点坐标
Figure BDA0004073369010000142
最后，计算实际磨削齿面法向偏差值，即待加工非对称齿轮的轴向两侧齿面上网格点与理论渐开线非对称齿轮的齿面网格点的法向偏差值，计算公式如下：
Figure BDA0004073369010000143
式(14)中，i是网格点的总数；
Figure BDA0004073369010000144
表示齿面理论磨削点的法向量；εi是网格点i处的实际磨削齿面法向偏差值。由于此时实际磨削加工并未改变各轴运动关系，所以
Figure BDA0004073369010000145
εi＝0。
(4)将数控蜗杆砂轮磨齿机床的径向进给轴X1、切向进给轴Y1和轴向进给轴Z1定义为四阶多项式，以多项式系数为优化参数，以实际磨削齿面法向偏差值εi与给定的目标修形齿面法向偏差值
Figure BDA0004073369010000146
的差值最小为优化目标，建立了优化模型并且利用敏感度矩阵和最小二乘法进行求解。
为了获得修形齿面，数控蜗杆砂轮磨齿机床的径向进给轴X1、切向进给轴Y1和轴向进给轴Z1定义为以下四阶多项式：
Figure BDA0004073369010000147
Figure BDA0004073369010000148
Figure BDA0004073369010000151
式(15)、式(16)和式(17)中，常数项FN(N＝X1,Y1,Z1)为未进行修形的轴位置；λj(j＝1～12)为多项式系数；zb为未进行修形处理的Z1轴的位置与非对称齿轮齿宽之比，计算为zb＝FZ1/B；
本发明的齿面修形方法是微调径向进给轴X1、切向进给轴Y1和轴向进给轴Z1运动的多项式系数，实现以实际磨削齿面法向偏差值εi与给定的目标修形齿面法向偏差值εt i之差的绝对值之和建立目标优化函数，来求解多项式系数，即
Figure BDA0004073369010000152
式(18)中，
Figure BDA0004073369010000153
是给定的目标修形齿面法向偏差值，εi(λ)是实际磨削齿面法向偏差值；
为了确定目标优化函数值最小时的一组多项式系数λj(j＝1～12)，采用奇异值分解和最小二乘法。
待加工非对称齿轮的轴向两侧齿面上第i个点的法向偏差值δεi的变化量是由多项式系数的变化量
Figure BDA0004073369010000154
引起的法向偏差变化量的线性组合；因此，敏感矩阵Ms表示为待加工非对称齿轮的轴向两侧齿面上网格点的法向偏差值δεi相对于多项式系数λj的一阶偏微分：
Figure BDA0004073369010000155
Figure BDA0004073369010000156
然而，由于待加工非对称齿轮的轴向两侧齿面网格点的数量大于多项式系数λj的数量，因此敏感矩阵Ms不是方阵；公式(20)中多项式系数λj的变化量能使用线性回归技术来计算；
Figure BDA0004073369010000161
因为敏感矩阵Ms不是方阵，并且通常是病态的，奇异值分解应用于敏感矩阵Ms的伪逆以避免计算发散，扩展如下：
[Ms]＝UWVT (22)
式(22)中，U和V包括酉矩阵；W是对角线上非负实数的对角特征值矩阵；
根据公式(20)、公式(21)和公式(22)，带入数据求出敏感矩阵如下：
Figure BDA0004073369010000162
最后，多项式系数λj可以通过奇异值分解在每次迭代中得到如下公式(23)：
Figure BDA0004073369010000163
如图7所示，在第一次迭代中多项式系数λj设置为0，根据模型计算出实际磨削齿面法向偏差值εi；然后给出目标修形齿面法向偏差值
Figure BDA0004073369010000164
计算出待加工非对称齿轮的轴向两侧齿面上第i个点的法向偏差值
Figure BDA0004073369010000165
