CN115421388B - 一种基于凸优化的远程导弹末级多姿态约束在线轨迹规划方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出一种基于凸优化的远程导弹末级多姿态约束在线轨迹规划方法。所述方法具体包括：步骤一、建立基于近焦点坐标系的导弹多约束轨迹优化模型；步骤二、优化模型伪谱离散与凸化；步骤三、考虑地球自转的偏差进行迭代校正；步骤四、考虑姿态角约束的凸优化最优轨迹求解。本发明所述方法在基于在线轨迹规划方法框架下，解决远程考虑多姿态角约束轨迹规划与制导问题，同时研究了一种考虑地球自转的校正方法保证制导精度。

Description

一种基于凸优化的远程导弹末级多姿态约束在线轨迹规划方法

技术领域

本发明属于飞行器轨迹优化与制导技术领域，特别是涉及一种基于凸优化的远程导弹末级多姿态约束在线轨迹规划方法。

背景技术

作为大国佩剑，远程弹道导弹一直是维护国家和平、安全与稳定的国之重器。而要提高弹道导弹的作战性能，尤其是毁伤能力，首先必须提升制导系统性能，保证导弹精确命中目标。针对弹道导弹上升飞行过程，末级飞行段结束状态决定了导弹自由飞行弹道和再入点精度，对弹头最终的命中精度起着十分关键的作用。

为保证制导精度，弹道导弹末级一般应用解析制导方法，包括闭路制导、迭代制导等方法及其改进形式。然而，传统的解析制导方法需考虑包括线性重力、姿态角线性变化等多种假设条件限制，对导弹动力学模型进行了一定程度的简化。考虑战场条件下动力系统故障、任务目标变更等特殊情况，往往无法实现制导指令的计算，或者出现姿态角指令突变，严重影响系统控制性能。同时，解析制导方法只能针对特定约束进行指令计算，尤其是不能实现考虑突防与测控条件下的终端姿态角约束条件，无法满足现代战场高性能、高动态、多约束需求。

发明内容

本发明目的是为了解决传统制导方法无法满足导弹姿态角约束需求的技术问题，提出了一种基于凸优化的远程导弹末级多姿态约束在线轨迹规划方法。本发明所述方法在基于在线轨迹规划方法框架下，解决远程考虑多姿态角约束轨迹规划与制导问题，同时研究了一种考虑地球自转的校正方法保证制导精度。

本发明是通过以下技术方案实现的，本发明提出一种基于凸优化的远程导弹末级多姿态约束在线轨迹规划方法，所述方法具体包括：

步骤一、建立基于近焦点坐标系的导弹多约束轨迹优化模型；

步骤二、优化模型伪谱离散与凸化；

步骤三、考虑地球自转的偏差进行迭代校正；

步骤四、考虑姿态角约束的凸优化最优轨迹求解。

进一步地，在步骤一中，导弹在末级飞行段已经飞出稠密大气层，可忽略气动力作用，基于此，在近焦点坐标系建立三自由度动力学方程如下：

式中，r，V分别为导弹的位置、速度矢量；g为重力加速度，可视为位置r的函数；u为推力矢量，m为导弹质量，T为推力大小，g₀为标准重力加速度，I_sp为发动机比冲。

进一步地，在步骤一中，为了保证状态变量的连续性，设定起始约束为：

r(t₀)＝r₀

V(t₀)＝V₀  (2)

式中，t为飞行时间，下标“0”代表参数初始状态；

为了保证推力矢量u连续性，定义：

u(t₀)＝u₀  (3)

由于导弹末级应用的液体火箭发动机推力无法调整，则有：

||u||＝T  (4)

考虑姿态角变化率约束，针对推力不可调节的火箭发动机，有：

式中，du_max为推力矢量最大变化率。

进一步地，在步骤一中，忽略导弹自由段所受稀薄气动力和扰动引力，将自由段弹道视为一标准椭圆轨道，约束再入点位置，速度问题则可等价转换为令导弹进入目标椭圆轨道，即关机点参数约束问题。

