CN115459820A - 基于拟牛顿法的低复杂度流形优化混合预编码方法 - Google Patents

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CN115459820A CN202211055337.3A CN202211055337A CN115459820A CN 115459820 A CN115459820 A CN 115459820A CN 202211055337 A CN202211055337 A CN 202211055337A CN 115459820 A CN115459820 A CN 115459820A
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Abstract

基于拟牛顿法的低复杂度流形优化混合预编码方法，属于毫米波大规模MIMO系统移动通信预编码技术领域。本发明针对混合预编码算法中基于流形优化的交替最小化算法迭代次数高的问题。包括：构造模拟预编码矩阵，为每个元素赋初始值；对模拟预编码矩阵利用最小二乘法求解获得数字预编码矩阵；对数字预编码矩阵利用基于拟牛顿法的流形优化方法求解获得模拟预编码矩阵；反复迭代，直到根据当前获得的数字预编码矩阵和模拟预编码矩阵的计算结果确定达到迭代结束条件；最后将将当前模拟预编码矩阵作为最终模拟预编码矩阵；根据功率约束条件，对当前数字预编码矩阵归一化获得最终数字预编码矩阵；完成混合预编码。本发明方法能够降低混合预编码的复杂度。

Description

基于拟牛顿法的低复杂度流形优化混合预编码方法
技术领域
本发明涉及基于拟牛顿法的低复杂度流形优化混合预编码方法，属于毫米波大规模MIMO系统移动通信预编码技术领域。
背景技术
大规模MIMO技术和毫米波通信技术作为新一代移动通信的关键技术，利用大规模天线阵列的复用增益和毫米波丰富的频谱资源，能够有效提升系统容量，实现超高速率、超低时延的数据传输。大规模MIMO技术与毫米波通信技术的结合，不仅能够克服毫米波高路径损耗的缺点，而且能够降低大规模天线阵列集成的难度。因此，毫米波大规模MIMO系统被广泛应用于移动通信、无人机通信等民用、工业和军事领域。
在毫米波大规模MIMO大规模系统中，随着天线阵元数目的增大，天线耦合性和信道相关性增强，从而导致系统传输的可靠性降低。为了解决上述问题，研究者提出利用预编码技术在发射端进行信号处理，这不仅可以降低接收端信号处理的复杂度，而且可以减少信道相关性的影响从而提升系统频谱效率、降低误比特率。此外，为了克服传统数字预编码和模拟波束赋形技术所存在的局限性，研究者提出了混合预编码技术，即通过低维度的数字预编码和高维度的模拟预编码相结合来完成信息预处理过程。混合预编码技术通常将模拟预编码矩阵FRF、数字预编码矩阵FBB与最优全数字预编码矩阵Fopt的欧式距离作为目标函数，通过将该欧式距离最小化以实现混合预编码过程。同时，由于模拟预编码矩阵FRF硬件上通过移相器来实现，因此该矩阵具有恒定模值约束条件，使得该优化问题为非凸优化。
毫米波大规模MIMO系统的混合预编码算法主要包括两类，第一类为依赖于信道估计信息的基于正交匹配追踪的混合预编码算法，它利用毫米波的信道结构特征，将稀疏重构作为混合预编码的理论基础，利用信道信息对模拟预编码矩阵FRF进行重构，使用最小二乘法对数字预编码矩阵FBB求解，以逼近最优全数字预编码矩阵Fopt，从而完成混合预编码过程。第二类为不依赖于信道估计信息的基于交替最小化的混合预编码算法，利用优化理论直接实现最优全数字预编码矩阵Fopt的优化目标，完成模拟预编码矩阵FRF和数字预编码矩阵FBB的交替优化求解。
由于基于交替最小化的混合预编码算法不依赖于信道估计且利用优化理论直接实现优化目标，因此系统性能可近似逼近最优全数字预编码算法。但该类算法所涉及的优化理论计算复杂度均较高，其中基于流形优化的交替最小化算法将非凸约束建立在黎曼流形上，采用共轭梯度下降法对目标函数进行优化，存在迭代次数较高的问题，不利于硬件实现。
发明内容
针对混合预编码算法中基于流形优化的交替最小化算法迭代次数高的问题，本发明提供一种基于拟牛顿法的低复杂度流形优化混合预编码方法。
本发明的一种基于拟牛顿法的低复杂度流形优化混合预编码方法，包括，