根据式(21)、式(22)和式(23)计算出多项式系数的变化量δλj，修形后多项式系数λj调整为λj+δλj；最后，将变化后的多项式系数λj+δλj重新分别代入式(19)、式(20)、式(21)、式(22)和式(23)，进行第二次迭代。一直重复上述迭代过程，直到实际磨削齿面法向偏差值εi与目标修形齿面法向偏差值
Figure BDA0004073369010000171
的差值f(λ)保持稳定为止，得到最终的一组多项式系数λj(j＝1～12)。
实际磨削齿面法向偏差值εi与目标修形齿面法向偏差值
Figure BDA0004073369010000172
之差用于展示所提出的齿面拓扑修形方法的效果。齿面误差e用于衡量所提出的方法的最低修形能力，公式如下：
Figure BDA0004073369010000173
式(24)中，
Figure BDA0004073369010000174
是实际磨削齿面法向偏差值和目标修形齿面法向偏差值的最大值，当待加工非对称齿轮的轴向两侧的齿面的误差值不同时，选择较大的值作为齿面误差。
本实施例1的齿面修形方法得到实际修形齿面，如图8中(b)所示，每个网格点齿面修形误差精度都在1×10-4mm之上；齿面误差与迭代次数关系，如图8中(c)所示，经过15次迭代后齿面误差降低为0.1305；通过敏感度矩阵和最小二乘法计算出的最终的一组多项式系数λj(j＝1～12)分别为-1.0051，30.9903，-315.8832，998.8328，0.2616，-2.7044，-19.3058，176.0471，1.3246，-30.2280，217.2827，-471.300。所以本实施例1的齿面修形方法既可以提高精度又可以提高效率。
实施例2：
本实施例2的操作步骤同实施例1。
非对称齿轮目标修形齿面如图9中(a)所示，轴向右齿面在齿廓和齿宽方向上分别是鼓形修形，对应的修形量分别为10μm和10μm，轴向左齿面齿廓方向是鼓形修形，修形量为10μm。
本实施例2的齿面修形方法柔性较高，当修形参数改变时，不需要对刀具进行修整，只需要重复实施例1中的步骤计算出对应的一组多项式系数，然后利用电子齿轮箱在加工过程中实现计算出的多轴联动关系即可加工出不同修形量的非对称齿轮。通过本实施例2的齿面修形方法得到实际修形齿面如图9中(b)所示，每个网格点齿面修形误差精度都在1×10-4mm之上；齿面误差与迭代次数关系如图9中(c)所示，经过15次迭代后齿面误差降低并且趋于稳定为0.1896；通过敏感度矩阵和最小二乘法计算出的最终的一组多项式系数λj(j＝1～12)分别为-0.5521，8.2576，-40.8497，46.1757，0.1793，4.3077，-108.1370，463.7759，1.5900，-29.2319，143.9637，-126.2610。
所以本发明的齿面修形方法具有较高柔性，同时能够提高修形精度和效率。
以上所述仅为本发明的具体实施例，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (2)

1.一种基于多轴附加运动的蜗杆砂轮磨削非对称齿轮的齿面修形方法，所述齿面修形方法适用于数控蜗杆砂轮磨齿机床，所述数控蜗杆砂轮磨齿机床包括六个数控轴，分别为砂轮对齿轮的径向进给轴X1、切向进给轴Y1、轴向进给轴Z1、砂轮主轴旋转轴B1、工件主轴旋转轴C1和砂轮安装轴A1；其特征在于，所述齿面修形方法的操作步骤如下：
(1)建立非对称蜗杆砂轮展成磨削渐开线非对称齿轮的数学模型；
理论渐开线非对称齿轮的齿形方程为：
Figure FDA0004073368690000011
式(1)中，
Figure FDA0004073368690000012
和ψ是理论渐开线非对称齿轮的表面参数；rb是基圆半径；βb和δg分别是齿轮基圆的螺旋角和齿轮节圆的齿槽半角；对于工作面rb＝rbd，δg＝δd＝π/(2*N)-tanαd+αd，αd是理论渐开线非对称齿轮的工作侧端面压力角；对于非工作面rb＝rbc，δg＝δc＝-(π/(2*N)-tanαc+αc)，αc是理论渐开线非对称齿轮的非工作侧端面压力角；
