CN116135485A - 一种二自由度机械臂的预设性能轨迹跟踪控制器设计方法 - Google Patents

Abstract

一种二自由度机械臂的预设性能轨迹跟踪控制器设计方法，基于二自由度机械臂的动力学模型建立状态空间方程；依据输出轨迹跟踪参考轨迹，产生跟踪误差，将跟踪误差限制在固定时间预设性能函数的包络线内，将受不等式约束的跟踪误差转换为不受约束的等效误差；将二自由度机械臂系统分为两级子系统,设计使第一级子系统固定时间稳定的虚拟控制器和第一自适应律；设计使整个二自由度机械臂系统固定时间稳定的固定时间自触发预设性能轨迹跟踪控制器和第二自适应律，确定控制器增益,完成固定时间自触发预设性能轨迹跟踪控制器设计。本轨迹跟踪控制器提升了二自由度机械臂系统的抗干扰性以及响应速度，在任意的时间内，满足预设的跟踪性能需求。

Description

一种二自由度机械臂的预设性能轨迹跟踪控制器设计方法

技术领域

本发明涉及机械臂控制技术领域，具体说的是一种二自由度机械臂的预设性能轨迹跟踪控制器设计方法。

背景技术

随着技术的不断进步，机械臂已经成为替代人类从事重复、持久、精密以及危险等性质任务的重要工具，在工业自动化生产、医学治疗、半导体制造以及太空探索等领域中得到了广泛的应用。如今对机械臂的操作能力要求也在不断提高，多数工作场景都有着较高的控制精度要求，如果没有到达预计精度，将会带来严重的经济和安全事故。需要指出的是，机械臂的轨迹跟踪控制是完成上述复杂控制问题的基础。基于此，有必要设计快速且高精度的轨迹跟踪控制器。另外，现有大多控制器设计方法中，往往忽略了轨迹跟踪误差在收敛过程中需要同时满足暂态性能和稳态性能的要求，一些核心指标包括收敛时间、最大超调量以及稳态精度无法同时得到保证。因此，如何提高跟踪误差的暂态性能和稳态性能是一项具有重要意义的工作。

此外，机械臂在执行任务时要对外界信息进行即时的传输计算，且多数机械臂控制器是基于时间触发控制策略，此种方法的劣势是系统控制信号持续的更新，无疑会导致系统通信资源的浪费，造成执行器的机械磨损。进一步地，控制信号在传输过程中，大部分被编码为8位或者16位数字信号，在网络传输过程中不可避免发生丢包、延迟、阻塞等问题时，将极大影响机械臂的跟踪性能。因此，如何降低控制信号的更新频率，减少数据传输问题无论是在理论还是实际上都十分重要。

发明内容

为解决上述技术问题，本发明提供一种二自由度机械臂的预设性能轨迹跟踪控制器设计方法，提升二自由度机械臂系统的响应速度和跟踪性能。

为实现上述技术目的，所采用的技术方案是：一种二自由度机械臂的预设性能轨迹跟踪控制器设计方法，包括以下步骤：

步骤一、基于二自由度机械臂的动力学模型建立状态空间方程；

步骤二、基于步骤一的状态空间方程，依据二自由度机械臂的输出轨迹跟踪参考轨迹，产生一个跟踪误差e_1i(t)，通过建立不等式关系，将跟踪误差限制在固定时间预设性能函数η_i(t)的包络线内，建立误差转换函数Ξ_i(ε_i(t))以及等式关系e_1i(t)＝η_i(t)Ξ_i(ε_i(t))，将受不等式约束的跟踪误差转换为不受约束的等效误差，等效变换后的二自由度机械臂系统的跟踪误差为

步骤三、根据步骤二所得的等效变换后二自由度机械臂系统的跟踪误差，基于自适应反推控制法，构造坐标变换，将二自由度机械臂系统分为两级子系统，针对第一级子系统，设计使其固定时间稳定的虚拟控制器α₁和第一自适应律