步骤一：构造模拟预编码矩阵FRF，并为每个元素赋初始值；
步骤二：基于当前模拟预编码矩阵FRF交替最小化迭代求解数字预编码矩阵FBB和模拟预编码矩阵FRF；其中对模拟预编码矩阵FRF利用最小二乘法求解获得数字预编码矩阵FBB；对数字预编码矩阵FBB利用基于拟牛顿法的流形优化方法求解获得模拟预编码矩阵FRF；
步骤三：每完成一次最小化迭代计算，根据当前获得的数字预编码矩阵FBB和模拟预编码矩阵FRF判断是否达到迭代结束条件，若是，迭代结束，执行步骤四；否则，返回步骤二；
步骤四：将当前模拟预编码矩阵FRF作为最终模拟预编码矩阵FRF；根据功率约束条件，对当前数字预编码矩阵FBB归一化获得最终数字预编码矩阵FBB；完成混合预编码。
根据本发明的基于拟牛顿法的低复杂度流形优化混合预编码方法，步骤一中，元素初始值的幅值
Figure BDA0003824703460000021
满足以下关系式：
Figure BDA0003824703460000022
式中
Figure BDA0003824703460000023
表示模拟预编码矩阵FRF中第i行第j列的元素；Nt为MIMO系统发射端天线阵元数目；
模拟预编码矩阵FRF的维度为
Figure BDA0003824703460000024
为射频链数目；
每个元素的相位随机产生。
根据本发明的基于拟牛顿法的低复杂度流形优化混合预编码方法，步骤二中交替最小化迭代求解的过程包括：
步骤二一：在第k次迭代过程中，固定第k次模拟预编码矩阵
Figure BDA0003824703460000025
利用最小二乘法求解获得第k次数字预编码矩阵
Figure BDA0003824703460000026
Figure BDA0003824703460000031
式中
Figure BDA0003824703460000032
为
Figure BDA0003824703460000033
的转置共轭矩阵，Fopt为最优全数字预编码矩阵；
步骤二二：在第k次迭代过程中，固定第k次数字预编码矩阵
Figure BDA0003824703460000034
利用基于拟牛顿法的流形优化方法求解获得第k次模拟预编码矩阵
Figure BDA0003824703460000035
根据本发明的基于拟牛顿法的低复杂度流形优化混合预编码方法，步骤二二中，求解第k次模拟预编码矩阵
Figure BDA0003824703460000036
的具体方法包括：
根据模拟预编码矩阵FRF的恒定模值限制，将优化向量x＝vec(FRF)建模为多维复圆流形：
Figure BDA0003824703460000037
式中
Figure BDA0003824703460000038
表示m维复圆流形，x表示向量x中的元素，
Figure BDA0003824703460000039
表示m维黎曼流形，m为向量x中的元素个数；xm为向量x中的第m个元素；
根据DFP拟牛顿法，第k次搜索方向向量pk为：
pk＝-Gk·gradf(xk) (3)
式中gradf(xk)为目标函数在点xk的黎曼梯度；xk为对应向量x的第k次循环向量；
Gk为近似的第k次Hessian逆矩阵：
Figure BDA00038247034600000310
式中Δxk＝xk+1-xk，Δgk＝grad(xk+1)-grad(xk)；Gk+1为近似的第k+1次Hessian逆矩阵，xk+1为第k+1次循环向量；
固定数字预编码矩阵FBB，则模拟预编码矩阵最优解
Figure BDA00038247034600000311
为：
Figure BDA00038247034600000312
式中
Figure BDA00038247034600000313
为一组满足恒定模值限制的矩阵。
根据本发明的基于拟牛顿法的低复杂度流形优化混合预编码方法，步骤二二中，求解第k次模拟预编码矩阵
Figure BDA00038247034600000314
的具体方法还包括：
忽略模拟预编码矩阵FRF的恒定模值限制，将xk+1＝xk+αkpk重构为维度
Figure BDA0003824703460000041
的矩阵Xk+αkPk，式中αk为第k次迭代的步长；Xk为向量xk重构的维度
Figure BDA0003824703460000042