根据啮合原理，由公式(1)推导出非对称蜗杆砂轮的螺旋曲面方程为：
Figure FDA0004073368690000013
式(2)中，ζ和τ是砂轮的表面参数；rw是砂轮基圆半径；
根据式(2)，非对称蜗杆砂轮的轨迹通过从坐标系Sw2到坐标系Sp的变换矩阵表示如下：
Rp(ζ,τ,φB1,FY1,FZ1,t)＝Mpw2(φB1,FY1,FZ1,t)·Rw2(ζ,τ)       (5)
式(5)中，φB1是砂轮旋转角度；FY1是砂轮径向进给运动位置；FZ1是砂轮轴向进给运动位置；t是加工时间；
基于三个独立的运动参数砂轮旋转角度φB1、砂轮径向进给运动位置FY1、砂轮轴向进给运动位置FY1，非对称蜗杆砂轮与待加工非对称齿轮的啮合条件表示为：
Figure FDA0004073368690000021
Figure FDA0004073368690000022
Figure FDA0004073368690000023
(2)筛选待加工非对称齿轮的轴向两侧齿面的磨削点云；
具体操作如下：根据步骤(1)的数学模型，得到待加工非对称齿轮的所有齿面点云，在此基础上以磨削迹线上的各磨削点所对应的时刻为基础，筛选待加工非对称齿轮的一对轴向两侧齿面的磨削点对应时间
Figure FDA0004073368690000024
的计算如下：
Figure FDA0004073368690000025
式(11)中，t0为第一接触迹线上的接触点对应的时间；Np为单个接触迹线中的接触点数；m(m＝1,2,...,L)为单齿面接触迹线序号；n(n＝1,2,...Np)为单条接触迹线上的接触点序号；
(3)选择待加工非对称齿轮的轴向两侧齿面的网格点，计算实际磨削的待加工非对称齿轮的轴向两侧齿面与理论渐开线非对称齿轮的轴向两侧齿面的法向偏差值；
具体操作如下：
根据步骤(2)选取的所述磨削点云里的点作为待加工非对称齿轮的轴向两侧齿面的网格点；
首先，将理论渐开线非对称齿轮的轴向两侧齿面按照渐开线方向和齿宽方向等分为2×P×Q个交点
Figure FDA0004073368690000026
计算各带状区域内所有磨削点与交点半径之差的绝对值r，公式如下：
Figure FDA0004073368690000027
式(13)中，xs，ys为所有磨削点在笛卡尔坐标系Sp中的坐标；s为磨削点序号，s＝1,2,...,2·L·Np；
然后，选择2×P×Q个半径差值最小的磨削点作为待加工非对称齿轮的轴向两侧齿面的网格点，得到待加工非对称齿轮的轴向两侧齿面的网格点坐标
Figure FDA0004073368690000031
最后，计算实际磨削齿面法向偏差值，即待加工非对称齿轮的轴向两侧齿面的网格点与理论渐开线非对称齿轮的轴向两侧齿面的网格点的法向偏差值，计算公式如下：
Figure FDA0004073368690000032
式(14)中，i是网格点的总数；
Figure FDA0004073368690000033
表示齿面理论磨削点的法向量；εi是网格点i处的实际磨削齿面法向偏差值；
(4)将所述数控蜗杆砂轮磨齿机床的径向进给轴X1、切向进给轴Y1和轴向进给轴Z1定义为四阶多项式，以多项式系数为优化参数，以实际磨削齿面法向偏差值εi与给定的目标修形齿面法向偏差值
Figure FDA0004073368690000034
的差值最小为优化目标，利用敏感度矩阵和最小二乘法进行求解，建立了优化模型如下：
Figure FDA0004073368690000035
式(18)中，
Figure FDA0004073368690000036
是给定的目标修形齿面法向偏差值，即目标渐开线非对称齿轮的齿面的网格点与理论渐开线非对称齿轮的轴向两侧齿面的网格点的法向偏差值；εi(λ)是实际磨削齿面法向偏差值。