进而得到第一级子系统的待设计控制器增益，针对第二级子系统，结合自触发控制机制，设计使整个二自由度机械臂系统固定时间稳定的固定时间自触发预设性能轨迹跟踪控制器τ(t)和第二自适应律/>

进而得到第二级子系统待设计的控制器增益，完成固定时间自触发预设性能轨迹跟踪控制器设计。

根据自触发控制机制的触发条件设计1比特的编码解码机制。

自触发控制机制的触发条件的具体实现形式为，根据系统控制器当前信息计算出控制信号的下一触发时刻,根据控制信号上一触发时刻和下一触发时刻的差值进行编码，差值大于零时将控制信号编码为1，与之相反，差值小于零时将控制信号编码为0，之后将编码信号传输至解码器解码，得到实际控制信号，再传输到二自由度机械臂系统的执行器。

本发明有益效果是：

1、该方法不需要精确的二自由度机械臂系统模型和扰动的先验知识，通过在线辨识，逐步完善系统模型，所设计的固定时间自触发预设性能轨迹跟踪控制器，解决了传统控制方案中初始位置未知时，系统的稳定时间上界无法确定的弊端，保证了二自由度机械臂闭环系统的所有信号是固定时间有界的，同时系统的稳定时间上界可以估算，并独立于系统的初始位置条件,并且提升了二自由度机械臂系统的抗干扰性以及响应速度。

2、不同于传统的指数型预设性能函数，其跟踪误差收敛至预设的性能区间的时间无法定量表示，设定的稳定精度越高收敛时间也随之增大，只有当时间趋于无穷时，跟踪误差才能收敛至预设的性能区间。本发明引入固定时间预设性能函数，保证在待设定的任意时间内，跟踪误差可以收敛至性能函数的包络线(性能区间)内，满足预设的跟踪性能需求，并且有效改善系统的暂态性能和稳态性能，且系统最大超调量、收敛时间以及稳态精度都根据实际需求可以任意设计，可满足不同情况下的性能需求。

3、结合自触发控制机制，设计固定时间自触发预设性能轨迹跟踪控制器，有效的避免了二自由度机械臂控制器信号的持续更新，实现控制器信号的间接性更新的情况下，仍然保证二自由度机械臂系统的输出轨迹对参考轨迹的快速跟踪。

4、基于自触发机制的触发条件，设计了1比特编码解码机制，控制信号更新时只需传输1位编码信号，降低了信号传输时丢包、阻塞和迟滞等故障发生率，控制信号传输的正确率得到提升，进而确保二自由度机械臂系统的跟踪性能。

附图说明

图1是二自由度机械臂的示意图；

图2是二自由度机械臂固定时间自触发预设性能跟踪控制器和1比特编码解码机制的设计流程示意图；

图3是二自由度机械臂轨迹跟踪控制方法结构图；

图4是二自由度机械臂第一机械臂跟踪误差轨迹图；

图5是二自由度机械臂第二机械臂跟踪误差轨迹图；

图6是二自由度机械臂第一机械臂控制输入曲线图；

图7是二自由度机械臂第二机械臂控制输入曲线图；

图8是二自由度机械臂第一机械臂控制输入的触发间隔图；

图9是二自由度机械臂第二机械臂控制输入的触发间隔图；

图10是包含采样误差的第一机械臂跟踪误差轨迹图；

图11是包含采样误差的第二机械臂跟踪误差轨迹图。

具体实施方式

为使本发明实施例的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合本发明中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例，基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

一种二自由度机械臂的预设性能轨迹跟踪控制器设计方法，包括以下步骤：

步骤1.1、根据图1所示二自由度机械臂的示意图，其动力学模型如下描述：

式中：

M(ω,t)为惯性矩阵；/>

为离心-科里奥利力矩阵；G(ω,t)为重力向量；Δ(t)为扰动向量；u(t)为控制力向量；ω、/>

和/>

分别代表位置向量、速度向量以及加速度向量；t为时间；m₁和m₂分别表示第一机械臂和第二机械臂的质量；l₁和l₂分别表示第一机械臂和第二机械臂的长度；g为重力加速度；ω₁、/>