的矩阵，Pk为向量pk重构的维度
Figure BDA0003824703460000043
的矩阵；
利用精确一维搜索方法对步长αk进行求解，使得目标函数在每次迭代过程中实现最小化，结合公式(5)得到步长αk的优化表达式：
Figure BDA0003824703460000044
式中中间变量矩阵A＝Fopt-XkFBB，中间变量矩阵B＝PkFBB；
则步长αk表示为：
Figure BDA0003824703460000045
其中，矩阵C＝A*οB+AοB*；
式中Ck(i,j)为矩阵C第k次迭代过程的第i行第j列元素，Bk为第k次迭代过程的矩阵B；
为保证优化向量x＝vec(FRF)的恒定模值特性，使其始终位于m维复圆流形
Figure BDA0003824703460000046
上，引入回退过程，将切空间
Figure BDA0003824703460000047
的向量映射至m维复圆流形
Figure BDA0003824703460000048
上，表示为：
Figure BDA0003824703460000049
式中Retrx表示回退映射，
Figure BDA00038247034600000410
表示
Figure BDA00038247034600000411
的切空间；
由此完成对向量x＝vec(FRF)的迭代优化，得到第k次交替最小化过程中模拟预编码矩阵
Figure BDA00038247034600000412
的最优解。
根据本发明的基于拟牛顿法的低复杂度流形优化混合预编码方法，步骤三中，迭代结束条件为目标函数的变化量；当当前目标函数与相邻前一次目标函数的变化量满足预设变化量阈值，迭代结束。
根据本发明的基于拟牛顿法的低复杂度流形优化混合预编码方法，步骤四中数字预编码矩阵FBB归一化获得最终数字预编码矩阵FBB的方法包括：
Figure BDA0003824703460000051
Ns为通信系统传输数据流数。
本发明的有益效果：本发明方法将预编码问题的非凸约束建立在黎曼流形上，并利用共轭梯度下降法进行优化。本发明方法应用于毫米波大规模MIMO系统，可以解决基于流形优化的混合预编码方法复杂度高的问题；本发明方法利用拟牛顿法和一维线性精确搜索加快收敛速度，减少流形优化的迭代次数，经验证，本发明方法在保证系统频谱效率、误比特率等性能的前提下，使得混合预编码的复杂度降低约20％。
本发明方法使系统频谱效率和误比特率几乎无性能损失，在保证系统性能的前提下实现了算法复杂度的降低，提高了混合预编码的可实现性。
附图说明
图1是本发明所述基于拟牛顿法的低复杂度流形优化混合预编码方法的流程图；
图2是本发明具体实施例中的系统示意图；
图3是具体实施例中采用本发明方法与传统流形优化方法的复杂度对比分析图；图中MO-AltMin为传统流形优化方法，QN-MO-AltMin为本发明方法；
图4是本发明具体实施例中的频谱效率分析图；图中Optimal Full-Digital表示最优全数字预编码算法,为经典方法；OMP表示基于正交匹配追踪的算法，是混合预编码的经典算法；
图5是本发明具体实施例中的误比特率分析图。
具体实施方式
下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动的前提下所获得的所有其它实施例，都属于本发明保护的范围。
需要说明的是，在不冲突的情况下，本发明中的实施例及实施例中的特征可以相互组合。
下面结合附图和具体实施例对本发明作进一步说明，但不作为本发明的限定。
具体实施方式一、结合图1和图2所示，本发明提供了一种基于拟牛顿法的低复杂度流形优化混合预编码方法，包括，
步骤一：构造模拟预编码矩阵FRF，并为每个元素赋初始值；
步骤二：基于当前模拟预编码矩阵FRF交替最小化迭代求解数字预编码矩阵FBB和模拟预编码矩阵FRF；其中对模拟预编码矩阵FRF利用最小二乘法求解获得数字预编码矩阵FBB；对数字预编码矩阵FBB利用基于拟牛顿法的流形优化方法求解获得模拟预编码矩阵FRF；
步骤三：每完成一次最小化迭代计算，根据当前获得的数字预编码矩阵FBB和模拟预编码矩阵FRF判断是否达到迭代结束条件，若是，迭代结束，执行步骤四；否则，返回步骤二；
步骤四：将当前模拟预编码矩阵FRF作为最终模拟预编码矩阵FRF；根据功率约束条件，对当前数字预编码矩阵FBB归一化获得最终数字预编码矩阵FBB；完成混合预编码。