进一步地，根据目标椭圆轨道参数再入点位置和速度，利用轨道力学进行计算，得到目标轨道五个根数约束要求，分别为：轨道半长轴a^*、偏心率e^*、轨道倾角i^*、升交点赤经Ω^*和近心点角距ω^*；其中，轨道倾角、升交点赤经和近心点角距三个参数约束了轨道平面位置和方向，在近焦点坐标系中，为保证轨道平面的精度，需保证OZ_P轴方向位置速度均为0，公式如下：

r_zf＝0

V_zf＝0  (6)。

进一步地，在轨道平面内，首先根据解析几何椭圆标准公式(7)，约束关机点位置坐标：

式中，b^*为目标轨道半短轴，有b^*2＝a^*2(1-e^*2)，c^*为目标轨道半焦距，有c^*＝a^*e^*；

同时，还需对关机点速度方向进行约束，即要求速度方向与椭圆轨道相切，将式(7)进行微分，可得：

此外，还需对速度大小进行约束；应用角动量守恒定理约束代替速度大小约束，约束公式为：

r×V＝r_fxV_fy-r_fyV_fx＝h^*  (9)

式中h^*为目标轨道动量矩且有

还需考虑终端姿态角约束，即终端推力矢量约束：

进一步地，在步骤二中，导弹末级弹道规划原始问题模型P0为：

对轨迹规划原始问题P0应用相应的凸化策略，从而实现应用凸优化算法保证轨迹规划问题的高速精确求解；

根据建立的动力学方程，建立动力学伪谱离散方程如下：

式中，D为常值微分矩阵，x＝[r,V]为状态变量；f为动力学方程右函数，n为离散点个数，τ取代飞行时间t为新的自变量；

由于各离散点之间姿态角变化小，可以将姿态角变化率约束近似为：

式中ΔΦ_i为第i个离散点姿态角最大变化，当姿态角最大变化率为

时，有

进一步地，在步骤三中，当再入时间变化时，为保证再入点位置精度，需要对自由段轨道参数进行一定的调整；当标准再入时间为T_b，实际再入时间为T时，则修正自由段目标轨道升交点赤经Ω′^*为：

Ω′^*＝Ω^*+ω_e(T-T_b)  (15)

同时，其他四个轨道根数不变；根据任务要求的再入点高度r_e，根据下式即可计算再入点真近点角f_e：

上式为有量纲公式，h为轨道动量矩，μ为地球引力常量；如此，即可求得完整的再入点轨道六根数，进而可以求取再入点位置r_e；

当前再入点位置与目标再入点r_t存在一定的偏差Δr＝r_e-r_t，为了校正该偏差，建立虚拟目标点，即考虑再入点偏差，调整目标再入点为：

r_t′＝r_t-Δr  (17)

在下一轮轨迹规划中，以r_t′为新的目标再入点进行目标轨道计算，即通过迭代校正地球自转带来的再入点位置偏差。

进一步地，步骤四具体为：

步骤1.置i＝0，令T⁰＝T_b，Ω^*0为标准情况下自由段轨道升交点赤经；

步骤2.应用凸优化算法，求解轨迹规划问题，得到最优轨迹；

步骤3.计算实际再入位置r_e，更新目标再入点；

步骤4.根据再入时间偏差更新升交点赤经；

步骤5.如果目标再入点位置精度在容许范围内，则认为规划问题求解得到的再入点精度满足要求，计算结束；否则置i＝i+1，返回步骤2。

本发明的有益效果为：

本发明提出的一种基于凸优化的弹道导弹多约束快速轨迹优化方法，首先针对导弹过程与终端姿态约束问题，建立了相应的轨迹优化模型。随后，采用伪谱法对问题进行了离散化与凸化，适合发展为在线轨迹优化方法。最后通过迭代更新的方法校正地球自转带来的再入点偏差。且为后续开展基于在线轨迹优化方法的闭环制导方法打下了基础。对于未来的弹道导弹以及运载火箭多约束高精度制导方法均具有借鉴和参考价值。