2.根据权利要求1所述一种基于多轴附加运动的蜗杆砂轮磨削非对称齿轮的齿面修形方法，其特征在于：步骤(4)中，所述数控蜗杆砂轮磨齿机床的径向进给轴X1、切向进给轴Y1和轴向进给轴Z1定义为以下四阶多项式：
Figure FDA0004073368690000037
Figure FDA0004073368690000038
Figure FDA0004073368690000039
式(15)、式(16)和式(17)中，常数项FN(N＝X1,Y1,Z1)为未进行修形的轴位置；λj(j＝1～12)为多项式系数；zb为未进行修形处理的轴向进给轴Z1的位置与非对称齿轮齿宽之比，计算为zb＝FZ1/B；
所述优化模型是通过微调径向进给轴X1、切向进给轴Y1和轴向进给轴Z1运动多项式系数实现的，以实际磨削齿面法向偏差值与目标修形齿面法向偏差值之差的绝对值之和建立目标优化函数，来求解多项式系数，即
Figure FDA0004073368690000041
式(18)中，
Figure FDA0004073368690000042
是目标修形齿面法向偏差值，εi(λ)是实际磨削齿面法向偏差值；
为了确定目标优化函数值最小时的一组多项式系数λj(j＝1～12)，采用奇异值分解和最小二乘法；待加工非对称齿轮的轴向两侧齿面上第i个点的法向偏差值δεi的变化量是由多项式系数的变化量
Figure FDA0004073368690000043
引起的法向偏差变化量的线性组合；因此，敏感矩阵Ms表示为待加工非对称齿轮的轴向两侧齿面上网格点的法向偏差值δεi相对于多项式系数λj的一阶偏微分：
Figure FDA0004073368690000044
Figure FDA0004073368690000045
然而，由于待加工非对称齿轮的轴向两侧齿面网格点的数量大于多项式系数λj的数量，因此敏感矩阵Ms不是方阵；方程(20)中多项式系数λj的变化量能使用线性回归技术来计算；
Figure FDA0004073368690000046
因为敏感矩阵Ms不是方阵，并且通常是病态的，奇异值分解应用于敏感矩阵Ms的伪逆以避免计算发散，扩展如下：
[Ms]＝UWVT (22)
式(22)中，U和V包括酉矩阵；W是对角线上非负实数的对角特征值矩阵；
最后，多项式系数λj通过奇异值分解在每次迭代中得到如下公式(23)：
Figure FDA0004073368690000051
所述优化模型在第一次迭代中多项式系数λj设置为0，根据模型计算出实际磨削齿面法向偏差值εi；然后给出目标修形齿面法向偏差值
Figure FDA0004073368690000052
计算出待加工非对称齿轮的轴向两侧齿面上第i个点的法向偏差值
Figure FDA0004073368690000053
根据式(21)、式(22)和式(23)计算出多项式系数的变化量δλj，修形后多项式系数λj调整为λj+δλj；最后，将变化后的多项式系数λj+δλj重新分别代入式(19)、式(20)、式(21)、式(22)和式(23)，进行第二次迭代；一直重复上述迭代过程，直到实际磨削齿面法向偏差值εi与目标修形齿面法向偏差值
Figure FDA0004073368690000054
的差值f(λ)保持在给定的齿面偏差范围内或者保持稳定为止，得到最终的一组多项式系数λj(j＝1～12)；
所述优化模型中实际磨削齿面法向偏差值εi与目标修形齿面法向偏差值
Figure FDA0004073368690000055
之差用于展示所提出的齿面拓扑修形方法的效果；齿面误差e用于衡量所提出的方法的最低修形能力，公式如下：
Figure FDA0004073368690000056
式(24)中，
Figure FDA0004073368690000057
是实际磨削齿面法向偏差值和目标修形齿面法向偏差值的最大值，当待加工非对称齿轮的轴向两侧齿面的误差值不同时，选择较大的值作为齿面误差值。
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