进一步，步骤一中，由于模拟预编码矩阵FRF的硬件通过移相器来实现，因此该矩阵受到恒定模值限制，元素初始值的幅值
Figure BDA0003824703460000061
满足以下关系式：
Figure BDA0003824703460000062
式中
Figure BDA0003824703460000063
表示模拟预编码矩阵FRF中第i行第j列的元素；Nt为大规模MIMO系统发射端天线阵元数目；
模拟预编码矩阵FRF的维度为
Figure BDA0003824703460000064
为射频链数目；
每个元素的相位随机产生。
步骤二中交替最小化迭代求解的过程包括：
步骤二一：在第k次迭代过程中，固定第k次模拟预编码矩阵
Figure BDA0003824703460000065
利用最小二乘法求解获得第k次数字预编码矩阵
Figure BDA0003824703460000066
Figure BDA0003824703460000067
式中
Figure BDA0003824703460000068
为
Figure BDA0003824703460000069
的转置共轭矩阵，Fopt为最优全数字预编码矩阵；
步骤二二：在第k次迭代过程中，固定第k次数字预编码矩阵
Figure BDA00038247034600000610
利用基于拟牛顿法的流形优化方法求解获得第k次模拟预编码矩阵
Figure BDA00038247034600000611
步骤二二中，求解第k次模拟预编码矩阵
Figure BDA00038247034600000612
的具体方法包括：
根据模拟预编码矩阵FRF的恒定模值限制，将优化向量x＝vec(FRF)建模为多维复圆流形：
Figure BDA0003824703460000071
式中
Figure BDA0003824703460000072
表示m维复圆流形，x表示向量x中的元素，
Figure BDA0003824703460000073
表示m维黎曼流形，m为向量x中的元素个数；xm为向量x中的第m个元素；
根据DFP拟牛顿法，第k次搜索方向向量pk为：
pk＝-Gk·gradf(xk) (3)
式中gradf(xk)为目标函数在点xk的黎曼梯度；xk为对应向量x的第k次循环向量；
Gk为近似的第k次Hessian逆矩阵：
Figure BDA0003824703460000074
式中Δxk＝xk+1-xk，Δgk＝grad(xk+1)-grad(xk)；Gk+1为近似的第k+1次Hessian逆矩阵，xk+1为第k+1次循环向量；
进一步，利用精确一维搜索方法对步长αk进行求解，使得目标函数在每次迭代过程中实现最小化：
固定数字预编码矩阵FBB，则模拟预编码矩阵最优解
Figure BDA0003824703460000075
为：
Figure BDA0003824703460000076
式中
Figure BDA0003824703460000077
为一组满足恒定模值限制的矩阵。所述恒定模值限制即矩阵中元素的幅值约束。
步骤二二中，求解第k次模拟预编码矩阵
Figure BDA0003824703460000078
的具体方法还包括：
对步长αk精确求解时，暂时忽略模拟预编码矩阵FRF的恒定模值限制，将xk+1＝xk+αkpk重构为维度
Figure BDA0003824703460000079
的矩阵Xk+αkPk，式中αk为第k次迭代的步长；Xk为向量xk重构的维度
Figure BDA00038247034600000710
的矩阵，Pk为向量pk重构的维度
Figure BDA00038247034600000711
的矩阵；
利用精确一维搜索方法对步长αk进行求解，使得目标函数在每次迭代过程中实现最小化，结合公式(5)得到步长αk的优化表达式：
Figure BDA0003824703460000081
式中中间变量矩阵A＝Fopt-XkFBB，中间变量矩阵B＝PkFBB；公式(6)为关于步长αk的二次函数；
则步长αk表示为：
Figure BDA0003824703460000082
其中，矩阵C＝A*οB+AοB*；
式中Ck(i,j)为矩阵C第k次迭代过程的第i行第j列元素，Bk为第k次迭代过程的矩阵B；