附图说明

图1是终端约束示意图；

图2是姿态角变化率约束示意图；

图3是再入点更新示意图；

图4是故障适应性分析中俯仰角变化曲线图；

图5是故障适应性分析中偏航变化曲线图；

图6是故障适应性分析中速度变化曲线图；

图7是故障适应性分析中高度变化曲线图；

图8是考虑末端姿态角约束仿真分析中俯仰角变化曲线图；

图9是考虑末端姿态角约束仿真分析中偏航变化曲线图；

图10是考虑末端姿态角约束仿真分析中速度变化曲线图；

图11是考虑末端姿态角约束仿真分析中高度变化曲线图；

图12是任务变更适应性分析中俯仰角变化曲线图；

图13是任务变更适应性分析中偏航变化曲线图；

图14是任务变更适应性分析中速度变化曲线图；

图15是任务变更适应性分析中高度变化曲线图。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

结合图1-图15，本发明提出一种基于凸优化的远程导弹末级多姿态约束在线轨迹规划方法，所述方法具体包括：

步骤一、建立基于近焦点坐标系的导弹多约束轨迹优化模型；

步骤二、优化模型伪谱离散与凸化；

步骤三、考虑地球自转的偏差进行迭代校正；

步骤四、考虑姿态角约束的凸优化最优轨迹求解。

在步骤一中，导弹在末级飞行段已经飞出稠密大气层，可忽略气动力作用，基于此，在近焦点坐标系建立三自由度动力学方程如下：

式中，r，V分别为导弹的位置、速度矢量；g为重力加速度，可视为位置r的函数；u为推力矢量，m为导弹质量，T为推力大小，g₀为标准重力加速度，I_sp为发动机比冲。为了计算稳定性，在轨迹规划运算时需采用无量纲模型，此处为了表达清晰应用的是有量纲模型。

在步骤一中，在建立轨迹规划模型时，还需考虑多种过程约束和终端约束。首先为了保证状态变量的连续性，设定起始约束为：

r(t₀)＝r₀

V(t₀)＝V₀  (2)

式中，t为飞行时间，下标“0”代表参数初始状态；

为了保证推力矢量u连续性，定义：

u(t₀)＝u₀  (3)

由于导弹末级应用的液体火箭发动机推力无法调整，则有：

||u||＝T  (4)

同时，考虑控制系统能力有限，还需考虑姿态角变化率约束，针对推力不可调节的火箭发动机，有：

式中，du_max为推力矢量最大变化率。

在步骤一中，为保证弹道导弹实现对目标的精确打击，完成作战任务，需要保证其以预定的速度、达到预定的再入位置。如果忽略地球自转，则可转化为再入点位置、速度矢量坐标值6个约束。根据轨道力学原理，如果忽略导弹自由段所受稀薄气动力和扰动引力，则将自由段弹道视为一标准椭圆轨道，约束再入点位置，速度问题则可等价转换为令导弹进入目标椭圆轨道，如图1所示，即关机点参数约束问题。

根据目标椭圆轨道参数再入点位置和速度，利用轨道力学进行计算，得到目标轨道五个根数约束要求，分别为：轨道半长轴a^*、偏心率e^*、轨道倾角i^*、升交点赤经Ω^*和近心点角距ω^*；其中，轨道倾角、升交点赤经和近心点角距三个参数约束了轨道平面位置和方向，在近焦点坐标系中，为保证轨道平面的精度，需保证OZ_P轴方向位置速度均为0，公式如下：

r_zf＝0

V_zf＝0  (6)。

在轨道平面内，首先根据解析几何椭圆标准公式(7)，约束关机点位置坐标：

式中，b^*为目标轨道半短轴，有

c^*为目标轨道半焦距，有c^*＝a^*e^*；

同时，还需对关机点速度方向进行约束，即要求速度方向与椭圆轨道相切，将式(7)进行微分，可得：

此外，还需对速度大小进行约束；针对椭圆轨道，速度大小随位置变化且计算公式复杂。为了保证后续轨迹规划问题模型尽量简化，本发明应用角动量守恒定理约束代替速度大小约束，约束公式为：

r×V＝r_fxV_fy-r_fyV_fx＝h^*  (9)

式中h^*为目标轨道动量矩且有

还需考虑终端姿态角约束，即终端推力矢量约束：

在步骤二中，考虑后续飞行过程中的偏差校正和姿态调制，应尽量节省推进剂，保证后续任务顺利完成。针对固定秒耗量的发动机，选取性能指标为工作时间最短。同时考虑动力学模型、起始约束、过程约束和终端约束，可得导弹末级弹道规划原始问题模型P0为：

轨迹规划原始问题P0显然是一个非凸问题，为此，对轨迹规划原始问题P0应用相应的凸化策略，从而实现应用凸优化算法保证轨迹规划问题的高速精确求解；

根据建立的动力学方程，建立动力学伪谱离散方程如下：

式中，D为常值微分矩阵，x＝[r,V]为状态变量；f为动力学方程右函数，n为离散点个数，τ取代飞行时间t为新的自变量；

如图2所示，由于各离散点之间姿态角变化小，可以将姿态角变化率约束近似为：

式中ΔΦ_i为第i个离散点姿态角最大变化，当姿态角最大变化率为

时，有

在步骤三中，弹道导弹攻击的目标一般位于地球上、随地球自转而运动。然而，轨迹规划问题模型的建立均基于惯性坐标系，当实际攻击时间与标准攻击时间之间存在偏差时，需要考虑地球自转，对再入点偏差进行校正，以保证攻击精度。如图3所示，当再入时间变化时，为保证再入点位置精度，需要对自由段轨道参数进行一定的调整；当标准再入时间为T_b，实际再入时间为T时，则修正自由段目标轨道升交点赤经Ω′^*为：