和/>

分别表示第一机械臂的位置、速度以及加速度；ω₂、/>

和/>

第二机械臂的位置、速度以及加速度；u₁(t)和u₂(t)分别表示第一机械臂和第二机械臂的输入信号。为了简单起见，令M(ω,t)＝M，/>

G(ω,t)＝G，Δ(t)＝Δ。

为了后续的分析，根据公式(1)中二自由度机械臂系统的动力学模型，建立如下状态空间方程：

式中：

f₂(x₁,x₂,t)＝M^-1(-C-G-Δ)，g₂(x₁,x₂,t)＝M^-1，y₁为二自由度机械臂的输出轨迹，为了简单起见，令f₂(x₁,x₂,t)＝f₂，g₂(x₁,x₂,t)＝g₂。

步骤1.2、基于步骤1.1中所得的状态空间方程，二自由度机械臂轨迹跟踪控制的主要控制目标是输出轨迹y₁尽可能的跟踪参考轨迹y_d＝[y_1d y_2d]^T，y_1d为第一机械臂的参考轨迹，y_2d为第二机械臂的参考轨迹，由此将产生一个跟踪误差e_1i(t)＝x_1i-y_id，为了使跟踪误差具有良好的暂态性能和稳态性能(较短的收敛时间、较小的超调量和更高的稳态精度)，引入如下固定时间预设性能函数η_i(t)(i＝1,2)来约束跟踪误差e_1i(t)：

式中：η_i,0和η_i,∞分别为固定时间性能函数的初始值和稳态值，T_i为待设计的收敛时间。固定时间预设性能函数为单调递减连续且可导的函数，利用固定时间预设性能函数的收敛特性人为设计性能包络线，将跟踪误差约束到性能函数包络线内，进而满足预设的跟踪性能需求。

为了达到对跟踪误差约束的控制目的，通过建立以下不等式关系，将跟踪误差限制在固定时间预设性能函数η_i(t)的包络线内：

-ζ_i,minη_i(t)≤e_1i(t)≤ζ_i,maxη_i(t) (4)

式中：ζ_i.min＞0，ζ_i.max＞0，且满足-ζ_i,minη_i(0)≤e_1i(0)≤ζ_i,maxη_i(0)，其中e_1i(0)为初始时刻的跟踪误差，η_i(0)＝η_i,0。

进一步地，避免由于引入了固定时间预设性能函数所导致控制器设计复杂度和难度提升，建立以下误差转换函数Ξ_i(ε_i(t))以及等式关系e_1i(t)＝η_i(t)Ξ_i(ε_i(t))，将受不等式约束的跟踪误差转换为不受约束的等效误差:

式中：ε_i(t)为转换误差，等效变换后系统的跟踪误差为

步骤1.3、基于步骤1.2中所得等效变换后系统的跟踪误差，基于自适应反推控制法，构造以下坐标变换：

式中：

将二自由度机械臂系统分为两级子系统，引入误差变量z₁和z₂，通过所设计的虚拟控制器稳定相对应的子系统，使得误差变量z₁和z₂趋于稳定，最终设计出实际控制器τ(t)，保证二自由度机械臂系统的固定时间稳定，进而确定待设计的控制器增益，实现在固定时间内对参考轨迹的跟踪。首先针对第一级子系统构造一个连续且正定的李雅普诺夫函数，设计使第一级子系统固定时间稳定的虚拟控制器α₁和第一自适应律/>