为保证优化向量x＝vec(FRF)的恒定模值特性，使其始终位于m维复圆流形
Figure BDA0003824703460000083
上，引入回退过程，将切空间
Figure BDA0003824703460000084
的向量映射至m维复圆流形
Figure BDA0003824703460000085
上，表示为：
Figure BDA0003824703460000086
式中Retrx表示回退映射，
Figure BDA0003824703460000087
表示
Figure BDA0003824703460000088
的切空间；
由此基于拟牛顿法的流形优化过程，完成对向量x＝vec(FRF)的迭代优化，得到第k次交替最小化过程中模拟预编码矩阵
Figure BDA0003824703460000089
的最优解。
本发明方法利用收敛速度较快且复杂度较低的DFP拟牛顿法和一维精确搜索方法减少混合预编码的迭代次数，以实现降低算法复杂度的目的。它通过将非线性优化的拟牛顿法应用于黎曼流形中，采用复杂度较低且收敛速度较快的DFP算法，降低混合预编码算法的迭代次数；同时，在优化过程中直接求解迭代步长α，使得目标函数最小化，进一步减少迭代次数。
步骤三中，迭代结束条件为目标函数的变化量；当当前目标函数与相邻前一次目标函数的变化量满足预设变化量阈值，迭代结束。
步骤四中数字预编码矩阵FBB归一化获得最终数字预编码矩阵FBB的方法包括：
Figure BDA0003824703460000091
Ns为通信系统传输数据流数。
本发明方法首先将DFP拟牛顿法应用于流形优化的混合预编码算法中，该方法所需计算量较小且不涉及矩阵求逆的过程，收敛速度较快从而可减少预编码设计过程的迭代次数。其次，在模拟预编码矩阵FRF的优化问题中，考虑暂时忽略其恒模约束条件，将步长α作为优化变量，实现对其进行精确求解，可进一步加快收敛速度，减少迭代次数，大约可降低20％的复杂度。
具体实施例：将本发明方法应用于毫米波大规模MIMO系统，实际的系统示意图如图2所示：收发端均采用均匀平面天线阵列结构，其中发射端具有12×12天线阵元，传输4个数据流到具有6×6天线阵元的接收端，收发端的射频链数目均为4个。
结合图1：
步骤1：构造维度为128×4的初始模拟预编码矩阵
Figure BDA0003824703460000092
由于模拟预编码矩阵FRF的硬件通过移相器来实现，因此该矩阵受到恒定模值限制，即元素的幅值需要满足
Figure BDA0003824703460000093
综上，初始模拟预编码矩阵
Figure BDA0003824703460000094
元素的幅值满足上述约束条件，相位随机产生即可。
步骤2：交替最小化迭代求解模拟预编码矩阵FRF和数字预编码矩阵FBB；
在本实施方式中，迭代结束条件为目标函数的变化量小于10-3。
步骤2.1：在第k次迭代过程中，固定模拟预编码矩阵
Figure BDA0003824703460000095
利用最小二乘法对数字预编码矩阵
Figure BDA0003824703460000096
进行求解，如公式(1)；
步骤2.2：在第k次迭代过程中，固定数字预编码矩阵
Figure BDA0003824703460000097
利用基于拟牛顿法的流形优化方法对模拟预编码矩阵
Figure BDA0003824703460000098
进行求解。在本实施方式中，流形优化过程的迭代结束条件为gradf(x)<10-6。
根据DFP拟牛顿法，搜索方向pk可表示为：
pk＝-Gk·gradf(xk)；
Figure BDA0003824703460000099
同时，利用精确一维搜索方法对步长αk进行求解，使得目标函数在每次迭代过程中实现最小化，关于步长αk的优化问题，如公式(6)和(7)。
为保证优化变量x＝vec(FRF)的恒模特性，即该变量始终位于复圆流形
Figure BDA0003824703460000101
上，需要引入回退过程，即将切空间
Figure BDA0003824703460000102
的向量映射至流形上，可表示为：
Figure BDA0003824703460000103
Figure BDA0003824703460000104