Ω′^*＝Ω^*+ω_e(T-T_b)  (15)

同时，其他四个轨道根数不变；根据任务要求的再入点高度r_e，根据下式即可计算再入点真近点角f_e：

上式为有量纲公式，h为轨道动量矩，μ为地球引力常量；如此，即可求得完整的再入点轨道六根数，进而可以求取再入点位置r_e；

当前再入点位置与目标再入点r_t存在一定的偏差Δr＝r_e-r_t，为了校正该偏差，建立虚拟目标点，即考虑再入点偏差，调整目标再入点为：

r_t′＝r_t-Δr  (17)

在下一轮轨迹规划中，以r_t′为新的目标再入点进行目标轨道计算，即通过迭代校正地球自转带来的再入点位置偏差。

步骤四具体为：

步骤1.置i＝0，令T⁰＝T_b，Ω^*0为标准情况下自由段轨道升交点赤经；

步骤2.应用凸优化算法，求解轨迹规划问题，得到最优轨迹；

步骤3.计算实际再入位置r_e，更新目标再入点；

步骤4.根据再入时间偏差更新升交点赤经；

步骤5.如果目标再入点位置精度在容许范围内，则认为规划问题求解得到的再入点精度满足要求，计算结束；否则置i＝i+1，返回步骤2。

下面结合具体实施例对本发明做进一步说明，但本发明不受实施例的限制。

本发明提出了一种基于凸优化的远程导弹末级多姿态约束在线轨迹规划方法。为了充分验证算法性能，设计了两种情况下的仿真实验，将本发明提出的方法与传统基于迭代制导的末级返回(再入)制导方法对比，从精度、计算效率等方面深入对比分析。所有的仿真实验均在配有Intel Core i7-7500U 2.70GHz CPU和Windows 10的操作系统的笔记本电脑上进行，求解二阶锥规划子问题均采用MOSEK软件的API进行解算。考虑算法在线执行效率，取规划周期为10s。

本发明所述方法所应用的导弹总体参数如表1所示：

表1总体参数表

弹道导弹末级的工作任务为保证导弹再入点精度，然而针对远射程、自由段较长的任务，自由段长时间飞行过程中所受扰动引力不可忽略，需要在自由段予以校正。在这种情况下，针对末级弹道规划算法分析再入点精度没有实际意义。因此，本发明重点针对关机点轨道参数精度进行分析，验证算法性能。

仿真实验中，取发射点为北纬20°，东经110°，发射方位角为110°。目标再入点经纬高为[-164.16°,-20.94°,80km]，射程10393千米。所应用的其他主要标准弹道参数，包括初始状态约束与标准终端状态如表2、表3所示。初始状态参数均在地心固连坐标系下定义。终端约束应用轨道根数表示。

表2初始状态参数表

表3标准终端约束参数表

此外，在进行仿真分析时，令姿态角变化率≤3°/s，同时，取

ε₁＝10^-3

ε₂＝10^-7

ε_Ω＝10^-4。

一、故障适应性分析

根据工程经验和仿真实验分析可知，导弹发动机秒耗量(推力)的偏差对导弹飞行和终端制导精度的影响最大。因此，重点针对秒耗量大偏差的情况对算法进行仿真验证和分析。在此，暂不对终端姿态角进行限制，本发明提出的凸优化算法与传统基于迭代制导的末级返回(再入)制导方法对比结果如图4-图7所示。终端约束精度如表4所示。其中，考虑地球自转影响，考虑升交点经度偏差，代替升交点赤经。

表4精度对比

根据仿真实验结果，分析可知：

1)从制导精度看，本发明所提出的基于凸优化的轨迹在线规划算法能够达到成熟的迭代制导方法的精度，满足工程需求。

2)凸优化求解平均迭代次数为8次。求解耗时1.36s，具备在线应用潜力。

3)应用凸优化进行轨迹规划时，发动机工作时间为117.37s，消耗推进剂4401.375kg；应用迭代制导时，发动机工作时间为117.40s，消耗推进剂4402.51kg；两种算法消耗推进剂相当，应用凸优化算法可节省推进剂1.14kg。