在第一级子系统固定时间稳定的基础上，构造第二级子系统的李雅普诺夫函数，进一步地设计实际控制器τ(t)和第二自适应律/>

保证整个闭环系统的固定时间稳定性，并在闭环系统稳定的基础上得到控制器增益，实现对参考轨迹的有效跟踪。

步骤1.4、基于步骤1.3所构造的坐标变换，针对二自由度机械臂的第一级子系统构造如下连续且正定的李雅普诺夫函数V₁：

式中：ρ₁为正常数，

代表估计误差，/>

为理想权向量θ₁的估计值，/>

为估计误差，κ₁为一个未知常数。

进一步地，将第一级子系统的李雅普诺夫函数V₁对时间求导，可得：

式中：

其中

为参考轨迹y_d的导数。

针对上式中的非线性函数

采用径向基函数神经网络技术来逼近/>

具体可以表示为：

式中：

表示理想的权向量，/>

表示输入为/>

的径向基函数，/>

代表逼近误差且满足/>

是正常数，/>

代表/>

的转置。

通过使用Young不等式，并构建以下虚拟控制器α₁和第一自适应律

保证第一级子系统固定时间稳定:

式中：

和γ_1i(i＝1,2,j＝1,2,3)为待设计的正控制器增益，/>

其中/>

表示为对角矩阵，max{*}表示取*中的最大值，||·||表示向量·的Frobenius范数。

将所设计的虚拟控制器α₁和第一自适应律

带入公式(8)，可得：/>

式中：

κ₁＝min{k_1i}(i＝1,2)，/>

且/>

ι为正常数，min{*}代表取*中的最小值。

基于李雅普诺夫的固定时间稳定性理论，证明采用设计的虚拟控制器α₁和第一自适应律

可以实现二自由度机械臂系统的第一级子系统固定时间稳定，进而获得虚拟控制器α₁和第一自适应律/>

的控制增益。保证第一级子系统固定时间稳定基础上，进一步设计实际控制器τ(t)和第二自适应律/>

使得整个闭环系统(二自由度机械臂系统)实现固定时间稳定。

步骤1.5、基于步骤1.4(若第一级子系统不稳定，则第二级子系统亦不会稳定)，构造第二级子系统的连续且正定的李雅普诺夫函数V₂：

式中：ρ₂为正常数，

为估计误差，且满足/>

为理想权向量θ₂的估计值，κ₂是一个未知常数。

进一步地，将公式(12)对时间t求导，可得：

式中：

其中/>

为α₁的导数。使用径向基神经网络来逼近非线性项/>

具体形式如下表示：

式中：

表示理想的权向量，/>

代表/>

的转置，/>

表示径向基函数，/>

为径向基函数的输入向量，/>

代表径向基神经网络逼近过程时产生的误差，且满足

为正常数。

通过使用Yong不等式，定义

其中max{*}表示取*中的最大值，第二自适应律/>

设计如下：/>

式中:ρ₂、γ₂₁和γ₂₂为待设计的正控制器增益。

由于多数机械臂控制器都是基于时间触发控制框架，此种控制方法的劣势是系统控制信号持续的更新，无疑会导致系统通信资源的浪费，造成执行器的机械磨损。为了解决这一问题，本发明将自触发控制机制引入到固定时间轨迹跟踪控制器设计中，根据上一触发时刻的信息计算出控制信号的下一触发时刻，当设计的触发条件(16)被满足时，控制信号将更新并传输到执行器，降低了控制信号的更新频率和执行器的磨损。自触发控制器设计如下：

式中：τ(t)＝[τ₁(t) τ₂(t)]^T，τ₁(t)为第一机械臂的实际控制器，τ₂(t)为第二机械臂的实际控制器，t_i,k和t_i,k+1为正整数，

μ_i＞0且满足/>

表示为控制信号u_i(t)导数的绝对值，/>

表示两个连续触发控制信号的时间间隔，/>

和/>

表示控制信号间隔的变化率，/>

σ_i、μ_i、/>

和/>

为待设计的正控制器增益。

为了引入自触发控制器，构造以下等式关系和时变函数ξ_1i(t_i,k)＝ξ_2i(t_i,k)＝0，ξ_1i(t_i,k+1)＝ξ_2i(t_i,k+1)＝±1，且满足|ξ_1i(t)|≤1和|ξ_2i(t)|≤1，