根据上述基于拟牛顿法的流形优化过程，完成对变量x＝vec(FRF)的迭代优化，得到第k次交替最小化过程中模拟预编码矩阵
Figure BDA0003824703460000105
的最优解。
步骤3：重复步骤2，直至达到迭代结束条件；
步骤4：根据功率约束条件，对数字预编码矩阵FBB进行归一化。
图3、图4和图5分别为本发明方法应用于上述毫米波大规模MIMO系统的复杂度、频谱效率以及误比特率性能分析。图3为本发明方法与传统流形优化方法的复杂度对比分析，表明本发明方法相对于传统流形优化方法的迭代次数大约可降低20％。图3中两种方法单次迭代的复杂度主要体现在黎曼梯度计算项，因此可认为其单次迭代复杂度大致相同。在此基础上，本发明方法的复杂度大约可降低20％。图4、图5为本发明方法与传统流形优化方法以及经典混合预编码算法频谱效率性能、误比特率性能的对比分析，表明本发明方法与传统流形优化方法性能一致且更好的逼近最优全数字预编码算法。从仿真结果中可知，本发明方法的复杂度大约可降低20％，并且频谱效率、误比特率性能与传统流形优化方法近似相同，无性能牺牲。
综上所述，本发明方法能够在保证系统的频谱效率、误比特率等性能的前提下，降低混合预编码的复杂度，具有系统性能好、复杂度低等特点。
虽然在本文中参照了特定的实施方式来描述本发明，但是应该理解的是，这些实施例仅仅是本发明的原理和应用的示例。因此应该理解的是，可以对示例性的实施例进行许多修改，并且可以设计出其他的布置，只要不偏离所附权利要求所限定的本发明的精神和范围。应该理解的是，可以通过不同于原始权利要求所描述的方式来结合不同的从属权利要求和本文中所述的特征。还可以理解的是，结合单独实施例所描述的特征可以使用在其它所述实施例中。

Claims (7)

1.一种基于拟牛顿法的低复杂度流形优化混合预编码方法，其特征在于包括，
步骤一：构造模拟预编码矩阵FRF，并为每个元素赋初始值；
步骤二：基于当前模拟预编码矩阵FRF交替最小化迭代求解数字预编码矩阵FBB和模拟预编码矩阵FRF；其中对模拟预编码矩阵FRF利用最小二乘法求解获得数字预编码矩阵FBB；对数字预编码矩阵FBB利用基于拟牛顿法的流形优化方法求解获得模拟预编码矩阵FRF；
步骤三：每完成一次最小化迭代计算，根据当前获得的数字预编码矩阵FBB和模拟预编码矩阵FRF判断是否达到迭代结束条件，若是，迭代结束，执行步骤四；否则，返回步骤二；
步骤四：将当前模拟预编码矩阵FRF作为最终模拟预编码矩阵FRF；根据功率约束条件，对当前数字预编码矩阵FBB归一化获得最终数字预编码矩阵FBB；完成混合预编码。
2.根据权利要求1所述的基于拟牛顿法的低复杂度流形优化混合预编码方法，其特征在于，
步骤一中，元素初始值的幅值
Figure FDA0003824703450000011
满足以下关系式：
Figure FDA0003824703450000012
式中
Figure FDA0003824703450000013
表示模拟预编码矩阵FRF中第i行第j列的元素；Nt为MIMO系统发射端天线阵元数目；
模拟预编码矩阵FRF的维度为
Figure FDA0003824703450000014
Figure FDA0003824703450000015
为射频链数目；
每个元素的相位随机产生。
3.根据权利要求2所述的基于拟牛顿法的低复杂度流形优化混合预编码方法，其特征在于，
步骤二中交替最小化迭代求解的过程包括：
步骤二一：在第k次迭代过程中，固定第k次模拟预编码矩阵
Figure FDA0003824703450000016
利用最小二乘法求解获得第k次数字预编码矩阵
Figure FDA0003824703450000017
Figure FDA0003824703450000018
式中
Figure FDA0003824703450000019
为
Figure FDA00038247034500000110
的转置共轭矩阵，Fopt为最优全数字预编码矩阵；
步骤二二：在第k次迭代过程中，固定第k次数字预编码矩阵
Figure FDA0003824703450000021
利用基于拟牛顿法的流形优化方法求解获得第k次模拟预编码矩阵
Figure FDA0003824703450000022