4)从图中可以看出基于凸优化计算的制导指令，比迭代制导更加平缓，更有利于作战条件下指导控制系统工作。

二、考虑末端姿态角约束仿真分析

迭代制导作为一种基于最优控制理论的解析制导方法，一般不对姿态角变化率以及终端姿态角加以限制，而本发明所提出的基于凸优化的数值弹道在线规划算法可以考虑姿态角变化率和终端姿态角约束，保证指导控制系统正常工作。在考虑终端姿态角约束的情况下，仿真实验结果如图8-图11所示。终端约束精度如表5所示。

表5精度对比

根据仿真实验结果，分析可知：

1)考虑终端姿态角约束时，基于凸优化的轨迹在线规划方法其他轨道根数制导精度保持较高水平，满足工程需求。

2)考虑终端姿态角约束时，由于约束增加，凸优化求解平均迭代次数增加至10次。求解耗时1.61s，具备在线应用潜力。

3)应用凸优化进行轨迹规划时，发动机工作时间为117.45s，消耗推进剂4404.38kg。考虑终端姿态角约束，应用凸优化算法需多消耗推进剂1.87kg以保证姿态角精度。

4)基于凸优化的轨迹在线规划算法能保证终端姿态角精度保持在10^-2度量级，且飞行过程中姿态角变化率满足控制系统限制要求，远高于传统的迭代制导方法，适用于要求终端姿态角精度的特殊作战任务。

三、任务变更适应性分析

考虑战场实时状态的变化，在发射后导弹的打击目标可能发生变化。为了验证算法在目标变更条件下的适应性，再次假定在末级飞行段，目标再入点经纬高修改为为[-144.65°,-23.77°,80km]，此时射程为12406千米，关机点约束修改为表6所示参数。

表6变更任务终端约束参数表

在考虑终端姿态角约束的情况下，其他条件不变，分别应用迭代制导和本发明所提出的凸优化算法进行轨迹重规划，仿真实验结果如图12-图15所示。终端约束精度如表7所示。

表7精度对比

根据仿真实验结果，分析可知：

1)当打击作战任务发生较大变化时，本发明所述的算法能够实现轨迹高精度重规划，各项终端约束指标仍能保证较高精度，满足工程需要。

2)在当前的仿真算例条件下，凸优化求解平均迭代次数增加至10次。求解耗时1.56s，具备在线应用潜力。

3)应用凸优化进行轨迹规划时，发动机工作时间为58.93s，消耗推进剂4419.75kg。应用迭代制导时，发动机工作时间为58.67s，消耗推进剂4400.25kg；考虑终端姿态角约束，应用凸优化算法需多消耗推进剂19.5kg以保证姿态角精度。

4)基于凸优化的轨迹在线规划算法能保证终端姿态角精度、飞行过程中姿态角变化率均能满足要求，制导精度远高于传统的迭代制导方法，适用于要求终端姿态角精度的特殊作战任务。

综合以上对比仿真实验结果，本发明所提出的弹道导弹末级在线轨迹规划方法的精确性、快速性和鲁棒性得以验证。尤其是针对于发动机故障、任务变更等特殊情况，以及对姿态角变化率和终端姿态角有特殊约束需求的任务，具有较强的适用性。

以上对本发明所提出的一种基于凸优化的远程导弹末级多姿态约束在线轨迹规划方法进行了详细介绍，本文中应用了具体个例对本发明的原理及实施方式进行了阐述，以上实施例的说明只是用于帮助理解本发明的方法及其核心思想；同时，对于本领域的一般技术人员，依据本发明的思想，在具体实施方式及应用范围上均会有改变之处，综上所述，本说明书内容不应理解为对本发明的限制。

Claims (5)

1.一种基于凸优化的远程导弹末级多姿态约束在线轨迹规划方法，其特征在于，所述方法具体包括：

步骤一、建立基于近焦点坐标系的导弹多约束轨迹优化模型；

步骤二、优化模型伪谱离散与凸化；

步骤三、考虑地球自转的偏差进行迭代校正；

步骤四、考虑姿态角约束的凸优化最优轨迹求解；

在步骤一中，为了保证状态变量的连续性，设定起始约束为：

r(t₀)＝r₀

V(t₀)＝V₀  (2)

式中，t为飞行时间，下标“0”代表参数初始状态；

为了保证推力矢量u连续性，定义：

u(t₀)＝u₀   (3)