结合公式(15)、公式(18)，并采用第二自适应律

和实际控制器τ(t)，可得：

式中：

κ₂＝g ₂，ι为正常数，/>

g ₂和/>

分别为g₂的上界和下界，min{*}代表取*中的最小值。/>

针对二自由度机械臂的第二级子系统，采用设计的实际控制器τ(t)和第二自适应律

使得二自由度机械臂系统的第二级子系统实现了固定时间稳定，进而获得实际控制器τ(t)和第二自适应律/>

的控制增益。

进一步地，为了证明整个闭环系统的固定时间稳定性，将第一级子系统李雅普诺夫函数V₁和第二级子系统李雅普诺夫函数V₂结合，构造如下总李雅普诺夫函数：

V＝V₁+V₂ (20)

将公式(20)对时间求导，可得：

式中：

根据公式(21)，采用所设计的虚拟控制器α₁、实际控制器τ(t)、第一自适应律

和第二自适应律/>

保证了二自由度机械臂闭环系统的所有信号是固定时间有界的，其稳定固定时间的上界为/>

其中0＜Λ＜1；且在待设定的固定时间T_i内，系统的跟踪误差e_1i(t)收敛至性能函数的包络线内，满足预设的跟踪性能需求。

根据以上分析，由于二自由度机械臂闭环系统的所有信号是固定时间有界的，故输入信号u(t)是有界的，进一步地得到

同样为有界的，即得出两个连续触发控制的时间间隔下限满足t^*＝t_i,k+1-t_i,k＞0，有效的避免了芝诺效应。

到目前为止，二自由度机械臂系统的固定时间自触发预设性能轨迹跟踪控制器设计已经完成。进一步地，考虑多数实际系统所采用的8位或者16位的编码机制，每次传输控制信号都将占用大量的网络带宽信道，可能造成网络负担。针对这一问题，本发明在二自由度机械臂的控制器和执行器之间设计1比特编码解码机制，根据自触发控制机制的触发条件，实现当控制信号更新时，只需要传输1位数字信号(0或者1)，减少了网络信道的不必要占用，降低了信号传输时丢包、阻塞和迟滞等故障的发生率，控制信号传输的正确率得到提升，进而确保二自由度机械臂系统的跟踪性能。1比特编码解码机制的设计步骤如下：

步骤2.1、根据自触发控制机制的触发条件，每当触发条件被满足时，控制信号更新，然后根据控制信号上一触发时刻和下一触发时刻的差值进行编码，差值大于零时将控制信号编码为1，与之相反，差值小于零时将控制信号编码为0。编码器设计如下：

步骤2.2、编码器的输出m_i通过网络通道传输给解码器，解码器设计如下:

式中：

是预先储存的最新的控制信号，μ_i为正常数。/>

下面针对所设计的1位编码解码机制进行鲁棒性分析，分为以下两种情况：情况1：在这种情况下，两个连续触发间隔不会被破坏，二自由度机械臂系统的控制器和执行器得到相同的控制信号

情况2：在这种情况下，采样器在采样过程中可能产生一个随机的采样误差，此时控制器和解码器的信号存在误差，故本发明在仿真实验中使用随机误差

来模拟随机的采样误差，即/>

此时通过选取控制参数/>

和/>

保证二自由度机械臂系统的固定时间稳定。

为详细说明本发明的方案控制效果，接下来将在MATLAB中进行仿真实验，二自由度机械臂系统参数设计为：参考轨迹

初始位置/>

m₁＝m₂＝1kg，l₁＝1m，l₂＝0.5m，g＝9.8m/s²，T_i＝1s，η_i(0)＝η_i,0＝1，η_i,∞＝0.05，ζ_i,max＝ζ_i,min＝1,(i＝1,2)，跟踪误差将e_1i被约束在(-0.05,0.05)的范围内，控制增益选取如下表一所示：