4.根据权利要求3所述的基于拟牛顿法的低复杂度流形优化混合预编码方法，其特征在于，步骤二二中，求解第k次模拟预编码矩阵
Figure FDA0003824703450000023
的具体方法包括：
根据模拟预编码矩阵FRF的恒定模值限制，将优化向量x＝vec(FRF)建模为多维复圆流形：
Figure FDA0003824703450000024
式中
Figure FDA0003824703450000025
表示m维复圆流形，x表示向量x中的元素，
Figure FDA0003824703450000026
表示m维黎曼流形，m为向量x中的元素个数；xm为向量x中的第m个元素；
根据DFP拟牛顿法，第k次搜索方向向量pk为：
pk＝-Gk·gradf(xk) (3)
式中gradf(xk)为目标函数在点xk的黎曼梯度；xk为对应向量x的第k次循环向量；
Gk为近似的第k次Hessian逆矩阵：
Figure FDA0003824703450000027
式中Δxk＝xk+1-xk，Δgk＝grad(xk+1)-grad(xk)；Gk+1为近似的第k+1次Hessian逆矩阵，xk+1为第k+1次循环向量；
固定数字预编码矩阵FBB，则模拟预编码矩阵最优解
Figure FDA0003824703450000028
为：
Figure FDA0003824703450000029
式中
Figure FDA00038247034500000210
为一组满足恒定模值限制的矩阵。
5.根据权利要求4所述的基于拟牛顿法的低复杂度流形优化混合预编码方法，其特征在于，步骤二二中，求解第k次模拟预编码矩阵
Figure FDA00038247034500000211
的具体方法还包括：
忽略模拟预编码矩阵FRF的恒定模值限制，将xk+1＝xk+αkpk重构为维度
Figure FDA00038247034500000212
的矩阵Xk+αkPk，式中αk为第k次迭代的步长；Xk为向量xk重构的维度
Figure FDA00038247034500000213
的矩阵，Pk为向量pk重构的维度
Figure FDA00038247034500000214
的矩阵；
利用精确一维搜索方法对步长αk进行求解，使得目标函数在每次迭代过程中实现最小化，结合公式(5)得到步长αk的优化表达式：
Figure FDA0003824703450000031
式中中间变量矩阵A＝Fopt-XkFBB，中间变量矩阵B＝PkFBB；
则步长αk表示为：
Figure FDA0003824703450000032
其中，矩阵
Figure FDA0003824703450000033
式中Ck(i,j)为矩阵C第k次迭代过程的第i行第j列元素，Bk为第k次迭代过程的矩阵B；
为保证优化向量x＝vec(FRF)的恒定模值特性，使其始终位于m维复圆流形
Figure FDA0003824703450000034
上，引入回退过程，将切空间
Figure FDA0003824703450000035
的向量映射至m维复圆流形
Figure FDA0003824703450000036
上，表示为：
Figure FDA0003824703450000037
Figure FDA0003824703450000038
式中Retrx表示回退映射，
Figure FDA0003824703450000039
表示
Figure FDA00038247034500000310
的切空间；
由此完成对向量x＝vec(FRF)的迭代优化，得到第k次交替最小化过程中模拟预编码矩阵
Figure FDA00038247034500000311
的最优解。
6.根据权利要求5所述的基于拟牛顿法的低复杂度流形优化混合预编码方法，其特征在于，步骤三中，迭代结束条件为目标函数的变化量；当当前目标函数与相邻前一次目标函数的变化量满足预设变化量阈值，迭代结束。
7.根据权利要求6所述的基于拟牛顿法的低复杂度流形优化混合预编码方法，其特征在于，步骤四中数字预编码矩阵FBB归一化获得最终数字预编码矩阵FBB的方法包括：
Figure FDA00038247034500000312
Ns为通信系统传输数据流数。
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