由于导弹末级应用的液体火箭发动机推力无法调整，则有：

||u||＝T   (4)

考虑姿态角变化率约束，针对推力不可调节的火箭发动机，有：

式中，du_max为推力矢量最大变化率；

根据目标椭圆轨道参数再入点位置和速度，利用轨道力学进行计算，得到目标轨道五个根数约束要求，分别为：轨道半长轴a^*、偏心率e^*、轨道倾角i^*、升交点赤经Ω^*和近心点角距ω^*；其中，轨道倾角、升交点赤经和近心点角距三个参数约束了轨道平面位置和方向，在近焦点坐标系中，为保证轨道平面的精度，需保证OZ_P轴方向位置速度均为0，公式如下：

r_zf＝0

V_zf＝0  (6)；

在轨道平面内，首先根据解析几何椭圆标准公式(7)，约束关机点位置坐标：

式中，b^*为目标轨道半短轴，有b^*2＝a^*2(1-e^*2)，c^*为目标轨道半焦距，有c^*＝a^*e^*；

同时，还需对关机点速度方向进行约束，即要求速度方向与椭圆轨道相切，将式(7)进行微分，可得：

此外，还需对速度大小进行约束；应用角动量守恒定理约束代替速度大小约束，约束公式为：

r×V＝r_fxV_fy-r_fyV_fx＝h^*  (9)

式中h^*为目标轨道动量矩且有

还需考虑终端姿态角约束，即终端推力矢量约束：

在步骤二中，导弹末级弹道规划原始问题模型P0为：

对轨迹规划原始问题P0应用相应的凸化策略，从而实现应用凸优化算法保证轨迹规划问题的高速精确求解；

根据建立的动力学方程，建立动力学伪谱离散方程如下：

式中，D为常值微分矩阵，x＝[r,V]为状态变量；f为动力学方程右函数，n为离散点个数，τ取代飞行时间t为新的自变量；

由于各离散点之间姿态角变化小，可以将姿态角变化率约束近似为：

式中ΔΦ_i为第i个离散点姿态角最大变化，当姿态角最大变化率为ΔΦ_max时，有

2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，在步骤一中，导弹在末级飞行段已经飞出稠密大气层，可忽略气动力作用，基于此，在近焦点坐标系建立三自由度动力学方程如下：

式中，r，V分别为导弹的位置、速度矢量；g为重力加速度，可视为位置r的函数；u为推力矢量，m为导弹质量，T为推力大小，g₀为标准重力加速度，I_sp为发动机比冲。

3.根据权利要求2所述的方法，其特征在于，在步骤一中，忽略导弹自由段所受稀薄气动力和扰动引力，将自由段弹道视为一标准椭圆轨道，约束再入点位置，速度问题则可等价转换为令导弹进入目标椭圆轨道，即关机点参数约束问题。

4.根据权利要求3所述的方法，其特征在于，在步骤三中，当再入时间变化时，为保证再入点位置精度，需要对自由段轨道参数进行一定的调整；当标准再入时间为T_b，实际再入时间为T时，则修正自由段目标轨道升交点赤经Ω′^*为：

Ω′^*＝Ω^*+ω_e(T-T_b)   (15)

同时，其他四个轨道根数不变；根据任务要求的再入点高度r_e，根据下式即可计算再入点真近点角f_e：

上式为有量纲公式，h为轨道动量矩，μ为地球引力常量；如此，即可求得完整的再入点轨道六根数，进而可以求取再入点位置r_e；

当前再入点位置与目标再入点r_t存在一定的偏差Δr＝r_e-r_t，为了校正该偏差，建立虚拟目标点，即考虑再入点偏差，调整目标再入点为：

r_t′＝r_t-Δr   (17)

在下一轮轨迹规划中，以r_t′为新的目标再入点进行目标轨道计算，即通过迭代校正地球自转带来的再入点位置偏差。

5.根据权利要求4所述的方法，其特征在于，步骤四具体为：

步骤1.置i＝0，令T⁰＝T_b，Ω^*0为标准情况下自由段轨道升交点赤经；

步骤2.应用凸优化算法，求解轨迹规划问题，得到最优轨迹；

步骤3.计算实际再入位置r_e，更新目标再入点；

步骤4.根据再入时间偏差更新升交点赤经；

步骤5.如果目标再入点位置精度在容许范围内，则认为规划问题求解得到的再入点精度满足要求，计算结束；否则置i＝i+1，返回步骤2。

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