表一：控制增益

通过MATLAB进行仿真实验得到以下结果，根据图4和图5可以得出二自由度机械臂系统输出轨迹y₁可以快速的跟踪参考轨迹y_d，并且跟踪误差在预设的固定时间T_i＝1s内，收敛至固定时间性能函数的包络线内；图6和图7分别为第一机械臂和第二机械臂的控制输入图，从仿真图得出有效避免了控制信号的持续更新，缓解了网络通信的负担，减少了执行器的磨损；图8和图9为控制信号的触发时间间隔图，可以直观地看出芝诺效应被有效避免；由图10和图11可以得出，即使引入随机的采样误差

仍然可以保证闭环系统的固定时间稳定性，并且在预设的固定时间内，收敛至预设的性能区间。通过仿真实验结果得出本发明所设计的固定时间自触发预设性能轨迹跟踪控制器实现了闭环系统的固定时间稳定，且稳定时间的上界与系统的初始位置条件无关；通过调节固定时间预设性能函数的设计参数，满足不同情况下的跟踪性能需求；结合自触发控制技术，有效的避免了系统控制信号的持续更新，降低了控制信号的更新频率和执行器的磨损；基于自触发控制的触发条件，设计1比特编码解码机制，减少了网络信道的不必要占用，有效的缓解了网络带宽压力。

对所公开的实施例的上述说明，使本领域专业技术人员能够实现或使用本发明。对这些实施例的多种修改对本领域的专业技术人员来说将是显而易见的，本文中所定义的一般原理可以在不脱离本发明的精神或范围的情况下，在其它实施例中实现。因此，本发明将不会被限制于本文所示的这些实施例，而是要符合与本文所公开的原理和新颖特点相一致的最宽的范围。

Claims (3)

1.一种二自由度机械臂的预设性能轨迹跟踪控制器设计方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤一、基于二自由度机械臂的动力学模型建立状态空间方程；

步骤二、基于步骤一的状态空间方程，依据二自由度机械臂的输出轨迹跟踪参考轨迹，产生一个跟踪误差e_1i(t)，通过建立不等式关系，将跟踪误差限制在固定时间预设性能函数η_i(t)的包络线内，建立误差转换函数Ξ_i(ε_i(t))以及等式关系e_1i(t)＝η_i(t)Ξ_i(ε_i(t))，将受不等式约束的跟踪误差转换为不受约束的等效误差，等效变换后的二自由度机械臂系统的跟踪误差为

步骤三、根据步骤二所得的等效变换后二自由度机械臂系统的跟踪误差，基于自适应反推控制法，构造坐标变换，将二自由度机械臂系统分为两级子系统，针对第一级子系统，设计使其固定时间稳定的虚拟控制器α₁和第一自适应律

进而得到第一级子系统的待设计控制器增益，针对第二级子系统，结合自触发控制机制，设计使整个二自由度机械臂系统固定时间稳定的固定时间自触发预设性能轨迹跟踪控制器τ(t)和第二自适应律/>

进而得到第二级子系统待设计的控制器增益，完成固定时间自触发预设性能轨迹跟踪控制器设计。

2.如权利要求1所述的一种二自由度机械臂的预设性能轨迹跟踪控制器设计方法，其特征在于：根据自触发控制机制的触发条件为设计1比特的编码解码机制。

3.如权利要求2所述的一种二自由度机械臂的预设性能轨迹跟踪控制器设计方法，其特征在于：自触发控制机制的触发条件的具体实现形式为，根据系统控制器当前信息计算出控制信号的下一触发时刻值,根据控制信号上一触发时刻和下一触发时刻的差值进行编码，差值大于零时将控制信号编码为1，与之相反，差值小于零时将控制信号编码为0，之后将编码信号传输至解码器解码，得到实际控制信号，再传输到二自由度机械臂系统的执行器。

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